1.1空间向量及运算新课讲义-2021-2022高一下学期数学人教B版(2019)选择性必修一

1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算学习目标核心素养1．了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共面向量等概念．(重点)2．会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算律．(重点、易混点)3．掌握两个向量数量积的概念、性质及运算律．(重点、易错点)1．通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助于空间向量的线性运算，提升数学运算素养．3．借助于空间向量的数量积，提升数学运算及逻辑推理的数学素养．图1图21．空间向量(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量．(2)模(或长度)：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A 终点为B 的向量，记为AB →，模为|AB →|．②字母表示法：可以用字母a ，b ，c ，…表示，模为|a |，|b |，|c |，…． 2．几类特殊的向量(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量．(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行．(6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面．[提示] 空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面．3．空间向量的线性运算类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．图1 图2(1)如图1，OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ，CA →＝OA →－OC →＝a －b ． (2)如图2，DA →＋DC →＋DD 1→＝DB 1→．即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．(3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中：①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向：(ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同；(ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反．②当λ＝0或a＝0时，λa＝0．(4)空间向量的线性运算满足如下运算律：对于实数λ与μ，向量a与b，有①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb．4．空间向量的数量积(1)空间向量的夹角如果〈a，b〉＝π2，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b．(2)空间向量数量积的定义：(3)数量积的几何意义①向量的投影如图所示，过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′.②数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b 的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0.(4)空间向量数量积的性质：1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小．()(2)两个相反向量的和为零向量．()(3)只有零向量的模等于0．()(4)空间中任意两个单位向量必相等．()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×[提示]大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等，方向相反的两个向量称为相反向量；任意两个单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故不一定相等．2．下列命题中正确的是()B[对于A项，左边＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉，右边＝|a|2|b|2，∴左边≤右边，故A错误．对于C项，数量积不满足结合律，∴C错误．3．(教材P 11练习A ②改编)化简：(1)12(a ＋2b －3c )＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －12b ＋23c ＝________； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________．(1)236a －32b ＋116c (2)0 [(1)原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c ＝236a －32b ＋116c ．(2)原式＝AB →－AC →－CD →＋BD →＝CB →＋BD →－CD → ＝CD →－CD → ＝0．]4．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则(1)〈AB →，A 1C 1→〉＝________； (2)〈AB →，C 1A 1→〉＝________； (3)〈AB →，A 1D 1→〉＝________．(1)45° (2)135° (3)90°[(1)因为A 1C 1→＝AC →，所以〈AB →，A 1C 1→〉＝〈AB →，AC →〉． 又∠CAB ＝45°，所以〈AB →，A 1C 1→〉＝45°． (2)〈AB →，C 1A 1→〉＝180°－〈AB →，A 1C 1→〉＝135°． (3)〈AB →，A 1D 1→〉＝90°．]空间向量的概念及简单应用【例1】 (1)下列说法中正确的是 ( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →B [|a |＝|b |，说明a 与b 模长相等，但方向不确定．对于a 的相反向量b ＝－a ，故|a |＝|b |，从而B 正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB →＋AD →＝AC →，只有平行四边形才能成立．故A 、C 、D 均不正确．](2)如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：①试写出与AB →是相等向量的所有向量； ②试写出AA 1→的相反向量；③若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1→的模．[解] ①与向量AB →是相等向量的(除它自身之外)有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→，共3个． ②向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →． ③|AC 1→|＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＝22＋22＋12＝9＝3．1．两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．2．熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．[跟进训练] 1．给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的始点和终点分别相同； ②在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；③若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ．其中不正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3B [两个空间向量相等，它们的始点、终点不一定相同，故①不正确；在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→成立，故②正确；③显然正确．故选B ．]2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列四对向量：①AB →与C 1D 1→；②AC 1→与BD 1→；③AD 1→与C 1B →；④A 1D →与B 1C →．其中互为相反向量的有n 对，则n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [对于①AB →与C 1D 1→，③AD 1→与C 1B →长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②AC 1→与BD 1→长度相等，方向不相反；对于④A 1D →与B 1C →长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．]空间向量的线性运算【例2】 (1)如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，N 是A 1B 的中点，若CA→＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则CN →＝( )A ．12(a ＋b －c ) B ．12(a ＋b ＋c )C ．a ＋b ＋12c D ．a ＋12(b ＋c )(2)如图，已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．①AA ′→－CB →； ②AA ′→＋AB →＋B ′C ′→．(1)B [若AB 中点为D ，CN →＝CD →＋DN →＝12(a ＋b ＋c )，故选B ．](2)[解] ①AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AD ′→． ②AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→． 向量AD ′→、AC ′→如图所示：1．首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →．2．首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0．如图，OB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FG →＋GH →＋HO →＝0．[跟进训练]3．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→． [解] (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b ． (2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c ． (3)∵M 是AA 1的中点，∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP → ＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ．又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，∴MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c＝32a ＋12b ＋32c ．数量积的运算及应用[[提示] (1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样．(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起． (3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉．[提示] 借助cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |，求向量a ，b 的夹角．借助|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2求模．【例3】 如图所示，已知正四面体OABC 的棱长为1，点E ，F 分别是OA ，OC 的中点．求下列向量的数量积：[思路探究] 根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及两向量的夹角，注意充分结合正四面体的特征．[解] (1)正四面体的棱长为1，则|OA →|＝|OB →|＝1．△OAB 为等边三角形，∠AOB ＝60°，于是：＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12．(2)由于E ，F 分别是OA ，OC 的中点， 所以EF 12AC ，＝12×1×1×cos 〈AC →，CB →〉 ＝12×1×1×cos 120°＝－14．＝1＋12－2×12＋12＋1－2×12＝1．1．(变条件，变结论)若H 为BC 的中点，其他条件不变，求EH 的长． [解] 由题意知OH →＝12(OB →＋OC →)，OE →＝12OA →， ∴EH →＝OH →－OE →＝ 12(OB →＋OC →－OA →)，又|OB →|＝|OC →|＝|OA →|＝1．且〈OB →，OC →〉＝60°，〈OB →，OA →〉＝60°，〈OC →，OA →〉＝60°．∴|EH →|2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋1＋2×12－2×12－2×12＝12，即|EH →|＝22，所以EH 的长为22．2．(变结论)求异面直线OH 与BE 所成角的余弦值． [解] 在△AOB 及△BOC 中，易知BE ＝OH ＝32， 又BE →＝12OA →－OB →，OH →＝12(OB →＋OC →)，＝14×12＋14×12－12－12×12＝－12． ∴cos 〈BE →，OH →〉＝BE →·OH →|BE →||OH →|＝－23，又异面直线所成角的范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，故异面直线OH 与BE 所成角的余弦值为23．1．在几何体中求空间向量的数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积； (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；提醒：在求两个向量夹角时，要注意向量的方向．如本例中〈EF →，CB →〉＝〈AC →，CB →〉＝120°，易错写成60°，为避免出错，应结合图形进行计算．一、知识必备1．空间向量的基本概念，特别注意单位向量和零向量．单位向量的长度为1，方向任意．零向量的方向是任意的，与任意向量平行，零向量与任意向量的数量积为0．2．向量的线性运算包括向量的加法、减法与数乘运算．加减法运算遵循平行四边形法则和三角形法则，向量的数量积运算要注意两个向量的夹角．二、方法必备1．数形结合法：求两向量夹角时，一定要结合图形确定角的位置． 2．转化法：在求异面直线所成的角时要转化为两个向量的夹角，结合异面直线所成角的范围确定．1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各对向量夹角为45°的是( ) A ．AB →与A 1C 1→ B ．AB →与CA →C ．AB →与A 1D 1→D ．AB →与B 1A 1→A [A 、B 、C 、D 四个选项中两个向量的夹角依次是45°，135°，90°，180°，故选A ．]A ．0B ．12 C ．－1 D ．13．化简：2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝________． 0 [2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC → ＝2(AB →＋BC →＋CD →＋DA →)＋CD →＋DA →＋AC → ＝0＋CA →＋AC →＝0＋0＝0．]4．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________．∴|a －b |＝22．]。

第2课时 空间直角坐标系必备知识·自主学习1.空间直角坐标系建立 方法在空间中任意选定一点O 作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy ，然后过O 作一条与xOy 平面垂直的数轴z 轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz.坐标 轴在空间直角坐标系Oxyz 中，x 轴、y 轴、z 轴是两两互相垂直的，它们都称为坐标轴．坐标 平面通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面．一般 画法x 轴、y 轴画成水平放置，x 轴正方向与y 轴正方向夹角为135°(或45°)，z 轴与y 轴(或x 轴)垂直．图示 点的坐标设M 为空间中的一个点，过M 分别作垂直于x 轴、y 轴、z 轴的平面，设这些平面与x 轴、y轴、z 轴依次交于点P ，Q ，R.且P ，Q ，R 在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ，因此将有序实数组(x ，y ，z)称为点M 的坐标，记作M(x ，y ，z)．卦限 空间直角坐标系的三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限．说明空间直角坐标系中点P 的坐标与空间向量OP →的坐标相同．2．空间向量坐标的应用空间两点A(x 1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)，线段AB 的中点M(x ，y ，z) AB →的坐标公式AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)空间中两点之间的距离公式AB AB ==222212121x x y y z z （－）＋（－）＋（－）中点坐标公式OM →＝()x ，y ，z ＝121212x x y y z z ()222+++，，已知 A(x 1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)，(1)向量AB →的坐标能表示为()x 1－x 2，y 1－y 2，z 1－z 2 吗？ 提示：不能．(2)A ，B 两点的距离能表示成()x 1－x 22＋()y 1－y 22＋()z 1－z 22 吗？提示：能．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)在空间直角坐标系中，在y 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c).() (2)若向量AB →＝(x ，y ，z)，则点B 的坐标是(x ，y ，z).()(3)点P(x ，y ，z)到坐标原点O(0，0，0)的距离OP ＝x 2＋y 2＋z 2 .() 提示：(1)×.y 轴上的点的坐标是横、竖坐标都为0. (2)×.A 点与原点重合是，不与原点重合则不是． (3)√.由空间中两点的距离公式可得．2．已知正方体的棱长为2，点E 是棱DD 1的中点，在如图所示的坐标系下，点E 的坐标为() A ．(1，0，0) B ．(0，1，0)C ．(0，0，1)D ．⎝⎛⎭⎫0，0，12【解析】选C.因为点E 在z 轴上，且DE ＝1，所以E 点的坐标为(0，0，1).3．(教材例题改编)已知点A ，B 的坐标分别为(－2，3，5)，(1，－1，－7)，则向量AB →的坐标是________．【解析】因为点A ，B 的坐标分别为(－2，3，5)，(1，－1，－7)，所以AB →＝(3，－4，－12). 答案：(3，－4，－12)关键能力·合作学习类型一 空间中点的坐标的确定(直观想象)1.点(1，－1，0)在空间直角坐标系中的() A ．z 轴上B ．xOy 平面上 C ．xOz 平面上D ．yOz 平面上2．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝4，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，CF ＝AB ＝2CE.在如图所示的坐标系下，EF →＝()A ．(1，2，1)B ．⎝⎛⎭⎫1，32，0 C ．⎝⎛⎭⎫0，12，1 D ．⎝⎛⎭⎫0，－12，－1 3．已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，则满足DB ∥AC ，DC ∥AB 的点D 的坐标为________．【解析】1.选B.因为点(1，－1，0)的竖坐标为0，所以此点是xOy 平面上的点．2．选C.因为AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝4，则CF ＝AB ＝1，CE ＝12 AB ＝12，所以BE ＝BC －CE ＝2－12 ＝32.所以点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，0 ，点F 的坐标为(1，2，1)，所以EF →＝⎝⎛⎭⎫0，12，1 . 3．设点D(x ，y ，z)，则DB → ＝(－x ，1－y ，－z)，AC → ＝(－1，0，2)，DC →＝(－x ，－y ，2－z)，AB →＝(－1，1，0)，因为DB ∥AC ，DC ∥AB ，所以DB → ∥AC → ，DC → ∥AB →，则⎩⎪⎨⎪⎧－x －1＝－z 2，1－y ＝0，－x －1＝－y1，2－z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝2， 所以D(－1，1，2).答案：(－1，1，2)确定点的坐标的常用方法：确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号．类型二 空间中两点之间的距离问题(逻辑推理、数学运算)【典例】如图所示，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，|C 1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点． (1)求DE ，EF 的长度．(2)若点G 为线段A 1C 1上一动点，求当GB ＝10 时点G 的坐标．【思路导引】建立适当的空间直角坐标系，把D ，E ，F 的坐标写出来，设出G 点坐标，再用距离公式解决．【解析】以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|C 1C|＝|CB|＝|CA|＝2，所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C 1(0，0，2)，B 1(0，2，2)，由中点坐标公式，可得D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)， 设G ()x ，0，2 ，其中0≤x≤2. (1)|DE|＝（1－0）2＋（1－1）2＋（0－2）2 ＝ 5 ，|EF|＝（0－1）2＋（1－0）2＋（2－0）2 ＝ 6 . (2)||GB ＝()x －02＋()0－22＋()2－02＝x 2＋8 ＝10 ，所以x ＝±2 (负值舍去)，所以点G 的坐标为()2，0，2 .距离问题的两种题型及解题策略：(1)已知两点坐标求距离，直接代入公式求解即可；(2)已知两点间距离求参数或点的坐标，应利用公式建立相应方程求解．1．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(3，1，2)，B(4，－2，－2)，C(0，5，1)，则BC 边上的中线长为________．【解析】因为B(4，－2，－2)，C(0，5，1)，所以BC 的中点为⎝⎛⎭⎫2，32，－12 ，所以BC 边上的中线长为 （3－2）2＋⎝⎛⎭⎫1－322＋⎝⎛⎭⎫2＋122＝302. 答案：3022．设点P 在x 轴上，使它到点P 1(0， 2 ，3)的距离是到点P 2(0，1，－1)的距离的2倍，求点P 的坐标．【解析】因为点P 在x 轴上，所以设点P 坐标为(x ，0，0).因为PP 1＝2PP 2，所以（x －0）2＋()0－22＋（0－3）2＝2（x －0）2＋（0－1）2＋（0＋1）2 ，所以x ＝±1，所以点P 的坐标为(1，0，0)或(－1，0，0). 类型三 空间向量坐标的应用(直观想象、逻辑推理) 角度 1 求值问题【典例】棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是DD 1，BD ，BB 1的中点．求： (1)EF → ·CF → ；(2)EF → ·CG → ；(3)||CE → ；(4)|EF → |.【思路导引】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出向量的坐标，再分别求解． 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则D(0，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12 ，C(0，1，0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0 ，G ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12 . 所以EF → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12 ，CF → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，0 ，CG → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12 ，CE → ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－1，12 . (1)EF → ·CF → ＝12 ×12 ＋12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ×0＝0.(2)EF → ·CG → ＝12 ×1＋12 ×0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ×12 ＝14 .(3)|CE →|＝02＋（－1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122 ＝52 .(4)|EF → |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝32 .本例条件不变，求cos 〈GF → ，EC →〉．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12 ，C(0，1，0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0 ，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12 .所以GF → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，－12 ，EC → ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，－12 ，所以cos 〈GF → ，EC →〉＝GF EC GF EC＝0－12＋1434·54＝－1515 .角度 2 证明问题如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝ 2 ，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ； (2)AM ⊥平面BDF.【思路导引】建立恰当的坐标系，利用空间向量证明． 【证明】(1)因为平面ABCD ⊥平面ACEF ， 平面ABCD∩平面ACEF ＝AC ，EC ⊥AC ， 所以EC ⊥平面ABCD ，又BC ⊥DC ，如图，建立空间直角坐标系，设AC∩BD ＝N ，连接NE ，则点N ，E 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫22，22，0 ，(0，0，1).所以NE →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1 .又点A ，M 的坐标分别是( 2 ， 2 ，0)，⎝⎛⎭⎫22，22，1 ，所以AM → ＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1 . 所以NE → ＝AM →.又NE 与AM 不共线，所以NE ∥AM. 又因为NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， 所以AM ∥平面BDE.(2)由(1)知AM →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1 .因为D( 2 ，0，0)，F( 2 ， 2 ，1)，所以DF → ＝(0， 2 ，1)，所以AM → ·DF → ＝0，所以AM → ⊥DF →.同理AM → ⊥BF →.又DF∩BF ＝F ，且DF ⊂平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，所以AM ⊥平面BDF.空间向量坐标应用的关注点： (1)建系，写坐标，把向量坐标化；(2)利用向量的坐标运算公式求解向量的数量积、模长、夹角等问题． (3)利用空间向量共线与垂直的条件证明线面的平行、垂直问题．1．以A(10，－1，6)，B(4，1，9)，C(2，4，3)三点为顶点的三角形的形状是() A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 【解析】选D.根据空间两点间距离公式， 得|AB|＝（10－4）2＋（－1－1）2＋（6－9）2 ＝7， |BC|＝（4－2）2＋（1－4）2＋（9－3）2 ＝7， |AC|＝（10－2）2＋（－1－4）2＋（6－3）2＝98 .因为|AB|2＋|BC|2＝|AC|2，且|AB|＝|BC|， 所以△ABC 是等腰直角三角形．2．如图所示，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 为A 1A 的中点． (1)BN 的长为________；(2)1BA 与1CB 夹角的余弦值为________．【解析】如图，以CA → ，CB →，1CC 为正交基底建立空间直角坐标系Cxyz.(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)， 所以|BN →|＝（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2 ＝3 ，所以线段BN 的长为3 .(2)依题意得A 1(1，0，2)，C(0，0，0)，B 1(0，1，2)， 所以1BA ＝(1，－1，2)，1CB ＝(0，1，2)， 所以11BA CB ＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又|1BA |＝6 ，|1CB |＝5 ，所以cos 〈11BA CB ，〉＝1111BA CB BA CB ＝3010，即1BA 与1CB 夹角的余弦值为3010.答案：(1)3 (2)30103．如图，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝BC ＝a.(1)求AB → ·SC → ；(2)用空间向量的方法证明：BC ⊥平面ABS. 【解析】以点A 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系．因为SA ＝AB ＝BC ＝a ， 所以B ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0 ，C(0, 2 a ，0)，S(0，0，a).(1)AB → ＝⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0 ，SC →＝(0, 2 a ，－a).所以AB → ·SC →＝a 2.(2)由于AB → ＝⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0 ，AS →＝(0，0，a)，BC → ＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a ，0 ，显然，AB → ·BC → ＝0，AS → ·BC →＝0. 即AB ⊥BC ，AS ⊥BC ，又AB∩AS ＝A ， 故BC ⊥平面ABS. 【补偿训练】如图所示，在三棱锥S-ABC 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13 ，SB ＝29 . (1)求SC → ·BC → . (2)求|SC → ||AB → |.【解析】因为∠SAB ＝∠SAC ＝90°，所以SA ⊥AB ，SA ⊥AC 且AB∩AC ＝A ，所以SA ⊥平面ABC ，如图所示，取A 为坐标原点，AC ，AS 所在直线分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则由AC ＝2，BC ＝13 ，SB ＝29 ，得C(0，2，0)，B(－13 ，2，0)，S(0，0，2 3 ).所以AB → ＝(－13 ，2，0)，SC → ＝(0，2，－2 3 )，BC → ＝(13 ，0，0).(1)SC → ·BC → ＝0.(2) |SC → |＝02＋22＋()－232 ＝4， |AB → |＝()－132＋22＋02 ＝17 ，所以|SC → ||AB → |＝4×17 ＝417 .课堂检测·素养达标1．以棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA 1B 1B 的对角线的交点坐标为()A ．⎝⎛⎭⎫0，12，12B ．⎝⎛⎭⎫12，0，12 C ．⎝⎛⎭⎫12，12，0 D ．⎝⎛⎭⎫12，12，12【解析】选B.根据题意，正方形AA 1B 1B 的对角线的交点纵坐标为0，横、竖坐标都是12. 2．(教材练习改编)在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点A 的坐标为(2，2，－1)，点B 的坐标为(3，－1，2)，则()A ．AB → ＝(2，2，－1) B ．AB → ＝(3，－1，2)C ．BA → ＝(1，－3，3)D ．BA → ＝(－1，3，－3)【解析】选D.AB → ＝OB → －OA → ＝(1，－3，3)，BA → ＝OA → －OB → ＝(－1，3，－3).3．点(4，0，1)在空间直角坐标系中的()A ．y 轴上B ．xOy 平面上C ．xOz 平面上D ．yOz 平面上【解析】选C.因为点(4，0，1)的纵坐标为0，所以此点是xOz 平面上的点．4．已知A(－4，1，3)，B(2，－3，5)，则线段AB 中点的坐标为________.【解析】设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则x 0＝－4＋22 ＝－1，y 0＝1－32 ＝－1，z 0＝3＋52＝4， 所以线段AB 的中点坐标为(－1，－1，4).答案：(－1，－1，4)5．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则AB → 与CA → 的夹角θ的大小是________．【解析】由于AB → ＝(－2，－1，3)，CA → ＝(－1，3，－2)，所以AB → ·CA → ＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，|AB → |＝14 ，|CA → |＝14 ，所以cos θ＝cos 〈AB → ，CA → 〉＝－714×14 ＝－12 ， 则θ＝120°.答案：120°。

2021-2022年高中数学第三章第1节空间向量及其运算知识精讲理人教实验B版选修2－1【本讲教育信息】一、教学内容：选修2—1 空间向量及其运算二、教学目标：1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。

2．理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。

3．掌握空间向量的数量积的计算，掌握空间向量的线性运算，掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。

三、知识要点分析：1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）运算律：（1）加法交换律：（2）加法结合律：（3）数乘分配律：3．共线向量定理：对于空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数，使＝λ. 4．共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在有序实数组，使得。

5．空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使6．夹角定义：是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作，则叫做向量与向量的夹角，记作 规定：特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作。

7．数量积（1）设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即＝（2）夹角：． （3）空间向量数量积的性质：①．②．③．（4）空间向量数量积运算律：①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．②（交换律）．③（分配律）．8．空间向量的直角坐标运算律（1）若，，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，0b a b a b a 0332211=++⇔=⋅⇔⊥（2）若，，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。