高中数学选修2-1椭圆7课时

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(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设它的标准方程 为ya22＋xb22＝ 1(a>b>0)．
由于椭圆经过点 (0， 2)和 (1， 0)，
∴
a42＋b02＝ a02＋b12＝
11， ，∴ab22＝ ＝
4， 1.
故所求椭圆的标准 方程为y2＋ x2＝ 1. 4
【名师点评】 本例中的解法体现了求椭圆 方程的一般方法，通过“定位”与“定量” 两个过程可求得所求椭圆的方程．
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法二：由已知,设椭圆的方程是 Ax2＋By2＝1
(A>0， B>0， A≠ B)，
故6A＋B＝1， ⇒ 3A＋2B＝1，
A＝1， 9
B＝ 1， 3
即所求的椭圆的标 准方程是x2 ＋y2 ＝ 1. 93
椭圆定义及标准方程的应用
已知椭例圆2的焦点是F1(－1，0)，F2(1，0)， P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等 差中项． (1)求椭圆的方程； (2)若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求 △PF1F2的面积．
第三章 圆锥曲线与方程
•§1 椭 圆 •1．1 椭圆及其标准方程
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学习目标
重点难点 重点：椭圆的定义及其标准方程． 难点：椭圆的标准方程的推导过程．
新知初探思维启动
1.椭圆的定义 (1)椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆． 这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点 F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．
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4.若方程xa22－ya2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 则 a 的取值范围是______． 解析：∵a2>0，xa22－ya2＝1 即xa22＋－y2a＝1， ∴－a>a2，－1<a<0.

① 解得①②得－3<a<－1 或 a>1.
当 a>1 时，③不成立．当－3<a<－1 时，得 a<－2. 综上可得：a 的取值范围是－3<a<－2.
最值问题
F1 是x92＋y52＝1 的左焦点，P 是椭圆上的动点，A(1,1) 为定点，则|PA|＋|PF1|的最小值为________________．
[解析] (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为ax22 ＋by22＝1(a>b>0)．
∵2a＝ 5＋32＋0＋ 5－32＋0＝10,2c＝6. ∴a＝5，c＝3， ∴b2＝a2－c2＝52－32＝16. ∴所求椭圆的方程为：2x52 ＋1y62 ＝1.
(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为：ay22＋bx22＝ 1(a>b>0)．
3．已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆x32＋y2＝1 上，顶点 A 是
椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC
的周长是( )
A．2 3
B．6
C．4 3
D．12
[答案] C
[解析] 设椭圆的另一个焦点为 F(如图)，
则 △ ABC 的 周 长 为 (|AB| ＋ |BF|) ＋ (|CA| ＋ |CF|) ＝ 2a ＋ 2a ＝
∴－2c≤|PF1|－|PF2|≤2c， ∴2a－2c≤2|PF1|≤2a＋2c，即 a－c≤|PF1|≤a＋c
∴|PF1|的最大值为 a＋c，最小值为 a－C．
[总结反思] 椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长 轴的两个端点，应掌握这一性质．
[总结反思] 椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程 中x2和y2项分母的大小，如果x2项的分母大于y2项的分母，则椭 圆的焦点在x轴上；反之，焦点在y轴上．由于本题中x2和y2项 分母的大小不确定，因此需要进行分类讨论．

D.7x52 ＋2y52 ＝1
解析
设椭圆方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，由3ay2x2＋－bxy22－＝21＝，0得
(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0，x1＋x2＝a21＋2b92b2＝1，所以 a2
＝3b2 ①.又由焦点为(0，±5 2)知，a2－b2＝50 ②，由①②得
3．椭圆的方程中，a，b，c 三者之中 a 最大，且满 足 a2＝b2＋c2 ． 4．如图所示，在△OF2B 中，|OF2|＝c，|OB|＝b，则|BF2|＝a．
自主探究 1．椭圆的两种标准方程，能否合为一种一般形式？
提示 椭圆的两种标准方程都是关于 x2，y2 的二元二次方程， 当焦点在 x 轴时，标准方程为ax22＋by22＝1，当焦点在 y 轴时，标准 方程为：ay22＋bx22＝1，其中的 a＞b＞0，若焦点位置不能确定时， 可将方程设为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)或xm2＋yn2＝1(m＞0， n＞0，m≠n)都可以．
椭圆的定义与标准方程
1．进一步掌握椭圆的定义、标准方程，会用定义、标准方程 解决问题．
2．会求与椭圆有关的点的轨迹和方程．
自学导引 1.方程 Ax2＋By2＝C(A、B、C 均不为零)表示椭圆的条件 是 A、B、C 同号，且 A≠B ． 2．椭圆的两种标准方程中，如果 x2 的分母大，焦点就 在 x 轴 上，如果 y2 的分母大，焦点就在 y 轴上．
质，看能否确定轨迹的类型，而不要起步就代入坐标，以致陷入
繁琐的化简运算之中
1．△ABC的三边a＞b＞c且成等差数列，A、C两点的坐标分别是(－1，0)、 (1，0)，求顶点B的轨迹方程．
解 设 B(x，y)，因为 a，b，c 成等差数列， 所以 a＋c＝2b＝4， 即|BA|＋|BC|＝4，且 4＞2， 故点 B 应在椭圆x42＋y32＝1 上． 又 a＞c，即 （x－1）2＋y2＞ （x＋1）2＋y2， 所以 x＜0. 当 x＝－2 时，B、A、C 共线，故排除， 所以顶点 B 的轨迹方程为x42＋y32＝1(－2＜x＜0)．

第7课时双曲线的几何性质(1)教学过程一、问题情境问题1前面的课依据椭圆的标准方程争辩了椭圆的哪几种性质?解范围、对称性、顶点、离心率.问题2椭圆+=1(a>b>0)的具体几何性质是什么?问题3现在能依据双曲线的标准方程争辩双曲线的几何性质吗?二、数学建构类比椭圆+=1(a>b>0)的几何性质,探讨双曲线-=1(a>0,b>0)的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率.(程序是:同学:自我思考→得出初步结论→小组争辩→得出满足结论→回答所得结论(与大家沟通);老师:启发诱导→点拨释疑→补充完善)(1)范围:观看双曲线的草图,可以直观看出曲线在坐标系中的范围.双曲线在两条直线x=±a的外侧.留意:从双曲线的方程如何验证?从标准方程-=1可知-1=,由此双曲线上点的坐标都适合不等式≥1,即x2≥a2,|x|≥a,即双曲线在两条直线x=±a的外侧.(2)对称性:双曲线-=1关于每个坐标轴和原点都是对称的,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线-=1的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.(3)顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.在双曲线-=1的方程中,对称轴是x轴、y轴,所以令y=0得x=±a,因此双曲线和x轴有两个交点A1(-a,0),A2(a,0),它们是双曲线-=1的顶点,线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长为2a,a叫做双曲线的实半轴长.令x=0,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点.我们定义点(0,±b)为虚轴的端点B1,B2,它们的连线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长.实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的性质:①渐近线方程为y=±x;②渐近线相互垂直;③离心率e=.等轴双曲线可以设为x2-y2=λ(λ≠0),当λ>0时焦点在x轴上,当λ<0时焦点在y轴上.列表:方程性质+=1(a>b>0)-=1(a>0,b>0)范围-a≤x≤a,-b≤y≤b x≥a或x≤-a,y∈R对称性关于坐标轴、原点都是对称的(对称轴、对称中心)关于坐标轴、原点都是对称的(对称轴、对称中心)顶点四两个,A1(-a,0),A2(a,0)个,A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)离心率e=<1,反映椭圆圆扁程度e=>1留意:在作图时,我们经常把虚轴的两个端点画上(为确定渐近线),但要留意它们并非是双曲线的顶点.(图1)(4)渐近线的发觉与论证:依据双曲线的上述性质,能较为精确地把双曲线-=1画出来吗?(能)通过列表描点,能把双曲线的顶点及四周的点,比较精确地画出来,但双曲线向何处伸展就不很清楚.我们能较为精确地画出曲线y=,这是为什么?(由于当双曲线伸向远处时,它与x轴、y轴无限接近)此时,x轴、y轴叫做曲线y=的渐近线.(图2)对渐近线并不生疏,例如:直线x=kπ+(k∈Z)是正切函数y=tan x图象的渐近线.双曲线有没有渐近线呢?假如有,又该是怎样的直线呢?引导猜想:在争辩双曲线范围时,由双曲线的标准方程-=1可解出y=±=±x.当x无限增大时,就无限趋近于零,也就是说,这时双曲线y=±x与直线y=±x无限接近.[1]这使我们有理由猜想直线y=±x为双曲线的渐近线.直线y=±x恰好是过实轴端点A1,A2,虚轴端点B1,B2,作平行于坐标轴的直线x=±a,y=±b所成的矩形的两条对角线,那么,如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时,与渐近线越来越接近呢?明显,依据双曲线的对称性,只要考虑双曲线在第一象限就可以了.同学探讨证明方法,老师可赐予适当提示,查找不同的证明方法,找同学板演其推理过程,对于基础好一点的。