有限元基础

有限元基础编程百科全书
有限元基础编程是指使用有限元方法（FEM）进行工程分析和设计的计算机编程技术。

有限元方法是一种数值分析技术，用于解决复杂的工程和物理问题，例如结构分析、热传导、流体力学等。

下面我将从多个角度全面介绍有限元基础编程的百科全书。

首先，有限元基础编程百科全书应该包括对有限元方法的基本原理和数学基础的详细讲解。

这包括有限元离散化过程、单元和节点的概念、刚度矩阵和质量矩阵的推导，以及有限元解的数值求解技术等内容。

此外，对于常见的工程问题，如静力学、动力学、热传导和流体力学等，百科全书还应该包括有限元方法在这些领域的应用原理和算法。

其次，有限元基础编程百科全书还应该涵盖有限元程序的编写和实现。

这包括使用常见的有限元软件（如Abaqus、Ansys、Nastran等）进行编程的基本步骤和技巧，以及各种编程语言（如Fortran、C++、Python等）在有限元分析中的应用。

此外，还应该包括有限元程序的优化和并行计算技术，以提高计算效率和精度。

此外，有限元基础编程百科全书还应该介绍有限元分析在工程
实践中的应用。

这包括结构分析、材料力学、振动和声学分析、热传导和传热分析、流体力学和多物理场耦合分析等方面的工程案例和实际应用。

这些案例不仅可以帮助读者理解有限元方法的具体应用，还可以帮助他们将理论知识转化为实际工程问题的解决方案。

综上所述，有限元基础编程百科全书应该全面介绍有限元方法的理论基础、编程实现和工程应用，从而帮助读者全面深入地理解和掌握有限元分析技术。

希望这些信息对你有所帮助。

第一讲第一章有限元的基本根念Basic Concepts of the Finite Element Method1.1引言(introduction)有限元(FEM或FEA)是一种获取近似边值问题的计算方法。

边值问题(boundary value problems, 场问题field problem )是一种数学问题(mathematical problems)(在所研究的区域，一些相关变量满足微分方程如物理方程、位移协调方程等且满足特定的区域边界)。

边值问题也称为场问题，场是指我们研究的区域，并代表一种物理模型。

场变量是满足微分方程的相关变量，边界条件代表场变量在场边界上特定的值(物理边界转化为数学边界)。

根据所分析物理问题的不同，场变量包括位移、温度、热量等。

1.2有限元法的基本思路 (how does the finite element methods work)有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。

下面用在自重作用下的等截面直杆来说明有限元法的思路。

等截面直杆在自重作用下的材料力学解答图1.1 受自重作用的等截面直杆图1.2 离散后的直杆受自重作用的等截面直杆如图所示，杆的长度为L ，截面积为A ，弹性模量为E ，单位长度的重量为q ，杆的内力为N 。

试求：杆的位移分布，杆的应变和应力。

)()(x L q x N -=EAdx x L q EA dx x N x dL )()()(-== ⎰-==xx Lx EA q EA dx x N x u 02)2()()( (1))(x L EAq dx du x -==ε )(x L A q E x x -==εσ 等截面直杆在自重作用下的有限元法解答(1)离散化如图1.2所示，将直杆划分成n 个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。

称两段之间的连接点为结点，称每个有限段为单元。

有限元的理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

1.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。

（Weigh ted residual method WRM ）是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。

加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。

设问题的控制微分方程为:在V 域内 在S 边界上式中 :L 、B ——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f 、g ——为与未知函数u 无关的已知函数域值；u ——为问题待求的未知函数 ()0B u g -=(5.1.2)()0L u f -=(5.1.1)混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。

对内部法和边界法必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量较小。

无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点：(1)试函数应由完备函数集的子集构成。

已被采用过的试函数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等等。

(2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数低一阶的导数连续性。

(3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。

若计算问题具有对称性，应充分利用它。

显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。

按照对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。

其中伽辽金法的精度最高。

2、虚功原理——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位移原理和虚应力原理的总称。

有限元理论基础及应用有限元理论是应用于工程计算领域的一种数值分析方法，它是通过将连续的结构或物体分割成有限数量的离散单元，然后在每个单元上进行近似计算，最终得到整个结构或物体的近似解。

有限元理论广泛应用于结构分析、流体力学、电磁场分析等领域，是工程计算的重要工具。

有限元理论的基础是有限元方法，它将连续的结构或物体以网格的形式划分成一系列有限的单元，通过在每个单元内进行节点位移或其他物理量的近似表示，建立起离散的数学模型。

在有限元方法中，常用的单元形状包括线元、三角形单元、四边形单元等。

每个单元的节点之间通过连接的方式形成整个结构的网格。

有限元理论的基本原理是将连续的物理问题转化为离散的代数问题，通过求解代数方程组得到数值结果。

其基本步骤包括：1.离散化：将连续的结构或物体划分为离散的单元，并在每个单元上建立近似解。

2.建立单元方程：根据结构或物体的本构关系、边界条件等，建立每个单元的方程。

3.组装：根据单元之间的连接方式，将每个单元的方程组装成整个结构或物体的方程。

4.边界条件处理：考虑边界条件对结构或物体的约束作用，修改方程。

5.求解代数方程组：将边界条件处理后的方程组进行求解，得到数值解。

有限元理论的应用非常广泛，主要包括：1.结构分析：有限元方法在结构力学领域的应用非常广泛，可以用于预测结构的应力、变形、疲劳寿命等。

例如，在建筑工程中，可以使用有限元方法对建筑结构进行静力分析，以确保结构的稳定性和安全性。

2.流体力学：有限元方法在流体力学领域的应用包括流体流动、传热、空气动力学等方面。

通过将流体分割成离散的单元，并建立流体的动量方程、能量方程等，可以模拟和预测流体的各种特性。

3.电磁场分析：有限元方法可以用于模拟和分析电磁场的分布、辐射、散射等现象。

在电子器件设计中，有限元方法可以用于预测电磁场的影响和优化设计。

此外，有限元方法还应用于声学、热力学、生物力学等领域。

它的优势包括模拟结果的准确性、适用于复杂几何形状和边界条件、计算速度较快等。

有限元基础知识归纳有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因？答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。

在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。

2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49(1)在节点i处Ni=1,其它节点Ni=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。

可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。

4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131）答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。

即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。

称前者为母单元，后者为子单元。

还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。

如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。

5、单元离散？P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。

每个部分称为一个单元，连接点称为结点。

对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。

这种单元称为常应变三角形单元。

常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。

有限元基础及应用有限元方法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于结构力学、流体力学、电磁场等领域。

它通过将复杂的连续体划分为有限个简单的子域，建立离散的数学模型，然后利用数值计算方法求解这些模型，从而得到连续体的物理行为。

有限元方法的基础是将连续体划分为有限个单元，每个单元都有一组节点，通过在节点上定义适当的数学函数，可以描述单元内的物理量变化。

这些数学函数称为形函数，通常是局部插值函数，通过它们可以将单元内的物理量与节点上的值相联系。

有限元方法的核心思想就是在每个单元内构建形函数，并且通过将相邻单元之间的形函数进行适当的连接，建立整个系统的离散方程。

有限元方法的应用非常广泛。

在结构力学中，有限元方法可以用于分析和优化各种结构的受力情况，包括建筑物、桥梁、航空航天器等。

在流体力学中，有限元方法可以用于模拟和预测流体在各种复杂几何形状中的流动特性，如空气动力学、水力学等。

在电磁场方面，有限元方法可以用于计算电场、磁场以及电磁波的传播和辐射问题。

除此之外，有限元方法还可以应用于热传导、声学、地下水流动等多个领域。

有限元方法的应用过程通常包括几个关键步骤。

首先，需要建立物理模型，确定边界条件和材料属性。

然后，将物理模型离散化，将连续体划分为有限个单元。

接下来，通过选择适当的数学函数，构建每个单元内的形函数。

然后，根据物理模型和形函数，建立离散方程组。

最后，通过数值计算方法求解离散方程组，得到所求解的物理量。

有限元方法的优点是可以处理复杂的几何形状和边界条件，可以灵活地选择单元类型和单元尺寸，可以高效地求解大规模问题。

然而，有限元方法也存在一些限制和挑战。

首先，离散化过程会引入一定的误差，尤其是在单元边界附近。

其次，建立离散方程组需要大量的计算工作，对计算机性能要求较高。

此外，对于非线性和动态问题，有限元方法的求解过程可能更加复杂和困难。

有限元方法是一种强大而灵活的数值计算方法，可以应用于各种工程和科学领域。

有限元法的力学基础有限元法是一种数值分析方法，利用数学和计算机技术解决实际工程问题。

其力学基础主要包括材料力学、结构力学和数值分析。

一、材料力学有限元法的首要任务是分析工程结构的受力情况，而这涉及到材料的应力和应变等基本力学问题。

材料力学是有限元法的基础，它研究材料在外力作用下变形和破坏的规律及其数学描述。

在计算中，材料本构方程是将应力和应变联系起来的核心方程式，通过解析材料的物理特性，可以建立精确的应力-应变关系。

应力是物体受力过程中单位面积所受的力。

在研究材料力学问题时，应力通常分为三个方向：轴向应力、切向应力和法向应力。

材料因内部力的作用而使形状改变的现象称之为应变。

应变分为线性应变和非线性应变两种类型。

材料的本构方程则是将应力和应变通过数学公式联系起来，其中最重要的参数是杨氏模量、泊松比、屈服强度等材料力学性质指标。

二、结构力学有限元法主要应用于结构力学中，因为任何实际的结构都受到力的作用，这些力包括静载、动载、温度变化等。

结构力学是研究结构受力和变形状态的学科，它的核心是研究结构刚度和强度等性质。

结构刚度是指结构抵抗外界力的能力，强度则是指结构承受载荷发生破坏前的最大强度。

在有限元法中，将结构划分成有限个小单元，然后使用材料力学原理及结构力学原理计算每个小单元的应力和应变及整个结构的位移。

通过建立坐标系，可以把每个小单元在局部坐标系下的变形通过旋转变换到全局坐标系下。

将各个小单元的变形叠加起来，就可以求得整个结构的位移和变形。

三、数值分析有限元法是一种数值分析方法，因此数值分析对于有限元法的运用也是相当重要的。

数值分析是研究利用数值方法解决科学和工程问题的一门学科。

有限元法可以通过数学公式和计算机程序来模拟物理现象，从而得出求解问题的解。

数值分析中最重要的就是数值计算误差和截断误差的控制，只有通过合理的参数设置和计算方法，才能得到高精度的结果。

总体来看，有限元法的力学基础涉及材料力学、结构力学和数值分析三个方面。

有限元法的理论基础有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。

能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。

下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。

1.虚位移原理虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。

反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。

可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。

所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。

虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。

2.最小势能原理最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。

根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。

最小势能原理仅适用于弹性力学问题。

2.2有限元法求解问题的基本步骤弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。

2.2.1问题的分类求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么？比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。

对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。

2.2.2建模在进行有限元离散化和数值求解之值，我们为分析问题设计计算模型，这一步包括决定哪种特征是所要讨论的重点问题，以便忽略不必要的细节，并决定采用哪种理论或数学公式描述结果的行为。

有限元基本要求
有限元分析是一种重要的工程分析方法，它可以模拟复杂的结构和物理现象。

在学习有限元分析之前，需要掌握以下基本要求：
1. 数学基础：有限元分析涉及到大量的数学知识，如线性代数、微积分、偏微分方程等。

因此，需要有扎实的数学基础。

2. 机械力学基础：有限元分析主要用于工程结构力学问题的求解，因此需要了解基本的机械力学知识，如静力学、动力学、材料力学等。

3. 编程基础：有限元分析通常需要使用计算机进行求解，因此需要有一定的编程基础。

常用的有限元软件如ANSYS、ABAQUS等也需要掌握。

4. 有限元方法基础：需要了解有限元方法的基本原理、离散化方法、单元类型、形函数等基本概念。

5. 实践能力：通过实践应用，掌握有限元分析方法的具体操作和应用技巧，能够有效地解决实际工程问题。

以上是学习有限元分析的基本要求，只有掌握了这些基本知识和技能，才能在实践中灵活应用、解决复杂的工程问题。

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通俗易懂的有限元基础原理
有限元分析是一种数值计算方法，用于解决结构力学和其他工程领域的问题。

以下是通俗易懂的有限元基础原理解释：
1. 分割结构：有限元分析中的第一步是将要分析的结构分割成许多小的、简单的部分，称为有限元。

类似于拼图，每个有限元代表结构中的一小部分。

2. 建立本构关系：针对每个有限元，需要建立材料的本构关系，即材料的应力-应变关系。

这是通过材料力学性质的实验测试或理论公式来确定的。

3. 建立单元方程：对于每个有限元，根据其几何形状和材料本构关系建立方程。

这些方程描述了有限元内部的应力和变形之间的关系。

4. 组装全局方程：将所有有限元的方程组装在一起，形成整个结构的全局方程。

这些方程联结了各个有限元之间的边界条件和相互作用。

5. 求解方程：通过数值解法，例如迭代方法或直接求解方法，求解全局方程。

这个过程会得到结构的应力、应变分布以及其他感兴趣的结果。

6. 分析结果：最后，分析人员可以根据求解结果，评估结构的性能，例如应力、变形、位移、振动或热分布等。

这些结果可以帮助工程师优化结构设计、评估结构安全性、指导修复或改进结构性能。

总体来说，有限元分析将大型、复杂的结构问题简化为许多小的、简单的部分，通过数值方法求解其力学行为。

这种方法广泛应用于工程领域，以实现更准确、高效的结构设计和分析。