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教师用节配套课性1.2椭圆的简单性质第1课时椭圆的简单性质t1M•家基础盪聲提示 如果您加见石木"件旳辻 鸡中出"••字叭泉・溝吳 用幷宥幻灯片・ 可・椭圆的标准方程、图像及性质焦点的位■ ■ 4标准方程焦点在X 轴上黒—— -------------------= + y = l(a>b>0)L b焦点在y 轴上2 x 2,图形B ；y BiJ>42-+- = l(a>b>0)y _________X对称性 对称轴x 轴和y 轴一,对称中心®0)范围xG [-a, a],vG「一b.b"!xW E-b, b], vG r-a. al思考：要确定椭圆的标准方程，需要确定什么？提示：首先要确定焦点的位置，其次需要确定a,b两个量.【知识点拨】L 对椭圆是轴对称与中心对称图形的解读心代”方程不改变伽关于翩丽 以-xf 疑方程不改变（ -------------------------- 同时以-兀代匸以-丁代；（椭圆关于咂可—二［椭圆关于原点对称）?+p =1（a〉3•椭圆的离心率对椭圆〃扁的程度"的影响越摆型乖越接近°,从而、越小K _______________ _________________ J 輕¥越接近0 J C越接近0,从而朋-8越接近a_________ __ ________ J q椭圆越扁］咻圆越接近于圆］当且仪当a=b时）c=0 j这时两个焦点重合，［图形变为圆______________4•对椭圆几何性质的挖掘(1)通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径，长为⑵椭圆上到中心距离最远和最近的点分别在长轴端点和短抽端点上.2b2妙孩愛处逆圭g类型一利用标准方程研究简单性质【典型例题】1 •椭圆的伟占坐标为•顶占坐标为・2求椭圆9x516y2=144的丽長二短#由樂、离丿常■蕉点坐标和顶点坐标.r y2=1【解题探究】1•如何判断焦点的位置？2•已知椭圆方程,如何确定椭圆的几何性质？探究提示-L通最褊圆几何性质的研究，椭圆的焦点在椭圆的长轴上•即焦点在标准方程较夫分母对应的霸上.2•首先看方程是否为标准方程，若不是标准方程，先化为标准方程•其次由标准方程先确定焦点位置撚后写出a,b的值这样就可确定椭圆的性质.【解析】L由方程的形式知，椭圆的焦点在x轴上，且a2二4炉二—a二a?- b2=3 z故a二2,b二l,c二八焦点坐标为(土,0),顶点坐标为(±2 , 0) , (0 , ±1).答案：(士,0) (±2,0) #(0,±1)2 •已知方程化成标准方程为 2 2于是a=4 , b二3 , ••椭圆罅地长那豆轴长分别是2a二8和2b=6 , 离心率，又知焦点在x轴上,16两旗点坐标分别是四个顶点坐标分别是（40；1（血（0厂誑和（0,3）.C 二J16-9 二仇e 二一二——a 4【互动探究】若把题2中方程改为9护+16X—144,写出椭圆的相应性质. 【解题指南】转化为标准方程后，写出a , b ,啲值其性质.【解析】化为标准方程为所以焦点在y轴上.a=4 b—3二长轴长2a=8 ,短轴长2b二6 z离心率焦点坐标为和顶点坐标为(0,4) , (0 z -4) , (3,0)和(・3 , 0).(0,77) (0,-77),，再求【拓展提升］确定椭圆的几何性质的四个步骤提醒：曲25 3【变式训练】已知：椭圆 k 的值为 ______ .【解析】当k>5时， 当0<k<5时， 综上,或3. 答案：或3的离心率 则实数— 5 kk 用325Vioe = ------5k = 3.类型二利用几何性质求标准方程【典型例题】1 •椭圆的长轴长为一个焦点坐标为(2, 0),则它的标准方程为_______ -2经过点P(4,0)和Q(0,・3)的椭圆标准方程为 ______ •3•已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为且G 上一点到G的两七佛的距离之和为12,则椭圆G的方程为_______ ・2V10,22【解题探究】L焦点坐标在求椭圆标准方程时的作用是什么?2.题2中椭圆的焦点在哪个轴上?3.离心率在求椭圆标准方程时的作用是什么?探究提示：L给出焦点坐标，就能确定c的值z其次也可以确定标准方程的形式.2.椭圆的焦点在长轴上，由题意知，P , Q是椭圆的顶点,且|4|＞卜3|,故焦点在x轴上3 •因为所以给定离心率即确定了参数a,b的关系.【解析】L因为椭圆的一个焦点坐标为(2 z 0),故不妨设其标准方程为由题意・••所求标准方霁v2答案：—+ ^- = l(a>b>0).c = 2,2a = 2V10,a = V10,/.b2 =a2—c2 =6.10 62 •由椭圆的几何性质可知,以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以P , Q分别是椭圆的长轴和短轴的一个端点，于是有a二4,b二3•且长轴、短轴分别在x轴和y 轴上，所以椭圆的标准方程为答案：2 2=116 9 =13•依题意设椭圆G的方程为 2 2••椭圆上一点到其两个焦点的距犁垃N F（a>b >0）. 「诂圆的鲁2'率为 a b解得b?二9,・・.椭圆G的方程为答案：73 . 7a2-b2 _ A/3 . ^36-b2 _ *9 ■ ■= 9 ■ ■=2 a 2 6 22 2—36 92 2—136 9【互动探究】将1题中条件“一个焦点坐标为(2, 0)”改为“焦距为4”，试求椭圆的标准方程.【解析】由题意所以当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为当焦点在y 轴上时,椭圆的标准方程为所以椭圆的标准方程密励a 二V10,c = 2, b2 = a2 -c2二6.【拓展提升】L求椭圆标准方程的基本思路2 2—1,10 62 2 2 2—1 —1. 10 6 10 6(1)定位置:根据题意确定焦点的位置.(2)定形式：根据焦点的位置,用待定系数法确定方程的形式.(3)定系数：根据题意列出等量关系，求参数a,b的值.2 •待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项(1)基本步骤：⑵注意事项量中，能确;轴长、离心;【变式训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程：椭圆的短轴长等于2,长轴端点与短轴端点间的距离等于【解析】设椭圆的长半轴长为a ,短半轴长为b ,焦距为2c , 则b = 1 , 即a2 = 4.所以椭圆的标准方程是或类型三与离心率有关的问题【典型例题】1.（2012-新课标全国卷）设片,尸2是椭圆E：（a>b>0）的左、右焦点，P为直线上一点，A/zPh是底角为30。
