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人教A版高中数学选修1-1 第二章2.1.2椭圆的简单几何性质(一)数学教案

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2.1.2椭圆的简单几何性质（一）数学教案
教师 科目 数学 上课时间
课题
椭圆的简单几何性质（一）
教学目标
知识与能力
1．掌握椭圆的简单几何性质,能根据性质正确地作出椭圆的简图； 2．掌握椭圆标准方程中a 、b 、c 、e 的相互关系及其几何意义；
3.培养学生观察、分析、概括的逻辑思维能力和数形结合思想的运用能力.
过程与方法 以自主探究为主，学生独立思考.、合作交流、师生共同探究相结合. 情感态度 与价值观
通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴含的数学思想和数学方法，从中体味探索中的成功与快乐，由此激发学生更加积极主动的学习精神和探索勇气；
教 学 重难点 重点：椭圆的简单几何性质及其性质的初步运用.
难点：椭圆几何性质的探究过程、方法及离心率的理解. 教学
程序
教师指导与学生活动
一、.新课导入：
请同学们看大屏幕（课件展示“神舟飞船”在变轨前绕地球飞行的模拟图）
我们知道飞船在绕地球飞行的过程中，是沿着以地球的中心为一个焦点的椭圆轨道运行的，如果告诉你飞船飞离地球表面的最近和最远距离（即近地点距地面的距离和远地点距地面的距离），如何确定飞船运行的轨道方程呢？
引入课题：要解决这一实际问题就有必要对椭圆做深入地研究，这节课我们就一起来先研究椭圆的一些简单几何性质．
复习：前面我们学习了椭圆的定义和标准方程，谁能说说椭圆的定义和标准方程是？
1.椭圆的定义；
2. 椭圆的标准方程（注意椭圆中a,b,c 的关系）.
二、新课探究：
【自主探究问题1】：观察椭圆 的形状，你能从图上看出它的范围吗？能否根据方程得出结论？
辨析与研讨:
结论：由椭圆方程知b y a x ≤≤,，由y x ,的范围可得椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成
的矩形里(课件展示图形) 。

22
221(0)
x y a b a b
+=>>
B 2
A 1
F 1
F 2
x
B 1
A 2
y
【自主探究问题2】：继续观察椭圆的特点，椭圆的图形给人以视觉上的美感，如果我们沿着焦点
所在直线上下对折，或沿着焦点连线的垂直平分线左右对折大家猜想椭圆可能有什么性质？能否用方程来证明你的结论？
辨析与研讨:
结论：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

【自主探究问题3】：再次观察椭圆标准方程的特点，利用方程你能求出椭圆曲线与对称轴的交点
坐标吗？
辨析与研讨:
结论：
顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点
顶点坐标；)0,(),0,(21a A a A -，),0(),,0(21b B b B -
相关概念：线段2121,B B A A 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长．
【自主探究问题4】：我们在学习椭圆的定义时，用同样长的一条细绳画出的椭圆形状一样吗？椭
圆的圆扁程度究竟与那些量有关？
（课件动画演示椭圆图像的变化）师生共同交流总结：
结论：
离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比a
c
e =
，叫做椭圆的离心率． ①因为,0 c a 所以10 e ． ②e 越接近１，则c 越接近a ，从而2
2c a b -=
越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于０，
c 越接近于０，从而b 越接近于a ，这时椭圆就接近于圆；
即：椭圆的离心率可以形象地理解为，在椭圆的长轴不变的前提下，两个焦点离开中心的程度。

思考：
三、新课小结: 椭圆的简单几何性质
方程
y
X
O
P （x ，y ）
P 1（-x ，y ）
P 2（-x ，-y ）
2
2
2
2
29251612:11
,y y x x
C ---------+=+=1问：对于椭圆C 与椭圆：更接近于圆的是。

图像
a、b、c0,0
a b a c
>>>>
焦点)
,0(
)
,0(2
1
c
F
c
F-
范围b
y
a
x≤
≤,b
x
a
y≤
≤,
对称性椭圆关于y轴、x轴和原点都对称
顶点
长轴: A1A2 长轴长短轴：B1B2短轴长
离心率
四、讲解范例(巩固与应用)：
例1．求椭圆400
25
162
2=
+y
x的长轴和短轴的长、焦点与顶点的坐标和离心率，并画出其简图.
解:略(作图使用课件)
小结（解题的关键）：
1、将椭圆方程转化为标准方程明确a、b、c；
2、确定焦点的位置和长轴的位置；
3.作图步骤：“一个框，四个点，注意光滑和圆扁，莫忘对称要体现.”
巩固训练：
22
22
22
1.(,)1(,)
259
1(0)
x y
P x y P x y
x y
a b
a b
+=
+=>>
若在椭圆上，则点横坐标的取值范围__________; 2.若点P(2,4)在椭圆上，下列哪些点在椭圆上_______; (1)P(-2,4) (2)P(-4,2) (3)P(-2,-4) (4)P(2,-4)
例2.（2012年高考（山东文））椭圆2222:1(0)x y M a b a b
+=>>的离心率为3
2,直线x a =±和y b
=±所围成的矩形ABCD 的面积为8，求椭圆M 的标准方程。

解：略（引导学生注意分类讨论思想的应用）
巩固练习：
=3
求长轴长等于20，离心率e 的椭圆的标准方程；
5
小结：.根据椭圆的几何性质求椭圆的方程关键有两点：
一是“定位”，即确定焦点的位置，若焦点位置不确定则需要分类讨论； 二是“定量”，根据与几何性质有关的条件确定a 2
,b 2
的值；
例3.（引入问题）若飞船在绕地球飞行的过程中，是沿着以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆轨道运行，已知它的近地点A 距地面约200km ，远地点B 距地面约350km ，地球半径约6371km ，并且F 2、A 、B 在同一直线上，求飞船运行的轨道方程。

（结果精确到0.1km ）
解：如图示以过F 2、A 、B 的直线为ｘ轴，以线段F １F 2的垂直平分线为ｙ轴，交点Ｏ为原点建立平面直角坐标系，记F １为左焦点，设运行轨道椭圆的标准方程为：
()()2222222222222
22
63712006571...163713506721...2664675441636916645.61
66466645.6a c OA OF F A F N AN a c OB OF F B F M BM a c x y BM MN NA -=-==+=+=+=+==+=+==-=-=≈+==++2解法一：
联立方程(1)、(2)解得：a=6646,c=75
又b 所以运行轨道椭圆的标准方程为： 解法二：
2a=AB 22350263712001329266466646637120075a c OF OA F A =+⨯+====-=--=　解得：又以下过程同解法一
小结坐标法的求解步骤：建立适当平面直角坐标系 — 数形结合列关系式 — 求解作答；
五、课堂小结：(本节课你学到了什么) 1.知识小结：
（1）学习了椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率四个简单的性质及其简单的应用； （2）研究了椭圆的几个基本量a ，b ，c ，e 及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系。

2.数学思想方法：
数形结合、猜想、类比、分类讨论的思想
六、课后作业：
巩固练习：《课时作业（十）》 ； 书面作业：课本P42--T4、T5、T8 预习:椭圆的几何性质(二)应用)
F 2
A
B
． ． F 1
o M
N 22221(0)x y
a b a b
+=>>。

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高中数学新课标人教A版选修1-1《2.1.2椭圆的简单几何性质》教案

高中数学新课标人教A版选修1-1《2.1.2椭圆的简单几何性质》教案

二、讲授新课：
1.例1设点 的坐标分别为 ，.直线 相交于点 ，且它们的斜率之积是 ，求点 的轨迹方程.
求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式.
（教师引导——示范书写）
2.练习：1.点 的坐标是 ，直线 相交于点 ，且直线 的斜率与直线 的斜率的商是 ，点 的轨迹是什么？
（教师分析——学生演板——教师点评）
2.求到定点 与到定直线 的距离之比为 的动点的轨迹方程.
（教师分析——学生演板——教师点评）
3.例2在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足.当点 在圆上运动时，线段 的中点 的轨迹是什么？
相关点法：寻求点 的坐标 与中间 的关系，然后消去 ，得到点 的轨迹方程.（教师引导——示范书写）
4.练习：
1. 第7题.
2.已知三角形 的一边长为 ，周长为 ，求顶点 的轨迹方程.
5.知识小结：
①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式.
②相关点法：寻求点 的坐标 与中间 的关系，然后消去 ，得到点 的轨迹方程.
三
学
过
程
上课时间
第 周星期第节
课型
课题
2.1.2椭圆及其标准方程
教学目的
掌握点的轨迹的求法，坐标法的基本思想和应用.
教学设想
教学重点：求点的轨迹方程，坐标法的基本思想和应用.
教学难点：求点的轨迹方程，坐标法的基本思想和应用.
教
学
过
程
一、复习：
1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.
2.关于椭圆的两个基本等式.
人教A版高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质》教案

人教A版高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质》教案

课题：椭圆的简单几何性质（第一课时）一、教学目标：1、知识与技能（1）探究椭圆的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法；（2）掌握椭圆的简单几何性质，理解椭圆方程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合思想方法解决实际问题。

2、过程与方法（1）通过椭圆的方程研究椭圆的简单几何性质，使学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理，理性思维的能力。

（2）通过掌握椭圆的简单几何性质及应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力。

3、情感、态度与价值观通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。

二、教学重难点：1、教学重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程2、教学难点：利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。

三、教学方法：本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法。

先通过多媒体动画演示，创设问题情境；在椭圆简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高。

四、教学过程：（一）创设情景,揭示课题多媒体展示：模拟“嫦娥一号”升空,进入轨道运行的动画.解说：2007年10月24日，随着中国自主研制的第一个月球探测器——嫦娥一号卫星飞向太空，自强不息的中国航天人，又将把中华民族的崭新高度镌刻在太空中。

绕月探测，中国航天的第三个里程碑。

它标志着，在实现人造地球卫星飞行和载人航天之后，中国航天又向深空探测迈出了第一步。

“嫦娥一号”卫星发射后首先将被送入一个椭圆形地球同步轨道，这一轨道离地面最近距离为200公里，最远为5.1万公里，,而我们地球的半径R=6371km.根据这些条件,我们能否求出其轨迹方程呢?要想解决这个问题,我们就一起来学习“椭圆的简单几何性质”。

（教师结合多媒体动画展示，生动解说，提出问题。

高中数学人教A版选修1-1第二章《2.1.2 椭圆的简单几何性质》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

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高中数学人教A版选修1-1第二章《2.1.2 椭圆的简单几何性质》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
(1)理解椭圆的几何性质并学会简单的应用。

(2)理解椭圆的离心率,了解椭圆的第二定义。

2学情分析
在掌握椭圆定义的基础上,进一步学习椭圆顶几何性质。

3重点难点
要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质;椭圆的第二定义的应用
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】椭圆的几何性质
引导学生复习椭圆的定义,由椭圆的图像引导学生分析椭圆的几何性质。

2【讲授】椭圆的几何性质
探究点一:基础知识----椭圆的基本性质
例题1. 求与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距,且离心率为的椭圆的标准方程.并求出其准线方程。

探究点二:知识综合----椭圆性质的简单应用
例题2.已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为和 ,过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程.
探究点三:重难点----椭圆的第二定义
例题3.点P与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=8的距离的比是1∶2,求点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.
3【活动】椭圆的几何性质。

高中数学第2章第1课时椭圆的简单几何性质教师用书教案新人教A版选修1

高中数学第2章第1课时椭圆的简单几何性质教师用书教案新人教A版选修1

2.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质学习目标核心素养1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点)2．根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点、难点)1．通过学习椭圆的几何性质，培养学生直观想象的数学素养.2．借助椭圆的几何性质，培养数学运算及逻辑推理的数学素养.1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比ca称为椭圆的离心率．(2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．思考：(1)离心率e 能否用ba 表示？(2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？ [提示](1)e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2，所以e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2.(2)不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴的长的比值相同．1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是( ) A ．(－1,0)，(1,0) B ．(－6,0)，(6,0) C ．(－6，0)，(6，0) D ．(0，－6)，(0，6)D [椭圆方程可化为x 2＋y 26＝1，则长轴的端点坐标为(0，±6)．] 2．椭圆x 225＋y 216＝1的离心率是( )A ．34B ．541C ．45D ．35D [∵a ＝5，b ＝4，c ＝a 2－b 2＝3，∴e ＝35.]3．若点P (m ，n )是椭圆x 24＋y 23＝1上任意一点，则m 的取值范围是________，n 的取值范围是________．[－2,2] [－3，3] [由题意可知m 24＋n 23＝1，由m 24≤1可知－2≤m ≤2；同理，由n 23≤1可知－3≤n ≤ 3.]根据椭圆的方程研究其几何性质【例1】 设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m ＞0)的离心率为12，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．[解] 椭圆方程可化为x 24＋y 2m ＝1.(1)当0＜m ＜4时，a ＝2，b ＝m ，c ＝4－m ，∴e ＝ca＝4－m 2＝12，∴m ＝3，∴b ＝3，c ＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是4,23，焦点坐标为F 1()－1，0，F 2()1，0，顶点坐标为A 1()－2，0，A 2()2，0，B 1(0，－3)，B 2(0，3)．(2)当m ＞4时，a ＝m ，b ＝2，∴c ＝m －4，∴e ＝ca＝m －4m＝12，解得m ＝163，∴a ＝433，c ＝233，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为833，4，焦点坐标为F 1⎝⎛⎭⎫0，－233，F 2⎝⎛⎭⎫0，233，顶点坐标为A 1⎝⎛⎭⎫0，－433，A 2⎝⎛⎭⎫0，433，B 1(－2,0)，B 2(2,0)．用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a ，b ，c .,(4)写出椭圆的几何性质.提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍.[跟进训练] 1．(1)椭圆x 2＋y 2m＝1的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A ．14B ．12C ．2D ．4(2)对椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的几何性质的表述正确的是( )A ．范围相同B ．顶点坐标相同C ．焦点坐标相同D ．离心率相同(1)A (2)D [(1)由题意可知a 2＝1，b 2＝m ，由a ＝2b 可知1＝4m ，∴m ＝14.故选A ．(2)结合椭圆的几何性质可知，C 1与C 2的离心率相同，均为1－b 2a2，故选D ．]利用几何性质求椭圆的标准方程(1)椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)经过点M (1,2)，且与椭圆x 212＋y 26＝1有相同的离心率．[思路点拨] (1)焦点位置不确定，分两种情况求解． (2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a 与b 的关系，再用待定系数法求解． 法二：设与椭圆x 212＋y 26＝1有相同离心率的椭圆方程为x 212＋y 26＝k 1(k 1>0)或y 212＋x 26＝k 2(k 2>0)．[解] (1)若焦点在x 轴上，则a ＝3，∵e ＝c a ＝63，∴c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝3， ∵e ＝c a＝1－b 2a2＝1－9a 2＝63，解得a 2＝27.∴椭圆的方程为y 227＋x 29＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．如图所示，△A 1F A 2为等腰直角三角形， OF 为斜边A 1A 2的中线(高)， 且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ， ∴c ＝b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝32， 故所求椭圆的方程为x 232＋y 216＝1.(3)法一：由题意知e 2＝1－b 2a 2＝12，所以b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2. 设所求椭圆的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1或y 22b 2＋x 2b 2＝1.将点M (1,2)代入椭圆方程得12b 2＋4b 2＝1或42b 2＋1b 2＝1，解得b 2＝92或b 2＝3. 故所求椭圆方程为x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1.法二：设所求椭圆方程为x 212＋y 26＝k 1(k 1>0)或y 212＋x 26＝k 2(k 2>0)，将点M 的坐标代入可得112＋46＝k 1或412＋16＝k 2，解得k 1＝34，k 2＝12，故x 212＋y 26＝34或y 212＋x 26＝12，即所求椭圆的标准方程为x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置；(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b 2＝a 2－c 2，e ＝ca等.[跟进训练]2．若中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A ．x 281＋y 272＝1B ．x 281＋y 29＝1C ．x 281＋y 245＝1D ．x 281＋y 236＝1A [由2a ＝18得a ＝9，又a －c ＝2c ，则c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72， ∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.]求椭圆的离心率1．已知F 是椭圆的左焦点，A ，B 分别是其在x 轴正半轴和y 轴正半轴上的顶点，P 是椭圆上的一点，且PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，怎样求椭圆的离心率？提示：由OP ∥AB 可知，k OP ＝k AB ， 又A (a,0)，B (0，b )，P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a . 故－b a ＝－b 2ac ，即b ＝c ，∴a ＝2c .∴e ＝c a ＝22.2．设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点，若P 是曲线C 上的动点，当P 在何处时∠APB 最大？若C 上存在点P 满足∠APB ＝120°，如何求椭圆的离心率？图1提示：当P 位于短轴的端点处时，∠APB 最大．如图1，要使存在P 使得∠APB ＝120°，只需∠APB ≥120°， 即∠APO ≥60°， ∴tan ∠APO ≥3，即3m≥3， ∴0<m ≤1. 此时由e ＝1－b 2a2＝1－m 3可知e ∈⎣⎡⎭⎫63，1．图2如图2，由题意可知m3≥3，∴m ≥9， 又m >3，∴m ≥9.由e ＝1－b 2a 2＝1－3m可知e ∈⎣⎡⎭⎫63，1.综上可知离心率e ∈⎣⎡⎭⎫63，1.【例3】 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A ．36B ．13C ．12D ．33[思路点拨] 设|PF 2|＝m ，在Rt △PF 1F 2中，依题意可求得|PF 1|，|F 1F 2|，进而求得离心率． D [设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m2m ＋m ＝33.]1．(变条件)若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“∠PF 2F 1＝75°，∠PF 1F 2＝45°”，求C 的离心率．[解] 在△PF 1F 2中，∵∠PF 1F 2＝45°， ∠PF 2F 1＝75°，∴∠F 1PF 2＝60°，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，|F 1F 2|＝2c ，椭圆的长轴长为2a ，则在△PF 1F 2中，有m sin 75°＝n sin 45°＝2csin 60°， ∴m ＋nsin 75°＋sin 45°＝2c sin 60°， ∴e ＝c a ＝2c 2a ＝sin 60°sin 75°＋sin 45°＝6－22.2．(变条件，变设问)若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“C 上存在点P ，使∠F 1PF 2为钝角”，求C 的离心率的取值范围．[解] 由题意，知c >b ，∴c 2>b 2.又b 2＝a 2－c 2， ∴c 2>a 2－c 2， 即2c 2>a 2. ∴e 2＝c 2a 2>12，∴e >22. 故C 的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.求椭圆离心率的值或范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 的值，可直接利用公式e ＝ca 求解；若已知a ，b 或b ，c 的值，可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c ，a 的值，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于c ，a 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．1．判断正误(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b )的长轴长为a ，短轴长为b .( ) (2)椭圆的离心率越大，则椭圆越接近于圆．( )(3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称． [答案] (1)× (2)× (3)√2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)D [由题意可知a ＝13，b ＝10，∴c ＝69，又焦点在y 轴上，故选D ．]3．如图，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )A ．15B ．25C ．55D ．255D [由题意可知F 1(－2,0)，B (0,1)， 即c ＝2，b ＝1， ∴a 2＝b 2＋c 2＝5，∴e ＝c a ＝25＝255，故选D ．]4．椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1(0，－c )，F 2(0，c )(c >0)，离心率e ＝32，焦点到椭圆上点的最短距离为2－3，求椭圆的方程．[解] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a －c ＝2－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以所求椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.。