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数学建模——线性回归分析实用精品教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学建模》第四章“数据的拟合与回归”第二节“线性回归分析”。
详细内容包括：线性回归模型的建立，最小二乘法求解线性回归方程，线性回归方程的显著性检验，以及利用线性回归方程进行预测。
二、教学目标1. 理解线性回归分析的基本概念，掌握线性回归方程的建立方法。
2. 学会运用最小二乘法求解线性回归方程，并能解释线性回归方程的参数意义。
3. 能够对线性回归方程进行显著性检验，利用线性回归方程进行预测。
三、教学难点与重点教学难点：最小二乘法的推导和应用，线性回归方程的显著性检验。
教学重点：线性回归模型的建立，线性回归方程的求解及其应用。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件，黑板，粉笔。
学具：计算器，草稿纸，直尺，铅笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示一组关于身高和体重的数据，引导学生思考身高和体重之间的关系。
2. 例题讲解：（1）建立线性回归模型，引导学生根据散点图判断变量间的线性关系。
（2）利用最小二乘法求解线性回归方程，解释方程参数的意义。
（3）对线性回归方程进行显著性检验，判断方程的有效性。
3. 随堂练习：（1）给出另一组数据，让学生尝试建立线性回归模型并求解。
（2）对所求线性回归方程进行显著性检验，并利用方程进行预测。
六、板书设计1. 线性回归模型2. 最小二乘法3. 线性回归方程的显著性检验4. 线性回归方程的应用七、作业设计1. 作业题目：（1）根据给定的数据，建立线性回归模型，求解线性回归方程。
（2）对所求线性回归方程进行显著性检验，并利用方程预测某学生的体重。
2. 答案：（1）线性回归方程为：y = 0.8x + 50（2）显著性检验：F = 40.23，P < 0.01，说明线性回归方程具有显著性。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对线性回归分析的理解和应用能力得到了提升，但仍有个别学生对最小二乘法的推导和应用感到困难，需要在课后加强辅导。
什么就是回归分析回归分析(regression analysis)就是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。
运用十分广泛,回归分析按照涉及的自变量的多少,可分为一元回归分析与多元回归分析;按照自变量与因变量之间的关系类型,可分为线性回归分析与非线性回归分析。
如果在回归分析中,只包括一个自变量与一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量与自变量之间就是线性关系,则称为多元线性回归分析。
回归分析之一多元线性回归模型案例解析多元线性回归,主要就是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系,跟一元回归原理差不多,区别在于影响因素(自变量)更多些而已,例如:一元线性回归方程为:毫无疑问,多元线性回归方程应该为:上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止,代表有P个自变量,如果有“N组样本,那么这个多元线性回归,将会组成一个矩阵,如下图所示:那么,多元线性回归方程矩阵形式为:其中:代表随机误差, 其中随机误差分为:可解释的误差与不可解释的误差,随机误差必须满足以下四个条件,多元线性方程才有意义(一元线性方程也一样)1:服成正太分布,即指:随机误差必须就是服成正太分别的随机变量。
2:无偏性假设,即指:期望值为03:同共方差性假设,即指,所有的随机误差变量方差都相等4:独立性假设,即指:所有的随机误差变量都相互独立,可以用协方差解释。
今天跟大家一起讨论一下,SPSS---多元线性回归的具体操作过程,下面以教程教程数据为例,分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。
通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系,建立拟合多元线性回归模型。
数据如下图所示:(数据可以先用excel建立再通过spss打开)点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面:将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内, 将“车长,车宽,耗油率,车净重等10个自变量拖入自变量框内,如上图所示,在“方法”旁边,选择“逐步”,当然,您也可以选择其它的方式,如果您选择“进入”默认的方式,在分析结果中,将会得到如下图所示的结果:(所有的自变量,都会强行进入)如果您选择“逐步”这个方法,将会得到如下图所示的结果:(将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选,最先进入回归方程的“自变量”应该就是跟“因变量”关系最为密切,贡献最大的,如下图可以瞧出,车的价格与车轴跟因变量关系最为密切,符合判断条件的概率值必须小于0、05,当概率值大于等于0、1时将会被剔除)“选择变量(E)" 框内,我并没有输入数据,如果您需要对某个“自变量”进行条件筛选,可以将那个自变量,移入“选择变量框”内,有一个前提就就是:该变量从未在另一个目标列表中出现！,再点击“规则”设定相应的“筛选条件”即可,如下图所示:点击“统计量”弹出如下所示的框,如下所示:在“回归系数”下面勾选“估计,在右侧勾选”模型拟合度“与”共线性诊断“两个选项,再勾选“个案诊断”再点击“离群值”一般默认值为“3”,(设定异常值的依据,只有当残差超过3倍标准差的观测才会被当做异常值) 点击继续。
回归分析在数学建模中的应用回归分析是一种统计分析方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。
它可以用于在数学建模中预测和解释变量之间的关系。
在本文中，我将讨论回归分析在数学建模中的应用以及其在解决实际问题中的重要性。
回归分析有两种主要类型：简单线性回归和多元线性回归。
简单线性回归是指只有一个自变量和一个因变量之间的关系，而多元线性回归是指有多个自变量和一个因变量之间的关系。
无论是简单线性回归还是多元线性回归，都可以用于预测和解释变量之间的关系。
在数学建模中，回归分析可以用于预测未知值。
通过分析一组已知的自变量和因变量之间的关系，可以建立一个数学模型，以便预测因变量的值。
这种预测能力可以在许多领域中得到应用，例如经济学、金融学、社会科学等。
举一个简单的例子，假设我们要建立一个模型来预测一个人的身高。
我们可以收集一组数据，包括自变量（例如年龄、性别、父母身高等）和因变量（身高）。
然后，我们可以使用回归分析来建立一个模型，以便根据给定的自变量来预测一个人的身高。
此外，回归分析还可以用来解释变量之间的关系。
通过分析已知的自变量和因变量之间的关系，可以得出结论，了解自变量对因变量的影响程度。
这对于解决实际问题非常重要。
例如，在经济学中，回归分析可以用来解释消费者支出与收入之间的关系。
通过分析已知的收入和消费者支出数据，可以得出结论，了解收入对消费者支出的影响程度。
这有助于制定经济政策和预测市场需求。
回归分析还可以用来评估自变量之间的相互作用。
在多元线性回归中，我们可以引入交互项，以考虑自变量之间的相互影响。
通过分析已知的自变量和因变量之间的关系，可以确定自变量之间的相互作用，并加以解释。
总的来说，回归分析在数学建模中有广泛的应用。
它可以用于预测和解释变量之间的关系，评估自变量之间的相互作用，解释因变量的变化程度，并评估模型的拟合程度。
回归分析在解决实际问题中起着重要的作用，帮助我们从数据中提取有价值的信息，并进行合理的预测和解释。
数学建模方法详解三种最常用算法在数学建模中，常使用的三种最常用算法是回归分析法、最优化算法和机器学习算法。
这三种算法在预测、优化和模式识别等问题上有着广泛的应用。
下面将对这三种算法进行详细介绍。
1.回归分析法回归分析是一种用来建立因果关系的统计方法，它通过分析自变量和因变量之间的关系来预测未知的因变量。
回归分析可以通过构建一个数学模型来描述变量之间的关系，并利用已知的自变量值来预测未知的因变量值。
常用的回归分析方法有线性回归、非线性回归和多元回归等。
在回归分析中，我们需要首先收集自变量和因变量的样本数据，并通过数学统计方法来拟合一个最优的回归函数。
然后利用这个回归函数来预测未知的因变量值或者对已知数据进行拟合分析。
回归分析在实际问题中有着广泛的应用。
例如，我们可以利用回归分析来预测商品销售量、股票价格等。
此外，回归分析还可以用于风险评估、财务分析和市场调研等。
2.最优化算法最优化算法是一种用来寻找函数极值或最优解的方法。
最优化算法可以用来解决各种优化问题，例如线性规划、非线性规划和整数规划等。
最优化算法通常分为无约束优化和有约束优化两种。
无约束优化是指在目标函数没有约束条件的情况下寻找函数的最优解。
常用的无约束优化算法有梯度下降法、共轭梯度法和牛顿法等。
这些算法通过迭代计算来逐步优化目标函数，直到找到最优解。
有约束优化是指在目标函数存在约束条件的情况下寻找满足约束条件的最优解。
常用的有约束优化算法有线性规划、非线性规划和混合整数规划等。
这些算法通过引入拉格朗日乘子、KKT条件等来处理约束条件，从而求解最优解。
最优化算法在现实问题中有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，可以使用最优化算法来确定最优的生产数量和生产计划。
此外，最优化算法还可以应用于金融风险管理、制造工程和运输物流等领域。
3.机器学习算法机器学习算法是一种通过对数据进行学习和模式识别来进行决策和预测的方法。
机器学习算法可以根据已有的数据集合自动构建一个模型，并利用这个模型来预测未知的数据。
数学建模回归分析回归分析是一种用于研究变量之间关系的统计方法，广泛应用于数学建模领域。
它通过建立数学模型来描述和预测变量之间的关系，并根据实际数据进行参数估计和模型检验。
本文将介绍回归分析的基本概念、主要方法以及在数学建模中的应用。
一、回归分析的基本概念回归分析是一种统计分析方法，通过对自变量和因变量之间的关系建立数学模型，利用统计学方法进行参数估计和推断，从而揭示变量之间的关系。
常见的回归分析方法有简单线性回归、多元线性回归、非线性回归等。
简单线性回归是回归分析中最基础的方法之一，它用于研究一个自变量和一个因变量之间的关系。
简单线性回归模型可以用以下公式表示：Y=β0+β1X+ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1是回归系数，ε表示随机误差。
回归系数β0和β1的估计值可以通过最小二乘法进行求解。
多元线性回归是回归分析中常用的方法，它用于研究多个自变量和一个因变量之间的关系。
多元线性回归模型可以用以下公式表示：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε其中，Y表示因变量，X1、X2、..、Xk表示自变量，β0、β1、β2、..、βk表示回归系数，ε表示随机误差。
回归系数的估计值可以通过最小二乘法进行求解。
非线性回归是回归分析中考虑自变量和因变量之间非线性关系的方法。
非线性回归模型的形式多种多样，常见的有指数函数、对数函数、幂函数等。
通过选择合适的数学模型，可以更准确地描述和预测变量之间的关系。
二、回归分析的主要方法1.最小二乘法最小二乘法是回归分析中常用的估计回归系数的方法。
它的基本思想是通过最小化观测值与模型预测值之间的差异，从而得到最优的回归系数估计值。
最小二乘法可以保证估计值具有最小方差的良好性质。
2.模型的选择和检验在回归分析中，合适的模型选择对结果的准确性至关重要。
常用的模型选择方法有前向选择法、后向选择法、逐步回归法等。
此外，还需要对建立的回归模型进行检验，常用的检验方法有参数估计的显著性检验、回归模型的整体拟合优度检验等。
回归分析——20121060025 吕佳琪
（1）说明二变量之间的相关方向；
（2）建立直线回归方程；
（3）计算估价标准误差；
（4）估计生产性固定资产（自变量）为1100万元时总产值（因变量）的可能值。
解：
（1）画出散点图，观察二变量的相关方向
x=[318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225];
y=[524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624];
plot(x,y,'or')
xlabel('生产性固定资产价值（万元）')
ylabel('工业总产值（万元）')
由图形可得，二变量的相关方向应为直线
（2）
x=[318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225];
y=[524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624];
X = [ones(size(x))', x'];
[b,bint,r,rint,stats] = regress(y',X,0.05);
b,bint,stats
b =
395.5670
0.8958
bint =
210.4845 580.6495
0.6500 1.1417
stats =
1.0e+004 *
0.0001 0.0071 0.0000 1.6035
上述相关系数r为1，显著性水平为0
Y=395.5670+0.8958*x
（3）
计算方法：W=((Y1-y1)^2+……+(Y10-y10)^2)^(1/2)/10 利用SPSS进行回归分析：
可以看出：标准估计误差为126.62795（万元）
（4）
有上述MA TLAB编程可得y（总产值）-x（生产性固定资产）的关系为y1=210.4845 +0.6500*x
y2=580.6495 +1.1417*x
y=395.5670+0.8958*x
x=1100;
y=395.5670+0.8958*x
y1=210.4845 +0.6500*x
y2=580.6495 +1.1417*x
y =
1.3809e+003
y1 =
925.4845
y2 =
1.8365e+003
所以在生产性固定资产（自变量）为1100万元时总产值（因变量）的可能值为
925.4845-1836.5之间
（1）确立适宜的回归模型；
（2）计算有关指标，判断这三种经济现象之间的相关紧密程度。
解：
（1）设销售利润率（%）为y，流通费用水平（%）为x2，职工平均销售额（万元）为x3 回归模型y=a1+a2*x1+a3*x2
MATLAB实现：
x1=[12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3 12.3 6.2 6.6 16.8;
6 5 8 1 4
7 6 3 3 7;
2.8
3.3 1.8 7.0 3.9 2.1 2.9
4.1 4.2 2.5]';
X = [ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3)];
Y = x1(:,1);
[b,bint,r,rint,stats] = regress(Y,X,0.05);
b,bint,stats
b =
-6.7691
2.9070
0.9578
bint =
-15.7285 2.1902
2.0138
3.8003
-0.3676 2.2832
stats =
0.9823 194.2113 0.0000 0.6002
相关系数为0.9823 H0=0的概率为0
由上述分析可得
y=-6.7691+2.9070*x1+0.9578*x2
（2）stepwise(X,Y,[],0.05)
此时，y与x2线性关系紧密，而与x3的线性关系不是很密切，即使没有x3,y=-0.386+2.293*x2,相关系数为：0.975，已经很高了。
即，销售利润与职工平均销售额关系密切，销售利润与流通费用水平关系不是很密切。
用SPSS来做
Case Processing Summary
Case Processing Summary
由图分析可得：销售利润与职工平均销售额关系密切，销售利润与流通费用水平关系不是很密切。
