求解平行线三招

教你“两招” 突破“相似”怎样才能学好“相似三角形”呢？亲爱的同学，这里教你“两招”，以帮你突破它. 第一招：抓住基本图形，理解判定方法 三角形相似的基本图形主要有以下三种： 1.平行线型在图1、图2中，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC ，我们称这两种图形为平行线型的基本图形，更形象地说，图1是“A”型图，图2是“X”型图，它们的特点是对应边、对应角、对应顶点比较明显.2.相交线型在图3、图4、图5中，若∠1=∠B ，则△ADE ∽△ABC ，我们称这三种图形为相交线型的基本图形，它们的特点是有一个公共角或等角，除此之外的对应关系不很明显.3.旋转型在图6中，若∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，我们称这种图形为旋转型的基本图形.解决相似三角形问题，从识别图形的角度来看，就是要善于从复杂的图形中分解出上述基本图形，将基本图形从复杂图形中分解出来，就必须排除干扰，抓住本质.第二招：掌握解题方法，提高解题能力解决与比例线段、相似三角形有关的问题，方法很多，这里结合实例介绍两种方法. 1.等比设值法即设等比为不等于零的常数k ，将比的前项用k 与后项之积表示出来，然后进行求解或论证，从而使问题得以解决.例1 如图7，Rt △ABC 与Rt △A /B /C /中，∠C =∠C /， =90°，////CB BCB A AB ，求证：Rt △ABC ∽Rt △A /B /C /. AD BCE 图1BEDAC图2AEBCD 图3 1AE BC (D ） 图41D BEAC图51图6CAD BE12ABCA /C /B /图7分析：如果通过计算能得到//////C A ACC B BC B A AB ==，那么问题宣告解决.由已知中的等比式结合直角三角形等条件，可考虑用等比设值法来解决问题.即设////CB BCB A AB =k =，则AB = kA /B /，BC = kB /C /.由勾股定理可得AC = kA /C /，即k CA AC=//，故Rt △ABC ∽Rt △A /B/C /.点评：运用等比设值法，可将复杂的推理转化为简单的计算. 2.基本图形法基本图形是分析几何问题时观察的起点和目的，只有从复杂的图形中熟练识别，才能正确得出与之对应的结论.当所给图形中不存在上述基本图形时，要通过添作辅助线构造出基本图形.例2在三角形ABC 中，AB=AC ，DE=EC ，DH ∥BC ，EF ∥AB ，HE 的延长线与BC 的延长线相交与点M ，点G 在BC 上，且∠1=∠2（如图8所示）.不添加辅助线，解答下列问题：(1)找出一个等腰三角形（不包括△ABC ）______； (2)找出三对相似三角形（不包括全等三角形），分 别是________、________、________；分析：(1)由已知条件根据等腰三角形的定义很容易找出 一个等腰三角形；(2)由已知条件可知图中有多对平行线型的 相似三角形.解：(1)△AHD 、△EFC 、△EGM （答案不唯一，选取其中任意一个即可）；(2)由DH ∥BC ，EF ∥AB 容易得到△AHD ∽△ABC 、△EFC ∽△ABC 、△EFM ∽△HBM 、△AHD ∽△EFC （答案不唯一，选取其中任意三对即可）.点评：与相似三角形有关的问题远比上面所述的三种基本类型复杂，但上面三种基本图形给了我们有益的启示：判定两个三角形是否相似，首先看有无平行线或能否作出相关的平行线，再看是否存在两组对应角相等，最后再看对应边是否成比例.现在就练，希望你表现出色！如图9，C 是线段BE 上一点，△ABC 和△DCE 是正三角形.点A 、D 在BE 的同旁，BD 交AC 于F ，AE 交CD 于G .试判断FG 与BE 的位置关系，并证明你的结论.图9ABC EDF GA BCMD HEFG 图812抓住基本图形突破“相似”亲爱的同学们，要想学好“相似三角形”，必须抓住基本图形，这里总结并举例，以帮你 突破它.三角形相似的基本图形主要有以下三种： 1.平行线型在图1、图2中，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC ，我们称这两种图形为平行线型的基本图形，更形象地说，图1是“A”型图，图2是“X”型图，它们的特点是对应边、对应角、对应顶点比较明显.2.相交线型在图3、图4、图5中，若∠1=∠B ，则△ADE ∽△ABC ，我们称这三种图形为相交线型的基本图形，它们的特点是有一个公共角或等角，除此之外的对应关系不很明显.3.旋转型在图6中，若∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，我们称这种图形为旋转型的基本图形.解决相似三角形问题，从识别图形的角度来看，就是要善于从复杂的图形中分解出上述基本图形，将基本图形从复杂图形中分解出来，就必须排除干扰，抓住本质.当所给图形中不存在上述基本图形时，要通过添作辅助线构造出基本图形.例、在三角形ABC 中，AB=AC ，DE=EC ，DH ∥BC ，EF ∥AB ，HE 的延长线与BC 的延长线相交与点M ，点G 在BC 上，且∠1=∠2（如图7所示）.不添加辅助线，解答下列问题：(1)找出一个等腰三角形（不包括△ABC ）______； (2)找出三对相似三角形（不包括全等三角形），分 别是________、________、________；A D BCE 图1BEDAC图2AEBCD 图3 1AE BC (D ） 图41D BEAC图51图6CAD BE12A BCMD HE FG图712分析：(1)由已知条件根据等腰三角形的定义很容易找出一个等腰三角形；(2)由已知条件可知图中有多对平行线型的相似三角形.解：(1)△AHD、△EFC、△EGM（答案不唯一，选取其中任意一个即可）；(2)由DH∥BC，EF∥AB容易得到△AHD∽△ABC、△EFC∽△ABC、△EFM∽△HBM、△AHD∽△EFC（答案不唯一，选取其中任意三对即可）.点评：与相似三角形有关的问题远比上面所述的三种基本类型复杂，但上面三种基本图形给了我们有益的启示：判定两个三角形是否相似，首先看有无平行线或能否作出相关的平行线，再看是否存在两组对应角相等，最后再看对应边是否成比例.。

lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：．．．．在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。

大招平行线拐点之猪蹄、锯齿、铅笔模型模型介绍模型一：猪蹄与锯齿模型【模型结论】如图，直线MA∥NB，则：①∠APB＝∠A+∠B；②∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3；③∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1【证明】：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下如图1，过点P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1【模型辨析】①注意：拐角为左右依次排列②若出现不是依次排列的，应进行拆分模型二：铅笔模型【模型结论】如图1：AB∥CD，则∠1+∠2＝180°；如图2：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3＝360°；如图3：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；如图4：AB∥CD，则∠1+∠2+…+∠n＝（n﹣1）180°。

【证明】在图1中，∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°；在图2中，过E作AB的平行线EF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠1+∠AEF＝180°，∠3+∠CEF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在图3中，过E作AB的平行线EN，过点F作AB的平行线FM，∵AB∥CD，∴EN∥CD∥FM，∴∠1+∠AFM＝180°，∠MFE+∠FEN＝180°，∠NEC+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝540°；在图4中，过各角的顶点依次作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．【模型辨析】①注意拐角朝同一方向②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分.例题精讲考点一：猪蹄模型【例1】．如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（）A．132°B．134°C．136°D．138°变式训练【变式1-1】．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（）A．α+β＝180°B．α+β＝90°C．β＝3αD．α﹣β＝90°【变式1-2】．如图，AB∥CD，∠ABN＝∠NBM，∠CDN＝∠MDN，∠M＝160°，则∠N＝．【变式1-3】．如图，AB∥CD，M在AB上，N在CD上，求∠1+∠2+∠3+∠4＝．考点二：锯齿模型【例2】．若AB∥CD，∠CDF＝∠CDE，∠ABF＝∠ABE，则∠E：∠F＝．变式训练【变式2-1】．如图，直线AB∥CD，∠EFA＝30°，∠FGH＝90°，∠HMN＝30°，∠CNP＝40°，则∠GHM的大小是（）A．20°B．30°C．40°D．50°【变式2-2】．如图①，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1；第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2；第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3…第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．如图②，若∠E n＝b°，则∠BEC的度数是．考点三：铅笔头模型【例3】.已知AB∥CD，试解决下列问题：（1）如图1所示，∠1+∠2＝．（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3等于多少度？请说明理由．（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝．（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝．变式训练【变式3-1】．如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为（）实战演练A．55°B．60°C．65°D．70°【变式3-2】．如图，一环湖公路的AB 段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的FE 段，则∠B +∠C +∠D +∠E 的度数是．【变式3-3】．如图，两直线AB 与CD 平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝°．1．如图，已知AB ∥CD ，∠A ＝140°，∠E ＝120°，则∠C 的度数是（）A．80°B．100°C．120°D．140°2．如图，AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（）A．2β＝3αB．β＝2αC．2β＝5αD．β＝3α3．如图，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（）A．α+β+γB．β+γ﹣αC．180°﹣α﹣γ+βD．180°+α+γ+β4．①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠P＝∠A﹣∠C；③如图3，AB∥CD，则∠E＝∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α﹣∠β+∠γ＝180°．以上结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5.如图，已知AB∥DE，∠A＝40°，∠ACD＝100°，则∠D的度数是．6．如图，直线m∥n，AB⊥BC，∠1＝35°，∠2＝62°，则∠BCD的度数为7．如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°，则∠2的度数为．8．如图，若直线a∥b，那么∠x＝度．9．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG的度数是．10．如图，AB∥CD，∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，则∠E：∠F＝．11．（1）如图1，AM∥CN，求证：①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．12．如图，AB∥CD，∠ABE＝120°．（1）如图①，写出∠BED与∠D的数量关系，并证明你的结论；（2）如图②，∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数；（3）如图③，过B作BG⊥AB于G点，∠CDE＝4∠GDE，求的值．13．如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点．∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360°（1）求证：AD∥CE；（2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F，若2∠B﹣∠F＝90°，求∠BAH的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，若点P是线段AB上一点（不同于A点），Q是GE上任意一点，QR平分∠PQG，PM∥QR，PN平分∠APQ，求∠NPM的度数．14.（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．小辰的思路是：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线的性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程．（2）问题迁移：①如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，设∠CPD＝∠α，∠ADP＝∠β，∠BCP＝∠γ，问：∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系？请说明理由．②在①的条件下，如果点P不在A、B两点之间运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠α、∠β、∠γ间的数量关系．。