空间向量讲义(非常好用)

空间向量及其运算讲义一、知识梳理1．空间向量的有关概念2.(1)共线向量定理空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量． (3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示 坐标表示 数量积 a·ba 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R ) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模 |a |a 21＋a 22＋a 23夹角〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23注意：1．向量三点共线定理在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点． 2．向量四点共面定理在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间中任意一点．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面．( ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( )(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( )(5)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( ) (6)若a·b <0，则〈a ，b 〉是钝角．( ) 题组二：教材改编2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c3．正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________． 题组三：易错自纠4．在空间直角坐标系中，已知A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．垂直 B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直5．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是__________________________________．6．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC →，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______.三、典型例题题型一：空间向量的线性运算1.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝______.2.如图，在三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →等于( )A.12(－a ＋b ＋c ) B.12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D.12(－a －b ＋c ) 思维升华：用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 题型二：共线定理、共面定理的应用典例：如图所示，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？ (2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？思维升华：(1)证明空间三点P ，A ，B 共线的方法 ①P A →＝λPB →(λ∈R )；②对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )； ③对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)． (2)证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法 ①MP →＝xMA →＋yMB →；②对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；③对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)； ④PM →∥AB →(或P A →∥MB →或PB →∥AM →)．跟踪训练 如图，在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F ，G 分别是A 1D 1，D 1D ，D 1C 1的中点．(1)试用向量AB →，AD →，AA 1→表示AG →； (2)用向量方法证明平面EFG ∥平面AB 1C . 题型三：空间向量数量积的应用典例 如图，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.(1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA 1⊥BD .思维升华：(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角． (3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．跟踪训练 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1→的长；(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值． 注意：坐标法在立体几何中的应用典例 (12分)如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，在底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN →的模；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .四、反馈练习1．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c . 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．已知向量a ＝(2m ＋1,3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于( ) A.32 B ．－2 C ．0D.32或－2 3．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂αD ．l 与α斜交4．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(x,1,2)，且a·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为( ) A.5π6 B.2π3 C.π3D.π65．已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ等于( ) A ．9 B ．－9 C ．－3 D ．36．如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A. 3B. 2 C ．1 D.3－27．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．8.如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为______．9．A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________三角形．(填锐角、直角、钝角中的一个) 10．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体， ①(A 1A →＋A 1D 1—→＋A 1B 1—→)2＝3A 1B 1—→2； ②A 1C →·(A 1B 1—→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|. 其中正确的序号是________．11．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c ； (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值．12.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EG 的长；(3)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．13．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．不确定14．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且向量p ＝x a ＋y b ＋z c ，则(x ，y ，z )叫向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标，已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，一向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4,2,3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是( ) A ．(4,0,3) B ．(3,1,3) C ．(1,2,3)D ．(2,1,3)15．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为( ) A ．平行四边形 B ．梯形 C ．长方形D ．空间四边形16．已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是____________．。

向量的数量积和坐标运算a,b 是两个非零向量，它们的夹角为 ，则数|a | |b| cos 叫做a 与b 的数量积（或内 积），记作a b ，即a b | a | | b | cos .其几何意义是a 的长度与b 在a 的方向上的投影的 乘积.其坐标运算是：—r—fc-若a （x i ,y i ,zj,b （x 2.y 2.z 2），贝U① a bx 1x 2yyz i z 2；②|a|2y i2,|b|2 2 2X 2 y 2 z 2 ；③a bX 1X 2y i y 2 Z 1Z 2(C ④ cos—r—ra bX 1X 2 y“2Z 1Z 2d j u/ 222 2 2 2X i y 1乙 i X 2yZ 2异面直线m, n 所成的角分别在直线m, n 上取定向量a,b,则异面直线m,n 所成的角 等于向量a, b 所成的角或其补角异面直线m 、n 的距离分别在直线m 、n 上取定向量a, b,求与向量a 、b 都垂直的向量，分别在m 、n 上各取一个定点A 、B ，则异面直线m 、n 的距离d 等于AB 在~n 上的射影 长，即 d LABB .|n|.直线L 与平面所成的角在L 上取定AB ，求平面 的法向量n （如图2所示），再求cos 1 AB n|，则 —|AB| | n|2为所求的角.（如图1所示），则cos la b| |a| |b|•二面角方法一：构造二面角I 的两个半平面、的法向量厲、门2 （都取向上的方向，如图3所示），贝U①若二面角丨是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量厲、门2的夹角的补角，即cos “ n2（例如2004年高考数|n i | |n2 |学广东卷第18题第（1）问）②若二面角丨是“锐角型”的如图3乙所示，那么其大小等于两法向量口、n2的夹角，即cos " “2.I n i | | n2 |③方法二：在二面角的棱I上确定两个点A、B，过A、B分别在平面、内求出与I垂直的向量口、压（如图4所示），则二面角I的大小等于向量■»n nn1、n2的夹角，即cos ——1——2I n i | | n2 |.平面外一点p到平面的距离先求出平面的法向量n ,在平面内任取一定点A，则点p到平面的距离d等于AP在n上的射影长，即d 卑丄1|n|练习1.在长方体ABCD A1B1C1D1中，B1C和GD与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线BQ 和CQ所成角的余弦值为_______________ .2.如图，正四棱柱ABCD A i BiGD i中，AA所成角的余弦值为（）2AB，则异面直线A i B与AD i4-5D3一5G2-513.,在四面体S-ABC中, E、F、G、H、M、N分别是棱SA BC AB、SC AC、SB的中点,且EF=GH=MN求证：SA BC,SB AC,SC AB.4.如图2,正三棱柱ABC A i B i C i的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC i与侧面ABB i A i所成的角.国25.如图3,直三棱柱ABC AB I G中，底面是等腰直角三角形，ACB 90°，侧棱AA 2, D, E分别是CC i与AB的中点，点E在平面ABD上的射影是△ ABD的重心G , 求点A到平面AED的距离.■1 閱36 .已知正方体ABCD AB iG D i的棱长为2，P, Q分别是BC，CD上的动点，且| PQ 2，确定P, Q的位置，使QB i PD i .7 .如图4 ,在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD中，ABC 90° , SA 面ABCD ,SA AB BC 1, AD 1，求面SCD与面SBA所成二面角的正切值.M47•如图，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD丄底面ABCD, E, F分别为AB, SC的中点.(1)证明EF //平面SAD;(2)设SD 2DC，求二面角A EF D的大小的余弦值.8 (本小题满分14分)如图，三棱柱A i B i C i ABC中，平面AAB 平面ABC ,平面AAC平面ABC,BAC 90 , AB AC 2, AA i 3.(I )求证：AA 平面ABC ;(n)求异面直线AB i与BC i所成角的余弦值；(m) 求点R到平面ABC i 的距离ByCC9、如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD丄底面ABCD侧棱PA=PD=V2，底面ABCD为直角梯形，其中BC// AD, AB丄AD, AD=2AB=2BC=2, O(1)求证：P0丄平面ABCD(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值大小；QF的值；若不存在，请说明理由为AD中点. 的距离为10.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1 中，AD= AA=1，AB=2。

第1讲空间向量及其运算新课标要求1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。

2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。

3.掌握空间向量的线性运算。

4.掌握空间向量的数量积。

知识梳理1.空间向量的概念与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模，空间向量用字母a,b,c ...表示.2.几个常见的向量零向量长度为0的向量叫做零向量单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记做-a 共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量。

我们规定：零向量与任意向量平行.相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量3.向量的线性运算交换律：+=+a b b a ；结合律：()();()()λμλμ+=+=a b +c a +b c a a ；分配律：();()λμλμλλλ+=++=+a a a a b a b .4.共面向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量.5.空间向量的数量积||||cos ,⋅=<>a b a b a b 零向量与任意向量的数量积为0.名师导学知识点1空间向量的有关概念【例1-1】（咸阳期末）已知是空间的一个单位向量，则的相反向量的模为A.1B.2C.3D.4【分析】本题考查了向量的基础知识，根据向量模的概念求解即可；【解答】解：因为是空间的一个单位向量，所以的相反向量的模，故选A．【变式训练1-1】（龙岩期末）在平行六面体中，与向量相等的向量共有A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】本题考查了相等向量及其平行六面体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用相等向量及其平行六面体的性质即可得出．【解答】解：如图所示，与向量的相等的向量有以下3个：故选C．知识点2空间向量的线性运算【例2-1】（泰安期末）如图所示，在长方体中，O为AC的中点．化简：________；用，，表示，则________．【分析】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．利用化简即可；将分解为，继而进行正交分解即可．【解答】解：．．【例2-2】（河西区期末）在三棱锥中，，，，D为BC的中点，则A. B.C. D.【分析】本题考查空间向量的加减运算，属于基础题．若D为BC的中点，则，根据向量的减法法则即可得到答案．【解答】解：依题意得，故选A．【变式训练2-1】（东湖区校级一模）在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则A. B. C. D.【分析】本题考查了空间向量的加减运算及数乘运算，属于基础题．根据题意，将进行转化，即可得解．【解答】解：．【变式训练2-2】（随州期末）如图，已知长方体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．；．【解析】解：．．向量，如图所示．知识点3共面向量【例3-1】（珠海期末）已知A，B，C三点不共线，点M满足．，，三个向量是否共面点M是否在平面ABC内【解析】解，，，向量，，共面．由知向量，，共面，又它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内．【变式训练3-1】（日照期末）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：向量，，共面．【解析】证明：因为M在BD上，且，所以．同理．所以．又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．知识点4空间向量的数量积【例4-1】（溧阳市期末）已知长方体中，，，E为侧面的中心，F为的中点试计算：．【解析】解：如图，设，，，则，，．．．．【变式训练4-1】（兴庆区校级期末）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：．【解析】解，．．，．，，．名师导练A组-[应知应会]1.（台江区校级期末）长方体中，若，，，则等于A. B.C. D.【分析】本题考查空间向量的运算，属基础题．根据空间向量的运算法则求解即可．【解答】解：，故选C．2.（秦皇岛期末）若空间四边形OABC的四个面均为等边三角形，则的值为A. B. C. D.0【分析】本题主要考查了空间向量的运算、向量的数量积、向量垂直的判定，属于中档题．先求出向量的数量积，由它们的数量积为0判断，所以向量的夹角为，由此得出结论．【解答】解：，空间四边形OABC的四个面为等边三角形，，，，，，故选D．3.（定远县期末）给出下列几个命题：向量，，共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的；若，则存在唯一的实数，使．其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.3【分析】本题主要考查命题的真假判断与应用，比较基础．利用向量共面的条件判断．利用零向量的性质判断．利用向量共线的定理进行判断．【解答】解：假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；真命题．这是关于零向量的方向的规定；假命题．当，则有无数多个使之成立．故选B ．4.（葫芦岛期末）在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是A.；B.；C.D.【分析】本题考查空间向量基本定理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．利用空间向量基本定理，进行验证，对于C ，可得，，为共面向量，从而可得M 、A 、B 、C四点共面．【解答】解：对于A ，，无法判断M 、A 、B 、C 四点共面；对于B ，，、A 、B 、C 四点不共面；C 中，由，得，则，，为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面；对于D ，，，系数和不为1，、A 、B 、C四点不共面．故选C ．5.（多选）（点军区校级月考）已知1111ABCD A B C D -为正方体，下列说法中正确的是()A ．221111111()3()A A A D AB A B ++= B ．1111()0A C AB A A -=C ．向量1AD 与向量1A B的夹角是60︒D ．正方体1111ABCD A B C D -的体积为1||AB AA AD【分析】本题考查的是用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系及夹角与体积．用到向量的加法、减法、夹角及向量的数量积，研究了正方体中的线线平行、垂直，异面直线的夹角及正方体的对角线的计算、体积的计算．【解答】解：由向量的加法得到：111111A A A D A B A C ++= ， 221113AC A B =，∴22111()3()AC A B = ，所以A 正确；1111A B A A AB -= ，11AB A C ⊥，∴110A C AB =，故B 正确；1ACD ∆ 是等边三角形，160AD C ∴∠=︒，又11//A B D C ，∴异面直线1AD 与1A B 所成的夹角为60︒，但是向量1AD 与向量1A B的夹角是120︒，故C 不正确；1AB AA ⊥ ，∴10AB AA = ，故1||0AB AA AD =，因此D 不正确．故选：AB ．6.（都匀市校级期中）空间的任意三个向量，，，它们一定是________向量填“共面”或“不共面”．【分析】正确理解共面向量定理是解题的关键．由于可用向量，线性表示，即可判断出空间中的三个向量，，是否是共面向量．【解答】解：可用向量，线性表示，由空间中共面向量定理可知，空间中的三个向量，，一定是共面向量．7.（池州模拟）给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量，，满足，则；在正方体中，必有；若空间向量，，满足，，则．其中不正确的命题的序号为________．【分析】本题考查的知识点是空间相等的定义，难度不大，属于基础题．根据相向相等的定义，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：若两个空间向量相等，则它们方向相同，长度相等，但起点不一定相同，终点也不一定相同，故错误；若空间向量，，满足，但方向不相同，则，故错误；在正方体中，与方向相同，长度相等，故，故正确；若空间向量，，满足，，则，故正确；故答案为．8．（未央区校级期末）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且3148OP OA OB tOC=++，若P，A，B，C四点共面，则实数t=．【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．【解答】解：由题意得，3148OP OA OB tOC=++，且P，A，B，C四点共面，∴31148t++=18t∴=，故答案为：18．9．（天津期末）在正四面体P ABC-中，棱长为2，且E是棱AB中点，则PE BC的值为．【分析】如图所示，由正四面体的性质可得：PA BC⊥，可得：0PA BC=．由E是棱AB中点，可得1()2PE PA PB=+，代入PE BC，利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：如图所示，由正四面体的性质可得：PA BC⊥，可得：0PA BC=．E是棱AB中点，∴1()2PE PA PB=+，∴1111()22cos12012222PE BC PA PB BC PA BC PB BC=+=+=⨯⨯⨯︒=-．故答案为：1-．10.（三明期中）如图所示，在正六棱柱中化简，并在图中标出表示化简结果的向量化简，并在图中标出表示化简结果的向量．【解析】解：．，在图中表示如下：．在图中表示如下：11.（都匀市校级期中）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面求证：．【解析】证明：由底面ABCD为平行四边形，，，知，则．由底面ABCD ，知，则．又，所以，即．12．（西夏区校级月考）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别在1B B 和1D D 上，且11||||3BE BB =，12||||3DF DD =（1）求证：A 、E 、1C 、F 四点共面；（2）若1EF xAB y AD z AA =++ ，求x y z ++的值．【分析】（1）利用向量三角形法则、向量共线定理、共面向量基本定理即可得出．（2）利用向量三角形法则、向量共线定理、共面向量基本定理即可得出．【解答】（1）证明： 1111111212()()3333AC AB AD AA AB AD AA AA AB AA AD AA AB BE AD DF AE AF =++=+++=+++=+++=+．A ∴、E 、1C 、F 四点共面．（2）解： 111211()333EF AF AE AD DF AB BE AD DD AB BB AB AD AA =-=+-+=+--=-++ ，1x ∴=-，1y =，13z =，13x y z ∴++=．B 组-[素养提升]1.（多选）（三明期中）定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗ ，b > ，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有()A ．a b b a=⊗⊗ B ．()()a b a b λλ=⊗⊗ C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗ D ．若1(a x = ，1)y ，2(b x = ，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗【分析】A 和B 需要根据定义列出左边和右边的式子，再验证两边是否恒成立；C 由定义验证若a b λ= ，且0λ>，结论成立，从而得到原结论不成立；D 根据数量积求出cos a < ，b > ，再由平方关系求出sin a < ，b > 的值，代入定义进行化简验证即可．【解答】解：对于A ，||||sin a b a b a =<⊗ ，b > ，||||sin b a b a b ==<⊗ ，a > ，故a b b a =⊗⊗ 恒成立；对于:()(||||sin B a b a b a λλ=<⊗ ，)b > ，()||||||sin a b a b a λλλ=<⊗ ，b > ，故()()a b a b λλ=⊗⊗ 不会恒成立；对于C ，若a b λ= ，且0λ>，()(1)||||sin a b c b c b λ+=+<⊗ ，c > ，()()||||sin a c b c b c b λ+=<⊗⊗ ，||||sin c b c b >+< ，(1)||||sin c b c b λ>=+< ，c > ，显然()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗ 不会恒成立；对于D ，cos a < ，1212||||x x y y b a b +>= ，sin a < ，b >= ，即有||||||a b a b a ==⊗=1221||x y x y ===-．则1221||a b x y x y =-⊗ 恒成立．故选：AD ．。

人教版选修21第三章空间向量的基本定理讲义讲堂合作研究重点难点突破知识点一 共线向量定理（1）定理内容：对空间两个向量()0,≠b b a ，b a //的充要条件是存在唯一的实数x ， 使xb a =。

此定理可以分化为以下两个命题；①若()0//≠b b a ，则存在唯一实数x ，使xb a =。

②存在实数x ，使()0≠=b xb a ，则b a //。

（2）在定理中为什么要准则0≠b 呢?当时0=b ，若0=a ，则b a //，也存在实数x 使xb a =；但若0≠a ，我们知道零向量和任一非零向量共线，但不存在实数x ，使xb a =，因此在定理中准则了0≠b 。

若将定理写成xa b b a =⇔//，则应准则0≠a 。

说明：①在xb a =功中，敷衍确定的x 和b ，xb a =功表示空间与b 平行或共线且长度为xb 的所有向量；②利用共线向量定理可以证明两线平行，或三点共线。

知识点二 共面向量定理（1）共面向量已知向量a ，作a OA =，要是OA 的基线平行于平面a ，记作α//a （右图），通常我们把平行于联合平面的向量，叫做共面向量。

说明：①α//a 是指a 的基线在平面α内或平行平面α。

②共面向量是指这些向量的基线平行或在联合平面内，共面向量的基线可能相交、平行或异面。

我们已知，对空间恣意两个向量，它们总是共面的，但空间恣意三个向量就不一定共面了。

比方，在下图中的长方体，向量AB 、AC 、AD ，无论怎样平移都不能使它们在联合平面内。

（2）共面向量定理共面向量定理：要是两个向量a 、b 不共线，则向量c 与向量a 、b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数y x ,，使yb xac +=。

说明：①在证明充要条件标题时，要证明两个方面即充分性和必要性。

②共面向量的充要条件给出了平面的向量表示，说明恣意一个平面可以由两个不共线的平面向量表示出来，它既是鉴别三个向量是否共面的依据，又是已知共面条件的另一种形式，可以借此已知共面条件化为向量式，以便我们的向量运算。

专题1.3 空间向量基本定理知识点一 空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z)，使得p ＝xa ＋yb ＋zc.我们把{a ，b ，c}叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量．知识点二 空间向量的正交分解 1．单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i ，j ，k}表示．2．向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a ，均可以分解为三个向量xi ，yj ，zk 使得a ＝xi ＋yj ＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点三 证明平行、共线、共面问题(1) 对于空间任意两个向量a ，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb.(2) 如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y)，使p ＝xa ＋yb.知识点四 求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|. (2)若a ，b 是非零向量，则a∥b ⇔a·b ＝0. 知识点五 求距离(长度)问题 ||a ＝a·a( ||AB →＝AB →·AB → )．【题型1 空间向量基底的判断】【例1】（2020秋•嘉祥县校级期中）已知{a →，b →，c →}是空间向量的一个基底，则与向量p →=a →+b →，q →=a →−b →可构成空间向量基底的是（ ） A ．a →B ．b →C ．a →+2b →D ．a →+2c →【变式1-1】（2020秋•桃城区校级期中）已知{e 1→，e 2→，e 3→}是空间的一个基底，下列四组向量中，能作为空间一个基底的是（ ）①e 1→，2e 2→，e 2→−e 3→②2e 2→，e 2→−e 1→，e 2→+2e 1→③2e 1→+e 2→，e 2→+e 3→，−e 1→+5e 3→ ④e 3→，e 1→+e 3→，e 1→+e 3→．A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③【变式1-2】（2020秋•赤峰校级期末）{a →，b →，c →}＝是空间向量的一个基底，设p →=a →+b →，q →=b →+c →，r →=c →+a →，给出下列向量组：①{a →，b →，p →}，②{b →，c →，r →}，③{p →，q →，r →}，④{p →，q →，a →+b →+c →}，其中可以作为空间向量基底的向量组有（ ）组． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【变式1-3】已知{e 1→，e 2→，e 3→}为空间的一个基底，且OA→=e 1→+2e 2→−e 3→，OB→=−3e 1→+e 2→+2e 3→，OC→=e 1→+e 2→−e 3→，能否以{OA →，OB →，OC →}作为空间的一组基底？【题型2 空间向量基本定理的应用（表示向量）】【例2】（2020秋•南开区校级月考）在平行六面体ABCD ﹣A1B1C1D1中，AA 1→=c →，AB →=b →，AD →=a →，E 是BC 的中点，用a →，b →，c →表示A 1E →为（ ） A ．12a →+b →−c →B ．a →+b →−c →C ．12a →−b →−c →D ．12a →−b →+c →【变式2-1】（2020秋•南阳期末）已知空间四边形OABC ，其对角线OB 、AC ，M 、N 分别是边OA 、CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG ＝2GN ，用向量OA →，OB →，OC →，表示向量OG →是（ ）A ．OG →=OA →+23OB →+23OC →B ．OG →=12OA →+23OB →+23OC →C ．OG →=16OA →+13OB →+13OC →D ．OG →=16OA →+13OB →+23OC →【变式2-2】（2020秋•随州期末）已知在空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 在OA 上，且OM ＝3MA ，N 为BC 中点，用a →，b →，c →表示MN →，则MN →等于 ．【变式2-3】（2020秋•珠海期末）四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于点O ，点G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA →=a →，PB →=b →，PC →=c →，用基底{a →，b →，c →}表示向量BG →= ．【题型3 空间向量基本定理的应用（求参数）】【例3】（2020秋•江苏期末）在三棱锥O ﹣ABC 中，AD →=DB →，CE →=2EB →，若DE →=xOA →+yOB →+zOC →，则（ ）A ．x =12，y =−16，z =13 B ．x =12，y =16，z =−13 C ．x =−12，y =16，z =13 D ．x =12，y =16，z =13【变式3-1】（2020秋•资阳期末）如图，M ，N 是分别是四面体O ﹣ABC 的棱OA ，BC 的中点，设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，若MN →=x a →+y b →+z c →，则x ，y ，z 的值分别是（ ）A ．12，12，12B ．12，12，−12C ．−12，12，−12D ．−12，12，12【变式3-2】（2020秋•白水县期末）在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，若AG →=xAB →+yAD →+zAC →，则x+y+z ＝ ．【变式3-3】（2020秋•番禺区期末）在平行六面体ABCD ﹣A1B1C1D1中，E ，F ，分别在棱B1B 和D1D 上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．若EF →=xAB →+yAD →+zAA 1→，则x+y+z ＝ ．【题型4 利用空间向量基本定理解决几何问题】【例4】如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ABCD －A1B1C1D1 ，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是________．(填序号)① (AA1—→＋AB →＋AD →)2＝2(AC →)2 ； ②AC1—→·(AB →－AD →)＝0 ；③向量B1C —→与AA1—→的夹角是60°； ④BD1与AC 所成角的余弦值为63.【变式4-1】如图，二面角α－l －β等于2π3，A ，B 是棱l 上两点， BD, AC 分别在平面α，β内，AC∥l ，BD∥l ，且 2AB ＝AC ＝BD ＝2，则CD 的长等于( )A ．2 3 B.13 C ．4 D ．5【变式4-2】如图所示，在三棱锥 A －BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ＝DA ＝2，E 为BC 的中点．(1)证明：AE∥BC ；(2)求直线AE 与DC 的夹角的余弦值．【变式4-3】如图，正方体ABCD －A1B1C1D1中，P 是DD1的中点，O 是底面ABCD 的中心．求证：B1O∥平面PAC.【课后检测】一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2020秋•烟台期中）下列说法正确的是（ ） A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．直线的方向向量有且仅有一个2．（3分）（2020秋•碑林区校级月考）若{a →、b →、c →}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是（ ）A ．{a →，a →+b →，a →−b →} B ．{b →，a →+b →，a →−b →} C ．{c →，a →+b →，a →−b →} D ．{a →+b →，a →−b →，2a →+b →}3．（3分）（2020秋•枣庄期末）如图：在平行六面体ABCD ﹣A1B1C1D1中，M 为A1C1，B1D1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则向量BM →=（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →4．（3分）（2020秋•榆林期末）如图，在平行六面体ABCD ﹣A1B1C1D1中，M 为A1C1与B1D1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则下列向量中与AM →相等的向量是（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →5．（3分）（2020秋•安顺期末）如图，在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点，则OG →等于（ ）A ．13OA →+13OB →+13OC →B ．12OA →+13OB →+14OC →C ．12OA →+14OB →+14OC →D ．14OA →+14OB →+16OC →6．（3分）（2020秋•新乡期末）如图，在长方体ABCD ﹣A1B1C1D1中，P 是线段D1B 上一点，且BP ＝2D1P ，若AP →=x AB →+y AD →+z AA 1→，则x+y+z ＝（ ）A ．53B ．23C ．43D ．17．（3分）（2020秋•皇姑区校级期末）若O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则（ ）A ．OA →，OB →，OC →共线 B ．OA →，OB →共线 C ．OB →，OC →共线 D ．O ，A ，B ，C 四点共面8．（3分）（2020秋•吉林期末）在四面体OABC 中，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，若OG →=13OA →+xOB →+yOC →，且G ，M ，N 三点共线，则x+y ＝（ ） A ．−13 B ．13 C ．23 D ．−23二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021春•徐汇区校级期中）在平行六面体ABCD ﹣A1B1C1D1中，设AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，用a →、b →、c →作为基底向量表示D 1B →= ．10．（4分）（2020秋•沈阳期中）已知M ，N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且MP ＝2PN ，设向量OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则OP →= .（用{a →，b →，c →}表示）11．（4分）（2020秋•浙江月考）已知正方体ABCD ﹣A1B1C1D1中，A 1E →=13A 1C 1→，若AE →=xAA 1→+yAB →+zAD →，则x ＝ ，y+z ＝ ．12．（4分）（2020•闵行区校级模拟）在正方体ABCD ﹣A1B1C1D1中，点M 和N 分别是矩形ABCD 和BB1C1C 的中心，若点P 满足DP →=m DA →+n DM →+k DN →，其中m 、n 、k∥R ，且m+n+k ＝1，则点P 可以是正方体表面上的点 ．三．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2020秋•淄博期末）已知空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ）A ．向量i →+j →+k →的模是3B ．{i →+j →，i →−j →，k →}可以构成空间的一个基底C ．向量i →+j →+k →和k →夹角的余弦值为√33 D ．向量i →+j →与k →−j →共线14．（4分）（2020秋•荔湾区期末）在空间四边形OABC 中，E 、F 分别是OA 、BC 的中点，P 为线段EF 上一点，且PF ＝2EP ，设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则下列等式成立的是（ ） A ．OF →=12b →+12c →B ．EP →=−16a →+16b →+16c →C ．FP →=−13a →+13b →+13c →D ．OP →=13a →+16b →+16c →15．（4分）（2020秋•山东月考）设{a →，b →，c →}是空间的一组基底，则下列结论正确的是（ ） A ．a →，b →，c →可以为任意向量B ．对空间任一向量p →，存在唯一有序实数组（x ，y ，z ），使p →=x a →+y b →+z c →C ．若a →⊥b →，b →⊥c →，则a →⊥c →D ．{a →+2b →，b →+2c →，c →+2a →}可以作为构成空间的一组基底16．（4分）（2020秋•乳山市校级月考）给出下列命题，其中正确命题有（ ） A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量a →∥b →，则存在向量可以与a →，b →构成空间的一个基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面 D ．已知向量组{a →，b →，c →}是空间的一个基底，若m →=a →+c →，则{a →，b →，m →}也是空间的一个基底 四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）已知{a →，b →，c →}是空间的一个基底，求证：{a →+b →，b →+c →，c →+a →}可以构成空间的一个基底． 18．（6分）（2020秋•乐山期中）如图，在平行六面体ABCD ﹣A'B'C'D'中，AB ＝4，AD ＝3，AA'＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA'＝∠DAA'＝60°，且点F 为BC'与B'C 的交点，点E 在线段AC'上，有AE ＝2EC'． （1）求AC'的长；（2）将EF →用基向量AB →，AD →，AA′→来进行表示．设EF →=x AB →+y AD →+z AA′→，求x ，y ，z 的值．19．（8分）（2020秋•兴庆区校级期中）如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，设AB →=a →，AC →=b →，AD →=c →，a →，b →，c →为空间向量的一组基底， 计算： （1）EF →⋅BA →； （2）|EG|．20．（8分）（2020秋•成都期末）如图，已知平行六面体ABCD ﹣A1B1C1D1．（I ）若G 为△ABC 的重心，A 1M →=3MG →，设AB →=a ，AD →=b ，AA 1→=c ，用向量a 、b 、c 表示向量A 1M →； （II ）若平行六面体ABCD ﹣A1B1C1D1各棱长相等且AB ⊥平面BCC1B1，E 为CD 中点，AC1∩BD1＝O ，求证：OE ⊥平面ABC1D1．21．（8分）已知在四面体P ﹣ABC 中，PA →=a →，PB →=b →，PC →=c →，G∥平面ABC ． 证明：G 为△ABC 的重心的充要条件是PG →=13（a →+b →+c →）22．（8分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，点G 为△ABC 的重心，点M 在PG 上，且PM ＝3MG ，过点M 任意作一个平面分别交线段PA ，PB ，PC 于点D ，E ，F ，若PD →=m PA →，PE →=n PB →，PF →=t PC →，求证：1m +1n +1t 为定值，并求出该定值．。

第十章空间向量第一节空间向量及其运算和空间位置关系对应学生用书P1451．空间向量及其有关概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一平面的向量共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z，使OP＝x OA＋y OB＋z OC且x＋y＋z＝12(1)两个向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.(2)向量的坐标运算：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)12．共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的．3．一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量，不要误为是共面向量．[试一试]1．有以下命题：①若是向量a，b与任何向量不能组成空间向量的一个基底，那么a，b的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量OA―→，OB―→，OC―→不组成空间的一个基底，那么点O，A，B，C必然共面；③已知向量a，b，c是空间的一个基底，那么向量a＋b，a－b，c也是空间的一个基底．其中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．解析：关于①，“若是向量a，b与任何向量不能组成空间向量的一个基底，那么a，b 的关系必然是共线”，因此①错误．②③正确．答案：②③2．在以下命题中：①假设向量a，b共线，那么向量a，b所在的直线平行；②假设向量a，b所在的直线为异面直线，那么向量a，b必然不共面；③假设三个向量a，b，c两两共面，那么向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，那么关于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z 使得p＝x a＋y b＋z c.其中正确命题的个数是________．解析：a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；据空间向量的意义知，a，b所在直线异面，那么a，b必共面，故②错误；三个向量a，b，c中任两个必然共面，但它们却不必然共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一贯量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确．综上可知四个命题中正确的个数为0.答案：01．直线的方向向量与平面的法向量的确信(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，那么称AB ―→为直线l 的方向向量，与AB ―→平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，那么求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧ n·a ＝0，n·b ＝0.2．成立空间直角坐标系的原那么：(1)合理利用几何体中的垂直关系，专门是面面垂直；(2)尽可能地让相关点落在座标轴或坐标平面上．3．利用空间向量坐标运算求解问题的方式：用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一样用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一样用向量的模来解决；解决垂直问题一样可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一样能够转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．[练一练]1．已知点A ，B ，C 的坐标别离为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P 的坐标是(x,0，y )，若PA ⊥平面ABC ，那么点P 的坐标是________．解析：PA ＝(－x,1，－y )，AB ＝(－1，－1，－1)，AC ＝(2,0,1)，∵PA ⊥平面ABC ， ∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，即PA ·AB ＝x ＋y －1＝0，PA ·AC ＝2x ＋y ＝0，∴x ＝－1，y ＝2，故P 点的坐标是(－1,0,2)．答案：(－1,0,2)2．已知a＝(cos θ，1，sin θ)，b＝(sin θ，1，cos θ)，那么向量a＋b与a－b的夹角是________．解析：∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝(cos 2θ＋1＋sin 2θ)－(sin 2θ＋1＋cos 2θ)＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )，即向量a ＋b 与a －b 的夹角为90°.答案：90°3．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 别离是CD ，CC 1的中点，那么异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是________．解析：成立空间直角坐标系如下图，设正方体的棱长为1，那么D (0,0,0)，A 1(1,0，1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，那么1A M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，－1，DN ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，因此cos 〈1A M ，DN 〉＝1A M ·DN |1A M |·|DN |＝0，因此1A M ⊥DN ，故异面直线A 1M 与DN 所成角的大小为90°.答案：90°对应学生用书P146考点一 空间向量的线性运算1．在四面体O ­ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：OE ＝12(OD ＋OA )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OC ＋OB ＋OA ＝12a ＋14b ＋14c . 答案：12a ＋14b ＋14c 2.如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简1A O －12AB －12AD ＝________；(2)用AB ，AD ，1AA 表示1OC ，则1OC ＝________.解析：(1) 1A O －12AB －12AD ＝1A O －12(AB ＋AD ) ＝1A O －AO ＝1A O ＋OA ＝1A A .(2)OC ＝12AC ＝12(AB ＋AD )， ∴1OC ＝OC ＋1CC ＝12(AB ＋AD )＋1AA ＝12AB ＋12AD ＋1AA . 答案：(1)1A A (2)12AB ＋12AD ＋1AA [备课札记]2题中条件不变，结论改为：设E 是棱DD 1上的点，且DE ＝231DD ，若EO ＝x AB ＋y AD ＋z 1AA .试求x ，y ，z 的值.解：EO ＝ED ＋DO＝－231DD ＋12(DA ＋DC ) ＝12AB －12AD －231AA ， 由条件知，x ＝12，y ＝－12，z ＝－23. 考点二 共线、共面向量定理的应用 [典例] 已知E ，F ，G ，H 别离是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方式，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(2)BD ∥平面EFGH .[证明] (1)连结BG ，则EG ＝EB ＋BG＝EB ＋12(BC ＋BD )＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH，由共面向量定理知：E，F，G，H四点共面．(2)因为EH＝AH－AE＝12AD－12AB＝12(AD－AB)＝12BD，因为E，H，B，D四点不共线，因此EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，因此BD∥平面EFGH.[备课札记][类题通法]1．将四点共面问题，转化为三个向量共面问题，利用共面向量定理来解决．2．利用向量共线说明两线平行时注意说明四点不共线，不然不必然正确．[针对训练]已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，假设点M知足OM＝13 (OA＋OB＋OC)．(1)判定MA，MB，MC三个向量是不是共面；(2)判定点M是不是在平面ABC内．解：(1)由OA＋OB＋OC＝3OM，∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)即MA＝BM＋CM＝－MB－MC∴MA，MB，MC共面．(2)由(1)知MA，MB，MC共面，且共过同一点M，∴四点M，A，B，C共面．从而点M在平面ABC内．考点三利用空间向量证明平行或垂直[典例] (2021·汕头模拟)如下图的长方体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝2，M是线段B1D1的中点．(1)求证：BM∥平面D1AC；(2)求证：D1O⊥平面AB1C；[证明] (1)成立如下图的空间直角坐标系，那么点O (1,1,0)，D 1(0,0，2)， ∴1OD ＝(－1，－1，2)．又点B (2,2,0)，M (1,1，2)， ∴BM ＝(－1，－1，2)，∴1OD ＝BM .又∵OD 1与BM 不共线，∴OD 1∥BM .又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ，∴BM ∥平面D 1AC .(2)连结OB 1，点B 1(2,2，2)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，∵1OD ·1OB ＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD ·AC ＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴1OD ⊥1OB ，1OD ⊥AC ，即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ，又OB 1∩AC ＝O ，∴D 1O ⊥平面AB 1C .[备课札记][类题通法]利用直线的方向向量与平面的法向量，能够判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直(1)设直线l 1的方向向量v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量v 2＝(a 2，b 2，c 2)． 则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.l ⊥α⇔v∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)．(3)设平面α的法向量n 1＝(a 1，b 1，c 1)，β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.[针对训练]已知在正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AA 1＝2，点E 是CC 1的中点，点F 为BD 1的中点．(1)证明AC 1∥平面BDE ；(2)证明平面BDE ⊥平面AA 1C 1C .证明：(1)以C 为原点，成立如图所示的空间直角坐标系C ­xyz ，那么B (0,1,0)，D (1,0,0)，D 1(1,0,2)，F (12，12，1)， C 1(0,0,2)，E (0,0,1)，A (1,1,0)．则BD ＝(1，－1,0)，DE ＝(－1,0,1)，设平面EBD 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BD ＝x －y ＝0，n ·DE ＝－x ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1. 故平面EBD 的一个法向量为n ＝(1,1,1)．又1AC ＝(－1，－1,2)，则1AC ·n ＝(－1，－1,2)·(1,1,1)＝－1－1＋2＝0，因此1AC ⊥n ，即直线AC 1的方向向量与平面BDE 的一个法向量垂直，又AC 1不在平面BDE 内，故AC 1∥平面BDE .(2)由(1)知平面BDE 的一个法向量n ＝(1,1,1)，又BD 为平面AA 1C 1C 的一个法向量且BD ＝(1，－1,0)．又BD ·n ＝(1，－1,0)·(1,1,1)＝0，因此BD ⊥n ，即两个平面的法向量相互垂直．因此平面BDE⊥平面AA1C1C.对应学生用书P147[课堂练通考点]1．在空间四边形ABCD 中，AB ·CD ＋AC ·DB ＋AD ·BC ＝________.解析：如图，令AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则AB ·CD ＋AC ·DB ＋AD ·BC＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a )＝a·c －a·b ＋b·a －b·c ＋c·b －c·a＝0答案：02．A ，B ，C ，D 是空间四点，有以下条件：①OD ＝OA ＋12OB ＋13OC ；②OD ＝12OA ＋13OB ＋14OC ；③OD ＝12OA ＋13OB ＋15OC ；④OD ＝12OA ＋13OB ＋16OC .能使A ，B ，C ，D 四点必然共面的条件是________．(填序号)解析：关于共面四点A ，B ，C ，D ，当能写成OD ＝x OA ＋y OB ＋z OC 时，应有x ＋y ＋z ＝1.经查验只有④知足．答案：④3．(2021·上饶模拟)正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM ＝121MC ，N 为B 1B 的中点，那么|MN |＝________.解析：以D 为原点成立如下图的空间直角坐标系D －xyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z ) ∵点M 在AC 1上且AM ＝121MC ， ∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z ) ∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3，∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32 ＝216a .答案：216a 4．在空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则AB ＋12(BD ＋BC )＝________. 解析：依题意有AB ＋12(BD ＋BC )＝AB ＋12×2BG ＝AB ＋BG ＝AG . 答案：AG5.如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值．解：∵BC ＝AC －AB ，∴OA ·BC ＝OA ·(AC －AB )＝OA ·AC －OA ·AB＝|OA ||AC |cos 〈OA ，AC 〉－|OA ||AB |cos 〈OA ，AB 〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－162. ∴cos 〈OA ，BC 〉＝OA ·BC |OA ||BC |＝24－1628×5＝3－225.故OA 与BC 夹角的余弦值为3－225，即直线OA 与BC 所成角的余弦值为3－225. [课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．已知点A (－3,0，－4)，点A 关于原点的对称点为B ，那么|AB |等于________． 解析：点A 关于原点对称的点B 的坐标为(3,0,4)，故|AB|＝|AB|＝－3－32＋0－02＋－4－42＝10.答案：102．空间四点A(2,3,6)，B(4,3,2)，C(0,0,1)，D(2,0,2)的位置关系为________(填“共线”、“共面”或“不共面”)．解析：可在空间直角坐标系中作图分析，知A ，B ，C ，D 不共面．答案：不共面3．已知向量m ＝(4，k ，k －1)，n ＝(k ，k ＋3，32)，若m ∥n ，则k ＝________. 解析：∵m ∥n ，∴4k ＝k k ＋3＝k －132⇒k ＝－2. 答案：－24．(2021·长春模拟)已知点B 是点A (3,7，－4)在xOz 平面上的射影，则OB 2等于________．解析：点A 在xOz 平面上的射影为B (3,0，－4)，那么OB ＝(3,0，－4)，OB 2＝25. 答案：255.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M ，N 别离是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且分MN 所成的比为2，现用基向量OA ，OB ，OC 表示向量OG ，设OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则x ，y ，z 的值别离是________．解析：设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，∵G 分MN 的所成比为2，∴MG ＝23MN ，∴OG ＝OM ＋MG ＝OM ＋23(ON －O OM ) ＝12a ＋23(12b ＋12c －12a ) ＝12a ＋13b ＋13c －13a ＝16a ＋13b ＋13c . 答案：16，13，136．已知a ＝(1,2，－2)，b ＝(0,2,4)，则a ，b 夹角的余弦值为________．解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |＝－2515 答案：－25157．已知点A (1,2,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP ＝2PB ，那么|PD |的值是________． 解析：设P (x ，y ，z )，∴AP ＝(x －1，y －2，z －1)． PB ＝(－1－x,3－y,4－z )，由AP ＝2PB 得点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，83，3， 又D (1,1,1)，∴|PD |＝773. 答案：773已知O (0,0,0)，A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA ·QB 取最小值时，点Q 的坐标是________．解析：由题意，设OQ ＝λOP ，即OQ ＝(λ，λ，2λ)，则QA ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA ·QB ＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23，当λ＝43时有最小值，现在Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 9.如下图，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ；(2)PD ⊥平面ABE .证明：AB 、AD 、AP 两两垂直，成立如下图的空间直角坐标系，设PA ＝AB ＝BC ＝1，那么P (0,0,1)．(1)∵∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，∴△ABC 为正三角形．∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，34，12. 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC ·CD ＝0，即y ＝233，那么D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，233，0， ∴CD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，36，0.又AE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，34，12， ∴AE ·CD ＝－12×14＋36×34＝0， ∴AE ⊥CD ，即AE ⊥CD .(2)∵P (0,0,1)，∴PD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，233，－1. 又AE ·PD ＝34×233＋12×(－1)＝0， ∴PD ⊥AE ，即PD ⊥AE .∵AB ＝(1,0,0)，∴PD ·AB ＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面AEB .10．(2021·汕头模拟)已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)假设点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1.证明：(1)成立如下图的空间直角坐标系，那么B (0,0,0)，E (3,0,1)，F (0,3,2)，D 1(3,3,3)，则BE ＝(3,0,1)，BF ＝(0,3,2)，1BD ＝(3,3,3)．因此1BD ＝BE ＋BF .故1BD ，BE ，BF 共面．又它们有公共点B ，因此E ，B ，F ，D 1四点共面．(2)设M (0,0，z 0)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，0，则GM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－23，z 0，而BF ＝(0,3,2)， 由题设得GM ·BF ＝－23×3＋z 0·2＝0，得z 0＝1.故M (0,0,1)，有ME ＝(3,0,0)．又1BB ＝(0,0,3)，BC ＝(0,3,0)，因此ME ·1BB ＝0，ME ·BC ＝0，从而ME ⊥BB 1，ME ⊥BC .又BB 1∩BC ＝B ，故ME ⊥平面BCC 1B 1.第Ⅱ组：重点选做题1．在三棱锥P ­ABC 中，G 为△ABC 的重心，设PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，则PG ＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：如图，取BC 的中点D ，∵G 为△ABC 的重心，那么在△ABC 中，AG ＝23AD ＝13(AB ＋AC )． ∴PG －PA ＝13(PB －PA ＋PC －PA ) ∴PG ＝13PA ＋13PB ＋13PC ＝13(a ＋b ＋c )． 答案：13(a ＋b ＋c ) 2．已知AB ＝(2,2,1)，AC ＝(4,5,3)，求平面ABC 的单位法向量．解：设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由n ≠0，知x ，y ，z 不全为0，可设其中不为0的一个为1， 现在n ⊥AB 且n ⊥AC ，即n ·AB ＝0，且n ·AC ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12z ，y ＝－z ，设z ＝1，得n ＝(12，－1,1)， 单位法向量n 0＝±n|n |＝±(13，－23，23)．第二节空间向量与空间角 对应学生用书P1481．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为θ，那么cos φ＝|cos θ|＝|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a ，b 所成的角)．2．直线和平面所成的角的求法如下图，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，那么有sin φ＝|cos θ|＝|n·e||n||e|.3．求二面角的大小(1)如图①，AB ，CD 是二面角α ­l ­β的两个面内与棱l 垂直的直线，那么二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图②③，n 1，n 2别离是二面角α ­l ­β的两个半平面α，β的法向量，那么二面角的大小θ＝〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)． 1．求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而轻忽了夹角为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2. 2．求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值．3．利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由图形决定．由图形知二面角是锐角时cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|；由图形知二面角是钝角时，cos θ＝－|n 1·n 2||n 1||n 2|.当图形不能肯按时，要依照向量坐标在图形中观观点向量的方向，从而确信二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，仍是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点．[试一试]1．已知两平面的法向量别离为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，那么两平面所成的二面角为________．解析：cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝11·2＝22，即〈m ，n 〉＝45°.∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.答案：45°或135°2．(2021·石家庄模拟)如图，在正方形ABCD 中，EF ∥AB ，假设沿EF将正方形折成一个二面角后，AE ∶ED ∶AD ＝1∶1∶2，则AF 与CE 所成角的余弦值为________．解析：如图成立空间直角坐标系，设AB ＝EF ＝CD ＝2，∵AE ∶DE ∶AD ＝1∶1∶2，那么E (0,0,0)，A (1,0,0)，F (0,2,0)，C (0,2,1)，∴AF ＝(－1,2,0)，EC ＝(0,2,1)，∴cos 〈AF ，EC 〉＝45， ∴AF 与CE 所成角的余弦值为45. 答案：451．求两异面直线a ，b 的夹角θ，须求出它们的方向向量a ，b 的夹角，那么cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|.2．求直线l 与平面α所成的角θ可先求出平面α的法向量n 与直线l 的方向向量a 的夹角．那么sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|.3．求二面角α ­l ­β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n 1，n 2所成的角，则θ＝〈n 1，n 2〉或π－〈n 1，n 2〉．[练一练]1．已知四棱锥P ­ABCD 的底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，且AC⊥BD，AC与BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO＝2，AB＝2CD＝22，E，F别离是AB，AP的中点．那么二面角F­OE­A的余弦值为________．解析：以OB ，OC ，OP 所在直线别离为x 轴，y 轴，z 轴，成立如下图的空间直角坐标系O －xyz ，由题知，OA ＝OB ＝2，OC ＝OD ＝1，A (0－2,0)，B (2,0,0)，C (0,1,0)，D (－1,0,0)，P (0,0,2)，OE ＝(1，－1,0)，OF ＝(0，－1,1)，设平面OEF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·OE ＝0，m ·OF ＝0，令x ＝1，可得m ＝(1,1,1)． 易知平面OAE 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，设二面角F ­OE ­A 为α，那么cos α＝m·n |m||n|＝33. 答案：332．如下图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝2，AB ＝1，BM ⊥PD 于点M .那么直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值为________．解析：如下图，以点A 为坐标原点，成立空间直角坐标系A ­xyz ，那么A (0,0,0)，P (0,0,2)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)．∵AM ⊥PD ，PA＝AD ，∴M 为PD 的中点，∴M 的坐标为(0,1,1)．∴AC ＝(1,2,0)，AM ＝(0,1,1)，CD ＝(－1,0,0)．设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由n ⊥AC ，n ⊥AM 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0y ＋z ＝0， 令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1.∴n ＝(2，－1,1)．设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，那么sin α＝|CD ·n ||CD ||n |＝63. ∴cos α＝33，即直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值为33.答案：33 第一课时 空间角的求法 对应学生用书P149 考点一 异面直线所成角1．(2021·沈阳调研)在直三棱柱A 1B 1C 1 ­ABC 中，∠BCA ＝90°，点D 1，F 1别离是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是________．解析：成立如下图的坐标系，设BC ＝1，则A (－1,0,0)，F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1， B (0，－1,0)，D 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，1，那么1AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1， 1BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1. ∴cos 〈1AF ，1BD 〉＝1AF ·1BD |1AF ||1BD |＝3010. 答案：30102．如图，在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 和N 别离是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为________．解析：以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，成立空间直角坐标系，如下图．则A (1,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，C (0,1,0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12. ∴AM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，CN ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，12.设直线AM与CN所成的角为θ，那么cos θ＝|cos〈AM，CN〉|＝|AM·CN||AM||CN|＝121＋14× 1＋14＝25. 答案：25[备课札记][类题通法]1．向量法求异面直线所成的角的方式有两种(1)基向量法：利用线性运算．(2)坐标法：利用坐标运算．2．注意向量的夹角与异面直线所成角的区别当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，确实是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．考点二 直线与平面所成角[典例] (2021·湖南高考)如图，在直棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．[解] 法一：(1)证明：如图1，因为BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，因此AC ⊥BB 1.又AC ⊥BD ，因此AC ⊥平面BB 1D .而B 1D ⊂平面BB 1D ，因此AC⊥B 1D .(2)因为B 1C 1∥AD ，因此直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角等于直线AD 与平面ACD 1所成的角(记为θ)． 图1如图1，连结A 1D .因为棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1是直棱柱，且∠B 1A 1D 1＝∠BAD ＝90°，因此A 1B 1⊥平面ADD 1A 1.从而A 1B 1⊥AD 1.又AD ＝AA 1＝3，因此四边形ADD 1A 1是正方形，于是A1D⊥AD1.故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D.由(1)知，AC⊥B1D，因此B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ.在直角梯形ABCD中，因为AC⊥BD，因此∠BAC＝∠ADB.从而Rt△ABC∽Rt△DAB，故ABDA＝BCAB.即AB＝DA·BC＝ 3.连结AB1，易知△AB1D是直角三角形，且B1D2＝BB21＋BD2＝BB21＋AB2＋AD2＝21，即B1D＝21.在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝ADB1D＝321＝217，即cos(90°－θ)＝217.从而sin θ＝217.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为21 7.法二：(1)证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图2，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线别离为x轴，y轴，z轴成立空间直角坐图2标系．设AB＝t，那么有A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．从而1B D＝(－t,3，－3)，AC＝(t,1,0)，BD＝(－t,3,0)．因为AC⊥BD，因此AC·BD＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝3或t＝－3(舍去)．于是1B D＝(－3，3，－3)，AC＝(3，1,0)．因为AC·1B D＝－3＋3＋0＝0，因此AC⊥1B D，即AC⊥B1D.(2)由(1)知，1AD＝(0,3,3)，AC＝(3，1,0)，11B C ＝(0,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AC ＝0，n ·1AD ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝0，3y ＋3z ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，－3，3)．设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，11B C 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·11B C |n |·|11B C |＝37＝217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217. [备课札记][类题通法]利用平面的法向量求线面角时，应注意(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角即为所求．(2)假设求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1求出其值．不要误为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求．[针对训练](2021·福建高考改编)如图，在四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k >0)．假设直线AA 1与平面AB 1C所成角的正弦值为67，求k 的值． 解：由题意知DC ⊥AD ，D 1D ⊥DC ，D 1D ⊥AD 故以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向为x ，y ，z 轴的正方向成立如下图的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，因此AC ＝(－4k,6k,0)，1AB ＝(0,3k,1)，1AA ＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，那么由⎩⎪⎨⎪⎧ AC ·n ＝0，1AB ·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )．设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，那么sin θ＝|cos 〈1AA ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1AA ·n |1AA |·|n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1， 故所求k 的值为1.考点三 二面角[典例] (2021·新课标卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，D ，E 别离是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB .(1)证明：BC 1因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，因此BC 1∥平面A 1CD .(2)由AC ＝CB ＝22AB 得，AC ⊥BC .以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC ′的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，成立如下图的空间直角坐标系C ­xyz .设CA ＝2，那么D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD ＝(1,1,0)，CE ＝(0,2,1)，1CA ＝(2,0,2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，那么⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CD ＝0，n ·1CA ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0. 可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，那么 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ·CE ＝0，m ·1CA ＝0.可取m ＝(2,1，－2)． 从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m|n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D­A1C­E的正弦值为6 3 .[备课札记]在本例条件下，求平面A 1AD 与平面A 1EC 所成二面角的大小.解：∵AC ＝BC ，D 为AB 中点，∴CD ⊥面A 1AD ，∴CD 是平面A 1AD 的一个法向量．由(2)建系条件下可知CD ＝(1,1,0)，又平面A 1EC 的法向量m ＝(2,1，－2)，∴cos 〈CD ，m 〉＝2＋1＋02×3＝22. ∴平面A 1AD 与平面A 1EC 所成角为45°.[类题通法]利用法向量求二面角时应注意(1)关于某些平面的法向量要注意题中隐含着，不用单独求．(2)注意判定二面角的平面角是锐角仍是钝角，可结合图形进行，以防结论失误．[针对训练](2021·杭州模拟)如图，已知平面QBC 与直线PA 均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA ＝AB ＝AC .(1)求证：PA ∥平面QBC ；(2)若PQ ⊥平面QBC ，求二面角Q ­PB ­A 的余弦值．解：(1)证明：过点Q 作QD ⊥BC 于点D ，∵平面QBC ⊥平面ABC ，∴QD ⊥平面ABC .又PA ⊥平面ABC ，∴QD ∥PA .又QD ⊂平面QBC ，PA ⊄平面QBC∴PA ∥平面QBC .(2)∵PQ ⊥平面QBC ，∴∠PQB ＝∠PQC ＝90°，又PB ＝PC ，PQ ＝PQ ，∴△PQB ≌△PQC ，∴BQ ＝CQ .∴点D是BC的中点，连结AD，那么AD⊥BC，又AD ⊄平面QBC ，BC ⊂平面QBC ， ∴AD ⊥平面QBC .∴PQ ∥AD ，AD ⊥QD ， ∴四边形PADQ 是矩形．别离以AC ，AB ，AP 所在的直线为x ，y ，z 轴成立空间直角坐标系A ­xyz ，设PA ＝2a ，那么Q (a ，a,2a )，B (0,2a,0)，P (0,0,2a )，设平面QPB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵PQ ＝(a ，a,0)，PB ＝(0,2a ，－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋ay ＝0，2ay －2az ＝0，n ＝(1，－1，－1)． 又平面PAB 的一个法向量为m ＝(1,0,0)．设二面角Q ­PB ­A 为θ，那么|cos θ|＝|cos 〈m ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m·n |m|·|n|＝33， 又二面角Q ­PB ­A 是钝角，∴cos θ＝－33，即二面角Q ­PB ­A 的余弦值为－33.对应学生用书P150[课堂练通考点]1．已知四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1垂直于底面，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝AB ＝AA 1＝2BC ，E 为DD 1的中点，F 为A 1D 的中点．那么直线EF 与平面A 1CD 所成角的正弦值为________．解析：∵AB ，AD ，AA 1两两垂直，故以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AA 1所在直线为z 轴，成立空间直角坐标系，如下图，设BC ＝1，则A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，C (2,1,0)，D (0,2,0)，E (0,2,1)，F (0,1,1)，FE ＝(0,1,0)，1A D ＝(0,2，－2)，CD ＝(－2,1,0)．设平面A 1CD 的一个法向量为n ＝(1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·1A D ＝2y －2z ＝0，n ·CD ＝－2＋y ＝0，故n ＝(1,2,2)， 那么sin θ＝|cos 〈n ，FE 〉|＝|n ·FE|n |·|FE ||＝|1×0＋2×1＋2×04＋4＋1×0＋1＋0|＝23，故直线EF 与平面A 1CD 所成的角θ的正弦值为23.答案：232．(2021·江苏高考)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1 ­ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解：(1)以A 为坐标原点，成立如下图的空间直角坐标系A ­xyz ，那么A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0，0,4)，C 1(0,2,4)，因此1A B ＝(2,0，－4)，1C D ＝(1，－1，－4)． 因为cos 〈1A B ，1C D 〉＝1A B ·1C D| 1A B ||1C D |＝1820×18＝31010，因此异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD ＝(1,1,0)，1AC ＝(0,2,4)，因此n 1·AD ＝0，n 1·1AC ＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，因此，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53.因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1.如下图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1，E，F别离是正方形A 1B 1C 1D 1和ADD 1A 1的中心，则EF 和CD 所成的角是________．解析：以D 为原点，别离以射线DA ，DC ，DD 1为x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴成立空间直角坐系系D ­xyz ，设正方体的棱长为1，则D (0,0，0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，EF ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，DC ＝(0,1,0)，∴cos 〈EF ，DC 〉＝EF ·DC|EF ||DC |＝－22，∴〈EF ，DC 〉＝135°，∴异面直线EF 和CD 所成的角是45°. 答案：45°2．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，那么平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．解析：以A 为原点成立如下图的空间直角坐标系A －xyz ，设棱长为1，那么A 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫1，0，12，D (0,1,0)，∴1A D ＝(0,1，－1)，1A E ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，－12，设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，那么⎩⎨⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，＝2. ∴n 1＝(1,2,2)．∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23.即所成的锐二面角的余弦值为23.答案：233．(2021·安徽六校联考)在三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 别离是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2，那么直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为________．解析：以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线别离为x 轴，y 轴，z 轴成立如下图的空间直角坐标系，由AB ＝AC ＝1，PA ＝2，得A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1， ∴PA ＝(0,0，－2)，DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，DF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1.设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，那么由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DE ＝0，n ·DF ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝1，那么n ＝(2,0,1)，设PA 与平面DEF 所成的角为θ，那么sin θ＝|PA ·n ||PA ||n |＝55，∴PA 与平面DEF 所成角的正弦值为55.答案：554．(2021·昆明模拟)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，且BC ⊥平面PAB ，PA ⊥AB ，M 为PB 的中点，PA ＝AD ＝2.假设AB ＝1，那么二面角B ­AC ­M 的余弦值为________．解析：∵BC ⊥平面PAB ，AD ∥BC ， ∴AD ⊥平面PAB ，PA ⊥AD ， 又PA ⊥AB ，且AD ∩AB ＝A ， ∴PA ⊥平面ABCD .以点A 为坐标原点，别离以AD ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，成立空间直角坐标系A ­xyz .则A (0,0,0)，C (2,1,0)，P (0,0,2)，B (0,1,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，∴AC ＝(2,1,0)，AM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，求得平面AMC 的一个法向量为n ＝(1，－2,1)， 又平面ABC 的一个法向量AP ＝(0,0,2)，∴cos 〈n ，AP 〉＝n ·AP|n |·|AP |＝21＋4＋1·2＝16＝66.∴二面角B ­AC ­M 的余弦值为66.答案：665.如下图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，那么直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为________．解析：不妨令CB ＝1，那么CA ＝CC 1＝2.可得O (0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,1)，∴1BC ＝(0,2，－1)，1AB ＝(－2,2,1)， ∴cos 〈1BC ，1AB 〉＝1BC ·1AB |1BC ||1AB |＝4－15×9＝15＝55＞0.∴1BC 与1AB 的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角， ∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55.答案：556．如图，在正四棱锥S ­ABCD 中，O 为极点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，那么直线BC 与平面PAC 所成角为________．解析：如下图，以O 为原点成立空间直角坐标系O ­xyz . 设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a 2.则CA ＝(2a,0,0)，AP ＝⎝⎛⎭⎪⎫－a ，－a 2，a 2，CB ＝(a ，a,0)．。

空间向量知识点总结ppt一、空间向量的概念空间向量是指具有大小和方向的有序数组，通常用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

空间向量可以用分量表示，在直角坐标系下，一个向量可以表示为(x, y, z)，分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。

二、空间向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足三角形法则，即两个向量相加的结果是以这两个向量为两条边的三角形的第三条边。

2. 向量的减法：向量的减法等于向量的加法的负数，即a - b = a + (-b)。

3. 向量的数量积：向量的数量积等于向量的模的乘积再乘以这两个向量之间的夹角的余弦值。

表示为a·b = |a| |b| cosθ。

4. 向量的叉积：向量的叉积等于一个新的向量，其大小等于两个向量的模的乘积再乘以这两个向量之间的夹角的正弦值，方向垂直于这两个向量的平面。

表示为a×b = |a| |b| sinθ n。

三、空间向量的线性相关与线性无关1. 线性相关：如果存在一组不全为零的实数k1、k2、k3，使得k1a + k2b + k3c = 0，那么称向量a、b、c线性相关。

2. 线性无关：如果向量a、b、c不是线性相关的，那么这组向量就是线性无关的。

四、空间向量的基1. 空间向量的线性组合：给定一组向量a1、a2、a3，任意向量可以表示为这组向量的线性组合，即x = k1a1 + k2a2 + k3a3。

2. 基向量：如果一组向量能够表示空间中的任意向量，并且这组向量是线性无关的，那么这组向量就是空间的一组基向量。

3. 维数：空间中的一组基向量的个数就是该空间的维数，通常用n表示。

五、空间向量的坐标表示1. 坐标表示：在n维空间中，任意向量都可以表示为n个数的有序组合(x1, x2, ..., xn)，这n个数就是向量在基向量上的投影。

2. 坐标变换：不同的基向量可以表示同一个向量，这时需要进行坐标变换，通过坐标变换矩阵可以将一个向量在一个基下的坐标表示转换为另一个基下的坐标表示。

第4讲空间向量的应用新课标要求①能用向量语言指述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量。

②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系。

③能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理。

④能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

知识梳理1．空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个向量确定，这个向量叫做直线的方向向量．2．若直线l垂直于平面α，取直线l的方向向量a，则a⊥α，则a叫做平面α的法向量．3.(1)线线垂直：设直线l，m的方向向量分别为a，b，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0.(2)线面垂直：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝k u，k∈R.(3)面面垂直：若平面α的法向量为u，平面β的法向量为ν，则α⊥β⇔u⊥ν⇔u·ν＝0..4．设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cosθ＝|a·b||a||b|5．设直线l与平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈a，n〉.|＝|a·n||a||n|6．设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cosθ|＝|n1·n2|.|n1||n2|名师导学【例1-1】（焦作期末）若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为A. B. C. D.【分析】本题考查直线的方向向量，向量的共线定理，属于基础题．先由题意求出2，，再由选项判断与共线的向量即可．【解答】解：因为2，，而2，，所以是直线l的一个方向向量．故选A．【例1-2】（广州期末）（武侯区校级期末）设是直线l的方向向量，是平面的法向量，则A. B. C.或 D.或【分析】本题考查空间线面位置关系、法向量的性质，属于基础题．利用空间线面位置关系、法向量的性质即可判断出结论．【解答】解：，，或，故选D．【变式训练1-1】（沙坪坝区校级模拟）若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是A. B.C. D.【分析】本题考查了运用空间向量判断线面平行，属于基础题．根据时，，分别判断A、B、C、D是否满足条件即可．【解答】解：若，则，而A中，不满足条件；B中，不满足条件；C中，不满足条件；D中，满足条件．故选D．【变式训练1-2】（东阳市模拟）已知，，分别是平面，，的法向量，则，，三个平面中互相垂直的有A.3对B.2对C.1对D.0对【分析】本题考查利用空间向量研究平面垂直问题，属基础题．依题意，分别求出，，即可求得结果．【解答】解：，，，，所以与不垂直，，所以与不垂直，，所以与不垂直，故选D．【例2-1】（浙江模拟）已知在正四棱柱中，，，点E为的中点，点F为的中点．求证：．【分析】本题考查利用空间向量法判定线性垂直及平行，属于基础题．建立空间直角坐标系，写出坐标，得，EF与AC不共线，故．【解答】证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，，0，，1，．，由于，显然，故．又EF与AC不共线，故．【例2-2】（柯城区校级模拟）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面ABCD，且，点E是PD的中点．求证：平面AEC．【解答】证明如图，以A为坐标原点，AC，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，设，，则有0，，b，，0，，0，，0，，b，，由已知得，，，设平面AEC的一个法向量为，则且，可得1，，，，又平面AEC，平面AEC．【例2-3】（金华期末）如图，已知棱长为4的正方体中，M，N，E，F分别是棱，，，的中点，求证：平面平面EFBD．【分析】本题考查的知识点是平面与平面平行的判断，利用向量证明面面平行，难度中档．建立空间直角坐标系，利用向量法，可证得：平面EFBD，平面EFBD，进而得到平面平面EFBD．【解答】证明：由题意，正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则0，，0，，0，，2，，4，，2，，4，．取MN的中点K，EF的中点G，BD的中点O，则2，，1，，3，．2，，2，，1，，1，，，，，，平面EFBD，平面EFBD，平面平面EFBD．【变式训练2-1】（宿迁期末）如图，在长方体中，，，，点P在棱上，且，点S在棱上，且，点Q、R分别是棱、AE的中点．求证：．【分析】本题考查了利用空间向量平行的判断，是容易题．建立空间直角坐标系，根据向量的共线关系进行证明．【解答】证明：如图，建立空间直角坐标系，则0，，4，，0，，0，，4，．，，Q，R分别是棱，AE的中点，，2，，2，，．于是．．，．【变式训练2-2】（朝阳区期末）已知正方体的棱长为2，E ，F 分别是，的中点，求证：平面ADE ；平面平面F .【分析】本题考查利用空间向量证明线性、线面平行．如图，建立空间直角坐标系，求出和平面ADE 的法向量，由，又平面ADE ，推证结果；进一步求出平面的法向量，由两个平面的法向量平行推证结果．【解答】证明：如图，建立空间直角坐标系，则0，，0，，2，，2，，2，，0，，所以，，．设，分别是平面ADE 、平面的法向量，则，，取，则．同理可求．，，又平面ADE，平面ADE．，平面平面F.【例3-1】（扬州期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，且，M为PC的中点．求证：【分析】本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量证明直线垂直，属于中档题．由可得【解答】证明：结合图形，知，，则，所以，即．【例3-2】（上城区校级模拟）如图所示，在正方体中，E，F分别是，DC的中点，求证：平面F.【分析】本题考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面F.【解答】证明：设正方体的棱长为1，如图所示，建立空间直角坐标系，则0，，，0，，0，，．，，，，，，．即，，又，平面F.（点军区校级月考）如图，在五面体ABCDEF中，平面ABCD，，，【例3-3】M为EC的中点，求证：平面平面CDE．【分析】本题主要考查利用空间向量证明面面垂直．首先利用空间向量证明线面垂直，即可得面面垂直．【解答】证明：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设，依题意得0，，1，，2，，1，，0，，．则，，，，，又，，又，平面AMD．而平面CDE，平面平面AMD．【变式训练3-1】（三明模拟）已知空间四边形ABCD中，，，求证：．【分析】本题主要考查了利用空间向量证明线线垂直，是基础题．将用、表示；用、表示；利用向量数量积的运算律求出；最后根据数量积为0判断出垂直．【解答】证明：，，，，．，从而．【变式训练3-2】（镇海区校级模拟）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形且，，底面ABCD，E是AD的中点，F在PC上．F在何处时，平面PBC？【分析】本题考查空间直线与平面垂直的判定以及线线垂直的判定，属基础题目．以A为坐标原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，用向量判断线线垂直和线面垂直．【解答】解：如图，以A为坐标原点，射线AD，AB，AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则，0，，，，0，，0，．，，设y，，则．平面PBC，，，即，，在PC上，可令，则，将，代入可得，，则，此时F为PC的中点．【变式训练3-3】（未央区校级月考）在四面体ABCD中，平面BCD，，，，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面平面ABC．【分析】本题主要考查了空间向量在立体几何中证明垂直的应用．建立空间直角坐标系，设，得出相关点坐标，进而得出向量的坐标，计算，，可得平面ABC，由面面垂直的判定定理证得结论．【解析】证明：建系如图，取0，，则易得0，，，，，，则有，，，，，，．又，平面ABC．又平面BEF，平面平面ABC．【例4-1】（海淀区校级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为1，平面ABCD，且，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距离；求直线AC到平面PEF的距离．【分析】本题目主要考查空间两点的距离公式，空间直角坐标系，属于一般题．（1）通过建立空间直角坐标系，求出平面PEF的法向量，再得点D到平面PEF的距离．（2）通过E，F分别为AB，AC的中点，，平面PEF，所以平面PEF，再得直线AC 到平面PEF的距离．【解答】建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，0，，0，，1，，，．，，0，．设平面PEF的法向量为y，，则即解得，令，得2，，因此，点D到平面PEF的距离为．由知0，，因为E，F分别为AB，AC的中点，所以，又平面PEF，所以平面PEF，所以AC到平面PEF的距离为．（房山区期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，【变式训练4-1】，，．求点D到平面PBC的距离；求点A到平面PBC的距离．【分析】本题考查利用空间距离的求法，属基础题．依题意，建立空间坐标系，求出平面PBC的法向量，根据D到平面PBC的距离，计算即可．根据中的数值，利用点A到平面PBC的距离，计算即可．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，，2，，2，，0，．0，，2，，0，．设平面PBC 的法向量为y ，，则令，则，，．点D 到平面PBC 的距离．由知，平面PBC 的法向量为，则点A 到平面PBC 的距离．知识点5用空间向量研究空间中的夹角问题【例5-1】（宝山区校级期末）如图，ABCD 为矩形，AB ＝2，AD ＝4，PA ⊥面ABCD ，PA ＝3，求异面直线PB 与AC 所成角的余弦值．【分析】建立空间直角坐标系，利用向量求解．【解】以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,3)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，则PB →＝(2,0，－3)，AC →＝(2,4,0)．设PB 与AC 所成的角为θ，则cos θ＝|PB →·AC →||PB →||AC →|＝422＋(－3)2×22＋42＝413×25＝26565.【例5-2】（常州期末）已知在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长与底面边长相等，求AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值．【分析】解决此类问题的关键是建立空间直角坐标系，利用公式求解．【解】建立如图所示的空间直角坐标系E －xyz ，其中坐标原点E 为A 1C 1的中点，设棱长为1，则0，B ，32，AB 1→－12，32，－显然平面ACC 1A 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)，设AB 1与侧面ACC 1A 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AB →，n 〉|＝|AB 1→·n ||AB 1→||n |＝322＝64.∴AB 1与面ACC 1A 1所成的角的正弦值为64.【例5-3】（漳州三模）已知，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，BC ＝ 2.求二面角A －PB －C 的余弦值．【分析】解答本题可建立适当的空间直角坐标系，利用平面的法向量求解；也可在二面角的两个面内分别作棱的垂线，利用两线的方向向量所成的角求解．【解】解法一：如图，建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2，1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，∴AP →＝(0,0,1)，AB →＝(2，1,0)．设平面PAB 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，1·AP →＝0，1·AB →＝0，0，1＋y 1＝0.令x 1＝1，则n 1＝(1，－2，0)．又CP →＝(0，－1,1)，CB →＝(2，0,0)．设平面PBC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，2·CP →＝0，2·CB →＝0，2＋z 2＝0，2＝0.令z 2＝1，则n 2＝(0,1,1)．∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－23×2＝－33.∵所求二面角为锐角，∴二面角A －PB －C 的余弦值为33.解法二：如图所示，取PB 的中点D ，连接CD .∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AC .∴PC ＝PA 2＋AC 2＝ 2.∵PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB .作AE ⊥PB 于E ，那么二面角A －PB －C 平面角的大小就等于DC →与EA →的夹角θ.∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，∴PC ⊥BC .∴PB ＝PC 2＋BC 2＝2.∴PD ＝1，PE ＝PA 2PB ＝12.∴DE ＝PD －PE ＝12.又∵AE ＝AP ·AB PB ＝32，CD ＝1，AC ＝1，AC →＝AE →＋ED →＋DC →，且AE →⊥ED →，ED →⊥DC →，∴|AC →|2＝|AE →|2＋|ED →|2＋|DC →|2＋2|AE →|·|DC →|·cos(π－θ)，即1＝34＋14＋1－2×32×1×cos θ，解得cos θ＝33，故二面角A－PB－C的余弦值为3 3 .【变式训练5-1】（沭阳县期中）如图，在正四棱柱中，，，点M是BC 的中点．求异面直线与DM所成角的余弦值求直线与平面所成角的正弦值求平面与平面ABCD所成角的正弦值．【分析】本题主要考查了利用空间向量求线线、线面、面面的夹角，是中档题．在正四棱柱中，以点D为原点，DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则．由以及即可求得；先求出平面的法向量，再利用夹角公式求解即可；先求出平面ABCD的法向量以及平面与平面ABCD所成角的余弦值，在用求解即可．【解答】解：在正四棱柱中，以点D为原点，DA、DC、分别为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，因为，，所以，则．由题意得，则，异面直线与DM所成角的余弦值为；由题意知，设平面的法向量为，则，解得，，直线与平面所成角的正弦值为；在正四棱柱中，，平面ABCD的法向量为，，平面与平面ABCD所成角的余弦值为，则，平面与平面ABCD所成角的正弦值为．名师导练A组-[应知应会]1.（杨浦区校级期中）若直线l的方向向量为0，，平面的法向量为0，，则A. B. C. D.l与斜交【分析】本题考查利用空间向量判断线面的位置关系属基础题．由直线l的方向向量与平面的法向量共线，判断结论即可．【解答】解：，，，．故选B．2.（安徽模拟）已知，，，则向量与向量的夹角为A. B. C. D.【分析】本题考查利用空间向量的数量积求向量夹角，属于基础题．根据空间向量夹角公式求解即可．【解答】解：，，，向量与的夹角为．故选C．3.（闵行区校级模拟）已知四边形ABCD是直角梯形，，平面ABCD，，则SC与平面ABCD所成的角的余弦值为A. B. C. D.【分析】本题主要考查利用空间向量求直线与平面的所成角，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题。

1.1 空间向量及其运算1、空间向量的有关概念名称定义 空间向量在空间中，具有大小和方向的量 相等向量方向相同且模相等的向量 相反向量方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量平行于同一个平面的向量2、空间向量的有关定理〔1〕共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点〔2〕共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间任意一点3、空间向量的数量积及运算律〔1〕数量积及相关概念①两向量的夹角：两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，那么∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，假设〈a ，b 〉＝π2，那么称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉.〔2〕空间向量数量积的运算律：①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )；②交换律：a·b ＝b·a ；③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c .知识梳理题型一 空间向量根本关系例1 向量,a b 互为相反向量，b ＝3，那么以下结论正确的选项是〔 〕A ．a b =B ．a b +为实数0C ．a 与b 方向相同D ．||a＝3 【答案】D【详解】向量,a b 互为相反向量，那么,a b 模相等、方向相反. 0a b +=.应选：D.1、以下说法正确的选项是〔 〕A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等【答案】C【解析】【分析】根据空间向量根本定理判断选项可解.【详解】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以A 错.B 项，空间基底有无数个, 所以B 错.D 项中因为基底不唯一，所以D 错.稳固练习 知识典例2、在以下命题中：①假设a 、b 共线，那么a 、b 所在的直线平行；②假设a 、b 所在的直线是异面直线，那么a 、b 一定不共面；③假设a 、b 、c 三向量两两共面，那么a 、b 、c 三向量一定也共面；④三向量a 、b 、c ，那么空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++.其中正确命题的个数为〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【详解】①假设a 、b 共线，那么a 、b 所在的直线平行或重合；所以①错；②因为向量是可以自由移动的量，因此即使a 、b 所在的直线是异面直线，a 、b 也可以共面；所以②错； ③假设a 、b 、c 三向量两两共面，因为两平面的关系不确定，因此a 、b 、c 三向量不一定共面；所以③错； ④假设三向量a 、b 、c 共面，假设向量p 不在该平面内，那么向量p 不能表示为p xa yb zc =++，所以④错. 应选：A.题型二 空间向量的表示例 2 如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，AC 与BD 的交点为O ，点M 在BC '上，且2BM MC '=，那么以下向量中与OM 相等的向量是〔 〕A ．172263AB AD AA '-++ B ．151263AB AD AA '-++ C ．112263AB AD AA '++ D ．111263AB AD AA '-+解：因为2BM MC '=，所以23BM BC '=， 在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，OM OB BM =+'23OB BC =+'12()23DB AD AA =++'12()()23AB AD AD AA =-++112263AB AD AA '=++，应选：C【点睛】1、在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，那么EF 等于〔〕A ．1223EF AC AB AD →→→→=+- B ．112223EF AC AB AD →→→→=--+C ．112223EF AC AB AD →→→→=-+ D ．112223EF AC AB AD →→→→=-+-【答案】B解：在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，所以EF EB BA AF →→→→=++稳固练习1223AB AC AB AD →→→→⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 112223AC AB AD →→→=--+， 即112223EF AC AB AD →→→→=--+. 应选：B.2、在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，假设记→→=AB a ，AD b →→=，AC c →→=，那么AG →=______.【答案】111244a b c →→→++解：在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，那么AG AB BG →→→=+12AB BE →→=+ 11()22AB BC BD →→→=+⨯+ 1()4AB AC AB AD AB →→→→→=+-+- 111442AB AC AD AB →→→→=++- 111244AB AD AC →→→=++. 故答案为：111244a b c →→→++.题型三 基底问题例 3 〔多项选择〕设a ，b ，c 是空间一个基底，那么( )A ．假设a ⊥b ，b ⊥c ，那么a ⊥cB ．那么a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z )，使p xa yb zc =++D ．那么a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底【答案】BCD【解析】【分析】根据基底的概念，对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，b 与,a c 都垂直，,a c 夹角不一定是π2，所以A 选项错误. 对于B 选项，根据基底的概念可知a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面.对于C 选项，根据空间向量的根本定理可知，C 选项正确.对于D 选项，由于a ，b ，c 是空间一个基底，所以a ，b ，c 不共面.假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，设()()()1a b x b c x c a +=++-+，化简得()1x a x b c ⋅=-+，即()1c x a x b =⋅+-，所以a ，b ，c 共面，这与矛盾，所以a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，可以作为基底.所以D 选项正确.应选：BCD1、有以下命题： ①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③向量,,a b c 是空间的一个基底，那么向量,,a b a b c +-也是空间的一个基底．其中正确的命题是〔 〕A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】C①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；所以不正确．反例：如果,a b 有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底， 稳固练习那么点,,,O A B C 一定共面；这是正确的．③向量,,a b c 是空间的一个基底，那么向量,,a b a b c +-不共面，也是空间的一个基底；所以正确．应选：C ．2、以下关于空间向量的命题中，正确的有______.①假设向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，那么b a //；②假设非零向量a ，b ，c 满足a b ⊥，b c ⊥，那么有//a c ；③假设OA ，OB ，OC 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++，那么A ，B ，C ，D 四点共面； ④假设向量a b +，b c +，c a +，是空间一组基底，那么a ，b ，c 也是空间的一组基底.【答案】①③④【解析】【分析】根据空间向量根本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析选择. 【详解】对于①：假设向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即//a b ，故①正确； 对于②：假设非零向量a ，b ，c 满足a b ⊥，b c ⊥，那么a 与c 不一定共线，故②错误；对于③：假设OA ，OB ，OC 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++，那么()()1133OD OA OB OA OC OA -=-+-，即1133AD AB AC =+，可得到A ，B ，C ，D 四点共面，故③正确； 对于④：假设向量a b +，b c +，c a +，是空间一组基底，那么空间任意一个向量d ，存在唯一实数组(),,x y z ，使得()()()()()()d x a b y b c z x z a x c y b y a z c +=++++=+++++，那么a ，b ，c 也是空间的一组基底，故④正确.故答案为：①③④题型四 共面问题例 4 点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，都有1133OM xOA OB OC =++，那么x 的值是( )A ．1B ．0C ．3D ．13【答案】D【解析】 试题分析：因1133OM xOA OB OC =++，那么M 、A 、B 、C 四点共面，必有13131=++x ，解得31=x ，应选D ． 考点：空间向量的共面问题．1、正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，假设点F 是侧面CD 1的中心，且1AF AD mAB nAA =+-那么m ，n 的值分别为( ) A ．12，－12 B ．－12，－12 C ．－12，12 D ．12，12【答案】A由于11111()222AF AD DF AD DC DD AD AB AA =+=++=++， 所以11,22m n ==-. 应选：A 【点睛】2、设12,e e 是平面内不共线的向量，1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-假设A ，B ，D 三点共线，那么k =____.【答案】8-【解析】【分析】由A 、B 、D 三点共线、共线向量定理得关于k 的方程，即可得答案；【详解】12124,2BD CD CB e e AB e ke =-=-=+，又A 、B 、D 三点共线，由共线向量定理得AB BD λ=，∴2,84,k k λλ=⎧⇒=-⎨=-⎩， 故答案为：8-.题型四 数量积例 4 a 、b 是异面直线，且a ⊥b ，12,e e 分别为取自直线a 、b 上的单位向量，且121223,4,a e e b ke e a b =+=-⊥，稳固练习那么实数k 的值为___.【答案】6【解析】【分析】根据向量垂直数量积为0，可得关于k 的方程，解方程即可得答案；【详解】由a b ⊥，得0a b ⋅=，∴1212(23)(4)0e e e e +⋅-=，∴2120k -=，∴6k =.故答案为：6.如下图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量OA 与BC 的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.【答案】答案见解析【解析】【分析】运用向量的减法表示向量BC ＝AC －AB ，再由向量数量积的定义分别求OA ·AC 和OA ·AB 可得答案.【详解】∵BC ＝AC －AB ，∴OA ·BC ＝OA ·AC －OA ·AB＝OA AC ⋅|cos 〈OA AC ，〉－OA AB ⋅|cos 〈OA BA ⋅〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－162.稳固练习题型五 异面直线夹角例 5 1BB ⊥平面ABC ，且△ABC 是∠B ＝90°的等腰直角三角形，▱A 11B A B 、▱B 11B C C 的对角线都分别相互垂直且相等，假设AB ＝a ，求异面直线1BA 与AC 所成的角.【答案】60°【解析】【分析】根据几何体的特点，利用向量法求得1BA AC ⋅，以及对应的模长，那么问题得解. 【详解】如下图.因为11,BA BA BB AC AB BC=+=+ 故()()1111BA AC BA BB AB BC BA AB BA BC BB AB BB BC ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅ 因为AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，故2110,0,0,AB BC BB AB BB BC BA AB a ⋅=⋅=⋅=⋅=-故21BA AC a ⋅=- 又111,BA AC BA AC cos BA AC ⋅=⋅⋅ 故211,222cos BA AC a a==-⨯. 而[]1,0,BA AC π∈，故可得1,120BA AC =︒<>， 又∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴异面直线BA 1与AC 成60°角.如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ︒∠=∠=，12BC =，31=||AB求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．【答案】66． 【分析】根据空间向量的夹角公式计算可得结果.【详解】因为1AB a b =+，因为2211()1111111222)2(AB BC a b a c b a a c a b b a c b b ⋅=+⋅+-=+⋅+-⋅+⋅+⋅=+-+=--， 所以11111116cos ,623AB BC AB BC AB BC ⋅<>===⨯． 所以异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为66．题型六 线段长度求解例 6 ：如图，在60︒的二面角的棱上有A B 、两点，直线AC BD 、分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直AB ，4,6,8AB AC BD ===，那么CD =__________．【答案】217【解析】CD CA AB BD =++，所以()()222222CD CA AB BD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =++=+++⋅+⋅+⋅ 稳固练习21636642068cos 011648683π⎛⎫=++++⨯⨯+=-= ⎪⎝⎭ ，所以217CD =，故填：217.平行六面体1111ABCD A B C D -，11AD AA AB ===，1160A AB DAB DAA ∠=∠=∠=︒，1113AC NC =，14D B MB =，设AB a =，AD b =，1AA c =；〔1〕试用a 、b 、c 表示MN ；〔2〕求MN 的长度；【答案】〔1〕15312124MN a b c =-++；〔2〕138||12MN =. 【分析】 〔1〕1111MN MD D A A N =++根据空间向量的线性运算法那么，由此能求出结果．〔2〕由15312124MN a b c =-++．11AD AA AB ===，1160A AB DAB DAA ∠=∠=∠=︒，由此能求出MN 的长度． 【详解】解：〔1〕1111MN MD D A A N =++1113243D B AD AC =--+ 132()()43D D DB AD AB AD =-+-++ 332()()443c a b b a b =---++ 15312124a b c =-++． 〔2〕15312124MN a b c =-++． 11AD AA AB ===，1160A AB DAB DAA ∠=∠=∠=︒，1113AC NC =，14D B MB =，设AB a =，AD b =，1AA c=； ∴22222153125915133()121241441441612122152212424MN a b c a b c a b a c b c =-+⨯+++⨯-⨯+=⨯⨯⨯- 稳固练习12591513532cos602cos602cos60144144161212124124=++-⨯⨯⨯︒-⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒ 413814=， MN ∴的长度为138||12MN =．题型七 共面证明例 7 如图，、、、、、、、、为空间的个点，且，，，，，，. 求证：〔1〕、、、四点共面，、、、四点共面； 〔2〕； 〔3〕.证明：〔1〕∵，，∴A 、B 、C 、D 四点共面． ∵，，∴E 、F 、G 、H 四点共面．〔2〕，∴. 〔3〕.如图，点M ，N 分别在对角线,BD AE 上，且11,33BM BD AN AE ==．求证：向量,,MN CD DE 共面．【答案】证明见解析.【分析】由题意，在AD 上取点G ，使13AG AD =，从而可证//GM CD ，//GN DE ，从而可证向量MN ，CD ，DE 共面． 【详解】证明：如图，在AD 上取点G ，使13AG AD =， 又13BM BD =， //GM AB ∴，又//AB CD ，//GM CD ∴， 同理，//GN DE ，故由GN 、GM 、MN 共面可知，向量MN ，CD ，DE 共面．稳固练习1、以下命题中，假命题是〔 〕A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比拟大小B ．两个相等的向量，假设起点相同，那么终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等【答案】D【详解】A.向量是有向线段，不能比拟大小.真命题.B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，那么终点也相同.真命题.C.零向量：模长为0的向量.真命题.D .共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.应选：D.2、对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有如下关系：623OP OA OB OC =++，那么〔〕A ．四点O ，A ，B ，C 必共面 B ．四点P ，A ，B ，C 必共面C ．四点O ，P ，B ，C 必共面D ．五点O ，P ，A ，B ，C 必共面【答案】B【解析】【分析】根据题意，得到23AP PB PC =+，判定AP ，PB ，PC 共面，进而可得出结果.【详解】因为623OP OA OB OC =++，所以()()23OP OA OB OP OC OP -=-+-，即23AP PB PC =+，根据共面向量根本定理，可得AP ，PB ，PC 共面，所以，P ，A ，B ，C 四点共面．应选：B ．3、在以下命题中：稳固提升①假设向量,a b 共线，那么,a b 所在的直线平行；②假设向量,a b 所在的直线是异面直线，那么,a b 一定不共面；③假设三个向量,a b c ，两两共面，那么,a b c ，三个向量一定也共面；④三个向量,a b c ，，那么空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++.其中正确命题的个数为〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】此题考查向量的知识点；对于①：根据两向量共线定义知道，两向量共线有可能两向量所在的直线重合，所以此命题错误；对于②：两个向量可以平移到一个平面内，所以此命题错误；对于③：假设三个向量,,a b c 两两共面，这三个向量有可能不共面，所以此命题错误；对于④：根据空间向量的根本定理知道，这三个向量要不共面才可以，所以此命题错误，所以选A4、设向量,,a b c 不共面,那么以下可作为空间的一个基底的是( )A ．{,,}a b b a a +-B ．{,,}a b b a b +-C ．{,,}a b b a c +-D ．{,,}a b c a b c +++ 【答案】C选项A,B 中的三个向量都是共面向量，所以不能作为空间的一个基底.选项D 中，()a b c a b c ++=++，根据空间向量共面定理得这三个向量共面，所以不能作为空间的一个基底.选项C 中,,a b b a c +-不共面,故可作为空间的一个基底.应选：C .5、如图，在空间四边形ABCD 中，AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅=〔 〕A ．1-B ．1C ．0D ．不确定【答案】C【详解】 ()AB CD AC DB AD BC AD DB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅AD CD DB CD AC DB AD BC =⋅+⋅+⋅+⋅()AD CD DB CD AC AD BC =⋅+⋅++⋅AD CD DB AD AD BC =⋅+⋅+⋅()00AD CD DB BC AD =⋅++=⋅=.应选：C.6、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,设AB a =,AD b =,1AA c =,A 1C 1与B 1D 1的交点为E ,那么BE =_____. 【答案】-12a+12b+c 【详解】 如图,11111111(2BE BB B E AA B C B A =+=++) =11(2AA AD AB +-)= 1122-++a b c故答案为 1122-++a b c7、在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，假设PA =a ，PB =b ，PC =c ，那么BE =_____．【答案】131222a b c -+ 【详解】 解：)1(2BE BP BD =+=12(b -+BA BC +)=12b - +1(2PA PB PC PB -+-)=12b - +12(2)a c b +-=131222a b c -+． 故答案为：131222a b c -+.8、假设12a e e =+，23b e e =+，31e c e =+,12323d e e e ++=,假设123,,e e e 不共面,当d a b c αβγ=++时,α+β+γ=____.【答案】3【解析】【分析】由123()()()d e e e αγαβγβ=+++++,所以1,2,3,αγαβγβ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩故有α+β+γ=3.【详解】由123()()()d e e e αγαβγβ=+++++,所以1,2,3,αγαβγβ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩故有α+β+γ=3.故答案为39、如下图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点，用向量OA ，OB ，OC 表示OP 和OQ【答案】111633OP OA OB OC =++；111366OQ OA OB OC =++ 【解析】【分析】 根据向量的加法、减法法那么及条件，先求出12OM OA =，1122ON OB OC =+，13MQ MN =，23MP MN =，再结合图形，运用向量加法，用空间向量根本定理表示出待求向量．【详解】因为M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点，所以12OM OA =，1122ON OB OC =+，13MQ MN =，23MP MN = 所以OP OM MP =+=1223OA MN +=12()23OA ON OM +-=121()232OA ON OA +- =121233OA ON OA +-=1211()6322OA OB OC ++=111633OA OB OC ++； OQ OM MQ =+=1123OA MN +=11()23OA ON OM +-=111()232OA ON OA +- =1133OA ON +=1111()3322OA OB OC ++=111366OA OB OC ++10、如下图，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，,,AB a AD b AA c '===，P 是CA '的中点，M 是CD '的中点，N 是C D ''的中点，点Q 在CA '上，且:4:1CQ QA '＝用基底{}a b c ，，表示以下向量.〔1〕AP ；〔2〕AM ；〔3〕AN ；〔4〕AQ .【答案】〔1〕1()2AP a b c =++；〔2〕1122AM a b c =++；〔3〕12AN a b c =++；〔4〕114555AQ a b c =++.. 连接.AC AD '，〔1〕P 是CA '的中点111()()()222AP AC AA AB AD AA a b c ''=+=++=++ 〔2〕M 是CD '的中点1111()(2)2222AM AC AD AB AD AA a b c ''=+=++=++ 〔3〕N 是C D ''的中点1111()()(2)2222AN AC AD AA AC AD AA AA AB AD AA a b c ''''''=+=+++=+++=++〔4〕点Q 在CA '上，且:4:1CQ QA '＝44141114()()55555555AQ AC CQ AC CA AC AA AC AC AA AB AD a b c '''=+=+=+-=+=+=++【点睛】 此题考查空间向量根本定理，属于根底题11、如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ∠=∠=︒．〔1〕设1AA a=，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度； 〔2〕求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．【答案】〔1〕1BC a c b =+-；2；〔2〕66. 解：〔1〕111111111BC BB BC BB AC A B a c b=+=+-=+-， 又11cos 11cos602a b a b BAA ⋅=∠=⨯⨯︒=， 同理可得12a cbc ⋅=⋅=， 那么221||()2222BC a c b a c b a c a b c b =+-=+++⋅-⋅-⋅=． 〔2〕因为1AB a b =+，所以221||()23AB a b a b a b =+=++⋅=，因为211()()1AB BC a b a c b a a c a b b a c b b ⋅=+⋅+-=+⋅-⋅+⋅+⋅-=，所以11111116cos ,6||||23AB BC AB BC AB BC ⋅<>===⨯． 那么异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为66．12、平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.〔1〕求AC ′的长；〔如下图〕〔2〕求AC '与AC 的夹角的余弦值．【答案】〔12【解析】【分析】〔1〕AC '＝AC CC '+＝AB AD AA '++，再利用向量模的运算即可求解. 〔2〕利用向量数量积的即可求出夹角的余弦值.【详解】〔1〕可得AC '＝'AC CC +＝'AB AD AA ++， 2AC '＝2AB AD AA '++＝22AB AD AA '+++2〔AB AD AB AA AD AA ''⋅+⋅+⋅〕 ＝42+32+52+2〔4×3×0+4×1153522⨯+⨯⨯〕＝85 故AC ′的长等于AC'＝ 〔2〕由〔1〕可知AC '＝AB AD AA '++，AC'＝故AC AC '⋅＝〔AB AD AA '++〕⋅〔AB AD +〕 ＝222AB AB AD AD AA AB AA AD ''+⋅++⋅+⋅ ＝2211424303545322+⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯＝852 又AC ＝()AB AD +＝222AB AB ADAD +⋅+＝ 5故AC '与AC 的夹角的余弦值＝AC AC AC AC '⋅'⋅＝85=10。

空间向量教学讲义教学内容【新授课知识讲解】知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。

当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。

4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。