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2023年全国中学生数学奥林匹克(贵州赛区)预赛试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.设集合R=｛(x,y)|x+y=l｝,B=｛(x,y)|x'+*2=2｝,C=则集合C的子集的个数是.2.己知z为虚数，且z1=z,则z'=.3.已知a,3是单位向量，|3a+4d|=|4a-3d|,若|c|=2,则\a+b-c\的最大值是,4.己知三棱锥P-ABC的三条侧"4,PB.PC两两垂宜，设二面角P-AB-C,P-BC-A, P-&-B的大小分别为a,们丫,则血？三血/+血：乙=_____cos'a+cos*0+cos"5.MB C的三边分别为a,b,c,记BC,CA,XB边上的中线长分别为叫,虬,则m：nC Q,土口-r+Tr+-f的最小值是_______・a'b"c6.设a,fteN*,且满足」-?=一二，则所有正整数对(a,方)的个数为a b20237.已知函数f(x)=x i-2x1-3x+4,若/(a)=/(/>)=/(c),其中a<b<c,则a2+b2+c2=.8.己知5名同学分则报长的学科为语文、数学、物理、化学、历史.现有5份试卷(语文、数学、物理、化学、历史各一份)，老师随机分发给每名同学一份试卷，则至少有4名同学得到的试卷与自己擅长的学科不符的概率是.二、解答题：本大题共3小题，满分S6分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9.(本题滴分16分)设｛%｝是正项等差数列，公差为d(d>0)，前〃项和为S“，m,〃，p,q 均为正整数.若n<p<m,n<q<m.且〃i+〃=p+g,证明：⑴财,<哄：A⑵S.+S.Sp+Sq.10.(本题满分20分)如图1,设P是四边形ABCD内…点，满足\\\-----D ABPC=2/.BAC,ZPCA=/.PAD./.PDA=APAC.\/求证：zpbd=\abca-zpca\.B C图111.(本题满分20分)定义：若•个数列中的每•项都是完全平方数，则称这种数列为完方数列.己知数列氐｝满足x o=O,x,=3,x,41+x,.,=4x b.证明：｛x,_f+9｝是一个完方列列.2023年全国中学生数学奥林匹克(贵州赛区)预赛试题及其评分标准一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分。
初中数学竞赛常见的题型及解法数学是一个非常重要的学科，无论是在学校还是在社会中都起着不可替代的作用。
而对于初中生而言，数学竞赛更是一种锻炼自身能力的重要途径。
在参加数学竞赛的过程中，学生不仅能够提高数学应用能力和思维能力，还能够获得更加全面的数学知识。
因此，了解一些数学竞赛常见的题型及解法，对于提高自己的数学竞赛能力来说是非常有必要的。
一、数学竞赛中的常见题型1. 计算题计算题是数学竞赛的常见题型之一，主要考察学生的基础计算能力和计算速度。
常见的计算题包括四则运算、分数运算、整数运算、百分数运算等，这些题目多为简单题，但是要求作答者必须熟悉运算规律和方法，才能在短时间内快速解题。
2. 选择题选择题是数学竞赛中的另一种常见题型，其主要特点是通过一组多组选项的形式来考察学生对于某一特定问题的理解和认识。
参赛者需要在有限的时间内选择正确的答案。
常见的选择题包括数学的基础知识、公式应用、几何图形等。
需要提醒的是，选择题一般分值不高，但并不代表其不重要。
3. 填空题填空题是数学竞赛中另一种常见题型，主要考察学生对于一些数学知识的记忆和掌握能力。
这种题型通常呈现出一些空白形式，参赛者需要在空白处填上正确的答案。
例如，求方程4x+3x-5=12的解，要求填写答案x = __。
4. 解答题解答题是一种比较复杂的数学竞赛题型，通常要求答者凭借自身的数学知识和解题能力拟定问题及其答案。
这种题型适合有一定数学素养和深度思维能力的学生。
解答题所涉及的范围很广，主要有方程、不等式、函数、几何图形等等。
一般来说，解答题的分值较高，能够为参赛者积累较多分数。
二、数学竞赛中的解题技巧1. 理清思路在解题的过程中，学生必须要理清自己的思路，尽量按照一定的顺序和步骤来解决问题。
否则很容易因为思路不清晰而弄巧成拙，耽误时间，影响成绩。
2. 理解题目理解题目是解答问题的前提。
在阅读题目时，要尽可能地详细理解，明确题目涉及的对象、条件和限制，然后结合题目特点和知识点，确定解题方法。
奥数挑战解方程的巧妙方法解方程是数学中的基础知识，也是奥数竞赛中常出现的题型之一。
对于许多学生来说，解方程可能是一个相对抽象和复杂的概念。
然而，通过一些巧妙的方法和技巧，解方程可以变得更加简单和有趣。
本文将介绍一些解方程的巧妙方法，帮助学生在奥数挑战中取得更好的成绩。
一、倒置法在解一元一次方程的过程中，倒置法可以是一个非常有效的方法。
这种方法适用于形如“x+x=x”的方程，其中x和x是已知的实数，x是待求解的未知数。
倒置法的关键在于通过改变等式的次序来求解。
举个例子，如果我们有一个方程“x+3=7”，我们可以通过倒置法来解这个方程。
我们可以将等式改写为“3+x=7”，然后再通过数学运算得到x=4。
这种方法可以帮助学生在挑战中更快地解方程，提高解题的速度和准确性。
二、方程相消法方程相消法是另一种解方程的巧妙方法。
这种方法适用于形如“xx+xx=x”和“xx+xx=x”的方程组，其中x、x、x、x、x、x是已知的实数。
方程相消法可以通过相乘或相减等操作来消去某些项，从而简化方程组的解法。
例如，如果我们有一个方程组“2x+3x=7”和“4x+6x=14”，我们可以通过方程相消法来解这个方程组。
我们可以将第一个方程乘以2，并将其与第二个方程相减，得到“2(2x+3x)-(4x+6x)=7-14”，进一步简化为“-2x=-7”，然后解得x=7/2，再带入第一个方程求解x。
方程相消法可以帮助学生在奥数挑战中更快地解决复杂的方程组问题，提高解题的效率和准确性。
三、方程转化法方程转化法是另一个有用的技巧，可以将复杂的方程转化为简化的形式，从而更容易解决。
这种方法适用于各种类型的方程，包括一元一次方程、一元二次方程等等。
举个例子，如果我们有一个一元二次方程“x^2−7x+12=0”，我们可以通过方程转化法来解这个方程。
我们可以将该方程改写为“(x−3)(x−4)=0”，然后将括号中的每一个方程单独求解，得到x=3和x=4。
第十九届全国中学生物理竞赛预赛试卷全卷共七题，总分为140分．一、（15分）今年3月我国北方地区遭遇了近10年来最严重的沙尘暴天气．现把沙尘上扬后的情况简化为如下情景：v 为竖直向上的风速，沙尘颗粒被扬起后悬浮在空中（不动）．这时风对沙尘的作用力相当于空气不动而沙尘以速度v 竖直向下运动时所受的阻力．此阻力可用下式表达2f Av αρ=其中α为一系数，A 为沙尘颗粒的截面积，ρ为空气密度．（1）若沙粒的密度 33S 2.810kg m ρ=⨯⋅－，沙尘颗粒为球形，半径42.510m r =⨯－，地球表面处空气密度30 1.25kg m ρ=⋅－，0.45α=，试估算在地面附近，上述v 的最小值1v ．（2）假定空气密度ρ随高度h 的变化关系为0(1)Ch ρρ=-，其中0ρ为0h =处的空气密度，C 为一常量，411.1810m C -=⨯－，试估算当19.0m s v =⋅－时扬沙的最大高度．（不考虑重力加速度随高度的变化）二、（20分）图预19-2所示电路中，电池的电动势为E ，两个电容器的电容皆为C ，K 为一单刀双掷开关。
开始时两电容器均不带电（1）第一种情况，现将K 与a 接通，达到稳定，此过程中电池内阻消耗的电能等于__________；再将K 与a 断开而与b 接通，此过程中电池供给的电能等于___________。
（2）第二种情况，现将K 与b 接通，达到稳定，此过程中电池内阻消耗的电能等于__________；再将K 与b 断开而与a 接通，此过程中电池供给的电能等于___________。
三、（20分）据新华社报道，为了在本世纪初叶将我国的航天员送上太空，2002年3月25日22时15分，我国成功地发射了一艘无人试验飞船。
在完成预定任务后，飞船于4月1日16时51分安全着陆，共绕地球飞行108圈。
（1）飞船的名称是什么？（2）飞船在运行期间，按照地面指挥控制中心的指令成功地实施了数百个动作，包括从椭圆轨道变换成圆轨道等．假如把飞船从发射到着陆的整个过程中的运动都当作圆周运动处理，试粗略估计飞船离地面的平均高度．已知地球半径66.3710m R =⨯，地球表面处的重力加速2002年9月度29.80m s g =⋅－四、（20分）如图预19-4所示，三个绝热的、容积相同的球状容器A 、B 、C ，用带有阀门K 1、K 2的绝热细管连通，相邻两球球心的高度差 1.00m h =．初始时，阀门是关闭的，A 中装有1mol的氦（He ）,B 中装有1mol 的氪（Kr ）,C 中装有lmol 的氙（Xe ），三者的温度和压强都相同．气体均可视为理想气体．现打开阀门K 1、K 2，三种气体相互混合，最终每一种气体在整个容器中均匀分布，三个容器中气体的温度相同．求气体温度的改变量．已知三种气体的摩尔质量分别为31He 4.00310kg mol μ--=⨯⋅31Kr 83.810kg mol μ--=⨯⋅31Xe 131.310kg mol μ--=⨯⋅在体积不变时，这三种气体任何一种每摩尔温度升高1K ，所吸收的热量均为 3/2R ，R 为普适气体常量．五、（20分）图预19-5中，三棱镜的顶角α为60︒，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为 30.0cm f =的两个完全相同的凸透镜L 1和 L 2．若在L 1的前焦面上距主光轴下方14.3cmy =处放一单色点光源S ，已知其像S '与S 对该光学系统是左右对称的．试求该三棱镜的折射率．六、（20分）一个长为1L ，宽为2L ，质量为m 的矩形导电线框，由质量均匀分布的刚性杆构成，静止放置在不导电的水平桌面上，可绕与线框的一条边重合的光滑固定轴ab 转动，在此边中串接一能输出可变电流的电流源（图中未画出）。
数学竞赛解题窍门解析常见竞赛题型在数学竞赛中，解题窍门是取得好成绩的关键。
不同的竞赛题型有不同的解题技巧和方法。
本文将为大家解析一些常见的竞赛题型，并提供一些解题窍门，帮助大家在数学竞赛中取得好的成绩。
一、选择题选择题是竞赛中最常见的题型之一。
在解答选择题时，要注意以下几点：1.仔细阅读题目和选项，理解题意。
有时候选项中会有一些干扰项，需要排除掉。
2.利用排除法。
根据已知条件和选项中的信息，逐个排除不符合条件的选项，留下符合条件的选项。
3.利用反证法。
有时候可以通过假设某个选项是正确的，然后推导出矛盾的结果，从而排除这个选项。
4.联想法。
有时候可以尝试将题目中的内容与已经学过的知识联系起来，找出规律或者类似的题目，从而解答出题目。
二、填空题填空题是另一种常见的竞赛题型。
解答填空题时，可以采用以下方法：1.代入法。
将给定条件代入到题目中的空格中，从而求解出未知数的值。
2.逆向思维。
有时候可以从答案入手，根据答案反推出题目中的空格应该填写什么内容。
3.巧妙运算。
在填空题中，有时候会出现一些巧妙的运算方法，通过运算可以快速求解出空格中的值。
4.数学技巧。
填空题中常常考察一些常见的数学技巧，比如因式分解、倍数关系等。
掌握这些数学技巧可以快速解答填空题。
三、证明题证明题是数学竞赛中较为难的题型之一。
解答证明题时，要注意以下几点：1.理清题目要求。
仔细阅读题目，理解题目要求，明确所需要证明的结论。
2.写出已知条件。
将题目中给出的已知条件写出来，有助于理解题目和寻找证明的方向。
3.运用数学定理或公式。
在证明题中，有时候可以运用已经学过的数学定理或公式来进行证明。
4.利用推理法。
通过逻辑推理和演绎推理，从已知条件出发，一步一步地推导出所要证明的结论。
四、应用题应用题是数学竞赛中常见的综合题型，需要将所学的数学知识应用到实际问题中。
解答应用题时，可以采用以下方法：1.找出问题的关键点。
仔细阅读问题，找出问题中的关键信息和要求，理清思路。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
熟悉竞赛题目的解题思路竞赛题目多种多样，每一道题目都蕴含着解题的思路和方法。
熟悉竞赛题目的解题思路，可以帮助我们更好地应对各种挑战，提高解题能力。
本文将介绍一些常见的竞赛题目及其解题思路。
一、数学题目1. 等式求解题等式求解题是数学竞赛中常见的题型之一。
解这类题目时，我们可以尝试利用等式特性进行变形，消去不必要的项，化简等式，从而得到未知数的具体解。
此外，也可以通过代数运算、方程变形、等式恒等式等方法进行求解。
2. 几何题目几何题目需要我们通过几何知识和推理能力进行解题。
在解几何题时，我们可以根据已知条件构建几何图形，利用几何定理和性质进行推导，找到所需求的目标结果。
同时，注意合理设置变量，利用方程进行求解，运用数学思维和几何直觉相结合，能够更好地解决几何题。
3. 概率题目概率题目是数学竞赛中的常客，解题时需要我们熟练掌握概率计算公式和基本概念。
在解决概率问题时，我们可以利用多种方法，如加法原理、条件概率、独立性等，合理计算概率值。
此外，建立概率模型、从多个角度和方法进行分析和计算，能够较好地解答概率题。
二、物理题目1. 力学题目力学题目需要我们掌握牛顿定律、重力、摩擦力等知识。
解决力学题时，我们需要进行力的分解、合成，利用牛顿第二定律、动能定理、功和能量定理等进行计算。
合理选择坐标系，利用运动学方程，分析物体受力情况，能够更好地解决力学题。
2. 电磁题目电磁题目需要我们了解电荷、电场、电流、磁场等概念和原理。
解答电磁题目时，我们可以利用库仑定律、电场力和磁场力的叠加等进行计算。
同时，熟悉电路分析和磁场作用规律，运用欧姆定律、电路定理和安培定律等方法，能够较好地解决电磁题目。
三、化学题目1. 反应方程题目解答反应方程题目需要我们熟悉化学反应的基本规律和方程式的平衡原理。
在解决这类题目时，我们需要根据已知条件和反应类型，建立反应方程式，注意平衡反应物与生成物的物质守恒关系，并合理使用化学计算方法，进行数据计算和求解。
