高考数学一轮复习专题：9.8 曲线与方程(教案及同步练习)

第8节曲线与方程考试要求 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.知识梳理1.曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程的基本步骤[常用结论与微点提醒]1.“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线〞是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解〞的充分不必要条件.2.曲线的交点与方程组的关系：(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.诊断自测1.判断以下结论正误(在括号内打“√〞或“×〞)(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件.( )(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线.( )(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.( )(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线.( )解析对于(2)，由方程得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线y＝x是曲线x＝y2的一部分，错误.答案(1)√(2)×(3)×(4)×2.(老教材选修2－1P37A2改编)M(－1，0)，N(1，0)，|PM|－|PN|＝2，那么动点P的轨迹是( )A.双曲线B.双曲线左支C.一条射线D.双曲线右支解析由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以A，B，D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线.答案 C3.(老教材选修2－1P37A1改编)A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO ＝∠BPO，其中O为原点，那么点P的轨迹方程是________.解析由角的平分线性质定理得|PA|＝2|PB|，设P(x，y)，那么〔x＋2〕2＋y2＝2〔x－1〕2＋y2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0).答案(x－2)2＋y2＝4(y≠0)4.(2019·某某调研)方程(2x＋3y－1)(x－3－1)＝0表示的曲线是( )A.两条直线B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线解析 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线. 答案 D5.点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，假设过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M ，那么点M 的轨迹是( ) A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线解析 由|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线. 答案 D6.点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，那么点A (0，－1)与点P 连线的中点的轨迹方程是________________.解析 设AP 的中点坐标为(x ，y )，那么P (2x ，2y ＋1)，由点P 在曲线上，得2·(2x )2－(2y ＋1)＝0，即y ＝4x 2－12.答案 y ＝4x 2－12考点一 直接法求轨迹方程[例1] (1)A (－1，0)，B (1，0)两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，假设MN →2＝λAN →·NB →，那么当λ<0时，动点M 的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线(2)(2020·某某调研)在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13.那么动点P 的轨迹方程为________________.解析 (1)设M (x ，y )，那么N (x ，0)，所以MN →2＝y 2，λAN →·NB →＝λ(x ＋1，0)·(1－x ，0)＝λ(1－x 2)，所以y 2＝λ(1－x 2)，即λx 2＋y 2＝λ，变形为x 2＋y 2λ＝1，所以当λ<0时，动点M 的轨迹为双曲线.(2)因为点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称，所以点B 的坐标为(1，－1). 设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13，化简得x 2＋3y 2＝4(x ≠±1) .故动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1.) 答案 (1)C (2)x 2＋3y 2＝4(x ≠±1) 规律方法 利用直接法求轨迹方程(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简.(2)运用直接法应注意的问题：①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的；②假设方程的化简过程是恒等变形，那么最后的验证可以省略.[训练1] 与y 轴相切并与圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0也外切的圆的圆心的轨迹方程为________. 解析 假设动圆在y 轴右侧，设与y 轴相切，且与圆x 2＋y 2－6x ＝0外切的圆的圆心为P (x ，y )(x >0)，那么半径长为|x |，因为圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心为(3，0)，所以〔x －3〕2＋y 2＝|x |＋3，那么y 2＝12x (x >0)，假设动圆在y 轴左侧，那么y ＝0，即圆心的轨迹方程为y 2＝12x (x >0)或y ＝0(x <0). 答案 y 2＝12x (x >0)或y ＝0(x <0) 考点二 定义法求轨迹方程典例迁移[例2] (经典母题)圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程.解 由得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R . 因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4＞|MN |＝2.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为 x 24＋y23＝1(x ≠－2).[迁移1] 将本例的条件“动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切〞改为“动圆P 与圆M 、圆N 都外切〞，那么圆心P 的轨迹方程为________.解析 由得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R ，因为圆P 与圆M ，N 都外切，所以|PM |－|PN |＝(R ＋r 1)－(R ＋r 2)＝r 1－r 2＝－2，即|PN |－|PM |＝2，又|MN |＝2，所以点P 的轨迹方程为y ＝0(x <－2).答案 y ＝0(x <－2)[迁移2] 在本例中，假设动圆P 过圆N 的圆心，并且与直线x ＝－1相切，那么圆心P 的轨迹方程为________.解析 由于点P 到定点N (1，0)和定直线x ＝－1的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，点P 的轨迹是以N (1，0)为焦点，以x 轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为y 2＝4x . 答案 y 2＝4x规律方法 定义法求曲线方程的两种策略(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程.(2)定义法和待定系数法适用于曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出来，使问题得解. [训练2] (2020·豫北名校联盟联考)△ABC 中，AB ＝2，且sin A (1－2cos B )＋sin B (1－2cosA )＝0，以边AB 的中垂线为x 轴，以AB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，那么动点C 的轨迹方程为________.解析 在△ABC 中，由sin A (1－2cos B )＋sin B (1－2cos A )＝0得sin A ＋sin B ＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，由正弦定理得|BC |2R ＋|AC |2R ＝2·|AB |2R(R 为△ABC 外接圆半径)，可得|CB |＋|CA |＝2|AB |＞|AB |.∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(除y 轴上的点)，其中2a ＝4，2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3，故点C 的轨迹方程为y 24＋x 23＝1(x ≠0).答案y 24＋x 23＝1(x ≠0) 考点三 相关点(代入)法求轨迹方程[例3] (1)(2020·某某模拟)动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3，0)连线的中点的轨迹方程是________.(2)设F (1，0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，点N 的轨迹方程为________.解析 (1)设中点M (x ，y )，由中点坐标公式，可得A (2x －3，2y )，因为点A 在圆上，将点A 的坐标代入圆的方程，所以轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.(2)设M (x 0，0)，P (0，y 0)，N (x ，y )，PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)，所以(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，所以x 0＋y 20＝0.由MN →＝2MP →得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝12y ，所以－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .故所求点N 的轨迹方程是y 2＝4x . 答案 (1)(2x －3)2＋4y 2＝1 (2)y 2＝4x 规律方法 “相关点法〞的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 0，y 0).(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f 〔x ，y 〕，y 0＝g 〔x ，y 〕.(3)代换：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹方程. [训练3] (2020·某某月考)如下图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2，1<t <3与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点.点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点，求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程.解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3，0)，A 2(3，0)，设点A 的坐标为(x 0，y 0)，由曲线的对称性， 得B (x 0，－y 0)，设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3).①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3).②由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9).③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0).因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0).A 级 基础巩固一、选择题1.方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( ) A.一条直线和一条双曲线 B.两条双曲线 C.两个点 D.以上答案都不对解析 (x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1. 答案 C2.两定点A (－2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，那么动点P 的轨迹是( ) A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线解析 设P (x ，y )，那么〔x ＋2〕2＋y 2＝2〔x －1〕2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＝0，所以动点P 的轨迹是圆.应选B. 答案 B3.(2019·某某调研)F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 是椭圆C 上的动点，那么△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( ) A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0) C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D.x 2＋43y 2＝1(y ≠0)解析 依题意知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，G (x ，y )，那么由三角形重心坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－1＋13，y ＝y 03，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y ，代入椭圆C ：x 24＋y23＝1，得重心G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1(y ≠0).答案 C4.|AB →|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，且OP →＝13OA →＋23OB →，那么动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1B.x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1 D.x 2＋y 29＝1 解析 设A (0，a )，B (b ，0)，那么由|AB →|＝3得a 2＋b 2＝9，设P (x ，y )，由OP →＝13OA →＋23OB →，得(x ，y )＝13(0，a )＋23(b ，0)，由此得b ＝32x ，a ＝3y ，代入a 2＋b 2＝9，得9y 2＋94x 2＝9，即x 24＋y 2＝1. 答案 A5.(2020·某某七校联考)设圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为C ，A (2，0)是圆内一定点，Q 是圆周上任一点，AQ 的垂直平分线与CQ 的交点为R ，那么点R 的轨迹方程为( ) A.y 29＋x 25＝1 B.y 29－x 25＝1C.x 29＋y 25＝1 D.x 29－y 25＝1 解析 连接AR ，由题意可知|RQ |＝|RA |，所以|RC |＋|RA |＝|RC |＋|RQ |＝|CQ |＝6＞4＝|AC |，所以点R 的轨迹是以A (2，0)，C (－2，0)为焦点的椭圆，其中2a ＝6，2c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝32－22＝5，所以点R 的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.应选C.答案 C 二、填空题6.两点M (－2，0)，N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，那么动点P (x ，y )的轨迹方程为________.解析 设点P 的坐标为(x ，y )，那么MN →＝(4，0)，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )，∴|MN →|＝4，|MP →|＝〔x ＋2〕2＋y 2，MN →·NP →＝4(x －2).根据条件得4〔x ＋2〕2＋y 2＝4(2－x ).整理得y 2＝－8x .∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x . 答案 y 2＝－8x7.△ABC 的顶点A (－5，0)，B (5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，那么顶点C 的轨迹方程是________.解析 如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6，|AB |＝10.即|CA |－|CB |<|AB |， 根据双曲线的定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点， 实轴长为6的双曲线的右支， 方程为x 29－y 216＝1(x >3).答案x 29－y 216＝1(x >3) 8.直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程是________.解析 直线x a ＋y2－a ＝1与x ，y 轴的交点为A (a ，0)，B (0，2－a )，设AB 的中点为M (x ，y )，那么x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1.因为a ≠0且a ≠2，所以x ≠0且x ≠1.答案 x ＋y ＝1(x ≠0且x ≠1) 三、解答题9.坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点P (26，1)，Q (2，1)，且|MP |＝5|MQ |. (1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C ，过点N (－2，3)的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程. 解 (1)由题意，得|MP ||MQ |＝5，即〔x －26〕2＋〔y －1〕2〔x －2〕2＋〔y －1〕2＝5，化简，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25. 轨迹是以(1，1)为圆心，以5为半径的圆. (2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2， 此时所截得的线段长度为252－32＝8， 所以l ：x ＝－2符合题意.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，圆心(1，1)到直线l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1，由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512. 所以直线l 的方程为512x －y ＋236＝0，即5x －12y ＋46＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.10.在平面直角坐标系中，A 1(－2，0)，A 2(2，0)，P (x ，y )，M (x ，1)，N (x ，－2)，假设实数λ使得λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →(O 为坐标原点). 求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型. 解 OM →＝(x ，1)，ON →＝(x ，－2)，A 1P →＝(x ＋2，y )，A 2P →＝(x －2，y ).因为λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →， 所以(x 2－2)λ2＝x 2－2＋y 2，整理得(1－λ2)x 2＋y 2＝2(1－λ2)为点P 的轨迹方程. (1)当λ＝±1时，方程为y ＝0，轨迹为一条直线； (2)当λ＝0时，方程为x 2＋y 2＝2，轨迹为圆；(3)当λ∈(－1，0)∪(0，1)时，方程为x 22＋y 22〔1－λ2〕＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆；(4)当λ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程为x 22－y 22〔λ2－1〕＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线.B级能力提升11.如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，那么点P的轨迹是( )A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支解析可构造如下图的圆锥.母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB与平面α的夹角为60°，那么截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆，应选C.答案 C12.(2019·卷)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图).给出以下三个结论：①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C所围成的“心形〞区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是( )A.①B.②C.①②D.①②③解析曲线的方程x2＋y2＝1＋|x|y可看成关于y的一元二次方程y2－|x|y＋x2－1＝0，由题图可知该方程必有两个不相等的实根，∴Δ＝|x |2－4(x 2－1)>0，∴x 2<43，满足条件的整数x可取－1，0，1.当x ＝－1时，y ＝0或1，∴曲线C 经过的整点有(－1，0)，(－1，1)；当x ＝0时，y ＝－1或1，∴曲线C 经过的整点有(0，－1)，(0，1)；当x ＝1时，y ＝0或1，∴曲线C 经过的整点有(1，0)，(1，1).故曲线C 恰好经过6个整点，①正确；∵x 2＋y 2＝1＋|x |y ≤1＋x 2＋y 22，∴x 2＋y 2≤2，∴x2＋y 2≤ 2 ，当且仅当|x |＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1时取等号，那么曲线上的点到原点的最大距离为2，故②正确；顺次连接(－1，0)，(－1，1)，(0，1)，(1，1)，(1，0)，(0，－1)，(－1，0)，所围成的区域如图中阴影部分所示，其面积为3，显然曲线C 所围成的“心形〞区域的面积要大于3，故③不正确.应选C.答案 C13.过点A (－3，0)的直线与x ＝3相交于点C ，过点B (3，0)的直线与x ＝－3相交于点D ，假设直线CD 与圆x 2＋y 2＝9相切，那么直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程为________. 解析 设点M (x ，y )，C (3，m )，D (－3，n )，那么直线CD 的方程为(m －n )x －6y ＋3(m ＋n )＝0，因为直线CD 与圆x 2＋y 2＝9相切，所以3|m ＋n |〔m －n 〕2＋36＝3，所以mn ＝9，又直线AC 与BD 的交点为M ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y x ＋3＝y －m x －3，y x －3＝y －n x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6y x ＋3，n ＝－6yx －3，所以－36y2x 2－9＝9，所以点M 的轨迹方程为x 29＋y 294＝1(y ≠0).答案x 29＋y 294＝1(y ≠0) 14.如图，抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程.解 (1)由点A 的横坐标为2及点A 在第一象限，可得点A 的坐标为(2，2)，代入y 2＝2px ，解得p ＝1.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0，切线l 1的斜率为k ，那么切线l 1：y －y 1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 212，代入y 2＝2x ，得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0， 由Δ＝0解得k ＝1y 1，所以l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y 22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 1·y22，y ＝y 1＋y 22.易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2，22]，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，即x 0y 2＋2y 0y －16＝0，那么⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x 0，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y22，可得M (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8x 0，y ＝－y 0x 0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－8x，y 0＝8yx ，代入x 20＋y 20＝8，并化简，得x 28－y 2＝1，考虑到x 0∈[2，22]，知x ∈[－4，－22]， 所以动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22].C 级 创新猜想15.(多项选择题)曲线C 是平面内与两个定点F 1(－2，0)和F 2(2，0)的距离的积等于常数a 2(a 2＞4)的点的轨迹，那么以下结论正确的有( ) A.曲线C 过坐标原点 B.曲线C 关于x 轴对称 C.曲线C 关于坐标原点对称D.假设点P 在曲线C 上，那么△F 1PF 2的面积不大于12a 2解析 设动点坐标为(x ，y )，由得〔x ＋2〕2＋y 2·〔x －2〕2＋y 2＝a 2，即[(x ＋2)2＋y 2]·[(x －2)2＋y 2]＝a 4(a 2＞4)，代入原点验证，方程不成立，故A 错；把方程中的y 被－y 代换，方程不变，故B 正确；把方程中的x 被－x 代换，y 被－y 代换，方程也不变，故C 正确；因为S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2，即△F 1PF 2的面积不大于12a 2，故D 正确.答案 BCD。

第9课时 曲线与方程1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．掌握常见的求曲线方程的方法．『梳理自测』一、曲线与方程1．f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点 D ．以上答案都不对 『答案』1.C 2.C◆以上题目主要考查了以下内容：一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．二、直接法求轨迹方程1．若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线2．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足AP →·BP →＝x 2－6，则P 点的轨迹方程是________． 3．过圆x 2＋y 2＝4上任一点P 作x 轴的垂线PN ，N 为垂足，则线段PN 中点M 的轨迹方程为________．『答案』1.A 2.y 2＝x 3.x 24＋y 2＝1◆以上题目主要考查了以下内容： (1)直接法求动点的轨迹方程的一般步骤①建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标． ②写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}． ③用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0. ④化方程f (x ，y )＝0为最简形式．⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． (2)两曲线的交点由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点．『指点迷津』1．一个核心问题通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何需要完成的两大任务，是解析几何的核心问题．2．二个检验方向求出轨迹方程后，从两个方面检验 ①曲线上所有点的坐标都适合方程； ②方程的解表示的点都是曲线上的点． 3．五种方法求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可先用x ，y 的代数式表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(5)参数法：当动点P (x ，y )坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x ，y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．考向一 直接法求轨迹方程已知两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列，求点P 的轨迹方程．『审题视点』 首先设出点P 坐标为(x ，y )，然后计算各个数量积，根据题目已知直接表示等量关系，整理求得点P 的轨迹方程．『典例精讲』 设点P (x ，y )，则MP →＝(x ＋1，y )， NP →＝(x －1，y )，MN →＝(2,0)． 故MP →·MN →＝2(x ＋1)，PM →·PN →＝MP →·NP →＝(x ＋1)×(x －1)＋y 2＝x 2＋y 2－1， NM →·NP →＝－2(x －1)＝2(1－x )．∵MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列，∴2(x 2＋y 2－1)＝2(x ＋1)＋2(1－x )．且NM →·NP →－MP →·MN →＝2(1－x )－2(x ＋1)＝－4x ＜0， 整理得x 2＋y 2＝3(x ＞0)．故点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x ＞0)． 『类题通法』 运用直接法应注意的问题(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的；(2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．1．如图所示，已知F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.求动点P 的轨迹C 的方程．『解析』设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，FP →＝(x －1，y )，QP →＝(x ＋1,0)，QF →＝(2，－y )，由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得C ：y 2＝4x .考向二 用定义法求轨迹方程已知点A ⎝⎛⎭⎫－12，0，点B 是圆F ：⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，求动点P 的轨迹方程．『审题视点』 由线段的垂直平分线定义转化为椭圆的定义，求椭圆方程． 『典例精讲』 如图，连接P A ， 依题意可知|P A |＝|PB |.∴|P A |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝|BF |＝2＞1. ∴P 点轨迹为以A ⎝⎛⎭⎫－12，0， F ⎝⎛⎭⎫12，0为焦点，长半轴长为1的椭圆． 其方程可设为x 21＋y 2b2＝1.又∵c ＝12，a ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝34.故P 点的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.『类题通法』 在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程，若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线的定义列出等式，化简求得方程，同时注意变量范围．2．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．『解析』如图，设动圆半径为r . |MC 1|＝r ＋1，|MC 2|＝r ＋3，所以|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2.这表明动点M 到两定点C 2、C 1的距离的差是常数2，且小于|C 1C 2|＝6.根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 到C 2的距离大，到C 1的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.设点M 的坐标为(x ，y )，其轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． 考向三 相关点(代入)法求轨迹设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．『审题视点』 设N (x 1，y )，M (x 0,0)，P (0，y 0)，由已知条件，建立x 0，y 0与x ，y 之间的关系：用x 、y 表示x 0及y 0代入x 0与y 0的关系式．『典例精讲』 设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )， ∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)， ∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0， ∴x 0＋y 20＝0.由MN →＝2MP →得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－2x 0y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－xy 0＝12y .∴－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x . 『类题通法』 “相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f x ，y ，y 1＝g x ，y ； (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．3．已知△ABC 的两个顶点为A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 重心的轨迹方程．『解析』设△ABC 的重心G (x ，y )，C (x 0，y 0)，则 ⎩⎨⎧x ＝x 0－23，y ＝y 0－23，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋2，y 0＝3y ＋2. ∵点C 在y ＝3x 2－1上，∴y 0＝3x 20－1.∴3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1，整理得y ＝9x 2＋12x ＋3. ∴△ABC 重心的轨迹方程为y ＝9x 2＋12x ＋3.求曲线方程的规范解答(2014·山东高考专家原创卷)已知抛物线y 2＝2px经过点M (2，－22)，椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为12. (1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若P 为椭圆上一个动点，Q 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的一点，|OP ||OQ |＝λ(λ≠0)，试求Q 的轨迹．『审题视点』 根据抛物线及椭圆的性质求其方程，利用直接法求Q 点轨迹方程． 『思维流程』 代入法求P .利用离心率的定义及a 、b 、c 之间的关系，求a 与b ，写椭圆方程．设Q 点，进而设P 点，并转换两点坐标． 把Q 、P 点坐标代入已知等式，并整理方程．根据x 2的系数为正数、负数、零讨论曲线特征．『规范解答』 (1)因为抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)， 所以(－22)2＝4p ，解得p ＝2………………2分所以抛物线的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)，即椭圆的右焦点为F (1,0)，得c ＝1. 又椭圆的离心率为12，所以a ＝2，可得b 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.……………………6分(2)设Q (x ，y )，其中x ∈『－2,2』，设P (x ，y 0)，因为P 为椭圆上一点，所以x 24＋y 23＝1，解得y 20＝3－34x 2.由|OP ||OQ |＝λ可得|OP |2|OQ |2＝λ2，故x 2＋3－34x 2x 2＋y2＝λ2，………………得⎝⎛⎭⎫λ2－14x 2＋λ2y 2＝3，x ∈『－2,2』.9分 ……………………当λ2＝14，即λ＝12时，得y 2＝12，点Q 的轨迹方程为y ＝±23，x ∈『－2,2』，此轨迹是两条平行于x 轴的线段；当λ2＜14，即0＜λ＜12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1，此轨迹表示实轴在y 轴上的双曲线满足x∈『－2,2』的部分；11分当λ2＞14，即λ＞12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1，此轨迹表示长轴在x 轴上的椭圆满足x ∈『－2,2』的部分.………………12分『规范建议』 (1)在第(1)问中要有代入过程及求解a 、b 的过程． (2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程． (3)区分求轨迹方程与求轨迹问题．1．(2013·高考全国新课标卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 『解析』(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.2．(2013·高考陕西卷)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率.『解析』(1)如图①，①设点M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN |， 由此得|4－x |＝2x －12＋y 2，化简得x 24＋y 23＝1，∴动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)方法一：②由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，如图②.将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中，Δ＝(24k 2)－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)>0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－24k3＋4k 2，①x 1x 2＝243＋4k 2.② 又A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1.③ 将③代入①②，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k 2， 可得⎝⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2>32，解得k ＝－32或k ＝32，∴直线m 的斜率为－32或32.方法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如图②. ∵A 是PB 的中点，∴x 1＝x 22，①y 1＝3＋y 22.②又x 214＋y 213＝1，③x 224＋y 223＝1，④ 取立①②③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2，y 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0，即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)，∴直线m 的斜率为－32或32.。

第8讲 曲线与方程配套课时作业1．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线 答案 D解析 由已知知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．2．(2019·某某模拟)如图所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于点E ，则点E 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 答案 B解析 由题意知，|EA |＋|EO |＝|EB |＋|EO |＝r (r 为圆的半径)且r >|OA |，故E 的轨迹为以O ，A 为焦点的椭圆．故选B.3．到点F (0,4)的距离比到直线y ＝－5的距离小1的动点M 的轨迹方程为( ) A ．y ＝16x 2B ．y ＝－16x 2C ．x 2＝16y D ．x 2＝－16y 答案 C解析 由条件知，动点M 到F (0,4)的距离与到直线y ＝－4的距离相等，所以点M 的轨迹是以F (0,4)为焦点，直线y ＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝16y .4．(2019·某某模拟)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝2 答案 D解析 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)，连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1.又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2，即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.5．在△ABC 中，已知A (－1,0)，C (1,0)，且|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，则顶点B 的轨迹方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 23＋y 24＝1(x ≠±3)C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) 答案 D解析 因为|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，所以|BC |＋|BA |＝2|CA |＝4.所以点B 的轨迹是以A ，C 为焦点，半焦距c ＝1，长轴长2a ＝4的椭圆．又B 是三角形的顶点，A ，B ，C 三点不能共线，故所求的轨迹方程为x 24＋y 23＝1，且x ≠±2.故选D.6．动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x 答案 B解析 设双曲线x 2－y 23＝1的左焦点为F (－2,0)，因为动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，所以圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x .7．(2019·某某某某检测)已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任意一点，从焦点F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 答案 B解析 不妨设点Q 在双曲线的右支上，延长F 1P 交直线QF 2于点S ，∵QP 是∠F 1QF 2的平分线，且QP ⊥F 1S ，∴P 是F 1S 的中点．∵O 是F 1F 2的中点，∴PO 是△F 1SF 2的中位线，∴|PO |＝12|F 2S |＝12(|QS |－|QF 2|)＝12(|QF 1|－|QF 2|)＝a (定值)，∴点P 的轨迹为圆． 8．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M 的轨迹方程为( )A.x 29＋y 24＝1B.y 29＋x 24＝1C.x 225＋y 29＝1 D.y 225＋x 29＝1 答案 A解析 设M (x ，y )，A (x 0,0)，B (0，y 0)，由OM →＝35OA →＋25OB →，得(x ，y )＝35(x 0,0)＋25(0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35x 0，y ＝25y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝53x ，y 0＝52y ，由|AB |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫53x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52y 2＝25，化简得x 29＋y 24＝1.9．已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线 答案 C解析 以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M (x ，y )，A (－a,0)，B (a,0)，则N (x,0)．因为MN →2＝λAN →·NB →，所以y 2＝λ(x ＋a )(a －x )，即λx 2＋y 2＝λa 2，当λ＝1时，轨迹是圆；当λ>0且λ≠1时，轨迹是椭圆；当λ<0时，轨迹是双曲线；当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M 的轨迹不可能是抛物线．10．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1) B ．y 2－x 248＝1C ．y 2－x 248＝－1 D ．x 2－y 248＝1 答案 A解析 由题意，得|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |，∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2.故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．∵双曲线中c ＝7，a ＝1，∴b 2＝48，∴焦点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13，点P 在平面ABCD内，且动点P 到直线A 1D 1的距离与动点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线 答案 D解析 在平面ABCD 内过点P 作PF ⊥AD ，垂足为F ，过点F 在平面AA 1D 1D 内作FE ⊥A 1D 1，垂足为E ，连接PE ，则有PE ⊥A 1D 1，即PE 为点P 到A 1D 1的距离．由题意知|PE |2－|PM |2＝1，又因为|PE |2＝|PF |2＋|EF |2，所以|PF |2＋|EF |2－|PM |2＝1，即|PF |2＝|PM |2，即|PF |＝|PM |，所以点P 满足到点M 的距离等于点P 到直线AD 的距离．由抛物线的定义知点P 的轨迹是以点M 为焦点，AD 为准线的抛物线，所以点P 的轨迹为抛物线．12．(2019·某某质量检查)已知A (－2,0)，B (2,0)，斜率为k 的直线l 上存在不同的两点M ，N 满足|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，且线段MN 的中点为(6,1)，则k 的值为( )A ．－2B ．－12 C.12 D ．2答案 D解析 因为|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，由双曲线的定义知，点M ，N 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，且c ＝2，a ＝3，所以b ＝1，所以该双曲线的方程为x 23－y 2＝1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝2.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，代入双曲线的方程，消去y ，得(1－3k 2)x 2－6mkx －3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝6mk 1－3k 2＝12①，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝12k ＋2m ＝2②，由①②解得k ＝2，故选D.13．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋y 2＝4解析 设P (x ，y )，x 2＋y 2＝1的圆心为O ，因为∠APB ＝60°，OP 平分∠APB ，所以∠OPB ＝30°，因为|OB |＝1，∠OBP 为直角，所以|OP |＝2，所以x 2＋y 2＝4.14．(2019·某某模拟)△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．答案x 29－y 216＝1(x >3)解析 如图，令内切圆与三边的切点分别为D ，E ，F ，可知|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝|AE |－|BE |＝8－2＝6<|AB |＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为x 29－y 216＝1(x >3)．15．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的方程为________．答案x 24＋y 23＝1(x ≠－2) 解析 设圆M 的半径为r 1，圆N 的半径为r 2，圆P 的半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．16．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P的轨迹方程为________．答案 y 2＝4(x －2)解析 (1)当直线斜率k 存在时，设直线方程为y ＝k (x －1)，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)．得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.y ＝y 1＋y 2＝4kk 2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．(2)当直线斜率k 不存在时，直线方程为x ＝1，由O P →＝2O F →得P (2,0)，适合y 2＝4(x －2)．综合(1)(2)，点P 的轨迹方程为y 2＝4(x －2)．17．(2019·某某质检)如图所示，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程． 解 (1)设A (x 0，y 0)，则S 矩形ABCD ＝4|x 0y 0|， 由x 209＋y 20＝1，得y 20＝1－x 209， 从而x 20y 2＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94.当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t 2＝x 20＋y 20＝5，t ＝5，所以当t ＝5时，矩形ABCD 的面积取到最大值6. (2)由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)，由曲线的对称性及A (x 0，y 0)，得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)，② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③，得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．18．(2019·某某某某模拟)已知动点M (x ，y )满足：x ＋12＋y 2＋x －12＋y 2＝2 2.(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)设过点N (－1,0)的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为C (点C 与点B 不重合)．证明：直线BC 恒过定点，并求该定点的坐标．解 (1)由已知，动点M 到点P (－1,0)，Q (1,0)的距离之和为22，且 |PQ |<22，所以动点M 的轨迹为椭圆，且a ＝2，c ＝1，所以b ＝1，所以动点M 的轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (x 1，－y 1)， 由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.又直线BC 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)， 即y ＝y 2＋y 1x 2－x 1x －x 1y 2＋x 2y 1x 2－x 1， 令y ＝0，得x ＝x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1＝2kx 1x 2＋k x 1＋x 2k x 1＋x 2＋2k＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1＋x 2＋2＝4k 2－41＋2k 2－4k21＋2k 2－4k 21＋2k 2＋2＝－2， 所以直线BC 恒过定点D (－2,0)．19．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解 由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.20．(2019·某某模拟)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点．(1)求椭圆Γ的方程；(2)设点A 在椭圆Γ上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，求证：1|OA |2＋1|OB |2为定值；(3)设点C 在椭圆Γ上运动，OC ⊥OD ，且点O 到直线CD 的距离为常数3，求动点D 的轨迹方程．解 (1)∵椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点，∴b ＝c ＝2，∴a ＝2＋2＝2，∴椭圆Γ的方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：设A (x 0，y 0)，则OB 的方程为x 0x ＋y 0y ＝0，由y ＝2，得B ⎝⎛⎭⎪⎫－2y 0x 0，2，∴1|OA |2＋1|OB |2＝1x 20＋y 20＋14＋4y 20x 2＝4＋x 24x 20＋y 2＝4＋x 24⎝⎛⎭⎪⎫x 20＋2－x 22＝12， ∴1|OA |2＋1|OB |2为定值12. (3)设C (x 1，y 1)，D (x ，y )，由OC ⊥OD ，得x 1x ＋y 1y ＝0，①由点C 在椭圆上，得x 214＋y 212＝1，②联立①②，得x 21＝4y 22x 2＋y 2，y 21＝4x 22x 2＋y2.③由OC ⊥OD ，点O 到CD 的距离为3，得|OC |·|OD |＝3|CD |， ∴|OC |2·|OD |2＝3(|OC |2＋|OD |2)．将③代入得 1|OC |2＋1|OD |2＝1x 21＋y 21＋1x 2＋y2 ＝14y 22x 2＋y 2＋4x 22x 2＋y2＋1x 2＋y 2＝2x 2＋y 2＋44x 2＋y 2＝13， 化简，得点D 的轨迹方程为y 212－x 26＝1.。

第9讲曲线与方程
【202X年高考会这样考】
1．考查方程的曲线与曲线的方程的对应关系．
2．利用直接法或定义法求轨迹方程．
3．结合平面向量知识能确定动点轨迹，并会研究轨迹的有关性质．
【复习指导】
正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直接法、定义法、待定系数法、相关点法、参数法等。

基础梳理
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f，＝0的实数解建立了如下关系：
1曲线上点的坐标都是这个方程的解．
2以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．直接法求动点的轨迹方程的一般步骤
1建立适当的坐标系，用有序实数对，表示曲线上任意一点M的坐标．
2写出适合条件
点的坐标，后，直接找，的关系式不好求，故寻求其他变量建立，之间的联系．
解设M，，直线AB方程为＝＋b
由OM⊥AB得＝－错误!
由2＝4的轨迹方程为2＋2－4
是直线的轨迹方程．
第1问设出焦点坐标，根据|1F的轨迹方程．
解1设F1－c,0，F2c,0c＞0．
由题意，可得|2c12c的坐标为，，则A错误!的轨迹方程是
182－16错误!－15＝0＞0．12分
代入法求曲线方程的难点是建立，，0，0所满足的两个关系式，这需要根据问题的具体情况，充分利用已知条件列出关系式，一般需要找到两个互相独立的条件建立两个方程，通过这两个方程所组成的方程组用，表达0，0。

高考数学一轮复习学案：9.8 曲线与方程（含答案）9.8曲线与方程曲线与方程最新考纲考情考向分析1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2.了解解析几何的基本思想，利用坐标法研究曲线的简单性质3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.以考查曲线的轨迹.轨迹方程为主题型主要以解答题的形式出现，题目为中档题，有时也会在选择.填空题中出现.1曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹上的点与一个二元方程fx，y0的实数解建立如下的对应关系那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2求动点的轨迹方程的基本步骤知识拓展1“曲线C是方程fx，y0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程fx，y0的解”的充分不必要条件2曲线的交点与方程组的关系1两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；2方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1fx0，y00是点Px0，y0在曲线fx，y0上的充要条件2方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线3到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2y2.4方程yx与xy2表示同一曲线5ykx与x1ky表示同一直线6动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的题组二教材改编2P37T3已知点F14，0，直线lx14，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是A双曲线B椭圆C圆D抛物线答案D解析由已知|MF||MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线3P35例1曲线Cxy2上任一点到两坐标轴的距离之积为______答案2解析在曲线xy2上任取一点x0，y0，则x0y02，该点到两坐标轴的距离之积为|x0||y0||x0y0|2.题组三易错自纠4xx广州调研方程2x3y1x310表示的曲线是A两条直线B两条射线C两条线段D一条直线和一条射线答案D解析原方程可化为2x3y10，x30或x310，即2x3y10x3或x4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线5已知M1,0，N1,0，|PM||PN|2，则动点P的轨迹是A双曲线B双曲线左支C一条射线D双曲线右支答案C解析由于|PM||PN||MN|，所以D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线6已知M2,0，N2,0，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是__________答案x2y24x2解析连接OP，则|OP|2，P点的轨迹是去掉M，N两点的圆，方程为x2y24x2.题型一题型一定义法求轨迹方程定义法求轨迹方程典例xx 枣庄模拟已知圆Mx12y21，圆Nx12y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程解由已知得圆M的圆心为M1,0，半径r11；圆N的圆心为N1,0，半径r23.设圆P的圆心为Px，y，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM||PN|Rr1r2Rr1r242|MN|.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左.右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆左顶点除外，其方程为x24y231x2思维升华应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解跟踪训练已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线解如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系由|O1O2|4，得O12,0，O22,0设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有|MO1|r1；由动圆M与圆O2外切，有|MO2|r2.|MO2||MO1|3b0的一个焦点为5，0，离心率为53.1求椭圆C的标准方程；2若动点Px0，y0为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程解1由题意，得c5，eca53，因此a3，b2a2c24，故椭圆C的标准方程是x29y241.2若两切线的斜率均存在，设过点Px0，y0的切线方程是ykxx0y0，则由ykxx0y0，x29y241，得x29kxx0y0241，即9k24x218ky0kx0x9y0kx0240，18ky0kx02369k24y0kx0240，整理得x209k22x0y0ky2040.又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为k1，k2，于是有k1k21，即y204x2091，即x20yxxx03若两切线中有一条斜率不存在，则易得x03，y02或x03，y02或x03，y02或x03，y02，经检验知均满足x20yxx.因此，动点Px0，y0的轨迹方程是x2y213.题型三题型三相关点法求轨迹方程相关点法求轨迹方程典例xx合肥质检如图所示，抛物线Ey22pxp0与圆Ox2y28相交于A，B两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB上动点Px0，y0作圆O的切线交抛物线E于C，D 两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.1求p的值；2求动点M的轨迹方程解1由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为2,2，代入y22px，解得p1.2由1知抛物线Ey22x.设Cy212，y1，Dy222，y2，y10，y20，切线l1的斜率为k，则切线l1yy1kxy212，代入y22x，得ky22y2y1ky210，由0，解得k1y1，l1的方程为y1y1xy12，同理l2的方程为y1y2xy22.联立y1y1xy12，y1y2xy22，解得xy1y22，yy1y22.易知CD 的方程为x0xy0y8，其中x0，y0满足x20y208，x02,22，由y22x，x0xy0y8，得x0y22y0y160，则y1y22y0x0，y1y216x0，代入xy1y22，yy1y22，可得Mx，y满足x8x0，yy0x0，可得x08x，y08yx，代入x20y208，并化简，得x28y21，考虑到x02,22，知x4，22，动点M的轨迹方程为x28y21，x4，22思维升华“相关点法”的基本步骤1设点设被动点坐标为x，y，主动点坐标为x1，y1；2求关系式求出两个动点坐标之间的关系式x1fx，y，y1gx，y；3代换将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程跟踪训练xx安阳调研如图，动圆C1x2y2t2,112时，得到x23214y2321.此轨迹表示长轴在x轴上的椭圆满足x2,2的部分12分。

第8讲曲线与方程一、选择题1。

方程（2x＋3y－1)（错误!－1）＝0表示的曲线是（)A。

两条直线 B.两条射线C.两条线段D。

一条直线和一条射线解析原方程可化为错误!或错误!－1＝0,即2x＋3y－1＝0（x≥3）或x＝4,故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线.答案D2。

（2017·衡水模拟）若方程x2＋y2a＝1（a是常数)，则下列结论正确的是（)A.任意实数a方程表示椭圆B。

存在实数a方程表示椭圆C。

任意实数a方程表示双曲线 D.存在实数a方程表示抛物线解析当a>0且a≠1时,方程表示椭圆，故选B。

答案B3。

(2017·长春模拟)设圆（x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A（1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点。

线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )A。

错误!－错误!＝1 B。

错误!＋错误!＝1C.错误!－错误!＝1 D。

错误!＋错误!＝1解析∵M为AQ的垂直平分线上一点，则｜AM｜＝｜MQ｜,∴|MC｜＋|MA|＝｜MC｜＋|MQ｜＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C,A为焦点的椭圆。

∴a＝52，∴c＝1，则b2＝a2－c2＝214，∴M的轨迹方程为错误!＋错误!＝1。

答案D4.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是（）A。

y2＝2x B。

(x－1）2＋y2＝4C。

y2＝－2x D。

(x－1）2＋y2＝2解析如图,设P（x，y），圆心为M（1,0）,连接MA，则MA⊥PA，且｜MA｜＝1，又∵｜PA｜＝1，∴|PM｜＝|MA｜2＋|PA｜2＝2,即｜PM｜2＝2，∴（x－1）2＋y2＝2.答案D5.平面直角坐标系中，已知两点A（3,1），B（－1，3），若点C满足错误!＝λ1错误!＋λ2 OB→(O为原点)，其中λ，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是（)1A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线解析设C（x,y)，因为错误!＝λ1错误!＋λ2错误!，所以（x，y)＝λ1（3，1)＋λ2（－1，3)，即错误!解得错误!又λ1＋λ2＝1，所以错误!＋错误!＝1，即x＋2y＝5 ，所以点C的轨迹为直线，故选A.答案A二、填空题6。

【考纲解读】了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活.【要点梳理】1.已知曲线形状,求方程:可以用待定系数法.2.未知曲线的形状,求方程:(1)直接法:直接由条件列式,化简整理即可;(2)代入法:明确主动点与被动点;(3)定义法:利用圆或圆锥曲线的定义求轨迹方程.【例题精析】考点一求曲线方程例1.(2012年高考湖北卷文科21)设A是单位圆x2+y2=1上任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m>0,且m≠1）.当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。

（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。

（2）过原点且斜率为K的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m,使得对任意的K>0，都有PQ⊥PH？若存在，请说明理由.因为P，H两点在椭圆C上，所以222211222222,,m x y mm x y m⎧+=⎪⎨+=⎪⎩两式相减可得222221212()()0m x x y y -+-=. ③【名师点睛】本小题主要考查直线与圆以及圆锥曲线等基础知识,考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等数学思想方法，考查同学们分析问题和解决问题的能力. 【变式训练】1.（2012年高考辽宁卷文科20）(本小题满分12分)如图，动圆2221:C x y t +=,1<t<3,与椭圆2C ：2219x y +=相交于A ，B ，C ，D 四点，点12,A A 分别为2C 的左，右顶点。

1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做________________，这条曲线叫做________________．2．求动点的轨迹方程的基本步骤『知识拓展』1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系：(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．『思考辨析』判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．( ) (2)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.( ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线．( ) (5)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线．( )1．(教材改编)已知点F (14，0)，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆D ．抛物线2．(2017·广州调研)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线3．(2016·南昌模拟)已知A (－2,0)，B (1,0)两点，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为原点，则P 点的轨迹方程是( ) A ．(x ＋2)2＋y 2＝4(y ≠0) B ．(x ＋1)2＋y 2＝1(y ≠0) C ．(x －2)2＋y 2＝4(y ≠0)D ．(x －1)2＋y 2＝1(y ≠0)4．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，则线段MN 中点的轨迹方程是________________．5．(2016·唐山模拟)设集合A ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝45}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝165}，C ＝{(x ，y )|2|x －3|＋|y －4|＝λ}．若(A ∪B )∩C ≠∅，则实数λ的取值范围是_______.题型一 定义法求轨迹方程 例1 如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2，1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．思维升华应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．题型二直接法求轨迹方程例2(2017·广州调研)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．思维升华直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．题型三 相关点法求轨迹方程例3 (2016·大连模拟)如图所示，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．思维升华 “相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程．22．分类讨论思想在曲线方程中的应用典例 (12分)已知抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为12.(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若P 为椭圆上一个动点，Q 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的一点，|OP ||OQ |＝λ(λ≠0)，试求Q 的轨迹．思想方法指导 (1)由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x 2，y 2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论． (2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程． (3)区分求轨迹方程与求轨迹问题．规范解答：提醒：完成作业 第九章 §9.8答案精析基础知识 自主学习 知识梳理1．这个方程的解 曲线上的点 曲线的方程 方程的曲线 2．任意 x ，y 所求方程 思考辨析(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× 考点自测1．D 2.D 3.C 4.x 2a 2＋4y 2b 2＝15．『255，4』题型分类 深度剖析例1 解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)． 设点A 的坐标为(x 0，y 0)； 由曲线的对称性， 得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．②由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x2－9)．③ 又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上， 故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．跟踪训练1 解 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．由|O 1O 2|＝4，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有|MO 1|＝r －1；由动圆M 与圆O 2外切，有|MO 2|＝r ＋2. ∴|MO 2|－|MO 1|＝3<4＝|O 1O 2|.∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1 (x ≤－32)．例2 解 (1)依题意得，c ＝5，e ＝c a ＝53，因此a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， 故椭圆C 的标准方程是x 29＋y 24＝1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点P (x 0，y 0)的切线方程是y ＝k (x －x 0)＋y 0，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，x 29＋y 24＝1，得x 29＋[k (x －x 0)＋y 0]24＝1， 即(9k 2＋4)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9『(y 0－kx 0)2－4』＝0，Δ＝『18k (y 0－kx 0)』2－36(9k 2＋4)『(y 0－kx 0)2－4』＝0，整理得(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0. 又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为k 1，k 2，于是有k 1k 2＝－1，即y 20－4x 20－9＝－1， 即x 20＋y 20＝13(x 0≠±3)． 若两切线中有一条斜率不存在，则易得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝2 或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝－2，经检验知均满足x 20＋y 20＝13. 因此，动点P (x 0，y 0)的轨迹方程是x 2＋y 2＝13.跟踪训练2 解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|， 即(a －c )2＋b 2＝2c ，整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＝0，得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12. 所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ). 消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c ， 得方程组的解⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧ x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝⎛⎭⎫85c ，335c ，B (0，－3c )． 设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝⎛⎭⎫x －85c ，y －335c ， BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y . 于是AM →＝⎝⎛⎭⎫8315y －35x ，85y －335x ， BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2，即⎝⎛⎭⎫8315y －35x ·x ＋⎝⎛⎭⎫85y －335x · 3x ＝－2.化简得18x 2－163xy －15＝0.将y ＝18x 2－15163x代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x>0. 所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)．例3 解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x 2， 且切线MA 的斜率为－12， 所以点A 的坐标为(－1，14)， 故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，所以y 0＝－12×(2－2)＋14＝－3－224，① y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p.② 由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A (x 1，x 214)，B (x 2，x 224)，x 1≠x 2. 由N 为线段AB 的中点，知x ＝x 1＋x 22，③ y ＝x 21＋x 228.④ 所以切线MA ，MB 的方程分别为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214，⑤ y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥ 由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24. 因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦ 由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0. 当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 的中点N 为点O ，坐标满足x 2＝43y . 因此AB 的中点N 的轨迹方程是x 2＝43y . 跟踪训练3 解 设△ABC 的重心为G (x ，y )，点C 的坐标为(x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4a ，y 2＝4ax ，消去y 并整理得x 2－12ax ＋16a 2＝0.∴x 1＋x 2＝12a ，y 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a .∵G (x ，y )为△ABC 的重心，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋x 1＋x 23＝x 0＋12a 3，y ＝y 0＋y 1＋y 23＝y 0＋4a 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －12a ，y 0＝3y －4a . 又点C (x 0，y 0)在抛物线上，∴将点C 的坐标代入抛物线的方程得(3y －4a )2＝4a (3x －12a )，即(y －4a 3)2＝4a 3(x －4a )． 又点C 与A ，B 不重合，∴x 0≠(6±25)a ，∴△ABC 的重心的轨迹方程为(y －4a 3)2＝4a 3(x －4a )(x ≠(6±253)a )． 思想与方法系列典例 解 (1)因为抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)，所以(－22)2＝4p ，解得p ＝2.所以抛物线的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)，即椭圆的右焦点为F (1，0)，得c ＝1.又椭圆的离心率为12，所以a ＝2， 可得b 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.『3分』 (2)设Q (x ，y )，其中x ∈『－2,2』，设P (x ，y 0)，因为P 为椭圆上一点，所以x 24＋y 203＝1， 解得y 20＝3－34x 2. 由|OP ||OQ |＝λ可得|OP |2|OQ |2＝λ2， 故x 2＋3－34x 2x 2＋y 2＝λ2，得(λ2－14)x 2＋λ2y 2＝3，x ∈『－2,2』．『6分』 当λ2＝14，即λ＝12时，得y 2＝12， 点Q 的轨迹方程为y ＝±23，x ∈『－2,2』，此轨迹是两条平行于x 轴的线段；『8分』当λ2<14，即0<λ<12时， 得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1， 此轨迹表示实轴在y 轴上的双曲线满足x ∈『－2,2』的部分；『10分』当λ2>14，即λ>12时， 得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1. 此轨迹表示长轴在x 轴上的椭圆满足x ∈『－2,2』的部分．『12分』。