2020年黑龙江省哈尔滨六中高考数学二模试卷(理科)

哈六中2019-2020学年度上学期 高三学年第二次调研考试 理科数学 试卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1. 已知全集R U =，{})1ln(2x y x A -==，{}12-==x y y B ，则=⋂)(B C A U （ ） A. )0,1(- B. )1,0[ C.)1,0( D.]0,1(- 2. 若复数z 满足(1)2i z i +=-，则在复平面内，z 的共轭复数的虚部为（ ） A.23 B.i 23 C.23- D.i 23-3.已知向量,5=，)3,1(=，5=⋅b a ，则b a +在a 方向上的投影为（ ） A ．10B ．52C ．53D ．1034.已知曲线ax x e x f x-+=2)(在区间)1,0(内存在垂直于y 轴的切线，则a 的取值范围是（ ）A.)1,0(+eB.)1,1(+eC.)2,0(+eD.)2,1(+e5.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算出来的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中641.115寸表示115寸41分（1寸10=分）56416 426 236 246556 466 376 286 196已知《易经》中记录的冬至晷影长为0.130寸，夏至晷影长为8.14寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为（ ）A. 4.72寸B.4.81寸C. 0.82寸D. 6.91寸6.已知正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边的中点，F 为CD 边上一点，若AE AE AF =⋅=AF （ ）A ． 5 B.3 C.23 D.257.函数)sin()(ϕω+=x A x f )0(>ω的部分图像如图所示，)(x f 图象与y 轴交于M 点，与x 轴交于C 点，点N 在)(x f 图象上，满足CN MC =，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数)(x f 的图像关于127π=x 轴对称 C ．函数()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减 D ．函数)(x f 的图像上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π后关于y 轴对称8.已知函数x xee x x xf 12)(3-+-=，其中e 是自然对数的底数，若0)2()1(2≤+-a f a f ，则实数a 的取值范围是（ ）A.]23,1[- B.]1,23[- C. ]21,1[- D.]1,21[- 9.已知ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，若212cos )cos cos (=++b a B A b B a ，且032=-∆c S ABC ，则当ab 取到最小值时，=a （ ）A ．32B ．3C ．33D ．2310．已知向量,,a b c r r r4=2=，与的夹角为ο60，若0)()(=-⋅-，的最大值是（ ）A ．7B ．37+C ．327+D ．37- 11.已知等差数列{}n a 满足33a =，4581a a a +=+，数列{}n b 满足11n n n n n b a a a a ++=-，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对于任意的[]2,2a ∈-，*n N ∈，不等式223n S t at <+-恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．(][),22,-∞-+∞UB ．(][),21,-∞-⋃+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]22-,12.已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->+=0,2250,ln 1)(3x x x x xxx f ，若方程ax x f =)(有四个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A. )2,0(eB. )2,21(eC.)1,0(D. )21,0(第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置 13.已知)(x f 是定义在R 上的函数，且满足)(1)2(x f x f -=+，当32≤≤x 时，xx f 2)(=，则_________)3(log 21=f14.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北ο30的方向上，行驶m 300后到达B 处，测得此山顶在西偏北ο75的方向上，仰角为ο30，则此山的高度m CD __________=15.在ABC ∆中，E 为AC 上一点，且4AC AE =u u u r u u u r，P 为BE 上一点，且满足)0,0(>>+=n m n m ，则11m n+最小值为__________．16.正项数列{}n a 满足：n n n na a 2)1(1=⋅-+，设n n a a a T ⋅⋅⋅=Λ21，若λλ->2220T ，则λ的取值范围是______________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）设n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，且)(121212*∈-+=N n a a S n n n （1）设数列{}n a 的通项公式.（2）若nn b 2=，设n n n b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18.（本小题满分12分）已知函数=（)sin cos ,sin 3(x x x +，)cos sin ,cos 2(x x x -=，b a x f ⋅=)( （1）求函数)(x f 在[]π,0上的单调递增区间和最小值.（2）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,, 的对边，且2)(=B f ，)(7c a b -= ，求A cos 的值.19.（本小题满分12分）已知函数()2ln 2(0)f x a x a x=+->. （1）若对于任意()0,x ∈+∞都有()()21f x a >-成立，试求a 的取值范围.（2）记()()()g x f x x b b R =+-∈.当1a =时，函数()g x 在区间1,e e -⎡⎤⎣⎦上有两个零点，求实数b 的取值范围.20.（本小题满分12分）数列{}n a 满足31=a ，n n n a a 321⋅=-+（*∈N n ）（1）求{}n a 的通项公式.（2）设1)2(2--+=n n n a b λ，若对任意*∈N n ，恒有n n b b >+1，求λ的取值范围；（3）设nn a n n n c )1(32++=，求数列{}n c 的前n 项和n S21.（本小题满分12分）已知函数1ln 2ln )(2-+-=x a x a x x f .)2(2e a ≤（1）当21-=a 时，求)(x f 的单调区间. （2）若1≥x 时，0)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分． 22．（本小题满分10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :1sin x tC y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的极坐标方程.（2）已知点)0,2(M ，直线l 的极坐标方程为3πθ=，它与曲线1C 的交点为P O ,，与曲线2C 的交点为Q ，求MPQ ∆的面积.23.（本小题满分10分）已知函数()|2|2,f x x x a a R =-++∈. (1) 当1a =时，解不等式3)(≥x f(2) 若存在0x 满足52)(00<-+x x f ，求a 的取值范围.2020届高三10月阶段测试理科数学答案二、填空题： 13.316； 14、650； 15、9 16、)11,10(- 三、解答题：17.（1）1+=n a n ； （2）12+⋅=n n n T18. （1）)62sin(2)(π-=x x f 增区间),65(),3,0(πππ 当65π=x ，2)(min -=x f （2）147cos =A 19. （1）e a 20<< （2）121-+≤<ee b 20.（1）nn a 3= （2）123<<-λ （3）n n n S 3)1(11+-= 21.（1）减区间)1,0(，增区间),1(+∞ (2)]2,21[2e -22. （1）θρsin 2:1=C （2）43 23. （1）),0[]32,(+∞⋃--∞ （2）19<<-a。

2020年哈尔滨市第六中第二次高考模拟考试数学试卷（文史类）考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.做答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.做答第Ⅱ卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀. 相关公式：1.独立性检验有关数据：2. 对于一组数据),,1(,),(n i y x i i ，回归直线方程：a x b y ˆˆˆ ，其中系数2121ˆxn x yx n yx bni i ni ii ， x b y a ˆˆ , 残差 ：i i i y y e ˆˆ .第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设常数a R ,集合 |10A x x x a ,|1B x x a .若A B R U ,则a 的取值范围为（ ） A ．,2 B ． ,2 C ． 2, D ． 2,2．已知在复平面内，复数z 对应的点在第一象限，且满足222z z ，则复数z 的共轭复数z 的虚部为（ ）A.1B.iC. 1D.i3．已知O 为ABC 内一点，且02 OB OC OA ，则AOC 与ABC 面积之比是( )A.21B. 31C. 32D. 1结束开始S =1，i =2 S = S ×i 3 i =2 i + 1 输出S 是 否4.已知 ,0 ，22)3cos(，则 2tan （ ）A.33B.3 或33 C.33D.3 5.设y x ,满足22142y x y x y x ，则y x z （ ）A.有最小值2，无最大值B.有最小值1 ，无最大值C.有最大值2，无最小值D.既无最小值，又无最大值6. 若函数)(x f 同时满足下列三个性质①最小正周期为 ②图像关于直线3x 对称③在区间3,6 上是增函数，则)(x f y 的解析式可以是（ ）A.)62sin(x y B. )62sin(x y C. )62cos( x y D.)32cos(x y 7.右面的程序框图表示求式子32×35×311×323×347×395的值, 则判断框内可以填的条件为（ ） A. ?90 i B. ?100 i C. ?200 i D. ?300 i8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A.376 B.310 C.312 D.129.已知等比数列{}n a 满足N n a n ,0，且)1(4323 n a a n n ，则当1n 时，2123221log log log n a a aL ( )A ．2n B ．2(1)n C ．(21)n n D ．2(1)n10.若直线01sin cos y x 与圆1)1-()1(22 y x 相切，且 为锐角，则该直线的斜率是（ ）A.1B.3C.1D.311.若P 是双曲线)0,0(1:22221 b a b y a x C 和圆22222:b a y x C 的一个交点，且,21122F PF F PF ，其中21,F F 是双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为（ ） A.13 B. 3 C.2 D. 1312.定义域为R 的函数1(2)|2|()1(2)x x f x x，若关于x 的方程2()()0f x bf x c 恰有5个不同的实数解1234512345,,,,,()x x x x x f x x x x x 则等于（ ）A ．12B ．14C ．18D ．161第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题至24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.已知*)()(,111N n a a n a a n n n ，则数列n a 的通项公式为 .14.有如下四个命题：①甲乙两组数据分别为甲：28,31,39,42,45,55,57,58,66；乙：29,34,35,48,42,46,55,53,55,67 则甲乙的中位数分别为45和44.②相关系数83.0 r ，表明两个变量的相关性较弱.③若由一个2 2列联表中的数据计算得2K 的观测值 4.103k ,那么有95%的把握认为两个变量有关.④用最小二乘法求出一组数据),,1(,),(n i y x i i 的回归直线方程a xb yˆˆˆ 后要进行残差分析，相应于数据),,1(,),(n i y x i i 的残差是指a xb y e i i i ˆˆˆ .以上命题“错误”的序号是 .15. 已知函数)(x f 的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为)(x f 的保值区间．若()ln g x x m x 的保值区间是[,)e ，则m 的值为 ．16．正三棱锥ABC P 的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为 ．三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本题满分12分）在ABC 中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，且满足 cos2A =25,3 AC AB .（1）求ABC 的面积； （2）若6 c b ,求a 的值.18. （本题满分12分）某养殖场想对昼夜温差大小与雏鸡孵化量多少之间的关系进行研究，于是他在某月的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每40只雏鸡种蛋的孵化数，得日期 1日 7日 15日 21日 30日 温差C x / 10 11 13 12 8 孵化量2325302616（1）从这5天中任选2天，记孵化量分别为n m ,，求事件“n m ,均不小于25”的概率. （2）从这5天中任选2天，若选取的是1日与30日的两组数据作为检验数据，请根据这5天中未被选取的另三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程a x b y ˆˆˆ .（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2只，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：2121ˆxn x yx n yx bni i ni ii ，x b y a ˆˆ ）19．（本题满分12分）如图，已知四棱锥ABCD P ，底面ABCD 为菱形， PA 平面ABCD ，060 ABC ，E 、F 分别是BC 、PC 的中点．（1）判定AE 与PD 是否垂直，并说明理由.（2）设2 AB ，若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为26，求四棱锥ABCD P 的体积.20. （本题满分12分）设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点.（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF 的最大值与最小值.（2）是否存在过点)0,5(A 的直线l 与椭圆交于不同的两点D C ,，使得DF C F 22 ？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21. （本小题满分12分）设函数 cbx x ax x f 23231，其中0 a ，已知曲线 x f y 在点 0,0f P 处的切线为x 轴；（1）若1 x 为 x f 的极值点，求 x f 的解析式.（2）若过点 2,0可作曲线 x f y 的三条不同切线，求a 的取值范围.请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦AP CD //，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且EF DE 2·EC ； （1）求证：EDF P ； （2）求证：CE ·EB =EF ·EP ．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 过点)0,4(N ，倾斜角为 ．（1）写出直线l 的参数方程，及当2时，直线l 的极坐标方程l .（2）已知从极点O 作直线m 与直线l 相交于点M ，在OM 上取一点P ，使4OP OM ，求点P 的极坐标方程，并说明P 的轨迹是什么曲线.（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设c b a ,,均为实数，求证：a 21+b 21+c 21≥c b 1+a c 1+b a 1.。

黑龙江省哈尔滨市第六中学校2020届高三数学第二次模拟考试试题理考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分， 满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}42<=x x A ，{}1log 2<=x x B ，则（ ）A.A B ⊆B.B A ⊆C.B A =D.∅=B A 2.若复数31i iz +=，则复数z 的虚部为（ ） A.21 B.i 21 C.21- D.i 21-3.已知2=，2=，且)(b a b -⊥，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A.1B. 2C. 2D.224.已知函数x x x f sin 2)(+-=，若)3(3f a =，)2(--=f b ，)7(log 2f c =，则c b a ,,的大小关系为（ ）A.c b a <<B.a c b <<C.b a c <<D.b c a <<5.为了落实“精准扶贫”工作，县政府分派5名干部到3个贫困村开展工作，每个贫困村至少安排一名干部，则分配方案的种数有（ ）A. 540B.240C.150D.120 6.下列结论中正确的个数为（ ）（1）3-=m 是直线01)1(:1=+++y m mx l 和直线022:2=++my x l 垂直的充要条件；（2）在线性回归方程中，相关系数r 越大，变量间的相关性越强；（3）已知随机变量),1(~2σξN ，若6.0)3(=<ξP ，则1.0)11(=<<-ξP（4）若命题),0(:+∞∈∀x p ，x x ln 1>-，则]0,(:0-∞∈∃⌝x p ，00ln 1x x ≤- A. 1 B.2 C.3 D.47.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有 2 个货物，第二层比第一层多 3 个，第三层比第二层多 4 个，以此类推，记第n 层货物的个数为n a ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n a n n)2(的前2020项和为（ ）A.60692020 B.60694040 C.20232020 D.202340408. 已知动点),(y x P 在椭圆1121622=+y x 上，若A 点坐标为)0,2(1=，且0=⋅AM PM 的最小值为（ ）A.3B.3C.2D.29.已知点D ,C ,B ,A 在同一个球的上，32=AB ，4=AC ， 30=∠BAC .若四面体BCD A -体积的最大值为4，则这个球的表面积为（ ）A.π48B.364π C.π64 D. 316π10.已知函数1)sin()(++=ϕωx x f )0,0(πϕω<<>，2)(1=x f ，0)(2=x f ，21x x -的最小值为2π，且23)6(=πf ，则下列说法正确的是（ ） A.)(x f 的最小正周期为π2 B. )(x f 的对称中心为)0,42(ππ+k ，Z k ∈C.)(x f 的单调增区间为)2,(πππ+k k ，Z k ∈ D.当]3,6[ππ-∈x 时，)(x f 的值域为]2,21[ 11.已知点B A ,关于坐标原点O 对称，2=AB ，以M 为圆心的圆过B A ,两点，且与直线1=y 相切.若存在定点P ，使得当A 运动时，MP MA -为定值，则点P 的坐标为（ ）A.)1,0(B.)1,0(-C.)21,0(D.)21,0(-12.已知偶函数)(x f 满足)3()3(x f x f -=+，且当]3,0[∈x 时，2)(xxex f -=，若关于x 的不等式0)()(2>-x tf x f 在]150,150[-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（ ）A.),0(21-eB.)3,(2321--e e C.)2,3(123--e e D.)2,(121--e e第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共4小题,每题5分.）13. nxx )1(+的二项展开式中第三项和第四项的二项式系数最大，则各项系数和为_________14. 已知曲线x ae y xln +=在),1(ae 处的切线方程为b x y +=2，则实数________=b15. 在锐角三角形ABC 中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若2=b ，4)3(2=+-c c a a ，则c a 3-的取值范围为________________16. 蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的.从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成.如图，在正六棱柱F E D C B A ABCDEF ''''''-的三个顶点E C A ,,处分别用平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 截掉三个相等的三棱锥ABF M -，BCD O -，DEF N -，平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 交于点P ，就形成了蜂巢的结构，如下图所示:瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂巢的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，英国数学家麦克劳林通过计算得到菱形的一个内角为6182109''' ，即6182109'''=∠ BMF .以下三个结论：①MN BF >；② BDF ∆≅MON ∆；③D N M B ,,,四点共面，正确命题的个数为_____个若33='M A ，62=''B A ，2804454tan ='''，则此蜂巢的表面积为_____________三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17、(本小题满分12分)如图，五面体PABCD 中，⊥CD 平面PAD ，ABCD 为直角梯形，2π=∠BCD ，AD CD BC PD 21===，PD AP ⊥. （1）若E 为AP 的中点，求证：//BE 平面PCD ； （2）求二面角C AB P --的余弦值.18、(本小题满分12分)已知数列{}n a 中，11=a ，)(2)1(1*+∈++=N n a n a n a nnn（1）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是等差数列； （2）若1+=n n n a a c ，且数列nb n n ⋅=34，数列{}n n c b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围.19、(本小题满分12分)直线l 是过点)0,2(-M 的动直线，当l 与圆2:22=+y x O 相切时，同时也和抛物线)0(2:2>=p px y C 相切. （1）求抛物线C 的方程；（2）直线l 与抛物线C 交于不同的两点Q P ,，与圆O 交于不同的两点B A ,，AOB ∆的面积为1S ，POQ ∆的面积为2S ，当1225S S =时，求直线l 的方程．20、(本小题满分12分)新型冠状病毒最近在全国蔓延，具有很强的人与人之间的传染性，该病毒在进入人体后一般有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间。

2020年黑龙江高三二模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.已知复数 的实部为，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ）．A. B. C. D.3.已知双曲线则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）．A. B. C. D.4.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．下图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：，，，，，其中，．根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭．塔共层，若，，则这五层正六边形的周长总和为（ ）．A.B.C.D.5.对于直线，和平面，，，有如下四个命题：（）若，，则； （）若，，，则；（）若，，，则； （）若，，则．其中真命题的个数是A.B.C.D.6.已知正方体，为底面的中心，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）．A.B.C.D.7.函数，若要得到奇函数的图象，可以将函数的图象（ ）．A.向左平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向右平移个单位8.一项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究，表为各个学段每个内容主题所包含的条目数，图是将表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图．由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是：学段内容主题第一学段（年级）第二学段（年级）第三学段（年级）合计数与代数图形与几何统计与概率综合与实践合计表第一学段第二学段第三学段综合与实践统计与概率图形与几何数与代数图A.除了"综合与实践"外，其他三个内容领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其"图形与几何"在第三学段急剧增加，约是第二学段的倍．B.在所有内容领域中，"图形与几何"内容最多，占，"综合与实践"内容最少，约占．C.第一、二学段"数与代数"内容最多，第三学段"图形与几何"内容最多．D."数与代数"内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，"图形与几何"内容条目数，百分比都随学段的增长而增长．9.定义在上的偶函数满足：对任意的，（），有，则（ ）．A.B.C.D.10.给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心为半径的圆弧上运动，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.11.若数列满足，且，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为（ ）．A.B.C.D.12.设椭圆的两焦点为，，焦距为，过点的直线与椭圆交于，两点．若，且，则椭圆的离心率为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若，满足约束条件，则的最大值是 ．14.甲、乙、丙三人的投篮命中率分别为，，，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为 ．15.数列是等差数列，前项和为，，，且，则实数．16.在四棱锥中，底面为正方形，，为等边三角形，线段的中点为，若，则此四棱锥的外接球的表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.在中，角，，所对的边分别为，，，且．求的值．若为锐角三角形，求的最小值．（1）（2）18.随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．下表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取名学生的统计数据．成绩优秀成绩不够优秀总计选修生涯规划课不选修生涯规划课总计根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”，并说明理由．如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取名学生，求抽到成绩不够优秀的学生人数的分布列和数学期望（将频率当作概率计算）．参考附表：参考公式，其中．19.四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，为的中点，为的中点，平面底面．（1）（2）证明：平面平面．若与底面所成的角为，求二面角的余弦值．（1）（2）20.已知点，为抛物线上任意一点，且为的中点．设动点的轨迹为曲线．求曲线的方程．关于的对称点为．是否存在斜率为的直线交曲线于，两点，使得为以为底边的等腰三角形？若存在，请求出的面积；若不存在，请说明理由．（1）（2）21.已知函数，．讨论函数在上的单调性．判断当时，与的图象公切线的条数，并说明理由．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．求曲线的参数方程与直线的普通方程．设点为曲线上的动点，点和点为直线上的点，且，求面积的取值范围．（1）（2）23.已知函数，，．当时，有，求实数的取值范围．若不等式的解集为，正数，满足，求的最小值．【答案】解析:集合，集合，∴．故选项．解析:∵ 复数，∵ 实数部为，即，∴ 复数，故复数的虚部为．故选．解析:由题意得：，，∴，故双曲线的焦点坐标为和，令，则，即双曲线的渐近线方程为：，∴双曲线焦点到其渐近线的距离为：．故选．解析:五层：，，，，，∴周长和．故选．D 1.A 2.B 3.C 4.解析:（）∵，∴（设面），又∵，∴，又∵，∴，（）∵，又∵，∴，又∵，∴，（）∵，，∴，又∵，∴，（）时，不平行于，∴（）（）（）正确，∴选．解析:C 5.C 6.以正方体，为坐标原点，边为轴，为轴，为轴作空间坐标系，设，则，，，，，，，，则，，，，则异面直线与所成角的余弦值为．故选．解析:∵函数，要得到有函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位．故正确．故选．D 7.解析:∵，时，，∴在单调递减，∵为偶函数，∴在单调递增，∵，∴，∵，∵，，∴，∴．故选．解析:，∵设，则，且，∴，∵，即，∴，∴．故选：．D 8.D 9.B 10.解析:由题意知，即，则，，逐项累加得：，又∵，∴，∴，则，，，，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为．故选．解析:如图所示：由椭圆定义知，，∵，∴．∵，A 11.C 12.∴，∴．在，由余弦定理知：，在，由余弦定理知：．∵，∴，∴，即，∴，∴，故选．13.解析:如图所示阴影部分为约束条件表示的可行域，目标函数可化为，其中表示直线的纵截距，平移直线至点时，纵截距最大，即最大．∵,∴．14.解析:由题意可知：三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为：,故答案为：．15.解析:，则，∵，∴，，，∴，．16.解析:，交于点，过点作面，四棱锥球心在直线上，（1）设球心为，过点作面的垂线，交面于点，取中点为，连接，，，∵为等边三角形，，∴，设，，在中，，在中，，即，解得，∴，，过点作交于点，，设，在中，，即①，在中，，即②，①②联立可得，∴四棱锥外接球表面积为．解析:在中，，由正弦定理，得，故，（1）．（2）．17.（2）（1）（2）∴，，则．由得，，∵，由均值不等式得，，当且仅当时，等号成立，解得，∴的最小值为．解析:由题意知，的观测值，所以有的把握认为“学生的成绩优秀与是否选修生涯规划课有关”．由题意知在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取名学生成绩优秀的概率为，成绩不优秀的概率为，可取值为，，，，，，，，所以的分布列为：∵，（1）有的把握认为“学生的成绩优秀与是否选修生涯规划课有关”，证明见解析．（2）．18.（1）（2）∴．解析:∵，∴四边形是平行四边形，∴．又∵，∴．又∵面面，面面，面，∴面，且面，∴平面平面．连结，∵，为中点，∴又平面，平面平面，平面平面，∴底面，又，以，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，，取平面的法向量，，，∴，，∴，（1）证明见解析．（2）．19.（1）（2）∴，，设平面的法向量，∴，令，∴，，设二面角的平面角为，∴，又为钝角，∴，即二面角的余弦值为．解析:设，，∵是的中点，则，∵在上，∴，∴，∴，故曲线的方程为．由题意得，设，，，将代入得，∴，∴的中点，∵，∴，∴符合，∴存在，∴化为，∴，，∴．（1）．（2）存在，．20.（1）（2）解析:，，当时，，所以函数在上单调递减，当时，由得：，由得：，所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增．函数在点处的切线方程为，即，函数在点处的切线方程为，即，若与的图象有公切线，则，由①得代入②整理得：，③由题意只需判断关于的方程在上解的个数，令，，令，解得，单调递减极小值单调递增∴，∵，，∴，（1）函数在上单调递减，函数在上单调递增．（2）与的图象有两条公切线，证明见解析．21.①②（1）（2）（1），且图象在不连续不断，∴方程在及上各有一个根，即与的图象有两条公切线．解析:由题意：，∴，∴，∴，∴曲线的参数方程为（为参数），由直线的参数方程得代入，得，∴，∴直线的普通方程为．设到直线的距离为，，，∴，∴面积的取值范围是．解析:∵在上恒成立，∴，∴，又∵，（1）（为参数）；．（2）．22.（1）．（2）．23.（2）当且仅当，即时等号成立，∴，即．令，∴，①若时，∴解集为，不符合题意，②若时，解集为，不符合题意，③若时，∴，∴，又∵，∴，综上所述，∴，∴，∵，∴，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，此时，∴当，时，．。

哈尔滨市第六中学高三第二次模拟考试理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足3(1)()2i z i i --= (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( )A ．1i -B ．12i +C ．1i -D ．12i -2．已知集合A ={x |2()lg(6)f x x x =-+}，B ={x |()g x ，若A B ≠∅I ，则实数m 的取值范围是( )A ．(−∞，3)B ．(−2，3)C ．(−∞，−2)D ．(3，+∞)3．已知双曲线22221x y a b -= (a >0，b >0)的右顶点与抛物线2y =8x 的焦点重合，且其离心率e =32，则该双曲线的方程为( )A ．22145y x -= B ．22154x y -= C ．22145x y -= D ．22154y x -= 4．已知在各项均为正数的等比数列{n a }中，13a a =16，3a +4a =24，则5a =( )A ．128B ．108C ．64D ．32 5．已知α是第四象限角，且1sin cos 5αα+=，则tan 2α=( )A ．13 B ．13- C ．12D ．12-6．已知命题p ：存在n R ∈，使得()f x =22n nnx+是幂函数，且在(0,)+∞上单调递增； 命题q ：“2,23x R x x ∃∈+>”的否定是“2,23x R x x ∀∈+<”．则下列命题为真命题的是( ) A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝7．函数()f x =2ln ||2x x +的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．8．如图所示的程序框图的思路源于数学史上一个著名数列“斐波那契数列”， 执行该程序，若输入6n =，则输出C =( ) A ．5 B ．8 C ．13 D ．219．从,,,,A B C D E 五名歌手中任选三人出席某义演活动，当三名歌手中有A 和B 时，A 需排在B 的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有( )A ．51种B ．45种C ．42种D ．36种10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的体积为( )A ．14π B ．3πC ．12π D ．3π11．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆22221x y a b+=上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．51(0,)2- B ．51(,1)2- C ．31(,1)2- D ． 31(0,)2- 12．已知()f x '为函数()f x 的导函数，且()f x =212x −(0)f x +(1)f '1x e -， ()g x = ()f x −212x x +，若方程2()x g x a -−x =0在(0，+∞)上有且仅有一个根，则实数a 的取值范围是（ ）A ． (0，1]B ．(−∞，−1]C ． (−∞，0)∪{1}D ．[1，+∞)第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题,每题5分.）13．一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：(i)如果开启1号阀门，那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门；(ii)如果开启2号阀门或者5号阀门，那么要关闭4号阀门；(iii)不能同时关闭3号阀门和4号阀门．现在要开启1号阀门，则同时开启的2个阀门是 ．14．若实数x ，y 满足约束条件42y x y x y k ≤⎧⎪≤-+⎨⎪≥⎩，且22x y μ=++的最小值为4-，则k = ．15．若9290129(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++-L ，则7a 的值为 ． 16．已知首项为13的数列{n a }的前n 项和为n S ，定义在[1，+∞)上恒不为零的函数()f x ，对任意 的x ，y ∈R ，都有()f x ·()f y =()f x y +．若点(n ，n a )(n ∈N *)在函数()f x 的图象上，且不 等式2m +23m<n S 对任意的n ∈N *恒成立，则实数m 的取值范围为______________三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足(2)cos cos c b A a B -=． （1）求角A 的大小；（2）若D 为BC 上一点，且满足2,23BD DC AD ==u u u r u u u r，3,b =求a ．18．(本小题满分12分)如图1，已知在梯形ABCD 中，//AB CD ，,E F 分别为底,AB CD 上的点，且EF AB ⊥，112,22EF EB FC EA FD ====，沿EF 将平面AEFD 折起至平面AEFD ⊥平面EBCF ，如图2所示．（1）求证：平面ABD ⊥平面BDF ；（2）若二面角B −AD −F 的大小为60°，求EA 的长度．图图1 图219．(本小题满分12分)小张经营一个抽奖游戏。

黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三第二次模拟考试数学（文）试卷一、选择题1.已知集合,{|22}A Z B x x ==-<<，则A B =（ ）A ．{2,1,0}--B ．{2,1,0,1,2}--C ．{1,0,1}-D ．{0,1,2}2.复数32i z =-的虚部为（ ） A ．2B ．2-C ．2i -D ．2i3.为了落实“精准扶贫”工作，县政府计划从4名男干部，2名女干部共6名干部中选2人去贫困村开展工作，则至少有一名女干部被选中的概率（ ） A ．35B ．815C ．25D ．234.在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c，若2b a ==，cos 2B B =，则角A =（ ） A ．π3B ．6π或5π6C ．5π6D ．6π5.已知函数()2sin f x x x =-+，若(a f =，()2b f =--，()2log 7c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D. a c b <<6.若,a b 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//,//,a b a b αβ⊥，则αβ⊥ B ．若//,//,//a b a b αβ，则//αβ C ．若,,//a b a b αβ⊥⊥，则αβ// D ．若,,a b a b αβ⊥⊥//，则αβ//7.下列结论中正确的是（ ）（1）3m =-是直线1:(1)10l mx m y +++=和直线2:220l x my ++=垂直的充分不必要条件 （2）在线性回归方程中，相关系数r 越大，变量间的相关性越强 （3）命题“(,0],23x x x ∃∈-∞≤”是真命题（4）若命题:(0,)p x ∀∈+∞，1ln x x ->，则0:(,0]p x ⌝∃∈-∞，001ln x x -≤ A ．（1）（4）B ．（1）（2）C ．（2）（3）D ．（1）（3）8.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n 层货物的个数为n a ，则数列(2)n n n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．20206069B ．40406069C ．20202023D ．404020239.已知双曲线221x y -=的右焦点为F ，右顶点,A P 为渐近线上一点，则||||PA PF +的最小值为（ ） A．BC ．2D10.已知函数2,0()21,0x x a x f x x ⎧->=⎨-≤⎩，若不等式()10f x +≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞C ．[1,1]-D ．(,1)-∞11.已知1F 、2F 分别是曲线()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是曲线C 上的点，且1260F PF ∠=，若坐标原点O 到线段1PF，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD12.已知偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-,且当[0,3]x ∈时,2()21f x x x =-++,若关于x 的方程2()()30f x tf x --=在[150,150]-上有300个解,则实数t 的取值范围是( ) A.12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B.11,22⎛⎫-⎪⎝⎭C.()2,-+∞D.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭二、填空题13.已知向量22(log ,1),(log 3,1)a x b ==-，若//a b ，则x =______.14.设实数,x y 满足约束条件840,0x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩，若2z x y =+，则z 的最大值为_____.15.已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0π)g x x φφ=+<<的图象有一个横坐标为π3的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω(0)ω>倍后，得到函数()h x 的周期为2π，则π()3h 的值为________. 16.蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的.从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成.如图，在正六棱柱ABCDEF A B C D E F ''''''-的三个顶点,,A C E 处分别用平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 截掉三个相等的三棱锥M ABF -，O BCD -，N DEF -，平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 交于点P ，就形成了蜂巢的结构，如下图（4）所示，瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂巢的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，英国数学家麦克劳林通过计算得到菱形的一个内角为1092816'''，即1092816BMF '∠=''.以下三个结论①BF MN >；② BDF ∆≅MON ∆；③,,,B M N D 四点共面，正确命题的个数为______个；若A M '=AB ''=，tan544408'''=_______.三、解答题17.如图所示，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，//ED PA 且22PA ED ==.（1）证明：//CE 平面ABP ；（2）若60ABC ∠=，求异面直线PE 与AB 所成角的余弦值.18.2020年初新冠病毒疫情爆发，全国范围开展了“停课不停学”的线上教学活动.哈六中数学组积极研讨网上教学策略：先采取甲、乙两套方案教学，并对分别采取两套方案教学的班级的7次线上测试成绩进行统计如图所示：（1）请填写下表（要求写出计算过程）①从平均数和方差相结合看（分析哪种方案的成绩更好）； ②从折线图上两种方案的走势看（分析哪种方案更有潜力）. 19.已知数列{}n a 中，11(1)2,,()2nn nn a a a n N n a *++==∈+.（1）求证：n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）若5n b n =，且数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求数列{}n n S b -的最小项.20.已知函数2()(12)ln f x ax a x x =+++，2()(1)31,()g x a x ax x a a R =---+-∈. （1）若0a =，求()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（2）设()()()h x f x g x =+，若对[1,),()0x h x ∀∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围. 21.直线l 是过点(2,0)M -的动直线，当l 与圆22:2O x y +=相切时，同时也和抛物线2:2(0)C y px p =>相切. （1）求抛物线C 的方程；（2）直线l 与抛物线C 交于不同的两点,P Q 、，与圆O 交于不同的两点A B 、，AOB △面积为1S ，POQ △面积为2S ，当21S =时，求直线l 的方程．22.在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为1(1)x my k m =-⎧⎨=-⎩（m 为参数），直线2l 的参数方程为2x nn y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩（n 为参数）.设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时的点P 的轨迹为曲线C .（1）求出曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设射线3l 的极坐标方程为(0)θαρ=≥且5πtan (0)42αα=<<，点Q 是射线3l 与曲线C 的交点，求点Q 的极径.23.已知函数()2f x x =+． （1）解不等式()41f x x >-+；（2）已知()20,0a b a b +=>>，求证：()412.5x f x a b--≤+．参考答案1.答案：C 解析：2.答案：B 解析：3.答案：A 解析：4.答案：D 解析：5.答案：D 解析：6.答案：C 解析：7.答案：D 解析：8.答案：B 解析：9.答案：B 解析： 10.答案：B 解析： 11.答案：C 解析： 12.答案：B解析：因为偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-,所以(3)(3)f x f x +=-, 所以函数()f x 是周期为6的周期函数, 因为当[0,3]x ∈时,2()21f x x x =-++,所以当[3,0]x ∈-时,[0,3]x -∈,所以22()()()2()121f x f x x x x x =-=--+-+=--+,即当[3,0]x∈-时,2()21f x x x=--+,作出函数在一个周期[3,3]-内的图象如图：因为关于x的方程2()()30f x tf x--=在[150,150]-上有300个解,所以关于x的方程2()()30f x tf x--=在[3,3]-上有6个解,结合图象可知()f x必有两个值,一个大于1小于2,另一个大于-2且小于1,等价于关于x的方程230x tx--=在区间(2,1)-和(1,2)内各有一个实根,令2()3g x x tx=--,则(2)0(1)0(2)0ggg->⎧⎪<⎨⎪>⎩,所以42301304230ttt+->⎧⎪--<⎨⎪-->⎩,解得1122t-<<.故选：B.13.答案：1 3解析：14.答案：14 解析：15.答案：1 解析：16.答案：2 ;解析：17.答案：（1）由题//ED PA，ED⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以//ED平面PAB，四边形ABCD 是边长为2的菱形，所以//AB CD ，CD ⊄平面PAB ，BA ⊂平面PAB ，所以//CD 平面PAB ，CD 和DE 是平面CDE 内两条相交直线，所以平面//CED 平面ABP ，CE ⊂平面CED ， 所以//CE 平面ABP ；（2）取P A 的中点M ，连接MD MC ，，由题可得//,=1ED PM ED PM =， 所以四边形PMDE 是平行四边形，所以//PE MD ，又//AB CD ， 异面直线PE 与AB 所成角就是MD 与CD 所成角，ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，所以三角形ABC 是等边三角形，PA ⊥底面ABCD，MC MD ==在三角形MDC中，由余弦定理cos CDM ∠=所以异面直线PE 与AB.解析：18.答案：（1）由表格中的数据可得1091111131151171191211157x ++++++==甲，1211151091151131171151157x ++++++==乙，236164041636167s ++++++==甲，236036044011.437s ++++++=≈乙，（2）①甲、乙两种方案的平均数相等，且22s s >甲乙，乙方案更稳定； ②从折线图的走势上看甲更好，使用甲方案成绩稳步提高，而使用乙方案成绩不稳定，忽上忽下. 解析：19.答案：解：（1）由题可知，11(1)2,,()2nn nn a a a n N n a *++==∈+，1212n n n nn a n na a a +++∴==+ ， 112n n n n a a ++∴-=，且1112a =， n n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以12为首项，2为公差的等差数列，322n n n a ∴=-. （2）已知数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，()2121222n n n nS n n -⨯∴=+=-，由于5n b n =， 2211522n n n S b n n n n ∴-=--=-， 设n n n T S b =-，即2211111212416n T n n n ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭， 可知，当n 取与114靠近的整数时，n T 取得最小值， 所以当3n =时，n T 的最小项为：23111211534162T ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭， 即数列{}n n S b -的最小项为152-.解析：20.答案：（1）因为0a =，所以1()ln ()1f x x x f x x'=+=+，， 所以(1)1,(1)2f f '==，所以切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-. （2）因为2()ln 1h x x x ax a =+-+-， 所以1()2h x x a x'=+-， 令1()2F x x a x=+-，21()20F x x'=->，对[1,)x ∀∈+∞恒成立， 所以()F x 即()h x '在[1,)+∞递增， ()(1)3h x h a ''≥=-，①当3a ≤时，()(1)30h x h a ''≥=-≥， 所以()h x 在[1,)+∞递增，()(1)0h x h ≥=，成立. ②当3a >时，()(1)3h x h a ''≥=-，且(1)0h '<， 存在0(1,)x ∈+∞，使0()0h x '=，所以()h x 在0(1,)x 递减，在0()x +∞递增， 所以0()(1)0h x h ≤=与题意不符， 综上：3a ≤所以实数a 的取值范围(,3]-∞. 解析：21.答案：（1）由题意可知直线斜率显然不为0 ，设直线:2l x my =-，由题意知圆心到直线l 的距离d ==，1m ∴=±，联立直线与抛物线方程2222402x y y py p y px=±-⎧⇒±+=⎨=⎩，因为直线l 与抛物线相切24160p p ∴∆=-=，解得4p =，∴抛物线C 的方程为28y x =.（2）联立直线与抛物线方程22281608x my y my y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩，根据题意22(8)6401m m ∆=->⇒>，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则128y y m +=，1216y y =，所以12PQ y -== 圆心(0,0)O 到直线的距离d =，AB =2152S =，PQ ∴=，∴232m =，m =所以直线l 的方程为2x y =-(2))y x =+.解析：22.答案：（1）直线1l 的普通方程为()y k x =-，直线2l 的普通方程为2x y k -=联立直线1l ，2l 方程消去参数k ，得曲线C 的普通方程为2(2)y y x -=-， 整理得22(1)1(0)x y x +-=≠．（2）设Q 点的直角坐标系坐标为(cos ,sin )(0)a ρραρ>，由πtan 0254a a ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭可得sin a a代入曲线C 的方程可得20ρ=，解得0ρρ=（舍），所以点Q 的极径为41． 解析：23.答案：（1）()41f x x >-+，即为214x x +++>， 该不等式等价于如下不等式组： 1）2214x x x <-⎧⎨---->⎩ 3.5x ⇒<-，2）21214x x x -≤<⎧⎨+-->⎩ x φ⇒∈，3）10.5214x x x x ≥-⎧⇒>⎨+++>⎩，所以原不等式的解集为{| 3.5x x <-或0.5}x >； （2）()2.5 2.52 4.5x f x x x --=--+≤，()(41141141415 4.5222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()412.5x f x a b--≤+.。

黑龙江省哈尔滨市阿城第六中学2020年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=（n∈N*），则a20=( )A．0 B．C．D．参考答案：B【考点】数列递推式．【专题】计算题．【分析】经过不完全归纳，得出，…发现此数列以3为周期的周期数列，根据周期可以求出a20的值．【解答】解；由题意知：∵∴…故此数列的周期为3．所以a20=．故选B【点评】本题主要考查学生的应变能力和不完全归纳法，可能大部分人都想直接求数列的通项公式，然后求解，但是此方法不通，很难入手．属于易错题型．2. 已知cosα=﹣，且α是钝角，则tanα等于（）A．B．C．﹣D．﹣参考答案：C【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的化简求值．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，利用同角三角函数基本关系式即可求tanα的值．【解答】解：∵cosα=﹣，且α是钝角，∴sinα==，∴tanα==﹣．故选：C．3. 已知集合，则( )A. A∩B=φB. A∪B=RC.B?AD.A?B参考答案：B由或，，解出A后可用数轴法将A、B画在数轴上，可得，则B项正确，其他选项错误。

故本题正确答案为B。

4. 设函数f（x）=+lnx，则（）A．为f（x）的极小值点B．x=2为f（x）的极大值点C．为f（x）的极大值点D．x=2为f（x）的极小值点参考答案：D【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求导数f′（x），令f′（x）=0，得x=2可判断在2左右两侧导数符号，由极值点的定义可得结论．【解答】解：f′（x）=﹣=，当0＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时f′（x）＞0，所以x=2为f（x）的极小值点，故选：D．5. 点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A．[0,) B． C． D．参考答案：D6. 在一个袋子中装有12个除颜色外其他均相同的小球，其中有红球6个、白球4个、黄球2个，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有黄但没有白的概率为（）A．B．C．D．参考答案：C从袋中随机摸出一个球，摸到红球、白球、黄球的概率分别为，由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红，2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，下的颜色中有红有黄但没有白的概率为.故选：C.7. 已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或7参考答案：C8. 在数列{a n}中，=1，，则的值为( )A．17 B．19 C．21 D．23参考答案：B9. 共个人，从中选1名组长1名副组长，但不能当副组长，不同的选法总数是（）A. B． C． D．参考答案：B略10. 从932人中抽取一个样本容量为100的样本，采用系统抽样的方法则必须从这932人中剔除（）人A. 32B. 24C. 16D. 48参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不等式2x2-x-1>0的解集是参考答案：略12. _____．参考答案：【分析】根据指数幂运算性质和运算法则计算即可得到结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查指数幂的运算，属于基础题.13. 已知，则的值等于▲ ．参考答案：14. 不等式的解集是，则a＋b的值是________.参考答案：略15. 在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共种（用数字作答）．参考答案：4186【考点】D3：计数原理的应用．【分析】根据题意，至少有3件次品可分为有3件次品与有4件次品两种情况，有4件次品抽法C44C461，有3件次品的抽法C43C462，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：根据题意，“至少有3件次品”可分为“有3件次品”与“有4件次品”两种情况，有4件次品抽法C44C461有3件次品的抽法C43C462共有C44C461+C43C462=4186种不同抽法故答案为：4186【点评】本题考查分类计数原理，本题解题的关键是注意至少有3件次品包括2中情况，不要写出三种情况的错解，即加上有5件次品，本题是一个基础题．16. 函数在(0,2)上有两个不同的零点，则实数k的取值范围__________.参考答案：【分析】把函数解析式化为分段函数的形式，在每一段上研究函数的零点情况，从而求出的取值范围．【详解】函数，①函数在，，各一个解：由于，．②两零点都在上时，显然不符合根与系数的关系．综上，的取值范围是：．故答案为：，．【点睛】本题考查函数零点的求法，以及函数零点存在的条件，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．17. 命题p：若，则是▲命题；命题p的逆命题是▲命题．（在横线上填“真”或“假”）参考答案：真；假三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年黑龙江省哈尔滨六中高考数学二模试卷（理科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2<4}，B={x|log2x<1}，则()A. B⊆AB. A⊆BC. A=BD. A∩B=⌀2.若复数z=i1+i3，则复数z−的虚部为()A. 12B. 12i C. −12D. −12i3.已知|a⃗|=2，|b⃗ |=√2，且b⃗ ⊥(a⃗−b⃗ )，则向量a⃗在b⃗ 方向上的投影为()A. 1B. √2C. 2D. √224.已知函数f(x)=−2x+sinx，若a=f(3√3)，b=−f(−2)，c=f(log27)，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. a<c<b5.为了落实“精准扶贫”工作，县政府分派5名干部到3个贫困村开展工作，每个贫困村至少安排一名干部，则分配方案的种数有()A. 540B. 240C. 150D. 1206.下列结论中正确的个数为()(1)m=−3是直线l1：mx+(m+1)y+1=0和直线l2：2x+my+2=0垂直的充要条件；(2)在线性回归方程中，相关系数r越大，变量间的相关性越强；(3)已知随机变量ξ～N(1,σ2)，若P(ξ<3)=0.6，则P(−1<ξ<1)=0.1(4)若命题p：∀x∈(0,+∞)，x−1>lnx，则￢p：∃x0∈(−∞,0]，x0−1≤lnx0A. 1B. 2C. 3D. 47.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n层货物的个数为a n，则数列{n(n+2)a n}的前2020项和为()A. 20206069B. 40406069C. 20202023D. 404020238.已知动点P(x,y)在椭圆x216+y212=1上，若A点坐标为(2,0)，|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，且PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为()A. 3B. √3C. 2D. √29.已知点A，B，C，D在同一个球的上，AB=2√3，AC=4，∠BAC=30°.若四面体A−BCD体积的最大值为4，则这个球的表面积为()A. 48πB.64π3C. 64πD.16π310. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)+1(ω>0,0<φ<π)，f(x 1)=2，f(x 2)=0，|x 1−x 2|的最小值为π2，且f(π6)=32，则下列说法正确的是( )A. f(x)的最小正周期为2πB. f(x)的对称中心为(kπ2+π4,0)，k ∈Z C. f(x)的单调增区间为(kπ,kπ+π2)，k ∈Z D. 当x ∈[−π6,π3]时，f(x)的值域为[12,2]11. 已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB|=2，以M 为圆心的圆过A ，B 两点，且与直线y =1相切．若存在定点P ，使得当A 运动时，|MA|−|MP|为定值，则点P 的坐标为( )A. (0,1)B. (0,−1)C. (0,12)D. (0,−12)12. 已知偶函数f(x)满足f(3+x)=f(3−x)，且当x ∈[0,3]时，f(x)=xe −x2，若关于x 的不等式f 2(x)−tf(x)>0在[−150,150]上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是( )A. (0,e −12)B. (e −12,3e −32)C. (3e −32,2e −1)D. (e −12,2e −1)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (x +√x )n 的二项展开式中第三项和第四项的二项式系数最大，则各项系数和为______． 14. 已知曲线y =ae x +lnx 在(1,ae)处的切线方程为y =2x +b ，则实数b =______．15. 在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b =2，a(a −√3c)+c 2=4，则a −√3c 的取值范围为______．16. 蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的．从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成．如图，在正六棱柱ABCDEF −A′B′C′D′E′F′的三个顶点A ，C ，E 处分别用平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 截掉三个相等的三棱锥M −ABF ，O −BCD ，N −DEF ，平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 交于点P ，就形成了蜂巢的结构，如图所示：瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂巢的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，英国数学家麦克劳林通过计算得到菱形的一个内角为109°28′16′′，即∠BMF=109°28′16′′．以下三个结论：①BF>MN；②△BDF≌△MON；③B，M，N，D四点共面，正确命题的个数为______个若A′M=3√3，A′B′=2√6，tan54°44′08′′=√2，则此蜂巢的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，五面体PABCD中，CD⊥平面PAD，ABCD为直角梯形，∠BCD=π，2AD，AP⊥PD．PD=BC=CD=12(1)若E为AP的中点，求证：BE//平面PCD；(2)求二面角P−AB−C的余弦值．(n∈N∗)．18.已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=(n+1)a nn+2a n}是等差数列；(1)求证：{na n(2)若c n=a n a n+1，且数列b n=4，数列{b n c n}的前n项和为T n，求T n的取值范围．3n⋅n19.直线l是过点M(−2,0)的动直线，当l与圆O：x2+y2=2相切时，同时也和抛物线C：y2=2px(p>0)相切．(1)求抛物线C的方程；(2)直线l与抛物线C交于不同的两点P、Q，与圆O交于不同的两点A、B，△AOB面积为S1，△POQ面积为S2，当S2=5√2S1时，求直线l的方程．20.新型冠状病毒最近在全国蔓延，具有很强的人与人之间的传染性，该病毒在进入人体后一般有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间．假设每位病毒携带者在潜伏期内每天有n位密切接触者，接触病毒携带者后被感染的概率为p，每位密切接触者不用再接触其他病毒携带者．(1)求一位病毒携带者一天内感染的人数X的均值；(2)若n=3，p=1时，从被感染的第一天算起，试计算某一位病毒携带者在14天潜伏期内，被他平3均累计感染的人数(用数字作答)；(3)3月16日20时18分，由我国军事科学院军事科学研究院陈薇院士领衔的科学团队，研制重组新型冠状病毒疫苗获批进入临床状态，新疫苗的使用，可以极大减少感染新型冠状病毒的人数，为保证安全性和有效性，某科研团队抽取500支新冠疫苗，观测其中某项质量指标值，得到如图频率分布直方图：①求这500支该项质量指标值得样本平均值x −(同一组的数据用该组区代表间的中点值)；②由直方图可以认为，新冠疫苗的该项质量指标值Z 服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x −，σ2近似为样本方差s 2，经计算可得这500支新冠疫苗该项指标值的样本方差s 2=150.现有5名志愿者参与临床试验，观测得出该项指标值分别为：206，178，195，160，229试问新冠疫苗的该项指标值是否正常，为什么？参考数据：√150=12.2，若Z ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6827P(μ−2σ<Z <μ+2σ)=0.9545，P(μ−3σ<Z <μ+3σ)=0.9973．21. 已知函数f(x)=e ax ln(x +1)−x ．(1)当a =1时，若f(x)≥m 在(0,+∞)上恒成立，求m 的范围； (2)当a ≥12时，若x =0不是f(x)的极值点，求实数a 的值．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =1−my =k(m −1)(m 为参数)，直线l 2的参数方程{x =n y =2+n k(n为参数)，若直线l 1，l 2的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C ． (1)求曲线C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线l 3的极坐标方程为θ=α(ρ≥0)，tanα=54(0<α<π2)，点Q 为射线l 3与曲线C 的交点，求点Q 的极径．23.已知函数f(x)=|x+2|．(1)解不等式f(x)>4−|x+1|；(2)已知a+b=2(a>0,b>0)，求证：|x−52|−f(x)≤4a+1b．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查解不等式和判断集合间的关系，属于基础题．首先解二次不等式和对数不等式求出集合A，B，可判断A，B的关系．【解答】解：因为集合A={x|x2<4}={x|−2<x<2}，B={x|log2x<1}={x|0<x<2}，所以B⊆A．故选：A．2.【答案】C【解析】解：∵z=i1+i3=i1−i=i(1+i)(1−i)(1+i)=−12+12i，∴z−=−12−12i，则复数z−的虚部为−12．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：|a⃗|=2，|b⃗ |=√2，且b⃗ ⊥(a⃗−b⃗ )，可得b⃗ ⋅(a⃗−b⃗ )=0，即为a⃗⋅b⃗ =b⃗ 2=|b⃗ |2=2，则向量a⃗在b⃗ 方向上的投影为a⃗ ⋅b⃗|b⃗|=√2=√2，故选：B．由向量垂直可得其数量积为0，再由向量a⃗在b⃗ 方向上的投影为a⃗ ⋅b⃗|b⃗|，计算可得所求值．本题考查向量数量积的定义和性质，主要是向量垂直的条件，以及投影的概念和应用，考查运算能力，是一道基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)=−2x +sinx ，其定义域为R ，有f(−x)=−2(−x)+sin(−x)=2x −sinx =−f(x)，则函数f(x)为奇函数，则b =−f(−2)=f(2)， 函数f(x)=−2x +sinx ，其导数f′(x)=−2+cosx ，又由−1≤cosx ≤1，则f′(x)<0，即函数f(x)在R 上为减函数， 又由2=log 24<log 27<log 28=3<3√3，故f(3√3)<f(log 27)<f(2)=−f(−2)，即a <c <b ； 故选：D ．根据题意，分析可得f(x)为奇函数，则可得b =−f(−2)=f(2)，求出函数的导数f′(x)，分析可得函数f(x)在R 上为减函数，又由2=log 24<log 27<log 28=3<3√3，结合函数的奇偶性与单调性分析可得答案． 本题考查函数单调性的判断以及性质的应用，注意利用导数分析函数的单调性，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①先将5名干部分为三组，若分为3、1、1的三组，有C 53=10种分组方法， 若分为2、2、1的三组，有C 52C 32A 22=15种分组方法，则有10+15=25种分组方法；②将分好的三组对应三个贫困村，有A 33=6种情况， 则有25×6=150种分配方案； 故选：C ．根据题意，分2步进行分析：①按分组的人数不同分情况讨论将5名干部分为三组的分组方法；②将分好的三组对应三个贫困村，由分布计数计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】 【分析】根据各命题对应的知识即可判断其真假．本题主要考查命题的真假判断，涉及直线与直线垂直的充要条件的应用，相关系数与相关性关系的应用，全称命题的否定，以及正态分布曲线的应用，属于中档题． 【解答】解：对于(1)，若直线l 1：mx +(m +1)y +1=0和直线l 2：2x +my +2=0垂直， 则2m +m(m +1)=0，解得，m =0或m =−3，所以m =−3是直线l 1：mx +(m +1)y +1=0和直线l 2：2x +my +2=0垂直的充分不必要条件，故(1)错误；对于(2)，在线性回归方程中，相关系数|r|越大，变量间的相关性越强，故(2)错误； 对于(3)，随机变量ξ～N(1,σ2)，若P(ξ<3)=0.6， ∴P(ξ>3)=0.4，由对称性可得P(ξ<−1)=0.4，∴P(−1<ξ<1)=P(ξ<1)−P(ξ<−1)=0.5−0.4=0.1，故(3)正确； 对于(4)，￢p ：∃x 0∈(0,+∞)，x 0−1≤lnx 0，故(4)错误． 所以正确的是(3)． 故选：A ．7.【答案】B【解析】解：设从上而下各层货物的个数构成数列{a n }，依题意有：a 1=2，a 2−a 1=3，a 3−a 2=4，…，a n −a n−1=n +1(n ≥2)由上面的式子累加可得：a n =2+3+4+⋯+(n +1)=n(2+n+1)2=n(n+3)2，n ≥2，又当n =1时，a 1=2也适合， 所以a n =n(n+3)2，n (n+2)a n=2(n+2)(n+3)=2(1n+2−1n+3)，∴数列{n(n+2)a n }的前2020项和为2[(13−14)+(14−15)+(15−16)+⋯+(12022−12023)]=2(13−12023)=40402069． 故选：B ．设从上而下各层货物的个数构成数列{a n }，依题意写出相邻项的关系式，利用累加法求得a n ，然后求得n(n+2)a n ，再利用裂项相消法求其前2020项和即可．本题主要考查累加法在求数列通项公式的应用及裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意的方程可得右焦点的坐标为(2,0)，由题意可得A 为右焦点， 由|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，可得点M 在以A 为圆心，以1为半径的圆上，因为PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以可得PM ⊥AM ，所以|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |为P 到圆A 的切线长，即：|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=√|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−1， 所以当|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |最小时，|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值， 因为P 在椭圆上，而a =4，c =2，所以a −c ≤|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤a +c ，即|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |∈[2,6]， 所以|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为√22−1=√3， 故选：B ．由椭圆的方程可得A 为椭圆的右焦点，由|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，可得为A 为圆心，以1为半径的圆，再由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以可得PM ⊥AM ，所以当|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小时，|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值，由于P 在椭圆上可得|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围，进而求出|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值．本题考查椭圆的性质及圆的性质，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：由AB =2√3，AC =4，∠BAC =30°， 得BC =√AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC =2， ∴AB 2+BC 2=AC 2，∴∠ABC =90°，则△ABC 的外接圆的直径为2r =AC =4，外接圆圆心为线段AC 的中点E ， 如下图所示，当点D 、球心O 、E 三点共线且当D 、E 位于球心的异侧时， 四面体ABCD 的体积取最大值，此时，DE ⊥平面ABC ， S △ABC =12AB ⋅BC =12×2√3×2=2√3，四面体ABCD 的体积为V D−ABC =13S △ABC ⋅DE =4， 解得DE =2√3，由勾股定理得DA =DB =DC =√DE 2+EA 2=4， ∴四面体ABCD 的外接球的直径为2R =AD 2DE=2√3=8√33， 则四面体ABCD 的外接球的半径为4√33．因此，四面体ABCD 的外接球的表面积为4πR 2=4π×(4√33)2=643π．故选：B ． 由余弦定理求出BC ，可得△ABC 是直角三角形，于是得出△ABC 外接圆的圆心为斜边AC 的中点E ，求出△ABC 的面积，利用点D 、球心、E 三点共线且D 、E 位于球心的异侧时，四面体ABCD 的体积取最大值，利用锥体体积公式可算出此时DE 的值，然后可计算出三棱锥D −ABC 的侧棱长，射影定理求出外接球的半径，代入球的体积公式求解．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，属于中等题． 10.【答案】D【解析】【分析】根据题意可知，x =x 1，x =x 2是函数f(x)的相邻对称轴，即可求出周期和ω，再根据f(π6)=32，即可求出φ，进而得出函数f(x)的解析式，便可判断各选项的真假．本题主要考查根据三角函数的性质求解析式，并运用解析式求解其函数性质，属于基础题．【解答】解：依题意可得，x =x 1，x =x 2是函数f(x)的相邻对称轴，所以T 2=π2，即T =π，ω=2，所以A 错误；又f(π6)=32，所以sin(π3+φ)=12，而0<φ<π，∴π3+φ=5π6，即φ=π2． 所以f(x)=sin(2x +π2)+1=cos2x +1．令2x =kπ+π2，解得x =kπ2+π4， 所以f(x)的对称中心为(kπ2+π4,1)，所以B 错误；令−π+2kπ≤2x ≤2kπ，k ∈Z ，解得−π2+kπ≤x ≤kπ，k ∈Z ，所以f(x)的单调增区间为[−π2+kπ,kπ]，k ∈Z ，所以C 错误；设θ=2x ，x ∈[−π6,π3]，θ∈[−π3,2π3]，cosθ∈[−12,1]，所以f(x)的值域为[12,2]，所以D 正确．故选：D ． 11.【答案】D【解析】【分析】设M 的坐标为(x,y)，然后根据条件得到圆心M 的轨迹方程为x 2=−2y ，把|MA|−|MP|转化后再由抛物线的定义求解点P 的坐标．本题考查了直线与圆的位置关系和抛物线的定义，考查数学转化思想方法，属较难题．【解答】解：∵线段AB 为⊙M 的一条弦，O 是弦AB 的中点，∴圆心M 在线段AB 的中垂线上，设点M 的坐标为(x,y)，则|OM|2+|OA|2=|MA|2，∵⊙M 与直线y =1相切，∴|MA|=|y −1|，∴|y −1|2=|OM|2+|OA|2=x 2+y 2+1，整理得x 2=−2y ，∴M 的轨迹是以F(0,−12)为焦点，y =12为准线的抛物线，∴|MA|−|MP|=|y −1|−|MP|=|y −12|−|MP|+12=|MF|−|MP|+12，∴当|MA|−|MP|为定值时，则点P 与点F 重合，即P 的坐标为(0,−12)，∴存在定点P(0,−12)使得当A 运动时，|MA|−|MP|为定值．故选：D ．【解析】解：∵偶函数f(x)满足f(3+x)=f(3−x)，∴f(3+x)=f(3−x)=f(x −3)，∴f(x)是周期为6的函数，当x ∈[0,3]时，f′(x)=e −x 2−12xe −x 2=e −x 2(1−x2)， ∴当0≤x <2时，f′(x)>0，当2<x ≤3时，f′(x)<0，∴f(x)在[0,2)上单调递增，在(2,3]上单调递减，且当=2时，f(x)取得极大值f(2)=2e ．作出f(x)在(−3,3]上的函数图象如图所示：∵关于x 的不等式f 2(x)−tf(x)>0在[−150,150]上有且只有150个整数解，∴关于x 的不等式f 2(x)−tf(x)>0在(−3,3]上有且只有3个整数解．显然当f(x)=0时，不符合题意，故f(x)>t 在(−3,3]上有且只有3个整数解，∵f(1)=e−12，f(3)=3e −32， ∴f(1)f(3)=e 3<1，∴f(1)<f(3)，故f(x)>t 在(−3,3]上的三个整数解为2，−2，3，∴f(1)<t <f(3)，即e−12<t <3e −32．故选：B ．判断f(x)的周期和单调性，结合函数图象得出f(x)>t 在(−3,3]上有3个整数解，分别为x =−2，2，3，从而可得出t 的范围．本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数单调性判断，极值计算，属于中档题．【解析】【分析】先利用展开式中第三项和第四项的二项式系数最大求出n=5，由二项式系数的性质和题意可得n值，令x=1计算式子的值可得结论．本题主要考查二项式定理中的常用结论：如果n为奇数，那么是正中间两项的二项式系数最大；如果n为偶数，那么是正中间一项的二项式系数最大．【解答】)n的二项展开式中第三项和第四项的二项式系数最大；解：因为(x+x故n=5；令x=1，(1+1)5=32，故答案为：32．14.【答案】−1【解析】【分析】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查基本初等函数的导函数，是基础题．求出原函数的导函数，再由函数在切点处的导数值为2且函数值为ae列式求解．【解答】，解：由y=ae x+lnx，得y′=ae x+1x∴{ae+1=22+b=ae，解得b=−1．故答案为：−1．15.【答案】(−2√3,−2)【解析】解：∵b=2，a(a−√3c)+c2=4=b2；∴a2+c2−b2=√3ac；故2accosB=√3ac⇒cosB=√3；2∴B=30°，(△ABC的内角)；由正弦定理a sinA =b sinB =c sinC =2sin30∘=4， 得a =4sinA ，c =4sinC ，∴a −√3c =4sinA −4√3sinC =4sinA −4√3sin(150°−A)，=−2sinA −2√3cosA =−4sin(A +60°)，由锐角三角形得{0∘<A <90∘0∘<150∘−A <90∘∴60°<A <90°，sin(A +60°)∈(12,√32)， ∴a −√3c 的取值范围为：(−2√3,−2)．故答案为：(−2√3,−2)．由已知结合正弦定理可表示a ，c ，代入后结合已知可求A 的范围，进而可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式及和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．16.【答案】2 180√2【解析】解：由题意可得，MN =AE ，由六边形ABCDEF 为正六边形，得BF =AE ，即有MN =BF =AE ，故①错误；用平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 截掉三个相等的三棱锥M −ABF ，O −BCD ，N −DEF ，∴平面MNO 与底面平行，则有MN =AE ，MO =AC ，ON =CE ．在正六边形ABCDEF 中，AC =CE =AE =BD =DF =BF ，∴△BDF≌△MON ，故②正确；∵MN//AE ，AE//BD ，∴MN//BD ，即B 、M 、N 、D 四点共面．∴正确命题的个数为2；连接BF ，B′F′，由题意可得BF//B′F′，且BF =B′F′=6√2，∵∠BMF =109°28′16′′，tan54°44′08′′=√2，∴tan∠BMF =−2√2．即有sin∠BMF =2√23，cos∠BMF =−13， ∵四边形PBMF 为菱形，∴在△BMF 中，可求出BM =3√3．BB′=A′M+√BM2−A′B′=4√3，∴S A′B′BM=2√6⋅(3√3+4√3)2=21√2，S PBMF=2S△BMF=2⋅12⋅BM2⋅sin∠BMF=27×2√23=18√2．∴蜂巢的表面积为S=6S A′B′BM+3S PBMF=126√2+54√2=180√2．故答案为：2；180√2．根据正六棱柱底面正六边形的性质判断出边之间的大小关系及平行关系，由已知条件求出表面各边的长度，结合蜂巢的表面积由六个直角梯形与三个菱形组成，则表面积可求．本题考查正六棱柱边的关系及求几何体的表面积，考查空间想象能力与计算求解能力，是中档题．17.【答案】(1)证明：取PD的中点F，连接EF，CF，∵E，F分别是PA，PD的中点，∴EF//AD且EF=12AD；∵BC=12AD，BC//AD，∴EF//BC且EF=BC；∴BE//CF．又BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD，∴BE//平面PCD；(2)解：方法一、以P为坐标原点，PD，PA所在直线分别为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC=1，则P(0,0，0)，A(0,√3,0)，D(1,0，0)，C(1,0，1)，B(12,√32,1)， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−√32,1)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,0)． 设平面PAB 的一个法向量为n =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3y =0n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −√32y +z =0， 取x =2，得n⃗ =(2,0，−1)． 同理可求平面ABD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(3,√3,0)．cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=6√5×√12=√155． 平面ABD 和平面ABC 为同一个平面， ∴二面角P −AB −C 的余弦值为√155； 方法二、以D 为坐标原点，DA ，DC 所在直线分别为x 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC =1，则P(12,√32,0)，A(2,0，0)，D(0,0，0)，C(0,0，1)，B(1,0，1)， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,−√32,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)， 设平面PAB 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =32x −√32y =0n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +z =0，取y =√3，得n ⃗ =(1,√3,1)．易知平面ABC 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(0,1，0)． ∴cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√3√5=√155． ∴二面角P −AB −C 的余弦值为√155．【解析】(1)取PD 的中点F ，连接EF ，CF ，由三角形中位线定理证明BE//CF ，即可得到BE//平面PCD ；(2)方法一、以P 为坐标原点，PD ，PA 所在直线分别为x 轴和y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出法向量即可；方法二、以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出法向量即可．本题考查了空间线面平行的判定，向量法求解空间角，合理建立坐标系是关键，考查空间想象能力，运算能力，属于中档题．18.【答案】(1)证明：∵a n+1=(n+1)a nn+2a n(n∈N∗)，∴n+1a n+1=n+2a na n=na n+2，∴n+1a n+1−na n=2，1a1=1，∴{na n}是以1为首项，2为公差的等差数列．∴na n=2n−1；(2)解：∵a n=n2n−1，∴c n=n(n+1)(2n−1)(2n+1)，即b n c n=4(n+1)3n(2n−1)(2n+1)=13n−1(2n−1)−13n(2n+1)，∴T n=1−13⋅3+13⋅3−132⋅5+⋯+13n−1(2n−1)−13n(2n+1)=1−13n(2n+1)．∵T n+1−T n=13n(2n+1)−13n+1(2n+3)=4n+83n+1(2n+1)(2n+3)>0，∴{T n}是递增数列，T n的最小值为T1=89，又T n<1，∴89≤T n<1．【解析】本题主要考查等差数列的定义、通项公式及利用裂项相消法求数列的和，还有利用单调性确定范围，属于中档题．(1)由a n+1=(n+1)a nn+2a n (n∈N∗)⇒n+1a n+1−na n=2，又1a1=1，故数列{na n}是以1为首项，2为公差的等差数列；(2)由(1)得na n =2n−1，进而求得b nc n=4(n+1)3n(2n−1)(2n+1)=13n−1(2n−1)−13n(2n+1)，利用裂项相消法求出T n，判断其单调性，求出T n的取值范围．19.【答案】解：(1)设直线l ：x =my −2，d =√1+m 2=√2，∴m =±1，{x =±y −2y 2=2px⇒y 2±2py +4p =0， ∴Δ=4p 2−16p =0，∴p =4，∴抛物线C 的方程为y 2=8x ．(2){x =my −2y 2=8x⇒y 2−8my +16=0， 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，即{Δ>0⇒m 2>1y 1+y 2=8m y 1y 2=16, 得|PQ|=√1+m 2|y 1−y 2|=8√(1+m 2)(m 2−1)，圆心O 到直线的距离d =2，|AB|=2√r 2−d 2=2√2−41+m =2√2√m 2−1m +1， ∵S 2=5√2S 1，∴|PQ|=5√2|AB|，∴8√(m 2+1)(m 2−1)=5√2⋅2√2√m 2−1m 2+1，∴m 2=32，∴l ：x =±√62y −2(y =±√63(x +2)).【解析】本题考查抛物线的简单性质，抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查分析问题、解决问题的能力．(1)设直线l ：x =my −2，利用点到直线的距离，求出m ，联立直线与抛物线方程，求出p ，然后求解抛物线方程．(2)联立{x =my −2y 2=8x⇒y 2−8my +16=0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，利用韦达定理，弦长公式，点到直线的距离，结合三角形的面积转化求解即可． 20.【答案】解：(1)依题意可知X ～B(n,p)，则E(X)=np ，故一天内被感染人数X 的均值为np ；(2)不妨记前m 天平均累计感染的人数为a m ，则a 1=1，a 2=1+np ，a 3=(1+np)2，…，a m =(1+np)m−1．当n=3，p=13时，一位病毒携带者在14天潜伏期内，被他平均累计感染的人数为：a14=(1+3×13)13=213=8192；(3)①由频率分布直方图得，这500支该项指标值的样本平均值为：x−=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200；②新冠肺炎该项指标值不正常，理由如下：由题意知Z～N(200,150)，P(μ−3σ<Z<μ+3σ)=P(163.4<Z<236.6)=0.9973，即该项指标落在(163.4,236.6)之外的概率为0.0027，是小概率事件．而160∉(163.4,236.6)，根据3σ原则，新冠肺炎的该项指标值不正常．【解析】(1)依题意可知X～B(n,p)，直接由二项分布的期望公式求一天内被感染人数X的均值；(2)不妨记前m天平均累计感染的人数为a m，可得a m=(1+np)m−1.把n=3，p=13代入，取m=14求得a14即可；(3)①直接由每一个小矩形的中点的横坐标乘以频率作和得答案；②由题意知Z～N(200,150)，求出P(μ−3σ<Z<μ+3σ)=P(163.4<Z<236.6)=0.9973，可得该项指标落在(163.4,236.6)之外的概率为0.0027，是小概率事件．再由160∉(163.4,236.6)说明新冠肺炎的该项指标值不正常．本题考查二项分布及其期望，考查函数模型的选择及其应用，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解：(1)a=1时，f(x)=e x ln(x+1)−x，∴f′(x)=e x[ln(x+1)+1x+1]−1，令F(x)=ln(x+1)+1x+1，x>0，∴F′(x)=1x+1−1(x+1)2=x(x+1)2>0，∴F(x)在(0,+∞)上单调递增，∴F(x)>F(0)=1，又∵e x>1，f′(x)>0恒成立，f(x)在(0,+∞)递增，∴f(x)>f(0)=0，∴m≤0．(2)f′(x)=ae ax ln(x+1)+e axx+1−1=e ax [aln(x +1)+1x+1]−1，令g(x)=f′(x)， ∴g′(x)=e ax [a 2ln(x +1)+2a x+1−1(x+1)2]，令ℎ(x)=a 2ln(x +1)+2a x+1−1(x+1)2，则ℎ′(x)=a 2x+1−2a (x+1)2+2(x+1)3=[a(x+1)−1]2+1(x+1)3>0，∴ℎ(x)在(−1,+∞)上递增，且ℎ(0)=2a −1，1°当a =12时，ℎ(0)=0，当x ∈(−1,0)时，ℎ(x)<0，g′(x)<0，f′(x)为减函数；当x ∈(0,+∞)时，ℎ(x)>0，g′(x)>0，f′(x)为增函数，∴f′(x)≥f′(0)=0，∴f(x)在(−1,+∞)上单调递增，即x =0不是极值点，∴a =12成立， 2°当a >12时，ℎ(0)=2a −1>0，∵ℎ(x)在(−1,+∞)上单调递增，当x →−1时，ℎ(x)→−∞，∃x 0∈(−1,0)，使得ℎ(x 0)=0，当x ∈(x 0,+∞)时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0，∴f′(x)在(x 0,+∞)上为增函数，又f′(0)=0当x ∈(x 0,0)时，f′(x)<f′(0)=0，当x ∈(0,+∞)时，f′(x)>0，∴x =0是极小值点，不成立．综上，a =12．【解析】本题考查了导数和函数的极值、单调性的关系，属于较难题．(1)先求导，再构造函数，再求导，利用单调性求出函数的最值，即可求出m 的范围；(2)根据导数和函数极值点的关系即可求出a 的值． 22.【答案】解：(1)直线l 1的参数方程为{x =1−my =k(m −1)为参数)，转换为直线l 1的普通方程为y =k(−x)，直线l 2的参数方程{x =n y =2+n k(n 为参数)，转化为直线l 2的普通方程为y −2=x k ． 联立直线l 1，l 2方程，消去参数k ，得曲线C 的普通方程为y(y −2)=−x 2整理得x 2+(y −1)2=1(x ≠0)．(2)设Q 点的直角坐标系坐标为(ρcosα,ρsinα)(ρ>0)，由tanα=54(0<a <π2)可得sinα=√41cosα=√41代入曲线C 的方程可得ρ2√41=0，解得ρ=√41ρ=0(舍)，所以点Q 的极径为10√4141．【解析】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．(1)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． 23.【答案】解：(1)不等式f(x)>4−|x +1|，即|x +1|+|x +2|>4，当x <−2时，不等式化为−(x +1)−(x +2)>4，解得x <−3.5；当−2≤x ≤−1时，不等式化为−(x +1)+(x +2)>4，无解；当x ≥−1时，不等式化为(x +1)+(x +2)>4，解得x >0.5；综上所述：不等式的解集为(−∞,−3.5)∪(0.5,+∞)．(2)证明：4a +1b =12(4a +1b )(a +b)=12(4+4b a +a b +1)≥=12(4+2√4b a ·a b +1)=4.5， 当且仅当a =43,b =23，等号成立． 由题意知，|x −52|−f(x)=|x −52|−|x +2| ⩽|x −52−(x +2)|=4.5， 所以|x −52|−f(x)≤4a +1b ．【解析】本题考查了不等式解法，不等式的证明，属于中档题．(1)利用分段讨论法解绝对值不等式即可；(2)求出4a +1b的最小值m，要证：|x−52|−f(x)≤4a+1b.只需证|x−52|−f(x)≤m即可．。

2020年黑龙江省哈尔滨六中高考数学二模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,2，3，4，5}，则下选项中正确的是(){1,2}______A；3______A；A. ⊆；∈B. ∈，∉C. ⊆；⊆D. ⊈，∉2.已知复数z=i(1−3i)1+i，则复数z−的虚部为()A. 1B. −1C. iD. −i3.已知|a⃗|=2，(2a⃗−b⃗ )⊥a⃗，则b⃗ 在a⃗方向上的投影为()A. −4B. −2C. 2D. 44.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x).若a=g(−log25)，b=g(223)，C=g(3)，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. c<b<aC. b<a<cD. b<c<a5.将5名实习生分配到三个班实习，每班至少1名，则分配方案共有()A. 240种B. 150种C. 180种D. 60种6.下列命题，其中说法错误的是()A. 命题“若x2−3x−4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2−3x−4≠0”B. “x=4”是“x2−3x−4=0.”的充分条件C. 命题“若m>0，则方程x2+x−m=0有实根”的逆命题为真命题D. 命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”7.等差数列{a n}中，a1=1，a2=3，数列{1a n a n+1}的前n项和为1531，则n的值为()A. 15B. 16C. 17D. 188.已知动点P(x,y)在椭圆x225+y216=1上，若A点坐标为(3,0)，|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，且PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0则|PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是()A. √2B. √3C. 2D. 39.点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=√6，∠ABC=90°，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为()A. 2πB. 4πC. 8πD. 16π10.有下列四个命题①“若b=3，则b2=9”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若c≤1，则x2+2x+c=0有实根”；④“若A∪B=A，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 411.若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为()A. x+2y−5=0B. x−2y+3=0C. 2x+y−4=0D. 2x−y=012.设函数f(x)=lnxx，若关于x的不等式f(x)>ax有且只有一个整数解，则实数a的取值范围为()A. (ln39,ln24] B. [ln39,ln24) C. (ln24,12e] D. [ln24,12e)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(x√6x)5的展开式中的第三项为______．14.设曲线y=x−aln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=3x，则a=__________．15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=√3，且b2+c2=3+bc，则角A为______．16.中国古代数学经典《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑，若三棱锥P−ABC为鳖臑，且PA⊥平面ABC，PA=AC=3，又该鳖臑的外接球的表面积为34π，则该鳖臑的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在四棱锥P−ABCD中，已知底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E为PD中点．(1)求证：PB//平面ACE；(2)求二面角A−BE−C的余弦值．18.设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a1+a3=−2，S15=75(n∈N∗).(Ⅰ)求S9；(Ⅱ)若数列b n=1，求数列{b n}的前n项和T n．(a n+4)(a n+1+4)19.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，圆O：x2+y2=32与C交于M，N两点，且△OMN的面积为16，过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若点R(−1,t)在直线l上，且A(1,2)，求证：k AR=k AP+k AQ，其中k AR，k AP，k AQ分别表示直2线AR，AP，AQ的斜率20.某工厂为检验车间一生产线工作是否正常，现从生产线中随机抽取一批零件样本，测量它们的尺寸(单位：mm)并绘成频率分布直方图，如图所示．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件尺寸Z服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为零件样本平均数x，σ2近似为零件样本方差s2．(1)求这批零件样本的x和s2的值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)假设生产状态正常，求P(54<Z<85.5)；(3)若从生产线中任取一零件，测量其尺寸为30mm，根据3σ原则判断该生产线是否正常？附：√110≈10.5；若Z～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z<μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<Z<μ+3σ)=0.9974．21. 已知函数f(x)=e x −1x +a ．(1)判断f(x)极值点的个数；(2)若x >0时，e x >f(x)恒成立，求实数a 的取值范围22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 (α为参数).M 是C 1上的动点，点P满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点P 的轨迹为曲线C 2． (Ⅰ)求曲线C 1，C 2的普通方程和极坐标方程；(ρ⩾0)与曲线C1有异于极点(Ⅱ)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=π3的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．23.已知函数f(x)=|2x−1|−|x+3|，∀a，b∈[1,+∞)，|a+b|≤m|ab+1|．2(1)解不等式f(x)≤2；(2)证明：∀x∈R，f(x)≥−1−m．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：已知集合A={1,2，3，4，5}，①{1,2}与A是集合之间的关系，为A真子集，所以{1,2}⊆A，②3是集合A中的元素，所以3∈A，故选A．正确利用集合与元素，集合与集合之间的关系，尤其是符号使用恰当利用来逐个判断然后填空．本题考查了元素与集合，集合与集合的关系，属于基础题．2.答案：A解析：解：由z=i(1−3i)1+i =3+i1+i=(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−i，得z−=2+i．则复数z−的虚部为1．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：本题考查向量投影的定义，涉及数量积的运算，属基础题．根据向量的垂直的条件和向量的投影的定义即可求出．解：由(2a⃗−b⃗ )⊥a⃗，则(2a⃗−b⃗ )⋅a⃗=0，即2a⃗2−a⃗⋅b⃗ =0，又|a⃗|=2，∴a⃗⋅b⃗ =8，∴b⃗ 在a⃗方向上的投影为a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |=82=4．。