15平行四边形解析版

五年级数学上册典型例题系列之第四单元：平行四边形面积的实际应用专项练习（解析版）1．一个平行四边形停车场，底是63m，对应的高是25m。

如果每个车位占地15m2，这个停车场一共可以停多少辆车？【答案】105辆【分析】根据平行四边形的面积＝底×高，求出面积，再除以15平方米即可。

【详解】63×25÷15＝1575÷15＝105（辆）答：这个停车场一共可以停105辆车。

【点睛】熟练掌握平行四边形的面积公式，是解答此题的关键。

2．一块平行四边形的玫瑰园，底长32米，高长9米，每3平方米栽一棵玫瑰，可以栽多少棵玫瑰？【答案】96棵【分析】根据平行四边形的面积＝底×高，求出面积，再除以3即可。

【详解】32×9÷3＝288÷3＝96（棵）答：可以栽96棵玫瑰。

【点睛】熟练掌握平行四边形的面积公式，是解答此题的关键。

3．一块街头广告牌的形状是平行四边形，底是12.5m，高是6.5m。

如果要给这块广告牌的一面刷上油漆，每平方米用油漆0.6kg，需要多少千克油漆？【分析】先根据平行四边形的面积＝底×高，求出这个平行四边形的面积，再乘每平方米需要油漆的重量即可。

【详解】12.5×6.5×0.6＝81.25×0.6＝48.75（千克）答：需要48.75千克油漆。

【点睛】本题考查平行四边形面积公式的应用，关键是熟记公式。

4．一块广告牌的形状是平行四边形，底是12.5米，高是6.4米。

如果要涂饰这块广告牌（涂一面），每平方米用油漆0.6千克，共需要多少千克油漆？【答案】48千克【分析】先根据平行四边形的面积＝底×高，求出这个平行四边形的面积，再乘每平方米需要油漆的质量即可。

【详解】12.5×6.4×0.6＝80×0.6＝48（千克）答：共需要48千克油漆。

【点睛】熟练掌握平行四边形的面积公式，属于基础知识，需牢牢记住。

专题12 平行四边形与中位线一．选择题（2022·四川乐山）1. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB=6，AC=8，DE=4，则BF的长为（）A. 4B. 3C. 52D. 2【答案】B【解析】【分析】利用平行四边形ABCD的面积公式即可求解．【详解】解：∵DE⊥AB，BF⊥AC，∴S平行四边形ABCD=DE×AB=2×12×AC×BF，∴4×6=2×12×8×BF，∴BF=3，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形ABCD的面积公式求垂线段的长是解题的关键．（2022·浙江宁波）2. 如图，在Rt ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE AD=，2DF=，则BD的长为（）A.B. 3C.D. 4【答案】D【解析】【分析】根据三角形中位线可以求得AE 的长，再根据AE ＝AD ，可以得到AD 的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD 的长．【详解】解：∵D 为斜边AC 的中点，F 为CE 中点，DF ＝2，∴AE ＝2DF ＝4，∵AE ＝AD ，∴AD ＝4，在Rt △ABC 中，D 为斜边AC 的中点，∴BD ＝12AC ＝AD ＝4，故选：D ．【点睛】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出AD 的长．（2022·四川眉山） 3. 在ABC 中，4AB =，6BC =，8AC =，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，则DEF 的周长为（ ）A. 9B. 12C. 14D. 16【答案】A【解析】【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出△ABC 的周长=2△DEF 的周长．【详解】∵D ，E ，F 分别为各边的中点，∴DE 、EF 、DF 是△ABC 的中位线，∴DE =12BC =3，EF =12AB =2，DF =12AC =4，∴△DEF 的周长=3+2+4=9．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系．（2022·浙江绍兴） 4. 如图，在平行四边形ABCD 中，22AD AB ==，60ABC ∠=︒，E ，F 是对角线BD 上的动点，且BE DF =，M ，N 分别是边AD ，边BC 上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF ；②存在无数个矩形MENF ；③存在无数个菱形MENF ；④存在无数个正方形MENF ．其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．【详解】如图，连接AC 、与BD 交于点O ，连接ME，MF，NF，EN，MN ，∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA =OC ，OB =OD∵BE =DF∴OE =OF∵点E，F 时BD 上的点，∴只要M，N 过点O ，那么四边形MENF 就是平行四边形∴存在无数个平行四边形MENF ，故①正确；只要MN =EF ，MN 过点O ，则四边形MENF 是矩形，∵点E 、F 是BD 上的动点，∴存在无数个矩形MENF ，故②正确；只要MN ⊥EF ，MN 过点O ∵则四边形MENF 是菱形；∵点E 、F 是BD 上的动点，∴存在无数个菱形MENF ，故③正确；只要MN =EF ，MN ⊥EF ，MN 过点O ，则四边形MENF 是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误；故选：C【点睛】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、解答本题的关键时明确题意，作出合适的辅助线．（2022·浙江嘉兴）5. 如图，在ABC 中，8AB AC ==，点E ，F ，G 分别在边AB ，BC ，AC 上，EF AC ∥，GF AB ∥，则四边形AEFG 的周长是（ ）A. 32B. 24C. 16D. 8【答案】C【解析】 【分析】根据EF AC ∥，GF AB ∥，可得四边形AEFG 是平行四边形，从而得到FG =AE ，AG =EF ，再由EF AC ∥，可得∠BFE =∠C ，从而得到∠B =∠BFE ，进而得到BE =EF ，再根据四边形AEFG 的周长是2（AE +EF ），即可求解．【详解】解∶∵EF AC ∥，GF AB ∥，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴FG =AE ，AG =EF ，∵EF AC ∥，∴∠BFE =∠C ，∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∴∠B =∠BFE ，∴BE =EF ，∴四边形AEFG 的周长是2（AE +EF ）=2（AE +BE ）=2AB =2×8=16．故选：C【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．（2022·四川达州）6. 如图，在ABC 中，点D ，E 分别是AB ，BC 边的中点，点F 在DE 的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件可以是（ ）A. B F ∠=∠B. DE EF =C. AC CF =D. AD CF =【答案】B【解析】 【分析】利用三角形中位线定理得到DE ∥AC 且DE =12AC ，结合平行四边形的判定定理进行选择．【详解】解：∵在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AC 且DE =12AC ，A 、根据∠B =∠F 不能判定CF ∥AD ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．B 、根据DE =EF 可以判定DF =AC ，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC 为平行四边形，故本选项正确．C 、根据AC =CF 不能判定AC ∥DF ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．D 、根据AD =CF ，FD ∥AC 不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形的中位线的性质和平行四边形的判定．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．（2022·浙江丽水）7. 如图，在ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点．若6AB =，8BC =，则四边形BDEF 的周长是（ ）A. 28B. 14C. 10D. 7【答案】B【解析】【分析】首先根据D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，可判定四边形BDEF 是平行四边形，再根据三角形中位线定理，即可求得四边形BDEF 的周长． 【详解】解：D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点， EF ∴、ED 分别是ABC △的中位线，EF BC ∴∥，ED AB ∥且11==8=422EF BC ⨯，11==6=322ED AB ⨯， ∴四边形BDEF 是平行四边形，=4BD EF ∴=，3BF ED ==，∴四边形BDEF 的周长为：=3434=14BF BD ED EF ++++++，故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，判定出四边形BDEF 是平行四边形是解决本题的关键．（2022·湖南怀化）8. 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）A. 七边形B. 八边形C. 九边形D. 十边形【答案】A【解析】【分析】根据n 边形的内角和是（n ﹣2）•180°，列出方程即可求解．【详解】解：根据n 边形的内角和公式，得（n ﹣2）•180°=900°，解得n =7，∴这个多边形的边数是7，故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程． （2022·四川南充） 9. 如图，在正五边形ABCDE 中，以AB 为边向内作正ABF ，则下列结论错误的是（ ）A. AE AF =B. EAF CBF ∠=∠C. F EAF ∠=∠D. C E ∠=∠【答案】C【解析】 【分析】利用正多边形各边长度相等，各角度数相等，即可逐项判断．【详解】解：∵多边形ABCDE 是正五边形，∴该多边形内角和为：5218540(0)-⨯︒=︒，AB AE =，∴5401085C E EAB ABC ︒∠=∠=∠=∠==︒，故D 选项正确； ∵ABF 是正三角形， ∴60FAB FBA F ∠=∠=∠=︒，AB AF FB ==，∴1086048EAF EAB FAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，1086048CBF ABC FBA ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴EAF CBF ∠=∠，故B 选项正确；∵AB AE =，AB AF FB ==，∴AE AF =，故A 选项正确；∵60F ∠=︒，48EAF ∠=︒，∴F EAF ∠≠∠，故C 选项错误，故选：C ．【点睛】本题考查正多边形的性质以及多边形内角和公式，熟练掌握正多边形“各边长度相等，各角度数相等”是解题的关键．（2022·湖南湘潭）10. 在ABCD 中（如图），连接AC ，已知40BAC ∠=︒，80ACB ∠=︒，则BCD ∠=（ ）A. 80︒B. 100︒C. 120︒D. 140︒【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的对边平行和两直线平行内错角相等的性质，再通过等量代换即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD∴∠DCA ＝∠CAB ，∵BCD ∠=∠DCA +∠ACB ，40BAC ∠=︒，80ACB ∠=︒∴BCD ∠=40º+80º=120º，故选：C ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟记性质并熟练运用．（2022·河北）11. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可；【详解】解：平行四边形对角相等，故A 错误；一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B 错误；三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C 错误；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键．（2022·湖南岳阳）12. 下列命题是真命题的是（ ）A. 对顶角相等B. 平行四边形的对角线互相垂直C. 三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点D. 三角分别相等的两个三角形是全等三角形【答案】A【解析】【分析】根据对顶角性质判断A ，根据平行四边形的性质判断B ，根据三角形的内心定义判断C ，根据全等三角形的判定定理判断D ．【详解】A.对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故A 符合题意；B.菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故B 不符合题意；C.三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故C 不符合题意；D.三角分别相等的两个三角形不一定全等，故D 不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了真命题与假命题的判断，对顶角的性质，平行四边形的性质，三角形的内心定义，全等三角形的判定，熟练掌握这些性质、定义、定理是解决问题的关键．（2022·河北）13. 如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC 与四边形BCDE 的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（ ）A. 0αβ-=B. 0αβ-<C. 0αβ->D. 无法比较α与β的大小【答案】A【解析】 【分析】多边形的外角和为360︒，△ABC 与四边形BCDE 的外角和均为360︒，作出选择即可．【详解】解：∵多边形的外角和为360︒，∴△ABC 与四边形BCDE 的外角和α与β均为360︒，∴0αβ-=，故选：A ．【点睛】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为360︒是解答本题的关键．（2022·河南）14. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为CD 的中点．若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为（ ）A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】C【解析】 【分析】由菱形的性质可得出BO =DO ，AB =BC =CD =DA ，再根据中位线的性质可得26BC OE ==，结合菱形的周长公式即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴BO =DO ，AB =BC =CD =DA ，∵OE =3，且点E 为CD 的中点，OE ∴是BCD △的中位线，∴BC =2OE =6．∴菱形ABCD 的周长为:4BC =4×6=24．故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，解题的关键是求出AD =6． （2022·山东泰安）15. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．点E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，60ABC ∠=︒，2BC AB =．下列结论：①AB AC ⊥；②4AD OE =；③四边形AECF 是菱形；④14BOE ABC S S =△△．其中正确结论的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】 【分析】通过判定ABE ∆为等边三角形求得60=︒∠BAE ，利用等腰三角形的性质求得30EAC ∠=︒，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．【详解】解：点E 为BC 的中点，22BC BE CE ∴==，又2BC AB =，AB BE ∴=，60ABC ∠=︒，ABE ∴∆是等边三角形，60BAE BEA ∴∠=∠=︒，30EAC ECA ∴∠=∠=︒，90BAC BAE EAC ∴∠=∠+∠=︒，即AB AC ⊥，故①正确；在平行四边形ABCD 中，//AD BC ，AD BC =，AO CO =，CAD ACB ∴∠=∠，在AOF ∆和COE ∆中，CAD ACB OA OCAOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AOF COE ASA ∴∆≅∆，AF CE ∴=，∴四边形AECF 是平行四边形，又AB AC ⊥，点E 为BC 的中点，AE CE ∴=，∴平行四边形AECF 是菱形，故③正确；AC EF ∴⊥，在Rt COE ∆中，30ACE ∠=︒，111244OE CE BC AD ∴===，故②正确； 在平行四边形ABCD 中，OA OC =， 又点E 为BC 的中点，ΔΔΔ1124BOE BOC ABC S S S ∴==，故④正确； 综上所述：正确的结论有4个，故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．（2022·山东滨州）16. 下列命题，其中是真命题的是（ ）A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形B. 有一个角是直角的四边形是矩形C. 对角线互相平分的四边形是菱形D. 对角线互相垂直的矩形是正方形【答案】D【解析】【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可．【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A 错误，不符合题意；有三个角是直角的四边形是矩形，故B 错误，不符合题意；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C 错误，不符合题意；对角线互相垂直的矩形是正方形，故D 正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键．二、填空题（2022·江苏扬州）17. “做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 边上的点B '处，折痕AD 交BC 于点D ；第2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ．若12BC =，则MP MN +=_____________．【答案】6【解析】 【分析】根据第一次折叠的性质求得12BD DB BB ''==和AD BC ⊥，由第二次折叠得到AM DM =，MN AD ⊥，进而得到MN BC ，易得MN 是ADC 的中位线，最后由三角形的中位线求解．【详解】解：∵已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 边上的点B '处，折痕AD 交BC 于点D ， ∴12BD DB BB ''==，AD BC ⊥． ∵第2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ，∴AM DM =，AN ND =，∴MN AD ⊥，∴MN BC ．∵AM DM =，∴MN 是ADC 的中位线， ∴12MP DB '=，12MN DC =． ∵12BC =，2BD DC CB BD BC +=+'=， ∴()111162222MP MN DB DC DB DB B C BC +=+=+='+''='． 故答案为：6．【点睛】本题主要考查了折叠的性质和三角形中位线的性质，理解折叠的性质，三角形的中位线性质是解答关键．（2022·江苏连云港）18. 如图，在ABCD 中，150ABC ∠=︒．利用尺规在BC 、BA 上分别截取BE 、BF ，使BE BF =；分别以E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径作弧，两弧在CBA ∠内交于点G ；作射线BG 交DC 于点H ．若1AD =，则BH 的长为_________．【解析】【分析】如图所示，过点H 作HM ⊥BC 于M ，由作图方法可知，BH 平分∵ABC ，即可证明∵CBH =∵CHB ，得到1CH BC ==+，从而求出HM ，CM 的长，进而求出BM 的长，即可利用勾股定理求出BH 的长．【详解】解：如图所示，过点H 作HM ⊥BC 于M ，由作图方法可知，BH 平分∵ABC ，∴∵ABH =∵CBH ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∵1BC AD AB CD ==+∥，，∴∵CHB =∵ABH ，∵C =180°-∵ABC =30°，∵∵CBH =∵CHB ，∴1CH BC ==，∴12HM CH ==，∴32CM +==，∴12BM BC CM =-=，∴BH ==．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH 的长是解题的关键．（2022·四川南充）19. 数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A ，B 两点的距离，同学们在AB 外选择一点C ，测得,AC BC 两边中点的距离DE 为10m （如图），则A ，B 两点的距离是_______________m ．【答案】20【解析】【分析】根据题意得出DE 为∆ABC 的中位线，然后利用其性质求解即可．【详解】解：∵点D 、E 为AC ，BC 的中点，∴DE 为∆ABC 的中位线，∵DE =10，∴AB =2DE =20，故答案为：20．【点睛】题目主要考查三角形中位线的判定和性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键．（2022·湖南株洲）20. 如图所示，已知60MON ∠=︒，正五边形ABCDE 的顶点A 、B 在射线OM 上，顶点E 在射线ON 上，则AEO ∠=_________度．【答案】48【解析】【分析】EAO ∠是正五边形的一个外角，利用多边形外交和360°算出一个外角EAO ∠，再利用OAE △的内角和180°，即可算出【详解】∵四边形ABCDE 是正五边形，EAO ∠是一个外角 ∴360725EAO ︒∠==︒ 在OAE △中：180180726048AEO EAO MON ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒故答案为：48【点睛】本题考查多边形外角和和三角形内角和，注意多边形外角和均为360° （2022·四川遂宁）21. 如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、F 分别在正方形BMGH 的边BH 、GH 上．若正方形BMGH 的边长为6，则正六边形ABCDEF 的边长为______．【答案】4【解析】【分析】连接BE ，根据正六边形的特点可得//BE AF ，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】如图，连接BE ，正六边形ABCDEF 的顶点A 、F 分别在正方形BMGH 的边BH 、GH 上 正六边形每个内角为360180=1202︒-︒，BE 为对称轴 180ABE BAF ∴∠+∠=︒//AF BE ∴则60ABE HAF ∠=∠=︒=FEB ∠则30AFH ∠=︒，正方形BMGH 的边长为66BH ∴=∵ 12AH AF = ∵AH x =∵∵26x x +=∵∵2x =24BA x ∴==故答案为：4【点睛】本题考查了正多边形的性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．（2022·浙江舟山）22. 正八边形的一个内角的度数是____度．【答案】135【解析】【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数即可.【详解】正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°，每一个内角的度数为：1080°÷8=135°，故答案为135.（2022·江西）23. 正五边形的外角和等于_______◦∵【答案】360【解析】【详解】试题分析：任何n边形的外角和都等于360度.考点：多边形的外角和.视频（2020·湖南湘西）24. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为___________．【答案】6【解析】【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．【详解】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，∴内角和是720度，÷+=，72018026∴这个多边形是六边形．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．（2022·湖南常德）25. 剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．【答案】6【解析】【分析】根据多边形的内角和进行即可求解．【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为n ，()()()52180318042180521803603609n ∴-⨯︒+⨯︒+-⨯︒⨯+-⨯︒=︒+︒⨯， 解得6n =．故答案为：6．【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键．（2022·浙江台州）26. 如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点．若EF 的长为10，则CD 的长为________．【答案】10【解析】【分析】根据三角形中位线定理求出AB ，根据直角三角形的性质解答．【详解】解：∵E 、F 分别为BC 、AC 的中点，∴AB ＝2EF ＝20，∵∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点， ∴1102CD AB ==， 故答案为：10．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．（2022·湖北荆州）27. 如图，点E ，F 分别在□ABCD 的边AB ，CD 的延长线上，连接EF ，分别交AD ，BC 于G ，H ．添加一个条件使△AEG ≌△CFH ，这个条件可以是______．（只需写一种情况）【答案】AE CF =（答案不唯一）【解析】【分析】由平行四边形的性质可得：,A C ∠=∠ 证明,E F ∠=∠ 再补充两个三角形中的一组相对应的边相等即可． 【详解】解： ABCD ，,,AB CD A C ∥ ,F E所以补充：,AE CF =∴ △AEG ≌△CFH ，故答案为：AE CF =（答案不唯一）【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的性质与利用ASA 证明三角形全等”是解本题的关键．（2022·江苏苏州）28. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，3AB =，4AC =，分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，过M ，N 两点作直线，与BC 交于点E ，与AD 交于点F ，连接AE ，CF ，则四边形AEC F 的周长为______．【答案】10【解析】【分析】根据作图可得MN AC ⊥，且平分AC ，设AC 与MN 的交点为O ，证明四边形AECF 为菱形，根据平行线分线段成比例可得AE 为ABC 的中线，然后勾股定理求得BC ，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得AE 的长，进而根据菱形的性质即可求解．【详解】解：如图，设AC 与MN 的交点为O ，根据作图可得MN AC ⊥，且平分AC ，AO OC ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，FAO OCE ∴∠=∠，又AOF COE ∠=∠，AO CO = ，AOF COE ∴≌，AF EC ∴=，AF CE ∥，∴四边形AECF 是平行四边形， MN 垂直平分AC ，EA EC ∴=，∴四边形AECF 是菱形，AB AC ⊥，MN AC ⊥，EF AB ∴∥，1BE OC EC AO∴==， E ∴为BC 的中点，Rt ABC △中， 3AB =，4AC =，5BC ∴=，1522AE BC ==， ∴四边形AEC F 的周长为410AE =．故答案为：10．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． （2022·湖南邵阳）29. 如图，在等腰ABC 中，120A ∠=︒，顶点B 在ODEF 的边DE 上，已知140∠=︒，则2∠=_________．【答案】110º【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC 的度数；再根据平行四边形对边平行和两直线平行同旁内角互补的性质，得出∠2+∠ABE =180º，代入求解即可．【详解】解：∵ABC 是等腰三角形，∠A =120º，∴∠ABC =∠C =(180º-∵A )÷2=30º，∵四边形ODEF 是平行四边形，∴OF ∥DE ，∴∠2+∠ABE =180º，即∠2+30º+40º=180º，∴∠2=110º．故答案为：110º．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键是数形结合，熟练运用上述知识求解．（2022·甘肃武威）30. 如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AD BC ∥，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD 成为一个矩形，只需添加的一个条件是_______________．【答案】90A ∠=︒（答案不唯一）【解析】【分析】】先证四边形ABCD 是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．【详解】解：需添加的一个条件是∠A =90°，理由如下：∵AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵∠A =90°，∴平行四边形ABCD 是矩形，故答案为：∠A =90°（答案不唯一）．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．（2022·山东滨州）31. 如图，在矩形ABCD 中，5,10AB AD ==．若点E 是边AD 上的一个动点，过点E 作EF AC ⊥且分别交对角线AC ，直线BC 于点O 、F ，则在点E 移动的过程中，AF FE EC ++的最小值为________．【解析】【分析】过点D 作BM EF ∥交BC 于M ，过点A 作AN EF ∥，使AN EF =，连接NE ，当N 、E 、C 三点共线时，AF FE EC CN AN ++≥+，分别求出CN 、AN 的长度即可．【详解】过点D 作DM EF ∥交BC 于M ，过点A 作AN EF ∥，使AN EF =，连接NE ， ∴四边形ANEF 是平行四边形，∴,AN EF AF NE ==，∴当N 、E 、C 三点共线时，AF CE +最小，四边形ABCD 是矩形，5,10AB AD ==，10,5,,90AD BC AB CD AD BC ABC ∴====∠=︒∥，AC ∴==∴四边形EFMD 是平行四边形，DM EF ∴=，DM EF AN ∴==，EF AC ⊥，,DM AC AN AC ∴⊥⊥，90CAN ∴∠=︒，90MDC ACD ACD ACB ∴∠+∠=︒=∠+∠，MDC ACB ∴∠=∠，tan tan MDC ACB ∴∠=∠，即MC AB CD BC=，52MC ∴=， 在Rt CDM中，由勾股定理得DM AN ===， 在Rt ACN中，由勾股定理得252CN ==， AF FE EC CN AN ++≥+，∴AF FE EC ++≥， AF FE EC ∴++故答案为：252+． 【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．三、解答题（2022·浙江嘉兴）32. 小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AC ⊥BD ，OB ＝OD ．求证：四边形ABCD 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．【答案】赞成小洁的说法，补充,OA OC =证明见解析【解析】【分析】先由OB ＝OD ，,OA OC =证明四边形ABCD 是平行四边形，再利用对角线互相垂直，从而可得结论．【详解】解：赞成小洁的说法，补充.OA OC =证明：∵OB ＝OD ，,OA OC =∴ 四边形ABCD 是平行四边形，AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，掌握“菱形的判定方法”是解本题的关键．（2022·浙江温州）33. 如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，E ，F 分别是,AC AB 的中点，O 是DF 的中点，EO 的延长线交线段BD 于点G ，连结DE ，EF ，FG ．（1）求证：四边形DEFG 是平行四边形．（2）当5AD =，5tan 2EDC ∠=时，求FG 的长．【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】【分析】（1）根据E ，F 分别是AC ，AB 的中点，得出EF BC ∥，根据平行线的性质，得出FEO DGO ∠=∠，EFO GDO ∠=∠，结合O 是DF 的中点，利用“AAS ”得出EFO GDO △≌△，得出EF GD =，即可证明DEFG 是平行四边形；（2）根据AD BC ⊥，E 是AC 中点，得出12DE AC EC ==，即可得出5tan tan 2C EDC =∠=，即52AD DC =，根据5AD =，得出CD =2，根据勾股定理得出AC 的长，即可得出DE ，根据平行四边形的性，得出2FG DE ==． 【小问1详解】解：（1）∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点，∴EF BC ∥，∴FEO DGO ∠=∠，EFO GDO ∠=∠，∵O 是DF 的中点，∴FO DO =，∴()EFO GDO AAS ≌，∴EF GD =，∴四边形DEFG 是平行四边形．【小问2详解】∵AD BC ⊥，E 是AC 中点， ∴12DE AC EC ==， ∴EDC C ∠=∠， ∴5tan tan 2C EDC =∠=， ∴52AD DC =， ∵5AD =，∴2CD =，∴1122DE AC ====． ∵四边形DEFG 为平行四边形，∴FG DE == 【点睛】本题主要考查了平行线四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形全等的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，中位线的性质，根据题意证明EFO GDO △≌△，是解题的关键．（2022·云南）34. 如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，E 为线段AD 的中点，延长BE 与CD 的延长线交于点F ，连接AF ，∠BDF =90°（1）求证：四边形ABDF 是矩形；（2）若AD =5，DF =3，求四边形ABCF 的面积S ．【答案】（1）见解析；（2）18．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定证得ABE △≌DFE △，即可得到AB =DF ，从而证明四边形ABDF 是平行四边形，再根据∠BDF =90°即可证明四边形ABDF 是矩形；（2）根据全等的性质、矩形性质及勾股定理得到AB =DF =3，AF =4，由平行四边形性质求得CF =6，最后利用梯形的面积公式计算即可．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，即AB ∥CF ，∴∠BAE =∠FDE ，∵E 为线段AD 的中点，∴AE =DE ，又∵∠AEB =∠DEF ，∴ABE △≌DFE △（ASA ），∴AB =DF ，又∵AB ∥DF ，∴四边形ABDF 是平行四边形，∵∠BDF =90°，∴四边形ABDF 是矩形；【小问2详解】解：由（1）知，四边形ABDF 是矩形，∴AB =DF =3，∠AFD =90°，∴在Rt ADF 中，4AF ===，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD =3，∴CF =CD +DF =3+3=6， ∴()()113641822S AB CF AF =+=⨯+⨯=． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握各性质及判定定理进行推理是解题的关键．（2022·四川凉山）35. 在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交CE 的延长线于点F ．（1）求证：四边形ADBF 是菱形；（2）若AB ＝8，菱形ADBF 的面积为40，求AC 的长．【答案】（1）见解析 （2）10【解析】【分析】（1）证△AEF ≌△DEC （AAS ），得△AEF ≌△DEC （AAS ），再证四边形ADBF 是平行四边形，然后由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得证AD =BD =12BC ，即可由菱形判定定理得出结论；（2）连接DF 交AB 于O ，由菱形面积公式S 菱形ADBF =12AB DF ⋅=40，求得OD 长，再由菱形性质得OA =OB ，证得OD 是三角形的中位线，由中位线性质求解可．【小问1详解】证明：∵E 是AD 的中点，∴AE =DE∵AF ∥BC ，∴∠AFE =∠DCE ，在△AEF 和△DEB 中，AFE DCE AEF DEC AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△DEC （AAS ），∴AF =CD ，∵D 是BC 的中点，∴CD =BD ，∴AF =BD ，∴四边形ADBF 是平行四边形，∵∠BAC =90°，∵D 是BC 的中点，∴AD =BD =12BC ，∴四边形ADBF 是菱形；【小问2详解】解：连接DF 交AB 于O ，如图由（1）知：四边形ADBF是菱形，∴AB⊥DF，OA=12AB=12×8=4，S菱形ADBF=12AB DF⋅=40，∴182DF⨯=40，∴DF=10，∴OD=5，∵四边形ADBF是菱形，∴O是AB的中点,∵D是BC的中点，∴OD是△BAC的中位线，∴AC=2OD=2×5=10．答：AC的长为10．【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．（2022·四川自贡）36. 如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得。

实验三验证力的平行四边形定则（解析版）1.实验原理等效思想:互成角度的两个力F1、F2与另外一个力F'产生相同的作用效果,看F1、F2用平行四边形定则求出的合力F与F'在实验误差允许范围内是否相同。

2.实验器材方木板、白纸、弹簧测力计(两只)、橡皮条、细绳及细绳套(两个)、三角板、刻度尺、图钉(多个)、铅笔。

3.实验步骤(1)仪器安装①用图钉把白纸钉在水平放置的方木板上。

②用图钉把橡皮条的一端固定在A点,如图所示,橡皮条的另一端拴上两个细绳套。

(2)测量与记录①用两只弹簧测力计分别钩住细绳套,互成角度地拉橡皮条,使橡皮条与绳的结点伸长到某一位置O。

记录两弹簧测力计的读数F1、F2,用铅笔描下O点的位置及此时两细绳的方向。

②只用一只弹簧测力计通过细绳套把橡皮条的结点拉到同样的位置O,记下弹簧测力计的读数F'和细绳的方向。

(3)换白纸,改变两弹簧测力计拉力的大小和方向,再重做两次实验。

4.数据分析(1)用铅笔和刻度尺从力的作用点(位置O)沿着两绳的方向画直线,按选定的标度作出两只弹簧测力计的拉力F1和F2的图示,利用刻度尺和三角板以F1和F2为邻边作平行四边形,过O点画平行四边形的对角线,即合力F的图示。

(2)用刻度尺从O点按同样的标度沿记录的方向作出实验步骤中弹簧测力计的拉力F'的图示。

(3)比较F与F'是否完全重合或几乎完全重合,从而验证平行四边形定则。

5.注意事项(1)位置不变:在同一次实验中,橡皮条拉长时结点的位置一定要相同。

(2)角度合适:用两个弹簧测力计钩住细绳套互成角度地拉橡皮条时,其夹角不宜太小,也不宜太大,以60°~100°为宜。

(3)尽量减少误差①在合力不超出量程及在橡皮条弹性限度内形变应尽量大一些。

②细绳应适当长一些,便于确定力的方向。

(4)统一标度:在同一次实验中,画力的图示选定的标度要相同,并且要恰当选定标度,使力的图示稍大一些。

专题15 平行四边形（强化-基础）一、单选题(共40分)1．(本题4分)（2020·浙江八年级期中）下列条件中，能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．//,AB CD AD BC = B ．,A B CD ∠=∠∠=∠ C ．,AB AD CB CD ==D ．//,AB CD AB CD =【答案】D【分析】 根据平行四边形的判定定理可直接进行排除选项．【详解】解：如图，由//,AB CD AD BC =不是同一条对应边的关系，故不一定能判定四边形ABCD 是平行四边形，故A 选项不符合题意；由,A B C D ∠=∠∠=∠，360A B C D ∠+∠+∠+∠=︒可得：//AB DC ，所以不一定能判定四边形ABCD 是平行四边形，故B 选项不符合题意；由,AB AD CB CD ==不符合两组对应边相等，所以不一定能判定四边形ABCD 是平行四边形，故C 选项不符合题意；由//,AB CD AB CD =可得四边形ABCD 是平行四边形，故D 选项符合题意； 故选D ．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 2．(本题4分)（2021·山东威海市·八年级期末）如图，在ABCD 中，CE AB ⊥，E 为垂足，如果120A ∠=︒，那么BCE ∠的度数是（ ）A ．80°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】B【分析】 因为平行四边形对边平行，所以由两直线平行，同旁内角互补，可得∠A+∠B=180°，由已知易证∠BEC=90°，所以在Rt∠BEC 中，由三角形的内角和定理知∠BCE=30°；【详解】∠平行四边形ABCD 中，120A ∠=︒，∠AD//BC∠18012060B ∠=︒-︒=︒，又∠CE AB ⊥，∠∠BEC=90°，∠9030BCE B ∠=︒-∠=︒．故选：B ．本题直接通过平行四边形性质的应用，判断出正确的选项，属于基础题；3．(本题4分)（2021·上海九年级专题练习）四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ．给出下列四组条件：①AB ①CD ，AD ①BC ；①AB CD =，AD BC =；①AO CO =，BO DO =；①AB ①CD ，AD BC =．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有（ ）A ．1组；B ．2组；C ．3组；D ．4组．【答案】C【分析】根据平行四边形的判定方法对∠∠∠∠分别作出判断即可求解．【详解】解：∠AB ∠CD ，AD ∠BC ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；∠AB CD =，AD BC =，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；；∠AO CO =，BO DO =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；∠AB ∠CD ，AD BC =，无法判定四边形是平行四边形．故选：C本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义和判定定理是解题关键．4．(本题4分)（2021·山东烟台市·八年级期末）如图1，平行四边形纸片ABCD的面积为120，20AD ．今沿两对角线将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD、CB重合）形成一轴对称图形（戊），如图2所示，则图形戊的两对角线长度和为（）A．26B．29C．2243D．1253【答案】A【分析】由题意可得对角线EF∠AD，且EF与平行四边形的高相等，进而利用面积与边的关系求出BC边的高即可．【详解】解：如图，连接AD、EF，则可得对角线EF∠AD，且EF与平行四边形的高相等．∠平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD=20，∠BC=AD=20，12EF×AD=12×120，∠EF=6，又AD=20，∠则图形戊中的四边形两对角线之和为20+6=26，故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及图形的对称问题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．5．(本题4分)（2021·全国九年级专题练习）如图，E是直线CD上的一点，且12CE CD=．已知ABCD的面积为252cm，则ACE的面积为（）A．52B．26C．13D．39【答案】C【分析】设平行四边形AB边上的高为h，分别表示出∠ACE的面积和平行四边形ABCD的面积，从而求出结果．【详解】解：∠四边形ABCD是平行四边形，12CE CD=，设平行四边形AB边上的高为h，∠∠ACE的面积为：12CE h⋅，平行四边形ABCD的面积为2CE h⋅，∠∠ACE的面积为平行四边形ABCD的面积的14，又∠□ABCD的面积为52cm2，∠∠ACE的面积为13cm2．故选C．【点睛】本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是根据图形的形状得出∠ACE的面积为平行四边形ABCD的面积的14．6．(本题4分)（2020·苏州高新区实验初级中学七年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，BC=b，AB边上的高为c，BC边上的高为d，则下列式子成立的是（）A．a：c=b：d B．a：b=c：d C．ab=cd D．ac=bd【答案】D【分析】根据平行四边形的性质可得，S∠ABCD=BC•DF=AB•DE，代入数据进行计算即可得出结论．【详解】解：因为平行四边形a边上的高为b，c边上的高为d，所以ac=bd，A、由a：c=b：d，得bc=ad，与题意ac=bd不符，此选项错误；B、由a：b=c：d ，得bc=ad，与题意ac=bd不符，此选项错误；C、ab=cd，与题意ac=bd不符，此选项错误；D、ac=bd，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质的运用，解题时注意：平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．7．(本题4分)（2020·渠县琅琊中学九年级月考）如图，平行四边形ABCD中，已知AD=，则BD的长为（）∠=︒，8cmAOB90AC，5cmA．3cm B．4cm C．6cm D．8cm【答案】C【分析】由平行四边形ABCD中，AC=8cm，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OA的长，然后由勾股定理求得OD的长，继而求得答案．【详解】解：∠四边形ABCD是平行四边形，∠1184()22OA ==⨯=AC cm ， ∠∠AOB=90°，∠∠AOD=180°-∠AOB=90°，∠5cm AD =∠3()OD ===cm∠BD=2OD=6cm ．故选：C ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．注意平行四边形的对角线互相平分． 8．(本题4分)（2019·浙江杭州市·八年级其他模拟）已知平行四边形ABCD ，对角线6AC =、8BD =，则该平行四边形四条边中最长边．．．a 的取值范围是（ ）A 7a ≤<B ．57a ≤<C ．17a <<D 7a <【答案】B【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OA 与OD 的值，又由三角形的三边关系，即可求得答案．【详解】解：如图所示：四边形ABCD 是平行四边形，AD ＞AB ，132OA AC ∴==，142OD BD ==， 在∠AOD 中，由三角形的三边关系得：4-3＜AD ＜4+3，∠1＜AD ＜7，当四边相等时易得边长为5，∠5≤AD ＜7．故选：B ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及三角形三边关系．熟记平行四边形的对角线互相平分是解此题的关键．9．(本题4分)（2021·昆明市·云南师大附中九年级期末）如图，在ABCD 中，6AD =，30ADB ∠=︒，按以下步骤作图：①以点C 为圆心，以CD 长为半径作弧，交BD 于点F ；①分别以点D ，F 为圆心，以CD 长为半径作弧，两弧相交于点G ，作射线CG 交BD 于点E ，则BE 的长为（ ）A ．3BC ．4D ．【答案】D【分析】先根据题目描述可确定CG∠BD ，再由平行确定∠EBC=30°，从而在Rt∠BEC 中计算即可【详解】根据题意描述，CG 垂直平分线段DF ，即∠BEC=90°，∠30ADB ∠=︒，四边形ABCD 为平行四边形，∠AD//BC ，AD=BC=6∠∠EBC=30°，∠在Rt∠BEC 中，132CE BC ==，∠BE =故选：D ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的判定，以及勾股定理，充分理解题中描述的作图过程是解题关键．10．(本题4分)（2021·山东临沂市·九年级一模）如图，在ABCD 中，ABC ∠、BCD ∠的平分线BE 、CF 分别与AD 相交于点E 、F ，BE 与CF 相交于点G ，若，6AB =，BC ＝10，4CF =，则BE 的长为（ ）A ．B ．8C ．D ．10 【答案】C【分析】根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD＝180°，再根据角平分线的性质可得∠EBC+∠FCB＝90°，可得BE∠CF；过A作AM∠FC，交BC于M，交BE于O，证明∠ABE 是等腰三角形，进而得到BO＝EO，再利用勾股定理计算出EO的长，进而可得答案．【详解】解：∠四边形ABCD是平行四边形，∠AB∠CD，∠∠ABC+∠BCD＝180°，∠∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，∠∠EBC+∠FCB＝12∠ABC+12∠DCB＝90°，∠EB∠FC，∠∠FGB＝90°．过A作AM∠FC，交BC于M，交BE于O，如图所示：∠AM∠FC，∠∠AOB＝∠FGB＝90°，∠BE平分∠ABC，∠∠ABE＝∠EBC，∠AD∠BC，∠∠AEB＝∠CBE，∠∠ABE＝∠AEB，∠AB＝AE＝6，∠AO∠BE，∠BO ＝EO ，在∠AOE 和∠MOB 中，AEO MBO EO BO AOE MOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠AOE ∠∠MOB （ASA ），∠AO ＝MO ，∠AF ∠CM ，AM ∠FC ，∠四边形AMCF 是平行四边形，∠AM ＝FC ＝4，∠AO ＝2，∠EO=∠BE ＝．故选：C ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理；证明AO ＝MO ，BO ＝EO 是解决问题的关键．二、填空题(共20分)11．(本题5分)（2019·云南玉溪市·八年级期中）已知☐ABCD 的对角线AC=8，BD=10，BC 边上的高为6，则☐ABCD 的面积为___．【答案】24+【分析】画出符合题意的示意图，过点O 作OF BC ⊥于点F ， 由中位线的性质得到3OF =，Rt OFC 与Rt BFO 中，分别利用勾股定理解得FC BF 、的长，继而得到BC 的长，最后根据平行四边形的面积公式解题．【详解】解：如图，过点O 作OF BC ⊥于点F ，在☐ABCD 中，114,5622AO OC AC BO OD BD AE =======， 由题意知//,OF AE O 为AC 中点，116322OF AE ∴==⨯= 在Rt OFC 中，FC ==在Rt BFO 中，4BF ===4BC BF FC =+=+(4624ABCD S BC AE ∴=⋅=⨯=+【点睛】本题考查平行四边形的性质、中位线的性质、勾股定理、平行四边形的面积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．12．(本题5分)（2019·陕西宝鸡市·八年级期末）如图，在ABCD 中，BE CD ⊥于点E ，BF AD ⊥于点F ，①EBF ＝60°，则①C =________．【答案】60°【分析】根据四边形的内角和等于360°即可求出∠D ，再根据平行四边形的邻角互补即可求出∠C ．【详解】∠BE ∠CD ，BF ∠AD ，∠∠BED ＝∠BFD ＝90°，在四边形BEDF 中，∠D ＝360°−∠BED −∠BFD −∠EBF ＝360°−90°−90°−60°＝120°， 在∠ABCD 中，∠C ＝180°−∠D ＝180°−120°＝60°．故答案为：60°.【点睛】本题考查四边形内角和以及平行四边形的性质，掌握四边形内角和为360°与平行四边形的性质是解题的关键．13．(本题5分)（2021·长春吉大附中力旺实验中学九年级月考）如图，为了测量池塘边A 、B 两地之间的距离，在线段AB 的同侧取一点C ，连结CA 并延长至点D ，连结CB 并延长至点E ，使得A 、B 分别是CD 、DE 的中点，若DE ＝16m ，则线段AB 的长度是_____m ．【答案】8【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：∠点A 、点B 分别是CD 、DE 的中点，∠AB 是∠CDE 的中位线，∠AB ＝12DE ＝8（m ）， 故答案为：8．【点睛】本题考查了三角形中位线，解题关键是熟练运用中位线的性质进行计算．14．(本题5分)（2020·浙江温州市·实验中学八年级期中）如图，在①ABCD 中，P 为AB 上的一点，E 、F 分别是DP 、CP 的中点，G 、H 为CD 上的点，连接EG 、FH ，若①ABCD 的面积为242cm ，12GH AB ，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】62cm ．【分析】设EG ，FH 交于点O ，根据平行四边形的性质可得求解S ∠PCD ＝122cm ，利用三角形的中位线可求解S ∠PEF ＝32cm ，由平行线的性质可求解S ∠OEF ＝S ∠OGH ＝12S ∠PEF ＝1.52cm ，进而可求解．【详解】 解：如图，设EG ，FH 交于点O ，∠四边形ABCD 为平行四边形，且∠ABCD 的面积为242cm ，∠S ∠PCD ＝12S ∠ABCD ＝122cm ，AB ＝CD ，AB ∠CD ， ∠E 、F 分别是DP 、CP 的中点，∠EF 为∠PCD 的中位线，∠CD ＝2EF ，EF ∠CD ∠AB ，∠S ∠PEF ：S ∠PCD ＝1：4，∠S ∠PEF ＝32cm ，∠GH ＝12AB ， ∠EF ＝GH ，EF ∠GH ，∠S ∠OEF ＝S ∠OGH ＝12S ∠PEF ＝1.52cm ， ∠S 阴影＝3+2×1.5＝62cm ，故答案为62cm ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的中位线，三角形的面积等知识的综合运用．三、解答题(共90分)15．(本题8分)（2020·浙江八年级期中）如图，E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线BD 所在直线上的两点，且DE BF =，求证：四边形AECF 是平行四边形．【答案】见详解【分析】由题意易得//AD BC ，AD CB =，则有ADE CBF ∠=∠，然后可证ADE CBF ≌，进而可得AE CF =，DEA BFC ∠=∠，则可得AEF CFE ∠=∠，所以//AE CF ，最后问题得证．【详解】证明：∠四边形ABCD 是平行四边形，∠//AD BC ，AD CB =，∠ADE CBF ∠=∠，∠DE BF =，∠ADE CBF ≌（SAS ），∠AE CF =，DEA BFC ∠=∠，∠180DEA AEF BFC CFE ∠+∠=∠+∠=︒，∠AEF CFE ∠=∠，∠//AE CF ，∠四边形AECF 是平行四边形．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．16．(本题8分)（2020·福建厦门市·厦门双十中学九年级月考）如图，在ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，AC 与EF 相交于点O ，且AO CO =．求证：四边形AECF 是平行四边形．【答案】见解析【分析】先由ASA 证明AOF COE ≌△△，得出FO EO =，再由AO CO =，即可得出结论．【详解】证明：∠四边形ABCD 是平行四边形，∠//AD BC ，∠OAF OCE ∠=∠，在AOF 和COE 中，OAF OCE AO CO AOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠AOF COE ≌△△（ASA ）∠FO EO =，又∠AO CO =，∠四边形AECF 是平行四边形．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 17．(本题8分)（2020·浙江杭州市·八年级开学考试）如图是一个平行四边形土地ABCD ，后来在其边缘挖了一个小平行四边形水塘EFGH ，现准备将其分成两块，并使其满足：两块地的面积相等，分割线恰好做成水渠，便于灌溉，请你在图中画出分界线所在的直线（保留作图痕迹）．【答案】见解析【分析】由题意分割使两块地的面积相等，分割线恰好做成水渠，根据平行四边形的性质知：过平行四边形对角线交点的直线等分其面积，从而进行求解．【详解】解：作两个平行四边形的两对对角线，其交点分别为M、N．即AC与BD交于点N，EG 与FH交于点M，连接MN，直线MN即为所求的分割线．因为，过平行四边形对角线交点的直线等分其面积．如图：【点睛】此题主要考查平行四边形的性质及其面积公式，作图比较复杂，要认真作图．⊥于E，18．(本题8分)（2020·浙江杭州市·八年级月考）如图，在ABCD中，AE BCAE AF的值．AF CD⊥于F，若AB与AD的长度之比为3：4，求:【答案】3:4【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，AD=BC，又由AE∠BC于E，AF∠DC于F，可得平行四边形ABCD的面积的两种表示方法，结合AB：AD=3：4可得结果．【详解】解：证明：∠四边形ABCD是平行四边形，∠AB=CD，AD=BC，又∠AE∠BC ，AF∠DC ，∠平行四边形ABCD 的面积=BC×AE=CD×AF ，即AD×AE=AB×AF ，又AB ：AD=3：4， ∠34AE AB AF AD ==． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，解题的关键是利用两种方法表示平行四边形的面积． 19．(本题10分)（2021·重庆巴蜀中学九年级月考）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 为对角线BD 上的点，BE DF =．（1）请用直尺和圆规作出BFC ∠的角平分线FH ，并标出FH 与BC 的交点H ；（请用2B 铅笔作图并保留作图痕迹）（2）在（1）的前提下，若110AEB ∠=︒，求CFH ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）35°．【分析】（1）以F 为圆心，任意长为半径画弧，分别交BF 、FC 于M N 、两点，再分别以M N 、为圆心，大于12MN 为半径画弧，两弧交于点Q ，最后作射线FQ 与BC 的交点H 即可解题；（2）先根据平行四边形的性质解得//AB CD ，AB CD =，再利用平行线的性质得到∠=∠ABE CDF ，接着证明()SAS ABE CDF ≌△△，由全等三角形对应角相等的性质得到110AEB CFD ∠=∠=︒，再由邻补角定义解得70BFC ∠=︒，最后根据角平分线的定义解题即可．【详解】解：（1）如图，FH 为所作：（2）∠四边形ABCD 为平行四边形，∠//AB CD ，AB CD =，∠∠=∠ABE CDF ，在ABE △和CDF 中AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()SAS ABE CDF ≌△△， ∠110AEB CFD ∠=∠=︒，∠18070BFC CFD ∠=︒-∠=︒，∠FH 平分BFC ∠， ∠1352CFH BFC ∠=∠=︒． 【点睛】本题考查基本作图—作角平分线、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．20．(本题10分)（2020·吉林长春市·长春外国语学校八年级月考）如图，点B 、F 、C 、E在一条直线上，FB=CE ，AB∥ED ，AC∥FD ，AD 交BE 于点O ．（1）求证：AD 与BE 互相平分；（2）若AB ①AC ，AC=BF ，BE =8，FC =2，求AB 的长．【答案】（1）见解析；（2） 4.AB =【分析】（1）连接,,AE BD 证明,ABC DEF ≌可得：AB DE =，再证明四边形ABDE 是平行四边形，利用平行四边形的性质可得答案；（2）由BE =8，FC =2，结合BF CE =，AC=BF ，求解,BF AC ， ,BC 再利用AB ∠AC ，由勾股定理可得答案．【详解】证明：（1）连接,,AE BD,FB CE =,BC EF ∴=//,//,AB DE AC DF,,ABC DEF ACB DFE ∴∠=∠∠=∠在ABC 与DEF 中，ABC DEF BC EFACB DFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,ABC DEF ∴≌,AB DE ∴=//,AB DE∴ 四边形ABDE 是平行四边形，∴ AD 与BE 互相平分；（2）82BE FC ==，，6BF CE ∴+=，,BF CE =3BF CE ∴==，,AC BF =3AC ∴=，325BC ∴=+=，,AB AC ⊥4.AB ∴===【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．21．(本题12分)（2020·四川成都市·八年级期中）在平行四边形ABCD 中，点E 为AB 边的中点，连接CE ，将BCE 沿着CE 翻折，点B 落在点G 处，连接AG 并延长，交CD 于F ．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形．（2）若5CF =，GCE 的周长为20，求四边形ABCF 的周长．【答案】（1）证明见解析；（2）30【分析】（1）连接BG ，根据题意得到EB EG AE ==，证明//AF EC ，又根据//FC AE ， 即可证明结论；（2）先求出AF =CE ，AE =CF =5，根据20GCE C GE GC CE =++=△，进行线段代换即可求解．【详解】解：（1）证明：连接BG ．∠点E 为AB 边的中点，BCE 沿着CE 翻折得到∠GCE ，∠EB EG AE ==，∠∠GAE =∠AGE ，∠EBG =∠EGB ，∠三角形内角和为180°，∠90AGB ∠=︒，且BG EC ⊥，∠//AF EC ，∠//FC AE ，∠四边形AECF 是平行四边形．（2）∠四边形AECF 是平行四边形，∠AF =CE ，AE =CF =5，∠20GCE C GE GC CE =++=△，∠BE +BC +EC =20，∠BE +BC +AF =20，∠CF =AE =5，∠ABCF C AB BC AF FC =+++四边形=AE +BE +BC +CF +AF =20+5+5=30．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，轴对称等知识，熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题关键．22．(本题12分)（2020·浙江杭州市·八年级期末）操作探究：（1）现有一块等腰三角形纸板，BC为底边，量得周长为32cm，底比一腰多2cm．若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请在下列方框中画出你能拼成的各种四边形的示意图，并在图中标出四边形的各边长；（2）计算拼成的各个四边形的两条对角线长的平方和．【答案】（1）见解析；（2）200或328或272或192.16【分析】（1）正确画出图形；（2）分别根据勾股定理计算四个图形中对角线长的平方和．【详解】解：（1）如图所示：（2）设AB =AC =xcm ，则BC =（x +2）cm ，由题意得（x +2）+2x =32，解得x =10cm ．因此AB =AC =10cm ，则BC =12cm ，过点A 作AD ∠BC 于D ，∠BD =CD =6cm ，∠AD =8cm ．可以拼成四种四边形，如上图所示．如图1，两对角线长的平方和为102+102=200；如图2，AC 2=()22483+，∠两对角线长的平方和为()2224836328++=；如图3，BC 2=22128+，∠两对角线长的平方和为2221288272++=；如图4，∠12×AB ×CO ＝12×AC ×BC ，10CO =6×8．∠CO =4.8cm ，CD =9.6cm ．∠两对角线长的平方和为229.610192.16+=．【点睛】本题考查了图形的剪拼，勾股定理等知识，解题的关键是根据题意画出所有的图形，用到的知识点是勾股定理、平行四边形的性质等．23．(本题14分)（2021·全国九年级专题练习）点P 是平行四边形ABCD 的对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A 、C 重合），分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E 、F ．点O 为AC 的中点．（1）如图1，当点P 与点O 重合时，线段OE 和OF 的关系是 ；（2）当点P 运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，点P 在线段OA 的延长线上运动，当30OEF ∠=︒时，试探究线段CF 、AE 、OE 之间的关系．【答案】（1）OE OF =；（2）补图见解析，OE OF =仍然成立，证明见解析；（3）OE CF AE =+，证明见解析【分析】（1）证明∠AOE ∠∠COF 即可得出结论；（2）仍然成立，作辅助线，构建全等三角形，证明∠AOE∠∠COG，得OE＝OG，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论；（3）延长EO交FC延长线于H点，由全等三角形的性质可得AE=CH，OE=OH，由直角三角形的性质可得HF=12EH=OE，即可得证．【详解】解：（1）∠四边形ABCD是平行四边形，∠OA＝OC，∠AE∠BP，CF∠BP，∠∠AEO＝∠CFO＝90°，∠∠AOE＝∠COF，∠∠AOE∠∠COF（AAS），∠OE＝OF；（2）补全图形如图2所示，OE＝OF仍然成立，证明如下：延长EO交CF于点G，∠AE∠BP，CF∠BP，∠AE∠C F，∠∠EAO=∠GCO，∠点O为AC的中点，∠AO=CO，又∠∠AOE=∠COG，∠∠AOE∠∠COG，∠OE=OG，∠∠GFE=90°，∠OF=12EG=OE；（3）当点P在线段OA的延长线上时，线段CF、AE、OE之间的关系为OE=CF+AE，证明如下：延长EO交FC的延长线于点H，如图3所示，由（2）可知∠AOE∠∠COG，∠AE=CH，OE=OH，又∠∠OEF=30°，∠HFE=90°，∠HF=12EH=OE，∠OE=CF+CH=CF+OE．【点睛】本题考查了平行四边形、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质和判定，以构建全等三角形和证明三角形全等这突破口，利用平行四边形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，从而使问题得以解决．。

人教版2020——2021年八年级下册新题平行四边形、菱形的判定与性质专项练习1．（2020春•揭西县期末）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC边上的点，且AE＝CF，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是平行四边形．【分析】由平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，由已知得到ED＝BF，根据平行四边形的判定即可得到结论．【解答】证明：∵ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴ED∥BF，又∵AE＝CF，且ED＝AD﹣AE，BF＝BC﹣CF，∴ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形．2．（2020春•汉川市期末）如图，将▱AECF的对角线EF向两端延长，分别至点B和点D，且使EB＝FD．求证：四边形ABCD为平行四边形．【分析】由平行四边形的性质得OA＝OC，OE＝OF，证出OB＝OD．即可得出结论．【解答】证明：连接AC与BD交于点O．如图所示：∵四边形AECF是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，又∵EB＝FD，∴OB＝OD．∴四边形ABCD是平行四边形．3．（2020秋•朝阳区校级期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，M，N分别是AB、AD的中点．（1）求证：四边形AMON是平行四边形；（2）若AC＝6，BD＝4，∠AOB＝90°，求四边形AMON的周长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AO＝BO，BO＝CO，AB∥CD，AD∥BC，根据三角形中位线的性质得到∴MO∥BC，NO∥CD，根据平行四边形的判定可证得结论；（2）由勾股定理求得AB＝，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到OM＝AM＝，进而可求得结论．【解答】（1）根据平行四边形的性质得到AO＝OC，BO＝OD，AB∥CD，AD∥BC，由三角形的中位线的性质得到MO∥BC，NO∥CD，∴MO∥AN，NO∥AM，∴四边形AMON是平行四边形；（2）解：∵AC＝6，BD＝4，∴AO＝3，BO＝2，∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝，∴OM＝AM＝MB＝，∴NO＝AN＝，四边形AMON的周长＝AM+OM+AN+NO＝2．4．（2020秋•九龙坡区校级期末）如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB向外作等边△ACE，等边△ABD，取AB的中点F，连接DF、EF，已知∠BAC＝30°．（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；（2）若BD＝4，求四边形BCEF的面积．【分析】（1）先证Rt△AFD≌Rt△BCA（HL），得DF＝AC，再证DF＝AE，然后证DF∥AE，即可得出结论；（2）由（1）得：△AEF的面积＝△ADF的面积＝△ABC的面积，BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，则四边形BCEF的面积＝△ACE的面积+△ABC的面积﹣△AEF的面积＝△ACE的面积，即可求解．【解答】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，又∵△ABD是等边三角形，F是AB的中点，∴AD＝AB＝BD，AB＝2AF，DF⊥AB，∴AF＝BC，在Rt△AFD和Rt△BCA中，，∴Rt△AFD≌Rt△BCA（HL），∴DF＝AC，∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC＝60°，AC＝AE，∴∠EAB＝∠EAC+∠BAC＝90°，∴DF＝AE，又∵DF⊥AB，∴DF∥AE，∴四边形ADFE是平行四边形；（2）解：由（1）得：△AEF的面积＝△ADF的面积＝△ABC的面积，AB＝BD＝4，BC＝AB＝2，AC ＝BC＝2，∴四边形BCEF的面积＝△ACE的面积+△ABC的面积﹣△AEF的面积＝△ACE的面积＝×（2）2＝3．5．（2020秋•溧阳市期末）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝DA．求证：（1）△ABD≌△CDB；（2）AB∥CD，AD∥CB．【分析】（1）根据SSS证明△ABD≌△CDB解答即可；（2）根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可．【解答】证明：（1）在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS）；（2）∵△ABD≌△CDB，∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，∴AB∥CD，AD∥BC．6．（2020秋•龙凤区校级期末）已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC 的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．（1）求证：BD、EF互相平分；（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．【分析】（1）欲证明BD、EF互相平分，只要证明四边形DEBF是平行四边形即可；（2）根据等边三角形的判定和性质以及解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，∴AE＝AD，CF＝CB，∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF即BE＝DF，∵DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形．∴BD、EF互相平分；（2）∵∠A＝60°，AE＝AD，∴△ADE是等边三角形，∵AD＝4，∴DE＝AE＝4，∵AE＝2EB，∴BE＝GE＝2，∴BG＝4，过D点作DG⊥AB于点G，在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，∴AG＝AD＝2，∴DG＝＝2，∴BD＝＝＝2．7．（2020春•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD中，BE⊥AC交AD于点G，DF⊥AC于点F，已知AF ＝CE，AB＝CD．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如果∠GBC＝∠BCD，AG＝6，GE＝2，求AB的长．【分析】（1）证Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），得∠BAE＝∠DCF，证出AB∥CD，由AB＝CD，即可证出四边形ABCD是平行四边形；（2）证四边形BCDG是等腰梯形，得BG＝CD＝AB，由勾股定理得AE＝4，设AB＝BG＝x，则BE＝x﹣2，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∵AF＝CE，∴AF﹣EF＝CE﹣EF，即AE＝CF，在Rt△ABE和Rt△CDF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），∴∠BAE＝∠DCF，∴AB∥CD，又∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：由（1）得：四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴DG∥BC，∵∠GBC＝∠BCD，∴四边形BCDG是等腰梯形，∴BG＝CD＝AB，∵AE＝＝＝4，设AB＝BG＝x，则BE＝x﹣2，在Rt△ABE中，由勾股定理得：（4）2+（x﹣2）2＝x2，解得：x＝9，∴AB＝9．8．（2020春•江汉区期末）如图，E，F是▱ABCD对角线BD上两点，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）连接AC，若∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝AE＝3，求AC的长．【分析】（1）连接AC，交BD于点O，由平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，证得OE＝OF，则即可得出结论；（2）由勾股定理求出BF＝5，证出四边形AECF是菱形，得AC⊥EF，由勾股定理的OA2＝AB2﹣OB2＝AE2﹣OE2，解得OF＝1.8，则OA＝2.4，得AC＝2OA＝4.8．【解答】（1）证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．（2）解：∵∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝3，∴BF＝＝＝5，∵四边形AECF是平行四边形，AE＝AF，OE＝OF，OA＝OC，∴四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF，∴OA2＝AB2﹣OB2＝AE2﹣OE2，∴42﹣（5﹣OF）2＝32﹣OF2，解得：OF＝1.8，∴OA＝＝2.4，∴AC＝2OA＝4.8．9．（2020春•九龙坡区校级期末）如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD交于点O，∠ADO＝∠CBO，且AO＝CO，E为线段OC上一点，连接DE并延长交BC于点F．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）若∠ADE＝45°，AD⊥AC，AE＝3，CE＝2，求三角形AOD的面积．【分析】（1）依据△AOD≌△COB（AAS），即可得出AD＝BC，再根据∠ADO＝∠CBO，即可得到AD ∥BC，进而判定四边形ABCD是平行四边形；（2）依据三角形ADE是等腰直角三角形，即可得到AD的长，再根据三角形面积计算公式，即可得出三角形AOD的面积．【解答】解：（1）∵AC，BD交于点O，∴∠AOD＝∠COB，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（AAS），∴AD＝BC，∵∠ADO＝∠CBO，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）∵∠ADE＝45°，AD⊥AC，∴∠AED＝45°，∴AD＝AE＝3，又∵CE＝2，∴AC＝3+2＝5，∴平行四边形ABCD中，AO＝AC＝，∴Rt△AOD的面积＝×AD×AO＝×3×＝．10．（2020春•郫都区期末）如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：EF⊥EG．【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；（2）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC；证明BC是△EFG的中位线，得出BC∥FG，BC＝FG，证出AD∥FH，AD∥FH，由平行四边形的判定方法即可得出结论；（3）连接EH，CH，根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，∵∠DCE＝20°，AB∥CD，∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位线，∴BC∥FG，BC＝FG，∵H为FG的中点，∴FH＝FG，∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD＝FH，∴四边形AFHD是平行四边形；（3）证明：连接EH，CH，∵CE＝CG，FH＝HG，∴CH＝EF，CH∥EF，∵EB＝BF＝EF，∴BE＝CH，∴四边形EBHC是平行四边形，∴OB＝OC，OE＝OH，∵OC＝OH，∴OE＝OB＝OC＝BC，∴△BCE是直角三角形，∴∠FEG＝90°，∴EF⊥EG．11．（2020秋•碑林区校级期末）如图所示，平行四边形ABCD，对角线BD平分∠ABC；（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）已知AE⊥BC于E，若CE＝2BE＝4，求BD．【分析】（1）证明∠ADB＝∠ABD，得出AB＝AD，即可得出结论；（2）由菱形的性质得出AB＝BC＝6，再由勾股定理求出AE、AC的长，润滑油菱形面积公式求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：连接AC，如图所示：∵CE＝2BE＝4，∴BE＝2，∴BC＝BE+CE＝6，由（1）得：四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝6，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝4，∴AC＝＝＝4，∵菱形ABCD的面积＝AC×BD＝BC×AE，∴BD＝＝＝4．12．（2020秋•南海区期末）如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC 于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．【分析】（1）由题意可证BE＝DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；（2）过点D作DH⊥BC于H，由直角三角形的性质可求解．【解答】证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBF，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC，∴∠ABD＝∠EDB，∴DE＝BE，又∵四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF是菱形；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵DF∥AB，∴∠ABC＝∠DFC＝60°，∵DH⊥BC，∴∠FDH＝30°，∴FH＝DF，DH＝FH＝DF，∵∠C＝45°，DH⊥BC，∴∠C＝∠HDC＝45°，∴DC＝DH＝DF＝6，∴DF＝2，∴菱形BEDF的边长为2．13．（2020秋•宝安区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，AE ∥BD，OE∥AB．（1）求证：四边形ABOE是菱形；（2）若AO＝2，S四边形ABOE＝4，求BD的长．【分析】（1）由平行四边形的性质与已知得出AB＝OB，易证四边形ABOE是平行四边形，即可得出结论；（2）连接BE，交OA于F，由菱形的性质得OA⊥BE，AF＝OF＝OA＝1，BF＝EF＝BE，由菱形的面积求出BE＝4，则BF＝2，由勾股定理得出OB＝＝，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD＝BD，∵BD＝2AB，∴AB＝OB，∵AE∥BD，OE∥AB，∴四边形ABOE是平行四边形，∵AB＝OB，∴四边形ABOE是菱形；（2）解：连接BE，交OA于F，如图所示：∵四边形ABOE是菱形，∴OA⊥BE，AF＝OF＝OA＝1，BF＝EF＝BE，∵S四边形ABOE＝4，S四边形ABOE＝OA•BE＝×2×BE＝BE，∴BE＝4，∴BF＝2，∴OB＝＝＝，∴BD＝2OB＝2．14．（2020秋•成都期末）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）如果∠A＝80°，∠C＝30°，求∠BDE的度数．【分析】（1）由题意可证BE＝DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；（2）由三角形内角和定理求出∠ABC＝70°，由菱形的性质即可得出答案．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB∴四边形DEBF是平行四边形∵DE∥BC∴∠EDB＝∠DBF∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC∴∠ABD＝∠EDB∴DE＝BE且四边形BEDF为平行四边形∴四边形BEDF为菱形；（2）解：∵∠A＝80°，∠C＝30°，∴∠ABC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵四边形BEDF为菱形，∴∠EDF＝∠ABC＝70°，∴∠BDE＝∠EDF＝35°．15．（2020秋•萍乡期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长．【分析】（1）首先利用平行四边形的判定得出四边形ADCE是平行四边形，进而利用菱形的判定得出平行四边形ADCE是菱形；（2）根据已知条件得到△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠ADB＝60°，AD＝AB＝6，解直角三角形得到CE＝CD＝3，根据菱形的性质得到结论．【解答】（1）证明：∵AE∥DC，EC∥AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，∴AD＝BD＝CD，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：∵∠B＝60°，AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝6，∵AD∥CE，∴∠DCE＝60°，∵CD＝AD＝6，∴CF＝CD＝3，∵四边形ADCE是菱形，∴CE＝CD＝6，∴EF＝3．16．（2020春•安丘市期末）如图，△ABC与△AB′C′关于点A成中心对称，且∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4．连接BC′，B'C．（1）判定四边形B'CBC′的形状，并说明理由；（2）求出四边形B'CBC'的面积．【分析】（1）根据△ABC与△AB′C′关于点A成中心对称可得BB′与CC′互相垂直平分，进而可以判断四边形B′CBC′是菱形；（2）根据菱形面积等于对角线乘积的一半即可求出四边形B'CBC'的面积．【解答】解：（1）四边形B′CBC′是菱形，理由如下：∵△ABC与△AB′C′关于点A成中心对称，∴AB′＝AB，AC′＝AC，∵∠BAC＝90°，∴BB′与CC′互相垂直平分，∴四边形B′CBC′是菱形；（2）∵AB＝2，AC＝4，∴BB′＝4，CC′＝8，∴菱形B'CBC'的面积为：4×8＝16．17．（2020春•昭通期末）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且与AE交于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AC＝6，BD＝8，AM⊥BC于M，求AM的长．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC ＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，求出∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB＝BC＝AD，根据菱形的判定得出四边形ABCD是菱形，即可得出答案；（2）根据菱形的性质求出BC＝AB＝5，由菱形的面积等于对角线积的一半和底乘高即可求得结论．【解答】（1）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，∴AB＝＝＝5，∴BC＝AB＝5，∴BC•AM＝AC•BD，即5AM＝×6×8，∴AM＝．18．（2020春•十堰期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．（1）若∠B＝30°，AC＝4，求CE的长；（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明理由．【分析】（1）根据∠ACB＝90°，CD⊥AB，∠B＝30°，AC＝6，即可求CE的长；（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，根据菱形的判定即可判断四边形CEGF的形状．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝30°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF＝30°，∴CE＝AE，过点E作EH⊥AC于点H，∴CH＝AH∵AC＝4，∴CH＝2，∴CE＝；（2）∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，在Rt△ACF与Rt△AGF中，，∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴∠AFC＝∠AFG，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG，∴∠CEF＝∠EFG，∴CE＝CF，∴CE＝FG，∴四边形CEGF是菱形19．（2020春•永州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB边上的中点，AE∥DC，CE∥DA．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）连接DE，若AC＝，BC＝1．求证：△ADE是等边三角形．【分析】（1）先证明四边形ADCE是平行四边形，再证出一组邻边相等，即可得出结论；（2）证出∠CAB＝30°，根据菱形的性质得到∠EAD＝2∠CAB＝60°，AE＝AD，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AB＝BD＝AD，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，BC＝1，∴AB＝＝＝2，∴BC＝AB，∴∠CAB＝30°，∵四边形ADCE是菱形，∴∠EAD＝2∠CAB＝60°，AE＝AD，∴△ADE是等边三角形．20．（2020春•翼城县期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，点E、F分别是BC、AD的中点，AE、BF交于点O，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝6，∠ABC＝60°，求BF的长．【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）由菱形的性质得BF＝2OB，AE＝2OA，AE⊥BF，证出△ABE是等边三角形，得AE＝AB＝6，则OA＝3，由勾股定理求出OB＝3，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC＝AD．∵E，F分别是BC，AD的中点，∴BE＝BC，AF＝AD，∴BE＝AF．∴四边形ABEF是平行四边形．∵BC＝2AB，∴AB＝BE，∴平行四边形ABEF是菱形．（2）解：由（1）得：四边形ABEF是菱形，∴BF＝2OB，AE＝2OA，AE⊥BF，∴∠AOB＝90°，∵AB＝BE，∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝6，∴OA＝3，∴OB＝＝＝3，∴BF＝2OB＝6．。

北师大版八年级数学下册第六章平行四边形重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在ABC 中，90C ∠=︒，点E ，F 分别是AC ，BC 上的点，16AE =，12BF =，点P ，Q ，D 分别是AF ，BE ，AB 的中点，则PQ 的长为（ ）．A ．4B ．10C ．6D ．82、如图，正五边形ABCDE 的对角线AC 、BD 交于点P ，12∠=∠，34∠=∠，那么APD ∠=（ ）A ．96°B ．100°C ．108°D ．115°3、如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB BC = B ．AD BC = C ．A C ∠=∠ D ．180B C ∠+=︒4、如图，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝132°，则∠A 为（ ）A ．40°B ．22°C ．30°D ．52°5、一个多边形每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．146、如图，一张含有80°的三角形纸片，剪去这个80°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数是（ ）A ．200°B ．240°C ．260°D ．300°7、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，AB ＝4，点D 是斜边AB 的中点，以CD 为底边在其右侧作等腰三角形CDE ，使∠CDE ＝∠A ，DE 交BC 于点F ，则EF 的长为（ ）A ．3BCD ．3.58、如图所示，在 ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 的直线EF 分别交AD 于点E ，BC 于点F ， 35AOE BOF S S ==， ，则 ABCD 的面积为（ ）A ．24B ．32C ．40D ．489、平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，则C ∠的度数是（ ）A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒10、平行四边形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC ＝45°，OA ＝OC ，则点B 的坐标为（ ）A ．1)B ．(1)C ．＋1，1)D ．(11)第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，点F 在正五边形ABCDE 的内部，△ABF 为等边三角形，则∠AFC 等于_____．2、如图，∠1+∠2+∠3+∠4=290°，则∠5=_______°．3、如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，AB =5，BC =3，将△ABC 绕点B 顺时针旋转得到△A′B C′，其中点A ，C 的对应点分别为点,A C ''连接,AA CC ''，直线CC '交AA '于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ．则DE 的最小值为_________4、某正多边形的内角和为900︒，则这个正多边形是正_________边形．5、如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝110°，∠C ＝80°，将△BMN 沿MN 翻折，得到△FMN ．若MF ∥AD ，FN ∥DC ，则∠D 的度数为 ___．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在正五边形ABCDE 中，DF ⊥AB ．F 为垂足．（1）求∠CDF 的度数；（2）求证：AF ＝BF ．2、如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，点F 在线段BD 上，且DE ＝BF ．求证：AE ∥CF ．3、如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点D ，E 分别在边CA ，CB 上，CD CE =，连接DE ，AE ，BD ．点F 在线段BD 上，连接CF 交AE 于点H ．（1）①比较CAE ∠与CBD ∠的大小，并证明；②若CF AE ⊥，求证：2AE CF =；4、在Rt ABO 中，90OAB ∠=︒，6OA AB ==，将△ABO 绕点O 逆时针方向旋转90°得到11OA B ．（1）则线段1OA 的长是___________，1AOB ∠=_____________．（2）连接1AA 求证四边形11OAA B 是平行四边形；（3）求四边形11OAA B 的面积？5、证明：n 边形的内角和为(n -2)·180°(n ≥3)．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据三角形中位线定理得到PD =12BF =6，PD ∥BC ，根据平行线的性质得到∠PDA =∠CBA ，同理得到∠PDQ =90°，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：∵∠C =90°，∴∠CAB +∠CBA =90°，∵点P ，D 分别是AF ，AB 的中点，∴PD =12BF =6，PD //BC ，∴∠PDA =∠CBA ，同理，QD =12AE =8，∠QDB =∠CAB ，∴∠PDA +∠QDB =90°，即∠PDQ =90°，∴PQ ，故选：B ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．2、C【分析】先根据正多边形的内角和求出ABC ∠的度数，再根据三角形的内角和定理可得2∠的度数，同样的方法可得3∠的度数，然后根据三角形的内角和定理、对顶角相等即可得．【详解】 解：五边形ABCDE 是正五边形，180(52)1085ABC ︒⨯-=∴∠=︒， 12∠=∠，()12180362ABC ∴∠=︒=∠-︒， 同理可得：336∠=︒，18023108BPC ∴∠=︒-∠-∠=︒，108APD BPC ∴∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题关键．3、C【分析】由平行线的性质得180A D +=︒∠∠，再由A C ∠=∠，得180C D ∠+∠=︒，证出//AD BC ，即可得出结论．【详解】解：一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的是A C ∠=∠，理由如下：//AB CD ，180A D ∴∠+∠=︒，A C ∠=∠，180C D ∴∠+∠=︒，//AD BC ∴，又//AB CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定，证明出//AD BC ．4、B【分析】利用四边形的内角和定理求出B C ∠+∠，再利用三角形的内角和定理可得结果．【详解】∵1=70∠︒，2=132∠︒，∴3601236070132158B C ∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴180()18015822A B C ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，关键是运用多边形的内角和定理求出B C ∠+∠的度数．5、B【分析】根据一个多边形每一个外角都等于30°，多边形外角和360°，根据多边形外角和的性质求解即可．【详解】解：∵一个多边形每一个外角都等于30°，多边形外角和360°，∴多边形的边数为3603012︒÷︒=．故选B ．【点睛】此题考查了多边形的外角和，关键是掌握多边形的外角和为360°．6、C【分析】三角形纸片中，剪去其中一个80°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于360度即可求得∠1+∠2的度数．【详解】解：根据三角形的内角和定理得：四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°-80°=100°，则根据四边形的内角和定理得：∠1+∠2=360°-100°=260°．故选：C．【点睛】本题主要考查四边形的内角和，解题的关键是掌握四边形的内角和为360°及三角形的内角和为180°．7、D【分析】根据勾股定理求出BC，根据直角三角形的性质得到CD=AD，证明AC∥DF，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=4，则BC在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，∴CD=12AB=AD，∴∠DCA=∠A，∵∠CDE =∠A ，∴∠CDE =∠DCA ，∴AC ∥DF ，∴∠EFC =∠ACB =90°，∵AC ∥DF ，点D 是斜边AB 的中点，∴DF =12AC =12，CF =12BC 设EF =x ，则ED =x +12=CE ，在Rt △EFC 中，EC 2=EF 2+CF 2，即（x +12）2=x 2+2， 解得：x =3.5，即EF =3.5，故选：D ．【点睛】 本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．8、B【分析】先根据平行四边形的性质可得,OB OD AD BC =，再根据三角形全等的判定定理证出DOE BOF ≅，根据全等三角形的性质可得5DOE BOF SS ==，从而可得8AOD S =△，然后根据平行四边形的性质即可得．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，,OB OD AD BC ∴=， EDO FBO ∴∠=∠，在DOE △和BOF 中，∵EDO FBO OD OB DOE BOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()DOE BOF ASA ∴≅，5DOE BOFS S ∴==， 358AOD AOE DOE S S S ∴=+=+=，则ABCD 的面积为44832AOD S=⨯=，故选：B ．【点睛】 本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．9、B【分析】根据平行四边形对角相等，即可求出C ∠的度数．【详解】解：如图所示，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴A C ∠=∠，∴60A ∠=︒，∴60C ∠=°．故：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．10、C【分析】作BD x ⊥，求得OD 、BD 的长度，即可求解．【详解】解：作BD x ⊥，如下图：则90BDA ∠=︒在平行四边形OABC 中，AB OC OA ==AB OC ∥∴45DAB AOC ∠=∠=︒∴ADB △为等腰直角三角形则222AD BD AB +=，解得1AD BD ==∴1OD OA AD =+1,1)B故选：C【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．二、填空题1、126°【分析】根据等边三角形的性质得到AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，由正五边形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝108°，等量代换得到BF＝BC，∠FBC＝48°，根据三角形的内角和求出∠BFC＝66°，根据∠AFC＝∠AFB＋∠BFC即可得到结论．【详解】解：∵△ABF是等边三角形，∴AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，在正五边形ABCDE中，AB＝BC，∠ABC＝108°，∴BF＝BC，∠FBC＝∠ABC−∠ABF＝48°，∴∠BFC＝1802FBC︒-∠＝66°，∴∠AFC＝∠AFB＋∠BFC＝126°，故答案为：126°．【点睛】本题考查了正多边形的内角和，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记正多边形的内角的求法是解题的关键．2、70【分析】根据多边形外角和的性质求解即可，多边形的外角和为360︒．【详解】解：根据多边形外角和的性质可得，12345360∠+∠+∠+∠+∠=︒又∵1234290∠+∠+∠+∠=︒∴536029070∠=︒-︒=︒故答案为：70【点睛】此题考查了多边形外角和的性质，解题的关键是掌握多边形外角和的性质．3、1【分析】过点A 作AP A C ''∥交CD 延长线于P ，连接A C '，证明APD A C D ''△≌△，得到AD A D '=，从而得到DE 为A AC '的中位线，则12DE A C '=，要使得DE 最小，则A C '要最小，故当A '、B 、C 三点共线时A C '的值最小，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A 作AP A C ''∥交CD 延长线于P ，连接A C '，由旋转的性质得：BC BC '=，90ACB A C B '''==∠∠，AC AC ''=，∴BCC BC C ''∠=∠，∵180=90ACP ACB BCC BCC ''∠=-∠-∠-∠，90A C D A C B BC C BC C ''''''=∠-∠=-∠∠，∴=ACP AC D '∠∠，∵AP A C ''∥，∴P A C D ''∠=∠，．∴P ACP ∠=∠，∴=AP AC A C ''=，在APD △和AC D ''中=P A C D PDA A DC AP A C ∠=∠⎧⎪∠∠⎨⎪='''''⎩'， ∴()APD A C D AAS ''△≌△，∴AD A D '=，∴D 为AA '的中点，又∵E 为BC 的中点，∴DE 为A AC '的中位线， ∴12DE A C '=， 要使得DE 最小，则A C '要最小，∴当A '、B 、C 三点共线时A C '的值最小，∴2A C A B BC AB BC ''=-=-=， ∴1=12DE A C '=， 故答案为：1．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，平行线的性质，解题的关键在于能够做出辅助线构造全等三角形．4、故答案为：12【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，准确计算是解题的关键．60．七【分析】根据多边形的内角和公式进行求解即可．【详解】解：(2)180900n -⨯︒=︒．解得7n =．故答案为：七．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，理解多边形的内角和公式是解题的关键．5、85︒【分析】根据平行线的性质可得，FNB C A FMB ∠=∠∠=∠，，由折叠的性质可得，B F ∠=∠，再根据四边形内角和即可求解．【详解】解：∵MF ∥AD ，FN ∥DC ，∴80110FNB C A FMB ∠=∠=︒∠=∠=︒，由折叠的性质可得，B F ∠=∠ 四边形内角和的性质可得，1(360)852B F FNB FMB ∠=∠=︒-∠-∠=︒36085D A B C ∠=︒-∠-∠-∠=︒ 故答案为：85︒【点睛】此题考查了四边形内角和的性质，涉及了平行线以及折叠的性质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．三、解答题1、（1）54°；（2）见解析【分析】（1）首先根据正五边形的性质求出内角度数，以及推出△AED ≌△BCD ，从而得到△ADB 为等腰三角形，即可结合“三线合一”的性质推出∠CDF =12∠EDC ，最终得出结论；（2）结合（1）中结论DA =DB ，利用“HL ”定理求证即可．【详解】（1）解：五边形的内角和为()52180540-⨯︒=︒，∵五边形ABCDE 为正五边形，∴5405108C E EDC ∠=∠=∠=︒÷=︒，AE =ED =DC =CB ，∴∠EAD =∠EDA =12(180°-∠E )=36°，∠CDB =∠CBD =12(180°-∠C )=36°，∴∠EDA =∠CDB ，在△AED 和△BCD 中，ED CD E C EA CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△AED ≌△BCD (SAS )，∴DA =DB ，△ADB 为等腰三角形，∵DF ⊥AB ，∴由“三线合一”知，DF 平分∠ADB ，∴∠BDF =∠ADF ，∴∠BDF +∠CDB =∠ADF +∠EDA ，∴∠CDF =∠EDF =12∠EDC =54°；（2）由（1）得DA =DB ，∵DF ⊥AB ，∴∠DFA =∠DFB =90°，在Rt △DAF 和Rt △DBF 中，DA DB DF DF =⎧⎨=⎩ ∴Rt △DAF ≌Rt △DBF (HL )，∴AF =BF ．【点睛】本题考查正多边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质等，掌握基本图形的判定方法和性质是解题关键．2、见解析【分析】首先根据平行四边形的性质推出AD ＝CB ，AD ∥BC ，得到∠ADE ＝∠CBF ，从而证明△ADE ≌△CBF ，得到∠AED ＝∠CFB ，即可证明结论．【详解】证：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBF ，在△ADE 和△CBF 中，B A ADEC F F B E BD C D =⎧⎪⎨⎪∠==⎩∠ ∴△ADE ≌△CBF （SAS ），∴∠AED ＝∠CFB ，∴AE ∥CF ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质等，掌握平行四边形的基本性质，准确证明全等三角形并利用其性质是解题关键．3、（1）①∠CAE =∠CBD ，理由见解析；②证明见解析；（2）AE =2CF 仍然成立，理由见解析【分析】（1）①只需要证明△CAE ≌△CBD 即可得到∠CAE =∠CBD ；②先证明∠CAH =∠BCF ，然后推出∠BDC =∠FCD ，∠CAE =∠CBD =∠BCF ，得到CF =DF ，CF =BF ，则BD =2CF ，再由△CAE ≌△CBD ，即可得到AE =2BD =2CF ；（2）如图所示延长DC 到G 使得，DC =CG ，连接BG ，只需要证明△ACE ≌△BCG 得到AE =BG ，再由CF 是△BDG 的中位线，得到BG =2CF ，即可证明AE =2CF ．【详解】解：（1）①∠CAE =∠CBD ，理由如下：在△CAE 和△ CBD 中，=CE CD ACE BCD AC BC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∴△CAE ≌△CBD （SAS ），∴∠CAE =∠CBD ；②∵CF ⊥AE ，∴∠AHC=∠ACB=90°，∴∠CAH+∠ACH=∠ACH+∠BCF=90°，∴∠CAH=∠BCF，∵∠DCF+∠BCF=90°，∠CDB+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD，∴∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF，∴CF=DF，CF=BF，∴BD=2CF，又∵△CAE≌△CBD，∴AE=2BD=2CF；（2）AE=2CF仍然成立，理由如下：如图所示延长DC到G使得，DC=CG，连接BG，由旋转的性质可得，∠DCE=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，∠ECG=90°，∴∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECG，即∠ACE=∠BCG，又∵CE=CD=CG，AC=BC，∴△ACE≌△BCG（SAS），∴AE=BG，∵F是BD的中点，CD=CG，∴CF是△BDG的中位线，∴BG=2CF，∴AE=2CF．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形中位线定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．4、（1）6，135︒；（2）见解析；（3）36．【分析】（1）根据旋转的性质得出16OA OA ==，1145AOB AOB ∠=∠=︒，190AOA ∠=︒，由此可得答案；（2）根据题意可得11//OA A B ，116OA A B ==，再根据平行四边形的判定即可得证；（3）利用平行四边形的面积公式求解．【详解】解：（1）∵90OAB ∠=︒，6OA AB ==，∴OAB ∆是等腰直角三角形，∴45AOB ∠=︒，∵将OAB 绕点O 沿逆时针方向旋转90︒得到11OA B ，16OA OA ∴==，1145AOB AOB ∠=∠=︒，190AOA ∠=︒，∴11119045135AOB AOA AOB ∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：6，135︒；（2）将OAB 绕点O 沿逆时针方向旋转90︒得到11OA B ，90OAB ∠=︒，6OA AB ==，116A B AB ∴==，11190AOA OA B ∠∠==︒，∴11//OA A B ，116OA A B ==，∴四边形11OAA B 是平行四边形．（3）四边形OAA 1B 1的面积=OA •A 1O =6×6=36．∴四边形OAA 1B 1的面积是36．【点睛】本题考查了旋转的性质以及平行四边形的判定，熟练掌握旋转的性质是解决本题的关键，注意：旋转前后的两个图形全等．5、见解析【分析】在n 边形内任取一点O ，连接O 与各顶点的线段把n 边形分成了n 个三角形，然后利用n 个三角形的面积减去以O 为公共顶点的n 个角的和，即可求证．【详解】已知： n 边形A 1A 2……A n ，求证：()21123112180n n n A A A A A A A A A n -∠+∠++∠=-⋅︒ ，证明：如图，在n 边形内任取一点O ，连接O 与各顶点的线段把n 边形分成了n 个三角形，∵n 个三角形内角和为n ·180°，以O 为公共顶点的n 个角的和360°(即一个周角)，∴n 边形内角和为()18036018021802180n n n ⋅︒-︒=⋅︒-⨯︒=-⋅︒ ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，做适当辅助线，得到n 边形的内角和等于n 个三角形的面积减去以O 为公共顶点的n 个角的和是解题的关键．。

18.1平行四边形的性质（解析版）平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.注意：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.题型1：平行四边形的定义1.如图，在▱ABCD中，若EF∥AD，OH∥CD，EF与GH相交于点O，则图中的平行四边形一共有（）A．4个B．5个C．8个D．9个【分析】根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵AD∥EF，CD∥GH，【变式1-1】如图，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则图中平行四边形一共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据三角形的中位线定理得出EF∥AB，DF∥BC，DE∥AC，根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形推出即可．【解答】解：有3个平行四边形，有平行四边形ADEF，平行四边形CFDE，平行四边形BEFD，理由是：∵D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，∴EF∥AB，DF∥BC，∴四边形BEFD是平行四边形，同理四边形ADEF是平行四边形，四边形CFDE是平行四边形，∴图中平行四边形一共有3个，故选：C综上所述，可以作0个或3个平行四边形．故答案为：0个或3个．平行四边形的性质（1）1.边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2.角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；注意：①平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；题型2：平行四边形的性质与角度计算2如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝128°，则∠A＝（）A．32°B．42°C．52°D．62°【分析】根据平行四边形的外角的度数求得其相邻的内角的度数，然后求得其对角的度数即可．【解答】解：∵∠DCE＝128°，∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣128°＝52°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠DCB＝52°，故选：C【变式2-1】如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝50°，则∠BCE的度数为（）A．50°B．45°C．40°D．35°【分析】由平行四边形的性质得出∠B＝∠EAD＝50°，由角的互余关系得出∠BCE＝90°﹣∠B即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B＝∠EAD＝50°，∵CE⊥AB，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝40°；故选：C【变式2-2】如图，平行四边形ABCD中，BD为对角线，∠C＝60°，BE平分∠ABC交DC于点E，连接AE，若∠EAB＝38°，则∠DBE为22度．【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵平行四边形ABCD中，∠C＝60°，∴AD＝BC，∠ADE＝∠ABC＝120°，∠BAD＝60°，∵∠EAB＝38°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠EAB＝22°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴BE＝BC，∠BEC＝60°，∴BE＝AD，∠BED＝120°＝∠ADE，在△BDE与△AED中，，∴△BDE≌△AED（SAS），∴∠DBE＝∠EAD＝22°，故答案为：22题型3：平行四边形的性质与求线段3.如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝2，则AB的长为（）A．B．2C．2D．2【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE＝DE＝AB即可得出答案．【解答】解：∵CE平分∠BCD交AD边于点E，∴∠ECD＝∠ECB，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠DEC＝∠ECB，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC，∵AD＝2AB，∴AD＝2CD，∴AE＝DE＝AB＝2．故选：C【变式3-1】如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则CD＝（）A．4B．5C．6D．7【分析】首先由在▱ABCD中，AD＝8，BE＝3，求得CE的长，然后由DE平分∠ADC，证得△CED 是等腰三角形，继而求得CD的长．【解答】解：在▱ABCD中，AD＝8，∴BC＝AD＝8，AD∥BC，∴CE＝BC﹣BE＝8﹣3＝5，∠ADE＝∠CED，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠CED，∴CD＝CE＝5，故选：B【变式3-2】如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，AE＝2，AD＝5，则CD的长为（）A．4B．3C．2D．1.5【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AD＝BC＝5，由CE平分∠BCD得∠DCE＝∠BCE，由平行线的性质得∠DCE＝∠E，运用等量代换得∠E＝∠BCE，从而得到△BCE为等腰三角形，计算出BE的长度，由AE＝2可求得AB的长度，继而得到CD的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC＝5，CD＝AB，∴∠E＝∠ECD，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD，∴∠E＝∠BCE，∴BE＝BC＝5，∴AB＝BE﹣AE＝5﹣2＝3，∴CD＝3．故选：B平行四边形的性质（2）1.对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；2．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.注意：（1）对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.（3）对角线性质的拓展∶①两条对角线将平行四边形分为面积相等的四个三角形;②过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等;③过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.且与对角线围成的三角形相对的两个全等.题型4：平行四边形的性质与求周长4.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝16，若△BCO的周长为14，则AD的长为（）A．12B．9C．8D．6【分析】由平行四边形的性质可得AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，由△BCO的周长为14，可求BC＝AD＝6．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，∵AC+BD＝16，∴BO+CO＝8，∵△BCO的周长为14，【变式4-1】在▱ABCD中，若∠B＝60°，AB＝16，AC＝14，则▱ABCD的周长是52或44．【分析】过点A作AE⊥BC于E，利用勾股定理得出BE，AE，EC，进而根据平行四边形的性质解答即可．【解答】解：①当△ABC是锐角三角形时，如图所示，过点A作AE⊥BC于E，∵∠B＝60°，AB＝16，∴BE＝8，AE＝8，由勾股定理得，EC＝，∴BC＝BE+EC＝8+2＝10，∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（10+16）＝52，②当△ABC是锐角三角形时，如图所示，过点A作AE⊥BC于E，由①可知，BE＝8，EC＝2，∴BC＝BE﹣EC＝6，∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（16+6）＝44，故答案为：52或44（2）若CD＝7，AD＝5，OE＝2，求四边形AEFD的周长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，OA＝OC，求出∠EAO＝∠FCO，根据ASA推出△AEO≌△CFO，从而结论；（2）由△AOE≌△COF（ASA），可得EF＝2OE＝4，DF+AF＝AB＝6，继而求得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE＝OF；（2）解：∵△OAE≌△OCF，∴CF＝AE，∴DF+AE＝AB＝CD＝7，又∵EF＝2OE＝4，∴四边形AEFD的周长＝AD+DF+AE+EF＝7+4+5＝16题型5：平行四边形的性质与面积5.如图，在▱ABCD中，BC＝13，过点A作AE⊥DC于E，AE＝12，CE＝10．（1）求AB的长；（2）求▱ABCD的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质和勾股定理得出DE，进而解答即可；（2）根据平行四边形的面积公式解答即可．【解答】解：（1）在▱ABCD中，AB＝CD，AD＝BC＝13，在Rt△ADE中，，＝．∴CD＝DE+CE＝5+10＝15．∴AB＝15；（2）S▱ABCD＝CD×AE＝15×12＝180【变式5-1】如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF、AC．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝AF，AB＝3，BC＝5，求四边形ABFC的面积．【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB∥DF，从而证得∠ABC＝∠BCF，利用ASA可证明结论；（2）由△ABE≌△FCE得到AE＝FE，利用对角线相等可证得四边形ABFC为平行四边形，得到AB ＝FC＝CD，利用等腰三角形三线合一证得AC⊥DF，从而得到四边形ABFC是矩形，再利用勾股定理求出AC的长度，即可求出四边形ABFC的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠ABC＝∠BCF，∵E为BC中点，∴BE＝CE，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE．（2）解：∵△ABE≌△FCE，∴AE＝FE，∵BE＝FC，∴四边形ABFC是平行四边形，∴AB＝CF＝CD，∵AD＝AF，∴AC⊥FD，∴四边形ABFC是矩形，∴∠BAC＝90°，∵AB＝3，BC＝5，根据勾股定理得AC＝＝＝4，∴矩形ABFC的面积为AB•AC＝3×4＝12【变式5-2】如图，▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，BC＝5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积为（）A．5B．5C．10D．10【分析】利用▱的性质及判定定理可判断四边形AEPF为▱，EF、AP为▱AEPF的对角线，设交点为O，则EF、AP相互平分，从而证得△POF≌△AOE，则阴影部分的面积等于△ABC的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC∵PE∥BC，∴PE∥AD∵PF∥CD，∴PF∥AB，∴四边形AEPF为▱．设▱AEPF的对角线AP、EF相交于O，则AO＝PO，EO＝FO，∠AOE＝∠POF∴△POF≌△AOE（SAS），∴图中阴影部分的面积等于△ABC的面积，过A作AM⊥BC交BC于M，∵∠B＝60°，AB＝4，∴AM＝2，S△ABC＝×5×2＝5，即阴影部分的面积等于5．故选：B题型6：平行四边形的性质与三边关系6.如图，平行四边形ABCD和平行四边形EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直线上，则下列关系正确的是（）A．DE＞BF B．DE＝BF C．DE＜BF D．DE＝FE＝BF【分析】本题要求的是DE与BF之间的关系，它们分别是在△ECD与△F AB中的两边，只要证明两个三角形全等即可．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD∴∠CDE＝∠ABF∵在平行四边形EAFC中，EC∥AF∴∠AFE＝∠CEF∴∠AFB＝∠CED∴△ECD≌△F AB（AAS）所以DE＝BF．故选：B【变式6-1】如图，AB＝CD＝DE，CE是由AB平移所得，则AC+BD与AB的大小关系是（）A．AC+BD＜AB B．AC+BD＝AB C．AC+BD＞AB D．无法确定【分析】由平移的性质可得AB∥CE，AB＝CE，可证四边形ABEC是平行四边形，可得AC＝BE，AB ＝CE，由三角形的三边关系可求解．【解答】解：∵CE是由AB平移所得∴AB∥CE，AB＝CE∴四边形ABEC是平行四边形∴AC＝BE，AB＝CE，∴AB＝CD＝DE＝CE，在△DBE中，DB+BE＞DE，∴DB+AC＞AB，故选：C【变式6-2】已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．猜测DE和BF的位置关系和数量关系，并加以证明．【分析】由平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，由“SAS”可证△ADE≌△CBF，即可得结论．【解答】解：DE∥BF DE＝BF理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，AD∥BC∴∠DAC＝∠ACB，且AE＝CF，AD＝BC∴△ADE≌△CBF（SAS）∴DE＝BF，∠AED＝∠BFC∴∠DEC＝∠AFB∴DE∥BF题型7：平行四边形的性质与角平分线7.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．连接BE，若BE⊥AF，EF＝2，，则AB的长为（）A．B．C．D．4【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质可证AB＝BF，在Rt△BEF中，由勾股定理可求BF，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠F＝∠BAE，∴AB＝BF，∵BE⊥AF，EF＝2，，∴BF＝＝＝4，【变式7-1】如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E、F，若BE＝6，则CF＝8．【分析】过点A作AM∥FC，交BE与点O，由平行线的性质和角平分线的性质可证∠BHC＝90°，由平行线的性质可求∠AOE＝∠BHC＝90°，由平行线的性质和角平分线的性质可证AE＝AB＝5，由勾股定理可求AO的长，由“ASA”可证△ABO≌△MBO，可得AO＝OM＝4，通过证明四边形AMCF 是平行四边形，可得CF＝AM＝8．【解答】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB+180°，∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，∴∠CBE+∠BCF＝90°，∴∠BHC＝90°，∵AM∥CF，∴∠AOE＝∠BHC＝90°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，∴AB＝AE＝5，又∵∠AOE＝90°，∴BO＝OE＝3，∴AO＝＝＝4，在△ABO和△MBO中，，∴△ABO≌△MBO（ASA），∴AO＝OM＝4，∴AM＝8，∵AD∥BC，AM∥CF，∴四边形AMCF是平行四边形，∴CF＝AM＝8，故答案为：8【变式7-2】如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．求证：CD＝BE．【分析】直接利用平行四边形的性质结合角平分线的定义、等腰三角形的性质得出AB＝BE，进而得出答案．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB．∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，题型8：平行四边形的性质与垂直平分线8.在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，连接CE．若平行四边形ABCD的周长为30cm，则△CDE的周长为（）A．20cm B．40cm C．15cm D．10cm【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝CE，又AB+BC＝AD+CD＝15cm，继而可得△CDE的周长等于AD+CD．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵平行四边形ABCD的周长为30cm，∴AD+CD＝15（cm），∵OE⊥AC，∴AE＝CE，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝15（cm）．故选：C【变式8-1】如图，在▱ABCD中，D在AB的垂直平分线上，且▱ABCD的周长为42cm，△BCD的周长比▱ABCD的周长少12cm，则AB＝12cm，S▱ABCD＝36cm2．【分析】根据垂直平分线的性质可知，AD＝DB，由于△ABD的周长比▱ABCD的周长少10cm，所以可求出BD＝9cm，再根据周长的值求出AB，根据勾股定理求出高DE，即可求出答案．【解答】解：∵AB的垂直平分线EF经过点D，∴DA＝DB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DA＝CB，∵△ABD的周长比▱ABCD的周长少10cm∴BD＝9cm，∴ADBC＝BD＝9cm，∵▱ABCD的周长为42cm，∴AB＝DC＝×42cm﹣9cm＝12cm，在△ADB中，AD＝BD＝9cm，AB＝12cm，∵DE垂直平分AB，∴∠AED＝90°，AE＝BE＝6cm，由勾股定理得：DE＝＝3（cm），∴S平行四边形ABCD＝AB×DE＝12cm×3cm＝36cm2，故答案为：12，36．【变式8-2】如图，在平行四边形ABCD中，AC的垂直平分线分别交CD，AB于点F和E，AB＝4，BC ＝，AC＝3，求EF的长．【分析】过C作CG∥FE交AB的延长线于G、作CH⊥BG交BG于H．构建直角△AHC、直角△BCH，相似三角形△ACH∽△AGC，以及平行四边形EFCG．利用勾股定理和相似三角形的对应边成比例可以求得CG的长度，则平行四边形EFCG的对边相等：EF＝CG．【解答】解：如图，过C作CG∥FE交AB的延长线于G、作CH⊥BG交BG于H．由勾股定理得到：CH2＝AC2﹣（AB+BH）2＝BC2﹣BH2，∵AB＝4，BC＝，AC＝3 ，∴（3 ）2﹣（4+BH）2＝（）2﹣BH2，解得∴BH＝1．∴AH＝AB+BH＝4+1＝5．∴CH＝＝．∵CG∥FE、AC⊥FE，∴CG⊥AC．∵∠CAH＝∠GAC，∠AHC＝∠ACG＝90°，∴△ACH∽△AGC，∴CH：CG＝AH：AC，∴CG＝＝．∵四边形ABCD平行四边形，∴FC∥EG．又CG∥FE，∴四边形EFCG是平行四边形，∴EF＝CG＝．题型9：平行四边形的性质与最值9.如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC＝2，AD＝4，AB＝6，点M是线段AD上任意一点，连接MC并延长到点E，使MC＝CE，以MB和ME为边作平行四边形MBNE，请直接写出线段MN长度的最小值．【分析】作辅助线，构建相似三角形，先根据平行线分线段成比例定理得：＝，G是BC上一定点，得出当MN⊥AD时，MN的长最小，计算AH的长就是MN的最小值．【解答】解：当MN⊥AD时，MN的长最小，∴MN∥DC∥AB，∴∠DCM＝∠CAN＝∠MNB＝∠NBH，设MN与BC相交于点G，∵ME∥BN，MC＝CE，∴＝，∴G是BC上一定点，作NH⊥AB，交AB的延长线于H，∵∠D＝∠H＝90°，∴Rt△MDC∽Rt△NHB，即＝，∴BH＝2DC＝4，∴AH＝AB+BH＝6+4＝10，∴当MN⊥AD时，MN的长最小，即为10；则线段MN长度的最小值为10．【变式9-1】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，求DE的最小值．【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵四边形ADCE是平行四边形，∴OD＝OE，OA＝OC，∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝AB＝2，∴ED＝2OD＝4；则DE的最小值是4．【变式9-2】在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的点A（0，﹣1）、点B（m，m+1）（m≠﹣1），点C（4，1），则对角线BD的最小值是（）A．3B．2C．5D．6【分析】先根据B（m，m+1），可知B在直线y＝x+1上，设AC，BD的交点为M，则M（2，0），BD＝2BM，所以当BM最小时，BD最小，根据垂线段最短，得到当BM⊥直线y＝x+1时，BM最小，此时BD亦最小，如图2，可以证得△BEM为等腰直角三角形，从而利用勾股定理，求得此时BM的值，即可解决．【解答】解：∵点B（m，m+1），∴令，∴y＝x+1，∴B在直线y＝x+1上，设AC，BD交于点M，如图1，∴M是AC和BD的中点，∴M（2，0），BD＝2BM，∴当BM最小时，BD最小，过M作MH⊥直线y＝x+1于H，根据垂线段最短，BM≥MH，所以BM的最小值为MH，即当BM⊥直线y＝x+1时，BM最小，则BD最小，设直线y＝x+1与x轴，y轴交于点E，F，如图2，令x＝0，则y＝1，∴F（0，1），同理，E（﹣1，0），∴OE＝OF＝1，∴∠BEM＝45°，又∠MBE＝90°，∴∠BEM＝∠BME＝45°，∴△BME为等腰直角三角形，∵E（﹣1，0），M（2，0），∴ME＝3，∵BE2+BM2＝ME2，且BM＝BE，∴BM＝，∴，即对角线BD的最小值为3，故选：A．题型10：平行四边形的性质与折叠问题10.如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD＝∠BAC＝∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，再由三角形内角和定理求出∠B即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；故选：C【变式10-1】如图，在▱ABCD中，∠A＝70°，将▱ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（）A．70°B．40°C．30°D．20°【分析】根据折叠的性质得出AM＝MD＝MF，得出∠MF A＝∠A＝70°，再由三角形内角和定理即可求出∠AMF．【解答】解：根据题意得：AM＝MD＝MF，∴∠MF A＝∠A＝70°，∴∠AMF＝180°﹣70°﹣70°＝40°；故选：B【变式10-2】如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝55°．【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1AE＝∠BAD，得出∠D1AD＝∠BAE＝55°即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠C，由折叠的性质得：∠D1AE＝∠C，∴∠D1AE＝∠BAD，∴∠D1AD＝∠BAE＝55°；故答案为：55°．题型11：平行四边形的性质与证明题11.如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，连接BE，DF．证明：BE＝DF．【分析】根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵E，F是对角线AC的三等分点，∴AE＝CF，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF．【变式11-1】如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2．（1）求证：BE＝DF；（2）线段AF与CE有什么关系？请证明你的结论．【分析】（1）利用平行四边形的性质得出∠5＝∠3，∠AEB＝∠4，进而利用全等三角形的判定得出即可；（2）利用全等三角形的性质得出AE＝CF，进而得出四边形AECF是平行四边形，即可得出答案．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠5＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠AEB＝∠4，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF；（2）AE＝CF且AF∥CE，理由如下：由（1）得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵∠1＝∠2，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE．【变式11-2】如图，在▱ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．（1）求证：AE⊥BF；（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以证明．【分析】（1）只要证明∠MAB+∠MBA＝90°即可；（2）结论：DF＝CE．只要证明AD＝DE，CF＝BC，可得DE＝CF即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，∴∠EAB＝∠DAB，∠ABF＝∠ABC，∵四边形ABCD是平行四边形∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴∠EAB+∠ABF＝×180°＝90°，∴AE⊥BF．（2）DF＝CE．证明：∵AE平分∠DAB∴∠EAB＝∠EAD，∵DC∥AB，∴∠EAD＝∠EAD，∴AD＝DE，同理：FC＝BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴DE＝FC，∴DF＝CE两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.（2）平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.题型12：平行线的距离12.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC＝21cm，BE⊥AC，垂足为E，且BE＝5cm，AD＝7cm，求AD和BC之间的距离．【分析】利用等积法，设AD与BC之间的距离为x，由条件可知▱ABCD的面积是△ABC的面积的2倍，可求得▱ABCD的面积，再由S四边形ABCD＝AD•x，可求得x．【解答】解：设AD和BC之间的距离为x，则平行四边形ABCD的面积等于AD•x，∵S平行四边行ABCD＝2S△ABC＝2×AC•BE＝AC•BE，∴AD•x＝AC•BE，即：7x＝21×5，x＝15（cm），答：AD和BC之间的距离为15cm．【变式12-1】如图，在▱ABCD中，AC⊥AB，AB＝6，BC＝10，求：（1）AB与CD的距离；（2）AD与BC的距离．【分析】（1）在直角三角形中，由勾股定理解直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可；（2）由面积相等建立等式关系，进而可求解其距离．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝＝＝8，∴AB与CD的距离＝AC＝8；（2）∵在Rt△ABC中，AC＝8，∴AD、BC之间的距离为6×8÷10＝4.8【变式12-2】如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠B＝60°，AB＝2，求AD与BC之间的距离．【分析】（1）根据平行四边形的对边相等可得AB＝CD，对角相等可得∠B＝∠D，然后利用“角角边”证明△ABE和△CDF即可；（2）利用∠B的正弦值求出AE，再根据平行线间的距离的定义解答．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）解：∵∠B＝60°，AB＝2，∴AE＝AB•sin60°＝2×＝，∵▱ABCD的边AD∥BC，∴AD与BC之间的距离为word可编辑文档。

特殊的平行四边形中的最值模型--胡不归模型胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。

本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。

【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.补充知识：在直角三角形中锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin A =∠A 的对边斜边。

若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形(含30°，45°，60°)的三边关系。

【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使AC V 2+BC V 1的值最小．(注意与阿氏圆模型的区分)1)AC V 2+BC V 1=1V 1BC +V 1V 2AC，记k =V 1V 2，即求BC +kAC 的最小值.2)构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH AC=k ，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值.3)过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【解题关键】在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．(若k >1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可)。

三轮专题练习：《平行四边形》姓名：___________班级：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题1．如图，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2，AC＝3cm，则BD等于（）cm．A．1 B．2 C．3 D．42．已知菱形的一个内角是108°，将这个菱形分割成4个等腰三角形，分法不正确正确的是（）A．B．C．D．3．下列性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．4个内角相等D．一条对角线平分一组对角4．在平行四边形ABCD中，∠A比∠B大40°，那么∠C的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．110°5．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，D为AC边上一动点，O为BD中点，DE⊥AB，垂足为E，连结OE，CO，延长CO交AB于F，设∠BAC＝α，则（）A．∠EOF＝αB．∠EOF＝2αC．∠EOF＝180°﹣αD．∠EOF＝180°﹣2α6．如图，在菱形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且CE＝CD，连接DE，若AB＝5，AC＝8，则＝（）A．B．C．D．7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则∠EBF的度数为（）A．19°B．33°C．34°D．43°8．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、DC的中点，则图中共有平行四边形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个9．如图，将菱形ABCD的一角折叠，折痕为BE，点A恰好落在点F处，∠FBC比∠ABE大80°．已知∠C＝60°，设∠ABE和∠FBC的度数分别为x和y，那么所适合的一个方程组是（）A．B．C．D．10．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，8），点C在线段AB上，点D 在y轴上，将∠ABO沿直线CD翻折，使点B与点A重合．若点E在线段CD延长线上，且CE＝5，点M在y轴上，点N在坐标平面内，如果以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形，那么点N有（）A．2个B．3个C．4个D．5个11．如图所示，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2009次相遇在边（）A．AB上B．BC上C．CD上D．DA上12．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论：①∠BAE＝30°；②射线FE是∠AFC的角平分线；③CF＝CD；④AF＝AB+CF．其中正确结论的个数为（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题13．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形ABCD 的边AB在轴x上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C的坐标为．14．在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．（1）如果∠ABO+∠ADO＝90°，那么▱ABCD一定是形；（2）如果∠AOB＝∠AOD，那么▱ABCD一定是形；（3）如果AB＝BC，AC＝BD，那么▱ABCD一定是形．15．P是正方形ABCD内一点，AB＝5，PA＝，PC＝5，则PB＝．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝5，以AB为边向外作正方形ABEF，则此正方形中心O与点C的连线长为．17．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为线段BC，CD上的点，且△AEF为正三角形，则△AEF的面积为．三．解答题18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，求四边形AODE的面积．19．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB边上一点，CE＝AB，DF⊥BC，垂足为点F，交CE于点G，连接DE，EF．（1）求证：∠AED＝90°﹣∠DCE；（3）若点E是AB边的中点，求证：∠EFB＝∠DEF．20．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，作DE∥BC交AB于点E，作DF∥AB交BC 于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠BDE＝15°，∠C＝45°，CD＝，求DE的长．21．在平行四边形ABCD中，在平行四边形内作以线段AD为边的等边△ADM，连结AM．（1）如图1，若点M在对角线BD上，且∠ABC＝105°，AB＝3，求AM的长；（2）如图2，点E为CD边上一点，连接ME，点F是BM的中点，CF⊥BM，若CE+ME＝DE．求证：BM⊥ME．22．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为OC上动点（不与O、C重合），作AF⊥BE，垂足为G，分别交BC、OB于F、H，连接OG、CG．（1）求证：△AOH≌△BOE；（2）求∠AGO的度数；（3）若∠OGC＝90°，BG＝，求△OGC的面积．23．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BG、CG、DG，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，求DM的长．参考答案一．选择题1．解：如图，CA ⊥l 1，BD ⊥l 2，∴AC ∥BD ．又∵l 1∥l 2，∴四边形ABDC 是矩形．∴BD ＝AC ．又∵AC ＝3cm ，∴BD ＝3cm ．故选：C ．2．解：A 、图中有关角的度数如图所示：由等角对等边可知，把菱形分割成4个等腰三角形，故A 正确；B 、图中有关角的度数如图所示：由等角对等边可知，把菱形分割成4个等腰三角形，故B 正确；C 、图中有关角的度数如图所示：由等角对等边可知，把菱形分割成4个等腰三角形，故C 正确；D 、如图所示：不能得出等腰三角形；故D不正确；故选：D．3．解：∵矩形的对角线互相平分且相等，故选项A、B不合题意；∵矩形的四个角都是直角，故选项C不合题意；∵矩形的一条对角线不一定平分一组对角；故D符合题意；故选：D．4．解：画出图形如下所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，又∵∠A﹣∠B＝40°，∴∠A＝110°，∠B＝70°，∴∠C＝∠A＝110°．故选：D．5．解：设∠ABD＝β，则∠BDC＝∠ABD+∠A＝β+α，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∴∠BDE＝90°﹣β，∵O为BD中点，∴OE＝BD＝OD，∴∠OED＝∠ODE，同理得OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝α+β，∴∠EOD＝180°﹣2（90°﹣β）＝2β，∠COD＝180°﹣2（α+β）＝180°﹣2α﹣2β，∴∠EOF＝180°﹣∠EOD﹣∠COD＝180°﹣2β﹣（180°﹣2α﹣2β）＝2α；故选：B．6．解：连接BD交AC于点O，∵AB＝CD＝AD＝5，∴CD＝CE＝5，∵AC＝8，∴AE＝3，OC＝4，OE＝1，在Rt△CDO中，由勾股定理可知：DO＝3，在Rt△DOE中，由勾股定理可知：DE＝，∴＝，故选：B．7．解：∵∠ABC＝90°，BE为AC边上的中线，∴∠BAC＝90°﹣∠C＝90°﹣52°＝38°，BE＝AC＝AE＝CE，∴∠EBC＝∠C＝52°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAC＝19°，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝52°+19°＝71°，∵BF⊥AD，∴∠BFD＝90°，∴∠FBD＝90°﹣∠ADB＝19°，∴∠EBF＝∠EBC﹣∠FBD＝52°﹣19°＝33°；故选：B．8．解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AB＝CD∵E，F分别AB，CD的中点∴AE＝EB＝DF＝FC∴四边形AEFD是平行四边形，四边形EFCB是平行四边形，四边形AFCE是平行四边形，四边形EDFB是平行四边形，四边形GEHF是平行四边形．∴平行四边形的个数共有6对．故选：D．9．解：∵四边形ABCD是菱形，∠C＝60°，∴∠ABC＝120°，由折叠的性质可得2∠ABE+∠FBC＝120°，∵设∠ABE和∠FBC的度数分别为x和y，∠BFBC比∠ABE大80°，∴可列方程组．故选：D．10．解：如图中，分别以EC为边，EC为对角线讨论可知满足条件的菱形有5个．故选：D．11．解：∵乙的速度是甲的速度的4倍，∴第1次相遇，甲走了正方形周长的×＝；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的，∴从第2次相遇起，5次一个循环．∵（2009﹣1）÷5＝401……3，∴+×3＝＝+，∴它们第2009次相遇在边BC上．故选：B．12．解：∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，∴AB＝BC，BE＝AB，∴tan A＝＝，∵tan30°＝，∴∠BAE≠30°，故①错误；∵∠B＝∠C＝90°，AE⊥EF，∴∠BAE+∠BEA＝90°，∠BEA+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF，∵AB＝2BE＝2CE，∴EC＝2CF，设CF＝a，则EC＝BE＝2a，AB＝4a，∴AE＝a，EF＝a，tan∠CFE＝2，∴tan∠AFE＝＝2，∴∠AFE＝∠CFE，即射线FE是∠AFC的角平分线，故②正确；∵BC＝CD，BC＝2CE＝4CF，∴CF＝CD，故③错误；作EG⊥AF于点G，∵FE平分∠AFC，∠C＝90°，∴EG＝EC，∴EG＝EB，∵∠B＝∠AGE＝90°，在Rt△ABE和Rt△AGE中∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）∴AB＝AG，又∵CF＝GF，AF＝AG+GF，∴AF＝AB+CF，故④正确，由上可得，②④正确，正确的个数为2，故选：B．二．填空题（共5小题）13．解：由题意得：AD′＝AD＝4，AO＝AB＝2，∴OD′＝＝＝2，∵C′D′＝4，C′D′∥AB，∴C′（4，2），故答案为：（4，2）．14．解：（1）如果∠ABO+∠ADO＝90°，那么▱ABCD一定是矩形形；理由如下：∵∠ABO+∠ADO＝90°，∴∠BAD＝90°，∴▱ABCD一定是矩形；故答案为：矩；（2）如果∠AOB＝∠AOD，那么▱ABCD一定是菱形；理由如下：∵∠AOB＝∠AOD，∠AOB+∠AOD＝180°，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，∴AC⊥BD，∴▱ABCD一定是菱形；故答案为：菱；（3）如果AB＝BC，AC＝BD，那么▱ABCD一定是正方形；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴▱ABCD是菱形，又∵AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，∴▱ABCD是正方形；故答案为：正方．15．解：如图所示，∴PB＝＝或PB＝＝2，故答案为：或2．16．解：连接AO，BO，延长CA至点D，使AD＝BC＝5，∵四边形ABEF是正方形，∴∠AOB＝90°．∵∠ACB＝90°，∴∠AOB+∠ACB＝180°，∴∠CAO+∠CBO＝180°，∴∠CBO＝∠DAO．在△COB与△DOA中，，∴△COB≌△DOA（SAS），∴∠COB＝∠DOA，OC＝OD，∴∠COD＝90°，∴△COD是等腰直角三角形．∵CD＝AC+AD＝3+5＝8，∴OC＝4，故答案为：4．17．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∴CE＝CF，设BE＝x，那么DF＝x，CE＝CF＝1﹣x，在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，在Rt△CEF中，FE2＝CF2+CE2，∴AB2+BE2＝CF2+CE2，∴x2+1＝2（1﹣x）2，∴x2﹣4x+1＝0，∴x＝2±，而x＜1，∴x＝2﹣，即BE的长为＝2﹣，∴CE＝CF＝﹣1．∴△AEF的面积＝1×1﹣2××1×（2﹣）﹣（﹣1）2＝2﹣3，故答案为：2﹣3．三．解答题（共6小题）18．（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴四边形AODE是矩形；（2）解：∵△ABC是边长为2的正三角形，∴AB＝AC＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABCD为菱形，∴AO＝AC＝1，OD＝OB，∵∠AOB＝90°，∴OB＝＝＝，∴OD＝OB＝，∵四边形AODE是矩形，∴四边形AODE的面积＝×1＝．19．证明：（1）∵CE＝AB，AB＝CD∴CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED＝＝90°﹣∠DCE，∵CD∥AB∴∠AED＝∠CDE＝90°﹣∠DCE；（2）如图，延长DA，FE于点M，∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，且DF⊥BC∴DF⊥AD，∠M＝∠EFB∵∠M＝∠EFB，AE＝BE，∠AEM＝∠FEB∴△AEM≌△BEF（AAS）∴ME＝EF，且DF⊥DM∴ME＝DE＝EF∴∠M＝∠MDE∴∠DEF＝∠M+∠MDE＝2∠M∴∠EFB＝∠DEF20．证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵EF垂直平分BD，∴BE＝DE，BF＝DF，∵∠EBD＝∠EDB，∠FBD＝∠FDB，∴∠EBD＝∠BDF，∠EDB＝∠DBF，∴BE∥DF，DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，且BE＝DE，∴四边形BEDF是菱形；（2）过点D作DH⊥BC于点H，∵四边形BEDF是菱形，∴BF＝DF＝DE，∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝15°，∴∠DFH＝30°，且DH⊥BC，∴DH＝DF，FH＝DH，∵∠C＝45°，DH⊥BC，∴∠C＝∠CDH＝45°，∴DH＝CH＝，∴FC＝FH+CH＝，∴DF＝2，∴DE＝2．21．解：（1）如图1，过点C作CN⊥BD于N，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，AB＝CD＝3，∠ABC＝∠ADC＝105°，AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB，∵△ADM是等边三角形，∴AD＝AM＝MD，∠ADM＝60°，∴∠CBD＝60°，∠CDN＝45°，∵CN⊥BD，∴∠BCN＝30°，∠NCD＝∠NDC＝45°，∴CN＝DN，CD＝CN＝3，∴CN＝3，∵∠BCN＝30°，CN⊥BD，∴CN＝BN，BC＝2BN，∴BN＝，BC＝2，∴BC＝AD＝AM＝2；（2）在ED上截取EH＝EM，连接CM，MH，∵点F是BM的中点，CF⊥BM，∴CM＝BC，且CF⊥BM，∴∠BCF＝∠MCF，∴CM＝BC＝MD＝AD，∴∠MCD＝∠MDC，∵CE+ME＝DE，DE＝EH+DH，且ME＝EH，∴CE＝DH，且∠MCD＝∠MDC，CM＝DM，∴△MCE≌△MDH（SAS）∴MH＝ME，∴MH＝ME＝EH，∴△MEH是等边三角形，∴∠MEH＝60°，∵AD∥BC，∴∠BCD+∠ADC＝180°，∴∠BCF+∠FCM+∠MCD+∠MDC+60°＝180°，∴2∠FCM+2∠MCD＝120°，∴∠FCD＝60°＝∠MEH，∴CF∥ME，且CF⊥BM，∴BM⊥ME．22．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠ABC＝90°，AC⊥BD，∴∠AOB＝∠BOE＝90°，∵AF⊥BE，∴∠GAE+∠AEG＝∠OBE+∠AEG＝90°，∴∠GAE＝∠OBE，在△AOH和△BOE中，，∴△AOH≌△BOE（ASA）；（2）解：∵∠AOH＝∠BGH＝90°，∠AHO＝∠BHG，∴△AOH∽△BGH，∴，∴，∵∠OHG＝∠AHB，∴△OHG∽△AHB，∴∠AGO＝∠ABO＝45°；（3）解：∵∠ABC＝90°，AF⊥BE，∴∠BAG+∠AFB＝∠FBG+∠AFB＝90°，∴∠BAG＝∠FBG，∵△OHG∽△AHB，∴∠GOH＝∠BAH，∴∠GOB＝∠CBG，∵∠AGO＝45°，∠OGC＝90°，∴∠BGO＝∠CGB＝135°，∴△BGO∽△CGB，∴，∴BG2＝OG•CG＝6，∴S＝OG•CG＝×6＝3．△OGC23．解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△DGC≌△BGE（SAS）；②∵△DGC≌△BGE，∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝8，AD＝14，∴BD＝2，∴DM＝BD＝．。

专题15 图形的变化之解答题参考答案与试题解析一．解答题（共13小题）1．（2019•徐州）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：（1）∠ECB＝∠FCG；（2）△EBC≌△FGC．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠BCD，由折叠可得，∠A＝∠ECG，∴∠BCD＝∠ECG，∴∠BCD﹣∠ECF＝∠ECG﹣∠ECF，∴∠ECB＝∠FCG；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B，AD＝BC，由折叠可得，∠D＝∠G，AD＝CG，∴∠B＝∠G，BC＝CG，又∵∠ECB＝∠FCG，∴△EBC≌△FGC（ASA）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．2．（2019•常州）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD；（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．【答案】解：（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD，故答案为：AC′∥BD；（2）EB与ED相等．由折叠可得，∠CBD＝∠C'BD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE．【点睛】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3．（2019•淮安）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．（1）将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A1，点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段A1B1；（2）将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2；（3）连接AB2、BB2，求△ABB2的面积．【答案】解：（1）线段A1B1如图所示；（2）线段A1B2如图所示；（3）S4×42×22×42×4＝6．【点睛】本题考查了平移变换和旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．4．（2019•常州）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）【答案】解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是；故答案为：；（2）画树状图为：共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，∴拼成的图形是轴对称图形的概率为．【点睛】本题主要考查了概率公式，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．5．（2019•淮安）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）当点E在直线AD上时，如图②所示．①∠BEP＝50°；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是EC∥AB．（2）请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．【答案】解：（1）①如图②中，∵∠BPE＝80°，PB＝PE，∴∠PEB＝∠PBE＝50°，②结论：AB∥EC．理由：∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD＝90°﹣50°＝40°，∵AE垂直平分线段BC，∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝40°，∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ABC＝∠ECB，∴AB∥EC．故答案为50，AB∥EC．（2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．∵AD垂直平分线段BC，∴PB＝PC，∴∠BCE∠BPE＝40°，∵∠ABC＝40°，∴AB∥EC．（3）如图④中，作AH⊥CE于H，∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，∴当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值＝AB＝3．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．6．（2019•苏州）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．【答案】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF．∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，∴AC＝AF．在△ABC与△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴EF＝BC；（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，∴∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，∴∠F AG＝∠BAE＝50°．∵△ABC≌△AEF，∴∠F＝∠C＝28°，∴∠FGC＝∠F AG+∠F＝50°+28°＝78°．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明△ABC≌△AEF是解题的关键．7．（2019•扬州）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为4；（2）如图2，当PB＝5时，若直线1∥AC，则BB′的长度为5；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求△ACB′面积的最大值．【答案】解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC＝8，∵PB＝4，∴PB′＝PB＝P A＝4，∵∠A＝60°，∴△APB′是等边三角形，∴AB′＝AP＝4．故答案为4．（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．∵PE∥AC，∴∠BPE＝∠A＝60°，∠BEP＝∠C＝60°，∴△PEB是等边三角形，∵PB＝5，∴∵B，B′关于PE对称，∴BB′⊥PE，BB′＝2OB∴OB＝PB•sin60°，∴BB′＝5．故答案为5．（3）如图3中，结论：面积不变．∵B，B′关于直线l对称，∴BB′⊥直线l，∵直线l⊥AC，∴AC∥BB′，∴S△ACB′＝S△ACB•82＝16．（4）如图4中，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于E，在Rt△APE中，∵P A＝2，∠P AE＝60°，∴PE＝P A•sin60°，∴B′E＝6，∴S△ACB′的最大值8×（6）＝424．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质和判定，轴对称变换，解直角三角形，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．8．（2019•宿迁）如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．（1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．【答案】解：（1）如图②中，由图①，∵点D为边AB中点，点E为边BC中点，∴DE∥AC，∴，∴，∵∠DBE＝∠ABC，∴∠DBA＝∠EBC，∴△DBA∽△EBC．（2）∠AGC的大小不发生变化，∠AGC＝30°．理由：如图③中，设AB交CG于点O．∵△DBA∽△EBC，∴∠DAB＝∠ECB，∵∠DAB+∠AOG+∠G＝180°，∠ECB+∠COB+∠ABC＝180°，∠AOG＝∠COB，∴∠G＝∠ABC＝30°．（3）如图③﹣1中．设AB的中点为K，连接DK，以AC为边向右作等边△ACO，连接OG，OB．以O为圆心，OA为半径作⊙O，∵∠AGC＝30°，∠AOC＝60°，∴∠AGC∠AOC，∴点G在⊙O上运动，以B为圆心，BD为半径作⊙B，当直线与⊙B相切时，BD⊥AD，∴∠ADB＝90°，∵BK＝AK，∴DK＝BK＝AK，∵BD＝BK，∴BD＝DK＝BK，∴△BDK是等边三角形，∴∠DBK＝60°，∴∠DAB＝30°，∴∠DOG＝2∠DAB＝60°，∴的长，观察图象可知，点G的运动路程是的长的两倍．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，弧长公式，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会正确寻找点的运动轨迹，属于中考压轴题．9．（2019•南京）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC 上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．小明的作法1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．【答案】（1）证明：∵DE＝DG，EF＝DE，∴DG＝EF，∵DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形，∵DG＝DE，∴四边形DEFG是菱形．（2）如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB5，则CD x，AD x，∵AD+CD＝AC，∴x＝3，∴x，∴CD x，观察图象可知：0≤CD时，菱形的个数为0．如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m．∵DG∥AB，∴，∴，解得m，∴CD＝3，如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．∵DG∥AB，∴，∴，∴n，∴CG＝4，∴CD，观察图象可知：当0≤CD或CD≤3时，菱形的个数为0，当CD或CD时，菱形的个数为1，当CD时，菱形的个数为2．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作图﹣复杂作图等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型，题目有一定难度．10．（2019•宿迁）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）【答案】解：（1）如图1，过点E作EM⊥CD于点M，由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，∴EM＝EC sin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm），则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5（cm）；（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，由题意知E′H＝80×0.8＝64，则E′C71，1，∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣71.1＝3.9（cm）．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．11．（2019•泰州）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB 的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m，E 处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：（1）观众区的水平宽度AB；（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tan l8°30′≈0.33，结果精确到0.1m）【答案】解：（1）∵观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，∴AB＝2BC＝20（m），答：观众区的水平宽度AB为20m；（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，则四边形MFBC、MCDN为矩形，∴MF＝BC＝10，MN＝CD＝4，DN＝MC＝BF＝23，在Rt△END中，tan∠EDN，则EN＝DN•tan∠EDN≈7.59，∴EF＝EN+MN+MF＝7.59+4+10≈21.6（m），答：顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．12．（2019•连云港）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：sin37°＝cos53°，cos37°＝sin53°，tan37°，tan76°≈4）【答案】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣37°﹣53°＝90°．在Rt△ABC中，sin B，∴AC＝AB•sin37°＝2515（海里）．答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）过点C作CM⊥AB于点M，由题意易知，D、C、M在一条直线上．在Rt△AMC中，CM＝AC•sin∠CAM＝1512，AM＝AC•cos∠CAM＝159．在Rt△AMD中，tan∠DAM，∴DM＝AM•tan76°＝9×4＝36，∴AD9，CD＝DM﹣CM＝36﹣12＝24．设缉私艇的速度为x海里/小时，则有，解得x＝6．经检验，x＝6是原方程的解．答：当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．13．（2019•南京）如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF．从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度．（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）【答案】解：延长AB交CD于H，则AH⊥CD，在Rt△AHD中，∠D＝45°，∴AH＝DH，在Rt△AHC中，tan∠ACH，∴AH＝CH•tan∠ACH≈0.51CH，在Rt△BHC中，tan∠BCH，∴BH＝CH•tan∠BCH≈0.4CH，由题意得，0.51CH﹣0.4CH＝33，解得，CH＝300，∴EH＝CH﹣CE＝220，BH＝120，∴AH＝AB+BH＝153，∴DH＝AH＝153，∴HF＝DH﹣DF＝103，∴EF＝EH+FH＝323，答：隧道EF的长度为323m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．。

高考押题专练1.某同学通过下述实验验证力的平行四边形定则.实验步骤：①将弹簧秤固定在贴有白纸的竖直木板上，使其轴线沿竖直方向.②如图所示，将环形橡皮筋一端挂在弹簧秤的秤钩上，另一端用圆珠笔尖竖直向下拉，直到弹簧秤示数为某一设定值时，将橡皮筋两端的位置标记为O1、O2，记录弹簧秤的示数F，测量并记录O1、O2间的距离(即橡皮筋的长度l).每次将弹簧秤示数改变0.50 N，测出所对应的l，部分数据如下表所示：③找出②中F＝2.50 N时橡皮筋两端的位置，重新标记为O、O′，橡皮筋的拉力记为F O O′.④在秤钩上涂抹少许润滑油，将橡皮筋搭在秤钩上，如图所示.用两圆珠笔尖成适当角度同时拉橡皮筋的两端，使秤钩的下端达到O点，将两笔尖的位置标记为A、B，橡皮筋OA段的拉力记为F OA，OB段的拉力记为F OB.完成下列作图和填空：(1)利用表中数据在图坐标纸上画出Fl图线，根据图线求得l0＝________cm.(2)测得OA＝6.00 cm，OB＝7.60 cm，则F OA的大小为________N.(3)根据给出的标度，在图中作出F OA和F OB的合力F′的图示.(4)通过比较F′与________的大小和方向，即可得出实验结论.【答案】(1)见解析图甲10.0(9.8、9.9、10.1均正确)(2)1.80(1.70～1.90均正确)(3)见解析图乙(4)F OO′【解析】(1)作出Fl图象，如图甲所示，求得直线的横截距即为l0，可得l0＝10.0 cm(2)可计算橡皮筋的劲度系数k＝FΔx＝2.50.05N/m＝50 N/m若OA＝6.00 cm，OB＝7.60 cm，则橡皮筋的弹力为F1＝kΔx1＝50×(6.00＋7.60－10.00)×10－2 N＝1.80 N则此时F OA＝F1＝1.80 N(3)F OB＝F OA＝1.80 N，两力的合力F′如图乙所示.(4)F OO′的作用效果和F OA、F OB两个力的作用效果相同，F′是F OA、F OB两个力的合力，所以通过比较F′和F OO′的大小和方向，可得出实验结论.2.某同学利用如图所示的装置验证动能定理.将木板竖直放置在斜槽末端的前方某一固定位置，在木板上依次固定好白纸、复写纸.将小球从不同的标记点由静止释放，记录小球到达斜槽底端时下落的高度H ，并根据落点位置测量出小球离开斜槽后的竖直位移y .改变小球在斜槽上的释放位置，进行多次测量，记录数据如下：高度H (h 为单位长度)h 2h 3h 4h 5h 6h 7h 8h 9h 竖直位移y /cm30.015.010.07.56.04.33.83.3(1)表格中空缺的数据应为________.(2)已知木板与斜槽末端的水平距离为x ，小球在离开斜槽后的竖直位移为y ，不计小球与槽之间的摩擦，小球从斜槽上滑下的过程中，若动能定理成立，则应满足的关系式是________________.(3)若仅仅换一形状完全相同，但摩擦不能忽略的斜槽(其余装置、位置均不变)，表格中竖直位移y 的数值与上表相比会________(填“变大”“变小”或“不变”).【答案】(1)5.0 (2)H ＝x 24y(3)变大【解析】(1)根据表格中的数据规律可以发现，Hy ＝30h ，是个定值，则当H ＝6h 时，y ＝5.0 cm. (2)设小球离开斜槽时的速度为v ，根据平抛运动的规律得：x ＝vt ，y ＝12gt 2联立得：v ＝xg 2y小球在斜槽上滑下过程中，不计小球与槽之间的摩擦，只有重力做功，则有： mgH ＝12mv 2，解得：H ＝x 24y(3)若摩擦不能忽略，则有：W ＝mgH －μmg cos θ·H sin θ＝mgH (1－μtan θ)若动能定理成立，则有：mgH (1－μtan θ)＝12mv 2，解得：H ＝x 241－μ1tan θy由于1－μ1tan θ<1，H 、x 均不变，所以表格中竖直位移y 的数值与上表相比会变大.3.某兴趣小组利用如图所示弹射装置将小球竖直向上抛出来验证机械能守恒定律.一部分同学用游标卡尺测量出小球的直径为d ，并在A 点以速度v A 竖直向上抛出；另一部分同学团结协作，精确记录了小球通过光电门B 时的时间为Δt ，用刻度尺测出光电门A 、B 间的距离为h .已知小球的质量为m ，当地的重力加速度为g ，完成下列问题：(1)小球在B 点时的速度大小为________________； (2)小球从A 点到B 点的过程中，动能减少量为________；(3)在误差允许范围内，若等式____________成立，就可以验证机械能守恒(用题目中给出的物理量符号表示).【答案】(1)d Δt (2)12mv 2A －12md 2Δt 2(3)gh ＝12[v 2A－d 2Δt2]【解析】(1)小球在B 点的瞬时速度大小v B ＝dΔt.(2)小球从A 点到B 点，动能的减小量ΔE k ＝12mv 2A －12mv 2B ＝12mv 2A －12md 2Δt 2.(3)重力势能的增加量为mgh ，若mgh ＝12mv 2A －12md 2Δt2.即gh ＝12[v2A －d 2Δt2]，机械能守恒.4.某同学利用图所示装置，验证以下两个规律：①两物块通过不可伸长的细绳相连接，沿绳分速度相等； ②系统机械能守恒.P 、Q 、R 是三个完全相同的物块，P 、Q 用细绳连接，放在水平气垫桌上.物块R 与轻质滑轮连接，放在正中间，a 、b 、c 是三个光电门，调整三个光电门的位置，能实现同时遮光，整个装置无初速度释放.(1)为了能完成实验目的，除了记录P 、Q 、R 三个遮光片的遮光时间t 1、t 2、t 3外，还必需测量的物理量有________；A.P 、Q 、R 的质量MB.两个定滑轮的距离dC.R 的遮光片到c 的距离HD.遮光片的宽度x(2)根据装置可以分析出P 、Q 的速度大小相等，验证表达式为________；(3)若要验证物块R 与物块P 的沿绳分速度相等，则验证表达式为________________； (4)若已知当地重力加速度g ，则验证系统机械能守恒的表达式为________________. 【答案】(1)BCD (2)t 1＝t 2 (3)t 3t 1＝2H4H 2＋d 2(4)gH ＝x 22t 23＋x 22t 22＋x 22t21【解析】(1)为了能完成实验目的，除了记录P 、Q 、R 三个遮光片的遮光时间t 1、t 2、t 3外，还必需测量的物理量有：两个定滑轮的距离d ；R 的遮光片到c 的距离H ；遮光片的宽度x ；故选B 、C 、D.(2)根据装置可以分析出P 、Q 的速度大小相等，根据v ＝xΔt 可知，验证表达式为t 1＝t 2.(3)P 经过遮光片时的速度v P ＝x t 1；R 经过遮光片时的速度v R ＝xt 3，若要验证物块R 与物块P 的沿绳分速度相等，则需验证v R cos θ＝v RHH 2＋(d 2)2＝v P ，整理可得t 3t 1＝2H 4H 2＋d 2.(4)验证系统机械能守恒的表达式为mgH ＝12mv 2P ＋12mv 2Q ＋12mv 2R ，其中v P ＝x t 1，v Q ＝x t 2，v R ＝x t 3，联立解得gH ＝x 22t 23＋x 22t 22＋x 22t21. 5.在“验证机械能守恒定律”的实验中，小明同学利用传感器设计实验：如图甲所示，将质量为m 、直径为d 的金属小球在一定高度h 由静止释放，小球正下方固定一台红外线计时器，能自动记录小球挡住红外线的时间t ，改变小球下落高度h ，进行多次重复实验.此方案验证机械能守恒定律方便快捷.(1)用螺旋测微器测小球的直径如图乙所示，则小球的直径d ＝________mm ； (2)为直观判断小球下落过程中机械能是否守恒，应作下列哪一个图象________； A.h －t 图象 B.h －1t 图象C.h －t 2图象D.h －1t2图象(3)经正确的实验操作，小明发现小球动能增加量12mv 2总是稍小于重力势能减少量mgh ，你认为增加释放高度h 后，两者的差值会________(填“增大”“缩小”或“不变”).【答案】(1)17.806(17.804～17.808均可) (2)D(3)增大【解析】(1)螺旋测微器的读数为d ＝17.5 mm ＋30.6×0.01 mm ＝17.806 mm(2)减小的重力势能若全部转化为动能，则有mgh ＝12mv 2，小球通过计时器时的平均速度可近似看做瞬时速度，故v ＝d t ，联立可得h ＝12g (d t )2，故作h －1t2图象，D 正确.(3)由于实验中存在空气阻力，所以发现小球动能增加量12mv 2总是稍小于重力势能减少量mgh ，若增加释放高度h ，则阻力做功增大，系统损失的机械能增加，所以两者的差值会增大.6.在用“落体法”做“验证机械能守恒定律”的实验时，小明选择一条较为满意的纸带，如图甲所示.他舍弃前面密集的点，以O 为起点，从A 点开始选取纸带上连续点A 、B 、C ……，测出O 到A 、B 、C ……的距离分别为h 1、h 2、h 3…….电源的频率为f .(1)为减少阻力对实验的影响，下列操作可行的是________. A.选用铁质重锤B.安装打点计时器使两限位孔在同一竖直线上C.释放纸带前，手应提纸带上端并使纸带竖直D.重锤下落中手始终提住纸带上端，保持纸带竖直 (2)打B 点时，重锤的速度v B 为________.(3)小明用实验测得数据画出的v 2－h 图象如图乙所示.图线不过坐标原点的原因是________.(4)另有四位同学在图乙的基础上，画出没有阻力时的v 2－h 图线，并与其比较，其中正确的是________.【答案】(1)ABC (2)(h 3－h 1)f2(3)打下O 点时重锤速度不为零 (4)B【解析】(1)为了减小阻力的影响，实验时重锤选择质量大一些的，体积小一些的，故A 正确；安装打点计时器使两限位孔在同一竖直线上，从而减小阻力的影响，故B 正确；释放纸带前，手应提纸带上端并使纸带竖直，可以减小阻力，故C 正确；重锤下落过程中，手不能拉着纸带，故D 错误.(2)根据某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度知，B 点的瞬时速度v B ＝h 3－h 12T ＝(h 3－h 1)f2. (3)图线不过原点，h ＝0时，速度不为零，可知打下O 点时重锤速度不为零.(4)不论有无阻力，释放点的位置相同，即初速度为零时，两图线交于同一点，故B 正确，A 、C 、D 错误.7.用如图甲所示的实验装置验证m 1、m 2组成的系统机械能守恒，m 2从高处由静止开始下落，打点计时器频率为50 Hz ，m 1上拖着的纸带打出一系列的点，对纸带上的点迹进行测量，即可验证机械能守恒定律.如图乙给出的是实验中获取的一条纸带：0是打下的第一个点.每相邻两计数点之间还有4个点(图中未标出)，计数点间的距离如图所示.已知m 1＝50 mg ，m 2＝150 mg.(结果均保留两位有效数字)(1)在纸带上打下计数点5时的速度v ＝________ m/s.(2)在打下第0个点到第5点的过程中系统动能的增量ΔE k ＝________ J ，系统势能减少ΔE p ＝________ J(当地重力加速度g 约为9.8 m/s 2)(3)若某同学作出12v 2－h 图象如图丙所示，则当地的重力加速度g ＝________ m/s 2.【答案】(1)2.4 (2)0.58 0.59 (3)9.7【解析】(1)由于每相邻两个计数点间还有4个点没有画出，所以相邻的计数点间的时间间隔T ＝0.1 s ，根据某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度求出点5的瞬时速度：v 5＝x 462T ＝0.216 0＋0.264 02×0.1 m/s＝2.4 m/s.(2)在0～5过程中系统动能的增量ΔE k ＝12(m 1＋m 2)v 25＝12×0.2×2.42 J≈0.58 J.系统重力势能的减小量为(m 2－m 1)gx 5＝0.1×9.8×(0.384 0＋0.216 0) J≈0.59 J. (3)本题中根据机械能守恒可知，(m 2－m 1)gh ＝12(m 1＋m 2)v 2，即有：12v 2＝m 2－m 1m 1＋m 2gh ，所以12v 2－h 图象中图象的斜率不表示重力加速度，由图可知，斜率k ＝5.821.20＝4.85，故当地的实际重力加速度g ＝9.7 m/s 2.8.某学生做“探究弹力和弹簧伸长的关系”的实验.实验时把弹簧竖直悬挂起来，在下端挂钩码，每增加一只钩码均记下对应的弹簧伸长的长度x ，数据记录如表所示.(1)根据表中数据在图甲中作出F －x 图线；(2)根据F －x 图线可以求得弹簧的劲度系数为________N/m ； (3)估测弹簧弹力为5 N 时弹簧的弹性势能为________ J.(4)一位同学做此实验时得到如图乙所示的F －x 图线，说明此同学可能出现了哪种错误？________.【答案】(1)见解析图 (2)50 (3)0.25 (4)已超出了弹簧的弹性限度 【解析】(1)根据描点法可得出对应的F －x 图象，如图所示；(2)根据胡克定律可知，图象的斜率表示劲度系数，则可知k ＝70.14N/m ＝50 N/m(3)根据图象的性质以及W ＝Fx 可知，图象与横坐标围成的面积表示弹力所做的功，根据功能关系可知，等于弹簧的弹性势能，故E p ＝12×5×0.099 5 J≈0.25 J ；(4)由图可知，当力达到某一值时，图象发生了弯曲，说明此时已超出了弹簧的弹性限度. 9.用图甲所示装置探究物体的加速度与力的关系.实验时保持小车(含车中重物)的质量M 不变，细线下端悬挂钩码的总重力作为小车受到的合力F ，用打点计时器测出小车运动的加速度a .(1)关于实验操作，下列说法正确的是________.A.实验前应调节滑轮高度，使滑轮和小车间的细线与木板平行B.平衡摩擦力时，在细线的下端悬挂钩码，使小车在线的拉力作用下能匀速下滑C.每次改变小车所受的拉力后都要重新平衡摩擦力D.实验时应先接通打点计时器电源，后释放小车(2)图乙为实验中打出纸带的一部分，从比较清晰的点迹起，在纸带上标出连续的5个计数点A 、B 、C 、D 、E ，相邻两个计数点之间都有4个点迹未标出，测出各计数点到A 点间的距离.已知所用电源的频率为50 Hz ，打B 点时小车的速度v B ＝________ m/s ，小车的加速度a ＝________ m/s 2.(3)改变细线下端钩码的个数，得到a －F 图象如图丙所示，造成图线上端弯曲的原因可能是________. 【答案】(1)AD (2)0.316 0.93 (3)随所挂钩码质量m 的增大，不能满足M ≫m .【解析】(1)调节滑轮的高度，使牵引小车的细绳与长木板保持平行，否则拉力不会等于合力，故A 正确；在调节木板倾斜度平衡小车受到的滑动摩擦力时，不应悬挂钩码，故B 错误；由于平衡摩擦力之后有Mg sin θ＝μMg cos θ，故tan θ＝μ.所以无论小车的质量是否改变，小车所受的滑动摩擦力都等于小车的重力沿斜面的分力，改变小车所受的拉力，不需要重新平衡摩擦力，故C 错误；打点计时器要“早来晚走”即实验开始时先接通打点计时器的电源待其平稳工作后再释放小车，而当实验结束时应先控制小车停下再停止打点计时器，故D 正确；(2)已知打点计时器电源频率为50 Hz ，则纸带上相邻计数点间的时间间隔为 T ＝5×0.02 s ＝0.1 s. 根据Δx ＝aT 2可得：x CE －x AC ＝a (2T )2，小车运动的加速度为a ＝x CE －x AC 4T 2＝0.163 6－0.063 2－0.063 20.04 m/s 2＝0.93 m/s 2B 点对应的速度：v B ＝x AC 2T ＝0.063 20.2m/s ＝0.316 m/s ；(3)随着力F 的增大，即随所挂钩码质量m 的增大，不能满足M ≫m ，因此图线上端出现弯曲现象. 10.如图所示，利用DIS 实验系统探究加速度与力的关系.一端带有定滑轮的长木板调至水平后固定在桌面上，另一端安装位移传感器(接收器)，绕过定滑轮和动滑轮的细线将装有位移传感器(发射器)的小车和力传感器连接起来，动滑轮下挂有质量可以改变的小重物.将位移传感器、力传感器与数据采集器相连，打开计算机中操作软件，放开小车使之运动.不计滑轮、托盘和细线的质量，忽略滑轮与转轴间的摩擦.(1)实验中力传感器的示数F 与小重物的重力mg 的关系为( ) A.F ＝mg2B.F >mg 2C.F <mg 2D.无法确定(2)保持小车(含发射器)的质量M 不变，改变小重物的质量m ，重复进行多次实验.记下每次力传感器的示数F ，利用DIS 测出每次实验中小车的加速度a ，将得到的a 、F 数据绘制成a －F 图象.以下图象可能的是( )(3)在本实验中不计滑轮的质量，忽略滑轮与转轴间的摩擦，除此之外请写出一种减少实验误差的主要方法：______________________________________________________________________________.【答案】(1)C (2)A (3)减小小车与长木板之间的摩擦【解析】(1)小重物做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律得：mg －2F ＝ma ，解得：F ＝mg －ma 2<mg 2，故C 正确. (2)根据实验装置可知，本实验没有平衡摩擦力，所以当F ≠0时，a ＝0，即在F 轴上有截距，绳子的拉力减去摩擦力等于小车受到的合外力，即F －F f ＝ma ，a ＝1m F －F f m，是一条倾斜的直线，故A 正确，B 、C 、D 错误.(3)减小小车与长木板之间的摩擦可以减小实验误差.11.某实验小组利用图所示装置进行“探究动能定理”的实验，实验步骤如下：A.挂上钩码，调节长木板的倾角，轻推小车后，使小车能沿长木板向下做匀速运动；B.打开速度传感器，取下轻绳和钩码，保持A 中调节好的长木板倾角不变，让小车从长木板顶端静止下滑，分别记录小车通过速度传感器1和速度传感器2时的速度大小v 1和v 2；C.重新挂上细绳和钩码，改变钩码的个数，重复A 到B 的步骤.回答下列问题：(1)按上述方案做实验，长木板表面粗糙对实验结果是否有影响？________(填“是”或“否”)；(2)若要验证动能定理的表达式，还需测量的物理量有________；A.悬挂钩码的总质量mB.长木板的倾角θC.两传感器间的距离lD.小车的质量M(3)根据实验所测的物理量，动能定理的表达式为：__________________________.(重力加速度为g )【答案】(1)否 (2)ACD (3)mgl ＝12Mv 22－12Mv 21 【解析】(1)小车在重力、斜面弹力、摩擦力、细线拉力作用下处于平衡状态，挂上钩码后小车的合外力等于钩码的重力，所以长木板表面粗糙对实验结果没有影响.(2)(3)根据动能定理可知，合外力对小车做的功等于小车动能的变化量，则有：mgl ＝12Mv 22－12Mv 21， 所以要测量悬挂钩码的总质量m 、两传感器间的距离l 和小车的质量M .12.某实验小组为了探究功与动能变化的关系，利用如图所示的装置.在竖直墙上的A 点安装一个拉力传感器，用不可伸长的柔软轻绳一端与质量为1.00 kg 的小球C 连接，另一端绕过小滑轮B (可以忽略滑轮大小)与传感器连接，定滑轮B 与A 等高，BD 为水平参考线，测出BC 间绳长L ＝0.80 m.实验中，使绳始终处于绷直状态，将小球从距离BD 线高h 处由静止开始释放，从拉力传感器记录的拉力变化图线中读出拉力的最大值为F .改变h 的值，记录下相应的最大拉力F ，取H ＝L －h ，g ＝9.80 m/s 2，实验中得到的部分数据如下表所示.(1)当H ＝0.60 m 时，小球的最大动能为________ J ，此过程中外力做功为________ J ；(2)实验结论是：______________________________________________________(3)根据实验结论，推导出F 与H 之间的关系为：__________________.【答案】见解析【解析】(1)根据实验中得到的数据可知，H ＝0.60 m ，F ＝24.45 N ，小球运动到最低点时，动能最大，受到的拉力最大，在最低点，根据牛顿第二定律得：F －mg ＝m v 2L 解得：12mv 2＝5.86 J ， 此过程中外力做功为W ＝mg (L －h )＝1.00×9.80×0.60 J ＝5.88 J.(2)实验结论为在实验误差允许的范围内，外力所做的功等于物体动能的增量.(3)根据实验结论可知，F －mg ＝m v 2L ，12mv 2＝mg (L －h )，解得：F ＝2mg LH ＋mg ， 代入数据得：F ＝24.5H ＋9.8.13.如图甲所示的装置可以探究外力做功和物体速度变化的关系.光滑斜槽轨道固定在水平桌面上，将斜槽从底端开始分成长度相等的五等份，使AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ，让小球每次从不同等分点处释放，最后落在水平地面上.(1)实验中，若小球从F 点释放运动至斜槽水平位置的过程中，重力做的功为W ，则小球从B 点释放运动至斜槽水平位置的过程中，重力做的功为________.(2)实验中，小球每次在斜槽上运动的长度记作L ，小球做平抛运动的水平位移记作x ，通过五组数据描点作出的L －x 2图象是一条过原点的直线，如图乙所示.设小球运动到斜槽底端时的速度为v ，可以判断，外力做功W 与________(填v 、v 2或v )成正比，若斜槽的倾角为θ，小球抛出点距地面的高度为H ，则图象的斜率为________(用H 、θ表示).【答案】(1)W 5 (2)v 2 14H sin θ【解析】(1)根据几何关系可知，h F A ＝5h BA ，对小球从F 到A 和B 到A 的两个过程，根据动能定理得：W ＝mgh F A ，W ′＝mgh BA ，解得：W ′＝W 5(2)小球从A 点抛出后做平抛运动，下落的高度相等，则运动时间相等，则小球运动到斜槽底端时的速度v ＝x t① 时间相等，所以v 与x 成正比，而根据图象可知，L 与x 2成正比，所以L 与v 2成正比，又W 与L 成正比，故W 与v 2成正比小球抛出点距地面的高度为H，则运动时间t＝2H g②根据动能定理得：mgL sin θ＝12mv2③由①②③解得：L＝x24H sin θ则L－x2图象的斜率k＝14H sin θ.14.某同学利用电火花打点计时器和气垫导轨做验证动量守恒定律的实验.气垫导轨装置如图甲所示，所用的气垫导轨装置由导轨、滑块、弹射架等组成.在气垫导轨的两个工作面上均匀分布着一定数量的小孔，向导轨空腔内不断通入压缩空气，空气会从小孔中喷出，使滑块稳定地漂浮在导轨上，这样就大大减小了因滑块和导轨之间的摩擦而引起的误差.(1)下面是实验的主要步骤：①安装好气垫导轨，调节气垫导轨的调节旋钮，使导轨水平；②向气垫导轨通入压缩空气；③把电火花打点计时器固定在紧靠气垫导轨左端弹射架的外侧，将纸带穿过打点计时器与弹射架并固定在滑块1的左端，调节打点计时器的高度，直至滑块拖着纸带移动时，纸带始终在水平方向；④使滑块1挤压导轨左端弹射架上的橡皮绳；⑤把滑块2放在气垫导轨的中间；⑥先________，然后________，让滑块带动纸带一起运动；⑦取下纸带，重复步骤④⑤⑥，选出理想的纸带如图乙所示；⑧测得滑块1的质量为310 g，滑块2(包括橡皮泥)的质量为205 g.完善实验步骤⑥的内容.(2)已知打点计时器每隔0.02 s打一个点.通过计算可知两滑块相互作用以前系统的总动量为________kg·m/s；两滑块相互作用以后系统的总动量为________kg·m/s(保留三位有效数字).(3)试说明(2)中两结果不完全相等的主要原因是______________________________________________________________________________________________________.【答案】见解析【解析】(1)先接通打点计时器的电源，后释放滑块1；(2)放开滑块1后，滑块1做匀速运动，跟滑块2发生碰撞后跟滑块2一起做匀速运动，根据纸带的数据得：碰撞前滑块1的动量为p 1＝m 1v 1＝0.310×0.20.1kg·m/s ＝0.620 kg·m/s ，滑块2的动量为零，所以碰撞前的总动量为0.620 kg·m/s ；碰撞后滑块1、2速度相等，所以碰撞后总动量为：(m 1＋m 2)v 2＝(0.310＋0.205)×0.1680.14kg·m/s ＝0.618 kg·m/s. (3)结果不完全相等是因为纸带与打点计时器限位孔有摩擦力的作用.14.如图甲为测量重力加速度的实验装置，C 为数字毫秒表，A 、B 为两个相同的光电门，C 可以测量铁球两次挡光之间的时间间隔.开始时铁球处于A 门的上边缘，当断开电磁铁的开关由静止释放铁球时，数字毫秒表开始计时，落到B 门时停止计时，毫秒表显示时间为铁球通过A 、B 两个光电门的时间间隔t ，测量A 、B 间的距离x .现将光电门B 缓慢移动到不同位置，测得多组x 、t 数值，画出x t随t 变化的图线为直线，如图乙所示，直线的斜率为k ，则由图线可知，当地重力加速度大小为g ＝________；若某次测得铁球经过A 、B 门的时间间隔为t 0，则可知铁球经过B 门时的速度大小为________，此时两光电门间的距离为________.【答案】2k 2kt 0 kt 20【解析】根据x ＝12gt 2可得，x t ＝12gt ，则12g ＝k ，解得g ＝2k ；若某次测得铁球经过A 、B 门的时间间隔为t 0，则可知铁球经过B 门时的速度大小为v ＝gt 0＝2kt 0，此时两光电门间的距离为x ＝v 2t 0＝kt 20. 15.在研究“弹簧的弹性势能与弹簧长度改变量的关系”实验中，弹簧长度的改变量可利用刻度尺直接测量得到，而弹性势能的大小只能通过物理原理来间接测量.现有两组同学分别按图甲(让钢球向左压缩弹簧一段距离后由静止释放，使钢球沿水平方向射出桌面)和图乙(让滑块向左压缩弹簧一段距离后由静止释放，使滑块在气垫导轨上向右运动，通过相应的测量仪器可以测出滑块脱离弹簧后的速度)两组不同的测量方案进行测量.请写出图甲方案中弹性势能与小球质量m 及图中各量之间的关系E p ＝________；图乙方案中除了从仪器上得到滑块脱离弹簧后的速度外还要直接测量的量是________；两种设计方案的共同点都是将弹性势能的测量转化为________的测量.【答案】mgs 24h滑块的质量 动能 【解析】甲方案中，钢球做平抛运动，由水平与竖直位移可求出平抛初速度，则v ＝s g 2h，所以弹簧的弹性势能为：E p ＝mgs 24h；乙方案中除了从仪器上得到滑块脱离弹簧后的速度外，还要直接测量滑块的质量.上述两种方案均是将弹性势能的测量转化为动能的测量.16.某同学用如图甲所示的装置测滑块与长木板间的动摩擦因数，将木板水平固定在桌面上，木板左端固定挡板上连接一轻质弹簧，长木板上A 、B 两点安装有光电门，滑块放在长木板上，靠近轻质弹簧.(1)用游标卡尺测出挡光片的宽度，读数如图乙所示，则挡光片的宽度d ＝________ mm.(2)在滑块上装上挡光片，用手推动滑块向左移动压缩弹簧，将弹簧压缩到适当的程度松手，滑块在弹簧弹力的作用下向右滑去，滑块离开弹簧后分别通过A 、B 两点的光电门，与光电门相连的计时器分别记录下滑块上挡光片通过A 、B 两点光电门的时间Δt 1和Δt 2，则滑块通过A 点的速度为________，通过B 点的速度为________(用物理量的字母表示).(3)通过改变滑块压缩弹簧的程度大小进行多次实验，测出多组滑块通过A 点和B 点的速度v A 和v B ，作出v 2A －v 2B 图象，若图象与v 2A 轴的交点为a ，重力加速度为g ，要求出动摩擦因数，还需要测出________，若此需要测出的物理量用x 表示，则滑块与长木板间的动摩擦因数为________(用题中给出的字母表示).【答案】(1)2.60 (2)d Δt 1 d Δt 2 (3)AB 间的距离 a 2gx【解析】(1)主尺读数为2 mm ，游标尺读数为12，由图知该游标尺为二十分度的卡尺，精度为0.05 mm ，故测量结果为：d ＝2 mm ＋12×0.05 mm ＝2.60 mm.(2)根据公式v ＝x t 可知：A 点的速度为v A ＝d Δt 1，B 点的速度为v 2＝d Δt 2. (3)根据速度位移公式v 2A －v 2B ＝2μgx 可知，v 2A ＝v 2B ＋2μgx ，因此还需要测量AB 间的距离.由题意知2μgx ＝a ，解得μ＝a 2gx. 17．在“探究弹力和弹簧伸长量的关系”的实验中，小明同学用甲、乙两根规格不同的弹簧进行实验，由实验得到弹簧伸长量x 与弹簧受到的拉力F 的关系如图(a)所示，由图求得弹簧乙的劲度系数为________N/m.若要在两根弹簧中选用一根来制作精确程度较高的弹簧秤，应选弹簧________；用制作好的弹簧秤来测量物体的重力，如图(b)所示，物体重________N.【解析】由弹簧伸长量x 与弹簧受到的拉力F 的关系图象可求得弹簧乙的劲度系数k ＝200 N/m ；要制作精确程度较高的弹簧秤，应选在同样力作用下弹簧伸长量大的甲弹簧．图(b)所示的物体重4.00 N.【答案】200 甲 4.0018．如图甲所示为做“探究外力做功和速度变化的关系”的实验装置图．甲(1)本实验平衡摩擦力时，小车应________(填“拖着”或“不拖”)纸带．(2)某同学在实验中得到了如图乙所示的纸带，测得AB ＝1.44 cm ，BC ＝1.64 cm ，CD ＝1.64 cm ，DE ＝1.59 cm.已知相邻两点的打点时间间隔为0.02 s ，应选择________段计算小车的最大速度，小车的最大速度为v ＝______m/s.。

第03讲平行四边形的性质和判定【题型1 根据平行四边形的性质求边长】【题型2根据平行四边形的性质求角度】【题型3根据平行四边形的性质求周长】【题型4 平行四边形的判定】【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】【题型6 平行四边形的性质与判定综合】考点1：平行四边形的性质1.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；2.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D3.对角线的性质：对角线互相平分。

如图：AO=CO，BO=DO【题型1 根据平行四边形的性质求边长】【典例1】（2023秋•龙口市期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（ ）A．16B．18C．20D．22【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，∴OB＝OD，OA＝OC＝AC＝6，∵AB⊥AC，由勾股定理得：OB＝＝＝10，∴BD＝2OB＝20．故选：C．【变1-1】（2023春•历下区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝8，BC＝6，则EC等于（ ）A．1B．1.5C．2D．3【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝6．CD∥AB，∵∠DAB的平分线AE交CD于E，∴∠DAE＝∠BAE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∴∠DAE＝∠AED．∴ED＝AD＝6，∴EC＝CD﹣ED＝8﹣6＝2．故选：C．【变式1-2】（2022秋•牟平区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD 于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝4，AD＝5，则EF的长度（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴∠DFC＝∠FCB，又CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠FCB，∴∠DFC＝∠DCF，∴DF＝DC，同理可证：AE＝AB，∵AB＝4，AD＝BC＝5，∴2AB﹣BC＝AE+FD﹣BC＝EF＝3．故选：C．【变式1-3】（2022秋•安化县期末）如图，F是平行四边形ABCD对角线BE上的点，若BF：FD＝1：3，AD＝12，则EC的长为（ ）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝12，∵BF：FD＝1：3，∴EB：AD＝BF：FD，∴EB：12＝1：3，∴EB＝4，∴EC＝BC﹣EB＝12﹣4＝8．故选：C．【题型2根据平行四边形的性质求角度】【典例2】（2023春•环翠区期末）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（ ）A．55°B．60°C．65°D．75°【答案】D【解答】解：延长EH交AB于N，∵△EFH是等腰直角三角形，∴∠FHE＝45°，∴∠NHB＝∠FHE＝45°，∵∠1＝30°，∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠2+∠HNB＝180°，∴∠2＝75°，故选：D．【变式2-1】（2023秋•二道区校级期末）如图，在▭ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（ ）A．80°B．40°C．70°D．140°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A+∠C＝80°，∴∠A＝∠C＝40°，∴∠D＝180°﹣∠A＝140°，故选：D．【变式2-2】（2023春•北安市校级期中）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，则∠A的度数为（ ）A．155°B．130°C．125°D．110°【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝180°﹣∠BED＝25°，∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝130°．故选：B．【变式2-3】（2023•巴东县模拟）四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝70°，BE平分∠ABC交AD于点E，DF∥BE交BC于点F，则∠CDF的度数为（ ）A．55°B．50°C．40°D．35°【答案】D【解答】解：∵∠ABC＝70°，BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABC＝35°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC＝70°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE＝35°，∵DF∥BE，∴∠EDF＝∠AEB＝35°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠EDF＝70°﹣35°＝35°，故选：D．【题型3根据平行四边形的性质求周长】【典例3】（2023春•光明区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，BE＝4，EC＝3，则平行四边形ABCD的周长为（ ）cm．A．11B．18C．20D．22【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD与BC平行，AD＝BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BA＝BE＝4，∵BC＝BE+EC＝4+3＝7＝AD，∴平行四边形ABCD的周长为2×（7+4）＝22（cm），故选：D．【变式3-1】（2023春•东港区校级期中）在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC 分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（ ）A．13或14B．26或28C．13D．无法确定【答案】B【解答】解：设∠A的平分线交BC于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠DAE，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，当EB＝5，EC＝4时，如图1，则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28；当EB＝4，EC＝5时，如图2，则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26，∴平行四边形ABCD的周长为26或28，故选：B．【变式3-2】（2023春•沙坪坝区期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，周长为18，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为（ ）A．18B．9C．6D．3【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，∵▱ABCD周长为18，∴AD+CD＝9，∵OE⊥AC，OA＝OC，∴AE＝CE，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+AE+DE＝AD+CD＝9．故选：B．【变式3-3】（2023秋•南关区校级期末）如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD 相交于点O，AC+BD＝24，则△BOC的周长为　22　．【答案】22．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AD＝BC＝10，∵AC+BD＝24，∴OC+BO＝12，∴△BOC的周长＝OC+OB+BC＝12+10＝22．故答案为：22考点2：平行四边形的判定1.与边有关的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形3.与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形【题型4 平行四边形的判定】【典例4】（2023秋•朝阳区校级期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD＝BCC．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD＝BC【答案】B【解答】解：A、AB∥DC，AD∥BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；B、AB∥DC，AD＝BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；C、AO＝CO，BO＝DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；D、AB＝DC，AD＝BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；故选：B．【变式4-1】（2022秋•泰山区期末）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）A．一组对边相等，另一组对边平行B．一组对边平行，一组对角互补C．一组对角相等，一组邻角互补D．一组对角互补，另一组对角相等【答案】C【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行，也有可能是等腰梯形B、一组对边平行，一组对角互补，也有可能是等腰梯形C、一组对角相等，一组邻角互补可得到两组对角分别相等，所以是平行四边形D、一组对角互补，另一组对角相等，可能是含两个直角的一般四边形．故选：C．【变式4-2】（2023春•台山市校级期中）在四边形ABCD中，AB∥DC，要使四边形ABCD 成为平行四边形，还需添加的条件是（ ）A．∠A+∠C＝180°B．∠B+∠D＝180°C．∠A+∠D＝180°D．∠A+∠B＝180°【答案】D【解答】解：选项A，B中的两对角是对角关系，不能推出AD∥BC，选项C只能推出AB∥DC，选项D中两角是同旁内角，∵∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，又∵AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，故选：D．【变式4-3】（2023•中牟县校级开学）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）A．①②B．①④C．②④D．②③【答案】C【解答】解：∵只有②④两块碎玻璃的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的另两个顶点，∴带②④两块碎玻璃，就可以确定原来平行四边形玻璃的大小，能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，故选：C．【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】【典例5】（2022秋•周村区期末）已知，如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且∠BAF＝∠DCE．求证：（1）△ABF≌△CDE．（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解析过程；（2）见解析过程．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（ASA）；（2）∵△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，BF＝DE，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-1】（2023春•惠城区期末）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE ＝DF．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）．∴AE＝CF．（2）∵△ABE≌△DCF，∴∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-2】（2023春•鱼台县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠ADE＝∠CBF．∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°．∵在△ADE与△CBF中，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF．（2）∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEF＝∠CFE＝90°．∴AE∥CF．又∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-3】（2023•新疆模拟）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BF＝DE．证明：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∵BF＝DE，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．【题型6 平行四边形的性质与判定综合】【典例6】（2023春•温州月考）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE ＝CF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若DE为∠ADC的角平分线，且AD＝6，EB＝4，求▱ABCD的周长．【答案】（1）见解析；（2）32．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴DF∥BE，∵AE＝CF，∴BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵DE为∠ADC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD＝6，∵BE＝4，∴AB＝AE+BE＝10，∴▱ABCD的周长＝2（AD+AB）＝2（6+10）＝32．【变式6-1】（2023春•成都期末）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，连接BE，DE，BF，DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若∠BAC＝80°，AB＝AF，DC＝DF，求∠EBF的度数．【答案】（1）证明过程见解答；（2）30°．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAF＝∠DCE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴BF＝DE，∠DEF＝∠BFA，∴ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF，∵AB＝DC＝DF，∴AB＝BE，∴∠BEA＝∠BAC＝80°，∴∠ABE＝180°﹣2×80°＝20°，∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB＝（180°﹣80°）＝50°，∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°．【变式6-2】（2023秋•锦江区校级期末）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解答过程；（2）24．【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴∠ACB＝∠CAD，又∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，在△BEC和△DFA中，，∴△BEC≌△DFA（AAS），∴BE＝DF，又BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，在Rt△AGC中，AC＝8，∠ACB＝30°，∴AG＝4，∵BC＝6，∴平行四边形ABCD的面积＝BC•AG＝4×6＝24．【变式6-3】（2023春•和县校级期末）如图，BD是四边形ABCD的对角线，∠ADB＝∠CBD，AD＝BC，过点A作AE∥BD交C的延长于E．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，连接DF，若，求DF的长．【答案】（1）见解析；（2）2．【解答】（1）证明：∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠BCD．∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CE，AB＝CD，∵AE∥BD，∴∠EAD＝∠BDA，∴∠EAD＝∠DBC，在△EAD和△DBC中，，∴△EAD≌△DBC（ASA），∴DE＝CD，∵AB＝DE．∴四边形ABDE是平行四边形；（2）∵DE＝CD＝AB，∴FD是CE的中线，∵EF⊥BC，∴DF＝CE＝＝2．考点3：三角形的中位线三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是A C，AC 的中点，连接DE.像DE 这样，连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。

特殊平行四边形 解答题（八大模块）目录：模块一、基础—单特殊平行四边形模块二、与其他几何性质结合模块三、作图有关的解答证明题模块四、模块二强化模块五、动态几何基础模块六、综合探究特殊平行四边形的判定模块七、特殊平行四边形在平面直角坐标系的应用模块八、压轴过渡练模块一、基础—单特殊平行四边形1．如图，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 相交于点O ．若12Ð=Ð，请判断四边形ABCD 的形状，并说明理由．【答案】四边形ABCD 是矩形，理由见解析【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，矩形的判定．先根据平行四边形的性质得出2,2AC OC BD OB ==，再根据12Ð=Ð，推出AC BD =，即可得出结论．【解析】解：四边形ABCD 是矩形，理由如下：∵AC 、BD 是平行四边形ABCD 的对角线，∴2,2AC OC BD OB ==，∵12Ð=Ð，∴OC OB =，则AC BD =，∴平行四边形ABCD 是矩形．2．如图，在矩形ABCD 中，点E F 、在BC 上，连接AE DF 、，且AE DF =，求证：ABE DCF △≌△．【答案】证明见解析．【分析】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定，由四边形ABCD 是矩形，得90B C Ð=Ð=︒，AB DC =，然后根据“HL ”的判定方法即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【解析】证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴90B C Ð=Ð=︒，AB DC =，在Rt ABE △与Rt DCF V 中，AB DC AE DF=ìí=î，∴()Rt Rt HL ABE DCF ≌△△．3．如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD ＝12cm ，AC ＝6cm ，求菱形的周长．4．如图，ABCD 是正方形，G 是BC 上任意一点，DE AG ^于E ，BF AG ^于F ．求证:AE BF =．【答案】证明见解析．【分析】由正方形的性质结合DE AG ^，BF AG ^，证明,ABF DAE V V ≌即可得到答案．【解析】解：ABCD Q 是正方形，,90,AB AD BAD \=Ð=︒90,BAF DAE \Ð+Ð=︒DE AG ^Q ，BFAG ^，90,DEA AFB \Ð=Ð=︒90,DAE ADE \Ð+Ð=︒,BAF ADE \Ð=Ð在ABF △与DAE V 中，,BAF ADE AFB DEA AB DA Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î,ABF DAE \V V ≌.BF AE \=【点睛】本题考查的正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．5．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，AC 与BD 交于点O ．求BOC V 与DOC △的周长差．【答案】2【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．利用矩形的性质可得6CD AB ==，OB OD =，再根据三角形的周长公式计算即可．【解析】解：Q 四边形ABCD 为矩形，6AB =，8BC =，6CD AB \==，OB OD =，()862BOC DOC C C OB OC BC OD OC CD BC CD \-=++-++=-=-=V V ，BOC V \与DOC △的周长之差为2．6．如图，在菱形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、CB 上，且ADM CDN Ð=Ð，求证：BM BN =．7．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，∠BAD ＝60°，菱形ABCD 的周长为24．(1)求对角线BD 的长；(2)求菱形ABCD 的面积．【答案】(1)68．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，BE AC ^，CF BD ^，垂足分别为E 、F ．求证：OE OF =．【答案】证明见解析．9．如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别为边AD 和CD 上的点，且AE CF =．连接AF 、CE 交于点G ．求证：DGE DGF Ð=Ð．【答案】证明见解析．【分析】先证△DAF ≌△DCE ，再证△AEG ≌△CFG ，最后证△DGE ≌△DGF ，根据全等三角形的性质即可得到∠DGE ＝∠DGF ．【解析】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴DA ＝DC ＝AB ＝BC ，∵AE ＝CF ，∴DE ＝DF在△DAF 和△DCE 中，DF DE ADF CDE AD CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△DAF ≌△DCE （SAS ），∴∠EAG ＝∠FCG ，在△AEG 和△CFG 中，EAG FCG AGE CGF AE CF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△AEG ≌△CFG （AAS ），∴EG ＝FG ，在△DGE 和△DGF 中，DE DF EG FG DG DG =ìï=íï=î，∴△DGE ≌△DGF （SSS ），∴∠DGE ＝∠DGF ．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．10．如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边的延长线上，点F 在CD 边的延长线上，且CE DF =，连接AE 和BF 相交于点M ．求证：AE BF = ．【答案】证明见解析．【分析】利用正方形的性质证明：AB =BC =CD ，∠ABE =∠BCF =90°，再证明BE =CF ，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案．【解析】证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =BC =CD ，∠ABE =∠BCF =90°，又∵CE =DF ，∴CE +BC =DF +CD 即BE =CF ，在△BCF 和△ABE 中，BE CF ABE BCF AB BC =ìïÐ=Ðíï=î∴ABE BCF △△≌（SAS ），∴AE =BF ．【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．模块二、与其他几何性质结合11．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E在对角线BD 上，且∠BAE ＝22.5°，EF ⊥AB 于点F ，求EF 的长．12．如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 边上的点，且AE CF =．(1)求证：ABE CDF △≌△；(2)当AC EF ^时，四边形AECF 是菱形吗？请说明理由．【答案】(1)见解析(2)当AC EF ^时，四边形AECF 是菱形，理由见解析【分析】（1）由矩形的性质得出90B D Ð=Ð=︒，AB CD =，AD BC =，AD BC ∥，由HL 证明Rt Rt ABE CDF ≌△△即可；（2）由全等三角形的性质得出BE DF =，得出CE AF =，由CE AF ∥，证出四边形AECF 是平行四边形，再由AC EF ^，即可得出四边形AECF 是菱形．【解析】（1）证明：Q 四边形ABCD 是矩形，90B D \Ð=Ð=︒，AB CD =，AD BC =，AD BC ∥，在Rt ABE △和Rt CDF △中，AE CF AB CD =ìí=î，()Rt Rt HL ABE CDF \V V ≌；（2）解：当AC EF ^时，四边形AECF 是菱形，理由如下：ABE CDF QV V ≌，BE DF \=，BC AD =Q ，CE AF \=，Q CE AF ∥，\四边形AECF 是平行四边形，又AC EF ^Q ，\四边形AECF 是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．13．如图，已在ABCD Y 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E ，F 是BD 上两点，且BE DF =，2AC OE =，(1)求证: 四边形AECF 是矩形；(2)若90304BAC ACE AE Ð=︒Ð=︒=，，，求BC 的长．∴903060AEG Ð=︒-︒=︒,∴1206060,BEG Ð=︒-︒=︒∴906030,GBE Ð=︒-︒=︒14．在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，对角线AC BD 、交于点O ，BD 平分ABC Ð，延长AD 至点E ，使DE BO =，连接OE ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若460AD DAB =Ð=︒，，求OE 的长．【答案】(1)见解析15．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线分别与边AB ，CD 的延长线交于点M ，N ，与边AD 交于点E ，垂足为O ．(1)求证：AOM CON △△≌；(2)若8AD =，4CD =，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)5AE =【分析】（1）根据矩形的性质得出AB CD ∥，求出M N Ð=Ð，AO CO =，再根据全等三角形的判定定理AAS 推出即可；（2）根据矩形的性质得出4AB CD ==，根据线段垂直平分线的性质得出AE CE =，再根据勾股定理求出即可．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ∥，∴M N Ð=Ð，∵AC 的垂直平分线是MN ，∴AO CO =，在AOM V 和CON V 中，AOM CON M NAO CO Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∵AC 的垂直平分线是∴AE CE x ==，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ADC Ð=︒，DC =在Rt CDE △中，由勾股定理，得即()22284x x -+=，解得16．如图，在四边形ABCD 中，AB DC P ，AB AD =，AC 平分DAB Ð．对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D 作DE AB ^于点E ，连接OE ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形．(2)若AD =4AC =，求OE 的长．【答案】(1)见解析(2)1，，，，17．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE，点B关于直线AE的对称点为F，连接EF并延长交CD 于点G ，连接AG ．求证：GF GD =．【答案】证明见解析．【分析】连接AF ，根据对称得：△ABE ≌△AFE ，再由HL 证明Rt △AFG ≌Rt △ADG ，可得结论．【解析】证明：连接AF ，Q 四边形ABCD 是正方形，AB AD \=，90B D Ð=Ð=︒，Q 点B 关于直线AE 的对称点为F ，∴△ABE ≌△AFE ，AB AF AD \==，90AFE B Ð=Ð=︒，90AFG \Ð=︒，在Rt AFG V 和Rt ADG V 中，AG AG =Q ，AF AD =，∴Rt △AFG ≌Rt △ADG (HL )，GF GD \=．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，对称的性质，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．18．如图，在矩形ABCD 中，AB BC <，E 为AD 上一点，且BE AD =．(1)请用无刻度的直尺和圆规作出CBE Ð的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）中所作的角平分线与AD 的延长线交于点F ，连接CF ．猜想四边形BEFC 是什么四边形？并证明你的猜想．【答案】(1)见解析(2)四边形BEFC 是菱形．证明见解析【分析】本题考查作图—基本作图、矩形的性质、角平分线的定义、菱形的判定，熟练掌握矩形的性质、角平分线的定义、菱形的判定是解答本题的关键．（1）根据角平分线的作图方法作图即可．（2）结合矩形的性质、角平分线的定义、菱形的判定可得结论．【解析】（1）解：如图，BP 即为所求．（2）解：四边形BEFC 是菱形．证明：BF Q 平分CBE Ð，CBF EBF \Ð=Ð．Q 四边形ABCD 是矩形，AD BC \=，AF BC ∥，CBF EFB \Ð=Ð，EBF EFB \Ð=Ð，BE EF \=，BE AD =Q ，AD BC =，BC EF \=，\四边形BEFC 是平行四边形．BE EF =Q ，\四边形BEFC 是菱形．模块三、作图有关的解答证明题19．如图，四边形ABCD 是正方形，射线DP 交AB 于点,90,P PDQ DQ Ð=︒交BC 的延长线于点Q ．(1)尺规作图：作PDQ Ð的平分线交BC 于E ；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的基础上，连接PE ，求证：PE PA CE=+【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质角平分线的作图等知识．（1）按照角平分线的作图方法作图即可；（2）证明()ASA PDA QDC V V ≌，则AP CQ =，PD QD =，再证明()SAS PDE QDE V V ≌，则PE QE =，由QE CQ CE PA CE =+=+即可得到PE PA CE =+．【解析】（1）解：如图所示：（2）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴90PAD ADC BCD Ð=Ð=Ð=︒，AD CD =，∴90PDA CDP Ð+Ð=︒，90QCD Ð=︒∵90PDQ Ð=︒，∴90CDQ CDP Ð+Ð=︒∴PDA CDQ Ð=Ð，∵90QCD PAD Ð=Ð=︒，AD CD =，∴()ASA PDA QDC V V ≌∴AP CQ =，PD QD =，∵作PDQ Ð的平分线交BC 于E∴PDE QDE Ð=Ð，又∵,DE DE =∴()SAS PDE QDE V V ≌∴PE QE =，∵QE CQ CE PA CE=+=+∴PE PA CE=+20．如图，在由24个全等的正三角形组成的正六边形网格中，请画出符合要求的格点四边形（即顶点均在格点上的四边形）．(1)在图中画出以AB 为对角线的矩形APBQ ．(2)在图中画出一个邻边比为1）中的矩形不全等．（2）解：如图，矩形CDEF 即为所求作的矩形．设每个小正方形的边长为1，∵1AC CG DG AD ====，∴四边形ACGD 为菱形，∴1122AO GO AG ===，CD ^模块四、模块二强化21．如图，在正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点A ，D 不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．(1)求证：PDE QCE V V ≌；(2)过点E 作EF BC ∥交PB 于点F ，连接AF ，当PB PQ =时．求证：四边形AFEP 是平行四边形．由三角形内角和定理可得AFP FPEÐ=ÐPE AF \∥，EF AP Q ∥，\四边形AFEP 是平行四边形．【点睛】本题主要考查正方形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，直角三角形性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关几何性质与判定是解题的关键．22．如图，在矩形ABCD 中，6AD =，8CD =，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、CD 、DA 上，2AH =，连接CF ．(1)当2DG =时，求证：四边形EFGH 是正方形；(2)当△FCG 的面积为2时，求CG 的值．则90FMG Ð=︒，90A FMG \Ð=Ð=︒，由矩形和菱形的性质，可得AEG MGE \Ð=Ð，HEG Ð23．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD 平分BAC Ð，CE AD ∥且CE AD =．(1)求证：四边形ADCE 是矩形；(2)若ABC V 是边长为4的等边三角形，，AC DE 相交于点O ，在CE 上截取CF CO =，连接OF ，求线段FC 的长及四边形AOFE 的面积．则90OHC Ð=︒，∵30OCH Ð=︒，112OH OC \==，AEC COF AOFE S S S \=-=V V 四边形模块五、动态几何基础24．如图，在矩形纸片AEE D ¢中，5AD =，15AEE D S ¢=矩形，在EE ¢上取一点F ，使4EF =，剪下AEF △，将它平移至DE F ¢¢V 的位置，拼成四边形AFF D ¢．(1)求证∶四边形AFF D ¢是菱形；(2)求四边形AFF D ¢的两条对角线的长．∵4EF =，5FF AD ¢==，∴9EF EF FF ¢¢=+=，在Rt AEF ¢△中，22239AF AE EF ¢¢=+=+在Rt DFE ¢V 中，541FE FF E F ¢¢¢¢=-=-=，25．如图，把矩形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转得到矩形AEFG ，使点E 落在对角线BD 上，连接DG ，DF ．(1)若50BAE Ð=︒，则DAG Ð= °；(2)求证：DF AB =．【答案】(1)50(2)见解析【分析】（1）根据矩形的性质，得到90BAD EAG Ð=Ð=︒，进而得到BAE DAG Ð=Ð，即可求出DAG Ð的度数；（2）根据旋转和矩形的性质，易证四边形ABDF 是平行四边形，即可证明结论．【解析】（1）解：Q 矩形ABCD 和矩形AEFG ，90BAD EAG \Ð=Ð=︒，BAD EAD EAG EAD -=-∴∠∠∠∠，BAE DAG \Ð=Ð，50BAE Ð=︒Q ，50DAG \Ð=︒，故答案为：50；（2）证明：连接AF ，由旋转的性质可知，AF BD =，FAE ABD Ð=Ð，AB AE =，ABE AEB \Ð=Ð，FAE AEB \Ð=Ð，AF BD \∥，\四边形ABDF 是平行四边形，DF AB \=；【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定，等边对等角，熟练掌握旋转和矩形的性质是解题关键．26．如图，在矩形ABCD 中，2AB AD >，点E F ，分别在边AB CD ，上．将ADF △沿AF 折叠，点D 的对应点G 恰好落在对角线AC 上；将CBE △沿CE 折叠，点B 的对应点H 恰好也落在对角线AC 上．连接GE FH ，．求证：(1)AEH CFG △≌△；(2)四边形EGFH 为平行四边形．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】（1）由矩形的性质可得AD BC =，90B D Ð=Ð=︒，AB CD ∥，即得EAH FCG Ð=Ð，由折叠的性质可得AG AD =，CH CB =，90CHE B Ð=Ð=︒，90AGF D Ð=Ð=︒，即得CH AG =，90AHE CGF Ð=Ð=︒，进而得AH CG =，即可由ASA 证明AEH CFG △≌△；（2）由（1）得90AHE CGF Ð=Ð=︒，AEH CFG △≌△，即可得到EH FG ∥，EH FG =，进而即可求证；本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC =，90B D Ð=Ð=︒，AB CD ∥，∴EAH FCG Ð=Ð，由折叠可得，AG AD =，CH CB =，90CHE B Ð=Ð=︒，90AGF D Ð=Ð=︒，∴CH AG =，90AHE CGF Ð=Ð=︒，∴AH CG =，在AEH △和CFG △中，90EAH FCG AH CGAHE CGF Ð=Ðìï=íïÐ=Ð=︒î，∴()ASA AEH CFG V V ≌；（2）证明：由（1）知90AHE CGF Ð=Ð=︒，AEH CFG △≌△，∴EH FG ∥，EH FG =，∴四边形EGFH 为平行四边形．27．如图，正方形ABCD 和正方形GECF ，点E 、F 分别在边BC 、上，将正方形GECF 绕点C 顺时针方向旋转，旋转角为0180a a ︒<<︒（）．(1)如图2，连接BE 、DF ，求证：BE DF =；(2)如图3，若1BC =+，1EC =，当点E 旋转到边上时，连接BE 、连接DF ，并将延长BE 交DF 于点H ，求证：BH 垂直平分DF ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据四边形ABCD 和GECF为正方形可得BC DC =，EC FC =，BCE DCF Ð=Ð，再证明()SAS BCE DCF V V ≌即可得到结论；（2）证明BD BF =，=DE EF 即可得出结论．本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，线段垂直平分线的判断，全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 和GECF 为正方形，BC DC \=，EC FC =，90BCD ECF Ð=Ð=︒，BCE DCE DCF DCE \Ð+Ð=Ð+Ð，）解：连接， Q ()2221BD BC \==+22EF CE ==，CD BC =211BF BC CF \=+=++22,BF BD DE EF \==+=模块六、综合探究特殊平行四边形的判定28．如图，点O 是ABC V 内一点，连接OB 、OC ，并将AB 、OB 、OC 、AC 的中点D 、E 、F 、G 依次连接，得到四边形DEFG ．(1)求证：四边形DEFG 是平行四边形；(2)连接AO①直接写出当AO 和BC 有怎样的位置关系时，四边形DEFG 是矩形；②直接写出当AO和BC有怎样的关系时，四边形DEFG是正方形．Q\∥DE AO，Q点E、F分别是OB、\BC EF∥，Q，AO BC^由①得当AO BC ^时，四边形Q 点D 、E 分别是AB 、\12DE AO =，Q 点E 、F 分别是OB 、(1)求证：四边形EFGH 是矩形；(2)如图二，连接FH ，P 为边FH 上一动点，PN EF ^于点N ，PM EH ^于点M ，3EF =，4EH =，求MN 的最小值．30．如图（1），在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，延长AE 至点G ，使EG AE =，连接CG ，延长CF 至点H ，使FH CF =，连接AH ．(1)求证：四边形AGCH 是平行四边形；(2)如图（2），若2AC AB =，求证：四边形AGCH 是矩形；(3)如图（3），若AC AB ^，求证：四边形AGCH 是菱形．()SAS AEO CFO \△≌△，\Ð=Ð=，AEO CFO AE CF ，AE CF \∥，，==EG AE FH CF Q ，AG CH \=，\四边形AGCH 是平行四边形；（2）==Q ，EA EG OA OC ，EO \是AGC V 的中位线，∥\EO GC ，AE CF \∥，\四边形EGCF 是平行四边形，22==Q ，AC AB AC AO ，AB AO \=，E Q 是OB 的中点，AE OB \^，90OEG \Ð=︒，\四边形EGCF 是矩形；90AGC \Ð=︒，由（1）知，四边形AGCH 是平行四边形，\四边形AGCH 是矩形；（3）连接H G ，由（1）知，OA OC =，HG \过点O ，连接BG ，Q 点E 为OB 的中点，BE OE \=，AE EG =Q ，\四边形ABGO 是平行四边形，∥\AB OG ，AB AC ^Q ，\^HG AC ，\四边形AGCH 是菱形．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，正确的识别图形是解题的关键．31．如图所示，在Rt ABC △中，90B =°，100cm AC =，60A Ð=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是t 秒()025t <£．过点D 作DF BC ^于点F ，连接DE ，EF ．(1)求证：四边形AEFD 是平行四边形；(2)四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；(3)当t 为何值时，DEF V 为直角三角形？请说明理由．【答案】(1)证明见解析Q 90CFD \Ð=︒，90B Ð=︒Q ，60A Ð=︒，30C \Ð=︒，114222DF CD t t \==´=，AE DF \=，若四边形AEFD 为菱形，则AE =100AC =Q ，4CD t =，1004AD AC CD t \=-=-，又2AE t =Q ，21004t t \=-，Q 90DFC DFB \Ð=Ð=︒，又90B Ð=︒Q ，\四边形DFBE 为矩形，DF BE \=，90B Ð=︒Q ，60A Ð=︒，由（1）可知：四边形AEFD 是平行四边形，\∥EF AD ，90ADE DEF \Ð=Ð=︒，在Rt ADE V 中，60A Ð=︒，2AE t =30AED \Ð=︒，11模块七、特殊平行四边形在平面直角坐标系的应用32．如图，已知OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为坐标原点，点(10,0)A ，点(0,6)C ，在边AB 上任取一点D ，将AOD △沿OD 翻折，使点A 落在BC 边上，记为点E ．(1)EC 的长度为 ；(2)求D 点坐标；(3)若在x 轴正半轴上存在点P ，使得OEP V 为等腰三角形，则点P 的坐标为 ．则6EM AB ==，在Rt OEM △中，OM OE =设OP a =，则PE a =，PM 在Rt PEM △中，2PE PM =222(8)6a a \=-+，\同②得8OM =，8MP \=，\点P 的坐标为(16,0)；综上，点P 的坐标为(10,0)或25,04æöç÷èø【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想的运用是解题的关键．33．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数48y x =+的图象分别交x 轴，y 轴于A ，B 两点，将AOB V 绕点O 顺时针旋转90︒得COD △（点A 与点C 对应，点B 与点D 对应）．(1)直接写出直线CD 的解析式；(2)点E 为线段CD 上一点，过点E 作EF y ∥轴交直线AB 于点F ，作EG x ∥轴交直线AB 于点G ，当EF EG AD +=时，求点E 的坐标；(3)如图2，若点M 为线段AB 的中点，点N 为直线CD 上一点，点P 为坐标系内一点．且以O ，M ，N ，P 为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出其中一种求解点N 坐标的过程．∵，∵，()0,8B ，点M 为线段∴()1,4M -，12OM AM BM AB ===∵将AOB V 绕点O 顺时针旋转90∴AOB COD ≌△△，∴2OA OC ==，OAB OCD Ð=Ð∵ON OM ^，由（1）得，直线CD 的解析式为设1,24N n n æö-+ç÷èø，∵()1,4M -，∴2221417OM =+=，22ON n =+模块八、压轴过渡练34．如图，在ABC V 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线MN BC ∥．设MN 交ACB Ð的平分线于点E ，交ABC V 的外角ACD Ð的平分线于点F ．(1)求证：OE OF =；(2)若12CE =，5CF =，求OC 的长；(3)连接AE ，AF ，当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？请说明理由．【答案】(1)见解析(2) 6.5OC =(3)点O 在边AC 上运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．理由见解析【分析】（1）由角平分线的定义结合平行线的性质可证得ACE OEC Ð=Ð，则OE OC =，同理OC OF =，即可得出结论；（2）利用勾股定理可求得EF 的长，再结合（1）的结论可求得OC 的长；（3）只要保证四边形AECF 是平行四边形即可，则可知O 为AC 的中点时，满足条件．本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键．【解析】（1）证明：CE Q 平分ACB Ð，ACE ECB \Ð=Ð，MN BC Q P ，ECB OEC \Ð=Ð，ACE OEC \Ð=Ð，OE OC \=，同理可得OC OF =，OE OF \=；35．如图，四边形ABCD 和BGEF 均为正方形，点E 恰好在线段AD 上，连接AF 、BE 、CG ．(1)当点E 与A 、D 两点都不重合时，求证：ABF CBG V V ≌；(2)当点E 与A 点重合时，等式AB AE CG -=成立；当点E 与A 、D 两点都不重合时，等式AB AE CG -=是否仍然成立？请证明你的结论．Q 90EFB \Ð=︒，45FEB FBE Ð=Ð=︒，90AFE EFH BFH EFH \Ð+Ð=Ð+Ð=︒，AFE HFB \Ð=Ð．36．问题解决：如图①，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AB BC ，边上，DE AF DE AF =^，于点G ．（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）延长CB 到点H ，使得BH AE =，连接AH ，判断AHF △的形状，并说明理由．类比迁移：如图②，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在AB BC ，边上，DE 与AF 相交于点G ，6072DE AF AED AE BF =Ð=︒==，，，，求DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，见解析；类比迁移：9【分析】本题主要考查了正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等知识点，理解题意并灵活运用相关知识、正确做出辅助线构造三角形全等是解题的关键．（1）先说明90DE AF AGD ^Ð=︒，可得ADE BAF Ð=Ð，再证明()AAS ADE BAF V V ≌得到AD AB =，然后根据一组邻边相等的矩形是正方形即可证明结论；（2）由ADE BAF ≌△△可得AE BF =，再证明BH BF =可得AH AF =，从而得到等腰三角形；类比迁移：如图，延长CB 到点H ，使BH AE =，连接AH ，由菱形的性质可证明DAE ABH ≌V V ，再结合已知60AED Ð=︒可得AHF △是等边三角形，最后利用线段的和差即可解答．【解析】（1）解：证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴90DAB ABC Ð=Ð=︒，∴90DE AF AGD ^Ð=︒，，∵9090BAF DAF ADE DAF Ð+Ð=︒Ð+Ð=︒，，∴ADE BAFÐ=Ð在ADE V 和BAF △中，90DAE ABF ADE BAFDE AF Ð=Ð=︒ìïÐ=Ðíï=î∴()AAS ADE BAF V V ≌，∴AD AB =，∴四边形ABCD 是正方形．（2）AHF △是等腰三角形，理由：由（1）得ADE BAF ≌△△，∴AE BF =，∵BH AE =，∴BH BF =，∵90ABH Ð=︒，∴AH AF =，。

特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、造桥模型“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马(即将军遛马、造桥或过桥)，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.将军饮马模型(双线段和的最小值)模型2.将军饮马模型(双线段差的最大值)模型3.将军饮马(多线段和的最值模型)模型4.将军遛马、造桥(过桥)模型模型1.将军饮马模型(双线段和的最小值)条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。

模型(1)点A、B在直线m两侧：模型(2)点A、B在直线同侧：模型(1)点A、B在直线m两侧：模型(2)点A、B在直线同侧：图(1)图(2)模型(1)：如图(1)，连结AB ,根据两点之间线段最短，AP +BP 的最小值即为：线段AB 的长度。

模型(2)：如图(2)，作点A 关于定直线m 的对称点A ',连结A 'B ,根据对称得到：P A =P A '，故AP +BP =A 'P +BP ，再利用“两点之间线段最短”，得到AP +BP 的最小值即为：线段A 'B 的长度。

1.(2024·四川广安·中考真题)如图，在▱ABCD 中，AB =4，AD =5，∠ABC =30°，点M 为直线BC 上一动点，则MA +MD 的最小值为．【答案】41【分析】如图，作A 关于直线BC 的对称点A ，连接A D 交BC 于M ，则AH =A H ，AH ⊥BC ，AM =A M ，当M ,M 重合时，MA +MD 最小，最小值为A D ，再进一步结合勾股定理求解即可.【详解】解：如图，作A 关于直线BC 的对称点A ，连接A D 交BC 于M ，则AH =A H ，AH ⊥BC ，AM =A M ，∴当M ,M 重合时，MA +MD 最小，最小值为A D ，∵AB =4，∠ABC =30°，在▱ABCD 中，∴AH =12AB =2，AD ∥BC ，∴AA =2AH =4，AA ⊥AD ，∵AD =5，∴A D =42+52=41，故答案为：41【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键．2.(23-24八年级下·广东广州·期中)如图，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =3，点P 满足S △P AB =13S 矩形ABCD，则点P 到A ，B 两点距离之和P A +PB 的最小值为()A.29B.34C.52D.41【答案】D【分析】首先由S△P AB=13S矩形ABCD，得出动点在与平行且与的距离是2的直线上，作点A关于直线l的对称点E，连结AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离，然后勾股定理求得BE的长，即得答案．【详解】设AB边上的高是h，∵S△P AB=13S矩形ABCD，∴12AB⋅h=13AB⋅AD，∴h=23AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作点A关于直线l的对称点E，连结AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离，在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE=AB2+AE2=52+42=41，即P A+PB的最小值为41．故选D．【点睛】本题考查了最短路线问题，轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质，作点A 关于直线l的对称点E，并得到BE的长就是所求的最短距离是解题的关键．3.(23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中)如图，菱形ABCD的周长为8，∠DAC=30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．【答案】3【分析】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质。

专题12 验证平行四边形定则-2021年高考物理一轮复习基础夯实专练1.某探究小组做“验证力的平行四边形定则”实验，将画有坐标轴（横轴为x轴，纵轴为y轴，最小刻度表示1 mm）的纸贴在桌面上，如图（a）所示。

将橡皮筋的一端Q固定在y轴上的B点（位于图示部分除外），另一端P位于y轴上的A点时，橡皮筋处于原长。

（1）用一只测力计将橡皮筋的P端沿y轴从A点拉至坐标原点O，此时拉力F的大小可由测力计读出。

测力计的示数如图（b）所示，F的大小为N。

（2）撤去（1）中的拉力，橡皮筋P端回到A点；现使用两个测力计同时拉橡皮筋，再次将P端拉至O点。

此时观察到两个拉力分别沿图（a）中两条虚线所示的方向，由测力计的示数读出两个拉力的大小分别为F1=4.2 N和F2=5.6 N。

（i）用5 mm长度的线段表示1 N的力，以O点为作用点，在图（a）中画出力F1、F2的图示，然后按平形四边形定则画出它们的合力F合；（ii）F合的大小为N，F合与拉力F的夹角的正切值为。

若F合与拉力F的大小及方向的偏差均在实验所允许的误差范围之内，则该实验验证了力的平行四边形定则。

【答案】：（1）4.0（2）（Ⅰ）F1、F2和F合如图所示（Ⅰ）4.0 0.05【解析】：（1）由图b可知每大格之间有5个小格弹簧测力计的最小分度为0.2N，则读数为4.0N。

（2）根据比例用圆规作图，结合平行四边形定则作出图如右图所示，根据几何关系可得合力大小 225.6 5.6(4.2)() 4.022N ++=当然，可以直接从作出的图上读出，F 合力与F 4.2-322=-15.642计算结果为0.05. 2．(2018·天津高考)某研究小组做“验证力的平行四边形定则”实验，所用器材有：方木板一块，白纸，量程为5 N 的弹簧测力计两个，橡皮条(带两个较长的细绳套)，刻度尺，图钉(若干个)。

(1)具体操作前，同学们提出了如下关于实验操作的建议，其中正确的有________。

高考物理解题方法与技巧讲解第9讲 平行四边形法 多边形法 正交分解法（解析版）解力的合成方法或分解的方法有3种，即平行四边形法则， 多边形（三角形）法则，正交分解法则。

每一种法则又有两个方法，即作图法和公式法。

所以有：平行四边形法则之作图法，平行四边形法则之公式法，多边形法则之作图法，多边形法则之公式法，正交分解法之作图法，正交分解法之公式法。

例题：已知3个力，N F 401=，N F 502=，N F 603=，相互之间夹角皆为1200，如图所示。

求这3个力的合力。

【解法1】平行四边形法则之作图法①画出标度，如以cm 1表示10N②以1F 、2F 为邻边，作平行四边形，则12F 为1F 和2F 的合力。

③以12F 、3F 为邻边，作平行四边形，则合F 为1F 、2F 和3F 3个力的合力。

④量出合F 为cm 8.1，则合F 大小为18N ，方向如图所示。

【解法2】平行四边形法则之公式法 ①求1F 和2F 的合力12F ：12F =2110)5.0(504025040120cos 2220212221=−×××++=++F F F F12F 与2F 的夹角α，335215040235060cos 60sin tan 02102=×−×=−=F F F α，则071=α ②求12F 和3F 的合力合F ：合F =)9816.0(6021102602100cos 2231223212−××××++=++βF F F F =N 4.17302==其中00019171120=+=β，9816.0191cos cos 0−==β【解法3】多边形法则之作图法①画出标度，如以cm 1表示10N。

特殊的平行四边形中的图形变换模型之旋转模型 几何变换中的旋转问题是历年中考考查频率高且考查难度较高，综合性强，通常有线段、三角形、（特殊）平行四边形的旋转问题。

在解决此类问题时，要牢牢把握旋转的性质，即旋转前后的图形全等，对应角相等，对应边相等，再结合几何图形本身的性质，找到旋转过程中变化的量和不变的量，运用三角形全等或相似的有关知识，求解有关角、线段及面积问题。

近年来虽然关于（特殊）平行四边形旋转的考查频率高，由于之前的专题有总结过相关的旋转模型，故本专题就只对特殊的平行四边形旋转中的题型作全面的总结，方便大家学习掌握。

模型1.平行四边形中的旋转模型1）常规计算型例1．（2023·浙江八年级课时练习）如图，▱ABCD 绕点A 逆时针旋转30°，得到□AB′C′D′（点B′与点B 是对应点，点C′与点C 是对应点，点D′与点D 是对应点），点B′恰好落在BC 边上，则∠C=（ ）A ．155°B ．170°C ．105°D ．145° 【答案】C【详解】试题分析:先根据旋转的性质得到AB=AB′，∠BAB′=30°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得到∠B=∠AB′B=75°，然后根据平行四边形的性质得AB ∥CD ，再根据平行线的性质计算得∠C=180°﹣∠B=105°．解：∵▱ABCD 绕点A 逆时针旋转30°，得到□AB′C′D′′，∴AB=AB′，∠BAB′=30°，∴∠B=∠AB′B=12（180°﹣30°）=75°，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠B+∠C=180°，∴∠C=180°﹣75°=105°．故选C ．考点：旋转的性质；平行四边形的性质．例2．（2023·浙江·九年级期末）如图，在ABCD Y 中，=45ABC ∠︒，2AB =，将点B 绕点A 逆时针旋转120︒得到点E ，点E 落在线段BD 上，在线段BE 上取点F ，使BF DE =，连结AE ，CF ，则EF 的长为（ ）A ．2B ．2C ．2D ．3【答案】C【分析】根据已知条件利用勾股定理求得BG ，进而求得BE ，通过角度的计算可得EAD EDA ∠=∠，从而可求得DE ，根据EF BE BF BE ED =−=−即可求得【详解】过点A 作AG BD ⊥于点G ，120,BAE AB AE ∠=︒=190302ABG BAE ∴∠=︒−∠=︒2AB =112AG AB ∴==BG ∴=BE = =45ABC ∠︒∴453015DBC ABC ABD ∠=∠−∠=︒−︒=︒四边形ABCD 是平行四边形，, //AD BC ∴15ADE DBC ∴∠=∠=︒180********BAD ABC ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒120BAE ∠=︒13512015EAD BAD EAB ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒EAD EDA ∴∠=∠2ED EA AB ∴===∴EF BE BF BE ED =−=−2故选C【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟悉几何图形的性质是解题的关键．2）最值（范围）型例1．（2023·广东·九年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD 中，AB =∠ABC ＝45°，点E 为射线AD 上一动点，连接BE ，将BE 绕点B 逆时针旋转60°得到BF ，连接AF ，则AF 的最小值是_____．【答案】【分析】以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT=TK．证明△ABF≌△KBE（SAS），推出AF=EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，解直角三角形求出EK即可解决问题．【详解】解：如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，∵∠BAK＝60°，∴∠EAK＝75°，∵∠AEK＝90°，∴∠AKE＝15°，∵TA＝TK，∴∠TAK＝∠AKT＝15°，∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET，在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，∴a2+（）2＝4，∴a＝，∴EK＝＝，∴AF的最小值为：．故答案为：．【点睛】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等的三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．例2．（2023·山东济南·九年级统考期末）如图，在□ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠A＝60°，E是边AD上且AE＝2DE，F是射线AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、DG，则BG －DG的最大值为________．【答案】1【分析】如图，在AB的一点N，使得AN=AE，连接EN，GN，可证明△AEN是等边三角形，∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，从而可证明△AEF≌△NEG得到∠ENG=∠A=60°，进而推出∠GNB=60°，则点G的运动轨迹是射线NG，过点B作BM⊥NG交CD延长线于M，连接MG，DG，先求出1322NK BN==，证明四边形ANTD是平行四边形，得到NT=AD=3，DT=AN=2，然后证明△MKT≌△BKN得到MK=BK，MT=BN=3，MD=1，NT垂直平分BM，进而推出当M、D、G三点共线时，MG-DG有最大值，DM，即BG-DG有最大值DM．【详解】解：如图，在AB的一点N，使得AN=AE，连接EN，GN，由旋转的性质可知EF=EG，∠FEG=60°，∵AE=2DE，AD=3∴AE=2，DE=1，∵AE=AN，∵∠A=60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，∴∠AEF=∠NEG，∵EA=EN，EF=EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG=∠A=60°，∵∠ANE=60°，∴∠GNB=180°-60°-60°=60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，过点B作BM⊥NG交CD延长线于M，连接MG，DG，∴∠BKN=90°，∵∠BNK=60°，∴∠NBK=30°，∵AB=5，AN=AE=2，∴BN=3，∴1322NK BN==，∵∠BNK=∠A=60°，∴AD NK∥，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD AB∥，∴四边形ANTD是平行四边形，∠M=∠KBN，∴NT=AD=3，DT=AN=2，∴32TK NT NK=−=，∴NK=TK，又∵∠MKT=∠BKN，∴△MKT≌△BKN（AAS），∴MK=BK，MT=BN=3，∴MD=1，NT垂直平分BM，∴BG=MG，∵MG-DG≤MD，∴BG-DG≤MD，∴当M、D、G三点共线时，MG-DG有最大值，DM，即BG-DG有最大值DM，∴MG-DG的最大值为1，故答案为1．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形确定点G的运动轨迹是解题的关键．3）综合证明型【答案】(1)S△BCE=6；(2)①1＜BF＜5；②证明见解答；(3)BN的最小值为10-2，BN的最大值为．【分析】（1）如图1，过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F，根据题意求得∠EBF=180°-∠EBA-∠ABC=180°-90°-60°=30°，再根据特殊直角三角形的性质进而求得BC上的高EF=2，代入面积公式算出结果；（2）①如图，在线段FG上截取FK=BF，连接EK、CK，可证得四边形BCKE是平行四边形，得出：BE=CK=BE'=4，BC=6，再运用三角形三边关系即可求得答案；②可证△EKB≌△BGA（AAS），得出BK=AG，由AG=AD-DG，即可推出结论；（3）连接AE，取AE的中点P，PA的中点Q，连接BP、NP、NQ、BQ，可证△ABE是等腰直角三角形，得出：，再由点P是AE的中点，可得：BP⊥AE，且，当B、Q、N三点共线时，BN的最小值=BQ-S与点E重合时，EM=0，PN=0，此时，BN的最大值【详解】（1）解：如图1，过点E 作EH ⊥BC 交CB 的延长线于点H ，∴∠EHC=90°，∵∠ABC=60°，∠EBA=90°，∴∠EBH=180°-∠EBA -∠ABC=180°-90°-60°=30°，∵点E '在BC 边上且BE '=4，将B E '绕点B 逆时针旋转α°得到BE ，∴BE=B E '=4，∴EH=12BE=12×4=2， 又∵BC=6，∴S △BCE=12BC•EH=12×6×2=6；（2）解：①如图，在线段FG 上截取FK=BF ，连接EK 、CK ，∵EF=FC ，BF=FK ，∴四边形BCKE 是平行四边形，∴BE=CK=BE '=4，BC=6，在△BCK 中，BC -CK ＜BK ＜BC+CK ，∴6-4＜BK ＜6+4，即2＜2BF ＜10，∴1＜BF ＜5；②证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，且∠ABC=60°，AB=4，∴∠A=180°-∠ABC=180°-60°=120°，AD ∥BC ，AD=BC ，BE=AB ，∵∠EBF=120°，即∠EBK=120°，∴∠EBK=∠A ，∵EK ∥BC ，∴EK ∥AD ，∴∠EKB=∠BGA ，在△EKB 和△BGA 中，EKB BGA EBK A BE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EKB ≌△BGA （AAS ），∴BK=AG ，由①知：BK=2BF ，又∵AG=AD -DG ，∴2BF=BC -DG ；（3）解：连接AE ，取AE 的中点P ，PA 的中点Q ，连接BP 、NP 、NQ 、BQ ，∵∠ABE=90°，AB=BE=4，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴∵点P 是AE 的中点，∴BP ⊥AE ，且，∵N 是AM 的中点，P 是AE 的中点，∴PN 是△AEM 的中位线，∴PN ∥EM ，∴∠ANP=∠AME=90°，∵点Q 是AP 的中点，∴QN=PQ=12Rt △BPQ 中，= 当B 、Q 、N 三点共线时，BN 的最小值=BQ -当点S 与点E 重合时，EM=0，PN=0，此时，BN 的最大值．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题．模型2.菱形中的旋转模型1）常规计算型 例1．（2023·江西九江·校考模拟预测）如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠︒＝．若将菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转α（060α︒<<︒）得到四边形AEFG ，连接DE DG ，，则EDG ∠的度数为 ．【答案】150︒【分析】由旋转的性质得,60,AG AD AE EAD GAD αα==∠=−∠=，根据等腰三角形的性质可得出602ADE α=︒∠+，902ADG α=︒∠−，从而可得出结论． 【详解】解：由题意可知AB=AD ，∠BAD=60°．由旋转知∠DAG=∠BAE=α，AE=AB ，AD=AG ，∴∠EAD=∠BAD －∠BAE=60°－α，AE=AD=AG ，∴1806022EAD ADE α−∠∠==+︒︒，1809022DAG ADG α−∠∠==−︒︒，∴∠EDG=∠ADE ＋∠ADG=150°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质以及旋转的性质等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．A ．()2,3B ．【答案】C 【分析】首先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2023次旋转结束时，点C 在第三象限，过点A 作AE x⊥轴于点E ，延长OB 到'C 点，使'OC OA =，过点'C 作'C F x ⊥轴于点F ，再根据菱形的性质及全等三角形的性质，即可求得坐标.【详解】解：∵将菱形绕原点O 逆时针旋转，每次旋转90︒， 360904︒÷︒=，∴旋转4次后回到原来的位置，∵202345053÷=⋯⋯，∴第2023次旋转结束时，点C 在第三象限，如图：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，延长OB 到'C 点，使'OC OA =，过点'C 作'C F x ⊥轴于点F ，∴'90AEO OFC ∠=∠=︒，∴90OAE AOE ∠+∠=︒，∵四边形ABCD 是菱形，∴'OA OC OC AC BD ==⊥，，∴'90C OF AOE ∠+∠=︒，∴'OAE C OF ∠=∠，∴'AAS OAE C OF ≌（），∴'AE OF OE C F ==，，∵()A −， ∴2OE AE ==，∴2'OF C F ==，∴('2,C −−，故第2023次旋转结束时，点C 的坐标为(2,−−，故选：C ．【点睛】本题主要考查菱形的性质和旋转的性质，全等三角形的判定及性质，以及坐标与图形的性质，直角三角形的性质，找出旋转规律是解题关键. 得到B O C ''，若A ．4B ．4【答案】C 【分析】利用菱形的性质求出OB 的长度，再利用勾股定理求出'AB 的长即可．【详解】解：∵菱形ABCD ，∴BD ⊥AC ，AB=BC ，AO=OC=1在Rt△OBC中，4OB=，∵旋转，∴OB O B''=，90O'∠=︒，在Rt△AO B''中，'5AB==，故选：C．【点睛】本题主要考查菱旋转和形的性质，能够利用勾股定理结合性质解三角形是解题关键．2）最值（范围）型例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F 是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是___________．【答案】【分析】取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，利用全等三角形的性质证明∠F'GA ＝60°，点F'的轨迹为射线GF'，易得A、E关于GF'对称，推出AF'＝EF'，得到BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，求出BE 即可解决周长最小问题．【详解】解：取AD中点G，连接，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠BAD＝120°，∴∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，又∵DE＝DG，∴△DEG也为等边三角形．∴DE＝GE，∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，即∠DEF＝∠GEF'，由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，所以EF＝EF'．在△DEF和△GEF'中DE GEDEF GEFEF EF'=⎧⎪∠=∠⎨='⎪⎩，∴△DEF≌△GEF'（SAS）．∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，∴∠F'GA ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，则点F'的运动轨迹为射线GF'．观察图形，可得A ，E 关于GF'对称，∴AF'＝EF'，∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE ，在Rt △BCH 中，∵∠H ＝90°，BC ＝4，∠BCH ＝60°，∴12,2CH BC BH ===，在Rt △BEH 中，BE ，∴∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝．【点睛】本题考查旋转变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形等知识，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 例2．（2023·山西·九年级专题练习）如图，菱形ABCD 中，AB ＝12，∠ABC ＝60°，点E 在AB 边上，且BE ＝2AE ，动点P 在BC 边上，连接PE ，将线段PE 绕点P 顺时针旋转60°至线段PF ，连接AF ，则线段AF 长的最小值为___．【答案】【分析】在BC 上取一点G ，使得BG BE =，连接,EG EF ，作直线FG 交AD 于T ，过点A 作AH GF ⊥于H ，先根据等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理证出≌BEP GEF ，根据全等三角形的性质可得60EGF B ∠=∠=︒，从而可得120BGF ∠=︒，由此可得点F 在射线GF 上运动，再根据垂线段最短可得当点F 与点H 重合时，AF 的长最小，然后根据平行四边形的判定可得四边形ABGT 是平行四边形，根据平行四边形的性质可得860，AT BG BE ATH B ===∠=∠=︒，最后在Rt AHT 中，解直角三角形即可得．【详解】解：在BC 上取一点G ，使得BG BE =，连接，EG EF ，作直线FG 交AD 于T ，过点A 作AH GF ⊥于H ，60，B BE BG ∠=︒=，BEG ∴△是等边三角形，60，EB EG BEG BGE ∴=∠=∠=︒，60，PE PF EPF =∠=︒，EPF ∴△是等边三角形，60，PEF EF EP ∴∠=︒=，BEG PEF ∴∠=∠，BEG PEG PEF PEG ∴∠−∠=∠−∠，即BEP GEF ∠=∠，在BEP △和GEF △中，BE GE BEP GEFPE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()≌BEP GEF SAS ∴，60EGF B ∴∠=∠=︒，120BGF BGE EGF ∴∠=∠+∠=︒，∴点F 在射线GF 上运动，由垂线段最短可知，当点F 与点H 重合时，AF 的长最小，122，AB BE AE ==，84，BE AE ∴==，60BEG EGF ∠=∠=︒，//GT AB ∴，四边形ABCD 是菱形，BG AT ∴∥，∴四边形ABGT 是平行四边形，860，AT BG BE ATH B ∴===∠=∠=︒，sin 8AH AT ATH ∴=⋅∠==AF长的最小值为【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，正确找出点F 的运动轨迹是解题关键．ADG S 等于（A ．2B ．3 【答案】D 【分析】当BE ⊥AE 时，∠ABE 的值最大，此时cos ∠BAE=A E A B，推出∠BAE=30°，过点G 作GT ⊥DA 交DA 延长线于点T ，求出GT ，可得结论．【详解】解：∵四边形ABCD ，四边形AEFG 都是菱形，∴AD=AB=2，，当BE ⊥AE 时，∠ABE 的值最大，此时cos ∠BAE=A E A B∴∠BAE=30°，∵∠DAB+∠EAG=180°，∴∠BAE+∠DAG=180°，∴∠DAG=150°，过点G 作GT ⊥DA 交DA 的延长线于点T ，如图，在Rt △AGT 中，，∠GAT=30°，∴GT=AG·sin30°= 11=··=222ADG S AD GT ⨯ 故选∶D ．【点睛】本题考查旋转变换，菱形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运所学知识解决问题．3）分类讨论型 的等边三角形ABC 和ACD 拼成菱形 A ．2或4B ．2或6C ．4或6 【答案】B【分析】过点A 作AG BC ⊥．根据等边三角形的性质可求出AG =结合AEC S=2CE =．又易证()ASA BAE CAF ≌，即得出BE CF =，从而即可得解．【详解】如图，过点A 作AG BC ⊥．∵ABC 为等边三角形，∴122CG BC ==，∴AG =∵12AEC S CE AG =⨯=12AEC S CE =⨯=∴2CE =，∴2BE BC CE =−=．∵三角尺的60︒角的顶点与点A 重合，∴BAC EAF ∠=∠，∴BAC EAC EAF EAC ∠−∠=∠−∠，即BAE CAF ∠=∠．又∵两个全等且边长为4的等边三角形ABC 和ACD 拼成菱形ABCD ，∴60B ACF ∠=∠=︒，AB AC =，∴()ASA BAE CAF ≌，∴2BE CF ==；如图，由（1）可知2CG =，∴12AEC S CE =⨯∴2CE =．∵BAC EAF ∠=∠，∴BAC EAC EAF EAC ∠+∠=∠+∠，即BAE CAF ∠=∠．又∵60B ACF ∠=∠=︒，AB AC =，∴()ASA BAE CAF ≌，∴6CF BE BC CE ==+=．∴CF 的长为2或6．故选B ．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 把ABC 分成面积相等两部分，于称为ABC 的“完美分割线，在钝角ABC 中，点是ABC 的“完美分割线【答案】[理解应用]见解析；[问题提升]（1）①CA ＝CE ＋CF ；②见解析；（2）t=15或45【分析】[理解应用]分别表示出ABE ACE ABC S S S V V V 、、，即可证得结论；[问题提升]（1）①如图，结论：CA ＝CE ＋CF ．只要证明△ADF ≌△ACE （SAS ）即可解决问题；②由题意易得△ADF ≌△ACE ，可得：,AE AF EAC FAD =∠=∠，可推得60EAF ∠=︒，进而问题可证；（2）分射线OM 是ABC ACD 、 的“完美分割线”或射线ON 是ACD 的“完美分割线”，进行讨论即可得出答案．【详解】[理解应用]如图：过A 作AH ⊥BC 于H ，∵点E 是线段BC 的中点，∴12BE CE BC ==， ∵111,,222ABE ACE ABC S BE AH S CE AH S BC AH =⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯V V V ，∴12ABE ACE ABC S S S ==△△△，故射线AD 是ABC 的“完美分割线”．[问题提升](1)①结论：CA ＝CE ＋CF ．理由：∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴AB ＝AD ＝DC ＝BC ，∠BAC ＝∠DAC ＝60°，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，∵∠DAC ＝∠EAF ＝60°，∴∠DAF ＝∠CAE ，∵CA ＝AD ，∠D ＝∠ACE ＝60°，∴△ADF ≌△ACE （SAS ），∴DF ＝CE ，∴CE ＋CF ＝CF ＋DF ＝CD ＝AC ，∴CA ＝CE ＋CF ；②∵△ADF ≌△ACE ，∴,AE AF EAC FAD =∠=∠，∴EAC CAF FAD CAF ∠+∠=∠+∠，∴60EAF CAD ∠=∠=︒，∵,60AE AF EAF =∠=︒,∴AEF △为等边三角形．(2)当OM 恰巧平分BC 时，此时ON 恰巧平分CD ，在等边ABC 中，OM 平分BC ，∴12ABE ACE ABC S S S ==△△△,1302BAE BAC ∠=∠=︒，故射线OM 是ABC 的“完美分割线”，∴302BAE t ∠=︒=︒，∴15t =（秒）；当ON 恰巧平分CD ，在等边ACD 中，ON 平分CD ， ∴12ACF ADF ACD S S S ==V V V ，130CAF CAD ∠==︒,∴603090BAF BAC CAF ∠=∠+∠=︒+︒=︒,故射线ON 是ACD 的“完美分割线”，∴90602BAE BAF MON t ∠=∠−∠=︒−︒=︒，∴15t =（秒）；当OM 恰巧平分CD 时，在等边ACD 中，OM 平分CD ，∴12ACQ ADQ ACD S S S ==V V V ,30CAQ ∠=︒，故射线OM 是ACD 的“完美分割线”，∴60302BAQ t ∠=︒+︒=︒，∴45t =（秒）．综上所述当t=15或45秒时，射线OM 或射线ON 是某个三角形的“完美分割线”．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．4）综合证明型【答案】①②③．【分析】过点B 作BH A D ''⊥于H ，BM AD ⊥于M ，BN CD ⊥于N ，利用角平分线的判定定理证明选项①、②是否正确，再利用全等三角形的性质证明DEF 的周长2DM =为定值，即可判断③ ；根据Rt △BEM ≌Rt △BEH ，Rt △BMA ≌Rt △BNC ，Rt △BFN ≌Rt △BFH ，得到S △BEM ＝S △BEH ，S △BMA ＝S △BNC ，S △BFN ＝S △BFH ，S △DEF+2S △BEF ＝S 四边形DMBN ，但是∠A 不一定为60°，即AM 不一定等于12AB ，由此判断④.【详解】如图，过点B 作BH ⊥A′D′于H ，BM ⊥AD 于M ，BN ⊥CD 于N ．∵菱形BA′D′C′是由菱形ABCD 旋转得到，菱形的每条边上的高相等，∴BM ＝BH ＝BN ，∵BH ⊥A′D′于H ，BM ⊥AD 于M ，BN ⊥CD 于N ，∴BE 平分∠AED′，BF 平分∠A′FC ，故选项①②正确，∵∠BME ＝∠NHE ＝90°，BE ＝BE ，BM ＝BH ，∴Rt △BEM ≌Rt △BEH （HL ），∴EH ＝EM ，同法可证，FH ＝FN ，∴△DEF 的周长＝DE+EF+DF ＝DE+EM+DF+FN ＝DM+DN ，∵∠BMA ＝∠BNC ＝90°，BM ＝BN ，BA ＝BC ，∴Rt △BMA ≌Rt △BNC （HL ），∴AM ＝CN ，∵DA ＝DC ，∴DM ＝DN ，∴△DEF 的周长＝2DM ＝定值，故③正确，∵Rt △BEM ≌Rt △BEH ，Rt △BMA ≌Rt △BNC ，Rt △BFN ≌Rt △BFH ，∴S △BEM ＝S △BEH ，S △BMA ＝S △BNC ，S △BFN ＝S △BFH ，∴S △DEF+2S △BEF ＝S 四边形DMBN ，∵∠A 不一定为60°，∴AM 不一定等于12AB ，∴S △DEF+2S △BEF≠12S 菱形ABCD ，故④错误；故答案：①②③ ．【点睛】旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．例2．（2023·湖北武汉·八年级统考期中）如图1，菱形AEFG 的两边AE 、AG 分别在菱形ABCD 的边AB 和AD 上，且∠BAD=60°，连接CF ；（1CF =；（2）如图2，将菱形AEFG 绕点A 进行顺时针旋转，在旋转过程中（1）中的结论是否发生变化？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2），（1）中的结论不变．理由见解析．【分析】（1）延长EF 交CD 于M 点，证明三角形CMF 是等腰三角形，且∠EMC=120°，过点M 作MN ⊥CF ，垂足为N ，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，和勾股定理，得FN=NC=2D G 即；（2）过D 做∠NDC=∠ADG,使DN=DG ，连接NC ，证明△DGN 为等腰三角形，四边形GFNC 为平行四边形即可．【详解】（1）如图１，延长EF 交CD 于M 点，∵四边形AEFG 和四边形ABCD 是菱形∴DC//GF//AB,DM//GF∴四边形GFMD 是平行四边形则∠D=∠EMC=120°，∴∠MFC=∠MCF=30°，过点M 作MN ⊥CF ，垂足为N ，∴MN=12M F ,根据勾股定理，得FN=D G ，∵MC=MF ，∴FN=NC ，∴；（2）如图2，过D 做∠NDC=∠ADG,使DN=DG ，连接NC ，∴△AGD ≌△DNC(SAS ）∴AG=NC ∠DNC=∠AGD ∴△DGN 为等腰三角形，则∠DGN=∠DNG ，∵∠NGF=360°-∠AGD -∠AGF -∠DGN=240°-∠DGA -∠DGN ∠GNC=∠DNC -∠DNG=∠DNC -∠DNG∴∠NGF+∠GNC=240°-∠DGN -∠DNG,∵∠DGN+∠DNG=180°-∠GDN=60°∴∠NGF+∠GNC=180°∴NC//GF ，∴四边形GFNC 为平行四边形∴CF=GN ，则GN=，∴，结论（1）不变．【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，三角形的全等，等腰三角形的性质，灵活构造辅助线是解题的关键． ①CIJ 的周长是否变化？若不变，请求出CIJ 的周长；【答案】(1)BIE α∠=(2)见详解(3)①不变，CIJ 的周长为3，②6−【分析】（1）设BC 与AE 交于点H ，由旋转可知E B ∠=∠，再根据三角形的外角定理即可；（2）过点A 作AM EF ⊥于点M ，AN BC ⊥于点N ，证明AM AN =，由角平分线的判定定理即可得出结论；（3）①旋转前后的组合图形同样是轴对称图形，对称轴为直线AJ ，得到,CJ FJ =再证明(AAS)ABI AFI ≌，得到BI FI =即可；，②当0α=︒时AK 有最大值，当30α=︒时AK 有最小值， 即可得出结果．【详解】（1）解：设BC 与AE 交于点H ，由旋转可知E B ∠=∠，再根据三角形的外角定理得：AHI E HIE B BAH ∠=∠+∠=∠+∠，BIE BAH α∠=∠=；（2）解：过点A 作AM EF ⊥于点M ，AN BC ⊥于点N ，90AME ANB ∴∠=∠=︒， 由旋转可知E B ∠=∠，AE AB =，(AAS)AME ANB ∴≌，AM AN ∴=，AI ∴平分BIF ∠；（3）解：①不变，CIJ 的周长为3，理由如下：连接,,AJ AF AC ，根据菱形为轴对称图形，菱形对角线所在的直线为菱形的对称轴，旋转前后的组合图形同样是轴对称图形，对称轴为直线AJ ，,CJ FJ ∴=由第（2）问中AI 平分BIF ∠，AIB AIF ∴∠=∠，在菱形ABCD 中，3AB =，=60B ∠︒，ABC ∴和AEF △均为等边三角形，,60AB AE B E ∴=∠=∠=︒，(AAS)ABI AFI ∴≌，BI FI ∴=， CIJ 的周长为3CI IJ CJ FJ IJ CI BI CI BC ++=++=+==；②当0α=︒时AK 有最大值，3AK =；当30α=︒时AK 有最小值，AK =3AK ≤<．故点K 的运动路径长为236⎛=− ⎝ 【点睛】本题考查了旋转图形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，综合运用旋转图形的性质、全等三角形的性质和判定是本题的关键．模型3.矩形中的旋转模型1）常规计算型 例1．（2023上·成都市·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD 中，1AB =，14CBD ∠=︒，将矩形ABCD 绕对角线BD 的中点O 旋转角度()090a α︒<<︒得到矩形A B C D ''''，当C '，D 的距离等于1时，α等于（ ）A ．28︒B ．42︒C ．48︒D ．56︒【答案】D 【分析】如图，连接OC C D ''，，由矩形性质可证OCB OBC ∠=∠，得28DOC ∠=︒，易知DOC DOC '≌，所以DOC DOC ∠=∠'，进而求得72C OC ∠'=︒，即旋转角度．【详解】如图，连接OC C D ''，，∵四边形ABCD 是矩形，∴1122AC BD OC AC OB OD BD ====，，，∴OB OC OD OC ==='，∴OCB OBC ∠=∠，∴228DOC OBC OCB CBD ∠=∠+∠=∠=︒．∵C '，D 的距离等于1，1AB CD ==，∴CD C D ='，∴()SSS DOC DOC '≌，∴DOC DOC ∠=∠'，∴256C OC DOC ∠'=∠=︒．故选D ．【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形外角的知识；由图形的旋转变换转化为全等三角形解决问题是求解的关键．例2．（2023·江西·统考三模）如图，矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，将矩形ABCD 绕着点A 顺时针旋转得到矩形AFGE ，当点F 落在边CD 上时，连接BF 、DE ，则ADEABF SS =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．23 【答案】C【分析】由题意作辅助线过点E 作EH AD ⊥于点H ，并利用旋转的性质以及三角函数进行分析求解.【详解】解：如解图，过点E 作EH AD ⊥于点H ，在矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，2AD ∴=，90ADC DAB ∠=∠=︒.由旋转的性质可得4AF AB ==，2AE AD ==，90EAF DAB ∠=∠=︒，1sin 2AF AD AF D ==∴.30AFD ∴∠=︒，60DAF ∠=︒.30DAE ∴∠=︒.sin DAE 12AE EH AE =⋅∠==∴，1121122ADE E A H S D ==⨯⋅⨯=，1142422ABF A A D S B ==⨯⨯⋅=，14ADEABFS S ∴=.故选C【点睛】本题考查矩形相关，综合利用旋转的性质以及三角函数相关性质进行求解.例3．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，将矩形ABCD 绕点B 顺时针方向旋转后得到矩形A BC D '''，若边A B '交线段CD 于H ，且BH DH =，则DH 的值是______．【答案】254【分析】设DH 的值是x ，那么CH=8x −，BH=x，在Rt△BCH 中根据勾股定理即可列出关于x 的方程，解方程就可以求出DH ．【详解】解：设DH 的值是x ， ∵AB=8，AD=6，且BH=DH ， 8,,CH x BH x ∴=−=6BC AD ==，在Rt △BCH 中，2222DH BH CH BC ==+， ()22836x x ∴=−+，25,4x ∴= 即254=DH ．故答案为：25.4 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理等知识，解题关键是利用勾股定理列出关于所求线段的方程．2）最值（范围）型例1．（2023·广东·八年级假期作业）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝7，BC ＝P 在线段BC 上运动（含B 、C 两点），连接AP ，将线段AP 绕着点A 逆时针旋转60°得到AQ ，连接DQ ，则线段DQ 的最小值为 ___．【答案】3.5【分析】以AB 为边作等边△ABE ，D 作DH ⊥QE 于H ，利用SAS 证明△ABP ≌△AEQ ，得∠AEQ=∠ABP=90°，则点Q 在射线EQ 上运动，即求DH 的长度，再用含30°角的直角三角形性质进行解题．【详解】解：如图，以AB 为边作等边△ABE ，过点D 作DH ⊥QE 于H ，∴AB=AE ，∠BAE=60°，∵将线段AP 绕着点A 逆时针旋转60°得到AQ ，∴AP=AQ ，∠PAQ=60°，∴∠BAP=∠EAQ ，在△ABP 和△AEQ 中，AB AE BAP EAQ AP AQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP ≌△AEQ （SAS ），∴∠AEQ=∠ABP=90°，∴点Q 在射线EQ 上运动，当Q 与H 重合时，DQ 最小，在Rt △AEF 中，∠EAF=30°，∴EF=AE=，∴AF=2EF=，∴DF=AD -AF==，∴DH=DF=×=72，∴DQ 的最小值为72，故答案为：72．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，判断出点Q 的运动路径是解题的关键． ，设EOF 的面积为【答案】 939s ≤≤【分析】（1）当点E 落在BC 上时，由勾股定理知（2）如图，由旋转知，EF=AD=8， EOF 的面积=12×EF×EF 边上的高，故找面积最值就转化成找EF 边上高的最值．当点E 落在BD 上时，EF 边上高的最小值为EO ，此时s 最小，当点D 落在BD 的反向延长线上时，EF 边上高的最大值为OE'，此时s 最大，分别算出最大值和最小值即可．【详解】（1）AB 6==，当点E 落在BC 上时，=答案：．（2）当点E 落在BD 上时，s 最小，此时，1()32OE BD BD AD =−−=，∴192s EO EF =⨯⋅=；当点D 落在BD 的反向延长线上时，s 最大，13E O OD DE ''=+=， ∴1392s E O E F '''=⨯⋅=，∴939s ≤≤．故答案为：939s ≤≤．【点睛】此题考查了图形的旋转和勾股定理，解题的关键是要有空间想象能力，正确作出辅助线求解．3）分类讨论型 例1．（2023·江西南昌·九年级校联考阶段练习）在矩形ABCD 中，AB =3，AD =5，将边AD 绕它的端点旋转，当另一端点恰好落在边BC 所在直线的点E 处时，线段DE 的长为 ．5 【分析】分两种情形：绕A 旋转或绕D 旋转，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，∵四边形∴AB=CD=3，AD=BC=5，∠ABC=∠DCB=90°，当AD 绕A 旋转，AD=12AE AE ==5时，124BE BE ===，∴C 1E =1，C 2E =9，∴1DE ===2DE ===，当AD 绕D 旋转时，345D DE DE A ===，综上所述，满足条件的DE 55．【点睛】本题考查旋转变换，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．例2．（2023上·广东珠海·九年级校考期中）如图，在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转（旋转角小于90度）得到矩形AEFG ．(1)如图①，若在旋转过程中，点E 落在对角线AC 上，AF EF 、分别交DC 于点M ，N ，①求证：MA MC =；②求MF 的长；(2)在旋转过程中，当旋转到如图②所示的情况，若直线AE 经过线段BG 的中点P ，连接BE ，求BEG 的面积．【答案】(1)①见解析；②154(2)BEG 的面积是48−48+【分析】（1）①根据矩形的性质和旋转的性质得到DCA FAE ∠=∠，证得MA MC =；②设MA MC x ==，则8DM x =−，根据勾股定理求出x 的值，即可求出MF 的值；（2）分情况讨论，第一种情况，过点B 作BH AE ⊥于点H ，证明()AAS HBP AGP ≌，用勾股定理求出AH 的长，从而得到AP 的长，再求出PE 的长，根据2BEG GPE S S =算出BEG 的面积；第二种情况，与第一种情况的区别在于PE 的长，求出PE 长之后，一样算出BEG 的面积．【详解】（1）解：①∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ∥，∴DCA BAC ∠=∠，∵旋转，∴=FAE BAC ∠∠，∴DCA FAE ∠∠，∴MA MC =；②设MA MC x ==，则8DM x =−，在Rt ADM △中，()22268x x +−=，解得254x =，在Rt AEF 中，10AF ==，∴154MF AF AM =−=， （2）①如图，过点B 作BH AE ⊥于点H ，则90GAP BHP ∠=∠=︒，在HBP 和AGP 中，BHP GAP APG HPA GP BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS HBP AGP ≌，∴AP HP =，6BH AG ==， 在Rt ABH △中，AH =∴12AP AH == ∴8PE AE AP =−=∴(12268482BEG GPE S S ==⨯⨯⨯=−；②如图所示，同①得：AH =AP ∴8PE =∴(12268482BEG GPE S S ==⨯⨯⨯=+BEG 的面积是48−48+ 【点睛】本题考查的是四边形综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，以及等腰三角形的判定，需要注意进行分类讨论．4）综合证明型例1．（2023·四川·眉山市东坡区模拟预测）如图，Rt △ABE 中，∠B=90°，AB=BE ，将△ABE 绕点A 逆时针旋转45°，得到△AHD ，过D 作DC ⊥BE 交BE 的延长线于点C ，连接BH 并延长交DC 于点F ，连接DE 交BF 于点O ．下列结论：①DE 平分∠HDC ；②DO=OE ；③H 是BF 的中点；④BC -CF=2CE ；⑤CD=HF ，其中正确的有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】B【分析】根据∠B=90°，AB=BE ，△ABE 绕点A 逆时针旋转45°，得到△AHD ，可得ABE AHD ≅，并且△ABE 和△AHD 都是等腰直角三角形，可证//AD BC ，根据DC BC ⊥，可得HDE CDE ∠=∠，根据三角形的内角和可得HDE CDE ∠=∠，即DE 平分∠HDC ，所以①正确； 利用90DAB ABC BCD ∠=∠=∠=，得到四边形ABCD 是矩形，有90ADC ∠=︒，45HDC ∠=︒，由①有DE 平分∠HDC ，得22.5HDO ∠=︒，可得67.5AHB ∠=︒,22.5DHO ∠=，可证OD OH =，利用 AE AD =易证67.5AEB OHE HEO ∠=∠=∠=︒，则有OE OH =，OD OE =，所以②正确；过H 作HJ BC ⊥于J ，并延长HJ 交AD 于点I ，得IJ AD ⊥，I 是AD 的中点，J 是BC 的中点，H 是BF 的中点，所以③正确；根据ABE 是等腰直角三角形，JH JE ⊥，∵J 是BC 的中点，H 是BF 的中点，得到2JH CF =，2JC BC =，JC JE CE =+，易证2BC CF CE −=，所以④正确；利用AAS 证明DHE DCE ∆≅∆，则有DH DC =，22.5HDE CDE ∠=∠=︒，易的22.5DHF ∠=︒，112.5DFH ∠=︒，则DHF△不是直角三角形，并DH HF ≠ ，即有：CD HF ≠，所以⑤不正确；【详解】解：∵Rt △ABE 中，∠B=90°，AB=BE ，∴45BAE BEA ∠=∠=︒又∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转45°，得到△AHD ，∴ABE AHD ≅，并且△ABE 和△AHD 都是等腰直角三角形，∴45EAD ∠=︒，AE AD = ，90AHD ∠=，∴ADE AED ∠=∠∴454590BAD BAE EAD ∠=∠+∠=+=，∴//AD BC ∴ADE DEC ∠=∠，∴AED DEC ∠=∠,又∵DC BC ⊥ ∴90DCE DHE ∠=∠=∴由三角形的内角和可得HDE CDE ∠=∠，即：DE 平分∠HDC ，所以①正确；∵90DAB ABC BCD ∠=∠=∠=∴四边形ABCD 是矩形，∴90ADC ∠=︒∴45HDC ∠=︒，由①有DE 平分∠HDC ，∴114522.522HDO HDC ∠=∠=⨯︒=︒ ∵45BAE ∠=︒，AB AH =∴()()111801804567.522AHB BAE ∠=︒−∠=⨯︒−︒=︒,∴9067.522.5DHO DHE FHE DHE AHB ∠=∠−∠=∠−∠=−=∴OD OH = 在AED △中，AE AD =∴()()111801804567.522AED EAD ∠=︒−∠=⨯︒−︒=︒∴67.5AEB OHE HEO ∠=∠=∠=︒∴OE ∴OD OE =，所以②正确；过H 作HJ BC ⊥于J ，并延长HJ 交AD 于点I ，∵//AD BC ∴IJ AD ⊥又∵AHD 是等腰直角三角形，∴I 是AD 的中点，∵四边形ABCD 是矩形，HJ BC ⊥∴J 是BC 的中点，∴H 是BF 的中点，所以③正确；∵ABE 是等腰直角三角形，JH JE ⊥∴JH JE =又∵J 是BC 的中点，H 是BF 的中点，∴2JH CF =，2JC BC =，JC JE CE =+，∴222222JC JE CE JH CE CF CE BC =+=+=+=即有：2BC CF CE −=，所以④正确；在DHE 和DCE △中，90DHE DCE HDE CDEDE DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DHE DCE AAS ∆≅∆，DH DC ∴=，14522.52HDE CDE ∠=∠=⨯︒=︒，∵OD OH =∴22.5DHF ∠=︒，∴1801804522.5112.5DFH HDF DHF ∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒∴DHF △不是直角三角形，并DH HF ≠ 即有：CD HF ≠，所以⑤不正确；综上所述，正确的有①②③④，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键． 例2．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期中）如图1，将矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ，点B 与点E 对应，点E 恰好落在AD 边上，BH CE ⊥交于点H ．(1)求证：CD BH =；(2)如图2，连接AH 并延长交CD 于点M ，交CG 于点N ，点K 在CD 的延长线上，连接EK ，若45EAH KED ∠+∠=︒，在不添加任何辅助线和字母的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．【答案】(1)见解析(2)AEH △、、CNM 、ECK【分析】（1）根据旋转的性质得出CE BC =，证明()AAS BHC CDE ≌，根据全等三角形的性质即可求解；（2）根据矩形FECG 是由矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到的，直接可得AEH △、ABH 是等腰三角形，设EAH α∠=，根据三角形的外角的性质以及三角形内角和定理，得出,CMN CNM CEK K ∠=∠∠=∠，即可判断CNM 、ECK 是等腰三角形，即可求解．【详解】（1）证明： 矩形FECG 是由矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到的CE BC ∴= 四边形ABCD 是矩形AD BC ∴∥，90D Ð=° DEC BCH ∴∠=∠BH CE ⊥，90BHC \Ð=°BHC D ∴∠=∠，()AAS BHC CDE ∴≌ BH CD ∴=（2）。

专题15 特殊平行四边形中的最值问题（解析版）类型一特殊四边形中求一条线段的最小值1．（2021春•叶集区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处，连接CB′，则CB′的最小值是（ ）A2B2C―3D．1思路引领：由矩形的性质得出∠B＝90°，BC＝AD＝3，由折叠的性质得：AB'＝AB＝2，当A、B'、C三点共线时，CB'的值最小，由勾股定理得出AC=CB'＝AC﹣AB'2．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，BC＝AD＝3，由折叠的性质得：AB'＝AB＝2，当A、B'、C三点共线时，CB'的值最小，此时AC∴CB'＝AC﹣AB'=2；故选：A．总结提升：本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键．类型二特殊四边形中求一条线段的最大值2．（2020•洪山区校级自主招生）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B′始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为　．思路引领：作AH ⊥CD 于H ，由B ，B '关于EF 对称，推出BE ＝EB '，当BE 最小时，AE 最大，根据垂线段最短即可解决问题．解：作AH ⊥CD 于H ，∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴AB ∥CD ，∠D ＝180°﹣∠BAD ＝60°，∵AD ＝AB ＝4，∴AH ＝AD •sin60°＝∵B ，B '关于EF 对称，∴BE ＝B 'E ，∴当BE 最小时，AE 最大，根据垂线段最短可知，当EB '＝AH ＝BE 的值最小，∴AE 的最大值为4﹣故答案为：4﹣总结提升：本题主要考查图形的翻折，熟练掌握菱形的性质，垂线段最短等知识是解题的关键．类型三 特殊四边形中求线段和的最小值3．（2019•红桥区二模）如图，在矩形ABCD 中，E 为BC 的中点，P 为对角线AC 上的一个动点，若AB ＝2，BC ＝PE +PB 的最小值为（ ）A B ．3C ．D ．6思路引领：作E 关于AC 的对称点E '，连接BE '，则PE +PB 的最小值即为BE '的长；由已知可求E 'C =ECE '＝60°；过点E '作E 'G ⊥BC ，在Rt △E 'CG 中，E 'G =32，CG Rt △BE 'G 中，BG =BE '＝3；解：作E 关于AC 的对称点E '，连接BE '，则PE +PB 的最小值即为BE '的长；∵AB ＝2，BC ＝E 为BC 的中点，∴∠ACB ＝30°，∴∠ECE '＝60°，∵EC ＝CE '，∴E 'C 过点E '作E 'G ⊥BC ，在Rt △E 'CG 中，E 'G =32，CG =在Rt △BE 'G 中，BG =∴BE '＝3；∴PE +PB 的最小值为3；故选：B ．总结提升：本题考查矩形的性质，轴对称求最短距离；通过轴对称将PE +PB 转化为线段BE '的长是解题的关键．4．（2018春•铜山区期中）如图，在菱形ABCD 中，AD ＝2，∠ABC ＝120°，E 是BC 的中点，P 为对角线AC 上的一个动点，则PE +PB 的最小值为（ ）A B ．2C ．1D ．5思路引领：连接BD ，DE ，则DE 的长即为PE +PB 的最小值，再根据菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°得出∠BCD 的度数，进而判断出△BCD 是等边三角形，故△CDE 是直角三角形，根据勾股定理即可得出DE 的长．解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是菱形，∴B、D关于直线AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，∵E是BC的中点，∴DE⊥BC，CE=12BC=12×2＝1，∴DE故选：A．总结提升：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知菱形的性质及两点之间线段最短是解答此题的关键．5．（2022秋•龙华区期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC=BD＝2，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PE的最小值为 ．思路引领：由两点之间线段最短，可得当点P在DE上时，PD+PE的值最小，最小值为DE的长，由菱形的性质可得AO＝CO=BO＝DO＝1，AC⊥BD，AB＝AD，由锐角三角函数可求∠ABO＝60°，可证△ABD是等边三角形，由等边三角形的性质可得DE⊥AB，即可求解．解：如图，连接DE，交AC于点P，此时PD+PE的最小值为DE的长，∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝CO =BO ＝DO ＝1，AC ⊥BD ，AB ＝AD ，∴AO BO ∴∠ABO ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∵点E 是AB 的中点，∴DE ⊥AB ，∴DE 2=∴DE总结提升：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，菱形的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，利用锐角三角函数求出∠ABD 的度数是解题的关键．6．（2022秋•桐柏县期末）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，将△ABD 沿射线BD 平移，连接EC 、GC ．求EC +GC 的最小值为 ．思路引领：如图，连接AC 与BD 交于点O ，过点C 作l ∥BD ，点E 关于l 对称的对称点为M ，连接CM ，GM ，EM ，EM 与l 的交点为N ，与BD 交点为P ，则EM ⊥l ，EM ⊥BD ，CE ＝CM ，EN ＝MN ，求出AC ，NP ，GP ，PE ，MN ，PM 的值，当G 、C 、M 三点不共线时，有GC +CM ＞GM ；当G 、C 、M 三点共线时，有GC +CM ＝GM ；有EC +GC ＝GC +CM ≥GM ，可知G 、C 、M 三点共线时，EC +GC 值最小，在Rt △PGM 中，由勾股定理得GM EC +GC ＝GM 可得EC +GC 的最小值．解：如图，连接AC 与BD 交于点O ，过点C 作l ∥BD ，点E 关于l 对称的对称点为M ，连接CM ，GM ，EM ，EM 与l 的交点为N ，与BD 交点为P则EM ⊥l ，EM ⊥BD ，CE ＝CM ，EN ＝MN ，∵AC =AB sin 45°=∴两平行线的距离NP =12AC =∵EM ⊥BD ，∴∠GEP ＝45°，∴GP =PE =EG ×sin 45°=∴EN =EP +NP =∴MN =EN =∴PM =PN +MN =当G 、C 、M 三点不共线时，有GC +CM ＞GM ，当G 、C 、M 三点共线时，有GC +CM ＝GM ，∴EC +GC ＝GC +CM ≥GM ，∴G 、C 、M 三点共线时，EC +GC 值最小，在Rt △PGM 中，由勾股定理得GM =∴EC +GC 的最小值为故答案为：总结提升：本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系，勾股定理，正弦值等知识，对知识的灵活运用是解题的关键．7．（2022•朝阳区二模）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，连接EF ，过点E 作EG ⊥EF 交BC 于点G ．（1）求证：EF ＝GE ；（2）若AB ＝1，则AF +EF +CG 的最小值为 ．思路引领：（1）过点E作EH⊥BC于点H，可证△AEF≌△EGH，结论可得．（2）根据△AEF≌△EGH可得AF＝HG，EF＝EG，则CG+AF＝CH＝1，所以当EG值最小时，AF+EF+CG 值最小．即EG⊥BC时，AF+EF+CG值最小，即可求其值．解：（1）如图，过点E作EH⊥BC于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥BC，∠A＝90°．∴AB＝EH，∠A＝∠EHG＝∠AEH＝90°．∴∠FEH+∠AEF＝90°．∵EG⊥EF，∴∠FEH+∠HEG＝90°．∴∠AEF＝∠HEG．∵AD＝2AB，AD＝2AE，∴AE＝AB．∴AE＝HE且∠AEF＝∠HEG，∠A＝∠EHG∴△AEF≌△HEG．∴EF＝GE．（2）∵在矩形ABCD中，AD＝2AB，AB＝1∴AD＝2，∴AE＝DE＝1∵∠D＝∠C＝90°，EH⊥BC∴DCHE是矩形∴DE＝CH＝1∵△AEF≌△EHG∴AF＝HG，EF＝EG，EH＝AE＝1∴AF+EF+CG＝HG+CG+EG＝CH+EG＝1+EG由两平行线之间垂线段最短，当EG⊥BC时，AF+EF+CG的值最小即EG＝1时，AF+EF+CG的最小值为2总结提升：本题考查的是最短距离问题，全等三角形，矩形的性质，关键是灵活运用各个性质解决问题．类型四特殊四边形中求周长面积的最小值8．（2022•雁塔区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为 ．思路引领：由于四边形APQB的周长可表示为AP+BQ+7，则要使其最小，只要AP+BQ最小即可．在AB 边上截取AM＝PQ，因为点F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点为点C，连接CM，交EF于点Q，则CM即为AP+BQ的最小值．在Rt△BCM中，利用勾股定理可求出MC的值，进而可得出答案．解：∵AB＝5，PQ＝2，∴四边形APQB的周长为AP+PQ+BQ+AB＝AP+BQ+7，则要使四边形APQB的周长最小，只要AP+BQ最小即可．在AB边上截取AM＝PQ，∵点F是BC的中点，∴点B关于EF的对称点为点C，连接CM，交EF于点Q，则CM即为AP+BQ的最小值．在Rt△BCM中，MB＝AB﹣AM＝5﹣2＝3，BC＝4，∴CM==5，∴四边形APQB的周长最小值为5+7＝12．故答案为：12．总结提升：本题考查轴对称﹣最短路线问题、矩形的性质，能够将所求四边形的周长转化为求AP+BQ 的最小值是解题的关键．9．（2022春•姑苏区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F、G、H分别在矩形的各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为（ ）A．B．C．D．思路引领：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，由对称结合矩形的性质可知：E′G′＝AB，GG′＝AD，利用勾股定理即可求出E′G的长度，进而可得出四边形EFGH周长的最小值．解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，EF＝E'F，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示．∵AE＝CG，BE＝BE′，∴E′G′＝AB＝3，∵GG′＝AD＝6，∴E′G=∴C＝2（GF+EF）＝2E′G＝四边形EFGH故选：C．总结提升：本题考查了轴对称中的最短路线问题以及矩形的性质，找出四边形EFGH周长取最小值时点E、F、G之间的位置关系是解题的关键．10．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，2），B（﹣5，5）是第二象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为2，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，则周长的最小值为　．思路引领：根据平行线的性质得到∠BAC＝45°，得到∠C＝90°，求得AC＝BC＝3，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于D′，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+A′B，然后根据勾股定理即可得到结论．解：∵点A（﹣2，2），点C的纵坐标为2，∴AC∥x轴，∴∠BAC＝45°，∵CA＝CB，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠C＝90°，∵B（﹣5，5），∴C（﹣5，2），∴AC＝BC＝3，如图，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于D′，此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+A′B，∵AC＝BC＝3，AA′＝4，∴A′C＝3+4＝7，∴A′B=∴最小周长的值＝AC+BC+A′B＝6故答案为：6总结提升：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．11．（2019春•仙游县期中）菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别是BC，CD上的两个动点，且始终保持∠AEF＝60°（1）试判断△AEF的形状并说明理由；（2）若菱形的边长为2，求△ECF周长的最小值．思路引领：（1）先根据四边形ABCD是菱形判断出△ABC的形状，在AB上截取BG＝BE，则△BGE是等边三角形．再由ASA定理得出△AGE≌△ECF，故可得出AE＝AF，由此可得出结论；（2）根据垂线段最短可知当AE⊥BC时△ECF周长最小，由直角三角形的性质求出CE的长，故可得出结论．解：（1）△AEF是等边三角形，理由是：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC．∵∠B＝60°．∴△ABC是等边三角形，在AB上截取BG＝BE，则△BGE是等边三角形∴AG＝AB﹣BG＝BC﹣BE＝EC，∵∠AEC＝∠BAE+∠B＝∠AEF+∠FEC，又因为∠B＝∠AEF＝60°∴∠BAE＝∠CEF．在△AGE与△ECF中，∠AGE=∠ECF=120°AG=EC．∠GAE=∠CEF∴△AGE≌△ECF（ASA），∴AE＝AF．∵∠AEF＝60°，∴△AEF是等边三角形．（2）由（1）知△AEF是等边三角形，△AGE≌△ECF∴CF＝GE＝BE，CF+EC＝BC＝2（定值）∵垂线段最短，∴当AE⊥BC时，AE＝EF最小，此时△ECF周长最小、∵BC＝2，∠B＝60°，∴AE=∴△ECF周长的最小值＝2+总结提升：本题考查的是菱形的性质，熟知四条边都相等的平行四边形是菱形是解答此题的关键．。

第15讲 立体几何折叠问题1．如图，矩形ABCD 中，24AD AB ==，E 为BC 的中点，现将BAE ∆与DCE ∆折起，使得平面BAE 及平面DEC 都与平面ADE 垂直．（1）求证：//BC 平面ADE ； （2）求二面角A BE C --的余弦值．【解答】解：（1）证明：分别取AE ，DE 的中点M ，N ，连结BM ，CN ，MN ， 则BM AE ⊥，CN DE ⊥，平面BAE 与平面DEC 都与平面ADE 垂直， BM ∴⊥平面ADE ，CN ⊥平面ADE ，由线面垂直的性质定理得//BM CN ，BM CN =，∴四边形BCNM 是平行四边形，//BC MN ∴， BC ⊂/平面ADE ，//BC ∴平面ADE ．（2）解：如图，以E 为原点，ED ，EA 为x ，y 正半轴，过E 作平面ADE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B ，C ，平面ABE 的法向量(1n =，0，0)， 设平面CBE 的法向量(m x =，y ，)z ，则2020EB m y EC m x ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩，取1x =，得(1m =，1，1)-， 设二面角A BE C --的平面角为θ，由图知θ为钝角，||1cos ||||3m n m n θ∴=-=-=∴二面角A BE C --的余弦值为．2．如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，且24BC AD ==，E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点，沿EF 把AEFD 折起，使AE CF ⊥，得到如下的立体图形． （1）证明：平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）若BD EC ⊥，求二面角F BD C --的余弦值．【解答】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥， E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点， //EF AD ∴，AE EF ∴⊥，又AE CF ⊥，且EF CF F =，AE ∴⊥平面EBCF ， AE ⊂平面AEFD ，∴平面AEFD ⊥平面EBCF ．（2）解：由（1）可得EA ，EB ，EF 两两垂直， 故以E 为原点建立空间直角坐标系，（如图）设AE m =，则(0E ，0，0)，(0A ，0，)m ，(B m ，0，0)， (0F ，3，0)，(C m ，4，0)，(0D ，2，)m ，∴(BD m =-，2，)m ，(,4,0)EC m =，DB EC ⊥，280m ∴-+=，22m ∴=∴(22BD =-，2，2)，(22,3,0)FB =-，(0,4,0)CB =-，设面DBF 的法向量为(,,)m x y z =，则00m BD m FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222202230x y z x y ⎧-++=⎪⎨-=⎪⎩，令4y =可得：(32m =，42)， 同理可得平面CDB 的法向量为(1,0,1)n =， 422cos ,||||362m n m n m n ⋅∴<>===⨯．由图形可知二面角F BD C --为锐角，∴二面角F BD C --的余弦值为23．3．如图1，在平行四边形11ABB A 中，160ABB ∠=︒，4AB =，12AA =，C 、1C 分别为AB 、11A B 的中点，现把平行四边形111ABB A 沿1CC 折起如图2所示，连接1B C 、1B A 、11B A ． （1）求证：11AB CC ⊥；（2）若16AB =11C AB A --的正弦值．【解答】证明：（1）取1CC 的中点O ，连接OA ，1OB ，1AC ，在平行四边形11ABB A 中，160ABB ∠=︒，4AB =，12AA =，C 、1C 分别为AB 、11A B 的中点， 1ACC ∴∆，1BCC ∆为正三角形，则1AO CC ⊥，11OB CC ⊥，又1AOOB O =，1CC ∴⊥平面1OAB ，1AB ⊂平面1OAB 11AB CC ∴⊥；4⋯分（2）160ABB ∠=︒，4AB =，12AA =，C 、1C 分别为AB 、11A B 的中点，2AC ∴=，13OA OB ==16AB =22211OA OB AB +=，则三角形1AOB 为直角三角形，则1AO OB ⊥，6⋯分以O 为原点，以OC ，1OB ，OA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(1C ，0，0)，1(0B ，30)，1(1C -，0，0)，(0A ，0，3)，则1(2,0,0)CC =- 则11(2,0,0)AA CC ==-，1(0AB =33)-，(1AC =，0，3)-， 设平面1AB C 的法向量为(,,)n x y z =，则133030n AB y z n AC x z ⎧==⎪⎨==⎪⎩，令1z =，则1y =，3x =(3,1,1)n =， 设平面11A B A 的法向量为(,,)m x y z =，则1120330m AA x m AB y z ⎧=-=⎪⎨==⎪⎩，令1z =，则0x =，1y =，即(0,1,1)m =，8⋯分则10cos ,105m n <>=分 ∴二面角11C AB A --15．12⋯分．4．如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，,3,15,33BE AD BC AD BE ⊥===把ABE ∆沿BE 折起，使得62AC =得到四棱锥A BCDE -．如图2所示． （1）求证：面ACE ⊥面ABD ；（2）求平面ABE 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值． 【解答】证明：（1）在等腰梯形ABCD 中3BC =，15AD =，BE AD ⊥，可知6AE =，9DE =．因为3,33,BC BE BE AD ==⊥，可得6CE =．又因为6,62AE AC ==，即222AC CE AE =+，则AE EC ⊥．又BE AE ⊥，BEEC E =，可得AE ⊥面BCDE ，故AE BD ⊥．又因为tan 333DE DBE BE ∠===， 则60DBE ∠=︒，3tan 33BC BEC BE ∠===，则30BEC ∠=︒， 所以CE BD ⊥，又AE EC E =，所以BD ⊥面ACE ，又BD ⊂面ABD ，所以面ABD ⊥面ACE ；解：（2）设ECBD O =，过点O 作//OF AE 交AC 于点F ，以点O 为原点，以OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O BCF -． 在BCE ∆中，30BEO ∠=︒，BO EO ⊥，∴9333,,22EO CO BO ===2339((0,,0),(0,,0)22B C E -，1//,,62FO AE FO AE AE ==，3FO ∴=，则9(0,0,3),(0,,6)2F A -，//DE BC ，9DE =，∴3ED BC =，∴93(D ，∴339933(,,0),(0,0,6),(0,6,6),(,0)2222BE AE CA CD ===-=--，设平面ABE 的法向量为1111(,,)n x y z =，由1111160339022n AE z n BE y ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩，取13x =ABE 的法向量为1(3,1,0)n =-， 设平面ACD 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，由222222660933022n CA y z n CD y ⎧=-+=⎪⎨=--=⎪⎩， 取21x =，可得平面ABE 的一个法向量为2(1n =，33-，33)-．设平面ABE 与平面ACD所成锐二面角为θ，则1212||432165cos ||||255n n n n θ===，所以平面ABE 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值为21655．如图1，菱形ABCD 的边长为12，60BAD ∠=︒，AC 与BD 交于O 点．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -，点M 是棱BC 的中点，62DM = （Ⅰ）求证：平面ODM ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角M AD C --的余弦值．【解答】（本小题满分12分） 证明：（Ⅰ）ABCD 是菱形， AD DC ∴=，OD AC ⊥，ADC ∆中，12AD DC ==，120ADC ∠=︒， 6OD ∴=，又M 是BC 中点，∴16,622OM AB MD === 222OD OM MD +=，DO OM ∴⊥，OM ，AC ⊂面ABC ，OM AC O =，OD ∴⊥面ABC ，又OD ⊂平面ODM ，∴平面ODM ⊥平面ABC ．⋯（6分） 解：（Ⅱ）由题意，OD OC ⊥，OB OC ⊥，又由（Ⅰ）知OB OD ⊥，建立如图所示空间直角坐标系，由条件知：(6,0,0),(0,63,0),(0,33,3)D A M - 故(0,93,3),(6,63,0)AM AD ==， 设平面MAD 的法向量(,,)m x y z =，则00m AM m AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即93306630y z x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令3y =-3x =，9z = ∴(3,3,9)m =-由条件知OB ⊥平面ACD ，故取平面ACD 的法向量为(0,0,1)n = 所以，393cos ,||||31m n m n m n 〈〉==由图知二面角M AD C --为锐二面角， 故二面角M AD C --393（12分）6．如图1，已知在菱形ABCD 中，120B ∠=︒，E 为AB 的中点，现将四边形EBCD 沿DE 折起至EBHD ，如图2．（1）求证：DE ⊥面ABE ；（2）若二面角A DE H --的大小为23π，求平面ABH 与平面ADE 所成锐二面角的余弦值． 【解答】（1）证明：四边形ABCD 为菱形，且120B ∠=︒， ABD ∴∆为正三角形， E 为AB 的中点，DE AE ∴⊥，DE BE ⊥， DE ∴⊥面ABE ；（2）解：以点E 为坐标原点，分别以线段ED ，EA 所在直线为x ，y 轴，再以过点E 且垂直于平面ADE 且向上的直线为z 轴，建立空间直角坐标系如图所示．DE ⊥面ABE ，AEB ∴∠为二面角A DE H --的一个平面角，则23AEB π∠=， 设1AE =，则(0E ，0，0)，(0A ，1，0)，(0B ，12-3)，(3D 0，0)，由2DH EB =，得(3,3)H -，∴33(0,2AB =-，(3,3)AH =-， 设平面ABH 的法向量为(,,)n x y z =，则33023230n AB y n AH x y z ⎧=-+=⎪⎨⎪=-=⎩，令3y =，得(1,3,3)n =-．而平面ADE 的一个法向量为(0,0,1)m =，设平面ABH 与平面ADE 所成锐二面角的大小为θ，则313313cos |||||||13n m n m θ===． ∴平面ABH 与平面ADE 313．7．如图1，四边形ABCD 中AC BD ⊥，2222CE AE BE DE ====，将四边形ABCD 沿着BD 折叠，得到图2所示的三棱锥A BCD -，其中AB CD ⊥． （Ⅰ）证明：平面ACD ⊥平面BAD ；（Ⅱ）若F 为CD 中点，求二面角C AB F --的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）AE BD ⊥，且BE DE =，ABD ∴∆是等腰直角三角形，AB AD ∴⊥，又AB CD ⊥，且AD ，CD ⊂平面ACD ，ADCD D =，AB ∴⊥平面ACD ，又AB ⊂平面BAD ，∴平面ACD ⊥平面BAD ． 解：（Ⅱ）以E 为原点，EC 为x 轴，ED 为y 轴，过E 作平面BDC 的垂直为z 轴，建立空间直角坐标系，过A 作平面BCD 的垂线，垂足为G ，根据对称性，G 点在x 轴上，设AG h =，由题设知： (0E ，0，0)，(2C ，0，0)，(0B ，1-，0)，(0D ，1，0)， 2(1A h -0，)h ，(1F ，12，0)，2(1BA h =-1，)h ，(2DC =，1-，0)，AB CD ⊥，∴22110BA DC h =-=，解得3h =，13(2A ∴． 13(2BA =，(1BF =，32，0)，设平面ABF 的法向量(a μ=，b ，)c ，则1302302BA a b BF a b μμ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩， 令9a =，得(9μ=，6-，3)，AD AB ⊥，AD AC ⊥，2(1DA ∴=，2-3)是平面ABC 的一个法向量，cos μ∴<，(2)91231525|||2|1208DA DA DA μμ++>===，二面角C AB F --是锐角，∴二面角C AB F --的余弦15．8．如图1，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，BD DC ⊥，点E 是BC 边的中点，将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，得到如图2所示的几何体． （Ⅰ）求证：AB ⊥平面ADC ；（Ⅱ）若1AD =，二面角C AB D --6，求二面角B AD E --的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，又BD DC ⊥，所以DC ⊥平面ABD ．⋯（1分）因为AB ⊂平面ABD ，所以DC AB ⊥．⋯（2分） 又因为折叠前后均有AD AB ⊥，DCAD D =，⋯（3分）所以AB ⊥平面ADC ．⋯（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB ⊥平面ADC ，所以二面角C AB D --的平面角为CAD ∠．⋯（5分） 又DC ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以DC AD ⊥．依题意tan 6CDCAD AD∠==．⋯（6分） 因为1AD =，所以6CD =(0)AB x x =>，则21BD x =+ 依题意~ABD BDC ∆∆，所以AB CDAD BD=，即2611x x =+⋯（7分）解得2x ，故222,3,3AB BD BC BD CD ===+．⋯（8分）如图所示，建立空间直角坐标系D xyz -，则(0D ，0，0)，(3,0,0)B ，6,0)C ，36(E ，36(A ，所以36(2DE =，36(3DA =．由（Ⅰ）知平面BAD 的法向量(0,1,0)n =．⋯（9分）设平面ADE 的法向量(,,)m x y z =由0,0m DE m DA ⋅=⋅=得360360.y == 令6x =，得3,3y z =-=，所以(6,3,3)m =-．⋯（10分）所以1cos ,||||2n m n m n m ⋅<>==-⋅．⋯（11分）由图可知二面角B AD E --的平面角为锐角，所以二面角B AD E --的余弦值为12．⋯（12分） 9．如图所示，在平行四边形ABCD 中，4AB =，BC =45ABC ∠=︒，点E 是CD 边的中点，将DAE ∆沿AEE 折起，使点D 到达点P 的位置，且PB =（1）求证：平面PAE ⊥平面ABCE ；（2）若平面PAE 和平面PBC 的交线为l ，求二面角B lE --的余弦值．【解答】（1）证明：连接BE ，在平行四边形ABCD 中，2DE =，AD =45ADC ∠=︒，2AE∴=AE DE ∴⊥，即AE PE ⊥，且AE BA ⊥．在Rt BEA ∆中，得BE ==．又2PE =，PB =222PE BE PB ∴+=，即PE BE ⊥．又AE ⊂平面ABCE ，BE ⊂平面ABCE ，且AE BE E =，PE ∴⊥平面ABCE ．又PE ⊂平面PAE ，∴平面PAE ⊥平面ABCE ； （2）解：由（1）得PE ，AE ，CE 两两垂直，故以E 为原点，EC ，EA ，EP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 则(0A ，2-，0)，(2C ，0，0)，(0P ，0，2)，(4B ，2-，0)．∴(2,0,2)PC =-，(2,2,0)BC =-可知1(1,0,0)n =是平面PAE 的一个法向量，设平面PBC 的一个法向量为2(,,)n x y z =．由22220220n PC x z n BC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1z =，得2(1,1,1)n =．1212123cos,3||||n n n n n n ⋅∴<>==⋅．10．已知长方形ABCD 中，1AB =，2AD ，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC a =，得到一个四面体A BCD -，如图所示．（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD ，AD 与BC 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 值；若不垂直，请说明理由．（2）当四面体A BCD -体积最大时，求二面角A CD B --的余弦值．【解答】解：（1）若AB CD ⊥，由AB AD ⊥，ADCD D =，得AB ⊥面ACD ，AB AC ∴⊥，222AB a BC ∴+=，即212a +=，解得1a =， 若AD BC ⊥，由AB AD ⊥，ABBC B =，得AD ⊥平面ABC ，AD AC ∴⊥，222AD a CD ∴+=，即221a +=，解得21a =-，不成立，AD BC ∴⊥不成立．（2）四面体A BCD -体积最大，BCD ∆2，∴只需三棱锥A BCD -的高最大即可，此时面ABD ⊥面BCD ，以A 为原点，在平面ACD 中过O 作BD 的垂线为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0A ，06)，63(,C ，0)，(0D 23，0)， 面BCD 的法向量为(0OA =，06， 面ACD 的法向量(n x =，y ，)z ，63(3CD =-，236(0,)DA =，则630323603n CD x y n DA y ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，取2y =，得(1,2,2)n =， 设二面角A CD B --的平面角为θ，则26||273cos |cos ,|||||673n OA n OA n OA θ=<>===， ∴二面角A CD B --2711．如图，在长方形ABCD 中，AB π=，2AD =，E 、F 为线段AB 的三等分点，G 、H 为线段DC 的三等分点．将长方形ABCD 卷成以AD 为母线的圆柱W 的半个侧面，AB 、CD 分别为圆柱W 上、下底面的直径．（1）证明：平面ADHF ⊥平面BCHF ；（2）求二面角A BH D --的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（1）因为H 在下底面圆周上，且CD 为下底面半圆的直径， 所以DH HC ⊥，又因为DH FH ⊥，且CH FH H =，所以DH ⊥平面BCHF ， 又因为DH ⊂平面ADHF ，所以平面ADHF ⊥平面BCHF ． 解：（2）以H 为坐标原点，分别以HD 、HC 、HF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -， 设下底面半径为r ，由题r ππ=，所以1r =，2CD =因为G 、H 为DC 的三等分点所以30HDC ∠=︒， 所以在Rt DHC ∆中，3,1HD HC ==所以(3,0,2)A ，(0B ，1，2)，(3,0,0)D ， 设平面ABH 的法向量(,,)n x y z=，因为(,,)(3,0,2)0n HA x y z ==， (,,)(0,1,2)0n HB x y z ==，所以2020z y z +=+=⎪⎩，所以平面ABH 的法向量(2,n =--， 设平面BHD 的法向量(,,)m x y z =， 因为(,,)(3,0,0)0m HD x y z ==，(,,)(0,1,2)0m HB x y z ==所以020x y z =⎧⎨+=⎩，所以平面BHD 的法向量(0,2,1)m =-． 所以二面角A BH D --的余弦值为285cos ||||||19m n m n θ==． 12．在菱形ABCD 中，2AB =且60ABC ∠=︒，点M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点，将四边形ANMC 沿着AC 转动，使得EF 与MN 重合，形成如图所示多面体，分别取BF ，DE 的中点P ，Q ．（1）求证：//PQ 平面ABCD ；（2）若平面AFEC ⊥平面ABCD ，求多面体ABCDFE 的体积．【解答】解：（1）证明：取BE 中点R ，连接PR ，QR ，BD ，由P ，Q 分别是BF ，DE 的中点， //PR EF ∴，//QR BD ，又//EF AC ，//PR ∴平面ABCD ，//QR 平面ABCD ，又PRQR R =， ∴平面//PQR 平面ABCD ，又PQ ⊂平面PQR ， //PQ ∴平面ABCD ．（2）解：连接AC ，设AC ，BD 交于点O ，BD AC ∴⊥，又平面AFEC ⊥平面ABCD ，平面AFEC ⋂平面ABCD AC =， BD ∴⊥平面AFEC ．∴多面体ABCDFE 可以分解为四棱锥B ACEF -和四棱锥D ACEF -，菱形ABCD 中，2AB =且60ABC ∠=︒知：2AC =，BD =12AC EF ==， 设梯形EFAC 的面积为133()244EFAC BD S EF AC =+=， ∴多面体ABCDFE 的体积为1332ABCDFE EFAC V S BD ==．13．已知等腰直角△S AB '，4S A AB '==，S A AB '⊥，C ，D 分别为S B '，S A '的中点，将△S CD '沿CD 折到SCD ∆的位置，22SA =，取线段SB 的中点为E ．()I 求证：//CE 平面SAD ； （Ⅱ）求二面角A EC B --的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取SA 中点F ，连接DF ，EF ，SE EB =，SF FA =，//EF AB ∴，12EF AB =， 又//CD AB ，12CD AB =， CD EF ∴=，//CD EF ，∴四边形CDEF 为平行四边形，则//CE FD ．CE ⊂/平面SAD ，FD ⊂平面SAD ，//CE ∴平面SAD ；（Ⅱ）解：面SCD ⊥面ABCD ，面SCD ⋂面ABCD CD =，SD CD ⊥，SD ⊂面SCD ，SD ∴⊥面ABCD ， AD ，CD ⊂面ABCD ，SD AD ∴⊥，SD CD ⊥．又AD DC ⊥，DA ∴，DC ，DS 两两互相垂直，如图所示，分别以DA ，DC ，DS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -． 则(2A ，0，0)，(0C ，2，0)，(0S ，0，2)，(2B ，4，0)，(1E ，2，1)， (1,0,1)CE =，(2,2,0)CA =-，(2,2,0)CB =， 设平面ECA ，平面ECB 的法向量分别为111(,,)m x y z =，222(,,)n x y z =， 则11110220m CE x z m CA x y ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩，取11y =，可得(1,1,1)m =-； 22220220n CE x y n CB x y ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取21y =-，得(1,1,1)n =--． 111cos ,||||33m n m n m n -+∴<>===⨯． ∴二面角A EC B --的平面角的余弦值为13-．。