不等式性质的应用
学习目标：1、了解不等式的基本性质，并可以利用不等式的性质解决问题； 2、通过不等式性质的应用，进一步加深对不等式性质的理解；
3、在应用不等式的基本性质证明简单问题的过程中,培养思维的逻辑性和严谨性,进而
培养学生的逻辑能力.
学习重点：不等式性质的应用. 学习任务：
题型一 利用不等式性质求变量的取值范围.
1、已知），（），，（ππβπα2
2
0∈∈，求 (1) βα+；(2) βα-2
的取值范围.
2、已知31≤≤<-b a ，求b 2-a 的取值范围.
3、已知3286<<<<-b a ，
，求b
a
的取值范围. 题型二 利用不等式性质判断命题的真假.
1、给出下列命题：(1)；，则若c
b
c a b a >> (2)；，则若b a bc ac <<
(3)
；，则若22bc ac b a >>(4) ；，则若b a bc ac >>2
2
其中正确的命题是_______________. 2、给出下列命题：(1)；，则若33
b a
b a >> (2)；，则若2
2b a b a >>
(3) ；，则若2
20b a b a ><<(4) ；，则若22||b a b a >> (5) ；，则若22||b a b a >>
其中正确的命题是_______________. 3、下列说法正确的是_______________.
(1) ；，则若b
a b a 1
1<> (2)；，则若b a b a 110<<<
(3) ；，则若b a b a 110<>> (4) ；，则若b a b a 1
10<>>
(5)；，则若b a a b 110<>> (6)；，则且若0,1
1<>>>b b a b a b a
附加题：1、已知.,0,,,ad bc b
d
a c a
b R d
c b a >-<->∈证明，
且 2、证明：.0b
c b
a c a
b a
c ->->>>，则
若
不等式性质的应用
学习目标：1、了解不等式的基本性质，并可以利用不等式的性质解决问题； 2、通过不等式性质的应用，进一步加深对不等式性质的理解；
3、在应用不等式的基本性质证明简单问题的过程中,培养思维的逻辑性和严谨性,进而
培养学生的逻辑能力.
学习重点：不等式性质的应用. 学习任务：
题型一 利用不等式性质求变量的取值范围.
1、已知），（），，（ππ
βπα2
2
0∈∈，求 (1) βα+；(2) βα-2
的取值范围.
2、已知31≤≤<-b a ，求b 2-a 的取值范围.
3、已知3286<<<<-b a ，
，求b
a
的取值范围. 题型二 利用不等式性质判断命题的真假.
1、给出下列命题：(1)；，则若c
b
c a b a >> (2)；，则若b a bc ac <<
(3)
；，则若22bc ac b a >>(4) ；，则若b a bc ac >>2
2
其中正确的命题是_______________. 2、给出下列命题：(1)；，则若33
b a
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(3) ；，则若2
20b a b a ><<(4) ；，则若22||b a b a >> (5) ；，则若22||b a b a >>
其中正确的命题是_______________. 3、下列说法正确的是_______________.
(1) ；，则若b
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附加题：1、已知.,0,,,ad bc b
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(完整word版)七年级下册不等式及其基本性质讲义 亲爱的读者： 本文内容由我和我的同事精心收集整理后编辑发布到文库，发布之前我们对文中内容进行详细的校对，但难免会有错误的地方，如果有错误的地方请您评论区留言，我们予以纠正，如果本文档对您有帮助，请您下载收藏以便随时调用。下面是本文详细内容。 最后最您生活愉快 ~O(∩_∩)O ~
环球雅思教育学科教师讲义 年级：上课次数： 学员姓名：辅导科目：学科教师： 课题 课型□预习课□同步课□复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容 【基础知识网络总结与新课讲解】 知识点一、不等式的有关概念： 1.不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。注意：常见的不等号有五种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”． 例1.请指出下列各式哪些是不等式：①x+y=y+x②4+x＞5③-3＜0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥ 2x-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式：（1）a是正数；（2）y与2的差是非负数；（3）a与6的和大于7；（4）y的一半不小于3；（5）8与x的3倍的和不大于1。
而2，+4，4.5不是不等式2x+1＜5的解。 例4.指出下面变形是根据不等式的哪一条基本性质。 （1）由2a＞5，得a＞（2）由a-7＞，得a＞7 （3）由- a＞0，得a＜0 （4）由3a＞2a-1,得a＞-1。 例5.设a＞b；用"＞"或"＜"号填空： （1）（2） a-5 b-5 （3）- a - b （4）6a 6b （5）-（6）-a -b 参考答案：（1）＞（2）＞（3）＜（4）＞（5）＜（6）＜ 例5.试比较下列两个代数式值的大小： （1）5a+2与4a+2 （2）x3+3x2-7与x3+2x2-7 提示：我们知道，若a-b＞0,则a＞b；若a-b=0,则a=b；若a-b＜0,则a＜b,所以要比较a与b的大小，可以先求出a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零。 参考答案：（1）(5a+2)-(4a+2)=5a+2-4a-2=a ∵a可取正数，负数或零，∴5a+2和4a+2间的大小关系有三种可能： ①当a＞0时，5a+2＞4a+2 ②当a=0时，5a+2=4a+2 ③当a＜0时，5a+2＜4a+2。 （2）（x3+3x2-7）-(x3+2x2-7)=x3+3x2-2x2+7=x2∵x2≥0(对任意x) ∴x3+3x2-7≥x3+2x2-7
不等式的性质和证明 一、基础知识 1．性质 对称性a＞b?b＜a 传递性a＞b，b＞c T a＞c 加法单调性a＞b T a+c＞b+c 乘法单调性a＞b，c＞0 T ac＞bc；a＞b，c＜0 T ac＜bc开方法则a＞b＞0 T移项法则a+b ＞c T a＞c－b 同向不等式相加a＞b，c＞d T a+c＞b+d 同向不等式相乘a＞b＞0，c ＞d＞0 T ac＞bd 乘方法则a＞b＞0 T a n＞b n倒数法则a＞b，ab＞0 T 2．证明方法：比较法，综合法，分析法，反证法，换元法 证明技巧：逆代，判别式，放缩，拆项，单调性 3．主要公式及解题思路 公式：a2+b2≥2ab（a，b∈R） a3+b3+c3≥3abc（a，b，c∈R+） 思路：① ② ③ ④正数x，y且x+y=1，求证：≥ 二、例题解析 1．（1）a，b∈R+且a＜b，则下列不等式一定成立的是（） A．B． C．D． （2）若0＜x＜1，0＜y＜1且x≠y，则x2+y2，x+y，2xy，中最大的一个是（） A．x2+y2B．x+y C．2xy D．
（3）若a，b为非零实数，则在①a2+b2≥2ab ②≤ ③≥ ④≥2中恒成立的个数为（） A．4B．3C．2D．1 （4）下列函数中，y的最小值是4的是（） A．B．C．y= D．y=lgx+4log x10 （5）若a2+b2+c2=1，则下列不等式成立的是（） A. a2+b2+c2＞1 B.ab+bc+ca≥ C.|abc|≤ D a3+b3+c3≥ 2．（1）已知x，y∈R+且2x+y=1，则的最小值为 （2）已知x，y∈R 且x2+y2=1，则3x+4y的最大值为 （3）在等比数列{a n}和等差数列{b n}中，a1=b1＞0，a3=b3＞0，a1≠a3，试比较大小：a5b5 （4）已知a＞0，b＞0，a + b=1，则的最小值为 （5）已知：x+2y=1，则的最小值为 （6）已知：x＞0，y＞0且x+2y=4，则lg x + lg y的最大值为 （7）若x＞0，则，若x＜0，则 （8）建造一个容积为8 m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁造价分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为元。 （9）某工厂生产机器的产量，第二年比第一年增长的百分率为a，第三年比第二年增长的百分率为b，第四年比第三年增长的百分率为c，设年平均增长的百分率为P，且a+b+c 为定值，则P的最大值为 3．求证：a2+b2≥ab+a+b－1 4．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：≥ 5．已知：a，b，c∈R+且a+b+c=1，求证：
2.1等式性质与不等式性质 (一) 1.数轴上的点与实数是一一对应的.数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数 大. 2.实数的运算性质与大小顺序之间的关系(教材中方框内的三个等价关系). 3.差值比较法比较两个实数的大小. (二) 1.掌握差值比较法. 2.会用差值比较法比较两个实数的大小. (三) 1.培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 2.培养学生数形结合的数学思想和灵活应变的解题能力. 3.培养学生分类讨论的数学思想和思考问题严谨周密的习惯. ●教学重点 理解在两个实数a、b之间具有以下性质：a＞b?a－b＞0；a＝b?a－b＝0；a＜b?a －b＜0.这是不等式这一章内容的理论基础，是不等式性质证明、证明不等式和解不等式的主要依据. ●教学难点 比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号(注意是指差的符号，至于值是多少，在这里无关紧要).差值比较法是比较实数大小的 基本方法，通常的步骤是：作差→变形→判断差值的符号. ●教学方法 ●教具准备 投影片两张. ●教学过程 Ⅰ.课题导入 在客观世界中，不等关系具有普遍性、绝对性，是表述和研究数量取值范围的重要工具.研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式.实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系. Ⅱ.
(一)打出投影片§6.1.1 A ［师］数轴的三要素是什么? ［生］原点、正方向、单位长度. ［师］把下列各数在数轴上表示出来，并从小到大排列： 213-,5-,0,-4,2 3 ［生］ ∴213-＜-4＜0＜2 3＜｜－５｜. ［师生共析］在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大. (二)请同学们预习课本，(教师打出投影片§6.1.1 A ，§６.1.1 B)，在解决了投影片 §６.1.1 A 问题基础上解决下列问题： ［师］若a ＞b ，则a －b 0；若a ＝b ，则a －b 0；若a ＜b ，则a －b 0. ［生］若a ＞b ，则a －b ＞0；若a ＝b ，则a －b ＝0；若a ＜b ，则a －b ＜0，反之亦然. ［师］“a ＞b ”与“a －b ＞0”等价吗? ［生］显然，“a ＞b ”与“a －b ＞0”等价. ［师生共析］ 此等价关系提供了比较实数大小的方法：即要比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了. (三) ［例1］比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小. ［师］比较两个实数a 与b 的大小，可归纳为判断它们的差a －b 的符号(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要).由此，把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题. 本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项. ［生］由题意可知： （a ＋3）（a －５）－（a ＋2）（a －4） ＝（a 2－2a －1５）－（a 2－2a －８） ＝－７＜0 ∴（a ＋3）（a －５）＜（a ＋2）（a －4） ［例2］已知x ≠0，比较（x 2＋1）2与x 4＋x 2＋1的大小. ［师］同例1方法类似，学生在理解基础上作答. 本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项. ［生］由题意可知： （x 2＋1）2－（x 4＋x 2＋1） ＝（x 4＋2x 2＋1）－（x 4＋x 2＋1） ＝x 4＋2x 2＋1－x 4－x 2－1 ＝x 2
《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 （1）能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系； （2）初步学会作差法比较两实数的大小； （3）掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系， 会作差法比较两实数的大小 ，通过类比法，掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. （一）新课导入 用不等式(组)表示不等关系
中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< （二）新课讲授 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 （1）某路段限速40km /h ； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ，“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40，于是0＜v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于（3），设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c . 对于（4），如图，设C 是线段AB 外的任意一点，CD 垂直于AB ，垂足 为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着， 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解：提价后销售的总收入为错误!x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
环球雅思教育学科教师讲义年级：上课次数： 学员姓名：辅导科目：学科教师： 课题 课型□预习课□同步课□复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容 【基础知识网络总结与新课讲解】 知识点一、不等式的有关概念： 1.不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。 注意：常见的不等号有五种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”． 例1.请指出下列各式哪些是不等式：①x+y=y+x②4+x＞5③-3＜0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式：（1）a是正数；（2）y与2的差是非负数；（3）a与6的和大于7；（4）y的一半不小于3；（5）8与x的3倍的和不大于1。 提示：注意一个数的"和"，"差"，"倍"，"分"的表示法以及"大于"，"不小于"，"不大于"应该用哪一个不等号来表示，另外。正数都大于0，负数都小于0，所以"是正数"可表示为"＞0"，"是负数"可表示为"＜0"，"非负数"可表示为"≥0"。 参考答案：
（1）a ＞0 (2)y-2≥0 (3)a+6＞7 (4) ≥3 (5)8+3x ≤1 注意：列不等式时应注意两点： ①"是正数"表示为＞0"，"是负数"表示为＜0"；"非正数"表示为"≥0"。 ②"不大于"用"≤"表示，"不小于"用"≥"表示。 2．不等式的基本性质 （1）不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 用式子表示：如果a>b ，那a+c>b+c （或a –c>b –c ） （2）不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 用式子表示：如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ， c b c a >。 （3）不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 用式子表示：如果a>b ，且c<0，那么ac 要点重温之不等式的性质与证明 1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ?a n >b n ； 当a<0,b<0时，a>b ?a 2b 2?|a|>|b|。在不等式两边同号的条件下能同时取倒数，但不等号的方向要改变，如：由 x 1<2推得的应该是：x>21或x<0，而由x 1>2推得的应该是： 0 不等式的基本性质知识点 1 .不等式的定义：a-b>0 a>b, a-b=O a=b, a-b ⑶ a>b>0 —a n>b n(n € N, n>1)。 ⑷ a>b>0= 川>w (n € N, n>1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“ ”和“ ”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，禾U用不等式的性质，判断不等式能否成立。 ⑵利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 ⑶利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 高中数学知识要点重温（11）不等式的性质与证明 1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ?an>bn ； 当a<0,b<0时，a>b ?a2 第七章 不等式 知识网络 . 第1讲 不等关系与不等式 ★ 知 识 梳理 ★ 1.比较原理： 两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a （3）可加性:a b >?. a c b c +>+ 移项法则:a b c a c b +>?>- 推论：同向不等式可加. ,a b c d >>? a c b d +>+ （4）可乘性:bc ac c b a >?>>0,，,0a b c >>>>?ac bd > 推论2：可乘方(正):0a b >>? n n a b >` (,2)n N n * ∈≥ (5) 可开方(正):0a b >>? >(,2)n N n *∈≥ 第4讲 基本不等式 ★ 知 识 梳理 ★ 1.基本形式: ,a b R ∈,则222a b ab +≥; 0,0a b >>, 则a b +≥,当且仅当a b =时等号成立. 2求最值: 当ab 为定值时,22 ,a b a b ++有最小值; 当a b +或22a b +为定值时,ab 有最大值(0,0a b >>). 3.拓展：若0,0a b >>时 ,2 112a b a b +≤≤+,当且仅当a b =时等号成立. ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围) 题型1. 当积ab 为定值时,求和a b +最小值 例1 . 已知0,0x y >>且满足 281x y +=,求x y +的最小值. 【解题思路】利用281x y +=，构造均值不等式 解析：∵2828()1()()28y x x y x y x y x y x y +=+?=+?+=+++,0,0x y >>,∴280,0y x x y >> 1018x y +≥+=,当且仅当28y x x y =时等号成立,即224y x =,∴2y x =,又281x y +=, ∴6,12x y == ∴当6,12x y ==时,x y +有最小值18. 【名师指引】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正 不等式的性质及解法 知识要点： 不等式与等式有许多不同，主要包括： 1、等式两边同乘（或除）以一个数（或式），等式仍然成立；不等式两边同乘（或除）以一个数（或式），不等式能否成立，要考虑该数（式）的符号， 即a b ac bc c ac bc c ac bc c >?>>>=<?->?< 这个性质等式中也存在，即a b b a =?=， 对称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式，如：a b ab a b R +≥∈2(,) 这个基本不等式本身就有a b ab 222+≥及222ab a b ≤+两种形式，要能灵活运用。当然若进行等价转化还会有许多变式。 （2） 传递性 a b b c a c >>?>, 这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。 （3） 移项法则 a b a c b c >?+>+ 如：x x +>?>-321,相当于在x +>32这个不等式两边同时加上－3得到的。 3、运算性质： （1）加法运算：a b c d a c b d >>?+>+, （2）减法运算：统一成加法运算 a b c d a b d c a d b c >>?>->-?->-,, （3）乘法运算：a b o c d ac bd >>>>?>>,00 （4）除法运算：统一成乘法运算 a b c d a b d c a d b c >>>>?>>>>?>>0001100,, （由y x =1在（0，+∞）上是减函数，c d d c >>?>>011 0） （5）乘方运算：a b a b n N n n n >>?>∈≥02(,) （6）开方运算：a b a b n N n n n >>?>∈≥02(,) 1.了解不等式的意义，理解不等式解集的含义，会在数轴上表示解集； 2.理解不等式的三条基本性质，并会用它们解简单的一元一次不等式. 重点：不等式的定义、列不等式和不等式的性质； 难点：不等式的解、解集的表示方法以及不等式性质的运用. 第12讲不等式定义及其性质 不等式的定义 1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式. 例如：2 ≤≥等都是不等式．-<-+>-+++>≠ 52,314,10,10,0,35 a x a x a a 2.常见的不等号有5种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”． 注意：不等式32 ≥成立． =成立，所以不等式33≥成立；而不等式33 ≥也成立，因为33 3.不等号“>”和“<”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“>”改变方向后，就变成了“<”. 例1.下列式子＜y+5； 1＞2； 3m﹣1≤4；a+2≠a﹣2中，不等式有（）个． A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】C 【解析】＜y+5；1＞2；3m﹣1≤4；a+2≠a﹣2都是不等式. 练习1.下列数学表达式中，①﹣8＜0；②4a+3b＞0；③a=3；④a+2＞b+3，不等式有（） A.1个 B. 2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】①②④都是表示不等关系，③表示相等关系. 练习2.在式子﹣3＜0，x≥2，x=a，x2﹣2x，x≠3，x+1＞y中，是不等式的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】﹣3＜0，x≥2，x≠3，x+1＞y都是表示不等关系的式子. 利用不等式的定义，表示不等关系的式子叫不等式. 列不等式 1.根据已知条件列不等式，实际上就是用不等式表示代数式间的不等关系，重点是抓住关键词，弄清不等关系. 2.步骤：①正确列出代数式；②正确使用不等号 课 题：2.1-不等式的基本性质(2课时) 教学目标： 1. 掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式。 2. 掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用。 3. 提高逻辑推理和分类讨论的能力；培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度。 教学重点：作差比较大小的方法；不等式的性质。 教学难点：不等式的性质的运用 教学过程： 第1课时： 问题情境：现有A 、B 、C 、D 四个长方体容器，A 、B 容器的底面积为a 2，高分别为a 、b ， C 、 D 容器的底面积为b 2，高分别为a 、b ，其中a ≠b 。甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？ 分析：依题意可知：A 、B 、C 、D 四个容器的容积分别为a 3、a 2b 、ab 2、b 3，甲有6种取 法。问题可以转化为比较容器两两和的大小。 研究比较大小的依据： 我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。 在右图中，点A 表示实数a ，点B 表示实数b ， 点A 在点B 右边，那么a ＞b 。 而a －b 表示a 减去b 所得的差，由于a ＞b ，则差是一个正数，即a －b ＞0。 命题：“若a ＞b ，则a －b ＞0”成立；逆命题“若a －b ＞0，则a ＞b ”也正确。 类似地：若a ＜b ，则a －b ＜0；若a ＝b ，则a －b ＝0。逆命题也都正确。 结论：(1)“a ＞b ”?“a －b ＞0” (2)“a ＝b ”?“a －b ＝0” (3)“a ＜b ”?“a －b ＜0”——以上三条即为比较大小的依据：“作差比较法”。 正负数运算性质：(1) 正数加正数是正数；(2) 正数乘正数是正数；(3) 正数乘负数是负数； (4) 负数乘负数是正数。 研究不等式的性质： 性质1：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c (不等式的传递性) 证明：∵a ＞b ∴a －b ＞0 ∵b ＞c ∴b －c ＞0 ∴(a －b)＋(b －c)＝a －c ＞0 (正负数运算性质) 则a ＞c 反思：证明要求步步有据。 x 课 题：2.1不等式的性质--比较实数大小的方法 教学目的：1.了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用； 2.掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小． 教学重点：比较两实数大小． 教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号 授课类型：新授课 教学过程： 一、引入： 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢? 转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>a b 即可?引人课题 二、讲解新课： 1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 2．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a 、b ，在a ＞b ，a= b ，a ＜b 三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是： 0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-?x 从而22)1(+x >124++x x 引伸：在例2中，如果没有x ≠0这个条件，那么两式的大小关系如何? 若没有 0≠x 这一条件,则20x ≥,从而 22)1(+x 大于或等于 124++x x 不等式性质运用及不等式的解法 典型例题： 例1.已知x ≠0，比较(x 2+1)2与x 4+x 2+1的大小。 例 2.已知a>b ，比较a 3与b 3的大小。 例3.设x ≥1, 比较x 3与x 2-x+1的大小。 例6.已知a ＞b ，c ＜d ，求证：a-c ＞b-d. 例7.如果a>b, e>f ，c>0，求证：f-ac 例9.设2＜x ＜5，4＜y ＜10，求x+y 的范围. 例10.已知-1≤a+b ≤1，1≤a-b ≤3，求3a-b 的取值范围. 5.如果30 12.已知x ＞0，则2-3x-x 4的最大值是 . 14.设0＜x ＜2，求函数f （x ）=）（x x 383-的最大值，并求相应的x 值. 练习： 1.已知0 普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座31）—不等式性质及证明 一．课标要求： 1．不等关系 通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景； 2．基本不等式：（a ,b ≥0） ①探索并了解基本不等式的证明过程； ②会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。 二．命题走向 不等式历来是高考的重点内容。对于本将来讲，考察有关不等式性质的基础知识、基本方法，而且还考察逻辑推理能力、分析问题、解决问题的能力。本将内容在复习时，要在思想方法上下功夫。 预测2007年的高考命题趋势： 1．从题型上来看，选择题、填空题都有可能考察，把不等式的性质与函数、三角结合起来综合考察不等式的性质、函数单调性等，多以选择题的形式出现，解答题以含参数的不等式的证明、求解为主； 2．利用基本不等式解决像函数)0(,)(>+=a x a x x f 的单调性或解决有关最值问题是考察的重点和热点，应加强训练。 三．要点精讲 1．不等式的性质 比较两实数大小的方法——求差比较法 0a b a b >?->； 0a b a b =?-=； 0a b a b ，则b a <；若b a <，则a b >．即a b >?b a <。 说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。 定理2：若a b >，且b c >，则a c >。 说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性。 定理3：若a b >，则a c b c +>+。 说明：（1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向； （2）定理3的证明相当于比较a c +与b c +的大小，采用的是求差比较法； （3）定理3的逆命题也成立； （4）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。 定理3推论：若,,a b c d a c b d >>+>+且则。 说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式。 定理4．如果b a >且0>c ，那么bc ac >；如果b a >且0 一．选择题（共27小题） 1．已知a＞b，则在下列结论中，正确的是（） A．a﹣2＜b﹣2 B．﹣2a＜﹣2b C．|a|＞|b|D．a2＞b2 2．若x+a＜y+a，ax＞ay，则（） A．x＞y，a＞0 B．x＞y，a＜0 C．x＜y，a＞0 D．x＜y，a＜0 3．若a＜b，则下列各式中一定正确的是（） A．a﹣b＞0 B．a+b＞0 C．ab＞0 D．﹣a＞﹣b 4．已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（） A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b 5．当x＜a＜0时，x2与ax的大小关系是（） A．x2＞ax B．x2≥ax C．x2＜ax D．x2≤ax 6．实数a，b，c满足a＜b＜0＜c，则下列式子中正确的是（）A．ac＞bc B．|a﹣b|=a﹣b C．﹣a＜﹣b＜﹣c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c 7．如果c为有理数，且c≠0，下列不等式中正确的是（） A．3c＞2c B．C．3+c＞2+c D．﹣3c＜﹣2c 8．如果0＜x＜1，则下列不等式成立的是（） A．B．C．D． 9．若a＜b＜0，则下列各式错误的是（） A．a﹣2＜b﹣2 B．C．D．2a﹣1＜2b﹣1 10．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（） A．a2＜ab B．ab＜b2C．D．7a﹣7b＜0 11．若0＜x＜1，则下列不等式成立的是（） A．x2＞＞x B．＞x2＞x C．x＞＞x2D．＞x＞x2 12．如果a＜b＜0，那么下列不等式中成立的是（） A．﹣3a＜﹣3b B．a3＜b3C．a2＜b2D．c﹣a＜c﹣b 13．已知﹣4x＞3，则下列不等式中，错误的是（） A．﹣4x+1＞4 B．﹣4x﹣3＞0 C．x＞﹣D．﹣x＞1 扬州高等职业技术学校教案（首页） 板书设计 教学过程： 一、引入课题 二、讲授新课 1. 等式或不等式的等价表示 设a b ，是两个任意实数，则 00 a b a b a b a b a b a b >?->>+>---，求证 【针对训练】《课本》P.29 练习1 2 2.不等式的基本性质 (1)对称性：a b b a >?< (2)传递性：,a b b c a c >>?> (3)加法单调性：a b a c b c >?+>+ 推论：,a b c d a c b d >>?+>+ (4)乘法单调性： ① 0a b ac bc c >??>?>? ② 0a b ac bc c >??>?> 推论2：33a b a b >?> 推论3：11,0a b ab a b >>? < 例1 证明推论3 证：∵0ab > ∴10ab > 由性质4得a b ab ab > ∴11a b < 例2 若,a b R ∈且a b >，则有 A.a c b c +>+ B.ac bc > C.()22 0a b c -≥ D.2 0c a b ≤- 例3 若0c b a >>>，求证：a b c b c a >-- 【针对训练】《课本》P.31 练习1 2 三、课堂练习 《学习指导用书》P.19 A3 4 B 1 2 四、本课小结 比较两个代数式的大小，实际上是比较他们的大小，这可归结为判断他们的差的符号。 课题：不等式的基本性质() 教学目标： 1.掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式。 1.掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用。 2.提高逻辑推理和分类讨论的能力；培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度。教学重点：作差比较大小的方法；不等式的性质。 教学难点：不等式的性质的运用 教学过程： 第1课时： 问题情境：现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B容器的底面积为a2，高分别为a、b，C、D容器的底面积为b2，高分别为a、b，其中a≠b。甲先从四个容器中取两个容器盛水， 乙用剩下的两个容器盛水。问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？ 分析：依题意可知：A 、B 、C 、D 四个容器的容积分别为a 3、a 2b 、ab 2、b 3，甲有6种取 法。问题可以转化为比较容器两两和的大小。 研究比较大小的依据： 我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。 在右图中，点A 表示实数a ，点B 表示实数b ， 点A 在点B 右边，那么a ＞b 。 而a －b 表示a 减去b 所得的差，由于a ＞b ，则差是一个正数，即a －b ＞0。 命题：“若a ＞b ，则a －b ＞0”成立；逆命题“若a －b ＞0，则a ＞b ”也正确。 类似地：若a ＜b ，则a －b ＜0；若a ＝b ，则a －b ＝0。逆命题也都正确。 结论：(1)“a ＞b ”?“a －b ＞0” (2)“a ＝b ”?“a －b ＝0” (3)“a ＜b ”?“a －b ＜0”——以上三条即为比较大小的依据：“作差比较法”。 正负数运算性质：(1) 正数加正数是正数；(2) 正数乘正数是正数；(3) 正数乘负数是负数； (4) 负数乘负数是正数。 研究不等式的性质： 性质1：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c (不等式的传递性) 证明：∵a ＞b ∴a －b ＞0 ∵b ＞c ∴b －c ＞0 ∴(a －b)＋(b －c)＝a －c ＞0 (正负数运算性质) 则a ＞c 反思：证明要求步步有据。 性质2：若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c (不等式的加法性质) 证明：∵a ＞b ∴a －b ＞0 ∵(a ＋c)－(b ＋c)＝a －b ＞0 ∴a ＋c ＞b ＋c 反思：作差比较法的第一次运用，虽然简单，也要让学生好好体会体会。 思考：逆命题“若a ＋c ＞b ＋c ，则a ＞b ”成立吗？——两边加“－c ”即可证明。 [例1] 求证：若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d (同向不等式相加性质) 证明1：∵a ＞b ∴a ＋c ＞b ＋c (性质2) ∵c ＞d ∴b ＋c ＞b ＋d (性质2) 则a ＋c ＞b ＋d (性质1) 证明2：∵a ＞b ∴a －b ＞0 ∵c ＞d ∴c －d ＞0 x高中数学知识点总结不等式的性质与证明
不等式的基本性质知识点
高中数学知识要点重温(11)不等式的性质与证明知识点分析
不等式性质和基本不等式
高中数学知识点：不等式的性质及解法
人教版初一下数学-不等式的定义及性质 ]讲义(教师版)
不等式的基本性质
1不等式的性质--比较实数大小的方法
不等式性质运用及不等式的解法
不等式性质及证明
不等式的性质及解集
不等式：1不等式的基本性质及实数的大小比较
不等式的基本性质
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