宁夏银川2020届高三第六次月考数学(文)试题 含解析

2020届宁夏回族自治区银川市兴庆区银川一中高三第五次月考数学（文）试题一、单选题1•设集合A {x I x是小于9的正整数}, B 0,3,6,9,10，则AI B （A. 0,3,6,9B. 3,6,9C. 3,6D. 0,3,6【答案】C【解析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可.【详解】解：••• A 1,2,3,4,5,6,7,8 , B 0,3,6,9,10 ,••• AI B 3,6 .故选：C【点睛】本题考查了列举法、描述法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题.52.复数旦的共轭复数是（）i 2A. 2 iB. 2iC. 2 iD. 2【答案】C【解析】先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解【详解】5因为52 i，所以复数5——的共轭复数是2 i，选C.i2i 2【点睛】本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.3 .函数 f x sin xsin x的最小正周期为（）4A. 4B. 2C.D.—2【答案】C【解析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性, 结论.【详解】得出解：函数f x sinxsin xsin x 罷i sin x2罷cosx2.2 1cos2x2 丄sin2x22 2 2辽sin2x 2cos2x4441-2 —e , 斗2sin2x —，其最小正周期为24 4 2故选：C【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于基础题.4•若0 b 1 且log a b 1，则（）A. 0 a bB. 0 b a 1C. 0 b 1 aD. 0 aa 1【答案】D【解析】对a进行分类讨论，然后结合对数函数的单调性即可判断.【详解】解：••• 0 b 1 且log a b 1 log a a ,当a 1时，有0 b 1 a ,当0 a 1时，有1 b a 0,故选：D .【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性比较函数值大小，属于基础题.25.数列a n的通项a n 3n 2020 n 1，当取最大值时，n （）A. 336B. 337C. 336或337D. 338【答案】B【解析】根据数列｛a n｝的通项公式，结合二次函数的知识，分析计算即可得到当大值时n的值.n取最【详解】2 解：依题意，a n 3n 2020 n 1，表示抛物线 数时对应的函数值， 又y 3n 22020n 1为开口向下的抛物线，2020 1010 故到对称轴n 23 厂 距离越近的点，函数值越大, 2 3 3故当n 337时，a n f n 有最大值, 故选：B 【点睛】本题考查了数列与函数的关系， 考查了二次函数的最大值问题，主要考查分析和解决问题的能力，属于基础题.6 •某几何体的三视图如图所示，俯视图是有一条公共边的两个正三角形•该几何体的【答案】D【解析】 画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可.【详解】 解：由题意，几何体的直观图如图：是两个三棱锥的组合体，底面是正三角形，边长为 2，棱锥的高为1 ,2n 3n 2020n 1当n 为正整A . 2 4 3B. 2 8「3C. 4 2 3D. 8 2.3表面积为（ ）所以几何体的表面积为,【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积， 考查空间想象能力以及计算能力， 属于基础题.r r r r r r7 .若向量a 、b 满足a b a b ，则一定有（）【答案】A【解析】对a b a b 两边平方，进行数量积的运算即可得出 【详解】r r r r解：••• a b a b ,r r -a b 0 -故选：A 【点睛】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，不等式的性质，考查了计算能力，属于基础 题.8.“ a 2”是“直线ax 2y 3a 0与直线x a 1 y a 2平行”的（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】当a 2代入直线表达式可得两直线平行，而当两直线平行时，由题可知斜率 都存在，则斜率相等可计算出 a . 【详解】解：当a 2时，直线ax 2y 3a 0即为2x 2y 3a 0，直线x a 1 y a 2即为x y 0，此时两直线平行；a 2当直线ax 2y 3a 0与直线x a 1 y a 2平行时，解得a 2或1 a 1a 1 ,当a 2时，2x 2y 6 0与x y 0平行，当a 1时，x 2y 30与x 2y 3重合，不满足条件，o rb raA.o rb raBrbr a2r br a 2r br a r2a故当两直线平行时 a 2 •故“ a 2”是“直线ax 2y 3a 0与直线x a 1 y a 2平行”的充要条 件 故选：C 【点睛】本题考查命题之间的关系，涉及两直线平行的性质，属于基础题.39 .函数f x sin 2x3cosx 的一个单调递增区间是（）2 c 35A .,B. 0,C. — >D. —,4 2442 4【答案】B【解析】先对已知函数进行化简，然后结合余弦函数与二次函数的单调性及复合函数的 单调性的性质，结合选项即可判断. 【详解】2cos2x 3cos x 2cos x 3cos x 1 ,令t cosx ，贝y t 1,1 ,则ft2t 2 3t1，开口向下，对称轴t 3 4，当x1, , 4 2 y cosx 不单调，不符合题意,当x 0,3 时，4y cosx 单调递减且cosx2,1，即 t 2故选：B 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调区间的求解，二次函数的性质的应用是求解问题的关 键.sin 2x3 23cos x ,根据二次函数的性质可知，当 t，函数ft 单调递减,根据复合函数的单调性可知,3f x 在0, 上单调递增.410.设m , n 是两条不同的直线, ①若 m , n// ，则m n ②若// , // ,m ，则m③若 m// ,n// ，贝U m//n ④若，则//其中正确命题的序号是（ ）A .①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④【答案】A【解析】根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平 行的性质结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同 一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得 ③④不正确.由此可得本题的答案. 【详解】解：对于①，因为 n// ，所以经过n 作平面 ，使 I，可得n //l,又因为m , 1 ，所以m 1，结合n//l 得m n .由此可得①是真命题；对于②，因为//且// ，所以 //，结合m，可得m，故②是真命题；对于③，设直线 m 、n 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线, 而平面 是正方体下底面所在的平面，则有m//且n//成立，但不能推出 m//n ,故③不正确； 则有 且，但是，推不出 // ，故④不正确.综上所述，其中正确命题的序号是①和②故选：A 【点睛】本题给出关于空间线面位置关系的命题， 要我们找出其中的真命题， 着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题.2 211.在平面直角坐标系 xOy 中，F ,、F 2是双曲线 冷也 1的焦点，以F”为直径a 2b 2的圆与双曲线右支交于 A 、B 两点.若 OAB 是正三角形，则双曲线的离心率为（ ）第6页共17页是三个不同的平面，给出下列四个命题:对于④，设平面 是位于正方体经过同一个顶点的三个面,12 .设函数f xx2 , x 1 x 3,x1,则函数g x f x1的零点的个数为（ ）2A . 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】根据函数与方程的关系转化为两个函数图象交点个数问题, 利用数形结合进行求解即可. 【详解】作出f x 与y1 , r 1 ,x 1 得 f X x 1 , 2 21^x 1的图象，由图象知两个函数共有4个交点,则函数g x 的零点个数为4个,【答案】A【解析】由题意画出图形，求得 A 的坐标，代入双曲线方程求解双曲线的离心率.【详解】解：如图, 由OAB是正三角形， 得A 齐1 2c ，2 代入x2a 2y b 2 3c 2 c 21，得「 24a 4b1,••• 3c 2 c 2 a 2a 2c 2 4a 2 c 2 2 a整理得：3e 4 8e 2 4 0，解得2e 2或e 2 2 （舍）3故选：A 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题.B.3C. 2D.5【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合或者定义法是解决本题的关键.二、填空题13 •已知命题：若一个整数的末位数字是 0，则这个整数能被 5整除.写出它的逆命题:【答案】若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是 0【解析】 根据逆命题的定义，原命题的条件做结论，结论当条件，写出即可. 【详解】解：原命题：若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被 5整除;则，逆命题：若一个整数能被 5整除，则这个整数的末位数字是 0. 故答案为：若一个整数能被 5整除，则这个整数的末位数字是 0.【点睛】本题考查了命题的逆命题的写法，注意语句的连贯性和表达的准确性，属于基础题.1 sin 2cos2【答案】13【解析】由利用二倍角公式将式子化成齐次式，结合同角基本关系化简可求. 【详解】如1 解：T tan2，214 .若 tan则1 si n22 2sin cos 2sin coscos 22 . 2cos sin故选：Dtan 2 tan 1 11 tan231故答案为：丄3【点睛】本题主要考查了同角平分关系及商的关系在求解三角函数值中的应用，属于基础试题.2 o15•已知实数x、y满足x 1 y2 1，则z 3x 4y 2的最大值为___________________ .【答案】10【解析】把z 3x 4y 2变形为z 2 3x 4y ,所以当直线3x 4y m 0在y轴上截距最小时，z取最大值，由题意可知点P在圆（x 1）2 y2 1上或圆内，当直线3x 4y m 0与圆（x 1）2 y2 1相切时，截距最小值，从而求出z的最大值.【详解】2 o解：•••实数x、y满足x 1 y2 1 ,2 o设点P x, y，则点P在圆x 1 y21上或圆内，Q z 3x 4y 23x 4 y 2 z 0令直线为3x 4y m 0 m 2 z2•••当直线3x 4y m 0与圆x 1 y21，相切时，m取得最值，3 m c 厂亠•d 1 ,• 3 m 5 , m 2 或8,•m的最小值为8 ,•- z 2 m的最大值为8,•z的最大值为10,故答案为：10【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，是中档题.3 216.若曲线y x x在点P处的切线I与直线y x垂直，则切线|的方程为_____________ ,5【答案】y x 或y x 127【解析】根据题意可设P （x 。

2020届宁夏银川一中文科数学高考三模试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2≤1}，B＝{x|3x＜1}，则A∪（∁R B）＝（）A．{x|x＜0}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x＜0}D．{x|x≥﹣1}2．（5分）若复数z与其共轭复数满足z﹣2＝1+3i，则|z|＝（）A．B．C．2D．3．（5分）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．2x±y＝0B．x±2y＝0C．3x±4y＝0D．4x±3y＝04．（5分）在区间（0，4]内随机取两个数a、b，则使得“命题‘∃x∈R，不等式x2+ax+b2＜0成立’为真命题”的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）若向量与平行，则＝（）A．B．C．D．6．（5分）F是抛物线y2＝2x的焦点，A、B是抛物线上的两点，|AF|+|BF|＝8，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．4B．C．D．37．（5分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（）A．若m⊥n，m⊥α，则n∥αB．若m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥αC．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β8．（5分）已知函数y＝f（x）的部分图象如图，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝x+tan x B．f（x）＝x+2sin xC．f（x）＝x﹣sin x D．9．（5分）已知函数，a＝f（20.3），b＝f（0.20.3），c＝f（log0.32），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b10．（5分）天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（M．R．Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是（当|x|较小时，10x ≈1+2.3x+2.7x2）（）A．1.24B．1.25C．1.26D．1.2711．（5分）已知数列{a n}的通项公式是，其中f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，S n为数列{a n}的前n项和，则S2020的值为（）A．﹣1B．C．D．012．（5分）已知函数f（x）＝，若函数F（x）＝f（x）﹣mx有4个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，3﹣2）C．（，3﹣2）D．（，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为．14．（5分）已知实数x，y满足，则z＝3x﹣y的最大值为．15．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝3，S4＝10，则＝．16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，P A＝PC＝2，BA＝BC＝1，∠ABC＝90°，点P到底面ABC的距离是；则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．（12分）某年级教师年龄数据如表：年龄（岁）人数（人）221282293305314323402合计20（Ⅰ）求这20名教师年龄的众数与极差；（Ⅱ）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；（Ⅲ）现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．18．（12分）（开放题）在锐角△ABC中，a＝2，_______，求△ABC的周长l的范围．在①＝（﹣cos，sin），＝（cos，sin），且•＝﹣，②cos A（2b﹣c）＝a cos C，③f（x）＝cos x cos（x﹣）﹣，f（A）＝注：这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．19．（12分）如图所示的多面体中，四边形ABCD是正方形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥DC，ED＝EF ＝CD＝1，∠EAD＝30°．（Ⅰ）求证：AE⊥FC；（Ⅱ）求点D到平面BCF的距离．20．（12分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y＝k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）与直线x﹣y﹣1﹣ln2＝0相切，求实数a的值；（Ⅱ）若不等式（x+1）f（x）≤lnx﹣在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝，曲线C的极坐标方程为ρ﹣6cosθ＝0．（1）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点A（1，0），若直线l与曲线C交于P，Q两点，P，Q中点为M，求的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+2|．（1）求不等式f（x）+f（x﹣2）＜x+4的解集；（2）若∀x∈R，使得f（x+a）+f（x）≥f（2a）恒成立，求a的取值范围．。

宁夏银川一中2020届高三年级第六次月考理科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.32ii-=+（ ） A. 1i - B. 22i -C. 1i +D. 22i +【答案】A 【分析】利用复数除法运算进行化简，从而得出正确选项. 【详解】原式()()()()32551225i i i ii i ---===-+-.故选：A【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，属于基础题.2.设集合22{(,)|1},97x y M x y =+={(,)|2}x N x y y ==,则M N ⋂的子集的个数是（ ）A. 8B. 4C. 2D. 0【答案】B 【分析】画出集合,M N 表示的图像，根据图像交点的个数，判断出M N ⋂元素的个数，由此求得M N ⋂的子集的个数.【详解】画出集合,M N 表示的图像如下图所示，由图可知M N ⋂有两个元素，故有224=个子集. 故选：B【点睛】本小题主要考查集合交集的运算，考查子集的个数求法，考查椭圆的图像和指数函数的图像，属于基础题.3.《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则第30天织布（ ） A. 7尺 B. 14尺C. 21尺D. 28尺【答案】C 【分析】根据题意利用等差数列前n 项和公式列方程，解方程求得第30天织布.【详解】依题意可知，织布数量是首项为15a =，公差5d =的等差数列，且13030303902a a S +=⨯=，即()30155390a ⨯+=，解得3021a =（尺）. 故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列的前n 项和公式，考查中国古代数学文化，属于基础题. 4.以下四个结论，正确的是（ ）①质检员从匀速传递的产品生产流水线上，每间隔15分钟抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②在回归直线方程0.1.3ˆ1y x =+中，当变量ˆx 每增加一个单位时，变量ˆy增加0.13个单位； ③在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和是1；④对于两个分类变量X 与Y ，求出其统计量2K 的观测值k ，观测值k 越大，我们认为“X 与Y 有关系”的把握程度就越大.A. ②④B. ②③C. ①③D. ③④【答案】D 【分析】利用系统抽样和分层抽样的知识判断①的正确性；利用回归直线方程的知识判断②的正确性；利用频率分布直方图的知识判断③的正确性；利用独立性检验的知识判断④的正确性. 【详解】①，是系统抽样，不是分层抽样，所以①错误. ②，$y 增加0.1，所以②错误. ③，在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和是1，所以③正确. ④，对于两个分类变量X 与Y ，求出其统计量2K 的观测值k ，观测值k 越大，我们认为“X 与Y 有关系”的把握程度就越大，所以④正确.综上所述，正确的序号为③④. 故选：D【点睛】本小题主要考查抽样方法、回归直线方程、频率分布直方图和独立性检验等知识，属于基础题.5.在8(1)(1)x x -+的展开式中3x 的系数是（ ） A. －14 B. 14 C. -28 D. 28【答案】C 【分析】根据二项式展开式，求得3x 的系数.【详解】依题意，8(1)(1)x x -+的展开式中3x 的系数是65238888285628C C C C -=-=-=-.故选：C【点睛】本小题主要考查二项式展开式，属于基础题. 6.抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）A.B.C.D.【答案】B【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M 是AB 中点，所以111()2MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF∆中222AB AF BF=+22cos3AF BF π-22AF BF AF BF=++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2AF BF+-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB+≤，即AF BF AB +≤，所以MN AB ≤B ．考点：抛物线的性质．【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系． 7.设,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. ,//m m n n αα⊥⊥⇒B. ,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥C. ,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥D.,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒【答案】B 【分析】根据线面、面面平行的知识和线线、面面垂直的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，直线n 可能在平面α内，故A 选项错误.对于B 选项，由于,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，所以m n ⊥正确，故B 选项正确. 对于C 选项，,αβ可能平行，故C 选项错误. 对于D 选项，,αβ可能相交，故D 选项错误. 故选：B【点睛】本小题主要考查线面平行、面面平行、线线垂直、面面垂直的知识，属于基础题. 8.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为()1F ，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为()0,2，则此双曲线的方程是（ ）A. 22132x y -=B. 2214y x -=C. 22123x y -=D.2214x y -= 【答案】B试题分析：设双曲线的标准方程为()222210,0,x y a b a b -=>>由1PF 的中点为()0,2知，2PF x ⊥，),P即22224,4,54,1,2b b a a a a b a==∴-===，∴双曲线方程为2214y x -=，故选B.考点：1、待定系数法求双曲线的标准方程为；2、双曲线的简单性质.9.已知向量1sin ,2m A ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r与向量(3,sin )n A A =+r 共线，其中A 是ABC ∆的内角，则角A 的大小为（ ） A.2πB.4π C.3π D.6π 【答案】C 【分析】根据两个向量共线的坐标表示列方程，由此求得A 的大小.【详解】由于,m n u r r 共线，所以()1sin sin 3cos 302A A A ⋅+-⨯=，即23sin 3sin cos 02A A A +-=，1cos 233sin 2022A A -+-=， 31sin 2cos 212A A -=，sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由于()0,A π∈，所以2,623A A πππ-==.故选：C【点睛】本小题主要考查向量共线的坐标表示，考查降次公式和辅助角公式，属于基础题.10.已知()f x 在R 上是可导函数,则()f x 的图象如图所示，则不等式()223()0x x f x '-->的解集为（ ）A. (,2)(1,)-∞-+∞UB. (,2)(1,2)-∞-UC. (,1)(1,0)(2,)-∞-⋃-⋃+∞D. (,1)(1,1)(3,)-∞-⋃-⋃+∞【答案】D 【分析】根据()f x 图像判断()'fx 的符号，由此求得不等式()223()0x x f x '-->的解集.【详解】由()f x 的图像可知，在区间()(),1,1,-∞-+∞上()'0f x >，在区间()1,1-，()'0f x <.不等式()223()0x x f x '-->可化为()()()'310x x f x -⋅+⋅>，所以其解集为(,1)(1,1)(3,)-∞-⋃-⋃+∞.故选：D【点睛】本小题主要考查函数图像与导数符号的关系，考查不等式的解法，属于基础题.11.已知正四面体ABCD 的棱长为3，则其外接球的体积为（ ）A.83π B.92π C.82π D.92π 【答案】B 【分析】将正四面体补形为正方体，利用正方体的外接球，计算出正四面体外接球的体积.【详解】将正四面体11B ACD -放在正方体1111ABCD A B C D -中如图所示，正四面体的外接球即正方体的外接球，设正方体的边长为x ，由于13AB =，即323,2x x ==，所以正方体的外接球半径为()133322222x ⨯=⨯=，所以外接球的体积为34923822ππ⨯= ⎪⎝⎭. 故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球体积的求法，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12.已知椭圆221:113x y C m n +=+-与双曲线222:1x y C m n+=有相同的焦点，则双曲线2C 的一条斜率为正的渐近线的斜率的取值范围为（ ） A. (1,)+∞B.)+∞C. (0,1)D.【答案】A 【分析】根据椭圆和双曲线的焦点相同，求得,m n 的关系式，由此求得渐近线斜率的取值范围.【详解】根据方程表示椭圆或双曲线得1030130m n m n mn +>⎧⎪->⎪⎨+≠-⎪⎪<⎩，即1320m n m n mn >-⎧⎪<⎪⎨+≠⎪⎪<⎩. 当0,0m n ><时，双曲线的焦点在x 轴上，所以椭圆的焦点也在x 轴上，则有130m n +>->，即13200m n m n m n >-⎧⎪<⎪⎪+>⎨⎪>⎪<⎪⎩，且()()13m n m n +--=+-，解得1n =，这与0n <矛盾.当0,0m n <>时，双曲线的焦点在y 轴上，所以椭圆的焦点也在y 轴上，则有310n m ->+>，即13200m n m n m n >-⎧⎪<⎪⎪+<⎨⎪<⎪>⎪⎩，且()()31n m n m --+=+-，解得1n =，此时10m -<<，11m ->.1=>. 故选：A【点睛】本小题主要考查椭圆、双曲线的焦点，考查双曲线渐近线，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的数学检测成绩（满分100分）分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生800名，据此估计，该数学检测成绩不少于60分的学生人数为_______人.【答案】640 【分析】求得数学检测成绩不少于60分的学生的频率，由此求得数学检测成绩不少于60分的学生人数. 【详解】数学检测成绩不少于60分的学生的频率为()0.030.0250.0150.01100.8+++⨯=，所以数学检测成绩不少于60分的学生人数为8000.8640⨯=人. 故答案为：640【点睛】本小题主要考查利用频率分布直方图进行计算，属于基础题.14.在等比数列{}n a 中，253,81a a ==,则数列{}3log n a 的前n 项和为___________.【答案】22n n- 【分析】 先求得数列{}n a 通项公式，由此求得数列{}3log n a 的通项公式，进而求得其前n 项和.【详解】由于等比数列{}n a 中，253,81a a ==，所以141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得11,3==a q ，所以13-=n n a ，所以3log 1n a n =-，所以数列{}3log n a 是首项为0，公差为1的等差数列，其前n项和为20122n n nn +--⋅=. 故答案为：22n n-【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和，属于基础题.15.在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_______个． 【答案】192 【分析】分3步：先个位、然后千位、排最后百位与十位.【详解】分3步：个位共有4种排法，然后千位有4种排法，最后百位与十位有2412A =种排法，不能被5整除的数共有44192⨯⨯个， 故答案为：192.【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，考查了元素位置有限制的排列问题，属于基础题.16.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，112n n n a S S ++=-，则2020S =______． 【答案】14039【分析】根据已知条件求得{}n S 的通项公式，再求得2020S 的值.【详解】由于11a =，112n n n a S S ++=-，所以112n n n n S S S S ++-=-，1112n nS S +-=，所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11111S a ==，公差为2的等差数列，所以()111221n n n S =+-⨯=-，所以121n S n =-，故2020112202014039S ==⨯-.故答案为：14039【点睛】本小题主要考查根据递推关系求通项公式，属于基础题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin()(2sin )(2sin ).a B C B C b C B c +=-+（1）求角A 的大小；（2）若4a =，b =ABC ∆的面积． 【答案】（1）6A π=；（2）见解+析.【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，求得cos A 的值，进而求得角A 的大小. （2）利用正弦定理求得sin B ，进而求得角B 的可能取值，由此求得角C ，进而求得ABC ∆的面积.【详解】（1）由已知及正弦定理可得22(2)(2)a b b c c =+，整理得222b c a +-=，所以222cos 222b c A bc bc a +===-． 又(0,)A π∈，故6A π=．（2）由正弦定理可知sin sin a b A B=，又4a =，b =6A π=，所以sin B =． 又5(0,)6B π∈，故3B π=或23π．若3B π=，则2C π=，于是12ABC S ab ∆==若23B π=，则6C π=，于是1sin 2ABCS ab C ∆==【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.18.如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，点M 是BC 的中点，1AMC ∆是以M 为直角顶点的等腰直角三角形.（1）求点B 到平面1AMC 的距离； （2）求二面角1M AC C --的大小. 【答案】（16（2）4π【分析】（1）利用等体积法求得点B 到平面1AMC 的距离.（2）建立空间直角坐标系，利用平面1MAC 和平面1CAC 的法向量，计算出二面角1M AC C --的余弦值，进而求得其大小.【详解】（1）设点B 到平面1AMC 的距离为h .则11B AMC A BMC V V --= 由（I ）知 1AM C M ⊥，AM CB ⊥， ∴AM ⊥平面11C CBB ∵1AB =，12BM =可求出： 132AM MC ==，12CC =111133AMC C MB S h S AM ∆∆⋅=⋅，即⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯113311123322232222h ， 得66h =. （2）过M 作11//MM CC 交11B C 于1M .以M 为坐标原点，1,,AM BC MM 分别为x 轴，y 轴，z 轴方向，建立如图所示空间直角坐标系设面1ACC 的一个法向量为(,,)u x y z =r,由100AC u CC u ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u u v v 得130220x y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，取1y =，则3,0x z ==,()3,1,0u ∴=-r,同理可求得面1AMC 的一个法向量为()2,0,1v =-r,设二面角1M AC C --的大小为θ，由图知θ为锐角,故62cos cos ,223u v θ===r r, 故二面角1M AC C --的大小为4π. 【点睛】本小题主要考查点面距的求法，考查二面角的大小的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.2019年7月，超强台风登陆某地区．据统计，本次台风造成该地区直接经济损失119.52亿元．经过调查住在该地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失；（2）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，经过调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（3）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由王师傅和张师傅两人进行维修，王师傅每天早上在7：00到8：00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7：30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求王师傅比张师傅早到小区的概率．附：临界值表参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++．【答案】（1）3360；（2）有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关；（3）78【分析】（1）根据由频率分布直方图计算平均数的方法，计算出平均损失.（2）根据已知条件填写22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断出有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关. （3）利用面积型几何概型的概率计算方法，计算出所求概率. 【详解】（1）记每户居民的平均损失为x 元，则：(10000.0001530000.000250000.0000970000.0000390000.00003)20003360x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（2）如图：2250(30695)391135154.046 3.841K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯=>， 所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．（3）设王师傅，张师傅到小区的时间分别为,x y ，则(,)x y 可以看成平面中的点． 试验的全部结果所构成的区域为{}(,)78,7.58.5x y x y Ω=≤≤≤≤，则1S Ω=，事件A 表示王师傅比张师傅早到小区，所构成的区域为{}(,),78,7.58.5A x y y x x y =≥≤≤≤≤，即图中的阴影部分：面积111712228A S =-⨯⨯=，所以7()8A S P A S Ω==， ∴王师傅比张师傅早到小区的概率是78.【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算平均数，考查22⨯列联表独立性检验，考查面积型几何概型概率计算，属于基础题.20.已知动圆Q 过定点()0,1F -，且与直线:1l y =相切，椭圆N 的对称轴为坐标轴，O 点为坐标原点，F 是其一个焦点，又点()0,2A 在椭圆N 上． （1）求动圆圆心Q 的轨迹M 的标准方程和椭圆N 的标准方程；（2）若过F 的动直线m 交椭圆N 于B C 、点，交轨迹M 于D E 、两点，设1S 为ABC ∆的面积，2S 为ODE ∆的面积，令ODE ∆的面积，令12Z S S =，试求Z 的取值范围.【答案】（1）24x y =-，22143y x +=（2）[)9,12Z ∈试题分析：（1）动圆圆心Q 满足抛物线的定义：Q l QF d -=，所以方程为24x y =-，而椭圆标准方程的确定，利用待定系数法：1,2c a ==（2）先表示面积：抛物线中三角形面积，利用焦点，底边OF 为常数，高为横坐标之差的绝对值，再根据直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解；椭圆中三角形面积，利用A 点为定点，底边AF 为常数，高为横坐标之差的绝对值，再根据直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求解；研究12Z S S =函数关系式：是一元函数，可根据直线斜率k取值范围求解()2122236111121121934344k Z S S k k +⎛⎫⎛⎫===-≥-=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭试题详细分析：（1）依题意，由抛物线的定义易得动点Q 的轨迹M 的标准方程为：24x y =-依题意可设椭圆N 的标准方程为()222210y x a b a b+=>>，显然有1,2c a ==，∴b =∴椭圆N 的标准方程为22143y x +=（2）显然直线m 的斜率存在，不妨设直线m 的直线方程为：1y kx =-①联立椭圆N 的标准方程2222143y x +=，有()2234690k x kx +--=，设()()1122,,,B x y C x y则有12234x x k -=+，再将①式联立抛物线方程24x y =-，有2440x kx +-=，设()()1144,,,D x y E x y得34x x -=∴2341·2S OF x x =-=， ∴()2122236111121121934344k Z S S k k +⎛⎫⎛⎫===-≥-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， ∴当0k =时，min 9Z =，又12Z <，∴[)9,12Z ∈考点：抛物线的定义,直线与抛物线位置关系，直线与椭圆位置关系【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，易得动点Q 的轨迹．2．若P(x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px(p ＞0)上一点，由定义易得|PF|＝x 0＋；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则弦长为|AB|＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 21.已知函数()ln f x x x =. （1）设实数12a e>（e 为自然对数的底数），求函数()f x 在[],2a a 上的最小值； （2）若k 为正整数，且()()1f x k x k >--对任意1x >恒成立，求k 的最大值． 【答案】（1）1e-；（2）3 【分析】（1）求得函数()f x 的定义域和导函数，对a 分成1a e ≥和112a e e<<两种情况讨论()f x 的单调区间，由此求得()f x 在区间[],2a a 上的最小值. （2）将不等式()()1f x k x k >--分离常数得到ln 1x x xk x +>-，构造函数ln ()(1)1x x xg x x x +=>-，利用导数求得()g x 取得最小值时对应的x 的取值范围，由此求得k 的最大值.【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，∵()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，得1x e=, 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0fx <，()f x 单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 单调递增．当1a e≥时，()f x 在[,2]a a 单调递增，min [()]()ln ,f x f a a a == 当112a e e <<时，得12a a e <<，min 11[()]f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. （2） ()(1)f x k x k >--对任意1x >恒成立， 即ln x x x +(1)k x >-对任意1x >恒成立， 即ln 1x x xk x +>-对任意1x >恒成立.令2ln ln 2()(1)'()(1)1(1)x x x x x g x x g x x x x +--=>⇒=>-- 令1()ln 2(1)'()0()x h x x x x h x h x x-=-->⇒=>⇒在(1,)+∞上单调递增. ∵(3)1ln30,(4)2ln 40,h h =-<=->∴所以()h x 存在唯一零点0(3,4)x ∈，即00ln 20x x --=. 当0(1,)x x ∈时，0()()0'()0h x h x g x <=⇒<； 当0(,)x x ∈+∞时，0()()0'()0h x h x g x >=⇒>；∴()g x 在0(1,)x x ∈时单调递减；在0(,)x x ∈+∞时，单调递增；∴0000min 0000(ln 1)(1)[()]()11x x x x g x g x x x x +-====--由题意min 0[()]k g x x <=，0(3,4)x ∈. 又因为k Z ∈，所以k 的最大值是3.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 22.在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)P 作倾斜角为6π的直线l ，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为1ρ=，将曲线1C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线2C ，直线l 与曲线2C 交于不同的两点,M N . （1）求直线l 的参数方程和曲线2C 的普通方程；（2）求11PM PN+的值. 【答案】（1）直线l的参数方程为12(12x t t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），曲线2C 的普通方程为2214x y +=；（2【分析】（1）根据直线参数方程的知识求得直线l 的参数方程，将1C 的极坐标方程转化为直角坐标方程，然后通过图像变换的知识求得2C 的普通方程.（2）将直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通方程，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得11PM PN+的值.【详解】(1)直线l的参数方程为1(12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），由1ρ=两边平方得21ρ=，所以曲线1C 的直角坐标方程式221x y +=,曲线2C 的方程为22()12x y +=,即2214x y +=.(2)直线l的参数方程为1(12x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），代入曲线2C 的方程得：27120,t +-=设,M N 对应得参数分别为12,t t ,则121212.7t t t t +==-12121212121111t t t t PM PN t t t t t t +-∴+=+==== 【点睛】本小题主要考查直线的参数方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查图像变换，考查直线参数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题. 23. 选修4—5：不等式选讲 设函数()31 3.f x x ax =-++（1）若a=1，解不等式()5f x ≤；（2）若函数()f x 有最小值，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）13{|}.24x x -≤≤；（2）33a -≤≤试题分析：（1）绝对值不等式3135x x -++≤，根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号；（2）函数1(3)2,()3()313{1(3) 4.()3a x x f x x ax a x x ++≥=-++=-+<是分段函数，它要存在最小值，则两部分应满足左边是减函数，右边是增函数．- 21 - 试题详细分析：（Ⅰ）1a =时，()313f x x x =-++． 当13x ≥时，()5f x ≤可化为3135x x -++≤，解之得1334x ≤≤； 当13x <时，()5f x ≤可化为3135x x -+++≤，解之得1123x -≤<． 综上可得，原不等式的解集为13{|}.24x x -≤≤5分 （Ⅱ）1(3)2,()3()313{1(3) 4.()3a x x f x x ax a x x ++≥=-++=-+< 函数()f x 有最小值的充要条件为30,{30,a a +≥-≤即33a -≤≤10分 考点：解绝对值不等式，分段函数的单调性与最值．。

银川一中2020届高三年级第五次月考文 科 数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}8,7,6,5,4,3,2,1,0=U ,{}6,4,3,1=A ,{}8,7,5,2,1,0=B ，则=)(B C A U I A ．{}6,4,3 B ．{}6,3,1 C ．{}5,4,3 D ．{}6,4,1 2．已知(,)a bi a b +∈R 是ii +1的共轭复数，则bi a += A ．1 B ．21 C ．2 D ．22 3．下列说法中，正确的是A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“0x R ∃∈，2000x x ->”的否定是“x R ∀∈，20x x -≤”C ．命题“p 且q ”为假命题，则命题“p ”和命题“q ”均为假命题D ．已知x R ∈，则“2>x 是4>x ”的充分不必要条件4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与圆25)5(22=+-y x 的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为A ．x 25－y 220＝1B ．x 225－y 220＝1C ．x 220－y 25＝1D ．x 220－y 225＝15．若33)2sin(=+πα，则α2cos = A ．31 B ．32 C ．31- D ．32- 6．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =A ．2744n n +B ．2533n n +C ．2324n n +D ．2n n +7．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>3,双曲线222=-y x 的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为A ．181222=+y x B ．221126y x += C ．221164y x += D ．221205y x += 8．执行如图所示的程序框图，若输入n =10，则输出的S 的值是A ．910B ．1011C ．1112D ．922 9．已知向量)3,3(=a ρ在向量)1,(n b =ρ方向上的投影为3，则a ρ与b ρ的夹角为A ．300B ．600C ．300或1500D ．600或120010．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为A ．π3B ．π6C ．π9D ．π1211．已知直线)0(02>=+-k k y kx 与抛物线C x y 82=相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若FB FA 2=,则=A ．31B ．32C ．32D ．322 12．已知对任意的[1,e]x ∈，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln e 0y x y a +-=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为A ．[1,e]B ．1(1,e 1)e ++C ．1(,1e]e +D ．1(1,e]e+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当[2,0]x ∈-时，()2x f x =-，则(5)f =______．14．实数,x y 满足2025040x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩,则y x z 2+=的最大值是_____________．15．过点A (6,1)作直线与双曲线2-4y 2=16相交于两点B ,C ,且A 为线段BC 的中点,则直线的方程（表示为一般式）为 ．16．表面积为π20的球面上有四点S ,A ,B ,C 且ABC ∆是边长为32的等边三角形，若平面⊥SAB 平面ABC ，则三棱锥ABC S -体积的最大值是__________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

宁夏回族自治区银川市宁一中2020届高三数学12月月考试题 理（含解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( ) A. {}1,3- B. {}1,0 C. {}1,3 D. {}1,5【答案】C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B =∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2.设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，13z i =+，则12z z =（ ） A. 10 B. -10C. 9i -+D. 9i --【答案】B 【解析】由题意，复数12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，由13z i =+， 所以23z i =-+，所以12(3)(3)9110z z i i =+-+=--=，故选B. 3.已知向量(2,3),(,4)a b x ==，若()a a b ⊥-，则x =（ ） A. 1 B.12C. 2D. 3【答案】B【解析】 【分析】可求出()21a b x -=--，，根据()a ab ⊥-即可得出()0a a b ⋅-=，进行数量积的坐标运算即可求出x ．【详解】()21a b x -=--，； ∵()a ab ⊥-；∴()()2230a a b x ⋅-=--=； 解得12x =． 故选B.【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题．4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3623a a +=，535S =，则{}n a 的公差为（ ） A. 2 B. 3C. 6D. 9【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的前n 项和公式、通项公式列出方程组，能求出数列{a n }的公差．【详解】由题意，可得112723,54535,2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得3d =，故选B.【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的通项公式、前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若m α⊂，n β⊂，αβ∥，则m nB. 若m α⊂，αβ∥，则m βC. 若n β⊥，αβ⊥，则n αD. 若m α⊂，n β⊂，l αβ=，且m l ⊥，n l ⊥，则αβ⊥【答案】B 【解析】【详解】两个平行平面中的两条直线可能异面，A 错；两个平行平面中任一平面内的直线都与另一平面平行，B 正确；C 中直线n 也可能在平面α内，C 错；任一二面角的平面角的两条边都二面角的棱垂直，但这个二面角不一定是直二面角，D 错.故选B.6.某学校计划周一到周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》、《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能再周一和周四演，《茶馆》不能在周一和周三演，《天籁》不能在周三和周四演，《马蹄声碎》不能在周一和周四演，那么下列说法正确的是（ ）．A. 《雷雨》只能在周二上演B. 《茶馆》可能在周二或者周四上演C. 周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》D. 四部话剧都可能在周二上演 【答案】C 【解析】由题目可知，周一上演《天籁》，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》，故选C. 7.函数()2(1)cos 1xf x x e=-+（其中e 为自然对数的底数）图象的大致形状是（ ） A. B. C .D.【答案】B 【解析】因为()211cos cos 11x x xe f x x x e e -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，满足()()0f x f x +-=. 所以()f x 为奇函数，排除A,C. 又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <排除D. 故选B.8.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比m =的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18︒，则22cos 271=︒-（ ） A. 41C. 21【答案】C 【解析】 【分析】由题意得m ＝2sin18°，∴4﹣m 2＝4cos 218°，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简，计算即可得解．【详解】由题意得m ＝2sin18°，∴4﹣m 2＝4﹣4sin 218°＝4（1﹣sin 218°）＝4cos 218°，∴22cos 271︒-＝2sin184sin18cos1821cos541sin 36︒︒︒︒==+-． 故选C ．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．9.已知,x y 满足约束条件20200x y x y y m ++≥⎧⎪--≤⎨⎪+≤⎩，若目标函数2z x y =-的最大值为3，则实数m 的值为（） A. 1- B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】 【分析】画出不等式组表示的可行域，由2z x y =-得到2y x z =-，平移直线2y x z =-并结合图形得到最优解，再根据最大值求出实数m 的值即可． 【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．由2z x y =-得到2y x z =-，平移直线2y x z =-，由图形得，当直线2y x z =-经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 取得最大值．由20x y y m --=⎧⎨=-⎩，解得2x m y m =-+⎧⎨=-⎩，所以点A 的坐标为(2,)m m -+-．由题意得max 2(2)()43z m m m =⨯-+--=-+=， 解得1m =． 故选C ．【点睛】线性规划中的参数问题，就是已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题．解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值．10. 如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）A.203πB. 8πC. 9πD.193π【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，这个几何体是三棱锥.如图所示，O 为球心，F 为等边三角形BCD的外心，由图可知2222213192212R OF CF ⎛⎫⎛⎫=+=+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故外接球面积为193π.考点：三视图.【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为x ,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为,,a b c 222a b c ++长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 11.已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（ ） A. 3(0,]5B. 13[,]25C. 13[,]24D. 15[,)22【答案】B 【解析】 【分析】先化简()f x ，再根据正弦函数性质列方程与不等式，解得结果. 【详解】222()2sin cos ()sin sin (1cos())sin 422x f x x x x x x ωππωωωωω=--=+-- 2sin (1sin )sin sin x x x x ωωωω=+-=因为()f x 在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值， 所以255,,236222ππωπωπππωπ-≤-≤≤<，即13[,]25ω∈故选B【点睛】本题考查二倍角余弦公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.12.若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ）A. B. 18C. 1D.19-【答案】D 【解析】 【分析】该题可以看做是圆上的动点到曲线ln y x =上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线ln y x =上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.【详解】由题意可得，其结果应为曲线ln y x =上的点与以()2,3C -为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线ln y x =上的点与圆心()2,3C -的距离的最小值，在曲线ln y x =上取一点(),ln M m m ，曲线有ln y x =在点M 处的切线的斜率为1'k m=，从而有'1CM k k ⋅=-，即ln 3112m m m-⋅=-+，整理得2ln 230m m m ++-=，解得1m =，所以点()1,0满足条件，其到圆心()2,3C -的距离为d ==()2119=-故选D.【点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =___.【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a bA B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．14.已知函数()(ln 1f x x =+,若()2f a =,则()f a -=__________．【答案】0 【解析】 【分析】根据对数性质进行化简求值. 【详解】因为()()ln(1ln(1f a f a a a +-=++-+22ln(1)22a a =+-+=所以()2()0f a f a -=-= 故答案为0【点睛】本题考查对数运算性质，考查基本分析与求解能力，属基础题.15.已知函数2()cos()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则1220...a a a +++=__________．【答案】20- 【解析】 【分析】对n 的取值分奇数、偶数求得n a ，再利用分组求和法求和即可． 【详解】当n 为奇数时，()()1n a f n f n =++()()()()2222cos 1cos 1211n n n n n n n ππ=+++=-+⎦=⎤⎣+⎡. 当n 为偶数时，()()1n a f n f n =++()()()()2222cos 1cos 2111n n n n n n n ππ=+++=-=-+⎡⎣⎦-⎤.()21,21n n n a n n 为奇数，为偶数+⎧⎪∴=⎨-+⎪⎩所以1220...357911133941a a a +++=-+-+-++-()()()()()35791113394121020-+-+-++-=-⨯=-=【点睛】本题主要考查了分类思想及分组求和方法，考查计算能力，属于中档题． 16.已知四边形ABCD 为矩形, 24AB AD ==,M 为AB 的中点,将ADM ∆沿DM 折起,得到四棱锥1A DMBC -,设1A C 的中点为N ,在翻折过程中,得到如下有三个命题:①//BN 平面1A DM ，且BN②三棱锥N DMC -的最大体积为3； ③在翻折过程中，存在某个位置，使得1DM AC ⊥. 其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号）【答案】①② 【解析】 【分析】取AD 的中点E ，连接EM 、EN ，证明四边形BMEN 为平行四边形，得出//BN EM ，可判断出命题①的正误；由N 为1A C 的中点，可知三棱锥N DMC -的体积为三棱锥1A DMC -的一半，并由平面1A BM ⊥平面BCDM ，得出三棱锥1A DMC -体积的最大值，可判断出命题②的正误；取DM 的中点F ，连接AF ，由1A E DM ⊥，结合1AC DM ⊥得出DM ⊥平面1A CF ，推出DM CF ⊥得出矛盾，可判断出命题③的正误. 【详解】如下图所示：对于命题①，取1A D 的中点E ，连接EM 、EN ，则112A D A M ==，11A E =，190MA E ∠=，由勾股定理得22115EM A E A M =+=，易知//BM CD ，且12BM CD =，E 、N 分别为1A D 、1A C 的中点，所以，1//2EN CD ， ∴四边形BMEN 为平行四边形，5BN EM ==，//BN EM ，BN ⊄平面1A DM ，EM ⊂平面1A DM ，//BN ∴平面1A DM ，命题①正确；对于命题②，由N 为1A C 的中点，可知三棱锥N DMC -的体积为三棱锥1A DMC -的一半，当平面1A BM ⊥平面BCDM 时，三棱锥1A DMC -体积取最大值， 取DM 的中点F ，则1A F DM ⊥，且11122222A F DM ==⨯= 平面1A DM ⊥平面BCDM ，平面1A DM ⋂平面BCDM DM =，1A F DM ⊥，1A F ⊂平面1A DM ，1A F ∴⊥平面BCDM ，DMC∆的面积为1142422DMCS CD BC∆=⋅=⨯⨯=，所以，三棱锥1A DMC-的体积的最大值为111424233DMCS A F∆⋅=⨯⨯=，则三棱锥N DMC-的体积的最大值为223，命题②正确；对于命题③，11A D A M=，F为DM 的中点，所以，1A F DM⊥，若1AC DM⊥，且111A C A F A⋂=，DM∴⊥平面1A CF，由于CF⊂平面1A CF，CF DM∴⊥，事实上，易得22CM DM==，4CD=，222CM DM CD∴+=，由勾股定理可得CM DM⊥，这与CF DM⊥矛盾，命题③错误. 故答案为①②.【点睛】本题考查直线与平面平行、锥体体积的计算以及异面直线垂直的判定，判断这些命题时根据相关的判定定理以及性质定理，在计算三棱锥体积时，需要找到合适的底面与高来计算，考查空间想象能力，考查逻辑推理能力，属于难题.三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.第17～21题为必考题，第22、23题为选考题.（一）必考题：共60分17.已知函数()sin()3f x A xπϕ=+，x∈R，0A>，02πϕ<<.()y f x=的部分图象，如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1,)A.（1）求()f x的最小正周期及ϕ的值；（2）若点R的坐标为(1,0)，，求A的值.【答案】（1）6，6π；（23.【解析】【详解】(1)由题意得T ＝23ππ＝6.因为P(1，A)在y ＝Asin 3x πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象上，所以sin 3πϕ⎛⎫+⎪⎝⎭＝1.因为0<φ<2π，所以φ＝6π.(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A)．由题意可知3πx 0＋6π＝32π，得x 0＝4，所以Q(4，－A)．连结PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝23π，由余弦定理得 cos ∠PRQ ＝222222212229RP RQ PQ RP RQ A A⋅⋅＋－＋＋－（＋）＝＝－＋，解得A 2＝3.又A>0，所以A 318.已知数列{}n a 满足112,(1)2(1)n n a nS n S n n +==+++. （1）证明数列{}nS n是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）设2482n n b a a a a =+++⋅⋅⋅+，求n b .【答案】(1)证明见解析；42n a n =- (2) 3228n n b n +=-- 【解析】 【分析】（1）先化简条件为121n nS S n n+-=+，再根据等差数列定义判断证明，最后利用等差数列通项公式求得22n S n =，利用和项与通项关系得结果，（2）根据分组求和法以及等比数列和项公式求结果. 【详解】解：（1）由()()1121n n nS n S n n +=+++得121n nS S n n+-=+， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为2的等差数列，所以()2212nS n n n=+-=，即22n S n =， 当2n ≥时，()22122142n n n a S S n n n -=-=--=-，由于12a =也满足此式， 所以{}n a 的通项公式42n a n =-（2）由42n a n =-得2242222n n n a +=⨯-=-， 所以248n b a a a =+++…2n a +()()()345222222=-+-+-+…()222n ++-(345222=+++…)222n n ++-()33212222812n n n n +-=-=---．【点睛】本题考查等差数列定义、通项公式、利用和项求通项以及分组求和法，考查综合分析与求解能力，属基础题.19.如图，菱形ABCD 的边长为12，60BAD ∠=，AC 与BD 交于O 点．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -，点M 是棱BC 的中点，62DM =． （I ）求证：平面ODM ⊥平面ABC ；（II ）求二面角M AD C --的余弦值．【答案】(I)详见解析；（II 393【解析】试题分析：（Ⅰ）利用菱形的性质与勾股定理推出OD ⊥平面ABC ，从而利用面面垂直的判定求证即可；（Ⅱ）以O 为原点建立空间直角坐标系，然后求得相关点的坐标与向量，从而求得平面MAD 与ACD 的法向量，进而利用空间夹角公式求解即可． （Ⅰ）证明：ABCD 是菱形，AD DC∴=,OD AC⊥ADC∆中，12,120AD DC ADC==∠=, ∴6OD=又M是BC中点，16,622OM AB MD∴===222,OD OM MD DO OM+=∴⊥,OM AC⊂面,,ABC OM AC O OD⋂=∴⊥面ABC又OD⊂平面ODM∴平面ODM⊥平面ABC（Ⅱ）由题意，,OD OC OB OC⊥⊥, 又由（Ⅰ）知OB OD⊥建立如图所示空间直角坐标系，由条件易知()()()6,0,0,0,63,0,0,33,3D A M-故()()0,93,3,6,63,0AM AD==设平面MAD 的法向量(),,m x y z=，则·0{·0m AMm AD==即9330{6630y zx+=+=令3y=3,9x z==所以，()3,3,9m=-由条件易证OB⊥平面ACD，故取其法向量为()0,0,1n=所以，·393cos,31m nm nm n〈〉==由图知二面角M AD C--为锐二面角，故其余弦值为39331点睛：高考对二面角的考法主要是以棱柱和棱锥为载体进行考查，通常可采用两种方法求解，一是传统法，即通过作出二面角的平面，然后计算，其过程体现“作、证、求”；二是利用几何体的垂直关系建立空间直角坐标系，通过两个平面的法向量所成角来求解．20.如图，在四棱锥S ABCD -中，侧棱SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB AD ⊥，且2SA AB BC ===，1AD =，M 是棱SB 的中点 ．（Ⅰ）求证：AM ∥平面SCD ；（Ⅱ）求平面SCD 与平面SAB 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）设点N 是线段CD 上的动点，MN 与平面SAB 所成的角为θ，求sin θ的最大值． 【答案】（1）见解析 ； （2）63 ；（3）357. 【解析】 【分析】（Ⅰ）通过建立空间直角坐标系，利用平面SCD 的法向量 0n AM ⋅=即可证明AM∥平面SCD ； （Ⅱ）分别求出平面SCD 与平面SAB 的法向量，利用法向量的夹角即可得出； （Ⅲ）利用线面角的夹角公式即可得出表达式，进而利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】（Ⅰ）以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则()()()()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0,1,0,0,0,0,2,0,1,1A B C D S M()()()0,1,1,1,0,2,1,2,0AM SD CD ∴==-=--，设平面SCD 的一个法向量为n (),,x y z =则SD CD ⎧⋅⎨⋅⎩ 00n n == 2020x z x y -=⎧∴⎨--=⎩，令1z =，得n ()2,1,1=-，∴AM ⋅ 0n =，即AM ⊥n∵AM ⊄平面SCD ∴AM ∥平面SCD ．（Ⅱ）取平面SAB 的一个法向量m ()1,0,0=，则cos ,n m =n m n m ⋅⋅ 616==⨯∴平面SCD 与平面SAB所成的锐二面角的余弦值为3． （Ⅲ）设()(),22,12N x x x -≤≤，则(),23,1MN x x =--，平面SAB 的一个法向量为m()1,0,0=∴sin |cos ,MN θ=< m >1010==当135x =，即53x =时，sin θ取得最大值，且()max sin 7θ=． 【点睛】本题考查利用空间向量解决立体几何问题，属中档题. 21.已知函数2()(1)()xf x xe a x a R =++∈ (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2) (0,)+∞ 【解析】 【分析】（1）先求导数，再讨论导函数零点，最后根据区间导函数符号确定单调性， （2）结合函数单调性以及零点存在定理分类讨论零点个数，即得结果 【详解】解（1）()(1)2(1)(1)(2)x xf x x e a x x e a =++=++'+（ⅰ）0a ≥时，当(,1)x ∈-∞-时，'()0f x <；当(1,)x ∈-+∞时，'()0f x >， 所以f (x )在(,1)-∞-单调递减，在(1,)-+∞单调递增； （ⅱ）0a <时 ①若12a e=-，则1()(1)()x f x x e e -=-'+，所以f (x )在(,)-∞+∞单调递增； ②若12a e>-，则ln(2)1a -<-，故当(,ln(2))(1,)x a ∈-∞-⋃-+∞时，'()0f x >，(ln(2),1)x a ∈--，'()0f x <；所以f (x )在(,ln(2)),(1,)a -∞--+∞单调递增，在(ln(2),1)a --单调递减；③若12a e<-，则ln(2)1a ->-，故当(,1)(ln(2),)x a ∈-∞-⋃-+∞，'()0f x >， (1,ln(2))x a ∈--，'()0f x <；所以f (x )在(,1),(ln(2),)a -∞--+∞单调递增，在(1,ln(2))a --单调递减；综上：0a ≥时，f (x )在(,1)-∞-单调递减，在(1,)-+∞单调递增； 12a e=-时，f (x )在(,)-∞+∞单调递增； 12a e >-时，f (x )在(,ln(2)),(1,)a -∞--+∞单调递增，在(ln(2),1)a --单调递减； 12a e <-时，f (x )在(,1),(ln(2),)a -∞--+∞单调递增，在(1,ln(2))a --单调递减；（2）（ⅰ）当a >0,则由（1）知f (x )在(,1)-∞-单调递减，在(1,)-+∞单调递增，又1(1)0e f -=-<，(0)0f a =>，取b 满足1b <-，且2ln 2ab -<， 则223(2)(2)(1)()022a fb b a b a b b ->-+-=->，所以f (x )有两个零点（ⅱ）当a =0,则()xf x xe =，所以f (x )只有一个零点 （ⅲ）当a <0,①若12a e≥-,则由（1）知，f (x )在(1,)-+∞单调递增．又当1x ≤-时，()0f x <，故f (x )不存在两个零点 ②12a e<-，则由（1）知，f (x )在(1,ln(2))a --单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增，又当1x ≤-，f (x )<0,故f (x )不存在两个零点 综上，a 的取值范围为(0,)+∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及函数零点，考查分类讨论思想方法以及综合分析求解能力，属难题.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．22.在直角坐标系xOy 中，已知圆C ：2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，点P 在直线l ：40x y +-=上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足2OP OR OQ =⋅，求Q 点轨迹的极坐标方程．【答案】（1）2ρ=,4sin cos ρθθ=+；（2）812sin ρθ=+.【解析】试题分析：（1）圆2cos :(2x C y sin θθθ=⎧⎨=⎩为参数），利用平方法消去参数可得直角坐标方程：224x y +=，利用互化公式可得圆C 的极坐标方程以及直线l 的极坐标方程；（2）)设,,P Q R的极坐标分别为()()()12,,,,,ρθρθρθ，由124,2sin cos ρρθθ==+，又2OP OR OQ =⋅，即可得出.试题解析：（1）圆C 的极坐标方程2ρ=，直线l 的极坐标方程ρ＝.(2)设,,P Q R 的极坐标分别为()()()12,,,,,ρθρθρθ，因为124,2sin cos ρρθθ==+又因为2OP OR OQ =⋅，即 212ρρρ=⋅()21221612sin cos ρρρθθ∴==⨯+，.23.已知函数|2|f x x k x k R =-++∈（）（），|2|g x x m m Z =+∈（）（）.（1）若关于x 的不等式1g x ≤（）的整数解有且仅有一个值4-，当2k =时，求不等式f x m ≤（）的解集；（2）若223h x x x =-+（），若120x R x ∀∈∃∈+，（，）∞，使得12f x h x ≥（）（）成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）[-4，4]（2）][40--+（，，）∞∞【解析】 【分析】（1）由不等式1g x ≤（），解得79m <<，得到8m =，分类讨论，即可求解不等式的解集； （2）由绝对值三角不等式得2|f x k ≥+（），利用二次函数的性质求得12min h x h ==（）（），再由120x R x ∀∈∃∈+，（，）∞，使得12f x h x ≥（）（）成立，得到则22k +≥，即可求解.【详解】（1）由题意，不等式1g x ≤（），即21x m +≤，所以1122m m x ---+<<， 又由1154322m m ---+<≤-≤<--，解得79m <<， 因为m Z ∈，所以8m =，当2k =时，2,2224222,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=<-<<⎨⎪>⎩（），， 不等式8f x ≤（）等价于228x x <-⎧⎨-≤⎩，或2248x -≤≤⎧⎨≤⎩，或228x x >⎧⎨≤⎩，即42x -≤<-，或22x -<≤，或24x <≤，综上可得44x -≤≤，故不等式8f x ≤（）的解集为[-4，4] . （2）因为|2|2|2|f x x k x x k x k =-++≥--+=+（）（）（）， 由222312h x x x x =-+=-+（）（），0x ∈+∞（，），可得12min h x h ==（）（）， 又由120x R x ∀∈∃∈+，（，）∞，使得12f x h x ≥（）（）成立，则22k +≥，解得4k ≤-或0k ≥， 故实数k 的取值范围为(,4][0,)-∞-+∞.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的求解方法，合理应用绝对值三角不等式求最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.。

高三数学第二次月考试题 文满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合，，则（ ） A.B.C.D.2.李先生的网店经营坚果类食品，一年中各月份的收入、支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）A. 2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同B. 支出最高值与支出最低值的比是C. 第三季度平均收入为5000元D. 利润最高的月份是2月份 3.已知，，则（ ） A. B.C.D.4. ，，则，，的大小关系为（ ）A. B.C. D.5.已知，若，则（ ）A.B. C. D.6.设函数)2πθ)(θ21cos(3-)θ21sin()(＜++=x x x f 的图像关于y 轴对称，则=θ（ ）A.6-πB.6πC.3π-D.3π7.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．角满足，则的值为（）A. B. C. D.8.函数ln||cosxy x xx=+的部分图象大致为（）A. B.C. D.9.若△的三个内角满足，则△（）A．一定是锐角三角形. B．一定是直角三角形.C．一定是钝角三角形. D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.10.为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（）A． 2a2 B． 3a2 C． 4a2 D． 5a211.已知函数在区间上是增函数，其在区间上恰好取得一次最大值2，则的取值范围是（）A. B. C. D.12.已知函数的图像上存在两个点关于轴对称，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为_____________.14.函数，则=____________．15.的内角，，的对边分别为，，，且，则=________．16.的三个内角，，所对的边分别为，，，为的中点，，，且，则________.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图为y＝A sin(ωx＋φ)（A>0,ω>0,|φ|< )的图象的一段．(1)求其解析式；(2)若将y＝A sin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位长度后得y＝f(x)，求f(x)的对称轴方程．18.设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a＞0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在(0，1]上的最大值为，求a的值．19.设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．20.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，且.(1)求角C的大小； (2)求的最大值。

2020届宁夏银川唐徕高三上学期月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|20}A x R x x =∈+-<，2{|0}1x B x R x -=∈≤+，则A B =（ ）A ．[1,1]-B ．(1,1)-C ．[1,1)-D ．(1,1]- 【答案】B【解析】试题分析：因为2{|20}A x R x x =∈+-<{}|21x x =-<<，2{|0}1x B x R x -=∈≤+{}|12x x =-<≤，所以A B ={}|11x x -<<=(1,1)-，故选B ．【考点】1、集合的表示；2、集合的交集． 2．若复数3434iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】先求出复数z ，再确定复数z 在复平面内对应的点所在象限即可. 【详解】 解:因为复数3434iz i-=+， 所以55(34)34345i z i i -===-+, 则复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-, 即复数z 在复平面内对应的点所在象限为第四象限, 故选:D. 【点睛】本题考查了复数的模及除法运算，重点考查了复数在复平面内对应的点所在象限，属基础题.3．等比数列{}n a 中，244,2a a ==，则6a =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2-【答案】C【解析】由等比数列的性质，若2p q m n k +=+=，则2p q m n k a a a a a ==，将已知条件代入运算即可. 【详解】解：因为等比数列{}n a 中，244,2a a ==，由等比数列的性质可得2426a a a =，所以2462414a a a ===， 故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列的性质，重点考查了运算能力，属基础题.4．已知在ABC ∆中，若9,12,45a b A ==∠=︒，则此三角形（ ） A ．无解 B ．有一个解C ．有二个解D ．解的个数不确定 【答案】C【解析】由正弦定理sin sin a b A B =∠∠可得sin 3B ∠=，则B 有两个解，即此三角形有两个解，得解. 【详解】解：已知在ABC ∆中，若9,12,45a b A ==∠=︒，由正弦定理sin sin a b A B =∠∠可得sin sin b A B a ∠∠==，1<<，即sin 3B ∠=，则B 有两个解， 即此三角形有两个解， 故选：C. 【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形解的个数问题，属基础题. 5．下列命题错误的个数是（ ）①在ABC ∆中，sin sin A B >是A B >的充要条件； ②若向量,a b 满足0a b <，则a 与b 的夹角为钝角；③若数列{}n a 的前n 项和234n S n n =-，则数列{}n a 为等差数列；④若a R ∈，则“11a<”是“1a >”的必要不充分条件. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】对于①，在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B=可得，sin sin A B >是A B >的充要条件；对于②，若向量,a b 满足0a b <，则a 与b 的夹角为钝角或a 与b 反向共线； 对于③，由已知可得67n a n =-，则数列{}n a 为等差数列； 对于④，由“11a<”的充要条件为 “1a >或0a <”，再判断即可得解. 【详解】解：对于①，在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B=，则sin sin A B >的充要条件为a b >，由三角形的性质可得a b >的充要条件为A B >，即在ABC ∆中，sin sin A B>是A B >的充要条件，即①正确；对于②，若向量,a b 满足0a b <，则a 与b 的夹角为钝角或a 与b 反向共线，即②错误；对于③，若数列{}n a 的前n 项和234n S n n =-，则当2n ≥时，221343(1)4(1)67n n n a S S n n n n n -=-==---+-=-，当1n =时，111a S ==-满足上式，即67n a n =-，则1676(1)76n n a a n n --=---+=，则数列{}n a 为等差数列，即③正确；对于④，由“11a<”的充要条件为“10a a ->”，即“1a >或0a <”，又“1a >或0a <”是“1a >”的必要不充分条件，即“11a<”是“1a >”的必要不充分条件，即④正确.命题错误的个数是1个， 故选：A. 【点睛】本题考查了正弦定理及向量的夹角，重点考查了等差数列及充要条件，属中档题.6．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令()2sin 2xf x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．7．已知实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）A ．1B ．C ．D ．【答案】C【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数对应的直线进行平移并观察z 的变化，即可得到的最大值．【详解】作出题中不等式组表示的平面区域，如图阴影所示，当直线过A 时，z 最大，此时A 点坐标满足 解A()此时z 的最大值为 故选：C【点睛】本题着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划，考查数形结合思想，考查运算能力，属于基础题．8．已知两点(0,3)A -，(4,0)B ，若点P 是圆2220x y y +-=上的动点，则△ABP面积的最小值是 A ．112B ．6C ．8D ．212【答案】A【解析】求得圆的方程和直线AB 方程以及AB ，利用三角换元假设cos ,1sinP ，利用点到直线距离公式和三角函数知识可求得min d ，代入三角形面积公式可求得结果. 【详解】由题意知，圆的方程为：()2211x y +-=，1695AB =+=直线AB 方程为：143x y +=-，即34120x y --= 设cos ,1sinP∴点P 到直线AB 的距离：()5sin 163cos 4sin 1655d θϕθθ-+--==，其中3tan 4ϕ=∴当()sin 1θϕ-=-时，min 115d =()min min 11122ABP S AB d ∆∴=⋅= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查点到直线距离的最值的求解问题，关键是能够利用三角换元的方式将问题转化为三角函数的最值的求解问题.9．设A ，B ，C 是半径为1的圆上三点，若AB =AB AC ⋅的最大值为（ ）A ．B ．32C ．3 D【答案】B 【解析】【详解】此题考查正弦定理、余弦定理、向量的数量积、两角和与差正余弦公式的灵活应用、三角函数求最值问题的综合知识；设圆的圆心是O ，在等腰AOB ∆中，1,OA OB AB ===12060AOB ACB ∠=⇒∠=，根据正弦定理得：222sin sin ACR AC B B==⇒= 所以12cos(120)(cos )22AB AC B B B B B ⋅=⨯-=-23sin 3cos B B B =-33(1cos 2)260)22B B B =--=-+，当105B =时，AB AC ⋅的最大值为32，选B10．将函数2()cos cos f x x x x =+的图象向左平移6π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间是（ ）A ．,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．-,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】由题题意，化简三角函数的解析式为()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据三函数的图象变换，求得()g x 的解析式，利用三角函数的图象与性质，即可求解，得到答案. 【详解】由题意可得()2cos211cos cos sin 2262x x f x x x x x π++⎛⎫=+==++ ⎪⎝⎭，把()f x 的图象向左平移6π个单位， 可得()111sin[2()]sin(2)cos 2662222g x x x x πππ=+++=++=+， 由222,k x k k Z πππ-≤≤∈，解得,2k x k k Z πππ-≤≤∈，即函数的单调递增区间为[,],2k k k Z πππ-∈，令0k =时，函数的单调递增区间为[,0]2π-，故选A【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，得出函数的解析式，结合图象求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题. 11．设函数()9sin 20,48f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，若方程()f x a =恰好有三个根，分别为123,,x x x （123x x x <<），则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．95,84ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．511,48ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．313,28ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．715,48ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】因为908x π≤≤，所以52442x πππ≤+≤，则由题意可知 12224422x x πππ+++=，即124x x π+=，同时3952442x πππ≤+<，即398x ππ≤<，故1239484x x x ππππ+≤++<+，即12351148x x x ππ≤++<，应选答案B 。

高三月考数学（文科）满分：150分时间：120分钟命题人：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则（）A. B. C. D.2.李先生的网店经营坚果类食品，一年中各月份的收入、支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）A. 2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同B. 支出最高值与支出最低值的比是C. 第三季度平均收入为5000元D. 利润最高的月份是2月份3.已知，，则（）A. B. C. D.4. ，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.5.已知，若，则（）A. B. C. D.6.设函数)2πθ)(θ21cos(3-)θ21sin()(＜++=x x x f 的图像关于y 轴对称，则=θ（ ） A.6-πB.6πC.3π-D.3π7.已知角的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点．角满足，则的值为（ ）A.B.C.D.8.函数ln ||cos x y x x x=+的部分图象大致为（ ） A. B.C. D.9.若△的三个内角满足，则△（ ）A ． 一定是锐角三角形.B ． 一定是直角三角形.C ． 一定是钝角三角形.D ． 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 10.为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a ，则阴影部分的面积为（ ）A ． 2a 2B ． 3a 2C ． 4a 2D ． 5a 211.已知函数在区间上是增函数，其在区间上恰好取得一次最大值2，则的取值范围是（）A. B. C. D.12.已知函数的图像上存在两个点关于轴对称，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为_____________.14.函数，则=____________．15.的内角，，的对边分别为，，，且，则=________．16.的三个内角，，所对的边分别为，，，为的中点，，，且，则________.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图为y＝A sin(ωx＋φ)（A>0,ω>0,|φ|< )的图象的一段．(1)求其解析式；(2)若将y＝A sin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位长度后得y＝f(x)，求f(x)的对称轴方程．18.设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a＞0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0，1]上的最大值为，求a的值．19.设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．20.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，且.(1)求角C的大小；(2)求的最大值。