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不等式的基本性质与解法总结不等式是数学中常见的一种数值关系表达形式，它描述了两个数或者数值表达式之间大小关系的不同情况。
在解决实际问题中，我们经常会遇到需要研究不等式的性质并解决不等式的问题。
本文将总结不等式的基本性质和解法，帮助读者更好地理解和运用不等式。
一、不等式的基本性质1. 加法性质：如果a<b，那么对于任意的实数c，a+c<b+c仍然成立；如果a>b，那么对于任意的实数c，a+c>b+c仍然成立。
2. 减法性质：如果a<b，那么对于任意的实数c，a-c<b-c仍然成立；如果a>b，那么对于任意的实数c，a-c>b-c仍然成立。
3. 乘法性质：如果a<b且c>0，那么ac<bc仍然成立；如果a<b且c<0，那么ac>bc仍然成立。
4. 除法性质：如果a<b且c>0，那么a/c<b/c仍然成立；如果a<b且c<0，那么a/c>b/c仍然成立。
5. 等式的性质：如果a=b且b=c，那么a=c仍然成立。
可以在不等式的两边加上或者减去相等的数值，不等式的关系仍然保持不变。
二、不等式的分类与解法不等式可以分为一元不等式和二元不等式两类。
一元不等式指只有一个变量的不等式，而二元不等式指含有两个变量的不等式。
下面将分别介绍一元不等式和二元不等式的解法。
1. 一元不等式的解法（1）图像法：将一元不等式转化为二元不等式，绘制出二元不等式的图像，通过观察图像得到一元不等式的解集。
（2）数线法：将一元不等式表示在数轴上，根据不等式的性质，确定不等式的解集。
（3）代数法：通过变形和运算等方式将不等式转化为更简单的形式，进而得到不等式的解集。
2. 二元不等式的解法（1）图像法：将二元不等式表示为平面上的区域，通过观察图像确定变量的取值范围，得到不等式的解集。
（2）代数法：利用一元不等式的解法，将一个变量表示成另一个变量的函数，通过求解一元不等式得到二元不等式的解集。
不等式关系与不等式一.基础知识1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础 不等式的基本性质有： （1）对称性：a>b ⇔b<a ；（2）传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ； （3）可加性：a>b ⇒a+c>b+c ；（4）可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。
不等式运算性质：（1）同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ； （2）异向相减：b a >，d c <d b c a ->-⇒.（3）正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。
（4）乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； （5）开方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； （6）倒数法则：若ab>0，a>b ，则b1a1<。
2、基本不等式（或均值不等式）利用完全平方式的性质，可得a 2+b 2≥2ab （a ，b ∈R ），该不等式可推广为a 2+b 2≥2|ab|；或变形为|ab|≤2b a 22+；当a ，b ≥0时，a+b ≥ab 2或ab ≤22b a ⎪⎭⎫⎝⎛+.3、不等式的证明（1）不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；（2）在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用； （3）证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。
4.利用基本不等式求最大（小）值时，要注意的问题：（一“正”；二“定”；三“相等”）即:（1）和、积中的每一个数都必须是正数；（2）求积的最大值时，应看和是否为定值；求和的最小值时，应看积是否为定值，；简记为：和定积最_____，积定和最______. （3）只有等号能够成立时，才有最值。
不等式的基本性质、基本不等式；不等式的解法教学目的：1、巩固不等式的基本性质、拓展基本不等式相关知识；2、掌握一元一次不等式、一元二次不等式及绝对值不等式的解法三. 教学重点、难点基本不等式的知识拓展；绝对值不等式的解法KCB齿轮泵四. 知识分析【不等式的基本性质】2CY系列齿轮泵1、不等式的基本性质：对于任意的实数a，b，有，这三条基本性质是差值比较法的理论依据．KCB不锈钢齿轮泵2、不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面．【单向性】（1）（2）LYB系列立式液下齿轮泵（3）（4）（5）KCB-T铜齿轮泵（6）【双向性】（1）GZYB高精度齿轮泵（2）（3）KCB系列大流量齿轮泵单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础（当然也可用于证明不等式），由于单向性（3）、（4）的逆命题都成立，所以它们也可用于解不等式，在应用单向性（6）解无理不等式和形如的高次不等式时，若n为偶数时要注意讨论．KCB齿轮泵安装尺寸3、要注意不等式性质成立的条件．例如，在应用“”这一性质时，有些同学要么是弱化了条件，得，要么是强化了条件，而得2CY齿轮泵安装尺寸【基本不等式】定理1 设，则，当且仅当时，等号成立。
定理2 如果a，b为正数，则，当且仅当时，等号成立。
定理3 如果a，b，c为正数，高压齿轮泵则，当且仅当时，等号成立。
定理4 （一般形式的算术—几何平均值不等式）如果，，…，为n个正数，则，并且当且仅当时，等号成立。
说明：在公式及的学KCB-300齿轮泵习中，应注意几点：（1）和成立的条件是不同的，前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都为正数。
例如，成立，而不成立。
KCG高温齿轮泵（2）关于不等式及的含义。
或表示严格的不等式；KCB-300齿轮泵碳钢或表示非严格的不等式。
不等式“”读作c大于或等于d，其含义是“或者，或者”，等价于“c不小于d”，即KCB可调齿轮泵若或有一个正确，则正确。
不等式“”读作c小于或等于d，其含义是“，或者”，等价于“c不大于d”，即若或c=d中有ZYB渣油泵一个正确，则正确。
不等式的性质和解法一、不等式的性质1.不等式的定义：表示两个数之间的大小关系，用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示。
2.不等式的基本性质：（1）传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。
（2）同向相加：如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。
（3）同向相减：如果a>b，那么a-c>b-c。
（4）乘除性质：如果a>b且c>0，那么ac>bc；如果a>b且c<0，那么ac<bc。
二、不等式的解法1.解不等式的基本步骤：（1）去分母：将不等式两边同乘以分母的最小正整数，使分母消失。
（2）去括号：将不等式两边同乘以括号内的正数，或者将不等式两边同除以括号内的负数，使括号内的符号改变。
（3）移项：将不等式中的常数项移到一边，将含有未知数的项移到另一边。
（4）合并同类项：将不等式两边同类项合并。
（5）化简：将不等式化简到最简形式。
2.解一元一次不等式：（1）ax+b>c（a≠0）：移项得ax>c-b，再除以a得x>(c-b)/a。
（2）ax+b≤c（a≠0）：移项得ax≤c-b，再除以a得x≤(c-b)/a。
3.解一元二次不等式：（1）ax2+bx+c>0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
（2）ax2+bx+c≤0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
4.不等式的组：（1）解不等式组的步骤：先解每个不等式，再根据不等式的解集确定不等式组的解集。
（2）不等式组解集的表示方法：用区间表示，例如：[x1, x2]。
三、不等式的应用1.实际问题中的不等式：例如，距离、温度、速度等问题。
2.不等式在生活中的应用：例如，购物、制定计划、比较大小等问题。
3.不等式在其他学科中的应用：例如，在物理学中描述物体的运动状态，在经济学中描述市场的供求关系等。
不等式的性质与证明方法总结在数学中，不等式是一种非常重要的数学工具，用于描述数值之间的大小关系。
不等式可以帮助我们解决各种实际问题，同时也是数学推理和证明的基础。
本文将总结一些常见的不等式性质和证明方法，帮助读者更好地理解和应用不等式。
一、基本不等式性质1. 传递性：如果a < b，b < c，则有a < c。
这个性质是不等式推理的基础，可以用于简化证明过程。
2. 加法性：如果a < b，则a + c < b + c。
这个性质表示在不等式两边同时加上一个相同的数，不等式的大小关系不变。
3. 乘法性：如果a < b，c > 0，则ac < bc；如果a < b，c < 0，则ac > bc。
这个性质表示在不等式两边同时乘以一个正数或负数，不等式的大小关系会发生改变。
4. 对称性：如果a < b，则-b < -a。
这个性质表示如果不等式两边同时取相反数，不等式的大小关系会发生改变。
二、常见不等式1. 平均不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)平均不等式可以用于证明其他不等式，如均值不等式、柯西不等式等。
2. 均值不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1^p + a2^p + ... + an^p)^(1/p)其中p为大于0的实数。
均值不等式可以用于证明其他不等式，如柯西不等式、夹逼定理等。
3. 柯西不等式：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... +bn^2)柯西不等式可以用于证明向量内积的性质，以及其他不等式的推导。
不等式的性质证明不等式是数学中常见的概念，它描述了两个数、两个算式或两个函数之间的大小关系。
在数学研究和实际问题中，不等式的性质具有重要的意义。
本文将深入探讨不等式的基本性质，并进行相应的证明。
一、不等式的基本性质1. 传递性：对于任意的实数a、b、c，若a < b，b < c，则有a < c。
即如果一个数小于另一个数，而另一个数又小于另一个数，那么第一个数一定小于第三个数。
证明：设a < b，b < c，用反证法。
假设a ≥ c，那么由于a < b，根据传递性得知b ≥ c，与b < c矛盾。
故假设不成立，得证。
2. 加法性：对于任意的实数a、b、c，若a < b，则有a + c < b + c。
即两个不等式的同侧同时加上一个相同的数，不等号的方向不变。
证明：设a < b，用反证法。
假设a + c ≥ b + c，那么由于a < b，根据传递性得知a + c < b + c，与假设矛盾。
故假设不成立，得证。
3. 乘法性：对于任意的实数a、b和正数c，若a < b且c > 0，则有ac < bc。
即两个不等式的同侧同时乘上一个正数，不等号的方向不变；若c < 0，则有ac > bc，即两个不等式的同侧同时乘上一个负数，不等号的方向反向。
证明：设a < b，用反证法。
假设ac ≥ bc，若c > 0，则由于a < b，根据乘法性得知ac < bc，与假设矛盾；若c < 0，则有ac > bc，同样与假设矛盾。
故假设不成立，得证。
二、不等式中的常见定理及证明1. 加法定理：对于任意的实数a，b和c，若a < b，则有a + c < b + c。
证明：设a < b，令d = b - a，根据传递性得知0 < d。
由于c > 0，根据乘法性可得0 < c × d。
3元基本不等式公式3元基本不等式公式是数学中一种重要的不等式形式，它在解决实际问题和证明数学定理时具有广泛的应用。
本文将围绕着3元基本不等式公式展开，介绍其基本概念、性质和应用领域。
一、基本概念3元基本不等式公式是指形如a+b+c≥3√abc的不等式，其中a、b、c为实数且大于等于0。
这个公式的核心思想是，对于非负数a、b、c，它们的和一定大于等于它们的立方根的乘积。
二、性质分析1. 对称性：3元基本不等式公式具有对称性，即若a、b、c满足不等式，那么b、c、a也满足不等式。
2. 等号成立条件：当且仅当a=b=c时，3元基本不等式公式取等号。
3. 拓展性：3元基本不等式公式可以推广到n元不等式，其中n为正整数。
4. 不等式关系：在3元基本不等式公式中，若a＞b＞c，则a+b＞a+c＞b+c。
三、应用领域1. 几何问题：在解决几何问题中，3元基本不等式公式常常用于证明三角形的不等式关系，如证明三角形的边长之和大于等于两倍的高度之和。
2. 经济学模型：在经济学中，3元基本不等式公式可以用于分析资源分配和生产效率的关系，以及评估不同经济体系的效益差异。
3. 生物学研究：在生物学研究中，3元基本不等式公式可以应用于分析物种数量、生态系统稳定性和物种相互作用的关系。
4. 数学证明：3元基本不等式公式是数学证明中常用的工具之一，可以用于证明诸如柯西不等式、均值不等式等数学定理。
3元基本不等式公式是数学中一种重要的不等式形式，具有对称性、等号成立条件、拓展性和不等式关系等性质。
在几何问题、经济学模型、生物学研究和数学证明等领域都有广泛的应用。
通过研究和运用这个公式，我们可以更好地理解和解决实际问题，推动数学和其他学科的发展。
不等式及其性质（基础）知识讲解知识梳理要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．要点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．用不等式表示：(1)x与-3的和是负数；(2)x与5的和的28％不大于-6;(3)m除以4的商加上3至多为5．【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式．【答案与解析】解：(1)x-3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)34m +≤5． 【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x 是非负数，则x ≥0；若x 是非正数，则x ≤0；若x 大于y ，则有x-y ＞0；若x 小于y ，则有x-y ＜0等．举一反三：【变式】a a +的值一定是（ ）．A.大于零B.小于零C.不大于零D. 不小于零【答案】D.2.下列叙述：①a 是非负数则a ≥0；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10＜2； ③“x 的倒数超过10”可表示为1x ＞10；④“a ，b 两数的平方和为正数”可表示为a 2+b 2＞0．其中正确的个数是（ ）.A.1个B.2个C.3个D. 4个【答案与解析】①非负数是大于等于零的实数，即a ≥0．故①正确；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10≤2；故②错误；③“x 的倒数超过10”就是“③“x 的倒数大于10”，可表示为1x＞10．故③正确；④“a ，b 两数的平方和为正数”，即“；④“a ，b 两数的平方和大于零”，可表示为a 2+b 2＞0．故④正确．综上所述，正确的说法有3个．故选C ．【总结升华】考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠． 类型二、不等式的基本性质3.（2015春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若 b ﹣3a ＜0，则b ＜3a ；（2）如果﹣5x ＞20，那么x ＞﹣4；（3）若a ＞b ，则 ac 2＞bc 2；（4）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；（5）若a ＞b ，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）．（6）若a ＞b ＞0，则＜． ．【答案与解析】解：（1）若由b ﹣3a ＜0，移项即可得到b ＜3a ，故正确；（2）如果﹣5x ＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；（3）若a ＞b ，当c=0时则 ac 2＞bc 2错误，故错误；（4）由ac 2＞bc 2得c 2＞0，故正确；（5）若a ＞b ，根据c 2+1，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）正确．（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确．故答案为：√、×、×、√、√、√．【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．4.如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是( ).A．a+c＞b+c B．c-a＞c-b C．ac＞bc D．a b c c【思路点拨】根据不等式的性质分析判断．【答案】A.【解析】A、在不等式的两边同时加上c不等号方向不变，故本选项正确；B、在不等式的两边同时乘以-1，加上c后不等号方向改变，故本选项错误；C、两边同时乘以负数c，不等号方向改变，故本选项错误；D、两边同时除以负数c，不等号方向改变，故本选项错误；【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据．关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．举一反三：【变式】（2015春•秦淮区期末）根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“x＞3m”，则m的取值范围是．【答案】m＜0.解：∵将“mx＜3”变形为“x＞3m”，∴m的取值范围是m＜0．故答案为：m＜0．。
知识点一、不等式的性质 （1）对称性：a >b ⇔b <a . （2）传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . （3）可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .（4）可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . （5）加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . （6）乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .（7）乘方法则：0a b >>⇒n n a b >(n ∈N ，n ≥2)． （8）开方法则：0a b >>⇒n n a b >(n ∈N ，n ≥2)． （9）倒数法则：a >b ，ab >0⇒11a b<；a >b >0，0<c <d ⇒a b c d >.（10）重要不等式：若a >b >0，m >0，则b b ma a m+<+. 知识点二、比较大小的方法（1）作差法：任意两个代数式a 、b ，可以作差a b −后比较a b −与0的关系，进一步比较a 与b 的大小．（2）作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较ab与1的关系，进一步比较a 与b 的大小．题型一：用不等式（组）表示不等关系【例1】某高速公路要求行驶的车辆的速度v 的最大值为120km/h ，同一车道上的车间距d 不得小于10m ，用不等式表示为（ ） A ．120km/h v ≤且10m d ≥ B ．120km/h v ≤或10m d ≥ C ．120km/h v ≤且10m d > D ．120km/h v <或10m d >【难度】★第3讲 不等式的性质与基本不等式知识梳理例题分析模块一：不等式的性质~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~【例2】某学生月考数学成绩x 不低于100分，英语成绩y 和语文成绩z 的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（ ）A ．100200240x y z >⎧⎨<+<⎩B ．100200240x y z ≥⎧⎨≤+≤⎩C ．100200240x y z >⎧⎨≤+≤⎩D ．100200240x y z ≥⎧⎨<+<⎩【难度】★题型二：利用不等式的性质判断命题真假【例1】已知a ，b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确的是（ ） A ．22ac bc >B ．22a b >C ．2211ab a b >D ．22b a a b<【难度】★【例2】下列说法正确的是（ ）. A ．若a b >，则22a b >B ．若0a b >>，0c d <<，则a b d c> C ．若a b >，c d <，则a c b d +>+ D ．若0a b >>，0c <，则b c ba c a−>− 【难度】★【例3】若R a b c ∈,,，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b <，则11a b> B ．若0a b >>，则11b ba a+<+ C ．若a b >，则22ac bc > D ．若22ac bc >，则a b >【难度】★【例4】 若0a b <<，则下面有六个结论：①22a b >，②33a b >，③11a b<，④1>ab ，⑤11a b a>−，⑥a b >−中，正确结论的序号是 ． 【难度】★★题型三：利用不等式的性质比较大小【例1】已知0a b >>−（填“＞”“＜”或“＝”）【难度】★【例2】在下列空格上填适当的不等号： （1）若x y ≠，则()x x y − ()y x y −； （2）若0a b <<，0c >，则a b 1；a c b c．【难度】★【例3】若0,0a b c d >><<，试比较()2ca c −和()2cb d −的大小.【难度】★★题型四：作差（作商）法比较大小【例1】设x 是实数，比较()()211x x x +−+与()()211x x x −++的值的大小.【难度】★【例2】已知1a ≥−，求证：321a a a +≥+. 【难度】★★【例3】原有酒精溶液a （单位：g ），其中含有酒精b （单位：g ），其酒精浓度为ba.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精x （单位：g ），新溶液的浓度变为b xa x++.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若0a b >>，0x >，则1b b x a a x+<<+. 试加以证明. 【难度】★★【例4】设,a b R +∈，试比较a b a b 与b a a b 的大小. 【难度】★★题型五：利用不等式的性质证明不等式【例1】已知a 、b 为任意给定的正数，求证：3322a b ab ba +≥+，并指出等号成立的条件． 【难度】★★【例2】证明：已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：c ca cb c>−−. 【难度】★★【例3】（1）已知0a b >>，0c d <<，求证：b aa cb d<−−； （2）已知0bc ad −≥，0bd >，求证：a b c db d++≤． 【难度】★★题型六：利用不等式的性质求取值范围【例1】若13a <<，24b −<<，则2a b −的取值集合是 ． 【难度】★★【例2】已知12,24a b a b ≤−≤≤+≤，则2a b −的取值可以为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【难度】★★【例3】若变量x ，y 满足条件329x y ≤+≤，69x y ≤−≤，则2z x y =+的最小值为（ ） A ．7− B ．6− C ．5− D ．4−【难度】★★【例4】（多选题）已知13a −≤≤，12b ≤≤，则以下命题正确的是（ ） A ．16ab −≤≤ B ．05a b ≤+≤ C ．21a b −≤−≤ D ．()()114a b +−≤【难度】★★【例5】已知13a <<，24b <<，则ab的取值范围是 ． 【难度】★★【例6】已知125x y −≤+≤，123x y −≤−≤，则x 的取值范围是（ ） A ．22x −≤≤ B ．23x −≤≤C ．14x −≤≤D ．12x −≤≤【难度】★★知识点一、基本不等式 （1）算术平均数与几何平均数 对于正数a 、b ，我们把2a b+称为a 、b 的算术平均数，ab 称为a 、b 的几何平均数． （2）基本不等式如果a 、b 是正数，那么2a bab +≤ (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，称为基本不等式． 知识点二、重要不等式 1. 两个重要的不等式若a ，b ∈R ，则（1）222a b ab +≥，即222a b ab +≤(当且仅当a ＝b 时，等号成立)；（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．知识梳理模块二：基本不等式~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2. 常用结论 （1）2b aab+≥（a 、b 同号）； （2）2b aa b +≤−（a 、b 异号）； （3）222(0,0)1122a b a b ab a b a b++≤≤≤>>+.题型一、对基本不等式的理解【例1】不等式2244a a +≥中，等号成立的条件是（ ） A ．4a = B ．2a = C ．2a =− D ．2a =±【难度】★【例2】某市场上第一周、第二周的白菜价格分别为a 元/斤、b 元所()a b ≠，甲和乙购买白菜的方式不同，甲每周购买20元钱的白菜，乙每周购买6斤白菜，甲、乙两次平均单价为分别记为12,m m ，则下列结论正确的是（ ） A ．12m m = B ．12m m > C ．21m m > D ．12,m m 的大小无法确定【难度】★【例3】（多选题）下列推导过程，正确的为（ ） A ．因为a ，b 为正实数，所以b a a b +≥2b a a b⋅＝2B ．因为x ∈R ，所以211x +>1 C ．因为a ＜0，所以4a+a ≥24a a⋅＝4 D ．因为0x y R xy ∈<、，，所以22x yx y x y y x y x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=−−+−≤−−−=−⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【难度】★★例题分析【例4】数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC 中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD a =，BD b =，用该图形能证明的不等式为（ ）．A ．)0,02a b a b +>> B ．)20,0aba b a b≤>>+C ．)0,02a b a b +≤>>D ．)220,0a b a b +≥>>【难度】★★【例5】《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +>> B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)ab a b a b ≤>>+D ．0,0)2a b a b +>> 【难度】★★题型二、利用基本不等式比较大小【例1】若01x <<，01y <<，则22x y +、x y +、2xy 、中最大的一个是 ．【难度】★【例2】设a ，b 2a b +，2ab a b +的大小关系是 ．【难度】★【例3】（多选题）设,a b 为正实数，4ab =，则下列不等式中对一切满足条件的,a b 恒成立的是（ ）A ．4a b +≥B ．228a b +≤C ．111a b+≥D ≤【难度】★★【例4】希罗平均数（Heronianmean ）是两个非负实数的一种平均，若a ，b 是两个非负实数，则它们的希罗平均数H =.记2a b A +=，G ，则,,A G H 从小到大的关系为 .（用“≤”连接） 【难度】★★【例5】（多选题）若,R a b ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≥ B ．a b +≥C ．11a b +>D ．2b aa b+≥ 【难度】★★【例6】下列不等式恒成立的是（ ）A ．a b +≥−B ．a b +≤C ．222a b ab +≤；D ．222a b ab +≥−．【难度】★★题型三、利用基本不等式证明不等式【例1】已知实数,,a b c 均大于0，证明：()()()2222226a b c b c a c a b abc +++++≥.【难度】★★【例2】已知0m >，0n >，且1m n +=，求证：3311()1m n m n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥．【难度】★★【难度】★★【例4】（1）已知0a >，0b >，0c >，求证：222a b c a b c b c a++≥++；（2）已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a b c ++> 【难度】★★【例5】已知a 、b 、c 、d R ∈，证明下列不等式，并指出等号成立的条件：（1）()()()22222a b c d ac bd ++≥+；（2）222a b c ab bc ca ++≥++． 【难度】★★【例6】（1）设a ，b ，c ，d 为实数，求证：2222ab bc cd ad a b c d +++≤+++； （2）已知,a b R ∈，求证：216536163aa b b +≤−++． 【难度】★★★【巩固1】公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A 型货车载重量30吨，B 型货车载重量24吨，设派出A 型货车x 辆，B 型货车y 辆，则运输方案应满足的关系式是（ ） A ．54100x y +< B ．54100x y +≥ C ．54100x y +> D ．54100x y +≤【难度】★师生总结巩固练习【巩固2】若a 、b 、c R ∈，a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．22a b > C ．2211a bc c >++ D ．||||a c b c >【难度】★【巩固3】已知14x y −<−<，23x y <+<则3x y +的取值范围是 . 【难度】★★【巩固4】（多选题）已知实数x ，y 满足16x <<，23y <<，则（ ） A ．39x y <+< B ．13x y −<−<C ．218xy <<D ．1621xy <<− 【难度】★★【巩固5】（多选）下列推导过程，其中正确的是（ ）A ．因为a 、b 为正实数，所以2b a a b +≥=B ．因为3a >，所以44a a +≥=C ．因为<0a ，所以44a a +≥D ．因为,R,0x y xy ∈<，所以2x yx y y x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=−−+−≤−=−⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当0x y =−≠时，等号成立 【难度】★★【巩固6】若01x <<，01y <<，则22x y +、x y +、2xy 、中最大的一个是 ．【难度】★★【巩固7】《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形（边长可以为0）拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为a 和b ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）． A．)0,02a ba b +≥>> B ．()22200a b ab a b +≥>>，C()20,011a b a b≥>>+ D()002a b a b +>>，【难度】★★【巩固8】若0,0a b >>，且a b ≠，则（ ）A．2a b +>B．2a b +<C2a b+≤D2a b+<【难度】★★【巩固9】设0a b <<，则下列不等式成立的是（ ） A2a ba b +<<< B．2a ba b +<<< C2a ba b +<< D．2a ba b +<<< 【难度】★★【巩固10】比较大小：（1）22a b +和2(1)a b −−； （2）22b a a b+和a b +，其中0,0a b <<．【难度】★★【巩固11】（1）已知,,0a b e f c >>>，求证：f ac e bc −<−；（2）已知0,0a b c d >><<，求证：b aa cb d <−−； （3）已知0,0bc ad bd −≥≥，求证：a b c db d++≤. 【难度】★★【巩固12】已知a 、b 1【难度】★★【巩固13】一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为2m a ，2m b ．（1）若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为2220m ，求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米；（2）若同时增加窗户面积和地板面积各2m n ，判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明理由． 【难度】★★【巩固14】（1）已知x 、y 都是正数，求证：()()()2233338x y x y x y x y +++≥；（2）已知0a >，0b >，0c >，求证：bc ac aba b c a b c++≥++． 【难度】★★【巩固15】已知a ，b 都是正数.（11+=，证明：4ab ；（2）当a b ≠时，证明：+> 【难度】★★【提升1】已知0a >，0b >，且2a b +=，证明： （1）222a b ab +≤；（2）33211a b b aa b +++≥++． 【难度】★★★能力提升。
（1）一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。
（2）一元一次不等式的解法：求接方法与解一元一次方程类似，根据不等式性质将不等式变形，从而等到解集.（3）一般步骤：一、去分母；二、去括号；三、移项；四、合并，化成b ax >或b ax <的形式（其中0≠a ）；五、两边都除以未知数的系数，得到不等式的解集。
热身练习1、判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”。
（1） 不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（ × ） （2） 如果a ＞b ，那么3－2a ＞3－2b.（ × ） （3） 如果a ＜b ，那么a 2＜b 2.（ × ） （4） 如果a 为有理数，则a ＞－a.（ × ） （5） 如果a ＞b ，那么ac 2＞bc 2.（ × ） （6） 如果－x ＞８，那么x ＞－8.（ × ） （7） 若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋c.（ √ ）2、若x ＞ｙ，则ax ＞ay ，那么a 一定为（ A ）。
[来源A 、a ＞０B 、ａ＜０C 、ａ≥0D 、a ≤03、有理数b 满足︱b ︱＜3，并且有理数a 使得a ＜b 恒成立，则a 得取值范围是（ C ）。
A 、小于或等于3的有理数 B 、小于3的有理数 C 、小于或等于－3的有理数 D 、小于－3的有理数4、若b a <，则下列各式中一定成立的是（ B ） A 、0>-b a B 、0<-b a C 、0>ab D 、0<ab5、如果t>0,那么a+t 与a 的大小关系是 ( A ).A 、a+t>aB 、a+t<aC 、a+t ≥aD 、不能确定 6、同时满足不等式2124xx -<-和3316-≥-x x 的整数x 是 （ B ）． A 、1，2，3 B 、0，1，2，3 C 、1，2，3，4 D 、0，1，2，3，47、若三个连续正奇数的和不大于27，则这样的奇数组有（ B ）A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组 8、若a ＜0，则－2b a +__<__－2b[来源:学.科.网] 11．设a ＜b ，用“＞”或“＜”填空：[来源:Z*xx*ka －1__<__b －1， a ＋3__<__b ＋3， －2a__>__－2b ，3a __<__3b12．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：a －b__<__0， a ＋b__<__0，ab __>__0，a 2__>__b 2，a 1__>__b1，︱a ︱__>__︱b ︱ 13．若a ＜b ＜0，则21（b －a ）_>___0 14、不等式2(x + 1) - 12732-≤-x x 的解集为_____1314≥x ________。
不等式的基本性质与解法不等式是数学中常见的描述数量关系的工具，它可以表达两个数、两个量或两个函数之间的大小关系。
在解决实际问题时，不等式的理解和运用至关重要。
本文将介绍不等式的基本性质以及解法，并通过一些例子来进一步说明。
一、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：1. 加减性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号的方向不变。
例如：若a < b，则a + c < b + c；若a > b，则a - c > b - c。
2. 乘除性质：对于不等式两边同时乘除一个正数，不等号的方向不变；而若乘除一个负数，则不等号的方向反转。
例如：若a < b，c > 0，则ac < bc；若a > b，c < 0，则ac > bc。
3. 倒置性质：若不等式两边同时倒置（取倒数），不等号的方向也要倒置。
例如：若a < b，则1/a > 1/b；若a > b，则1/a < 1/b。
二、不等式的解法1. 图解法：对于简单的一元一次不等式，我们可以通过图解法来求解。
例如，对于不等式2x + 1 > 5，我们可以先绘制出直线y = 2x + 1和y = 5的图像，然后找到两条直线的交点，交点右侧的区域即为不等式的解集。
2. 转化法：有些不等式可以通过转化为等价的形式来求解。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以将其转化为(x - 1)(x - 3) > 0的形式，然后根据函数图像的正负性来确定解集。
3. 分类讨论法：对于复杂的不等式，我们可以通过分类讨论的方法来求解。
例如，对于不等式|x - 2| < 3，我们可以将其拆解为两个不等式x - 2 < 3和-(x - 2) < 3，并分别求解得到解集，然后取它们的交集。
4. 根据性质求解：我们可以根据不等式的性质来求解。
例如，对于不等式x^2 - 5x + 6 < 0，我们可以分解它为(x - 2)(x - 3) < 0，然后根据乘法性质可知，当x在2和3之间时，不等式成立。
