导数探讨函数图像的交点问题

高中数学导数与函数图像的关系分析与讲解在高中数学中，导数与函数图像是密不可分的。

导数是函数在某一点上的变化率，而函数图像则是函数在整个定义域上的变化规律的图形表示。

理解导数与函数图像之间的关系对于学习和应用数学知识都具有重要意义。

本文将通过具体的题目举例，分析导数与函数图像的关系，并给出解题技巧和使用指导。

一、导数与函数图像的关系导数与函数图像之间有着密切的联系。

函数的导数可以帮助我们确定函数图像的特征，如函数的增减性、极值点、拐点等。

下面通过几个具体的题目来说明导数与函数图像的关系。

例题1：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，求函数在$x=1$处的导数。

解析：首先我们需要求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$。

根据导函数的定义，我们可以得到$f'(x)=3x^2-6x+2$。

然后，我们将$x=1$代入导函数中，得到$f'(1)=3(1)^2-6(1)+2=-1$。

这个结果告诉我们，在$x=1$处，函数$f(x)$的导数为-1。

通过这个例题，我们可以看出，函数$f(x)$在$x=1$处的导数为-1。

这意味着函数$f(x)$在$x=1$处的斜率为-1，即函数图像在该点的切线的斜率为-1。

这个信息可以帮助我们更好地理解函数图像的特征。

例题2：已知函数$g(x)=x^2-2x$，求函数$g(x)$的极值点。

解析：为了求函数$g(x)$的极值点，我们需要先求出函数$g(x)$的导函数$g'(x)$。

根据导函数的定义，我们可以得到$g'(x)=2x-2$。

然后，我们令$g'(x)=0$，得到$2x-2=0$，解得$x=1$。

这意味着函数$g(x)$的导数在$x=1$处为0，即函数图像在该点的切线的斜率为0。

通过这个例题，我们可以看出，函数$g(x)$的极值点出现在$x=1$处。

这个点处的切线斜率为0，意味着函数图像在该点处有一个极值。

这个极值可以是最大值或最小值，需要通过进一步的分析来确定。

用导数探讨函数图象的交点问题运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究，实际上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题。

如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢？例1 已知函数f(x)=－x 2+8x,g(x)=6lnx+m （Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);（Ⅱ）是否存在实数m ，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）略（II ）∵函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点， ∵x>0∴函数 (x)=g(x)－f(x) =2x －8x+6ln x+m 的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

∵)('x ϕ=2x －8+随x 变化如下表：∴极大值(1)=1-8+m=m-7，x 极小值= (3)=∵当x →0+时， (x )→ ，当x 时， (x ) ∴要使 (x)=0有三个不同的正实数根，必须且只须 ⎩⎨⎧<-=>-=,0153ln 6)(,07)(＋极小值极大值m x m x ϕϕ ∴7<m<15－6ln 3. 所以存在实数m ，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为（7，15—6ln 3）. （分析草图见下图1）图1图2 引申1：如果“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有一个不同的交点”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改为 m+6In3-15>0或 m-7<0，即m>15-6In3 或m<7时，函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有一个不同的交点（分析草图见图2和图3）。

引申2：如果“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有两个不同的交点”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改为=极小值)(x ϕm+6In3-15=0或=极大值)(x ϕm-7=0，y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点（分析草图见图4和图5）),0()3)(1(268262>--=+-=x x x x x =极小值)(x ϕ=极大值)(x ϕϕϕ∞-+∞→+∞→ϕ)(x ϕϕϕ图4 图5从上题的解答我们可以看出，用导数来探讨函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点问题，有以下几个步骤：①构造函数 (x)= f(x)－g(x)②求导 ③研究函数ϕ(x )的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）④画出函数ϕ(x )的草图，观察与x 轴的交点情况，列不等式⑤解不等式。

在微积分中，导数是一个至关重要的概念。

它提供了函数在不同点上的斜率或变化率的信息。

函数的图像则是通过绘制函数的曲线来呈现函数的全貌。

本文将探讨导数与函数图像之间的密切关系。

首先，我们来回顾一下导数的定义。

对于一个给定的函数f(x)，在点x处的导数可以通过以下公式计算得到：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h导数的几何解释是函数在该点的切线的斜率。

这意味着如果我们在点(x, f(x))处绘制切线，那么切线的斜率就是导数f'(x)。

根据这个定义，我们可以得出一些与函数图像有关的结论。

首先，导数提供了函数图像的局部信息。

通过计算导数，我们可以了解函数曲线在特定点的陡峭程度。

如果导数为正，那么函数曲线在该点上升；如果导数为负，那么函数曲线在该点下降。

导数的绝对值表示曲线的斜率的大小，即曲线的陡峭程度。

因此，导数可以帮助我们确定函数曲线在特定点的行为。

其次，导数提供了函数图像的全局信息。

通过计算导数，我们可以确定函数曲线在整个定义域内的变化规律。

如果导数始终为正，那么函数曲线将一直上升；如果导数始终为负，那么函数曲线将一直下降。

导数为零的点则表示函数曲线的极值点或拐点。

通过分析函数的导数，我们可以推断函数的整体行为，包括最大值、最小值和凹凸性等。

此外，导数还可以用于绘制函数的图像。

绘制函数的图像是通过连接许多点来得到的。

这样做的问题是，我们只能得到离散的点，而无法得到具体点之间的信息。

然而，通过计算导数，我们可以得到函数在每个点的斜率。

这些斜率可以帮助我们绘制更平滑的曲线，而不是简单地连接离散点。

因此，导数在绘制函数图像时起到了至关重要的作用。

最后，我们要注意到导数并不是函数图像的一切。

有些函数可能在某些点上没有导数，即导数不存在。

例如，函数在某些点上可能有间断或不可导的奇点。

在这种情况下，导数无法提供关于函数图像的任何信息。

因此，在分析函数图像时，我们应该综合考虑导数以及函数的其他特性。

导数中的图像关系问题一、常见基本题型：（1）已知图像交点个数，求参数的取值范围，例1. 已知3x =是函数2()16ln(1)10f x x x x =++-的一个极值点．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若直线y b =与函数()y f x =的图像有三个交点，求b 的取值范围．解：(1) f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞)， 2243()1x x f x x-+'=+. 当x ∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，()0f x '>；当x ∈(1,3)时，()0f x '<.∴()f x 的单调增区间是(－1,1)，(3，＋8)；()f x 的单调减区间是(1,3)，（2）由(1)知()f x 在(－1,1)单调增加，在(1,3)单调减小，在(3，＋∞)上单调增加，且当x ＝1，或x ＝3时，f ′(x )＝0，∴f (x )的极大值为f (1)＝16ln2－9，极小值为f (3)＝32ln2－21.∵f (16)＞162－10×16＞16ln2－9＝f (1)， f (e －2－1)＜－32＋11＝－21＜f (3)，∴在f (x )的三个单调区间(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)，直线y ＝b 与y ＝f (x )的图像各有一个交点，即f (3)＜b ＜f (1)．∴b 的取值范围为(32ln2－21,16ln2－9).例2.已知函数))(1ln()(2R a x a ax x x f ∈---=（1）当1=a 时，求函数)(x f 的最值；（2）说明是否存在实数)1(≥a a 使)(x f y =的图象与2ln 85+=y 无公共点. 解：（1）函数))(1ln()(2R a x a ax x x f ∈---=的定义域是（1，+∞）当a=1时，1)23(21112)('--=---=x x x x x x f ， 所以)(x f 在)23,1(为减函数，在),23(+∞为增函数，所以函数)(x f 的最小值为2ln 43)23(+=f .（2）1≥a 时，由（1）知)(x f 在（1，+∞）的最小值为2ln 14)22(2a a a a f -+-=+， 令2ln 14)22()(2a a a a f a g -+-=+=在［1，+∞）上单调递减， 所以2ln 43)1()(max +==g a g ，则,081)2ln 85()(max >=+-a g 因此存在实数)1(≥a a 使)(x f 的最小值大于2ln 85+，故存在实数)1(≥a a 使y=)(x f 的图象与y=2ln 85+无公共点.(2)已知图像的位置关系求参数的取值范围例 3.已知二次函数2()(0)h x ax bx c c =++>，其导函数()y h x '=的图象如图所示，()ln ()f x x h x =-．若函数2ln y x x =-, ([1,4])x ∈的图象总在函数()y f x =的图象的上方，求c 的取值范围．解：由题意可知，2x －ln x >x 2－3x －c ＋ln x 在x ∈[1,4]上恒成立，即当x ∈[1,4]时，c >x 2－5x ＋2ln x 恒成立设g (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，x ∈[1,4]，则c >g (x )max .易知()g x '=＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x =(21)(2)x x x--. 令()0g x '=得，x ＝12或x ＝2. 当x ∈(1,2)时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当x ∈(2,4)时，()0g x '>，函数()g x 单调递增．而g (1)＝12－5×1＋2ln 1＝－4，g (4)＝42－5×4＋2ln 4＝－4＋4ln 2，显然g (1)<g (4)，故函数g (x )在[1,4]上的最大值为g (4)＝－4＋4ln 2，故c >－4＋4ln 2. ∴c 的取值范围为(－4＋4ln 2，＋∞)．二、针对性练习1．已知函数21()ln 12f x x x =+-.，求证：在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象在函数 32()3g x x =的图象的下方. 证明：令2312()()()ln 123F x f x g x x x x =-=+-- 则2322112(1)(1)'()2x x x x x F x x x x x x+--++=+-== ∵当1x >时'()0F x <，∴函数()F x 在区间(1,)+∞上为减函数∴12()(1)1023F x F <=--< 即在(1,)+∞上，()()f x g x <∴在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方。

高中数学-函数的交点问题及例题解析函数的交点问题是高中数学中的重要概念之一。

交点是指两个函数图像相交的点，这些点的坐标可以用于求解关于函数的各种问题。

本文将对函数的交点问题进行解析，并提供几个例子来帮助理解。

交点的定义函数的交点是指两个函数图像在坐标平面上相交的点。

它们的坐标可以表示为$(x, y)$，其中$x$为横坐标，$y$为纵坐标。

解析交点的方法要求解函数的交点，可以使用以下几种方法：1. 图像法：将两个函数的图像绘制在坐标平面上，通过观察交点的位置来确定其坐标。

2. 代数法：将两个函数表示为方程，然后通过联立方程组的方法求解交点的坐标。

3. 近似法：使用数值方法（如迭代法、二分法等）求解交点的近似值。

例题解析下面是几个例题的解析：例题1已知函数$f(x) = 2x + 3$和$g(x) = x^2 - 1$，求解它们的交点坐标。

解析：首先，将两个函数表示为方程：$2x + 3 = x^2 - 1$。

然后，可以将方程变形为二次方程：$x^2 - 2x - 4 = 0$。

通过求解这个二次方程，可以得到两个交点的横坐标：$x_1 = -1$，$x_2 = 4$。

将横坐标代入任意一个方程中，可以求得相应的纵坐标：$y_1 = 1$，$y_2 = 11$。

所以，交点的坐标分别为$(-1, 1)$和$(4, 11)$。

例题2已知函数$h(x) = \sin(x)$和$k(x) = \cos(x)$，求解它们的交点坐标。

解析：观察函数$h(x)$和$k(x)$的图像可以发现它们是周期性的函数，并且在$x = \frac{\pi}{4}$和$x = \frac{5\pi}{4}$两个点相交。

所以，交点的坐标分别为$\left(\frac{\pi}{4},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$和$\left(\frac{5\pi}{4}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。

导数与函数图像的关系分析导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

而函数图像则是函数在平面上的可视化展示。

导数与函数图像之间存在着密切的关系，通过对导数与函数图像的分析，我们可以深入理解函数的性质与行为。

一、导数的定义与计算方法导数的定义是函数在某一点的变化率，可以通过极限的概念进行定义。

对于函数f(x)，其在点x处的导数可以表示为f'(x)，即f'(x) = lim Δx→0 (f(x+Δx) - f(x))/Δx。

这个定义可以理解为当Δx趋近于0时，函数在x点附近的变化率。

计算导数的方法有多种，其中最常见的是使用导数的基本公式。

对于常见的函数类型，我们可以通过这些公式来计算导数。

例如，对于多项式函数f(x) = ax^n，其中a为常数，n为整数，其导数为f'(x) = anx^(n-1)。

对于指数函数f(x) = e^x，其导数为f'(x) = e^x。

对于对数函数f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x。

二、导数与函数的增减性导数与函数的增减性密切相关。

通过导数的正负可以判断函数在某一点的增减性。

当导数大于0时，函数在该点上是递增的；当导数小于0时，函数在该点上是递减的；当导数等于0时，函数在该点上取得极值。

通过导数与函数的增减性，我们可以推导出函数的极值点和拐点。

当函数的导数从正变为负时，函数在该点上取得极大值；当函数的导数从负变为正时，函数在该点上取得极小值。

而函数的拐点则是导数的变号点，即导数从正变为负或从负变为正的点。

三、导数与函数的凹凸性导数还可以用来判断函数的凹凸性。

通过导数的二阶导数可以判断函数的凹凸性。

二阶导数表示导数的导数，可以表示为f''(x)。

当二阶导数大于0时，函数在该点上是凹的；当二阶导数小于0时，函数在该点上是凸的；当二阶导数等于0时，函数在该点上可能是拐点。

通过导数与函数的凹凸性，我们可以推导出函数的凹凸区间和拐点。

导数与函数图象的交点（方程根）个数
把方程转化为函数，利用导数研究函数图象与x轴的交点情况，就可以得到方程解的情况，例1 （2015年全国卷工理第21题）
分析与解
解题反思
第(2)题的难点在于分类，第一次分类是要确定h(x)的具体解析式，第二次分类是要判断f(x)的导数的符号，比较而言，利用数形结合更简单一些．
发散训练
~例2 （2015年江苏第19题）w
8分析与解
解题反思
第(2)题解1是把零点问题转化为不等式问题，又转化为方程解的问题，但不是直接解方程，由于通过条件知道方程的解，就转化为验证是否是方程的解，有效回避解高次方程．解2是通过“两边夹”的方法得到c的值，再验证其是唯一满足条件的值，解3利用3/2为重根构造关于a的4次不等式，通过待定系数法求出c，相对简单．
发散训练
例3 （2016年江苏第19题）
分析与解
发散训练。

【知识点6】利用导数研究函数图象交点及零点个数问题1. 思路提示：探讨()0f x =的根的个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，从限制函数()f x 的极值找到问题的充要条件；如果是研究两个函数图像交点的个数，则可以用两个函数作差构造新函数，在转化为方程()0f x =的根的问题求解.例1：设a 为实数，函数3()+3f x x x a =-+.（I ） 求()f x 的极值；（II ） 若方程()0f x =有3个实数根，求a 的取值范围；（III ） 若()0f x =恰好有两个实数根，求a 的值.例2：已知32()+b (,,f x ax x x x R a b =-∈是常数，(0)a ≠，且当1x =和2x =时，函数()f x 取得极值.（I ） 求()f x 的解析式;（II ） 若曲线()y f x =与()3(20)g x x m x =---≤≤有两个不同的交点，求实数m 的取值范围.例3：已知函数3()f x x x =-.（I ） 求曲线()y f x =在点(,())M t f t 处的切线方程；（II ） 设0a >，如果过点(,)a b 可作曲线()y f x =的3条切线，证明：()a b f a -<<.例4：已知,a b 为常数，且0a ≠，函数()ln ,()2f x ax b ax x f e =-++= （ 2.71828e =是自然对数的底数）.（I ） 求实数b 的值；（II ）求函数()f x 的单调区间；（III ） 当1a =时，是否同时存在实数m M 和()m M <，使得对每一个．．．[],t m M ∈，直线y t =与曲线1()(,)y f x x e e⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由.例5：已知函数23()1(0),()f x ax a g x x bx =+>=+（I ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；例6：已知函数(),3x x f =().x x x g +=()I 求函数()()()x g x f x h -=的零点个数，并说明理由；()II 设数列{}()*N n a n ∈满足()()(),,011n n a g a f a a a =>=+证明：存在常数,M 使得对于任意的,*Nn ∈都有.M a n ≤例7：已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-(I)讨论()f x 的单调性；（II ）设0a >，证明：当10x a <<时，11()()f x f x a a+>-； （III ）若函数()y f x =的图像与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：0'()0f x <例8：设函数322()2,()32f x x ax bx a g x x x =+++=-+，其中x R ∈，,a b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点(2,0)处有相同的切线l 。

初中九年级数学函像交点问题探究摘要：在初中九年级数学教学中，有效落实函数图像交点问题教学，能够提升学生的知识掌握水平。

基于此，本文详细阐述了函数与x轴存在两个交点时的交点问题探究讲解，以及针对函数图像交点个数求解的问题探究讲解，深入分析了围绕函数交点问题的数学教学，希望能够为初中教学工作的发展提供助力。

关键词：数学函数；二次函数；一次函数引言：函数图像交点问题作为初中九年级数学教学中的重点内容，已经成为了中考的关键考点之一，教师通过做好函数图像交点问题教学工作，有助于学生整体中考成绩水平的提升，因此，应深入分析函数图像交点问题，并采取有效的教学措施，增强教学工作效果，促进学生数学解题能力的发展。

1.函数与x轴存在两个交点时的问题探究1.解析式求解问题函数与x轴存在两个交点是初中函数考题中常见的已知条件，如果某函数为y=ax2+bx+c，且已知条件中提出，其与x轴存在两个交点，那么在设两个交点坐标分别为A（x1，0）、B（x2，0）的条件下，该已知条件所带来的潜在信息包括，与交点有关的解析式可以设为y=a（x-x1）（x-x2）、两个交点间的距离与交点坐标的关系可为AB=|x1-x2|、对称轴的方程式为x=（x1+x2）/2，教师通过归纳上述三个已知条件信息，来教授学生应对解析式求解、三角形面积求解这两个常见交点问题，可以帮助学生顺利得出问题答案，增强解题效率和效果。

以解析式求解问题为例，该问题已知条件为，y=x2+mx+n与x轴存在两个交点，其中交点A在y 轴的右侧、B在y轴的左侧，AB=4，该函数图像定点C则处于x=1上，求解该解析式。

在求解过程中，教师可以先设两个交点为A（x1，0）、B（x2，0），然后带领学生根据上述内容提出规律，归纳出信息，AB=|x1-x2|=4、对称轴方程（x1+x2）/2=1，并再设y=a（x-x1）（x-x2），即可整合得出解析式为y=x2-2x-3。

1.三角形面积求解问题在常见的函数图像交点问题中，函数与x轴存在两个交点这一已知条件，还经常出现在三角形面积的求解中，因此，教师还可以将上述解题方法稍加改动，应用到坐标几何的面积求解中，扩大该技巧的使用范围，深入优化学生的解题技巧。

导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进展统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进展分类，然后对每一类的对象进展分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进展整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进展合理的分类，下面根据导数中3种比拟常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论. 1.导函数根的大小比拟实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，根本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进展求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的X 围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进展讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -. 当1a =-时，()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -. 综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间； 当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况. 2.导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进展求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，假设24120a ∆=-<即a <<，方程23210x ax ++=没有实根，即()'0f x >在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；假设24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；假设24120a ∆=->即a a <>，那么方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得1x =，2x =12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：综上所述，当a ≤≤()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为,3a ⎛⎫---∞ ⎪ ⎪⎝⎭和3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为33a a ⎛--+ ⎪⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2那么相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小，所以不用再讨论。