2020-2021学年江苏省南京市高一下期末考试数学试卷及答案解析

第 1 页 共 21 页 2020-2021学年江苏省南京市高一下数学期末试卷

一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1．若复数z满足𝑧1+𝑖=𝑖2019+𝑖2020，则z＝（ ）

A．i B．2i C．1 D．2

2．设向量𝑎→=（﹣1，2），𝑏→=（2，﹣4），则（ ）

A．𝑎→⊥𝑏→ B．𝑎→与𝑏→同向

C．𝑎→与𝑏→反向 D．15（𝑎→+𝑏→）是单位向量

3．已知数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为5，则数据2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3，2x5﹣3的方差为（ ）

A．10 B．15 C．17 D．20

4．某校有200位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示．据图估计，每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为（ ）

A．18 B．36 C．54 D．72

5．某人抛一颗质地均匀的骰子，记事件A＝“出现的点数为奇数”，B＝“出现的点数不大于3”，则下列说法正确的是（ ）

A．事件A与B对立 B．P（A∪B）＝P（A）+P（B）

C．事件A与B互斥 D．P（A）＝P（B）

6．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的）．如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容量约为（ ）

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A．100cm3 B．200cm3 C．300cm3 D．400cm3

7．在天气预报中，有“降水概率预报”．例如，预报“明天降水概率为85%”，这是指（ ）

A．明天该地区有85%的地区降水，其他15%地区不降水

B．明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水

C．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水

D．明天该地区降水的可能性为85%

8．矩形ABCD中，BC＝2，沿对角线AC将三角形ADC折起，得到四面体A﹣BCD，四面体A﹣BCD外接球表面积为16π，当四面体A﹣BCD的体积取最大值时，四面体A﹣BCD的表面积为（ ）

A．4√3+√392 B．4√3+√39 C．2√3+√392 D．2√3+√39

二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）

9．已知i为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）

A．复数z＝1﹣3i的虚部是3

B．复数z满足|z﹣2i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则x2+（y﹣2）2＝1

C．若复数z1，z2满足z1=𝑧2，则z1z2≥0

D．若复数z＝3+i，则1𝑧=310−𝑖10

10．下列说法正确的有（ ）

A．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），若P（ξ≤3）＝0.84，则P（ξ≤1）＝0.16

B．设随机变量X服从正态分布N（3，7），若P（X＞m+1）＝P（X＞m﹣1），则m＝3

C．设随机变量X～B（6，12），则P（X＝3）等于316

D．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为54125

11．港珠澳大桥位于中国广东省珠江口伶仃洋海域内，是中国境内一项连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度和顶尖的建造技术而闻名世界.2018

第 3 页 共 21 页 年10月24日上午9时开通运营后香港到澳门之间4个小时的陆路车程极大缩短．为了解实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在[35，50]内，按通行时间分为[35，38），[38，41），[41，44），[44，47），[47，50]五组，其中通行时间在[38，47）的车辆有182台，频率分布直方图如图所示，则（ ）

A．n＝200

B．n＝280

C．抽取的车辆中通行时间在[35，38）的车辆有4台

D．抽取的车辆中通行时间在[35，38）的车辆有12台

12．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD位置，连结PC，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）

A．PC与平面BCD所成的最大角为45°

B．存在某个位置，使得PB⊥CD

C．当二面角P﹣BD﹣C的大小为90°时，PC=√6

D．存在某个位置，使得B到平面PDC的距离为√3

三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13．i是虚数单位，则|𝑖1+𝑖|的值为 ．

14．一组数据的平均数是8，方差是16，若将这组数据中的每一个数据都减去4，得到一组新数据，则所得新数据的平均数与方差的和是 ．

15．已知某圆锥的高为4，体积为12π，则其侧面积为 ．

16．抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），事件A为“正

第 4 页 共 21 页 面朝上的点数为3”，事件B为“正面朝上的点数为偶数”，则P（A+B）＝ ．

四．解答题（共6小题，第17小题10分，第18-22小题每题12分，共70分）

17．已知向量𝑎→=（3，4），𝑏→=（﹣1，2）．

（1）求向量𝑎→与𝑏→的夹角的余弦值；

（2）若向量𝑎→−λ𝑏→与𝑎→+2𝑏→垂直，求λ的值．

18．一个盒子中装有6个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5，6．

（1）一次取出两个小球，求其号码之和能被3整除的概率；

（2）有放回的取球两次，每次取一个，求两个小球号码是相邻整数的概率．

第 5 页 共 21 页 19．已知i是虚数单位，𝑧1=3−𝑖1+𝑖．

（Ⅰ）求|z1|；

（Ⅱ）若复数z2的虚部为2，且z1z2的虚部为0，求z2．

第 6 页 共 21 页 20．据历年大学生就业统计资料显示：某大学理工学院学生的就业去向涉及公务员、教师、金融、公司和自主创业等五大行业.2020届该学院有数学与应用数学、计算机科学与技术和金融工程等三个本科专业，毕业生人数分别是70人，140人和210人．现采用分层抽样的方法，从该学院毕业生中抽取18人调查学生的就业意向．

（Ⅰ）应从该学院三个专业的毕业生中分别抽取多少人？

（Ⅱ）国家鼓励大学生自主创业，在抽取的18人中，就业意向恰有三个行业的学生有5人．为方便统计，将恰有三个行业就业意向的这5名学生分别记为A，B，C，D，E，统计如表：

A B C D E

公务员 〇 〇 × 〇 ×

教师 〇 × 〇 × 〇

金融 〇 〇 〇 × 〇

公司 × × 〇 〇 〇

自主择业 × 〇 × 〇 ×

其中“〇”表示有该行业就业意向，“×”表示无该行业就业意向．

现从A，B，C，D，E这5人中随机抽取2人接受采访．设M为事件“抽取的2人中至少有一人有自主创业意向”，求事件M发生的概率．

第 7 页 共 21 页 21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD是边长为2的正三角形，M为AD的中点，且PM⊥平面ABCD．

（1）证明：平面PBM⊥平面PAD；

（2）求三棱锥C﹣PBD的高．

第 8 页 共 21 页 22．为了搞好接待工作，组委会在某大学招募了8名男志愿者和5名女志愿者（分成甲乙两组），招募时志愿者的个人综合素质测评成绩如图所示．

（Ⅰ）问男志愿者和女志愿者的平均个人综合素质测评成绩哪个更高？

（Ⅱ）现从甲乙两组个人综合素质测评为优秀（成绩在80分以上为优秀）的志愿者中随机抽取2名志愿者负责接待外宾，要求2人中至少有一名女志愿者的概率．

第 9 页 共 21 页 2020-2021学年江苏省南京市高一下数学期末试卷

参考答案与试题解析

一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1．若复数z满足𝑧1+𝑖=𝑖2019+𝑖2020，则z＝（ ）

A．i B．2i C．1 D．2

【解答】解：∵𝑧1+𝑖=𝑖2019+𝑖2020=i（i2）1009+（i2）1010＝i×（﹣1）+1＝1﹣i，

∴z＝（1+i）（1﹣i）＝2，

故选：D．

2．设向量𝑎→=（﹣1，2），𝑏→=（2，﹣4），则（ ）

A．𝑎→⊥𝑏→ B．𝑎→与𝑏→同向

C．𝑎→与𝑏→反向 D．15（𝑎→+𝑏→）是单位向量

【解答】解：∵𝑎→=(−1，2)，𝑏→=(2，−4)，

∴𝑏→=−2𝑎→，

∴𝑎→与𝑏→反向，15(𝑎→+𝑏→)=(15，−25)，

∴15|𝑎→+𝑏→|≠1，即15(𝑎→+𝑏→)不是单位向量．

故选：C．

3．已知数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为5，则数据2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3，2x5﹣3的方差为（ ）

A．10 B．15 C．17 D．20

【解答】解：根据题意，数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为5，即S2＝5，

则对于数据2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3，2x5﹣3，其方差为22S2＝4×5＝20；

故选：D．

4．某校有200位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示．据图估计，每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为（ ）