初三数学-平行四边形经典例题讲解(3套)

初中数学数学平行四边形试题及解析一、选择题1．如图，已知平行四边形ABCD ，6AB =，9BC =，120A ∠=︒，点P 是边AB 上一动点，作PE BC ⊥于点E ，作120EPF ∠=︒（PF 在PE 右边）且始终保持33PE PF +=，连接CF 、DF ，设m CF DF =+，则m 满足（ ）A ．313m ≥B ．63m ≥C ．313937m <+≤D ．3337379m +<<+2．如图，点O （0，0），B （0，1）是正方形OBB 1C 的两个顶点，以它的对角线OB 1为一边作正方形OB 1B 2C 1，以正方形OB 1B 2C 1的对角线OB 2为一边作正方形OB 2B 3C 2，再以正方形OB 2B 3C 2的对角线OB 3为一边作正方形OB 3B 4C 3，…，依次进行下去，则点B 6的坐标是（ ）A ．(42,0)B ．(42,0)-C ．(8,0)-D ．(0,8)-3．如图，正方形ABCD 内有两条相交线段MN ，EF ，M ，N ，E ，F 分别在边AB ，CD ，AD ，BC 上．小明认为：若MN ＝EF ，则MN ⊥EF ；小亮认为：若MN ⊥EF ，则MN ＝EF ，你认为( )A ．仅小明对B ．仅小亮对C ．两人都对D ．两人都不对4．如图，在ABC 中，BD ，CE 是ABC 的中线，BD 与CE 相交于点O ，点F G ，分别是，BO CO 的中点，连接AO ，若要使得四边形DEFG 是正方形，则需要满足条件（ ）A ．AO BC =B ．AB AC ⊥ C ．AB AC =且AB AC ⊥D ．AO BC =且AO BC ⊥5．如图，直角梯形ABCD 中AD ∥BC ，∠D ＝90°．∠A 的平分线交DC 于E ，EF ⊥AB 于F ．已知AD ＝3.5cm ，DC ＝4cm ，BC ＝6.5cm ．那么四边形BCEF 的周长是（ ）A ．10cmB ．11cmC ．11.5cmD ．12cm6．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AD ＝12AC ，M 、N 、P 分别是OA 、OB 、CD 的中点，下列结论：①CN ⊥BD ；②MN ＝NP ；③四边形MNCP 是菱形；④ND 平分∠PNM ．其中正确的有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个7．已知，如图，在菱形ABCD 中．（1）分别以C ，D 为圆心，大于12CD 长为半径作弧，两弧分别交于点E ，F ；（2）作直线EF ，且直线EF 恰好经过点A ，且与边CD 交于点M ；（3）连接BM ．根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误．．的是（ ）A ．∠ABC =60°B ．如果AB =2，那么BM =4C ．BC =2CMD ．2ABM ADM S S △△8．如图，△A 1B 1C 1中，A 1B 1＝4，A 1C 1＝5，B 1C 1＝7．点A 2、B 2、C 2分别是边B 1C 1、A 1C 1、A 1B 1的中点；点A 3、B 3、C 3分别是边B 2C 2、A 2C 2、A 2B 2的中点；……；以此类推，则第2019个三角形的周长是（ ）A ．201412B ．201512 C ．201612 D ．2017129．如图，正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的长为（ ）A ．2.8B ．22C ．2.4D ．3.510．如图，△ABC 中，AB ＝24，BC ＝26，CA ＝14．顺次连接△ABC 各边中点，得到△A 1B 1C 1；再顺次连接△A 1B 1C 1各边中点，得到△A 2B 2C 2…如此进行下去，得到n n n A B C ，则△A 8B 8C 8的周长为（ ）A ．1B ．12C ．14D ．18二、填空题11．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D 是BC 边上一点且CD=1，点P 是线段DB 上一动点，连接AP ，以AP 为斜边在AP 的下方作等腰Rt △AOP ．当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长为_____．12．如图，∠MAN=90°，点C 在边AM 上，AC=4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A′BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，连接DE 并延长交A′B 所在直线于点F ，连接A′E ．当△A′EF 为直角三角形时，AB 的长为_____．13．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为边CD 的中点，点P 在线段AB 上运动，F 是CP 的中点，则CEF ∆的周长的最小值是____________．14．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．15．如图，菱形ABCD 的BC 边在x 轴上，顶点C 坐标为(3,0)-，顶点D 坐标为(0,4)，点E 在y 轴上，线段//EF x 轴，且点F 坐标为(8,6)，若菱形ABCD 沿x 轴左右运动，连接AE 、DF ，则运动过程中，四边形ADFE 周长的最小值是_______．16．已知在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC ==点P 在直线BC 上，点Q 在直线CD 上，且,AP PQ ⊥当AP PQ =时，AP =________________．17．如图，在矩形ABCD 中，16AB =，18BC =，点E 在边AB 上，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF △沿EF 折叠，点B 落在点B '处．若3AE =，当CDB '是以DB '为腰的等腰三角形时，线段DB '的长为__________．18．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，19．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若点D 是斜边AB 的中点，则CD ＝12AB ，运用：如图2，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED 连接BE ，CE ，DE ，则CE 的长为_____．20．李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D落在AB边的点F处，得折痕AE，再折叠，使点C落在AE边的点G处，此时折痕恰好经过点B，如果AD=a，那么AB长是多少？”常明说；“简单，我会. AB应该是_____”.常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，折痕不经过点B，而是经过了AB边上的M点，如果AD=a，测得EC=3BM，那么AB长是多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=_____.三、解答题21．如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°．动点E、F分别从点B、D同时出发，都以0.5cm/s的速度向点A、C运动，连接AF、CE，分别取AF、CE的中点G、H．设运动的时间为ts （0＜t＜4）．（1）求证：AF∥CE；（2）当t为何值时，△ADF的面积为32cm2；（3）连接GE、FH．当t为何值时，四边形EHFG为菱形．22．在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于点F（如图1和图2），然后展开铺平，连接BE，EF．（1）操作发现：①在矩形ABCD中，任意折叠所得的△BEF是一个三角形；②当折痕经过点A时，BE与AE的数量关系为．（2）深入探究：在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝23．①当△BEF 是等边三角形时，求出BF 的长；②△BEF 的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF 的长；若不存在，请说明理由．23．（1）如图①，在正方形ABCD 中，AEF ∆的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求EAF ∠的度数；（2）如图②，在Rt ABD ∆中，90,BAD AD AB ︒∠==，点M ，N 是BD 边上的任意两点，且45MAN ︒∠=，将ABM ∆绕点A 逆时针旋转90度至ADH ∆位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由；（3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为12，GF=6，BM= 32，求EG ，MN 的长．24．如图，在Rt ABC ∆中，90,40,60B AC cm A ∠=︒=∠=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以4/cm 秒的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2/cm 秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个地点也随之停止运动.设点,D E 运动的时间是t 秒（010t <≤）.过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接,DE EF .（1）试问四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；（2）当t 为何值时，90FDE ∠=︒？请说明理由.25．如图所示，四边形ABCD 是正方形， M 是AB 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动(点E 不与点A B 、重合)，另一直角边与CBM∠的平分线BF相交于点F．(1)求证: ADE FEM∠=∠;(2)如图(1)，当点E在AB边的中点位置时，猜想DE与EF的数量关系，并证明你的猜想;(3)如图(2)，当点E在AB边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．26．如图平行四边形ABCD，E，F分别是AD，BC上的点，且AE＝CF，EF与AC交于点O．（1）如图①．求证：OE＝OF；（2）如图②，将平行四边形ABCD（纸片沿直线EF折叠，点A落在A1处，点B落在点B1处，设FB交CD于点G．A1B分别交CD，DE于点H，P．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP相等，并加以证明；（3）如图③，若△ABO是等边三角形，AB＝4，点F在BC边上，且BF＝4．则CF OF＝（直接填结果）．27．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，∠A的角平分线交边CD于点E．点P从点A出发沿射线AE以每秒2个单位长度的速度运动，Q为AP的中点，过点Q作QH⊥AB于点H，在射线AE的下方作平行四边形PQHM（点M在点H的右侧），设P点运动时间为t秒．（1）直接写出AQH 的面积（用含t 的代数式表示）．（2）当点M 落在BC 边上时，求t 的值．（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的t 的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）．28．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使AE AD =，EAD BAC ∠=∠．（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系；②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．29．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，连接AC ，点P 、E 分别在AB 、CD 上，连接PE ，PE 与AC 交于点F ，连接PC ，D ∠=BAC ∠，DAE AEP ∠=∠． （1）判断四边形PBCE 的形状，并说明理由；（2）求证：CP AE =；（3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么特殊四边形？请说明理由．30．已知：如图，在ABC 中，直线PQ 垂直平分AC ，与边AB 交于点E ，连接CE ，过点C 作//CF BA 交PQ 于点F ，连接AF ．(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若8AC =，AE=5，则求菱形AECF 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】设PE=x ，则PB=233x ，PF=33x ，AP=6-233x ，由此先判断出AF PF ⊥，然后可分析出当点P 与点B 重合时，CF+DF 最小；当点P 与点A 重合时，CF+DF 最大.从而求出m 的取值范围.【详解】如上图：设PE=x ，则PB=33x ，3，AP=6-33x ∵0030,120BPE EPF ∠=∠=∴030APE ∠=由AP 、PF 的数量关系可知AF PF ⊥，060PAF ∠=如上图，作060BAM ∠=交BC 于M ，所以点F 在AM 上.当点P 与点B 重合时，CF+DF 最小.此时可求得33,37CF DF ==如上图，当点P 与点A 重合时，CF+DF 最大.此时可求得37,9CF DF == ∴3337379m +<<故选：D【点睛】此题考查几何图形动点问题，判断出AF PF ⊥，然后可分析出当点P 与点B 重合时，CF+DF 最小；当点P 与点A 重合时，CF+DF 最大是解题关键.2．C解析：C【解析】【分析】根据已知条件如图可得到B 12 ，B 2所在的正方形的对角线长为2(2),B 3所在的正方形的对角线长为3(2),依据规律可得B 6所在的正方形的对角线长为62)=8，再根据B 6在x 轴的负半轴，就可得到B 6的坐标。

中考数学平行四边形(讲义及答案)附解析一、解答题1．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC =，D 是斜边BC 的中点，,E F 分别是,AB AC 边上的点，且DE DF ⊥，若12BE =，5CF =，求线段EF 的长．2．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为 ． （2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的中点，点M 是射线PF 上的一个动点，当OMB △为直角三角形时，求OM 的长．3．综合与探究（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．CE 和CF 之间有怎样的关系．请说明理由．（2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果45GCE ∠=︒，请你利用（1）的结论证明：GE BE CD =+．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3在直角梯形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90B ∠=︒，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且45DCE ∠=︒，4BE =，求DE 的长．4．在正方形ABCD 中，点E 是CD 边上任意一点，连接,AE 过点B 作BF AE ⊥于F ，交AD 于H .()1如图1，过点D 作DG AE ⊥于G .求证:BF DG FG -=；()2如图2，点E 为CD 的中点，连接DF ，试判断,,DF FH EF 存在什么数量关系并说明理由；()3如图3，1AB =，连接EH ，点Р为EH 的中点，在点E 从点D 运动到点C 的过程中，点Р随之运动，请直接写出点Р运动的路径长.5．矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．点E ，F 在对角线AC 上，点M ，N 分别在边AD ，BC 上． （1）如图1，若AE =CF =1，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求证：四边形EMFN 为矩形． （2）如图2，若AE =CF =0.5，02AM CN x x ==<<（），且四边形EMFN 为矩形，求x 的值．6．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B ，C ，G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上．连结AF ，若M 为AF 的中点，连结DM ，ME ，试猜想DM 与ME 的数量关系，并证明你的结论．拓展与延伸：(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为__________________；(2)如图②摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]①②7．如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC 上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．（1）求证：BP＝CQ；（2）若BP＝13PC，求AN的长；（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．8．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm。

中考数学平行四边形(讲义及答案)含答案一、解答题1．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由； （2）当D 为AB 中点时，A ∠等于 度时，四边形BECD 是正方形．2．在等边三角形ABC 中，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 的上方作菱形ADEF ，且∠DAF=60°，连接CF ．（1）（观察猜想）如图（1），当点D 在线段CB 上时，①BCF ∠= ；②,,BC CD CF 之间数量关系为 ．（2）（数学思考）：如图（2），当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．（3）（拓展应用）：如图（3），当点D 在线段BC 的延长线上时，若6AB =，13CD BC =，请直接写出CF 的长及菱形ADEF 的面积．．3．如图，点E 为▱ABCD 的边AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF ＝BE ，连接EC 并延长，使CG ＝CE ，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ，AF ．（1）若∠BAE ＝70°，∠DCE ＝20°，求∠DEC 的度数；（2）求证：四边形AFHD 为平行四边形；（3）连接EH ，交BC 于点O ，若OC ＝OH ，求证：EF ⊥EG ．4．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，EF 垂直平分BD ，分别交AB ，BC ，BD 于点E ，F ，G ，连接DE ，DF ．（1）求证：四边形BEDF 是菱形；（2）若15BDE ∠=︒，45C ∠=︒，2DE =，求CF 的长；（3）在（2）的条件下，求四边形BEDF 的面积．5．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．（1）求证：GF GC =；（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．6．已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α（090α︒<<︒），得到线段CE ，联结BE 、CE 、DE . 过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F ．（1）如图，当BE =CE 时，求旋转角α的度数；（2）当旋转角α的大小发生变化时，BEF ∠的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出BEF ∠的度数；（3）联结AF ，求证：2DE =．7．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAD 的平分线，则线段AB ，AD ，DC 之间的等量关系为 ；（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAF 的平分线，试探究线段AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论；（3）联想拓展：如图③，AB ∥CF ，E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，∠EDF ＝∠BAE ，试探究线段AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．8．问题背景若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点． 如图1，四边形ABCD 中，BC 是一条对角线，AB AC =，DB DC =，则点A 与点D 关于BC 互为顶针点；若再满足180A D +=︒∠∠，则点A 与点D 关于BC 互为勾股顶针点．初步思考(1)如图2，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠=︒，D 、E 为ABC 外两点，EB EC =，45EBC ∠=︒，DBC △为等边三角形．①点A 与点______关于BC 互为顶针点；②点D 与点______关于BC 互为勾股顶针点，并说明理由．实践操作(2)在长方形ABCD 中，8AB =，10AD =．①如图3，点E 在AB 边上，点F 在AD 边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E 、F ，使得点E 与点C 关于BF 互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹)思维探究②如图4，点E 是直线AB 上的动点，点P 是平面内一点，点E 与点C 关于BP 互为勾股顶针点，直线CP 与直线AD 交于点F ．在点E 运动过程中，线段BE 与线段AF 的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE 的长；若不相等，请说明理由．9．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC 的外部作等腰Rt CED ，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；②若25AB =，2CE =，在图②的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．10．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点F 在DC 的延长线上，点E 在AD 上，且有12CBE ABF ∠=∠．（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=︒，求证：BE BF =；（2）如图2，当32b a =时， ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________； ②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=；③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ∆矩形的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）四边形BECD 是菱形，理由见解析；（2）45︒【分析】（1）先证明//AC DE ，得出四边形BECD 是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD BD =，得出四边形BECD 是菱形；（2）先求出45ABC ∠=︒，再根据菱形的性质求出90DBE ∠=︒，即可证出结论．【详解】解：当点D 是AB 的中点时，四边形BECD 是菱形；理由如下：∵DE BC ⊥，90DFE ∴∠=︒，∵90ACB ∠=︒，ACB DFB ∴∠=∠，//AC DE ∴，∵//MN AB ，即//CE AD ，∴四边形ADEC 是平行四边形，CE AD ∴=； D 为AB 中点，AD BD ∴=，BD CE ∴=，∵//BD CE ，∴四边形BECD 是平行四边形，∵90ACB ∠=︒，D 为AB 中点，12CD AB BD ∴==， ∴四边形BECD 是菱形；（2）当45A ∠=︒时，四边形BECD 是正方形；理由如下：∵90ACB ∠=︒，45A ∠=︒，45ABC ∴∠=︒，∵四边形BECD 是菱形，12ABC DBE ∴∠=∠， 90DBE ∴∠=︒，∴四边形BECD 是正方形．故答案为：45︒．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键．2．（1）①120°；② BC ＝CD +CF ；（2）不成立，见解析；（3）8，【分析】（1）①根据菱形的性质以及等边三角形的性质，推出△ACF ≌△ABD ，根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到CF=BD ，再根据BD+CD=BC ，即可得出CF+CD=BC ；（2）依据△ABD ≌△ACF ，即可得到∠ACF+∠BAC=180°，进而得到AB ∥CF ；依据△ABD ≌△ACF 可得BD=CF ，依据CD-BD=BC ，即可得出CD-CF=BC ；（3）依据≅△△ADB AFC ，即可得到8==+=CF BD BC CD ，利用ABC ∆是等边三角形，AH BC ⊥，可得132===BH HC BC ，即可得出HD 的长度，利用勾股定理即可求出AD 的长度，即可得出结论．【详解】解：（1） 在等边△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°∴∠BAD+∠DAC=60°在菱形ADEF 中AD=AF∵∠DAF=∠DAC+∠FAC=60°∴∠CAF=∠DAB又∵AC=AB ，AF=AD∴△ACF ≌△ABD∴∠ACF=∠ABD=60°，CF=BD∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=120°故答案为：120°②∵BC=BD+CD ，BD=CF∴BD=CF+CD故答案为：BC=CD+CF（2）不成立理由：∵ABC ∆是等边三角形∴60BAC ABC ACB ∠=∠=∠=，AB AC =又∵60DAF ∠=∴BAC BAF DAF BAF ∠-∠=∠-∠∴FAC DAB ∠=∠∵四边形ADEF 是菱形∴AD AF =∴≅△△ADB AFC∴DB FC =，18060120ACF ABD ∠=∠=-=∴1206060BCF ACF ACB ∠=∠-∠=-=∵BC CD BD =-∴BC CD CF =-（3）8=CF ，菱形ADEF 的面积是∵60BAC DAF ∠=∠=∴BAD CAF ∠=∠又∵AB AC =，AD AF =∴≅△△ADB AFC ∴16683CF BD BC CD ==+=+⨯=∴如图，过点A 作AH BC ⊥于点H ，连接FD∵ABC 是等边三角形，AH BC ⊥ ∴116322BH HC BC ===⨯= ∴325HD HC CD =+=+=∵22236927AH AB BH =-=-= ∴222725213AD AH DH ++=∴132221321326322AFD ADEF S S ∆==⨯⨯=菱形 【点睛】此题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质的综合运用，利用已知条件判定△DAB ≌△FAC 是解本题的关键．3．（1）50°；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；（2）由平行四边形的性质得出AD ＝BC ，AD ∥BC ；证明BC 是△EFG 的中位线，得出BC ∥FG ，BC ＝12FG ，证出AD ∥FH ，AD ∥FH ，由平行四边形的判定方法即可得出结论； （3）连接EH ，CH ，根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论．【详解】明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BAE ＝∠BCD ＝70°，AD ∥BC ，∵∠DCE ＝20°，∵AB ∥CD ，∴∠CDE ＝180°﹣∠BAE ＝110°，∴∠DEC ＝180°﹣∠DCE ﹣∠CDE ＝50°；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∠BAE ＝∠BCD ，∵BF ＝BE ，CG ＝CE ，∴BC 是△EFG 的中位线，∴BC∥FG，BC＝12 FG，∵H为FG的中点，∴FH＝12 FG，∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD∥FH，∴四边形AFHD是平行四边形；（3）连接EH，CH，∵CE＝CG，FH＝HG，∴CH＝12EF，CH∥EF，∵EB＝BF＝12 EF，∴BE＝CH，∴四边形EBHC是平行四边形，∴OB＝OC，OE＝OH，∵OC＝OH，∴OE＝OB＝OC＝12 BC，∴△BCE是直角三角形，∴∠FEG＝90°，∴EF⊥EG．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．4．（1）见解析；（23；（3）2【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得BE=DE，BF=DF，可得∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，由角平分线的性质可得∠EBD=∠BDF=∠EDB=∠DBF，可证BE∥DF，DE∥BF，可得四边形DEBF是平行四边形，即可得结论；（2）由菱形的性质和外角性质可得∠DFC=30°，由直角三角形的性质可求CF的长；（3）过点D作BC的垂线，垂足为H，根据菱形的性质得出∠DFH=∠ABC=30°，从而得到DH的长度，再利用底乘高得出结果．【详解】解：证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，BF=DF，∵∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，∴∠EBD=∠BDF，∠EDB=∠DBF，∴BE∥DF，DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，且BE=DE，∴四边形BEDF是菱形；（2）过点D作DH⊥BC于点H，∵四边形BEDF是菱形，∴BF=DF=DE=2，∴∠FBD=∠FDB=∠BDE=15°，∴∠DFH=30°，且DH⊥BC，∴DH=12DF=1，FH=3DH=3，∵∠C=45°，DH⊥BC，∴∠C=∠CDH=45°，∴DH=CH=1，∴FC=FH+CH=3+1；（3）过点D作BC的垂线，垂足为H，∵四边形BEDF是菱形，∠BDE=15°，∴∠DBF=∠BDF=∠ABD=15°，∴∠DFH=∠ABC=30°，∵DE=DF=2，∴DH=1，∴菱形BEDF的面积=BF×DH=2×1=2．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握菱形的判定方法是本题的关键．5．（1）详见解析；（2）2BH AE =，理由详见解析【分析】1）如图1，连接DF ，根据对称得：△ADE ≌△FDE ，再由HL 证明Rt △DFG ≌Rt △DCG ，可得结论；（2）如图2，作辅助线，构建AM=AE ，先证明∠EDG=45°，得DE=EH ，证明△DME ≌△EBH ，则EM=BH ，根据等腰直角△AEM 得：2EM AE =，得结论；【详解】证明：（1）如图1，连接DF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴DA DC =，90A C ∠=∠=︒，∵点A 关于直线DE 的对称点为F ，∴ADE ∆≌FDE ∆，∴DA DF DC ==，90DFE A ∠=∠=︒，∴90DFG ∠=︒，在Rt DFG ∆和Rt DCG ∆中，∵DF DCDG DG =⎧⎨=⎩∴Rt DFG ∆≌Rt DCG ∆（HL ），∴GF GC =；（2）2BH AE =，理由是：如图2，在线段AD 上截取AM ，使AM AE =，∵AD AB =，∴DM BE =，由（1）知：12∠=∠，34∠=∠，∵90ADC ∠=︒，∴123490∠+∠+∠+∠=︒，∴222390∠+∠=︒，∴2345∠+∠=︒，即45EDG ∠=︒，∵EH DE ⊥，∴90DEH ∠=︒，DEH ∆是等腰直角三角形，∴190AED BEH AED ∠+∠=∠+∠=︒，DE EH =，∴1BEH ∠=∠，在DME ∆和EBH ∆中，1DM BE BEH DE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DME ∆≌EBH ∆∴EM BH =，Rt AEM ∆中，90A ∠=︒，AM AE =，∴EM =，∴BH ；【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．6．（1）30°；（2）不变；45°；（3）见解析【分析】（1）利用图形的旋转与正方形的性质得到△BEC 是等边三角形，从而求得α=∠DCE =30°．（2）因为△CED 是等腰三角形，再利用三角形的内角和即可求∠BEF =18045CED CEB ︒-∠-∠=︒.（3）过A 点与C 点添加平行线与垂线，作得四边形AGFH 是平行四边形，求得△ABG ≌△ADH .从而求得矩形AGFH 是正方形，根据正方形的性质证得△AHD ≌△DIC ，从而得出结论．【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中, BC =CD .由旋转知，CE =CD ,又∵BE =CE ,∴BE =CE =BC ,∴△BEC 是等边三角形，∴∠BCE =60°.又∵∠BCD =90°,∴α=∠DCE =30°.（2）∠BEF 的度数不发生变化.在△CED 中，CE =CD ,∴∠CED =∠CDE =1809022︒-αα︒-， 在△CEB 中,CE =CB ,∠BCE =90α︒-,∴∠CEB =∠CBE =1804522BCE α︒-∠=︒+, ∴∠BEF =18045CED CEB ︒-∠-∠=︒.（3）过点A 作AG ∥DF 与BF 的延长线交于点G ，过点A 作AH ∥GF 与DF 交于点H ，过点C 作CI ⊥DF 于点I易知四边形AGFH 是平行四边形，又∵BF ⊥DF ，∴平行四边形AGFH 是矩形.∵∠BAD =∠BGF =90°，∠BPF =∠APD ，∴∠ABG =∠ADH .又∵∠AGB =∠AHD =90°，AB =AD ，∴△ABG ≌△ADH .∴AG =AH ，∴矩形AGFH 是正方形.∴∠AFH =∠FAH =45°，∴AH =AF∵∠DAH +∠ADH =∠CDI +∠ADH =90°∴∠DAH =∠CDI又∵∠AHD =∠DIC =90°，AD =DC ，∴△AHD ≌△DIC∴AH =DI ，∵DE =2DI ，∴DE =2AH AF【点晴】本题考查正方形的性质和判定、图形的旋转、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（1）AD＝AB+DC；（2）AB＝AF+CF，证明详见解析；（3）AB＝DF+CF，证明详见解析．【分析】（1）结论：AD＝AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC（AAS），即可推出AB＝CF，再证明DA＝DF，即可解决问题．（2）结论：AB＝AF+CF，如图②，延长AE交DF的延长线于点G，证明方法类似（1）．（3）结论；AB＝DF+CF．如图③，延长AE交CF的延长线于点G，证明方法类似（1）．【详解】解：（1）探究问题：结论：AD＝AB+DC．理由：如图①中，延长AE，DC交于点F，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠F，在△ABE和△FCE中，CE＝BE，∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FEC（AAS），∴CF＝AB，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠FAD＝∠F，∴AD＝DF，∵DC+CF＝DF，∴DC+AB＝AD．故答案为AD＝AB+DC．（2）方法迁移：结论：AB＝AF+CF．证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G．且BE＝CE，∠AEB＝∠GEC∴△AEB≌△GEC（AAS）∴AB＝GC∵AE是∠BAF的平分线∴∠BAG＝∠FAG，∵∠BAG∠G，∴∠FAG＝∠G，∴FA＝FG，∵CG＝CF+FG，∴AB＝AF+CF．（3）联想拓展：结论；AB＝DF+CF．证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥CF，∴∠BAE＝∠G，在△AEB和△GEC中，BAE G AEB GEC BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB ≌△GEC ，∴AB ＝GC ，∵∠EDF ＝∠BAE ，∴∠FDG ＝∠G ，∴FD ＝FG ，∴AB ＝DF+CF ．【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．8．（1）①D 、E ，②A ，理由见解析；（2）①作图见解析；②BE 与AF 可能相等，AE 的长度分别为43，367，2或18． 【分析】（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义即可判断．（2）①以C 为圆心，CB 为半径画弧交AD 于F ，连接CF ，作∠BCF 的角平分线交AB 于E ，点E ，点F 即为所求．②分四种情形：如图①中，当BE AF =时；如图②中，当BE AF =时；如图③中，当BE BC AF ==时，此时点F 与D 重合；如图④中，当BE CB AF ==时，点F 与点D 重合，分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义可知：①点A 与点D 和E 关于BC 互为顶针点；②点D 与点A 关于BC 互为勾股顶针点，理由：如图2中，∵△BDC 是等边三角形，∴∠D ＝60°，∵AB ＝AC ，∠ABC ＝30°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝120°，∴∠A ＋∠D ＝180°，∴点D 与点A 关于BC 互为勾股顶针点，故答案为：D 和E ，A ．（2）①如图，点E 、F 即为所求(本质就是点B 关于CE 的对称点为F ，相当于折叠)．②BE 与AF 可能相等，情况如下：情况一：如图①，由上一问易知，,BE EP BC PC ==，当BE AF =时，设AE x =，连接EF ，∵,,90BE EP AF EF EF EAF FPE ===∠=∠=︒，∴()EAF FPE HL ∆∆≌，∴AE PF x ==，在Rt CDF ∆中，()1082DF AD AF x x =-=--=+，10CF PC PF x =-=-，∴2228(2)(10)x x ++=-， 解得43x =，即43AE =； 情况二：如图②当BE AF =时，设AE x =，同法可得PF AE x ==，则8BE AF x ==-，FP FG GP EG AG AE x =+=+==，则18DF x =-，10CF x =+，在Rt CDF ∆中，则有2228(18)(10)x x +-=+，解得：367x =； 情况三：如图③，当BE BC AF ==时，此时点D 与F 重合，可得1082AE BE AB =-=-=； 情况四：如图④，当BE CB AF ==时,此时点D 与F 重合，可得18AE AB BE AB BC =+=+=． 综上所述，BE 与AF 可能相等，AE 的长度分别为43，367，2或18． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．9．（1）证明见解析；（2）①AF 2AE =②422【分析】 ()1如图①中，结论：AF 2AE =，只要证明AEF 是等腰直角三角形即可； ()2①如图②中，结论：AF 2AE =，连接EF ，DF 交BC 于K ，先证明EKF ≌EDA 再证明AEF 是等腰直角三角形即可；②分两种情形a 、如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.b 、如图④中当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.分别求解即可.【详解】 ()1如图①中，结论：AF 2AE =．理由：四边形ABFD 是平行四边形，AB DF ∴=，AB AC =，AC DF ∴=，DE EC =，AE EF ∴=，DEC AEF 90∠∠==，AEF ∴是等腰直角三角形，AF 2AE ∴=．故答案为AF 2AE =．()2①如图②中，结论：AF 2AE =．理由：连接EF ，DF 交BC 于K ．四边形ABFD 是平行四边形，AB//DF ∴，DKE ABC 45∠∠∴==，EKF 180DKE 135∠∠∴=-=，EK ED =，ADE 180EDC 18045135∠∠=-=-=，EKF ADE ∠∠∴=，DKC C ∠∠=，DK DC ∴=，DF AB AC ==，KF AD ∴=，在EKF 和EDA 中，EK ED EKF ADE KF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， EKF ∴≌EDA ，EF EA ∴=，KEF AED ∠∠=，FEA BED 90∠∠∴==，AEF ∴是等腰直角三角形，AF2AE ∴=． ②如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形，设AE 交CD 于H ，易知EH DH CH 2===，22AH (25)(2)32=-=，AE AH EH 42=+=，如图④中当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形，易知AE AH EH 32222=-=-=，综上所述，满足条件的AE 的长为4222【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型．10．（1）见解析；（2）①2ABE BFC ∠=∠；②见解析；③732 【分析】（1）证明()BAE BCF ASA ∆≅∆可得结论．（2）①结论：2ABE BFC ∠=∠．如图2中，设EBC x ∠=，BFC y ∠=，则2ABF x ∠=，利用三角形内角和定理结合已知条件即可解决问题．②将ABE ∆绕BE 翻折得到BEH ∆，延长BH 交CD 于T ，连接ET ．设2AB CD k ==，则3AD BC k ==，利用全等三角形的性质解决问题即可． ③求出CF ，利用三角形的面积公式，矩形的面积公式即可解决问题．【详解】解：（1）证明：如图1中，四边形ABCD 是矩形，90ABC BCD BCF ∴∠=∠=∠=︒，60EBC =︒∠，12CBE ABF ∠=∠， 120ABF ∴∠=︒，906030ABE ︒∴-︒∠==︒，1209030CBF ∠=︒-︒=︒，ABE CBF ∴∠=∠，AB BC =，()BAE BCF ASA ∴∆≅∆，BE BF ∴=．（2）①结论：290EBC BFC ∠+∠=︒．理由：如图2中，设EBC x ∠=，BFC y ∠=，则2ABF x ∠=，90BCF ∠=︒，90FBC y ∴∠=︒-，=2ABE FBC ABF EBC x x x ∠+∠=∠-∠-=，(90)ABE x y ∴∠=-︒-，90ABE EBC ∠+∠=︒，(90)90x y x ∴-︒-+=︒，2180x y ∴+=︒，2180EBC BFC ∴∠+∠=︒，()290180ABE BFC ∴︒-∠+∠=︒，2ABE BFC ∴∠=∠．②证明：将ABE ∆绕BE 翻折得到BEH ∆，延长BH 交CD 于T ，连接ET ．设2AB CD k ==，则3AD BC k ==，ABE EBH ∠=∠，12EBC ABF ∠=∠， FBC CBT ∴∠=∠，90FBC F CBT BTC ∠+∠=∠+∠=︒， F BTC ∴∠=∠，BF BT ∴=，CT CF =，DE AE EH ==，ET ET =，90D EHT ∠=∠=︒，Rt ETD Rt ETH(HL)∴∆≅∆，DT TH ∴=，在Rt BCT ∆中，则有222(2)(3)(2)k x k k x +=+-，解得98x k =， 2BF CF BT CT BH TH CT BH TD TC BH CD AB ∴+=+=++=++=+=．③由②可知，3BC k =，97288CF CR k k k ==-=， ∴2173728632BCFABCD k k S S k ∆⋅⋅==矩形． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。

中考数学平行四边形(讲义及答案)含答案一、解答题1．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若5AE =，3OE =，求线段CE 的长．2．如图1，ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．（1）求证：ABD FBC ∆≅∆；（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积．3．已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，D 为直线BC 上一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BC 与CF 的位置关系是 ，BC 、CF 、CD 三条线段之间的数量关系为 ；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC 与CF 的位置关系BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系并证明；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF 的对角线AE ，DF 相交于点O ，OC =132，DB =5，则△ABC 的面积为 ．（直接写出答案）4．（1）如图①，在正方形ABCD 中，AEF ∆的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求EAF ∠的度数；（2）如图②，在Rt ABD ∆中，90,BAD AD AB ︒∠==，点M ，N 是BD 边上的任意两点，且45MAN ︒∠=，将ABM ∆绕点A 逆时针旋转90度至ADH ∆位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由；（3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为12，GF=6，BM= 32，求EG ，MN 的长．5．如图所示，四边形ABCD 是正方形， M 是AB 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动(点E 不与点A B 、重合)，另一直角边与CBM ∠的平分线BF 相交于点F ．(1)求证: ADE FEM ∠=∠;(2)如图(1)，当点E 在AB 边的中点位置时，猜想DE 与EF 的数量关系，并证明你的猜想;(3)如图(2)，当点E 在AB 边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．6．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．7．已知正方形ABCD 与正方形（点C 、E 、F 、G 按顺时针排列），是的中点，连接，.（1）如图1，点E 在上，点在的延长线上，求证：DM =ME ，DM ⊥.ME简析： 由是的中点，AD ∥EF ，不妨延长EM 交AD 于点N ，从而构造出一对全等的三角形，即 ≌ .由全等三角形性质，易证△DNE 是 三角形,进而得出结论.（2）如图2， 在DC 的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立,请证明你的结论；若不成立，请说明理由.（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C、E、F、G按顺时针排列.若点E在直线CD上，则DM= ;若点E在直线BC上，则DM= .8．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。

中考专题23 平行四边形问题1.平行四边形定义有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形用符号“□ABCD”表示，读作“平行四边形ABCD”。

2.平行四边形的性质(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等；(3)平行四边形的对角线互相平分。

3.平行四边形的判定(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

4.平行四边形的面积：S平行四边形=底边长×高=ah【经典例题1】(2020年•温州)如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为( )A．40°B．50°C．60°D．70°【标准答案】D【分析】根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E．【答案剖析】∵在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，∴∠C＝(180°﹣40°)÷2＝70°，∵四边形BCDE是平行四边形，∴∠E＝70°．【知识点练习】(2019•山东临沂)如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( )A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND【标准答案】A【答案剖析】由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON即可证明四边形AMCN是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵OM＝AC，∴MN＝AC，∴四边形AMCN是矩形．【经典例题2】(2020年•凉山州)如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则▱ABCD的周长等于16 ．【标准答案】16．【答案剖析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，证OE是△ABD的中位线，则AB＝2OE，AD＝2AE，求出AE+OE＝4，则AB+AD＝2AE+2OE＝8，即可得出标准答案．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，∵OE∥AB，∴OE是△ABD的中位线，∴AB＝2OE，AD＝2AE，∵△AOE的周长等于5，∴OA+AE+OE＝5，∴AE+OE＝5﹣OA＝5﹣1＝4，∴AB+AD＝2AE+2OE＝8，∴▱ABCD的周长＝2×(AB+AD)＝2×8＝16；【知识点练习】(2019•湖北武汉)如图所示，在▱ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为．【标准答案】21°．【答案剖析】设∠ADE＝x，∵AE＝EF，∠ADF＝90°，∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，∵AE＝EF＝CD，∴DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCA＝x，∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，∴2x＝63°﹣x，解得：x＝21°，即∠ADE＝21°。

初中数学平行四边形(讲义及答案)含答案一、选择题1．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB 的中点，下列结论①BE⊥AC②四边形BEFG是平行四边形③EG=GF④EA平分∠GEF其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④2．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DF分别交AB、AC于点E、G，连解FG，下列结论：（1）∠AGD＝112.5°；（2）E为AB中点；（3）S△AGD＝S△OCD；（4）正边形AEFG是菱形；（5）BE＝2OG，其中正确结论的个是（）A．2 B．3 C．4 D．53．如图，在正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于点G,连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG=DG;③∠CHG=∠DAG．其中，正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个BC E三点在同一直线上,点D在CG 4．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中,..上.1,3BC CE ==，连接,AF H 是AF 的中点，连接CH ,那么CH 的长是( )A ．5B ．25C ．322D ．42 5．如图，点E 在正方形ABCD 外，连接AE BE DE ，，，过点A 作AE 的垂线交DE 于F ，若210AE AF BF ===，，则下列结论不正确的是( )A ．AFD AEB ∆≅∆B ．点B 到直线AE 的距离为2C ．EB ED ⊥ D ．16AFD AFB S S ∆∆+=+6．已知点M 是平行四边形ABCD 内一点(不含边界)，设12MAD MBA θθ∠=∠=，，3 MCB θ∠=，4MDC θ∠=．若110,AMB ∠=︒ 90CMD ∠=︒，60BCD ∠=︒，则( )A ．142310θθθθ+--=︒B ．241330θθθθ+--=︒C ．142330θθθθ+--=︒D ．241340θθθθ+--=︒7．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 是AD 边上的一个动点，过点P 分别作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F.若AB ＝3，BC ＝4，则PE ＋PF 的值为( )A ．10B ．9.6C ．4.8D ．2.48．如图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，将ADE 沿AE 对折至AFE ，延长交BC 于点G ，连接AG.则BG 的长（ ）A ．1B ．2C ．3D ．39．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ，△ACE ，△BCF 都是等边三角形，下列结论中：①AB ⊥AC ；②四边形AEFD 是平行四边形；③∠DFE ＝150°；④S 四边形AEFD ＝5．正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，在菱形ABCD 中，AB=AC=1，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点，且AE=BF ，连接CE 、AF 交于点H ，连接DH 交AC 于点O ，则下列结论：①△ABF ≌△CAE ；②∠FHC=∠B ；③△ADO ≌△ACH ；④=3ABCD S 菱形；其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．在平行四边形ABCD 中， BC 边上的高为4 ，AB =5 ，25AC ，则平行四边形ABCD的周长等于______________ ．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处．若OA ＝8，CF ＝4，则点E 的坐标是_____．13．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，若27CDF ∠=︒，则DAB ∠的度数为____________．14．如图，在矩形ABCD 中，∠ACB =30°，BC =23，点E 是边BC 上一动点（点E 不与B ，C 重合），连接AE ，AE 的中垂线FG 分别交AE 于点F ，交AC 于点G ，连接DG ，GE ．设AG =a ，则点G 到BC 边的距离为_____（用含a 的代数式表示），ADG 的面积的最小值为_____．15．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．OABC 的顶点A ，C 分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．16．如图,在平面直角坐标系中,直线112y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ，则D 点坐标是_______；在y 轴上有一个动点M ，当MDC △的周长值最小时，则这个最小值是_______．17．已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．18．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为AD 的延长线上一点，且DE ＝DC ，点P 为边AD 上一动点，且PC ⊥PG ，PG ＝PC ，点F 为EG 的中点．当点P 从D 点运动到A 点时，则CF 的最小值为___________19．如图，四边形ABCP 是边长为4的正方形，点E 在边CP 上，PE =1；作EF ∥BC ，分别交AC 、AB 于点G 、F ，M 、N 分别是AG 、BE 的中点，则MN 的长是_________．20．已知：如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ，BE AC ⊥，垂足为点E ，M 为AB 边的中点，连结ME 、MD 、ED ，设4AB =，30DAC ∠=︒则EM =______；EDM 的面积为______，三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若1n =，①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM FN的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CF BF的值为_______（结果用含n 的式子表示）．22．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，EF 垂直平分BD ，分别交AB ，BC ，BD 于点E ，F ，G ，连接DE ，DF ．（1）求证：四边形BEDF 是菱形；（2）若15BDE ∠=︒，45C ∠=︒，2DE =，求CF 的长；（3）在（2）的条件下，求四边形BEDF 的面积．23．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．（1）如图（1），当90GOD ∠=︒，①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>；（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，25HG =，求DE 的长．24．已知正方形ABCD ．（1）点P 为正方形ABCD 外一点，且点P 在AB 的左侧，45APB ∠=︒．①如图（1），若点P 在DA 的延长线上时，求证：四边形APBC 为平行四边形．②如图（2），若点P 在直线AD 和BC 之间，以AP ，AD 为邻边作APQD □，连结AQ ．求∠PAQ 的度数．（2）如图（3），点F 在正方形ABCD 内且满足BC=CF ，连接BF 并延长交AD 边于点E ，过点E 作EH ⊥AD 交CF 于点H ，若EH=3，FH=1，当13AE CF =时．请直接写出HC 的长________．25．如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.（1）在如图（1）的AB边上求作一点N，连接CN，使CN AM；（2）在如图（2）的AD边上求作一点Q，连接CQ，使CQ AM.26．如图平行四边形ABCD，E，F分别是AD，BC上的点，且AE＝CF，EF与AC交于点O．（1）如图①．求证：OE＝OF；（2）如图②，将平行四边形ABCD（纸片沿直线EF折叠，点A落在A1处，点B落在点B1处，设FB交CD于点G．A1B分别交CD，DE于点H，P．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP相等，并加以证明；（3）如图③，若△ABO是等边三角形，AB＝4，点F在BC边上，且BF＝4．则CF OF＝（直接填结果）．27．探究：如图①，△ABC是等边三角形，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、AN，延长MC交AN于点P．（1）求证：△ACN≌△CBM；（2）∠CPN= °；（给出求解过程）（3）应用：将图①的△ABC分别改为正方形ABCD和正五边形ABCDE，如图②、③，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、DN，延长MC交DN于点P，则图②中∠CPN= °；（直接写出答案）（4）图③中∠CPN= °；（直接写出答案）（5）拓展：若将图①的△ABC改为正n边形，其它条件不变，则∠CPN= °（用含n 的代数式表示，直接写出答案）．28．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，且交AC于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD.（1）①求证：四边形BFDE是菱形；②求∠EBF的度数．（2）把（1）中菱形BFDE进行分离研究，如图2，G，I分别在BF，BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH，并延长FH交ED于点J，连接IJ，IH，IF，IG．试探究线段IH与FH之间满足的数量关系，并说明理由；（3）把（1）中矩形ABCD进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE，作EF⊥DE，垂足为点E，交AB于点F，连接DF，交AC于点G．请直接写出线段AG，GE，EC三者之间满足的数量关系．29．（问题情境）在△ABC中，AB=AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．当P在BC边上时（如图1），求证：PD+PE=CF．图① 图② 图③证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．（不要证明）（变式探究）当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由.请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF 上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；（迁移拓展）在直角坐标系中.直线l1：y=443x-+与直线l2：y=2x+4相交于点A，直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C．点P是直线l2上一个动点,若点P到直线l1的距离为1.求点P的坐标.30．如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：（1）PC＝cm．（用t的代数式表示）（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】由平行四边形的性质可得OB=BC，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断③错误，由BG=EF，BG∥EF∥CD可证四边形BEFG是平行四边形，可得②正确．由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO=1BD，AD=BC，AB=CD，AB∥BC，2又∵BD=2AD，∴OB=BC=OD=DA，且点E 是OC中点，∴BE⊥AC，故①正确，∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，EF=1CD，2∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，∴GE=1AB=AG=BG，2∴EG=EF=AG=BG，无法证明GE=GF，故③错误，∵BG=EF，BG∥EF∥CD，∴四边形BEFG是平行四边形，故②正确，∵EF∥CD∥AB，∴∠BAC=∠ACD=∠AEF，∵AG=GE，∴∠GAE=∠AEG，∴∠AEG=∠AEF，∴AE平分∠GEF，故④正确，故选B．【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．2．B解析：B【解析】【分析】利用翻折不变性可知：AG=GF ，AE=EF ，∠ADG=∠GDF=22.5°，再通过角度计算证明AE=AG ，即可得到答案，具体见详解．【详解】因为∠GAD ＝∠ADO ＝45°，由折叠可知：∠ADG ＝∠ODG ＝22.5°．（1）∠AGD ＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，故（1）正确；（2）设OG ＝1，则AG ＝GF ，又∠BAG ＝45°，∠AGE ＝67.5°，∴∠AEG ＝67.5°，∴AE ＝AG ，则AC ＝2AO ＝2+1），∴AB）＝， ∴AE≠EB ，故（2）错误；（3）由折叠可知：AG ＝FG ，在直角三角形GOF 中，斜边GF ＞直角边OG ，故AG ＞OG ，两三角形的高相同，则S △AGD ＞S △OGD ，故（3）错误；（4）中，AE ＝EF ＝FG ＝AG ，故（4）正确；（5）∵GF ＝EF ，∴BE EF GF OG ＝2OG ，∴BE ＝2OG ，故（5）正确．故选B ．【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，菱形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．C解析：C【分析】连接AH ，由四边形ABCD 是正方形与点E 、F 、H 分别是AB 、BC 、CD 的中点，容易证得△BCE ≌△CDF 与△ADH ≌△DCF ，根据全等三角形的性质，容易证得CE ⊥DF 与AH ⊥DF ，故①正确；根据垂直平分线的性质，即可证得AG=AD ，继而AG=DC ，而DG≠DC ，所以AG ≠DG ，故②错误；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG=12DC ，∠CHG=2∠GDC ，根据等腰三角形的性质，即可得∠DAG=2∠DAH=2∠GDC ．所以∠DAG=∠CHG ，④正确，则问题得解．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=90°，∵点E. F. H分别是AB、BC、CD的中点，∴BE=FC∴△BCE≌△CDF，∴∠ECB=∠CDF，∵∠BCE+∠ECD=90°，∴∠ECD+∠CDF=90°，∴∠CGD=90°，∴CE⊥DF，故①正确；连接AH，同理可得：AH⊥DF，∵CE⊥DF，∴△CGD为直角三角形，∴HG=HD=12 CD，∴DK=GK，∴AH垂直平分DG，∴AG=AD=DC，在Rt△CGD中，DG≠DC，∴AG≠DG，故②错误；∵AG=AD, AH垂直平分DG∴∠DAG=2∠DAH,根据①，同理可证△ADH≌△DCF∴∠DAH=∠CDF，∴∠DAG=2∠CDF,∵GH=DH，∴∠HDG=∠HGD，∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF，∴∠GHC=∠DAG，故③正确，所以①和③正确选择C.【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用边角边，容易证明△BCE≌△CDF，从而根据全等三角形的性质和等量代换即可证∠ECD+∠CDF=90°，从而①可证；证②时，可先证AG=DC，而DG≠DC，所以②错误；证明③时，可利用等腰三角形的性质，证明它们都等于2∠CDF即可.4．A解析：A【分析】如下图，根据点H是AF的中点和HM∥FE，可得HP是△ANF的中位线，四边形MPNE是矩形，再根据中位线的性质和矩形的性质，可推导求得HM、CM的长，在Rt△HCM中求CH 即可【详解】如下图，过点H作BE的垂线，交BE于点M，延长AD交FE于点N，交HM于点P∵四边形ABCD、CEFG是正方形，∴AD⊥EF，∠E=90°∵HM⊥BE∴四边形PMEN是矩形∵BC=1，CE=3∴NE=1，∴FN=2，PM=1∵HM⊥BE，FE⊥BE，点H是AF的中点∴HM是△ANF的中位线∴HP=12EF=1，AP=PN=2∴CM=1∴在Rt△CHM中，5故选：A【点睛】本题考查正方形的性质和三角形中位线定理，解题关键是将梯形ABEF分割成矩形和三角形的形式，然后才可利用三角形中位线定理.5．B解析：B【分析】A 、首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD ≌△AEB ；B 、利用全等三角形的性质和对顶角相等即可解答；C 、由（1）可得∠BEF ＝90°，故BE 不垂直于AE 过点B 作BP ⊥AE 延长线于P ，由①得∠AEB ＝135°所以∠PEB ＝45°，所以△EPB 是等腰Rt △，于是得到结论；D 、根据勾股定理和三角形的面积公式解答即可．【详解】解：在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，∵AF ⊥AE ，∴∠BAE ＋∠BAF ＝90°，又∵∠DAF ＋∠BAF ＝∠BAD ＝90°，∴∠BAE ＝∠DAF ，在△AFD 和△AEB 中，AE AF BAE DAF AB AD =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝∴△AFD ≌△AEB （SAS ），故A 正确；∵AE ＝AF ，AF ⊥AE ，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴∠AEF ＝∠AFE ＝45°，∴∠AEB ＝∠AFD ＝180°−45°＝135°，∴∠BEF ＝135°−45°＝90°，∴EB ⊥ED ，故C 正确；∵AE ＝AF 2，∴FE 2AE ＝2，在Rt △FBE 中，BE 221046FB FE -=-=∴S △APD ＋S △APB ＝S △APE ＋S △BPE ， ＝11222622⨯ 16=D 正确；过点B 作BP ⊥AE 交AE 的延长线于P ，∵∠BEP ＝180°−135°＝45°，∴△BEP是等腰直角三角形，∴BP=，即点B到直线AE，故B错误，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，难度较大，熟记性质并仔细分析图形，理清图中三角形与角的关系是解题的关键．6．D解析：D【分析】依据平行四边形的性质以及三角形内角和定理，可得θ2-θ1=10°，θ4-θ3=30°，两式相加即可得到θ2+θ4-θ1-θ3=40°．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=60°，∴∠BAM=60°-θ1，∠DCM=60°-θ3，∴△ABM中，60°-θ1+θ2+110°=180°，即θ2-θ1=10°①，△DCM中，60°-θ3+θ4+90°=180°，即θ4-θ3=30°②，由②+①，可得（θ4-θ3）+（θ2-θ1）=40°，2413 40θθθθ∴+--=︒；故选：D.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．7．D解析：D【分析】连接OP,由矩形ABCD的可求OA=OD=52，最后由S△AOD=S△AOP+S△DOP即可解答.【详解】解：如图：连接OP∵矩形ABCD，AB＝3，BC＝4∴S矩形ABCD=AB×BC=12, OA=OC,OB=OD,AC=BD,5AC=∴S△AOD=14S矩形ABCD=3，OA=OD=52∴S △AOD =S △AOP +S △DOP =()111532222OA PE OD PF PE PF +=⨯+= ∴PE+PF=2.4故答案为D ．【点睛】本题考查了矩形的性质，正确的做出辅助线和运用数形结合思想是解答本题的关键．.8．B解析：B【分析】首先证明AB=AF=AD ，然后再证明∠AFG=90°，接下来，依据HL 可证明△ABG ≌△AFG ，得到BG=FG ，再利用勾股定理得出GE 2=CG 2+CE 2，进而求出BG 即可．【详解】解：在正方形ABCD 中，AD=AB=BC=CD ，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，∴AD=AF ，DE=EF ，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF ，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG ，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，AG AG AB AF ⎧⎨⎩＝＝ ∴△ABG ≌△AFG （HL ）；∴BG=FG （全等三角形对应边相等），设BG=FG=x ，则GC=6-x ，∵E 为CD 的中点，∴CE=EF=DE=3，∴EG=3+x ，∴在Rt △CEG 中，32+（6-x ）2=（3+x ）2（勾股定理），解得x=2，∴BG=2，故选B ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的综合应用、三角形全的判定和性质以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．9．C解析：C【分析】由222AB AC BC +=，得出∠BAC =90°，则①正确；由等边三角形的性质得∠DAB =∠EAC =60°，则∠DAE =150°，由SAS 证得△ABC ≌△DBF ，得AC =DF =AE =4，同理△ABC ≌△EFC （SAS ），得AB =EF =AD =3，得出四边形AEFD 是平行四边形，则②正确；由平行四边形的性质得∠DFE=∠DAE =150°，则③正确；∠FDA =180°－∠DFE =30°，过点A 作AM DF ⊥于点M ，1143622AEFD SDF AM DF AD ===⨯⨯=，则④不正确；即可得出结果．【详解】解：∵22234=5+，∴222AB AC BC +=，∴∠BAC=90°，∴AB ⊥AC ，故①正确； ∵△ABD ，△ACE 都是等边三角形，∴∠DAB=∠EAC=60°，又∴∠BAC=90°，∴∠DAE=150°，∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形，∴BD=BA ，BF=BC ，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，∴∠DBF=∠ABC ，在△ABC 与△DBF 中，BD BA DBF ABC BF BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DBF （SAS ），∴AC=DF=AE=4，同理可证：△ABC ≌△EFC （SAS ），∴AB=EF=AD=3，∴四边形AEFD 是平行四边形，故②正确；∴∠DFE=∠DAE=150°，故③正确；∴∠FDA=180°-∠DFE=180°－150°=30°，过点A 作AM DF ⊥于点M ， ∴1143622AEFD S DF AM DF AD ===⨯⨯=， 故④不正确；∴正确的个数是3个，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平角、周角、平行是四边形面积的计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．10．B解析：B【分析】根据菱形的性质，利用SAS证明即可判断①；根据△ABF≌△CAE得到∠BAF=∠ACE，再利用外角的性质以及菱形内角度数即可判断②；通过说明∠CAH≠∠DAO，判断△ADO≌△ACH不成立，可判断③；再利用菱形边长即可求出菱形面积，可判断④.【详解】解：∵在菱形ABCD中，AB=AC=1，∴△ABC为等边三角形，∴∠B=∠CAE=60°，又∵AE=BF，∴△ABF≌△CAE（SAS），故①正确；∴∠BAF=∠ACE，∴∠FHC=∠ACE+∠HAC=∠BAF+∠HAC=60°，故②正确；∵∠B=∠CAE=60°，则在△ADO和△ACH中，∠OAD=60°=∠CAB，∴∠CAH≠60°，即∠CAH≠∠DAO，∴△ADO≌△ACH不成立，故③错误；∵AB=AC=1，过点A作AG⊥BC，垂足为G，∴∠BAG=30°，BG=12，∴22AB BG3∴菱形ABCD 的面积为：BC AG ⨯=312⨯=32，故④错误； 故正确的结论有2个，故选B.【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，菱形的性质和面积，等边三角形的判定和性质，外角的性质，解题的关键是利用菱形的性质证明全等.二、填空题11．12或20【分析】根据题意分别画出图形，BC 边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．【详解】解：情况一：当BC 边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：在平行四边形ABCD 中，BC 边上的高为4，AB=5，AC=25，在Rt △ACE 中，由勾股定理可知：2222(25)42CE AC AE ， 在Rt △ABE 中，由勾股定理可知：2222BE AB AE 543=-=-=,∴BC=BE+CE=3+2=5,此时平行四边形ABCD 的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；情况二：当BC 边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：在平行四边形ABCD 中，BC 边上的高为AE=4，AB=5，AC=25 在Rt △ACE 中，由勾股定理可知：2222(25)42CE AC AE ，在Rt △ABE 中，由勾股定理可知：2222BE AB AE 543=-=-=,∴BC=BE-CE=3-2=1,∴平行四边形ABCD 的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,综上所述，平行四边形ABCD 的周长等于12或20．故答案为：12或20．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．12．(-10，3)【解析】试题分析：根据题意可知△CEF∽△OFA，可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得OF=2CE ，设CE=x ，则BE=8-x ，然后根据折叠的性质，可得EF=8-x ，根据勾股定理可得2224(8)x x +=-，解得x =3，则OF=6，所以OC=10，由此可得点E 的坐标为（-10，3）. 故答案为：（-10，3）13．102︒【分析】根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC ，AD=CD ；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF ，利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB 的度数．【详解】连接BD ，BF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=CD ，∴∠DAC=∠DCA ．∵EF 垂直平分AB ，AC 垂直平分BD ，∴AF=BF ，BF=DF ，∴AF=DF ，∴∠FAD=∠FDA ，∴∠DAC+∠FDA+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°，∵∠CDF=27°，∴3∠DAC+27°=180°，则∠DAC=51°，∴∠DAB=2∠DAC=102°．故答案为：102°．【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用以及菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口．14．42a-23【分析】先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2，AC=4，从而得CG的长，作辅助线，构建矩形ABHM和高线GM，如图2，通过画图发现：当GE⊥BC时，AG最小，即a 最小，可计算a的值，从而得结论．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵∠ACB=30°，BC=23，∴AB=2，AC=4，∵AG=a，∴CG=4a-，如图1，过G作MH⊥BC于H，交AD于M，Rt△CGH中，∠ACB=30°，∴GH=12CG=42a-，则点G到BC边的距离为42a-，∵HM⊥BC，AD∥BC，∴HM⊥AD，∴∠AMG=90°，∵∠B=∠BHM=90°，∴四边形ABHM是矩形，∴HM=AB=2，∴GM=2﹣GH=422a--=2a，∴S△ADG113232222a aAD MG=⋅=⨯⨯=，当a最小时，△ADG的面积最小，如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，∵FG是AE的垂直平分线，∴AG=EG，∴42aa -=，∴43a=，∴△ADG 34233=，故答案为：42a-23．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键．15．5【分析】过点B作BD⊥l2，交直线l2于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则22OE BE+OABC是平行四边形，所以OA=BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求．【详解】解：过点B作BD⊥l2，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线l1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线l2与AB交于点N．∵四边形OABC是平行四边形，∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，∵直线l1与直线l2均垂直于x轴，∴AM∥CN，∴四边形ANCM是平行四边形，∴∠MAN=∠NCM，∴∠OAF=∠BCD ，∵∠OFA=∠BDC=90°，∴∠FOA=∠DBC ，在△OAF 和△BCD 中，FOA DBC OA BCOAF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OAF ≌△BCD （ASA ），∴BD=OF=1，∴OE=4+1=5，∴OB=22OE BE +．由于OE 的长不变，所以当BE 最小时（即B 点在x 轴上），OB 取得最小值，最小值为OB=OE=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 16．(3,2)-517【分析】如图（见解析），先根据一次函数的解析式可得点A 、B 的坐标，从而可得OA 、OB 、AB 的长，再根据正方形的性质可得90BAD ∠=︒，DA AB =，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,AE OB DE OA ==，由此即可得出点D 的坐标；同样的方法可求出点C 的坐标，再根据轴对称的性质可得点C '的坐标，然后根据轴对称的性质和两点之间线段最短得出MDC △的周长值最小时，点M 的位置，最后利用两点之间的距离公式、三角形的周长公式即可得．【详解】如图，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，作点C 关于y 轴的对称点C '，交y 轴于点F ，连接C D '，交y 轴于点M '，连接C M '，则CF y ⊥轴对于112y x =+当0y =时，1102x +=，解得2x=-，则点A 的坐标为(2,0)A - 当0x =时，1y =，则点B 的坐标为(0,1)B 222,1,5OA OB AB OA OB ∴===+=四边形ABCD 是正方形90BAD ∴∠=︒，5CD DA AB ===90DAE OAB ABO OAB ∴∠+∠=∠+∠=︒DAE ABO ∴∠=∠在ADE 和BAO 中，90AED BOA DAE ABO DA AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE BAO AAS ∴≅1,2AE OB DE OA ∴====213OE OA AE ∴=+=+=则点D 的坐标为(3,2)D -同理可证：CBF BAO ≅1,2CF OB BF OA ∴====123OF OB BF ∴=+=+=则点C 的坐标为(1,3)C -由轴对称的性质得：点C '的坐标为(1,3)C '，且CM C M '=MDC ∴△的周长为5CD DM CM DM C M '++=++由两点之间线段最短得：当点M 与点M '重合时，DM C M '+取得最小值DC ' (3,2),(1,3)D C '-22(31)(23)17DC '∴=--+-=则MDC △的周长的最小值为5517DC '+=+故答案为：(3,2)-，517+．【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、轴对称的性质等知识点，正确找出MDC △的周长最小时，点M 的位置是解题关键． 17．1或7．【分析】存在2种情况满足条件，一种是点P 在BC 上，只需要BP=CE 即可得全等；另一种是点P 在AD 上，只需要AP=CE 即可得全等【详解】设点P 的运动时间为t 秒，当点P 在线段BC 上时，则2BP t =，∵四边形ABCD 为长方形，∴AB CD =，90B DCE ∠=∠=︒，此时有ABP DCE ∆∆≌，∴BP CE =，即22t =，解得1t =；当点P 在线段AD 上时，则2BC CD DP t ++=，∵4AB =，6AD =，∴6BC =，4CD =，∴()()6462162AP BC CD DA BC CD DP t t =++-++=++-=-，∴162AP t =-，此时有ABP CDE ∆∆≌，∴AP CE =，即1622t -=，解得7t =；综上可知当t 为1秒或7秒时，ABP ∆和CDE ∆全等.故答案为：1或7．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据矩形的性质可得，要证三角形的全等，只需要还得到一条直角边相等即可18．【分析】由正方形ABCD 的边长为4，得出AB=BC=4，∠B=90°，得出AC=P 与D 重合时，PC=ED=PA ，即G 与A 重合，则EG 的中点为D ，即F 与D 重合，当点P 从D 点运动到A 点时，则点F 运动的路径为DF ，由D 是AE 的中点，F 是EG 的中点，得出DF 是△EAG 的中位线，证得∠FDA=45°，则F 为正方形ABCD 的对角线的交点，CF ⊥DF ，此时CF 最小，此时CF=12AG= 【详解】解：连接FD∵正方形ABCD的边长为4，∴AB=BC=4，∠B=90°，∴AC=2，当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，∴EG的中点为D，即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的轨迹为DF，∵D是AE的中点，F是EG的中点，∴DF是△EAG的中位线，∴DF∥AG，∵∠CAG=90°，∠CAB=45°，∴∠BAG=45°，∴∠EAG=135°，∴∠EDF=135°，∴∠FDA=45°，∴F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最小，此时CF=12AG=22故答案为：2【点睛】本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．19．5【分析】先判断四边形BCEF的形状，再连接FM FC、，利用正方形的性质得出AFG是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出12MN FC=即可．【详解】∵四边形ABCP是边长为4的正方形，//EF BC，∴四边形BCEF是矩形，∵1PE=，∴3CE=，连接FM FC 、，如图所示：∵四边形ABCP 是正方形，∴=45BAC ∠ ，AFG 是等腰直角三角形，∵M 是AG 的中点，即有AM MG = ，∴FM AG ⊥，FMC 是直角三角形，又∵N 是FC 中点，12MN FC =， ∵225FC BF BC =+=∴ 2.5MN =，故答案为：2.5 ．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．20．23【分析】根据EM 是Rt ABE △斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EM 的长；根据已知条件推导出DME 是等边三角形，且边长为2，进一步计算即可得解．【详解】解：∵AD BC ⊥，M 为AB 边的中点，4AB =∴在Rt ABD △中，114222DM AM AB ===⨯= 同理，在Rt ABE △中，114222EM AM AB ===⨯= ∴MDA MAD ∠=∠，MEA MAE ∠=∠∵2BME MEA MAE MAE ∠=∠+∠=∠，2BMD MDA MAD MAD ∠=∠+∠=∠ ∴DME BME BMD ∠=∠-∠ 22MAE MAD =∠-∠()2MAE MAD =∠-∠2DAC =∠60=︒∵=DM EM∴DME 是等边三角形，且边长为2 ∴12332EDM S =⨯⨯= 故答案是：2；3【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的外角定理、角的和差以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是进行推理论证的前提．三、解答题21．（1）①见解析；②AG FB AE =+，证明见解析；（2）21n ；（3）241n -【分析】（1）①证明△ADE ≌△BAF （ASA ）可得结论．②结论：AG=BF+AE ．如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，证明AE=BK ，AG=GK ，即可解决问题．（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，求出ME 的最大值，NF 的最小值即可解决问题． （3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，求出CF ，BF 即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，n=1，∴AD=AB ，∴四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB=∠B=90°，∵AF ⊥DE ，∴∠ADE+∠DAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF ，∴△ADE ≌△BAF （ASA ），∴AE=BF ；②结论：AG=BF+AE ．理由：如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，由（1）可知AE=BK ，∵AH=AD ，AK ⊥HD ，∴∠HAK=∠DAK ，∵AD ∥BC ，∴∠DAK=∠AKG ，∴∠HAK=∠AKG ，∴AG=GK ，∵GK=GB+BK=BF+AE ，∴AG=BF+AE ；（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，当ME 的值最大时，NF 的值最小时，ME NF的值最大， 当ME 是矩形ABCD 的对角线时，ME 的值最大，最大值()222na 1a n +=+，当NF ⊥AD 时，NF 的值最小，最小值=a ，∴ME NF 的最大值21a n +⋅21n +， 21n +；（3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，∵AD ∥BH ，∴∠ADE=∠H ，∵AE=EB=k ，∠AED=∠BEH ，∴△AED ≌△BEH （ASA ），∴AD=BH=2kn ，∴CH=4kn ，∵∠ADE=∠EDF ，∠ADE=∠H ，∴∠H=∠EDF ，∴FD=FH ，设DF=FH=x ，在Rt △DCF 中，∵CD 2+CF 2=DF 2，∴(2k)2+(4kn-x)2=x 2， ∴2142n x k n+=⋅， ∴221441422n n CF kn k k n n +-=-⋅=⋅，241222n k BF kn k n n-=-⋅=， ∴22412412n k CF n n k BFn-⋅==-， 故答案为：241n -．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．22．（1）见解析；（23；（3）2【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得BE=DE ，BF=DF ，可得∠EBD=∠EDB ，∠FBD=∠FDB ，由角平分线的性质可得∠EBD=∠BDF=∠EDB=∠DBF ，可证BE ∥DF ，DE ∥BF ，可得四边形DEBF 是平行四边形，即可得结论；（2）由菱形的性质和外角性质可得∠DFC=30°，由直角三角形的性质可求CF 的长； （3）过点D 作BC 的垂线，垂足为H ，根据菱形的性质得出∠DFH=∠ABC=30°，从而得到DH的长度，再利用底乘高得出结果．【详解】解：证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，BF=DF，∵∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，∴∠EBD=∠BDF，∠EDB=∠DBF，∴BE∥DF，DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，且BE=DE，∴四边形BEDF是菱形；（2）过点D作DH⊥BC于点H，∵四边形BEDF是菱形，∴BF=DF=DE=2，∴∠FBD=∠FDB=∠BDE=15°，∴∠DFH=30°，且DH⊥BC，∴DH=12DF=1，FH=3DH=3，∵∠C=45°，DH⊥BC，∴∠C=∠CDH=45°，∴DH=CH=1，∴FC=FH+CH=3+1；（3）过点D作BC的垂线，垂足为H，∵四边形BEDF是菱形，∠BDE=15°，∴∠DBF=∠BDF=∠ABD=15°，∴∠DFH=∠ABC=30°，∵DE=DF=2，∴DH=1，∴菱形BEDF的面积=BF×DH=2×1=2．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握菱形的判定方法是本题的关键．23．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）DE =． 【分析】（1）过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，①由正方形的性质可得//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒，即可证明四边形DGHM 是平行四边形，可得DM=GH ，由90GOD ∠=︒可得∠EDM=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质可得12∠=∠，利用ASA 可证明△ADE≌△CDM，可得DE=DM ，即可证明DE=GH ；②由①得DM=DE ，根据勾股定理可得，利用三角形三边关系即可得结论； （2）过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，可证明四边形GHND 为平行四边形，可得DN HG =，GD HN =，根据勾股定理可求出CN 的长，利用AAS 可证明ADM CDN ∆∆≌，可得AM NC =，DM DN =，根据平行线的性质∠EDN=45°，根据角的和差故选可得∠MDE=∠EDN ，利用SAS 可证明MDE NDE ∆∆≌，即可证明AE CN EN +=，设AE x =，利用勾股定理可求出x 的值，进而利用勾股定理求出DE 的值即可得答案．【详解】（1）如图（1），过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，EM ， ①∵四边形ABCD 为正方形，∴//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒∴四边形DGHM 为平行四边形，∴DM=GH ，GD HM =，∵90GOD ∠=︒，∴90EDM EOH ∠=∠=︒，∴290EDC ∠+∠=︒，∵90ADC ∠=︒，∴190EDC ∠+∠=︒，∴12∠=∠，在ADE ∆和CDM ∆中12A DCM AD DC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ADE CDM ∆∆≌，∴DE DM =，∴DE GH =．。

中考数学数学平行四边形试题附解析一、选择题1．已知点A （4，0），B （0，﹣4），C （a ，2a ）及点D 是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD 的长的最小值为（ ）A ．655B ．1255C ．32D ．422．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边AB 上，AE ＝1，若点P 为对角线BD 上的一个动点，则△PAE 周长的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．如图，在菱形ABCD 中，两对角线AC 、BD 交于点O ，AC =8，BD =6，当△OPD 是以PD 为底的等腰三角形时，CP 的长为（ ）A ．2B ．185C ．75D ．524．正方形ABCD ，正方形CEFG 如图放置，点B 、C 、E 在同一条直线上，点P 在BC 边上，PA ＝PF ，且∠APF ＝90°，连接AF 交CD 于点M ．有下列结论：①EC ＝BP ；②AP ＝AM ：③∠BAP ＝∠GFP ；④AB 2+CE 2＝12AF 2；⑤S 正方形ABCD +S 正方形CGFE ＝2S △APF ，其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④⑤D ．①③④⑤5．如图，在平行四边形ABCD 中，120C ∠=︒，4=AD ，2AB =，点E 是折线BC CD DA --上的一个动点(不与A 、B 重合)．则ABE △的面积的最大值是( )A ．32B ．1C ．32D ．236．如图，在一张矩形纸片ABCD 中，4AB =，8BC =，点E ，F 分别在AD ， BC 上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论：①四边形CFHE 是菱形；②EC 平分DCH ∠；③线段BF 的取值范围为34BF ≤≤；④当点H 与点A 重合时，25EF =．以上结论中，你认为正确的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，点P ，Q 分别是菱形ABCD 的边AD ，BC 上的两个动点，若线段PQ 长的最大值为85 ，最小值为8，则菱形ABCD 的边长为( )A ．4 6B ．10C ．12D ．168．如图，ABCD 的对角线,AC BD 交于点,O DE 平分ADC ∠交BC 于点,60,E BCD ∠=︒2,AD AB =连接OE ．下列结论：ABCD S AB BD =⋅①；DB ②平分ADE ∠；AB DE =③；CDE BOC S S =④，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，己知正方形ABCD 的边长为4， P 是对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ， PF ⊥CD于点F ，连接AP ， EF ，给出下列结论：①PD=2EC ；②四边形PECF 的周长为8；③△APD 一定是等腰三角形；④AP=EF ；⑤EF 的最小值为22；⑥AP ⊥EF ，其中正确结论的序号为（ ）A ．①②④⑤⑥B ．①②④⑤C ．②④⑤D ．②④10．如图，点O 为正方形ABCD 的中心，BE 平分∠DBC 交DC 于点E ，延长BC 到点F ，使FC=EC ，连结DF 交BE 的延长线于点H ，连结OH 交DC 于点G ，连结HC ．则以下四个结论中：①OH ∥BF ，②GH=14BC ，③BF=2OD ，④∠CHF=45°．正确结论的个数为( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题11．如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝48°，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，则∠DHO ＝_____度．12．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ．F 是AD 的中点，作CE ⊥AB, 垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：(1)∠DCF+12∠D ＝90°；(2)∠AEF+∠ECF ＝90°；(3)BEC S =2CEF S ； (4)若∠B=80 ，则∠AEF=50°．其中一定成立的是______ (把所有正确结论的字号都填在横线上)．13．在锐角三角形ABC 中，AH 是边BC 的高，分别以AB ，AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ，BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG=CE ；②BG ⊥CE ；③AM 是△AEG 的中线；④∠EAM=∠ABC ．其中正确的是_________．14．在ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高．将ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则DEF 的周长为______．15．在ABCD 中，5AD =，BAD ∠的平分线交CD 于点E ，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，若线段EF=2，则AB 的长为__________．16．如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝10cm ，BC ＝3cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B '，C '上．在点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB '与边CD 交于点E ，则点E 相应运动的路径长为_____cm ．17．如图，菱形ABCD 的边长是4，60ABC ∠=︒，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点（不与点A ，B ，C 重合），且BE BF =，若//EG BC ，//FG AB ，EG 与FG 相交于点G ，当ADG 为等腰三角形时，BE 的长为________．18．如图，已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点M 是AC 边上任意一点，连接MB ，以MB 、MC 为邻边作平行四边形MCNB ，连接MN ，则MN 的最小值是______19．如图，菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，若将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为__________．20．李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D 落在AB 边的点F 处，得折痕AE ，再折叠，使点C 落在AE 边的点G 处，此时折痕恰好经过点B ，如果AD=a ，那么AB 长是多少？”常明说；“简单，我会. AB 应该是_____”.常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，折痕不经过点B ，而是经过了AB 边上的M 点，如果AD=a ，测得EC=3BM ，那么AB 长是多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=_____.三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一点（不与点A ，D 重合），ABE ∆沿BE 折叠，得BEF ，点A 的对称点为点F ．（1）当AB AD =时，点F 会落在CE 上吗？请说明理由．（2）设()01AB m m AD=<<，且点F 恰好落在CE 上． ①求证：CF DE =．②若AE n AD=，用等式表示m n ，的关系． 22．如图1，ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．（1）求证：ABD FBC ∆≅∆；（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积．23．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．（1）求证：AE ＝DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由； （3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．24．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2cm ，∠ADC ＝120°．动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动，连接AF 、CE ，分别取AF 、CE 的中点G 、H ．设运动的时间为ts （0＜t ＜4）．（1）求证：AF ∥CE ；（2）当t 为何值时，△ADF 32； （3）连接GE 、FH ．当t 为何值时，四边形EHFG 为菱形．25．（1）如图①，在正方形ABCD 中，AEF ∆的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求EAF ∠的度数；（2）如图②，在Rt ABD ∆中，90,BAD AD AB ︒∠==，点M ，N 是BD 边上的任意两点，且45MAN ︒∠=，将ABM ∆绕点A 逆时针旋转90度至ADH ∆位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由；（3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为12，GF=6，BM= 32，求EG ，MN 的长．26．已知正方形,ABCD 点F 是射线DC 上一动点(不与,C D 重合)．连接AF 并延长交直线BC 于点E ，交BD 于,H 连接CH ．在EF 上取一点,G 使ECG DAH ∠=∠． （1）若点F 在边CD 上，如图1，①求证：CH CG ⊥．②求证：GFC 是等腰三角形．（2）取DF 中点,M 连接MG ．若3MG =，正方形边长为4，则BE = ．27．如图平行四边形ABCD ，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且AE ＝CF ，EF 与AC 交于点O ． （1）如图①．求证：OE ＝OF ；（2）如图②，将平行四边形ABCD （纸片沿直线EF 折叠，点A 落在A 1处，点B 落在点B 1处，设FB 交CD 于点G ．A 1B 分别交CD ，DE 于点H ，P ．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP 相等，并加以证明；（3）如图③，若△ABO是等边三角形，AB＝4，点F在BC边上，且BF＝4．则CF OF＝（直接填结果）．28．探究：如图①，△ABC是等边三角形，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、AN，延长MC交AN于点P．（1）求证：△ACN≌△CBM；（2）∠CPN= °；（给出求解过程）（3）应用：将图①的△ABC分别改为正方形ABCD和正五边形ABCDE，如图②、③，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、DN，延长MC交DN于点P，则图②中∠CPN= °；（直接写出答案）（4）图③中∠CPN= °；（直接写出答案）（5）拓展：若将图①的△ABC改为正n边形，其它条件不变，则∠CPN= °（用含n 的代数式表示，直接写出答案）．29．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE 和BF ，若点M ，N ，P ，Q 分别为AE ，EF ，FD ，AD 的中点，请判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．30．问题背景若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点． 如图1，四边形ABCD 中，BC 是一条对角线，AB AC =，DB DC =，则点A 与点D 关于BC 互为顶针点；若再满足180A D +=︒∠∠，则点A 与点D 关于BC 互为勾股顶针点．初步思考(1)如图2，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠=︒，D 、E 为ABC 外两点，EB EC =，45EBC ∠=︒，DBC △为等边三角形．①点A 与点______关于BC 互为顶针点；②点D 与点______关于BC 互为勾股顶针点，并说明理由．实践操作(2)在长方形ABCD 中，8AB =，10AD =．①如图3，点E 在AB 边上，点F 在AD 边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E 、F ，使得点E 与点C 关于BF 互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹)思维探究②如图4，点E 是直线AB 上的动点，点P 是平面内一点，点E 与点C 关于BP 互为勾股顶针点，直线CP 与直线AD 交于点F ．在点E 运动过程中，线段BE 与线段AF 的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE 的长；若不相等，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据题意可判定此题需分两种情况讨论，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，根据垂直及F点坐标可先求的直线FC的函数解析式，进而通过求得点C坐标来求CD；如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝42，对比两种情况即可求得CD最小值.【详解】解：如图，由题意点C在直线y＝2x上，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，易知直线AB为y＝x﹣4，∵AF＝FB，∴点F坐标为（2，﹣2），∵CF⊥直线y＝2x，设直线CF为y＝﹣12x+b′F（2，﹣2）代入得b′＝﹣1∴直线CF为y＝﹣12x﹣1，由2112y xy x=⎧⎪⎨=--⎪⎩解得2545xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴点C坐标（25-，45-）．∴CD＝2CF＝222242255⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭125．如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝42125，∴CD的最小值为1255．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，解本题的关键是找到何时CD最短.2．D解析：D【分析】连接AC、CE，CE交BD于P，此时AP+PE的值最小，求出CE长，即可求出答案．【详解】解：连接AC、CE，CE交BD于P，连接AP、PE，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC，AC⊥BD，即A和C关于BD对称，∴AP＝CP，即AP+PE＝CE，此时AP+PE的值最小，所以此时△PAE周长的值最小，∵正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，∴∠ABC＝90°，BE＝4﹣1＝3，由勾股定理得：CE＝5，∴△PAE的周长的最小值是AP+PE+AE＝CE+AE＝5+1＝6，故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质与轴对称——最短路径问题，知识点比较综合，属于较难题型. 3．C解析：C【解析】【分析】过O作OE⊥CD于E．根据菱形的对角线互相垂直平分得出OB，OC的长，AC⊥BD，再利用勾股定理列式求出CD，然后根据三角形的面积公式求出OE．在Rt△OED中，利用勾股定理求出ED．根据等腰三角形三线合一的性质得出PE，利用CP=CD-PD即可得出结论．【详解】过O作OE⊥CD于E．∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OB12=BD12=⨯6=3，OA=OC12=AC12=⨯8=4，AC⊥BD，由勾股定理得：CD2222OD OC34=+=+=5．∵12OC×OD=12CD×OE，∴12=5OE，∴OE=2.4．在Rt△ODE中，DE=22OD OE-=223 2.4-=1.8．∵OD=OP，∴PE=ED=1.8，∴CP=CD-PD=5-1.8-1.8=1.4=75．故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，求出OE的长是解题的关键．4．D解析：D【分析】①由同角的余角相等可证出△EPF≌△BAP，由此即可得出EF=BP，再根据正方形的性质即可得出①成立；②没有满足证明AP=AM的条件；③根据平行线的性质可得出∠GFP=∠EPF，再由∠EPF=∠BAP即可得出③成立；④在Rt△ABP中，利用勾股定理即可得出④成立；⑤结合④即可得出⑤成立．综上即可得出结论．【详解】①∵∠EPF+∠APB=90°，∠APB+∠BAP=90°，∴∠EPF=∠BAP．在△EPF和△BAP中，有EPF BAPFEP PBAPA PF∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△EPF≌△BAP（AAS），∴EF=BP，∵四边形CEFG为正方形，∴EC=EF=BP，即①成立；②无法证出AP=AM；③∵FG∥EC，∴∠GFP=∠EPF，又∵∠EPF=∠BAP，∴∠BAP=∠GFP，即③成立；④由①可知EC=BP，在Rt△ABP中，AB2+BP2=AP2，∵PA=PF，且∠APF=90°，∴△APF为等腰直角三角形，∴AF2=AP2+EP2=2AP2，∴AB2+BP2=AB2+CE2=AP2=12AF2，即④成立；⑤由④可知：AB2+CE2=AP2，∴S正方形ABCD+S正方形CGFE=2S△APF，即⑤成立．故成立的结论有①③④⑤．故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线的性质以及勾股定理，解题的关键是逐条分析五条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过证明三角形全等以及利用勾股定理等来验证题中各结论是否成立是关键．5．D解析：D【分析】分三种情况讨论：①当点E在BC上时，高一定，底边BE最大时面积最大；②当E在CD 上时，△ABE的面积不变；③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，根据三角形的面积公式可得结论．【详解】解：分三种情况：①当点E在BC上时，E与C重合时，△ABE的面积最大，如图1，过A作AF⊥BC于F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠C+∠B=180°，∵∠C=120°，∴∠B=60°，Rt△ABF中，∠BAF=30°，∴BF=12AB=1，AF=3，∴此时△ABE的最大面积为：12×4×3=23；②当E在CD上时，如图2，此时，△ABE的面积=12S▱ABCD=12×4×3=23；③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，此时，△ABE的面积3综上，△ABE的面积的最大值是3故选：D．【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，并运用分类讨论的思想解决问题．6．C解析：C【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，判断出②错误；③点H与点A重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出最大值BF=4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．【详解】解：①∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF=FH，∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；②∴∠BCH=∠ECH，∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；③点H与点A重合时，此时BF最小，设BF=x，则AF=FC=8-x，在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，即42+x2=（8-x）2，解得x=3，点G与点D重合时，此时BF最大，CF=CD=4，∴BF=4，∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；过点F作FM⊥AD于M，则ME=（8-3）-3=2，由勾股定理得，EF=22+=25，（故④正确）；42+=22MF ME综上所述，结论正确的有①③④共3个，故选C．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．7．B解析：B【分析】当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，当PQ⊥BC时，PQ的值最小，利用这两组数据，在Rt△ABQ中，可求得答案．【详解】PQ=当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，85当PQ⊥BC时，PQ的值最小，∴PQ=8，∠Q=90°，在Rt△ACQ中，CQ==16.在Rt△ABQ中，设AB=BC=x，则BQ=16-x，∴AQ2+BQ2=AB2即82+（16-x）2=x2解之：x=10.故答案为：B．【点睛】本题考查菱形的性质和勾股定理的运用，解题关键是根据菱形的性质，判断出PQ最大和最小的情况．8．D解析：D【分析】求得∠ADB＝90°，即AD⊥BD，即可得到S▱ABCD＝AD•BD；依据∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，可得∠CDB＝∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△BCD中，斜边上的中线DE＝斜边BC的一半，即可得到AD＝BC＝2DE，进而得到AB＝DE；依据OE是中位线，即可得到OE∥CD，因为两平行线间的距离相等，进而得到S△CDE＝S△OCD，再根据OC是△BCD的中线，可得S△BOC＝S△COD，即可得到S△CDE＝S△BOC．【详解】∵∠BCD＝60°，四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝180°－∠BCD＝120°，BC//AD，BC＝AD，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠CED＝60°＝∠BCD，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝CD＝ AD＝ BC，∴E是BC的中点，∴DE＝BE，∴∠BDE＝∠CED＝30°，∴∠CDB＝90°，即CD⊥BD，∴S▱ABCD＝CD•BD＝AB•BD，故①正确；∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，∴∠ADB＝30°＝∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正确；∵△CDE是等边三角形，∴DE＝CD＝AB，故③正确；∵O是BD的中点，E是BC的中点，∴OE是△CBD的中位线，∴OE∥CD，∴S△OCD＝S△CDE，∵OC是△BCD的中线，∴S△BOC＝S△COD，∴S△CDE＝S△BOC，故④正确，故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线、平行线间的距离相等、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关性质与定理是解题的关键.9．A解析：A【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得△PDF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得DP=2EC．②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8；③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形；④由②可知，四边形PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明AP=EF；⑤当AP最小时，EF最小，EF的最小值等于22；⑥证明∠PFH+∠HPF=90°，则AP⊥EF．【详解】①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，∵GF∥BC，∴∠DPF=∠DBC，∵四边形ABCD是正方形∴∠DBC=45°∴∠DPF=∠DBC=45°，∴∠PDF=∠DPF=45°，∴PF=EC=DF，∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，∴2EC．故①正确；②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°，∴四边形PECF为矩形，∴四边形PECF的周长=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8，故②正确；③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度，∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD 不是等腰三角形，故③错误．④∵四边形PECF 为矩形，∴PC=EF ，由正方形为轴对称图形，∴AP=PC ，∴AP=EF ，故④正确；⑤由EF=PC=AP ，∴当AP 最小时，EF 最小，则当AP ⊥BD 时，即AP=12BD=12时，EF 的最小值等于，故⑤正确； ⑥∵GF ∥BC ，∴∠AGP=90°，∴∠BAP+∠APG=90°，∵∠APG=∠HPF ，∴∠PFH+∠HPF=90°，∴AP ⊥EF ，故⑥正确；本题正确的有：①②④⑤⑥；故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题． 10．B解析：B【分析】①只要证明OH 是△DBF 的中位线即可得出结论；②根据OH 是△BFD 的中位线，得出GH=12CF ，由GH ＜14BC ，可得出结论； ③易证得△ODH 是等腰三角形，继而证得OD=12BF ； ④根据四边形ABCD 是正方形，BE 是∠DBC 的平分线可求出Rt △BCE ≌Rt △DCF ，再由∠EBC=22.5°即可求出结论．【详解】解：∵EC=CF ，∠BCE=∠DCF ，BC=DC ，∴△BCE ≌△DCF ，∴∠CBE=∠CDF ，∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH ，∴∠DEH+∠CDF=90°，∴∠BHD=∠BHF=90°，∵BH=BH，∠HBD=∠HBF，∴△BHD≌△BHF，∴DH=HF，∵OD=OB∴OH是△DBF的中位线∴OH∥BF；故①正确；∴OH=12BF，∠DOH=∠CBD=45°，∵OH是△BFD的中位线，∴DG=CG=12BC，GH=12CF，∵CE=CF，∴GH=12CF=12CE∵CE＜CG=12 BC，∴GH＜14BC，故②错误．∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，∵CE=CF，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（SAS），∴∠EBC=∠CDF=22.5°，∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°，∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，∴OH是CD的垂直平分线，∴DH=CH，∴∠CDF=∠DCH=22.5°，∴∠HCF=90°-∠DCH=90°-22.5°=67.5°，∴∠CHF=180°-∠HCF-∠BFH=180°-67.5°-67.5°=45°，故④正确；∴∠ODH=∠BDC+∠CDF=67.5°，∴∠OHD=180°-∠ODH-∠DOH=67.5°，∴∠ODH=∠OHD，∴OD=OH=12BF；故③正确．故选：B．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质．解答此题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．二、填空题11．24【分析】由菱形的性质可得OD＝OB，∠COD＝90°，由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，可得OH＝12BD＝OB，可得∠OHB＝∠OBH，由余角的性质可得∠DHO＝∠DCO，即可求解．【详解】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°，∠DAB＝∠DCB＝48°，∵DH⊥AB，∴OH＝12BD＝OB，∴∠OHB＝∠OBH，又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO＝90°，在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO＝12∠DCB＝24°，故答案为：24．【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，余角的性质，是几何综合题，判断出OH是BD的一半，和∠DHO＝∠DCO是解决本题的关键．12．(1) (2) (4)【分析】由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出(1)正确；由ASA证明△AEF≌△DMF，得出EF=MF，∠AEF=∠M，由直角三角形斜边上的中线性质得出CF=12EM=EF，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠ECF，得出(2)正确；证出S △EFC =S △CFM ，由MC ＞BE ，得出S △BEC ＜2S △EFC ，得出(3)错误；由平行线的性质和互余两角的关系得出(4)正确；即可得出结论．【详解】(1)∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，∴AF=FD=CD=AB ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠FCB ，∠BCD+∠D=180°，∴∠DCF=∠BCF ，∴∠DCF=12∠BCD ， ∴∠DCF+12∠D=90°，故(1)正确； (2)延长EF ，交CD 延长线于M ，如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A=∠MDF ，∵F 为AD 中点，∴AF=FD ，在△AEF 和△DMF 中，A FDM AF DF AFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEF ≌△DMF(ASA)，∴EF=MF ，∠AEF=∠M ，∵CE ⊥AB ，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF ，∴CF=12EM=EF ， ∴∠FEC=∠ECF ，∴∠AEF+∠ECF=∠AEF+∠FEC=∠AEC=90°，故(2)正确；(3)∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC，故(3)错误；(4)∵∠B=80°，∴∠BCE=90°-80°=10°，∵AB∥CD，∴∠BCD=180°-80°=100°，∴∠BCF=12∠BCD=50°，∴∠FEC=∠ECF=50°-10°=40°，∴∠AEF=90°-40°=50°，故(4)正确．故答案为：(1)(2)(4)．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明△AEF≌△DMF是解题关键．13．①②③④【分析】根据正方形的性质和SAS可证明△ABG≌△AEC，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后根据三角形的内角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判断②；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，根据余角的性质即可判断④；利用AAS即可证明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP ＝GQ，再利用AAS可证明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，从而可判断③，于是可得答案．【详解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，即∠CAE＝∠BAG，∴△ABG≌△AEC（SAS），∴BG＝CE，故①正确；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，∵△ABG ≌△AEC ，∴∠ACE ＝∠AGB ，∵∠AKG ＝∠NKC ，∴∠CNG ＝∠CAG ＝90°，∴BG ⊥CE ，故②正确；过点E 作EP ⊥HA 的延长线于P ，过点G 作GQ ⊥AM 于Q ，如图2，∵AH ⊥BC ，∴∠ABH +∠BAH ＝90°，∵∠BAE ＝90°，∴∠EAP +∠BAH ＝90°，∴∠ABH ＝∠EAP ，即∠EAM ＝∠ABC ，故④正确；∵∠AHB =∠P =90°，AB =AE ，∴△ABH ≌△EAP （AAS ），∴EP ＝AH ，同理可得GQ ＝AH ，∴EP ＝GQ ，∵在△EPM 和△GQM 中，90P MQG EMP GMQ EP GQ ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPM ≌△GQM （AAS ），∴EM ＝GM ，∴AM 是△AEG 的中线，故③正确．综上所述，①②③④结论都正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．14．15.5【分析】先根据折叠的性质可得,AE DE EAD EDA =∠=∠，再根据垂直的定义、直角三角形的性质可得B BDE ∠=∠，又根据等腰三角形的性质可得BE DE =，从而可得6DE AE BE ===，同理可得出5DF AF CF ===，然后根据三角形中位线定理可得1 4.52EF BC ==，最后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】由折叠的性质得：,AE DE EAD EDA =∠=∠AD 是BC 边上的高，即AD BC ⊥90B EAD ∴∠+∠=︒，90BDE EDA ∠+∠=︒B BDE ∴∠=∠BE DE ∴=1112622DE AE BE AB ∴====⨯= 同理可得：1110522DF AF CF AC ====⨯= 又,AE BE AF CF ==∴点E 是AB 的中点，点F 是AC 的中点EF ∴是ABC 的中位线119 4.522EF BC ∴==⨯= 则DEF 的周长为65 4.515.5DE DF EF ++=++=故答案为：15.5．【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出BE DE =是解题关键．15．8或12【分析】根据平行四边形的性质得到BC=AD=5，∠BAE=∠DEA ，∠ABF=∠BFC ，根据角平分线的性质得到DE=AD=5，CF=BC=5，即可求出答案.【详解】在ABCD 中，AB ∥CD ，BC=AD=5，∴∠BAE=∠DEA，∠ABF=∠BFC，∠的平分线交CD于点E，∵BAD∴∠BAE=∠DAE，∴∠DAE=∠DEA，∴DE=AD=5，同理：CF=BC=5，∴AB=CD=DE+CF-EF=5+5-2=8或AB=DE+CF+EF=5+5+2=12，故答案为：8或12.【点睛】此题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的等角对等边的判定，解题中注意分类思想的运用，避免漏解.16．101-【分析】探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．【详解】如图1中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，在Rt△ADE中，则有x2＝32+（9﹣x）2，解得x＝5，∴DE＝10﹣1-5＝4（cm），如图2中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE′的值最大，DE′＝10﹣1﹣3＝6（cm），如图3中，当点M 运动到点B ′落在CD 时， 22221310NB C N C B ''''=+=+=DB ′（即DE ″）＝10﹣1﹣10＝（9﹣10）（cm ），∴点E 的运动轨迹E →E ′→E ″，运动路径＝EE ′+E ′B ′＝6﹣4+6﹣（910101）（cm ）．101．【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．17．83或4433 【分析】 连接AC 交BD 于O ，由菱形的性质可得AB=BC=4，∠ABD=30°，AC ⊥BD ，BO=DO ，AO=CO ，可证四边形BEGF 是菱形，可得∠ABG=30°，可得点B ，点G ，点D 三点共线，由直角三角形性质可求3AC=4，分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．【详解】如图，连接AC 交BD 于O ，∵菱形ABCD 的边长是4，∠ABC=60°，∴AB=BC=4，∠ABD=30°，AC ⊥BD ，BO=DO ，AO=CO ，∵EG ∥BC ，FG ∥AB ，∴四边形BEGF 是平行四边形，又∵BE=BF ，∴四边形BEGF 是菱形，∴∠ABG=30°，∴点B ，点G ，点D 三点共线，∵AC ⊥BD ，∠ABD=30°，∴AO=12AB=2，22224223AB AO --= ∴BD=3AC=4，同理可求3BE ，即3， 若AD=DG'=4时，∴BG'=BD-DG'=434，∴BE'4344343-==； 若AG''=G''D 时，过点G''作G''H ⊥AD 于H ，∴AH=HD=2，∵∠ADB=30°，G''H ⊥AD ，∴DG''=2HG''，∵222HD HG''DG''+=，解得：HG''33=，DG''=2HG''433=， ∴BG''=BD-DG''=438343-= ∴BE''=83， 综上所述：BE 为83或434- 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．18．120 13【分析】设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AO和OH长，若MN最小，则MO最小即可，而O点到AC的最短距离为OH 长，所以MN最小值是2OH．【详解】解：设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，∵四边形MCNB是平行四边形，∴O为BC中点，MN＝2MO．∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AO⊥BC．在Rt△AOC中，利用勾股定理可得AO2222135AC CO-=-12．利用面积法：AO×CO＝AC×OH，即12×5＝13×OH，解得OH＝60 13．当MO最小时，则MN就最小，O点到AC的最短距离为OH长，所以当M点与H点重合时，MO最小值为OH长是60 13．所以此时MN最小值为2OH＝120 13．故答案为：120 13．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静．19．（-2，0）【分析】先计算得到点D的坐标，根据旋转的性质依次求出点D旋转后的点坐标，得到变化的规律即可得到答案．【详解】∵菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，∴对角线的交点D 的坐标是（2,2），∴OD ==将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，旋转1次后坐标是（0，），旋转2次后坐标是（-2,2），旋转3次后坐标是（-，0），旋转4次后坐标是（-2，-2），旋转5次后坐标是（0，-旋转6次后坐标是（2，-2），旋转7次后坐标是（,0），旋转8次后坐标是（2,2）旋转9次后坐标是（0，由此得到点D 旋转后的坐标是8次一个循环，∵201982523÷=，∴第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为（-，0）故答案为：（-0）．【点睛】此题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角坐标系中点坐标的变化规律，根据点D 的坐标依次求出旋转后的坐标得到变化规律是解题的关键．20a 【分析】（1）根据折叠的性质可得出，四边形AFED 为正方形，CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=，得出AB=AE ，继而可得解；（2）结合（1）可知，AE AM ==，因为EC=3BM ，所以有1BM 2FM =，求出BM ，继而可得解．【详解】解：（1）由折叠的性质可得，CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=， ∴AB=AE ，∵AE ==∴AB =．（2）结合（1）可知，AE AM ==，∴FM 2a a =-， ∵EC=3BM ， ∴1BM 2FM = ∴2BM a a -= ∴2321AB 2a a a a --=+=． 故答案为：2a ；3212a -． 【点睛】本题是一道关于折叠的综合题目，主要考查折叠的性质，弄清题意，结合图形找出线段间的数量关系是解题的关键．三、解答题21．（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②²²20m n n =+-【分析】（1）根据BEF BEA ≅得到BF BA =，根据三角形的三边关系得到BC BF BA >=，与已知矛盾；（2）①根据90BFC BFE ∠=∠=︒、DEC FCB ∠=∠和BF=CD ，利用AAS 证得BCF CED ≅，根据全等三角形的性质即可证明；②设1AD =，则可表示出AE 和AB ，然后根据等角对等边证得CE=CB ，然后在Rt CDE ∆中应用勾股定理即可求解．【详解】（1） 由折叠知BEF BEA ≅ ，所以90BF BA BFE A =∠=∠=︒， ．若点F 在CE 上，则90BFC ∠=︒，BC BF BA >=，与AB AD =矛盾，所以点F 不会落在CE 上．（2）①因为()01AB m m AD=<<，则AB AD < ， 因为点F 落在CE 上，。

中考数学专题复习《以平行四边形为背景的计算与证明》经典题型讲解类型之一 以平行四边形为背景的计算与证明【经典母题】已知：如图Z11－1，在▱ABCD 中，AC 是对角线，BE⊥AC ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F .求证：BE ＝DF .证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DCF .又∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，∴∠AEB ＝∠CFD ，∵AB ＝CD ，∴Rt △AEB ≌Rt △CFD ，∴BE ＝DF .【思想方法】 (1)平行四边形是一种特殊的四边形，它具有对边平行且相等，对角线互相平分的性质，根据平行四边形的性质可以解决一些有关的计算或证明问题；(2)平行四边形的判定有四种方法：两组对边平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分．【中考变形】1．[2016·益阳]如图Z11－2，在▱ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ，连结AF ，CE .求证：AF ＝CE .证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，∠ADB ＝∠CBD .又∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， 图Z11－1图Z11－2∴∠AED ＝∠CFB ，AE ∥CF .∴△AED ≌△CFB (AAS )．∴AE ＝CF .∴四边形AECF 是平行四边形．∴AF ＝CE .2．[2016·黄冈]如图Z11－3，在▱ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，BC 的中点，对角线AC 分别交BE ，DF 于点G ，H .求证：AG ＝CH .证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠CFH ，∠EAG ＝∠FCH ，∵E ，F 分别为AD ，BC 边的中点，∴AE ＝DE ＝12AD ，CF ＝BF ＝12BC ，∵AD ＝BC ，∴AE ＝CF ＝DE ＝BF .∵DE ∥BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴BE ∥DF ，∴∠AEG ＝∠ADF ，∴∠AEG ＝∠CFH ，在△AEG 和△CFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAG ＝∠FCH ，AE ＝CF ，∠AEG ＝∠CFH ，∴△AEG ≌△CFH (ASA )，∴AG ＝CH .【中考预测】[2016·义乌模拟]如图Z11－4，已知E ，F 分别是▱ABCD的边BC ，AD 上的点，且BE ＝DF .(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)若四边形AECF 是菱形，且BC ＝10，∠BAC ＝90°，图Z11－3图Z11－4求BE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC，∵BE＝DF，∴AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形；(2)如答图，∵四边形AECF是菱形，∴AE＝EC，∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝90°，中考预测答图∴∠3＝90°－∠2，∠4＝90°－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，∴BE＝AE＝CE ＝12BC＝5.类型之二以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明【经典母题】如图Z11－5，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD.求菱形各个内角的度数．图Z11－5 经典母题答图解：如答图，连结AC.∵四边形ABCD是菱形，AE⊥BC，AF⊥CD且E，F分别为BC，CD的中点，∴AC＝AB＝AD＝BC＝CD，∴△ABC，△ACD均为等边三角形，∴菱形ABCD 的四个内角度数分别为∠B ＝∠D ＝60°，∠BAD ＝∠BCD ＝120°.【思想方法】 要掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，采用类比法，比较它们的区别和联系．对于矩形的性质，重点从“四对”入手，即从对边、对角、对角线及对称轴入手；判定菱形可以从一般四边形入手，也可以从平行四边形入手；正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质．【中考变形】1．[2017·日照]如图Z11－6，已知BA ＝AE ＝DC ，AD ＝EC ，CE ⊥AE ，垂足为E .(1)求证：△DCA ≌△EAC ；(2)只需添加一个条件，即__AD ＝BC __，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．解：(1)证明：在△DCA 和△EAC 中，⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝EA ，AD ＝CE ，AC ＝CA ，∴△DCA ≌△EAC (SSS )；(2)添加AD ＝BC ，可使四边形ABCD 为矩形．理由如下：∵AB ＝DC ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵CE ⊥AE ，∴∠E ＝90°，由(1)得△DCA ≌△EAC ，∴∠D ＝∠E ＝90°，∴四边形ABCD 为矩形．故答案为AD ＝BC (答案不唯一)．2．[2017·白银]如图Z11－7，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC＝4，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F .(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形； 图Z11－6图Z11－7(2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点，∴AB ∥DC ，OB ＝OD ，∴∠OBE ＝∠ODF ，在△BOE 和△DOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OBE ＝∠ODF ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF (ASA )，∴EO ＝FO ，∴四边形BEDF 是平行四边形；(2)当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ，设BE ＝x ，则 DE ＝x ，AE ＝6－x ，在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2＋AE 2，∴x 2＝42＋(6－x )2，解得x ＝133，∵BD ＝AD 2＋AB 2＝213，∴OB ＝12BD ＝13，∵BD ⊥EF ，∴OE ＝BE 2－OB 2＝2133，∴EF ＝2EO ＝4133.3．[2017·盐城]如图Z11－8，矩形ABCD 中，∠ABD ，∠CDB 的平分线BE ，DF 分别交边AD ，BC 于点E ，F .(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)当∠ABE 为多少度时，四边形BEDF 是菱形？请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∵BE 平分∠ABD ，DF 平分∠BDC ，∴∠EBD ＝12∠ABD ，∠FDB ＝12∠BDC ，图Z11－8∴∠EBD＝∠FDB，∴BE∥DF，又∵AD∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形；(2)当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形，理由：∵BE平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30°，∴∠EDB＝∠EBD＝30°，∴EB＝ED，又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．4．[2016·株洲]如图Z11－9，在正方形ABCD中，BC＝3，E，F分别是CB，CD延长线上的点，DF＝BE，连结AE，AF，过点A作AH⊥ED于H点．(1)求证：△ADF≌△ABE；(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．解：(1)证明：正方形ABCD中，∵AD＝AB，∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ADF＝∠ABE＝90°，在△ADF与△ABE中，AD＝AB，∠ADF＝∠ABE，DF＝BE，∴△ADF≌△ABE(SAS)；(2)在Rt△ABE中，∵AB＝BC＝3，BE＝1，∴AE＝10，ED＝CD2＋CE2＝5，∵S△AED＝12ED·AH＝12AD·BA＝92，图Z11－9∴AH ＝95， 在Rt △AHD 中，DH ＝AD 2－AH 2＝125，∴EH ＝ED －DH ＝135，∴tan ∠AED ＝AH EH ＝913.5．[2017·上海]已知：如图Z11－10，四边形ABCD 中，AD∥BC ，AD ＝CD ，E 是对角线BD 上一点，且EA ＝EC .(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)如果BE ＝BC ，且∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3，求证：四边形ABCD 是正方形．证明：(1)在△ADE 与△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD，DE ＝DE ，EA ＝EC ，∴△ADE ≌△CDE (SSS )，∴∠ADE ＝∠CDE ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBD ，∴∠CDE ＝∠CBD ，∴BC ＝CD ，∵AD ＝CD ，∴BC ＝AD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AD ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形；(2)∵BE ＝BC ，∴∠BCE ＝∠BEC ，∵∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3，∴∠CBE ＝180×22＋3＋3＝45°，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABE ＝45°，∴∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形．图Z11－106．如图Z11－11，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过某一定点，说明理由；(3)求四边形EFGH面积的最小值．图Z11－11中考变形6答图解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DA，∵AE＝DH＝BF，∴BE＝AH，∴△AEH≌△BFE(SAS)，∴EH＝FE，∠AHE＝∠BEF，同理，FE＝GF＝HG，∴EH＝FE＝GF＝HG，∴四边形EFGH是菱形，∵∠A＝90°，∴∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°，∴∠FEH＝90°，∴四边形EFGH是正方形；(2)直线EG经过正方形ABCD的中心．理由：如答图，连结BD交EG于点O.∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠EBD＝∠GDB，∵AE＝CG，∴BE＝DG，∵∠EOB＝∠GOD，∴△EOB≌△GOD(AAS)，∴BO＝DO，即O为BD的中点，∴直线EG经过正方形ABCD的中心；(3)设AE＝DH＝x，则AH＝8－x，在Rt△AEH中，EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(8－x)2＝2x2－16x＋64＝2(x－4)2＋32，∵S四边形EFGH＝EH·EF＝EH2，∴四边形EFGH面积的最小值为32 cm2.【中考预测】如图Z11－12，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连结DF.图Z11－12(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定点E的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．解：(1)证明：∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC＝∠DAC.∵AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF，∴△ABF≌△ADF(SAS)，∴∠AFB＝∠AFD.又∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE；(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD.∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；(3)当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD.理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF.又∵CF为公共边，∴△BCF≌△DCF(SAS)，∴∠CBF＝∠CDF.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，∴∠CBF＋∠BCD＝∠CDF＋∠EFD，∴∠EFD＝∠BCD.。

2020中考数学 几何复习：平行四边形（含答案）一、选择题1.如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连结DE 并延长，交AB 的延长线于F 点，．添加一个条件，使四边形ABCD 是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（ ）A ．B ．C ．D ．2.如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝（ ）A ．2B ．3C ．D ．3.如图，在□ABCD 中，已知AD ＝8㎝， AB ＝6㎝， DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于（ ） A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm二、填空题1.如图，在□ABCD 中，∠A ＝120°，则∠D ＝_ _°.AB BF =AD BC =CD BF =A C ∠=∠F CDE ∠=∠2223ABCDAB CDEEBAFCD2．如图所示，在中，对角线相交于点，过点的直线分别交于点，若的面积为2，的面积为4，则的面积为．3.如图，在□ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD．BD的中点，连接EF．若EF＝3，则CD的长为．4.如图，□ABCD的对角线、相交于点，点是的中点，的周长为16cm，则的周长是 cm．5.如图，在四边形中，已知，再添加一个条件___________（写出一个即可），则四边形是平行四边形．(图形中不再添加辅助线)三、解答题1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB中点，连结CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF＝CE．求证：四边形ACEF是平行四边形．ABCDY AC BD、O O AD BC、M N、CON△DOM△AOB△AC BD O E CD ABD△DOE△ABCD AB CD=ABCDD CBA5题ACDBEOO2.如图，是平行四边形对角线上两点，，求证：．3.如图，l 1、l 2、l 3、l 4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h ，正方形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD 的面积是25.（1）连结EF ，证明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF 的面积相等. （2）求h 的值.4.如图，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，． 求证：（1）． （2）四边形是平行四边形．E F 、ABCD AC BE DF ∥AF CE=AF CE DF BE DF BE ==，，∥AFD CEB △≌△ABCD DCAB E F5.如图，在ΔABC 中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点.证明：四边形DECF 是平行四边形.6.在所给的9×9方格中，每个小正方形的边长都是1．按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．(1)在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数；(2)在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数．(注：图甲、图乙在答题纸上)7.如图：点A ．D ．B ．E 在同一直线上，AD ＝BE ，AC ＝DF ，AC ∥DF ，请从图中找出一个与∠E 相等的角，并加以证明．（不再添加其他的字母与线段）A FE D CBABDEFC8. 如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF．请你猜想：BE•与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．【参考答案】 选择题1. D2. C3. B 填空题 1. 60 2. 63. 6 因为EF 是△ABD 的中位线，则AB ＝6，又AB ＝CD ，所以CD ＝6.4. 85.解答题1. 证明：∵点E 为Rt△ABC 的斜边中点，∴EC＝EA ＝EB ∴∠EAC＝∠ECA． ∵AF ＝CE ，CE ＝EA ∴AF ＝AE ， ∴∠AFE＝∠AEF． ∵∠ACB ＝∠EDB ＝90° ∴FD∥BC ∴∠AEF＝∠E AC∴∠EAC＝∠ECA＝∠AFE＝∠AEF．∴∠EAF＝180°－∠AFE－∠AEF ＝180°－∠EAC－∠ECA＝∠AEC ∴AF∥CE 又∵AF ＝CE∴四边形ACEF 是平行四边形.2. 证明：平行四边形中，，， ．180180AB CD AD BCA DB C∥°°=????或或或等ABCD AD BC ∥AD BC =ACB CAD ∴∠=∠又，， ，3. 解：连结EF∵l 1∥l 2∥l 3∥l 4，且四边形ABCD 是正方形 ∴BE∥FD，BF∥ED∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴BE＝FD又∵l 1、l 2、l 3和l 4之间的距离为h∴S △ABE ＝BE·h，S △FBE ＝BE·h，S △EDF ＝FD·h，S △CDF ＝FD·h ∴S △ABE ＝ S △FBE ＝ S △EDF ＝ S △CDF （2）过A 点作AH⊥BE 于H 点。

中考数学平行四边形知识点-+典型题含答案一、解答题1．已知，四边形ABCD 是正方形，点E 是正方形ABCD 所在平面内一动点（不与点D 重合），AB ＝AE ，过点B 作DE 的垂线交DE 所在直线于F ，连接CF ．提出问题：当点E 运动时，线段CF 与线段DE 之间的数量关系是否发生改变？ 探究问题：（1）首先考察点E 的一个特殊位置：当点E 与点B 重合（如图①）时，点F 与点B 也重合．用等式表示线段CF 与线段DE 之间的数量关系： ；（2）然后考察点E 的一般位置，分两种情况：情况1：当点E 是正方形ABCD 内部一点（如图②）时；情况2：当点E 是正方形ABCD 外部一点（如图③）时．在情况1或情况2下，线段CF 与线段DE 之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；拓展问题：（3）连接AF ，用等式表示线段AF 、CF 、DF 三者之间的数量关系： ．2．综合与实践．问题情境：如图①，在纸片ABCD □中，5AD =，15ABCD S =，过点A 作AE BC ⊥，垂足为点E ，沿AE 剪下ABE △，将它平移至DCE '的位置，拼成四边形AEE D '． 独立思考：（1）试探究四边形AEE D '的形状．深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '．上取一点F ，使4EF =，剪下AEF ，将它平移至DE F ''的位置，拼成四边形AFF D '，试探究四边形AFF D'的形状；拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形AFF D'的两条对角线长；（4）若四边形ABCD为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．3．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，D为直线BC上一动点（不与点B，C 重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系是，BC、CF、CD三条线段之间的数量关系为；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC与CF的位置关系BC，CD，CF三条线段之间的数量关系并证明；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF的对角线AE，DF相交于点O，OC=132，DB=5，则△ABC的面积为．（直接写出答案）4．在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于点F（如图1和图2），然后展开铺平，连接BE，EF．（1）操作发现：①在矩形ABCD中，任意折叠所得的△BEF是一个三角形；②当折痕经过点A时，BE与AE的数量关系为．（2）深入探究：在矩形ABCD中，AB3BC＝3①当△BEF是等边三角形时，求出BF的长；②△BEF的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF的长；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC的顶点A（10，0）、C（2，4），点D是OA 的中点，点P在BC上由点B向点C运动．（1）求点B的坐标；（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求t的值；（3）当△ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．6．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E 处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随着移动．①当点Q与点C重合时，（如图2），求菱形BFEP的边长；②如果限定P、Q分别在线段BA、BC上移动，直接写出菱形BFEP面积的变化范围．7．（问题情境）在△ABC中，AB=AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．当P在BC边上时（如图1），求证：PD+PE=CF．图① 图② 图③证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．（不要证明）（变式探究）当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由.请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF 上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；（迁移拓展）在直角坐标系中.直线l1：y=443x-+与直线l2：y=2x+4相交于点A，直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C．点P是直线l2上一个动点,若点P到直线l1的距离为1.求点P的坐标.8．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E 不是边BC 的中点，F 不是边CD 的中点，且CE=DF ，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E ，F 分别在CB 的延长线和DC 的延长线上，且CE=DF ，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE 和BF ，若点M ，N ，P ，Q 分别为AE ，EF ，FD ，AD 的中点，请判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．9．如图，已知正方形ABCD 与正方形CEFG 如图放置，连接AG ，AE ．（1）求证：AG AE =（2）过点F 作FP AE ⊥于P ，交AB 、AD 于M 、N ，交AE 、AG 于P 、Q ，交BC 于H ，．求证：NH =FM10．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC CF 、为邻边作平行四边形ECFG 。