导函数与原函数的性质The properties of the primitive function and thederivative function专业:数学与应用数学作者:江亮指导老师:涂建斌湖南理工学院数学学院二○一一年五月岳阳摘要本文归纳总结了导函数和原函数的一些性质，并探讨了导函数和原函数的性质应用以以及原函数与函数可积的关系关键词: 导函数；原函数；连续函数；不定积分；AbstractThe paper summarizes some properties of the primitive function and the derivative function and discusses their application and the relationship between primitive function and integrable functionKeywords: derivative function; primitive function; continuous function目录摘要 (I)ABSTRACT (II)0 引言 (1)1导函数的性质 (1)1.1导函数的性质及其证明 (1)1.2导函数性质的应用 (5)2 原函数的性质 (8)2.1 原函数的性质及其证明 (8)2.2原函数与不定积分的关系 (13)参考文献 (15)0 引言法国数学家费马（Fermat, 1601—1665）在研究极值问题时, 首先提出了近似于现在的导数概念, 随后, 英国数学家(Newton, 1642—1727)和德国数学家(Leibniz, 1646—1716), 在费马等人的基础上, 建立了类似于现代的导函数与原函数的概念. 即若函数)(x f 在区间I 可导, 则对任意的I x ∈都存在唯一一个导数)('x f , 称)('x f 为)(x f 在区间I 的导函数.设函数)(x f 在区间I 有意义, 存在函数)(x F , 若对任意的I x ∈, 有)()('x f x F = , 则称函数)(x F 是)(x f 在区间I 的原函数.导函数与原函数是微积分学中两个重要的基本概念, 一直受到数学工作者得关注. 近年来, 仍有许多学者发表关于导函数与原函数的性质的研究成果, 如文献[2], [3], [4].本文将散见与一些文献中的有关导函数与原函数的性质进行归纳总结, 并讨论这些性质的若干应用. 文章最后还讨论了原函数与函数可积的关系.本文没有特别申明的符号和定理均与文献[1]相同.1 导函数的性质定理[]51.1 设)(x f 在],[b a 上可导, 且)()(b f a f -+'≠', c 为介于)(a f +', )(b f -'之间任一实数, 则至少存在一点),(b a ∈ξ, 使得c f =')(ξ.证明 不妨设)()(b f c a f -+'<<'.作辅助函数cx x f x F -=)()(, 有c x f x F -'=')()(, 由题设易知， 0)()(<-'='++c a f a F , 0)()(>-'='--c b f b F .由极限的保号性知,存在0>δ, 当),(δ+∈a a x 时, 有0)()(<--ax a F x F ，从而)()(a F x F <. 同理可得知)()(b F x F <.又)(x F 在],[b a 上可导, 故连续. 由连续函数的最值[]6定理知，存在],[b a ∈ξ, 使)(ξF 为)(x F 的最小值. 由上面知)(a F , )(b F 均不是)(x F 的最小值, 故)(x F 的最小值位于),(b a 内, 则ξ=x 为)(x F 的极值点. 根据费马[]2定理, 有0)()(=-'='c f F ξξ,即c f =')(ξ.对于)()(a f c b f +-'<<'的情况, 同理可证. 证毕■定理1.1称之为导函数的介值定理, 由定理1.1不难得到如下推论.推论1.1 设)(x f 在],[b a 上可导, 且()()0f a f b +-''⋅<, 则至少存在一点),(b a ∈ξ, 使得0)(='ξf .定理[]51.2（导函数极限定理） 设函数f 在点0x 的某邻域)(0x U 内连续, 在)(0x U o 内可导, 且极限0lim ()x x f x →'存在, 则f 在点0x 可导, 且)('lim )('00x f x f x x →=. （1.1）证明 分别按左右导数来证明（1.1）式成立.任取)(00x U x +∈, )(x f 在],[0x x 上满足拉格朗日定理条件,则存在0(,)x x ξ∈, 使得)()()(00ξf x x x f x f '=--. （1.2）由于x x <<ξ0, 因此当+→0x x 时, 有+→0x ξ, 对（1.2）式两边取极限, 得)0()(lim )()(lim 0000+'='=--++→→x f f x x x f x f x x x x ξ. 同理可得)0()(00-'='-x f x f .又因为 k x f x x ='+→)(lim 0存在, 所以 k x f x f =-'=+')0()0(00,从而 k x f x f ='='-+)()(00, 即k x f =')(0.证毕■由该定理还可以得到如下推论：推论1.2 在区间I 上, 设)(x f 是)(x F 的导函数, 对任一I x ∈0, 极限)(lim 0x f x x →存在, 则)(x f 在区间I 上连续.推论1.2的结论说明:只要导函数在某点的极限存在, 则在该点就连续. 这是一般函数不具有的. 另外, 不难发现推论1.2的逆命题也是成立的, 故它可作为判断导函数连续的充要条件.由闭区间上连续函数的有界性、最值性、介值性、一致连续性等, 可以得到下面结论:推论1.3 设函数)(x f 是],[b a 上函数)(x F 的导函数, 且对任一I x ∈0, 极限)(lim 0x f x x →存在, 则)(x f 在],[b a 上有界, 且满足一般函数的最值性、介值性、一致连续性.由推论1.2可知)(x f 在],[b a 上是连续函数, 而连续函数在闭区间上具有有界性、最值性、介值性、一致连续性等性质, 故可知推论1.3结论成立.定理1.3 设)(x f 是区间I 上)(x F 的导函数, 则)(x f 在区间I 上没有第一类间断点.证明 假设在区间I 上)(x f 有第一类间断点0x , 则)0(0+x f 与)0(0-x f 都存在.由于)(x f 是)(x F 的导函数, 故有0000)()(lim )()()(0x x x F x F x F x F x f x x --='='=+→+ . （1.3）由拉格朗日中值定理可知, 存在一点),(0x x ∈ξ, 使得式（1.3）右边部分)0()(lim ))((lim )()(lim 00000000+='=--'=--+++→→→x f f x x x x F x x x F x F x x x x x ξξξ. 故有)()0(00x f x f =+.同理可证)()0(00x f x f =-.则)()0()0(000x f x f x f =-=+.即)(x f 在0x 点连续, 这与0x 是)(x f 的第一类间断点矛盾, 故假设不成立, 命题得证. 证毕■定理1.4 设)(x f 在],[b a 上可导, 则)(x f '在],[b a 上有界的充分必要条件是)(x f 满足利普希兹条件, 即存在常数0>L , 使对],[b a 上任意两点x x ''',, 有x x L x f x f ''-'≤''-')()(.证明 先证充分性.由)(x f 满足利普希兹条件, 即00[,],[,]x a b x x a b ∀∈+∆∈, 有x L x x x L x f x x f ∆=-∆+≤-∆+0000)()(,于是有L xx f x x f xx f x x f x f x x ≤∆-∆+=∆-∆+=→∆→∆)()(lim)()(lim)('0000000,即L x f ≤|)('|0.又由0x 的任意性知, )('x f 在],[b a 上有界.再证必要性.由于)('x f 在],[b a 上有界, 即存在正常数L 使得[,]x a b ∀∈, 有L x f ≤')(.利用拉格朗日中值定理知, 对],[b a 内任意两点'x 和''x , )'','(x x ∈∃ξ使得''')''')((')''()'(x x L x x f x f x f -≤-=-ξ.即)(x f 满足利普希兹条件. 证毕■1.2 导函数性质的应用下面通过一些例题来讨论导函数性质的一些应用.例1 设函数)(x f 在区间I 上的导函数0)(≥'x f （0≤）的充要条件是)(x f 在区间I 上递增（减）.证明 先证充分性.若f 为增函数, 则对任一I x ∈0, 当0x x ≠时, 有0)()(00≥--x x x f x f .令0x x →即得0)(0≥'x f .再证必要性.若)(x f 在区间I 上恒有0)(≥'x f , 则对12,x x I ∀∈（设21x x <）, 应用拉格朗日定理知, 存在I x x ⊂∈),(21ξ, 使得0))((')()(1212≥-=-x x f x f x f ξ,由此证得f 在I 上为增函数.例2 设函数)(x f 在区间()∞+∞-,上二次可微且有界, 证明存在一点),(0∞+-∞∈x ,使得0)(0=''x f .证明 先用反证法来证明)(x f ''在区间()∞+∞-,上一定变号. 假设)(x f ''在区间()∞+∞-,上不变号.不妨设在区间()∞+∞-,恒有0)(>''x f （0)(<''x f 情况, 类似可证）, 则)(x f '严格增. 取),(0∞+-∞∈x 使0)(0≠'x f ,若0)('0>x f , 则当0x x >, 并令+∞→x 时, 在],[0x x 上, 由拉格朗日中值定理知+∞→-+>-+=))((')())((')()(00000x x x f x f x x f x f x f ξ；若0)('0<x f , 则当0x x <, 并令-∞→x 时, 同理有+∞→-+>-+=))((')())((')()(00000x x x f x f x x f x f x f ξ.这与)(x f 在区间()∞+∞-,上有界性矛盾. 故可知假设不成立, )(x f ''在区间()∞+∞-,上一定变号.设点),(,21∞+-∞∈x x , 且0)(1<'x f , 0)(2>'x f , 又)(x f '在],[21x x 上可导, 由推论1.1可知, 至少存在一点),(],[210∞+-∞⊂∈x x x , 使得0)(0=''x f .命题得证.例3 设函数)(x f 在[],a b 连续, ()(),()()0f a f b k f a f b +-''==⋅>, 则至少存在一点(),a b ξ∈, 使()f k ξ=.证明 因为)(x f 在[],a b 连续, 所以由推论1.2逆命题知, )(x f 必是[],a b 上某函数的导函数.不妨假设()0,()0f a f b +-''>>,因为 ()()()lim 0,x a f x f a f a x a++→-'=>- ()()()lim 0x b f x f b f b x b--→-'=>-,所以, 由保号性知, 存在12(,],[,)x a b x a b ∈∈, 使得12()(),()()f x f a k f x f b k >=<=,而)(x f 在12[,]x x 或21[,]x x 上连续, k 是1()f x 与2()f x 之间的一个数, 从而)(x f 为12[,]x x 或21[,]x x 上某函数的导函数.由定理1.1知, 在1x 与2x 之间至少存在一点ξ, 使()f k ξ=. 因而至少存在一点[,]a b ξ∈, 使()f k ξ=.例4 求分段函数⎩⎨⎧>+≤+=0),1ln(0,sin )(2x x x x x x f 的导数. 解 首先易得⎪⎩⎪⎨⎧>+<+='.0,11,0,cos 21)(2x xx x x x f 由于)0(0)1ln(lim )(lim 00f x x f x x ==+=+→→+,)0(0)sin (lim )(lim 200f x x x f x x ==+=--→→, 因此f 在0=x 处连续, 又因1)cos 2(lim )00(20=+=-'-→x x x f x , 111lim )00(0=+=+'+→xf x , 所以 1)('lim 0=→x f x . 由定理1.2知f 在0=x 处可导, 且1)0(='f .例5 设)(x f 在区间],[b a 上可导且有界, 则)(x f 在I 上一致连续.证明 由于)(x f 在区间],[b a 上可导且有界, 由定理1.4可知, 在区间],[b a 上)(x f 满足利普希兹条件, 即存在常数0>L , 使对],[b a 上任意两点21,x x , 有2121)()(x x L x f x f -≤-.于是对0ε∀>, ],[,21b a x x ∈, L εδ∃=, 当δ<-21x x 时, 有1212()()f x f x L x x L L εε-≤-<⋅=,故由一致连续的[]6定义可知)(x f 在],[b a 上一致连续.2 原函数的性质2.1原函数的性质及其证明定理2.1 设F 是f 在区间I 上的一个原函数, 则(1) C F +也是f 在区间I 上的原函数, 其中c 为任意常数；(2) f 在I 上的任意两个原函数之间, 只相差一个常数.证明 (1)因为)()(])([x f x F c x F ='='+, I x ∈, 故可知c F +是f 在区间I 上的原函数.(2)由拉格朗日定理可知, 若函数)(x h 在区间I 上可导, 且0)(='x h , 则)(x h 为区间I 上一个常量函数.事实上, 任取两点I x x ∈''',（设x x ''<'）, 在区间],[x x '''上应用拉格朗日定理, 存在I x x ⊂'''∈),(ξ, 使得0))(()()(='-'''='-''x x h x h x h ξ.这就证得)(x h 在区间I 上任意两点之值相等, 即)(x h 为区间I 上一个常量函数.设F 和G 是f 在I 上的任意两个原函数, 则有0)()()()(])()([=-='-'='-x f x f x G x F x G x F , I x ∈.由上述结论可知)()(x G x F -是区间I 上一个常量函数, 于是有c x G x F ≡-)()(, I x ∈.命题得证.证毕■注 当)(x f 的定义域位于若干个分离区间时,定理2.1就不一定成立了. 如易知2)(2x x F =是x x f =)(在),0()1,(+∞⋃--∞上的一个原函数；且22,(,1),2()1,(,1),2x x G x x x ⎧∈-∞-⎪⎪=⎨⎪+∈-∞-⎪⎩也是x x f =)(在),0()1,(+∞⋃--∞上的一个原函数. 但0,(,1),()()1,(0,),x G x F x x ∈-∞-⎧⎪-=⎨∈+∞⎪⎩并非为一个常数, 故我们要特别注意, 我们所说的一个函数的原函数是对在某一区间上讲的.定理2.2（原函数存在定理） 若)(x f 在],[b a 上连续, 则积分上限函数()()xt a x f t d Φ=⎰ 在],[b a 上处处可导, 且)()(x f x =Φ', ],[b a x ∈.证 对],[b a 上任一确定x , 当0≠∆x 且],[b a x x ∈∆+时, 有⎰∆+=∆=∆∆Φx x xx f dt t f x x )()(1 10,)(≤≤∆+=θθx x f .由于f 在点x 连续, 故有)()(lim lim )('00x f x x f x x x x =∆+=∆∆Φ=Φ→∆→∆θ. 由x 在],[b a 上的任意性, 证得Φ是f 在],[b a 上的一个原函数.对于不连续函数的原函数存在性判断比较复杂, 但由定理1.3可以得到以下结论. 推论2.1 若)(x f 在I 上有第一类间断点, 则)(x f 在I 上不存在原函数. 证毕■ 证明 假设)(x f 在I 上存在原函数)(x F , 即)(x f 是区间I 上)(x F 的导函数, 由定理1.3可知)(x f 在I 上没有第一类间断点, 这与题意矛盾, 故假设不成立. 即)(x f 在I 上不存在原函数, 命题得证. 证毕■注 若函数)(x f 存在第二类间断点, 则其原函数可能存在, 也可能不存在. 如函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1cos 1sin 2)(x x x x x x f 显然, 0=x 是)(x f 的第二类间断点,但)(x f 存原函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x x x x F ； 又如狄利克雷函数为无理数为有理数x x x D ⎩⎨⎧=,0,1)(, 显然, 在),(∞+-∞内的任一点都是)(x D 的第二类间断点, 但)(x D 在任意闭区间],[b a 上都不存在原函数.定理2.3（奇偶性） 设)(x f 在),(∞+-∞上连续, 则:（1） 若)(x f 为奇函数, 则其原函数是偶函数;（2） 若)(x f 为偶函数, 则其原函数等于一个奇函数与一个任意常数之和. 证明 )(x f 连续, 故存在原函数, 定义)(x f 的积分上限函数0()()xF x f t dt =⎰, 由定理2.2知)(x F 为)(x f 的一个原函数.则当)(x f 为奇函数时,00()()()()()x xF x f t d t f t dt F x -=--==⎰⎰, 即)(x F 为偶函数；当)(x f 为偶函数时,00()()()()()x xF x f t d t f t dt F x -=-=-=-⎰⎰, 即)(x F 为奇函数.又因为)(x f 的所有原函数为C x F x G +=)()(（C 为任意常数）,故若)(x f 为奇函数, 则)()()()(x G C x F C x F x G =+=+-=-,即)(x G 为偶函数；若)(x f 为偶函数，则C x F C x F x G +-=+-=-)()()(，其中)(x F 为奇函数，即)(x G 等于一个奇函数与一个任意常数之和.证毕■性质2.4（周期性） 设)(x f 是),(+∞-∞上的连续周期函数, 且周期为T , )(x F 是它在),(+∞-∞上的一个原函数, 则下列条件等价：(1) )(x F 是),(+∞-∞ 上的周期函数；(2) )(x F 在),(+∞-∞上有界；(3) 对任意实数a , 有()0a Ta f t dt +=⎰.证明 )2()1(⇒设)(x F 在),(+∞-∞上以G 为周期, 易知)(x F 在],0[G 上连续, 从而存在最大值与最小值, 分别记为1m ，2m . 令{}21,m m M =, 则)()(+∞<<-∞≤x M x F , 即)(x F 有界；)3()2(⇒若存在一个正数M , 使在),(∞+-∞上有M x F ≤)(,则对任意实数a 及任意正整数n 有⎰⎰++==-+≥T a a nTa a dt t f n dt t f a F nT a F M )()()()(2,从而⎰+≤T a a n M dt t f 2)( 对任意自然数n 成立,故 ⎰+=T a a dt t f 0)(.)1()3(⇒ 因 ⎰+==-+Ta a dt t f a F a T F 0)()()(, 故(1)成立.证毕■关于函数与原函数之间周期性的关系，由性质2还可以得到以下两个推论. 推论2.2 设)(x f 是),(+∞-∞上的连续周期函数, )(x F 是)(x f 的一个原函数, 且)(x F 也是周期函数, 则)(x F 与)(x f 有相同的周期.证明 设)(x f 周期为T , 因)(x F 是周期函数, 由性质2可知()()()0a Ta F a T F a f t dt ++-==⎰；另一方面，设)(x F 周期为G ，由)()(x f x F ='可知 )()(x f G x f =+.综合上述可知, )(x F 与)(x f 有相同的周期. 证毕■推论2.3 设)(x f 是),(∞+-∞上连续的周期为T 的函数, )(x F 是它的一个原函数,令01()Tc f t dt T =⎰, 则cx x F -)(是),(∞+-∞上一个以T 为周期的函数, 即)(x F 可以表示为一个周期函数与一个线性函数的和.证明 令c x f x -=)()(ϕ, 易知)(x ϕ是一个以T 为周期的函数.因)()()(x cx x F ϕ='-', 则有0()(())()()0a T a T a T T a a a t dt f t c dt f t dt f t dt φ+++=-=-=⎰⎰⎰⎰， 由性质2及推论2.3可知, cx x F -)(是以T 为周期的周期函数, 结论成立. 证毕■2.2 原函数与不定积分的关系对于原函数与不定积分的关系，我们能够比较清楚的认识，即“一个函数的不定积分是表示该函数所有原函数的集合”.但是谈及原函数与定积分的关系，一般地认为“原函数存在则函数就可积或认为函数可积则函数的原函数就存在”.其实这两种观点是错误的，下面通过例子进行说明.例如函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1cos 21sin 2)(22x x x x x x x f ， 在]1,1[-上存在原函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(22x x x x x F ，故可知)(x f 在]1,1[-上无界，所以)(x f 在]1,1[-上不可积.对于存在原函数且可积的函数很多，如在闭区间上的初等函数都是符合条件的.由这个例子我们可以得出如下结论.结论1 存在原函数的函数，不一定可积.定义函数⎩⎨⎧≠==0,00,1)(x x x f ，易知)(x f 在]1,1[-上有界，其积分和i ni i n x f S ∆=∑=)(1ξ，当分割的模趋于0时有0l i m 0=→n T S ，所以)(x f 在]1,1[-上是可积的.又因为)(x f 在]1,1[-不连续，存在第一类间断点0=x ，由推论4知，)(x f 在]1,1[-上不存在原函数.由此得如下结论:结论2 可积的函数不一定存在原函数.致谢 本文是在涂建斌老师的指导下完成的, 在此对涂老师表示衷心的感谢!参考文献[1] 刘玉链，傅沛仁. 数学分析讲义(上册) [M]. 北京: 高等教育出版社，2002[1]朱匀华周健伟胡建勋. 数学分析的思想方法[M]. 中山大学出版社, 1998.[2] 张莜蘅. 关于原函数的讨论[J]. 西安教育学院学报，1(2007)，1-4.[3] 黄基廷. 导函数的若干性质[J]. 河池学院学报, 24:4(2004)，49-51.[4] 杨雪宏. 导函数的特性及其应用[J]. 河北能源职业技术学院学报，6:2(2004)，249-250.[5] 华东师范大学数学系编. 数学分析(上册) [M]. 北京: 高等教育出版社，2001.[6] 黄天富. 导函数在闭区间上的性质[J]. 江苏教育学院学报，23:3(2006)，89-93.[7] 李文荣. 一类迭代微分方程的Picard型定理[J]. 滨洲学院报，22:6(2006), 1-4.[8] 冯春. 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