2020年中考数学三轮易错复习：类比、探究类综合题(含解析)

2020年中考数学最易出错的61个知识点初三同学们一轮复习已经紧张的开始了，在复习的过程中，同学们要注意知识的来源与应用，还要知道这个知识容易出错的地方，所以今天给大家汇总了考试中常常出错的八个模块的易错知识点，同学们务必记住哦！数与式易错点1：有理数、无理数以及实数的有关概念理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念混淆。

以及绝对值与数的分类。

每年选择必考。

易错点2：实数的运算要掌握好与实数有关的概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。

易错点3：平方根、算术平方根、立方根的区别。

填空题必考。

易错点4：求分式值为零时学生易忽略分母不能为零。

易错点5：分式运算时要注意运算法则和符号的变化。

当分式的分子分母是多项式时要先因式分解，因式分解要分解到不能再分解为止，注意计算方法，不能去分母，把分式化为最简分式。

填空题必考。

易错点6：非负数的性质：几个非负数的和为0，每个式子都为0；整体代入法；完全平方式。

易错点7：计算第一题必考。

五个基本数的计算：0 指数，三角函数，绝对值，负指数，二次根式的化简。

易错点8：科学记数法。

精确度，有效数字。

这个上海还没有考过，知道就好！易错点9：代入求值要使式子有意义。

各种数式的计算方法要掌握，一定要注意计算顺序。

方程（组）与不等式（组）易错点1：各种方程（组）的解法要熟练掌握，方程（组）无解的意义是找不到等式成立的条件。

易错点2：运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为0 的情况，还要关注解方程与方程组的基本思想。

（消元降次）主要陷阱是消除了一个带X 公因式要回头检验！易错点3：运用不等式的性质３时，容易忘记改不改变符号的方向而导致结果出错。

易错点4：关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0导致出错。

易错点5：关于一元一次不等式组有解无解的条件易忽视相等的情况。

易错点6：解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错。

2020年中考数学三轮易错复习：专题13 类比、探究类综合题【例1】（2019·洛阳二模）如图 1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD，EC所在直线相交所成的锐角为β．（1）问题发现当α=0°时，CEBD= ，β=（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，CEBD和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积．图1 图2【变式1-1】（2019·洛阳三模）如图 1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，D，E两点分别是AC，CB上的点，且CD=6，DE∥AB，将△CDE绕点C顺时针旋转一周，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时，ADEB= ；②当α=90°时，ADEB= ．（2）拓展探究请你猜想当△CDE在旋转的过程中，ADEB是否发生变化？根据图2证明你的猜想．（3）问题解决在将△CDE绕点C顺时针旋转一周的过程中，当AD BE= ，此时α= ．图1 图2【例2】（2019·南阳毕业测试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；图1 图2 图3 备用图【变式2-1】（2019·开封二模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边CD上的点，且CE ＝4，过点E作CD的垂线，并在垂线上截取EF＝3，连接CF．将△CEF绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a．（1）问题发现当a＝0°时，AF＝，BE＝，AEBE＝；（2）拓展探究试判断：当0°≤a°＜360°时，AEBE的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决当△CEF 旋转至A ，E ，F 三点共线时，直接写出线段BE 的长．图1 图2 备用图强化精炼1.（2018·河师大附中模拟）如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，=1ABAC. 点P 是边BC 上一个动点（不与B 重合），∠PAD =90°，∠APD =∠B ，连接CD .填空：①PBCD= ;②∠ACD 的度数为 .（2）拓展探究如图②，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，=ABk AC. 点P 是边BC 上一个动点（不与B 重合），∠PAD =90°，∠APD =∠B ，连接CD . 请判断∠ACD 与∠B 的数量关系以及PB 与CD 之间的数量关系，并说明理由.（3）解决问题如图③，在△ABC 中，∠B =45°，AB ，BC =12，P 是边BC 上一动点（不与B 重合），∠PAD =∠BAC ，∠APD =∠B ，连接CD . 请直接写出所有CD 的长.① ② ③2.（2018·河南第一次大联考）如图1，在等边三角形ABC 中，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等边三角形AMN ，连接CN ，NC 与AB 的位置关系为__________；（2）深入探究：如图2，在等腰三角形ABC 中，BA =BC ，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等腰三角形AMN ，使∠ABC =∠AMN ，AM =MN ，连接CN ，试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN，试求EF的长．3.（2017·新野一模）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连接EF．（1）说明线段BE与AF的位置关系和数量关系；（2）如图②，当△CEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°）时，连接AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图③，当△CEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）时，延长FC交AB于点D，如果AD=6﹣α的度数．4.（2019·安阳一模）（1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点D为BC边上一动点，DE∥AB交AC于点E，将AD绕点D顺时针旋转60°得到DF，连接CF．则AE与FC的数量关系是__________，∠ACF的度数为_________．（2）拓展探究：如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，点D为BC边上一动点，DE∥AB交AC于点E，当∠ADF=∠ACF=90°时，求AEFC的值．（3）解决问题：如图3，在△ABC中，BC:AB=m，点D为BC的延长线上一点，过点D作DE∥AB交AC的延长线于点E，直接写出当∠ADF =∠ACF =∠ABC 时AEFC 的值．图1 图2 图3 5.（2019·南阳模拟）（1）【问题发现】如图1，△ABC 和△CEF 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EFC ＝90°，点E 与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为 ；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，连接BE ，AF ，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当AB ＝AC ＝2，△CEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时候，直接写出线段AF 的长．图1 图2 备用图6.（2019·商丘二模）如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，点P 为射线BD ，CE 的交点． （1）问题提出：如图1，若AD ＝AE ，AB ＝AC ． ①∠ABD 与∠ACE 的数量关系为 ； ②∠BPC 的度数为 ．（2）猜想论证：如图2，若∠ADE ＝∠ABC ＝30°，则（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）拓展延伸：在（1）的条件中，若AB ＝2，AD ＝1，若把△ADE 绕点A 旋转，当∠EAC ＝90°时，直接写出PB 的长．图1 图2 备用图7.（2019·名校模考）问题发现：图1AC D EF图2AB C D EF图3AB CDEF（1）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝k•AC（k＞1），D是AB上一点，DE∥BC，则BD，EC的数量关系为．类比探究：（2）如图2，将△AED绕着点A顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜90°），连接CE，BD，请问（1）中BD，EC的数量关系还成立吗？说明理由.拓展延伸：（3）如图3，在（2）的条件下，将△AED绕点A继续旋转，旋转角为a（a＞90°）．直线BD，CE交于F点，若AC＝1，AB，则当∠ACE＝15°时，BF•CF的值为．图1 图2 图38.（2019·枫杨外国语三模）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D是直线AB上的动点，连接CD，以CD为边，在CD的左侧作等边△CDE，连接EB（1）问题发现：如图(1)，当CD⊥AB时，ED和EB的数量关系是 .（2）规律论证：如图(2)当点D在线段AB上运动时，(1)中ED，EB的数量关系是否仍然成立？若成立，请仅就图(2)加以证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由.（3）拓展应用：如图(3)当点D在直线AB上运动时，若AC，且△BCE恰好为等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的AD的长.图1 图2 图39.（2017·郑州一模）如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连结CF 并延长交AB 于点M ，MN ⊥CM 交射线AD 于点N ．（1）当F 为BE 中点时，求证：AM =CE ； （2）若2AB EF BC BF ==，求ANDN的值.10. (2019·郑州名校二模) 如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．图1 图22020年中考数学三轮易错复习：专题13 类比、探究类综合题【例1】（2019·洛阳二模）如图 1，在 Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =4，点 D ，E 分别是边 AB ，AC 的中点，连接 DE ，将△ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转，记旋转角为 α，BD ，EC 所在直线相交所成的锐角为 β．（1）问题发现 当 α=0°时，CEBD= ，β=（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，CEBD和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）在△ADE 旋转过程中，当 DE ∥AC 时，直接写出此时△CBE 的面积．图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知，AC ，CE =AE ，BD =AD =2，∴CEBD，β=∠A =45°， （2）无变化，理由如下： 延长CE 交BD 于F ，∵△ABC 、△ADE 是等腰直角三角形，∴AC AEAB AD==DAE =∠BAC =45°， ∴∠DAB =∠CAE ， ∴△ABD ∽△ACE ，∴CE ACBD AB==, ∠ABD =∠ACE ， ∴∠CFB =45°， 即β=∠CFB =45°. (3)①如图所示，S =12BC ·BE =12×4×（）； ②如下图所示，S =12BC ·BE =12×4×（）； 综上所述，在△ADE 旋转过程中，DE ∥AC 时，此时△CBE 的面积为8－或.【变式1-1】（2019·洛阳三模）如图 1，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，AB =10，D ，E 两点分别是AC ，CB 上的点，且 CD =6，DE ∥AB ，将△CDE 绕点 C 顺时针旋转一周，记旋转角为 α．（1）问题发现①当 α=0°时，ADEB = ； ②当 α=90°时，ADEB=．（2）拓展探究请你猜想当△CDE 在旋转的过程中，ADEB是否发生变化？根据图2证明你的猜想． （3）问题解决AD在将△CDE 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，当 AD BE = ，此时α= ．图1 图2【答案】（1）43，43；（2）见解析；（360或300.【解析】解：（1）∵AB =10，AC =8， ∴由勾股定理得：BC =6， ①∵DE ∥AB ，∴CD CEAC BC =, 即686CE =， ∴CE =92，∴BE =32，∴AD EB =43； ②由勾股定理得：AD =10，BE =152， ∴AD EB =43； （2）不变化，理由如下： 由题意知：△DCE ∽△ACB ， ∴CD CEAC BC=， 由旋转性质得：∠ACD =∠BCE ， ∴△ACD ∽△BCE ，∴AD AC BE BC=,即8463 ADBE==.（3）由(2)知43 ADBE=，∵AD，∴BE如图，过D作DF⊥AC于F，设AF=x，则CF=8－x，由勾股定理得：（2－x2=62－（8－x）2，解得：x=5，即AF=5，CF=3，由CD=6，得∠FDC=30°，∴∠DCF=60°，即α=60°；同理可得，当α=300°时，AD，300°.【例2】（2019·南阳毕业测试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n=，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；图1 图2 图3 备用图【答案】（1）1；（2）①mn；②见解析．【解析】解：（1）当m＝n时，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DEDF=ADCD，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴ADCD=ACBC=1，即DEDF=1，（2）①由（1）中方法可证得：△ADE∽△CDF，△ADC∽△CDB，∴DEDF=ADCD=ACBC=nm，即DEDF=nm，②成立．∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DEDF=ADCD，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴ADCD=ACBC=nm，∴DEDF=nm．【变式2-1】（2019·开封二模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边CD上的点，且CE ＝4，过点E作CD的垂线，并在垂线上截取EF＝3，连接CF．将△CEF绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a．（1）问题发现当a＝0°时，AF＝，BE＝，AEBE＝；（2）拓展探究试判断：当0°≤a°＜360°时，AEBE的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，直接写出线段BE的长．图1 图2 备用图【答案】（1）54；（2）（3）见解析；【解析】解：（1）当a＝0°时，过点F作FG⊥AD于G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，由∠G＝∠EDG＝∠DEF＝90°，知四边形DEFG是矩形，∴DG＝EF＝3，AG＝11，∵CE＝4，CD＝6，∴FG＝DE＝2，Rt△AGF中，由勾股定理得：AF＝同理，BE＝∴AEBE=54.（2）AEBE的大小无变化，理由如下：连接AC，∵AB＝6，BC＝8，EF＝3，CE＝4，∴12EFAB=，12CEBC=，∴EFAB=CEBC，∵∠CEF＝∠ABC＝90°，∴△CEF∽△CBA，∴CF CEAC BC=，∠ECF＝∠ACB，∴54CF AC CE BC ==，∠ACF ＝∠BCE ， ∴△ACF ∽△BCE ， ∴54AE CF BE CE ==，即AE BE的大小无变化； （3）当△CEF 旋转至A ，E ，F 三点共线时，存在两种情况：①E 在A 、F 之间，如图，连接AC ，Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC ＝10，同理得：CF ＝5，由（2）知：54AE CF BE CE ==，Rt △AEC 中，由勾股定理得：AE ＝∴AF ＝AE +EF ＝，∴BE ＝45AF ＝45（； ②点F 在A 、E 之间时，如图所示，连接AC ，同理得：AF ＝AE ﹣EF ＝3，∴BE ＝45AF ＝45（；综上所述，BE 的值为125或125． 强化精炼1.（2018·河师大附中模拟）如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，=1AB AC . 点P 是边BC 上一个动点（不与B 重合），∠PAD =90°，∠APD =∠B ，连接CD . 填空：①PB CD = ;②∠ACD 的度数为 .（2）拓展探究如图②，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，=AB k AC. 点P 是边BC 上一个动点（不与B 重合），∠PAD =90°，∠APD =∠B ，连接CD . 请判断∠ACD 与∠B 的数量关系以及PB 与CD 之间的数量关系，并说明理由.（3）解决问题如图③，在△ABC 中，∠B =45°，AB ，BC =12，P 是边BC 上一动点（不与B 重合），∠PAD =∠BAC ，∠APD =∠B ，连接CD . 请直接写出所有CD 的长.① ② ③【答案】见解析.【解析】解：（1）∵AB =AC ，∠BAC =90°，∠PAD =90°，∴∠BAP =∠CAD ，∠B =45°，∵∠APD =∠B ，∴∠APD =∠ADP =45°，∴AP =AD ，∴△ABP ≌△ACD ，∴BP =CD ，∠ACD =∠B =45°， 即PB CD=1，∠ACD =45°， 故答案为：1，45°.（2）∠ACD =∠B ，PB CD=k ，理由如下： ∵∠BAC =90°，∠PAD =90°，∠APD =∠B ，∴△ABC ∽△APD ，∴=AB AP AC AD=k ， 由∠BAP +∠PAC =∠PAC +∠CAD =90°，得：∠BAP =∠CAD ，∴△ABP ∽△CAD ，∴∠ACD =∠B ， ∴=PB AB CD AC=k . （3）①过A 作AH ⊥BC 于H ，如图所示，∵∠B =45°，∴△BAH 是等腰直角三角形，∵AB ，∴AH =BH =4，∵BC =12，∴CH =8，在Rt △ACH 中，由勾股定理得：AC ，在Rt △APH 中，由勾股定理得：PH =3，∴BP =1，∵∠PAD =∠BAC ，∠APD =∠B ，∴△ABC ∽△APD ， ∴=AB AP AC AD， 由∠BAP +∠PAC =∠PAC +∠CAD ，得：∠BAP =∠CAD ，∴△ABP ∽△CAD ， ∴=PB AB CD AC，即1CD解得：CD ， ②如图所示，过A 作AH ⊥BC 于H ，同理可得：△ABP ∽△CAD ， ∴=PB AB CD AC，即7CD解得：CD综上所述，CD 2.（2018·河南第一次大联考）如图1，在等边三角形ABC 中，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等边三角形AMN ，连接CN ，NC 与AB 的位置关系为__________；（2）深入探究：如图2，在等腰三角形ABC 中，BA =BC ，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等腰三角形AMN ，使∠ABC =∠AMN ，AM =MN ，连接CN ，试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在正方形ADBC 中，AD =AC ，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作正方形AMEF ，点N为正方形AMEF 的中点，连接CN ，若BC =10，CN ，试求EF 的长．【答案】见解析.【解析】解：（1）NC ∥AB ；（2）∠ABC =∠ACN ，理由如下：∵AB =BC ，AM =MN ，即AB :BC =AM :MN =1，又∠ABC =∠ACN ，∴△ABC ∽△AMN ， ∴AB AC AM AN=, ∴∠BAC =12（180°－∠ABC ）， ∵AM =MN ，∴∠MAN =12（180°－∠AMN ）， 由∠ABC =∠AMN ，得∠BAC =∠MAN ，∴∠BAM =∠CAN ， 又AB AC AM AN=, ∴△ABM ∽△ACN ，∴∠ABC =∠ACN ，(3)连接AB ，AN ，∵四边形ADBC ，AMEF 为正方形，∴∠ABC =∠BAC =45°，∠MAN =45°，∴∠BAM =∠CAN ，由AB AM BC AN=, ∴AB BC AC AM AN AN ==, ∴△ABM ∽△ACN ，∴BM AB CN AC=,=，∴BM=2，∴CM=BC－BM=10－2=8，在Rt△AMC中，由勾股定理得：AM=∴EF=AM=3.（2017·新野一模）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连接EF．（1）说明线段BE与AF的位置关系和数量关系；（2）如图②，当△CEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°）时，连接AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图③，当△CEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）时，延长FC交AB于点D，如果AD=6﹣α的度数．【答案】见解析．【解析】（1）解：BE⊥AF，AF；理由如下：在△ABC中，∠ABC=90°，BC=2，∠A=30°，∴AC，∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，∴BE⊥AF，BE=CE，AF=CF，∴AE AC BE BC=∴AF ；（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，∴EC =12BC ，FC =12AC ， ∴CE CF BC AC ==12， ∵∠BCE =∠ACF ，∴△BEC ∽△AFC ，∴AE AC BE BC=CBE =∠CAF ， 延长BE 交AC 于点O ，交AF 于点M ，如图所示：∵∠BOC =∠AOM ，∠CBE =∠CAF ，∴∠BCO =∠AMO =90°，即BE ⊥AF ；（3）解：∵∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°，∴AB =2BC =4，∠B =60°，∴DB =AB ﹣AD =4﹣（6﹣﹣2，过点D 作DH ⊥BC 于点H ，如图所示：∴BH =12DB﹣1，DHDB =3又∵CH =BC ﹣BH =21）=3∴CH =DH ，∴∠HCD =45°，∴∠DCA =45°，∴α=135°．4.（2019·安阳一模）（1）问题发现：如图1，在等边△ABC 中，点D 为BC 边上一动点，DE ∥AB 交AC 于点E ，将AD 绕点D 顺时针旋转60°得到DF ，连接CF ．则AE 与FC 的数量关系是__________，∠ACF 的度数为_________．（2）拓展探究：如图2，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠ACB =60°，点D 为BC 边上一动点，DE ∥AB 交AC 于点E ，当∠ADF =∠ACF =90°时，求AE FC的值． （3）解决问题： 如图3，在△ABC 中，BC :AB =m ，点D 为BC 的延长线上一点，过点D 作DE ∥AB 交AC 的延长线于点E ，直接写出当∠ADF =∠ACF =∠ABC 时AE FC的值．图1 图2 图3 图1AC D E F 图2A B C D E F图3A B C D E F【答案】（1）AE =FC ，60；（2）（3）见解析；【解析】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，DE ∥AB ，∴△DCE 是等边三角形，∴CD =DE ，∠CDE =60°，由旋转性质知，AD =DF ，∠ADF =60°，∴∠ADE =∠CDF ，∴△ADE ≌△FDC ，∴AE =FC ，∠DCF =∠DEA =120°，∴∠ACF =60°；（2）∵DE ∥AB ，∴∠EDC =∠ABC =90°，∵∠ADF =90°，∴∠ADC =∠CDF ，∵∠ACF =90°，即∠AED =∠EDC +∠ACB ，∠FCD =∠ACF +∠ACB ，∴∠AED =∠FCD ，∴△DAE ∽△DFC ， ∴AE DE CF CD=, ∵DE ∥AB ，∴△EDC ∽△ABC ， ∴DE AB CD BC=,∴AE AB CF BC =(3)与（2）证明可得：AE AB CF BC ==1m. 5.（2019·南阳模拟）（1）【问题发现】如图1，△ABC 和△CEF 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EFC ＝90°，点E 与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为 ；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，连接BE ，AF ，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当AB ＝AC ＝2，△CEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时候，直接写出线段AF 的长．图1 图2 备用图【答案】（1）BE AF ；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）BE AF ．∵△AFC 是等腰直角三角形，∴AC AF∵AB ＝AC∴BE ＝AB AF ；（2）BE AF ，理由如下：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，在Rt △EFC 中，∠FEC ＝∠FCE ＝45°，∠EFC ＝90°，∴∠ABC ＝∠FEC =45°，∴sin ∠ABC ＝sin ∠FEC 即:AC CF BC CE= ∵∠FEC ＝∠ACB ＝45°，∴∠FEC ﹣∠ACE ＝∠ACB ﹣∠ACE ．即：∠FCA ＝∠ECB ．∴△ACF ∽△BCE ，∴AC BE BC AF =∴BE AF ；（3）①当E 在B 、F 之间时，如图2，由（1）知，CF ＝EF ，在Rt △BCF 中，CF ，BC ＝，根据勾股定理得，BF∴BE ＝BF ﹣EF∵BE AF ，∴AF ﹣1；②当F 在B 、E 之间时，由（1）可证，△ACF ∽△BCE ，∴BC BE AC AF==∴BE AF ；由①知：CF ，BC ＝，BF∴BE ＝BF +EF ，BE AF ，∴AF +1．当B ，E ，F 三点共线时，线段AF 1+1．6.（2019·商丘二模）如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，点P 为射线BD ，CE 的交点．（1）问题提出：如图1，若AD ＝AE ，AB ＝AC ．①∠ABD 与∠ACE 的数量关系为 ；②∠BPC 的度数为 ．（2）猜想论证：如图2，若∠ADE ＝∠ABC ＝30°，则（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）拓展延伸：在（1）的条件中，若AB ＝2，AD ＝1，若把△ADE 绕点A 旋转，当∠EAC ＝90°时，直接写出PB的长．图1 图2 备用图【答案】（1）∠ABD=∠ACE，90°；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）①∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠DAB＝∠CAE．∠ABC＝∠ACB＝45°∴△ADB≌△AEC∴∠ABD＝∠ACE，②∠BPC＝180°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣∠BCP＝180°﹣45°﹣（∠BCP+∠ACE）=180°﹣45°﹣45°=90°；（2）（1）中结论成立，理由：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB AC，同理，AD，∴AD AE AB CE，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ADB∽△AEC．∴∠ABD＝∠ACE；∠BPC＝180°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣∠BCP ＝180°﹣30°﹣60°=90°，（3）解：①当点E在线段AB上时，BE ＝AB ﹣AE ＝1．在Rt △AEC 中，由勾股定理得：CE ，易证：△ADB ≌△AEC ．∴∠DBA ＝∠ECA ．∵∠PEB ＝∠AEC ，∴△PEB ∽△AEC ． ∴PB BEAC CE =， ∴2PB=∴PB ；②当点E 在BA 延长线上时，BE ＝AB +AE ＝3． 同理得：PBBEAC CE =， ∴32PBCE =∴PB ，综上所述，PB .7.（2019·名校模考）问题发现：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝k•AC（k＞1），D是AB上一点，DE∥BC，则BD，EC的数量关系为．类比探究：（2）如图2，将△AED绕着点A顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜90°），连接CE，BD，请问（1）中BD，EC的数量关系还成立吗？说明理由.拓展延伸：（3）如图3，在（2）的条件下，将△AED绕点A继续旋转，旋转角为a（a＞90°）．直线BD，CE交于F点，若AC＝1，AB，则当∠ACE＝15°时，BF•CF的值为．图1 图2 图3 【答案】（1）BD＝k•EC；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）∵DE∥BC，∴BD CEAB AC=，AD AEAB AC=,即BD AD AB CE AE AC==,∵AB＝k•AC，∴BD＝k•EC；（2）成立，理由如下：连接BD由旋转的性质可知，∠BAD＝∠CAE∵AD ABAE AC==tan∠ADE，∴△ABD∽△ACE，∴BD ABCE AC＝k，即：BD＝k•EC；（3）BF•CF的值为2或1；由（2）知△ABD∽△ACE∴∠ACE＝∠ABD＝15°∵∠ABC+∠ACB＝90°∴∠FBC+∠FCB＝90°∴∠BFC＝90°由∠BAC＝90°，AC＝1，AB ABC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝2AC＝2，分两种情况讨论：①如图，此时，∠CBF＝30°+15°＝45°，BC＝2∴BF＝CF＝∴BF•CF＝2；②如图在BF上取点G，使∠BCG＝15°，则∠BCF＝75°，∠CBF＝∠ABC﹣∠ABD＝15°，∴∠CFB＝90°，∠GCF＝60°∴CG＝BG＝2CF，GF，BF)CF由勾股定理知：CF2+BF2＝BC2∴CF2+（CF2＝22，∴CF2＝2∴BF•CF＝（CF2＝1，即：BF•CF＝2或1．8.（2019·枫杨外国语三模）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D是直线AB上的动点，连接CD，以CD为边，在CD的左侧作等边△CDE，连接EB（1）问题发现：如图(1)，当CD⊥AB时，ED和EB的数量关系是 .（2）规律论证：如图(2)当点D在线段AB上运动时，(1)中ED，EB的数量关系是否仍然成立？若成立，请仅就图(2)加以证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由.（3）拓展应用：如图(3)当点D在直线AB上运动时，若AC，且△BCE恰好为等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的AD的长.图1 图2 图3【答案】（1）ED=EB；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE=60°，∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠BDE=30°，∵∠B=30°，∴∠BDE=∠B，∴ED=EB；（2）成立；过点C作CF⊥AB于F，过E作EH⊥BC于H，则∠CFB=∠EHC=90°，∵∠CBA=30°，∴∠BCF=60°，∵△CED是等边三角形，∴∠DCE=60°，CE=CD，∴∠ECH=∠DCF，∴△CDF≌△CEH，∴CH=CF，在Rt△CBF中，由∠CBF=30°，得：BC=2CF，∴BH=CH=CF，即H为BC中点，∵EH=EH，∠BHE=∠CHE=90°，∴△BEH≌△CEH，∴BE=CE，∵CE=DE，∴BE=DE；（3）过点C作CH⊥AB于H，如下图所示，由题意知：AC，∴AH，CHBC=2CHBE=CE=CDBC在Rt△CDH中，由勾股定理得：DH∴AD=DH－AH；②如图所示，同理可得：DH AH，∴AD=DH+AH；综上所述，符合条件的AD.9.（2017·郑州一模）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB 于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；（2）若2AB EFBC BF==，求ANDN的值.【答案】见解析．【解析】解：（1）当F为BE中点时，即BF=EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AB∥DC，∴∠MBF=∠CEF，∠BMF=∠ECF，∴△BMF≌△ECF，∴BM=EC．∵E为CD的中点，∴EC =12DC =12AB ， ∴AM =BM =EC ；（2）设MB =x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD =BC ，AB =DC ，∠A =∠ABC =∠BCD =90°，AB ∥DC ， ∴2CE EF BM BF==， ∴EC =2x ，∴AB =CD =2CE =4x ，AM =AB ﹣MB =3x ， 由2AB BC=，得BC =AD =2x ， ∵MN ⊥MC ，∴∠CMN =90°，∵∠A =90°，∴∠BMC =∠ANM ，∴△AMN ∽△BCM ， ∴AN AM BM CB=, ∴32AN x x x=， ∴AN =32x ，ND =AD ﹣AN =12x ， ∴AN DN =3. 10. (2019·郑州名校二模) 如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．图1 图2 【答案】见解析.【解析】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN＝12 BD，同理：PM∥CE，PM＝12 CE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．由旋转性质知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，由（1）中知：PN＝12BD，PM＝12CE，PM∥CE，PN∥BD，∴PM＝PN，∠DPM＝∠DCE，∠PNC＝∠DBC，∴△PMN是等腰三角形，∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝12 BD，∴当PM最大时，即BD最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，BD最大，最大值为：BD＝AB+AD＝14，即PM＝7，∴S△PMN最大＝12PM2＝492。

2020年中考数学三轮易错复习：专题12 类比、探究类综合题之全等知识【例1】（2019·济源一模）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）探索发现如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE．填空：BP与CE的数量关系是，CE与AD的位置关系是．（2）归纳证明当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）（3）拓展应用如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=BE=ADPE 的面积．图1 图2图3 图4【变式1-1】（2019·周口二模）在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线AB上一动点，连接CM，以点C为直角顶点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN，连接NB．（1）如图1，图2，若△ABC为等腰直角三角形，问题初现：①当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，则线段BN，AM之间的位置关系是_____________，数量关系是______________；深入探究:②当点M 在线段AB 的延长线上时，判断线段BN ，AM 之间的位置关系和数量关系，并说明理由；类比拓展:（2）如图3，∠ACB ≠90°，若当点M 为线段AB 上不与点A 重合的一个动点，MP ⊥CM 交线段BN 于点P ，且∠CBA =45°，BC=BM =_________时，BP 的最大值为__________．图1 图2图3【例2】（2018·洛阳三模）在正方形ABCD 中，动点E 、F 分别从D 、C 两点出发，以相同的速度在直线DC ，CB 上移动.（1）如图1，当点E 在边CD 上自D 向C 移动，同时点F 在边CB 上自C 向B 移动时，连接AE 和DF 交于点P ，请你写出AE 与DF 的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，当E ，F 分别在边CD ，BC 的延长线上移动时，连接AE ，DF ，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC ，请你直接写出△ACE 为等腰三角形时CE ：CD 的值；（3）如图3，当E ，F 分别在直线DC ，CB 上移动时，连接AE 和DF 交于点P ，由于点E ，F 的移动，使得点P 也随之运动，请你画出点P 运动路径的草图．若AD =2，试求出线段CP 的最大值．【变式2-1】（2019·西华县一模）如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且CE =BF ．连接DE ，过点E 作EG ⊥DE ，使EG =DE ，连接FG ，FC ．（1）请判断：FG 与CE 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图2，若点E ，F 分别是边CB ，BA 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？图1CBMNABC图2图3CB AMNP请作出判断并给予证明；（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．图1 图2 图3强化精炼：1.（2019·河南南阳一模）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°<α<180°）得到AB’，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC’，连接B’C’，当α+β=180°时，我们称△AB’C’是△ABC的“旋补三角形”，△AB’C’边B’C’上的中线AD是△ABC的旋补中线，点A叫旋补中心.特例感知：（1）在图2，图3中，△AB’C’是△ABC的“旋补三角形”，△AB’C’边B’C’上的中线AD是△ABC 的旋补中线，①如图2，当△ABC是等边三角形时，AD与BC的数量关系是②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD的长为猜想论证：（2）如图1，当△ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.2.（2019·郑州外国语测试）已知如图1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，DE⊥AB 交BC于E，点F是AE的中点，（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；（2）如图2所示，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α<90°），其它条件不变，线段FD与线段FC 的关系是否变化，写出结论并证明；（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC=4，BE，直接写出线段BF的范围.3.（2019·偃师一模）特殊：（1）如图 1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°．作CM平分∠ACB 交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD，BE．填空：①线段BD，BE的数量关系为；②线段BC，DE的位置关系为．一般：（2）如图 2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=α，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC 外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE，BD，BE．请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由．特殊：（3）如图 3，在等边三角形ABC中，作BM平分∠ABC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD，AE．若AB=4，当△ADM与△AFD全等时，请直接写出DE的值．图1 图2 图34.（2019·省实验一模）观察猜想（1）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是，BE+BF＝；探究证明（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE 绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝a，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，a的式子直接写出结论．图1 图2 图35.（2019·濮阳二模）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC 交AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE．（1）特例猜想如图1，当α＝90°时，试猜想：①AF与BE的数量关系是；②∠ABE＝；（2）拓展探究如图（2），当0°＜α＜90°时，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，AC＝BC，AB＝8，∠ACB＝α，点D在射线BC上，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE，当BD＝3CD时，请直接写出BE的长度．图1 图2 图36.（2019·开封二模）问题发现如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D作DE∥AC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系？拓展探究如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明．问题解决如果△ABC的边长等于AD＝2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD的长．图1 图2 备用图7.（2019·安阳二模）（1）问题发现：如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，则AB，AD，DC之间的数量关系为．（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，点F是DC的延长线上一点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论（3）问题解决：如图3，AB∥CD，点E在线段BC上，且BE：EC＝3：4．点F在线段AE上，且∠EFD ＝∠EAB，直接写出AB，DF，CD之间的数量关系．图1 图2 图38.（2019·中原名校大联考）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点，（1）【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是，位置关系是．（2）【探究证明】把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由；（3）【拓展延伸】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出线段AP长度的最大值和最小值．图1 图29.（2018·新乡一模）如图1，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠A是公共角.（1）BD与CE的数量关系是：；（2）把图1的△ABC绕点A旋转一定的角度，得到如图2所示的图形.①求证：BD＝CE；②BD与CE所在直线的夹角与∠DAE的数量关系是什么？说明理由.（3）若AD=10，AB=6，把图1中的△ABC绕点A顺时针旋转α度(0°<α≤360)直接写出BD长度的取值范围.图1 图210.（2019·河南模拟）【问题探索】（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D，E分别在AC、BC边上，DC=CE，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN. 探索BE与MN的数量关系. 聪明的小华推理发现PM、PN的关系为，最后推理得到BE与MN的数量关系为.【深入探究】（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；2020年中考数学三轮易错复习：专题12 类比、探究类综合题之全等知识【例1】（2019·济源一模）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）探索发现如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE．填空：BP与CE的数量关系是，CE与AD的位置关系是．（2）归纳证明当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）（3）拓展应用如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=BE=ADPE 的面积．图1 图2图3 图4 【答案】（1）BP=CE，CE⊥AD；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）连接AC，延长CE至AD，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠BAD=120°，∴∠BAC=60°，∠CAD=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵△APE是等边三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠BAP=∠CAE，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，∵∠ABC=60°，∴∠ABP=30°，∵△BAP≌△CAE，∴∠ABP=∠ACE=30°，∵∠CAD=60°，∴∠ACE+∠CAD=90°，即CD⊥AD.（2）结论仍然成立，理由如下：（以图2为例）连接AC，设CE与AD交于点H，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△APE是等边三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠BAP=∠CAE，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，∠ACE=∠ABP=30°，∵∠CAH=60°，∴∠AHC=90°，即CE⊥AD；（3）连接AC交BD于O，连接CE，由（2）知，CE⊥BC，∵AB=，BE=在Rt△BCF中，由勾股定理得：CE=8，由△BAP≌△CAE，得：BP=CE，BD=6，∴DP=BP－BD=2，AO在Rt△AOP中，由勾股定理得：AP=∴S=S△ADP+S△APE=(2122⨯【变式1-1】（2019·周口二模）在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线AB上一动点，连接CM，以点C为直角顶点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN，连接NB．（1）如图1，图2，若△ABC为等腰直角三角形，问题初现：①当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，则线段BN，AM之间的位置关系是_____________，数量关系是______________；深入探究:②当点M在线段AB的延长线上时，判断线段BN，AM之间的位置关系和数量关系，并说明理由；类比拓展:（2）如图3，∠ACB≠90°，若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，MP⊥CM交线段BN于点P，且∠CBA=45°，BC=BM=_________时，BP的最大值为__________．图1 图2 图3【答案】（1）BN⊥AM，BN=AM；（2）见解析，（3）2， 1.【解析】解：（1）由AC=BC，∠ACM=∠BCN，CM=CN，可证△ACM≌△BCN，∴BN=AM，∠A=∠CBN=45°，∴∠ABN=90°，即BN⊥AM.（2）BN⊥AM，BN=AM；理由如下：图1CBMNA BC图2图3CBA MNP∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC =BC ，∠A =∠ABC =45°，∠ACB =90°， 同理，∠NCM =90°，NC =MC , ∴∠ACM =∠BCN ， ∴△ACM ≌△BCN ，∴BN =AM ，∠A =∠CBN =45°， ∴∠ABN =90°，即BN ⊥AM .(3)过C 作CG ⊥BC 交BA 的延长线于G ，过C 作CH ⊥AB 于H ，如图所示，易证△GCM ≌△BCN ， 由（2）知，BN ⊥AB ， ∴△CHM ∽△MBP ，∴CH HMBM BP =, 即44BM BM BP-=, 设BM =x ， 则BP =()21214x -+， ∴当BM =2时，BP 取最小值，最小值为1.【例2】（2018·洛阳三模）在正方形ABCD 中，动点E 、F 分别从D 、C 两点出发，以相同的速度在直线AGDC，CB上移动.（1）如图1，当点E在边CD上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最大值．【答案】见解析.【解析】解：（1）AE=DF，AE⊥DF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，由题意知：DE=CF，∴△ADE≌△DCF，∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，∵∠ADE=90°，∴∠ADP+∠CDF=90°，∴∠ADP+∠DAE=90°，∴∠APD=180°﹣90°=90°，∴AE⊥DF；（2）（1）中的结论还成立，CE：CD或2，理由如下：①如图，当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=CE a，则CE：CD a：a；②如图，当AE=AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=AE a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，即AD⊥CE，∴DE=CD=a，∴CE：CD=2a：a=2；故，CE：CD或2；（3）∵点P在运动中∠APD=90°，∴点P的路径是以AD为直径的圆，如图，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆Q于点P，此时CP的长度最大，在Rt△QDC中，由勾股定理得：QC，∴CP=QC+QP，即线段CP．【变式2-1】（2019·西华县一模）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．图1 图2 图3【答案】（1）FG=CE，FG∥CE；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）FG=CE，FG∥CE；∵BF=CE，BC=CD，∠FBC=∠DCE=90°，∴△BCF≌△CDE，∴∠DEC=∠CFB，∵∠CFB+∠FCB=90°，∴∠DEC+∠FCB=90°，即CF⊥DE，∵DE⊥EG，∴EG∥CF，∴EG=DE=CF，∴四边形FCEG是平行四边形，∴FG=CE，FG∥CE；（2）∵BF=CE，BC=CD，∠FBC=∠DCE=90°，∴△BCF≌△CDE，∴∠DEC=∠CFB，CF=DE，∵∠CFB+∠FCB=90°，∴∠DEC+∠FCB=90°，即CF⊥DE，∵DE⊥EG，∴EG∥CF，∴EG=DE=CF，∴四边形FCEG是平行四边形，∴FG=CE，FG∥CE；（3）成立．由上可证：△CBF≌△DCE，得：∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵EG=DE，∴CF=EG，∵DE⊥EG∴∠DEC+∠CEG=90°∵∠CDE+∠DEC=90°∴∠CDE=∠CEG，∴∠BCF=∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形CEGF平行四边形，∴FG∥CE，FG=CE．强化精炼：1.（2019·河南南阳一模）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°<α<180°）得到AB’，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC’，连接B’C’，当α+β=180°时，我们称△AB’C’是△ABC的“旋补三角形”，△AB’C’边B’C’上的中线AD是△ABC的旋补中线，点A叫旋补中心.特例感知：（1）在图2，图3中，△AB’C’是△ABC的“旋补三角形”，△AB’C’边B’C’上的中线AD是△ABC 的旋补中线，①如图2，当△ABC是等边三角形时，AD与BC的数量关系是②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD的长为猜想论证：（2）如图1，当△ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.【分析】（1）①由△ABC是等边三角形，得AB=BC=AC=AB’=AC’，∠BAC=60°，∠BAC+∠B’AC’=180°，得∠B’=∠C’=30°，即BC=2AD；②可利用“直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半”，证得：BC=2AD，AD=4；（2）BC=2AD，利用倍长中线构造全等三角形，延长AD至M使DM=AD，连接B’M，C’M，证得△ABC≌△B’AM，得BC=AM，BC=2AD.【解析】解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=AB’=AC’，∠BAC=60°，∵DB’=DC’，∴AD⊥B’C’，∵BAC+∠B’AC’=180°，∴∠B’AC’=120°，∴∠B’=∠C’=30°，∴BC=2AD，即：答案为BC=2AD.②∵∠BAC=90°，BAC+∠B’AC’=180°，∴∠B’AC’=∠BAC=90°∵AB=AB’，AC=AC’，∴△BAC≌△B’AC’，∴BC=B’C’，∵B’D=DC’，∴BC=2AD，∵BC=8，∴AD=4；（2）结论：BC=2AD，理由如下：如图，延长长AD至M使DM=AD，连接B’M，C’M，∵AD=DM，B’D=DC’，∴四边形AC’MB’是平行四边形，∴AC’=B’M=AC，∵∠BAC+∠B’AC’=180°，∠AB’M+∠B’AC’=180°，∴∠BAC=∠AB’M，∵AB=AB’，∴△BAC≌△AB’M，∴BC=AM，即BC=2AD.2.（2019·郑州外国语测试）已知如图1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，DE⊥AB 交BC于E，点F是AE的中点，（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；（2）如图2所示，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α<90°），其它条件不变，线段FD与线段FC 的关系是否变化，写出结论并证明；（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC=4，BE，直接写出线段BF的范围.【答案】见解析.【解析】解：（1）FD=FC，FD⊥FC，理由如下：由题意知：∠ADE=∠ACE=90°，AF=EF，∴DF=AF=EF=CF，∴∠FAD=∠FDA，∠FAC=∠FCA，∴∠DFE=∠FDA+∠FAD=2∠FAD，∠EFC=2∠FAC，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠B=45°，∴∠DFC=∠EFD+∠EFC=2（∠FAD+∠FAC）=90°，∴FD=FC，FD⊥FC.（2）结论不变，理由如下：延长AC至M使得CM=AC，延长ED至N，使DN=DE，连接BN、BM、EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O，如图所示，∵BC⊥AM，AC=CM，∴AB=BM，同理得：BE=BN，∵∠ABM=∠EBN，∠NBA=∠EBM，∴△ABN≌△MBE，∴AN=EM，∠BAN=∠BME，∵AF=FE，AC=CM，∴CF=12EM，CF∥EM，同理，FD=12AN，FD∥AN，∴FD=FC，∵∠BME+∠BOM=90°，∠BOM=∠AOH，∴∠BAN+∠AOH=90°，∴∠AHO=90°，即AN⊥MH，∴FD⊥FC.（3）由题意知，当点E落在线段AB上时，BF的长最大，如图所示，此时BF，当点E落在AB的延长线上时，BF的长最小，如图所示，此时，BF，≤BF.3.（2019·偃师一模）特殊：（1）如图 1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°．作CM平分∠ACB 交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD，BE．填空：①线段BD，BE的数量关系为；②线段BC，DE的位置关系为．一般：（2）如图 2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=α，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC 外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE，BD，BE．请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由．特殊：（3）如图 3，在等边三角形 ABC 中，作 BM 平分∠ABC 交 AC 于点 M ，点 D 为射线 BM 上一点，以点 B 为旋转中心将线段 BD 逆时针旋转 60°得到线段 BE ，连接 DE 交射线 BA 于点 F ，连接 AD ，AE ．若 AB =4，当△ADM 与△AFD 全等时，请直接写出 DE 的值．图1 图2图3【答案】（1）BD =BE ，BC ⊥DE ；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）由题意知：∠ACM =∠BCM =45°，由旋转知，∠DCE =90°，CD =CE ，∴∠ECB =∠DCB =45°，∵BC =BC ，∴△BCD ≌△BCE ，∴BD =BE ，∵CD =CE ，∴BC 是线段DE 的垂直平分线，∴BC ⊥DE ，（2）成立，理由如下，∵CM 平分∠ACB ，∠ACB =α，∴∠ACM =∠BCM =2α，由旋转知，∠DCE =α，CD =CE ，∴∠BCD =∠BCE =2α又∵BC =BC ，∴△BCD ≌△BCE ，∴BD =BE ，∵CD =CE ，∴BC 是线段DE 的垂直平分线，∴BC ⊥DE .（3）①如图3，可证得：∠ABE =∠ABD =30°，AB ⊥DE ，由△ADM ≌△ADF ，得：∠FAD =∠MAD =30°，∴AF =BF =2，∴DE =2DF ，在Rt △ADF 中，DF =AF ·tan ∠DAF即DE. ②如下图所示，同理，得∠FBD =30°，AB =AD =4，∠ADF =∠ADM =30°，∴DE =2DF综上所述，DE4.（2019·省实验一模）观察猜想（1）如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝3，点D 与点A 重合，点E 在边BC 上，连接DE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接BF ，BE 与BF 的位置关系是 ，BE +BF ＝ ；探究证明B（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE 绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝a，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，a的式子直接写出结论．图1 图2 图3【答案】（1）BF⊥BE；BC；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）∵∠EAF＝∠BAC＝90°，∴∠EAF－∠BAE＝∠BAC－∠BAE,∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△BAF≌△CAE，∴∠ABF＝∠C，BF＝CE，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝90°，BC＝BE+EC＝BE+BF，故答案为: BF⊥BE，BC．（2）过D作DH∥AC交BC于H，∵DH∥AC，∴∠BDH＝∠A＝90°，△DBH是等腰直角三角形，由（1）可证得：BF ⊥BE ，BF +BE ＝BH ，∵AB ＝AC ＝3，AD ＝1，∴BD ＝DH ＝2，∴BH ＝，∴BF +BE ＝BH ＝；（3）过D 作DH ∥AC 交BC 的延长线于H ，作DM ⊥BC 于M ．∵AC ∥DH ，∴∠ACH ＝∠H ，∠BDH ＝∠BAC ＝α，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB∴∠DBH ＝∠H ，∴DB ＝DH ，∵∠EDF ＝∠BDH ＝α，∴∠BDF ＝∠HDE ，∵DF ＝DE ，DB ＝DH ，∴△BDF ≌△HDE ，∴BF ＝EH ，∴BF +BE ＝EH +BE ＝BH ，∵DB ＝DH ，DM ⊥BH ，∴BM ＝MH ，∠BDM ＝∠HDM ，∴BM ＝MH ＝BD •sin2α． ∴BF +BE ＝BH ＝2n •sin 2α． 5.（2019·濮阳二模）在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝α，点D 为直线BC 上一动点，过点D 作DF ∥AC 交AB 于点F ，将AD 绕点D 顺时针旋转α得到ED ，连接BE ．（1）特例猜想如图1，当α＝90°时，试猜想：①AF与BE的数量关系是；②∠ABE＝；（2）拓展探究如图（2），当0°＜α＜90°时，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，AC＝BC，AB＝8，∠ACB＝α，点D在射线BC上，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE，当BD＝3CD时，请直接写出BE的长度．图1 图2 图3【答案】（1）AF＝BF，90°；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）设AB交DE于O．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C＝90°，∴∠DFB＝∠DBF＝45°，∴DF＝DB，∵∠ADE＝∠FDB＝90°，∴∠ADF＝∠EDB，∵DA＝DE，∴△ADF≌△EDB，∴AF＝BE，∵∠AOD＝∠EOB，∴∠ABE＝∠ADO＝90°，所以答案为AF＝BF，90°．（2）结论：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：∵DF‖AC∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB，∴∠ABC＝∠DFB，∴DB＝DF，∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，即∠ADF＝∠EDB，∵AD＝DE，∴△ADF≌△EDB，∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，∴∠ABE＝∠FDB＝α．（3）分两种情况讨论：①当点D在线段BC上时，由（2）可知：BE＝AF，∵DF∥AC，∴14 AF CDBA BC==，∵AB＝8，∴AF＝2，②当点D在BC的延长线上时，∵AC∥DF，∴12 AF CDBA BC==，∵AB＝8，∴AF＝4，即BE=4，综上所述，BE的长度为2或4．6.（2019·开封二模）问题发现如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D作DE∥AC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系？拓展探究如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明．问题解决如果△ABC的边长等于AD＝2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD的长．图1 图2 备用图【答案】见解析．【解析】解：（1）如图1，BD＝CE，理由是：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵DE∥BC，∴△ADE是等边三角形，即AD=AE，∴BD＝CE；（2）结论仍然成立，由图1得：AD＝AE，由旋转性质得：∠BAD＝∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE；（3）分两种情况讨论，①如图所示，过D作DG⊥AB，垂足为G，∵AF⊥DE，AD=AE，∴∠DAF＝∠EAF＝30°，∴∠BAD＝30°，由AD＝2，得：DG＝1，AG由AB＝BG，由勾股定理得：BD＝2．②如图，由（2）中证明可知：△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∵AD＝AE，DE⊥AC，∠ADE＝60°∴∠EAF＝∠FAD＝30°，∴EF＝FD＝12AD＝1，∴AF，∴CF＝AC+CF＝，在Rt△EFC中，由勾股定理得：EC＝，∴BD＝EC＝，综上所述，BD的长为2或．7.（2019·安阳二模）（1）问题发现：如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，则AB，AD，DC之间的数量关系为．（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，点F是DC的延长线上一点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论（3）问题解决：如图3，AB∥CD，点E在线段BC上，且BE：EC＝3：4．点F在线段AE上，且∠EFD ＝∠EAB，直接写出AB，DF，CD之间的数量关系．图1 图2 图3【答案】（1）AD＝AB+CD；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）结论：AD＝AB+CD．理由：∵AB∥CF，∴∠CFE＝∠EAB，∵CE＝EB，∠CEF＝∠AEB，∴△CEF≌△BEA，∴AB＝CF．∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠EAB，∵∠EAB＝∠CFE，∴∠DAF＝∠DFA，∴AD＝DF，∵DF＝DC+CF＝CD+AB，∴AD＝AB+CD．（2）结论：AB＝AF+CF．理由：延长AE、DC交于G，∵AB∥DG，∴∠G＝∠EAB，∵CE＝EB，∠CEG＝∠BEA，∴△CEG≌△BEA，∴AB＝CG，∠G＝∠EAB，∵AE平分∠FAB，∴∠FAG＝∠EAB，∵∠G＝∠EAB，∴∠FAG＝∠G，∴FA＝FG，∵CG＝CF+FG＝CF+AF，∴AB＝AF+CF．（3）结论：AB＝34（CD+DF）．延长AE、CD交于G．∵CG∥AB，∴34BE ABCE CG==，∠G＝∠A，∴AB＝34 CG，∵∠DFE＝∠A，∴∠DFG＝∠G，∴DF＝DG，∴CD+DF＝CD+DG＝CG，∴AB＝34（CD+DF）．8.（2019·中原名校大联考）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点，（1）【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是，位置关系是．（2）【探究证明】把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由；（3）【拓展延伸】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出线段AP长度的最大值和最小值．图1 图2【答案】（1）AP＝12BE，PA⊥BE；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）设PA交BE于点O．∵AD＝AE，AC＝AB，∠DAC＝∠EAB，∴△DAC≌△EAB，∴BE＝CD，∠ACD＝∠ABE，∵∠DAC＝90°，DP＝PC，∴PA＝12CD＝PC＝PD，∴PA＝12BE，∠C＝∠PAE，∵∠CAP+∠BAO＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠AOB＝90°，∴PA⊥BE，（2）结论成立．理由：延长AP至M，使PM＝PA，连接MC，延长PA交BE于O．∵PA＝PM，PD＝PC，∠APD＝∠CPM，∴△APD≌△MPC，∴AD＝CM，∠ADP＝∠MCP，∴AD∥CM，∴∠DAC+∠ACM＝180°，∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠EAB＝∠ACM，∵AB＝AC，AE＝CM，∴△EAB≌△MCA，∴BE＝BM，∠CAM＝∠ABE，∵PA＝12AM，PA＝12BE，∵∠CAM+∠BAO＝90°，∴∠ABE+∠BAO＝90°，∴∠AOB＝90°，∴PA⊥BE．（3）∵AC＝10，CM＝4，∴10﹣4≤AM≤10+4，∴6≤AM≤14，∵AM＝2AP，∴3≤PA≤7．∴PA的最大值为7，最小值为3．9.（2018·新乡一模）如图1，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠A是公共角.（1）BD与CE的数量关系是：；（2）把图1的△ABC绕点A旋转一定的角度，得到如图2所示的图形.①求证：BD＝CE；②BD与CE所在直线的夹角与∠DAE的数量关系是什么？说明理由.（3）若AD=10，AB=6，把图1中的△ABC绕点A顺时针旋转α度(0°<α≤360)直接写出BD长度的取值范围.图1 图2【答案】（1）=；（2）（3）见解析.【解析】解：∵AD =AE ，AB =BC ，∴AD －AB =AE －AC ，即BD =CE ；（2）①∵∠DAE =∠BAC ，∴∠DAE +∠BAE =∠BAC +∠BAE .即∠BAD =∠CAE .在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACE （SAS ）∴BD=CE.②BD 与CE 所在直线的夹角与∠DAE 的度数相等.延长DB 交CE 于点F .∵△ABD ≌△ACE ，∴∠ADB =∠AEC∵∠AOD =∠EOF ， ∴180°-∠ADB -∠AOD =180°-∠AEC -∠EOF ，即∠DAE =∠DFE③当B 在线段AD 上时，BD 最小，最小值为10－6=4；当B 在线段DA 延长线上时，BD 最大，最大值为10+6=16，即4≤BD ≤16.10.（2019·河南模拟）【问题探索】（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D ，E 分别在AC 、BC 边上，DC =CE ，连接DE 、AE 、BD ，点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点，连接PM 、PN 、MN . 探索BE 与MN 的数量关系. 聪明的小华推理发现PM 、PN 的关系为 ，最后推理得到BE 与MN 的数量EC关系为.【深入探究】（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；【答案】见解析.【解析】解：（1）PM=PN，PM⊥PM；BE MN；∵AM=ME，AP=PB，∴PM∥BE，PM=12 BE，同理：PN∥AD，PN=12 AD，∵AC=BC，CD=CE，∴AD=BE，∴PM=PN，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∴∵PM∥BC，PN∥AC，∴PM⊥PN，∴△PMN的等腰直角三角形，∴MN PM，∴MN×12 BE，∴BE MN.（2）结论仍然成立．连接AD、延长BE交AD于点H．∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴CD=CE，CA=CB，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠ECB，∴△ECB≌△DCA，∴BE=AD，∠DAC=∠EBC，∠AHB=180°-（∠HAB+∠ABH）=180°-（45°+∠HAC+∠ABH）=∠180°-（45°+∠HBC+∠ABH）=90°，∴BH⊥AD，∵M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，∴PM∥BE，PM=12BE，PN∥AD，PN=12AD，∴PM=PN，∠MPN=90°，∴BE=2PM MN MN．。

类比探究专练训练1、(2020年辉县，一摸）问题发现：如图，在正方形ABCD中，点E 是BC上的动点,点F是CD上的动点，∠EAF=45°，则线段BE,EF,DF 之间的数量关系是（）（截长补短）延长CB到G，使得BG=DF，再证全等（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E是1∠BAD，则线段BE,EF,DF BC上的动点，点F是CD上的动点，∠EAF=2之间有什么数量关系？并说明理由（3）①如第二个图，点E在CB的延长线上，F是直线CD上的动点，（2）中的其他条件不变，请直接写出线段BE,EF,DF之间的数量关系是（）②如下图，若∠B+∠D≠180°（2）中的其他条件不变，请直接写出线段BE,EF,DF之间的数量关系是（）旋转结构1、在△ABC和△ADE中，BA=BC,DA=DE,且∠ABC=∠ADE=α，点E在△ABC的内部，连接EC,EB,EA,BD，并且∠ACE+∠ABE=90°观察猜想：（1）如图，当α=60°时，线段BD和CE的数量关系为（），线段EA,EB,EC的数量关系为（）（2）如图，当α=90°时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，请说明理由（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若BC=52,请直接写出△BDE 的面积222102522121=∴=∴=→===∴===∴BD m AB BC AD EC DE DE BD AE AD EC BD AEC ADB ΘΘΘ又∽△△/2（2019年郑州一中三模）等腰直角三角形ABC 中，AC=BC=24,E 为AC 中点，以CE 为斜边作如图所示等腰直角三角形CED ， （1）观察猜想：如图，过点D 作DF ⊥AE 于点F ，交AB 于点G ，线段CD 与BG 的关系为（ ）延长CD交AB于点H，CD⊥BG，且CD=BG（2）如图，将△CDE绕点C顺时针旋转到如图所示位置，过点D作DF⊥AE于点F，过点B作DE的平行线与直线FD交于点G，（1）中结论是否成立？请说明理由过点C作GH⊥CE，交ED的延长线于点H，△BCH和△ACE属于旋转全等，易证BH⊥AE，∵DF⊥AE，∴BH∥DF,∵BG∥HE，∴BHDG是平行四边形,∴CD⊥BG，且CD=BG（3）拓展延伸：如图所示，点E，D,G共线时，直接写出DG的长度3、（2019年周口二模）在△ABC中，∠ABC是锐角，点M在射线AB上运动，连接CM，将线段CM绕点C逆时针旋转90°，得到CN，连接MN．（1）问题初现：若BC=A C，∠ABC=90°，当M在线段AB上时（不与点A重合），如图1所示，请你直接写出线段BN和AM的位置关系是________，数量关系是__________；（2）深入探究：当M在线段AB的延长线上时，如图2所示，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断；（3）类比拓展：如图，∠ACB≠90°，点M在线段AB上运动且不与点A重合，MP⊥CM交线段BN于点P，且∠CBA=45°，BC=24，当BM=（）时，BP的最大值为（）/4、在△ABC中，若AB=AC，∠BAC=90°，D为直线BC上一动点（不与点B,C重合），以AD为腰作等腰直角三角形DAE，使∠DAE=90°，连接CE（1）观察猜想：如图1所示，当D在线段B C上时，BC和CE 的位置关系是（），CE,DC,BC之间的数量关系为（）EDCBA（2）数学思考：当D 在线段CB 的延长线上时，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断；（3）拓展延伸：当点D 在线段BC 的延长线上时，将△DAF 沿线段DE 翻折，使得点A 与点E 重合，连接CE,CF,若4CD=BC ，AC=22,请直接写出线段CF 的长CF235、在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P在射线BD上，以AP为边向右侧作等边△APF，点F的位置随着点P的位置变化而变化（1）当点F在菱形ABCD内部或边上时，连接CF,BP与CF的数量关系是（）CF与AD的位置关系是（）当点F在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由（3）当点P 在线段BD 的延长线上时，连接BF ，若AB=32,BF=192,求四边形ADPF 的面积6、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D为射线BC 上任意一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE（1）如图，当点D在BC边上（不与点B,C重合）时，请直接写出∠BCE的度数（2） 如图，当点D 在BC 的延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）如图，在（2）的条件下，连接ED 并延长，交AC 的延长线于点F,若AC=4,AD=6，请直接写出线段CF 的长594661353135324541=∴=∴==∴︒=∠+∠︒=∠+∠︒=∠=∠FC FA DC FDAC DA DA FA DACFAD F ∽△△，7、（2015年河南中考卷22题）如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ．将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现①当︒=0α时，_____________=BD AE； ②当︒=180α时，__________AEBD=． BCA图1D E2545252,4548,4==∴====∴=∴==BD AE EC AE DC BD AC BC AB251256125652,54==∴==∴==BD AE BD AE CE AC（2）拓展探究试判断：当0°≤α<360°时，DBAE的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．EDAC图225854212154,8,4524,2===∴∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∠=∠=====∴==BC AC BD AE BCD ACE CA CE BCD ACE BC CD AC BC AB CE DC DE ∽△△Θ（3）问题解决当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．备用图AC541181,41815421,41==∴∴∴====∴=====AC BD ABCD BC AD CD AB AD AC E D CD AB 是矩形由勾股定理算出/8、（2019年南阳模拟）（1）在等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形CFE 中，∠BAC=∠EFC=90°,当点E,A 重合时，BE,AF 的数量关系是（ ）（2）将△CEF 绕点C 旋转，连接BE,AF ，线段BE 和AF 的数量关系有无变化？仅就下图给出证明22121==∴∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∠=∠=ACBCAF BE ACF BCE CFCE ACF BCE BC AC ∽△△ （3）当AB=AC=2,△CEF 旋转到B,E,F 三点共线时，直角写出线段AF 的长⎪⎩⎪⎨⎧+=-=∴=⎪⎩⎪⎨⎧+=-==∴===∴131322626622222121AF AF AF BE BE BE BF BC EF CF ACF BCE 相似比是∽△△Θ最小时，底当且仅当PQ mm m m S S s ABCPQC A PQB 33213311=-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=-= ()m m m m b a abb a 32302222•≥+∴≥-≥+Θ9、（2019年焦作一模）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD =AE ，连接DC ，BE ，点P 为DC 的中点．（1）观察猜想图1中，线段AP 与BE 的数量关系是________，位置关系是________； （2）探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，小航猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小航的猜想； （3）拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =4，AB =10，请直接写出线段AP 的取值范围．PEDA BC 图1()BE AP BE CD AP ⊥==,21211()BE AP BE AP ⊥=,212倍长中线法：延长AP 到F ，使得PF=AP 易证AD=CF=AEACF BAE AC AB ACF BAE CF AE ςς≌∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠= ()410410213+≤≤-=BE BEAP/10、(2019年镇平三模）如图，已知直角三角形ABC ，∠ACB=90°，∠BAC=30°，点D 是AC 边上一点，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连接BD ，点F 是BD 的中点，连接EF,CF（1）发现问题：线段EF,CF 之间的数量关系为（ ）；∠EFC 的度数为（ ） （2）拓展与探究：若将△AED 绕点A 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°）如图所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由取AB,AD 的中点M,N ，易证ANFM 是平行四边形 ∴MF=AN=NE=ND NF=AM=MB=MC∠BMF=∠MAN=∠FND∴∠ENF=60°-∠FND=∠FMC=60°-∠BMFFCEF ENF FMC NFMC ENF FMC NE MF =∴∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=ςς≌ ()()︒=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠120FBC ABD FCB MCF FCB FBC ABD MCF DFCABD MCF DFC NFD EFN EFC （3）拓展与运用：如图所示，将△AED 绕点A 旋转的过程中，当点D 落在AB 边上时，AB 边上另有一个点G ，AD=DG=GB,BC=3，连接EG ，请直接写出EG 的长度()735.05.222=+=EG11、（2019年新乡模拟）在等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=4,AE=2,其中△ABC 固定，△ADE 绕点A 做旋转，点F,M,N 分别为线段BE,BC,CD 的中点，连接MN,NF（1）问题提出：如图，当AD 在线段AC 上，∠MNF 的度数为（ ）线段MN 和NF 的数量关系为（ ）辅助线作法：连接CE,BD,并延长BD交CE于点G易证△BAD≌△CAE,得到BD=CE,BD⊥CE由中位线定理知：MN和MF相等且垂直，∴∠MNF=45°（2）深入讨论：如图，当AD不在线段AC上时，请求出∠MNF的度数，线段MN和NF的数量关系辅助线作法：连接CE,BD,易证△BAD≌△CAE,得到BD=CE,BD⊥CE由中位线定理知：MN和MF相等且垂直，∴∠MNF=45°（3）拓展延伸：如图，△ADE持续旋转过程中，若CE与BD交点为P，则△BCP面积的最小值为（）以点A为圆心AD长为半径作圆，当PB与圆相切时，点P到BC的距离最小，△BCP的面积最小△ABD≌△ACE可证出ADPE为正方形12、(2019年宛城一模）已知在△ABC中，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°。

类比、拓展类探究1．(1)【观察猜想】如图①，点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则线段BC、BD、CE之间的数量关系为________；(2)【问题解决】如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝4，AB＝2，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连接BD，求BD的长；(3)【拓展延伸】如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，CB＝4，AB＝2，DC＝DA，请直接写出BD的长．第1题图解：(1)BC＝CE＋BD；【解法提示】∵∠B＝90°，∠DAE＝90°，∴∠D＋∠DAB＝∠DAB＋∠EAC＝90°，∴∠D＝∠EAC，∵∠B＝∠C＝90°，AD＝AE,∴△ADB≌△EAC，∴BD＝AC，EC＝AB，∴BC＝AB＋AC＝CE＋BD；(2)如解图①，过点D 作DE ⊥AB 交BA 的延长线于点E ，第1题解图①易证△ABC ≌△DEA ， ∴DE ＝AB ＝2，AE ＝BC ＝4， ∴BE ＝AB ＋AE ＝6，在Rt △BED 中，由勾股定理得BD ＝62＋22＝210； (3)BD 的长为3 2.【解法提示】如解图②，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，作DF ⊥AB 交BA 的延长线于点F ，则四边形BEDF 为矩形．第1题解图②易证△CED ≌△AFD ， ∴CE ＝AF ，ED ＝DF ， ∴四边形BEDF 为正方形， ∴BE ＝DF ＝BF ＝DE . 设AF ＝x ，DF ＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝42＋x ＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3， ∴BF ＝2＋1＝3，DF ＝3，在Rt△BDF中，由勾股定理得BD＝32＋32＝3 2.2．已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE＝OA，以OB，OC为邻边作▱OBFC，连接OF，与BC交于点H，连接EF.【问题发现】(1)如图①，若△ABC为等边三角形，线段EF与BC的位置关系是________，数量关系为________；【拓展探究】(2)如图②，若△ABC为等腰直角三角形(BC为斜边)，(1)中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确结论再给予证明；【解决问题】(3)如图③，若△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝2，BC＝3，请你直接写出线段EF的长．第2题图解：(1)EF⊥BC，EF＝3BC；【解法提示】如解图①，连接AH，第2题解图①∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，AH⊥BC，∴AH＝32BC，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH∥EF，AH＝12EF，∴EF⊥BC，32BC＝12EF，∴EF⊥BC，EF＝3BC.(2)EF⊥BC仍然成立，但EF＝BC.证明：如解图②，连接AH，第2题解图②∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AH⊥BC，AH＝BH＝12BC，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH∥EF，AH＝12EF，∴EF⊥BC，12BC＝12EF，∴EF⊥BC，EF＝BC；(3)线段EF的长为7.【解法提示】如解图③，连接AH，第2题解图③∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝2，BC＝3，∴AH＝AB2－BH2＝7 2，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，∴EF＝2AH＝7.3．在等边△ABC中，F为BC的中点，D为BC上的动点，以AD为边作等边△ADE，过点F作AB的平行线FG，交AE于点G.【特例发现】(1)如图①，当点D 与点F 重合时，直线CE 和AB 的位置关系是________；DG 与AE 的位置关系是________．【类比探究】(2)如图②，当点D 移动到如图所示的位置时，上述结论还成立吗？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．【拓展延伸】(3)如图③，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝BC ，∠ADB ＝60°，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，过点E 作EF ∥CD 交AC 于点F ，若AD ＝5，CD ＝32，请直接写出线段EF 的长度．第3题图解：(1)CE ∥AB ；DG ⊥AE .【解法提示】∵△ABC 与△ADE 为等边三角形， ∴AB ＝AC ，AF ＝AE ，∠BAC ＝∠F AE ＝∠ABF ＝60°， ∵∠BAC ＝∠BAF ＋∠F AC ，∠F AE ＝∠F AC ＋∠CAE ， ∴∠BAF ＝∠CAE ，∴△ABF ≌△ACE ，∴∠ACE ＝∠ABF ＝60°，∴∠BAC ＝∠ACE ，∴CE ∥AB ， ∵AB ∥FG ，∴CE ∥FG ∥AB ，∵点F 为BC 的中点，∴点G 为AE 的中点， ∵△AEF 为等边三角形，∴DG ⊥AE . (2)结论仍然成立．证明如下：∵△ABC 和△DAE 均为等边三角形， ∴∠BAC ＝∠DAE ＝60°，AB ＝AC ，AD ＝AE ， ∴∠BAD ＝∠CAE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴∠ACE ＝∠ABF ＝60°，∴∠ACE ＝∠BAC ，∴AB ∥CE . ∵FG ∥AB ，∴AB ∥FG ∥CE ，∵点F 是BC 的中点，∴点G 是AE 的中点， ∵△ADE 为等边三角形，∴DG ⊥AE . (3)线段EF 的长为74.【解法提示】如解图，过点A 作AG ＝AD ，交BD 于点G ，延长EF 交AD 于点H ，第3题解图∵∠ADB ＝60°，AB ＝AC ＝BC ， ∴△ABC 和△ADG 均为等边三角形，∴∠BAC ＝∠DAG ＝∠AGD ＝60°，AG ＝AD ＝5， ∴∠BAG ＝∠CAD ，∠AGB ＝120°，∴△ABG ≌△ACD ，∴∠AGB ＝∠ADC ＝120°，∴∠CDE ＝120°－60°＝60°. 又∵∠AGD ＝60°，∴CD ∥AG . ∵EF ∥CD ，∴EF ∥CD ∥AG . 在等边△ADG 中，∵AE ⊥GD ，∴点E 是DG 的中点，∴点H 是AD 的中点， ∴EH 是△ADG 的中位线，∴EH ＝12AG ＝52. 在△ACD 中，∵FH ∥CD ，∴FH 是△ACD 的中位线，∴FH ＝12CD ＝34， ∴EF ＝EH －FH ＝52－34＝74. 4．【问题发现】(1)如图①，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF ＝45°，连接EF ，则线段BE 、EF 、DF 之间的数量关系为________；【拓展探究】(2)如图②，在△ADC 中，AD ＝2，CD ＝4，∠ADC 是一个不固定的角，以AC 为边向△ADC 的另一侧作等边△ABC ，连接BD ，则BD 的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；【解决问题】(3)如图③，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，BC ＝42，若BD ⊥CD ，垂足为点D ，则对角线AC 的长是否存在最大值？若存在，请直接写出其最大值；若不存在，请说明理由．第4题图解：(1)BE＋DF＝EF；【解法提示】如解图①，延长CD至点G，使得DG＝BE，第4题解图①∵在正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADG＝90°，∴△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠DAG＋∠DAF＝45°，即∠GAF＝∠EAF，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF，∴EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF.（2）存在．在等边△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，如解图②，将△ABD绕着点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接DE.第4题解图②由旋转可得，CE＝AD＝2，BD＝BE，∠DBE＝60°，∴△DBE是等边三角形，∴DE＝BD，∵DE≤DC＋CE＝4＋2＝6，∴当D、C、E三点共线时，DE存在最大值，且最大值为6，∴BD的最大值为6；(3)存在，AC的最大值为22＋2 6.【解法提示】如解图③，以BC为边作等边△BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，则BC＝BE，∠CBE＝60°.F第4题解图③∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝60°.∴∠ABD＋∠CBD＝∠CBE＋∠CBD，即∠ABC＝∠DBE，∵AB＝BD，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，∴△ABC≌△DBE，∴AC ＝DE ，∵在等边△BCE 中，EF ⊥BC ， ∴BF ＝12BC ＝12×42＝22， ∴EF ＝3BF ＝3×22＝26，以BC 为直径作⊙F ，则点D 在⊙F 上，连接DF ， ∴DF ＝12BC ＝22，∴AC ＝DE ≤DF ＋EF ＝22＋26， 即AC 的最大值为22＋2 6. 5.【问题发现】(1)如图①，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ；填空：①∠AEB 的度数为________；②线段AD 、BE 之间的数量关系为________． 【拓展探究】(2)如图②，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE .请判断∠AEB 的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由；【解决问题】(3)如图③，在正方形ABCD 中，CD ＝2，若点P 满足PD ＝1，且∠BPD ＝90°，请直接写出．．．．点A 到BP 的距离．第5题图解：(1)①60°；②AD＝BE；【解法提示】①∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∵∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠ADC＝∠BEC，AD＝BE，∵∠CDE＝∠CED＝60°，∴∠ADC＝∠BEC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝60°.②由①得△ACD≌△BCE，∴AD＝BE.(2)∠AEB＝90°，AE＝BE＋2CM；理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC＝180°－45°＝135°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°.在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM，∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM.(3)3－12或3＋12.【解法提示】∵PD＝1，∠BPD＝90°，∴BP是以点D为圆心，以1为半径的⊙D的切线，点P为切点．第一种情况：如解图①，过点A作AM⊥BP于点M，过点A作AP的垂线，交BP于点P′，可证得△APD≌△AP′B，∴PD＝P′B＝1，AP′＝AP，∵CD＝2，∴BD＝2，∵PD＝1，∴PB＝3，∴AM＝12PP′＝12(PB－P′B)＝3－12.第5题解图第二种情况：如解图②，同理可得AM ＝12PP ′＝12(PB ＋BP ′)＝3＋12. 综上所述，点A 到BP 的距离为3－12或3＋12.6．如图①，以▱ABCD 的较短边CD 为一边作菱形CDEF ，使点F 落在边AD 上，连接BE ，交AF 于点G .(1)猜想BG 与EG 的数量关系，并说明理由； (2)延长DE ，BA 交于点H ，其他条件不变， ①如图②，若∠ADC ＝60°，求 DGBH 的值；②如图③，若∠ADC ＝α(0°<α<90°)，直接写出．．．．DG BH 的值．(用含α的三角函数表示)第6题图解：(1)BG ＝EG ； 理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵四边形CDEF是菱形，∴EF＝CD，EF∥CD，∴AB＝EF，AB∥EF，∴∠BAG＝∠EFG，∠ABG＝∠FEG，∴△ABG≌△FEG(ASA)，∴BG＝EG；(2)①由(1)知△ABG≌△FEG，∴AG＝FG，设CD＝a，FG＝b，则AB＝a，AG＝b，∵四边形CDEF是菱形，∠ADC＝60°，∴△EFD是等边三角形，∠FDE＝60°，∴DF＝CD＝a，∵AB∥CD，∴∠HAD＝60°，∴△ADH是等边三角形，∴AH＝AD＝DF＋FG＋AG＝a＋2b，∴BH＝AB＋AH＝a＋a＋2b＝2a＋2b，∵DG＝DF＋FG＝a＋b，∴DGBH＝a＋b2a＋2b＝12；②DGBH＝cosα.【解法提示】如解图，分别过点C、H作CO⊥AD于点O，HN⊥AD于点N，第6题解图∵△ABG ≌△FEG ，∴AG ＝FG ， 设CD ＝a ，FG ＝b ，则AB ＝a ，AG ＝b ， ∵四边形CDEF 是菱形，∠ADC ＝α， ∴∠ADH ＝α，∴DF ＝2DO ＝2a cos α， ∴AD ＝DF ＋FG ＋AG ＝2a cos α＋2b ， ∵AB ∥CD ，∴∠HAD ＝∠ADC ＝α， ∴AN ＝12AD ＝a cos α＋b ， ∴AH ＝ANcos ∠HAD ＝a cos α＋b cos α，∴BH ＝AB ＋AH ＝a ＋a cos α＋b cos α＝2a cos α＋bcos α，∵DG ＝DF ＋FG ＝2a cos α＋b ， ∴DG BH ＝2a cos α＋b2a cos α＋b cos α＝cos α.7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，点O 为AB 中点，点P 为直线BC 上的动点(不与点B 、C 重合)，连接OC 、OP ，将线段OP 绕点P 顺时针旋转60°，得到线段PQ ，连接BQ .(1)如图①，当点P 在线段BC 上时，线段BQ 与CP 的数量关系为________； (2)如图②，当点P 在CB 延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝15°，BP＝4，请直接写出BQ的长．第7题图解：(1)BQ＝CP；【解法提示】如解图①，连接OQ，第7题解图①∵PQ是由OP旋转60°得到的，∴△OPQ是等边三角形，∴∠POQ＝60°，OP＝OQ.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵点O是AB的中点，∴OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∴∠COB＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，∵CO＝BO，OP＝OQ，∴△COP≌△BOQ，∴CP＝BQ；(2)成立，证明如下：如解图②，连接OQ，第7题解图②∵线段PQ是由线段PO绕点P旋转60°得到的，∴△PQO是等边三角形，∴OQ＝OP，∠POQ＝60°.∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∵点O是AB的中点，∴OC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB＝60°＝∠POQ，∴∠COB＋∠BOP＝∠BOP＋∠POQ，即∠COP＝∠BOQ，∵OC＝OB，PO＝OQ，∴△COP≌△BOQ，∴CP＝BQ；(3)BQ的长为43－4.【解法提示】如解图③，连接OQ，第7题解图③∵线段PQ是由线段PO绕点P旋转60°得到的，∴△PQO是等边三角形，∴∠POQ＝60°，PO＝OQ，由(2)知△OBC是等边三角形，∴OB＝OC，∠BOC＝∠POQ＝60°，∴∠BOQ＝∠COP，∴△COP≌△BOQ，∴CP＝BQ，∠CPO＝∠BQO，过Q作QD⊥BP于D，∵∠QPO＝∠PQO＝60°，∠BPO＝15°，∴∠QPD＝45°，∵∠QDP＝90°，∴∠PQD＝45°，∴PD＝DQ，∴∠DQO＝15°，∵∠BQO＝∠BPO＝15°，∴∠BQD＝30°，∴BQ＝2BD，PD＝QD＝3BD，∴BP＝DB＋PD＝BD＋3BD，∵BP＝4，∴BD＝23－2，∴BQ＝2BD＝43－4.8．在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE＝α，点E 在△ABC的内部，连接EC，EB和BD，并且∠ACE＋∠ABE＝90°.(1)如图①，当α＝60°时，线段BD与CE的数量关系为________，线段EA，EB，EC的数量关系为________；(2)如图②，当α＝90°时，请写出线段EA，EB，EC的数量关系，并说明理由；(3)在(2)的条件下，当点E在线段CD上时，若BC＝25，请直接写出△BDE 的面积．第8题图解：(1)BD＝CE；BE2＋CE2＝EA2；【解法提示】∵∠ABC＝∠ADE＝α＝60°，DA＝DE，BA＝BC，∴△ADE, △ABC是等边三角形，∴∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAB＝∠EAC，∵DA＝EA，BA＝AC，∴△DAB ≌△EAC ，∴BD ＝CE ，∠DBA ＝∠ECA ，∴∠DBA ＋∠ABE ＝∠ECA ＋∠ABE ＝90°，∴BD 2＋BE 2＝DE 2.∵△ADE 是等边三角形，∴DE ＝AE ，∴BD 2＋BE 2＝AE 2即EC 2＋EB 2＝EA 2.(2)12CE 2＋BE 2＝12AE 2；理由如下：∵∠ADE ＝∠ABC ＝90°，∴∠DAE ＝∠BAC ＝45°，AE ＝2AD ，AC ＝2AB ，∴∠DAB ＝∠EAC ，∴△DAB ∽△EAC ，∴∠DBA ＝∠ECA ，BD CE ＝AD AE ＝12， ∴∠DBE ＝90°，∴BD 2＋BE 2＝DE 2，即(22CE )2＋BE 2＝(22AE )2，则12CE 2＋BE 2＝12AE 2；(3)2.【解法提示】如解图，第8题解图∵∠EBC ＋∠EBA ＝90°，∴∠EBC ＝∠ECA ，∴∠EBC ＋∠ECB ＝∠ECA ＋∠ECB ＝∠BCA ＝45°，∵点D ，E ，C 在一条直线上，∴∠BED ＝45°，∵∠DBE ＝90°，∴∠BDE ＝45°，∴BD ＝BE ，设BD ＝x ，则DE ＝CE ＝AD ＝2x ，在Rt △ADC 中，AC ＝2BC ＝210，AD 2＋CD 2＝AC 2，即(2x )2＋(22x )2＝(210)2，解得x ＝2或x ＝－2(舍)．则S △BDE ＝12BD ·BE ＝12×2×2＝2.9．已知四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 边上的点，DE 与CF 交于点G .(1)如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF .求证：DE ·CD ＝CF ·AD ；(2)如图②，若四边形ABCD 是平行四边形．试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得DE ·CD ＝CF ·AD 成立？并证明你的结论；(3)如图③，若BA ＝BC ＝3，DA ＝DC ＝4，∠BAD ＝90°，DE ⊥CF ，请直接写出DE CF 的值．第9题图(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE＋∠CFD＝90°，∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，∵∠A＝∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴DECF＝ADCD，∴DE·CD＝CF·AD；(2)解：当∠B＋∠EGC＝180°时，DE·CD＝CF·AD成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，∴∠B＋∠A＝180°，∵∠B＋∠EGC＝180°，∴∠A＝∠EGC＝∠FGD，∵∠FDG＝∠EDA，∴△DFG∽△DEA，∴DFDG＝DEDA，∵∠B＝∠ADC，∠B＋∠EGC＝180°，∠EGC＋∠DGC＝180°，∴∠CGD＝∠CDF，∵∠GCD＝∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴DFDG＝CFCD，∵DFDG＝DEDA，DFDG＝CFCD，∴DE·CD＝CF·AD，即当∠B＋∠EGC＝180°时，DE·CD＝CF·AD成立；(3)解：DECF＝2524.【解法提示】如解图，过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，第9题解图∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD.∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，∴四边形AMCN是矩形，∴AM＝CN，AN＝CM，在△BAD和△BCD中，⎩⎪⎨⎪⎧AD＝CDAB＝BCBD＝BD，∴△BAD≌△BCD(SSS)，∴∠BCD ＝∠A ＝90°，∴∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∵∠ABC ＋∠CBM ＝180°，∴∠MBC ＝∠ADC ，∵∠CND ＝∠M ＝90°，∴△BCM ∽△DCN ，∴CM CN ＝BC CD ，∴CM x ＝34，∴CM ＝34x ，在Rt △CMB 中，CM ＝34x ，BM ＝AM －AB ＝x －3，由勾股定理得：BM 2＋CM 2＝BC 2，∴(x －3)2＋(34x )2＝32，解得x ＝0(舍去)，x ＝9625， ∴CN ＝9625，∵∠A ＝∠FGD ＝90°，∴∠AED ＋∠AFG ＝180°，∵∠AFG ＋∠NFC ＝180°，∴∠AED ＝∠CFN ，∵∠A ＝∠CNF ＝90°，∴△AED ∽△NFC ，∴DECF＝ADCN＝49625＝2524.10. 已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在BC、AC边上，连接BE、AD交于点P.设AC＝kBD，CD＝kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：(1)如图①，若k＝1，则∠APE的度数为；(2)如图②，若k＝3，试问(1)中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数；(3)如图③，若k＝3，且D、E分别在CB、CA的延长线上，(2)中的结论是否成立，请说明理由．第10题图解：(1)45°；(2)(1)中的结论不成立，理由如下：作AF∥CB，BF∥AD，AF、BF相交于点F，连接EF，交AD于点H，如解图①，∵AF∥CB，BF∥AD，第10题解图①∴∠FBE ＝∠APE ，∠F AC ＝∠C ＝90°，四边形ADBF 是平行四边形． 由题意知AC ＝3BD ，CD ＝3AE ，∴AC BD ＝CD AE ＝3，又∵BD ＝AF ，∴AC AF ＝CD AE ＝3，又∵∠F AC ＝∠C ＝90°，∴△F AE ∽△ACD ，∴AC AF ＝AD EF ＝BF EF ＝3，∠FEA ＝∠ADC ，又∵∠ADC ＋∠CAD ＝90°，∴∠FEA ＋∠CAD ＝90°＝∠EHD ，∵AD ∥BF ，∴∠EFB ＝90°，在Rt △EFB 中，tan ∠FBE ＝EF BF ＝33，∴∠FBE ＝30°，∴∠APE ＝30°，∴(1)中结论不成立；(3)(2)中的结论成立，其理由如下：如解图②，作EH ∥CD ，DH ∥BE ，DH 、EH 相交于点H ，连接AH ，第10题解图②∵EH ∥CD ，DH ∥BE ，∴∠APE ＝∠ADH ，∠HEC ＝∠C ＝90°，四边形EBDH 是平行四边形， ∴BE ＝DH ，EH ＝BD ，由题意知AC ＝3BD ，CD ＝3AE ，∴AC BD ＝CD AE ＝3，又∵BD ＝EH ，∴AC EH ＝CD AE ＝3，又∵∠HEA ＝∠C ＝90°，∴△ACD ∽△HEA ，∴AD AH ＝AC EH ＝3，∠ADC ＝∠HAE ，∠CAD ＋∠ADC ＝90°，∴∠HAE ＋∠CAD ＝90°，∴∠HAD ＝90°，在Rt △DAH 中，tan ∠ADH ＝AH AD ＝33，∴∠ADH ＝30°，∴∠APE ＝30°.。

一、方程类
易错1：方程思想概念不清晰！
易错2：一元一次方程和一元二次方程
的概念以及解的情况
易错3：易忽略一元二次方程方程根的存在性
二、函数类
易错4：分析一次函数和二次函数的定义以及与X轴的交点情况
易错5：利用数学结合思想
分析抛物线最值和开口方向问题
易错6：利用数学结合思想
分析抛物线与坐标轴的交点情况
易错7：双曲线形成的简单三角形的面积与反比例系数之间的关系问题
易错8：数形结合，抛物线与坐标轴交点
韦达定理的运用
三、圆类
易错9：优弧和劣弧分类讨论
易错10：求两平行弦之间的距离分类讨论。

第3课 易错题中考数学该怎么合理安排作题的时间?中考数学一定要合理按排时间，也就是说该放弃的题目就要放弃。

中考毕竟是选拔性考试，有些题目会有一定的难度，对这个问题要有心理准备。

一般说一道选择题只能有一到两分钟的思路，如果超过3-4分钟还没有思路就应放弃。

后面的两道难题一般思考的时间在15－20分钟左右。

对于这样的题目要根据自己的实际，选择舍去，扬长避短，先做会的，将有限的时间用来得自己能得到的分数。

建议你在整个考试过程中前面的选择题、填空题、解答题要做一个查一个，提倡边做边审，力争一步到位节约时间，为后面的大题创造出更多的时间。

一 数与式易错题：1.若|x|=x ，则-x 一定是（ ）A.正数B.非负数C.负数D.非正数2.若A 与B 都是二次多项式，则A-B ：（1）一定是二次式；（2）可能是四次式；（3）可能是一次式；（4）可能是非零常数；（5）不可能是零．上述结论中，不正确的有（ ）个．A.5B.4C.3D.23.若|m|=3，|n|=7，且m-n ＞0，则m+n 的值是（ ）A.10B.4C.-10或-4D.4或-44.对任意实数y ，多项式151022+-y y 的值是一个（ ）A.负数B.非负数C.正数D.无法确定正负5.判断=÷61293（ ） A.1 B.(31)2 C.(31)6 D.(-6)2 6.对于实数a 、b ，给出以下三个判断：①若b a =，则 b a =; ②若b a <，则 b a <; ③若b a -=，则 22)(b a =-．其中正确的判断的个数是( )A.3B.2C.1D.07.如右图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 两点对应的实数是3和-1，则点C 所对应的实数是（ ）A.31+B.32+C.132-D.132+8.12的负平方根介于（ ）A.-5与-4之间B.-4与-3之间C.-3与-2之间D.-2与-1之间考试进行中，如何做好心理调节1．答题前（五分钟左右） 试卷拿到后，心情一般比较紧张。

中招考试几何类比探究题集锦（附参考答案）参考答案与试题解析一．解答题（共11小题）1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ABD≌△ACF；（2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2；（3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，请直接写出DE2，BD2，CE2三者之间的等量关系．【解答】解：（1）∵点D关于直线AE的对称点为F，∴EF=DE，AF=AD，∠DAE=∠EAF=α∴∠CAE+∠CAF=α∵∠BAC=2∠DAE=2α．∴∠BAD+∠CAE=∠BAC﹣∠DAE=α，∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，第1页（共33页）第2页（共33页）∴△ABD ≌△ACF （SAS ），（2）由（1）知，△ABD ≌△ACF （SAS ），∴CF=BD ，∠ACF=∠B ，∵AB=AC ，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB +∠ACF=45°+45°=90°，在Rt △CEF 中，由勾股定理得，EF 2=CF 2+CE 2，∴DE 2=BD 2+CE 2，（3）DE 2=BD 2+CE 2；理由：如图，∵∠BAC=2∠DAE=2α．∴∠DAE=α，∵点D 关于直线AE 的对称点为F ，∴EF=DE ，AF=AD ，∠DAE=∠EAF=α∴∠CAF=∠EAF +∠CAE=α+∠CAE∴∠BAD=∠BAC ﹣∠DAC=2α﹣∠DAC=2α﹣（∠DAE ﹣∠CAE ）=2α﹣（α﹣∠CAE）=α+∠CAE∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，∴DE2=BD2+CE2，2．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．猜测DE、BD、CE三条线段之间的数量关系（直接写出结果即可）．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问第（1）题中DE、BD、CE之间的关系是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF 均为等第3页（共33页）边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断线段DF、EF的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）DE=BD+CE．理由如下：如图1，∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2）如图2，∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，第4页（共33页）∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；（3）DF=EF．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CAE，BD=EA，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，∵BF=AF在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，第5页（共33页）∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形．∴DF=EF．3．（1）问题发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．请填空：①∠ACE的度数为60°；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为AC=CD+CE．（2）拓展探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D在边BC 上，连接CE．请判断∠ACE的度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC的长度．第6页（共33页）【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠B=60°，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B=60°，故答案为：60°；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为：AC=CD+CE；理由是：由①得：△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∵AC=BC=BD+CD，∴AC=CD+CE；故答案为：AC=CD+CE；（2）∠ACE=45°，AC=CD+CE，理由是：如图2，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，第7页（共33页）∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，∵BC=CD+BD，∴BC=CD+CE，∵在等腰直角三角形ABC中，BC=AC，∴AC=CD+CE；（3）如图3，过A作AC的垂线，交CB的延长线于点F，∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1，∴BD=2，BC=，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠ADB=∠ACB=45°，∴△ACF是等腰直角三角形，由（2）得：AC=BC+CD，∴AC===．第8页（共33页）4．【探究发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并证明AE=EF．【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC ：S△AEF的值．【解答】证明：第一种情况：点E是线段BC上的任意一点，可作三种辅助线：方法一：如图1，在AB上截取AG，使AG=EC，连接EG，第9页（共33页）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°．∵AG=EC，∴BG=BE，∴△BEG是等边三角形，∠BGE=60°，∴∠AGE=120°．∵FC是外角的平分线，∠ECF=120°=∠AGE．∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE．∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC，∴∠GAE=∠FEC．在△AGE和△ECF中，∴△AGE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；方法二：在CA上截取CG=CE，连结GE，证明类似方法一；方法三：延长FC到G，使CG=CE，连结EG，易证△CEG是等边三角形，第10页（共33页）∴CE=EG，∠G=∠ACB=60°，∠CEG=∠AEF=60°，∴∠CEG+∠CEF=∠AEF+∠CEF，即∠GEF=∠AEC，∴△GEF≌△CEA，∴AE=EF．第二种情况：点E是线段BC延长线上的任意一点如图2，可作三种辅助线：①在CF上截取CG=CE，连接GE②延长AC到G，使CG=CE，连结EG；③或延长BA到G，使BG=BE，连结EG．第②种添加辅助线的方法证明如下：证明：延长AC到G，使CG=CE，连结EG，易证△CEG为等边三角形，∴∠G=∠ECF=60°，EG=CE，又∠AEG=∠CEG+∠AEC=60°+∠AEC，∠CEF=∠AEF+∠AEC=60°+∠AEC，第11页（共33页）∴∠AEG=∠CEF，∴△AEG≌△FEC，∴AE=EF．第三种情况：点E是线段BC反向延长线上的任意一点如图3，可作三种辅助线：①延长AB到G，使BG=BE，连结EG；②延长CF到G，使CG=CE，连结EG；③在CE上截取CG=CF，连结GF现就第①种添加辅助线的方法证明如下：证明：延长AB到G，使BG=BE，连结EG，易证△BEG为等边三角形，∴∠G=∠ECF=60°，第12页（共33页）∵∠AEB+∠BAE=∠ABC=60°，∠AEB+∠CEF=∠AEF=60°，∴∠BAE=∠CEF，∵AB=BC，BG=BE，∴AB+BG=BC+BE，即AG=CE，∴△AEG≌△EFC，∴AE=EF．拓展应用：如图4：作CH⊥AE于H点，∴∠AHC=90°．由数学思考得AE=EF，又∵∠AEF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴△ABC∽△AEF．第13页（共33页）∵CE=BC=AC，△ABC是等边三角形，∴∠CAH=30°，AH=EH．∴CH=AC，AH=AC，AE=AC，∴．∴==．5．问题情境：在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．（1）操作发现：当点O为AC中点时：①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系：AE2+CF2=EF2（无需证明）；②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的结论是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；第14页（共33页）（2）类比延伸：当点O不是AC中点时，如图3，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若=，请直接写出=．【解答】解：（1）①猜想：AE2+CF2=EF2，连接OB，如图1，∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，∴OB=AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．∵∠EOF=90°，∴∠EOB+∠BOF=∠FOC+∠BOF．∴∠EOB=∠FOC，在△OEB和△OFC中，，∴△OEB≌△OFC（ASA）．∴BE=CF，又∵BA=BC，∴AE=BF．在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，∴BF2+BE2=EF2，∴AE2+CF2=EF2；故答案为：AE2+CF2=EF2；第15页（共33页）②成立．证明：连结OB．如图2，∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，∴OB=AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．∵∠EOF=90°，∴∠EOB=∠FOC．在△OEB和△OFC中，，∴△OEB≌△OFC（ASA）．∴BE=CF，又∵BA=BC，∴AE=BF．在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，∴BF2+BE2=EF2，∴AE2+CF2=EF2；（2）=，如图3，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N．∵∠B=90°，第16页（共33页）∴∠MON=90°，∵∠EOF=90°，∴∠EOM=∠FON．∵∠EMO=∠FNO=90°，∴△OME∽△ONF，∴=，∵△AOM和△OCN为等腰直角三角形，∴△AOM∽△OCN，∴=，∵=，∴=，故答案为．第17页（共33页）第18页（共33页）6．阅读发现：（1）如图①，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC=3，BD=BE=1，连结CD ，AE ．易证：△BCD ≌△BAE ．（不需要证明） 提出问题：（2）在（1）的条件下，当BD ∥AE 时，延长CD 交AE 于点F ，如图②，求AF 的长．解决问题：（3）如图③，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，连结CD ，AE ．当∠BAE=45°时，点E 到AB 的距离EF 的长为2，求线段CD的长为 ．【解答】（2）解：如图②中，AB与CF交于点O．由（1）可知：△BCD≌△BAE，∴∠OAF=∠OCB，CD=AE，∵∠AOF=∠COB，∴∠AFO=∠CBO=90°，∴CF⊥AE，∵BD∥AE，∴BD⊥CF，在RT△CDB中，∵∠CDB=90°，BC=3，BD=1，∴CD=AE==2，∵∠BDF=∠DFE=∠DBE=90°，∴四边形EFDB是矩形，∴EF=BD=1，∴AF=AE﹣EF=2﹣1．（3）解：在RT△ABC，RT△EBD中，∵∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，∴AB=BC，BE=BD，∴==，∵∠ABC=∠EBD=90°，∴∠ABE=∠DBC，∴△ABE∽△CBD，∴==，第19页（共33页）第20页（共33页）在RT △AEF 中，∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，EF=2，∴AF=EF=2，AE=2，∴=，∴CD=．故答案为．7．如图1，两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1=S2．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，请猜想（1）中S1与S2的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，BD平分∠ABC，BD=CD，BC=9，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请求相应的BF的长．【解答】解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，第21页（共33页）∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；故答案为：DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2=×2×2=2；故答案为：S1=S2；（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，第22页（共33页）∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，第23页（共33页）∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×6÷cos30°=3÷=2，∴BF1=2，BF2=BF1+F1F2=2+2=4，故BF的长为2或4．8．问题解决：如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D 重合），压平后得到折痕MN．当时，求的值．类比归纳：第24页（共33页）在图（1）中，若，则的值等于；若，则的值等于；若（n 为整数），则的值等于．（用含n的式子表示）联系拓广：如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D 重合），压平后得到折痕MN，设，则的值等于．（用含m，n的式子表示）【解答】解：（1）方法一：如图（1﹣1），连接BM，EM，BE．由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．∴MN垂直平分BE，∴BM=EM，BN=EN．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=∠C=90°，设AB=BC=CD=DA=2．∵，∴CE=DE=1．第25页（共33页）设BN=x，则NE=x，NC=2﹣x．在Rt△CNE中，NE2=CN2+CE2．∴x2=（2﹣x）2+12，解得x=，即BN=．在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM2+AB2=BM2，DM2+DE2=EM2，∴AM2+AB2=DM2+DE2．设AM=y，则DM=2﹣y，∴y2+22=（2﹣y）2+12，解得y=，即AM=（6分）∴．方法二：同方法一，BN=．如图（1﹣2），过点N做NG∥CD，交AD于点G，连接BE．∵AD∥BC，∴四边形GDCN是平行四边形．∴NG=CD=BC．同理，四边形ABNG也是平行四边形．∴AG=BN=∵MN⊥BE，∴∠EBC+∠BNM=90度．∵NG⊥BC，∴∠MNG+∠BNM=90°，第26页（共33页）∴∠EBC=∠MNG．在△BCE与△NGM中，∴△BCE≌△NGM，EC=MG．∵AM=AG﹣MG，AM=﹣1=．∴．（2）如图1，当四边形ABCD为正方形时，连接BE，=，不妨令CD=CB=n，则CE=1，设BN=x，则EN=x，EN2=NC2+CE2，x2=（n﹣x）2+12，x=；作MH⊥BC于H，则MH=BC，又点B，E关于MN对称，则MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；而∠NMH+∠BNM=90°，故∠EBC=∠NMH，则△EBC≌△NMH，∴NH=EC=1，AM=BH=BN﹣NH=﹣1=则：==．故当=，则的值等于；若=，则的值等于；第27页（共33页）（3）若四边形ABCD为矩形，连接BE，=，不妨令CD=n，则CE=1；又==，则BC=mn，同样的方法可求得：BN=，BE⊥MN，易证得：△MHN∽△BCE．故=，=，HN=，故AM=BH=BN﹣HN=，故==．故答案为：；；；．第28页（共33页）第29页（共33页）9．阅读理解：如图1，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=90°，点P 在BC 边上，当∠APD=90°时，易证△ABP ∽△PCD ，从而得到BP•PC=AB•CD ，解答下列问题．（1）模型探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 在BC 边上，当∠B=∠C=∠APD 时，结论BP•PC=AB•CD 仍成立吗？试说明理由；（2）拓展应用：如图3，M 为AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME=∠A=∠B=45°且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．AB=，AF=3，求FG 的长．【解答】解：（1）∵∠APC=∠APD +∠CPD ，∠APC=∠BAP +∠B （三角形外角定理），∠B=∠APD （已知），∴∠BAP=∠CPD，又∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD∴=，∴BP•PC=AB•CD；（2）∵∠AFM=∠DME+∠E（三角形外角定理），∠DME=∠A（已知），∴∠AFM=∠A+∠E（等量代换），又∠BMG=∠A+∠E（三角形外角定理），∴∠AFM=∠BMG．∵∠A=∠B，∴△AMF∽△BGM．当∠A=∠B=45°时，∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=90°，即AC⊥BC且AC=BC．∵M为AB的中点，∴AM=BM=，AC=BC=4．又∵△AMF∽△BGM，∴，∴BG===，又∵，CF=4﹣3=1，∴．第30页（共33页）10．基本模型如下图，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C=90°，则△ABP∽△PCD成立，（1）模型拓展如图1，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C，则△ABP∽△PCD成立吗？为什么？（2）模型应用①如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=2，BC=4，在BC上截取BP=AD，作∠APQ=∠B，PQ交CD于点Q，求CQ的长；②如图3，正方形ABCD的边长为1，点P是线段BC上的动点，作∠APQ=90°，PQ交CD于Q，当P在何处时，线段CQ最长？最长是多少？【解答】解：（1）成立，∵∠A=180°﹣（∠B+∠APB），第31页（共33页）∠CPD=180°﹣（∠1+∠APB），∠B=∠1，∴∠A=∠CPD，∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；（2）①∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠C，∵∠B=∠APQ，∴∠B=∠APQ=∠C，由（1）知，△ABP∽△PCD，∴=，∴=，∴CQ=；②设BP=x，CQ=y．∵∠B=∠APQ=90°，∴△ABP∽△PCQ，∴=，即=，∴y=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，第32页（共33页）∴当x=时，y=，最大即当P是BC的中点时，CQ最长，最长为．第33页（共33页）。

2020年中考数学热点专题二规律探究问题解析版数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。

探索规律性问题就是根据新课程标准“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。

学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。

创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”的要求，近年中考数学经常出现的考题.归纳规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。

它体现了“特殊到一般（再到特殊）”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.结合2019年全国各地中考的实例，我们从下面八方面探讨归纳规律性问题的解法：（1）根据数的排列或运算规律归纳；（2）根据式的排列或运算规律归纳；（3）根据图的变化规律归纳；（4）根据寻找的循环规律归纳；（5）根据代数式拆分规律归纳；（6）根据一阶递推规律归纳；（7）根据二阶递推规律归纳；（8）根据乘方规律归纳.考向1 数字类规律探究型问题1. (2019·海南)有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两个数的和，如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是______，这2019个数的和是______.2.（2019·黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵147101316192225283134374043L L L L则第20行第19个数是_____________________．3.（2019·武威）已知一列数a，b，a b+，35+，⋯⋯，按照这个规律写下去，第9a ba b+，2a b+，23个数是．4.（2019·云南）按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是（）A.（－1）n－1x2n－1B.（－1）n x2n－1C.（－1）n－1x2n＋1D.（－1）n x2n＋15. (2019·聊城) 数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动:第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，A n(n≥3，n是整数)处，那么线段A n A的长度为________(n≥3，n是整数).6．（2019·安顺）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是．7.（2019·永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上数之和；图二是二项和的乘方(a＋b)n的展开式(按b的升幂排列)．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将(s＋x)15的展开式按x的升幂排列得：(s＋x)15=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a15x15．依上述规律，解决下列问题：(1)若s=1，则a2= ．(2)若s=2，则a0＋a1＋a2＋…＋a15= ．考向2几何图形类规律探究型问题1．（2019·毕节）下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是（）A．上方B．右方C．下方D．左方2.（2019·天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有个〇．3.（2019·甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n __________．4. (2019·大庆)归纳"T"字形，用棋子摆成的"T"字形如图所示，按照图①，图②的规律摆下去，摆成第n个"T"字形需要的棋子个数为______.5.（2019·龙东地区）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第三个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，记△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4…的面积分别为S1，S2，S3…，如此下去，则S2019=________．6. （2019 ·扬州）如图，在ABC ∆中，5AB =，4AC =，若进行以下操作，在边BC 上从左到右依次取点1D 、2D 、3D 、4D 、⋯；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点1E 、1F ；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点2E 、2F ；过点3D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点3E 、3F ⋯，则1122201920191122201920194()5()D E D E D E D F D F D F ++⋯++++⋯+=__________．考向3 点的坐标变化的规律探究型问题1.（2019 ·河南）如图，在△OAB 中，顶点O （0，0），A （－3，4），B （3，4）.将△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D 的坐标为（ ） A. （10，3） B. （－3，10） C. （10，－3） D. （3，－10）2.（2019·菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A 1，第二次移动到点A 2……第n 次移动到点A n ，则点A 2019的坐标是（ ）A ．（1010，0）B ．（1010，1）C ．（1009，0）D ．（1009，1）3. （2019•广安）如图，在平面直角坐标系中，点1A 的坐标为(1,0)，以1OA 为直角边作Rt △12OA A ，并使A 4AA 11260AOA ∠=︒，再以2OA 为直角边作Rt △23OA A ，并使2360A OA ∠=︒，再以3OA 为直角边作Rt △34OA A ，并使3460A OA ∠=︒⋯按此规律进行下去，则点2019A 的坐标为__________．4. (2019·东营)如图，在平面直角坐标系中，函数x y 33=和x y 3-=的图象分别为直线1l ，2l ，过1l 上的点A 1（1，33）作x 轴的垂线交2l 于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交1l 于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线交2l 于点A 4…，一次进行下去，则点2019A 的横坐标为 .5. （2019·本溪）如图，点B 1在直线l ：12y x =上，点B 1的横坐标为2，过点B 1作B 1A 1⊥l ，交x 轴于点A 1，以A 1B 1为边，向右作正方形A 1B 1B 2C 1，延长B 2C 1交x 轴于点A 2；以A 2B 2为边，向右作正方形A 2B 2B 3C 2，延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边，向右作正方形A 3B 3B 4C 3，延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；按照这个规律进行下去，点C n 的横坐标为6. （2019·齐齐哈尔） 如图，直线l ：y=133+x 分别交x 轴、y 轴于点A 和点A 1，过点A 1作A 1B 1⊥l ，交x 轴于点B 1，过点B 1作B 1A 2⊥x 轴，交直线L 于点A 2；过点A 2作A 2B 2⊥l ，交x 轴于点B 2，过点B 2作B 2A 3⊥x 轴，交直线L 于点A 3；依此规律...若图中阴影△A 1OB 1的面积为S 1，阴影△A 2B 1B 2的面积S 2，阴影△A 3B 2B 3的面积S 3...，则Sn=__________．2020年中考数学热点专题二规律探究问题解析版数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。

中考三轮冲刺：《相似综合训练》1．已知：已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AC、BC上的点，连DE，且＝＝，tan B＝，如图1．（1）如图2，将△CDE绕C点旋转，连AD、BE交于H，求证：AD⊥BE；（2）如图3，当△CDE绕C点旋转过程中，当CH＝时，求AH﹣BH的值；（3）若CD＝1，当△CDE绕C点旋转过程中，直接写出AH的最大值是2．（1）证明：如图2中，设BE交AC于O．∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠ECB，∵＝，∴＝，∴△ACD∽△BCE，∴∠DAC＝∠EBC，∵∠AOH＝∠BOC，∴∠AHO＝∠BCO＝90°，∴AD⊥BE．（2）解：如图2中，在HB上取一点T，使得HT＝AH，连接AT．在Rt△AHT中，tan∠ATH＝＝，∵tan∠ABC＝，∴∠ATH＝∠ABC，∵∠ATH+∠HAT＝90°，∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠HAT＝∠CAB，∴∠CAH＝∠BAT，∴△AHT∽△ACB，∴＝，∴＝，∴△CAH∽△BAT，∴＝，∵HT＝AH，设AH＝m，则HT＝m，AT＝m，∴＝，∴BT＝．（3）解：如图3中，在Rt△AHB中，∵AH＝AB•sin∠ABH，∴当∠ABH最大时，AH的值最大，此时CE⊥BE，∵∠DCE＝∠CEH＝∠EHD＝90°，∴此时四边形ECDH是矩形，∴DH＝EC，∠ADC＝∠CDH＝90°，由题意CD＝1，EC＝，AC＝，∴DH＝CE＝在Rt△ACD中，AD＝＝＝，∴AH＝AD+DH＝+＝2，∴AH的最大值为2．故答案为：2．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，E为BC上一点，且BE＝1，∠AED＝90°，将△AED绕点E顺时针旋转得到△A′ED′，A′E交AD于P，D′E交CD于Q，连接PQ，当点Q与点C 重合时，△AED停止转动．（1）求线段AD的长；（2）当点P与点A不重合时，试判断PQ与A′D′的位置关系，并说明理由；（3）求出从开始到停止，线段PQ的中点M所经过的路径长．解：（1）∵AB＝2，BE＝1，∠B＝90°，∴AE＝＝＝，∵∠AED＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，∵矩形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，∴△ABE∽△DEA，∴，∴，∴AD＝5；（2）PQ∥A′D′，理由如下：∵，∴＝＝2，∵AD＝BC＝5，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣1＝4，过点E作EF⊥AD于点F，则∠FEC＝90°，∵∠A'ED'＝∠AED＝90°，∴∠PEF＝∠CEQ，∵∠C＝∠PFE＝90°，∴△PEF∽△QEC，∴，∵，∴，∴PQ∥A′D′；（3）连接EM，作MN⊥AE于N，由（2）知PQ∥A′D′，∴∠EPQ＝∠A′＝∠EAP，又∵△PEQ为直角三角形，M为PQ中点，∴PM＝ME，∴∠EPQ＝∠PEM，∵∠EPF＝∠EAP+∠AEA′，∠NEM＝∠PEM+∠AEA′∴∠EPF＝∠NEM，又∵∠PFE＝∠ENM﹣90°，∴△PEF∽△EMN，∴＝为定值，又∵EF＝AB＝2，∴MN为定值，即M的轨迹为平行于AE的线段，∵M初始位置为AD中点，停止位置为DE中点，∴M的轨迹为△ADE的中位线，∴线段PQ的中点M所经过的路径长＝＝．3．已知，如图1，将△AED绕点E旋转180°得到△BEF，延长FB到点C，使得BC＝FB，连接DC．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G与点B、C不重合），连接AG交DF于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K．①求证：HC＝2AK；②当点G是BC边中点时，恰有HD＝n•HK（n为正整数），求n的值．（1）证明：如图1中，∵△AED绕点E旋转180°得到△BEF，∴∠ADE＝∠F，AD＝BF，∴AD∥CF，∵BC＝FB，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．（2）①证明：∵BC＝FB，∴FC＝2BF，∵BF＝AD，∴FC＝2AD，∵AK∥CH，∴∠AKF＝∠CHD，∴∠AKD＝∠CHF，∵∠ADK＝∠F，∴△AKD∽△CHF，∴＝＝，∴CH＝2AK．②如图2中，过点G作GM∥DF交HC于M．∵G是BC的中点，且FC＝2BF，∴CG＝CF，∵GM∥DF，∴△CMG∽△CHF，∴＝＝，即GM＝FH，∵AD∥FC，∴△AHD∽△GHF，∴＝＝＝，即DH＝FH，∴＝，即DH＝GM，∵AK∥HC，GM∥DF，∴∠HAK＝∠GHM，∠AHK＝∠HGM，∴△AHK∽△HGM，∴＝＝，即HK＝GM，∴＝，即HD＝4HK，∴n＝4．4．如图，在矩形ABCD中，连接BD，点E为AB上一点，使得∠EDB＝∠BDC，连接CE，交BD于点P，作BF⊥BD交DE的延长线于点F．（1）求证：BD2＝DF•DC（2）若AE＝1，DC＝3，求PC的长，（3）在（2）的条件下，将△BDC沿着BD对折得到△BDQ，点C的对应点为点Q，连接AQ，试求△AQE的周长．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCB＝90°，∵BF⊥BD，∴∠DCB＝∠DBF＝90°∵∠EDB＝∠BDC，∴△DCB∽△DBF，∴＝，∴BD2＝DF•DC．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝90°，∴∠EBD＝∠BDC，∵∠EDB＝∠BDC，∴∠EDB＝∠EBD，∴ED＝EB，∵∠EBD+∠EBF＝90°，∠F+∠EDB＝90°，∴∠EBF＝∠F，∴EB＝EF，∵AE＝1，DC＝AB＝3，∴BE＝EF＝DE＝2，DF＝4，∴AD＝＝＝，BD＝＝＝2，∴EC＝＝＝，∵BE∥CD，∴△BEP∽△DCP，∴＝，∴＝，∴PC＝．（3）∵△BDC沿BD翻折得到△BDQ，∠EDB＝∠BDC，∴点Q在DF上，且BQ⊥DF，∴QE＝DQ﹣DE＝3﹣2＝1，∴AE＝QE，∴∠EAQ＝∠EQA，∵∠AEQ＝∠BED，∴△AEQ∽△BED，∴△AEQ的周长：△BED的周长＝AE：BE＝1：2，∵△BED的周长＝2+2+2＝4+2，∴△AEQ的周长＝2+．5．如图，在平面直角坐标系中，点B（12，10），过点B作x轴的垂线，垂足为A．作y 轴的垂线，垂足为C．点D从O出发，沿y轴正方向以每秒1个单位长度运动；点E从O 出发，沿x轴正方向以每秒3个单位长度运动；点F从B出发，沿BA方向以每秒2个单位长度运动．当点E运动到点A时，三点随之停止运动，运动过程中△ODE关于直线DE 的对称图形是△O′DE，设运动时间为t．（1）用含t的代数式分别表示点E和点F的坐标；（2）若△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似，求t的值；（3）当t＝2时，求O′点在坐标．解：（1）∵BA⊥x轴，CB⊥y轴，B（12，10），∴AB＝10，由运动知，OD＝t，OE＝3t，BF＝2t（0≤t≤4），∴AF＝10﹣2t，∴E（3t，0），F（12，10﹣2t）；（2）由（1）知，OD＝t，OE＝3t，AF＝10﹣2t，∴AE＝12﹣3t，∵BA⊥x轴，∴∠OAB＝90°＝∠AOC，∵△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似，∴△DOE∽△EAF或△DOE∽△FAE，①当△DOE∽△EAF时，，∴，∴t＝，②当△DOE∽△FAE时，，∴，∴t＝6（舍），即：当△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似时，t＝秒；（3）如图，当t＝2时，OD＝2，OE＝6，在Rt△DOE中，根据勾股定理得，DE＝2，连接OO'交DE于G，∴OO'＝2OG，OO⊥DE，∴S＝OD•OE＝DE•OG，△DOE∴OG＝＝＝，∴OO'＝2OG＝，∵∠AOC＝90°，∴∠HOO'+∠AOO'＝90°，∵OO'⊥DE，∴∠OED+∠AOO'＝90°，∴∠HOO'＝∠OED，过点O'作O'H⊥y轴于H，∴∠OHO'＝90°＝∠DOE，∴△OHO'∽△EOD，∴，∴，∴OH＝，O'H＝，∴O'（，）．6．如图1，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，点E，F分别在边AB，BC上，且BF＝FC，连接DE，EF，并以DE，EF为边作▱DEFG．（1）连接DF，求DF的长度；（2）求▱DEFG周长的最小值；（3）当▱DEFG为正方形时（如图2），连接BG，分别交EF，CD于点P、Q，求BP：QG的值．解：（1）如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∠C＝90°，AD＝BC，AB＝DC，∵BF＝FC，AD＝2；∴FC＝1，∵AB＝3；∴DC＝3，在Rt△DCF中，由勾股定理得，∴DF＝＝＝；（2）如图1所示：作点F关直线AB的对称点M，连接DM交AB于点N，连接NF，ME，点E在AB上是一个动点，①当点E不与点N重合时点M、E、D可构成一个三角形，∴ME+DE＞MD，②当点E与点N重合时点M、E（N）、D在同一条直线上，∴ME+DE＝MD由①和②DE+EF的值最小时就是点E与点N重合时，∵MB＝BF，∴MB＝1，∴MC＝3，又∵DC＝3，∴△MCD是等腰直角三角形，∴MD＝＝＝3，∴NF+DN＝MD＝3，∴l▱DEFG＝2（NF+DF）＝6；（3）∵▱DEFG为正方形，∴DE＝EF，∠DEF＝90°，∴∠ADE+∠AED＝∠AED+∠BEF＝90°，∴∠ADE＝∠BEF，∴△ADE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF＝1，BE＝AD＝2，过点B作BH⊥EF，如图2所示：在Rt△EBF中，由勾股定理得：EF＝＝＝，∴BH＝＝，又∵△BEF～△FHB，∴＝，HF＝＝＝，在△BPH和△GPF中有：∠BPH＝∠GPF，∠BHP＝∠GFP，∴△BPH∽△GPF，∴＝＝＝，∴PF＝•HF＝，又∵EP+PF＝EF，∴EP＝﹣＝，又∵AB∥BC，EF∥DG，∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，∴△EBP∽△DQG（AA），∴＝＝＝．7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC 的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM ＝S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．解：（1）假设四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC，∴AP：AB＝AM：AC，∵AB＝AC，∴AP＝AM，即10﹣t＝2t，解得：t＝，∴当t＝时，四边形PQCM是平行四边形；（2）∵PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC，∴△PBQ为等腰三角形，PQ＝PB＝t，∴，即，解得：BF＝t，∴FD＝BD﹣BF＝8﹣t，又∵MC＝AC﹣AM＝10﹣2t，∴y ＝（PQ +MC ）•FD ＝（t +10﹣2t ）（8﹣t ）＝t 2﹣8t +40；（3）不存在；∵S △ABC ＝＝×10×8＝40，当S 四边形PQCM ＝S △ABC 时，y ＝t 2﹣8t +40＝40， 解得：t ＝0，或t ＝20，都不合题意，因此不存在；（4）假设存在某一时刻t ，使得M 在线段PC 的垂直平分线上，则MP ＝MC ，过M 作MH ⊥AB ，交AB 与H ，如图所示：∵∠A ＝∠A ，∠AHM ＝∠ADB ＝90°， ∴△AHM ∽△ADB ，∴， 又∵AD ＝＝6，∴， ∴HM t ，AH ＝t ，∴HP ＝10﹣t ﹣t ＝10﹣t ， 在Rt △HMP 中，MP 2＝+＝t 2﹣44t +100，又∵MC 2＝（10﹣2t ）2＝100﹣40t +4t 2，∵MP 2＝MC 2，∴t 2﹣44t +100＝100﹣40t +4t 2，解得，t 2＝0（舍去）， ∴t ＝s 时，点M 在线段PC 的垂直平分线上．8．探索绕公共顶点的相似多边形的旋转：（1）如图1，已知：等边△ABC和等边△ADE，根据△AEC≌△ADB（指出三角形的全等或相似），可得CE与BD的大小关系为：CE＝BD．（2）如图2，正方形ABCD和正方形AEFG，求：的值；（3）如图3，矩形ABCD和矩形AEFG，AB＝kBC，AE＝kEF，求：的值．（用k的代数式表示）解：（1）如图1，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AE＝AD，AC＝AB，∠CAB＝∠EAD．∴∠CAE＝∠BAD．在△AEC和△ADB中，．∴△AEC≌△ADB．∴CE＝BD．故答案分别为：△AEC≌△ADB、CE＝BD．（2）如图2，∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，∴AC＝AB，AF＝AE，∠CAB＝∠FAE＝45°．∴＝＝，∠CAF＝∠BAE．∴△AFC∽△AEB．∴＝＝．∴的值为．（3）连结FA、CA，如图3，∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，AB＝kBC，AE＝kEF，∴∠FEA＝∠CBA＝90°，＝＝k．∴△FEA∽△CBA．∴＝，∠FAE＝∠CAB．∴∠FAC＝∠EAB．∴△FAC∽△EAB．∴＝∵AC＝＝＝BC．∴＝＝．∴的值为．9．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为（3，0），以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从O点出发沿着OC向点C运动，动点Q从B点出发沿着BA向点A运动，P，Q两点同时出发，速度均为1个单位/秒．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．设运动时间为t秒．（1）求线段BC的长；（2）过点Q作x轴垂线，垂足为H，问t为何值时，以P、Q、H为顶点的三角形与△ABC 相似；（3）连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F．设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．（1）解：如图l，∵△AOB为等边三角形，∴∠BAC＝∠AOB＝60．∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB＝30°，∠OBC＝30°∴∠ACB＝∠OBC，∴CO＝OB＝AB＝OA＝3，∴AC＝6，∴BC＝AC＝；（2）如图2，过点Q作x轴垂线，垂足为H，则QH＝AQ•sin60°＝．需要分类讨论：当△PHQ∽△ABC时，＝，即＝＝，解得，t＝0．同理，当△QHP∽△ABC时，t＝1．综上所述，t＝0或t＝1；（3）解：如图1，过点Q作QN∥OB交x轴于点N．∴∠QNA＝∠BOA＝60°＝∠QAN，∴QN＝QA∴△AQN为等边三角形，∴NQ＝NA＝AQ＝3﹣t，∴ON＝3﹣（3﹣t）＝t，∴PN＝t+t＝2t，∴OE∥QN．∴△POE∽△PNQ∴，∴，∴∵EF∥x轴，∴∠BFE＝∠BCO＝∠FBE＝30°∴EF＝BE，∴m＝BE＝OB﹣OE＝（0＜t＜3）．10．已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE（1）如图1，过点E作EN⊥AE交CD于点N①若BE＝1，求CN的长；②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，求BE的长；（2）如图2，连接BD，设BE＝m，试用含m的代数式表示S四边形CDFE ：S△ADF值．解：（1）①∵BE＝1，∴CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠BEA＝90°，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠BEA+∠FEC＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△ABE∽△ECF，∴＝，即：＝，解得：CN＝；②过点E作EF⊥AD于F，如图1所示：则四边形ABEF是矩形，∴AB＝EF＝2，AF＝BE，由折叠的性质得：CE＝C′E，CN＝C′N，∠EC′N＝∠C＝90°，∴∠NC′D+∠EC′F＝90°，∵∠C′ND+∠NC′D＝90°，∴∠EC′F＝∠C′ND，∵∠D＝∠EFC′，∴△EC′F∽△NC′D，∴＝＝，∴＝＝，∵＝，∴＝，∴＝＝，∴C′D＝BE，设BE＝x，则C′D＝AF＝x，C′F＝4﹣2x，CE＝4﹣x，∴＝，＝，∴DN＝x（2﹣x），CN＝，∴CN+DN＝x（2﹣x）+＝CD＝2，解得：x＝2或x＝，∴BE＝2或BE＝；（2）∵四边形ABCD 为矩形， ∴BC ＝AD ，AD ∥BC ，∴△ADF ∽△EBF ，∴＝＝，∴＝（）2＝，∴S △ADF ＝s △BEF ，S △ABF ＝＝＝S △BEF ，S 四边形CDFE ＝S △ADF +S △ABF ﹣S △BEF ＝S △BEF +S △BEF ﹣S △BEF ＝（+﹣1）S △BEF ， ∴S 四边形CDFE ：S △ADF ＝（+﹣1）S △BEF ：s △BEF ＝1+﹣．11．如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ．（1）若BC ＝BD ，，AD ＝15，求△ABD 的周长．（2）若∠DBC ＝45°，对角线AC 、BD 交于点O ，F 为AE 上一点，且AF ＝2EO ，求证：CF ＝AB ．（1）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，∵BC ＝BD ，∴AD＝BD＝15，∵＝，设BE＝x，则AB＝x，DE＝BD﹣BE＝15﹣x，∴AE＝＝＝3x，AE2+DE2＝AD2，即：（3x）2+（15﹣x）2＝152，解得：x＝3，∴AB＝3，∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝15+15+3＝30+3；（2）证明：延长AE与BC交于点M，过点O作OG∥AE，分别交BC、CF于点G、H，连接EH，BF，并延长BF，与AD交于点N，连接DF，DG，如图所示：∵AE⊥BD，∴OG⊥BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC，AB＝CD，∴BG＝DG，∵∠DBC＝45°，∴∠BDG＝45°，∴∠BGD＝90°，∵OG∥AM，OA＝OC，∴OH是△ACF的中位线，∴OH＝AF＝OE，HF＝HC，∴∠OEH＝∠OHE＝45°＝∠OBC，∴EH∥BC，∴EF＝ME，∵BE⊥MF，∴BF＝BM，∴∠MBE＝∠EBF＝45°，∴∠DNB＝∠NBG＝90°，∴四边形BGDN是正方形，∴DG＝DN＝BN＝BG，∴MG＝FN，∵AM∥OG，OA＝OC，∴MG＝CG，∴CG＝FN，在△DNF和△DGC中，，∴△DNF≌△DGC（SAS），∴DF＝DC，∠NDF＝∠GDC，∴∠FDC＝∠NDG＝90°，∴CF＝CD，∴CF＝AB．12．已知在▱ABCD中，点E，F分别为边AB，BC上的点，∠ADE＝∠BAF，DE，AF交于点M．（1）如图1，若∠ABC＝90°，求证：△AEM∽△AFB；（2）若E为AB中点．①如图2，若AF⊥BC，＝，求的值；②如图3，若∠ABC＝60°，＝n，请直接写出的值（用n的式子表示）．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，且∠ADE＝∠BAF，∴∠BAD﹣∠BAF＝∠ABC﹣∠BAF∴∠AED＝∠AFB，且∠BAF＝∠BAF，∴△AEM∽△AFB（2）如图2，过点E作EN⊥AF于点N，∵EN⊥AF，BF⊥AF，∴EN∥BF，∴∴AF＝2AN，BF＝2EN，∵＝，∴AD＝3BF，∴AD＝6EN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥EN∴△MNE∽△MAD∴，∠ADE＝∠MEN，∴AM＝6MN，∴AN＝7MN，∵∠ADE＝∠MEN，∠BAF＝∠ADE，∴∠BAF＝∠MEN，且∠ANE＝∠ANE，∴△ENM∽△ANE，∴∴EN2＝MN•AN＝AN2，∵设AE＝BE＝a，EN＝b，∴BF＝2b，AD＝6b，∴b2＝（a2﹣b2）∴a＝2b∴AB＝2AE＝2a＝4b，AD＝6b，∴②如图3，过点A作AH平分∠BAD，交BC的延长线于H，过点B作BG∥AH交AF的延长线于点G，∵＝n，E为AB中点．∴AB＝nAD，AE＝BE＝AD∵∠ABC＝60°，AD∥BC，∴∠BAD＝120°，∵AH平分∠BAD，∴∠BAH＝60°＝∠ABC∴△ABH是等边三角形，∴AB＝AH＝BH＝nAD，∵BG∥AH∴∠H＝∠GBF＝60°，∴∠ABG＝120°＝∠EAD，且∠BAF＝∠ADE，∴△ABG∽△DAE，∴∴BG＝AD∵BG∥AH∴△BFG∽△HFA∴∴∴FH＝BF∵BH＝BF+FH∴nAD＝（）BF∴＝13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC，O为AC中点，点D在BO延长线上，CD＝BC，AE∥BC，CE＝CA，AE交BD于点G．（1）若∠DCE＝28°，求∠AOB的度数；（2）求证：AG＝GE；（3）设DC交GE于点M；①若AB＝3，BC＝4，求AG：GM：ME的值；②连结DE，分别记△ABG，△DGM，△DME的面积为S1，S2，S3，当AC∥DE时，S1：S2：S3＝6：1：2 （直接写出答案）．解：（1）∵CD＝BC，CE＝CA，∴∠CAE＝∠CEA，∠CBD＝∠CDB，∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠OCB，∵∠ABC＝90°，O为AC中点，∴OB＝OC，∴∠CBD＝∠OCB＝∠CAE，∴∠ACE＝∠BCD，∴∠ACB＝∠DCE＝28°，∴∠AOB＝∠OBC+∠OCB＝56°；（2）连接CG，如图1所示：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AE∥BC，∴∠OGA＝∠OBC，∠OAG＝∠OCB，∴∠OAG＝∠OGA，∴AO＝OG，∴AO＝OC，∴BO＝OG，∴四边形ABCG是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCG是矩形，∴AG＝BC，CG⊥AE，∵CE＝CA，∴AG＝GE；（3）①作MH⊥CE于H，如图2所示：∵AE∥BC，AG＝GE＝BC，∴四边形GBCE是平行四边形∴∠E＝∠OBC＝∠OCB＝∠DCE，∴MC＝ME，CE＝BG＝AC＝＝＝5，∵MH⊥CE，∴HE＝CE＝，∵cos E＝cos∠OCB＝，∴ME＝＝，∵GE＝AG＝BC＝4，∴GM＝EG﹣ME＝4﹣＝，∴AG：GM：ME＝4：：＝32：7：25；②如图3所示：连接DE．∵OA＝OC，∠ABC＝90°，∴BO＝OA＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AE ∥BC ，∴∠CAE ＝∠ACB ，∠AGO ＝∠OBC ，∵CA ＝CE ，∴∠CAE ＝∠CAE ，∴∠AGB ＝∠AEC ，∴AD ∥CE ，∵DE ∥AC ，∴四边形OCED 是平行四边形，∴OD ＝CE ＝CA ，∵∠OAG ＝∠OGA ，∴OA ＝OG ，∴OA ＝OC ＝OG ＝DG ，∵DG ∥EC ，∴＝＝，∴＝，设S 2＝m ，则S 3＝2m ，∴S △DGE ＝3m ，∵OG ＝GD ，∠AGO ＝∠DGE ，∠OAG ＝∠DEG ，∴△AGO ≌△EGD （AAS ），∴S △AOG ＝S △DEG ＝3m ，∵OB ＝OG ，∴S △ABG ＝2S △AOG ＝6m ，∴S 1：S 2：S 3＝6m ：m ：2m ＝6：1：2．故答案为：6：1：2．14．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是△ABC 内一点，连接AD ，BD ．在BD 左侧作Rt △BDE ，使∠BDE ＝90°，以AD 和DE 为邻边作▱ADEF ，连接CD ，DF ．（1）若AC＝BC，BD＝DE．①如图1，当B，D，F三点共线时，CD与DF之间的数量关系为DF＝CD．②如图2，当B，D，F三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．（2）若BC＝2AC，BD＝2DE，＝，且E，C，F三点共线，求的值．解：（1）①如图1中，连接CF．设AC交BF于G．∵四边形AFED是平行四边形，∴AF＝DE，DE∥AF，∵BD＝DE，∴AF＝BD，∵∠BDE＝90°，∴∠EDF＝∠DFA＝90°＝∠BCG，∵∠CGB＝∠AGF，∴∠CBD＝∠CAF，∵BC＝AC，∴△BCD≌△ACF（SAS），∴∠BCD＝∠ACF，CD＝CF，∴∠BCA＝∠DCF＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴DF＝CD．故答案为DF＝CD．②结论仍然成立．理由：如图2中，连接CF．延长BD交AF的延长线于H，设AC交BH于G．∵四边形AFED是平行四边形，∴AF＝DE，DE∥AF，∵BD＝DE，∴AF＝BD，∵∠BDE＝90°，∴∠DEH＝∠DHA＝90°＝∠BCG，∵∠CGB＝∠AGH，∴∠CBD＝∠CAF，∵BC＝AC，∴△BCD≌△ACF（SAS），∴∠BCD＝∠ACF，CD＝CF，∴∠BCA＝∠DCF＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴DF＝CD．（2）如图3中，延长BD交AF于H．设BH交AC于G．∵四边形AFED是平行四边形，∴AF＝DE，DE∥AF，∵∠BDE＝90°，∴∠DEH＝∠DHA＝90°＝∠BCG，∵∠CGB＝∠AGH，∴∠CBD＝∠CAF，∵＝＝2，∴＝，∴△CBD∽△CAF，∴＝＝2，∠BCD＝∠ACF，∴∠BCA＝∠DCF＝90°，∵AD∥EF，∴∠ADC+∠DCF＝180°，∴∠ADC＝90°，∵CD：AC＝4：5，设CD＝4k，AC＝5k，则AD＝EF＝3k，∴CF＝CD＝2k，∴EC＝EF﹣CF＝k，∴DE＝AF＝＝＝k，∴＝＝．15．已知：在△ABC外分别以AB，AC为边作△AEB与△AFC．（1）如图1，△AEB与△AFC分别是以AB，AC为斜边的等腰直角三角形，连接EF．以EF 为直角边构造Rt△EFG，且EF＝FG，连接BG，CG，EC．求证：①△AEF≌△CGF．②四边形BGCE是平行四边形．（2）小明受到图1的启发做了进一步探究：如图2，在△ABC外分别以AB，AC为斜边作Rt△AEB与Rt△AFC，并使∠FAC＝∠EAB＝30°，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度数一定，请你帮助小明求出的值及∠DEF的度数．（3）小颖受到启发也做了探究：如图3，在△ABC外分别以AB，AC为底边作等腰三角形AEB和等腰三角形AFC，并使∠CAF+∠EAB＝90°，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，当给定∠EAB＝α时，两者间也存在一定的数量关系且夹角度数一定，若AE＝m，AB＝n，请你帮助小颖用含m，n的代数式直接写出的值，并用含α的代数式直接表示∠DEF的度数．（1）证明：①如图1中，∵△EFC与△AFC都是等腰直角三角形，∴FA＝FC，FE＝FG，∠AFC＝∠EFG＝90°，∴∠AFE＝∠CFG，∴△AFE≌△CFG（SAS）．②∵△AFE≌△CFG，∴AE＝CG，∠AEF＝∠CGF，∵△AEB是等腰直角三角形，∴AE＝BE，∠BEA＝90°，∴CG＝BE，∵△EFG是等腰直角三角形，∴∠FEG＝∠FGE＝45°，∴∠AEF+∠BEG＝45°，∵∠CGE+∠CGF＝45°，∴∠BEG＝∠CGE，∴BE∥CG，∴四边形BECG是平行四边形．（2）解：如图2中，延长ED到G，使得DG＝ED，连接CG，FG．∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∵∠EDB＝∠GDC，∴EB＝GC，∠EBD＝∠GCD，在Rt△AEB与Rt△AFC中，∵∠EAB＝∠FAC＝30°，∴＝，＝，∴＝，∵∠EBD＝∠2+60°，∴∠DCG＝∠2+60°，∴∠GCF＝360°﹣60°﹣（∠2+60°）﹣∠3＝360°﹣120°﹣（∠2+∠3）＝360°﹣120°﹣（180°﹣∠1）＝60°+∠1，∵∠EAF＝30°+∠1+30°＝60°+∠1，∴∠GCF＝∠EAF，∴△CGF∽△AEF，∴＝＝，∠CFG＝∠AFE，∴∠EFG＝∠CFG+∠EFC＝∠AFE+∠EFC＝90°，∴tan∠DEF＝＝，∴∠DEF＝30°，∴FG＝EG，∵ED＝EG，∴ED＝FG，∴＝．（3）如图3中，延长ED到G，使得DG＝ED，连接CG，FG．作EH⊥AB于H，连接FD．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDG，DE＝DG，∴△CDG≌△BDE（SAS），∴CG＝BE＝AE，∠DCG＝∠DBE＝α+∠ABC，∵∠GCF＝360°﹣∠DCG﹣∠ACB﹣∠ACF＝360°﹣（α+∠ABC）﹣∠ACB﹣（90°﹣α）＝270°﹣（∠ABC+∠ACB）＝270°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC＝∠EAF，∴△EAF≌△GCF（SAS），∴EF＝GF，∠AFE＝∠CFG，∴∠AFC＝∠EFC，∴∠DEF＝∠CAF＝90°﹣α，∵∠AEH＝90°﹣α，∴∠AEH＝∠DEF，∵AE＝m，AH＝AB＝n，∴EH＝＝＝，∵DE＝DG，EF＝GF，∴DF⊥EG，cos∠DEF＝cos∠AEH＝＝＝．16．在矩形ABCD中，G为AD上一点，连接BG，CG，过作CE⊥BG于点E，连接ED交GC于点F．（1）如图1，若点G为AD的中点，则线段BG与CG有何数量关系？请说理由．（2）如图2，若点E恰好为BG的中点，且AB＝3，AG＝k（0＜k＜3）求的值（用含k 的代数式表示）；（3）在（2）有条件下，若M、N分别为GC、EC上的任意两点，连接NF、NM，当k＝时，求NF+NM的最小值．解：（1）结论：GB＝GC．理由：∵四边形ABCD是矩形，∵AB＝DC，∠A＝∠CDG＝90°，∵GA＝GD，∴△BAG≌△CDG（SAS），∴BG＝CG．（2）解：在矩形ABCD中，∵∠A＝∠ABC＝90°，∵CE⊥BG，∴∠CEB＝90°，∴∠A＝∠CEB，∴∠AGB+∠ABG＝∠ABG+∠GBC＝90°，∴∠AGB＝∠GBC，∴△ABG∽△ECB；∴＝，∵BG＝，E为BG的中点，∴BE＝，∴BC＝，如图1，过G作GH⊥GD交DE于H∴GD＝BC﹣AG＝，∵∠BEC＝∠ADC＝90°，∴G，E．C，D四点共圆，∴∠GDH＝∠GCE＝∠BCE＝∠ABG，∴△AGB∽△GDH，∴＝，∴GH＝，∴＝＝，∴＝＝；（3）当k＝时，＝，如图2，过F作FJ⊥BC于J交CE于N，反向延长交AD于H，则FH⊥AD，过N作NM⊥PC于M，∴NF+NM的最小值即为FJ的长，∴＝＝，∴＝，∵HJ＝CD＝AB＝3，∴FJ＝，即NF+NM的最小值是．17．如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点D与原点O重合，AD，CD分别在x轴，y轴上，且AD＝8，CD＝6．将矩形ABCD绕点O按顺时针方向旋转a度得到矩形A′B′C′D，此时A′D与直线BC相交于点P．（1）当a＝60°时，的值是．（2）如图2，当矩形A'B′C′D的顶点B'落在y轴正半轴时，求的值；（3）如图3，当矩形A'B′C′D的顶点B'落在直线BC上时，求△OPB′的面积．解：（1）∵a＝60°，∴∠POC＝30°，∴PC＝OC•tan∠POC＝6×＝2，则＝＝，故答案为：；（2）∵A′O∥B′C'，∠POC＝∠C′B′O，又∠PCO＝∠B′C′O＝90°，∴△PCO∽△OC′B′，∴＝，即＝，解得，PC＝，∴＝＝；（3）由旋转可知∠B′A′O＝∠BAO＝90°，A′B'＝OC＝6，在△OPC和△B′PA′中，，∴△OPC≌△B′PA′（AAS），∴PO＝PB′，设PB′＝m，则OP＝m，PC＝8﹣m，在Rt△OCP中，OC2+PC2＝PO2，即m2＝（8﹣m）2+62，解得，m＝∴△OPB′的面积＝PB′•OC＝××6＝．18．如图，在矩形ABCD中，BC＝1，∠CBD＝60°，点E是AB边上一动点（不与点A，B重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G（1）求证：△ADE∽△CDF；（2）设AE的长为x，△DEF的面积为y．求y关于x的函数关系式；（3）当△BEF的面积S取得最大值时，连接BG，请判断此时四边形BGDE的形状，并说明理由．（1）证明：在矩形ABCD中，∵∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCF＝90°，∵DF⊥DE，∴∠A＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF；（2）解：∵BC＝1，∠CBD＝60°，∠DCB＝90°，∴CD＝．∵△ADE∽△CDF，∴＝＝＝＝，即DF＝DE．在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝1+x2．则S＝DF•DE＝DE2＝（1+x2）＝x2+；△DEF（3）解：当△BEF的面积S取得最大值时，四边形BGDE是菱形，理由如下：由（2）知，CD＝．则在矩形ABCD中，AD＝BC＝1，AB＝CD＝．∵AE＝x，∴BE＝﹣x．∵△ADE∽△CDF，∴＝＝．∴CF＝x．∴S＝＝（﹣x）（1+x）＝﹣（x﹣）2+．∴当x＝时，S有最大值．此时BE＝，CF＝1，BF＝2．∵CG∥BE，∴△CFG∽△BFE，∴＝．∴CG＝．∴DG＝．∴BE＝DG，且BE∥DG．∴四边形BGDE是平行四边形．又∵BE＝BG．∴平行四边形BGDE是菱形．19．如图l，在四边形ABCD中，∠DAB被对角线AC平分，且AC2＝AB•AD，我们称该四边形为“可分四边形”∠DAB称为“可分角”．（1）如图2，四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，求证：△DAC∽△CAB．（2）如图2，四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，如果∠DCB＝∠DAB，则∠DAB＝120°．（3）现有四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，且AC＝4，BC＝2，∠D ＝90°，则AD＝．（1）证明：∵四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，∴AC2＝AB•AD，∴，∵∠DAB为“可分角”，∴∠CAD＝∠BAC，∴△DAC∽△CAB；（2）解：如图所示：∵AC平分∠DAB，∴∠1＝∠2，∵AC2＝AB•AD，∴AD：AC＝AC：AB，∴△ADC∽△ACB，∴∠D＝∠4，∵∠DCB＝∠DAB，∴∠DCB＝∠3+∠4＝2∠1，∵∠1+∠D+∠3＝∠1+∠4+∠3＝180°，∴∠1+2∠1＝180°，解得：∠1＝60°，∴∠DAB＝120°；故答案为：120；（3）解：∵四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，∴AC2＝AB•AD，∠DAC＝∠CAB，∴AD：AC＝AC：AB，∴△ADC∽△ACB，∴∠D＝∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝2，∴AD＝＝＝．故答案为：20．如图1，△ABC为等边三角形，AB＝6，直角三角板DEF中∠F＝90°，∠FDE＝60°，点D在边BC上运动，边DF始终经过点A，DE交AC于点G．（1）求证：△ABD∽△DCG；（2）设BD＝x，若，求x的值；（3）如图2，当D运动到BC中点时，点P为AD上一动点，连接CP，将线段CP绕点C 逆时针旋转60°得到CP'，DP'．①求∠CBP'的度数；②求DP'的最小值．解：（1）∵三角形ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADG+∠CDG，∴∠B+∠BAD＝∠ADG+∠CDG，∵∠ADG＝60°，∴∠BAD＝∠CDG，∵∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCG．（2）由（1）知△ABD∽△DCG，∴，∵BD＝x，CD＝6﹣x，AB＝6，CG＝，代入得：，解得：x＝2或4．（3）①由旋转知∠PCP′＝60°，CP＝CP′∵△ABC是等边三角形．∴AC＝BC，∠ACB＝60°．∴∠ACP＝∠BCP′，∴△ACP≌△BCP′（SAS），∠CBP′＝∠CAD＝30°．②如图3，根据“垂线段最短”可知，当DP′⊥BP′时，DP′最短．∵∠CBP′＝30°，∴DP′＝BD＝1.5．。