惯性导航基础知识 第二章

六、动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程
1、绕定点转动刚体的动量矩 对于绕定点转动的刚体，刚体内所有质点的动量对某点之 矩的总和，称为刚体对该点的动量矩。计算公式：
H rimivi
r iH为为点刚到体该对点点的的矢动径量；矩；为v i 该m为i点刚的体速内度任。意质点的质量；
vi ri
H rim i(ri)
1、地心惯性坐标系(i系)— 地球坐标系(e系)
地球坐标系(e)相对于地心惯性坐标系（i)的旋转角速度 向量为地球自转角速度。
2、地球坐标系(e系)— 地理坐标系（L系）
由地理坐标系(L)相对于地固坐标系(e)的旋转角速度向量， 可以分别推导出其在e系及L系中的分量表示式为：
sin
e eL
坐标原点设在地球质量中心，Z轴沿地轴方向，x、y 轴在地球赤道平面内，指向某个恒星，构成右手坐标 系。地心惯性坐标系不参与地球的旋转运动。
2、确定载体相对地球表面位置的坐标系
（1） 地球坐标系（e系）
地球坐标系的z轴沿地轴方向，x轴在赤道平面与格林威 治子午面的交线上，y轴也在赤道平面内，x与y、z轴构 成右手坐标系。坐标系与地球固联，随地球转动。
cr o cs o y s sr is niys nipn siyc no pc so yss r i n siys nip c nr o
C b L cr o ss iy n sr ic no yss ipnco ycso psiys nr i n co yss ip c nr o
co p ss r in
三、地球的自转及角速度
在惯性空间，地球绕自身的地轴自转，绕太阳公转动。 地球公转一周为一年（365天)。 太阳在惯性空间不是恒定不动的，但它的旋转影响可以忽

未来惯性导航系统将更加注重 小型化、低功耗和集成化设计 ，以满足各种便携式和嵌入式 设备的需求。
惯性导航技术与其他导航技术 的融合将进一步深化，形成更 加高效、精准、可靠的导航解 决方案。
THANKS 感谢观看
由于制造工艺和环境因素的影响，陀螺仪 的测量结果会存在误差，需要进行误差补 偿。
加速度计的测量结果也会受到多种因素的 影响，需要进行误差补偿。
积分误差
外部干扰误差
由于积分运算本身的误差累积效应，惯性 导航系统在长时间工作时误差会逐渐增大 ，需要进行定期校准。
载体运动过程中受到的外部干扰（如风、 水流等）会影响惯性导航系统的测量结果 ，需要进行相应的误差补偿。
06 总结与展望
本课程总结
01
介绍了惯性导航的基本原理和实现方法，包括陀螺仪
和加速度计的工作原理、误差模型和标定技术等。
02
重点讲解了卡尔曼滤波器在惯性导航系统中的应用，
以及如何进行系统状态估计和误差修正。
03
结合实际案例，分析了不同场景下惯性导航系统的优
缺点和适用性。
惯性导航技术发展趋势
随着传感器技术和微电子技术的不断发展，惯性导航系统的精度和稳定性将得到进 一步提升。
角速度测量
陀螺仪实时测量载体的角速度 ，并输出角速度数据。
加速度测量
加速度计实时测量载体的加速 度，并输出加速度数据。
运动参数计算
控制系统根据角速度和加速度 数据，通过积分运算计算载体 位置、姿态等运动参数。
控制输出
控制系统将计算得到的运动参 数输出到执行机构，以控制载
体运动。
误差分析
陀螺仪误差
加速度计误差
民用领域应用
01
02

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将大地水准体用 一个有确定参数的 旋转椭球体来逼近 代替（如椭球面与 真实大地水准面之 间的高度差的偏差 平方和最小），这 种旋转椭球体称为 参考椭球体，简称 参考椭球。
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国际通用参考椭球体
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WGS-84坐标系基本参数
（1）椭球长半径 (a) 6378137 2m;
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5.机体坐标系 OX BY(BMZBobile Frame，Body Frame )
机体坐标系与飞机固连，
用表示OX BYB，Z坐B 标原点 机O纵与轴飞一机致重，心重O与合Z飞，B 机O竖X与B轴飞
一致， O与Y飞B 机横轴一致。Fra bibliotekZB YB
XB
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6.平台坐标系OX pYpZ（pPlatform frame ）
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二、惯性系统中常用的坐标系
在地球上进行导航，所定义的坐标系要将惯导系统 的测量值与地球的主要方向联系起来。因此涉及到了 各种不同的坐标系，主要有以下几类：
陀螺坐标系 地理坐标系 惯性坐标系 地球坐标系 载体坐标系
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1.陀螺坐标系oxyz
x轴：与陀螺内环轴一致，固连于内环上； z轴：与陀螺转子轴一致，固连于内环上；但不随转子转动； y轴：与oxy平面平行，大方向与外环一致，但一般不与外环轴一致
2.传感器:输出与被测量参数成一定关系的电信号 。如陀螺航向传感器，角速度传感器。
3.本身作为一个元部件，与其它自动控制元部件 组成各种陀螺装置。如陀螺稳定平台，惯性导 航系统等。

f
i
C
i b
f
b
第二章 惯性导航原理
3.2 惯性坐标系机械编排
第二章 惯性导航原理
3.2 惯性坐标系机械编排
比力 哥氏加速度 向心力加速度 当地质量引力加速度
dve dt
i
f
ωie ve
ωie (ωie r) g
g1 g ie [ie r]
重力矢量
vi f i ωi vi gi
3.捷联惯性导航机械编排
2）哥氏定理 哥氏定理：用于描述矢量的绝对变化率与相对变化率间
的关系。设有矢量 r ， m, n 是两个作相对旋转的坐标
系，则哥氏定理可描述为：
dr dt
m
dr dt
n
ωnm
r
根据哥氏定理，有
dr dt
e
dr dt
i
ωie
r
即 ve vi ωie r
第二章 惯性导航原理
则
xR yR
c11 c21
c12 c22
c13 c23
xr yr
C
R b
yxbb
zR c31 c32 c33 zr
zb
C 称 R 为方向余旋矩阵，或坐标变换矩阵。 b
第二章 惯性导航原理
4.捷联姿态计算
反之则有：
xb yb
c11 c12
c21 c22
c31 c33
第二章 惯性导航原理
1.惯性导航概述
比力的概念： 加速度计 并不能直接测量载体相对惯 性空间的加速度，而测量的 是比力，即惯性空间加速度 与引力加速度之差。量值是 作用在敏感器上的每单位质 量的非万有引力。 陀螺仪测量的是运载体相 对于惯性空间姿态变化或转 动速率。

测绘与国土信息工程系
捷联式惯导系统原理
捷联式惯导系统，是将陀螺仪、加速度计构成的惯性测量单元直接 与载体固联，测量得到的载体角运动和线运动参数是沿与载体固联 的坐标轴上的分量。导航计算机通过计算“姿态矩阵”可以将加速 度信息转换到惯性坐标系或当地地理坐标系中，从而实现了“数字 平台”，然后再进行速度位置计算，如下图：
测绘与国土信息工程系
地理坐标系转动
载体的运动将引起地理坐标 系相对地球坐标系转动。如 果考察地理坐标系相对惯性 坐标系的转动角速度，应当 考虑两种因素：一是地理坐 标系随载体运动时相对地球 坐标系的转动角速度；二是 地球坐标系相对惯性参照系 的转动角速度。
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惯性坐标系/地球坐标系/地理坐标系
t0 tk
式中，r (t 0 ) 为飞机的初始位置向量。
测绘与国土信息工程系
惯导系统工作原理的数学描述
若在载体运动过程中，利用陀螺使平台始终跟踪当地 水平面，三个轴始终指向东、北、天方向。在这三个 轴上分别安装上加速度计测量东加速度 ae 、北向加 速度an、天向加速度au。将这三个方向上的加速度分 量进行积分，便可得到载体沿三个方向的速度分量为 ： tk
军事上着重要的地位，在民用领域也有着广泛的应用
。二次世界大战以来，惯性导航技术得到了迅速的发 展，在我国，惯性导航技术已在航空、航天、航海和 陆地车辆的导航和定位中得到了应用，目前本门科学 技术还在大地测量、海洋勘探、石油钻井、航空测量
等国民经济领域里获得成功的应用。
测绘与国土信息工程系
推荐参考书目
ve ve (t0 ) ae dt
t0 tk t0
Hale Waihona Puke vn vn (t0 ) an dt vu vu (t0 ) au dt

单自由度陀螺 仪(只有一个框 架，使转子自 转轴具有一个 转动自由度)。
转子陀螺的力学原理 陀螺绕主轴转动的角动量以H表 示，H=JΩ，式中J为陀螺转子的转 动惯量。H是矢量，方向与角速度 的方向一致。 转子陀螺的力学原理就是动量矩定 理。
动量矩定理
dH dt
i
M
式中，H为定点转动质点系对该定点的角动量 总和，M为作用在该质点系上对该定点的合外 dH 力矩， dt 表示在惯性坐标系内观察到的时间 i 变化率。 2.3.1.1双自由度陀螺仪的基本特性
由动量矩定理，当没有外力矩作用在陀螺 dH 0 仪上时， ，表明 H 相对惯性空间保持恒 dt 定不变，H=JΩ（H的方向和Ω的方向相同）即 转子自转轴相对惯性空间的指向不变。这就是 陀螺仪的定轴性。
i
定轴性是双自由度陀螺仪的 一个基本特性。无论基座绕 陀螺仪自转轴转动，还是绕 内框架轴或外框架轴方向转 动，都不会直接带动陀螺转 子一起转动(指转子自转之外 的转动)。由内、外框架所组 成的框架装置，将基座的转 动与陀螺转子隔离开来。这 样，如果陀螺仪自转轴稳定 在惯性空间的某个方位上， 当基座转动时，它仍然稳定 在原来的方位上。
eG
Hie sin V ie O E H sin
方向自O 指向 O ，即 ωeG ω ie
当自由陀螺的角动量与地 球自转角速度间的夹角时， 0 地球上的观察者所看到的 陀螺自转轴以为角速度 ω ie 作旋转，旋转所形成的曲 面为一圆锥面，对称轴平 行于地轴，半锥角为 ， 陀螺的这种运动称为表观 运动。
第2章 惯性器件
2.1
概述
2.2 陀螺仪 2.2.1 机械转子陀螺仪 2.2.2 光学陀螺仪 2.2.3 微机械陀螺仪 2.3 加速度计

第二章 惯性导航原理
1.惯性导航概述
1.3 惯性导航发展历程
17世纪，牛顿确定了力学定律和万有引力定律； 1852年，傅科( Foucault) 发现了陀螺效应；同时代科 学家都在研究地球的转动和转动动力学的演示验证，利用转盘 的旋转轴能保持空间不变的特性； 1890 年， G. H. 布雷安( Bryan) 教授发现了圆筒的振 鸣，这一重要现象后来用于固态陀螺仪； 20 世纪初，出现了用做方向基准的陀螺罗经。其基本原 理是，通过在其摆性效应和携带罗盘的回转座的角动量之间建 立平衡关系，来指示真北。
第二章 惯性导航原理
2.惯性导航参考坐标系
3）当地地理坐标系（t系） 原点位于导航系统所处的位置P 点，坐标轴指向北、东和当地垂 线方向(向下)。导航坐标系相对 于地球固连坐标系的旋转角速率 取决于P点相对于地球的运动， 通常称为转移速率。
4）游动方位坐标系(w系) 5) 载体坐标系（b系）
第二章 惯性导航原理
3.捷联惯性导航机械编排
3.1 三维捷联导航系统基本分析 1）相对于惯性系的导航
比力：
导航方程
第二章 惯性导航原理
3.捷联惯性导航机械编排
2）哥氏定理
哥氏定理：用于描述矢量的绝对变化率与相对变化率间
的关系。设有矢量 ，
是两个作相对旋转的坐标
系，则哥氏定理可描述为：
根据哥氏定理，有 即
第二章 惯性导航原理
第二章 惯性导航原理
1.惯性导航概述
马克斯·舒勒(Max Schuler) 教授研制了一种带垂直安装 系统的仪表，能确定一个精确的垂直基准。该仪表调谐到由
确定的无阻尼振荡自然周期，约为84min 。其中R 是地球半径， g 是地球引力产生的加速度。 20 世纪上半叶, 研制了舰炮火控系统稳定平台，提出了惯 性导航系统的基本概念。博伊科( Boykow) 发现，利用加 速度计和陀螺仪可构建一个完整的惯性导航系统。 第二次世界大战中，德国科学家在V1 和V2 火箭上演示验 证了惯性制导的原理，使用了带反馈的系统，从而实现了精确 导引。

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与对应相关单位的转换关 系 1度 =0.0174532925弧度 1角分=60角秒
把圆周分成6000等份，每一等份弧长所对的圆心角叫1密位
第二章 惯性导航技术基础
§2.2 惯性导航中的常用坐标系
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§2.2 惯性导航中的常用坐标系
惯性导航的基础是精确定义一系列的笛卡尔参考坐 标系，每一个坐标系都是正交的右手坐标系。
C
b 表示从n坐标系到b坐标系的转换矩阵 n
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§2.3 惯性导航的基本原理
四、 载体位置、姿态和方位的表示
b 从姿态转换矩阵 Cn 中获得姿态角：
主 tg 2 2 t21 t22 t 1 13 主 tg ( ) t33 1 t 21 主 tg t22
四、机体坐标系（b系） 原点为载体重心；y 轴指向载体纵轴方 向；z轴指向载体竖 轴方向。 机体系与地理系之间 的转动关系可以用来 定义载体的姿态角！
x xb b
zb
yb
b
xb
y
b
yb
zb
z
b
五、导航坐标系（n系） 惯导系统中求解导航参数时所采用的坐标系。通常，它与系 统所在地位置有关。可以根据实际情况在上述坐标系中选择。
惯性测量元件（IMU-Inertial Measurement Unit）
• 加速度计：用来测量载体沿导航坐标系三个轴的运 动线加速度。 • 陀螺仪：用来测量载体绕导航坐标系三个轴向的转 动角速度。
• 惯导平台：用来跟踪导航坐标系，可以为实物或虚拟（用陀螺仪输出信息 来模拟），把加速度计的测量轴稳定在导航坐标系，并给出载体的姿态和 方位信息。还有主要由陀螺仪组成的稳定回路。 • 导航计算机：完成导航计算和平台跟踪回路中指令角速度信号的计算。 • 控制显示器：给定初始参数及系统需要的其他参数，显示各种导航信息。

注意，惯性力不是物体的真实受力，引入惯性力的概 念是为了研究相对运动方便。研究同一物体相对不同 的非惯性系的运动时，物体“所受”的惯性力也是不 同的。 牛顿定律也可写成：
这表明，若将物体的绝对运动加速度与其质量的乘 积“-ma”看着是惯性力的话，物体的受力是“平衡” 的。研究相对运动时的“动静法”就是运用了这种 思想，即通过引入惯性力，把动力学问题转化为静 力学问题，这就是达伦贝尔原理，
惯性力的概念也可以推广到刚体的转动运动中。刚 体中各质点所受的惯性力相对转动轴构成的矩的总 和称为惯性力矩。 将牛顿力学定律应用到转动问题中，可得刚体相 对惯性空间的转动角加速度a‘’与所受力矩的关系为
式中：J为刚体绕转动轴的转动惯量。 当研究刚体相对非惯性参照系的转动时，若认为由非 惯性参照系引起的惯性力矩Mi也是刚体所受力矩的一部 分，那么，刚体相对此非惯性参照系的转动角加速度a‘’ 与所受力矩的关系在形式上与式(2—1—8)相同：
应注意的是，当非惯性参照系相对惯性参照系有转动 运动时，刚体各质点的绝对加速度中有相对加谏度牵 连加速度与哥氏加速度三种成分，牵连加速度与哥氏 加速度相应的惯性力都会形成惯性力矩。利用式(2— 1—9)时，Mi项显然要包括这两种惯性力矩。
2．2 地球参考椭球和重力场 地球附件载体的定位是相对于地球的，地球的某些特性， 如自转运动、垂线及纬度定义、引力场等，在惯导系统中 是必须要考虑的，因此要了解地球的这些特性。 2．2．1 地球的形状与参考椭球 人类赖以生存的地球，实际上是一个质量分布不均匀、 形状不规则的几何体。从整体上看，地球近似为一个对称 于自转轴的扁平旋转椭球体，其截面的轮廓近似为一扁平 椭圆，沿赤道方向为长轴、沿极轴方向为短轴。这种形状 的形成与地球的自转有密切的关系。地球上的每一质点， 一方面受到地心引力的作用，另一方面又受自转造成的离 心力的作用。越靠近赤道，离心作用力越强，正是在此离 心力的作用下，地球靠近赤道的部分向外膨胀，这样，地 球就成了扁平形状了。

在静基座条件下， VeT 0
f g
15
1、基本概念 什么是惯性导航
惯性导航（inertial navigation）是依据牛顿惯性原 理，利用惯性元件（加速度计）来测量运载体本身的加速 度，经过积分和运算得到速度和位置，从而达到对运载体 导航定位的目的。 惯性测量装置包括3个加速度计和3个陀螺仪，又称惯 性导航组合。陀螺仪用来测量载体的3个转动运动；加速 度计用来测量载体的3个平移运动的加速度。计算机根据 测得的加速度信号计算出运载体的速度和位置数据。
i i' i j ' i k ' j i ' j j ' j k ' k i ' k j ' k k '
对 C 求 导
dj' di' i i dt dt di' dj' C j j dt dt k di' k dj' dt dt dk' dt dk' j dt dk' k dt i
C11 C 21 C 31
C12 C 22 C 32
C13 0 C 23 z C 33 y
z 0
x
y x C
0
Ω 称为角速度矢量 ω 的斜对称矩阵
C C
方向余弦矩阵微分方程式，含有 9 个一阶微分方程
h h 2g f z g0 R
该方程是不稳定的，因此在垂直方向惯性测量不能长时 应用
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1、基本概念 坐标系定义
• 地心惯性坐标系（i系）：
• 地球坐标系（e系）： • 地理坐标系（g系）：东北天坐标系