2020-2021学年江苏省南京市高一上学期期末数学试题及答案解析
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2020-2021学年江苏省南京市高一上学期期末数学试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．若角的终边经过点3,0Paa，则（ ）
A．sin0 B．sin0 C．cos0 D．cos0
答案：C
根据三角函数定义可得22sin3aa，223cos3a判断符号即可.
解：解：由三角函数的定义可知，22sin3aa符号不确定，223cos03a，
故选：C．
点评：任意角的三角函数值：
（1）角与单位圆交点(,)Pxy，则sin,cos,tan(0)yyxxx；
（2）角终边任意一点(,)Pxy，则2222sin,cos,tan(0)yxyxxxyxy.
2．设函数24yx的定义域A，函数ln1yx的定义域为B，则AB（ ）
A．1,2 B．1,2 C．2,1 D．2,1
答案：B
求出两个函数的定义域后可求两者的交集.
解：由240x得22x，由10x得1x，
故|22|1ABxxxx|12xx，
故选：B.
点评：本题考查函数的定义域和集合的交，函数的定义域一般从以下几个方面考虑：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次根号na（*,2nNn，n为偶数）中，0a；
（3）零的零次方没有意义； （4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.
3．设实数x满足0x，函数4231yxx的最小值为（ ）
A．431 B．432 C．421 D．6
答案：A
将函数变形为43111yxx，再根据基本不等式求解即可得答案.
解：解：由题意0x，所以10x，
所以4423231311yxxxx
44311231143111xxxx，
当且仅当4311xx，即23103x时等号成立，
所以函数4231yxx的最小值为431.
故选：A．
点评：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
4．已知a，b，m都是负数，且ab，则（ ）
A．11ab B．abba C．ambm D．bmbama
答案：D
利用不等式的性质可判断A、B、C，利用作差法可判断D.
解：由题意0ab，则11ab，选项A错误；
由ab，不等式两边同除ab，可得ababab，即baab，选项B错误；
由不等式的可加性可知，由ab，可得ambm，选项C错误；
由0abmbammabbmbamaaamaamaam，所以bmbama，选项D正确； 故选：D
5．有一组实验数据如下表所示：
t
1.9 3.0 4.0 5.1 6.1
v 1.5 4.0 7.5 12.0
18.0
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A．22vt B．212tv C．0.5logvt D．3logvt
答案：B
先画出实验数据的散点图，结合各选项中的函数特征可得的选项.
解：实验数据的散点图如图所示：
4个选项中的函数，只有B符合，
故选：B.
6．若函数sin2fxx与2cosgxx都在区间,ab上单调递减，则ba的最大值是（ ）
A．π4 B．π3 C．π2 D．2π3
答案：C
根据题意求出,()fxgx原点附近的单调递减区间，根据递减区间分析可得max3π4b，minπ4a，相减即可. 解：解：由题意函数sin2fxx在π3π,44上单调递减，函数2cosgxx在0,π上单调递减，
所以则max3π4b，minπ4a，所以ba的最大值为3πππ442.
故选：C.
点评：求三角函数单调区间的2种方法:
（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；
（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.
7．函数f(x)=2sincosxxxx在[—π，π]的图像大致为
A． B．
C． D．
答案：D
先判断函数的奇偶性，得()fx是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
解：由22sin()()sin()()cos()()cosxxxxfxfxxxxx，得()fx是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f2()01f．故选D．
点评：本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．
8．若函数fx同时满足：①定义域内存在实数x，使得0fxfx；②对于定义域内任意1x，2x，当12xx时，恒有12120xxfxfx；则称函数fx为“DM函数”．下列函数中是“DM函数”的为（ ）
A．3fxx B．sinfxx C．1xfxe D．lnfxx
答案：A 根据题意函数定义域关于原点对称且函数值有正有负，且为定义域内的单调递增函数，通过此两点判定即可.
解：解：由定义域内存在实数x有0fxfx，可得函数定义域关于原点对称且函数值有正有负，排除D、C.
由②得“DM函数”为单调递增函数，排除B.
故选：A
【解析】
确定函数单调性的四种方法：
（1）定义法：利用定义判断；
（2）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数；
（3）图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；
（4）性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.
二、多选题
9．关于函数tan2fxx，下列说法中正确的是（ ）
A．最小正周期是π2 B．图象关于点π,02对称
C．图象关于直线π4x对称 D．在区间ππ,22上单调递增
答案：AB
利用正切函数的知识逐一判断即可.
解：tan2fxx的最小正周期为π2T，故选项A正确；
由π02f，故选项B正确；
因为函数tan2fxx不存在对称轴，故选项C错误；
因为ππ,22x，所以2π,πx，此区间不是函数tanyx的单调递增区间，故选项D错误； 故选：AB．
10．已知曲线1:sinCyx，2π:sin23Cyx，下列说法中正确的是（ ）
A．把1C向左平移π3个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到2C
B．把1C向左平移π3个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的12倍，得到2C
C．把1C上所有点的横坐标变为原来的12倍，再向左平移π3个单位长度，得到2C
D．把1C上所有点的横坐标变为原来的12倍，再向左平移π6个单位长度，得到2C
答案：BD
根据三角函数的图象变换可分别判断.
解：变换方式一：由函数sinyx的图象可向左平移π3个单位长度，得到sin3yx，再将所有点的横坐标变为原来的12倍，得到πsin23yx；
变换方式二：由函数sinyx的图象可讲其图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，得到sin2yx，再向左平移π6个单位长度，得到πsin2sin263yxx.
故选：BD．
11．我们知道，如果集合AS，那么S的子集A的补集为 SAxxS，且xA．类似地，对于集合A，B，我们把集合xxA，且xB叫作集合A与B的差集，记作AB．据此，下列说法中正确的是（ ）
A．若AB，则AB B．若BA，则ABA
C．若AB，则ABA D．若ABC，则ABAC
答案：ACD
利用集合的新定义逐一判断即可.
解：由差集的定义可知，对于选项A，
若AB，则A中的元素均在B中，则AB，故选项A正确；
对于选项B，若BA，则B中的元素均在A中，则AABBA，故选项B错误；
对于选项C，若AB，则A、B无公共元素，则ABA，故选项C正确； 对于选项D，若ABC，则AABCAC，故选项D正确；
故选：ACD．
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设Rx，用x表示不超过x的最大整数，yx也被称为“高斯函数”，例如：3.54，2.12．已知函数1fxxx，下列说法中正确的是（ ）
A．fx是周期函数 B．fx的值域是0,1
C．fx在0,1上是增函数 D．xR，0fx
答案：AB
根据新定义将函数fx写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据图象判断函数的性质.
解：由题意1,210,1011,012,12xxxxx，所以1,21,1011,012,12xxxxfxxxxxxx，可画出图象，
可得到函数fx是周期为1的函数，且值域为0,1，在0,1上单调递减，故选项A、B正确，C错误；对于选项D，1x 11f，则11f，所以选项D错误，
故选：AB．
点评：关键点点睛：本题的关键是理解定义，画出函数的图象，根据函数的图象判断函数的性质.
三、填空题
13．幂函数yx的图象过点(2,2)，则___________.
答案：12
将点的坐标代入解析式可解得结果.
