8-8曲线与方程

曲线与方程的关系
曲线与方程之间存在着密切的联系，它们不仅相互依存，而且彼
此又具有重要的数学意义。

首先，曲线是由一个函数表示的，而这个函数就是方程。

因此，
曲线和方程之间存在着直接的联系。

其次，通过求解该方程，可以得
到曲线的性质。

例如，如果曲线是抛物线，则可以根据抛物线的方程
来计算出它的顶点；如果曲线是椭圆，则可以通过椭圆方程来计算出
它的长轴和短轴等。

此外，曲线与方程还具有更为深刻的数学意义。

曲线和方程能够
反映物理和化学现象的发展趋势，并且可以使用数学工具对其进行解
析和研究。

更重要的是，曲线和方程也可以用于描述某些重要的场景，如关于经济学、生态学等的分析。

因此，曲线与方程之间有着密不可分的关系，而这种关系有着重
要的数学意义。

正是由于曲线和方程能够将复杂的物理世界变为易于
理解和推导的数学现象，它们才能够为人们在研究自然界现象中提供
强大的帮助。

第八讲曲线与方程知识梳理·双基自测知识梳理知识点一曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做__曲线__的方程；这条曲线叫做__方程__的曲线．知识点二求动点的轨迹方程的基本步骤重要结论1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．求轨迹问题常用的数学思想(1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y的方程及函数关系．(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合．(3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × )(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2．( × ) (3)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线．( × )(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( × ) 题组二 走进教材2．(必修2P 37T3)已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( D )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线[解析] 由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．3．(选修2－1P 37T1改编)已知A(－2,0)，B(1,0)两点，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为原点，则点P 的轨迹方程是__x 2＋y 2－4x ＝0(y≠0)__．[解析] 设P(x ，y)，∵∠APO ＝∠BPO ， ∴|PA||PB|＝|OA||OB|＝2， 即|PA|＝2|PB|，∴(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，(y≠0)化简整理得P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(y≠0)． 题组三 走向高考4．(多选题)(2020·山东)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1．( ACD ) A ．若m ＞n ＞0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n ＞0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn ＜0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n ＞0，则C 是两条直线[解析] A ．若m ＞n ＞0，则1m ＜1n ，则根据椭圆定义，知x 21m ＋y21n ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；B ．若m ＝n ＞0，则方程为x 2＋y 2＝1n ，表示半径为1n的圆，故B 错误；C ．若m ＜0，n ＞0，则方程为x21m＋y21n ＝1，表示焦点在y 轴的双曲线，故此时渐近线方程为y ＝±－m n x ，若m ＞0，n ＜0，则方程为x 21m ＋y 21n＝1，表示焦点在x 轴的双曲线，故此时渐近线方程为y ＝±－mnx ，故C 正确；D ．当m ＝0，n ＞0时，则方程为y ＝±1n表示两条直线，故D 正确；故选ACD ． 5．(2019·北京卷)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x|y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( C ) A ．① B ．② C ．①②D ．①②③[解析] 将x 换成－x 方程不变，所以图形关于y 轴对称， 当x ＝0时，代入得y 2＝1，∴y ＝±1，即曲线经过(0,1)，(0，－1)； 当x ＞0时，方程变为y 2－xy ＋x 2－1＝0，所以Δ＝x 2－4(x 2－1)≥0，解得x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，233，所以x 只能取整数1，当x ＝1时，y 2－y ＝0， 解得y ＝0或y ＝1，即曲线经过(1,0)，(1,1)， 根据对称性可得曲线还经过(－1,0)，(－1,1)， 故曲线一共经过6个整点，故①正确． 当x ＞0时，由x 2＋y 2＝1＋xy 得x 2＋y 2－1＝xy≤x 2＋y22，(当x ＝y 时取等)，∴x 2＋y 2≤2，∴x 2＋y 2≤2，即曲线C 上y 轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对称性可得：曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2；故②正确．在x 轴上图形面积大于矩形面积＝1×2＝2，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积＝12×2×1＝1，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于2＋1＝3，故③错误．故选C ．考点突破·互动探究考点一 曲线与方程——自主练透例1 (多选题)关于x ，y 的方程x 2m 2＋2＋y 23m 2－2＝1，⎝⎛⎭⎪⎫其中m 2≠23对应的曲线可能是( ABCD ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．圆[解析] 由题，若m 2＋2＞3m 2－2，解得－2＜m ＜2，3m 2－2＞0，解得m ＜－63或m ＞63，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－63∪⎝ ⎛⎭⎪⎫63，2时，曲线是焦点在x 轴上的椭圆，A 正确；若3m 2－2＞m 2＋2，解得m ＜－2或m ＞2，此时曲线是焦点在y 轴上的椭圆，B 正确；若3m 2－2＜0，解得－63＜m ＜63，此时曲线是焦点在x 轴上的双曲线，C 正确；当m 2＝2时，方程为x 2＋y 2＝4，所以D 正确．故选ABCD ．〔变式训练1〕(多选题)(2021·山东青岛一中期末)已知点F(1,0)为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为( AD )A ．y 2＝4x B ．x 2＝4yC ．x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2 D ．x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2 [解析] y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)；x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)；当θ＝π4时，sin 2θ＝cos 2θ＝12，x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝1表示圆；双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2的焦点在x 轴上，且c ＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，其焦点坐标为(1,0)，(－1,0)，故选AD ．考点二 定义法求轨迹方程——自主练透例2 (1)(2021·长春模拟)如图所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于点E ，则点E 的轨迹是( B )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)(2021·福州模拟)已知圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36，定点N(5，0)，点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在线段MP 上，且满足NP →＝2NQ →，GQ →·NP →＝0，则点G 的轨迹方程是( A )A ．x 29＋y24＝1B ．x 236＋y231＝1 C ．x 29－y24＝1D ．x 236－y231＝1 (3)(2021·江苏南京二十九中调研)已知两圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( D )A ．x 2－y28＝1B ．x 28－y 2＝1C ．x 2－y28＝1(x≥1)D ．x 2－y28＝1(x≤－1)[解析] (1)由题意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r 为圆的半径)且r ＞|OA|，故E 的轨迹为以O ，A 为焦点的椭圆，故选B ．(2)由NP →＝2NQ →，GQ →·NP →＝0知GQ 所在直线是线段NP 的垂直平分线，连接GN ，∴|GN|＝|GP|，∴|GM|＋|GN|＝|MP|＝6＞25，∴点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其中2a ＝6,2c ＝25，∴b 2＝4，∴点G 的轨迹方程为x 29＋y24＝1，故选A ．(3)设动圆M 的半径为r ，则|C 1M|＝r ＋1，|C 2M|＝3＋r ，∴|C 2M|－|C 1M|＝2＜6＝|C 1C 2|．∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线左支，且c ＝3，a ＝1，∴b 2＝c 2－a 2＝8，∴其轨迹方程为x 2－y28＝1(x≤－1)．故选D ．[引申1]本例(3)中，若动圆M 与圆C 1内切，与圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 24－y25＝1(x≤－2)__．[引申2]本例(3)中，若动圆M 与圆C 1外切，与圆C 2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 24－y25＝1(x≥2)__．[引申3]本例(3)中，若动圆M 与圆C 1、圆C 2都内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 2－y28＝1(x≥1)__．[引申4]本例3中，若动圆M 与圆C 1、圆C 2中一个内切一个外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 24－y25＝1__．名师点拨定义法求轨迹方程及其注意点(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．〔变式训练2〕(1)动圆M 经过双曲线x 2－y23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( B )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x(2)(多选题)(2021·湖南娄底质检)在水平地面上的不同两点处竖有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P 的轨迹可能是( AB )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线[解析] (1)双曲线x 2－y23＝1的左焦点为F(－2,0)，由题意可知点M 的轨迹是以F 为焦点、原点为顶点、对称轴为x 轴的抛物线，故其方程为y 2＝－8x ．故选B ．(2)如图两根电杆AB ，CD ，①当|AB|＝|CD|时，∵∠BPA ＝∠DPC ，∴|PA|＝|PC|， ∴P 的轨迹是AC 的中垂线，②当|AB|＝λ|CD|(λ≠1，λ＞0)时， 由∠BPA ＝∠DPC 知Rt △ABP ∽Rt △CDP ， ∴|AP||CP|＝|AB||CD|＝λ， 以AC 所在直线为x 轴，线段AC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系， 记A(－1,0)，C(1,0)，P(x ，y)， 则x ＋12＋y 2x －12＋y2＝λ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －λ2＋1λ2－12＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2λλ2－12， 轨迹为圆，故选AB ．考点三 直接法求轨迹方程——师生共研例3 (1)(2021·四川、云南、贵州、西藏四省四校联考)已知圆C 过点A(0,2)且与直线y ＝－2相切，则圆心C 的轨迹方程为( B )A ．x 2＝4y B ．x 2＝8y C ．x 2＝－4yD ．x 2＝－8y(2)(2021·山东菏泽模拟)已知动圆过定点A(4,0)，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8． ①求动圆圆心的轨迹C 的方程；②已知点B(－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．[解析] (1)设圆心C(x ，y)， 由题意知x 2＋y －22＝|y ＋2|，化简得x 2＝8y ，故选B ．(2)①设动圆圆心P(x ，y)，线段MN 的中点为E ， 则|PA|2＝|PE|2＋42，即(x －4)2＋y 2＝x 2＋16，化简得y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x ． ②设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx ＋b ，得k 2x 2＋2kbx ＋b 2＝8x ，k 2x 2－(8－2kb)x ＋b 2＝0(其中Δ＞0)， 设P(x 1，kx 1＋b)，Q(x 2，kx 2＋b)， 则x 1＋x 2＝8－2kb k 2，x 1x 2＝b 2k 2， 若x 轴是∠PBQ 的角平分线， 则k PB ＋k QB ＝kx 1＋b x 1＋1＋kx 2＋bx 2＋1＝kx 1＋b x 2＋1＋kx 2＋b x 1＋1x 1＋1x 2＋1＝2kx 1x 2＋k ＋b x 1＋x 2＋2bx 1＋1x 2＋1＝8k ＋bk2x 1＋1x 2＋1＝0，即k ＝－b ．故直线l 的方程为y ＝k(x －1)，直线l 过定点(1,0)．名师点拨直接法求曲线方程的一般步骤(1)建立合适的直角坐标系．(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程．(3)化简整理这个方程，检验并说明所求方程就是曲线的方程．直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性．(4)运用直接法应注意的问题①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的．②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略． 〔变式训练3〕(1)已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足|PA|＝2|PB|，则动点P 的轨迹是( B ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆D ．双曲线(2)(2021·湖南湘潭模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点Q(1,0)，直线l ：x ＝2．若动点P 在直线l 上的射影为R ，且|PR →|＝2|PQ →|，设点P 的轨迹为C ．①求C 的轨迹方程；②设直线y ＝x ＋n 与曲线C 相交于A 、B 两点，试探究曲线C 上是否存在点M ，使得四边形MAOB 为平行四边形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设P(x ，y)， 则x ＋22＋y 2＝2x －12＋y 2，化简得x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4， 其表示以(2,0)为圆心，4为半径的圆，故选B ． (2)①设P(x ，y)，由|PR →|＝2|PQ →|， 得|2－x|＝2·x －12＋y 2，平方化简得C 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1．②设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x 3，y 3)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n x 22＋y 2＝1，得x 2＋2(x ＋n)2－2＝0，即3x 2＋4nx ＋2n 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4n 3，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2n ＝2n3．假设存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形， 则OM →＝OA →＋OB →，所以(x 3，y 3)＝(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)， 所以x 3＝x 1＋x 2＝－4n 3，y 3＝y 1＋y 2＝2n3．由点M 在曲线C 上得x 232＋y 23＝1，代入得8n 29＋4n29＝1，解得n 2＝34，n ＝±32．所以当n ＝±32时，曲线C 上存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形， 此时点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，33或者M ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，－33，当n≠±32，曲线C 上不存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形． 考点四 代入法(相关点法)求轨迹方程——师生共研例4 (2021·河南新乡模拟)在直角坐标系xOy 中，点M(－2,0)，N 是曲线x ＝14y 2＋2上的任意一点，动点C 满足MC →＋NC →＝0．(1)求点C 的轨迹方程；(2)经过点P(1,0)的动直线l 与点C 的轨迹交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在定点D(异于点P)，使得∠ADP ＝∠BDP ？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设C(x ，y)，N(x 0，y 0)， 则MC →＝(x ＋2，y)，NC →＝(x －x 0，y －y 0)， MC →＋NC →＝(2x －x 0＋2,2y －y 0)．又MC →＋NC →＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 0＋2＝0，2y －y 0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ＋2，y 0＝2y.因为点N 为曲线x ＝14y 2＋2上的任意一点，所以x 0＝14y 20＋2，所以2x ＋2＝14(2y)2＋2，整理得y 2＝2x ，故点C 的轨迹方程为y 2＝2x ． (2)设存在点D(t,0)，使得∠ADP ＝∠BDP ， 所以k DA ＋k DB ＝0．由题易知，直线l 的倾斜角不可能为0°， 故设直线l 的方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1代入y 2＝2x ，得y 2－2my －2＝0． 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2． 因为k DA ＋k DB ＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝y 1my 1＋1－t ＋y 2my 2＋1－t ＝0，所以2my 1y 2＋(1－t)(y 1＋y 2)＝0， 即－4m ＋2m·(1－t)＝0，所以t ＝－1． 故存在点D(－1,0)，使得∠ADP ＝∠BDP ．名师点拨代入法(相关点法)求轨迹方程(1)当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点法求其轨迹方程： ①某个动点P 在已知方程的曲线上移动； ②另一个动点M 随P 的变化而变化；③在变化过程中P 和M 满足一定的规律．(2)代入法(相关点法)的基本步骤①设点：设被动点坐标为(x ，y)，主动点坐标为(x 1，y 1)；②求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝f x ，y ，y 1＝g x ，y ；③代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程；④检验：注意检验所求方程是否符合题意．〔变式训练4〕(2021·河北石家庄模拟)已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足OQ →＝12(OF 1→＋OP →)(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹为( D )A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆 [解析] 设P(x ，y)，Q(x 0，y 0)，椭圆C 的左焦点F 1(－2,0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x －22，y 0＝y 2 又x 2016＋y 2010＝1，∴x －2264＋y 240＝1，故选D ． 考点五,参数法求轨迹方程——师生共研例5 (2021·河北衡水中学调研)已知圆C 1：x 2＋y 2＝2，圆C 2：x 2＋y 2＝4，如图，C 1，C 2分别交x 轴正半轴于点E ，A ．射线OD 分别交C 1，C 2于点B ，D ，动点P 满足直线BP 与y 轴垂直，直线DP 与x 轴垂直．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点E 作直线l 交曲线C 与点M ，N ，射线OH ⊥l 于点H ，且交曲线C 于点Q ．问：1|MN|＋1|OQ|2的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由．[分析] 显然点P(x ，y)的变动由∠AOD 的大小α(或k OD )决定，故可通过α(或k OD )建立x ，y 间的关系，即点P 的轨迹方程．[解析] (1)解法一：如图设∠BOE ＝α，则B(2cos α，2sin α)，D(2cos α，2sin α)，所以x P ＝2cos α，y P ＝2sin α．所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1． 解法二：当射线OD 的斜率存在时，设斜率为k ，OD 方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx x 2＋y 2＝2得y 2P ＝2k 21＋k 2， 同理得x 2P ＝41＋k 2， 所以x 2P ＋2y 2P＝4即有动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1． 当射线OD 的斜率不存在时，点(0，±2)也满足．(2)由(1)可知E 为C 的焦点，设直线l 的方程为x ＝my ＋2(斜率不为0时)且设点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x ＝my ＋2x 2＋2y 2＝4，得(m 2＋2)y 2＋22my －2＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－22m m 2＋2y 1y 2＝－2m 2＋2， 所以1|MN|＝11＋m 2|y 1－y 2|＝m 2＋24m 2＋1， 又射线OQ 方程为y ＝－mx ， 代入椭圆C 的方程得x 2＋2(mx)2＝4， 即x 2Q ＝41＋2m 2，y 2Q ＝4m 21＋2m 2，1|OQ|2＝1＋2m 24m 2＋1， 所以1|MN|＋1|OQ|2＝m 2＋24m 2＋1＋1＋2m 24m 2＋1＝34， 又当直线l 的斜率为0时，也符合条件．综上，1|MN|＋1|OQ|2为定值，且为34．名师点拨(1)在选择参数时，参数可以具有某种物理或几何意义，如时间、速度、距离、角度、直线的斜率、点的横(纵)坐标等，也可以没有具体的意义，但要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响．(2)参数法求轨迹方程的适用条件动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式，也没有明显的相关点，但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动与某一个量或某两个变量(角、斜率、比值、截距等)有关．〔变式训练5〕若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l 1，l 2分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为__x ＋y －1＝0__．[解析] 当直线l 1的斜率存在时，l 2的斜率也存在，设直线l 1的方程是y －1＝k(x －1)，则直线l 2的方程是y －1＝－1k (x －1)，所以直线l 1与x 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，0，l 2与y 轴的交点为B ⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋1k ，设AB 的中点M 的坐标为(x ，y)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ，两式相加消去k ，得x ＋y ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠12，即x ＋y －1＝0(x≠12)，所以AB 中点M 的轨迹方程为x ＋y －1＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠12． 当直线l 1(或l 2)的斜率不存在时，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，此点在直线x ＋y －1＝0上． 综上，AB 中点M 的轨迹方程为x ＋y －1＝0．另解：由题意易知|MP|＝|MO|，∴M 的轨迹为线段OP 的中垂线，其方程为y －12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 即x ＋y －1＝0．名师讲坛·素养提升高考中的轨迹问题例6 (2019·课标Ⅱ)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x ，y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为－12．记M 的轨迹为曲线C ． (1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G ．①证明：△PQG 是直角三角形；②求△PQG 面积的最大值．[解题思路] (1)由题直译得关系→化简，观察方程形式得结论(2)①设直线PQ ：y ＝kx →与C 的方程联立得P ，Q 两点坐标→得直线QG 的方程→与C 的方程联立得G 的坐标→求PG 的斜率→得结论 ②利用公式求面积→得关于k 的函数→判断单调性求最值→得结论 [解析] (1)由题设得y x ＋2·y x －2＝－12， 化简得x 24＋y 22＝1(|x|≠2)， 所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)①证明：设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx(k ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x 24＋y 22＝1得x ＝±21＋2k 2． 记u ＝21＋2k 2，则P(u ，uk)，Q(－u ，－uk)，E(u,0)．于是直线QG 的斜率为k 2，方程为y ＝k 2(x －u)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 2x －u x 24＋y 22＝1， 得(2＋k 2)x 2－2uk 2x ＋k 2u 2－8＝0．①设G(x G ，y G )，则－u 和x G 是方程①的解，故x G ＝u 3k 2＋22＋k 2，由此得y G ＝uk 32＋k 2．从而直线PG 的斜率为uk 32＋k 2－uk u 3k 2＋22＋k 2－u ＝－1k ． 所以PQ ⊥PG ，即△PQG 是直角三角形．②由①得|PQ|＝2u 1＋k 2，|PG|＝2uk k 2＋12＋k 2， 所以△PQG 的面积S ＝12|PQ||PG|＝ 8k 1＋k21＋2k 22＋k 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋k 1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋k 2． 设t ＝k ＋1k，则由k ＞0得t≥2，当且仅当k ＝1时取等号， 因为S ＝8t 1＋2t2在[2，＋∞)单调递减，所以当t ＝2， 即k ＝1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169． [解题关键] ①利用方程思想得出点P 、Q 的坐标，进而利用换元法及整体代换法简化运算过程是顺利解决本题的关键；②正确利用基本不等式及函数单调性是求解△PQG 面积最值的关键．〔变式训练6〕(2020·新课标Ⅲ)在平面内，A ，B 是两个定点C 是动点，若OC →·BC →＝1，则点C 的轨迹为( A )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线[解析] 不妨以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系，设C(x ，y)，A(－c,0)，B(c,0)，c ＞0，则AC →＝(x ＋c ，y)，BC →＝(x －c ，y)，由AC →·BC →＝1，得(x ＋c)(x －c)＋y·y＝1，即x 2＋y 2＝c 2＋1＞0，∴点C 的轨迹为圆．故选A ．。

第8讲 曲线与方程[学生用书P192]1．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2．曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎨⎧F 1（x ，y ）＝0，F 2（x ，y ）＝0的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．3．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系． (2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y )． (3)列式——列出动点P 所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x ，y 的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程． 常用结论1．“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线”是“曲线C 上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“f(x0，y0)＝0”是“点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上”的充要条件．()(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．()(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．()(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．()(5)y＝kx与x＝1k y表示同一直线．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)混淆“轨迹”与“轨迹方程”出错；(2)忽视轨迹方程的“完备性”与“纯粹性”．1．(1)平面内与两定点A(2，2)，B(0，0)距离的比值为2的点的轨迹是________．(2)设动圆M与y轴相切且与圆C：x2＋y2－2x＝0相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_________________________________________________．解析：(1)设动点坐标为(x，y)，则（x－2）2＋（y－2）2x2＋y2＝2，整理得3x2＋3y2＋4x＋4y－8＝0，所以满足条件的点的轨迹是圆．(2)若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点C(1，0)与到定直线x＝－1的距＝1，所以其方程为y2＝4x(x＞0)；若动圆在y轴离相等，其轨迹是抛物线，且p2左侧，则圆心轨迹是x轴负半轴，其方程为y＝0(x＜0)．故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)．答案：(1)圆(2)y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)2．已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是________．解析：由角的平分线性质定理得|P A|＝2|PB|，设P(x，y)，则（x＋2）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)．答案：(x－2)2＋y2＝4(y≠0)3．已知⊙O的方程为x2＋y2＝4，过M(4，0)的直线与⊙O交于A，B两点，则弦AB的中点P的轨迹方程为________．解析：根据垂径定理知：OP⊥PM，所以P点的轨迹是以OM为直径的圆且在⊙O内的部分．以OM为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，它与⊙O的交点为(1，±3)．结合图形可知所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)．答案：(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)[学生用书P192]直接法求轨迹方程(师生共研)已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，0)，B(2，3)，C(1，22)，定点P (1，1)．(1)求△ABC 外接圆的标准方程；(2)若过定点P 的直线与△ABC 的外接圆交于E ，F 两点，求弦EF 中点的轨迹方程．【解】 (1)由题意得AC 的中点坐标为(0，2)，AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，k AC ＝2，k AB ＝1，故AC 中垂线的斜率为－22，AB 中垂线的斜率为－1，则AC的中垂线的方程为y －2＝－22x ，AB 的中垂线的方程为y －32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.由⎩⎪⎨⎪⎧y －32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y －2＝－22x ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.所以△ABC 的外接圆圆心为(2，0)，半径r ＝2＋1＝3，故△ABC 外接圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)设弦EF 的中点为M (x ，y )，△ABC 外接圆的圆心为N ，则N (2，0)， 由MN ⊥MP ，得NM →·PM →＝0， 所以(x －2，y )·(x －1，y －1)＝0， 整理得x 2＋y 2－3x －y ＋2＝0，所以弦EF 中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12.(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点．(2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形．已知坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点P (26，1)，Q (2，1)，且|MP |＝5|MQ |.(1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C ，若过点N (－2，3)的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程．解：(1)由|MP |＝5|MQ |，得（x －26）2＋（y －1）2＝5（x －2）2＋（y －1）2，化简得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25，轨迹是以(1，1)为圆心，5为半径的圆．(2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2，此时所截得的线段长度为2×52－32＝8，所以l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0， 圆心(1，1)到l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1，由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512， 所以直线l 的方程为512x －y ＋236＝0， 即5x －12y ＋46＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.定义法求轨迹方程(师生共研)已知圆C 与两圆x 2＋(y ＋4)2＝1，x 2＋(y －2)2＝1外切，圆C 的圆心轨迹为L ，设L 上的点与点M (x ，y )的距离的最小值为m ，点F (0，1)与点M (x ，y )的距离为n .(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)求满足条件m ＝n 的点M 的轨迹Q 的方程．【解】 (1)两圆半径都为1，两圆圆心分别为C 1(0，－4)，C 2(0，2)，由题意得|CC 1|＝|CC 2|，可知圆心C 的轨迹是线段C 1C 2的垂直平分线，C 1C 2的中点为(0，－1)，直线C 1C 2的斜率不存在，所以圆C 的圆心轨迹L 的方程为y ＝－1.(2)因为m ＝n ，所以M (x ，y )到直线y ＝－1的距离与到点F (0，1)的距离相等，故点M 的轨迹Q 是以y ＝－1为准线，点F (0，1)为焦点，顶点在原点的抛物线，而p2＝1，即p ＝2，所以，轨迹Q 的方程是x 2＝4y .定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．1．已知△ABC 的顶点B (0，0)，C (5，0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________________．解析：设A (x ，y )，由题意可知D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.又因为|CD |＝3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝9，即(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点不共线，所以点A 不能落在x 轴上，即y ≠0，所以点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．答案：(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)2．如图，已知△ABC 的两顶点坐标A (－1，0)，B (1，0)，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，|CP |＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C 的轨迹为曲线M ，求曲线M 的方程．解：由题知|CA |＋|CB |＝|CP |＋|CQ |＋|AP |＋|BQ |＝2|CP |＋|AB |＝4＞|AB |， 所以曲线M 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x 轴的交点)．设曲线M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0，y ≠0)，则a 2＝4，b 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝3，所以曲线M 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．相关点法(代入法)求轨迹方程(师生共研)如图所示，抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．【解】 (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2，2)，代入y 2＝2px (p >0)，解得p ＝1. (2)由(1)知抛物线E ：y 2＝2x .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0，切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －y 1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 212，代入y 2＝2x ，得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0，解得k ＝1y 1， 所以l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y 22，解得⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y 22.易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2，2 2 ]， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x 0，代入⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y 22，可得M (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8x 0，y ＝－y 0x 0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－8x ，y 0＝8yx ，代入x 20＋y 20＝8，并化简，得x 28－y 2＝1，考虑到x 0∈[2，22]，知x ∈[－4，－22]，所以动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22]．1.如图，已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上一点，PM ⊥x 轴于点M .若PN →＝λNM →. (1)求N 点的轨迹方程；(2)当N 点的轨迹为圆时，求λ的值．解：(1)设点P ，点N 的坐标分别为P (x 1，y 1)，N (x ，y )， 则M 的坐标为(x 1，0)，且x ＝x 1， 所以PN →＝(x －x 1，y －y 1)＝(0，y －y 1)， NM →＝(x 1－x ，－y )＝(0，－y )， 由PN →＝λNM →得(0，y －y 1)＝λ(0，－y )． 所以y －y 1＝－λy ，即y 1＝(1＋λ)y .因为P (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 2＝1上， 则x 214＋y 21＝1，所以x 24＋(1＋λ)2y 2＝1， 故x 24＋(1＋λ)2y 2＝1为所求的N 点的轨迹方程． (2)要使点N 的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝14，解得λ＝－12或λ＝－32.故当λ＝－12或λ＝－32时，N 点的轨迹是圆．2．已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)，经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，且MB →＝－2MA →.若点B 的坐标为(0，2)，求曲线E 的方程．解：设A (x 0，y 0)，因为B (0，2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0，故MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，2，MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－33，y 0.由于MB →＝－2MA →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－33，y 0.所以x 0＝32，y 0＝－1，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1.因为A ，B 都在曲线E 上，所以⎩⎨⎧a ·02＋b ·22＝1，a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋b ·（－1）2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝14. 所以曲线E 的方程为x 2＋y24＝1.[学生用书P407(单独成册)][A 级 基础练]1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点D ．以上答案都不对解析：选C.(x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.2．(2020·新高考卷Ⅰ改编)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.以下结论正确的个数是( )①若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上；②若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为n ；③若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝± －mn x ；④若m＝0，n >0，则C 是两条直线．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.对于①，因为m ＞n ＞0，所以0＜1m ＜1n ，方程mx 2＋ny 2＝1可变形为x 21m ＋y 21n ＝1，所以该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，正确；对于②，因为m＝n ＞0，所以方程mx 2＋ny 2＝1可变形为x 2＋y 2＝1n ，该方程表示半径为1n 的圆，错误；对于③，因为mn ＜0，所以该方程表示双曲线，令mx 2＋ny 2＝0⇒y ＝± －mn x ，正确；对于④，因为m ＝0，n ＞0，所以方程mx 2＋ny 2＝1变形为ny 2＝1⇒y ＝±1n ，该方程表示两条直线，正确．3.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1，0)，B (1，1)，C (0，1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A -B -C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( )解析：选D.当P 沿AB 运动时，x ＝1，设P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，y ′＝1－y 2(0≤y ≤1)，故y ′＝1－x ′24(0≤x ′≤2，0≤y ′≤1)．当P 沿BC 运动时，y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1(0≤x ≤1)，所以y ′＝x ′24－1(0≤x ′≤2，－1≤y ′≤0)，由此可知P ′的轨迹如D 项图象所示，故选D.4．已知两点M (－2，0)，N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x解析：选A.设P (x ，y )．因为M (－2，0)，N (2，0)，所以MN →＝(4，0)，|MN →|＝4，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )，由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，得4（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0，化简整理得y 2＝－8x .故选A.5．动点M 在圆x 2＋y 2＝25上移动，过点M 作x 轴的垂线段MD ，D 为垂足，则线段MD 中点的轨迹方程是( )A.4x 225＋y 225＝1 B ．x 225＋4y 225＝1 C.4x 225－y 225＝1D.x 225－4y 225＝1解析：选B.如图，设线段MD 的中点为P (x ，y )，M (x 0，y 0)，D (x 0，0)，因为P 是MD 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .又M 在圆x 2＋y 2＝25上，所以x 20＋y 20＝25，即x 2＋4y 2＝25，x 225＋4y 225＝1，所以线段MD 的中点P 的轨迹方程是x 225＋4y 225＝1.故选B.6．设D 为椭圆y 25＋x 2＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0，2)，延长AD 至点P ，使得|PD |＝|BD |，则点P 的轨迹方程为________．解析：设点P 坐标为(x ，y )．因为D 为椭圆y 25＋x 2＝1上任意一点，且A ，B 为椭圆的焦点，所以|DA |＋|DB |＝2 5.又|PD |＝|BD |，所以|P A |＝|PD |＋|DA |＝|DA |＋|DB |＝25，所以x 2＋（y ＋2）2＝25，所以x 2＋(y ＋2)2＝20，所以点P 的轨迹方程为x 2＋(y ＋2)2＝20.答案：x 2＋(y ＋2)2＝207．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1，0)，B (2，2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________．解析：设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t ，2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t ，得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.答案：y ＝2x －28．△ABC 的顶点A (－5，0)，B (5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．解析：如图，△ABC 与内切圆的切点分别为G ，E ，F .则|AG |＝|AE |＝8，|BF |＝|BG |＝2，|CE |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，轨迹方程为x 29－y 216＝1(x >3)．答案：x 29－y 216＝1(x >3)9．如图所示，已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与点B (2，0)，分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程．(1)△P AB 的周长为10；(2)圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；(3)圆P 与圆A 外切，且与直线x ＝1相切(P 为动圆圆心)．解：(1)根据题意，知|PA |＋|PB |＋|AB |＝10，即|P A |＋|PB |＝6>4＝|AB |，故P 点的轨迹是椭圆，且2a ＝6，2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.因此其轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．(2)设圆P 的半径为r ，则|P A |＝r ＋1，|PB |＝r ， 因此|P A |－|PB |＝1.由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支，且2a ＝1，2c ＝4，即a ＝12，c ＝2，b ＝152，因此其轨迹方程为4x 2－415y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12. (3)依题意，知动点P 到定点A 的距离等于到定直线x ＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p ＝4.因此其轨迹方程为y 2＝－8x .10．已知动圆P 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，且与直线x ＝－14相切．(1)求动圆P 圆心的轨迹M 的方程；(2)在正方形ABCD 中，AB 边在直线y ＝x ＋4上，另外C ，D 两点在轨迹M 上，求该正方形的面积．解：(1)由题意得动圆P 的圆心到点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0的距离与它到直线x ＝－14的距离相等，所以圆心P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0为焦点，直线x ＝－14为准线的抛物线，且p ＝12，所以动圆P 圆心的轨迹M 的方程为y 2＝x . (2)由题意设CD 边所在直线方程为y ＝x ＋t . 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，y 2＝x ，消去y ，整理得x 2＋(2t －1)x ＋t 2＝0.因为直线CD 和抛物线交于两点，所以Δ＝(2t －1)2－4t 2＝1－4t ＞0，解得t ＜14. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝1－2t ，x 1x 2＝t 2. 所以|CD |＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2[（1－2t ）2－4t 2]＝2（1－4t ）.又直线AB 与直线CD 之间的距离为|AD |＝|t －4|2，|AD |＝|CD |，所以2（1－4t ）＝|t －4|2，解得t ＝－2或t ＝－6，经检验t ＝－2和t ＝－6都满足Δ＞0. 所以正方形边长|AD |＝32或|AD |＝52， 所以正方形ABCD 的面积S ＝18或S ＝50.[B 级 综合练]11．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0) D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)解析：选A.设A (a ，0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP →＝2P A →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ＝32x ，b ＝3y 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．12．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1D ．x 2＝16y解析：选B.因为M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，所以M 的轨迹是以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.A 项，直线x ＋y ＝5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．13．(2021·四川成都石室中学模拟)已知两定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)和一动点P ，给出下列结论：①若|PF 1|＋|PF 2|＝2，则点P 的轨迹是椭圆； ②若|PF 1|－|PF 2|＝1，则点P 的轨迹是双曲线； ③若|PF 1||PF 2|＝λ(λ＞0，且λ≠1)，则点P 的轨迹是圆；④若|PF 1|·|PF 2|＝a 2(a ≠0)，则点P 的轨迹关于原点对称；⑤若直线PF 1与PF 2的斜率之积为m (m ≠0)，则点P 的轨迹是椭圆(除长轴两端点)．其中正确的是________．(填序号)解析：对于①，由于|PF 1|＋|PF 2|＝2＝|F 1F 2|，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2，故①不正确．对于②，由于|PF 1|－|PF 2|＝1，故点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，故②不正确．对于③，设P (x ，y )，由题意得（x ＋1）2＋y 2（x －1）2＋y 2＝λ，整理得(1－λ2)x 2＋(1－λ2)y 2＋(2＋2λ2)x ＋1－λ2＝0.因为λ＞0，且λ≠1，所以x 2＋y 2＋（2＋2λ2）1－λ2x ＋1－λ21－λ2＝0，所以点P 的轨迹是圆，故③正确．对于④，设P (x ，y )，则|PF 1|·|PF 2|＝（x ＋1）2＋y 2·（x －1）2＋y 2＝a 2.又点P (x ，y )关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )，因为（－x ＋1）2＋（－y ）2·（－x －1）2＋（－y ）2＝（x ＋1）2＋y 2·（x －1）2＋y 2＝a 2，所以点P ′(－x ，－y )也在曲线（x ＋1）2＋y 2·（x －1）2＋y 2＝a 2上，即点P 的轨迹关于原点对称，故④正确．对于⑤，设P (x ，y )，则k PF 1＝y x ＋1，k PF 2＝y x －1，由题意得k PF 1·k PF 2＝y x ＋1·yx －1＝y 2x 2－1＝m (m ≠0)，整理得x 2－y 2m ＝1，此方程不一定表示椭圆，故⑤不正确． 综上，正确结论的序号是③④. 答案：③④14．如图，已知椭圆C ：x 218＋y 29＝1的短轴端点分别为B 1，B 2，点M 是椭圆C 上的动点，且不与B 1，B 2重合，点N 满足NB 1⊥MB 1，NB 2⊥MB 2.(1)求动点N 的轨迹方程；(2)求四边形MB 2NB 1面积的最大值．解：(1)方法一：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)(x 0≠0)． 由题知B 1(0，－3)，B 2(0，3)， 所以k MB 1＝y 0＋3x 0，k MB 2＝y 0－3x 0.因为MB 1⊥NB 1，MB 2⊥NB 2， 所以直线NB 1：y ＋3＝－x 0y 0＋3x ，①直线NB 2：y －3＝－x 0y 0－3x ，② ①×②得y 2－9＝x 20y 20－9x 2.又因为x 2018＋y 209＝1，所以y 2－9＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 209y 20－9x 2＝－2x 2，整理得动点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0)．方法二：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)(x 0≠0)． 由题知B 1(0，－3)，B 2(0，3)， 所以k MB 1＝y 0＋3x 0，k MB 2＝y 0－3x 0.因为MB 1⊥NB 1，MB 2⊥NB 2， 所以直线NB 1：y ＋3＝－x 0y 0＋3x ，①直线NB 2：y －3＝－x 0y 0－3x ，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 20－9x 0，y ＝－y 0.又x 2018＋y 209＝1，所以x ＝－x 02，故⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2x ，y 0＝－y ，代入x 2018＋y 209＝1，得y 29＋x 292＝1. 所以动点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0)．方法三：设直线MB 1：y ＝kx －3(k ≠0)， 则直线NB 1：y ＝－1k x －3，①直线MB 1与椭圆C ：x 218＋y 29＝1的交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12k 2k 2＋1，6k 2－32k 2＋1. 则直线MB 2的斜率为k MB 2＝6k 2－32k 2＋1－312k 2k 2＋1＝－12k .所以直线NB 2：y ＝2kx ＋3.②由①②得点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0)．(2)由(1)方法三得直线NB 1：y ＝－1k x －3，① 直线NB 2：y ＝2kx ＋3，②联立①②解得x ＝－6k2k 2＋1，即x N ＝－6k2k 2＋1，故四边形MB 2NB 1的面积S ＝12|B 1B 2|(|x M |＋|x N |)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12|k |2k 2＋1＋6|k |2k 2＋1＝54|k |2k 2＋1＝542|k |＋1|k |≤2722，当且仅当|k |＝22时，S 取得最大值2722.[C 级 提升练]15．在平面直角坐标系xOy 中取两个定点A 1(－6，0)，A 2(6，0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝2.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2的交点M 的轨迹C 的方程；(2)过R (3，0)的直线与轨迹C 交于P ，Q 两点，过点P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若RP →＝λRQ →(λ＞1)，求证：NF →＝λFQ →.解：(1)依题意知，直线A 1N 1的方程为y ＝m6(x ＋6)，①直线A 2N 2的方程为y ＝－n6(x －6)，②设M (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点，①×②得y 2＝－mn6(x 2－6)，又mn ＝2，整理得x 26＋y 22＝1.故点M 的轨迹C 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)证明：设过点R 的直线l ：x ＝ty ＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则N (x 1，－y 1)，由⎩⎨⎧x ＝ty ＋3，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(t 2＋3)y 2＋6ty ＋3＝0，(*) 所以y 1＋y 2＝－6t t 2＋3，y 1y 2＝3t 2＋3.由RP →＝λRQ →，得(x 1－3，y 1)＝λ(x 2－3，y 2)，故x 1－3＝λ(x 2－3)，y 1＝λy 2， 由(1)得F (2，0)，要证NF →＝λFQ →，即证(2－x 1，y 1)＝λ(x 2－2，y 2)， 只需证2－x 1＝λ(x 2－2)，只需证x 1－3x 2－3＝－x 1－2x 2－2，即证2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋12＝0，又x 1x 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＝t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9，x 1＋x 2＝ty 1＋3＋ty 2＋3＝t (y 1＋y 2)＋6，所以2t 2y 1y 2＋6t (y 1＋y 2)＋18－5t (y 1＋y 2)－30＋12＝0，即2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝0，而2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝2t 2·3t 2＋3－t ·6tt 2＋3＝0成立，得证．。

1.碟形弹簧圓柱坐标方程：r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24*t2.葉形线.笛卡儿坐標标方程：a=10x=3*a*t/(1+(t^3))y=3*a*(t^2)/(1+(t^3))3.螺旋线(Helical curve)圆柱坐标（cylindrical）方程：r=ttheta=10+t*(20*360)z=t*34.蝴蝶曲线球坐标方程：rho = 8 * ttheta = 360 * t * 4phi = -360 * t * 85.渐开线采用笛卡尔坐标系方程：r=1ang=360*ts=2*pi*r*tx0=s*cos(ang)y0=s*sin(ang)x=x0+s*sin(ang)y=y0-s*cos(ang)z=06.螺旋线.笛卡儿坐标方程：x = 4 * cos ( t *(5*360))y = 4 * sin ( t *(5*360))z = 10*t7.对数曲线笛卡尔坐标系方程：z=0x = 10*ty = log(10*t+0.0001)8.球面螺旋线采用球坐标系方程：rho=4theta=t*180phi=t*360*209.双弧外摆线卡迪尔坐标方程：l=2.5b=2.5x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360)Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360)10.星行线卡迪尔坐标方程：a=5x=a*(cos(t*360))^3y=a*(sin(t*360))^311.心脏线圓柱坐标方程：a=10r=a*(1+cos(theta))theta=t*36012.圆内螺旋线采用柱座标系方程：theta=t*360r=10+10*sin(6*theta)z=2*sin(6*theta)13.正弦曲线笛卡尔坐标系方程：x=50*ty=10*sin(t*360)z=014.太阳线（这本来是做别的曲线的，结果做错了，就变成这样了）15.费马曲线（有点像螺纹线）数学方程：r＊r = a*a*theta圓柱坐标方程1: theta=360*t*5a=4r=a*sqrt(theta*180/pi)方程2: theta=360*t*5a=4r=-a*sqrt(theta*180/pi)由于Pro/e只能做连续的曲线，所以只能分两次做16.Talbot 曲线卡笛尔坐标方程：theta=t*360a=1.1b=0.666c=sin(theta)f=1x = (a*a+f*f*c*c)*cos(theta)/ay = (a*a-2*f+f*f*c*c)*sin(theta)/b17.4叶线（一个方程做的，没有复制）18.Rhodonea 曲线采用笛卡尔坐标系方程：theta=t*360*4x=25+(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta) y=25+(10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta)19. 抛物线笛卡儿坐标方程：x =(4 * t)y =(3 * t) + (5 * t ^2) z =020.螺旋线圓柱坐标方程：r = 5theta = t*1800z =(cos(theta-90))+24*t21.三叶线圆柱坐标方程：a=1theta=t*380b=sin(theta)r=a*cos(theta)*(4*b*b-1)22.外摆线迪卡尔坐标方程：theta=t*720*5b=8a=5x=(a+b)*cos(theta)-b*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-b*sin((a/b+1)*theta) z=023. Lissajous 曲线theta=t*360a=1b=1c=100n=3x=a*sin(n*theta+c) y=b*sin(theta)24.长短幅圆内旋轮线卡笛尔坐标方程：a=5b=7c=2.2theta=360*t*10x=(a-b)*cos(theta)+c*cos((a/b-1)*theta) y=(a-b)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta)25.长短幅圆外旋轮线卡笛尔坐标方程：theta=t*360*10a=5b=3c=5x=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta)a=10x = a*(2*cos(t*360)+cos(2*t*360)) y = a*(2*sin(t*360)-sin(2*t*360))27.概率曲线！方程：笛卡儿坐标x = t*10-5y = exp(0-x^2)28.箕舌线笛卡儿坐标系a = 1x = -5 + t*10y = 8*a^3/(x^2+4*a^2)柱坐标a=100theta = t*400r = a*theta30.对数螺线柱坐标theta = t*360*2.2 a = 0.005r = exp(a*theta)31.蔓叶线笛卡儿坐标系a=10y=t*100-50solvex^3 = y^2*(2*a-x) for x32.tan曲线笛卡儿坐标系x = t*8.5 -4.25y = tan(x*20)33.双曲余弦x = 6*t-3y = (exp(x)+exp(0-x))/234.双曲正弦x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/235.双曲正切x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/(exp(x)+exp(0-x))36.一峰三驻点曲线x = 3*t-1.5y=(x^2-1)^3+137.八字曲线x = 2 * cos ( t *(2*180)) y = 2 * sin ( t *(5*360)) z = 038.螺旋曲线r=t*(10*180)+1 theta=10+t*(20*180) z=t39.圆x = cos ( t *(5*180)) y = sin ( t *(5*180)) z = 040.封闭球形环绕曲线rho=2theta=360*tphi=t*360*1041.柱坐标螺旋曲线x = 100*t * cos ( t *(5*180)) y = 100*t * sin ( t *(5*180)) z = 042.蛇形曲线x = 2 * cos ( (t+1) *(2*180)) y = 2 * sin ( t *(5*360))z = t*(t+1)柱坐标theta = t*360r=10+(8*sin(theta))^244.椭圆曲线笛卡尔坐标系a = 10b = 20theta = t*360x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)45.梅花曲线柱坐标r=10+(3*sin(theta*2.5))^246.另一个花曲线theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=4*sin(theta*3)^247.改一下就成为空间感更强的花曲线了;) theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=(r*sin(theta*3))^248.螺旋上升的椭圆线a = 10b = 20theta = t*360*3x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)z=t*1249.甚至这种螺旋花曲线theta = t*360*4r=10+(3*sin(theta*2.5))^2 z = t*1650 鼓形线笛卡尔方程r=5+3.3*sin(t*180)+t theta=t*360*10z=t*1051 长命锁曲线笛卡尔方程：a=1*t*359.5b=q2*t*360c=q3*t*360rr1=w1rr2=w2rr3=w3x=rr1*cos(a)+rr2*cos(b)+rr3*cos(c) y=rr1*sin(a)+rr2*sin(b)+rr3*sin(c)52 簪形线球坐标方程：rho=200*ttheta=900*tphi=t*90*1053.螺旋上升曲线r=t^10theta=t^3*360*6*3+t^3*360*3*3 z=t^3*(t+1)54.蘑菇曲线rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*20*2055. 8字曲线a=1b=1x=3*b*cos(t*360)+a*cos(3*t*360) Y=b*sin(t*360)+a*sin(3*t*360)56.梅花曲线theta=t*360r=100+50*cos(5*theta) z=2*cos(5*theta)57.桃形曲线rho=t^3+t*(t+1) theta=t*360phi=t^2*360*10*1058.名稱:碟形弹簧建立環境:pro/e圓柱坐r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+2459.环形二次曲线笛卡儿方程：x=50*cos(t*360)y=50*sin(t*360)z=10*cos(t*360*8)60 蝶线球坐标：rho=4*sin(t*360)+6*cos(t*360^2) theta=t*360phi=log(1+t*360)*t*36061.正弦周弹簧笛卡尔：ang1=t*360ang2=t*360*20x=ang1*2*pi/360y=sin(ang1)*5+cos(ang2) z=sin(ang2)62.环形螺旋线x=（50+10*sin(t*360*15))*cos(t*360) y=(50+10*sin(t*360*15))*sin(t*360)z=10*cos(t*360*5)63.内接弹簧x=2*cos(t*360*10)+cos(t*180*10)y=2*sin(t*360*10)+sin(t*180*10)z=t*664.多变内接式弹簧x=3*cos(t*360*8)-1.5*cos(t*480*8) y=3*sin(t*360*8)-1.5*sin(t*480*8)z=t*865.柱面正弦波线柱坐标：方程r=30theta=t*360z=5*sin(5*theta-90)66. ufo （漩涡线）球坐标：rho=t*20^2 theta=t*log(30)*60 phi=t*720067. 手把曲线thta0=t*360 thta1=t*360*6r0=400r1=40r=r0+r1*cos(thta1) x=r*cos(thta0)y=r1*sin(thta1)z=068.篮子圆柱坐标r=5+0.3*sin(t*180)+ttheta=t*360*30z=t*569. 圆柱齿轮齿廓的渐开线方程：afa=60*tx=10*cos(afa)+pi*10*afa/180*sin(afa)x=10*sin(afa)-pi*10*afa/180*cos(afa)z=0注：afa为压力角，取值范围是0到60，10为基圆半径。

课时提升作业(五十八)一、选择题1.(2013·九江模拟)方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是( )(A)一条直线和一条双曲线(B)两条双曲线(C)两个点(D)以上答案都不对2.(2013·汉中模拟)设P为圆x2+y2=1上的动点,过P作x轴的垂线,垂足为Q,若错误！未找到引用源。

=λ错误！未找到引用源。

(其中λ为正常数),则点M的轨迹为( )(A)圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线3.(2013·铜陵模拟)已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为( )(A)x2+y2=2 (B)x2+y2=4(C)x2+y2=2(x≠±2) (D)x2+y2=4(x≠±2)4.设x1,x2∈R,常数a>0,定义运算“*”:x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若x≥0,则动点P(x,错误！未找到引用源。

)的轨迹是( )(A)圆(B)椭圆的一部分(C)双曲线的一部分(D)抛物线的一部分5.(2013·安庆模拟)已知A,B是圆O:x2+y2=16上的两点,且|AB|=6,若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1,-1),则圆心M的轨迹方程是( )(A)(x-1)2+(y+1)2=9(B)(x+1)2+(y-1)2=9(C)(x-1)2+(y-1)2=9(D)(x+1)2+(y+1)2=96.已知动点P(x,y),若lgy,lg|x|,lg错误！未找到引用源。

成等差数列,则点P的轨迹图象是( )7.已知点P在定圆O的圆内或圆周上,动圆C过点P与定圆O相切,则动圆C的圆心轨迹可能是( )(A)圆或椭圆或双曲线(B)两条射线或圆或抛物线(C)两条射线或圆或椭圆(D)椭圆或双曲线或抛物线8.(2013·合肥模拟)在△ABC中,A为动点,B,C为定点,B(-错误！未找到引用源。

,0),C(错误！未找到引用源。

1.碟形弹簧圓柱坐标方程：r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24*t2.葉形线.笛卡儿坐標标方程：a=10x=3*a*t/(1+(t^3))y=3*a*(t^2)/(1+(t^3))3.螺旋线(Helical curve)圆柱坐标（cylindrical）方程： r=ttheta=10+t*(20*360)z=t*34.蝴蝶曲线球坐标方程：rho = 8 * ttheta = 360 * t * 4phi = -360 * t * 85.渐开线采用笛卡尔坐标系方程：r=1ang=360*ts=2*pi*r*tx0=s*cos(ang)y0=s*sin(ang)x=x0+s*sin(ang)y=y0-s*cos(ang)z=06.螺旋线.笛卡儿坐标方程：x = 4 * cos ( t *(5*360)) y = 4 * sin ( t *(5*360))z = 10*t7.对数曲线笛卡尔坐标系方程：z=0x = 10*ty = log(10*t+0.0001)8.球面螺旋线采用球坐标系方程：rho=4theta=t*180phi=t*360*209.双弧外摆线卡迪尔坐标方程： l=2.5b=2.5x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360) Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360)10.星行线卡迪尔坐标方程：a=5x=a*(cos(t*360))^3y=a*(sin(t*360))^311.心脏线圓柱坐标方程：a=10r=a*(1+cos(theta))theta=t*36012.圆内螺旋线采用柱座标系方程：theta=t*360r=10+10*sin(6*theta)z=2*sin(6*theta)13.正弦曲线笛卡尔坐标系方程：x=50*ty=10*sin(t*360)z=015.费马曲线（有点像螺纹线）数学方程：r＊r = a*a*theta圓柱坐标方程1: theta=360*t*5a=4r=a*sqrt(theta*180/pi)方程2: theta=360*t*5a=4r=-a*sqrt(theta*180/pi)由于Pro/e只能做连续的曲线，所以只能分两次做16.Talbot 曲线卡笛尔坐标方程：theta=t*360a=1.1b=0.666c=sin(theta)f=1x = (a*a+f*f*c*c)*cos(theta)/ay = (a*a-2*f+f*f*c*c)*sin(theta)/b18.Rhodonea 曲线采用笛卡尔坐标系方程：theta=t*360*4x=25+(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta) y=25+(10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta)19. 抛物线笛卡儿坐标方程：x =(4 * t)y =(3 * t) + (5 * t ^2)z =020.螺旋线圓柱坐标方程：r = 5theta = t*1800z =(cos(theta-90))+24*t21.三叶线圆柱坐标方程：a=1theta=t*380b=sin(theta)r=a*cos(theta)*(4*b*b-1)22.外摆线迪卡尔坐标方程：theta=t*720*5b=8a=5x=(a+b)*cos(theta)-b*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-b*sin((a/b+1)*theta) z=023. Lissajous 曲线theta=t*360a=1b=1c=100n=3x=a*sin(n*theta+c)y=b*sin(theta)24.长短幅圆内旋轮线卡笛尔坐标方程：a=5b=7c=2.2theta=360*t*10x=(a-b)*cos(theta)+c*cos((a/b-1)*theta) y=(a-b)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta)25.长短幅圆外旋轮线卡笛尔坐标方程：theta=t*360*10a=5b=3c=5x=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta)26. 三尖瓣线a=10x = a*(2*cos(t*360)+cos(2*t*360))y = a*(2*sin(t*360)-sin(2*t*360))27.概率曲线！方程：笛卡儿坐标x = t*10-5y = exp(0-x^2)28.箕舌线笛卡儿坐标系a = 1x = -5 + t*10y = 8*a^3/(x^2+4*a^2)29.阿基米德螺线柱坐标a=100theta = t*400r = a*theta30.对数螺线柱坐标theta = t*360*2.2a = 0.005r = exp(a*theta)31.蔓叶线笛卡儿坐标系a=10y=t*100-50solvex^3 = y^2*(2*a-x)for x32.tan曲线笛卡儿坐标系x = t*8.5 -4.25y = tan(x*20)33.双曲余弦x = 6*t-3y = (exp(x)+exp(0-x))/234.双曲正弦x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/235.双曲正切x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/(exp(x)+exp(0-x))36.一峰三驻点曲线x = 3*t-1.5y=(x^2-1)^3+137.八字曲线x = 2 * cos ( t *(2*180))y = 2 * sin ( t *(5*360))z = 038.螺旋曲线r=t*(10*180)+1theta=10+t*(20*180)z=t39.圆x = cos ( t *(5*180))y = sin ( t *(5*180))z = 040.封闭球形环绕曲线rho=2theta=360*tphi=t*360*1041.柱坐标螺旋曲线x = 100*t * cos ( t *(5*180)) y = 100*t * sin ( t *(5*180)) z = 042.蛇形曲线x = 2 * cos ( (t+1) *(2*180)) y = 2 * sin ( t *(5*360))z = t*(t+1)扭转蛇形曲线x=2*cos(t*360*3)*ty=2*sin(t*360*3)*tz=(sqrt(sqrt(sqrt(t))))^3*543.8字形曲线柱坐标theta = t*360r=10+(8*sin(theta))^244.椭圆曲线笛卡尔坐标系a = 10b = 20theta = t*360x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)45.梅花曲线柱坐标theta = t*360r=10+(3*sin(theta*2.5))^246.另一个花曲线theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=4*sin(theta*3)^247.改一下就成为空间感更强的花曲线了;)theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=(r*sin(theta*3))^248.螺旋上升的椭圆线a = 10b = 20theta = t*360*3x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)z=t*1249.甚至这种螺旋花曲线theta = t*360*4r=10+(3*sin(theta*2.5))^2z = t*1650 鼓形线笛卡尔方程r=5+3.3*sin(t*180)+ttheta=t*360*10z=t*1051 长命锁曲线笛卡尔方程：a=1*t*359.5b=q2*t*360c=q3*t*360rr1=w1rr2=w2rr3=w3x=rr1*cos(a)+rr2*cos(b)+rr3*cos(c)y=rr1*sin(a)+rr2*sin(b)+rr3*sin(c)52 簪形线球坐标方程：rho=200*ttheta=900*tphi=t*90*1053.螺旋上升曲线r=t^10theta=t^3*360*6*3+t^3*360*3*3z=t^3*(t+1)54.蘑菇曲线rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*20*20Rho:表示锚点到二次曲线两端点的距离与其在二次曲线上投影点到两端点距离的比值。