四年级数学数的整除性练习题1
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小学四年级数学上册除法题练习汇总
本文档是针对小学四年级数学上册的除法题练进行汇总。
以下是一些典型的除法题目。
1. 单位除法
例题:有120个苹果,要分给3个学生,每个学生能获得多少个苹果?
解答:我们可以使用单位除法来解决这个问题。
将120个苹果平均分给3个学生,每个学生可以获得40个苹果。
2. 余数
例题:37除以5等于多少?余数是多少?
解答:37除以5等于7,余数是2。
因为5乘以7等于35,37减去35等于2。
3. 两位数的除法
例题:68除以4等于多少?
解答:我们可以使用列竖式的方法来解决这个问题。
将4除进68可以得到16,将16乘以4等于64,然后用68减去64得到余数4。
所以68除以4等于16余4。
4. 小结
本文档汇总了一些小学四年级数学上册中的除法题练。
通过这些题目的练,学生们可以加深对除法的理解和掌握,提高解决问题的能力。
希望这些练对学生们有帮助。
以上是汇总的除法题练,如果需要更多练,建议参考教材或向老师寻求进一步的指导。
小学数学整除性质练习题一、选择题1. 438除以2,结果为:A. 218B. 216C. 222D. 2142. 哪个数能被2和3整除?A. 16B. 21C. 42D. 283. 用8除以4,结果为:A. 1B. 2C. 0.5D. 44. 哪个数是5的倍数?A. 18B. 27C. 35D. 425. 一个数能同时被2和10整除,这个数最小是:A. 2B. 5C. 10D. 20二、填空题1. 24÷(4×3)= ______2. 16÷4+7 = ______3. 36÷(12÷3)= ______4. 55÷5-3 = ______5. 80÷8×5 = ______三、解答题1. 一个数可以被2和3整除,且为30的倍数,这个数最小是多少?2. 一个数各位数字之和为9,能被3整除,这个数最大是多少?3. 一个数能被4和5整除,且为20的倍数,这个数最大是多少?四、应用题小明想将一些书平均分给他的3个好朋友,每个朋友可以获得24本书。
小明最少有多少本书?五、综合题1. 写出10个既能被2又能被3整除的自然数。
2. 如果一个数能同时被4和6整除,那么它一定能被2整除吗?请解释原因。
3. 一个数能被3、5和8整除,且是30的倍数,这个数最小是多少?六、挑战题1. 找出一个100以内能被5整除、9不能整除的最大自然数。
2. 两个数相乘等于72,其中一个数是9的倍数,另一个数是12的倍数,这两个数分别是多少?3. 在200以内,找出一个既能被6和9整除,又能被15整除的最小自然数。
以上就是关于小学数学整除性质的练习题或试卷,希望对学生们的数学学习有所帮助。
初等数论(4)(第一章数的整除性第四节最大公因数(1))定义1 整数a1,a2, ,a k的公共因数称为a1,a2, ,a k的公因数。
不全为零的整数a1,a2, ,a k的公因数中最大的一个叫做a1,a2, ,a k的最大公因数,记为(a1,a2, ,a k)。
由于每个非零整数的因数的个数是有限的,所以最大公因数是存在的,并且是正整数。
如果(a1,a2, ,a k)=1,则称a1,a2, ,a k是互质的;如果(a i , a j)=1,1 ≤i ≤k,1 ≤ j ≤k,i≠ j,则称a1,a2, ,a k是两两互质的。
显然,由a1,a2, ,a k两两互质可以推出(a1,a2, ,a k)= 1,反之则不然,例如(2,6,15)=1,但(2,6)= 2。
定理1 下面的等式成立:(ⅰ)(a1,a2, ,a k)=(|a1|,|a2|, ,|a k|);(ⅱ)(a,1)=1,(a,0)=|a|,(a,a)=|a|;(ⅲ)(a,b)=(b,a);(ⅳ)若p是质数,a是整数,则(p,a)=1或p∣a;(ⅴ)若a = bq + r,则(a,b)=(b,r)。
证明(ⅰ)我们先证明a1,a2, ,a k与|a1|,|a2|, ,|a k|的公因数相同。
设d是a1,a2, ,a k 任一公因数,由定义d∣ a i,i = 1,2,……,n。
因而d∣| a i | ,i = 1,2,……,n。
故d是|a1|,|a2|, ,|a k|的一个公因数,同样的方法可证|a1|,|a2|, ,|a k|的任一个公因数都是a1,a2, ,a k的一个公因数.即a1,a2, ,a k与|a1|,|a2|, ,|a k|的公因数相同。
由此可直接得(a1,a2, ,a k)=(|a1|,|a2|, ,|a k|);(ⅱ)、(ⅲ)、(ⅳ)显然。
(ⅴ)如果d∣a,d∣b,则有d∣r = a -bq,反之,若d∣b,d∣r,则d∣a = bq + r。
小学四年级数学练习题求和:(中等难度)300到400之间能被7整除的各数之和是多少?求和答案:这些数构成以301为首项,7为公差,项数为15的等差数列,它们的和为:5250.减法题:(中等难度)马小虎在做一道整数减法题时,把减数个位上的1看成7,把十位上的7看成1,得出差为111,则正确答案是?减法题答案:巧算:(中等难度)计算9+ 99+ 999+ 9999 + 99999巧算答案:在涉及所有数字都是9的计算中,常使用凑整法•例如将999化成1000-1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.9+99+999+9999+99999=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)+(100000-1)=10+100+1000+10000+100000-5定义新运算:(中等难度)已知存在这样一种运算定义,求'■"'的值.定义新运算答案:102 = 1x2 + 1 + 2-5593 = 5x3+5+3 = 23相遇:(中等难度)1 / 8甲、乙二人分别从相距30千M的两地同时出发相向而行,甲每小时走6千M乙每小时走4千M问:二人几小时后相遇?相遇答案:30+(6 + 4)=30 + 10=3 (小时)答:3小时后两人相遇.三角形:(中等难度)三角形ABC中,C是直角,已知AC= 2, CD= 2,CB=3,AM=BM那么三角形AMN(阴影部分)的面积是多少?三角形答案:可以连接NB由燕尾定理及条件可知CAN AB= 2: 1,不妨设ANM为1份,则ANB为两份,CAN就是4份,CND也是4份,全图就是10份,阴影就占全图的1/10倍数:(中等难度)证明任取6 个自然数,必有两个数的差是5 的倍数。
倍数答案:考虑每个自然数被5 除所得的余数。
即自然数可以作为物品,被5 除所得余数可以作为抽屉。
显然可知,任意一个自然数被5除所得的余数有5 种情况:0, 1, 2, 3, 4。
第一章小学数学解题方法解题技巧之整除及数字整除特征【数字整除特征】例1 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是__。
(上海市第五届小学数学竞赛试题)讲析:能被99整除的数,一定能被9和11整除。
设千位上和个位上分别填上数字a、b,则:各位上数字之和为[16+(a+b)]。
要使原数能被9整除,必须使[16+(a+b)]是9的倍数,即(a+b)之和只能取2或11。
又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是(8+a-b)或(b-a-8),要使原数能被11整除,必须使(8+a-b)或(b-a-8)是11的倍数。
经验证,(b-a-8)是11的倍数不合。
所以a-b=3。
又a+b=2或11,可求得a=7,b=4。
从而很容易求出商为427284÷99=4316。
例2 某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除,那么它的最后三位数字依次是__。
(1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题)讲析:因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。
而1993000÷2520=790余2200。
于是再加上(2520-2200)=320时,就可以了。
所以最后三位数字依次是3、2、0。
例3 七位数175□62□的末位数字是__的时候,不管千位上是0到9中的哪一个数字,这个七位数都不是11的倍数。
(上海市第五届小学数学竞赛试题)讲析:设千位上和个位上的数字分别是a和b。
则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+(b-a)]或[(a-b)-3]。
要使原数是11的倍数,只需[3+(b-a)]或[(a-b)-3]是11的倍数。
则有 b-a=8,或者a-b=3。
①当 b-a=8时,b可取9、8;②当 a-b=3时,b可取6、5、4、3、2、1、0。
所以,当这个七位数的末位数字取7时,不管千位上数字是几,这个七位数都不是11的倍数。
例4 下面这个四十一位数55......5□99 (9)(其中5和9各有20个)能被7整除,那么中间方格内的数字是__。
四年级整除的练习题1. 12 ÷ 4 =2. 16 ÷ 2 =3. 20 ÷ 5 =4. 36 ÷ 6 =5. 48 ÷ 8 =6. 60 ÷ 10 =7. 72 ÷ 9 =8. 84 ÷ 7 =9. 96 ÷ 12 =10. 100 ÷ 20 =11. 108 ÷ 9 =12. 120 ÷ 10 =解答:1. 12 ÷ 4 = 32. 16 ÷ 2 = 83. 20 ÷ 5 = 44. 36 ÷ 6 = 65. 48 ÷ 8 = 67. 72 ÷ 9 = 88. 84 ÷ 7 = 129. 96 ÷ 12 = 810. 100 ÷ 20 = 511. 108 ÷ 9 = 1212. 120 ÷ 10 = 12这些是一些四年级学生可以练习的整除题目。
整除是数学中的一个基本概念,指的是一个数能够被另一个数整除,也就是没有余数。
在解答这些题目时,学生需要将被除数除以除数,找出能够整除的结果。
下面是每道题的解答:1. 12 ÷ 4 = 312除以4等于3,因为3乘以4等于12,没有余数。
2. 16 ÷ 2 = 816除以2等于8,因为8乘以2等于16,没有余数。
3. 20 ÷ 5 = 420除以5等于4,因为4乘以5等于20,没有余数。
4. 36 ÷ 6 = 636除以6等于6,因为6乘以6等于36,没有余数。
48除以8等于6,因为6乘以8等于48,没有余数。
6. 60 ÷ 10 = 660除以10等于6,因为6乘以10等于60,没有余数。
7. 72 ÷ 9 = 872除以9等于8,因为8乘以9等于72,没有余数。
8. 84 ÷ 7 = 1284除以7等于12,因为12乘以7等于84,没有余数。
(初中数学)数的整除性精选题练习及答案阅读与思考设a,b是整数,b≠0,如果一个整数q使得等式a=bq成立,那么称a能被b整除,或称b整除a,记作b|a,又称b为a的约数,而a称为b的倍数.解与整数的整除相关问题常用到以下知识:1.数的整除性常见特征:①若整数a的个位数是偶数,则2|a;②若整数a的个位数是0或5,则5|a;③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数,则3|a(或9|a);④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数,则4|a(或25|a);⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数,则8|a(或125|a);⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数,则11|a.2.整除的基本性质设a,b,c都是整数,有:①若a|b,b|c,则a|c;②若c|a,c|b,则c|(a±b);③若b|a,c|a,则[b,c]|a;④若b|a,c|a,且b与c互质,则bc|a;⑤若a|bc,且a与c互质,则a|b.特别地,若质数p|bc,则必有p|b或p|c.例题与求解【例1】在1,2,3,…,2 000这2 000个自然数中,有_______个自然数能同时被2和3整除,而且不能被5整除.(“五羊杯”竞赛试题) 解题思想:自然数n能同时被2和3整除,则n能被6整除,从中剔除能被5整除的数,即为所求.【例2】已知a,b是正整数(a>b),对于以下两个结论:①在a+b,ab,a-b这三个数中必有2的倍数;②在a+b,ab,a-b这三个数中必有3的倍数.其中( )A.只有①正确B.只有②正确C.①,②都正确D.①,②都不正确(江苏省竞赛试题)解题思想:举例验证,或按剩余类深入讨论证明.ab能被198整除,求a,b的值.(江苏省竞赛试题)【例3】已知整数13456ab能被9,11整除,运用整除的相关特性建立a,b的等式,解题思想:198=2×9×11,整数13456求出a,b的值.【例4】已知a ,b ,c 都是整数,当代数式7a +2b +3c 的值能被13整除时,那么代数式5a +7b -22c 的值是否一定能被13整除,为什么?(“华罗庚金杯”邀请赛试题)解题思想:先把5a +7b -22c 构造成均能被13整除的两个代数式的和,再进行判断.【例5】如果将正整数M 放在正整数m 左侧,所得到的新数可被7整除,那么称M 为m 的“魔术数”(例如:把86放在415左侧,得到86 415能被7整除,所以称86为415的魔术数),求正整数n 的最小值,使得存在互不相同的正整数1a ,2a ,…,n a ,满足对任意一个正整数m ,在1a ,2a ,…,n a 中都至少有一个为m 的“魔术数”.解题思想:不妨设7i i a k t =+(i =1,2,3,…,n ;t =0,1,2,3,4,5,6)至少有一个为m 的“魔术数”.根据题中条件,利用10k i a m +(k 是m 的位数)被7除所得余数,分析i 的取值.【例6】一只青蛙,位于数轴上的点k a ,跳动一次后到达1k a +,已知k a ,1k a +满足|1k a +-k a |=1,我们把青蛙从1a 开始,经n -1次跳动的位置依次记作n A :1a ,2a ,3a ,…,n a .⑴ 写出一个5A ,使其150a a ==,且1a +2a +3a +4a +5a >0;⑵ 若1a =13,2000a =2 012,求1000a 的值;⑶ 对于整数n (n ≥2),如果存在一个n A 能同时满足如下两个条件:①1a =0;②1a +2a +3a +…+n a =0.求整数n (n ≥2)被4除的余数,并说理理由.(2013年“创新杯”邀请赛试题)解题思想:⑴150a a ==.即从原点出发,经过4次跳动后回到原点,这就只能两次向右,两次向左.为保证1a +2a +3a +4a +5a >0.只需将“向右”安排在前即可.⑵若1a =13,2000a =2 012,从1a 经过1 999步到2000a .不妨设向右跳了x 步,向左跳了y 步,则1999132012x y x y +=⎧⎨+-=⎩,解得19990x y =⎧⎨=⎩可见,它一直向右跳,没有向左跳. ⑶设n A 同时满足两个条件:①1a =0;②1a +2a +3a +…+n a =0.由于1a =0,故从原点出发,经过(k -1)步到达k a ,假定这(k -1)步中,向右跳了k x 步,向左跳了k y 步,于是k a =k x -k y ,k x +k y =k -1,则1a +2a +3a +…+n a =0+(22x y -)+(33x y -)+…(n n x y -)=2(1x +2x +…+n x )-[(22x y +)+(33x y +)+…+(n n x y +)]=2(2x +3x +…+n x )-()12n n -.由于1a +2a +3a +…+n a =0,所以n (n -1)=4(2x +3x +…+n x ).即4|n (n -1).能力训练A 级1.某班学生不到50人,在一次测验中,有17的学生得优,13的学生得良,12的学生得及格,则有________人不及格.2.从1到10 000这1万个自然数中,有_______个数能被5或能被7整除.(上海市竞赛试题)3.一个五位数398ab 能被11与9整除,这个五位数是________.4.在小于1 997的自然数中,是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是()A .532B .665C .133D .7985.能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( )A .1B .2C .3D .6 (江苏省竞赛试题)6.用数字1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的三位数中,是9的倍数的数有()A .12个B .18个C .20个D .30个 (“希望杯”邀请赛试题)7.五位数abcde 是9的倍数,其中abcd 是4的倍数,那么abcde 的最小值为多少?(黄冈市竞赛试题)8.1,2,3,4,5,6每个使用一次组成一个六位数字abcdef ,使得三位数abc ,bcd ,cde ,def 能依次被4,5,3,11整除,求这个六位数.(上海市竞赛试题)9.173□是个四位数字,数学老师说:“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9,11,6整除.”问:数学老师先后填入的这3个数字的和是多少?(“华罗庚金杯”邀请赛试题)B级1.若一个正整数a被2,3,…,9这八个自然数除,所得的余数都为1,则a的最小值为_________,a的一般表达式为____________.(“希望杯”邀请赛试题) 2.已知m,n都是正整数,若1≤m≤n≤30,且mn能被21整除,则满足条件的数对(m,n)共有___________个.(天津市竞赛试题) 3.一个六位数1989x y能被33整除,这样的六位数中最大是__________.4.有以下两个数串1,3,5,7,,1991,1993,1995,1997,19991,4,7,10,,1987,1990,1993,1996,1999⎧⎨⎩同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个.A.333 B.334 C.335 D.3365.一个六位数1991a b能被12整除,这样的六位数共有( )个.A.4 B.6 C.8 D.126.若1 059,1 417,2 312分别被自然数n除时,所得的余数都是m,则n-m的值为( ).A.15 B.1 C.164 D.1747.有一种室内游戏,魔术师要求某参赛者相好一个三位数abc,然后,魔术师再要求他记下五个数:acb,bac,bca,cab,cba,并把这五个数加起来求出和N.只要讲出N的大小,魔术师就能说出原数abc是什么.如果N=3 194,请你确定abc.(美国数学邀请赛试题) 8.一个正整数N的各位数字不全相等,如果将N的各位数字重新排列,必可得到一个最大数和一个最小数,若最大数与最小数的差正好等于原来的数N,则称N为“拷贝数”,试求所有的三位“拷贝数”.(武汉市竞赛试题)9.一个六位数,如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置,则所得的新六位数恰为原数的6倍,求这个三位数.(“五羊杯”竞赛试题)10.一个四位数,这个四位数与它的各位数字之和为1 999,求这个四位数,并说明理由.(重庆市竞赛试题)11.从1,2,…,9中任取n 个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是全部),它们的和能被10整除,求n 的最小值.(2013年全国初中数学竞赛试题)数的整除性答案例1 267 提示:333-66=267.例2 C 提示:关于②的证明:对于a ,b 若至少有一个是3的倍数,则ab 是3的倍数.若a ,b 都不是3的倍数,则有:(1)当a =3m +1,b =3n +1时,a -b =3(m -n );(2)当a =3m +1,b =3n +2时,a +b =3(m +n +1);(3)当a =3m +2,b =3n +1时,a +b =3(m +n +1);(4)当a =3m +2,b =3n +2时,a -b =3(m -n ).例3 a =8.b =0提示:由9|(19+a +b )得a +b =8或17;由11|(3+a -b )得a -b =8或-3.例4 设x ,y ,z ,t 是整数,并且假设5a +7b -22c =x (7a +2b +3c ) +13(ya +zb +tc ).比较上式a ,b ,c的系数,应当有⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+=+2213371325137t x z x y x ,取x =-3,可以得到y =2,z =1,t =-1,则有13 (2a +b -c )-3(7a +2b +3c )=5a +7b -22c .既然3(7a +2b +3c )和13(2a +b -c )都能被13整除,则5a +7b -22c 就能被13整除.例5 考虑到“魔术数”均为7的倍数,又a 1,a 2,…,a n 互不相等,不妨设a 1 <a 2<…<a n ,余数必为1,2,3,4,5,6,0,设a i =k i +t (i =1,2,3,…,n ;t =0,1,2,3,4,5,6),至少有一个为m 的“魔术数”,因为a i ·10k +m (k 是m 的位数),是7的倍数,当i ≤b 时,而a i ·t 除以7的余数都是0,1,2,3,4,5,6中的6个;当i =7时,而a i ·10k 除以7的余数都是0,1,2,3,4,5,6这7个数字循环出现,当i =7时,依抽屉原理,a i ·10k 与m 二者余数的和至少有一个是7,此时a i ·10k +m 被7整除,即n =7.例6 (1)A 5:0,1,2,1,0.(或A 5:0,1,0,1,0) (2)a 1000=13+999=1 012. (3)n 被4除余数为0或1.A 级1.1 2.3 143 3.39 798 4.A 5.C 6.B—————+0+0+0+e 能被9整除,所以e 只能取8.因此—abcde 最小值为 10 008.8.324 561提示:d +f -e 是11的倍数,但6≤d +f ≤5+6=11,1≤e ≤6,故0≤d +f -e ≤10,因此d +f -e =0,即5+f =e ,又e ≤d ,f ≥1,故f =l ,e =6,9.19 提示:1+7+3+□的和能被9整除,故□里只能填7,同理,得到后两个数为8,4.B 级1.2 521 a =2 520n +1(n ∈N +)2.573.719 895提示:这个数能被33整除,故也能被3整除.于是,各位数字之和(x +1+9+8+9+y )也能被3整除,故x +y 能被3整除.4.B5.B6.A 提示:两两差能被n 整除,n =179,m =164.7.由题意得—acb +—bac +—bca +—cab +—cba =3 194,两边加上—abc .得222(a +b +c )=3194+—abc∴222(a +b +c ) =222×14+86+—abc .则—abc +86是222的倍数.且a +b +c >14.设——abc +86=222n 考虑到——abc 是三位数,依次取n =1,2,3,4.分别得出——abc 的可能值为136,358,580,802,又因为a +b +c >14.故——abc =358.8.设N 为所求的三位“拷贝数”,它的各位数字分别为a ,b ,c (a ,b ,c 不全相等).将其数码重新排列后,设其中最大数为——abc ,则最小数为——cba .故N = ——abc -——cba =(100a +10b +c )- (100c +10b +a )=99(a -c ).可知N 为99的倍数.这样的三位数可能是198,297,396,495,594,693,792,891,990.而这9个数中,只有954- 459=495.故495是唯一的三位“拷贝数”.9.设原六位数为———abcdef ,则6×———abcdef =———defabc ,即6×(1000×——abc +——def )=1000×——def +——abc ,所以994×——def -5 999×——abc ,即142×——def =857×——abc , ∵(142,857)=1,∴ 142|—abc ,857|——def ,而——abc ,——def 为三位数,∴—abc =142,——def =857,故———abcdef =142857.10.设这个数为——abcd ,则1 000a +100b +10c +d +a +b +c +d =1 999,即1 001a +101b +11c +2d =1 999,得a =1,进而101b +11c +2d =998,101b ≥998-117-881,有b =9,则11c +2d =89,而0≤2d ≤18,71≤11c ≤89,推得c =7,d =6,故这个四位数是1 976.11.当n =4时,数1,3,5,8中没有若干个数的和能被10整除.当n =5时,设a 1a 2,…,a 5是1,2,…,9中的5个不同的数,若其中任意若干个数,它们的和都不能被10整除,则125,,,a a a 中不可能同时出现1和9,2和8,3和7,4和6,于是125,,,a a a 中必定有一个为5,若125,,,a a a 中含1,则不含9,于是,不含4(45110)⨯++=,故含6;不含3(36110)⨯++=,故含7;不含2(21710)⨯++=,故含。
四年级数学除数是两位数的除法试题答案及解析1.口算。
360÷60= 580÷20= 1200÷200=160÷16= 450÷90= 280÷70=【答案】6,29,6,10,5,4【解析】360÷60=6, 580÷20=29, 1200÷200=6,160÷16=10, 450÷90=5, 280÷70=4。
2.一辆汽车3小时行驶150千米,……?是求速度的题目。
()【答案】√【解析】速度=路程÷时间3.新华超市对某品牌牛奶进行促销.王阿姨带260元,最多可以买几箱?还剩多少钱?【答案】8箱,2元【解析】根据题意可知,买66元两箱的比较便宜,买的比较多,用66÷2=33元,求出一箱的价钱,看260里面有几个33,就有几箱。
解:260÷(66÷2)=266÷33=8(箱)……2元答:最多可以买8箱,还剩2元。
【考点】有余数的除法应用题。
总结:解答此题的关键是先判断出怎样买买的比较多,然后根据除法的意义进行解答即可。
4.按文具价目表答题。
(2)一个练习本比一支圆珠笔便宜2元,100元钱能否买50个练习本?(3)一个书包的价钱是一个铅笔盒价钱的3倍,买25个铅笔盒需要多少元?【答案】(1)33支;(2)能;(3)375元【解析】(1)根据题意,可用100除以3进行计算,得到的商即是可以购买的自动笔的支数,得到的余数是剩余的钱数;(2)可用4减去2计算出一个练习本的单价,然后再用50乘练习本的单价计算出购买50本的价钱,最后再和100元相比较即可;(3)根据题意,可用45除以3计算出铅笔盒的单价,然后再根据公式单价×数量=总价进行计算即可。
解:(1)100÷3=33(支)…1(元),答:100元可以买33支自动笔;(2)(4-2)×50=2×50,=100元,100元=100元,答:100元能买50个练习本;(3)45÷3×25=15×25,=375(元),答:买25个铅笔盒需要375元。
第6讲数的整除性(二)
这一讲主要讲能被11整除的数的特征。
一个数从右边数起,第1,3,5,…位称为奇数位,第2,4,6,…位称为偶数位。
也就是说,个位、百位、万位……是奇数位,十位、千位、十万位……是偶数位。
例如9位数768325419中,奇数位与偶数位如下图所示:
能被11整除的数的特征:一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(大数减小数)如果能被11整除,那么这个数就能被11整除。
例1判断七位数1839673能否被11整除。
分析与解:奇数位上的数字之和为1+3+6+3=13,偶数位上的数字之和为8+9+7=24,因为24-13=11能被11整除,所以1839673能被11整除。
根据能被11整除的数的特征,也能求出一个数除以11的余数。
一个数除以11的余数,与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。
如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和,那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍,使其大于偶数位上的数字之和。
例2 求下列各数除以11的余数:
(1)41873;(2)296738185。
分析与解:(1)[(4+8+3)-(1+7)]÷11
=7÷11=0……7,
所以41873除以11的余数是7。
(2)奇数位之和为2+6+3+1+5=17,偶数位之和为9+7+8+8=32。
因为17<32,所以应给17增加11的整数倍,使其大于32。
(17+11×2)-32=7,
所以296738185除以11的余数是7。
需要说明的是,当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时,为了计算方便,也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和,再除以11,所得余数与11的差即为所求。
如上题(2)中,(32-17)÷11=1……4,所求余数是11-4=7。
例3求除以11的余数。
分析与解:奇数位是101个1,偶数位是100个9。
(9×100-1×101)÷11
=799÷11=72……7,
11-7=4,所求余数是4。
例3还有其它简捷解法,例如每个“19”奇偶数位上的数字相差9-1
=8,奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相差8×99=8×9×11,能被11整除。
所以例3相当于求最后三位数191除以11的余数。
例4用3,3,7,7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数?
解:只要奇数位和偶数位上各有一个3和一个7即可。
有3377,3773,7337,7733。
例5用1~9九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数。
分析与解:最大的没有重复数字的九位数是987654321,由
(9+7+5+3+1)-(8+6+4+2)=5
知,987654321不能被11整除。
为了保证这个数尽可能大,我们尽量调整低位数字,只要使奇数位的数字和增加3(偶数位的数字和自然就减少3),奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差就变为5+3×2=11,这个数就能被11整除。
调整“4321”,只要4调到奇数位,1调到偶数位,奇数位就比原来增大3,就可达到目的。
此时,4,3在奇数位,2,1在偶数位,后四位最大是2413。
所求数为987652413。
例6 六位数能被99整除,求A和B。
分析与解:由99=9×11,且9与11互质,所以六位数既能被9整除又能被11整除。
因为六位数能被9整除,所以
A+2+8+7+5+B
=22+A+B
应能被9整除,由此推知A+B=5或14。
又因为六位数能被11整除,所以
(A+8+5)-(2+7+B)
=A-B+4
应能被11整除,即
A-B+4=0或A-B+4=11。
化简得B-A=4或A-B=7。
因为A+B与A-B同奇同偶,所以有
在(1)中,A≤5与A≥7不能同时满足,所以无解。
在(2)中,上、下两式相加,得
(B+A)+(B-A)=14+4,
2B=18,
B=9。
将B=9代入A+B=14,得A=5。
所以,A=5,B=9。