高考理科数学《曲线与方程》练习题(最新编写)

《曲线与方程、椭圆》训练卷 一、选择题 1. 已知方程x2m2＋y22＋m＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范是( ) A．m＞2或m＜－1 B．m＞－2 C．－1＜m＜2 D．m＞2或－2＜m＜－1 2. 如果命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，那么（ ）. A.命题“非p”与命题“非q”的真值不同 B.命题p与命题“非q”的真值相同 C.命题q与命题“非p”的真值相同 D.命题“非p且非q”是真命题

3. 已知椭圆1121622yx的左焦点是1F，右焦点是2F，点P在椭圆上，如果线段1PF的中点在y 轴上，那么 12:PFPF的值为（ ） A．35 B．12 C．56 D．53 4. 已知椭圆的两个焦点为)0,5(1F，)0,5(2F，M是椭圆上一点，若021MFMF，821MFMF，则该椭圆的方程是（ ）

(A) 12722yx (B) 17222yx (C) 14922yx (D) 19422yx

5.如图，A、B、C分别为2222xyab=1(a＞b＞0)的顶点与焦点，若∠ABC=90°，则该椭圆的离心率为( )

A.－1＋52 B．1－22 C.2－1 D.22 6. 已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足12.0MFMF的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

A．(0,1) B． 1(0,]2 C．2(0,)2 D．2[,1)2 7. 平面内有一长度为4的线段AB，动点P满足|PA|＋|PB|＝6，则|PA|的取值范围是（ ） A．[1,5] B．[1,6] C．[2,5] D．[2,6] 8.已知椭圆22194xy的左、右顶点分别为1A和2A，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为1P和2P，其中1P的纵坐标为正数，则直线11AP与22AP交点M的轨迹方程( ) ()A22194xy ()B22194yx ()C22194xy ()D22194yx

第8讲 曲线与方程一、选择题1．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( )． A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析 依题意，点P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹是抛物线． 答案 D2． 动点P (x ，y )满足5x －12y －22＝|3x ＋4y －11|，则点P 的轨迹是 ( )． A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．直线解析 设定点F (1,2)，定直线l ：3x ＋4y －11＝0，则|PF |＝x －12y －22，点P 到直线l 的距离d ＝|3x ＋4y －11|5.由已知得|PF |d＝1，但注意到点F (1,2)恰在直线l 上，所以点P 的轨迹是直线．选D. 答案 D3．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为 ( )． A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y 225＝1 C.4x 225－4y 221＝1D.4x 225＋4y 221＝1解析 M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆，∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214， ∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 221＝1.答案 D4．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是( )A.16x 2a 2－16y 215a 2＝1(y ≠0)B.16y 2a 2－16x 23a 2＝1(x ≠0)C.16x 2a 2－16y 215a 2＝1(y ≠0)的左支D.16x 2a 2－16y 23a2＝1(y ≠0)的右支解析：sin C －sin B ＝12sin A ，由正弦定理得|AB |－|AC |＝12|BC |＝12a (定值)．∴A 点的轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线的右支，其中实半轴长为a4，焦距为|BC |＝a . ∴虚半轴长为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 42＝34a ，由双曲线标准方程得动点A 的轨迹方程为16x 2a 2－16y 23a 2＝1(y ≠0)的右支．答案：D5．正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝37.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )． A ．16B ．14C ．12D ．10解析 当E 、F 分别为AB 、BC 中点时，显然碰撞的结果为4，当E 、F 分别为AB 的三等分点时，可得结果为6(如图1所示)．可以猜想本题碰撞的结果应为2×7＝14(如图2所示)．故选B.答案 B6．在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AD ＝2AB ，若P 是平面ABCD 内一点，且满足：xAB →＋yAD →＋PA →＝0(x ，y ∈R )．则当点P 在以A 为圆心，33|BD →|为半径的圆上时，实数x ，y 应满足关系式为 ( )． A ．4x 2＋y 2＋2xy ＝1 B ．4x 2＋y 2－2xy ＝1 C ．x 2＋4y 2－2xy ＝1D ．x 2＋4y 2＋2xy ＝1解析 如图，以A 为原点建立平面直角坐标系，设AD ＝2.据题意，得AB ＝1，∠ABD ＝90°，BD ＝ 3.∴B 、D 的坐标分别为(1,0)、(1，3)，∴AB →＝(1,0)，AD →＝(1，3)．设点P 的坐标为(m ，n )，即AP →＝(m ，n )，则由xAB →＋yAD →＋PA →＝0，得：AP →＝xAB →＋yAD →，∴⎩⎨⎧m ＝x ＋y ，n ＝3y .据题意，m 2＋n 2＝1，∴x 2＋4y 2＋2xy ＝1. 答案 D 二、填空题7．在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0(a >0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________．解析 由正弦定理，得|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R，∴|AB |－|AC |＝12|BC |，且为双曲线右支．答案16x 2a 2－16y 23a2＝1(x >0且y ≠0) 8. 如图，点F (a,0)(a >0)，点P 在y 轴上运动，M 在x 轴上运动，N 为动点，且PM →·PF →＝0，PM →＋PN →＝0，则点N 的轨迹方程为________． 解析 由题意，知PM ⊥PF 且P 为线段MN 的中点，连接FN ，延长FP 至点Q 使P 恰为QF 之中点；连接QM ，QN ，则四边形FNQM 为菱形，且点Q 恒在直线l ：x ＝－a 上，故点N 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线，其方程为：y 2＝4ax . 答案 y 2＝4ax9．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为邻边，作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为________．解析 设P (x ，y )，圆上的动点N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42，又因为平行四边形的对角线互相平分，所以有：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 0－32y 2＝y 0＋42可得⎩⎨⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又因为N (x 0，y 0)在圆上，所以N 点坐标应满足圆的方程．即有(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.答案 (x ＋3)2＋(y －4)2＝4⎝ ⎛ 除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125⎭⎪⎫和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，28510． P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．解析 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2 PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝－x 2，－y 2，即P 点坐标为－x 2，－y 2.又P 在椭圆上，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.答案 x 24a 2＋y 24b 2＝1三、解答题11．设椭圆方程为x 2＋y 24＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，点P 满足OP →＝12(OA →＋OB →)，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，当直线l 绕点M 旋转时，求：(1)动点P 的轨迹方程； (2)|NP →|的最大值，最小值．解 (1)直线l 过定点M (0,1)，当其斜率存在时设为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，A 、B 的坐标满足方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y24＝1.消去y 得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0. 则Δ＝4k 2＋12(4＋k 2)>0. ∴x 1＋x 2＝－2k 4＋k 2，x 1x 2＝－34＋k 2. P (x ，y )是AB 的中点， 则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 1＋x 2－k4＋k 2，y ＝12y 1＋y 212kx 1＋1＋kx 2＋144＋k 2；消去k 得4x 2＋y 2－y ＝0.当斜率k 不存在时，AB 的中点是坐标原点，也满足这个方程，故P 点的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0.(2)由(1)知4x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14，∴－14≤x ≤14而|NP |2＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋1－16x 24＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋162＋712，∴当x ＝－16时，|NP →|取得最大值216，当x ＝14时，|NP →|取得最小值14.12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2，且点F (0，－1)为其一个焦点．(1)求椭圆E 的方程；(2)设随圆E 与y 轴的两个交点为A 1，A 2，不在y 轴上的动点P 在直线y ＝b 2上运动，直线PA 1，PA 2分别与椭圆E 交于点M ，N ，证明：直线MN 通过一个定点，且△FMN 的周长为定值．解(1)根据题意可得⎩⎨⎧32a 2＋2b 2＝1，b 2－a 2＝1，可解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，∴椭圆E 的方程为x 23＋y 24＝1.(2)由(1)知A 1(0,2)，A 2(0，－2)，P (x 0，4)为直线y ＝4上一点(x 0≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PA 1方程为y ＝2x 0x ＋2，直线PA 2方程为y ＝6x 0x －2，点M (x 1，y 1)，A 1(0,2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 24＝1，y ＝2x 0x ＋2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－6x3＋x 20，y 1＝2x 20－63＋x 20.点N (x 2，y 2)，A 2(0，－2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 24＝1，y ＝6x 0x －2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝18x27＋x 20，y 2＝－2x 20＋5427＋x 20.由于椭圆关于y 轴对称，当动点P 在直线y ＝4上运动时，直线MN 通过的定点必在y 轴上，当x 0＝1时，直线MN 的方程为y ＋1＝43⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，令x ＝0，得y ＝1可猜测定点的坐标为(0,1)，并记这个定点为B .则直线BM 的斜率k BM ＝y 1－1x 1＝2x 20－63＋x 20－1－6x 03＋x 20＝9－x 206x 0，直线BN 的斜率k BN ＝y 2－1x 2＝－2x 20＋5427＋x 20－118x 027＋x 20＝9－x 206x 0，∴k BM ＝k BN ，即M ，B ，N 三点共线，故直线MN 通过一个定点B (0，1)，又∵F (0，－1)，B (0,1)是椭圆E 的焦点，∴△FMN 周长为|FM |＋|MB |＋|BN |＋|NF |＝4b ＝8，为定值． 13．已知向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1,0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )． (1)求点Q (x ，y )的轨迹C 的方程；(2)设曲线C 与直线y ＝kx ＋m 相交于不同的两点M 、N ，又点A (0，－1)，当|AM |＝|AN |时，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意得a ＋3b ＝(x ＋3，3y )，a －3b ＝(x －3，3y )， ∵(a ＋3b )⊥(a －3b )，∴(a ＋3b )·(a －3b )＝0， 即(x ＋3)(x －3)＋3y ·3y ＝0.化简得x 23＋y 2＝1，∴Q 点的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x23＋y 2＝1得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ>0，即m 2<3k 2＋1.①(i)当k ≠0时，设弦MN 的中点为P (x P ，y P )，x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标，则x P ＝x M ＋x N2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN .则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1，②将②代入①得2m >m 2，解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12， 故所求的m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.(ii)当k ＝0时，|AM |＝|AN |， ∴AP ⊥MN ，m 2<3k 2＋1，解得－1<m <1. 综上，当k ≠0时，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，当k ＝0时，m 的取值范围是(－1,1).14．在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(x ，y －2)，b ＝(kx ，y ＋2)(k ∈R)，a ⊥b ，动点M (x ，y )的轨迹为T .(1)求轨迹T 的方程，并说明该方程表示的曲线的形状；(2)当k ＝12时，已知点B (0，－2)，是否存在直线l ：y ＝x ＋m ，使点B 关于直线l 的对称点落在轨迹T 上？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由． 解 (1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x ，y －2)·(kx ，y ＋2)＝0，得kx2＋y2－2＝0，即kx2＋y2＝2，当k＝0时，方程表示两条与x轴平行的直线；当k＝1时，方程表示以原点为圆心，以2为半径的圆；当k＞0且k≠1时，方程表示椭圆；当k＜0时，方程表示焦点在y轴上的双曲线．(2)当k＝12时，动点M的轨迹T的方程为x24＋y22＝1，设满足条件的直线l存在，点B关于直线l的对称点为B′(x0，y0)，则由轴对称的性质可得：y＋2x0＝－1，y－22＝x2＋m，解得：x＝－2－m，y0＝m，∵点B′(x0，y0)在轨迹T上，∴2－m24＋m22＝1，整理得3m2＋22m－2＝0，解得m＝23或m＝－2，∴直线l的方程为y＝x＋23或y＝x－2，经检验y＝x＋23和y＝x－2都符合题意，∴满足条件的直线l存在，其方程为y＝x＋23或y＝x－ 2.。

心尺引州丑巴孔市中潭学校曲线与方程 综合练习【例题精选】：例1：如图，矩形ABCD 中，ABa ADb ==，，M 、N 分别是AB 、BC 边上的动点，且MB AM =NCBN，AN 与DM 交于P 点，求P 点轨迹，并说出轨迹图形。

分析：首先应该建立适当的坐标系，对于给出的根本图形是矩形，一般地，选取一个顶点为原点，两邻边所在直线为X 轴、Y 轴即可，坐标系建立以后，一些相关的点的坐标及有关的曲线的方程也就可以写出来了。

由于题中的动点P 是两条直线的交点，而其中的关键是点M 〔或点N 〕，它一确定，DM 与AN 也就定下来了，点P 也随着定下来，因此要找到点P 坐标满足的等式，需要引入确定点M 坐标的参数，然后写出DM ，AN 所在直线方程，求出其交点坐标再消去其中的参数，即可得到点P 的轨迹方程。

值得注意的是点只能在矩形中的某一局部，从几何图形也可以看出，当点M 与点A 重合时，点N 与点B 重合，点P 也就与点A 重合；当点M 逐渐接近点B 时，点N 逐渐接近点C 〔注意点M 不能与点B 重合〕，从而点P 逐渐接近矩形的中心，因此点P 的轨迹图形是一小段曲线。

解：以点A 为原点，AB ，AD 所在直线分别为X 轴、Y 轴建立直角坐标系。

设点M 〔t ，0〕 〔0≤t <a 〕∵MB AM =NCBN，∴AB AM =BCBN∴点N 的坐标为〔a ，abt 〕直线AN ，DM 方程分别为y=2a bt x ，t x +by =1 〔0<t<a 〕设点()P x y ，，那么由()y bt ax x t y b t a =+=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪<<210 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222222t a bt y t a t a x 消去t ，得整理后，得轨迹图形是以02，b ⎛⎝⎫⎭⎪为中心，a 、b 〔设a b >〕分别为长轴长、短轴长的椭圆的四分之一。

说明：此题将两直线方程联立解点P 坐标时，可以不必解出点P 坐标的参数表达形式，只需将参数t表示为t a ybx=2代入另一直线方程中，消去t 即可。

【高考复习】江苏届高考复习曲线与方程专题练习（带答案）方程是指含有未知数的等式，以下是江苏届高考复习曲线与方程专题练习，请考生认真练习。

一、填空1.(苏州模拟)如图85，已知f1、f2分别是椭圆c：+=1(a0)的左、右焦点，点p在椭圆c上，线段pf2与圆x2+y2=b2相切于点q，且点q为线段pf2的中点，则椭圆c的离心率为________.【分析】从问题的含义来看，OQ=b=Pf1，然后PF2=2a-Pf1=2a-2b，QF2=A-b，所以（A-b）2+B2=C2，然后2a=3b，然后4a2=9b2=9a2-9c2，然后E=[答案]2.（中学附属中学研究），已知抛物线y2=4x，点a（5,0）。

点O是坐标原点，具有倾角的直线L与线段OA相交，但只有两点O和a，抛物线与两点m和N相交，则AMN的最大面积为___[解析]设直线l的方程为y=x+b(-5c，直线pr的方程为(y0-b)x-x0y+x0b=0.如果圆（x-1）2+y2=1内接在PRN中，则圆心（1,0）到直线PR的距离为1=1，注意到x02，上式化简得(x0-2)b2+2y0b-x0=0，类似地，（x0-2）C2+2y0c-x0=0b。

C是方程（x0-2）x2+2y0x-x0=0中的两个b+c=，bc=，(b-c)2=.Y=2x0，B-C=，s△ PRN=（B-C）x0=（x0-2）++48，当且仅当x0=4时取等号，prn面积的最小值为8.特殊突破五：高考解析几何解题策略(见学生用书第187页)1型曲线方程及其性质直线方程、圆方程、圆锥曲线的标准方程在课标高考中占有十分重要的地位，由已知条件求曲线方程或已知曲线方程研究曲线性质是高考命题的重点和热点，求曲线方程最常用的方法是定义法与待定系数法，椭圆与双曲线的离心率是高考对圆锥曲线考查的又一重点，涉及a，b，c三者之间的关系，另外抛物线的准线，双曲线的渐近线，圆的切线也是命题的热点.【典型示例1】（南京质量检验）已知椭圆中心位于坐标原点，焦点位于x轴上，偏心率为，其一个顶点是抛物线x2=4Y的焦点(1)求椭圆方程;（2）如果直线y=X-1与点a处的抛物线相切，则求出以a为中心并与抛物线的拟直线相切的圆方程[思路点拨](1)由椭圆与抛物线的性质，求椭圆方程中待定参数a，b，从而确定椭圆的标准方程.(2)联立方程求出圆心和半径.[标准解决方案]（1）椭圆的中心位于原点，焦点位于x轴上设椭圆的方程为+=1(a0)，因为抛物线x2=4Y的焦点是（0,1），所以b=1.根据偏心率e==，A2=B2+C2=1+C2，从而得a=，椭圆的标准方程为+y2=1.（2）所有点a（2,1）都是从解中得到的因为抛物线的准线方程为y=-1，所以圆的半径r=1-（-1）=2，所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.【反思与启示】1待定系数法求解曲线方程的关键是方程的联立求解。

专题20 曲线与方程第一部分真题分类1．（2021·浙江高考真题）已知,R,0a b ab ∈>，函数()2R ()f x ax b x =+∈.比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（）A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线2．（2020·全国高考真题（文））在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线3y 轴正半轴分别交于则点1211,a a ⎛⎫⎪⎝⎭的轨迹是A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线第二部分模拟训练一、单选题1．在平面内，A ､B 是两个定点，C C 的轨迹为（）A ．椭圆B ．抛物线C ．圆D ．直线2P ABCD 上的动点，E P 的轨迹是（）A ．线段B ．圆C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分3．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP ＝PA ，且OQ 1，则点P 的轨迹方程是（）A x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)B ．32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)C ．3x 22＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 22＝1(x ＞0，y ＞0)43BC 上，且满足A B 3C ．D ．5点M ，N 的距离之比为λ，则点P 的轨迹就是圆，事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立.，点P 为圆O 上的点，若存在x 轴上的定点和常数λ，对满足已知条件的点P PN λ=，则λ=（）A ．1B C D ．146．如图在长方体1111ABCD A B C D -中，,,F G 分别是1,,AB BC CC 棱的中点，P 1//D P 平面EFG ，则1BB P 面积最小值为（）A B ．1C D 二、填空题7．曲线C P 在曲线C 上．给出下列三个结论：①曲线C 关于y 轴对称；②曲线C 上的点的横坐标的取值范围是[2﹣，2]；③若A （﹣1，0），B （1，0），则存在点P ，使△PAB 的面积大于32．其中，所有正确结论的序号是_____．8．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，点P 是上底面1111D C B A 内一动点，若三棱锥，则此时点P构成的图形面积为________.9．在平面直角坐标系中，已知点P 3，记点P 的轨迹为曲线W ，关于曲线W 有如下命题：①曲线W 关于y 轴对称②曲线W 关于坐标原点对称③0，对于曲线W 上任意一点(,)Q x y 都有||,||x a y b ≤≤；④曲线W 过坐标原点O ；⑤点M 是曲线W 上的动点，则ABM面积的最大值为43.其中所有正确命题的序号是______.10．在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W .给出下列三个结论：①曲线W 关于原点对称；②曲线W 对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 其中，所有正确结论的序号是_____.。

典型例题一例 1 假如命题“坐标知足方程 f x， y 0 的点都在曲线 C 上”不正确，那么以下正确的命题是（ A）曲线C上的点的坐标都知足方程 f x， y0 ．（ B）坐标知足方程 f x， y 0 的点有些在C上，有些不在 C 上．（ C）坐标知足方程 f x， y 0 的点都不在曲线 C 上．（ D）必定有不在曲线 C 上的点，其坐标知足方程 f x， y0 ．剖析：原命题是错误的，即坐标知足方程 f x， y0 的点不必定都在曲线 C 上，易知答案为 D．典型例题二例 2 说明过点P(5 ,1) 且平行于 x 轴的直线l和方程y 1所代表的曲线之间的关系．剖析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好构成两个会合相等的充要条件，二者缺一不行．此中“曲线上的点的坐标都是方程 f ( x , y)0的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点” ，即齐备性．这是我们判断方程是否是指定曲线的方程，曲线是否是所给方程的曲线的准则．解：以下列图所示，过点 P 且平行于x轴的直线 l 的方程为y 1 ，因此在直线l上的点的坐标都知足y 1 ，所以直线 l 上的点都在方程y 1 表示的曲线上．可是以y 1这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，所以方程y 1 不是直线 l 的方程，直线 l 不过方程y 1 所表示曲线的一部分．说明：本题中曲线上的每一点都知足方程，即知足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不知足齐备性．典型例题三例 3说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程y x 所表示的直线之间的关系．剖析：该题应当抓住“纯粹性”和“齐备性”来进行剖析．解：方程 y x 所表示的曲线上每一个点都知足到坐标轴距离相等．可是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都知足方程y x ，比如点( 3 , 3)到两坐标轴的距离均为3，但它不知足方程y x ．所以不可以说方程y x 就是全部到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不可以说是方程y x 所表示的轨迹．说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上” ，即知足齐备性，而“轨迹上的点的坐标不都知足方程” ，即不知足纯粹性．只有二者全切合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线．典型例题四例 4 曲线x2( y 1) 2 4 与直线 y k (x2)4 有两个不一样的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？剖析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程构成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的对于x 的一元二次方程的判别式分别知足0、0 、0 ．解：由y k( x 2) 4,x2( y1) 2 4.得 (1k 2 )x22k(3 2)x(3 2)2 4 0k k∴4k 2 (32k )24(1 k 2 )[( 3 2k)24] 4(4k 212k5)4(2k 1)(2k 5)∴当0 即( 2k1)( 2k5)0，即1k5时，直线与曲线有两个不一样的交点．22当0即 (2k1)( 2k5)0 ，即k 1或 k52时，直线与曲线有一个交点．2当0即 (2k1)( 2k5)0 ，即k 1或 k52时，直线与曲线没有公共点．2说明：在判断直线与曲线的交点个数时，因为直线与曲线的方程构成的方程组解的个数与由双方程联立所整理出的对于x (或y)的一元方程解的个数相同，所以假如上述一元方程是二次的，即可经过鉴别式来判断直线与曲线的交点个数，但假如是两个二次曲线相遇，两曲线的方程构成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不必定相同，所以碰到此类问题时，不要盲目套用上例方法，必定要做到详细问题详细剖析．典型例题五例 5 若曲线y a x 与y x a(a 0) 有两个公共点，务实数 a 的取值范围．剖析：将“曲线有两个公共点”转变为“方程有两个不一样的解” ，从而研究一元二次方程的解的个数问题．若将两条曲线的大概形状现出来，或允许能获得一些启迪．y a x 解法一：由y 得： y a y ax a∵ y 0 ，∴y2a2 ( y a) 2，即 (a21) y22a3 y a40 ．要使上述方程有两个相异的非负实根．4a64a4 (a21)02a3则有：0a21a4a210又∵ a0∴解之得： a 1 ．∴所务实数 a 的范围是 (1,) ．解法二：y a x 的曲线是对于y 轴对称且极点在原点的折线，而y x a 表示斜率为 1 且过点(0 , a)的直线，由下列图可知，当a 1时，折线的右支与直线不订交．所以两曲线只有一个交点，当 a 1 时，直线与折线的两支都订交，所以两条直线有两个相异的交点．说明：这种题较好的解法是解法二，即利用数形联合的方法来探究．若题设条件中“ a 0”改为 a R 呢，请自己探究．典型例题六例 6 已知AOB ，此中A(6 , 0)，O(0 , 0)，B(0 , 3)，则角 AOB均分线的方程是y x (以下列图)，对吗？剖析：本题主要观察曲线方程看法掌握和理解的程度，重点是理解三角形内角均分线是一条线段．解：不对，因为AOB 内角均分线是一条线段OC ，而方程y x 的图形是一条直线．如点 P(8,8)坐标合适方程y x ，但点P 不在AOB 内角AOB 的均分线上．综合上述内角AOB 均分线为：y x(0x2) ．说明：判断曲线的方程或方程的曲线，重要扣定义，两个条件缺一不行，重点是要搞清楚曲线的范围．典型例题七例 7判断方程y x22x 1 所表示的曲线．剖析：依据方程的表面形式，很难判断方程的曲线的形状，所以必需先将方程进行等价变形．解：由原方程22 1 可得：y x xy x 1 ，即 yx 1 ( x1), x 1 ( x1),∴方程 y x22x1的曲线是两条射线，以下图：说明：判断方程表示的曲线，在化简变形方程时要注意等价变形．如方程 x 1y 2等价于 ( x 1)2y 2 且x 1，即 y ( x 1)22( x 1) ，原方程的曲线是抛物线一部分．典型例题八例 8 以下图，已知 A 、 B 是两个定点，且 AB 2 ，动点 M 到定点 A 的距离是4，线段 MB 的垂直均分线 l交线段 MA 于点 P ，求动点 P 的轨迹方程．剖析：本题第一要成立合适直角坐标系，动点P知足的条件(等量关系)题设中没有明显给出，要从题意中剖析找出等量关系．连接PB，则 PM PB ，由此PA PB PA PM AM 4 ，即动点 P 到两定点 A ， B 距离之和为常数．解：过 A ， B 两点的直线为x 轴，A，B两点的中点O为坐标原点，成立直角坐标系∵ AB 2，∴ A， B 两点坐标分别为( 1, 0)， (1, 0)．连接 PB ．∵ l 垂直均分线段BM ，∴PM PB，PA PB PA PM AM 4．设点 P( x , y) ，由两点距离公式得(x 1) 2y2( x 1)2y2 4 ，化简方程，移项两边平方得(移项 )2 ( x 1) 2y2 4 x ．两边再平方移项得：x2y21 ，即为所求点P 轨迹方程．43说明：经过剖析题意利用几何图形的相关性质，找出P 点与两定点 A ， B 距离之和为常数 4 ，是解本题的重点．方程化简过程也是很重要的，且化简过程也保证了等价性．典型例题九例9 过P2，4点作两条相互垂直的直线l1， l 2，若 l1交 l1轴于A， l2交 y 轴于 B ，求线段 AB 中点 M 的轨迹方程．解：连接 PM ，设M x，y，则 A 2x，0，yB 0，2 y ．BP ∵l1l 2∴PAB为直角三角形．M由直角三角形性质知O A x1ABPM2图２即x 2 2y 4 214x2 4 y 2化简得 M 的轨迹方程为2x 2 y 5 0说明：本题也能够用勾股定理求解，还能够用斜率关系求解，所以本题可有三种解法．用斜率求解的过程要麻烦一些．典型例题十例 10222（ k 是常数）的动点P 的轨迹方程．求与两定点 A 、 B 知足 PA PB k剖析：按求曲线方程的方法步骤求解．解法一：如图甲，取两定点 A 和 B 的连线为x轴，过 AB 的中点且与 AB 垂直的直线为 y 轴成立坐标系．2( x a)2y22a)2y2设 A( a , 0) ， B(a , 0) ， P( x , y) ，则：PA， PB ( x．据题意，222，有 ( x a)2y2( x a) 2y2k 2得 4ax k 2．PA PB k因为 k 是常数，且 a0 ，所以x k2P 的轨迹是一条平为动点的轨迹方程，即动点4a行于y 轴的直线．解法二：如图乙，取 A 与B 两点连线为x 轴，过 A 点且与AB 垂直的直线为y 轴成立坐标系．设 A(0,0) ， B( a , 0)， P(x , y) ，则：2x22(x a)2y 2．PA y 2， PB据题意，22k 2，有x2y 2( x a) 2y2k2，PA PBa2k 2a2k2，它是平行于y 轴的一条直线．得 x2a，即动点 P 的轨迹方程为x2a解法三：如图丙成立坐标系，设 A(x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) ， P( x , y) ，则2(x x1 ) 22( x x2 )( y y2 ) 2．PA( y y1 )2， PB2据题意， PA 2PB2k 2，有( x x1) 2( y y1 ) 2(x x2 ) 2( y y2 ) 2k2，整理后获得点P 的轨迹方程为：2( x2x1 ) x2( y2y1) y x12y12x22y22k20 ，它是一条直线．说明：由上边介绍的三种解法，能够看到对于同一条直线，在不一样的坐标系中，方程不同，合适成立坐标系如解法一、解法二，获得的方程形式简单、特征明显，一看便知是直线．而解法三获得的方程烦杂、冗长，若以此为基础研究其余问题，会惹起不用要的麻烦．所以，在求曲线方程时，依据详细状况适入选用坐标系十分重要．此外，也要注意到本题所求的是轨迹的方程，在作解答表述时应重申曲线的方程，而不是曲线．典型例题十一例 11 两直线分别绕着定点 A 和 B ( AB2a )在平面内转动，且转动时保持相互垂直，求两直线的交点P 的轨迹方程．剖析：成立合适的直角坐标系，利用直角三角形的性质，列出动点所知足的等式．解：取直线 AB 为x轴，取线段AB 的中点 O 为原点成立直角坐标系，则：A( a , 0) ， B(a , 0) ，P属于会合 C P22AB2PA PB．设 P(x , y) ，则 ( x a)2y2( x a) 2y2( 2a) 2，化简得 x2y2a2．这就是两直线的交点P 的轨迹方程．说明：本题易出现以下解答错误：取直线 AB 为x轴，取线段 AB 的中点 O 为原点成立直角坐标系，则：A( a , 0)， B(a , 0) ，交点P属于会合C P PA PB P k PA k PB1 ．设 P(x , y) ，则k PAy( x a) ，k PBy( x a) ，x a x ay y 故a 1，即x2y2 a 2(x a )．x a x要知道，当 PA x 轴且另向来线与x 轴重合时，仍有两直线相互垂直，此时两直线交点为 A ．相同 PB x 轴重合时，且另向来线与x 轴仍有两直线相互垂直，此时两直线交点为 B ．因此，A( a , 0) 与 B(a , 0) 应为所求方程的解．纠正的方法是：当PA 或 PB 的斜率不存在时，即x a 时，A(a , 0)和 B( a , 0) 也在曲线上，故所求的点P 的轨迹方程是x2y2 a 2．求出曲线上的点所合适的方程后，不过形式上的曲线方程，还一定对以方程的解为坐标的点作观察，既要剔除不合适的部分，也不要遗漏知足条件的部分．典型例题十二例12如图， Rt ABC 的两条直角边长分别为 a 和b( a b) ，A与B 两点分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动，求直角极点 C 的轨迹方程．剖析： 由已知ACB 是直角， A 和 B 两点在座标轴上滑动时， AOB 也是直角，由平面几何知识， A 、 C 、 B 、 O 四点共圆，则有 ABC AOC ，这就是点 C 知足的几 何条件．由此列出极点 C 的坐标合适的方程．解：设点 C 的坐标为 ( x , y) ，连接 CO ，由ACB AOB 90 ，所以 A 、O 、B 、C 四点共圆．b，tan AOCy ，有 y b ，即 ybx ．从而 AOCABC ．由 tan ABCax x aa注意到方程表示的是过原点、斜率为b的一条直线，而题目中的A 与B 均在两坐标轴bC a点的轨迹不会是一条直线， 而是直线的一部分． 我的正半轴上滑动， 因为 a 、 为常数， 故们可观察 A 与 B 两点在座标轴上的极端地点，确立C 点坐标的范围．以下列图，当点A 与原点重合时，SABC1AB x1 a2 b 2 x ，所以 xab ．22a 2b 2以下列图，当点B 与原点重合时，C 点的横坐标 x BD ．由射影定理， BC2BD AB ，即 a 2xa 2b 2 ，有 xa 2 ．由已知 ab ，ab a2．所以b2a2a2b2故 C 点的轨迹方程为：y bx （ab x a 2）．a a2b2 a 2b2说明：求出曲线上的点所合适的方程后，不过形式上的曲线方程，还一定对以方程的解为坐标的点作观察，剔除不合适的部分．典型例题十三例 13 过点P(3 , 2)作两条相互垂直的直线l1、l2，若 l1交 x 轴于A， l2交y轴于B，M 在线段 AB 上，且 AM : BM1: 3，求 M 点的轨迹方程．剖析：如图，设 M ( x , y) ，题中几何条件是 l1l 2，在分析几何中要表示垂直关系的代数关系式就是斜率乘积为－1，所以要求M的轨迹方程即x 、y之间的关系，第一要把 l 1、l 2的斜率用 x 、y表示出来，而表示斜率的重点是用x 、y表示A、B两点的坐标，由题可知 M 是 A 、 B 的定比分点，由定比分点坐标公式即可找出 A 、 B 、 M 坐标之间的关系，从而表示出 A 、 B 两点的坐标，并求出 M 点的轨迹方程．解：设 M (x , y) ， A(a , 0) ， B(0 , b)∵ M 在线段 AB 上，且 AM : BM 1:3．∴ M 分AB所成的比是 1 ，3xa1143a x ，由1，得3bb4y y3113∴ A(4x , 0) 、 B(0 , 4 y) 3又∵ P(3 , 2) ， ∴ l 1 的斜率 k 12， l 2 的斜率 k 24 y2 4 ．3 x3324 y 2∵ l 11．l 2 ，∴34x33化简得： 4x 8y 130 ．说明： 本题的上述解题过程其实不严实，因为 k 1 需在 x9x9时才能成立，而当时，44 A(3 , 0) ， l 1 的方程为 x 3 ．所以 l 2 的方程是 y2．故 B(0, 2)，可求得 M (9 1 , ) ，而( 9 , 1) 也知足方程 4x4 28 y 13 0 ．故所求轨迹的方程是4x 8 y 13 0 ．这种题在解4 2答时应注意考虑齐备性和纯粹性．典型例题十四例14如图，已知两点 P( 2 , 2) ，Q(0 , 2)以及向来线l ：yx，设长为2 的线段AB在直线l 上挪动．求直线PA 和 QB 的交点M 的轨迹方程．剖析 1：设 M ( x , y) ，题中的几何条件是 AB2 ，所以只要用 ( x , y) 表示出 A 、 B两点的坐标，即可求出曲线的方程，而要表示A 点坐标可先找出 A 、 M 两点坐标的关系，明显 P 、 A 、 M 三点共线． 这样即可找出 A 、 M 坐标之间的关系，从而表示出 A 的坐标， 同理即可表示出 B 的坐标，问题便能够水到渠成．解法一： 设 M ( x , y) 、 A( a , a) 、 B(b , b) (b a) ．由 P 、 A 、M 三点共线可得：a2 y2（利用 PA 与 MP 斜率相等获得）a2 x 22x 2 y∴ a．x y 4由 Q 、B、M三点共线可得b2 y 2 ．b x2x∴ b．x y 2又由 AB 2 得2(a b)2 2 ．∴ b a 1，∴2x2x 2 y 1 ．y2x y4x化简和所求轨迹方程为：x2y2 2 x 2 y 8 0 ．剖析 2：本题也能够先用P 、 A 、 M 三点共线表示出 A 点坐标，再依据 AB 2 表示出 B 点坐标，而后利用Q 、B、M三点共线也可求得轨迹方程．解法二：设 M ( x , y) ， A( a , a)由 AB 2 且 B 在直线 y x 上且 B 在 A 的上方可得：B( a 1 , a 1)由解法一知2x 2 y ay，x4∴B(3x y 4 , 3x y 4 )x y 4 x y 4又由 Q 、B、M三点共线可得：3x y4 x y 2y 24．3x y4xx y4化简得所求轨迹方程为：x2y2 2 x 2 y 8 0 ．解法三：因为 AB 2 且 AB 在直线 y x 上所以可设 A(a , a)， B(a 1 , a1) ．则直线 AP 的方程为：(a2)( y 2) (a 2)( x 2)直线 BQ 的方程为： (a 1)( y 2) (a 1)xx21 a由上述两式解得a( a0)2y1aa( x1) 2a244∴a 2422( y1)a a24∴ ( x 1)2( y 1)28 ，即 x 2y 22x 2 y8 0 ．而当 a0 时，直线 AP 与BQ平行，没有交点．∴所求轨迹方程为x2y 22x 2 y 8 0 ．说明：本题的前两种方法属于直接法，相对较繁，尔后一种方法，事实上它波及到参数的思想 ( a为参数 )，利用交点求轨迹方程．一般先把交点表示为对于参数的坐标，而后消去参数，这也反应出运动的看法．。

《曲线与方程》巩固训练一、选择题1．下列各组方程中，表示相同曲线的一对方程是A ．2,y x x y ==B 。

1,==yx x y C ．0,22=-=y x y x D 。

x y x y lg 2,lg 2==2．如果实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x 那么y x -2的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．3-3．点（3，1）和点（6,4-）在直线023=+-a y x 的两侧，则a 的取值范围是（ ）A ．7-<a 或24>aB ．247<<-aC ．7-=a 或24=aD ．7≥a 4．ABC ∆中，)522,1(),1,1(),2,5(C B A ,以三角形内部及其边界为可行域，若使目标函数)0(>+=a y ax z 取最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（ ） A.41 B.53 C 。

4 D.35 5．曲线x y 42=关于直线2=x 对称的曲线方程是（ ）A ．x y 482-=B ．842-=x yC ．x y 4162-=D ．1642-=x y6．设1),(=y x f 是平面直角坐标系中一个面积有限的图形M 的边界方程，则1)2,2(=y x f 围成的图形面积是M 面积的（ ） A.41倍 B. 21倍 C.1倍 D.4倍 7．已知坐标满足方程0),(=y x F 的点都在曲线C 上，那么（ ）A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程0),(=y x FB ．坐标不适合方程0),(=y x F 的点都不在曲线C 上C ．不在曲线C 上的点的坐标必不适合方程0),(=y x FD ．不在曲线C 上的点的坐标有些适合方程0),(=y x F ，有些不适合方程0),(=y x F8．已知曲线C 的方程是)0(022≠=+-+m my mx y x ，下列各点不在曲线C 的点是（ ）A ．)0,0(B ．)2,0(mC ．)2,0(m -D ．)0,2(m9．在平面直角坐标系中，方程04422=-+-y x 表示的图形是（ ）A ．2条直线B ．4条直线C ．2个点D ．4个点10．下列方程的曲线关于直线x y =对称的是A ．122=+-y x xB ．122=+xy y xC ．1=-y xD ．122=-y x11．直线23+=x y 被曲线221x y =所截得的线段的中点到原点的距离是（ ） A ．229 B ．429 C ．29 D ．29 12．实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥02200y x y x y ，则11+-=x y ω的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,1 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,21 C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,21 二、填空题：13．已知集合{}1),(≤+=y x y x A ， {}0))((),(≤+-=x y x y y x B ，B A M ⋂=，则M 的面积为14．直线k x y +=与曲线21y x -=恰有一个公共点，则k 的取值范围是 15．已知)2lg(-x ， y 2lg ，x 16lg 成等差数列，则点),(y x P 的轨迹方程为16．已知动点M 到定点)0,9(A 的距离是M 到定点)0,1(B 的距离的3倍，则M 的轨迹方程_______________三、解答题：17.点),(b a M 处于由2,0,0≤+≥≥y x y x 三个不等式所确定的平面区域内，求点),(b a b a N -+所在的平面区域的面积。

曲线和方程练习题
一、选择题
1、已知，动点满足，则点的轨迹方程是（）
2、若曲线与的交点在曲线上，则值是（）
3、曲线与的交点坐标是（）或或
4、在第四象限内，到原点的距离等于的点的轨迹方程是（）
5、若曲线和有两个交点，则（）
6、曲线与曲线的交点个数是）
7、若直线被曲线截得的线段长为，则的值为（）
8、下列各组方程表示相同曲线的是（）与与与与
9、曲线关于点对称的曲线的方程是（）
10、曲线与曲线（）仅有个交点有个交点最多有个交点可能没有交点
11、曲线围成的区域的面积是（）
12、曲线与曲线的交点个数是（）与值有关
二、填空题
13、已知，若点在曲线上，则____________、
14、曲线与轴的交点坐标是________________________、
15、过曲线和交点的直线方程是__________________、
三、解答题
16、求曲线关于直线对称的曲线的方程、
17、已知曲线是与两定点距离之比为的点的轨迹，求此曲线的方程、
18、已知平面上两定点、，，平面上一动点到、距离之比为，求此动点的轨迹方程、
19、画出下列方程所表示的曲线（1）（2）
20、已知线段的长度为，点在轴上移动，点在轴上移动，求线段的中点的轨迹方程、。

曲线和方程练习一、选择题（每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1．已知集合}0,9|),{(2≠-==y x y y x M ，}|),{(b x y y x N +==且M ∩N ≠φ，则b 的取值范围是（ ） A ．2333≤≤-bB ．233≤<-bC ．20≤≤bD ．233≤<-b2．已知两点)45,1(M ，)45,4(--N ，给出下列曲线方程：①4x+2y-1=0；②322=+y x ；③1222=+y x ；④1222=-y x ，在曲线上存在点P 满足|PM|=|PN|的所有曲线是（ ） A ．①②③ B ．②④ C ．①③ D ．②③④3．若点),(0y x 不在曲线f(x ，y)=0上，则曲线0),(),(00=+y x f y x f λ（λ为非零实数）与曲线f(x ，y)=0的交点个数为（ ） A ．0 B ．1C．无数个D．以上都错4．点P（x，y）到直线4x-3y+1=0与直线12x+5y+13=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A．2x+16y+13=0，56x-7y+39=0B．2x-16y+13=0，56x+7y+39=0C．2x+16y-13=0，56x-7y-39=0D．2x+16y+13=0，56x+7y+39=05．与曲线f(x，y)=0关于直线y=-x对称的曲线方程是（）A．f(y，x)=0B．f(-x，-y)=0C．f(-y，-x)=0D．f(y，-x)=06．AB是等腰三角形OAB的底边，O是原点，A 点的坐标是（3，4），则点B的轨迹方程是（）A．252=2x+yB．252=2+yx[除去点（3，4）]C．252=2+yx[除去点（3，4），点（-3，-4）] D．252=2+yx[除去点（3±4），点（-3±4）]二、填空题7．若两直线x+y+5a=0与x-y-a=0的交点在曲线a x y +=2上，则a=___________。

第8讲曲线与方程一、选择题1。

方程（2x＋3y－1)（错误!－1）＝0表示的曲线是（)A。

两条直线 B.两条射线C.两条线段D。

一条直线和一条射线解析原方程可化为错误!或错误!－1＝0,即2x＋3y－1＝0（x≥3）或x＝4,故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线.答案D2。

（2017·衡水模拟）若方程x2＋y2a＝1（a是常数)，则下列结论正确的是（)A.任意实数a方程表示椭圆B。

存在实数a方程表示椭圆C。

任意实数a方程表示双曲线 D.存在实数a方程表示抛物线解析当a>0且a≠1时,方程表示椭圆，故选B。

答案B3。

(2017·长春模拟)设圆（x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A（1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点。

线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )A。

错误!－错误!＝1 B。

错误!＋错误!＝1C.错误!－错误!＝1 D。

错误!＋错误!＝1解析∵M为AQ的垂直平分线上一点，则｜AM｜＝｜MQ｜,∴|MC｜＋|MA|＝｜MC｜＋|MQ｜＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C,A为焦点的椭圆。

∴a＝52，∴c＝1，则b2＝a2－c2＝214，∴M的轨迹方程为错误!＋错误!＝1。

答案D4.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是（）A。

y2＝2x B。

(x－1）2＋y2＝4C。

y2＝－2x D。

(x－1）2＋y2＝2解析如图,设P（x，y），圆心为M（1,0）,连接MA，则MA⊥PA，且｜MA｜＝1，又∵｜PA｜＝1，∴|PM｜＝|MA｜2＋|PA｜2＝2,即｜PM｜2＝2，∴（x－1）2＋y2＝2.答案D5.平面直角坐标系中，已知两点A（3,1），B（－1，3），若点C满足错误!＝λ1错误!＋λ2 OB→(O为原点)，其中λ，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是（)1A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线解析设C（x,y)，因为错误!＝λ1错误!＋λ2错误!，所以（x，y)＝λ1（3，1)＋λ2（－1，3)，即错误!解得错误!又λ1＋λ2＝1，所以错误!＋错误!＝1，即x＋2y＝5 ，所以点C的轨迹为直线，故选A.答案A二、填空题6。

高中数学专题2.1 曲线与方程（2）练习（含解析）新人教A版选修2-1 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学专题2.1 曲线与方程（2）练习（含解析）新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学专题2.1 曲线与方程（2）练习（含解析）新人教A版选修2-1的全部内容。

曲线与方程（2）一、选择题1．已知两定点A（－2，0），B（1,0），如果动点P满足|PA｜＝2|PB｜，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）A．πB．4πC．8πD．9π[答案］B［解析] 设P(x，y),则（x＋2）2＋y2＝4[(x－1）2＋y2]，∴(x－2）2＋y2＝4，可知圆面积为4π。

2．如图,正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( ）A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段［答案] A3．点A（2,0)，点B在圆x2＋y2＝1上，点C是∠AOB的平分线与线段AB的交点，则当点B运动时，点C的轨迹方程为（)A．(x－错误!）2＋y2＝错误!B．（x＋错误!）2＋y2＝错误!C．（x－错误!)2＋y2＝错误!D．（x＋错误!）2＋y2＝错误![答案] A[解析］设B（x0，y0）,C(x，y)，由错误!＝错误!＝2，得错误!＝2错误!，即（x－2，y)＝2（x0－x，y0－y),∴错误!因为点B(x0,y0）在圆x2＋y2＝1上，代入后化简得（x－错误!）2＋y2＝错误!，故选A。

曲线与方程（1）一、选择题1．方程x2＋xy＝x所表示的图形是( )A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线[答案] C[解析] 原方程等价于x(x＋y－1)＝0⇔x＝0或x＋y－1＝0，故原方程所表示的图形是两条直线．2．设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝2，直线l的方程为x＋y－3＝0，点P的坐标为(2,1)，那么( ) A．点P在直线l上，但不在圆M上B．点P在圆M上，但不在直线l上C．点P既在圆M上，也在直线l上D．点P既不在圆M上，也不在直线l上[答案] C3．若曲线y＝x2－x＋2和y＝x＋m有两个交点，则( )A．m∈R B．m∈(－∞，1)C．m＝1 D．m∈(1，＋∞)[答案] D[解析] 两方程联立得x的二次方程，由Δ>0可得m>1.4．动点P到定点(1,0)和定直线x＝3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为( )A．y2＝4xB．y2＝－12(x－4)C．若x≥3，则y2＝4x；若x<3，则y2＝－12(x－4)D．若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x－4)[答案] D[解析] 设P(x，y)，由题意得 x－1 2＋y2＋|x－3|＝4.若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x －4)，故选D.二、填空题5．|x|＋|y|＝1表示的曲线围成的图形面积为________________．[答案] 2[解析] 当x ≥0，y ≥0时，有x ＋y ＝1；x ≥0，y ≤0时，x －y ＝1；x ≤0，y ≥0时，有－x ＋y ＝1；x ≤0，y ≤0时，－x －y ＝1，作出图形为一个正方形如图，其边长为2，面积为2.6．已知方程①x －y ＝0；②x －y ＝0；③x 2－y 2＝0；④x y＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C 的方程的序号是________．【答案】①7．方程|x －1|＋|y －1|＝1所表示的图形是________．【答案】正方形【解析】当x ≥1，y ≥1时，原方程为x ＋y ＝3；当x ≥1，y ＜1时，原方程为x －y ＝1；当x ＜1，y ≥1时，原方程为－x ＋y ＝1；当x ＜1，y ＜1时，原方程为x ＋y ＝1. 画出方程对应的图形，如图所示为正方形．三、解答题8．方程(x ＋y －1) x 2＋y 2－4＝0表示什么曲线？【解析】由(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2＋y 2－4≥0，或x 2＋y 2－4＝0，。

"【走向高考】2021年高考数学总复习 8-8 曲线与方程(理)课后作业 新人教A 版 "制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日1、F 2，P 是椭圆上一个动点，延长F 1P 到点Q ，使|PQ|＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线一支D ．抛物线[答案] A[解析] |QF 1|＝|PF 1|＋|PQ| ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，2a 为半径的圆．2．(2021·一中)平面上两定点A 、B 的间隔 是2，动点M 满足条件MA →·MB →＝1，那么动点M 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线[答案] B[解析] 以线段AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，那么A(－1,0)，B(1,0)，设M(x ，y)，∵MA →·MB →＝1，∴(－1－x ，－y)·(1－x ，－y)＝0， ∴x 2－1＋y 2＝0，应选B.3．(2021·联考)假如椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，那么双曲线x 2a 2－y2b2＝1的离心率为( )A.52B.54C. 2 D ．2[答案] A[解析] 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e ＝c a ＝32⇒c 2a 2＝34⇒a 2－b 2a 2＝34⇒b 2a 2＝14， 那么双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中：e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54.所以e ＝52. 4．(2021·局部中学联考)抛物线y 2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，假设线段AB 的中点的纵坐标为2，那么该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 令A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，因为抛物线的焦点F(p2，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，将其代入y 2＝2px 中得，y 2＝2py ＋p 2，所以y 2－2py－p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1. 5．过椭圆x 29＋y24＝1内一点R(1,0)作动弦MN ，那么弦MN 中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] B[解析] 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，P(x ，y)，那么4x 21＋9y 21＝36,4x 22＋9y 22＝36， 相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 将x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 1－y 2x 1－x 2＝yx －1代入可知轨迹为椭圆． 6．(2021·宝坻区质量检测)假设中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的顶点是椭圆x 22＋y 2＝1短轴端点，且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率之积为1，那么该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝1 B ．y 2－x 2＝1 C. x 24－y 2＝1D. y 24－x 2＝1[答案] B[解析] ∵椭圆x 22＋y 2＝1的短轴端点为(0，±1)，离心率e 1＝c a ＝22.∴双曲线的顶点(0，±1)，即焦点在y 轴上，且a ＝1，离心率e 2＝ca ＝2，∴c ＝2，b ＝1，所求双曲线方程为y 2－x 2＝1.应选B.7．F 1、F 2为椭圆x 24＋y23＝1的左、右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，那么点D 的轨迹方程是________．[答案] x 2＋y 2＝4[解析] 延长F 1D 与F 2A 交于B ，连结DO ，可知|DO|＝12|F 2B|＝12(|AF 1|＋|AF 2|)＝2，∴动点D 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.8．(2021·月考)过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l 1与l 2分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，那么AB 中点M 的轨迹方程为________．[答案] x ＋y －1＝0[解析] 设l 1：y －1＝k(x －1)，那么l 2：y －1＝－1k (x －1)，l 1与x 轴交点A(1－1k，0)，l 2与y 轴交点B(0,1＋1k)，设AB 中点M(x ，y)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝121－1k y ＝121＋1k，消去k 得，x ＋y －1＝0.1.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在棱AB 上，且AM ＝13，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线A 1D 1的间隔 与点P 到点M 的间隔 的平方差为1，那么动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．直线[答案] B[解析] 由P 向AD 作垂线垂足为N ，由题意知|PN|2＋1－|PM|2＝1，∴|PN|＝|PM|，即动点P 到直线AD 的间隔 等于动点P 到点M 的间隔 ，∴点P 的轨迹是抛物线．2．(2021·华北师大附中模考)点A(2,0)，B 、C 在y 轴上，且|BC|＝4，△ABC 外心的轨迹S 的方程为( )A ．y 2＝2xB ．x 2＋y 2＝4C．y2＝4x D．x2＝4y[答案] C[解析] 设△ABC外心为G(x，y)，B(0，a)，C(0，a＋4)，由G点在BC的垂直平分线上知y＝a＋2∵|GA|2＝|GB|2，∴(x－2)2＋y2＝x2＋(y－a)2，整理得y2＝4x，即点G的轨迹S方程为y2＝4x.3．点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，那么P点的轨迹方程为( )A．x2－y28＝1(x>1) B．x2－y28＝1(x<－1)C．x2＋y28＝1(x>0) D．x2－y210＝1(x>1)[答案] A[解析] 设另两个切点为E、F，如下图，那么|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NF|＝|NB|.从而|PM|－|PN|＝|ME|－|NF|＝|MB|－|NB|＝4－2＝2<|MN|，所以点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．∴a＝1，c＝3，∴b22－y28＝1(x>1)．4．(2021·正定中学模拟)A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为23，P 是AB 的中点，那么动点P 的轨迹C 的方程为________．[答案] x 29＋y 2＝1[解析] 设P(x ，y)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)． ∵P 是线段AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22y ＝y 1＋y22①∵A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的点， ∴y 1＝33x 1和y 2＝－33x 2. 代入①中得，⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝23yy 1－y 2＝233x ②又|AB →|＝23，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝12.∴12y 2＋43x 2＝12，∴动点P 的轨迹C 的方程为x 29＋y 2＝1.5．(2021·模拟)两条直线l 1：2x －3y ＋2＝0和l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l 1、l 2都相交，且l 1、l 2被圆截得的弦长分别是定值26和24，那么圆心的轨迹方程是________．[答案] (x ＋1)2－y 2＝65[解析] 设P(x ，y)，动圆半径为r ，P 到l 1，l 2的间隔 分别为d 1、d 2，由题意知d 21＋169＝r 2＝d 22＋144，∴d 22－d 22＝25，即3x －2y ＋3213－2x －3y ＋2213＝25，整理得，(x ＋1)2－y 2＝65.6.如下图，在平面直角坐标系中，N 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝16上的一动点，点B(1,0)，点M 是BN 的中点，点P 在线段AN 上，且MP →·BN →＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)试判断以PB 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝4的位置关系，并说明理由． [解析] (1)∵点M 是BN 中点，又MP →·BN →＝0， ∴PM 垂直平分BN ，∴|PN|＝|PB|，又|PA|＋|PN|＝|AN|，∴|PA|＋|PB|＝4，由椭圆定义知，点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆．设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1，由2a ＝4,2c ＝2可得，a 2＝4，b 2＝3. 可得动点P 的轨迹方程为x 24＋y23＝1.(2)设PB 中点为C ，那么|OC|＝12|AP|＝12(|AN|－|PN|)＝12(4－|PB|)＝2－12|PB|.∴两圆内切．7．(2021·新课标全国理，20)在平面直角坐标系中xOy 中，点A(0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，M 点的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 间隔 的最小值．[解析] (1)设M(x ，y)，由得B(x ，－3)．又A(0，－1)，所以MA →＝(－x ，－1－y)，MB →＝(0，－3－y)，AB →＝(x ，－2)．再由题意可知(MA →＋MB →)·AB →＝0， 即(－x ，－4－2y)·(x，－2)＝0. 所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.(2)设P(x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点．因为y′＝12x ，所以l 的斜率为12x 0.因此直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.所以O 点到l 的间隔 d ＝|2y 0－x 20|x 20＋4.又y 0＝14x 20－2， 所以d ＝12x 20＋4x 2＋4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20＋4＋4x 20＋4≥2. 当x 0＝0时取等号，所以O 点到l 间隔 的最小值为2.1．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，那么动点C的轨迹是( )A．一条直线B．一个圆C．一个椭圆D．双曲线的一支[答案] A[解析] 过定点A且与AB垂直的直线l都在过定点A且与AB垂直的平面β内，直线l与α的交点C也是平面α、β的公一共点．点C的轨迹是平面α、β的交线．2．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，那么动点P的轨迹是( )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段[答案] A[解析]设P1、P2为P的轨迹上两点，那么AP1⊥BD1，AP2⊥BD1.∵AP1∩AP2＝A，∴直线AP1与AP2确定一个平面α，与面BCC1B1交于直线P1P2，且知BD1⊥平面α，∴P1P2⊥BD1，又∵BD1在平面BCC1B1内的射影为BC1，∴P1P2⊥BC1，而在面BCC1B1内只有B1C与BC1垂直，∴P点的轨迹为B1C.3．log2x、log2y、2成等差数列，那么在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为( )制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日 [答案] A[解析] 由log 2x ，log 2y,2成等差数列得2log 2y ＝log 2x ＋2 ∴y 2＝4x(x>0，y>0)，应选A.4．设x 1、x 2∈R ，常数a>0，定义运算“*〞，x 1*x 2＝(x 1+x 2)2－(x 1－x 2)2，假设x≥0，那么动点P 〔x ，x *a 〕的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆的一局部C ．双曲线的一局部D ．抛物线的一局部 [答案] D[解析] ∵x 1*x 2＝(x 1+x 2)2－(x 1－x 2)2， ∴x *a ＝x ＋a 2－x －a 2＝2ax ， 那么P(x,2ax)．设P(x 1，y 1)，即⎩⎨⎧x 1＝xy 1＝2ax，消去x 得， y 21＝4ax 1(x 1≥0，y 1≥0)， 故点P 的轨迹为抛物线的一局部．应选D. 5．(2021·模拟)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，那么动点Q 的轨迹方程是________．[答案] x 24a 2＋y 24b 2＝1 制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

专练54 曲线与方程命题范围：求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、相关点法等[基础强化]一、选择题1．已知平面内动点P 满足|PA |＋|PB |＝4，其中|AB |＝4，则点P 点轨迹是( ) A ．直线 B ．线段 C ．圆 D ．椭圆2．已知点(0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是( )A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝03．若M ，N 为两个定点，且MN ＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线4．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝2xC ．y ＝2x －8D ．y ＝2x ＋45．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 6．设P 为双曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是( )A.x 28－y 22＝1 B ．x 2－4y 2＝1 C.x 24－y 2＝1 D.x 22－2y 2＝1 7．设A ，B 为椭圆x 22＋y 2＝1的左右顶点，O 为坐标原点，若|PO |是|PA |和|PB |的等比中项，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 2＝1B ．x 2－y 2＝2C ．y 2－x 2＝1D ．y 2－x 2＝28．[2020·山东德州一中高三测试]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点在抛物线y 2＝16x 的准线上，且双曲线的一条渐近线过点(3，3)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 220＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 24－y 212＝1 D.x 220－y 24＝1 9．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4x 二、填空题10．已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．11．到点O (0,0)和A (1,0)的距离的平方和为1的轨迹方程为________．12．设F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是________．[能力提升]13．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 14．已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足OP →＝12(OF 1→＋OQ →)(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆15．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是______________．16．曲线y ＝1kx －1与y ＝kx ＋1(k 为参数)的交点的轨迹方程为______________．专练54 曲线与方程1．B ∵|PA |＋|PB |＝4＝|AB |，∴点P 的轨迹是线段AB . 2．A 设P (x ，y )，∵|PA |＝3|PO |，∴(x －1)2＋(y ＋2)2＝9(x 2＋y 2)即：8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0.3．A PM →·PN →＝0，∴PM ⊥PN ，∴点P 的轨迹是以MN 为直径的圆．4．B 设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，由RA →＝AP →，得(1－x 1，－y 1)＝(x －1，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y ，又(x 1，y 1)在直线l 上，∴－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x .5．D 由题意得P 到直线x ＝－2的距离与它到(2,0)的距离相等，∴点P 的轨迹为抛物线．6．B 设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，∵M 为OP 的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 1，2y ＝y 1，又(x 1，y 1)在x 24－y 2＝1上，∴4x 24－4y 2＝1，即：x 2－4y 2＝1即为所求． 7．A 设P (x ，y )，又A (－2，0)，B (2，0)，且|PO |2＝|PA ||PB |， ∴x 2＋y 2＝x ＋22＋y 2·x －22＋y 2，化简得x 2－y 2＝1，∴点P 的轨迹方程为x 2－y 2＝1.8．C ∵y 2＝16x 的准线方程为x ＝－4，∴a 2＋b 2＝4， ①又双曲线的一条渐近线过(3，3)，∴3＝3ba，即b ＝3a ②将①②联立，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝12，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.9．A 设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)，QP →＝(0，y ＋1)，QF →＝(－x,2)，FP →＝(x ，y －1)，FQ →＝(x ，－2)．∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)，即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得 x 2＝4y ，∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y . 10．(1,0)解析：由题意得a >0，设直线l 与抛物线的两交点分别为A ，B ，不妨令A 在B 的上方，则A (1,2a )，B (1，－2a )，故|AB |＝4a ＝4，得a ＝1，故抛物线方程为y 2＝4x ，其焦点坐标为(1,0)．11．x 2＋y 2－x ＝0解析：设P (x ，y )为所求曲线上一点，由题意得x 2＋y 2＋(x －1)2＋y 2＝1.整理得x 2＋y 2－x ＝0.12．x 2＝2y －1解析：由题意得F (0,1)，设PF 的中点为M (x ，y )，P (x 1，y 1)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2x ，1＋y 1＝2y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y －1，又(x 1，y 1)在y ＝14x 2上，∴2y －1＝14×(2x )2＝x 2，即x 2＝2y －1.13．D 设圆M 的半径为r ，则由已知得|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16， 而|C 1C 2|＝8，且16>8，所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8. 故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.14．D 由题意得：F 1(－2,0)，P 为F 1Q 的中点，设P (x ，y )，Q (x 1，y 1)则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋x 1＝2x ，y 1＝2y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ＋2，y 1＝2y ，又(x 1，y 1)在椭圆C 上，∴2x ＋2216＋2y 210＝1，∴点P 的轨迹为椭圆．15．y ＝2x －2解析：设C (x ，y )，又OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t ，得y ＝2x －2.16．y 2－x 2＝1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1kx －1，y ＝kx ＋1，得(y ＋1)(y －1)＝1kx ·kx ＝x 2，整理得y 2－x 2＝1.。