专题五平面向量第十三讲平面向量的概念与运算答案

平面向量教材课后习题答案平面向量教材课后习题答案随着数学教育的发展，教材的重要性不言而喻。

作为学生来说，教材中的习题是巩固知识、提高能力的重要途径。

而对于平面向量这一概念来说，习题的解答更是锻炼思维和应用知识的重要手段。

本文将为大家提供一些平面向量教材课后习题的答案，希望能够对大家的学习有所帮助。

一、基本概念题1. 设向量A = (3, 4) ，B = (-2, 5)，求A + B的坐标表示。

答案：A + B = (3 + (-2), 4 + 5) = (1, 9)。

2. 已知向量A = (2, -1)，求A的模长。

答案：|A| = √(2^2 + (-1)^2) = √5。

二、向量运算题1. 设向量A = (3, 4)，B = (-2, 5)，求A - B的坐标表示。

答案：A - B = (3 - (-2), 4 - 5) = (5, -1)。

2. 已知向量A = (2, -1)，求向量A的负向量。

答案：-A = (-2, 1)。

三、向量共线与垂直题1. 设向量A = (1, 2)，B = (2, 4)，判断向量A与向量B是否共线。

答案：向量A与向量B共线，因为它们的坐标成比例关系。

2. 设向量A = (1, 2)，B = (-2, 1)，判断向量A与向量B是否垂直。

答案：向量A与向量B不垂直，因为它们的内积不为0。

A·B = 1*(-2) + 2*1 = 0。

四、向量投影题1. 已知向量A = (3, 4)，B = (1, 2)，求向量A在向量B上的投影长度。

答案：向量A在向量B上的投影长度为|A|cosθ，其中θ为A与B的夹角。

由向量内积的性质可知，cosθ = (A·B) / (|A||B|)。

所以，投影长度为|A|cosθ =|A|(A·B) / (|A||B|) = (3*1 + 4*2) / √(3^2 + 4^2) = 11 / 5。

2. 已知向量A = (2, 3)，B = (1, -1)，求向量A在向量B上的投影向量。

专题五 平面向量第十三讲 平面向量的概念与运算2019年1.（2019全国Ⅱ理3）已知AB u u u r=(2,3)，AC u u u r =(3，t )，BC u u u r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r =A ．-3B ．-2C ．2D ．32.（2019全国Ⅲ理13）已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,<>=a c ___________.2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r2．(2018北京)设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．04．（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2016年山东）已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |，1cos ,3<>=m n ．若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为A ．4B ．–4C ．94D ．–946．（2016年天津）已知ΔABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅u u u r u u u r的值为A ．85-B ．81 C ．41 D ．8117．（2016年全国II ）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()+⊥a b b ，则m = A ．8-B ．6-C ．6D ．88．（2016年全国III ）已知向量1(2BA =uu v ,1),2BC =uu u v 则ABC ∠= A ．30oB ．45oC ．60oD ．120o9．(2015重庆)若非零向量a ，b 满足=a ，且()(32)-⊥+ab a b ，则a 与b 的夹角为 A ．4π B ．2πC ．34πD ．π10．（2015陕西）对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是A ．||||||⋅≤a b a bB ．||||||||--≤a b a bC ．22()||+=+a b a b D ．22()()+-=-a b a b a b11．（2015安徽）ΑΒC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2ΑΒ=u u u ra ，2ΑC =+u u u ra b ，则下列结论正确的是A ．1=bB ．⊥a bC ．1⋅=a bD ．()4ΒC -⊥u u u ra b12．（2014新课标1）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA ．B ． AD 21C ． BC 21D ．13．（2014新课标2）设向量a ,b 满足|+a b |-a b ⋅=a bA ．1B ．2C ．3D ．514．(2014山东)已知向量(3,)m ==a b . 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =A ．B C ．0D ．15．（2014安徽）设,a b 为非零向量，2=b a ，两组向量1234,,,x x x x u r u u r u u r u u r 和1234,,,y y y y u u r u u r u u r u u r均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为 A ．23π B ．3π C ．6πD ．0 16．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是A ．12(0,0),(1,2)==e eB ．12(1,2),(5,2)=-=-e eC ．12(3,5),(6,10)==e e D ．12(2,3),(2,3)=-=-e e17．（2014浙江）设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，||t +b a 是最小值为1A ．若θ确定，则||a 唯一确定B ．若θ确定，则||b 唯一确定C ．若||a 确定，则θ唯一确定D ．若||b 确定，则θ唯一确定18．（2014重庆）已知向量(,3)k =a ,(1,4)=b ,(2,1)=c ,且(23)-⊥a b c ，则实数k =A ．92-B ．0C ．3D ．15219．（2013福建）在四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==BD AC ，则该四边形的面积为A ．5B ．52C ．5D ．1020．（2013浙江）设ABC ∆，0P 是边AB 上一定点，满足014PB AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ≥．则A ．090=∠ABCB ．090=∠BAC C ．AC AB =D ．BC AC =21．（2013辽宁）已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB u u u r同方向的单位向量为A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 22．（2013湖北）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB u u u r在CD u u u r 方向上的投影为A B C ． D ． 23．（2013湖南）已知,a b 是单位向量，0⋅a b =．若向量c 满足1--=c a b ，则c 的最大值为A 1BC 1D 224．（2013重庆）在平面上，12AB AB ⊥u u u r u u u u r ，121OB OB ==u u u r u u u u r ,12AP AB AB =+u u u r u u u r u u u u r．若12OP <u u u r ，则OA u u u r的取值范围是A ．⎛ ⎝⎦B ． ⎝⎦C ． ⎝D ．⎝ 25．（2013广东）设a 是已知的平面向量且0≠a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．426．（2012陕西）设向量a =（1,cos θ）与b =（-1,2cos θ）垂直，则cos2θ等于A ．2 B ．12C ．0D ．－1 27．（2012浙江）设a ，b 是两个非零向量A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a bB ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a bC ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b aD ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b28．（2011广东）已知向量a =（1,2），b =（1,0），c =（3,4）．若λ为实数， ()λ+∥a b c ，则λ=A ．14B ．12C ．1D ．229．（2011辽宁）已知向量(2,1)=a ，(1,)k =-b ，(2)0⋅-=a a b ，则=kA ．12-B ．6-C ．6D ．1230．（2010辽宁）平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA=u u u r a ，OB =u u u rb ，则△OAB 的面积等于A ．222|||()|-⋅a b a bB ．222|||()|+⋅a b a bC ．2221|||()2|-⋅a b a b D ．2221|||()2|+⋅a b a b 31．（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“e ”如下：对任意的(,)m n =a ，(,)p q =b ，令mq np =-e a b ，下面说法错误的是 A ．若a 与b 共线，则0=e a b B ．=e e a b b aC ．对任意的R λ∈，有()()λλ=e e a b a bD ．2222()()||||+•=e a b a b a b 二、填空题32．(2018全国卷Ⅲ)已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若(2)+∥c a b ，则λ= ．33．(2017新课标Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，||2=a ，||1=b ，则|2|+a b = ． 34．(2017浙江)已知向量a ,b 满足||1=a ,||2=b ,则||||++-a b a b 的最小值是 ，最大值是 ．35．(2017山东)已知1e ，2e 是互相垂直的单位向量，若123-e e 与12λ+e e 的夹角为60o ，则实数λ的值是 ．36．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC u u u r 的模分别为1，1，2，OAu u u r与OC u u u r 的夹角为α，且tan 7α=，OB uuu r 与OC u u u r 的夹角为45o．若OC u u u r =m OA u u u r +n OBuuu r （m ，n ∈R ），则m n += ．37．(2016全国I)设向量(,1)m =a ，(1,2)=b ，且222||||||+=+a b a b ，则m = . 38．(2015江苏)已知向量(2,1)=a ，(1,2)=-b ，若(9,8)m n +=-a b （,m n ∈R ），则m n - 的值为___．39．（2015湖北）已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r ，则OA OB ⋅=u u u r u u u r ．40．(2015新课标Ⅰ)设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ= ___． 41．（2015浙江）已知12,e e 是空间单位向量，1212⋅=e e ，若空间向量b 满足12⋅=b e ，252⋅=b e ，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)x y x y x y R -+-+=∈≥b e e b e e ，则0x =____，0y =_____，=b _____．42．（2014新课标Ⅰ）已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则AB u u u r 与AC u u u r的夹角为 ． 43．(2014山东)在ABC V 中，已知tan AB AC A ⋅=uu u r uuu r ，当6A π=时，ABC V 的面积为 ．44．（2014安徽）已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量12345,,,,x x x x x u r u u r u u r u u r u u r和12345,,,,y y y y y u u r u u r u u r u u r u u r 均由2个a 和3个b 排列而成．记112233S x y x y x y =⋅+⋅+⋅u r u u r u u r u u r u u r u u r4455x y x y +⋅+⋅u u r u u r u u r u u r，min S 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是____（写出所有正确命题的编号）． ①S 有5个不同的值． ②若⊥a b 则min S 与||a 无关． ③若∥a b 则min S 与||b 无关． ④若||4||>b a ，则0min >S ．⑤若||2||=b a ，2min 8||S =a ，则a 与b 的夹角为4π． 45．(2014北京)已知向量a 、b 满足1=a ，(2,1)=b ，且0λ+=a b (R λ∈)，则λ=__．46．（2014陕西）设20πθ<<，向量()sin 2cos θθ=，a ，()cos 1θ，b ，若∥a b ，则=θtan _______．47．（2014四川）平面向量(1,2)=a ，(4,2)=b ，m =+c a b （m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =____________．48．（2013新课标Ⅰ）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60o，(1)=+-c ta t b ，若0⋅=b c ，则t =_____．49．（2013新课标Ⅱ）已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD ⋅=u u u r u u u r ． 50．（2013山东）已知向量AB u u u r 与AC u u u r 的夹角120o ，且|AB u u u r |=3，|AC u u u r |=2，若AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，且AP BC ⊥u u u r u u u r，则实数λ的值为_____．51．（2013浙江）设1e ，2e 为单位向量，非零向量12x y =+b e e ，,x y ∈R ，若1e ，2e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于________．52．（2013天津）在平行四边形ABCD 中，AD = 1，60BAD ︒∠=，E 为CD 的中点．若·1AC BE =u u u r u u u r， 则AB 的长为 ．53．（2013北京）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若λμ=+c a b (λ，μ∈R )，则λμ= ．54．（2013北京）已知向量a ，b 夹角为o45，且||1=a ，|2|10-=a b ||=b．55．（2012湖北）已知向量a =（1，0），b =（1，1），则（Ⅰ）与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为____________； （Ⅱ）向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为____________。

高三数学平面向量的概念及几何运算试题答案及解析1.在平面直角坐标系中，O(0，0)，P(6，8)，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】方法一：设，则．方法二：将向量按逆时针旋转后得，设=+，则=（14，2）因为||=||，所以四边形OMQ′P为正方形，所以向量在正方形之对角线上。

因为是的一半，所以向量与反向且||=||=||=10所以=－λ（λ>0）由|－λ|=10得，λ=，所以．2.已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若，，则的最小值是()A．9B．C． 5D．【答案】D【解析】由题意得，，又D、E、F在同一条直线上，可得．所以，当且仅当2λ＝μ时取等号．故选D．3.已知A、B、C三点不共线，O是△ABC内的一点，若++=0，则O是△ABC的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心【答案】A【解析】如图所示，根据平行四边形法则，有，故=0，所以O为重心．故选A．4.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ＋μ的值为() A．B．C．D．1【答案】A【解析】∵M为边BC上任意一点，∴可设．∴N为AM中点，∴.∴．故选A.5.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为()A．B．C．D．【答案】A【解析】=(3,-4),则与同方向的单位向量为=(3,-4)=.故选A.6.设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|等于()A．B．C．2D．10【答案】B【解析】由a⊥b⇒(x,1)·(1,-2)=0⇒x-2=0⇒x=2.∴a=(2,1).∴a+b=(2,1)+(1,-2)=(3,-1),∴|a+b|=,故选B.7.直线的一个法向量可以是【答案】【解析】已知直线的一般式方程为，因此其一个法向量为．【考点】直线的法向量．8.设a,b是不共线的两个向量,其夹角是θ,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)(x∈R)在(0,+∞)上有最大值,则()A．|a|<|b|,且θ是钝角B．|a|<|b|,且θ是锐角C．|a|>|b|,且θ是钝角D．|a|>|b|,且θ是锐角【答案】D【解析】f(x)=-a·bx2+(a2-b2)x+a·b,若函数f(x)在(0,+∞)上有最大值,则可知函数为二次函数,且图象的开口向下,且对称轴在y轴右侧,即所以a,b的夹角为锐角,且|a|>|b|.【误区警示】解答本题时容易因看不懂题意,不能将函数问题转化为向量问题而导致错解或无法解题.9.若O是A,B,P三点所在直线外一点且满足条件:=a1+a4021,其中{an}为等差数列,则a2011等于()A．-1B．1C．-D．【答案】D【解析】因为A,B,P三点共线,且=a1+a4021,所以a1+a4021=1,故a2011==.10.给出以下命题:①对于实数p和向量a,b,恒有p(a-b)=pa-pb;②对于实数p,q和向量a,恒有(p-q)a=pa-qa;③若pa=pb(p∈R),则a=b;④若pa=qa(p,q∈R,a≠0),则p=q.其中正确命题的序号为.【答案】①②④【解析】根据实数与向量乘积的定义及其运算律可知①②④正确;③不一定成立,因为当p=0时,pa=pb=0,而不一定有a=b.11.已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥，则a与b的夹角为()．A．B．C．D．【答案】A【解析】因为(a＋b)⊥，所以(a＋b)·＝a2－b2－a·b＝0.又因为|a|＝2，|b|＝1，所以4－－a·b＝0.所以a·b＝1.又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1，所以cos〈a，b〉＝.又a与b的夹角的取值范围是[0，π]，所以a与b的夹角为.12.已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝则|b| 等于()．A．5B．4C．3D．1【解析】向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则a·b＝|a||b|·cos 120°＝－|b|，|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.所以13＝9－3|b|＋|b|2，则|b|＝－1(舍去)或|b|＝4.13.已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为()．A．B．C．D．【答案】B【解析】a·(b－a)＝a·b－a2＝2.所以a·b＝3，＝，所以〈a，b〉＝.14.已知O，A，M，B为平面上不同的四点，且＝λ＋(1－λ) ，λ∈(1,2)，则()．A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O，A，M，B四点共线【答案】B【解析】根据题意知＝λ＋－λ＝λ(－)＋，则－＝λ(－)，即＝λ.由λ∈(1,2)可以判断出点M在线段AB的延长线上，即点B在线段AM上．15.若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，则|a＋b－c|的最小值为()．A．－1B．1C．＋1D．【答案】A【解析】|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a＋b)·c，因为a·b＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，所以|a＋b|＝，所以(a＋b)·c＝|a＋b||c|·cos〈a＋b，c〉＝cos〈a＋b，c〉，即|a＋b－c|2＝3－2·cos〈a＋b，c〉，所以当cos〈a＋b，c〉＝1时，|a＋b－c|2最小值为|a＋b－c|2＝3－2＝(－1)2，所以|a＋b－c|＝－1.min16.在边长为1的正三角形ABC中，＝x，＝y，x>0，y>0，且x＋y＝1，则·的最大值为_____________【答案】【解析】由题意，·="(" + )( + )∵＝x，＝y，∴·="("+ )( + )="(" + )( +y)=∵x＞0，y＞0，且x+y=1∴xy≤, ∴=当且仅当x=y=时，取等号∴当x=y=时，·的最大值为.【考点】向量的运算，不等式的性质.17.若两个非零向量满足，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【解析】结合向量加减法的平行四边形法则三角形法则可知分别为以为临边的平行四边形的对角线对应的向量，，所以此平行四边形是矩形，且对角线与矩形的边的较小的夹角为，结合图形可知向量与的夹角为【考点】向量的平行四边形法则三角形法则点评：本题首先结合向量加减法的作图原则做出及其和差向量，结合平面图形性质可知四边形是矩形18.已知向量，，且，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为,所以.【考点】向量垂直的坐标表示.点评：根据,所以.设,所以.19.在边长为6的等边△ABC中，点M满足，则等于．【答案】 24【解析】【考点】本小题考查向量的线性运算及其向量的数量积。

五、平面向量1．向量的概念①向量 既有大小又有方向的量。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。

由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

（注意与0的区别）③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。

(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。

平面向量的定义及其运算平面向量是二维空间中的一个向量，它由长度和方向两个部分组成。

平面向量可以表示为有向线段，并且与其他向量的比较以及运算都是在同一平面内进行的。

一、平面向量的定义平面向量是有向线段的表示，它由长度和方向两个属性组成。

如果两个有向线段的长度相等且方向相同，那么这两个有向线段就代表同一个向量。

同一个向量可以用不同的有向线段表示出来。

二、平面向量的运算1. 向量加法向量加法是指将两个向量的相应分量相加得到一个新向量的过程。

图1. 向量加法的图示由上图可知，向量AB和向量BC相加得到向量AC。

向量的加法满足以下三个性质：(1) 交换律：a+b=b+a(2) 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(3) 零向量：对于任意向量a，都有a+0=a2. 向量数量积向量数量积是指将两个向量相应的分量相乘，再将乘积相加得到一个数的过程。

图2. 向量数量积的图示由上图可知，向量a和向量b的数量积为a*b，它表示向量a 在向量b上的投影与向量b的长度的乘积。

向量的数量积满足以下性质：(1) 交换律：a*b=b*a(2) 结合律：a*(kb)=(ak)*b=a*k*b，其中k为一个数(3) 零向量：对于任意向量a，都有a*0=03. 向量减法向量减法是指将两个向量相应分量相减得到一个新向量的过程。

图3. 向量减法的图示由上图可知，向量ab和向量bc的差为向量ac。

向量的减法满足以下性质：(1) a-b=a+(-b)(2) a-a=0三、总结平面向量是二维空间中的一个向量，它由长度和方向两个部分组成，可以表示为有向线段。

向量加法、数量积和减法是平面向量的三种基本运算，它们分别代表了向量的加法、倍数和减法。

通过这三种运算，我们可以对向量的大小、方向等属性进行计算和描述。

专题五平面向量第十三讲平面向量的概念与运算答案部分1. A 【解析】通解如图所示，3— 1 —=—AB — AC ・故选A. 4 4优解 EB = AB-AE = AB--Ab = AB--x-(AB + AC)2 2 2= 1A B-- AC ・故选A ・ 4 42. C 【解析】・・・|“一鋼=国+引，・•.(“—站)2=(3“+疔，.•./一&八方+ 9沪=9a 2+6a b+b 2,又 1“1=1 方 1=1, :.ab = O,.・.“丄〃；反之也成立，故选C.3. B 【解析】” •(加一〃)=加‘一“=2-(—1) = 3 ,故选B.4. A 【解析】因为〃人畀为非零向呈:，所以/w • n =1 m II n I cos < mji >< 0的充要条件是cos <m,n > <0.因为2<0,则由m=An 可知加，〃的方向相反，<m.n >=180 ♦ 所以COSVMMX O,所以“存在负数/U 使得= An 99可推出“ mn<Q 9f:而 • /I <0 nJ 推出cos <rnjt ><0 ,但不一立推岀〃人〃的方向相反，从而不一左推得"存在负数几，使得m = An ",所以“存在负数2,使得加=加”是“加・〃<0” 的充分而不必要条件.5. B 【解析】由〃丄(tni +n)可得”・(〃”+死)=0,即/加・n + ir = 0,所豁—沪__ ⑷2 w n lw|-|,,lcos<w '/,> Imlxl/ilxi 3"煤*7故选B.' • — ' • — I • I ■ • [ — —B 【解析】设BA = a, BC = h, :. DE = -AC = -(b^a) 2 213 5 3 ^D +DF = --a + -(b-^--a + -b t --------- 5 ——3 -25 3 1 /. AF ・BC = — a ・b + i 故选 B.6. 3 3亦=二旋=_(—) 2 44 4 8 4 87. D【解析】由向量的坐标运算得a+方=（4,加-2）,• ：（a + b）丄b , :. （“ + 方）• b = 12 — 2（〃】一2） = 0 ,解得/n = 8,故选D・1 V3 1— X ---- 1 ------ X— /TA【解析】由题意得cosZABC= — = 一2一2— =L,8.IBAIIBCI 1x1 2所以ZABC = 30 ,故选A.9. A【解析】由题意(0-5・(3心+ 2/；) = 3/-％-2/；'=0,即3|和湘―卩卜°,所以3x(半沪爭如2",10. B【解析】对于A选项,设向量—b的夹角为⑹cos&W|“ll〃l,•••A选项正确；对于B选项，•••当向量—方反向时，1“一〃1$11“1一"11, 选项错误：对于C选项，由向虽:的平方等于向量模的平方可知，C选项正确：对于D选项, 根据向量的运算法则，可推导岀(a+b) (a-b) = a2-b2,故D选项正确，综上选B.11.D【解析】如图由题意，BC = AC -AB = (2a + b)-2a =b ,故I 厶1= 2 ,故A 错误：12a 1= 21 “ 1= 2 • 所以1“1=1,又AB AC = 2a -(2a + b) = 4 \ a \2 +2ab = 2x2cos60 = 2 , 所以ab = -\,故B,C错误；设B,C中点为D,则AB + AC = 2AD, 且刁万丄就，所以(4刁+可丄阮，故选D.12.A【解析】EB + FC =—(BA + BC)--(CA + CB) = -(AB + AC) = AD ・2 2 213.A【解析】由(a+b)2 = 10 ①，(“ 一〃)‘=6 ②，①一②得ab = \.14.B【解析】由题意得—= cos-= lx3 + ^ ,两边平方化简得6>/3/H =18,2 6 2x\j9 + m2解得m =艮经检验符合题意.15.B【解析】设S =西•开+兀2 •『2 +“ • >3 +兀4 • >‘4，若S的表达式中有o个a b ,则S = 2〉+2产，记为5，若S的表达式中有2个a-b^S = 2h2 +2h2 +2a-b, 记为S?,若S 的表达式中有4个力巧，则S=4db,记为S3,又\b\=2\a\, 所以§ 一耳=力‘ +方‘ 一4方坊=2(方一厉？ > o,S] —S Q =ci~ + b~—2i/ • h = (c/—by > 0,52-S3=(«-^)2>0, .\S3<S2<S1,故S”n=S3=4方易，设方，厶的夹角为&，则S niin=45-J = 8l«l2 cos6> = 4l«卩，即cos& = ],又&已[0,刃，所以& = £.16.B【解析】对于A, C, D,都有勺〃冬，所以只有B成立.17.B【解析】由于\b + ta \2=b2 + 2a4ft+a2r,令八)=b2 +2a^bt+a2t2,而/是任意实数，所以可得/(f)的最小值为滋专—⑵历)2 4<i2b2一滋专cos20 4b2 sin20 t—百=——即\b\2 sin2<9 = l,则知若8确定,则"I唯一确定.18.C【解析】丁加一3b = (2«-玄-6),(加—3b)丄c,所以(加一3〃)・c=2(2k—3) — 6 = 0。

高三数学平面向量的概念及几何运算试题答案及解析1.在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似的，我们在平面向量集上也可以定义一个称“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个向量当且仅当“”或“”.按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：①若；②若，则；③若，则对于任意；④对于任意向量.其中真命题的序号为__________.【答案】①②③【解析】①因为由定义,,所以故①为真命题；②设由得：，或由得，或，以下分四种情况讨论：第一：若,则，所以第二：若,则，所以第三：若,则，所以第四：若,则，所以，且所以所以②是真命题③设，则由得：“”或“”所以或“且”所以是真命题．④设，显然满足，但＝，所以，所以命题是假命题．综上答案应填①②③．【考点】1、新定义；2、不等式的性质；3、向量的概念与运算.2.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=．【答案】2【解析】由平行四边行的性质知，AC与BD互相平分，又+==2所以λ=23.在四边形中，，，则四边形的面积为()A．B．C．2D．【答案】A【解析】由，可知四边形为平行四边形，且，因为，所以可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC,四边形为菱形,其边长为，且对角线对于边长的倍，即,则,即,所以三角形的面积为，所以四边形的面积为，选A 4.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为()A．B．C．D．【答案】A【解析】=(3,-4),则与同方向的单位向量为=(3,-4)=.故选A.5.直线的一个法向量可以是【答案】【解析】已知直线的一般式方程为，因此其一个法向量为．【考点】直线的法向量．6.已知向量＝(cos α，sin α)，将向量绕坐标原点O逆时针旋转θ角得到向量 (0°＜θ＜90°)，则下列说法不正确的为( )A．|＋|＝|－|B．||＋||＞|－|C．(＋)⊥(－)D．、在＋方向上的投影相等【答案】A【解析】由题意可知以，所在线段为一组邻边，＋，－所在线段为对角线可构成边长为1的菱形，所以B，C， D正确，A错误．7.在梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝λ|DC|，设＝a，＝b，则＝()A．λa＋b B．a＋λbC．a＋b D．a＋b【答案】C【解析】＝＋＝b＋＝b＋a.故选C.8.已知非零向量a,b满足向量a+b与向量a-b的夹角为,那么下列结论中一定成立的是() A．a=b B．|a|=|b|C．a⊥b D．a∥b【答案】B【解析】由条件得(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,故可得|a|=|b|.9.已知向量a,b满足|a|=|b|=2,a·b=0,若向量c与a-b共线,则|a+c|的最小值为()A．1B．C．D．2【解析】由于c与a-b共线,且a-b≠0所以设c=λ(a-b)(λ∈R),于是a+c=a+λ(a-b)=(λ+1)a-λb,所以|a+c|===,因此当λ=-时,|a+c|取最小值.10.设a,b是不共线的两个向量,其夹角是θ,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)(x∈R)在(0,+∞)上有最大值,则()A．|a|<|b|,且θ是钝角B．|a|<|b|,且θ是锐角C．|a|>|b|,且θ是钝角D．|a|>|b|,且θ是锐角【答案】D【解析】f(x)=-a·bx2+(a2-b2)x+a·b,若函数f(x)在(0,+∞)上有最大值,则可知函数为二次函数,且图象的开口向下,且对称轴在y轴右侧,即所以a,b的夹角为锐角,且|a|>|b|.【误区警示】解答本题时容易因看不懂题意,不能将函数问题转化为向量问题而导致错解或无法解题.11.已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥，则a与b的夹角为()．A．B．C．D．【答案】A【解析】因为(a＋b)⊥，所以(a＋b)·＝a2－b2－a·b＝0.又因为|a|＝2，|b|＝1，所以4－－a·b＝0.所以a·b＝1.又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1，所以cos〈a，b〉＝.又a与b的夹角的取值范围是[0，π]，所以a与b的夹角为.12.设a，b是两个非零向量，下列选项正确的是()．A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|【答案】C【解析】对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，因此a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时，|a＋b|＝|a|－|b|不成立；对于C，可得cos〈a，b〉＝－1，因此成立，而D显然不一定成立．13.已知O，A，M，B为平面上不同的四点，且＝λ＋(1－λ) ，λ∈(1,2)，则()．A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O，A，M，B四点共线【解析】根据题意知＝λ＋－λ＝λ(－)＋，则－＝λ(－)，即＝λ.由λ∈(1,2)可以判断出点M在线段AB的延长线上，即点B在线段AM上．14.如图，在底角为的等腰梯形中，已知，分别为，的中点.设，.(1)试用，表示，；(2)若，试求的值.【答案】(1)，；（2）.【解析】(1) 利用平面向量的加法和减法的运算法则进行计算，用已知量表示未知量，注意向量的方向的变化；（2）要求，就要找到向量，的模及其数量积，先求出向量的模，再根据向量的性质进行计算.试题解析：(1)因为，，，分别为，的中点，所以； 3分. 6分（2），, ，所以, 8分那么. 12分【考点】1、平面向量的模及数量积；2、平面向量的加减混合运算.15.如图，为直线外一点，若，，，，，，，中任意相邻两点的距离相等，设，，用，表示，其结果为 .【答案】【解析】设的中点为A，则A也是，…的中点，由向量的中点公式可得，同理可得，故.【考点】平面向量的加法法则，中点公式.16.在边长为1的正三角形ABC中，＝x，＝y，x>0，y>0，且x＋y＝1，则·的最大值为_____________【答案】【解析】由题意，·="(" + )( + )∵＝x，＝y，∴·="("+ )( + )="(" + )( +y)=∵x＞0，y＞0，且x+y=1∴xy≤, ∴=当且仅当x=y=时，取等号∴当x=y=时，·的最大值为.【考点】向量的运算，不等式的性质.17.已知向量，，若与共线.则等于（）A．B．C．D．4【答案】A【解析】因为与共线，所以【考点】本小题主要考查向量的共线的坐标运算.点评：向量的共线与垂直是两种重要的位置关系，它们的坐标运算要熟练掌握.18.若为所在平面内一点，且满足，，则ABC的形状为A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】C【解析】,点M在底边BC的中垂线上，又,所以点M在底边BC的中线上，因而底边BC的中线与垂直平分线重合，所以ABC的形状为等腰三角形.19.已知单位向量满足，则夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为单位向量满足，则夹角为，选C20.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意向量a b令a⊙b，则下列说法错误的是A．对任意的a⊙b a⊙(b)B．a⊙b b⊙aC．a⊙b a b a bD．若a与b共线，则a⊙b【答案】B【解析】若a与b共线，则有a⊙b=mq-np=0,故D正确因为b⊙a="pn-mq," a⊙b=mq-np=0,故选项B不正确，选B21.已知，若，则【答案】【解析】略22.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，_____【答案】（-3,-5）【解析】略23.已知点A（1，2）、B（3，4），则向量坐标为＿＿＿＿ .【答案】（2，2）【解析】略24.设平面向量，若，则实数的值为 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】故选B25.若向量则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查平面向量的基本定理，向量的坐标运算和向量相等的概念.设则，根据向量相等概念得：解得故选B26.若向量,满足，，，则与的夹角是。

平面向量的概念、基本定理及运算作业及答案一、选择题：1.若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB ＋DC ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC ＋AD ；③AC －BD ＝DC ＋AB .其中正确的有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：①式的等价式是AB －BC ＝DA －CD ，左边＝AB ＋CB ，右边＝DA ＋DC ，不一定相等；②式的等价式是AC －BC ＝AD －BD ，AC ＋CB ＝AD ＋DB ＝AB 成立； ③式的等价式是－DC ＝AB ＋BD ，AD ＝AD 成立． 答案：C2．如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD ＝ ( )A ．－BC ＋12BAB ．－BC －12BA C ．BC －12BA D. BC ＋12BA 解析：CD ＝CB ＋BD ＝－BC ＋12BA . 答案：A 3.(2009·湖南高考)对于非零向量a 、b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＋b ＝0知道a 与b 互为相反向量，从而a ∥b ，充分性成立. 由a ∥b 知a ＝λb.λ≠－1时，a ＋b ≠0，∴必要性不成立． 答案：A4.已知平面上不共线的四点O 、A 、B 、C .若OA －4OB ＋3OC ＝0，则AB BC ＝________A.13B.12 C ．2 D ．3 解析：∵OA －4OB ＋3OC ＝0，∴(OA －OB )－3OB ＋3OC ＝0，即OA －OB ＝3(OB －OC )，∴BA ＝3CB ，∴AB BC ＝3. 答案：D5．非零不共线向量OA 、OB ，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λAB (λ∈R)，则点Q (x ，y )的轨迹方程是 ( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：PA ＝λAB ，得OA －OP ＝λ(OB －OA )， 即OP ＝(1＋λ) OA －λOB .又2OP ＝x OA ＋y OB ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋2λ，y ＝－2λ消去λ得x ＋y ＝2. 答案：A 6.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝ ( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b解析：如图所示，由△DEF ∽△BEA 知 AF ＝AC ＋CF ＝a ＋23CD＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b . 答案：B 7.在三角形ABC 中，已知A (2,3)，B (8，－4)，点G (2，－1)在中线AD 上，且AG ＝2GD ，则点C 的坐标是 ( )A ．(－4,2)B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4,2)解析：设C (x ，y )，则D (8＋x 2，－4＋y 2)，再由AG ＝2GD 得(0，－4)＝2(4＋x 2，－2＋y 2)，∴4＋x ＝0，－2＋y ＝－4，即C (－4，－2)． 答案：B8．若α，β是一组基底，向量γ＝x ·α＋y ·β(x ，y ∈R)，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为 ( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析：由已知a ＝－2p ＋2q ＝(－2,2)＋(4,2)＝(2,4)，设a ＝λm ＋μn ＝λ(－1,1)＋μ(1,2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)， 则由⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝2λ＋2μ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝0μ＝2， ∴a ＝0m ＋2n ，∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)． 答案：D9．(2010·黄冈模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA ＝a ，OB ＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．OC ＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点所有可能的位置区域用阴影表正确的是 ( )解析：OC ＝λa ＋μb ＝λ(3,1)＋μ(1,3)＝(3λ＋μ，λ＋3μ)．∵0≤λ≤μ≤1， ∴0≤3λ＋μ≤4,0≤λ＋3μ≤4，且3λ＋μ≤λ＋3μ. 答案：A10.(2009·北京高考)已知向量a 、b 不共线，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)．依题意d ＝a －b ＝(1，－1)，又c ＝ka ＋b ＝(k,1)，∵c ∥d ，∴12－(－1)·k ＝0，∴k ＝－1，又k ＝－1时，c ＝(－1,1)＝－d ，∴c 与d 反向． 答案：D11．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝(12，1＋sin θ)，且a ∥b ，则锐角θ等于 ( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°解析：由a ∥b 可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0，即cos θ＝±22，而θ是锐角，故θ＝45°. 答案：B12.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A (3,1)，B (－1，3)，若点C 满足|CA ＋CB |＝|CA －CB |，则C 点的轨迹方程是 ( )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x －y ＝0C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5D ．3x －2y －11＝0解析：由|CA ＋CB |＝|CA －CB |知CA ⊥CB ，所以C 点的轨迹是以A 、B 为直径的两个端点的圆，圆心坐标为线段AB 的中点(1,2)，半径等于5，所以C 点的轨迹方程是(x －1)2＋(y －2)2＝5. 答案：C二、填空题：13．(2009·安徽高考)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC ＝λAE ＋μAF ，其中，λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析：如图，∵ABCD 为▱，且E 、F 分别为CD 、BC 中点．∴AC ＝AD ＋AB＝(AE －DE )＋(AF －BF )＝(AE ＋AF )－12(DC ＋BC ) ＝(AE ＋AF )－12AC ， ∴AC ＝23(AE ＋AF )， ∴λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43. 答案：4314．(2009·湖南高考)如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD ＝x AB ＋y AC ，则x ＝________，y ＝________.解析：法一：以AB 所在直线为x 轴，以A 为原点建立平面直角坐标系如图，令AB ＝2.则AB ＝(2,0)，AC ＝(0,2)，过D 作DF ⊥AB 交AB 的延长线为F ， 由已知得DF ＝BF ＝3， 则AD ＝(2＋3，3)．∵AD ＝x AB ＋y AC ，∴(2＋3，3)＝(2x,2y )．即有⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3＝2x ，3＝2y ，解得⎩⎨⎧ x ＝1＋32，y ＝32.法二：过D 作DF ⊥AB 交DB 的延长线为F .由已知可求得BF ＝DF ＝32AB ， AD ＝AF ＋FD＝(1＋32)AB ＋32AC ， 所以x ＝1＋32，y ＝32. 答案：1＋32 3215．△ABC 的三个内角，A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，b )与q ＝(b －a ，c －a )是共线向量，则角C ＝________.解析：∵p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，∴a 2＋b 2－c 2＝ab . ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°. 答案：60° 16．(2010·温州模拟)已知直角坐标平面内的两个向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)，使平平面内的任意一个向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb ，则m 的取值范围是________． 解析：∵c 可唯一表示成c ＝λa ＋μb ， ∴a 与b 不共线，即2m －3≠3m ， ∴m ≠－3. 答案：{m ∈R|m ≠－3}三、解答题：17．如图，若四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M 、N 分别是DC ，AB 的中点，已知＝a ，AD ＝b ，DC ＝c ，试用a ，b ，c 表示BC ，MN ，DN ＋CN .解：AB ＝BA ＋AD ＋DC ＝－a ＋b ＋c .∵MN ＝MD ＋DA ＋AN ， MN ＝MC ＋CB ＋BN ， ∴2MN ＝MD ＋DA ＋AN ＋MC ＋CB ＋BN ＝DA ＋CB ＝－AD ＋CB ＝－b －(－a ＋b ＋c )＝a －2b －c ， ∴MN ＝12a －b －12c . DN ＋CN ＝DM ＋MN ＋CM ＋MN ＝2MN ＝a －2b －c .18．如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ， 在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取 点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ ＝λCM 时，AP ＝QA ，试确定λ的值． 解：∵AP ＝NP －NA ＝12(BN －CN )＝12(BN ＋CN )＝12BC ，QA ＝MA －MQ ＝12BM ＋λMC ，又∵AP ＝QA ，∴12BM ＋λMC ＝12BC ， 即λMC ＝12MC ，∴λ＝12. 19.如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB 、AC 于M 、N 两点，若AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，求1x ＋1y 的值．解：设AB ＝a ，AC ＝b ，则AM ＝xa ，AN ＝yb ， AG ＝12AD ＝14(AB ＋AC )＝14(a ＋b )．∴MG ＝AG －AM ＝14(a ＋b )－xa ＝(14－x )a ＋14b ， MN ＝AN －AM ＝yb －xa ＝－xa ＋yb .∵MG 与MN 共线，∴存在实数λ，使MG ＝λMN .∴(14－x )a ＋14b ＝λ(－xa ＋yb )＝－λxa ＋λyb . ∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧14－x ＝－λx ，14＝λy .消去λ，得1x ＋1y ＝4，∴1x ＋1y 为定值． 20．已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝xb ＋yc 的实数x ，y 的值； (2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k 的值． 解：(1)∵a ＝xb ＋yc ， ∴(3,2)＝x (－1,2)＋y (4,1)＝(－x ＋4y,2x ＋y )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋4y ＝3，2x ＋y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝59，y ＝89. (2)∵(a ＋kc )∥(2b －a )， 且a ＋kc ＝(3,2)＋k (4,1)＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝2(－1,2)－(3,2)＝(－5,2)， ∴2(3＋4k )－(－5)(2＋k )＝0，解得k ＝－1613. 21.如图所示，已知点A(4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 和OB 交点P 的坐标． 解：法一：设OP ＝t OB ＝t (4,4)＝(4t,4t )，则AP ＝OP －OA ＝(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )，AC ＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP ，AC 共线的充要条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34. ∴OP ＝(4t,4t )＝(3,3)． ∴P 点坐标为(3,3)． 法二：设P (x ，y )，则OP ＝(x ，y )，OB ＝(4,4)．∵OP ，OB 共线，∴4x －4y ＝0. ① 又CP ＝(x －2，y －6)，CA ＝(2，－6)，且向量CP 、CA 共线．∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.② 解①，②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3，∴点P 的坐标为(3,3)．。

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】专题5.1 平面向量的概念及线性运算【考纲解读】内 容要求备注ABC平面向量平面向量的概念√1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2．理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义． 平面向量的加法、减法及数乘运算√【直击考点】题组一 常识题1． 化简(()()AB BM BO CB OM -+-+u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r的结果是________．【解析】原式＝()()AB MB BO BC OM AB BO OM MB BC AC ++++=++++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r2． 若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(b ＋c －3x )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则x ＝______________．【解析】由2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(b ＋c －3x )＋b ＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32x －23a －12b －12c ＋b ＝0，即72x ＝23a－12b ＋12c ， 所以x ＝421a －17b ＋17c .3． a 表示向东走1 km ，b 表示向南走1 km ，则a ＋b 表示向________方向走________km.【解析】易知a ＋b 表示向东南方向走 2 km.4．已知M 是△ABC 的边BC 上的中点，AB u u u r＝a ，AC u u u r ＝b ，则＝________．【解析11,()()22AB BM AM AC CM AM AM AB BM AC CM AB AC +=+=∴=+++=+=Q 12(a ＋b )． 题组二 常错题5．若四边形ABCD 满足12AD BC =u u u r u u u r，则四边形ABCD 的形状是________．【解析】//,||||AD BC AD BC ≠u u u r u u u r u u u r u u u r，所以四边形ABCD 是梯形．6．若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，且b 是非零向量，则a 与c 的关系是________． 【解析】由共线向量的概念知，向量a 与向量c 共线．注意：若b 是零向量，则向量a 与向量c 的关系不确定．7．已知两向量a ，b ，若|a |＝1，|b |＝3，则|a ＋b |的取值范围是________．题组三 常考题8． 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则ED EF +=u u u r u u u r ________BE u u u r .【解析】因为D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中点，所以111,,()222ED BA EF BC ED EF BA BC BE =-=-∴+=-+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r .9． 设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________． 【解析】因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在唯一实数t ，使得λa ＋b ＝t (a ＋2b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得λ＝t ＝12.【知识清单】考点1 向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 考点2 平面向量的线性运算一．向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a b b a ＋＝＋；(2)结合律：( +()a b c a b c ＋)+＝＋减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a与b 的差三角形法则1．定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝|λ||a |；②当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：①()()a a λμλμ＝；②() a a a λμλμ＋＝＋；③()a b a b λλλ＋＝＋.考点3共线向量共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa ..【考点深度剖析】本节内容是平面向量的基础，向量的加法和减法，实数与向量的积，两个向量共线的充要条件是本节的重点内容．但由于本章内容不会出现高难度的题目，所以复习时应以基本内容为主．【重点难点突破】考点1 向量的有关概念 【1-1】给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A B C D ，，，是不共线的四点，则AB u u u r ＝DC u u u r 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中假命题的个数为________. 【答案】3【1-2】给出下列命题：①a b ＝的充要条件是||a b |＝|且a b //； ②若向量a 与b 同向，且||a b |>|，则a b >； ③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； ④若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； ⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ⑥任一向量与它的相反向量不相等． 其中真命题的序号是________． 【答案】⑤【解析】①当a 与b 是相反向量时，满足||a b |＝|且a b //，但a ≠b ，故①假； ②向量不能比较大小，故②假； ③0与任意向量平行，故③假；④当a 与b 中有零向量时，由于零向量的方向是任意的，故④假； ⑤由相等向量定义知，⑤真； ⑥0的相反向量仍是0，故⑥假． 【思想方法】(1)准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．(2)几个重要结论①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； ②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．【温馨提醒】忽略 0与0的区别，把零向量 0误写成0而致误． 考点2 平面向量的线性运算在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD u u u r ＝2DB u u u r ，CD u u ur ＝13CA u u u r ＋λCB u u u r ，则λ等于________. 【答案】23【2-2】平行四边形OADB 的对角线交点为C ，＝13，＝13，＝a ，＝b ，用a 、b 表示、、.【答案】OM =16a ＋56b, ON =23a ＋23b ，MN ＝12a －16b . 【解析】BA ＝a －b ，BM ＝16BA ＝16a －16b ，OM OB BM =+＝16a ＋56b ，OD ＝a ＋b ，ON OC CN =+＝12OD ＋16OD ＝23OD ＝23a ＋23b ， MN ON OM =-＝12a －16b .【思想方法】1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．【温馨提醒】注意向量运算的几何意义 考点3共线向量【3-1】在ABC △中，E F 、分别为AC AB 、的中点，,BE CF 相交于G 点，设，试用a b ，表示.【答案】1133a b +【3-2】已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB PA PB λ=+，其中λ∈R ，则点P 一定在________.【答案】AC 边所在直线上【解析】由CB PA PB λ=+得CB PB PA λ-=，∴CP PA λ=.则,CP PA 为共线向量，又,CP PA 有一个公共点P C P A ∴，、、三点共线，即点P 在直线AC 上． 【思想方法】1．应用共线向量定理，可以证明向量共线，也可以由向量共线确定参数的值；2.若a b ,不共线，则0a b λμ=+的充要条件是0λμ==；这一结论是解决求参数问题的重要依据；3.若AB AC λ=，则,,A B C 三点共线.【温馨提醒】向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”这一条件【易错试题常警惕】向量线性运算应注意的问题(1)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点。