1、 多元线性回归在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为
多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。
在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响。例如，家庭消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响，表现在线性回归模型中的解释变量有多个。这样的模型被称为多元线性回归模型。（multivariable linear regression model ）
多元线性回归模型的一般形式为：
其中k 为解释变量的数目，j β
(j=1,2,…，k)称为回归系数（regression coefficient)。上式也被称为总体回归函数的随机表达式。它的非随机表达式为：
j β也被称为偏回归系数（partial regression coefficient)。
2、 多元线性回归计算模型
多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和（Σe)为最小的前提下，用最小二乘法或最大似然估计法求解参数。
设（
11
x ，
12
x ，…，
1p
x ，
1
y ），…，（
1
n x ，
2
n x ，…，
np
x ，
n
y ）是一个样本，
用最大似然估计法估计参数：
达
到最小。
把（4）式化简可得：
引入矩阵：
方程组（5）可以化简得：
可得最大似然估计值：
3、Matlab 多元线性回归的实现
多元线性回归在Matlab 中主要实现方法如下：
（1）b=regress(Y, X ) 确定回归系数的点估计值
其中
（2）[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)求回归系数的点估计和区间估计、并检
验回归模型
①bint 表示回归系数的区间估计.
②r 表示残差
③rint 表示置信区间
④stats 表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：相关系数r2、F 值、与F 对应的
概率p
说明：相关系数r2越接近1，说明回归方程越显著；F>F1-alpha(p,n-p-1) 时拒绝H0，F
越大，说明回归方程越显著；与F 对应的概率p<α 时拒绝H0，回归模型成立。
⑤alpha 表示显著性水平(缺省时为0.05)
（3）rcoplot(r,rint) 画出残差及其置信区间
4.基于以上理论分析，求解回归方程
(1) 经分析，拟定以1月份数据进行分析求解回归方程，一月份数据如下表格。
设12345y PM2.5x x x x x 表示二氧化硫 表示二氧化碳 表示可吸入微粒物 表示一氧化碳 表示臭氧 表示
在Matlab 中输入一下程序：
>> x1=[53 47 57 61 55 56 51 58 64 61 74 62 59 50 54 63 57 56 54 55 54 72 57 58 53 85 72 63 47 44];
x2=[89 83 80 92 104 97 97 123 111 111 115 109 111 110 112 109 89 95 94 87 82 92 97 99 101 120 121 110 102 85];
x3=[76 88 51 81 96 99 121 157 127 159 145 143 131 136 124 159 145 137 111 91 82 116 119 112 106 156 236 149 120 96];
x4=[19 29 31 28 34 30 31 54 47 51 65 59 45 44 44 60 61 48 39 41 53 75 66 50 32 52 73 57 40 40 ];
x5=[30 8 13 8 8 10 28 9 8 24 4 27 38 27 9 5 15 36 26 12 11 8 24 32 43 19 18 30 62 23];
y=[90 143 58 142 175 215 250 309 273 329 299 299 246 261 260 295 282 262 204 179 227 277 242 226 173 266 426 307 230 201]; X=[ones(length(y),1),x1',x2',x3',x4',x5']; Y=y';
[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); >> b,bint,stats
运行结果为：
b =
-12.2923
-1.5271
0.8327
1.3775
2.0068
-0.3086
bint =
-106.3464 81.7618
-2.9355 -0.1186
-0.4217 2.0871
0.8554 1.8995
1.0254
2.9882
-1.0032 0.3860
stats =
0.9284 62.2206 0.0000 474.4773
因此可得出，
r2=0.9284,F=62.2206,p=0.0000 则p<0.05,回归模型为：
在Matlab命令中输入
Rcoplot(r,rint)
