不等式的性质及比较法证明

不等式的性质和证明一、基础知识1．性质对称性a＞bÛb＜a 传递性a＞b，b＞c Þ a＞c 加法单调性a＞b Þ a+c＞b+c 乘法单调性a＞b，c＞0 Þ ac＞bc；a＞b，c＜0 Þ ac＜bc开方法则a＞b＞0 Þ移项法则a+b ＞c Þ a＞c－b 同向不等式相加a＞b，c＞d Þ a+c＞b+d 同向不等式相乘a＞b＞0，c ＞d＞0 Þ ac＞bd 乘方法则a＞b＞0 Þ a n＞b n倒数法则a＞b，ab＞0 Þ2．证明方法：比较法，综合法，分析法，反证法，换元法证明技巧：逆代，判别式，放缩，拆项，单调性3．主要公式及解题思路公式：a2+b2≥2ab（a，b∈R）a3+b3+c3≥3abc（a，b，c∈R+）思路：①②③④正数x，y且x+y=1，求证：≥二、例题解析1．（1）a，b∈R+且a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．（2）若0＜x＜1，0＜y＜1且x≠y，则x2+y2，x+y，2xy，中最大的一个是（）A．x2+y2B．x+y C．2xy D．（3）若a，b为非零实数，则在①a2+b2≥2ab ②≤ ③≥④≥2中恒成立的个数为（）A．4B．3C．2D．1（4）下列函数中，y的最小值是4的是（）A．B．C．y= D．y=lgx+4log x10（5）若a2+b2+c2=1，则下列不等式成立的是（）A. a2+b2+c2＞1B.ab+bc+ca≥C.|abc|≤ D a3+b3+c3≥2．（1）已知x，y∈R+且2x+y=1，则的最小值为（2）已知x，y∈R 且x2+y2=1，则3x+4y的最大值为（3）在等比数列{a n}和等差数列{b n}中，a1=b1＞0，a3=b3＞0，a1≠a3，试比较大小：a5b5（4）已知a＞0，b＞0，a + b=1，则的最小值为（5）已知：x+2y=1，则的最小值为（6）已知：x＞0，y＞0且x+2y=4，则lg x + lg y的最大值为（7）若x＞0，则，若x＜0，则（8）建造一个容积为8 m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁造价分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为元。

1.5.1 比较法学习目标：1.理解比较法证明不等式的依据。

2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.3。

通过学习比较法证明不等式，培养学生对转化思想的理解和应用．教材整理1 比较法的定义比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种．(1)作差比较法要证明a〉b，只要证明a－b〉0；要证明a〈b，只要证明a－b<0.这种证明不等式的方法，叫做作差比较法．（2）作商比较法若a〉0，b>0,要证明a〉b,只要证明ab>1；要证明b>a，只要证明错误!〉1.这种证明不等式的方法，叫做作商比较法．教材整理2 比较法证明不等式的步骤比较法是证明不等式的基本方法之一，其步骤是先求差(商)，然后变形，最终通过比较作判断．1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是( ）A．t＞s B．t≥sC．t＜s D．t≤s［解析] s－t＝（a＋b2＋1）－（a＋2b)＝（b－1)2≥0，∴s≥t.［答案] D2．已知P＝错误!，Q＝a2－a＋1，那么P，Q的大小关系是( ）A．P＞0 B．P＜QC．P≥Q D．P≤Q［解析］∵QP＝(a2－a＋1)（a2＋a＋1）＝(a2＋1）2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1≥1.∴P≤Q.［答案］D作差比较法证明不等式a b a b ab a b[精彩点拨] 此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式,也可根据二次三项式的判别式确定符号．[自主解答］法一：化成几个平方和．∵a2＋b2－ab－a－b＋1＝错误![(a－b）2＋（a－1）2＋（b－1)2]≥0，∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.法二：a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－（b＋1)a＋b2－b＋1。

对于a的二次三项式,Δ＝（b＋1)2－4（b2－b＋1）＝－3（b－1）2≤0，∴a2－(b＋1）a＋b2－b＋1≥0，故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b。

不等式证明一（比较法）比较法是证明不等式的一种最重要最基本的方法。

比较法分为：作差法和作商法 一、 作差法若a ，b ∈R ，则： a —b ＞0⇔a ＞b ；a —b ＝0⇔a ＝b ；a —b ＜0⇔a ＜b 它的三个步骤：作差——变形——判断符号（与零的大小）——结论. 作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时，通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左—右的符号，从而降低了问题的难度。

作差是化归，变形是手段，变形的过程是因式分解（和差化积）或配方，把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和，进而判定其符号，得出结论.例１、求证：x ２ + ３ > ３x 证：∵（x ２ + ３） ３x = 043)23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x ∴x ２ + ３ > ３x例2、 （课本P ２２例２）已知a, b, m 都是正数，并且a < b ，求证：bam b m a >++ 证：)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a,b,m 都是正数，并且a<b ，∴b + m > 0 , b a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：bam b m a >++变式：若a > b ，结果会怎样？若没有“a < b ”这个条件，应如何判断？例3、 已知a, b 都是正数，并且a b ，求证：a ５ + b ５ > a ２b ３ + a ３b ２ 证：（a ５ + b ５ ）（a ２b ３ + a ３b ２） = （ a ５ a ３b ２） + （b ５ a２b ３）= a ３ （a ２b ２ ）b ３ （a ２b ２） = （a ２b ２ ）（a ３ b ３）= （a + b ）（a b ）２（a ２ + ab + b ２）∵a, b 都是正数，∴a + b, a ２ + ab + b ２ > 0又∵a b ，∴（a b ）２ > 0 ∴（a + b ）（a b ）２（a ２ + ab + b２） > 0即：a ５ + b ５ > a ２b ３ + a ３b ２例4、 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S ，甲乙两人走完全程所需时间分别是t １, t ２，则：21122,22t n S m S S n t m t=+=+可得：mnn m S t n m S t 2)(,221+=+= ∴)(2)()(2])(4[2)(22221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S, m, n 都是正数，且m n ，∴t １ t ２ < 0 即：t １ < t ２从而：甲先到到达指定地点。

不等式的性质和证明1. 不等式的性质是证明不等式和解不等式的依据.样 由不等式性质定理4的推论2和定理5可得: 如果a 、b ∈ R +, 那么a > b ⇔ a n > b n (n ∈N), 在比较分数指数幂或根式的值的大小时常用.2. 比较法是证明不等式最基本的方法. 比较法的主要步骤是: 作差、变形、判断符号. 变形中常用到因式分解和配方, 其目的是便于判断正负. 比较某些分式、指数式或绝对值等的大小有时用作商比较方便一些.3. 分析法与综合法是证明命题(包括不等式、恒等式、定理等)时常用的两种方法, 主要由证明的思路和表述方式来区分.(1) 分析法是从求证的结论J 出发, 逐步分析能使结论成立的充分条件, 直到所需条件可由题设T 判明正确时, 就可断定原结论正确, 即: J ⇐ …… ⇐ T ，∵T 为真，∴J 成立. 用分析法证题时要特别注意不能省略反映逻辑推理过程的连结字或符号. 如果每一步都是使结论成立的充要条件, 就可用符号“⇔”表述(参看教材22页例3).(2) 综合法是由已知条件T 出发, 利用定义、公理、定理(如基本不等式)等，推出要证明的结论J ，即：T ⇒ ……… ⇒ J.(3) 具体证题时常采用“分析法找(思)路, 综合法表述”的论证方式.4. 熟记三个重要不等式及其中字母的取值范围, 在证明其它不等式时若能直接引用则可简化论证过程. 特别要重视“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的灵活运用.5. 同向不等式两边分别相加或相乘是用综合法证明不等式的常用手段, 经常与应用重要不等式结合使用. 注意相乘时需要两边都是正数.6. 证明不等式的常用技巧有: 变量代换(例如三角代换), 同向放缩等.7. 证明不等式还可用数学归纳法、反证法等其它方法.8. 求函数f (x) 的最值的基本步骤是: (1) 论证f (x) ≥ m (或f (x) ≤ m );(2) 说明当x 取定义域内的某些值时相等能够成立. 9. 第10页例1中的结论是求最值的常用工具:(1) 如果两个正变量的和为常数, 那么当且仅当这两个变量相等时它们的积取最大值; (2) 如果两个正变量的积为常数, 那么当且仅当这两个变量相等时它们的和取最小值.例1 已知a > b 且ab ≠ 0, 比较a 1和b1的大小.解 ∵a 1 - b1 = ab a b -, 且a > b ⇔ b - a < 0,∴ 当ab > 0时ab a b -< 0, a 1 < b1;当ab < 0时ab a b -> 0, a 1 > b 1(也可由a > 0 > b 得a 1 > 0 > b1 ).综上所述, 当a > b > 0或b < a < 0时a 1 < b 1, 当a > 0且b < 0时a 1 > b1. 例2. 已知a ≠ b, a 、b 、m 、n ∈ R + 且m + n = 1, 试比较nb ma + 与a m + b n 的大小.解 设P =nb ma +, Q =a m + b n .∵a 、b 、m 、n ∈ R +, ∴ P > 0, Q > 0.∵m + n = 1, ∴P 2 = ma + nb = (ma + nb)(m + n),P 2 - Q 2 = (ma + nb)(m + n) - (a m + b n )2 = mn(a - b )2 ,∵ a ≠ b, ∴P 2 - Q 2 > 0, P > Q,nb ma + > a m + b n .例3. 若 a > 2, 证明 log a (a - 1) < log a+1 a .证明 设c = log a (a - 1) - log a+1 a = log a (a - 1) -)1(log 1+a a =)1(log 1)1(log )1(log +-+-a a a a a a ,∵a >2, log a (a + 1) > 0, log a (a - 1) > 0,log a (a - 1) log a (a + 1) = ()1(log )1(log +-a a a a )2 < (21( log a (a - 1) + log a(a + 1)))2= (21log a (a 2 - 1))2 < (21log aa 2 )2 (同向放缩) = 1,∴ c < 0, log a (a - 1) < log a+1 a . 也可用作商比较法.例4. 设a 、 b 、c ∈ R +, 且a + b + c = 1, 证明a +b +c ≤3 .证明 ∵a 、 b 、c ∈ R +, 且a + b + c = 1,要证a +b +c ≤ 3,只需证 a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ≤ 3, 即证 2ab + 2bc + 2ca ≤ 2(a + b + c),∴只需证 (a -b )2 + (b -c )2 + (c -a )2 ≥ 0 ①, ∵不等式①成立, ∴a +b +c ≤ 3.例5. 1. 已知x, y ∈ R + 且x + 2y = 1, 求 x1 + y 1 的最小值. 请指出下面两种解法中哪一种是错误的, 为什么?解法一 由1 = x + 2y ≥ 2xy 2得xy 1 ≥ 22, ∴ x 1 + y 1 ≥xy2 ≥ 42,∴x1 + y 1的最小值是42.解法二 ∵x, y ∈ R + 且x + 2y = 1, ∴ x 1 + y 1= (x + 2y)(x1 + y 1) = 3 + x y2 + y x ≥3 + 22, 当且仅当xy 2 = y x即x =2 - 1, y = 1 -22 时相等成立, ∴ x1 + y 1 的最小值是3 + 22.例6. 设lg x + lg y = 1, 求2x + 5y 的最小值.例6. 由题设知x > 0, y > 0且xy = 10, ∴2x + 5y ≥ 2xy 10 = 20, 当且仅当2x = 5y 时相等成立, 此时x ∙52x = 10, x = 5, y = 2. 高考题精选1.（03京春）设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是（ ） A.a +c >b +d B.a －c >b －d C.ac >bdD.cbd a > 2.（01京春）若实数a 、b 满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是（ ） A.18 B.6 C.23 D.243 6.（01上海春）若a 、b 为实数，则a >b >0是a 2>b 2的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件 3.（00全国）若a ＞b ＞1，P ＝b a lg lg ⋅，Q ＝21（lg a ＋lg b ），R ＝lg （2b a +），则（ ） A.R ＜P ＜Q B.P ＜Q ＜RC.Q ＜P ＜RD.P ＜R ＜Q4.（94上海）若0＜a ＜1，则下列不等式中正确的是（ ） A.（1－a ）31＞（1－a ）21 B.log 1－a （1＋a ）＞0 C.（1－a ）3＞（1＋a ）2D.（1－a ）)1(a +＞15.(04湖北) 若011<<ba ，则下列不等式: ①ab b a <+； ②|;|||b a > ③b a <； ④2>+baa b 中，正确的不等式有 （ ）BA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．(05重庆) 若x ，y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是 （ ）CA ．3B ．27 C ．4 D ．297. 设a = sin 15º + cos 15º, b = sin 16º + cos 16º, 下面各式中正确的一个是 ( )(A) a <222b a +< b (B) a < b < 222b a + (C) b < a <222b a + (D) b <222b a +< a .1.A ∵a >b ，c >d ，∴a +c >b +d .2.B 3a +3b ≥2b a b a +=⋅3233=6，当且仅当a =b =1时取等号.故3a +3b 的最小值是6.3.B ∵lg a ＞lg b ＞0，∴21（lg a ＋lg b ）＞b a lg lg ⋅，即Q ＞P ，又∵a ＞b ＞1，∴ab b a >+2，∴21lg )2lg(=<+ab b a （lg a ＋lg b ），即R ＞Q ，∴有P ＜Q ＜R ， 4. A. 因为0＜a ＜1，所以0＜1－a ＜1，而指数函数y =m x （m ＞0，m ≠1）在0＜m ＜1时，是减函数，则（1－a ）31＞（1－a ）21，故选A.1. 已知a 、 b 、c 是不全相等的正数, 求证：ab +bc +ca < a + b + c . 证明 ∵a 、 b 、c ∈ R +, ∴ab ≤ 2b a + ①,bc ≤ 2c b + ②,ca ≤ 2a c + ③ .又∵a 、 b 、c 不全相等, ①、②、③中的等号不能同时成立, ∴ab +bc +ca < a + b + c .。

证明不等式的基本方法现实世界中的量，相等是局部的、相对的，而不等则是普遍的、绝对的，不等式的本质是研究“数量关系”中的“不等关系”．对于两个量，我们常常要比较它们之间的大小，或者证明一个量大于另一个量，这就是不等式的证明．不等式的证明因题而异，灵活多变，常常要用到一些基本的不等式，如平均不等式，柯西不等式等，其中还需用到一些技巧性高的代数变形．本节将介绍证明不等式的一些最基本的方法．比较法比较法一般有两种形式；（1）差值比较欲证A ≥B ．只需证A —B ≥0； （2）商值比较若B>0，欲证A ≥B ，只需证BA≥1． 在用比较法时，常常需要对式子进行适当变形，如因式分解、拆项、合并项等． 例l 实数x 、y 、z 满足1-=++zx yz xy ，求证：485222≥++z y x ．例2 设+∈R c b a ,,，试证：对任意实数x 、y 、z ，有：)())()((2222zx bac yz a c b xy c b a a c c b b a abc z y x ++++++++≥++，并指出等号成立的充要条件．例3 设+∈R c b a ,,，试证： b a a c c b cb ac b a c b a +++≥222．例4 设+∈R c b a ,,，1222=++c b a ，求abc c b a cb a S )(2111333222++-++=的最小值．说明先猜后证是处理许多极值问题的有效手段．猜，一猜答案，二猜等号成立的条件；证明的时候要注意等号是否能取到．有时我们直接证明不等式A ≤B 比较困难，可以试着去找一个中间量C ，如果有A ≤C 及C ≤B 同时成立，自然就有A ≤B 成立．所谓“放缩”即将A 放大到C ，再把C 放大到B 或者反过来把B 缩小到C 再缩小到A ．不等式证明的技巧，常体现在对放缩尺度的把握上．例5 证明：对任意+∈R c b a ,,，均有abc abca c abc cb abc b a 1111333333≤++++++++．例6 设),,2,1(1n i a i =≥，求证：)1(12)1()1)(1(2121n nn a a a n a a a +++++≥+++ ．所谓分析法就是先假定要证的不等式成立，然后由它出发推出一系列与之等价的不等式（即要求推理过程的每一步都可逆），直到得到一个较容易证明的不等式或者一个明显成立的不等式．分析法是一种执果索因的证明方法，在寻求证明思路时尤为有效．例7 若0,,≥∈y R y x ，且2)1()1(+≤+x y y ．求证；2)1(x y y ≤-．例8 设+∈R c b a ,,，求证：ab b a abc c b a 233-+≥-++．引入参数法引入适当的参数，根据题中式子的特点，将参数确定，从而使不等式获得证明． 例12 设+∈R q p ,，且233=+q p ，求证：2≤+q p ．例13 设+∈R c b a ,,，且12222=++c b a ，求证：24333≥++c b a ．例14 设z y x ,,是3个不全为零的实数，求2222z y x yzxy +++的最大值．标准化（归一化）当不等式为齐次式的时候，常可设变量之和为k （某个常数），这样不仅简化了式子，而且增加了条件，有助于我们解决问题．例15 设c b a ,,是正实数，求证：8)(2)2()(2)2()(2)2(222222222≤++++++++++++++b a c b a c a c b a c b c b a c b a ．例16 已知0,02=++>++c bx ax c b a 有实根，求证：{}{}c b a c b a c b a ,,max 49,,min 4≤++≤．习题1．设R z y x ∈,,，求证：[][]2222222222222)()()()()()(zx yz xy z y x z y x zx yz xy z y x z y x ++-++++≥++-++++．2．设+∈R c b a ,,，求证：333888111c b a c b a c b a ++≤++．3．设实数10021,,,a a a 满足： （1）010021≥≥≥≥a a a ； （2）10021≤+a a ；（3）10010043≤+++a a a ． 求21002221a a a +++ 的最大值．4．如果+∈R c b a ,,，求证：2222222)())()((ca bc ab a ca c c bc b b ab a ++≥++++++．5．设0,,≥z y x ，求证：xyz z y x z y x z y x z y x 3)()()(222≥-++-++-+．并确定等号成立的条件．6．设+∈R c b a ,,，求证：49)(1)(1)(1)(222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++x z z y y x zx yz xy ．7．求证：161cos sin 1010≥+αα．变量代换法变量代换是数学中常用的解题方法之一．将一个较复杂的式子视为一个整体，用一个字母去代换它，从而使复杂问题简单化．有时候．有些式子可以用三角换元，从而使问题简化．当问题的条件或结论中出现“222r y x =+”，“222r y x ≤+”，“22x r -”或“1≤x ”等形式时，可以考虑用“sin α”与“cos α”代换；问题的条件或结论中出现“22x r +”．“22r x -”形式时，可作“αtan r x =”或“αsec r x =”代换等．在作代换时，要特别注意α的取值范围是由原变量x 的取值范围决定．例l 已知00≤α≤900，求证：49sin sin 452≤+-≤αα．例2 已知实数y x ,满足096422=+--+y x y x ，求证：996121922≤+++≤y x y x ．例3 设c b a ,,是三角形的三边长，求证：0)()()(222≥-+-+-a c a c c b c b b a b a ．已知。

高三数学不等式的证明（比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法）；不等式的应用知识精讲（一）不等式的证明1. 实数大小的性质（1）a b a b ->⇔>0；（2）a b a b -=⇔=0；（3）a b a b -<⇔<0。

2. 比较法证明的步骤（1）求差比较法步骤：作差——变形——判别差的符号，在运用求差比较法证明时其关键是变形，通常变形方法是分解因式、配方、利用判别式及把差化为若干个非负数的和。

（不能分解时证明有恒定符号可配方）（2）求商比较法步骤：作商——变形——判别商与1的大小，在运用求商比较法证明不等式时要根据已知条件灵活采用函数的单调性及基本不等式进行放缩。

3. 基本不等式定理1：如果a b R ，∈，那么a b ab 222+≥（当且仅当a b =时取等号）。

定理2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc 3333++≥（当且仅当a b c ==时取等号）。

推论1：如果a b R ，∈+，那么a b ab +≥2（当且仅当a b =时取“＝”号）。

推论2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc ++≥33（当且仅当a b c ==时取“＝”号）。

4. 综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种证明方法叫做综合法。

综合法的证明思路是：由因导果，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件替代前面的不等式，直到推导出要证的不等式。

5. 分析法：从求证的不等式出发分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。

这种证明方法叫做分析法。

分析法的证明思路是：“执果索因”，即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止。

用分析法证明不等式要把握以下三点：（1）寻找使不等式成立的充分条件时，往往是先寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分。

不等式1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc d>）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或>（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。

如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0<<<则若；⑤b aa b b a ><<则若,0；⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______（答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭）2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。

不等式的证明：一、比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的证明方法有两种： 1．作差比较法方法：欲证A>B,只需要证A-B>0 步骤：“作差----变形----判断符号”。

使用此法作差后主要变形形式的处理：○将差变形为常数或一个常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征a2≥0判断差的符号。

○将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法。

○若变形后得到二次三项式，常用判别式定符号。

总之，变形的目的是有利于判断式子的符号，而变形方法不限定，也就是说，关键是变形的目标。

2．作商比较法方法：要证A>B,常分以下三种情况：若B>0，只需证明1AB >； 若B=0，只需证明A>0； 若B<0，只需证明1AB<。

（3）步骤：“作商-----变形-----判断商数与1的大小” 例：已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证：bam b m a >++解析：用作差比较法∵)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a <b ，∴b + m > 0 , b - a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：b a m b m a >++ 例：已知a>b>0,求证：()2a ba ba b ab +>解析：用作商比较法∵()222222a b a b a b a b a b a b a b a b a ba ababb ab -++-----+⎛⎫=== ⎪⎝⎭又∵a>b>0,()221,012a b a ba ba ab a b b a b ab -+-⎛⎫∴>>∴> ⎪⎝⎭∴>例：已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小。

不等式的性质与不等式的证明不等式是数学中重要的概念，它描述了数之间的大小关系。

在不等式中，我们需要根据已知条件推导出新的不等式，这就需要借助不等式的性质进行证明。

本文将重点介绍不等式的性质以及不等式的证明方法。

1.不等式的性质(1)传递性：如果a<b，b<c，那么可以推出a<c。

这个性质可以简单地通过比较大小关系来理解，如果a比b小，b比c小，那么a当然比c 小。

(2)加法性：如果a<b，那么对于任意的c，有a+c<b+c。

这个性质也比较直观，如果a比b小，那么加上同一个正数c，a+c就会变得小于b+c。

同样地，如果a>b，那么对于任意的c，有a+c>b+c。

(3)乘法性：如果a<b，那么对于任意的正数c，有a×c<b×c。

这个性质也比较直观，正数的乘法会拉大不等式之间的差距。

同样地，如果a>b，那么对于任意的正数c，有a×c>b×c。

需要注意的是，如果c是负数，那么不等号的方向会发生翻转。

(4)反身性：任何数a都满足a=a。

这个性质是显然的，每个数都等于它自己。

2.不等式的证明方法(1)数学归纳法：对于一些给定的自然数n，如果我们可以证明当n=1时不等式成立，且对于任意的n=k时成立，那么我们就可以证明当n=k+1时不等式也成立。

这种方法通常用于证明关于自然数的不等式，其中k为任意自然数。

(2)反证法：假设不等式不成立，然后通过推理推导出矛盾的结论，从而证明不等式是正确的。

反证法通常用于证明数学问题中的一些结论。

(3)矛盾法：假设不等式不成立，然后通过推理推导出矛盾的前提，从而证明不等式是正确的。

矛盾法通常用于证明的过程中需要排除一些条件才能得到结论的情况。

(4)代入法：将不等式中的符号用具体的数值代入，通过对具体的数值进行计算来验证不等式的正确性。

代入法相对于其他方法来说，更直观、容易理解。

不等式证明方法的归纳小结教学目的：分类地归纳小结不等式的证明方法教学重点：通过不等式的证明，提高推理证明能力教学难点：根据不等式的特征恰当地使用不等式的证明方法教学过程：（一）不等式的内容1．不等式的性质；2．不等式的证明；3．不等式的解法（二）证明不等式是解不等式的理论基础——不等式的性质（基本）（三）证明不等式常用的基本方法1.比较法（1）作差法a> a－b⎛b>0理论根据a－b=0⎛a=ba< a－b⎛b<0一般步骤：作差——变形——判断符号常常用之证明较高的不等式或分式不等式例：已知：a,b∈R+,且a≠b求证：a5+b5>a3b2+a2b3(2)作商法2.综合法——“由因导果”（实质）理论根据a2≥0即a2∈{0}∪R+此种方法常用到的重要不等式a2+b2≥2ab (a,b∈R)(a,b∈R+)a3+b3+c3≥3abc (a,b,c∈R+)(a,b,c∈R+)例如：证明：a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da要根据不等式的特征，运用重要不等式，注意条件是否具备3.分析法——“执果索因”（实质）思想方法解题格式为了证明……只需证明…………因为……成立所以……也成立例如：证明：（a≥3）分析法在思考上优于综合法易于寻找证明的思路，综合法在证明过程中书写表达条理，故常将两法综合使用，进行记忆较好。

4.反证法思想方法：为了证明A＞B成立，假设A＜B及A＝B成立，推理可知A＜B及A＝B都不成立，故而必有A＞B成立。

5.放缩法理论根据a>b且b>c a>c例：已知a,b,c,d为正数，求证：1< <2证明：由a,b,c,d为正数，则有＞＝1＜＝2∴原不等式成立练习：证明：（n∈N*且n≥2）证明：由k∈N*且2≤k≤n，则有∴＝6.数学归纳法证明一些与自然数有关的不等式。

作业：解答课堂例练习题望采纳5|评论1.比较法比较法是证明不等式的最基本方法，具体有"作差"比较和"作商"比较两种。