高中数学必修二平面向量及其应用单元检测 (17)200817(含答案解析)

高二数学平面向量的几何应用试题答案及解析1.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】本题需要将用表达，则需利用向量的加法和减法法则（平行四边形或三角形法则）寻找他们之间的关系。

由图可知所以,因为ABCD为平行四边形，所以有，则，故选A.【考点】向量的加法、减法运算2.定义域为的函数图象的两个端点为，是图象上任意一点，其中，向量，若不等式恒成立，则称函数在上“阶线性近似”.若函数在上“阶线性近似”，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数，，依题意，，，（），，由定义域为的函数图象的两个端点为，是图象上任意一点，其中知：，令，则，所以在递减，递增，从而有，即从而，不等式恒成立，则，故选择C，确定是解题正确的关键.【考点】参数范围及函数综合应用.3.在四面体中，点为棱的中点. 设, ，，那么向量用基底可表示为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由向量减法的三角形法则可知，因为为棱的中点，由向量加法的平行四边形法则可知，所以。

故B正确。

【考点】平面向量加法法则。

4.如图在平行六面体中，，，则的长是【答案】【解析】因为.所以=16+9+25+20+15=85.所以.即填.【考点】1.向量的运算.2.向量的模的运算.5.如图，在空间四边形SABC中，AC、BS为其对角线，O为△ABC的重心，试证：（1）(；(2)．【答案】详见解析【解析】因为O为△ABC 的重心，所以 O分△ABC的中线的比为，以AC,AB为邻边构造平四边形，所以点O到各顶点的距离与所在对角线边长的比为，结合向量的平行四边形法则，和三角形法则，两个问题均可得以证明，详见解析。

试题解析：(1),,,以上三式相加得.(2)以上三式相加得,由（1）知，所以【考点】平面向量的平行四边形法则，三角形法则6.已知为空间的一个基底，且，，，（1）判断四点是否共面；（2）能否以作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量【答案】（1）四点不共面；（2）．【解析】本试题主要是考查了空间向量中四点共面的问题，以及判定空间向量的基底的定义的运用。

第一章《空间几何体》单元检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共计60分)1．过棱柱不相邻两条侧棱的截面是()．A ．矩形B ．正方形C ．梯形D ．平行四边形2．下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是()．A ．3B ．2C ．1D ．03．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()．A.13B.23C ．1D ．24．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，其中1B O C O ''=''=，32A O ''=，那么原△ABC 是一个()．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边中有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形5．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是()．A ．1∶2B ．2∶3C ．1∶3D ．1∶46．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()．A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④7．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是()．A.1003πcm 3B.2083πcm 3C.5003πcm 3D.416133cm 38．一圆台上底面半径为5cm ，下底面半径为10cm ，母线AB 长为20cm ，其中A 在上底面上，B 在下底面上，从AB 中点M ，拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到B 点，则这条绳子最短长为()．A ．30cmB ．40cmC ．50cmD ．60cm9．圆台的母线长扩大到原来的n 倍，两底面半径都缩小为原来的1n，那么它的侧面积为原来的__________倍．()．A ．1B ．nC ．n 2D.1n10．设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()．A ．9π＋42B ．36π＋18C.9122π+ D.9182π+11．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，右图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()．A ．0B ．9C ．快D ．乐12．如图，在一个盛满水的圆柱形容器内的水面下有一个用细绳吊着的薄壁小球，小球下方有一个小孔，当慢慢地、匀速地将小球从水下面往上拉动时，圆柱形容器内水面的高度h 与时间t 的函数关系图象大致为()．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．若球O1、O2表面积之比124SS=，则它们的半径之比12RR=__________.14．一个正四棱柱的各个顶点都在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为__________cm2.15．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是__________cm3.16．一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，如图所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC＝__________.三、解答题(本题共6小题，满分74分)17．(12分)画出如图所示几何体的三视图．18．(12分)一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的侧面积．19．(12分)一个正三棱柱的三视图如图，求这个正三棱柱的表面积．20．(12分)如图所示是一个正方体，H 、G 、F 分别是棱AB 、AD 、AA 1的中点．现在沿△GFH 所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几？21．(12分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．求：(1)该几何体的体积V ；(2)该几何体的侧面面积S .22．(14分)如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a 的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中分离出来的．(1)∠DC 1D 1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°，对吗？(2)∠A 1C 1D 的真实度数是60°，对吗？(3)设BC ＝1，如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？答案与解析1.答案：D解析：侧棱平行且相等．2.答案：A解析：①正确，一直三棱柱，其中四边形BCC 1B 1与四边形BAA 1B 1是全等的矩形，且面BCC 1B 1⊥面BAA 1B 1，即满足要求．②正确，如图一正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1，即满足要求．③正确．横卧的圆柱即可．如图．3.答案：C解析：根据三视图可以推测出该物体应该为一个三棱柱，底面是直角三角形，因此1(21)212V Sh ==⨯=，选C.4.答案：A解析：依据斜二测画法的原则可得，2BC B C ''==，3232OA =⨯=∴AB ＝AC ＝2，故△ABC 是等边三角形．5.答案：B解析：设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，依题意得l ＝2r ，而S 侧＝2πrl ，S 全＝2πr 2＋2πrl ，∴S 侧∶S 全＝2πrl ∶(2πr 2＋2πrl )＝2∶3，故选B.6.答案：D解析：正方体的三视图都是正方形，所以①不符合题意，排除A 、B 、C.7.答案：C解析：根据球的截面性质，截面小圆的圆心与球心的连线与截面垂直，因此球心到截面的距离、小圆半径与球的半径构成直角三角形．由勾股定理得球的半径为5cm ，故球的体积为34500533ππ⨯=cm 3.8.答案：C解析：画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，则扇形圆心角为90°，且圆锥的母线长为40cm 50=(cm)．9.答案：A解析：设改变之前圆台的母线长为l ，上底半径为r ，下底半径为R ，则侧面积为π(r ＋R )l ，改变后圆台的母线长为nl ，上底半径为r n ，下底半径为R n，则侧面积为(()r Rnl r R l nππ+=+，故它的侧面积为原来的1倍．10.答案：D解析：由三视图可知，该几何体是一个球体和一个长方体的组合体．其中，3439()322V ππ=⋅=球，V 长方体＝2×3×3＝18.所以9+182V π=总11.答案：B解析：本题考查了正方体的表面展开图，选B.12.答案：C解析：由球顶到球中心被拉出时，小球的体积越露越大，水面高度下降得快，所以曲线向上弯；当球从中心开始到整个球被拉出水面时，球的体积变化越来越小，水面高度下降得慢，所以曲线向下弯．在整个过程中，函数关系图象大致为C.13.答案：2解析：由S ＝4πR 2易知．14.答案：2＋解析：设正四棱柱的高为a ，由长方体与球相接的性质知4＝1＋1＋a 2，则a =，∴正四棱柱的表面积为S ＝1×1×2＋(2=＋cm 2.15.答案：144解析：由几何体的三视图知该几何体是正四棱台与长方体的组合体，所以几何体的体积为V ＝13×(4×4＋＋64)×3＋4×4×2＝144.16.答案：90°解析：如下图所示，折成正方体，很明显，点A 、B 、C 是上底面正方形的三个顶点，则∠ABC ＝90°.17.解：该几何体的上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，其三视图如图所示．18.解：如图所示，梯形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，BC ＝5.作DM ⊥BC ，垂足为点M ，则DM ＝4，MC ＝5－2＝3，在Rt △CMD 中，由勾股定理得22345CD =+=在旋转生成的旋转体中，AB 形成一个圆面，AD 形成一个圆柱的侧面，CD 形成一个圆锥的侧面，设圆柱与圆锥的侧面积分别为S 1，S 2，则S 1＝2π×4×2＝16π，S 2＝π×4×5＝20π，故此旋转体的表面积为S ＝S 1＋S 2＝36π.19.解：由题意可知正三棱柱的高为2，底面三角形的高为23为a ，则332a =，∴a ＝4，∴22334344S a ===底.正三棱柱侧面积S 侧＝3×2×4＝24.∴正三棱柱表面积S 表＝S 侧＋2S 底＝24+83.20.解：设正方体的棱长为a ，则正方体的体积为a 3.三棱锥的底面是Rt △AGF ，即∠FAG 为90°，G 、F 又分别为AD 、AA 1的中点，所以AF ＝AG ＝12a .所以△AGF 的面积为211112228a a a ⨯⨯=.又因AH 是三棱锥的高，H 又是AB 的中点，所以12AH a =.所以锯掉的部分的体积为23111132848a a a ⨯⨯=.又因33114848a a ÷=，所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的148.21.解：由已知知该几何体是一个四棱锥，记P ­ABCD .如图所示，由已知，知AB ＝8，BC ＝6，高h ＝4.由俯视图知：底面ABCD 是矩形，连接AC ，BD 交于点O ，连接PO ，则PO ＝4，即为棱锥的高．作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥BC 于N ，连接PM ，PN ，因为PA ＝PB ＝PC ，M 、N 为AB 、BC 的中点，则PM ⊥AB ，PN ⊥BC .故2222435PM PO OM =++=，2222442PN PO ON =+=+(1)V ＝3Sh ＝3×(8×6)×4＝64.(2)S 侧＝2S △P AB ＋2S △PBC＝AB ·PM ＋BC ·PN＝8×5＋6×42222.解：(1)对．因为四边形DD 1C 1C 是正方形，且是正对的后面，即恰好是正投影．所以∠DC 1D 1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°.(2)对．事实上，连接DA 1以后，△DA 1C 1的三条边都是正方体的面对角线，2a ，所以△DA 1C 1是等边三角形，所以∠A 1C 1D ＝60°.(3)如果用图示中的装置来盛水，那么最多能盛水的体积等于三棱锥C 1­CB 1D 1的体积，111111­111·36C CB D B C D V S CC == ，所以最多能盛水的体积为16.第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共计60分)1．在空间内，可以确定一个平面的条件是()．A ．两条直线B ．三条直线，其中的一条与另外两条直线相交C ．三个点D ．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点2．下列命题中，正确的是()．A ．平面α内的一条直线和平面β内的无数条直线垂直，则平面α⊥平面βB ．过平面α外一点P 有且只有一个平面β和平面α垂直C ．直线l ∥平面α，直线l ⊥平面β，则α⊥βD ．垂直于同一个平面的两个平面平行3．设P 是△ABC 所在平面α外一点，H 是P 在α内的射影，且PA 、PB 、PC 与α所成的角相等，则H 是△ABC 的()．A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心4．已知二面角α­l ­β的大小为60°，m 、n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m 、n 所成的角为()．A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°5．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB ⊥AC ，SB ＝AC ＝2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是()．A ．1C.2 D.126．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()．A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥αB ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥αC ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m7．若正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为()．A.3B ．18．如图，在斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在()．A ．直线AB 上B ．直线BC 上C ．直线AC 上D ．△ABC 内部9．已知二面角α­AB ­β的平面角是锐角θ，面α内有一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB的距离为4，那么tan θ＝()．A.34B.35 C.7D.710．下列命题中错误．．的是()．A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β11．如图所示，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点．将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为()．A ．90°B ．60°C ．45°D ．0°12．如图，若Ω是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确．．．的是()．A ．EH ∥FG B ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)13．如图所示，A ，B ，C ，D 为不共面的四点，E ，F ，G ，H 分别在线段AB ，BC ，CD ，DA 上．(1)如果EH ∩FG ＝P ，那么点P 在直线__________上；(2)如果EF ∩GH ＝Q ，那么点Q 在直线__________上．14．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过P 点的两条直线AC 、BD 分别交α于A 、B ，交β于C 、D ，且PA ＝6，AC ＝9，AB ＝8，则CD 的长为__________．15．已知菱形ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝120°，沿对角线BD 将△ABD 折起使二面角A ­BD ­C 为120°，则点A 到△BCD 所在平面的距离为__________．16．已知m 、n 是直线，α、β、γ是平面，给出下列说法：①若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则m ∥n ；③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β＝m ，n ∥m 且n α⊄，n β⊄，则n ∥α且n ∥β.其中正确的说法序号是__________．(注：把你认为正确的说法的序号都填上)三、解答题(本大题共6个小题，共计74分)17．(12分)如图所示，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC ⊥BD .18．(12分)如下图，在三棱锥P ­ABC 中，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，△PAC 是直角三角形，∠PAC ＝90°，∠ACP ＝30°，平面PAC ⊥平面ABC .(1)求证：平面PAB ⊥平面PBC ；(2)若PC ＝2，求△PBC 的面积．19．(12分)如图是一个棱长为1的正方体的表面展开图，MN 和PQ 是两条面对角线，请在图(2)的正方体中将MN 、PQ 画出来，并解答下列问题：(1)MN 和PQ 所成角的大小；(2)四面体M ­NPQ 的体积．20．(12分)如图，在四棱锥P ­PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，且DB 平分∠ADC ，E 为PC 的中点，AD ＝CD ＝1，22DB ＝(1)证明：PA ∥平面BDE ；(2)证明：AC ⊥平面PBD ；(3)求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值．21．(12分)如图，四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB .(1)求证：CE ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝AB ＝1，AD ＝3，2CD ＝，∠CDA ＝45°，求四棱锥P ­ABCD 的体积．22．(14分)如图所示，在正方体—A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．答案与解析1.答案：D解析：A 错，因为两条直线可能为异面直线，B 与A 相同也不正确，C 错，三点若在同一条直线上不行．2.答案：C解析：A ：若α∩β＝l ，且α与β不垂直时，在α内有一条直线α⊥l ，则a 也垂直于β内所有与l 平行的直线，故A 错误；B ：一本书竖直立在桌面上，过书脊上一点有很多平面与桌面垂直；D ：教室内相邻两面墙都与地面垂直，而这两个平面相交，故选C.3.答案：B解析：由题意知Rt △PHA ≌Rt △PHB ≌Rt △PHC ，得HA ＝HB ＝HC ，所以H 是△ABC 的外接圆圆心．4.答案：B解析：本题考查二面角的概念，易知m 、n 所成的角与二面角的大小相等，故选B.5.答案：B解析：取SA 的中点H ，连接EH 、FH .因为SB ⊥AC ，则EH ⊥FH ，在△EFH 中，应用勾股定理得2EF ＝6.答案：B解析：对于A ：若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊂α可能成立，l ⊥α不一定成立，A 错误，对于B ：若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α，正确．同理对于C 、D 可判定错误.7.答案：D解析：如图，AB ＝1，∠B 1AB ＝60°，B 1B ＝A 1A 3，直线A 1C 1与底面ABCD 的距离即为13A A ＝ D.8.答案：A解析：∵BA ⊥AC ，BC 1⊥AC ，BA ∩BC 1＝B ，∴AC ⊥平面ABC 1.∵AC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ABC 1，且交线是AB .故平面ABC 1上一点C 1在底面ABC 上的射影H 必在交线AB 上．9.答案：D解析：如图，过C 作CE ⊥β，垂足为E ，作CF ⊥AB ，垂足为F ，连接EF ，则∠CFE ＝θ为二面角α­AB ­β的平面角，且CE ＝3，CF ＝4.∴2277743tan CEEFθ===-＝.10.答案：D解析：A 选项正确，只需α内的直线平行于α与β的交线即平行于β；B 正确，根据面面垂直的判定定理，若α内存在直线垂直于β，则α⊥β；C 正确，设α内a ⊥r ，β内b ⊥r ，α∩β＝l ，则a ∥b ，所以a ∥β，根据线面平行的性质定理，所以a ∥l ，所以l ⊥r .D 错误，平面α内可以存在直线平行于交线而不垂直于平面β.11.答案：B解析：将三角形折成三棱锥如图所示，HG 与IJ 为一对异面直线，过点D 分别作HG 与IJ 的平行线，即DF 与AD ，所以∠ADF 即为所求．因此，HG 与IJ 所成角为60°.12.答案：D解析：∵EH ∥A 1D 1，A 1D 1∥B 1C 1，∴EH ∥B 1C 1.∴EH ∥平面BCGF .∵FG ⊂平面BCGF ，∴EH ∥FG ，故A 对．∵B 1C 1⊥平面A 1B 1BA ，EF ⊂平面A 1B 1BA ，∴B 1C 1⊥EF .则EH ⊥EF .由上面的分析知，四边形EFGH 为平行四边形，故它也是矩形，故B 对．由EH ∥B 1C 1∥FG ，故Ω是棱柱，故C 对，选D.13.答案：(1)BD (2)AC 解析：(1)若EH ∩FG ＝P ，那么点P ∈平面ABD ，P ∈平面BCD ，而平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，∴P ∈BD .(2)若EF ∩GH ＝Q ，则Q ∈平面ABC ，Q ∈平面ACD ，而平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴Q ∈AC .14.答案：20或4解析：若P 在α、β的同侧，由于平面α∥平面β，故AB ∥CD ，则PA ABPC CD，可求得CD ＝20；若P β之间，可求得CD ＝4.15.答案：2解析：设AC ∩BD ＝O ，则翻折后AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，∴∠AOC 即为二面角的平面角，则∠AOC ＝120°，且AO ＝1，所以d ＝1×sin 60°＝2.16.答案：②④解析：①中n 可能只与α、β中的一个相交，但不垂直；③m 只要是斜线就有可能．17.证明：(1)如图所示，连接EF ，FG ，GH ，HE ，在△ABD 中，∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点．∴EH ∥BD ，同理FG ∥BD ，∴EH ∥FG ，∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)由(1)知EH ∥BD ，同理GH ∥AC .又∵四边形EFGH 是矩形，∴EH ⊥GH ，∴AC ⊥BD .18.(1)证明：∵平面PAC ⊥平面ABC ，且其交线为AC ，PA ⊥AC ，PA ⊂平面PAC ，∴PA ⊥平面ABC ，∵BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC .又∵AB ⊥BC ，AB ∩PA ＝A ，AB ⊂平面PAB ，PA ⊂平面PAB .∴BC ⊥平面PAB .而BC ⊂平面PBC ，∴平面PAB ⊥平面PBC .(2)解：由(1)得，BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PB ，即∠PBC ＝90°，由已知PC ＝2，得AC 222BC AC ⨯=＝.在Rt △PBC 中，2PB ==.∴Rt △PBC 的面积1122224S PB BC ⨯⨯⨯=＝＝.19.解：如图：(1)如图，连接MC 、NC 、MN ，可得PQ ∥NC ，则∠MNC (或其补角)就是异面直线MN和PQ 所成的角，因为△MNC 是等边三角形，所以∠MNC ＝60°，即异面直线MN 和PQ 所成的角等于60°.(2)因为正方体的棱长为1，所以V 正方体＝1，所以­­·1136M NPQ Q PMN MNP V V S MQ ＝＝＝.20.(1)证明：连接AC ，设AC ∩BD ＝H ，连接EH ，在△ADC 中，∵AD ＝CD ，且DB 平分∠ADC ，∴H 为AC 的中点．又E 为PC 的中点，∴EH ∥PA ，又HE ⊂平面BDE ，PA BDE ⊄平面，∴PA ∥平面BDE .(2)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AC ，由(1)知，BD ⊥AC ，PD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面PBD .(3)解：由AC ⊥平面PBD 可知，BH 为BC 在平面PBD 内的射影，∴∠CBH 为直线BC 与平面PBD 所成的角．由AD ⊥CD ，AD ＝CD ＝1，DB ＝，可知DH ＝CH ＝2，2BH ＝.在Rt △BHC 中，t 13an C CBH H BH ∠=＝.即直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值为13.21.(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CE .因为AB ⊥AD ，CE ∥AB ，所以CE ⊥AD .又PA ∩AD ＝A ，所以CE ⊥平面PAD .(2)解：由(1)可知CE ⊥AD .在Rt △ECD 中，DE ＝CD ·cos45°＝1，CE ＝CD ·sin45°＝1.又因为AB ＝CE ＝1，AB ∥CE ，所以四边形ABCE 为矩形．所以·11522·21121ECD ABCD ABCE S S S AB AE CE DE ⨯⨯⨯ 四边形矩形＝＋＝＋＝＋＝.又PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1，所以­1151336·52P ABCD ABCD V S PA ⨯⨯=四棱锥四边形＝＝.22.解：(1)如图(a)所示，取AA 1的中点M ，连接EM ，BM .因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD .又在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，所以EM ⊥平面ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 为BE和平面ABB 1A 1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM ＝AD ＝2，3BE =.于是，在Rt △BEM 中，s 23in E EBM M BE ∠=＝，即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(a)(b)(2)在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE .事实上，如图(b)所示，分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连接EG ，BG ，CD 1，FG .因A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形，因此D 1C ∥A 1B .又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，所以EG ∥D 1C ，从而EG ∥A 1B .这说明A 1，B ，G ，E 共面．所以BG ⊂平面A 1BE .因四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1皆为正方形，F ，G 分别为C 1D 1和CD 的中点，所以FG ∥C 1C ∥B 1B ，且FG ＝C 1C ＝B 1B .因此四边形B 1BGF 是平行四边形．所以B 1F ∥BG .而11B F A BE ⊄平面，BG ⊂平面A 1BE ，故B 1F ∥平面A 1BE .第三章《直线与方程》单元检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分)1．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3y -=的倾斜角的2倍，则()．A ．m n ＝1B ．m n ＝－3C ．m n ＝－3D ．m n ＝12．直线ax ＋by ＋c ＝0(ab ≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a ，b ，c 满足()．A ．a ＝b B ．|a |＝|b |且c ≠0C ．a ＝b 且c ≠0D ．a ＝b 或c ＝03．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是()．A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或24．点P (1，－3)到直线132x y+=的距离为()．A. B. C. D.5．点M (a ，b )与N (b －1，a ＋1)关于下列哪种图形对称()．A ．直线x －y ＋1＝0B ．直线x －y －1＝0C ．点11(,22-D ．直线x ＋y －a －b ＝06．直线y ＝mx ＋(2m ＋1)恒过一定点，则此定点是()．A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1，－2)D ．(－2,1)7．已知点A (3,2)，B (－2，a )，C (8,12)在同一条直线上，则a 的值是()．A ．0B ．－4C ．－8D ．48．已知直线l 的方程是y ＝2x ＋3，则l 关于y ＝－x 对称的直线方程是()．A ．x －2y ＋3＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y －3＝0D ．2x －y ＝09．等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A (0,4)，则点B 的坐标可能是()．A ．(2,0)或(4,6)B ．(2,0)或(6,4)C ．(4,6)D ．(0,2)10．已知直线l 1的方程是ax －y ＋b ＝0，l 2的方程是bx －y －a ＝0(ab ≠0，a ≠b )，则下列各示意图形中，正确的是()．11．直线l 过点P (1,3)，且与x ，y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是()．A ．3x ＋y －6＝0B ．x ＋3y －10＝0C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝012．直线l 1，l 2分别过点M (－1,4)，N (3,1)，它们分别绕点M 和N 旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d 的取值范围是()．A ．(0,5]B ．(0，＋∞)C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分)13．直线l 与两直线y ＝1、x －y －7＝0分别交于A 、B 两点，若直线AB 的中点是M (1，－1)，则直线l 的斜率为__________．14．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________.15．若直线(2t －3)x ＋y ＋6＝0不经过第一象限，则t 的取值范围为__________．16．已知a ，b ，c 为某一直角三角形的三边长，c 为斜边，若点(m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值为__________．三、解答题(本题共6小题，共计74分)17．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数()2f x x＝的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是多少？18．(12分)已知△ABC 的三个顶点坐标为A (－3,1)，B (3，－3)，C (1,7)．(1)求BC 边上的中线AM 的长；(2)证明：△ABC 为等腰直角三角形．19．(12分)正方形中心在C (－1,0)，一条边方程为：x ＋3y －5＝0，求其余三边所在的直线方程．20．(12分)(1)求与点P (3,5)关于直线l ：x －3y ＋2＝0对称的点P ′的坐标．(2)求直线y ＝－4x ＋1关于点M (2,3)的对称直线的方程．21．(12分)如图所示，已知A (－2,0)，B (2，－2)，C (0,5)，过点M (－4,2)且平行于AB 的直线l 将△ABC 分成两部分，求此两部分面积的比．22．(14分)为了绿化城市，要在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪，如右图所示，另外，△AEF 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100m ，BC ＝80m ，AE ＝30m ，AF ＝20m ，应如何设计才能使草坪面积最大？答案与解析1.答案：D解析：依题意得33n -=-，tan 120mn-=︒∴m ，n ＝1.2.答案：D解析：分截距是否等于零讨论．当截距都不为零时，a ＝b ；当截距都为零时，此时直线过原点，c ＝0.故选D.3.答案：C解析：∵l 1∥l 2，∴－2(k －3)－2(k －3)(4－k )＝0，即(k －3)(5－k )＝0.∴k ＝3或5.4.答案：A解析：直线方程可化为2x ＋3y －6＝0，由点到直线的距离公式得所求距离为=5.答案：A解析：由题意，所求直线应与MN垂直，且MN的中点在所求直线上，又11MNab ak b+---＝＝－1，MN的中点为11(,)22a b a b+-++，所以选A.6.答案：D解析：y＝mx＋(2m＋1)＝m(x＋2)＋1，∴当x＝－2时，不论m取何值，y恒等于1.∴恒过点(－2,1)．7.答案：C解析：根据题意可知k AC＝k AB，即12228323a--=---，解得a＝－8.8.答案：A解析：将x＝－y，y＝－x代入方程y＝2x＋3中，得所求对称的直线为－x＝－2y＋3，即x－2y＋3＝0.9.答案：A解析：设B点坐标为(x，y)，根据题意知·1||||AC BCk kBC AC=-⎧⎨=⎩∴3431303yx--⎧⨯=-⎪--=解之，得2xy=⎧⎨=⎩或46.xy=⎧⎨=⎩10.答案：D解析：若a＞0，b＞0，则l2的斜率大于0，截距小于0，故A项不对；若a＞0，b＜0，则l2的斜率小于0，截距小于0，故B项不对；若a＜0，b＞0，则l2的斜率大于0，截距大于0，故C项不对．11.答案：A解析：设直线方程为1x ya b+=(a＞0，b＞0)，由题意有12131aba b=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴26.ab=⎧⎨=⎩∴126x y+=.化为一般式为3x＋y－6＝0.12.答案：A解析：当两直线l1，l2与直线MN重合时，d最小且为0；当两直线l1，l2与直线MN垂直时，d 最大，且为5MN=＝.故d的取值范围是0＜d≤5.13.答案：23-解析：设A (x,1)、B (y ＋7，y )，因为AB 中点是M (1，－1)，所以x ＝－2，y ＝－3.所以112213AB k -(-)=---＝.14.答案：1解析：∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，∴1×2＋(－2)·m ＝0，即m ＝1.15.答案：[32，＋∞)解析：方程可化为y ＝(3－2t )x －6，恒过(0，－6)．故3－2t ≤0时即可，∴32t ≥.16.答案：4解析：点(m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，且m 2＋n 2为直线上的点到原点的距离的平方．当两直线垂直时，距离最小．故22c cd ===所以m ＋n 17.解：设过原点的直线方程为y ＝kx (k ＞0)．联立2y kx y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得(Pk，(,Q k-．∴4PQ .当且仅当8k k=，即k ＝1时取等号．即PQ 长的最小值是4.18.(1)解：设点M 的坐标为(x ，y )，因为点M 为BC 的中点，所以3122x +=＝，3722y -+=＝，即点M 的坐标为(2,2)．由两点间的距离公式得AM =＝，所以BC 边上的中线AM .(2)AB =，BC =AC =＝所以|AB |＝|AC |，且|AB |2＋|AC |2＝|BC |2.所以△ABC 为等腰直角三角形．19.解：设x ＋3y －5＝0为l ，l 的对边为l 1，l 的两邻边为l 2、l 3，设l 1的方程为x ＋3y ＋m ＝0，∵C 点到l 的距离等于C 点到l 1的距离；=∴m ＝7或－5(舍)．∴l 1的方程为x ＋3y ＋7＝0，∴l 的斜率是1.3-又∵l 2⊥l ，l 3⊥l ，∴l 2，l 3的斜率为3.设l 2，l 3的方程为y ＝3x ＋b ，即3x －y ＋b ＝0.∵C 到l 2、l 3的距离等于C 到l 的距离，=⇒b ＝9或－3.∴l 2的方程为3x －y ＋9＝0，l 3的方程为3x －y －3＝0.20.解：(1)设P ′(x 0，y 0)，则0053PP y k x '--＝.PP ′中点为0035()22x y M ++，．根据对称关系x 0，y 0满足000051·133353·20.22y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪-+=⎪⎩解得0051.x y =⎧⎨=-⎩故点P 坐标为(5，－1)．(2)方法一：设(x ，y )是对称直线上任一点，则(x ，y )关于M (2,3)的对称点为(4－x,6－y )，根据对称关系，则(4－x,6－y )在直线y ＝－4x ＋1上．代入整理有y ＋4x －21＝0，即为所求直线方程．方法二：在直线y ＝－4x ＋1上任取两点(0,1)，(1，－3)，关于M 的对称点坐标分别为(4,5)，(3,9)．两点连线的直线方程为y ＋4x －21＝0即为所求直线方程．21.解：由已知可得12AB k ＝－，过点M (－4,2)且平行于AB 的直线l 的方程为x ＋2y ＝0.直线AC 的方程为5x －2y ＋10＝0，由方程组2052100x y x y +=⎧⎨-+=⎩得直线l 与AC 的交点坐标为55(36P -，，所以||||5||||6P A CP x CA x ==.所以两部分的面积之比为2225256511=-.22.解：由已知得E (30,0)，F (0,20)，则直线EF 的方程是13020x y +=(0≤x ≤30)．如右图所示，在EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于Q ，PR ⊥CD 于R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PR |·|PQ |＝(100－m )·(80－n )．∵13020m n +=，∴n ＝20(1－30m )．∴S ＝(100－m )(80－20＋23m )2(5)21805033m ＝－－＋(0≤m ≤30)．∴当m ＝5时，S 有最大值．第四章《圆与方程》单元检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．直线y ＝x ＋10与曲线x 2＋y 2＝1的位置关系是()．A ．相交B ．相离C ．相切D ．不能确定2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()．A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝13．点P (x ，y ，z )满足2=，则点P 在()．A ．以点(1,1，－1)为半径的圆上B ．以点(1,1，－1)为棱长的正方体内C ．以点(1,1，－1)D ．无法确定4．圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则l 的方程是()．A ．x ＋y ＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x －y －2＝0D ．x －y ＋2＝05．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且只有()．A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为()．A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对7．过点P (2,3)向圆x 2＋y 2＝1作两条切线PA 、PB ，则弦AB 所在直线的方程为()．A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝08．与圆x 2＋y 2－ax －2y ＋1＝0关于直线x －y －1＝0对称的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋3＝0，则a 等于()．A ．0B ．1C ．2D ．39．圆x 2＋(y ＋1)2＝3绕直线kx －y －1＝0旋转一周所得的几何体的表面积为()．A ．36πB ．12πC ．D ．4π10．动圆x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心的轨迹方程是()．A ．2x －y －1＝0B ．2x －y －1＝0(x ≠1)C ．x －2y －1＝0(x ≠1)D ．x －2y －1＝011．若过定点M (－1,0)且斜率为k 的直线与圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是()．A ．0k <<B ．0k <<C ．0k <<D ．0＜k ＜512．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若MN ≥k的取值范围是()．A ．3[,0] 4-B ．(－∞，34-]∪[0，＋∞)C ．[]33-D ．2[,0]3-二、填空题(本题共4小题，，每小题4分，共16分)13．过直线l ：y ＝2x 上一点P 作圆C ：(x －8)2＋(y －1)2＝2的切线l 1，l 2，若l 1，l 2关于直线l 对称，则点P 到圆心C 的距离为__________．14．点P为圆x2＋y2＝1上的动点，则点P到直线3x－4y－10＝0的距离的最小值为__________．15．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．16．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为l垂直的直线的方程为________．三、解答题(本题共6小题，共74分)17．(12分)一圆和直线l：x＋2y－3＝0切于点P(1,1)，且半径为518．(12分)求平行于直线3x＋3y＋5＝0且被圆x2＋y2＝20截得长为的弦所在的直线方程．19．(12分)点A(0,2)是圆x2＋y2＝16内的定点，B，C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．20．(12分)圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B.(1)求线段AB的垂直平分线的方程；(2)求线段AB的长．21．(12分)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．(1)证明：不论m为何值时，直线和圆恒相交于两点；(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．22．(14分)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．答案与解析1.答案：B解析：1=>.2.答案：A解析：方法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b)，1=，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.方法二(数形结合法)：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.方法三(验证法)：将点(1,2)代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C.3.答案：C解析：根据两点间距离公式的几何意义，动点(x，y，z)满足到定点(1,1，－1)的距离恒等于2.4.答案：D解析：∵两圆圆心分别为(0,0)和(－2,2)，∴中点为(－1,1)，两圆圆心连线斜率为－1.∴l的斜率为1，且过点(－1,1)．∴l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.5.答案：B解析：⊙C11)2＋(y＋1)2＝4，⊙C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，124C C=<＝，∴只有2条公切线．∴应选B.6.答案：C解析：圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝a2＋7，圆心为(－1,2)，1=-，解得a＝±3.7.答案：B解析：圆x2＋y2＝1的圆心为坐标原点O，以OP为直径的圆的方程为2231324(1)()x y－＋－＝.显然这两个圆是相交的，由22221313124x yx y⎧+=⎪⎨(-)+(-)=⎪⎩得2x＋3y－1＝0，这就是弦AB所在直线的方程．8.答案：C解析：两圆的圆心分别为(,1)2aA，B(2,0)，则AB的中点1(1,)42a+在直线x－y－1＝0上，即111042a+--=，解得a＝2，故选择C.9.答案：B解析：由题意，圆心为(0，－1)，又直线kx－y－1＝0恒过点(0，－1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以S＝)2＝12π.10.答案：C解析：圆心为(2m＋1，m)，r＝|m|(m≠0)．不妨设圆心坐标为(x，y)，则x＝2m＋1，y＝m，所以x－2y－1＝0.又因为m≠0，所以x≠1.因此选择C.11.答案：A解析：圆x2＋4x＋y2－5＝0可变形为(x＋2)2＋y2＝9，如图所示．当x＝0时，y±＝，结合图形可得A，∵1AMk=＝∴(0k∈．12.答案：A解析：圆心(3,2)到直线y＝kx＋3的距离d，MN≥＝∴304k-≤≤.13.答案：解析：圆心C的坐标为(8,1)，由题意，得PC⊥l，∴PC的长是圆心C到直线l的距离．即PC=14.答案：1解析：∵圆心到直线的距离为1025d=＝，∴点P到直线3x－4y－10＝0的距离的最小值为d－r＝2－1＝1.15.答案：(x－2)2＋y2＝10解析：由题意，线段AB中点M(3,2)，12ABk＝－12ABk＝－，∴线段AB中垂线所在直线方程为y－2＝2(x－3)．由223y xy-=(-)⎧⎨=⎩得圆心(2,0)．则圆C的半径r=故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.16.答案：x＋y－3＝0解析：设圆心(a,0)，∴222|1|a+＝－,∴a＝3.∴圆心(3,0)．∴所求直线方程为x＋y－3＝0.17.解：设圆心坐标为C(a，b)，圆的方程即为(x－a)2＋(y－b)2＝25.∵点P(1,1)在圆上，则(1－a)2＋(1－b)2＝25.①又l为圆C的切线，则CP⊥l，∴121ba-=-.②联立①②解得11ab⎧=+⎪⎨=+⎪⎩112ab⎧=-⎪⎨=-⎪⎩即所求圆的方程为(x－1－)2＋(y－1－)2＝25或(x－1＋)2＋(y－1＋)2＝25.18.解：设弦所在的直线方程为x＋y＋c＝0.①则圆心(0,0)到此直线的距离为||2d c=.因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成直角三角形，所以2220+＝.由此解得c＝±2，代入①得弦的方程为x＋y＋2＝0或x－y－2＝0.19.解：设点M(x，y)，因为M是弦BC的中点，故OM⊥BC.又∵∠BAC＝90°，∴|MA|＝12|BC|＝|MB|.∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2，∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]，化简为x2＋y2－2y－6＝0，。

试卷第1页，共71页高中数学（人教A 版）必修第二册《第六章 平面向量及其应用》解答题专项练习（含答案解析）一、解答题1．设向量()1,2a =-，()1,1b =-，()4,5c =-.（1）求2a b +；（2）若c a b λμ=+，,λμ∈R ，求λμ+的值；（3）若AB a b =+，2BC a b =-，42CD a b =-，求证：A ，C ，D 三点共线.【答案】（1）1（2）2（3）证明见解析【分析】（1）先求()21,0a b +=，进而求2a b +；（2）列出方程组，求出13λμ=-⎧⎨=⎩，进而求出λμ+；（3）求出2AC a b =-，从而得到422CD a b AC =-=，得到结果.（1）()()()21,22,21,0a b +=-+-=，2101a b +=+；（2）()()()1,251,14,μλ--+-=，所以425λμλμ-+=⎧⎨-=-⎩，解得：13λμ=-⎧⎨=⎩，所以2λμ+=； （3） 因为22AC AB BC a b a b a b =+=++-=-，所以422CD a b AC =-=，所以A ，C ，D 三点共线.2．（1）在直角三角形ABC 中，C =90°，AB =5，AC =4，求AB BC ⋅；（2）已知向量(3,1)AB =，(1,)AC a =-，a R ∈.若△ABC 为直角三角形，求a 的值.【答案】（1）9-；（2）3a =或13【分析】（1）建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，进行求解；（2）分三种情况进行求解，利用垂直关系下数量积为0列出方程，求出a 的值.【详解】（1）以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，根据勾股定理得：3BC ==，所以()3,0B ，()0,4A ，所以()()3,43,09AB BC ⋅=-⋅-=-（2）()(1,)(3,1)4,1BC AB AC a a =-=--=--， ①π2A ∠=，此时(3,1)(1,)30AC a a AB ⋅=⋅-=-+=，解得：3a =； ②π2B ∠=，此时()(3,1)4,11210AB B a a C ⋅=⋅--=-+-=，解得：13a =； ③π2C ∠=，此时()2(1,)4,140AC a a BC a a ⋅=-⋅--=+-=，因为∆<0，无解； 综上：3a =或133．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin sin sin sin a A b B c C a B +=+. （1）求角C ；（2）若ABC 2c =，求ABC 的周长.【答案】（1）3π （2）6【分析】（1）、根据正弦定理和余弦定理求解即可；（2）、利用面积公式求出ab 的值，化简求出a b +的值，从而求出ABC 的周长. （1）sin sin sin sin a A b B c C a B +=+, sin ,sin ,sin ,222a b c A B C R R R===试卷第3页，共71页222a b c ab ∴+-=,2221cos 222a b c ab C ab ab +-∴===, 又0C π<<，3C π∴=. （2）由（1）可知3C π=.1sin 2ABC S ab C ==4ab ∴=, 222a b c ab +-=,2c =,228a b ∴+=,()222216a b a b ab ∴+=++=,4a b ∴+=，6a b c ∴++=. ABC ∴的周长为6.4．在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A 14=，若a =4，b +c =6，且b <c ，求b ，c 的值.【答案】2,4b c ==【分析】利用余弦定理即可求出.【详解】由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 即()22215516236422b c bc b c bc bc =+-⨯=+-=-，则8bc =， 因为b c <，则可解得2,4b c ==.5．如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点B ､C ､D 的坐标分别是（-1，3）､（3，4）､（2，2），（1）求向量BC ；（2）求顶点A 的坐标.【答案】（1）()4,1BC =（2）()2,1-【分析】（1）由点B ､C 的坐标即可求解BC 的坐标；（2）设顶点A 的坐标为(),x y ，由四边形ABCD 为平行四边形，有BC AD =，从而即可求解.（1）解：因为点B ､C 的坐标分别是（-1，3）､（3，4），所以()()()3,41,34,1BC =--=；（2）解：设顶点A 的坐标为(),x y ，因为四边形ABCD 为平行四边形，D 的坐标是（2，2），所以BC AD =，即()()4,12,2x y =--，所以2421x y -=⎧⎨-=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩， 所以顶点A 的坐标为()2,1-.6．已知||1a =，||2b =，a b 与的夹角是60°，计算（1）计算a b ⋅，||a b +；（2）求a b +和a 的夹角的余弦值.【答案】（1）1a b ⋅=，||7a b +=（2 【分析】 （1）利用数量积的定义可求出a b ⋅，先求出2||a b +，即可得出||a b +； （2）先求出()a b a +⋅，根据向量夹角关系即可求出. （1） 由题可得1cos601212a b a b ⋅=⋅⋅︒=⨯⨯=， 222||212147a b a a b b +=+⋅+=+⨯+=，所以||7a b +=；试卷第5页，共71页（2）()2112a b a a a b +⋅=+⋅=+=， 设a b +和a 的夹角为θ，所以()2cos 71a b a a b a θ+⋅==⨯+⋅7．如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边为a，b ，c ，已知a =6，A =60°，B =75°.（1）求角C ；（2）求边c .【答案】（1）C =45°（2）c =【分析】（1）根据三角形三个内角和等于180°即可求解；（2）结合已知条件，根据正弦定理即可求解.（1）解：在△ABC 中，因为A =60°，B =75°，所以角180180607545C A B =--=--=； （2）解：在△ABC 中，因为a =6，A =60°，又由（1）知C =45°，所以由正弦定理有sin sin a c A C ==c = 8．已知向量3a =，2b =，a 与b 的夹角为3π.（1）求a b +；（2）求()()23a b a b +⋅-.【答案】（1【分析】（1）由cos 33a b a b π⋅=⋅=，结合222?a b a ab b +=++，即可求解；（2）由()()22236a b a b a a b b +⋅-=-⋅-，即可求解. （1） 解：由题意，向量3a =，2b =，a 与b 的夹角为3π， 可得1cos 32332a b a b π⋅=⋅=⨯⨯=，又由2222?32a b a ab b +=++=+⨯ （2）解：因为向量3a =，2b =，且3a b ⋅=，所以()()222236336418a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=--⨯=-.9．一艘海轮从A 出发，沿北偏东70︒的方向航行1)n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东10︒的方向航行2n mile 到达海岛C ．（1）求AC 的长；（2）如果下次航行直接从A 出发到达C ，应沿什么方向航行？ 【答案】（1）AC =（2）沿北偏东25︒的方向航方向航行.【分析】（1）根据示意图，确定好题目中给出的长度和角度；选用余弦定理求解AC 的长度，试卷第7页，共71页（2）利用求出的AC 的长度以及相关条件，选用正弦定理完成CAB ∠的求解，进而得答案.（1）解：由题意知，在ABC 中，1807010120ABC ∠=︒-︒+︒=︒，1=AB ，2BC =，根据余弦定理，得))22222cos 14216AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠=++=，所以AC =．（2） 解：根据正弦定理可得sin sin AC BC ABC CAB=∠∠，即2sin 2s in BC A B BC CA AC∠====∠ 又,(0,180)BC AC CAB <∈∠，所以45CAB ∠=︒．所以应沿北偏东25︒n mile 即可到达C 处. 10．已知海岛A 四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A 在北偏东75°，航行见此岛在北偏东30︒，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？【答案】无触礁危险，理由见解析.【分析】根据题意，作出示意图，利用正弦定理，求得AD ，与8进行比较，即可判断.【详解】如图所示，在△ABC 中，依题意得BC =，907515ABC ∠=︒︒=︒－，6045BAC ABC ∠=︒∠=︒－. 由正弦定理，得sin15AC ︒＝sin 45BC ︒， 所以AC10（海里）故A到航线的距离为sin6010=︒==.AD AC因为8>，所以货轮无触礁危险．11．如图，设点O是正六边形ABCDEF的中心，请完成以下问题．（1）分别写出与OA、OB、OC相等的向量；（2）分别写出与OD、OE、OF共线的向量；（3）分别写出OD与OB，OD与OE的夹角；（4）分别写出OD与AB，OD与FA的夹角．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析.【分析】（1）根据正六边形的性质以及相等向量的概念可得结果；（2）根据正六边形的性质以及共线向量的概念可得结果；（3）根据正六边形的性质以及向量夹角的概念可得结果.（4）根据正六边形的性质以及向量夹角的概念可得结果.（1）解：由正六边形的性质可知，与OA相等的向量有：DO、试卷第9页，共71页 EF、CB ，与OB 相等的向量有：EO 、FA 、DC ，与OC 相等的向量有：FO 、AB 、ED .（2） 解：与OD 共线的向量有：DO 、AO 、OA 、AD 、DA 、EF、FE 、BC 、CB ， 与OB 共线的向量有BO 、EO 、OE 、CD 、DC 、BE 、EB 、FA 、AF ， 与OF 共线的向量有：FO 、OC 、CO 、CF 、FC 、ED 、DE 、AB 、BA . （3）解：OD 与OB 的夹角120，OD 与OE 的夹角60. （4）解：OD 与AB 的夹角为60，OD 与FA 的夹角120.12．已知|a |5=，|b |4=，（1）若a 与b 的夹角为120.θ=︒①求a ⋅b ；②求a 在b 上的投影向量．（2）若a //b ，求a ⋅b .【答案】（1）①10-；②58-b （2）答案见解析【分析】（1）根据数量积、投影向量的知识求得正确答案. （2）根据a ，b 的夹角进行分类讨论，由此求得a ⋅b . （1） ①cos12010a b a b ⋅=⋅⋅︒=-.②a 在b 上的投影向量为15cos1205248b b a b⎛⎫⋅︒⋅=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭b . （2）a //b ， ∴a 与b 的夹角为0θ=︒或180.θ=︒ 当0θ=︒时，cos020a b a b ⋅=⋅⋅︒=. 当180θ=︒时，cos18020a b a b ⋅=⋅⋅︒=-. 13．如图，O 为ABC 内一点，OA =a ，OB =b ，OC =c .求作：（1）b +c -a ；（2）a -b -c .【答案】 （1）答案见解析（2）答案见解析【分析】（1）根据向量加法、减法的几何意义画出图象. （2）根据向量加法、减法的几何意义画出图象. （1）试卷第11页，共71页设D 是BC 的中点，连接OD 并延长，使OD DE =. b +c -a OE OA AE =-=.（2）a -b -c =a -△b +c △OA OE EA =-=.14．已知向量a ，b ，c ，d 分别表示下列位移：“向北10km ”△“向南5km ”△“向西10km ”△“向东5km ”．请说明向量a b +，b b +，a c +，a b b ++，a d d ++的意义． 【答案】答案见解析 【分析】根据a ，b ，c ，d 的意义对a b +，b b +，a c +，a b b ++，a d d ++的意义进行说明. 【详解】向量a b +表示“向北5km”； 向量b b +表示“向南10km”；向量a c +表示“”； 向量2a b b a b ++=+，表示没有位移；向量2a d d a d ++=+，表示“”．15．已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其外接圆半径R 满足2222cos .R ac B a c +=+（1）求B 的大小； （2）若2b =，512C π=，求ABC 的面积． 【答案】 （1）6π（2）2+【分析】（1）由余弦定理和已知条件化简可得R b =，再根据正弦定理，即可求出结果． （2）由三角形内角和可知A C =，进而可得a c =，由余弦定理即可求出2a ，再根据211sin sin 22ABCSac B a B ==，即可求出结果. （1）解：2222cos R ac B a c +=+，22222cos R a c ac B b ∴=+-=， 2sin bR b B ∴==，1sin 2B ∴=， 又B 为锐角，.6B π∴= （2） 解：6B π=，512C π=， 55()61212A ππππ∴=-+=，a c ∴=，又2b =,由余弦定理，得(22222cos 2b a c ac B a =+-=，24(2a ∴=，211sin sin 222ABCSac B a B ∴===16．在)1cos cos 2A A A ⋅-=；②cos cos 2A aC b c=-两个条件中任选一个填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，________，4b c +=，求a 的最小值．试卷第13页，共71页【答案】选择①或②a 的最小值为2. 【分析】选择①利用二倍角公式以及辅助角公式化简即可求得角A ，再由余弦定理以及基本等式即可求a 的最小值；选择②由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式化简可得cos A 的值进而可得角A ，再由余弦定理以及基本等式即可求a 的最小值. 【详解】选择①：)1cos cos 2A A A ⋅-=可得：2sin 2cos 1A A A -=，1cos 22212AA +-⨯=，2cos22A A -=，所以π2sin 226A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ112,π666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ262A -=，π3A =，在ABC 中，由余弦定理可得：()()()222222212cos 3342b c b c a b c bc A bc b c b c +⎛⎫=+-≥+-⨯+ ⎪⎝⎭=+-=，当且仅当b=c等号成立即()22144a b c +=≥，所以2a ≥，所以a 的最小值为2， 选择②：cos cos 2A aC b c=-， 由正弦定理化边为角可得：sin cos cos 2sin sin A C B CA=-，所以2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=，即()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =+=+=， 因为sin 0B ≠，所以2cos 1A =，1cos 2A =， 因为()0,πA ∈，所以π3A =， 在ABC 中，由余弦定理可得：()()()222222212cos 3342b c b c a b c bc A bc b c b c +⎛⎫=+-≥+-⨯+ ⎪⎝⎭=+-=即()22144a b c +=≥，所以2a ≥，所以a 的最小值为2. 17．在△3A π=，a =b =△1a =，b =6A π=；△a =b =3B π=这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并加以解答.问题：在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知___________，解三角形.【答案】答案见解析 【分析】选择条件△：利用正弦定理求出B ，即可得出C ，再利用正弦定理即可求出c ；选择条件△：利用正弦定理求出B ，即可求出C 和c ；选择条件△：利用正弦定理求出A ，即可求出C 和c . 【详解】 选择条件△： 因为3A π=，a =b =由正弦定理得sin sin a b A B==所以sin B 4B π=或34B π=（舍去），所以53412C ππππ=--=，因为5sinsin sin cos cos sin 126464644πππππππ+⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，由正弦定理可得2sin sin c aC A===，则c =. 选择条件△：因为1a =，b =6A π=，由正弦定理得sin sin a b A B=，即112=所以sin B =，解得3B π=或23B π=，符合题意，当3B π=时，632C ππππ=--=，则2c =，当23B π=时，2636C ππππ=--=，则1c a ==； 选择条件△：因为a =b =3B π=，试卷第15页，共71页由正弦定理得sin sin a bA B =，即sin 2A = 则sin 1A =，所以2A π=，所以236C ππππ=--=，c =18．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b ccos sin C c B =. （1）求角C ；（2）若2b =，ABC的面积为c . 【答案】 （1）3C π=（2）c =【分析】（1）cos sin sin B C C B =，进而得tan C =在求解即可得答案；（2）由面积公式得8ab =，进而根据题意得2b =，4a =，再根据余弦定理求解即可. （1）cos sin C c B =，cos sin sin B C C B =， 因为()0,,sin 0B B π∈≠，sin C C =，即tan C = 因为()0,C π∈，所以3C π=.（2）解：因为ABC的面积为3C π=，所以1sin 2S ab C ===8ab =， 因为2b =，所以4a =，所以2222201cos 2162a b c c C ab +--===，解得c =所以c =19．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =． （1）若||25b =，且//a b ，求b 的坐标；（2）若10c =，且2a c +与43a c -垂直，求a 与c 的夹角θ. 【答案】（1）()2,4b =或()2,4b =--. （2）π4θ=. 【分析】（1）设(),b x y =，根据两向量平行的坐标关系以及向量的模的计算建立方程组，求解即可；（2）由向量垂直的条件以及向量夹角的计算公式可求得答案. （1）解：设(),b x y =，因为//a b ，所以2y x =．①又25b =，所以2220x y +=．②，由①②联立，解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩，所以()2,4b =或()2,4b =--． （2）解：由()()243a c a c +⊥-，得()()222438320a c a c a c a c ⋅+-=--⋅=，又||5,||10a c ==，解得5a c ⋅=，所以5cos [0,π]||||5a c a c θθ⋅==∈⨯， 所以a 与c 的夹角π4θ=.20．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin 0a C C b c +--=. （1）求A ；（2）若a =2，ABC b ，c 的值. 【答案】 （1）3A π=（2）2b c == 【分析】试卷第17页，共71页（1）先利用正弦定理将边变成角，然后利用()sin sin B A C =+以及两角和的正弦公式代入计算即可；（2）先利用面积公式求出bc ，再利用余弦定理求出22b c +，然后解方程组即可. （1）由cos sin 0a C C b c +--=及正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=.因为()()sin sin sin sin cos cos sin B A C A C A C A C π=--=+=+，sin cos sin sin 0A C A C C --=. 由于sin 0C ≠，cos 10A A --= 所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0A π<<，故3A π=.（2）由题得ABC的面积1sin 2S bc A ==4bc =①.而222a b c =+-2cos bc A ，且2a =，故228b c +=②， 由①②得2b c ==.21．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，cab=．（1）求角B ；（2）若c b ==，ABC 的周长l ． 【答案】 （1）6B π=（2）3 【分析】 (1)ab=cos B B =，由此可求角B ；(2)由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，解方程求a c ，，由此可得ABC 的周长l ． （1）ab=sin sin cos B A A B =．在ABC 中，sin 0A ≠cos B B =，所以tan B =． 又0B π<<，所以6B π=．（2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2232cos6a c ac π=+-，即223a c +=，又c =，解得3a c ==．故ABC 的周长33l a b c =++==22．在ABC 中，点P 是AB 上一点，且23CP CA =+13CB ，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，且CM =tCP ，求t 的值．【答案】34【分析】由2133CP CA CB =+，化简为2AP PB =，得到点P 是AB 的一个三等分点（靠近A 点），再根据A ，M ，Q 三点共线，设AM AQ λ=，然后用,AB AC 分别表示向量,CM CP ，再根据CM =tCP 求解. 【详解】 如图所示：因为2133CP CA CB =+，所以32CP CA CB =+， 所以()2CP CA CB CP -=-， 即2AP PB =，所以点P 是AB 的一个三等分点（靠近A 点）， 又因为A ，M ，Q 三点共线，且Q 为BC 的中点，试卷第19页，共71页设AM AQ λ=，则CM AM AC AQ AC λ=-=-()2222AB AC AC AB AC λλλ-=+-=+， 13CP AP AC AB AC =-=-， 因为CM =tCP ， 所以21223AB AC t AB AC λλ-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则2322t tλλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得1234t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以t 的值是34.23．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，csin cos C c B +=，且23C π=． （1）求A 的大小；（2）若ABC的周长为8+AC 边上中线BD 的长度． 【答案】 （1）6A π=（2）【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再由角的范围可求得答案；（2）设BC AC x ==，根据三角形的周长可求得4x =，再在BCD △中，运用余弦定理，可求得中线的长. （1）sin cos C c B +，sin sin cos B C C B C +=， 因为()0,,sin 0C C π∈≠，cos B B +=sin 6B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为23C π=，所以0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,662B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以63B ππ+=，即6B π=，所以6A π=（2）解：由（1）得ABC 为等腰三角形，设BC AC x ==，故2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅，代入数据解得：=AB ，因为ABC 的周长为8+28x =+4x =，所以4,BC AC AB ===122DC AC ==, 在BCD △中，23BCD π∠=，所以222cos 2BC CD BD BCD BC CD+-∠=⋅，即2221422242BD ，解得BD =所以AC 边上中线BD 的长度为24．如图，某住宅小区的平面图是圆心角为120°的扇形AOB ．//CD BO ，某人从C 沿CD 走到D 用了10min ，从D 沿DA 走到A 用了6min ．若此人步行的速度为每分钟50m ，求该扇形的半径OA 的长．（精确到1m ）【答案】445m 【分析】设OA r =，连接OC ，在OCD 中利用余弦定理列方程求解即得. 【详解】设扇形半径OA r =m ，连接OC ，如图，依题意，300DA =m ，500CD =m ，在OCD 中，(300)OD r =-m ，60CDO ∠=， 由余弦定理得：2222cos OC OD CD OD CD CDO =+-⋅∠，即试卷第21页，共71页222(300)5002(300)500cos 60r r r =-+--⨯⨯，化简整理得：49000011000r -=，解得：490044511r =≈(m)， 所以该扇形的半径OA 的长约为445m.25．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m min .在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m min ，山路AC 长为1260m ，经测量，12cos 13A =，3cos 5C =.（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【答案】 （1）1040m （2）35min 37（3）1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）先求得sin B ，然后由正弦定理求得AB .（2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，利用余弦定理列方程，结合二次函数的性质求得d 的最小值.（3）根据“两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min”列不等式，由此求得乙步行的速度的范围. （1） 由题意5sin 13A =，4sin 5C =，在ABC 中，()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=， 由正弦定理sin sin AB ACC B=，得1040m AB =.所以，索道AB 的长为1040m. （2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ， 此时甲行走了()1005t +，乙距离A 处130t ，由余弦定理得()()()222121005013021301005013d t t t t =++-⨯⨯+ ()2200377050t t =-+，因为10400130t ≤≤，即08t ≤≤， 则当35min 37t =时，甲、乙两游客之间距离最短. （3）由正弦定理sin sin BC ACA B=，得sin 500m sin AC BC AB ==， 乙从B 出发时，甲已走了()50281550m ++=，还需要走710m 才能到达C ， 设乙步行的速度为m min v ， 由题意得500710125062533504314v v -≤-≤⇒≤≤， 所以为了使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ， 乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦（单位：m min ）范围之内. 26．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，3B π=，3a =.（1）若4A π=，求b .（2）若______，求c 的值及ABC 的面积.请从①b =sin 2sin C A =，这两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并作答. 【答案】（1；（2）选14ABCc S ==：， 26ABCc S==：，【分析】(1)根据正弦定理计算即可得出结果；(2)利用余弦定理或正弦定理求出c 的值，再结合三角形的面积公式计算即可. （1）试卷第23页，共71页334B a A ππ===，，，由正弦定理，得sin sin b aB A=，所以sin sin a b B A =⨯== （2）选①：由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即21139232c c =+-⨯⨯，整理，得2340c c --=，由c >0，得c =4，所以11sin 3422ABCSac B ==⨯⨯= 选②：因为sin 2sin C A =，由正弦定理，得c =2a ， 所以c =6，所以11sin 6322ABCSac B ==⨯⨯=27．已知向量a 与b 的夹角为θ，5a =，4b =，分别求在下列条件下的a b ⋅： （1）120θ；（2）//a b ； （3）a b ⊥． 【答案】 （1）10- （2）20或20- （3）0 【分析】（1）根据=cos a b a b θ⋅⋅，代入数值，即可求出结果；（2）因为//a b ，所以0θ=︒或180︒，再根据=cos a b a b θ⋅⋅即可求出结果； （3）因为a b ⊥，所以90θ=︒，再根据=cos a b a b θ⋅⋅即可求出结果. （1）解：因为5a =，4b =，120θ，所以1=cos 54102a b a b θ⎛⎫⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭；（2）解：因为//a b ，所以0θ=︒或180︒， 当0θ=︒时，=cos054120a b a b ⋅⋅︒=⨯⨯=；当180θ=︒时，()=cos18054120a b a b ⋅⋅︒=⨯⨯-=-； 所以a b ⋅的值为20或20-.（3）解：因为a b ⊥，所以90θ=︒， 所以=cos905400a b a b ⋅⋅︒=⨯⨯=.28．已知()3,1a =-，()1,2b =-，求a b ⋅，a ，b ，,a b <>． 【答案】5a b ⋅=，10a =，5b =，,4a b π<>=.【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】由题意可知：()()()()3,11,231125a b ⋅=-⋅-=⨯+-⨯-=， (23a a a =⋅=+=(21b b b =⋅=+=又因为2c 1os 0,5a b a b a b=<>=⨯⋅=0,a b π≤<>≤，所以,4a b π<>=. 29．已知O 为坐标原点，()3,1OA =，()1,2OB =-，OC 与OB 垂直，BC 与OA 平行，求点C 的坐标． 【答案】()14,7. 【分析】设(),C x y ，根据OC 与OB 垂直，BC 与OA 平行，列出方程组，解之即可得出答案. 【详解】解：设(),C x y ，则()(),,1,2OC x y BC OC OB x y ==-=+-， 因为OC 与OB 垂直，BC 与OA 平行，所以()201320x y x y -+=⎧⎨+--=⎩，解得147x y =⎧⎨=⎩，所以点C 的坐标为()14,7.30．已知()110e ,=，()20,1e ，一动点P 从()012P -,开始，沿着与向量12e e +相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为12m /s e e +.另一动点Q 从()02,1Q --开始，沿着与向量1232e e +相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为1232m /s e e +，设P ，Q 在0s t =时分别在0P ，0Q 处，问当00PQ PQ ⊥时，所需的时间t 为多少？试卷第25页，共71页【答案】2s 【分析】根据题意，结合向量减法，同向的单位向量，以及数量积的坐标公式，即可求解. 【详解】根据题意，易知()120121212e e OP OP t e e t e e e e +-=+⋅=++，()12012121233323232e e OQ OQ t e e t e e e e +-=+⋅=++，两式相减得，()00122PQ P Q t e e -=+，由()001,3PQ =--，()110e ,=，()20,1e =，得()()0012212,3PQ P Q t e e t t =++=-+-+， 因为00PQ PQ ⊥，所以()()00112330PQ PQ t t ⋅=-⨯-+-⨯-+=，解得2s =t . 故当00PQ PQ ⊥时，所需的时间t 为2s .31．两个力1F i j =+，245F i j =-作用于同一质点，使该质点从点()20,15A 移动到点()7,0B （其中i 、j 分别是x 轴正方向、y 轴正方向上的单位向量，力的单位：N ，位移的单位：m ）.求：（1）1F ，2F 分别对该质点做的功； （2）1F ，2F 的合力F 对该质点做的功. 【答案】（1）1F 对该质点做的功为28-（N m ⋅），2F 对该质点做的功23（N m ⋅）； （2）5-（N m ⋅）. 【分析】（1）根据题意，求出位移AB ，结合功的计算公式，即可求解； （2）根据题意，求出合力F ，结合功的计算公式，即可求解. （1）根据题意，()11,1F i j =+=，()2454,5F i j =-=-，()13,15AB =--， 故1F 对该质点做的功11131528W F AB =⋅=--=-（N m ⋅）；2F 对该质点做的功()2213415523W F AB =⋅=-⨯-⨯-=（N m ⋅）. （2）根据题意，1F ，2F 的合力()125,4F F F =+=-，故1F ，2F 的合力F 对该质点做的功()()5134155W F AB =⋅=⨯--⨯-=-（N m ⋅）. 32．如图所示，一个物体受到同一平面内三个力1F ，2F ，3F 的作用，沿北偏东45的方向移动了8m ，其中12N F =，方向为北偏东30 ；24N F =，方向为北偏东60；36N F =，方向为北偏西30，求合力F 所做的功.【答案】 【分析】如图建立平面直角坐标系，求出1F ，2F ，3F 以及位移s 的坐标，进而可得合力123F F F F =++的坐标，再由向量数量积的坐标运算计算W F s =⋅即可求解.【详解】如图建立平面直角坐标系，由题意可得(11,F =，()223,2F =，(3F =-，位移(42,s =，所以(12322,2F F F F =++=+，所以合力F 所做的功为()(2322W F s =⋅=⨯+⨯=，33．在ABC 中，已知4cos 5A =，65a =.试卷第27页，共71页（1）当3B π=时，求b 的值；（2）设02B x x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，求函数22xy b =+的值域．【答案】 （1（2）(24++ 【分析】（1）利用正弦定理即可求解.（2）利用正弦公式以及辅助角公式可得4sin 3y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭再由正弦函数的性质即可求解. （1） 4cos 5A =，0A π<<，所以3sin 5A =， 当3B π=时，由正弦定理sin sin a bA B=， 可得65sin sin b A B =，解得b =（2）由正弦定理可得65sin 2sin sin b B xA=⋅=，所以22x y b =+)2sin 1cos x x =++2sin x x =+++4sin 3x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为02x π<<，所以3365x πππ<+<， 所以1sin 123x π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以24sin 43x π⎛⎫+<+++ ⎪⎝⎭所以函数22xy b =+的值域为(24++. 34．在ABC 中，AB a =，BC b =，当0a b ⋅≥时，判断ABC 的形状． 【答案】直角三角形或钝角三角形.【分析】根据向量数量积的定义可得0,2a b π<≤，即有2ABC π∠=或2ABC ππ<∠<，由此可得答案. 【详解】解：因为在ABC 中，AB a =，BC b =， 0a b ⋅≥，所以cos ,0a b a b ⋅⋅≥，即cos ,0a b ≥，又[],0a b π∈，，所以0,2a b π<≤，即02ABC ππ<-∠≤，所以2ABC π∠=或2ABC ππ<∠<，所以ABC 是直角三角形或钝角三角形.35．在等腰三角形ABC 中，2AB AC ==，30ABC ∠=︒，D 为BC 的中点． （1）求BA 在CD 上的投影向量； （2）求CD 在BA 上的投影向量． 【答案】（1）DC （或BD ） （2）34BA -【分析】（1）先求出BA 在CD 上的投影，然后乘以与CD 同向的单位向量即得； （2）先求出CD 在BA 上的投影，然后乘以与BA 同向的单位向量即得． （1）如图，2AB AC ==，30ABC ∠=︒，D 为BC 的中点．则AD BC ⊥，1AD =，AD CD ==所以,150BA CD <>=︒，23BA CD ⋅=︒=-，BA 在CD 上的投影为BA CD CD⋅-==BA 在CD 上的投影向量为CDCD DC CD=-=BD =；试卷第29页，共71页（2）CD 在BA 上的投影为3322BA CD BA⋅-==-， CD 在BA 上的投影向量为3324BA BA BA -⨯=-． 36．如图，已知OA a =，OB b =，OC c =，OD d =，OF f =，试用a ，b ，c ，d ，f 表示以下向量：（1）AC ； （2）AD ； （3）AD AB -； （4）AB CF +； （5）BF BD -． 【答案】 （1）c a →→- （2）d a →→- （3）d b →→- （4）b a f c →→→→-+- （5）f d→→- 【分析】由向量减法法则依次计算即可得出各小问的结果. （1）AC OC OA c a →→→→=-=-.（2）AD OD OA d a →→→→=-=-.（3）AD AB BD OD OB d b →→→→→-==-=-.（4）AB CF OB OA OF OC b a f c →→→→→→→→+=-+-=-+-.（5）BF BD DF OF OD f d →→→→→-==-=-.37．已知a b ⊥，且2=a ，1b =，若有两个不同时为零的实数k ，t ，使得()3a b t +-与ka tb -+垂直，试求k 的最小值．【答案】916- 【分析】由a b ⊥得0a b ⋅=，再由()3a b t +-与ka tb -+垂直，转化得234t tk -=，结合二次函数性质可求k 的最小值． 【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，又()3a b t +-与ka tb -+垂直，所以()()30a b ka tb t ⎡⎤+-⋅=⎣⎦-+，即()()22330ka t t b t k t a b ⎡⎤-+-+--⋅=⎣⎦，又2=a ，1b =，所以()430k t t -+-=，234t tk -=，当32t =时，k 取到最小值916-. 38．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，且1AB AD ==，0OA OC OB OD +=+=，1cos 2DAB ∠=.求DC BC +与CD BC +． 【答案】3DC BC +=1CD BC += 【分析】首先根据已知条件得到四边形ABCD 为菱形，且3DAB π∠=，根据DC BC AC +=，CD BC BD +=，再求其模长即可.【详解】试卷第31页，共71页因为0OA OC OB OD +=+=，所以OA OC =-，OB OD =-，即四边形ABCD 为平行四边形. 又因为1AB AD ==，则四边形ABCD 为菱形，如图所示：1cos 2DAB ∠=，0DAB π<∠<，所以3DAB π∠=. 23DC BC AD DC AC AO +=+===. 1CD BC CD CB BD +=-==. 39．是否存在a ，b ，使a b a b +==？请画出图形说明．【答案】存在，图形见解析【分析】根据平面向量数量积的运算律及向量夹角的计算公式求出a 与b 的夹角，即可得解； 【详解】 解：因为a b a b +==，所以22a b a +=，即2222a a b b a +⋅+=，即2222a a b b a +⋅+=，即212a b a ⋅=-，设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2a b a b θ⋅==-⋅，因为[]0,θπ∈，所以23πθ=，即当a 与b 的夹角为23π且a 与b 的模相等时，满足a bab +==， 图形如下所示：40．如图，已知向量a ，b ，c 不共线，作向量a +b +c ．【答案】答案见详解.【分析】利用向量加法的三角形法则即可求解.【详解】由向量加法的三角形法则， a +b +c 如图，41．如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a b c --．【答案】见解析【分析】利用向量减法的三角形法则即可求解.【详解】由向量减法的三角形法则，令,a OA b OB →→→==,则a b OA OB BA →→→→→-=-=,令c BC →→=,所以a b c BA BC CA →→→--=-=.如下图中CA →即为a b c --.试卷第33页，共71页42．如图，已知边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角，求AC 和BD 的坐标.【答案】3(2AC=，(BD -= 【分析】 依题意B ，D 分别是30，120︒角的终边与单位圆的交点，设()11,B x y ，()22,D x y ．由三角函数的定义，求出B 、D 的坐标，再根据向量的坐标表示和向量的加减运算可得.【详解】解：由题知B ，D 分别是30，120︒角的终边与单位圆的交点．设()11,B x y ，()22,D x y ．由三角函数的定义， 得1cos30x ︒==，11sin 302y ︒==，△12B ⎫⎪⎝⎭． 21cos1202x ︒==-，2sin120y ︒==△12D ⎛- ⎝⎭． ()0,0A △3122AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12AD ⎛=- ⎝⎭． ∴3(2AC AB AD=+=，(BD AD AB -=-=43．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量()6,1AB →=，(),BC x y →=，()2,3CD →=--，且BC AD →→∥．（1）求x 与y 间的关系；（2）若AC BD →→⊥，求x 与y 的值及四边形ABCD 的面积． 【答案】（1）20x y +=（2）2,1,x y =⎧⎨=-⎩或6,3.x y =-⎧⎨=⎩四边形ABCD 的面积为16 【分析】（1）由已知，利用平面向量坐标运算分别表示出AD →，BC →的坐标，利用平行关系即可得到x 与y 间的关系.（2）由（1）得到x 与y 间的关系以及利用AC BD →→⊥数量积为0，通过联立方程分别解出,x y ，并确定AC →，BD →坐标.最后，由四边形对角线垂直，可直接由对角线长度乘积的一半求出四边形面积.（1）由题意得()4,2AD AB BC CD x y →→→→=++=+-，(),BC x y →=，因为BC AD →→∥，所以()()420x y y x +--=，即20x y +=……① （2）由题意得()6,1AC AB BC x y →→→=+=++，()2,3BD BC CD x y →→→=+=--， 因为AC BD →→⊥，所以0AC BD →→⋅=，即()()()()62130x x y y +-++-=， 整理得2242150x y x y ++--=……②联立①②2242150{20x y x y x y ++--=+=,解得2,1,x y =⎧⎨=-⎩或6,3.x y =-⎧⎨=⎩. 记四边形ABCD 面积为S当2,1,x y =⎧⎨=-⎩时，()8,0AC →=，()0,4BD →=-，则1162S AC BD →→==， 当6,3x y =-⎧⎨=⎩时，()0,4AC →=，()8,0BD →=-，则1162S AC BD →→==试卷第35页，共71页 综上2,1,x y =⎧⎨=-⎩或6,3.x y =-⎧⎨=⎩四边形ABCD 的面积为16 44．已知向量()8,4a →=-，(),1b x →=.△a →，b →共线，△a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭. （1）若______，请从以上两个条件中任选一个，求x 的值；（2）当2x =时，求a →与b →夹角θ的余弦值.【答案】（1）选择△，2x =-；选择△，212x =； （2）35. 【分析】（1）选择△，根据,a b →→共线即可得出840x +=，解出x 即可；选择△，先求出(8,5)a b x →→-=--，根据a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭即可得出()0a b a →→→-=，然后进行数量积的坐标运算即可求出x 的值； （2）2x =时，可得出向量b →的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cos θ． （1）解：如果选择△，,a b →→共线，840x ∴+=，解得2x =-；如果选择△，(8,5)a b x →→-=--，且a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭， ∴()8(8)200a b a x →→→-=-+=，解得212x =. （2）解：当2x =时，(2,1)b →=，∴12a b →→=，|||a b →→= ∴123cos 545||||a ba b θ→→→→==． 45．已知O 为坐标原点，()2,5OA →=，()3,1OB →=，()6,3OC →=，则在线段OC 上是否存在点M ，使得MA MB →→⊥若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】()2,1M 或2211,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】假设存在点M ，且()()6,301OM OC λλλλ→→==<≤,求出,MA MB →→的坐标,根据平面向量互相垂直时,它们的数量积为零,得到方程,解方程求出λ,最后求出点M 坐标.【详解】解：设存在点M ，且()()6,301OM OC λλλλ→→==<≤()26,53MA λλ→=--，()36,13MB λλ→=--, 因为MA MB →→⊥,所以0MA MB →→⋅=,有()()()()2126365313045481103λλλλλλλ--+--=⇒-+=⇒=或1115λ= ()2,1OM →∴=或2211,55⎛⎫ ⎪⎝⎭∴存在()2,1M 或2211,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题意. 46．已知a 、b 、c 为同一平面内的三个向量，其中()1,2a =（1）若()2,c k =-，且c a ∥，求c ；（2）若()1,b m =，且a 与b 垂直，求b .【答案】（1）()2,4c =--（2）11,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可；（2）由a 与b 垂直，可得0a b ⋅=，根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可； （1）解：∵()2,c k =-，()1,2a =且//c a ，∴()2210k -⨯-⨯=，∴4k =-，∴()2,4c =--.（2）解：由a 与b 垂直，得0a b ⋅=，即1120m ⨯+⨯= ∴12m =-. 47．如图，在射线,,OA OB OC 中，相邻两条射线所成的角都是120，且线段OA OB OC ==.设OP xOA yOB =+.试卷第37页，共71页（1）当2,1x y ==时，在图1中作出点P 的位置（保留作图的痕迹）； （2）请用,x y 写出“点P 在射线OC 上”的一个充要条件：___________； （3）设满足“24x y +=且0xy ≥”的点P 所构成的图形为G ， ①图形G 是___________；A△线段 B△射线 C△直线 D△圆②在图2中作出图形G .【答案】（1）答案见解析（2）x y =且0,0x y ≤≤（3）① A ；②答案见解析【分析】（1）根据向量的加法的几何意义作出点P 的位置；（2）根据向量的线性运算的几何意义确定“点P 在射线OC 上”的一个充要条件； （3）根据向量共线定理的推论确定P 的轨迹形状，并画图.（1）图中点P 即为所求.（2）根据向量线性运算的几何表示可得x y =且0,0x y ≤≤；（3）①因为OP xOA yOB =+，24x y +=且0xy ≥， 所以4242x y OP OA OB =⋅+⋅，其中142x y +=， 设4OD OA =，2OE OB =，则42x y OP OD OE =+，142x y +=,又0xy ≥ 所以点P 所构成的图形为线段DE故选：A ；②图中线段DE 即为所求.48．已知5a =，4b =， a 与b 的夹角为60，问：当k 为何值时，()()2ka b a b -⊥+？【答案】1415. 【分析】根据数量积的定义可得a b ⋅的值，再利用数量积的定义和性质计算()()20ka b a b -⋅+=即可求解.【详解】 因为5a =，4b =， a 与b 的夹角为60， 所以1cos6054102a b a b ⋅=⋅⋅=⨯⨯=， 若()()2ka b a b -⊥+，则()()20ka b a b -⋅+=，即()222120ka k a b b +-⋅-=，所以()222120k a k a b b +-⋅-=， 所以()2521102160k k +-⨯-⨯=，可得：1415k =.试卷第39页，共71页49．已知()cos ,sin a αα=，()1,2b =，()0,απ∈．（1）若a b ∥，求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值； （2）若a b ⊥，且3sin 5β=，()0,βπ∈，求sin()αβ+的值． 【答案】（1）1（2）详见解析【分析】（1）由题得tan 2α=，再利用二倍角公式及同角关系式可得2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--22tan tan tan 2ααα=+-，即求； （2）由题可得cos 2sin 0αα+=，再利用同角关系式及两角和公式即求. （1）∵()cos ,sin a αα=，()1,2b =，()0,απ∈，a b ∥，∴2cos sin 0αα-=，即tan 2α=， ∴222sin 22sin cos sin sin cos cos 21sin sin cos 2cos ααααααααααα=+--+- 22tan tan tan 2ααα=+- 2221222⨯==+-. （2）∵()cos ,sin a αα=，()1,2b =，，a b ⊥∴cos 2sin 0αα+=，()0,απ∈，∴25sin 1,sin 0αα=>，∴sin αα== 又3sin 5β=，()0,βπ∈， ∴4cos 5β=±， 当4cos 5β=时，sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+4355== 当4cos 5β=-时，sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+4355==. 50．已知||2,||1a b ==，a 与b 的夹角为23π，设27,m ta b n a b =+=+．（1）求(2)a a b ⋅+的值；（2）若m 与n 的夹角是锐角，求实数t 的取值范围．【答案】（1）2；（2）114,722⎛⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭﹒ 【分析】(1)将(2)a a b ⋅+展开，通过数量积运算即可得到答案；(2)两向量夹角为锐角，数量积为正，但需排除两向量同向的情况﹒ （1）2221(2)2||2||||cos 4221232a a b a a b a a b π⎛⎫⋅+=+⋅=+⋅=+⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭； （2）△m 与n 的夹角是锐角，△0m n ⋅>且m 与n 不共线．△()222(27)()2||277||m n ta b a tb t a t a b t b ⋅=++=++⋅+22827721570t t t t t =--+=-+->，△221570t t -+<，解得172t <<． 当m 与n 共线时，则存在实数λ，使27()ta b a tb λ+=+，△2,7t t λλ=⎧⎨=⎩，解得2t =±．综上所述，实数t 的取值范围是114,722⎛⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 51．如图，正三角形ABC 的边长为4，D ，E ，F 分别在线段,,AB BC CA 上，且D 为AB 的中点，DE DF ⊥.试卷第41页，共71页（1）若60BDE ∠=︒，求三角形DEF 的面积. （2）求三角形DEF 面积的最小值. 【答案】 （1（2）12- 【分析】（1）根据题意，结合面积公式，即可求解；（2）根据题意，设BDE θ∠=，结合正弦定理，以及三角恒等变换，及可求解. （1）根据题意，知2AD BD ==，因为60BDE ∠=，所以2DE =，又因为DE DF ⊥，所以30ADF ∠=， 因此cos303DF AD ==，故12DEFS DE DF =⋅= （2）根据题意，设BDE θ∠=，090θ≤≤.在BDE 和ADF 中，由正弦定理知()sin 60sin 120DE BD θ=-，()sin 60sin 30DF ADθ=+， 化简得)3sin 60DE θ=+，)3sin 30DF θ=+，故()()1322sin 60sin 30DEFSDE DF θθ=⋅=++， 因为()()311sin 60sin 30sincos 222θθθθθθ⎛⎫⎛⎫++=+⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 1sin 22θ= 所以12DEF S =- 52．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 1b =，120C =． （1）求B 的大小； （2）求ABC 的面积S 【答案】 （1）30；（2 【分析】（1）利用正弦定理即可求解；（2）由三角形的内角和求得角A ，再由三角形的面积公式即可求解. （1）在ABC 中，c =1b =，120C =，由正弦定理得sin sin b c B C =即1si 20n B =，所以1sin 2B ==， 因为b c <，所以B C <， 因为060B <<，所以30B = （2）因为180A B C ++=，所以1801803012030A B C =--=--=，所以ABC 的面积为113sin 1sin 30224S bc A ==⨯=.53．已知()1,2a =，()3,1b =- （1）求2a b -；（2）设a ，b 的夹角为θ，求cos θ的值； （3）若向量a kb +与a kb -互相垂直，求k 的值 【答案】 （1）()7,0；（2）10-；（3）【分析】（1）利用线性运算的坐标表示即可求解； （2）利用向量夹角的坐标表示即可求解；（3）求出向量a kb +与a kb -的坐标，利用坐标表示()()0a kb a kb ⋅-=+即可求解. （1）因为()1,2a =，()3,1b =-，所以()()()21,223,17,0a b -=--=. （2）因为cos a b a b θ⋅=⋅⋅，试卷第43页，共71页所以21cos 1a b a bθ⨯⋅===⋅+（3）由()1,2a =，()3,1b =-可得()()()1,23,113,2a kb k k k +=+-=-+，()()()1,23,113,2a kb k k k -=--=+-，因为向量a kb +与a kb -互相垂直，所以()()()()()()1313220a kb a kb k k k k +⋅-=-+++-=， 即221k =，解得：k =. 54．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，求点P 的坐标．【答案】()8,15- 【分析】根据点P 在线段AB 的延长线上，且3||||2AP PB =，可得12AB BP =，可得2OP OB AB =+． 【详解】点P 在线段AB 的延长线上，且3||||2AP PB =， ∴12AB BP =， ∴2(4OP OB AB =+=，3)2(2-+，6)(8-=，15)-．所以点P 的坐标为()8,15-55．已知ABCD 的顶点()1,2--A ，()3,1B -，()5,6C ，求顶点D 的坐标． 【答案】(1，5)﹒ 【分析】由平行四边形可得：DC AB =，于是OD OC AB =-． 【详解】设坐标原点为O ，由平行四边形可得：DC AB =，(5OD OC AB =-=，6)(4-，1)(1=，5)．∴D 的坐标为(1，5)﹒56．如图，已知平行四边形ABCD ，点O 为任一点，设OA a =，OB b =，OC c =，试。

高一数学（必修二）平面向量的概念及其应用练习题及答案一、单选题1．下列说法错误的是（ ） A ．向量CD 与向量DC 长度相等 B ．单位向量都相等C ．0的长度为0，且方向是任意的D ．任一非零向量都可以平行移动2．设e 是单位向量，3AB e =，3CD e =-，3AD =，则四边形ABCD 是（ ） A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形3．已知向量,a b 满足2π1,2,,3a b a b ===，则()a ab ⋅+=（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．24．已知向量a ，b 满足1a b ==，23a b +=，则向量a ，b 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1505．如图，D 是AB 上靠近B 的四等分点，E 是AC 上靠近A 的四等分点，F 是DE 的中点，设AB a =，AC b =，则AF =（ ）A ．344a b - B ．344a b + C ．388a b + D ．388a b - 6．已知向量a ＝（－1，2），b ＝（3，m ），m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥()a b +”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知45A =︒，2a =，2b =B 的大小为（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒8．已知平面四边形ABCD 满足13AD BC =，平面内点E 满足52BE CE =，CD 与AE 交于点M ，若BM x AB y AD =+，则yx等于（ ） A ．52B ．52-C ．43D ．43-二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．a 与b 是非零向量，则a 与b 同向是a b =的必要不充分条件B ．,,A BC 是互不重合的三点，若AB 与BC 共线，则,,A B C 三点在同一条直线上 C ．a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a 与b -反向D ．设,λμ为实数，若a b λμ=，则a 与b 共线10．在ABC 中，已知π32A C ==，3CD DB =，则（ ） A ．+AB AC BC = B ．2AC AD = C ．13+44AD AB AC =D ．AD BC ⊥11．已知向量()()()1,3,2,,a b y a b a ==+⊥，则（ ） A ．()2,3b =- B ．向量,a b 的夹角为3π4C ．172a b +=D ．a 在b 方向上的投影向量是1,212．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，下列说法中正确的是（ ） A ．“ABC 为锐角三角形”是“sin cos A B >”的充分不必要条件 B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形 C ．命题“若A B >，则sin sin A B >”是真命题D ．若8a =，10c =，π3B =，则符合条件的ABC 有两个三、填空题13．P 在线段12PP 的反向延长线上（不包括端点），且12PP PP λ=，则实数λ的取值范围是___________.14．已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，若3BC DE =，且F 为BC 的中点，则EA EF ⋅=______． 15．已知||1a =，()1,3b =，()b a a +⊥，则向量a 与向量b 的夹角为______．16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b sin A =2c sin B ，cos B =14，b =3，则△ABC 的面积为________．四、解答题17．设1e ，2e 是两个不共线的向量，如果1232AB e e =-，124BC e e =+，1289CD e e =-. (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定λ的值，使122e e λ+和12e e λ+共线； (3)若12e e λ+与12e e λ+不共线，试求λ的取值范围.18．化简：(1)()()532423a b b a -+-； (2)()()()111232342a b a b a b -----；(3)()()x y a x y a +--．19．已知4a =，2b =，且a 与b 夹角为120°，求： (1)2a b -；(2)a 与a b +的夹角；(3)若向量2a b λ-与3a b λ-平行，求实数λ的值．20．如图，在菱形ABCD 中，1,22CF CD CE EB ==.(1)若EF xAB y AD =+，求23x y +的值； (2)若6,60AB BAD ∠==，求AC EF ⋅.21．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =a c <，且ππ1sin cos 364A A ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求A 的大小；(2)若sin sin 43sin a A c C B +=，求ABC 的面积．22．已知：a 、b 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =． (1)若5||2b =且a b +与b 垂直，求a 与b 的夹角θ ； (2)若()1,1b =且a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．参考答案1．B 2．B 3．C 4．C 5．C 6．A 7．A 8．B 9．ABC 10．ABD 11．BD 12．AC 13．()1,0- 14．409 15．2π31691517．（1）证明：因为()121212124891284324BD BC CD e e e e e e e e AB=+=++-=-=-=，所以AB 与BD 共线.因为AB 与BD 有公共点B ， 所以A ，B ，D 三点共线.（2）因为122e e λ+与12e e λ+共线， 所以存在实数μ，使()12122e e e e λλμ=++. 因为1e ，2e 不共线，所以2,1,λμλμ=⎧⎨=⎩所以22λ=±. （3）假设12e e λ+与12e e λ+共线，则存在实数m ，使()1212e e m e e λλ+=+.因为1e ，2e 不共线，所以1,,m m λλ=⎧⎨=⎩所以1λ=±.因为12e e λ+与12e e λ+不共线， 所以1λ≠±.18．（1）()()()()532423*********a b b a a a b b a b -+-=-+-+=-. （2）()()()111131211232342342322a b a b a b a a a b b b ⎛⎫⎛⎫-----=--+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111123a b =-+.（3）()()()()2x y a x y a xa xa ya ya ya +--=-++=. 19．（1）解：因为()2224246844164a b a a b b -⋅+=-=++=，所以2221a b -=（2）因为()2222168412a b a a b b +=+⋅+=-+=，所以23a b +=，又()216412a b a a a b ⋅=+=-+⋅=， 所以()123cos ,43a ab a a b a a b⋅+<+>===⨯+ 所以a 与a b +的夹角为6π．（3）因为向量2a b λ-与3a b λ-平行， 所以()233a b k a b k a kb λλλ-=-=-， 因为向量a 与b 不共线，所以23k kλλ=⎧⎨=⎩，解得6λ=±20．（1）因为1122CF CD AB ==-，2CE EB =所以2233EC BC AD ==，所以21213232EF EC CF BC CD AD AB =+=+=-， 所以12,23x y =-=， 故231x y +=.（2）AC AB AD =+，()221211223263AC EF AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫∴⋅=+⋅-+=-+⋅+ ⎪⎝⎭，ABCD 为菱形，||||6,60AD AB BAD ∠∴===，所以66cos6018AB AD ⋅=⨯⨯=，2211261869263AC EF ∴⋅=-⨯+⨯+⨯=.21．（1）πππππ2sin cos cos cos 3636A A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2πcos 21π13cos 624A A ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=+== ⎪⎝⎭，∴π31cos 22A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为0πA <<，得ππ7π2333A <+<，所以π2π233A +=或4323ππA +=，解得π6A =或π2A =，因为a c <，得π2A <，∴π6A =． （2）由（1）知，6A π=，sin sin 43sin a A c C B +=，由正弦定理，得22312a c b +==，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-⋅，即22312323c c c -=+-， 整理，得22390c c --=，由0c >得3c =， 所以11133sin 33222ABC S bc A ==⨯=△ 22．（1）解：由()a b b +⊥得()0a b b +⋅=，即2+0a b b ⋅= ，所以254a b b ⋅=-=-，得514cos 2552a b a bθ-⋅===-⋅⨯，又[]0,πθ∈，所以2π3θ=； （2）解：因为()1,2a =，()1,1b =，所以()()()1,21,11,2a b λλλλ+=+=++ 所以()0a a b λ⋅+>，则512403λλλ+++>⇒>-， 由//a a b λ+得0λ=，由与a 与a b λ+的夹角为锐角，所以5,0(0,)3λ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭。

第六章 平面向量及其应用 单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(共40分)1、(4分)已知D 是ABC △所在平面内的一点，且2BD DC =-u u u r u u u r，设AD AB AC l m =+u u u r u u u r u u u r ，则l m -=( ).A.32- B.23C.3D.-32、(4分)在菱形ABCD 中，||2AB AB AD =×=uuu r uuu r uuu r ，AM MD =uuuu r uuuu r ，2DN DA DB =+uuur uuu r uuu r，P 是菱形ABCD 内部及边界上一点，则PM PN ×uuuu r uuu r的最大值是( )A.134B.132C.13D.2343、(4分)已知点O 为ABC △所在平面上一点，且满足()10OA OB OC l l uuu r uuu r uuu r r＋＋＋＝，若OAC △的面积与OAB △的面积比值为1:4，则l 的值为( )A.12B.13C.2D.34、(4分)费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°．根据以上性质，已知()()()2,02004A B C -，，，，，P 为ABC △内一点，记()f P PA PB PC =++，则()f P 的最小值为( )A.B.4＋C.4D.25、(4分)已知向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，||-=a b a 与b 的夹角为( ).A.π6B.π4C.π3D.2π36、(4分)已知在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC Ð=°，2AD DC ==，1BC =，P 是DC 的中点，则||PA PB +=u u r u u r( ).C.3D.97、(4分)已知||2=a ，向量a 与向量b 的夹角为120°，e 是与b 同向的单位向量，则a 在b 上的投影向量为( ).A.eB. D.-e8、(4分)已知对任意的平面向量(,)AB a b =u u u r ，把AB 绕其起点A 沿逆时针方向旋转j 角得到向量(cos sin ,sin cos )AP a b a b j j j j =-+u u u r，叫作把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转j 角得到点P .已知(1,2)A ，(1B +，把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转π4得到点P ，则点P 的坐标为( ).A.(3,1)-B.(2,1)-C.(2,3)D.(2,3)-9、(4分)若平面向量a 与b 的夹角为60°，(2,0)=a ，||1=b ，则|2|+a b 等于( ).B. C.4D.1210、(4分)已知向量(3,2)=-a ，(,4)x =-b ，若//a b ，则实数x 等于( ).A.4B.5C.6D.7二、填空题(共25分)11、(5分)在ABC △中,3,4,,AB AC D E ==为BC 上两点且BD DE EC ==,若AD =则AE 的长为_____________.12、(5分)若||||||l ===a b c ，且满足0×=a b ，2×=a c ，1×=b c ，则l =__________.13、(5分)已知在梯形ABCD 中，//AB CD ，90A =°，23AB CD ==，2AD =，若EF 在线段AB上运动，且1EF =，则CE CF ×u u u r u u u r的最小值为____________.14、(5分)已知()21OA =-uuu r ,，()02OB =uuu r，，若AC OB uuu r uuu r ∥，BC AB ^uuu r uuu r ，则点C 的坐标_________.15、(5分)已知中心为O 的正六边形ABCDEF 的边长为2，则OA OC ×=u u r u u u r_____________.三、解答题(共35分)16、(8分)已知ABC △的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ,且满足2sin sin 2A aB =.(1)求角A 的大小；(2)若ABC △的外接圆半径为1,求b c +的最大值.17、(9分)已知ABC △的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2AB AC BA BC CA CB×+×=×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r（1）若cos cos A Bb a=，判断ABC △的形状并说明理由；（2）若ABC △是锐角三角形，求sin C 的取值范围18、(9分)ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若b =ABC △的面积为，求ABC △的周长.19、(9分)在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC △的面积S 222.a b c =+-（1）求C Ð；（2）若ABC △为锐角三角形，c =，求24sin a B -的取值范围．参考答案1、答案：D解析：由题意作图，如图所示，因为2BD DC =-u u u r u u u r，所以C 为BD 的中点，所以22()2AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为AD AB AC l m =+u u u r u u u r u u u r ，所以由平面向量基本定理可得1l =-，2m =，所以3l m -=-，故选D.2、答案：B 解析：3、答案：B 解析：4、答案：B解析：设(0,0)O 为坐标原点，由(2,0)A -，(2,0)B ，(0,4)C ，知||||AC BC ==且ABC △为锐角三角形，因此，费马点M 在线段OC 上，设(0,)M h ，如图，则MAB △为顶角是120°的等腰三角形，故||tan 30O h B =°=，所以()()||||||444f P f M MA MB MC h h ³=++=+-=+，则()f P 的最小值为4+故选：B.5、答案：C解析：||-=a b Q ，2223\+-×=a b a b ，14212cos ,3\+-´´×áñ=a b ，1cos ,2\áñ=a b ，,[0,π]áñÎa b Q ，π,3\áñ=a b .故选C.6、答案：C解析：因为12PA PD DA CD DA =+=+u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，11112222PB PC CB DC DA CD DA =+=+=-+u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以111133||23222222PA PB CD DA CD DA DA DA DA +=+-+=+==´=u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r ，故选C.7、答案：D解析：a 在b 上的投影向量为||cos120××°=-a e e .故选D.8、答案：D解析：由已知可得(AB =u u u r，将点(1B -+绕点A 沿逆时针方向旋转π4，得ππππ,(3,1)4444AP æö=-+=-ç÷èøu u u r .(1,2)A Q ，(2,3)P \-，故选D.9、答案：B解析：因为(2,0)=a ，所以||2=a ，又因为向量a 与b 的夹角为60°，||1=b ，所以1||||cos602112×==´=°´a b a b ，所以|2|+===a b 10、答案：C解析：由题意可得(3)(4)20x -´--=，解得6x =.故选C.11解析：由题意,在ADB △中,由余弦定理得222cos 2AD DB AB ADB AD DB +-Ð=×;在ADC △中,由余弦定理得222cos 2AD DC AC ADC AD DC +-Ð=×.又π,cos cos 0ADC ADB ADC ADB Ð+Ð=\Ð+Ð=,即222222022AD DB AB AD DC AC AD DB AD DC+-+-+=××.又3,4,AB AC AD ===,.5,BD DE EC BC ==\=π4,cos 25BAC C \Ð=\=.易知1533CE BC ==.在AEC △中,由余弦定理得2222554732cos 16249359AE AC CE AC CE C =+-×××=+-´´´=,AE \=.12、答案：略解析：13、答案：154解析：如图所示，以A 为原点，AB u u u r 的方向为x 轴正方向，AD u u u r的方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(3,0)B ，3,22C æöç÷èø，(0,2)D ，不妨设(,0)E t ，(1,0)(02)F t t +££，则3,22CE t æö=--ç÷èøu u u r ，1,22CF t æö=--ç÷èøu u u r ，2313115,2,24(1)22224CE CF t t t t t æöæöæöæö\×=----=-×-+=-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøu u u r u u u r ，故当1t =时，CE CF ×u u u r u u u r 取得最小值，最小值为154.14、答案：()2,6-解析：设(),C x y , 则()2,1AC x y =+-uuu r ,()(),2,2,1BC x y AB =-=uuu r uuu r.由//,AC OB BC AB ^uuu r uuu r uuu r uuu r, 得()220,220,x x y ì+=í+-=î解得2,6,x y =-ìí=î所以点C 的坐标为()2,6-.15、答案：-2解析：由图可得1||||cos 2222OA OC OA OC AOC æö×=×Ð=´´-=-ç÷èøu u r u u u r u u r u u u r .16、答案：(1) π3A =(2)解析： (1)因为2sin sin 2A a B =,所以2sin sin sin 2A AB B =,因为(0,π)B Î,所以sin 0B ¹,2sin 2AA =,即22sincos 222A A A =,因为(0,π)A Î,所以sin 02A¹,则2cos22A A =,tan 2A =,26A p =,3A p =.(2)因为ABC △的外接圆半径为1,所以2sin 2a A ===,则222222223()2cos ()3()4b c a b c bc A b c bc b c bc b c +=+-=+-=+-³+-,即2()34b c +³,当且仅当b c ==时取等号,故b c +£,b c +的最大值为.17、答案：（1）等边三角形（2）解析：（1）由数量积的定义得，cos cos 2cos cb A ca B ba C +=.由余弦定理得2222222222222b c a a c b a b c +-+-+-+=即2222a b c +=ABC △是等边三角形.由正弦定理及cos cos A Bb a=得sin cos sin cos A A B B ×=×，即sin 2sin 2A B =因为()2,20,2πA B Î，所以22A B =或22πA B +=当22A B =时，ABC △是等腰三角形，此时a b c ==，所以ABC △是等边三角形；当22πA B +=，即π2A B +=时，ABC △是直角三角形，这与2222a b c +=矛盾.故ABC △是等边三角形.（2）不妨设a b …，由2222a b c +=得22222222a a b c b +=……，于是a c b……又因为ABC △是锐角三角形、所以222a c b +>，即223a b >，因此1ba<…由余弦定理得，2221cos 24a b c b a C ab a b +-æö==+ç÷èø令b t a =，则1t <…，函数114y t t æö=+ç÷èø在éë上单调递增.所以111cos 42C t t éæö=+Îêç÷èøë，因此sin C Î故sin C 的取值范围是18、答案：（1）π3B =（2）6+解析： （1）cos cos 2cos a C c A b B +=Q ，由正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，整理得：()sin 2sin cos sin A C B B B +==，∵在ABC V 中，0πB <<，∴sin 0B ¹，即2cos 1B =，∴1cos 2B =，即π3B =；（2）由余弦定理得：(222122a c ac =+-×，∴()2312a c ac +-=，∵1sin 2S ac B ===，∴8ac =，∴()22412a c +-=，∴6a c +=，∴ABC △的周长为6+. 19、答案： (1)π3（2）(2,2)-解析： (1)2221sin ,2ab C a b c =+-222cos ,2a b c C C ab+-==πtan 3C C =（2）由正弦定理得2,2sin sin sin a ca A A C===，π24sin 4sin 4sin 4sin 4sin 2sin 3a B A B B B B B æö-=-=+-=-ç÷èøπ4sin 3B æö=-ç÷èøABC Q △为锐角三角形，π2ππ0,0232B B \<<<-<，ππ62B \<<，πππ636B \-<-<，π24sin 23B æö-<-<ç÷èø24sin a B -的取值范围是(2,2)-。

人教版必修第二册第一章《平面向量及其应用》章末综合检测及答案解析总分：150分 时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若OA →＝(－1，2)，OB →＝(1，－1)，则AB →等于( ) A.(－2，3) B.(0，1) C.(－1，2)D.(2，－3)解析：选D. OA →＝(－1，2)，OB →＝(1，－1)，所以AB →＝OB →－OA →＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3) ，故选D. 2．已知|a |＝|b |＝2，a ·b ＝2，则|a －b |＝( )A ．1B ．3C ．2D ．3 或2解析：选C.|a －b |＝|a －b |2＝（a －b ）2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝22－2×2＋22＝4 ＝2.故选C.3．已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332 ，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．135°D ．150°解析：选 A.因为(2a ＋b )·(a －2b )＝2a 2－4a ·b ＋a ·b －2b 2＝－3a ·b ＝－332，所以a·b ＝32 .设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b | ＝32.又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝30°.4.向量a =(1,0),b =(2,1),c =(x,1),若3a -b 与c 共线,则x=( ) A.1 B.-3C.-2D.-1解析：向量a =(1,0),b =(2,1),c =(x,1),则3a-b =(1,-1),又3a-b 与c 共线,则1×1-(-1)·x=0,解得x=-1.5.已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若A=60°,a=,则等于( )(A) (B) (C) (D)2解析:由正弦定理得====2,所以b=2sin B,c=2sin C, 则=2.故选D.6．已知A (1，2)，B (3，4)，C (－2，2)，D (－3，5)，则向量AB → 在向量CD →上的投影向量的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，65 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，65C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，－65D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－65解析：选B.AB → ＝(2，2)，CD → ＝(－1，3)，|CD → |＝10 ，AB → ·CD →＝－2＋6＝4，则向量AB → 在向量CD → 上的投影向量为AB →·CD →|CD →| ·CD →|CD →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，65 ，故选B. 7．已知△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O .若|OA → |＝|AB → |，且2 OA → ＋AB → ＋AC →＝0，则CA →·CB →＝( )A ． 3B ．2 3C ．32D ．3解析：选D.因为2 OA → ＋AB → ＋AC → ＝0，所以(OA → ＋AB → )＋(OA → ＋AC → )＝0，即OB → ＋OC →＝0，所以O 为边BC 的中点，故△ABC 为直角三角形，A 为直角．又因为|OA → |＝|AB →|，所以△OAB 为等边三角形，|AB → |＝1，|BC → |＝2，|AC → |＝3 ，CA → 与CB →的夹角为30°，则CA →·CB →＝3 ×2×cos 30°＝3.故选D.8．有一长为1 km 的斜坡,它的倾斜角为20°,现高不变,将倾斜角改为10°,则斜坡长为( )A.1 kmB.2sin 10° kmC.2cos 10° kmD.cos 20° km解析:如图所示,∠ABC=20°,AB=1 km,∠ADC=10°,所以∠ABD=160°.在△ABD 中,由正弦定理=,所以AD=AB ·==2cos 10°(km).故选C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．对于任意的平面向量a ,b ,c ,下列说法正确的是 (A.若a ∥b 且b ∥c ,则a ∥cB.(a +b )·c =a ·c +b ·cC.若a ·b =a ·c ,且a ≠0,则b =cD.a+b+c=a+c+b解析：选BD.a ∥b 且b ∥c ,当b 为零向量时,则a 与c 不一定平行,即A 错误;由向量乘法的分配律可得:(a +b )·c =a ·c +b ·c ,即B 正确; 因为a ·b =a ·c ,则a ·(b -c )=0,又a ≠0, 则b =c 或a ⊥(b -c ),即C 错误;向量加法满足交换律,即:a+b+c=a+c+b,即D 正确. 10．下列说法中正确的有( )A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sinC B ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ；若A >B ，则sin A >sin B 都成立D ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋csin B ＋sin C解析：选ACD.设△ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理得asin A ＝b sin B ＝csin C＝2R .对于A 选项，a ∶b ∶c ＝2R sin A ∶2R sin B ∶2R sin C ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故A 正确；对于D 选项，由正弦定理得b ＋c sin B ＋sin C ＝2R sin B ＋2R sin C sin B ＋sin C ＝2R ＝asin A ，故D 正确；对于B 选项，由二倍角公式得2sin A cos A ＝2sin B cos B ，则2a ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac，即a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，整理得a 4－b 4－a 2c 2＋b 2c 2＝0，即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，则a 2－b 2＝0或a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝b 或C ＝π2 ，故B 错误；对于C选项，在△ABC 中，由正弦定理得sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B (大边对大角)，故C 正确．故选ACD.11．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝6，sin A ＝2sin C ，则以下四个结论正确的有( )A ．△ABC 不可能是直角三角形B ．△ABC 有可能是等边三角形 C ．当A ＝B 时，△ABC 的周长为15D ．当B ＝π3时，△ABC 的面积为63解析：选CD.因为sin A ＝2sin C ，所以a ＝2c ，又b ＝6，若A 为直角，由36＋c 2＝4c 2，可得c ＝23 ，满足条件的△ABC 可能是直角三角形，故A 错误；由于a ＝2c ，故△ABC 不可能是等边三角形，故B 错误；当A ＝B 时，a ＝b ＝2c ＝6，可得c ＝3，可得△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝6＋6＋3＝15，故C 正确；当B ＝π3时，b ＝6，a ＝2c ，由余弦定理可得36＝a 2＋c 2－ac ＝4c 2＋c 2－2c 2，解得c ＝23 ，a ＝43 ，可得△ABC 的面积为12 ac sin B ＝12×23 ×43 ×32＝63 ，故D 正确．故选CD. 12．已知△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且a=6,4sin B=5sin C,以下四个说法中正确的有(A.满足条件的△ABC 不可能是直角三角形B.当A=2C 时,△ABC 的周长为15C.当A=2C 时,若O 为△ABC 的内心,则△AOB 的面积为D.△ABC 的面积的最大值为40解析：选BCD.a=6,4sin B=5sin C 即4b=5c,设b=5t,c=4t(t>0),由36+16t 2=25t 2,可得t=2(负值舍去), 满足条件的△ABC 可能是直角三角形,故A 错误; a=6,4sin B=5sin C,A=2C,可得:B=π-3C,由正弦定理可得4b=5c,可得b=,由=,sin C≠0,可得:4cos2C-1=,解得:cos C=,sin C=,可得sin A=2sin Ccos C=,可得:c=4,b=5,则a+b+c=15,故B正确;S△ABC=bcsin A=.设△ABC的内切圆半径为R,则R==,S△ABO=cR=,故C正确.以BC的中点为坐标原点,BC所在直线为x轴,可得B(-3,0),C(3,0),4sin B=5sin C,可得4b=5c,设A(m,n)(n≠0), 可得4=5,平方可得16(m2+n2-6m+9)=25(m2+n2+6m+9),即有m2+n2+m+9=0,化为+n2=(n≠0),则A 的轨迹为以为圆心,为半径的除去x 轴上两点的圆,可得△ABC 的面积的最大值为×6×=40,故D 正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，且(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为________．解析：由题意得，(3a ＋5b )·(m a －b )＝3m a 2＋(5m －3)a·b －5b 2＝0，3m ＋(5m －3)×1×2×cos 60°－5×4＝0，即8m ＝23， 解得m ＝238 .答案：23814．在锐角三角形ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 所对的边.若2asin B=b,b+c=5,bc=6,则a= .解析：因为2asin B=b,所以2sin Asin B=sin B.所以sin A=,因为△ABC 为锐角三角形,所以cos A=, 因为bc=6,b+c=5, 所以b=2,c=3或b=3,c=2.所以a 2=b 2+c 2-2bccos A=22+32-2×6×=7,所以a=(负值舍).答案:15．已知OA → ＝(－1，1)，OB → ＝(0，－1)，OC →＝(1，m )，若A ，B ，C 三点共线，则实数m 的值为________，CA → ·CB →的值为________．解析：因为OA → ＝(－1，1)，OB → ＝(0，－1)，OC →＝(1，m )， 所以AB → ＝OB → －OA →＝(1，－2)，BC →＝OC → －OB →＝(1，m ＋1).因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB → ∥BC → ，所以1×(m ＋1)＝(－2)×1， 所以m ＝－3，所以OC →＝(1，－3). 所以CA → ＝OA → －OC →＝(－2，4)，CB →＝OB → －OC →＝(－1，2).所以CA → ·CB →＝(－2)×(－1)＋4×2＝10. 答案：－3 1016．已知a 、b 满足:|a|=3,|b|=2,|a+b|=4,则|a-b|= . 解析:因为|a+b|=4,所以|a+b|2=|a|2+|b|2+2a ·b=16. 因为|a|=3,|b|=2, 所以a ·b=,所以|a-b|2=|a|2+|b|2-2a ·b =9+4-2×=10,可得|a-b|=.答案:四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分) 如图所示,梯形ABCD 中,AB∥CD,且AB=2CD,M,N 分别是DC 和AB 的中点,若=a ,=b ,试用a,b 表示,,.解析：如图所示,连接CN,则四边形ANCD 是平行四边形.则===a,=-=-=b-a ,=-=--=--=a-b.18．(本小题满分12分)如图，已知向量a 与b ，其中|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 的夹角θ＝150°.(1)求a·b ；(2)求向量b 在a 方向上的投影向量，并画图解释．解析：(1)a·b ＝|a ||b |cos θ＝3×4×cos 150°＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝－63 .(2)如图，作OA → ＝a ，OB →＝b ，过点B 作直线OA 的垂线，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cos (π－θ)＝4×32＝23 ， 向量b 的单位向量为b |b | ＝b 4 ，所以向量b 在a 方向上的投影向量是－23 ×b 4 ＝－3b2.19．(本小题满分12分) 已知△ABC 的三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若B=,且(a-b+c)(a+b-c)=bc. (1)求cos C 的值; (2)若a=5,求△ABC 的面积.解析:(1)由(a-b+c)(a+b-c)=bc,得a2-(b-c)2=bc,即a2=b2+c2-bc,由余弦定理,得cos A==,所以sin A=.又因为B=,所以cos C=-cos (A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=.(2)由(1)得sin C=.在△ABC中,由正弦定理,得c==8,所以S=acsin B=×5×8×sin =10.20．(本小题满分12分) 如图,A,B 两个小岛相距21海里,B 岛在 A 岛的正南方,现甲船从 A 岛出发,以9海里/时的速度向 B 岛行驶,而乙船同时以6海里/时的速度离开 B 岛向南偏东60°方向行驶,行驶多少时间后,两船相距最近?求出两船的最近距离.解析：设行驶th后,甲船行驶了9t海里到达C处,乙船行驶了6t海里到达D处.①当9t<21,即t<时,C 在线段AB 上, 此时BC=21-9t.BD=6t,∠CBD=180°-60°=120°,由余弦定理知CD 2=BC 2+BD 2-2BC ·BD ·cos 120°=(21-9t)2+(6t)2-2×(21-9t)·6t ·=63t 2-252t+441=63(t-2)2+189.所以当t=2时,CD 取得最小值3.②当t=时,C 与B 重合,则CD=6×=14>3.③当t>时,BC=9t-21,则CD 2=(9t-21)2+(6t)2-2·(9t-21)·6t ·cos 60°=63t 2-252t+441=63(t-2)2+189>189.综上可知,当t=2时,CD 取最小值3.答:行驶2 h 后,甲、乙两船相距最近为3海里.21．(本小题满分12分)平面内有向量OA → ＝(1，7)，OB → ＝(5，1)，OP →＝(2，1)，点Q 为直线OP 上的一个动点．(1)当QA → ·QB → 取最小值时，求OQ →的坐标；(2)当点Q 满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AQB 的值．解析：(1)设OQ → ＝(x ，y ).因为点Q 在直线OP 上，所以向量OQ → 与OP → 共线．又OP →＝(2，1)，所以x ＝2y ，所以OQ → ＝(2y ，y ).又QA → ＝OA → －OQ → ＝(1－2y ，7－y )，QB → ＝OB → －OQ → ＝(5－2y ，1－y )，所以QA → ·QB → ＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2－20y ＋12＝5(y －2)2－8.故当y ＝2时，QA → ·QB → 有最小值－8，此时OQ → ＝(4，2).(2)由(1)知QA → ＝(－3，5)，QB → ＝(1，－1)，QA → ·QB → ＝－8，|QA → |＝34 ，|QB → |＝2 ，所以cos ∠AQB ＝QA →·QB →|QA →||QB →|＝－41717 . 22．(本小题满分12分) 已知△ABC 中三个内角A,B,C 所对的边为a,b,c,且B=,b=2.(1)若c=,求sin A 的值;(2)当·取得最大值时,求A 的值.解析:(1)在△ABC 中,由正弦定理得=,则sin C==,因为b>c,所以C=,则sin A=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=×+×=.(2)·=bacos C=2acos C=2×cos C=sin Acos(π-A)=sin A(-cos A+sin A)=2-sin (2A+),当且仅当2A+=,即A=时·取到最大值.。

(名师选题)部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案真题单选题1、P 是△ABC 所在平面内一点，满足|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=0，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2、已知向量a ⃑=(2，3)，b ⃗⃑=(3，2)，则|a ⃑–b ⃗⃑|= A ．√2B ．2 C ．5√2D ．503、已知向量a ⃑与b ⃗⃑的夹角为π6，且|a ⃑|=2|b ⃗⃑|=2，则a ⃑⋅b ⃗⃑=（ ） A ．√3B ．1C ．2√3D ．24、设在△ABC 中，角A ，B,C 所对的边分别为a ，b,c ， 若 bcosC +ccosB =asinA ， 则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．钝角三角形5、设a ,b ⃗ 均为单位向量，且|a −b ⃗ |=1，则|a −2b ⃗ |=（ ） A ．√3B ．√7C ．3D ．76、在平行四边形ABCD 中，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑|=3，若BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑|+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑|=BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑|，则|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑|=（ ） A ．2√3B ．3√3C ．4√3D ．37、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc = A ．6B ．5C ．4D ．38、定义空间两个向量的一种运算a ⃑⊗b ⃗⃑=|a ⃑|⋅|b ⃗⃑|sin⟨a ⃑,b ⃗⃑⟩，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）A ．λ(a ⃑⊗b ⃗⃑)=(λa ⃑)⊗b ⃗⃑B ．(a ⃑⊗b ⃗⃑)⊗c ⃑=a ⃑⊗(b ⃗⃑⊗c ⃑)C ．(a ⃑+b ⃗⃑)⊗c ⃑=(a ⃑⊗c ⃑)+(b ⃗⃑⊗c ⃑)D ．若a ⃑=(x 1,y 1)，b ⃗⃑=(x 2,y 2)，则a ⃑⊗b ⃗⃑=|x 1y 2−x 2y 1| 多选题9、已知λ，μ∈R ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(λ,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(−1,1)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(1,μ)，那么（ ） A ．CB⃗⃗⃗⃗⃗⃑+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(λ−1,1−μ) B ．若AB⃗⃗⃗⃗⃗⃑∥AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑，则λ=2，μ=12 C ．若A 是BD 中点，则B ，C 两点重合 D ．若点B ，C ，D 共线，则μ=110、在△ABC 中，a ，b ，c 为三个内角A ，B ，C 的对边，若(a 2+c 2−b 2)tanB =√3ac ，则角B =（ ） A ．30°B ．60° C ．150°D ．120°11、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若a 2=b 2+bc ，则角A 可为（ ） A ．3π4B ．π4C ．7π12D ．2π3填空题12、已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(k,2)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(1,2k )，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(1−k,−1)，且相异三点A 、B 、C 共线，则实数k =________.部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案(十九)参考答案1、答案：B分析：根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，由此可判断出△ABC 的形状. 由|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，即|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 等式|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |两边平方，化简得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因此，△ABC 是直角三角形. 故选：B.小提示：本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算，也考查了模长公式应用，是中等题． 2、答案：A分析：本题先计算a ⃑−b ⃗⃑，再根据模的概念求出|a ⃑−b ⃗⃑|． 由已知，a ⃑−b ⃗⃑=(2,3)−(3,2)=(−1,1)， 所以|a ⃑−b ⃗⃑|=√(−1)2+12=√2， 故选A小提示：本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错． 3、答案：A解析：利用向量数量积的定义即可求解. 由|a ⃑|=2|b ⃗⃑|=2，则|a ⃑|=2，|b ⃗⃑|=1， 又向量a ⃑与b ⃗⃑的夹角为π6， 所以a ⃑⋅b ⃗⃑=|a ⃑||b ⃗⃑|cos⟨a ⃑,b ⃗⃑⟩=2×1×√32=√3.故选：A小提示：本题考查了向量数量积的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 4、答案：A分析：根据两角和的正弦公式和正弦定理求得sinA =sin 2A ，得到sinA =1，求得A =π2，即可求解. 因为bcosC +ccosB =asinA ，由正弦定理可得sinBcosC +sinCcosB =sin 2A ， 即sin (B +C )=sin 2A ，即sinA =sin 2A ，所以sinA =1， 又因为A ∈(0,π)，所以A =π2，所以是直角三角形. 故选：A. 5、答案：A分析：由已知，利用向量数量积的运算律求得a ⋅b ⃗ =12，又|a −2b ⃗ |2=a 2−4a ⋅b ⃗ +4b ⃗ 2即可求|a −2b⃗ |. 由题设，|a −b ⃗ |2=a 2−2a ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=1，又a ,b ⃗ 均为单位向量， ∴a ⋅b⃗ =12， ∴|a −2b ⃗ |2=a 2−4a ⋅b ⃗ +4b ⃗ 2=3，则|a −2b ⃗ |=√3. 故选：A 6、答案：B解析：由题意分析可知，四边形ABCD 为菱形且∠ABC =120∘，然后求解|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑|. ∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑|+BC⃗⃗⃗⃗⃗⃑|BC⃗⃗⃗⃗⃗⃑|=BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑|，则BD 平分∠ABC ，则四边形ABCD 为菱形. 且∠ABC =120∘，由|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑| = |BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑|=3，则|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑|=3√3, 故选：B.小提示：关键点睛：本题考查向量的综合运用，解题的关键是要注意a⃗⃑|a ⃗⃑|为a ⃑上的单位向量，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于基础题. 7、答案：A分析：利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 详解：由已知及正弦定理可得a 2−b 2=4c 2，由余弦定理推论可得 −14=cosA =b 2+c 2−a 22bc , ∴c 2−4c 22bc=−14 , ∴3c 2b=14 , ∴b c=32×4=6，故选A ．小提示：本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用． 8、答案：D分析：A ．按λ的正负分类讨论可得，B ．由新定义的意义判断，C ．可举反例说明进行判断，D ．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．A．(λa⃑)⊗b⃗⃑=|λa⃑||b⃗⃑|sin<λa⃑,b⃗⃑>，λ>0时，<λa⃑,b⃗⃑>=<a⃑,b⃗⃑>，(λa⃑)⊗b⃗⃑=λ|a⃑||b⃗⃑|sin<a⃑,b⃗⃑>=λ(a⃑⊗b⃗⃑)，λ=0时，λ(a⃑⊗b⃗⃑)=0,(λa⃑)⊗b⃗⃑=0，成立，λ<0时，<λa⃑,b⃗⃑>=π−<a⃑,b⃗⃑>，sin<λa⃑,b⃗⃑>=sin(π−<a⃑,b⃗⃑>)=sin<a⃑,b⃗⃑>(λa⃑)⊗b⃗⃑=−λ|a⃑||b⃗⃑|sin< a⃑,b⃗⃑>=−λ(a⃑⊗b⃗⃑)，综上，A不恒成立；B．a⃑⊗b⃗⃑是一个实数，(a⃑⊗b⃗⃑)⊗c⃑无意义，B不成立；C．若a⃑=(0,1),b⃗⃑=(1,0)，c⃑=(1,1)，则a⃑+b⃗⃑=(1,1)，<a⃑+b⃗⃑,c⃑>=0，(a⃑+b⃗⃑)⊗c⃑=|a⃑+b⃗⃑||c⃑|sin0=√2×√2×0=0，<a⃑,c⃑>=π4,<b⃗⃑,c⃑>=π4，(a⃑⊗c⃑)+(b⃗⃑⊗c⃑)=1×√2×sinπ4+1×√2×sinπ4=2，(a⃑+b⃗⃑)⊗c⃑≠(a⃑⊗c⃑)+(b⃗⃑⊗c⃑)，C错误；D．若a⃑=(x1,y1)，b⃗⃑=(x2,y2)，则|a⃑|=√x12+y12，|b⃗⃑|=√x22+y22，cos<a⃑,b⃗⃑>=1212√x1+y1×√x2+y2，sin<a⃑,b⃗⃑>=√1−cos2<a⃑,b⃗⃑>=√1−(x1x2+y1y2)2(x12+y12)(x22+y22)=1221√(x12+y12)(x22+y22)，所以a⃑⊗b⃗⃑=|a⃑||b⃗⃑|sin<a⃑,b⃗⃑>=|x1y2−x2y1|，成立．故选：D．小提示：本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin<a⃑,b⃗⃑>用cos<a⃑,b⃗⃑>，而余弦可由数量积进行计算．9、答案：AC分析：根据向量运算、向量平行（共线）等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.A 选项，CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑ =(λ,1)−(1,μ)=(λ−1,1−μ)，A 选项正确.B 选项，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑//AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑，则λ⋅μ=1，故可取λ=3,μ=13，B 选项错误.C 选项，若A 是BD 的中点，则AB⃗⃗⃗⃗⃗⃑=−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑，即(λ,1)=(−1,−μ)⇒λ=μ=−1， 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(−1,1)，所以B,C 两点重合，C 选项正确. D 选项，由于B,C,D 三点共线，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑//BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑， BC⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(−1,1)−(λ,1)=(−1−λ,0)， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−AB⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(1−λ,μ−1)， 则(−1−λ)×(μ−1)=0×(1−λ)⇒λ=−1或μ=1，所以D 选项错误. 故选：AC 10、答案：BD分析：由余弦定理化边为角即得. 由题得a 2+c 2−b 22actanB =√32根据余弦定理可知cosBtanB =sinB =√32， ∴B =60°或B =120°． 故选：BD. 11、答案：BC分析：利用余弦定理化简可得cosA =c−b 2b；分别验证各个选项中的A 的取值，根据c >0可确定正确选项.由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bccosA ，又a 2=b 2+bc ，∴b 2+bc =b 2+c 2−2bccosA ，整理可得：cosA =c−b 2b；对于A ，cosA =c−b 2b =−√22，则c =(1−√2)b <0，A 错误；对于B ，cosA =c−b 2b =√22，则c =(1+√2)b ，B 正确； 对于C ，cosA =c−b 2b=√2−√64，则c =2+√2−√62b >0，C 正确；对于D ，cosA =c−b 2b=−12，则c =0，D 错误.故选：BC. 12、答案：−14分析：本题首先可根据向量的运算法则得出AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑、AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑，然后通过题意得出AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑//AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑，最后通过向量平行的相关性质即可得出结果.AB⃗⃗⃗⃗⃗⃑=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(1−k,2k −2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(1−2k,−3)， 因为相异三点A 、B 、C 共线，所以AB⃗⃗⃗⃗⃗⃑//AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑， 则−3×(1−k )−(2k −2)(1−2k )=0，解得k =−14或k =1， 当k =1时，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑，A 、B 重合，舍去， 故k =−14， 所以答案是：−14.小提示：关键点点睛：本题考查通过三点共线求参数，主要考查向量平行的相关性质，若a ⃑=(x 1,y 1)，b ⃗⃑=(x 2,y 2)，a ⃑//b ⃗⃑，则x 1y 2−x 2y 1=0，求出k 的值后要注意检验，考查计算能力，是中档题.。

第二章 平面向量及其应用——2024-2025学年高一数学北师大版必修二单元测试一、选择题1．已知向量,,若,则实数k 的值为( )A.3B.-B.-1C.3或-12．在中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若,则角( )A. B. C. D.3．在中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且若,则的形状是( )A.等腰且非等边三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形4．在中，已知，且满足，则的面积为( )A.1B.25．我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则( )A.9B.C.12D.6．平行四边形ABCD 中，点M 是线段BC 的中点，N 是线段CD 的中点，则向量为( )A. B.()1,1a k =- ()3,b k k =+ //a b ABC △45a b c ===，，C =120︒90︒60︒45︒ABC △222.b c a bc +=+2sin sin sin B C A =ABC △ABC △222sin sin sin sin sin A B A B C +-=4ab =ABC △AD GB ⋅= 9-12-MN1122MN AB AD =- 1344MN AD AB =+C. D.7．已知，，若，则( ).A. B. C. D.8．在中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若，( )A.60°B.75°C.60°或120°D.15°或75°二、多项选择题9．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，，.则第四个顶点的坐标为( )A. B. C. D.10．下列等式一定正确的是( )A. B.C. D.11．关于平面向量，，，下列说法不正确的是( )A.B.C.若，且，则D.三、填空题12．直线的方向向量坐标可以是__________.（只需写出一个满足条件的一个向量）13．邯郸丛台又名武灵丛台,相传始建于战国赵武灵王时期,是赵王检阅军队与观赏歌舞之地,是古城邯郸的象征.如图,某学习小组为了测量邯郸丛台的高度AB,选取了与台底在同一水平面内的两个测量基点C,D,现测得,,米,在点D 处测得丛台台顶的仰角为,则丛台的高度为______米（结果精确到0.1米,取,）.(),2a x =- ()5,7b =- //a b 1122MN AD AB =- 1344MN AD AB =- x =145145-107107-ABC △45A ∠=︒a =b =C ∠=(3,7)A (4,6)B (1,2)C -(0,1)-(6,15)(2,3)-(2,3)+=+a b b a0AB BC CA ++= CA AC OA OC CA+=-+ AB BA +=0 a b c()()22·a b a b a b -+=- ()a b c a c b c+⋅=⋅+⋅ a b a c ⋅=⋅ 0a ≠ b c = ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 2310x y +-=30BCD ∠=︒86BDC ∠=︒40CD =50︒tan 50 1.19︒=sin 640.90︒=14．已知点，，，()，试求当点P 在第三象限时，的取值范围________.四、解答题15．在中,已知,,,解这个三角形.16．已知点,,,则是什么形状?证明你的猜想.17．在中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,,且的面积为（1）求A;（2）求的周长.18．如图，在中，点P 满足，O 是线段的中点，过点O 的直线与边，分别交于点E ，F.（1）若，求的值；（2）若，，求的最小值.19．已知的内角A ，B ，C 所对的边分别为a，b ，c（1）求角B 的大小；（2）若，设的面积为S ，满足，求b 的值.ABC △30B =︒ABC △9sin sin 13A C =ABC △S =(2,3)A (5,4)B (7,10)C AP AB AC λ=+ λ∈R λb =2c =()1,2A ()2,3B ()2,5C -ABC △ABC △(sin sin )()(sin sin )A B a b c C B +-=⋅-a =ABC △ABC △2PC BP = AP AB AC AF AC = AE EB()0EB AE λλ=> ()0FC AF μμ=> 11λμ+ABC △tan A =参考答案1．答案：C解析：由题意得 ,解得或3 ,经检验, 均满足要求.故选：C.2．答案：A解析：由余弦定理可得,,．故选：A ．3．答案：C解析： ,所以,又, ,, ,,, ,从而,为等边三角形,故选：C ．4．答案：D解析：在中，已知，由正弦定理得，即，，即.，的面积为.故选D.5．答案：B解析：由题意可知，，，设，由勾股定理可得，解得，所以，所以，故选：B.6．答案：C解析：根据三角形中位线知：.故选：C.(1)(3)0k k k --+=1k =-2221cos 22a b c C ab +-==-0180C ︒<<︒ ∴120C =︒222b c a bc +=+ 2221cos 22b c a A bc +-==(0,π)A ∈π3A ∴=2sin sin sin B C A = 2bc a ∴=2222b c a bc bc +=+=b c =3B C π∴==a b c ==ABC △ABC △222sin sin sin sin sin A B A B C +-=∴222a b ab c +-=222a b c ab +-=2221cos 222a b c ab C ab ab +-∴===π3C =4ab ∴=ABC ∴△11sin 422ab C =⨯=5AD =1HE =AH x =()22215x x ++=3x =3sin 5ABH ∠=()3cos π5395AD GB BC GB GBC ⎛⎫⋅=⋅⋅-∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭()11112222MN BD AD AB AD AB ==-=-7．答案：C解析：由题意得，解得.故选：C.8．答案：D解析：在中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若，利用正弦定理：，整理得所以或120°.当时，，当时，.故选：D.9．答案：ABC解析：当平行四边形为时,,设点D 的坐标为.所以,所以,解得,所以点；当平行四边形为时,同理可得;当平行四边形为时,同理可得.综上可知点D 可能为,或.故选:ABC.10．答案：ABD解析：由向量加法运算律知，A ，B ，D 选项正确；，，所以选项C 错误.故选ABD.11．答案：CD710x -=-107x =ABC △45A ∠=︒a =b =sin sin a b A B =sin sin b A B a ===60B =︒60B =︒75C =︒120B =︒15C =︒ABCD AB DC = (,)x y (4,6)(3,7)(1,2)(,)x y -=--1121x y -=⎧⎨--=-⎩01x y =⎧⎨=-⎩(0,1)D -ABDC (2,3)D -ADBC (6,15)D (0,1)-(2,3)-(6,15)CA AC +=0 2OA OC CA CA -+=解析：对于A 、B ，根据向量的运算法则，及分配律，易知A 、B 正确；对于C ，当,反向且都与垂直时满足题设，但，故C 错误；对于D ，是与共线的向量，是与共线的向量，故D 错误.故选：CD.12．答案：（只需满足即可）解析：直线的斜率为，所以，直线的方向向量坐标可以为.故答案为：（只需满足即可）.13．答案：26.4解析：在中,,,则米.在中,,则米.14．答案：解析：解得，设点，则，于是，即又点P 在第三象限，所以解得.所以的取值范围为.15解析：由正弦定理,得,因为,,所以,于是或.①当时,,此时b c a b c ≠ ()a b c ⋅⋅ c ()a b c ⋅⋅ a ()3,2-()()3,20m m m -≠2310x y +-=23k =-2310x y +-=()3,2-()3,2-()()3,20m m m -≠BCD △180308664CBD ∠=︒-︒-︒=︒sin 64sin 30CD BD =︒︒202000.99BD ==ABD △tan 1.19AB ADB BD ∠==2381.1926.49AB BD =⨯=≈(),1-∞-(35,17)AP λλ=++ (,)P x y (2,3)AP x y =-- (2,3)(35,17)x y λλ--=++235,317.x y λλ-=+⎧⎨-=+⎩550,470,x y λλ=+<⎧⎨=+<⎩1λ<-λ(,1)-∞-1-sin sin c B C b ===c b >30B =︒30180C <<︒︒45C =︒135C =︒45C =︒105A =︒sin sin b A a B ====.②当时,.此时.16．答案：见解析解析：如图,在平面直角坐标系中画出点A,B,C,我们发现是直角三角形,证明如下:因为,,所以,于是,因此,是直角三角形.17．答案：（1）（2）解析：（1）因为,由正弦定理可得,整理为.由余弦定理得,因为,所以.12222112+⎝⎭==+135C =︒15A =︒sin sin b A a B ====12222112⎫⎪⎝⎭==-ABC △()()21,321,1AB =--= ()()21,523,3AC =---=- ()13130AB AC ⋅=⨯-+⨯= AB AC ⊥ ABC △π3A =10+(sin sin )()(sin sin )A B a b c C B +-=⨯-()()()a b a b c c b +-=-222b c a bc +-=1cos 2A =(0,π)A ∈π3A =（2）因为,所以.,所以.所以的周长为18．答案：（1）（2解析：（1）因为，所以，因为O 是线段的中点，所以，设，则有，因为C ，O ，E 三点共线，所以，解得，即，所以，所以；（2）因为，同理可得，由（1）可知，，所以，因为E ，O ，F 三点共线，所以，即，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.19．答案：（1）（2）1sin 2ABC S bc A ==△24bc =2222()328a b c bc b c bc =+-=+-=10b c +=ABC △10+232PC BP = ()11213333AP AB BP AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+ AP 111236AO AP AB AC ==+ AB xAE = 136x AO AE AC =+ 1136x +=52x =25AE AB =35EB AB =23AE EB =()1AB AE EB AE AE AE λλ=+=+=+ ()1AC AF μ=+ 111236AO AP AB AC ==+ 1136AO AE AF λμ++=+ 11136λμ+++=23λμ+=()11111121233333μλλμλμλμλμ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝μ=3μ=λ=11λμ+π3B =b =解析：（1，.因为，所以，所以.因为，所以，所以.（2）由，得.又由正弦定理得，所以，解得tan A -=sin cos b A A =+sin sin cos C B A B A =+sin sin[π()]sin()C A B A B =-+=+sin sin cos )A B B A A B =+sin sin sin A B B A =(0,π)A ∈sin 0A ≠tan B =π3B =1sin 2S ac B ==12ac =sin sin sin a b c A B C ==2sin sin sin ac b A C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭221312π9sin 3b ⨯=b =。

高中数学必修二平面向量及其应用单元检测 (20)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. △ABC 的三边长分别为AB =7，BC =5，AC =6，则的值为( )．A. 19B. 14C. −18D. −192. 已知非零向量e 1，e 2，a ，b 满足a =2e 1−e 2，b =ke 1+e 2.给出以下结论：①若e 1与e 2不共线，a 与b 共线，则k =−2; ②若e 1与e 2不共线，a 与b 共线，则k =2; ③存在实数k ，使得a 与b 不共线，e 1与e 2共线; ④不存在实数k ，使得a 与b 不共线，e 1与e 2共线． 其中正确结论的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 3. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ ，其中|a ⃗ |=1，|a ⃗ −2b ⃗ |=4，|a ⃗ +2b ⃗ |=2，则b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影为 ( ) A. −32B. 32C. −2D. 24. 已知集合，，则为( ) A.B.C.D.5. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线一条渐近线交于点P ，若PF ⃗⃗⃗⃗ 2·OP⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|PF 1|=2|PF 2|，则该双曲线的离心率为( ) A. 3B. √21C. √212 D. √2136. 下列说法正确的是A.B.C. D.7. 在△ABC 中，已知|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，△ABC 的面积为√3，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. ±2 B. ±4 C. 2 D. 48. 设O 是平行四边形ABCD 两对角线AC 与BD 的交点，下列向量组：①AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ；②DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；③CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；④OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .其中可作为表示这个平行四边形所在平面的所有向量基底的是( ) A. ①②B. ③④C. ①③D. ①④9. 已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0,−1)，则△ABC 的形状为( )A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. A 、B 、C 均不正确10. 在正方体ABCD ­ A 1 B 1 C 1 D 1中，有下列命题：①(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2； ②A 1C ―→·(A 1B 1―→−A 1A ―→)=0； ③AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°； ④正方体的体积为|AB ―→·AA 1―→·AD ―→|. 其中正确命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 411. 已知M (x 0,y 0)是双曲线C:x 22−y 2=1上的一点，F 1,F 2是C 的两个焦点，若MF 1⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则y 0为( )．A. ±√33B. ±√36 C. ±2√23 D. ±2√3312. 下列说法正确的是A.B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13. 在矩形ABCD 中，AB =√2，BC =2，E 是BC 边的中点，点F 在边CD 上．若O 是对角线AC的中点，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则λ+μ=_____． 14. 10.已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c =λa +μb(λ,μ∈R)，则λμ=___.15. 已知向量a =(x,4)，b =(−2,−1).若向量a 与b 的夹角为钝角，则实数x 的取值范围为_______________．16. 9.已知O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，则(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=_____．17. 在矩形ABCD 中，AB =√5，BC =√3，P 为矩形内一点，且AP =√52，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则√5λ+√3μ的最大值为________．18. 已知点O(0,0)，A(1,0)，B(0,−1)，P 是曲线y =√1−x 2上一个动点，那么OP⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______．三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）19. 11.在平面直角坐标系中，给定△ABC ，M 为BC 的中点，点N 满足AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP⃗⃗⃗⃗⃗ =μBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求实数λ与μ的值；(2)若A ，B ，C 三点坐标分别为(2,−2)，(5,2)，(−3,0)，求点P 的坐标．20. 12.在△ABC 中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，向量m =(cosA,sinB)，n =(cosB,sinA)．(1)若acosA =bcosB ，求证：m//n ； (2)若m ⊥n ，a >b ，求tanA−B 2的值．21.22. 已知向量a =(√2sinα,1)，b =(1,sin (α+π4))．(1)若角α的终边过点(3,4)，求a ·b 的值； (2)若a//b ，求锐角α的大小．23. 已知平行四边形ABCD ，其中A(−1,0),B(2,−4),C(5,−3)，点E 是边AC 靠近C 的三等分点，点F 是CD 的中点．(1)计算点E 的坐标，并AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用表示AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)证明B,E,F三点共线．24.如图，设D是⊿ABC边BC的中点，点G在AD上，AG=2GD，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点．(1)试用表示；(2)若，求的值．25.F1，F2是作用于同一质点的两个力，|F1|=86N，|F2|=83N，且F1，F2的夹角为77°12′，求合力F的大小及合力与较大力所成的角θ(力的大小精确到1N，角度精确到1°)．26.(14分)已知在等边三角形ABC中，点P为线段AB上一点，且．(1)若等边三角形边长为6，且，求；(2)若，求实数的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：cos B=，∴cos B=7×5×=19．2.答案：B解析：(1)若a与b共线，即a=λb，即2e1−e2=λke1+λe2，而e1与e2不共线，∴解得k=−2.故①正确，②不正确．(2)若e1与e2共线，则e2=λe1，有∵e1，e2，a，b为非零向量，∴λ≠2且λ≠−k，∴a=b，即a=b，这时a与b共线，∴不存在实数k满足题意.故③不正确，④正确．综上，正确的结论为①④．3.答案：A解析：【分析】本题考查平面向量的投影，以及向量数量积的运算，考查推理能力和计算能力，属于基础题．先求出a⃗⋅b⃗ =−32，再利用b⃗ 在a⃗方向上的投影为a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |即可求解．【解答】解：∵|a⃗|=1，|a⃗−2b⃗ |=4，|a⃗+2b⃗ |=2，∴16=a⃗2+4b⃗ 2−4a⃗⋅b⃗ ，4=a⃗2+4b⃗ 2+4a⃗⋅b⃗ ，解得a⃗⋅b⃗ =−32，则b⃗ 在a⃗方向上的投影为a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |=−32，故选A．4.答案：A解析：∵，中，∴，∴．5.答案：D解析：【分析】本题考查了双曲线的离心率、渐近线、三角形的边角关系等不同章节知识的综合应用，体现了逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，属于中档题．易得|PF2|=b，|OP|=a，|PF1|=2b，分别求出，，由a2+c2−4b22ac +ac=0即可求出答案．【解答】解：根据题意可得，|PF2|=b，|OP|=a，|PF1|=2b，在△POF2中，，在△POF1中，，由cos∠POF2+cos∠POF1=0，得a2+c2−4b22ac +ac=0，从而求得e=√213．故选D．6.答案：D解析：解：选项A，得：所以或，所以错误；选项B，由已知得：，同理求得：，所以即选项B错误；选项C，且，即选项错误；故选D．7.答案：A解析：略8.答案：C解析：能否作为基底主要看两向量是否共线．①中AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，可以作为基底．②中DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,它们共线．③中CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，可以作为基底．④中OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,它们共线．故①③正确． 9.答案：C解析：=(3,−1)，=(−1,−3)，∵·=3×(−1)+(−1)×(−3)=0，∴⊥，又∵||=||=，∴△ABC 为等腰直角三角形．10.答案：B解析：选B 如图所示，(AA 1―→+AD ―→+AB ―→)2=(AA 1―→+A 1D 1―→+D 1C 1―→)2=AC 1―→2=3AB ―→2； A 1C ―→·(A 1B 1―→−A 1A ―→)=A 1C ―→·AB 1―→=0；AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的补角，而D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°，故AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°； 正方体的体积为|AB ―→||AA 1―→||AD ―→|. 综上可知，①②正确．11.答案：A解析： 【分析】本题考查双曲线的定义，三角形面积公式，向量垂直的条件等知识，属于中档题． 【解答】解：由题意得，a =√2，b =1，c =√2+1=√3， 由双曲线的定义得||MF 1|−|MF 2||=2√2， 所以|MF 1|2+|MF 2|2−2|MF 1||MF 2|=8， 又由MF 1→MF 2→=0，所以MF 1⊥MF 2， 所以|MF 1|2+|MF 2|2=(2√3)2=12， 所以2|MF 1||MF 2|=4，|MF 1||MF 2|=2， 所以|MF 1||MF 2|=2√3|y 0|=2， 所以|y 0|=√33，y 0=±√33，故选A ．12.答案：D解析：解：选项A ， 得： 所以 或 ，所以错误；选项B ，由已知得： ，同理求得： ，所以即选项B 错误；选项C，且，即选项错误；故选D．13.答案：略解析：略14.答案：略解析：略15.答案：略解析：略16.答案：略解析：略17.答案：略解析：略18.答案：略解析：略19.答案：略解析：略20.答案：略解析：略21.答案：解：(1)由题意知：解得；(2)设=(x,y)，由得x −4y =0， ① 又||=，，②解①②得或， 所以，向量=．解析：(1)根据向量的垂直可得数量积为0，代入计算即可；(2)根据两个向量的平行，利用向量平行的判断直接代入计算可得x −4y =0，又又||=，，联立方程组求解即可．本题考查向量平行垂直的判断和向量模的求解，熟练掌握向量的平行垂直的运算公式是解题的关键．22.答案：略解析：略23.答案：(1)解：因为点E 是边AC 靠近C 的三等分点，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设E(x,y)，则(x +1,y)=2(5−x,−3−y)，可解得：E(3,−2)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (2)证明：由(1)可得，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1)+12×(−3,4)=(12,1)，从而BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EF⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以B,E,F 三点共线．解析：本题主要考查了向量的线性运算，坐标表示，共线的证明，属于基础题．(1)因为点E 是边AC 靠近C 的三等分点，所以有AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而求得答案． (2)由(1)可得，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1)，进而求得答案． 24.答案：解：(1)由题知G 为⊿ABC 重心，所以 ．又因为 =所以 ……………………………………4分(2)………………8分 又因为 // ，所以存在实数 使得 ，即……………………………………10分由平面向量基本定理得消去 得 …………………………………………………………14分解析：本题主要考查向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理，平面向量基本定理，三角形重心．(1)由D 为BC 的中点，可得，又由三角形重心定义可得，可求得的表达式．(2)由(1)及，我们根据M ，G ，N 三点共线，易得x ，y 的关系式，整理后即可得到值．25.答案：解：F 1⃗⃗⃗ ，F 2⃗⃗⃗⃗ 合成的示意图如下图，F 1⃗⃗⃗ ，F 2⃗⃗⃗⃗ 夹角为77∘12′，F ⃗ =F 1⃗⃗⃗ +F 2⃗⃗⃗⃗ ，根据向量数量积可知|F ⃗ |=√|F 1|⃗⃗⃗⃗⃗ 2+|F 2|⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2|F 1|⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅|F 2|⃗⃗⃗⃗⃗ cos 77°12′=132N ；又∵F ⃗ −F 1⃗⃗⃗ =F 2⃗⃗⃗⃗ ，∴|F ⃗ |2+|F 1⃗⃗⃗ |2−2|F ⃗ ||F 1⃗⃗⃗ |cosθ=|F 2⃗⃗⃗⃗ |2，则cosθ=|F|⃗⃗⃗⃗ 2+|F 1⃗⃗⃗⃗ |2−|F 2⃗⃗⃗⃗ |22|F ||F 1|=0.79，查表得θ=38∘．解析：本题主要考查向量的物理应用及向量的数量积与夹角，考查了推理与计算能力，属于基础题．由题意，先画出F 1⃗⃗⃗ ，F 2⃗⃗⃗⃗ 合成的示意图，进而利用向量的数量积及夹角公式求解即可．26.答案：解：(1)当 λ=13时， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=62−2×6×2×12+22=28. ∴ |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√7； (2)设等边三角形的边长为a ，则 CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a 2+λa 2， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λAB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−λa 2+λ2a 2 即 −12a 2+λa 2≥−λa 2+λ2a 2，∴ λ2−2λ+12≤0，∴ 2−√22≤λ≤2+√22. 又0≤λ≤1，∴ 2−√22≤λ≤1．解析：本题考查利用向量数量积的运算求向量的模以及数量积的运算法则．(1)据向量模的平方等于向量的平方求向量的模，利用向量的数量积法则求向量的平方；(2)把所有向量转化为用基向量表示是向量解题的基本思路，本题可考虑选择向量AB、向量AC作为基向量．。

高一数学必修二《平面向量》单元综合测试卷(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)【答案】 A2．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53C ．53D ．32【答案】 A3．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )A ．－32a 2B ．－34a 2C ．34a 2D ．32a 2 【答案】 D4．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2【答案】 B5．已知非零向量a ，b 满足|b|＝4|a|，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6【答案】 C6．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →【答案】 D7．已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b|＝50，则|b|＝( )A ．0B ．2C ．5D ．25【答案】 C8.已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( )A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －43bD ．－23a ＋43b 【答案】 B9．设非零向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【答案】 B10．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，E 是CD 上一点，且AE →·AB →＝1，则AE →·AC →的值为( )A ．3B ．2C ．32D ．33【答案】 B11．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为( )A ．(－3,0)B ．(3,0)C ．(2,0)D ．(4,0)【答案】 B12．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．三边均不相等的三角形【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.【答案】 －614．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．【答案】 －315．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________．【答案】 －516．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.【答案】 12 －16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c|的取值范围．【解】 |c|2＝|a ＋2b|2＝|a|2＋4a·b ＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．因为0°<θ<120°，所以－12<cos θ<1，所以13<|c|<5，所以|c |的取值范围为(13，5)．18．(本小题满分12分)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3,0)，OC →＝(m,3)．(1)当m ＝8时，将OC →用OA →和OB →表示； (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．【解】 (1)m ＝8时，OC →＝(8,3)，设OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴(8,3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3,0)＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，∴⎩⎨⎧ 2λ1＋3λ2＝8，－λ1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝－3，λ2＝143，∴OC →＝－3OA →＋143OB →. (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，则有AB →与AC →不共线，又AB →＝OB →－OA →＝(3,0)－(2，－1)＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(m,3)－(2，－1)＝(m －2,4)，则有1×4－(m －2)×1≠0，∴m ≠6.19．(本小题满分12分)设i ，j 是平面直角坐标系中x 轴和y 轴正方向上的单位向量，AB →＝4i －2j ，AC →＝7i ＋4j ，AD →＝3i ＋6j ，求四边形ABCD 的面积．【解】 因为AB →·AD →＝(4i －2j )·(3i ＋6j )＝3×4－2×6＝0，所以AB →⊥AD →.又因为AC →＝7i ＋4j ＝4i －2j ＋3i ＋6j ＝AB →＋AD →，所以四边形ABCD 为平行四边形，又AB →⊥AD →，所以四边形ABCD 为矩形，所以S 四边形ABCD ＝|AB →|×|AD →|＝16＋4×9＋36＝30.20．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 在同一平面内，且a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c ； (2)若|b |＝52，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，求a 与b 的夹角． 【解】 (1)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)．又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0.∵|a |＝5，|b |＝52，∴a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝180°.21．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②由①得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.22．(本小题满分12分)已知⊙O 的直径为10，AB 是⊙O 的一条直径，长为20的线段MN 的中点P 在⊙O 上运动(异于A ，B 两点)．(1)求证：AM →·BN →与点P 在⊙O 上的位置无关；(2)当MN →与AB →的夹角θ取何值时，AM →·BN →有最大值？【解】 (1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，P 为圆上一点，∴AP ⊥BP ，∴AP →⊥BP →，即AP →·BP →＝0.∵P 为MN 的中点，且|MN →|＝20，∴MP →＝PN →，|MP →|＝|PN →|＝10，∴AM →·BN →＝(AP →＋PM →)·(BP →＋PN →)＝(AP →－PN →)·(BP →＋PN →)＝AP →·BP →＋AP →·PN →－PN →·BP →－PN →·PN →＝PN →·(AP →－BP →)－100＝12MN →·AB →－100，∴AM →·BN →仅与MN →，AB →的夹角有关，而与点P 在⊙O 上的位置无关．(2)由(1)得，AM →·BN →＝12MN →·AB →－100＝100cos θ－100. ∵0≤θ≤π，∴当θ＝0时，AM →·BN →取得最大值0.。