2019-2020年中考北师大版中考数学专题复习：类比探究测试题.docx

专题七 类比探究题类型一 线段数量关系问题(2018·河南)(1)问题发现如图①，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC ，BD 交于点M.填空： ①ACBD的值为________； ②∠AMB 的度数为________； (2)类比探究如图②，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC 交BD 的延长线于点M.请判断ACBD 的值及∠AMB 的度数，并说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，将△OCD 绕点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M ，若OD ＝1，OB ＝7，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长．【分析】 (1)①证明△COA≌△DOB(SAS)，得AC ＝BD ，比值为1；②由△COA≌△DOB，得∠CAO＝∠DBO，根据三角形的内角和定理，得∠AMB＝180°－(∠DBO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－140°＝40°；(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则AC BD ＝OCOD ＝3，由全等三角形的性质得∠AMB 的度数；(3)正确画出图形，当点C 与点M 重合时，有两种情况：如解图①和②，同理可得△AOC∽△BOD，则∠AMB ＝90°，ACBD ＝3，可得AC 的长．【自主解答】解：(1)问题发现①1【解法提示】∵∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠COA＝∠DOB. ∵OC＝OD ，OA ＝OB ， ∴△COA≌△DOB(SAS)， ∴AC＝BD ， ∴ACBD＝1. ②40°【解法提示】∵△COA≌△DOB， ∴∠CAO＝∠DBO. ∵∠AOB＝40°， ∴∠OAB＋∠ABO＝140°，在△AMB 中，∠AMB＝180°－(∠CAO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－(∠DBO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－140°＝40°. (2)类比探究ACBD＝3，∠AMB＝90°，理由如下： 在Rt△OCD 中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°， ∴OD OC ＝tan 30°＝33， 同理，得OB OA ＝tan 30°＝33，∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOC＝BOD ， ∴△AOC∽△BOD， ∴AC BD ＝OCOD＝3，∠CAO＝∠DBO. ∴∠AMB＝180°－∠CAO－∠OAB－MBA ＝180°－(∠DAB＋∠MBA＋∠OBD)＝180°－90°＝90°. (3)拓展延伸①点C 与点M 重合时，如解图①， 同理得△AOC∽△BOD， ∴∠AMB＝90°，ACBD ＝3，设BD ＝x ，则AC ＝3x ， 在Rt△COD 中，∵∠OCD＝30°，OD ＝1， ∴CD＝2， ∴BC＝x －2.在Rt△AOB 中，∠OAB＝30°，OB ＝7. ∴AB＝2OB ＝27，在Rt△AMB 中，由勾股定理，得AC 2＋BC 2＝AB 2， 即( 3 x)2＋(x －2)2＝(27)2， 解得x 1＝3，x 2＝－2(舍去)， ∴AC＝33；②点C 与点M 重合时，如解图②，同理得：∠AMB＝90°，ACBD ＝3，设BD ＝x ，则AC ＝3x ，在Rt△AMB 中，由勾股定理，得AC 2＋BC 2＝AB 2， 即(3x)2＋(x ＋2)2＝(27)2解得x 1＝－3，解得x 2＝2(舍去)． ∴AC＝2 3.综上所述，AC 的长为33或2 3.图①图② 例1题解图1．(2016·河南) (1)发现如图①，点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝a ，AB ＝b.填空：当点A 位于________________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为__________(用含a ，b 的式子表示)． (2)应用点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝3，AB ＝1，如图②所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE.①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE 长的最大值． (3)拓展如图③，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(5，0)，点P 为线段AB 外一动点，且PA ＝2，PM ＝PB ，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标．2．(2015·河南)如图①，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，BC ＝2AB ＝8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE.将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α. (1)问题发现①当α＝0°时，AE BD ＝2；②当α＝180°时，AE BD ＝2；(2)拓展探究试判断：当0°≤α<360°时，AEBD 的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明．(3)解决问题当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．3．(2014·河南) (1)问题发现如图①，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE. 填空：①∠AEB 的度数为__________；②线段AD ，BE 之间的数量关系为______________． (2)拓展探究如图②，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由． (3)解决问题如图③，在正方形ABCD 中，CD ＝2，若点P 满足PD ＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A 到BP 的距离．4．(2018·南阳二模)在△ABC中，∠ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接EC.(1)操作发现若AB＝AC，∠BAC＝90°，当D在线段BC上时(不与点B重合)，如图①所示，请你直接写出线段CE和BD 的位置关系和数量关系是______________，______________；(2)猜想论证在(1)的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断(1)中结论是否成立，并证明你的判断．(3)拓展延伸如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角∠ACB等于________度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立(点C，E重合除外)？此时若作DF⊥AD交线段CE于点F，且当AC＝32时，请直接写出线段CF的长的最大值是____．5．已知，如图①，△ABC，△AED是两个全等的等腰直角三角形(其顶点B，E重合)，∠BAC＝∠AED＝90°，O为BC的中点，F为AD的中点，连接OF.(1)问题发现①如图①，OFEC＝_______；②将△AED 绕点A 逆时针旋转45°，如图②，OFEC ＝_______；(2)类比延伸将图①中△AED 绕点A 逆时针旋转到如图③所示的位置，请计算出OFEC 的值，并说明理由．(3)拓展探究将图①中△AED 绕点A 逆时针旋转，旋转角为α，0°≤α≤90°，AD ＝2，△AED 在旋转过程中，存在△ACD 为直角三角形，请直接写出线段CD 的长．类型二 图形面积关系问题(2017·河南)如图①，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点． (1)观察猜想图①中，线段PM 与PN 的数量关系是________，位置关系是________； (2)探究证明把△AD E 绕点A 逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由； (3)拓展延伸把△ADE 绕A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．图①图② 例2题图【分析】 (1)利用三角形的中位线定理得出PM ＝12CE ，PN ＝12BD ，进而判断出BD ＝CE ，即可得出结论，再利用三角形的中位线定理得出PM∥CE，继而得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；(2)先判断出△ABD≌△ACE，得出BD ＝CE ，同(1)的方法得出PM ＝12BD ，PN ＝12BD ，即可得出PM ＝PN ，同(1)的方法即可得出结论；(3)先判断出MN 最大时，△PMN 的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大＝AM ＋AN ，最后用面积公式即可得出结论． 【自主解答】解：(1)∵点P ，N 是BC ，CD 的中点， ∴PN∥BD，PN ＝12BD.∵点P ，M 是CD ，DE 的中点， ∴PM∥CE，PM ＝12CE.∵AB＝AC ，AD ＝AE ， ∴BD ＝CE ， ∴PM＝PN. ∵PN∥BD， ∴∠DPN＝∠ADC， ∵PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCA. ∵∠BAC＝90°， ∴∠ADC＋∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCA＋∠ADC＝90°，(2)由旋转知，∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC ，AD ＝AE ， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴∠ABD＝∠ACE，BD ＝CE.同(1)的方法，利用三角形的中位线定理，得PN ＝12BD ，PM ＝12CE ，∴PM＝PN ，∴△PMN 是等腰三角形， 同(1)的方法得，PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCE， 同(1)的方法得，PN∥BD， ∴∠PNC＝∠DBC.∵∠DPN＝∠DCB＋∠PNC＝∠DCB＋∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCE＋∠DCB＋∠DBC＝∠BCE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ACE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABD ＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABC. ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACB＋∠ABC＝90°， ∴∠MPN＝90°，∴△PMN 是等腰直角三角形，例2题解图(3)如解图，同(2)的方法得，△PMN 是等腰直角三角形， ∴当MN 最大时，△PMN 的面积最大， ∴DE∥BC 且DE 在顶点A 上面， ∴MN 最大＝AM ＋AN ， 连接AM ，AN ，在△ADE 中，AD ＝AE ＝4，∠DAE＝90°，在Rt△ABC 中，AB ＝AC ＝10，AN ＝52， ∴MN 最大＝22＋52＝72，∴S △PMN 最大＝12PM 2＝12×12MN 2＝14×(72)2＝492.1．(2013·河南)如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E ＝30°. (1)操作发现如图②，固定△ABC，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是______________；②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是______________． (2)猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到如图③所示的位置时，小明猜想(1)中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想． (3)拓展探究已知∠ABC＝60°，点D 是角平分线上一点，BD ＝CD ＝4，DE∥AB 交BC 于点E(如图④)．若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF ＝S △BDE ，请直接写出相应的BF 的长．2．已知Rt△ABC 中，BC ＝AC ，∠C＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF＝90°，将∠EDF 绕点D 旋转，它的两边分别交AC ，CB(或它们的延长线)于E ，F.当∠EDF 绕点D 旋转到DE⊥AC 于E 时，如图①所示，试证明S △DEF ＋S △CEF ＝12S △ABC .(1)当∠EDF 绕点D 旋转到DE 和AC 不垂直时，如图②所示，上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，试说明理由．(2)直接写出图③中，S△DEF，S△CEF与S△ABC之间的数量关系．3．(2018·郑州模拟)如图①所示，将两个正方形ABCD和正方形CGFE如图所示放置，连接DE，BG. (1)图中∠DCE＋∠BCG＝__________°；设△DCE的面积为S1，△BCG的面积为S2，则S1与S2的数量关系为______________；猜想论证：(2)如图②所示，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG，连接DE，BG，设△DCE的面积为S1，△BCG的面积为S2，猜想S1和S2的数量关系，并加以证明；(3)如图③所示，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，∠B＝30°，把△ABC沿AC翻折得到△AEC，过点A作AD 平行CE交BC于点D，在线段CE上存在点P，使△ABP的面积等于△ACD的面积，请写出CP的长．4．(2018·驻马店一模)如图①，△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，点M，N分别是斜边AB，DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD，PM，PN，MN.(1)观察猜想图①中，PM与PN的数量关系是______________，位置关系是______________；(2)探究证明将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，得到图②，AE与MP，BD分别交于点G，H，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把△CDE绕点C任意旋转，若AC＝4，CD＝2，请直接写出△PMN面积的最大值．参考答案类型一 针对训练1．解：(1)∵点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝a ，AB ＝b ，∴当点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为BC ＋AB ＝a ＋b. (2)①CD＝BE ，理由：∵△ABD 与△ACE 是等边三角形， ∴AD＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB. 在△CAD 和△EAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ∠CAD＝∠EAB AC ＝AE ，∴△CAD≌△EAB，∴CD＝BE.②∵线段BE 长的最大值等于线段CD 的最大值，由(1)知，当线段CD 的长取得最大值时，点D 在CB 的延长线上， ∴线段BE 长的最大值为BD ＋BC ＝AB ＋BC ＝4；(3)∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN ，如解图①， 则△APN 是等腰直角三角形， ∴PN＝PA ＝2，BN ＝AM.∵点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(5，0)， ∴OA＝2，OB ＝5，∴AB＝3，∴线段AM长的最大值等于线段BN长的最大值，∴当点N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值为AB＋AN.∵AN＝2AP＝22，∴线段AM的长最大值为22＋3.如解图②，过点P作PE⊥x轴于点E.∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝2，∴OE＝BO－AB－AE＝5－3－2＝2－2，∴P(2－2，2)．图①图②第1题解图2．解：(1)①当α＝0°时，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴AC＝AB2＋BC2＝（8÷2）2＋82＝4 5.∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴AE＝45÷2＝25，BD＝8÷2＝4，∴AEBD＝254＝52.②如解图①，当α＝180°时，得可得AB∥DE，∵ACAE＝BCBD，∴AEBD＝ACBC＝458＝52.(2)当0°≤α≤360°时，AEBD的大小没有变化．∵∠ECD＝∠ACB， ∴∠ECA＝∠DCB. 又∵EC DC ＝AC BC ＝52，∴△ECA∽△DCB， ∴AE BD ＝EC DC ＝52.图①图②图③ 第2题解图(3)①如解图②，∵AC＝45，CD ＝4，CD⊥AD，∴AD＝AC 2－CD 2＝（45）2－42＝80－16＝8. ∵AD＝BC ，AB ＝DC ，∠B＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形， ∴BD＝AC ＝4 5.③如解图③，连接BD ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点Q ，过点B 作AC 的垂线交AC 于点P ， ∵AC＝45，CD ＝4，CD⊥AD，∴A D ＝AC 2－CD 2＝（45）2－42＝80－16＝8， ∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点， ∴DE＝12AB ＝12×(8÷2)＝12×4＝2，∴AE＝AD －DE ＝8－2＝6， 由(2)，可得AE BD ＝52，∴BD＝652＝1255.综上所述，BD 的长为45或1255. 3．解：(1)∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形， ∴CA＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ∠ACD＝∠BCE CD ＝CE， ∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠ADC＝∠BEC. ∵△DCE 为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°. ∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC＝120°， ∴∠BEC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝60°. ②∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE. (2)∠AEB＝90°，AE ＝BE ＋2CM. 理由如下：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形， ∴CA＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB＝∠DCE＝90°. ∴∠ACD＝∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CA ＝CB ∠ACD＝∠BCE CD ＝CE， ∴△ACD≌△BCE(SAS)， ∴AD＝BE ，∠ADC＝∠BEC.∵△DCE 为等腰直角三角形，∴∠CD E ＝∠CED＝45°. ∵点A ，D ，E 在同一直线上， ∴∠ADC＝135°，∴∠BEC＝135°， ∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°. ∵CD＝CE ，CM⊥DE，∴DM＝ME. ∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME ＝CM ， ∴AE＝AD ＋DE ＝BE ＋2CM.(3)∵PD＝1，∴点P 在以点D 为圆心，1为半径的圆上．∵∠BPD＝90°，∴点P在以BD为直径的圆上，∴点P是这两圆的交点．①当点P在如解图①所示位置时，连接PD，PB，PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝45°，AB＝AD＝DC＝BC＝2，∠BAD＝90°，∴BD＝2.∵DP＝1，∴BP＝ 3.∵∠BPD＝∠BAD＝90°，∴点A、P、D、B在以BD为直径的圆上，∴∠APB＝∠ADB＝45°.∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，点B，E，P共线，AH⊥BP，∴由(2)中的结论可得：BP＝2AH＋PD，∴3＝2AH＋1，∴AH＝3－1 2；②当点P在如解图②所示位置时，连接PD、PB、PA、作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，同理可得：BP＝2AH－PD，∴3＝2AH－1，∴AH＝3＋1 2.综上所述，点A到BP的距离为3－12或3＋12.图①图② 第3题解图4．解：(1)①∵AB＝AC ，∠BAC＝90°， 线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ， ∴AD＝AE ，∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE， ∴CE＝BD ，∠ACE ＝∠B， ∴∠BCE＝∠BCA＋∠ACE＝90°，∴线段CE ，BD 之间的位置关系和数量关系为CE ＝BD ，CE⊥BD； (2)(1)中的结论仍然成立．证明如下： 如解图①，∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ， ∴AE＝AD ，∠DAE＝90°. ∵AB＝AC ，∠BAC＝90°， ∴∠CAE＝∠BAD， ∴△ACE≌△ABD， ∴CE＝BD ，∠ACE＝∠B， ∴∠BCE＝90°，∴线段CE ，BD 之间的位置关系和数量关系为CE ＝BD ，CE⊥BD； (3)45°；34.过A 作AM⊥BC 于M ，过点E 作EN⊥MA 交MA 的延长线于N ，如解图②. ∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ， ∴∠DAE＝90°，AD ＝AE ，∴∠NAE＝∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA， ∴NE＝AM.∵CE⊥BD，即CE⊥MC，∴∠MCE＝90°， ∴四边形MCEN 为矩形， ∴NE＝MC ，∴AM＝MC ， ∴∠ACB＝45°. ∵四边形MCEN 为矩形， ∴Rt△AMD∽Rt△DCF， ∴MD CF ＝AMDC，设DC ＝x ， ∵在Rt△AMC 中，∠ACB＝45°，AC ＝32，∴AM＝CM ＝3，MD ＝3－x ，∴3－x CF ＝3x ，∴CF＝－13x 2＋x ＝－13(x －32)2＋34，∴当x ＝32时，CF 有最大值，最大值为34.故答案为45°，34；图①图② 第4题解图5．解：(1)①∵△A BC ，△AED 是两个全等的等腰直角三角形， ∴AD＝BC.∵O 为BC 的中点，F 为AD 的中点， ∴AF＝OC.∵∠BAC＝∠AED＝90°，AB ＝AC ，AE ＝DE ， ∴∠DAE＝∠CBA＝45°， ∴AD∥BC，∴四边形AFOC 是平行四边形， ∴OF＝AC ＝22EC ，∴OF EC ＝22； 故答案：22； ②∵AO＝22AC ，∠BAO＝∠CAO＝45°，∠DAE＝45°， ∴∠DAE＝∠CAO. ∵AE＝AC ， ∴AF＝AO ， ∴AF AE ＝AO AC，∴△AFO∽△AEC， ∴OF EC ＝AO AC ＝22； 故答案：22. (2)OF ＝22EC. 理由：在等腰直角△ADE 中，F 为AD 的中点， ∴AF＝12AD ＝22AE.在等腰直角△ABC 中，O 为BC 的中点， 如解图①，连接AO ， ∴AO＝22AC ，∠BAO＝∠CAO＝45°. ∴∠DAE＝45°，∴∠DAE＝∠CAO，即∠DAO＝∠CAE. ∵AE＝AC ， ∴AF＝AO ， ∴AF AE ＝AO AC， ∴△AFO∽△AEC， ∴OF EC ＝AO AC ＝22； (3)∵△ABC 和△AED 是两个全等的等腰直角三角形， ∴AD＝BC ＝2， ∴ED＝AE ＝AB ＝AC ＝1，当△ACD 为直角三角形时，分两种情况：图①图②图③ 第5题解图①当AD 与AB 重合时，如解图②，连接CD. 当△ACD 为直角三角形时，AD⊥AC， 即将△ADE 绕点A 逆时针旋转45°. ∵AD＝2，AC ＝1，∴由勾股定理可得CD ＝（2）2＋12＝3； ②当AE 与AC 重合时，如解图③， 当△ACD 为直角三角形时，AC⊥CD，即将△ADE 绕点A 逆时针旋转90°，此时CD ＝AC ＝1. 综上所述，CD 的长为3或1. 类型二 针对训练1．解：(1)①△DEC 绕点C 旋转到点D 恰好落在AB 边上， ∴AC＝CD.∵∠BAC＝90°－∠B＝90°－30°＝60°. ∴△ACD 是等边三角形， ∴∠ACD＝60°，又∵∠CDE＝∠BAC＝60°， ∴∠ACD＝∠CDE， ∴DE∥AC；②∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴CD＝AC ＝12AB ，∴BD＝AD ＝AC ，根据等边三角形的性质，△ACD 的边AC ，AD 上的高相等，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S 1＝S 2； (2)∵△DEC 是由△ABC 绕点C 旋转得到， ∴BC＝CE ，AC ＝CD ，∠DCE＝∠ACB＝90°， ∵∠ACN＋∠ACE＝180°， ∴∠ACN＝∠DCM.在△ACN 和△DCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACN＝∠DCM，∠N＝∠CMD＝90°，AC ＝CD∴△ACN≌△DCM(AAS)， ∴AN＝DM ，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S 1＝S 2；第1题解图(3)如解图，过点D 作DF 1∥BE 交BA 于点F 1，易求得四边形BEDF 1是菱形，∴BE＝DF 1，且BE ，DF 1边上的高相等，此时S△DCF 1＝S △BDE ； 过点D 作DF 2⊥BD.∵∠ABC＝60°，F 1D∥BE 交BA 于点F 2， ∴∠F 2F 1D ＝∠ABC＝60°.∵BF 1＝DF 1，∠F 1BD ＝12∠ABC＝30°，∠F 2DB ＝90°，∴∠F 1DF 2＝∠ABC＝60° ∴△DF 1F 2是等边三角形， ∴DF 1＝DF 2.∵BD＝CD ，∠ABC＝60°，点D 是角平分线上一点， ∴DBC＝∠DCB＝12×60°＝30°，∴∠CDF 1＝180°－∠BCD＝180°－30°＝150°， ∠CDF 2＝360°－150°－60°＝150°， ∴∠CDF 1＝∠CDF 2. 在△CDF 1和△CDF 2中， ⎩⎪⎨⎪⎧DF 1＝DF 2∠CDF 1＝∠CDF 2CD ＝CD， ∴△CDF 1≌△CDF 2(SAS)，∴点F 2也是所求的点． ∵∠ABC＝60°，点D 是角平分线上一点，DE∥AB， ∴∠DBC＝∠BDE＝∠ABD＝12×60°＝30°.又∵BD＝4，∴BE＝12×4÷cos 30°＝2÷32＝433，∴BF 1＝433，BF 2＝BF 1＋F 1F 2＝433＋433＝833.故BF 的长为433或833.2．解：当∠EDF 绕D 点旋转到DE⊥AC 时，四边形CEDF 是正方形；设△ABC 的边长AC ＝BC ＝a ，则正方形CEDF 的边长为12a ，∴S △ABC ＝12a 2，S 正方形CEDF ＝(12a)2＝14a 2，即S △DEF ＋S △CEF ＝12S △ABC ；(1)上述结论成立；理由如下： 连接CD ，如解图①所示．∵AC＝BC ，∠ACB＝90°，D 为AB 中点，∴∠B＝45°，∠DCE＝12∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD ＝12AB ＝BD ，∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90° ∵∠EDF＝90°， ∴∠1＝∠2， 在△CDE 和△BDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2CD ＝BD∠DCE＝∠B， ∴△CDE≌△BDF(ASA)，∴S △DEF ＋S △CEF ＝S △ADE ＋S △BDF ＝12S △ABC ；图①图② 第2题解图(2)S △DEF －S △CEF ＝12S △ABC ；理由如下：连接CD ，如解图②所示，同(1)得：△DEC≌△DFB，∠DCE＝∠DBF ＝135°， ∴S △DEF ＝S 五边形DBFEC ， S △CFE ＋S △DBC ， ＝S △CFE ＋12S △ABC ，∴S △DEF －S △CFE ＝12S △ABC .∴S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是S △DEF －S △CEF ＝12S △ABC .3．解：(1)如解图①中，∵四边形ABCD 、EFGC 都是正方形， ∴∠BCD＝∠ECG＝90°.∵∠BCG＋∠BCD＋∠DCE＋∠ECG＝360°， ∴∠BCG＋∠ECD＝180°.图①图②图③ 第3题解图如解图①，过点E 作EM⊥DC 于点M ，过点G 作GN⊥BN 交BN 的延长线于点N ， ∴∠EMC＝∠N＝90°.∵四边形ABCD 和四边形ECGF 均为正方形， ∴∠BCD＝∠DCN＝∠ECG＝90°，CB ＝CD ，CE ＝CG ，∴∠1＝90°－∠2，∠3＝90°－∠2， ∴∠1＝∠3. 在△CME 和△CNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EMC＝∠GNC ∠1＝∠3EC ＝CG， ∴△CME≌△CNG(ASA)， ∴EM＝GN.又∵S 1＝12CD·EM，S 2＝12CB·GN，∴S 1＝S 2；故答案为180°，S 1＝S 2； (2)猜想：S 1＝S 2，证明：如解图②，过点E 作EM⊥DC 于点M ，过点B 作BN⊥GC 交GC 的延长线于点N ， ∴∠EMC＝∠N＝90°.∵矩形CGFE 由矩形ABCD 旋转得到的， ∴CE＝CB ，CG ＝CD ，∵∠ECG＝∠ECN＝∠BCD＝90°，∴∠1＝90°－∠2，∠3＝90°－∠2，∴∠1＝∠3. 在△CME 和△CNB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EMC＝∠BNC ∠1＝∠3EC ＝CB， ∴△CME≌△CNB(AAS)． ∴EM＝BN.又∵S 1＝12CD·EM，S 2＝12CG ·BN ，∴S 1＝S 2;(3)如解图③，作DM⊥AC 于M ，延长BA ，交EC 于N ， ∵AB＝AC ＝10 cm ，∠B＝30°， ∴∠ACB＝∠ABC＝30°， ∴∠BAC＝120°，根据翻折的性质，得∠ACE＝∠ACB＝30°， ∵AD∥CE，∴∠DAC＝∠ACE＝30°， ∴∠BAD＝90°，DM ＝12AD ，∴BN⊥EC.∵AD＝tan∠ABD·AB，AB ＝10 cm ， ∴AD＝tan 30°×10＝103 3 (cm)，∴DM＝12×1033＝533(cm)．∵S △ABP ＝12AB·PN，S △ADC ＝12AC·DM，S △ABP ＝S △ADC ，AB ＝AC ，∴PN＝DM ＝533.在Rt△ANC 中，∠ACN＝30°，AC ＝10 (cm)， ∴NC＝cos∠ACN·AC＝cos 30°×10＝53(cm)． ∵在EC 上到N 的距离等于533的点有两个，∴P′C＝103 3 cm ，P ″C ＝203 3 cm.∴CP 的长为103 3 cm 或203 3 cm.4．解：(1)PM ＝PN ，PM⊥PN，理由如下： 如解图①，延长AE 交BD 于O ， ∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形， ∴AC＝BC ，EC ＝CD ，∠ACB＝∠ECD＝90°. 在△ACE 和△BCD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE＝∠BCD＝90°，CE ＝CD ，∴△ACE≌△BCD(SAS)， ∴AE＝BD ，∠EAC＝∠CBD，∵∠EAC＋∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEO， ∴∠CBD＋∠BEO＝90°， ∴∠BOE ＝90°，即AE⊥BD，∵点M 、N 分别是斜边AB 、DE 的中点，点P 为AD 的中点， ∴PM＝12BD ，PN ＝12AE ，∴PM＝PN.∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，∴∠NPD＝∠EAC，∠MPA＝∠BDC，∠EAC＋∠BDC＝90°， ∴∠MPA＋∠NPC＝90°，∴∠MPN＝90°， 即PM⊥PN.图①图② 第4题解图(2)△PMN 为等腰直角三角形，理由如下： 如解图②，设AE 交BC 于点O. ∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形， ∴AC＝BC ，EC ＝CD ，∠AC B ＝∠ECD＝90°， ∴∠ACB＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE， ∴∠ACE＝∠BCD， ∴△ACE≌△BCD， ∴AE＝BD ，∠CAE ＝∠CBD. 又∵∠AOC＝∠BOE，∠CAE＝∠CBD， ∴∠BHO＝∠ACO＝90°.∵点P ，M ，N 分别为AD ，AB ，DE 的中点， ∴PM＝12BD ，PM∥BD，PN ＝12AE ，PN∥AE，∴PM＝PN ，∴∠MGE＋∠BHA＝180°， ∴∠MGE＝90°， ∴∠MPN＝90°，∴PM⊥PN，即△PMN 为等腰直角三角形．(3)由(2)可知△PMN 是等腰直角三角形，PM ＝12BD ，∴当BD 的值最大时，PM 的值最大，△PMN 的面积最大， ∴当B ，C ，D 共线时，BD 的最大值为BC ＋CD ＝6， ∴PM＝PN ＝3，∴△PMN 面积的最大值为12×3×3＝92.。

2019-2020 年中考数学模拟试卷（一）北师大版本套数学试卷共有六个大题，25 个小题，全卷包含选择题、填空题、解答题三种题型，其分值分别为24 分、 24 分、 72 分，分值比为 2.5 ︰ 1.5 ︰ 6，试卷考查内容覆盖了《义务教育数学课程标准》三个知识领域的主要内容，“数与代数” 、“空间与图形”和“统计与概率”的分值分别约占总分的 51%、34%、 15%.试卷充分地体现了课程改革理念，在全面考查核心数学内容的基础上，注重考查学生灵活运用数学知识解决问题的能力、注重考察学生的观察、实验、猜想、推理能力，试题注意了减少计算、适当增加思维量，削弱了封闭式的、繁难的几何证明，取而代之的是以发现、猜测和探究为主线的新式几何试题 . 减少纯数学问题解答，加大了对应用性问题比例 . 具体说来有以下几点值得大家关注 .试题特征题号特征说明新信息20不出选做题，对计算器使用的考查放在大题计算过程中；地方特色3以“ 2010 年 6 月江西抗洪救灾捐款”为题材考查科学记数法132010 年考查的是对三视图的判别，预计2011 年将会考查根据三视强预测图判定几何体的数量易错题5学生易将 1-4 月利润极差误以为是 4 月与 1 月的利润的差 .较难题25结合图形的性质探索图形变化规律，并用函数关系式表示其规律.一、选择题（本大题共8 小题，每小题 3 分，满分24 分）1．下列各数中，负数是【 B 】A．(12) B. 1 1 C.(1) D. 1 2【解析】考查点：本题考查了有理数（负数）的意义及有理数和负、零指数幂的运算；解题思路：需紧扣负、零指数意义和“- ”号的处理方法来化简各数，如“ 1 1”中的“-1”不是底数，所以“ 1 1”应理解为1的 -1次方的相反数，另还应注意负指数幂转化为正指幂的方法，即：“底倒指反” .【易错提示】 1 1易化简为12．下列各等式成立的是（C）A. a2a5a7B.( a2 )3a6C.a21( a 1)(a 1)D. ( a b) 2a2b2【解析】考查点：本题考查了整式的加减，幂乘方的运算，以及乘法公式的应用. 解题思路：A×a2与 a3不是同类项，不能合并，故 A 错；B×负数的奇次方，应为负数，故 B 错；C√a2 1 (a 1)(a1)D×(a b)2应等于 a22ab b2故 D 错 .，原式漏了 2ab3.2010 年江西省发生了特大洪灾 , 洪灾无情人有情，在此期间，社会各界高度关注灾情，纷纷慷慨相助，奉献爱心 . 从 6 月 18 日至 6 月 29 日 16 时，江西省民政厅救灾捐赠接收办公室共接收捐款3002.317 万元，其中 3002.317万元这个数字（保留四位有效数字）用科学记数表示为（ D ） .A.3.002 × 10 3元B. 30.02×10 3元C.3.00231×10 3元D. 3.002× 10 7元【解析】考查点：本题考查了科学记数法及有效数字意义;解题思路：由于“ 3002.317 万”是个较大的数，首先将 3002.317按科学记数法写成 a× 10 n的形式，再注意把数字后面的文字“万”转化成 10 的指数次幂 , 同时只对 a 取保留四个有效数字的近似值 .【归纳总结】用科学记数法表示的数 a 10n中,有效数字的个数只针对 a 的数字,与 10n无关;原带“文字单位”的大数用科学记数法表示时要注意单位的转化.4.已知四边形 ABCD是平行四边形，下列结论中不．正确的是（ D ）A. 当 AB=BC时，它是菱形B.当 AC⊥ BD时，它是菱形D.当 AC=BD时，它是正方形C.当∠ ABC=90时，它是矩形【解析】考查点：本题考查了平行四边形的性质, 以及菱形、矩形、正方形的判定 .解题思路：在平行四边形基础上，紧扣菱形、矩形、正方形的判定，分析各选项中所添加的条件是否符合相应的判定条件 .5．某企业 1～5 月份利润的变化情况图所示，以下说法与图中反映的信息相符的是（ C）A． 1～2 月份利润的增长快于2～ 3 月份分利润的增长B． 1～4 月份利润的极差与1～ 5 月份利润的极差不同C． 1～5 月份利润的的众数是130 万元D． 1～5 月份利润的中位数为120 万元【解析】考查点：本题考查了折线统计图的意义及对一些数据代表的理解；解题思路：首先从图中找出 1-5月的利润数据，再从这些数据中分析极差、众数、中位数等数据代表 .【易错提示】 1-4 月利润极差不要误以为是 4 月与 1 月的利润的差 .6．如图反映的过程是：小强从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家 . 如果菜地和玉米地的距离为 a 千米，小强在玉米地除草比在菜地浇水多用的时间为 b 分钟，则a ,b 的值分别为（ D ）A． 1.1 ， 8 B ． 0.9 ， 3C． 1.1 ， 12D． 0.9 ， 8【解析】考查点：本题考查了如何从函数图象中获取信息；解题思路：弄清图象上点的纵横坐标的实际意义，从左到右观察图象的变化现象便可回答相关问题 .【归纳总结】本题一类题关键要结合题意读懂图象，深刻理解图象所表示的实际意义. 7．关于x 的方程( a－ 5) x2－ 4x－ 1＝ 0 有实数根，则 a 满足（A）A．a≥1 B．a＞1且a≠ 5C．a≥ 1且a≠ 5D．a≠ 5【解析】考查点：本题考查了一元二次方程判别式应用，以及对方程根的意义的理解；解题思路：“有实根”可以是一元一次方程的根，也可以是一元二次方程的两个相等的实根或两个不相等的实数根 .【易错提示】易误为此题只在一元二次方程的条件下探讨问题.8．如图，平面直角坐标系中，OB在 x 轴上，∠ ABO＝90o，点 A 的坐标为(1，2)．将△AOB绕点A逆时针旋转90o，点O的对应点C恰好落在双曲线y＝kx( x＞0) 上，则 k＝（B）A． 2 B ． 3 C ． 4 D ．6【解析】考查点：本题考查了旋转图形的性质，和用待定系数法求反比例函数解析式；解题思路：先分析旋转90°的前后AB与 x 轴的位置特点，结合全等变换的相关性质，确定点 C 的坐标 .【易错提示】易把 A 点误为是所求双曲线上的点.二．填空题（本大题共8 个小题，每小题 3 分，共 24 分）9. 通过估算写出大于 3 但小于8 的整数:【考点】【解析】考查点：本题考查了无理数的大小比较或无理数在数轴的表示方法以及用有理数估计无理数的方法 . 解题思路：将 3 和8 的近似值标在数轴上，易发现所求整数.10.函数yx中，自变量x 的取值范围是．x1【解析】考查点：本题考查了二次根式的条件和分式有意义的要求解题思路：根据各部分对x 的要求组成不等式组，由此确定x 的取值范围11．在如图的正方形网格中作一个有两边长为有理数的锐角等腰三角形，.并要求三角形的各个顶点均在格点上..解题思路：如果使用已知线段作为等腰三角形的腰长，可画出一条腰长，但另一腰就无法画出，应利用勾三股四弦五画出两条边长为 5 的三角形 .【归纳总结】在正方形网格中画含有长为无理数的三角形，一定要结合勾股定理.12．已知关于x 的分式方程2－a＝ 1 的解 数，那么字母a 的取 范 是x ＋ 2x ＋2________.【解析】考 点： 本 考 了分式方程的解法、方程、不等式的解的意 ；解 思路： 先求出用含 a 的代数式表示方程的解，再由方程的解 数列出不等式，从而求出 a 的取 范 .13．由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主 和俯 如 所示，成 个几何体的小正方体的个数可能是 .4 或 5．【解析】考 点：本 考 了由三 想象几何体；解 思路： 由主 几何体的行数、 数（两行，左 有两 右 只有一），由俯 可得知列数（两列，其中一列只有一个小正方体） .14．因式分解： 9x 2－ y 2 －4y － 4＝____.【解析】考 点：本 考 了乘法公式的逆用；解 思路： 首先 察、分析、 是否存在 足乘法公式的特征的多 式， 适当分 和多次C用乘法公式将多 式分解 .E15．如 ， 等 三角形 ABC 中， D 、 E 分 AB 、 BC 上的点， AD BE ， AE 与 CD 交F于点 F ， AGCD 于点 G ，AG的.GADAF第 15 题【解析】考 点： 本 考 了等 的性 、直角三角形的 与角的关系；解 思路： 由全等三角形的 角相等来确定∠AFG 的度数，利用直角三角形的 与角的关系求出其 .16．已知二次函数yax 2 bx c 的 象与 x 交于点 (2，0) 、( x 1，0) ，且 1 x 1 2 ，与 y 的正半 的交点在(0，2) 的下方．下列 ：① 4a2b c 0 ；② ac ＜ 0；③ 4a+2b+c ＜ 0；④ -2 ＜b＜ 0． 其中正确 的2a序号是①②③④.【解析】考 点： 本 考 了二次函数 象的性 以及二次函数与一元二次方程的关系；解 思路： 分析、思考抛物 的开口方向、点（ x ，0）和 称 的大概位置.三、解答 （本大 共3 个小 ，第 17 小 6 分，第 18、 19 小 各 7 分，共 20 分）17. 先化 ，再求 ：3x x x21，其中 x2 2x 1x1x【解析】考 点： 本 考 了分式的化 ，二次根式的运算； 解 思路： 分式的混合运算一， 先从括号里分母中的多 式开始找公分母、 通分， 然后按照有关的运算 序和法行化 、求 .解：原式 =2x 2 4x x 2 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分x 2 1 x=2x+4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分当 x 2 2 ，原式 =2 2 ⋯⋯⋯ ⋯⋯ 6 分【 】 在 行分式混合运算 ，要注意运算 序，正确运用运算法 ，灵活运用运算律，特 不要犯 似以下的 ：a ( ab a 2 c) a ab aa 2c .x3 3x 1，18．解不等式 ：2并在数 上把解集表示出来．1 3( x 1) ≤ 8 xx 3(x 1) 1 18．解不等式 12x x 并在数 上把解集表示出来．31【解析】 考 点： 本 考 了不等式 解法以及解集在数 上的表示； 解 思路： 分 解出x-3 （ x-1 ）≤ 1 和 12x x 1 的解集，并在同一数 上表示， 察公共部分可得不等式的解集 .3注意的是： ① 用不等式性 3 ，切 改 不等号的方向; ②在数 上表示不 等号的不等式的解集 ，要画空心点 .解：解不等式（ 1）得 x ≥ 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分解不等式（2）得x ＜ 4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分所以不等式 的解集1≤ x ＜ 4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分19．小芸在 班 黑板 遇到了一个 ，在版面 程中需将一个半 面三等分，个合理的等分方案．要求用尺 作出 形， 保留作 痕迹， 并 要写出作法．【解析】考 点： 本 考 了尺 作 的基本功、等 三角形性 、判定、 心角与弧的关系等知 要点； 解 思路： 先假 等分点已作出， 分析三等分弧所 心角的度数， 由此可 生等分点的确定方法 .【 】 于用尺 作 一 ， 其方法是先假 所要作的 已作出， 再由此出 分析、 找作 步 .19．作法：(1) 作 AB 的垂直平分 CD 交 AB 于点 O ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分 (2) 分 以 A 、 B 心，以 AO(或 BO)的 半径画弧，分 交半 干点 M 、 N ；⋯ 4 分(3) OM 、 ON 即可．⋯⋯⋯⋯ 7 分四、（本大 共 2 个小 ，每小 8 分，共 16 分）20．在国家的宏 控下，某 城的商品房成交价由今年 1 月份的5000 元 / m 2 下降到 3 月份的 4500 元 / m 2 .（1） 2、 3 两月平均每月降价的百分率（保留 1 位有效数字）是多少？（可用 算器）.（2）如果房价 回落，按此降价的百分率，你 到5 月份 市的商品房成交均价是否会跌破 4000 元 / m 2？ 明理由 .【解析】 考 点： 本 考 了列方程解决 中的平均降低率 ，以及一元二方程解法. 解 思路：本 主要搞清某 城的商品房成交价是在今年1 月份 5000 元 / m2 的基 上， 下降（月平均每月降价的百分率相同）到3 月份的 4500元/ m 2 . 明确了 个核心内容，据公式“ a(1x)2b ” , 方程就不 列出 .（1） 2、 3 两月平均每月降低的百分率x ，根据 意，得：5000（ 1- x ） 2=4500. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分解得： x 10.05 ， x 2 1.95 （不合 意，舍去） .因此 2、 3 两月平均每月降低的百分率5%.⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2）如果按此降低的百分率 回落，估 5 月份的商品房成交均价 ：4500 （ 1- x ）2=4000 0.9=4050 ＞ 4000. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分由此可知， 5 月份 市的商品房成交均价不会跌破4000 元 2⋯⋯⋯ 8 分/m .【 】 于平均增 （降低）率 ，正确理解有关“增 （降低） ” 的一些的意 是解答 的关 ，常 的 有“增加（降低）”、“增加了几倍（降低了几分之几）”、“增 到原来的几倍（降低到原来的几分之几） ”、“增 率（降低率） ”等等 .21. 有一个可自由 的 ，被分成了4 个相同的扇形，分 有数1、2、 3、 4（如所示），另有一个不透明的口袋装有分 有数0、1、3 的三个小球 （除数不同外，其余都相同），小亮 一次 ， 停止后指 指向某一扇形， 扇形内的数是小亮的幸运数，小 任意摸出一个小球，小球上的数是小 的吉祥数，然后 算 两12个数的 ．4 3（1） 你用画 状 或列表的方法，求 两个数的0 的概率；（2）小亮与小 做游 ， 是：若 两个数的 奇数，小亮 ；否 ，小 ．你游 公平 ？ 什么？如果不公平， 你修改 游 ，使游 公平． 【解析】考 点：本 考 了用画 状 法求概率，以及用概率解 相关的一此 ；解 思路： 于探 游 双方是否公平的 ，关 是看双方 的概率是否相等 . 本可先用列表法 （或 状 法） ，把所有可能情况展示， 再求 的概率. 若游 双方 的概率相等， 游 双方公平；若游 双方 的概率不相等， 游 双方不公平. 要修改，使游 公平，就得使双方 的概率相等的目 整 .解：（ 1）画 状 如下：幸运数1234吉祥数0 1 3 0 1 3 0 1 3 0 1 30 13263 94 12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分由 （表）知，所有等可能的 果有12 种，其中0 的有 4 种，p ( 积为 04 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分123（2） P 积为奇数1， P 积为偶数 2，小亮 的可能性小于小 ；所以游 公平，⋯⋯7 分338 分修改后的 可以是： “若 两个数的和 奇数，小亮 ；否 ，小 ”⋯⋯⋯⋯五、（本大 共 2 个小 ，第 22 小 8 分，第 23 小 9 分，共 17 分） 22. 某文具店九、十月出售了 五种 算器，其售价和 售台数如下表：售价（台 / 元） 10 15 16 20 30台 九月 12 20 8 4 2数十月20401082（ 1） 店平均每月 售多少台；（ 2） 在所考察的数据中，其中位数和众数分 是多少；（ 3） 核算各种 算器的利 率均 20 ， 你根据上述有关信息 , 定下月 多哪种 算器 ? 并 明 价是多少 ？【解析】考 点： 本 考 了从 表中 取信息， 算平均数，找出中位数、众数，如何利用数据代表解 象. 解 思路： 从数据整理后的表中可以看出，九月份出售46台，十月份出售 80 台，平均每月出售台数易求出， 同 又知九月份有 46 个五种不同的数据，十月份有80 个五种不同数据，又由于每台 算器利率相同， 然要想 利多关注的 是众数.解：（ 1）63，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（2）中位数和众数都 15 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分（3） 定下月 多 售价 15 元的 算器， 价是 12.5元⋯⋯⋯⋯ 8 分【技巧点 】本例一 不但会求一 数据的平均数、中位数、众数；更 会 “三数”的含 ，运用它来分析数据的特点， 数据的 展 ，由此作出（或解 ）符合 决策23. 如 , 在平面直角坐 系中, 有一直角△ ABC,且 A(0,5),B(-5,2),C(0,2),.并已知△ AA 1C1 是由△ABC 旋 得到的.(1) 由△ ABC 旋 得到的△ AA 1C 1 的旋 角的度数是多少 ?并写出旋 中心的坐 ;(2) 你画出仍以 (1) 中的旋 中心 旋 中心 , 将△ AA 1C 1 、△ ABC 分 按 、逆 各旋90°的两个三角形 , 并写出 后与A 1 相点 A 2 的坐 ;(3) 利用 前后所形成 案 明勾股定理( △ ABC 两直角 a 、 b , 斜 c ).【解析】考 点： 本 考 了如何利用旋 来 案，同 也是考 点的坐 化 . 在一定程度上也可以 是考 学生的 手操作的能力和空 想象能力 .解 思路： 在解决 中第 2 ， 需 真分析、 察旋 前后 案的特征，并利用其面关系来 勾股定理 .解 :(1) 旋 角 90° , 中心坐 (-1,1); ⋯⋯⋯⋯ 3 分(2) 如 , 点 A 1 点 A 2 的坐 (-2,-3);⋯5 分(3) 正方形 AA 1 A 2 B 面 c 2, 正方形 C 1C 2 C 3C 的2, AC=b ,BC= a ,面 (b a)c 2(b a) 2 41ba2c 2 b 2 2ab a 22ba∴ c 2b 2 a 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分六、（本大 共 2 个小 ，第 24 小 9 分，第 25 小 10 分，共 19 分）24．如 ， 在平面直角坐 系中， 二次函数 yx 2 bx c 的 象与 x 交于 A 、B 两点， A点在原点的左 ，B 点的坐 （ 3， 0），与 y 交于C （ 0， -3 ）点，点 P 是直 BC 下/方的抛物 上一 点.（ 1）分 求出 中直 和抛物 的函数表达式；（ 2）PO 、PC ， 并把△ POC 沿C O 翻折，得到四 形POP ′ C ， 那么是否存在点P ，使四 形POP ′ C 菱形？若存在， 求出此 点P 的坐 ；若不存在，明理由 .【考点】【解析】考 点： 本 考 了用待定系数法求函数解析式，以及 形 称 ，菱形的判定，点的坐 的确定，一元二次方程的求解 .解 思路： 由于四 形POP ′ C 菱形， OC 必 角 ， 而可知 OC的中垂 与 y 右 的抛物 部分的交点即 P 点，且 P 点的 坐OC 的一半的相反数，最 可得 P 点的坐 .24．（ 1）将 B 、C 两点的坐 代 y=kx+b, 0=3k-3, k=1, ∴y=x-3 ⋯⋯⋯⋯ 1 分将 B 、C 两点的坐 代入得：3bc 0b 2 c3 ，解得： c3所以二次函数的表达式 ： y x 22x 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（ 2）存在点/菱形 .x 22x 3 ），，使四 形POP C P 点坐 （，Px//PC ＝ PO . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5PP 交 CO 于 E. 若四 形 POP C 是菱形， 有分/于，∴3PPPE ⊥ CO E OE=EC 2∴ y =3. ∴ x 2 2x 3 =3. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分22解得 x 1 = 210， x 2 = 2210（不合 意，舍去）2∴ P 点的坐 （210 ， 3） . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分22【 】 解决本 一 的抛物 与特殊四 形的 合 ： ①要关注特殊四 形的 称性；②要注意特殊四 形在抛物 上的 点； ③充分利用数形 合、 化思想 理相关点的坐 .25．如 1，在 8 的正方形 ABCD 中，点 O AD 上一 点（ 4＜ OA ＜ 8），以 O 心， OA 的 半径的 交 CD 于点 M ， 接 OM ， 点 M 作⊙ O 的切 交 BC 于 N ．（ 1）求 ：△ ODM ∽△ MCN ;（ 2） DM = x ，求 OA 的 （用含 x 的代数式表示） ；（ 3）在点 O 的运 程中， △ CMN 的周 P ， 用含 x 的代数式表示 P ，你能 怎 的 ？【解析】考 点： 本 考 了 与直 的位置关系、勾股定理、相似三角形性 等知 .解 思路： 由于 O 点是 点，在确定△ ODM 与△ MCN 是 否相似，或求OA 的 ，必 把O 看成是“静”点，即O 点在 AD （ 4＜ OA ＜8）上的某一 ，再 用切 的性 （ OM⊥MN ）推出△ ODM 与△ MCN 相似，同 也易在直角△ DMO 中，由勾股定理得到含 x 的代数式表示 R 的关系式； 而利用相似三角形性 ，用 量x 分 表示MC 、 NC 、MN 的 ，由此不△ MCN周的 .解：（ 1）∵MN切⊙O于点M，∴OMN90 ;∵OMD CMN90 , CMN CNM90 ;∴ OMD MNC ;又∵D C90 ; ∴△O DM ∽△ MCN ,⋯⋯⋯ 4 分（2）在 Rt△ODM中，DM x ， OA OM R ；∴ OD AD OA8R ，由勾股定理得：(8R)2x2R2，∴ 6416R R2x2R2，∴OA R x264(0<x8) ；⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分16（3）∵CM CD DM8x ，又 OD8R8x26464x2 1616且有△ ODM ∽△ MCN ,∴MCCN ,∴代入得到 CN16x ；同理 MC MN ，OD DM x8OD OM∴代入得到 MN x264 ；x8∴△ CMN的周 P=CM CN MN(8x)16x x264=16⋯⋯⋯⋯ 9分x8x8：在点O 的运程中，△的周P始16，是一个定．⋯⋯⋯ 10分CMN【方法】“抓住本、中求静”是解决的方法与策略. 也就是通仔察形、分析、与探究形的化律，抓住形运化中的不量和化律求解，型往往含了数形合思想、分思想和方程思想等数学思想方法. 在复程中，把握中考型的考方式及特点，有条件的要多看与有关的件，察其运演示，从中运化律，增感性，并适适度行一多解、一多的，达到一反三、融会通的境界.卷体述卷体与2010 、2009 江西卷差异大，（但与今年卷却相近）通我的研究江西的中考于定（表面上定，从深次来看有着本化），2011年化不会大（化不大，但有所重）。

北京师范大学附属中学2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题1．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是25400cm ，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）A.213014000x x +-=B.2653500x x +-=C.213014000x x --=D.2653500x x --=2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AE 平分∠CAB ，EF ∥AC ，若AF=4，则CE=（ ）A.3B.C. D.23．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）4．若数a 使关于x 的不等式组2122274x x x a-⎧≤-+⎪⎨⎪+-⎩＞有且只有4个整数解，且使关于y 的分式方程211ay y+--=3的解为正数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A.﹣2B.0C.3D.65．如图，在平面直角坐标系中，过点A 且与x 轴平行的直线交抛物线y ＝13（x+1）2于B ，C 两点，若线段BC 的长为6，则点A 的坐标为（ ）A.（0，1）B.（0，4.5）C.（0，3）D.（0，6）6．方程的解是（ ）A.B.C. D.7．某工厂接到加工 600 件衣服的订单，预计每天做 25 件，正好按时完成，后因客户要求提前 3 天交货，工人则需要提高每天的工作效率，设工人每天应多做件，依题意列方程正确的是( )A. B.C. D.8．有一组数据：1，2，2，5，6，8，这组数据的中位数是( )A．2 B．2.5 C．3.5 D．59．如图，在锐角ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN BC，MN分别交ACB∠、ACD∠的平分线于E，F两点，连接AE、AF.在下列结论中.①OE OF=；②CE CF=；③若12CE=，5CF=，则OC的长为6；④当AO CO=时，四边形AECF是矩形.其中正确的是( )A．①④B．①②C．①②③D．②③④10．如图,正方形ABCD中,AB=3,点E在边CD上,且CD=3DE,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC 于点G,连接AG、CF，则BG的长为（）A.1B.2C.1.5D.2.511．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，EA平分∠BEF，AG⊥EF，垂足为点G．则∠EAF 的度数为（）A.45B.30C.60D.4012．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①BE＝2AE；②△DFP～△BPH；③35PFPH=；④DP2＝PH•PC；其中正确的是（）A．①②③④B．①③④C．②③D．①②④二、填空题13．如图，正方形ABCD与正方形CEFG，E是AD的中点，若AB＝2，则点B与点F之间的距离为_______．14=________.15．如图，▱OABC中顶点A在x轴负半轴上，B、C在第二象限，对角线交于点D，若C、D两点在反比例函数kyx=的图象上，且▱OABC的面积等于12，则k的值是____．16．分解因式：x2y﹣y＝_____．17．如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是_____．18．已知函数，自变量x的取值范围是________．三、解答题19．已知：在锐角△ABC中，AB＝AC．D为底边BC上一点，E为线段AD上一点，且∠BED＝∠BAC＝2∠DEC，连接CE．（1）求证：∠ABE＝∠DAC；（2）若∠BAC＝60°，试判断BD与CD有怎样的数量关系，并证明你的结论；（3）若∠BAC＝α，那么（2）中的结论是否还成立．若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．20．如图，一次函数y=mx+2与x轴、y轴分别交于点A（-1,0）和点B，与反比例函数kyx=的图像在第一象限内交于C(1,c).（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）过x轴上的点D(a,0)作平行于轴的直线l（a﹥1），分别与直线AB和双曲线kyx交于点P、Q,且PQ=2QD，求点D的坐标.21．小超在观看足球比赛时，发现了这样一个问题：两名运动员从不同的位置出发，沿着不同的方向，以不同的速度直线奔跑，什么时候他们离对方最近呢？小超通过一定的测量，并选择了合适的比例尺，把上述问题抽象成如下数学问题：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D以1cm/s的速度从点C向点B运动，点E以2cm/s的速度从点A向点B运动，当点E到达点B时，两点同时停止运动，若点D，E同时出发，多长时间后DE取得最小值？小超猜想当DE⊥AB时，DE最小，探究后发现用几何的知识解决这个问题有一定的困难，于是根据函数的学习经验，设C，D两点间的距离为xcm，D，E两点间的距离为ycm，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小超的探究过程，请补充完整：（1）由题意可知线段AE和CD的数量关系是；（2）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：（3）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题，小组的猜想；（填“正确”或“不正确”）当两点同时出发了s时，DE取得最小值，为cm．22．如图1，是小明荡秋千的侧面示意图，秋千链长AB＝5m（秋千踏板视作一个点），静止时秋千位于铅垂线BC上，此时秋千踏板A到地面的距离为0.5m．（1）当摆角为37°时，求秋千踏板A与地面的距离AH；（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（2）如图2，当秋千踏板摆动到点D时，点D到BC的距离DE＝4m；当他从D处摆动到D'处时，恰好D'B⊥DB，求点D'到BC的距离．23．下面是小元设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程，已知：如图1，直线l和l外一点P．求作：直线l的垂线，使它经过点P，作法：如图2，(1)在直线l上任取一点A；(2)连接AP ，以点P 为圆心，AP 长为半径作弧，交直线l 于点B(点A ，B 不重合)； (3)连接BP ，作∠APB 的角平分线，交AB 于点H ； (4)作直线PH ，交直线l 于点H ．所以直线PH 就是所求作的垂线．根据小元设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)； (2)完成下面的证明． 证明：∵PH 平分∠APB ， ∴∠APH ＝ ． ∵PA ＝ ，∴PH ⊥直线l 于H ．( ) (填推理的依据)24．计算：21(3.14)|14cos 452π-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭． 25．如图，在半圆弧AB 中，直径6AB =cm ，点M 是AB 上一点，2MB =cm ，P 为AB 上一动点，PC AB ⊥交AB 于点C ，连接AC 和CM ，设A 、P 两点间的距离为x cm ，A 、C 两点间的距离为1y cm ，C 、M 两点间的距离为2y cm.小东根据学习函数的经验，分别对函数1y 、2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究：下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值；（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（，1），（，2y ），并画出函数1y ，2y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：①当AC CM >时，线段AP 的取值范围是 ；②当AMC ∆是等腰三角形时，线段AP 的长约为 .【参考答案】*** 一、选择题1314 15．﹣416．y （x+1）（x ﹣1）． 17．3 18．x≥-3 三、解答题19．（1）见解析；（2）BD ＝2DC ，见解析；（3）（2）中的结论仍然还成立，见解析. 【解析】 【分析】（1）根据外角的性质，推出∠BED=∠ABE+∠BAE ，由∠BAC=∠BAE+∠DAC ，根据∠BED=∠BAC 进行等量代换即可；（2）在AD 上截取AF=BE ，连接CF ，作CG ∥BE 交直线AD 于G ，∠BED=∠BAC ，结合（1）所推出的结论，求证△ACF ≌△BAE ，根据全等三角形的性质、三角形内角和定理推出∠CFG=180°-∠AFC=180°-∠BEA=∠BED ，由CG ∥BE ，可得∠CGF=∠BED ，BD ：CD=BE ：CG ，继而推出∠CFG=∠CGF ，即CG=CF ，通过等量代换可得BE=AF=2CF ，把比例式中的BE 、CG 用2CF 、CF 代换、整理后即可推出BD=2DC ，总上所述BD 与CD 的数量关系与∠BAC 的度数无关；（3）根据（2）所推出的结论即可推出若∠BAC=α，那么（2）中的结论仍然还成立． 【详解】（1）证明：∵∠BED ＝∠ABE+∠BAE ，∠BED ＝∠BAC ，∴∠ABE+∠BAE ＝∠BAC ， ∵∠BAC ＝∠BAE+∠DAC ， ∴∠DAC ＝∠ABE ；（2）解：在AD 上截取AF ＝BE ，连接CF ，作CG ∥BE 交直线AD 于G ，∠BED ＝∠BAC ， ∵∠FAC ＝∠EBA ， ∴在△ACF 和△BAE 中，CA AB FAC EBA AF BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ACF ≌△BAE （SAS ），∴CF ＝AE ，∠ACF ＝∠BAE ，∠AFC ＝∠AEB ． ∵∠AFC ＝∠BEA∴180°﹣∠AFC ＝180°﹣∠BEA ∴∠CFG ＝∠BEF ，∴∠CFG ＝180°﹣∠AFC ＝180°﹣∠BEA ＝∠BED ， ∵CG ∥BE ， ∴∠CGF ＝∠BED ， ∴∠CFG ＝∠CGF ， ∴CG ＝CF ， ∵∠BED ＝2∠DEC ，∵∠CFG ＝∠DEC+∠ECF ，∠CFG ＝∠BED ， ∴∠ECF ＝∠DEC ， ∴CF ＝EF ， ∴BE ＝AF ＝2CF ， ∵CG ∥BE ， ∴BD ：CD ＝BE ：CG ， ∴BD ：CD ＝2CF ：CF ＝2， ∴BD ＝2DC ，∴BD 与CD 的数量关系与∠BAC 的度数无关；（3）解：∵BD 与CD 的数量关系与∠BAC 的度数无关， ∴若∠BAC ＝α，那么（2）中的结论仍然还成立． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，关键在于正确地作出辅助线，求证相关的三角形全等，进行等量代换．20．（1）m=2，4yx=；（2）D(2,0).【解析】【分析】（1）把A点坐标代入y=mx+2中求出m值，再利用一次函数解析式确定C点坐标，然后把C点坐标代入kyx=中求出反比例函数的表达式；（2）利用反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征得到4P(a,2a2),Q a,a⎛⎫+ ⎪⎝⎭），再利用PQ=2QD得到44222aa a+-=⨯，然后解方程即可得到D点坐标．【详解】解：（1）把A(-1,0)代入y=mx+2，得-m+2=0∴m=2∴一次函数的解析式为y=2x+2把C(1,c)代入y=2x+2，得c=1×2+2=4∴C(1,4)则k=1×4=4∴反比例函数的表达式为4yx =；（2）∵D(a,0),PD∥y轴，且P、Q分别在y=2x+2和4yx=上；∴P(a,2a+2),Q(4,aa)由PQ=2QD,得44 222aa a+-=⨯，整理，得a2+a-6=0解得a1=2,a2=-3(舍去)∴D(2,0)【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．21．（1）AE＝2CD；（2）3.0；（3）详见解析；(4) 不正确，4，2.7．【解析】【分析】（1）根据时间和速度可得AE和CD的长，可得结论；（2）根据图象可得结论；（3）画图象即可；（4）作辅助线，根据勾股定理计算DE的长，根据二次函数的最值可得结论．【详解】解：（1）由题意得：AE＝2x，CD＝x∴AE ＝2CD ； 故答案为：AE ＝2CD ；（2）根据图象可得：当x ＝3时，y ＝3.0， 故答案为：3.0； （3）如图所示：（4）如图所示，过D 作DG ⊥AB 于G ，由（1）知：CD ＝x ，则BD ＝8﹣x ， sin ∠B ＝AC DGAB BD=， ∴6108DG x =-，DG ＝()385x -，BG ＝()485x -， ∴EG ＝AE+BG ﹣10＝2x+()485x -﹣10＝61855x -，∴y ∵0≤x≤5，∴当x ＝4时，y ≈2.7， 故答案为：不正确，4，2.7． 【点睛】本题属于三角形和函数的综合题，考查了勾股定理，函数图象，直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用勾股定理解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题． 22．（1）AH ＝1.5m ；（2）点D'到BC 的距离D′F＝3m ． 【解析】 【分析】（1）作AD ⊥BC ，在Rt △ABD 中，根据三角函数得到BD ，再根据线段的和差关系得到CD ，根据矩形的性质可求AH ；（2）作D′F⊥BC ，在Rt △BDE 中，根据勾股定理得到BE ，再根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ABD 中，BD ＝AB•cos37°＝5×0.8＝4（m ）， CD ＝A′B+A′C﹣BD ＝5+0.5﹣5×0.8＝1.5（m ）， 在矩形ADCH 中，AH ＝CD ＝1.5（m ）； （2）作D′F⊥BC 于E ，在Rt △BDE 中，BE3（m ）， ∵∠BD′F+∠FBD′＝90°＝∠FBD′+∠DBE ， ∴∠BD′F＝∠DBE ， 在△BD′F 与△DBE 中，BFD DEB BD F DBE BD DB '''⎧∠=∠⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BD′F≌△DBE ，∴点D'到BC 的距离：D′F＝BE ＝3（m ）．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 23．(1)见解析；(2)见解析. 【解析】 【分析】(1)以点P 为圆心，任意长为半径画弧，与PA 、PB 分别有交点，再分别以这两上交点为圆心，以大于这两点间线段的一半长为半径画弧，两弧交于一点，过点P 以及这个交点作射线，交AB 于点H ； (2)利用等腰三角形的三线合一证明PH ⊥AB 即可． 【详解】 (1)如图所示；(2)∵PH 平分∠APB ， ∴∠APH ＝∠BPH ， ∵PA ＝PB ，∴PH ⊥直线l 于H(等腰三角形的三线合一)， 故答案为∠BPH ，PB ，等腰三角形的三线合一． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 24．4 【解析】 【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【详解】解：原式1414=++- ＝4． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 25．（1）见解析；（2）见解析；（3）①26AP <≤，②2或2.6. 【解析】 【分析】（1）求出PM ，由y 2的值通过勾股定理求出PC 2，再次运用勾股定理即可求出y 1； （2）根据表格数据描点连线即可；（3）①结合函数图像，找到y 1在y 2上方时x 的取值范围； ②观察函数图像，找到当y 1=y 2，y 1=4=AM 时x 的值即可. 【详解】解：（1）∵AP=3， ∴PM=6-3-2=1， ∵CM=3.16,∴PC 2=22223.1618.9856CM PM -=-= ，∴AC=y 1 4.24=≈，补全下表：（2）描点（，1），画出函数1的图象：（3）①观察函数图像可知，当y 1＞y 2时，26x <≤， 线段AP 的取值范围是26AP <≤； ②观察图像可知，当y 1=y 2时,x=2, 当y 1=4=AM 时，x≈2.6， ∴线段AP 的长约为2或2.6 【点睛】本题考查了圆的基本性质、勾股定理以及函数的相关知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．。

2019-2020年中考数学真题试卷（北师大版）注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

以下数据、公式供参考：3 ≈1.7；l 弧长=180nπR(R 为半径，l 为弧长)；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的顶点坐标是（ab ac a b 44,22--）。

一、选择题 (在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号.本大题共15小题，每小题3分，计45分)1．如图，用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的（■）.(A)轴对称性 (B)用字母表示数 (C)随机性 (D)数形结合2．如果用＋0.02克表示一只乒乓球质量超出标准质量0.02克，那么一只乒乓球质量低于标准质量0.02克记作（■）.(A)＋0.02克 (B)－0.02克 (C) 0克 (D)＋0.04克3．要调查城区九年级8000名学生了解禁毒知识的情况，下列调查方式最合适的是（■）. (A)在某校九年级选取50名女生 (B)在某校九年级选取50名男生(C)在某校九年级选取50名学生 (D)在城区8000名九年级学生中随机选取50名学生 4．我市大约有34万中小学生参加了“廉政文化进校园”教育活动，将数据34万用科学记数法表示，正确的是（■ ）. (A)0.34×105(B)3.4×105 (C)34×105 (D)340×1055．如图，数轴上A ，B 两点分别对应实数a ，b ，则下列结论正确的是（ ■）. (A)a ＜b (B)a ＝b (C)a ＞b (D)ab ＞06．如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当（第5题）ba把白炽灯向远移时，圆形阴影的大小的变化情况是（■）. (A)越来越小 (B)越来越大 (C)大小不变 (D)不能确定 7．下列计算正确的是（■）.(A)3a －a ＝3 (B)2a·a 3＝a 6（C)(3a 3)2＝2a 6(D)2a÷a＝2 8．一个圆锥体按如图所示摆放，它的主视图是（■）.9．按图1的方法把圆锥的侧面展开，得到图2，其半径OA ＝3，圆心角∠AOB ＝120°，则AB 的长为（■）.(A)π (B)2π (C)3π (D)4π 10．下列说法正确的是（■）.(A)若明天降水概率为50%，那么明天一定会降水 (B)任意掷一枚均匀的1元硬币，一定是正面朝上 (C)任意时刻打开电视，都正在播放动画片《喜洋洋》 (D)本试卷共24小题11．如图是教学用直角三角板，边AC ＝30cm ，∠C ＝90°， tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为（■）. (A)330 cm (B) 320 cm (C) 310 cm (D) 35 cm 12．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ， 点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 则下列结论一定正确的是（■）. (A)∠HGF ＝∠GHE (B)∠GHE ＝∠HEF (C)∠HEF ＝∠EFG (D)∠HGF ＝∠HEF 13．如图，矩形OABC 的顶点O 为坐标原点，点 A 在x 轴上，点B 的坐标为（2，1）．如果将矩形 OABC 绕点O 顺时针旋转180°，旋转后的图形为第9题图1B第11题第12题BG(A)(B)(C)(D)第8题矩形OA 1B 1C 1，那么点B 1的坐标为（■）.(A)（2，1） (B)（－2，1） (C)（－2，－1） (D)（2，－1）14．夷昌中学开展 “阳光体育活动”，九年级一班全体同学在2011年4月18日16时分别参加了巴山舞、乒乓球、篮球三个项目的活动，陈老师在此时统计了该班正在参加这三 项活动的人数，并绘制了如图所示的频数分布直方图和扇形统计图．根据这两个统计图，可以知道此时该班正在参加乒乓球活动的人数是（■）. (A)50 (B)25 (C)15 (D)10 15．如图，直线y ＝x ＋2与双曲线y=xm 3-在第二象限有两个交点，那么m 的取值范围在数轴上表示为（■）.(D)(C)(B)(A)-2-1432-2-1432-2-1432-2-14320110101二、解答题 (请将解答结果书写在答题卡上指定的位置．本大题共9小题，16～19每小题7分，20～21每小题8分，22～23每小题10分，24题11分，合计75分) 16．先将代数式11)(2+⨯+x x x 化简，再从－1，1两数中选取一个适当的数作为x 的值代入求值．第14题50篮球17．解方程组⎩⎨⎧=+=-221y x y x .18．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 中点，AE 的延长线与DC 的延长线相交于点F.（1）证明：∠DFA ＝∠FAB ； （2）证明：△ABE ≌△FCE ．19．某市实施“限塑令”后，2008年大约减少塑料消耗约4万吨．调查结果分析显示，从2008年开始，五年内该市因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量y(万吨)随着时间x(年)逐年成直线上升，y 与x 之间的关系如图所示. （1）求y 与x 之间的关系式；（2）请你估计，该市2011年因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量为多少？20．如图，某商标是由边长均为2的正三角形、正方形、正六边形的金属薄片镶嵌而成的镶嵌图案.Fy （万吨）（1）求这个镶嵌图案中一个正三角形的面积；（2）如果在这个镶嵌图案中随机确定一个点O ，那么点概率为多少？(结果保留二位小数）21．如图，D 是△ABC 的边BC 的中点,过AD 延长线上的点E 作AD 的垂线EF ，E 为垂足，EF与AB 的延长线相交于点F ，点O 在AD 上，AO ＝CO ，BC ∥EF ．(1)证明：AB ＝AC ；(2)证明：点O 是△ABC 的外接圆的圆心；(3)当AB ＝5，BC ＝6时，连接BE ，若∠ABE ＝90°，求AE22．随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资。

2019-2020 年中考北师大版中考数学专题复习：类比研究测试题一、知识点睛解决类比研究问题的办理思路1. 若属于类比研究常有的结构种类，调用结构类比解决．类比研究结构举例：中点结构、直角结构、旋转结构、平行结构．2. 若不属于常有结构种类：①依照题干条件，结合 _______________先解决第一问．②类比解决下一问．若是不能够，解析条件变化，搜寻 ______________．③结合所求目标，依照 __________，英勇猜想、试一试、考据．二、精讲精练1. 已知：线段 OA ⊥OB ，点 C 为 OB 中点，D 为线段 OA 上一点．连接 AC ， BD 交于点 P ．（ 1）如图 1，当 OA=OB ，且 D 为 OA 中点时，求AP的值； PCB（ 2）如图 2，当 OA=OB ，且AD1时，求 ∠BPC 的值；OA tan4（ 3）如图 3，当 AD: OA: OB=1: n: 2 n 时，直接写出 tan ∠ BPC 的值．BBADPCO图 1ADPCO图 2ADPCO图 32.如图 1，在 Rt△ ABC 中，∠ BAC=90°， AD⊥BC 于点 D，点 O 是 AC 边上一点，连接 BO，交 AD 于点 F，OE⊥OB 交 BC 于点 E．（1）求证：△ABF∽△COE；（ 2）如图 2，当O为AC边中点，AC2 时，求OF的值；AB OE（ 3）如图 3，当O为AC边中点，ACn 时，请直接写出OF的值．AB OEBDFEA O C图1BDFEA O C图2BDFEA O C图33.（1）问题发现如图 1，△ ACB 和△ DCE 均为等边三角形，点 A，D， E 在同素来线上，连接 BE．填空：①∠ AEB 的度数为 ___________；②线段 AD，BE 之间的数量关系为 ___________．CEDA B图 1（ 2）拓展研究如图 2，△ ACB 和△ DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点 A，D，E 在同素来线上， CM 为△ DCE 中 DE 边上的高，连接 BE．请判断∠ AEB 的度数及线段 CM，AE，BE 之间的数量关系，并说明原由．CEMDA B图 2（ 3）解决问题如图 3，在正方形 ABCD 中， CD= 2 ．若点 P 满足 PD=1，且∠ BPD=90°，请直接写出点 A 到 BP 的距离．A DB C图 34.数学课上，王老师出示图 1 和下面框中条件：如图 1，两块等腰直角三角板 ABC 和 DEF 有一条边在同一条直线 l 上，∠ ABC=∠ DEF=90°，AB=1，DE=2．将直线 EB绕点 E 逆时针旋转 45°，交直线 AD 于点 M．将图 1 中的三角板 ABC 沿直线 l 向右平移，设 C，E 两点间的距离为 x．D DMMA AE C BF l E F (C) B l图1图2（ 1）①当点 C 与点 F 重合时，如图 2 所示，可得AM的值为 ___________；DM②在平移过程中，AMDM的值为 ______（用含 x 的代数式表示）．（ 2）将图 2 中的三角板 ABC 绕点 C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点 A 落在线段 DF 上时，如图 3 所示，请计算AM的值．DM（ 3）将图 1 中的三角板 ABC 绕点 C 逆时针旋转 m 度，0m ≤ 90 ，原题中的其他条件保持不变，如图 4 所示，请计算AM的值（用含 x 的代数式表示）．DMD DM M AA BBE F (C) l EC Fl 图 3图 4【参照答案】AP 1．（1）21（2）tan∠BPC= 2n （3）tan∠BPC=n 2．（1）证明略（2）OF2OE（3）OFnOE3．（1）60°，AD=BE（2）AE=2CM+BE（3）AQ=31或3 1224．（1）① 1，②x2（2）1（3）x2。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-23.1 归纳与类比（北京师大版选修1-2）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题8分，共24分）1.下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤2.数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于( )A．28 B．32C．33 D．273.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行.则正确的结论是（）A．①②B．②③C．③④D．①④二、填空题（每小题8分，共32分）4.一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中●的个数是.5.在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{n }的前项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30仍成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，在公差为3的等差数列{}中，若S n 是{a n }的前n 项和，则有________________________也成等差数列，该等差数列的公差为________．6．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为________．7.观察下列各式：1＝1，2＋3＋4＝9，3＋4＋5＋6＋7＝25，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，…，则由此可归纳出n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝________.三、解答题（每小题22分，共44分）8. 在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前项和满足 S 2n ＝a n⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12. (1)求1S 2，1S 3，1S 4及1S n (不需证明)；(2)求数列{}的通项公式.9. 已知数列{a n }中，a 4＝28，且满足a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n.(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n}的通项公式并证明．3.1 归纳与类比（北京师大版选修1-2）参考答案一、选择题1.D2.B3.B二、填空题4.145.S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 303006.437. (2n －1)2三、解答题8.解： (1)当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1和S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12， 得S 22＝(S 2－S 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2－12， 得1S 2＝1＋2S 1S 1=1S 12+＝2＋11＝3， 由S 23＝(S 3－S 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫S 3－12， 得1S 3＝2＋1S 2＝5， 由S 24＝(S 4－S 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫S 4－12， 得1S 4＝2＋1S 3＝7. 由S 2n ＝(S n －S n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12， 得1S n ＝2＋1S n －1＝2n －1.(2)由(1)知，S n ＝12n －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －1－12n －3＝－2(2n －1)(2n －3)， 显然，a 1＝1不符合上述表达式， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧ 1，n ＝1，－2(2n －1)(2n －3)，n ≥2.9.解：(1)a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n.当n ＝3时，a 4＋a 3－1a 4－a 3＋1＝3.∵a 4＝28，∴a 3＝15；当n ＝2时，a 3＋a 2－1a 3－a 2＋1＝2.∵a 3＝15，∴a 2＝6；当n ＝1时，a 2＋a 1－1a 2－a 1＋1＝1.∵a 2＝6，∴a 1＝1.(2)猜想a n ＝n(2n －1)． ①当n ＝1时，a 1＝1，而a1＝1×(2×1－1)＝1，等式成立．②假设当n＝k时，等式成立，即a k＝k(2k－1)．则当n＝k＋1时，a k＋1＋a k－1 a k＋1－a k＋1＝k，a k＋1＋k(2k－1)－1a k＋1－k(2k－1)＋1＝k，整理，得(1－k)a k＋1＝－2k3－k2＋2k＋1＝(2k＋1)(1－k2)，a k＋1＝(1＋k)(2k＋1)＝(k＋1)[2(k＋1)－1]，等式也成立．综合①②可知，n∈N*时，等式成立．。

类比探究专题1. 如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC上，AD =AE ，连接DC ，BE ，点P 为DC 的中点． （1）观察猜想图1中，线段AP 与BE 的数量关系是________，位置关系是________； （2）探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，小航猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小航的猜想； （3）拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =4，AB =10，请直接写出线段AP 的取值范围．（1）操作：如图1，点O 为线段MN 的中点，直线PQ 与MN 相交于点O ，请利用图1画出一对以点O 为对称中心的全等三角形．（不写画法）根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：（2）探究一：如图2，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE =∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论． （3）探究二：如图3，DE ，BC 相交于点E ，BA 交DE 于点A ，且BE :EC =1:2，∠BAE =∠EDF ，CF ∥AB ．若AB =5，CF =1，求DF 的长度．PEDA BC 图1PEDABC图2图1M NQ PO图2F EDC B AAB C D E F图32.特殊：（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°．作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD，BE．填空：①线段BD，BE的数量关系为_________________；②线段BC，DE的位置关系为_________________．一般：（2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=α，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE，BD，BE．请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由．特殊：（3）如图3，在等边三角形ABC中，作BM平分∠ABC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD，AE．若AB=4，当△ADM 与△AFD全等时，请直接写出DE的值．M F ED CB A图1EMDCBA图2MFEDC BA图33. 已知△ABC 中，CA =CB ，0°＜∠ACB ≤90°．点M ，N 分别在边CA ，CB 上（不与端点重合），BN =AM ，射线AG ∥BC 交BM 延长线于点D ，点E 在直线AN 上，EA =ED ．（1）【观察猜想】如图1，点E 在射线NA 上，当∠ACB =45°时， ①线段BM 与AN 的数量关系是_________； ②∠BDE 的度数是____________．（2）【探究证明】如图2，点E 在射线AN 上，当∠ACB =30°时，判断并证明线段BM 与AN 的数量关系，求∠BDE 的度数；（3）【拓展延伸】如图3，点E 在直线AN 上，当∠ACB =60°时，AB =3，点N 是BC 边上的三等分点，直线ED 与直线BC 交于点F ，请直接写出线段CF 的长．图1A B CD ENMG图2AB CD MN EG 图3A BCG4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC mAC n=，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m=n，点E在线段AC上，则DEDF=__________．（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF=__________（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明．（3）拓展应用：若ACBC=DF=CE的长．FEDC BA图1图2ABCDEFDB FECA图3DC BA备用图5. （1）【问题发现】如图1，△ABC 和△CEF 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠EFC =90°，点E 与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为__________； （2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，连接BE ，AF ，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明； （3）【问题发现】当AB =AC =2，△CEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时，直接写出线段AF 的长．（1）问题发现：如图1，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 是BC 的中点，以点D 为顶点作正方形DFGE ，使点A ，C 分别在DE 和DF 上，连接BE ，AF ，则线段BE 和AF 数量关系是________．（2）类比探究：如图2，保持△ABC 固定不动，将正方形DFGE 绕点D 旋转α（0＜α≤360°），则（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题：若BC =DF =2，在（2）的旋转过程中，连接AE ，请直接写出AE 的最大值．F图1CBA (E )EABC图2F备用图CBA图1A BC DEF G图2GFED CB A 备用图A BC DEFG6.在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是__________，CE与AD的位置关系是__________．（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明）．（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=BE= ADPE的面积．（直接写出结果）P EDCBA图1图2ABCDEPPEDCBA图3图4ABCDEP7. （1）操作发现如图1，AD 是等边三角形ABC 的角平分线，请你按下列要求画图：过点A 作AM ⊥AB ，过点C 作CN ∥AB ，AM 与CN 相交于点E ．则AD 与AE 的数量关系是________，∠EAC =________°． （2）问题探究将图1中的△AEC 绕点A 逆时针旋转，点C 落在点F 的位置，连接EC ，DF ，如图2所示，请你探究DF 与EC 的数量关系并说明理由． （3）拓展延伸若（2）中等边△ABC 的边长为2，当F A ⊥AC 时，请直接写出DF 2的值．在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AC =AB =4，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）问题发现如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于__________，线段CE 1的长等于__________． （2）探究证明如图2，当α=135°时，求证：BD 1=CE 1，且BD 1⊥CE 1． （3）问题解决求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）图1AB CD图2EFDCBA备用图CBAE1(D1)ABCDE PEDCBAD1E1图2图18. 如图1，在正方形ABCD 和正方形AB′C′D′中，AB =2，AB′=，连接CC′．（1）问题发现：CC BB'='__________；（2）拓展探究：将正方形AB′C′D′绕点A 逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB′，试判断：当0°≤θ＜360°时，CC BB ''的值有无变化？请仅就图2中的情形给出你的证明；（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C ，C′，D′三点共线时BB′的长．问题发现：如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是边AB 上的一点，过点D 作DE ∥BC 交AC 于E ，则线段BD 与CE 的数量关系为___________；拓展探究：如图2，将△ADE 绕点A 逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明；问题解决：如果△ABC的边长等于AD =2，直接写出当△ADE 旋转到DE 与AC 所在的直线垂直时BD 的长．D′C′B′ABCD 图1图2DCBA B′C′D′A BCD备用图图1EDCBA 图2ABCDE备用图E D A9. 如图1，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ． （1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形；②推断AGBE的值为_______．（2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG =6，GH=BC =________．GFDC BAE图1ABCD EFG图2H GF EDCBA 图310. （1）阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P 是等边三角形ABC 内一点，P A =1，PB，PC =2．求∠BPC 的度数． 为利用已知条件，不妨把△BPC 绕点C 顺时针旋转60°得△AP′C ，连接PP′，则PP′的长为__________；在△P AP′中，易证∠P AP′=90°，且∠PP′A 的度数为__________，综上可得∠BPC 的度数为__________． （2）类比迁移 如图2，点P 是等腰Rt △ABC 内一点，∠ACB =90°，P A =2，PB，PC =1．求∠APC 的度数． （3）拓展应用如图3，在四边形ABCD 中，BC =3，CD =5，AB =AC =12AD ，∠BAC =2∠ADC ，请直接写出BD 的长．P′ABCP图1图2P CBAD图3C BA11. 如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，以点O 为顶点的∠EOF 的两边分别与边AB ，AD 交于点E ，F ，且∠EOF 与∠BAD 互补． （1）观察猜想若四边形ABCD 是正方形，则线段OE 与OF 有何数量关系？请直接写出结论．（2）延伸探究若四边形ABCD 是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展证明若AB :AD =m :n ，探索线段OE 与OF 的数量关系，并证明你的结论．（1）阅读理解：如图1，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 是BC 的中点，若AE 是∠BAD 的平分线，试判断AB ，AD ，DC 之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE 交DC 的延长线于点F ，易证△AEB ≌△FEC ，得到AB =FC ，从而把AB ，AD ，DC 转化在一个三角形中即可判断．AB ，AD ，DC 之间的等量关系为_____________；（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，若AE 是∠BAF 的平分线，试探究AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图3，AB ∥CF ，AE 与BC 交于点E ，BE :EC =2:3，点D 在线段AE 上，且∠EDF =∠BAE ，试判断AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．A BCDOEFABCD EF图1ABCDE F图2A BCDE F图312. 如图1，菱形ABCD 与菱形GECF 的顶点C 重合，点G 在对角线AC 上，且∠BCD =∠ECF =60°． （1）问题发现： AGBE的值为__________． （2）探究与证明：将菱形GECF 绕点C 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展与运用：菱形GECF 在旋转过程中，当点A ，G ，F 三点在一条直线上时，如图3所示，连接CG 并延长，交AD 于点H ，若CE =2，GHAH 的长为__________．已知∠AOB =90°，点C 是∠AOB 的角平分线OP 上的任意一点，现有一个直角∠MCN 绕点C 旋转，两直角边CM ，CN 分别与直线OA ，OB 相交于点D ，点E ．（1）如图1，若CD ⊥OA ，猜想线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并说明理由．（2）如图2，若点D 在射线OA 上，且CD 与OA 不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并加以证明．图1AB CDEFGG FE DCB A图2H图3AB CD E FG（3）如图3，若点D 在射线OA 的反向延长线上，且OD =2，OE =8，请直接写出线段CE 的长度．图1OABC D EMPN N PMED CBAO图2图3O ABCD E MPN13.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E，F分别是边DC，DA的中点，四边形DFGE为矩形，连接BG．（1）问题发现在图1中，CEBG__________．（2）拓展探究将图1中的矩形DFGE绕点D旋转一周，在旋转过程中，CEBG的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决当矩形DFGE 旋转至B ，G ，E 三点共线时，请直接写出线段CE 的长．GFED CBA 图1图2ABCDEFG备用图ABCD14. 四边形是我们在学习和生活中常见的图形，而对角线互相垂直的四边形也比较常见，比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD 等．它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感．（1）如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，CB =CD ，则AC 与BD 的位置关系是__________，请说明理由．（2）试探究图1中四边形ABCD 的两组对边AB ，CD 与BC ，AD 之间的数量关系，请写出证明过程．（3）问题解决：如图3，分别以Rt △ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接CE ，BG ，GE ，已知AC =4，AB =5，求GE 的长．观察猜想（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =3，点D 与点A 重合，点E 在边BC 上，连接DE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接BF ，BE 与BF 的位置关系是_________，BE +BF =_________； 探究证明（2）在（1）中，如果将点D 沿AB 方向移动，使AD =1，其余条件不变，如图2，判断BE 与BF 的位置关系，并求BE +BF 的值，请写出你的理由或计算过程； 拓展延伸ABCD图1图2DCB AABCDEFG图3（3）如图3，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，点D 在边BA 的延长线上，BD =n ，连接DE ，将线段DE 绕着点D 顺时针旋转，旋转角∠EDF =α，连接BF ，则BE +BF 的值是多少？请用含有n ，α的式子直接写出结论．图1A (D )B CE FD FE C B A 图2图3A C D E F。