(初中数学)数的整除性精选题练习及答案

数学数的整除试题答案及解析1.（2012•中山市模拟）一个式子有8个空“”，在这些“”里，填进20以内各不相同的质数，使A是整数，并且尽可能大．A=（++++++）÷．【答案】2，3，5，11，13，17，19，7．【解析】根据质数的意义可知，20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19；它们的和为2+3+5+7+11+13+17+19=77，则算式中除数应用为77的约数，能被77整除的只有7和11，因此A最大为（77﹣7）÷7=10．解：20以内的质数的质数的和为：2+3+5+7+11+13+17+19=77，77=7×11，所以要使A最大，则A=[2+3+5+11+13+17+19]÷7=70÷7=10，即A能取得的最大整数是10．故答案为：2，3，5，11，13，17，19，7．点评：首先根据质数的意义确定20以内的质数并求出它们的和是完成本题的关键．2.将下列表格空白处填写完整．球类单价数量总价篮球元 3个 93元足球元 2个 76元排球元 4个 68元【答案】31，38，17．【解析】用总价除以数量等于单价解答即可．解：93÷3=31（元）；76÷2=38（元）；68÷4=17（元）；球类单价数量总价篮球 31元 3个 93元足球 38元 2个 76元排球 17元 4个 68元故答案为：31，38，17．点评：此题考查了单价、数量和总价之间的关系．3.一辆汽车从甲地开往乙地，前3小时行了168千米，照这样的速度又行了5小时，正好到达乙地，甲乙两地相距多少千米？【答案】448千米【解析】照这样的速度说明汽车行驶速度是一定的，先求出速度，再用速度乘时间即可解答．解：168÷3×（3+5）=56×8=448（千米）．答：甲乙两地相距448千米．点评：此题是简单的归一问题，根据照这样的速度先求出单一量，再根据路程、速度、时间三者的关系解答．4.从35里减5，连减7次，刚好减完．．【答案】√【解析】求出35里面有几个5就需要减几次，然后与7次比较，即可判断．解：35÷5=7；35里面有7个5，也就是连减7次5，就刚好减完．故答案为：√．点评：本题关键是理解题意，把题目看成求一个是里面有几个另一个数，用除法求解．5. 125÷5=160÷10=25﹣16=．【答案】25；16；9；【解析】根据整数除法竖式及减法竖式的计算的方法进行计算即可；解：125÷5=25；160÷10=16；25﹣16=9；点评：本题主要考查整数乘除法的笔算，根据各自的计算法则进行计算即可．6.被除数是24，除数是3，商是多少？【答案】8【解析】直接用除法解答．解：24÷3=8；答：商是8．点评：此题主要考查对除法意义的理解和掌握．7.用竖式计算，并验算．727÷81= 595÷17= 207×14= 380×40=【答案】8…79；35；2898；15200；【解析】本题根据整数乘法与除法的运算法则列竖式计算即可．验算时可根据乘法与除法的互逆关系进行验算．解：①727÷81=8…79；验算：②595÷17=35；验算：③207×14=2898；验算：④380×40=15200；验算：点评：整数末尾有0的乘法：可以先把0前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘得的数的末尾添写几个0．8.比一比．540÷9480÷8 500÷50600÷10560÷70630÷70 720÷90420÷60220×7210×7 360×50410×60．【答案】=，＜，＜，＞，＞，＜．【解析】横向数：（1）（2）（3）（4）依据整数除法计算方法，分别求出题干中左右两边算式的值，再根据整数大小比较方法即可解答，（5）（6）先依据整数乘法计算方法，分别求出题干中左右两边算式的值，再根据整数大小比较方法即可解答．解：540÷90=480÷8 500÷50＜600÷10560÷70＜630÷70 720÷90＞420÷60220×7＞210×7 360×50＜410×60故答案为：=，＜，＜，＞，＞，＜．点评：依据整数乘法计算方法正确进行计算，是本题考查知识点．9.一个竹筐可以装20千克橘子，王冬家有120千克橘子，张华家有140千克橘子，装完这些橘子共需几个筐？【答案】13个筐【解析】先求出两家有橘子的总重量，再依据可装筐数=橘子重量÷每筐可装橘子重量即可解答．解：（120+140）÷20，=260÷20，=13（筐），答：装完这些橘子共需13个筐．点评：解答本题的关键是求出两家有橘子总重量，依据是等量关系式：可装筐数=橘子重量÷每筐可装橘子重量．10.学校图书室有108本新书，借出去9本，剩下的书是借出去的多少倍？【答案】11倍【解析】先根据剩下的本数=原来的﹣借出的，求出剩下的是108﹣9=99，要求“剩下的书是借出去的多少倍”就是求99是9的多少倍，用除法．解：（108﹣9）÷9，=99÷9，=11，答：剩下的书是借出去的11倍．点评：抓住“求一个数是另一个数的多少倍，”用除法，即可解答．11.儿童玩具厂生产了5820辆小汽车，装成485箱，平均每箱装多少辆小汽车？【答案】12辆【解析】此题根据除法的意义，直接用除法解答．解：5820÷485=12（辆）；答：平均每箱装12辆小汽车．点评：此题主要考查除法的意义，此题属于包含除法．12.有96个蘑菇，平均分给3个小组．每组可以分到几个？【答案】32个【解析】已知有96个蘑菇，平均分给3个小组，要求每组可以分到几个，就是把96平均分成3份，求每一份是多少，用除法计算．解：96÷3=32（个）；答：每组可以分到32个．点评：此题属于平均数问题，运用了关系式：总数÷份数=平均数．13.笔算．【答案】【解析】依据整数除法的运算法则进行解答即可．解：解答如下：点评：此题主要考查列竖式进行除法计算的能力，要注意相同数位对齐．14.轻松比较大小．（在里填上“＞”“＜”或“=”）358÷3120702÷6117750÷520672÷798．【答案】＜；=；＞；＜．【解析】先把左边的算式计算出来，再与右边的数据相比较，即可解答．解：358÷3=119.333…，所以358÷3＜120，702÷6=117，所以702÷6=117，750÷5=150，所以750÷5＞20，672÷7=96，所以672÷7＜98，故答案为：＜；=；＞；＜．点评：此题主要考查除数是一位数的除法计算以及比较数的大小的方法．15. 840÷70=【答案】12．【解析】根据商不变的性质，先把被除数和除数同时缩小10倍，再计算84÷7即可．解：根据题干分析可得：所以840÷70=12．故答案为：12．点评：此题考查利用商不变的性质，简便计算被除数和除数末尾有0的方法．16.判断对错并改正【答案】×【解析】根据商不变的性质，先把被除数和除数同时缩小100倍，再计算36÷6即可．解：根据商不变的性质可知，被除数和除数同时缩小100倍，商不变，是17，所以原题计算错误．故答案为：×．点评：此题考查利用商不变的性质，简便计算被除数和除数末尾有0的方法．17. 364是什么数的13倍？【答案】28【解析】已知一个数的几倍是多少，求这个数用除法计算，“364是什么数的13倍”，就是一个数的13倍是364．据此解答．解：364÷13=28；答：364是28数的13倍．点评：本题主要考查了学生对基本的数量关系：已知一个数的几倍是多少，求这个数用除法计算的掌握情况．18.“护绿”小队8个人捡了96个塑料瓶．“啄木鸟”小队6个人找到了78个错别字．（1）“护绿”小队平均每人捡了多少个塑料袋？（2）“啄木鸟”小队平均每人找到多少个错别字？【答案】12个；13个【解析】根据题意：（1）用96除以8即可，（2）用78除以6即可．解：（1）96÷8=12（个）；答：“护绿”小队平均每人捡了12个塑料袋．（2）78÷6=13（个）；答：“啄木鸟”小队平均每人找到13个错别字．点评：此题考查整数除法的意义及应用．19.列竖式计算．182÷13= 350÷21=607÷23= 467÷17=【答案】14，16...14，26...9，27 (8)【解析】整数除法的计算方法：从被除数的高位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数；除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商；每次除后余下的数必须比除数小．解：（1）182÷13=14，14（2）350÷21=16…14，16（3）607÷23=26…9，26（4）467÷17=27…8，27点评：本题主要考查了学生竖式计算除法的计算能力．20. 720÷81的商是一位数．．（判断对错）【答案】√【解析】720÷81，被除数前两位数72小于除数81，所得的商的一位数，然后再进一步解答．解：72＜81；所以，720÷81的商是一位数．故答案为：√．点评：三位数除以两位数，被除数的前两位数大于或等于除数，商是两位数；被除数前两位数小于除数，商是一位数．21.蜜蜂会落在哪朵花上？（连线）【答案】见解析【解析】除法的计算方法；从被除数的高位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数；除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商；每次除后余下的数必须比除数小．求出下一行的商，再连线．解：168÷6=28，128÷8=16，747÷9=83，85÷5=17，360÷8=45，140÷4=35．连线如下：点评：本题的重点是先求出下一行的商，再连线．22.要使的商是三位数，□可以填；要使□的商是两位数，□里可以填．【答案】1、2、3、4；5、6、7、8、9．【解析】三位数除以一位数，如果被除数比一位数大或相等，商就是一个三位数；如果百位上的数字比一位数小，商就是一个两位数．据此解答．解：要使的商是三位数，□可以填1、2、3、4；要使□的商是两位数，□里可以填5、6、7、8、9．故答案为：1、2、3、4；5、6、7、8、9．点评：三位数除以一位数，要想知道上是几位数，关键是被除数百位上的数字和一位数数字比较，看百位上的数字与一位数（除数）的大小关系．23.（1）96是4的多少倍？（2）把78平均分成6份，每份是多少？【答案】24倍；13【解析】（1）要求96是4的多少倍，用除法计算；（2）把78平均分成6份，要求每份是多少，用除法计算．解：（1）96÷4=24；答：96是4的24倍．（2）78÷6=13；答：每份是13．点评：此题考查了“求一个数是另一个数的多少倍”以及“把一个数平均分成几份，求每份是多少”的应用题，用除法计算．24.填上单价．苹果橘子香蕉【答案】23，17，21．【解析】根据单价=总价÷数量，分别代数计算即可．解：苹果的单价：92÷4=23（元）；橘子的单价：85÷5=17（元）；香蕉的单价：168÷8=21（元）；见下图：故答案为：23，17，21．点评：此题考查单价、数量和总价之间的关系的运用，用到的关系式为：单价=总价÷数量．25.用竖式计算并验算．514÷3= 784÷7=386÷3= 676÷4=【答案】171…1；112；128…2；169【解析】这四道题都属于整数的除法计算，注意数位对齐，除不尽的，余数要小于除数．在验算时，用关系式：商×除数=被除数，商×除数+余数=被除数．解：514÷3=171 (1)验算：；784÷7=112验算：；386÷3=128 (2)验算：；676÷4=169验算：．点评：解答此题，关键要注意数位对齐．26.算出每张卡片上的两个数的商【答案】【解析】求出每张卡片上的两个数的商，然后把求得的商填入方框中．解：480÷6=80，320÷4=80，490÷7=70，20÷2=10，80÷2=40，420÷7=60；点评：此题重点考查了整数除法的计算方法．27.光明印刷厂要装订6800本画册，装订了5天，还差1200本没有完成．平均每天装订多少本？【答案】1120本【解析】根据总共要装订的本数﹣剩下没完成的=已经装订了的本数，先求出5天一共装订了多少本，6800﹣1200=5600本，要求平均每天装订多少本，根据除法的意义，用已经装订的本数÷装订的天数解答即可．解：（6800﹣1200）÷5，=5600÷5，=1120（本），答：平均每天装订1120本．点评：本题考查了学生根据除法和减法的意义解应用题的能力，求一个数的平均数，用除法．28.（1）猴子的只数是老虎的几倍？（2）松鼠的只数是仙鹤的几倍？【答案】4倍；18倍【解析】根据除法的意义列式计算即可．解：（1）36÷9=4．答：猴子的只数是老虎的4倍．（2）72÷4=18．答：松鼠的只数是仙鹤的18倍．点评：考查了整数的除法及应用，关键是根据题意正确列出算式．29.先判断商是几位数，再计算．【答案】见解析【解析】三位数除以两位数，先看被除数的前两位数字，若前两位大于或等于除数，则商是两位数；反之，商就是一位数；再利用计算法则列竖式计算即可．解：点评：此题主要考查三位数除以两位数的笔算和试商方法．30.【答案】见解析【解析】（1）290÷37，把除数看作40试商，（2）423÷49，把49看作50试商，（3）153÷51，把51看作50试商，（4）289÷72，把72看作70试商，然后根据有余数的除法的计算法则进行计算．解：根据题干分析可得：点评：此题考查的目的是掌握利用“四舍五入法”把除数看作与它接近的整十数进行试商，并且能够正确熟练地进行计算．31.脱式计算．324÷6÷3 80×7÷4 960÷（56÷7）【答案】18；140；120．【解析】（1）（2）按照从左到右的顺序计算；（2）先算小括号里面的除法，再算括号外的除法．解：（1）324÷6÷3，=54÷3，=18；（2）80×7÷4，=560÷4，=140；（3）960÷（56÷7），=960÷8，=120．点评：本题考查了简单的四则混合运算，计算时先理清楚运算顺序，根据运算顺序逐步求解即可．32. 287×26= 83×245= 780×36= 429×32=37×256= 64×250= 364×28= 564×78=268×46= 58×463=【答案】7462，20335，28082，13728，9472，16000，10192，43992，12328，26854．【解析】本题根据整数乘法的计算法则计算即可：从右起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，得数的末尾就和第二个因数的哪一位对齐，然后把几次乘得的数加起来．（整数末尾有0的乘法：可以先把0前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘得的数的末尾添写几个0．解：287×26=7462， 83×245=20335， 780×36=28082， 429×32=13728，37×256=9472， 64×250=16000， 364×28=10192， 564×78=43992，268×46=12328， 58×463=26854．故答案为：7462，20335，28082，13728，9472，16000，10192，43992，12328，26854．点评：整数末尾有0的乘法：可以先把0前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘得的数的末尾添写几个0．33.一堆苹果共有56个，3个3个的装能正好装完吗？2个2个的装能正好装完吗？5个5个的装呢？【答案】所以一堆苹果共有56个，3个3个的装不能正好装完，2个2个的装能正好装完，5个5个的装不能正好装完．【解析】由题意，看56是否能分别整除3、2、5即可．解：56÷3=18…2；56÷2=28；56÷5=11…1；所以一堆苹果共有56个，3个3个的装不能正好装完，2个2个的装能正好装完，5个5个的装不能正好装完．点评：此题考查了2、3、5的整除的意义及运用．34.口算下面各题．0÷6=0÷3=5×O=4﹣0=0+60=【答案】0÷6=0，0÷3=0，5×O=0，4﹣0=4，0+60=60．【解析】根据有关0的计算进行求解．解：0÷6=0，0÷3=0，5×O=0，4﹣0=4，0+60=60．点评：本题考查了有关0的计算：0除以任何非0的数都得0；任何数乘0都得0；任何数减去0都得原数；任何数加上0还得原数．35.下面的计算对吗？把不对的改正过来．【答案】×，√，×．【解析】（1）第一步余1个十，错误，（2）计算正确，（3）最后一步错误，余数大于除数了，商应4，余数是2即可．解：改正：故答案为：×，√，×．点评：此题考查了整数除法的计算方法和计算能力．36.口算．220×4= 900÷20= 25×30= 1200÷40=8100÷90= 102×20= 800÷16= 700÷35=30×12= 220÷11= 42×4= 800÷50=【答案】220×4=880； 900÷20=45； 25×30=750； 1200÷40=30；8100÷90=90； 102×20=5.1； 800÷16=50； 700÷35=20；30×12=360； 220÷11=20； 42×4=168； 800÷50=16．【解析】根据整数乘法、除法的计算法则，直接进行口算即可．解：220×4=880； 900÷20=45； 25×30=750； 1200÷40=30；8100÷90=90； 102×20=5.1； 800÷16=50； 700÷35=20；30×12=360； 220÷11=20； 42×4=168； 800÷50=16．点评：此题考查的目的是理解掌握整数乘法、除法的计算法则，并且能够正确熟练地进行口算，提高口算能力．37.口算．19×4= 32×2= 70×4= 240÷80= 76÷19= 64÷32=50×8= 630÷70= 28×3= 16×5= 60×7= 540÷90=84÷28= 80÷16= 90×5= 350÷50= 93÷31= 68÷17=【答案】19×4=76， 32×2=64， 70×4=280， 240÷80=3， 76÷19=4， 64÷32=2，50×8=400， 630÷70=9， 28×3=84， 16×5=80， 60×7=420， 540÷90=6，84÷28=3， 80÷16=5， 90×5=450， 350÷50=7， 93÷31=3， 68÷17=4．【解析】根据整数乘除法计算的方法进行计算即可．解：19×4=76， 32×2=64， 70×4=280， 240÷80=3， 76÷19=4， 64÷32=2，50×8=400， 630÷70=9， 28×3=84， 16×5=80， 60×7=420， 540÷90=6，84÷28=3， 80÷16=5， 90×5=450， 350÷50=7， 93÷31=3， 68÷17=4．点评：整数乘除法的口算，要注意运算数据和符号，再进行计算，特别要注意末尾的0的个数，不要多写或少写．38.直接写出得数．200÷5= 48×5= 50×60=21×8= 11×12= 25×8=80×90= 300×50=【答案】200÷5=40， 48×5=240， 50×60=3000，21×8=168， 11×12=132， 25×8=200．80×90=7200， 300×50=15000【解析】根据整数乘除法的计算方法进行计算．解：200÷5=40， 48×5=240， 50×60=3000，21×8=168， 11×12=132， 25×8=200．80×90=7200， 300×50=15000，点评：口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算．39. 863×35 516÷35 409÷26820÷270 380×270 646÷16．【答案】30205，14…26，15…19，3…10，102600，40…6．【解析】根据整数乘除法竖式计算的方法进行计算即可；注意中间有0和末尾有0的乘除法．解：863×35=30205，516÷35=14…26，409÷26=15…19，820÷270=3…10，380×270=102600，646÷16=40…6．点评：本题主要考查整数乘除法的笔算，按照各自的计算法则进行计算，特别要注意中间有0或末尾有0的乘除法．40.看谁算得快．238+647=412﹣298=824÷4=920÷8=720÷3=204×3=780÷6=580÷5=【答案】238+647=885；412﹣298=114；824÷4=206；920÷8=115；720÷3=240；204×3=612；780÷6=130；580÷5=116．【解析】根据整数的加减乘除法的计算法则计算即可求解．解：238+647=885；412﹣298=114；824÷4=206；920÷8=115；720÷3=240；204×3=612；780÷6=130；580÷5=116．点评：考查了整数的四则运算，关键是熟练掌握计算法则，正确进行计算．41.在横线上填上＞、＜或=．8×296÷6（43+56）÷9948÷642÷764÷856÷7．【答案】=，＞，＞，=．【解析】（1）因为8×2=16，96÷6=16，所以8×2=96÷6；（2）因为（43+56）÷9=11，11＞9，所以（43+56）÷9＞9；（3）因为48÷6=8，42÷7=6，8＞6，所以48÷6＞42÷7；（4）因为64÷8=8，56÷7=8，所以64÷8=56÷7；据此解答．解：由分析可得：8×2="96÷6"（43+56）÷9＞948÷6＞42÷764÷8=56÷7．故答案为：=，＞，＞，=．点评：掌握整数大小比较的方法，是解答此题的关键．42.下面计算对吗？把不对的在下面改正过来．改正：改正：改正：．【答案】错误；错误；错误【解析】先根据整数的除法的计算法则进行计算，然后再进行判断，最后改正．解：所以题干的说法是错误的．所以题干的解答是错误的．所以题干的解答是错误的．故答案为：×，，×，，×，．点评：本题运用整数的除法的计算法则进行计算即可．43.口算．150÷3= 900÷3= 500÷5=480÷6= 240÷8= 200÷4=490÷7= 37×10= 28×30=630÷7=【答案】150÷3=50， 900÷3=300， 500÷5=100，480÷6=80， 240÷8=30， 200÷4=50，490÷7=70， 37×10=370， 28×30=840，630÷7=90．【解析】根据除数是一位数的除法的口算的方法进行计算．解：150÷3=50， 900÷3=300， 500÷5=100，480÷6=80， 240÷8=30， 200÷4=50，490÷7=70， 37×10=370， 28×30=840，630÷7=90．点评：本题考查了简单的整数乘除法的口算，计算时要细心，注意运算结果末尾0的个数．44.一部儿童电视剧共324分钟．分9集播放，平均每集播放多长时间？【答案】36分钟【解析】根据题干分析可得，此题就是把324分钟，平均分成9份，求一份是多少，用除法，直接列式即可解答．解：324÷9=36（分钟），答：平均每集播放36分钟．点评：此题主要考查平均数的意义及求解方法．45.长跑锻炼，小明跑了1500米，小红跑了900米．小明跑的是小红的几倍？小红跑的是小明的几分之几？【答案】小明跑的是小红的倍，小红跑的是小明的．【解析】用小明跑的路程除以小红的跑路程就是小明跑的是小红的几倍，用小红跑的路程除以小明跑的路程就是小红跑的是小明的几分之几．解：1500÷900=；900÷1500=；答：小明跑的是小红的倍，小红跑的是小明的．点评：本题是求一个数是另一个数的几分之几，关键是看把谁当成了单位“1”，单位“1”的量为除数．46.口算．360÷60= 580÷20= 1200÷200=160÷16= 450÷90= 280÷70=【答案】360÷60=6， 580÷20=29， 1200÷200=6，160÷16=10， 450÷90=5， 280÷70=4．【解析】根据除数是整十数除法口算的方法求解．解：360÷60=6， 580÷20=29， 1200÷200=6，160÷16=10， 450÷90=5， 280÷70=4．点评：本题考查了整数除法的口算，计算时要细心，注意末尾0的个数．47.下面的计算对吗？把不对的改正过来【答案】错误；错误【解析】1，横式中漏记余数，所以错误；2，余数比除数大，所以错误；解：1．错误，正确如下：15÷4=3…3；33；2．错误，正确如下：39÷6=6…3；66．点评：本题考查了有余数除法竖式计算的方法，计算要注意，余数一定要比除数小．48.用竖式计算，带※的要验算．428÷4=※748÷6=750÷5=※416÷7=【答案】107；124…4；150；59…3；【解析】根据除数是一位数的除法竖式计算的方法求解．解：428÷4=107；1074；※748÷6=124…4；1246；验算：124；750÷5=150；1505；※416÷7=59…3；597验算：59．点评：本题考查了三位数除以一位数的计算方法，要注意把数位对齐．49. 450÷5= 160÷2= 360÷6= 60÷3=150÷5= 2800÷7= 16×5= 70÷2=2000÷4= 51÷3= 84÷6= 0÷8=【答案】450÷5=90 160÷2=80 360÷6=60 60÷3=20150÷5=30 2800÷7=400 16×5=80 70÷2=352000÷4=500 51÷3=17 84÷6=14 0÷8=0【解析】根据除数是一位数的除法和乘法口诀即可计算解答．解：450÷5=90 160÷2=80 360÷6=60 60÷3=20150÷5=30 2800÷7=400 16×5=80 70÷2=352000÷4=500 51÷3=17 84÷6=14 0÷8=0点评：此题考查学生的口算能力，属于基础题．50. 5个同学共糊了315个纸盒，平均每个同学糊多少个？【答案】63个【解析】求平均每个同学糊多少个纸盒，直接用除法计算即可．解：315÷5=63（个）；答：平均每个同学糊63个．点评：解答此题根据平均数的计算方法进行解答即可．51.直接写得数．43×2= 25×7= 600÷20= 120÷30=45×6= 180÷90= 80×60= 720÷90=18×30= 8000÷40= 27÷27= 37×20=2700÷30= 0÷86= 250÷50= 840÷40=【答案】43×2=86 25×7=175 600÷20=30 120÷30=445×6=270 180÷90=2 80×60=4800 720÷90=818×30=540 8000÷40=200 27÷27=1 37×20=7402700÷30=90 0÷86=0 250÷50=5 840÷40=21【解析】根据整数乘法和整数除法口算的方法进行计算．解：43×2=86 25×7=175 600÷20=30 120÷30=445×6=270 180÷90=2 80×60=4800 720÷90=818×30=540 8000÷40=200 27÷27=1 37×20=7402700÷30=90 0÷86=0 250÷50=5 840÷40=21点评：本题考查了学生基本的计算能力．52.用竖式计算．236×43=208×56=318÷13=196÷28=【答案】10148；11648；24…6；7【解析】根据整数乘除法的计算方法进行计算．236×43=10148208×56=11648318÷13=24 (6)196÷28=7点评：考查了整数乘除法的笔算，根据各自的计算方法进行计算．53.我是口算小专家．23×5=56÷4=25×6=450÷9=75÷5=320÷4=【答案】23×5=115，56÷4=14，25×6=150，450÷9=50，75÷5=15，320÷4=80．【解析】根据整数乘法和除法的计算方法进行计算．解：23×5=115，56÷4=14，25×6=150，450÷9=50，75÷5=15，320÷4=80．点评：本题综合考查了学生的口算能力，注意要细心．54.小红和小明每人都有144块积木，小红每层堆6块；小明每层堆4块．谁堆得高？【答案】小明堆得高【解析】用积木的总块数除以每层所用的块数，即可求出他们堆的层数，层数多的堆得高．解：144÷6=24（层），144÷4=36（层）；答：小明堆得高．点评：解答此题的关键是分别求出堆得层数，再进行比较．55.小伟家书房的面积是9平方米，正好用了18块砖，那么每块砖的面积是多少？【答案】0.5平方米【解析】要求么每块砖的面积是多少，用小伟家书房的面积9平方米除以用的砖的块数即可．解：9÷18=0.5（平方米）．答：每块砖的面积是0.5平方米．点评：根据除法平均分的意义可知：用总面积除以砖的块数，就是每块砖的面积．56.口算840÷12= 100÷25= 87×25= 945+24=960÷30= 480÷20= 540÷90= 405﹣15=【答案】840÷12=70， 100÷25=4， 87×25=2175， 945+24=969，960÷30=32， 480÷20=24， 540÷90=6， 405﹣15=390．【解析】根据整数四则运算的计算方法直接口算或笔算得解．解：840÷12=70， 100÷25=4， 87×25=2175， 945+24=969，960÷30=32， 480÷20=24， 540÷90=6， 405﹣15=390．点评：解答此题要注意被除数和除数末尾有0时的简便计算．57. 25÷4= 38÷6= 48÷8= 11000﹣400=5000+2000= 1500﹣800= 500×8= 25×4=130×3= 75÷9= 3000×3= 340+70=【答案】25÷4=6…1，38÷6=6…2， 48÷8=6， 11000﹣400=10600，5000+2000=7000， 1500﹣800=700， 500×8=4000， 25×4=100，130×3=390，75÷9=8…3， 3000×3=9000， 340+70=410．【解析】根据整数加减乘除的计算方法进行计算即可．解：25÷4=6…1，38÷6=6…2， 48÷8=6， 11000﹣400=10600，5000+2000=7000， 1500﹣800=700， 500×8=4000， 25×4=100，130×3=390，75÷9=8…3， 3000×3=9000， 340+70=410．点评：口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算即可．58. 23+4+9= 81﹣7﹣30= 54+20+3= 93﹣70+60=17+6+8= 43﹣8﹣30= 60+38﹣90= 50+27﹣8=68÷4= 840÷4= 220×4= 180÷3=91÷7= 280÷2= 200×9= 0÷180=【答案】23+4+9=36； 81﹣7﹣30=44， 54+20+3=77， 93﹣70+60=83，17+6+8=31， 43﹣8﹣30=5， 60+38﹣90=8， 50+27﹣8=69，68÷4=17， 840÷4=210， 220×4=880， 180÷3=60，91÷7=13， 280÷2=140， 200×9=1800， 0÷180=0【解析】我们运用整数的加减乘除法的计算法则进行计算即可．解：23+4+9=36； 81﹣7﹣30=44， 54+20+3=77， 93﹣70+60=83，17+6+8=31， 43﹣8﹣30=5， 60+38﹣90=8， 50+27﹣8=69，68÷4=17， 840÷4=210， 220×4=880， 180÷3=60，91÷7=13， 280÷2=140， 200×9=1800， 0÷180=0，点评：本题考查了学生的计算能力及计算法则的掌握情况．59.列书竖式计算，打☆的要验算☆294÷7=☆542÷3=624÷6=41×10=【答案】42…3；180…2；104；410．【解析】本题根据整数除法、乘法的运算法则列竖式计算即可．验算时可根据乘法与除法的互逆关系进行验算．解：294÷7=42…3；验算：542÷3=180…2；验算：624÷6=104；41×10=410．点评：整数乘法的法则：从右起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，得数的末尾就和第二个因数的哪一位对齐；然后把几次乘得的数加起来．（整数末尾有0的乘法：可以先把0前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘得的数的末尾添写几个0．）整数除法的法则：从被除数的高位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数；除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商；每次除后余下的数必须比除数小．60.小明3分钟打253个字，笑笑5分钟打400个字，谁打字速度快？【答案】小明打字快一点【解析】要想知道谁打字快一点，应分别求出小明和笑笑每分钟打的字数，即他们的工作效率，然后比较即可．解：小明每分钟打字：253÷3≈84（个）；笑笑每分钟打字：400÷5=80（个）；84＞80；答：小明打字快一点．点评：此题解答的关键是分别求出小明和笑笑每分钟打的字数，比较后解决问题．61.一个数的9倍是1890，求这个数？【答案】210．【解析】用1890除以9即可求解．解：1890÷9=210；答：这个数是210．点评：本题关键是理解倍数关系，已知一个数的几倍是多少，求这个数用除法．62.直接写得数．490÷70= 15×4= 42+11= 650÷50= 420÷80=70÷10= 450÷90= 51÷17= 0÷54= 73×20=620﹣380= 650÷5= 48÷4= 58÷2= 23×4=880÷80= 780+20= 540÷60= 620﹣20= 64÷16=【答案】7；60；53；13；5…20；7；5；3；0；1460；240；130；12；29；92；11；800；9；600；4．【解析】根据整数的四则运算的口算方法即可解答，注意末尾有0的简便计算．解：490÷70=7 15×4=60 42+11=53 650÷50=13 420÷80=5 (20)70÷10=7 450÷90=5 51÷17=3 0÷54=0 73×20=1460620﹣380=240 650÷5=130 48÷4=12 58÷2=29 23×4=92880÷80=11 780+20=800 540÷60=9 620﹣20=600 64÷16=4故答案为：7；60；53；13；5…20；7；5；3；0；1460；240；130；12；29；92；11；800；9；600；4．点评：此题主要考查学生的口算能力，属于基础题，细心计算即可解答．63.看谁都能口算对．70÷7= 4×60= 58+37= 85﹣68= 13÷3=1200﹣400= 9÷9= 45+65= 64﹣18= 80×4=16÷2= 2000+300= 83﹣8= 150﹣90= 19+36=6÷2= 52+38= 54﹣38= 6÷3= 83÷9=【答案】70÷7=10 4×60=240 58+37=95 85﹣68=17 13÷3=4 (1)1200﹣400=800 9÷9=1 45+65=110 64﹣18=46 80×4=32016÷2=8 2000+300=2300 83﹣8=75 150﹣90=60 19+36=556÷2=3 52+38=90 54﹣38=16 6÷3=2 83÷9=9 (2)【解析】根据整数的四则运算的口算方法，即可解答问题．解：70÷7=10 4×60=240 58+37=95 85﹣68=17 13÷3=4 (1)1200﹣400=800 9÷9=1 45+65=110 64﹣18=46 80×4=32016÷2=8 2000+300=2300 83﹣8=75 150﹣90=60 19+36=556÷2=3 52+38=90 54﹣38=16 6÷3=2 83÷9=9 (2)点评：此题考查学生的口算能力，属于基础题，按照计算法则，细心计算即可解答．64.口算．70÷7= 4×60= 58+37= 85﹣68= 39÷3= 46÷2=99÷9= 45+65= 3600+4000= 5300+3000= 60+6000= 2000+1=【答案】10；240；95；17；13；23；11；110；7600；8300；6060；2001．【解析】根据整数的乘除法的口算方法即可计算，要注意末尾有0的简便计算．解：70÷7=10 4×60=240 58+37=95 85﹣68=17 39÷3=13 46÷2=2399÷9=11 45+65=110 3600+4000=7600 5300+3000=8300 60+6000=6060 2000+1=2001故答案为：10；240；95；17；13；23；11；110；7600；8300；6060；2001．点评：此题考查了整数四则运算的口算方法，属于基础题，细心计算即可解答．65.小东的妈妈带了600元到商场购物，请你帮她算一算，她最多能买到多少元的物品？【答案】720元【解析】由图文可知，购物满200元可返还现金40元，小东的妈妈带了600元购物，可返还600÷200×40=120元，由此可得她最多能购到600+120=720元的商品．解：购600元可返还：600÷200×40=120（元）；所以，得她最多能购到：600+120=720（元）的商品．答：她最多能买到720元的物品．点评：根据优惠方案及小东妈妈所带的钱数计算出所能返还的钱数是完成本题的关键．66.竖式计算：（打★的要求验算）①960÷60 ②216÷24 ③★574÷41．【答案】16；9；14；【解析】根据三位数除以两位数的笔算方法，列竖式计算即可解答，除法是利用它的逆运算乘法进行验算的．解：960÷60=16；16216÷24=9；9574÷41=14；14验算：41点评：此题考查三位数除以两位数的笔算，属于基础题，细心计算即可解答．67.口算．30÷3= 14×5= 28×4= 43+207= 2×600= 450÷5=2400÷8= 4800÷6= 800÷4= 870﹣250= 120+200= 0÷9=【答案】30÷3=10 14×5=70 28×4=112 43+207=250 2×600=1200 450÷5=902400÷8=300 4800÷6=800 800÷4=200 870﹣250=620 120+200=320 0÷9=0【解析】根据加、减、乘、除的运算方法进行计算．据此解答．解：30÷3=10 14×5=70 28×4=112 43+207=250 2×600=1200 450÷5=902400÷8=300 4800÷6=800 800÷4=200 870﹣250=620 120+200=320 0÷9=0点评：本题主要考查了学生基本的计算能力．68.用竖式计算．（加※的要验算）．4×28= ※83÷3= ※90÷6= 56÷4= 95÷5= 85÷8=【答案】112；27…2；15；14；19；10…5．【解析】根据整数乘、除法的计算法则列竖式计算即可；验算除法的方法：没有余数的整除算式，就用商乘除数，看是否等于被除数；有余数的除法算式，就用商乘除数再加上余数，看是否等于被除数；据此列竖式计算并验算．解：（1）4×28=112；（2）83÷3=27…2；（3）90÷6=15；（4）56÷4=14；（5）95÷5=19；（6）85÷8=10…5．点评：此题主要考查整数乘除法的笔算和验算方法，解答此题根据整数乘除法的法则进行计算．69.用分拆的方法计算下列各题①4×58= ②912×4= ③76÷7= ④697÷3=【答案】232；3648；10…6；232…1；【解析】根据整数乘除法的运算法则进行计算．解：（1）4×58，=4×50+4×8，=200+32，=232；（2）912×4，=900×4+12×4，=3600+48，=3648；（3）76÷7，=70÷7+6÷7，=10+6÷7，=10…6；（4）697÷3，=696÷3+1÷3，=232+1÷3，=232…1；点评：考查了整数乘除法的计算法则．70.直接写出得数．21×30= 800÷4= 360÷9= 280÷7= 40×70=24×20= 0÷103= 750+80= 840÷4= 0×210=【答案】21×30=630， 800÷4=200， 360÷9=40， 280÷7=40， 40×70=2800，24×20=480， 0÷103=0， 750+80=830， 840÷4=210， 0×210=0．【解析】本题根据整数加法、减法、乘法与除法运算法则计算即可．解：21×30=630， 800÷4=200， 360÷9=40， 280÷7=40， 40×70=2800，24×20=480， 0÷103=0， 750+80=830， 840÷4=210， 0×210=0．点评：完成整数末尾有0的乘法时，可以先把0前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘得的数的末尾添写几个0．71.看谁算得又对又快：50×80=； 125×8=； 400÷8=； 200×5=；15×6=； 25×4=； 0×9=； 17×40=．【答案】4000，1000，50，1000，90，100，0，580．【解析】依据整数乘除法计算法则解答．解：50×80=4000； 125×8=1000； 400÷8=50； 200×5=1000；15×6=90； 25×4=100； 0×9=0； 17×40=680．故依次为4000，1000，50，1000，90，100，0，580．点评：本题主要考查学生对于整数乘除法计算法则知识掌握．72.列竖式计算．（带*要验算）780×7= *954÷3= 508×9= *560÷5=【答案】5460；318；4572；112．【解析】本题根据整数乘法与除法的运算法则列竖式计算即可，验算时根据乘法与除法的互逆关系进行验算．解：780×7=5460；954÷3=318；验算：508×9=4572；560÷5=112．点评：在列竖完成整数乘除法的计算题目时要注意数位的对齐．73.直接写得数．125×8= 300÷12= 46+154= 450×20= 200﹣82=299+63= 0.01×100= 0÷38= 101×13= 660÷2=70×50= 63÷7÷9= 2×5= 153﹣99= 4×25=【答案】125×8=1000， 300÷12=25， 46+154=200， 450×20=9000， 200﹣82=118，299+63=362， 0.01×100=1， 0÷38=0， 101×13=1313， 660÷2=330，70×50=3500， 63÷7÷9=1， 2×5=10， 153﹣99=54， 4×25=100【解析】本题根据整数乘法、除法、加法、减法的运算法则计算即可．解：125×8=1000， 300÷12=25， 46+154=200， 450×20=9000， 200﹣82=118，299+63=362， 0.01×100=1， 0÷38=0， 101×13=1313， 660÷2=330，70×50=3500， 63÷7÷9=1， 2×5=10， 153﹣99=54， 4×25=100点评：解答此题根据整数四则运算的计算方法，直接口算出得数．74.直接写得数．78+32= 59+87= 60+500= 56÷8=400﹣398= 207﹣9= 55÷7= 35÷9=632﹣123= 180﹣180= 0÷9= 493﹣152=【答案】78+32=110 59+87=146 60+500=560 56÷8=7400﹣398=2 207﹣9=198 55÷7=7...635÷9=3 (8)632﹣123=509 180﹣180=0 0÷9=0 493﹣152=341【解析】根据整数的四则运算的方法即可解答问题．解：78+32=110 59+87=146 60+500=560 56÷8=7400﹣398=2 207﹣9=198 55÷7=7...635÷9=3 (8)632﹣123=509 180﹣180=0 0÷9=0 493﹣152=341点评：此题考查整数的四则计算，属于基础题，细心计算即可解答．75.用竖式计算36×58= 60×75= 39×13=（验算）520÷4= 504÷5= 413÷7=（验算）【答案】2088；4500；507；130；100…4；59．【解析】本题根据整数乘法与除法的运算法则列竖式计算即可，验算时可根据乘法与除法的互逆关系进行验算．解：36×58=2088；60×75=4500；39×13=507；验算：520÷4=130；504÷5=100…4；413÷7=59．验算：点评：完成有余的整数除法时，要注意余数一定要小于除数．76.直接写出得数．25×8= 630÷9= 410﹣23= 500+20=36﹣0×5= 25×9×4= 46﹣25+17=．【答案】25×8=200，630÷9=70，410﹣23=387，500+20=520，36﹣0×5=36，25×9×4=900，46﹣25+17=38．【解析】先看清是什么运算，先算什么，再算什么，怎算简便，再根据其计算方法算出得数．解：25×8=200，630÷9=70，410﹣23=387，500+20=520，36﹣0×5=36，25×9×4=900，46﹣25+17=38．点评：此题是对简单的整数加、减、乘、除四则计算方法的运用．77.用竖式计算，带※的要验算89×5 340×3 708×6 ※117÷9 468÷4 ※914÷8．【答案】445；1020；4248；13；117；114…2．【解析】本题根据整数乘法与除法的运算法则列竖式计算即可．解：89×5=445；340×3=1020；708×6=4248；117÷9=13；验算：468÷4=117；914÷8=114…2．验算：。

判断数字的整除性练习题本练习题旨在帮助读者加深对数字的整除性的理解。

通过解答以下问题，读者可以巩固对整除性的认识，并能够灵活运用整除性概念来判断数字之间的关系。

1. 判断以下数字是否能整除：a) 28 ÷ 4b) 63 ÷ 7c) 120 ÷ 6d) 81 ÷ 9e) 50 ÷ 3解答：a) 28 ÷ 4 = 7，28可以被4整除，因为7是一个整数。

b) 63 ÷ 7 = 9，63可以被7整除，因为9是一个整数。

c) 120 ÷ 6 = 20，120可以被6整除，因为20是一个整数。

d) 81 ÷ 9 = 9，81可以被9整除，因为9是一个整数。

e) 50 ÷ 3 = 16.67（约），50不能被3整除，因为16.67不是一个整数。

2. 判断以下数字是否能整除：a) 42 ÷ 5b) 99 ÷ 11c) 135 ÷ 9d) 72 ÷ 8e) 56 ÷ 7解答：a) 42 ÷ 5 = 8.4（约），42不能被5整除，因为8.4不是一个整数。

b) 99 ÷ 11 = 9，99可以被11整除，因为9是一个整数。

c) 135 ÷ 9 = 15，135可以被9整除，因为15是一个整数。

d) 72 ÷ 8 = 9，72可以被8整除，因为9是一个整数。

e) 56 ÷ 7 = 8，56可以被7整除，因为8是一个整数。

3. 判断以下数字是否能整除：a) 38 ÷ 6b) 77 ÷ 9c) 180 ÷ 5d) 54 ÷ 7e) 69 ÷ 8解答：a) 38 ÷ 6 = 6.33（约），38不能被6整除，因为6.33不是一个整数。

b) 77 ÷ 9 = 8.56（约），77不能被9整除，因为8.56不是一个整数。

初等数论（4）（第一章数的整除性第四节最大公因数（1））定义1 整数a1，a2， ，a k的公共因数称为a1，a2， ，a k的公因数。

不全为零的整数a1，a2， ，a k的公因数中最大的一个叫做a1，a2， ，a k的最大公因数，记为（a1，a2， ，a k）。

由于每个非零整数的因数的个数是有限的，所以最大公因数是存在的，并且是正整数。

如果（a1，a2， ，a k）=1，则称a1，a2， ，a k是互质的；如果（a i , a j）=1，1 ≤i ≤k，1 ≤ j ≤k，i≠ j，则称a1，a2， ，a k是两两互质的。

显然，由a1，a2， ，a k两两互质可以推出（a1，a2， ，a k）= 1，反之则不然，例如（2，6，15）=1，但（2，6）= 2。

定理1 下面的等式成立：（ⅰ）（a1，a2， ，a k）=（|a1|，|a2|， ，|a k|）；（ⅱ）（a，1）=1，（a，0）=|a|，（a，a）=|a|；（ⅲ）（a，b）=（b，a）；（ⅳ）若p是质数，a是整数，则（p，a）=1或p∣a；（ⅴ）若a = bq + r，则（a，b）=（b，r）。

证明（ⅰ）我们先证明a1，a2， ，a k与|a1|，|a2|， ，|a k|的公因数相同。

设d是a1，a2， ，a k 任一公因数，由定义d∣ a i，i = 1，2，……，n。

因而d∣| a i | ，i = 1，2，……，n。

故d是|a1|，|a2|， ，|a k|的一个公因数,同样的方法可证|a1|，|a2|， ，|a k|的任一个公因数都是a1，a2， ，a k的一个公因数.即a1，a2， ，a k与|a1|，|a2|， ，|a k|的公因数相同。

由此可直接得（a1，a2， ，a k）=（|a1|，|a2|， ，|a k|）；（ⅱ）、（ⅲ）、（ⅳ）显然。

（ⅴ）如果d∣a，d∣b，则有d∣r = a -bq，反之，若d∣b，d∣r，则d∣a = bq + r。

【20xx精选】最新七年级数学上册第二章整式的加减22整式的加减同步检测试卷含解析新版新人教版一、选择题(每小题3分，总计30分。

请将唯一正确答案的字母填写在表格内)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10选项1．下列各组中的两项，属于同类项的是（）A．﹣2x2y与xy2 B．与2πy C．3mn与﹣4nm D．﹣0。

5ab与abc2．若是同类项，则m+n=（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣13．若单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，则nm的值是（）A．3 B．6 C．8 D．94．下列计算，正确的是（）A．3+2ab=5ab B．5xy﹣y=5x C．﹣5m2n+5nm2=0 D．x3﹣x=x25．下列计算正确的有（）①（﹣2）2=4②﹣2（a+2b）=﹣2a+4b③﹣（﹣）2=④﹣（﹣120xx）=1⑤﹣[﹣（﹣a）]=﹣a．A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列去括号正确的是（）A．a2﹣4（a﹣1）=a2﹣4a+4 B．x2﹣4（y2﹣2xy）=x2﹣4y2+2xyC．a2﹣（a﹣3b）=a2﹣a﹣3b D．x2﹣2（x﹣3）=x2+2x﹣67．一个多项式减去x2﹣2y2等于x2+y2，则这个多项式是（）A．﹣2x2+y2 B．2x2﹣y2 C．x2﹣2y2 D．﹣x2+2y28．某同学做了一道数学题：“已知两个多项式为A，B，B=3x﹣2y，求A﹣B的值．”他误将“A﹣B”看成了“A+B”，结果求出的答案是x﹣y，那么原来的A﹣B的值应该是（）A．4x﹣3y B．﹣5x+3y C．﹣2x+y D．2x﹣y9．若a2+2ab=﹣10，b2+2ab=16，则多项式a2+4ab+b2与a2﹣b2的值分别为（）A．6，26 B．﹣6，26 C．6，﹣26 D．﹣6，﹣2610．如果代数式a+b=3，ab=﹣4，那么代数式3ab﹣2b﹣2（ab+a）+1的值等于（）A．﹣9 B．﹣13 C．﹣21 D．﹣25二、填空题(每空2分，总计20分)11．化简3m﹣2（m﹣n）的结果为．12．如果﹣2xmy3与xyn是同类项，那么2m﹣n的值是．13．已知a﹣3b=3，则6b+2（4﹣a）的值是．14．写出﹣2m3n的一个同类项．15．已知多项式A=ay﹣1，B=3ay﹣5y﹣1，且多项式2A+B中不含字母y，则a的值为．16．若代数式3ax﹣2b2y+1与a3b2是同类项，则x= ，y= ．17．有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：|b|﹣|c+b|+|b﹣a|= ．18．若多项式A满足A+（2a2﹣b2）=3a2﹣2b2，则A= ．19．7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足．20．已知a、b、c在数轴上对应的点如图所示，则代数式|﹣a|﹣|b﹣a|+|c﹣a|﹣|a+b|化简后的结果为．三．解答题（总计50分）21．合并下列多项式中的同类项：（1）3x2+4x﹣2x2﹣x+x2﹣3x﹣1；（2）﹣a2b+2a2b；（3）a3﹣a2b+ab2+a2b﹣2ab2+b3；（4）2a2b+3a2b﹣a2b22．先化简，再求值：a2﹣4b2﹣3（a2﹣4b2）﹣a2+4b2﹣5（a2﹣b）﹣b+a2，其中a=2，b=1．23．有一道题目是一个多项式减去x2+14x﹣6，小强误当成了加法计算，结果得到2x2﹣x+3．正确的结果应该是多少？24．先化简，再求值：2x2y﹣[xy2﹣（6xy﹣9x2y）]+2（2xy2﹣xy）．其中x=2，y=﹣3．25．已知A=﹣x2+x+1，B=2x2﹣x．（1）当x=﹣2时，求A+2B的值；（2）若2A与B互为相反数，求x的值．26．一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b，若把它的十位数字和个位数字对调，得到一个新的两位数．（1）计算新数与原数的和，这个和能被11整除吗？为什么？（2）计算新数与原数的差，这个差有什么性质？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】根据同类项的概念即可求出答案．【解答】解：如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．故选：C．2．【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，由同类项的定义可先求得m和n的值，从而求出m+n的值．【解答】解：由同类项的定义可知m+2=1且n﹣1=1，解得m=﹣1，n=2，所以m+n=1．故选：C．3．【分析】首先可判断单项式am﹣1b2与是同类项，再由同类项的定义可得m、n的值，代入求解即可．【解答】解：∵单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，∴单项式am﹣1b2与是同类项，∴m﹣1=2，n=2，∴m=3，n=2，∴nm=8．故选：C．4．【分析】根据同类项的概念及合并同类项的法则得出．【解答】解：A、一个是数字，一个是字母，不是同类项，不能合并，错误；B、字母不同，不是同类项，不能合并，错误；C、正确；D、字母的指数不同，不是同类项，不能合并，错误．故选：C．【分析】依据有理数的乘方法则、去括号法则、相反数的定义进行解答即可．【解答】解：①（﹣2）2=4，故①正确；②﹣2（a+2b）=﹣2a﹣4b，故②错误；③﹣（﹣）2=﹣，故③错误；④﹣（﹣120xx）=1，故④正确；⑤﹣[﹣（﹣a）]=﹣a，故⑤正确．故选：C．6．【分析】根据去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反进行分析即可．【解答】解：A、a2﹣4（a﹣1）=a2﹣4a+4，故原题正确；B、x2﹣4（y2﹣2xy）=x2﹣4y2+8xy，故原题错误；C、a2﹣（a﹣3b）=a2﹣a+3b，故原题错误；D、x2﹣2（x﹣3）=x2﹣2x+6，故原题错误；故选：A．7．【分析】被减式=差+减式．【解答】解：多项式为：x2﹣2y2+（x2+y2）=（1+1）x2+（﹣2+1）y2=2x2﹣y2，故选：B．=5ay﹣5y﹣3=5y（a﹣1）﹣3∴a﹣1=0，∴a=1故答案为：116．【分析】依据相同字母的指数也相同可求得x、y的值．【解答】解：代数式3ax﹣2b2y+1与a3b2是同类项，∴x﹣2=3，2y+1=2．解得：x=5，y=．故答案为：5；．17．【分析】根据数轴可化简含绝对值的式子．【解答】解：由数轴可知：c＜b＜0＜a，∴b＜0，c+b＜0，b﹣a＜0，∴原式=﹣b+（c+b）﹣（b﹣a）=﹣b+c+b﹣b+a=﹣b+c+a，故答案为：﹣b+c+a18．【分析】此题涉及整式的加减运算，解答时只要用和减去加数即可得出A的结果．【解答】解：A=3a2﹣2b2﹣（2a2﹣b2）=3a2﹣2b2﹣2a2+b2=a2﹣b2．19．【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式．【解答】解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，∵AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，∴AE+a=4b+PC，即AE﹣PC=4b﹣a，∴阴影部分面积之差S=AE•AF﹣PC•CG=3bAE﹣aPC=3b（PC+4b﹣a）﹣aPC=（3b﹣a）PC+12b2﹣3ab，则3b﹣a=0，即a=3b．故答案为：a=3b．20．【分析】先根据a、b、c在数轴上的位置可得a＜b＜0＜c，然后进行绝对值的化简，合并求解．【解答】解：由图可得，a＜b＜0＜c，原式=﹣a﹣（b﹣a）+c﹣a+（a+b）=﹣a﹣b+a+c﹣a+a+b=c．故答案为：c．三．解答题（共6小题）21．【分析】根据合并同类项的法则求解．【解答】解：（1）3x2+4x﹣2x2﹣x+x2﹣3x﹣1=（3﹣2+1）x2+（4﹣1﹣3）x﹣1=2x2﹣1；（2）﹣a2b+2a2b=（﹣1+2）a2b=a2b；（3）a3﹣a2b+ab2+a2b﹣2ab2+b3=a3+（﹣1+1）a2b+（1﹣2）ab2+b3=a3﹣ab2+b3；（4）2a2b+3a2b﹣a2b=（2+3﹣）a2b=a2b．。

综上可知，命题成立．评注如果两个互质的正整数之积是一个完全平方数，则这两个正整数都是完全平方数．这一命题是我们证明此题的出发点．19．4．27★★★如果正整数a 、b 、c 满足222c a b =+．证明：数2c ab +和2c ab -都可以表示为两个正整数的平方和．解析 巧妙运用下述命题：如果正整数x 可表示为两个正整数的平方和，则2x 也可表示为两个整数的平方和．事实上，设22x u v =+，这里x 、u 、v 都是正整数．则()()2222222x u v u v u v =+=++-．于是，2x 可表示为两个整数u v +和u v -的平方和，命题获证．注意到，由条件有 ()()22222222c ab c a ab b c a b ±=+±+=+±． 利用已证命题，可知()()()2224c ab c a b c a b ±=+±+- ． 记c a b x +±=，c a b y -= ，由222c a b =+可知x 、y 都是正整数，并且()2224c ab x y ±=+．若x 、y 不同为偶数，则由平方数0≡或()1mod 4，可知221x y +≡或()2mod 4，这是一个矛盾．所以，x 、y 都是偶数，从而22222x y c ab ⎛⎫⎛⎫±=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这就是 要证的结论．评注 这里本质上只是恒等式()()()22222u v u v u v +=++-的应用，在处理竞赛问题时，代数式变形能力显得十分重要．19．4．28是否存在正整数m 、n 使得331m n a =++是完全平方数？解析 分如下三种情形讨论：（1）若m m 、n 都是偶数，则()31mod 4m ≡，()31mod4n ≡，所以()3313mod4m n a =++≡， 故此时a 不是完全平方数．（2）若m 、n 都是奇数，则()33mod4m ≡，()33mod 4n =，所以()3313mod4m n a =++≡， 故此时a 不是完全平方数．（3）若m 、n 是一奇一偶，不妨设m 是奇数，n 是偶数，则()33mod8m ≡，()31mod8n ≡，所以()3315mod8m n a =++≡，故此时a 不是完全平方数．综上所述，对于任意正整数m 、n ，正整数331m n a =++都不是完全平方数．评注 判断一个数不是完全平方数，我们也可以用“模”的方法，例如，我们知道，偶数的平方是4的倍数，奇数的平方除以4余1，所以，若一个整数同余2或者3模4，则它一定不是完全平方数；类似地，若一个整数同余2模3，则它一定不是完全平方数；一个整数同余2、3模5，则它一定不是完全平方数等等．其实，考虑末位数也是用“模”的方法，即模10．19．4．29★★★已知n 是正整数，且21n +和31n +都是完全平方数，求证：40|n ． 解析 因为34025=⨯，所以，只需证明：32|n ，且5|n 即可．设221n a +=，231n b +=，其中a 、b 都是正整数．由于a 是奇数，所以，()21mod8a ≡，从而4|n ，于是，31n +是奇数，所以，()21mod8b ≡，即()311mod8n +≡，从而()0mod8n ≡． 又对于任意整数x ，有()0 , 1 , 2mod5x ≡±±，所以，()20 , 1 , 4mod5x ≡，于是()22522mod5a b n +=+≡，故只能是()221mod5a b ≡≡，所以，()211mod5n +≡，从而()0mod5n ≡．因为（8，5）=1，所以，40|n19．4．30★★★—个正整数若能表示为两个正整数的平方差，称为“智慧数”，比如221653=-，16就是一个“智慧数”，从1开始数起，第2008个“智慧数”是哪个数？ 解析 1不是“智慧数”，大于1的奇正整数()()22211 1 , 2 , 3 , k k k k +=+-= ，都是“智慧数”．被4整除的偶数4k ，有()()()22411 2 , 3 , k k k k =+--= ，都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数的平方差，4不是“智慧数”．被4除余2的数()42 1 , 2 , k k += ，设()()2242k x y x y x y +=-=+-，其中x 、y 为正整数，当x 、y 奇偶性相同时，x y +，x y -均为偶数，()()x y x y +⋅-被4整除，而42k +不被4整除，所以x 、y 奇偶性相同的假设不可能成立；当x 、y 奇偶性不同时，x y +，x y -均为奇数，()()x y x y +-为奇数，而42k +为偶数，故x 、y 奇偶性不同的假设也不可能成立．即不存在正整数x 、y ，使2242k x y +=-，即形如42k +的数均不是“智慧数”． 综述，在正整数列中，前四个正整数中只有3为“智慧数”，之后每连续四个数中有三个“智慧数”，其中第二个数，即形如42k +的数不是智慧数．200813669=+⨯，()466912680⨯+=．因此，第2008个“智慧数”是2680． 19．4．31★★★把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：12 , , , , n a a a ，例如：22222222123421 3 , 32 5 , 437 , 318 , a a a a =-==-==-==-= ，求122007a a a +++ 的值．解析 当9m ≥时，若21m k =+是奇数，则()221m k k =+-，即m 能表示成两个正整数的平方差；若4m k =，则()()211m k k =+--，即m 也能表示成两个正整数的平方差；若4m k =，则()()2211m k k =+--，即m 也能表示成两个正整数的平方差；若42m k =+，则m 不能表示成两个正整数的平方差．所以，59a =，611a =，712a =，…，一般地，343k a k =+，3144k a k +=+，3245k a k +=+， 1 , 2 , k =故3132334445471216k k k a a a k k k k +++++=+++++=+，而20073669=⨯，所以()12200712312116122161266816a a a a a a +++=+++⨯++⨯+++⨯+()166866815126681626920052+=++⨯=． 19．4．32★★在二个连续的平方数之间能不能有二个完全立方数？换言之，是否存在正整数a 、b 、n 使得()22331n a b n <<<+？解析 假设存在正整数a 、b 、n ，使得()22331n a b n <<<+．因33a b <，可得()()323311a a b n <+<+≤．又因为23n a <，可得24n a <，即2n a <．故()()323221331311a a a a n n n +=+++>++>+，矛盾． 故假设不成立，即二个连续的平方数之间不能有二个完全立方数．19．4．33★★★设n 为正整数，如果存在一个完全平方数，使得在十进制表示下此完全平方数的各位数字之和为n ，那么称n 为好数（例如13是一个好数，因为2749=的各位数字之和等于13）．问：在1，2，…，2007中有多少个好数？解析 首先，对()0 , 1 , 2 , 3 , 4mod9x ≡±±±±分别计算，可得()20 , 1 , 4 , 0 , 7mod9x ≡，利用十进制下一个数与它的数码和模9同余，可知满足条件的()0 , 1 , 4 , 7mod7n ≡，即()0mod9n ≡或()1mod3n ≡．其次，注意到 23333512121225m m = 个个12，因此，若存在非负整数m ，使得37n m =+，则n 为好数，又由211=，224=可知1n =，4是好数，因此，若()1mod3n ≡，则n 为好数．最后，由()2211010110210199980001m m m m m ---=-⨯+= 个9个，可知若()0mod9n ≡，则n 是好数．综上可知，n 为好数的充要条件是()0mod9n ≡或()1mod3n ≡．依此可求得1，2，…，2007中好数的个数为669223892+-个．19．4．34★★★在黑板上依如下规则写下了若干个数：第一个数为1，以后的每一个数都等于已写数的个数加上这些已写数的平方和．证明：黑板上不可能出现除1以外的完全平方数．解析 利用相邻两个完全平方数之间的正整数都不是完全平方数这一结论．设第n 次所写的数为n ，则11a =，22a =，并且222112n n a n a a a +=++++ ，1n ≥． ①利用递推式①，可知()22111n n a n a a -=-+++ ，2n ≥，② 由①-②，可知211n n na a a +-=+，2n ≥， 即211n n n a a a +=++，2n ≥．注意到，()22211n n n n a a a a <++<+，故2n ≥时，1n a +不是完全平方数，又2a 不是完全平方数，故命题成立．评注 用递推式表示题中的条件后，问题得以数学化，从而获得解决．用恰当的方式将问题表示，这一过程是一个数学化的过程，是处理实际问题时必要的第一步．19.4.35★★★如果对x 的一切整数值，x 的二次三项式2ax bx c ++都是平方数（即整数的平方）．证明：（1）2a 、2b 、c 都是整数；（2）a 、b 、c 都是整数，并且c 是平方数．反过来，如果（2）成立，是否对一切x 的整数值，2ax bx c ++的值都是平方数？ 解析 （1）令0x =得c =平方数2l .令1x =±得2a b c m ++=，2a b c n -+=，其中m 、n 都是整数，所以2222a m n c =+-，222b m n =-都是整数．（2）如果2b 是奇数21k +（k 是整数），那么令4x =得22164a b l h ++=，其中h 是整数．由于2a 是整数，所以16a 被4整除，1641642a b a k +=++除以4余2．而()()22h l h l h l -=+-，在h 、l 的奇偶性不同时，()()h l h l +-是奇数；在h 、l 的奇偶性相同时，()()h l h l +-被4整除．因此22164a b h l +≠-，从而2b 是偶数，b 是整数．2a m c b =--也是整数． 在（2）成立时，2ax bx c ++不一定对x 的整数值都是平方数．例如，2a =，2b =，4c =，1x =时，28ax bx c ++=不是平方数． 19．4．36★★★设n 为任意正整数，p 为正整数． 试确定正整数p ，使123p p p p n ++++ 都是某个正整数的平方． 解析 令 , 123p p p p n p S n =++++ .首先我们知道：（1）() , 112n n n S +=，()() , 2126n n n n S ++=. 因此 2 , 13S =， 2 , 25S =均不为完全平方数． 所以1p =，2不满足所要求的条件．（2）()()222 , 31142n n n n n S ++⎛⎫== ⎪⎝⎭，对任意正整数而言，()12n n +必为整数，所以 , 3n S 必为完全平方数．（3）对任意4p ≥而言， 2 , 1221p p p p S =+=+必为奇数，但任一奇数m ，设21m k =+（k 为整数），则()()2221411m k k k =+=++． 显然2m 不可能是21p +型的数．（因为()1k k +必为一奇一偶，除1k =之外，()412p k k +≠，又4p ≥时，216p ≥，而1k =时，()418k k +=也不为2p 的数）． 由（1）、（2）、（3）的讨论得知3p =是唯一使123p p p p n ++++ 恒为完全平方数的正整数．。

初中数学竞赛题典数的整除题l 所有四位数中，有（）个数能同时被入3，5，7和11整除？（A）l（B）2（C）3（D）4题2 设n是100到200之间的自然数，则满足7n＋2是5的倍数的。

共有（）个．a b能被12整除，这样的六位数共有多少个．题3一个六位数1991（A）4 （B）（C）8（D）12题4 已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是（），题6 n是一个两位数，它的数码之和为a．当n分别乘以3，5，79以后得到4个乘积．如果其每一个积的数码之和仍为a，那么，这样的两位数n有（）．题8设某个n位正整数的n个数宇是1，2，…，n的一个排列，如果它的前k个数字所组成的整数能被k整除，其中k＝1，2，…，n，那么就这个n位数为一个“好数”．例如，321就是一个三位“好数”，因为1整除3，2整除32，3整除321．那么六位“好数”的个数为（）．题9能被11整除的最小的九位数是题12在自然数1，2，3，…，1990，1991中．不能披7整除的数有（）个．题13将自然数N接写在任意一个自然数的右面（例如，将2接写在35的右面得352），如果得到的新数都能被N整除，那么N称为魔术数，在小于l30的自然数中，魔术数的个数为（）．题14在所有的五位数中，各位数字之和等于43且能被11整除的数是（）。

题15定义：如果n个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两数的积能被这两数的和整除．那么，叫这组数为n个数的祖冲之数组。

例如：60，120，180这三个数就构成一个三个数的祖冲之数组，（因（60×120）÷（60＋120），（60×180）÷（60＋180），（120×180）÷（120＋180）都是整数）．请你写出一组四个数的祖冲之数组．题16 设a、b、c为整数，且a＋b和ab均可被c整除，求怔：a3＋b3可被c2整除．题17 设a、b、c为正整数，求证：a3（b－c）＋b3（c－a）＋c3（a－b）可被a＋b＋c整除．题19 一个魔方是由自然数组成的正方形网格。

第三篇 初等数论第19章 整数的整除性§19．1整除19.1.1★证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．解析 要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．设三个连续的奇数分别为21n -、21n +、23n +（其中n 是整数），于是 ()()()()22222121231121n n n n n -+++++=++． 所以()()()22212|212123n n n ⎡⎤-++++⎣⎦． 又()2111n n n n ++=++，而n 、1n +是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以()1n n +是偶数，从而21n n ++是奇数，故()()()22224212123n n n ⎡⎤-++++⎣⎦Œ． 19．1．2★★若x 、y 为整数，且23x y +，95x y +之一能被17整除，那么另一个也能被17整除．解析 设23u x y =+，95x y =+．若17|u ，从上面两式中消去y ，得3517v u x -=． ①所以 17|3v ．因为（17，3）=1，所以17|v 即17|95x y +．若17|v ，同样从①式可知17|5u ．因为（17，5）=1，所以17|u ，即17|23x y +． 19.1.3★★设n 是奇数，求证：60|6321n n n ---．解析 因为260235=⨯⨯，22、3、5是两两互质的，所以只需证明22、3、5能整除6321n n n ---即可．由于n 是奇数，有22|62n n -，22|31n +，所以22|6231n n n ---；又有3|63n n -，3|21n +，所以3|6321n n n ---；又有5|61n -，5|32n n +，所以5|6321n n n ---．所以60|6321n n n ---．评注 我们通常把整数分成奇数和偶数两类，即被2除余数为0的是偶数，余数为1的是奇数．偶数常用2k 表示，奇数常用21k +表示，其实这就是按模2分类．又如，一个整数a 被3除时，余数只能是0、1、2这三种可能，因此，全体整数可以分为3k 、31k +、32k +这三类形式，这是按模3分类．有时为了解题方便，还常把整数按模4、模5、模6、模8等分类，但这要具体问题具体处理．19．1．4★★设n 为任意奇正整数，证明：15961000270320n n n n +--能被2006整除． 解析 因为200621759=⨯⨯，所以为证结论成立，只需证n 为奇正整数时，15961000270320n n n n +--能被2、17、59整除．显然，表达式能被2整除．应用公式，n 为奇数时，()()121n n n n n a b a b a a b b ---+=+-++L ，()()121n n n n n a b a b a a b b ----=-+++L .由于159610005944+=⨯，2703205910+=⨯，所以15961000270320n n n n +--能被59整除. 又159627013261778-==⨯，10003206801740-==⨯，所以15961000270320n n n n +--能被17整除．19.1.5★★若整数a 不被2和3整除，求证：()224|1a -．解析 因为a 既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k 、61k +、62k +、63k +、64k +、65k +这六类．由于6k 、62k +、64k +是2的倍数，63k +是3的倍数，所以a 只能具有61k +或65k +的形式，有时候为了方便起见，也常把65k +写成61k -（它们除以6余数均为5）．故a 具有61k ±的形式，其中k 是整数，所以()()222161136121231a k k k k k -=±-=±=±．由于k 与31k ±为一奇一偶（若k 为奇数，则31k ±为偶数，若k 为偶数，则31k ±为奇数），所以()2|31k k ±，于是便有()224|1a -．19．1．6★★★求证：31n +（n 为正整数）能被2或22整除，但不能被2的更高次幂整除． 解析 按模2分类．若2n k =为偶数，k 为正整数，则()22313131n k n +=+=+． 由3k 是奇数，()23k 是奇数的平方，奇数的平方除以8余1，故可设()2381k l =+，于是 ()3182241n l l +=+=+，41l +是奇数，不含有2的因数，所以31n +能被2整除，但不能被2的更高次幂整除． 若21n k =+为奇数，k 为非负整数，则()()()22131313313811461n k k l l ++=+=⋅+=++=+． 由于61l +是奇数，所以此时31n +能被22整除，但不能被2的更高次幂整除．19.1.7★★设p 是质数，证明：满足22a pb =的正整数a 、b 不存在.解析 用反证法．假定存在正整数a 、b ，使得22a pb =.令() , a b d =，1a a d =，1b b d =，则()11 , 1a b =.所以222211a d pb d =，2211a pb =，所以21|p a ．由于p 是质数，可知，1|p a .令12a pa =，则22221a p pb =，所以2221pa b =．同理可得，1|p b .即1a 、1b 都含有p 这个因子，这与()11 , 1a b =矛盾．19．1．8★★如果p 与2p +都是大于3的质数，那么6是1p +的约数.解析 每一整数可以写成6n 、61n -、61n +、62n -、62n +、63n +中的一种（n 为整数），其中6n 、62n -、62n +、63n +在1n ≥时都是合数，分别被6、2、2、3整除．因此，质数p 是61n -或61n +的形式.如果()611p n n =+≥，那么()263321p n n +=+=+是3的倍数，而且大于3，所以2p +不是质数．与已知条件矛盾．因此()611p n n =-≥．这时16p n +=是6的倍数．评注 本题是将整数按照除以6，所得的余数分为6类．质数一定是61n +或61n -的形式．当然，反过来，形如61n -或61n +的数并不都是质数．但可以证明形如61n -的质数有无穷多个，形如61n +的质数也有无穷多个．猜测有无穷多个正整数n ，使61n -与61n +同为质数．这是孪生质数猜测，至今尚未解决． 19.1.9★★已知a 、b 是整数，22a b +能被3整除，求证：a 和b 都能被3整除． 证 用反证法.如果a 、b 不都能被3整除，那么有如下两种情况：（1）a 、b 两数中恰有一个能被3整除，不妨设3|a ，3b Œ．令3a m =，31b n =±（m 、n 都是整数），于是()222222996133321a b m n n m n n +=+±+=+±+，不是3的倍数，矛盾．（2）a ，b 两数都不能被3整除.令31a m =±，31b n =±，则()()2222223131961961a b m n m m n n +=++±=±++±+()22333222m n m n =+±±+， 不能被3整除，矛盾．由此可知，a 、b 都是3的倍数．19．1．10★★若正整数x 、y 使得2x x y+是素数，求证：x y ≤. 解析 设2x p x y=+是素数，则()py x x p =-，所以()|p x x p -，故|p x ，或者|p x p -，故可得|p x ，且p x <.令x kp =，k 是大于1的整数，则()1y x k x =-≥．19.1.11★证明：形如abcabc 的六位数一定被7、11、13整除．解析 100171113abcabc abc abc =⨯=⨯⨯⨯． 由此可见，abcabc 被7、11、13整除．19．1．12★任给一个正整数N ，把N 的各位数字按相反的顺序写出来，得到一个新的正整数N '，试证明：N N '-被9整除．解析 N 除以9，与N 的数字和除以9，所得余数相同．N '除以9，与N '的数字和除以9，所得余数相同．N 与N '的数字完全相同，只是顺序相反，所以N 与N '的数字和相等．N 除以9与N '除以9，所得的余数相同，所以N N '-被9整除．19.1.13★19991999199919991999N =L 144424443连写个.求N 被11除所得的余数．解 显然，N 的奇数位数字和与偶数位数字和的差为()1999999119998⨯+--=⨯.19998⨯除以11的余数与88⨯除以11的余数相同，即余数为9．从而N 除以11，所得的余数为9． 19．1．14★在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、4、5分别整除．符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？解析 要命名这个六位数尽可能小，而且能被5整除，百位数字和个位数字都应选0．这样，已知的五个数位上数字之和是5+6+8+0+0=19．要使这个六位数能被3整除，十位上可填2、5、8．由能被4整除的数的特征（这个数的末两位数应该能被4整除）可知，应在十位上填2．这个六位数是568020．19.1.15★★已知四位数abcd 是11的倍数，且有b c a +=，bc 为完全平方数，求此四位数． 解析 在三个已知条件中，b c a +=说明给出b 和c ，a 就随之给定，再由11|abcd ，可定d .而bc 为完全平方数，将b 和c 的取值定在两位平方数的十位和个位数字范围中，只要从这个范围中挑选符合要求的即可． 由bc 完全平方数，只可能为16、25、36、49、64、81这六种情况．由b c a +=，此时相应的a 为7、7、9、13、10、9．其中13和10显然不可能是四位数的千位数字． 在716d 、725d 、936d 、981d ，这四种可能性中，由11|abcd ，应有()()11|d b a c +-+． ()()11|176d +-+时，d 可为1；()()11|275d +-+时，这种d 不存在；()11|396d +-+时，d 可为1；()11|891d +-+时，d 可为2．故满足条件的四位数有：7161、9361、9812．评注bc 为完全平方数，表示bc 是两位整数，0b ≠，因此，不考虑00、01、04、09这四种情况，否则还应加上1012、4048、9097这三个四位数.19．1．16★★用0，1，2，…，9这十个数字组成能被11整除的最大的十位数是多少？ 解析 因为0+1+2+…+9=45．这个最大十位数若能被11整除，其奇数位上数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）为0或11的倍数．由于这十个数字之和是45（奇数），所以这个差不可能是0、22、44（偶数）．若这个差为33，则只能是396-，但0+1+2+3+4=10，即最小的五个数字之和都超过6，不可能．若这个差为11，()4511228+÷=，452817-=．如果偶数位为9、7、5、3、1，其和为25；奇数位为8、6、4、2、0，其和为20．交换偶数位上的1与奇数位上的4，可得偶数位上的数为9、7、5、4、3，奇数位上的数为8、6、2、1、0．19.1.17★★一个六位数88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？ 解析 设这个六位数为1234A B ，因为它是88的倍数，而88811=⨯，8与11互质，所以，这个六位数既是8的倍数，又是11的倍数．由1234A B 能被8整除，可知34B 能被8整除（一个数末三位组成的数能被8整除，这个数就能被8整除），所以B 是4．由能被11整除的数的特征（一个数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除，这个数就能被11整除），可知奇数位数字之和与偶数位数字之和的差()()234144A A ++-++=-能被11整除，则40A -=，即4A =．124344881413÷=．所以，这个六位数是124344的商是1413．19．1．18★★如果六位数105整除，那么，它的最后两位数是多少？ 解析 因为这个六位数能被105357=⨯⨯，3、5、7这三个数两两互质，所以，这个六位数能同时被3、5、7整除．根据能被5整除的数的特征，它的个位数可以是0或5．根据能被3整除的数的特征，可知这个六位数有如下七种可能：199320，199350，199380，199305，199335，199365，199395．而能被7整除的数的特征是：这个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（以大减小）能被7整除．经试算：395199196-=，196能被7整除．所以，199395能被105整除，它的最后两位数是95．19.1.19★★形如1993199319931993520n L 1442443个，且能被11整除的最小数是几？ 解析 本题实质上确定n 的最小值．利用被11整除的数的特征：偶数位数字之和与奇位数字之和的差能被11整除．该数的偶数位数字之和为122n +，奇数位数字之和为105n +，两者之差为()12210523n n n +-+=-．要使()11|23n -，不难看出最小的7n =，故所求最小数为71993199319931993520L 1442443个． 19．1．20★★★是否存在100个不同的正整数，使得它们的和与它们的最小公倍数相等？ 解析 存在满足条件的100个数．事实上，对任意正整数()3n ≥，下述n 个数3，23⨯，223⨯，…，223n -⨯，13n -，它们的最小公倍数为123n -⨯，和为221222132323233323233n n n n ----+⨯+⨯++⨯+=+⨯++⨯+L L 33211113232333323n n n n n -----=+⨯++⨯+==+=⨯L L ．所以，这几个数的和等于它们的最小公倍数．取100n =，可知存在符合要求的19.1.21★★下面这个41位数20555L 123个2099L 23个能被7整除，问中间方格代表的数字是几？ 解析 因为5555555111111=⨯，9999999111111=⨯，11111137111337=⨯⨯⨯⨯，所以555555和999999都能被7整除，那么由18个5和18个9分别组成的18位数，也能被7整除．而原数=185230555000L L 123123个个1851890999+L L 123123个个，因此右边的三个加数中，前后两个数都能被1整除，那么只要中间的能被7整除，7整除．把拆成两个数的和：5599BA B +.因为7|55300，7|399336+=．评注 记住111111能被7整除很有用．19．1．22★★一位魔术师让观众写下一个六位数a ，并将a 的各位数字相加得b ，他让观众说出a b -中的5个数字，观众报出1、3、5、7、9，魔术师便说出余下的那个数，问那个数是多少？解析 由于一个数除以9所得的余数与这个数的数字和除以9所得的余数相同，所以a b -是9的倍数．设余下的那个数为x ，则()9|13579x +++++，即 ()9|7x +，由于09x ≤≤，所以，2x =．19．1．23★★若p 、q 、21p q-、21q p -都是整数，并且1p >，1q >．求pq 的值． 解析 若p q =，则212112p p q p p--==- 不是整数，所以p q ≠．不妨设p q <，于是2121212p q q q q q--<<=≤， 而21p q-是整数，故211p q -=，即21q p =-．又 214334q p p p p--==- 是整数，所以p 只能为3，从而5q =．所以3515pq =⨯=．19．1．24★★★试求出两两互质的不同的三个正整数x 、y 、z 使得其中任意两个的和能被第三个数整除．解析 题中有三个未知数，我们设法得到一些方程，然后从中解出这些未知数．不妨设x y z <<，于是y z x +、z x y +、x y z+都是正整数．先考虑最小的一个： 12x y z z z z++<=≤， 所以1x y z+=，即z x y =+．再考虑z x y +，因为()|y z x +，即()|2y y x +，所以|2y x ，于是2212x y y y<=≤， 所以21x y=，即2y x =，从而这三个数为x 、2x 、3x ．又因为这三个数两两互质，所以1x =． 所求的三个数为1、2、3．19.1.25★★★求所有的有理数a ，使得421a -≤，并且44127a A a -=为整数. 解析 由条件，可知1344a ≤≤.当14时，0A =是整数；下面考虑1344a <≤的情形，此时设p a q=，p 、q 为正整数，且() , 1p q =．则由()34427p q p A q -=为正整数和() , 1p q =可知4|4q q p -，进而|4q q p -，导致|q p ，再结合() , 1p q =，得1q =.于是()3427p p A -=，又114a p =>．故3p ≤，易知仅当3p =时A 为正整数． 综上可知，满足条件的14a =或13． 19．1．26★★设正整数x 、y 、r 、t 满足1100x y r t <<<≤≤．求x r y t+的最小值． 解析 由条件，可知11111121100100100100100100x r r y y y t y y y ++++=++=≥≥≥. 等号在()() , , , 1 , 10 , 11 , 100x y r t =时取到，因此所求的最小值为21100. 19.1.27★★已知正整数a 、b 、p 、q 、r 、s 满足条件1qr ps -=，p a r q b s<<． 证明：b q s +≥．解析 由条件，可知pb aq <，as br <，故1pb aq +≤， ①1as br +≤．② 将①s ⨯与②q ⨯，然后相加，得psb s q brq ++≤．结合1rq ps -=，可知b q s +≥.19．1．28★★★将正整数N 接写在任意一个正整数的右面（例如，将2接写在35的右面得352），如果得到的新数都能被N 整除，那么N 称为“魔术数”.问：在小于130的正整数中有多少个魔术数？解析 设P 为任意一个正整数，将魔术数()130N N <接后得PN ，下面对N 为一位数、两位数、三位数分别进行讨论．（1）当N 为一位数时，10PN P N =+，依题意|N PN ，则|10N P .由于需对任意数P 成立，故|10N ．所以N =1，2，5．（2）当N 为两位数时，100PN P N =+，依题意|N PN ，则|100N P ，故|100N ．所以N =10，20，25，50．（3）当N 为三位数时，1000PN P N =+，依题意|N PN ，则|1000N P ，故|1000N ．所以100N =，125．综上所述，魔术数的个数为9个．评注 （1）我们可以证明：k 位魔术数一定是10k 的约数．事实上，设N 是k 位魔术数，将N 接写在正整数P 的右面得：10k PN P N =⨯+，由魔术数定义可知：|N PN ，因而10k P ⨯也能被N 整除，所以|10k N ．这样我们有：一位魔术数为1，2，5；二位魔术数为10，20，25，50；三位魔术数为100，125，200，250，500；三位或三位以上的魔术数，每种个数均为5．（2）这里将问题分成几种情况去讨论，对每一种情况都增加了一个前提条件，从而降低了问题的难度，使问题较容易解决．19.1.29★★一个正整数如果从左读到右与从右到左读所得的结果相同，则称这个数为回文数．例如：1，343及2002都是回文数，但2005则不是．请问能否找到2005个不同的回文数122005 , , , n n n L ，使得122005110 , 110 , , 110n n n +++L 也都是回文数？解析 取回文数10999901n =L ，则11011000011n +=L 也是回文数．因为n 中9的数目可以任选，可取110901n =，2109901n =，…，20052005910999901n =L 14243个，因此我们可以找到2005个回文数满足题目所要求的条件．19．1．30★★将2008个同学排成一行，并从左向右编为1至2008号．再从左向右从1到11地报数，报到11的同学原地不动，其余同学出列．留下的同学再次从左向右从1到11地报数，报到11的同学留下，其余同学出列．留下的同学第三次从左向右1到11报数，报到11的同学留下，其余同学出列．问最后留下的同学有多少人？他们的编号是几号？ 解 由题意，第一次报数后留下的同学，他们的编号必为11的倍数．第二次报数后留下的同学，他们的编号必为211121=的倍数．第三次报数后留下的同学，他们的编号必为3111331=的倍数．因此，最后留下的同学编号为1331的倍数，我们知道从1~2008中，1331的倍数只有一个，即1331号．所以，最后留下一位同学，编号为1331．19.1.31★★★甲、乙两人进行了下面的游戏．两人先约定一个整数N ，然后由甲开始，轮流把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字之一填入下面的任一方格中．□□□□□□每一方格只填一个数字，六个方格都填上数字（数字可重复）后，就形成一个六位数，如果这个六位数能被N 整除，就算乙胜；如果这六位数不能被N 整除，就算甲胜．设N 小于15，那么当N 取哪几个数时，乙才能取胜？解析 N 取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就使六位数不能被N 整除，乙不能获胜．5N =，甲可以在六位数的个位填一个不是0或5的数，甲就获胜．上面已经列出了乙不能获胜的N 的取值情况．如果1N =，很明显乙必获胜．如果3N =或9，那么乙在填最后一个数时，总是能把六个数字之和凑成3的整数倍或9的整数倍．因此乙必获胜．当7N =，11，13时是本题最困难的情况．注意到100171113=⨯⨯，乙就有一种必胜的办法．我们从左往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对，甲在一对格子的一格上填某一个数字后，乙就在这一对格子的另一格子上填同样的数字，这就保证所填成的六位数能被1001整除，这个六位数就能被7、11或13整除，故乙就能获胜．综合起来，使乙获胜的N 是1、3、7、9、11、13．19．1．32★★小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，问小明家原来的电话号码是多少？解析 设原来电话号码的六位数为abcdef ，则经过两次升位后电话号码的八位数为28a bcdef ．根据题意，有8128abcdef a bcdef ⨯=．记43210101010x b c d e f =⨯+⨯+⨯+⨯+，于是5568110812081010a x a x ⨯⨯+=⨯+⨯+，解得()125020871x a =⨯-． 因为5010x <≤，所以()5012502087110a ⨯-<≤， 故1282087171a <≤. 因为a 为整数，所以2a =．于是()125020871282500x =⨯-⨯=．所以，小明家原来的电话号码为282500．19.1.33★★若a 是不超过1000的正整数，且247a a ++是最简分数，则a 的取值有多少个？ 解析 因为2723444a a a a +=-+++，所以()4 , 231a +=，由于23是质数，所以4a +不是23的倍数即可，在5，6，…，1004中，23的倍数有43个，所以满足条件的正整数a 有100043957-=个．19．1．34★★★★在各位数码各不相同的10位数中，是11111的倍数的数共有多少个． 解析 设这个10位数为abcdefghij ，因为这10位数的各位数码各不相同，所以a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 、j 是0 , 1 , 2 , , 9L 的一个排列，故45a b c d e f g h i j +++++++++=． 所以9|abcdefghij ． 因为11111|abcdefghij 且（11111，9）=1，所以99999|abcdefghij ，即599999|10abcde fghij ⨯+．又99999|99999abcde ⋅，所以99999|abcde fghij +． 因为0999992abcde fghij <+<⨯，所以99999abcde fghij +=，所以9a f b g c h d i e j +=+=+=+=+=．而99081726354=+=+=+=+=+，所以，符合题意的数共有54543212432123456⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=（个）．19.1.35★★★从1，2，…，9这九个数字中，每次取出3个不同的数字组成三位数，求其中能被3整除的三位数的和．解析 对于固定的三个不同的非零数字a 、b 、c ，任意排列，可得6个不同的三位数，它们的和为()2111a b c ++⨯． 因为()3|3|abc a b c ⇔++u u u r ，所以有以下两种情况：（1）a 、b 、c 除以3所得的余数相同，即a 、b 、c 取成{}1 , 4 , 7，或{}2 , 5 , 8，或{}3 , 6 , 9，这样得到的()332118⨯⨯⨯=个的三位数的总和为()()()21472583691119990++++++++⨯=⎡⎤⎣⎦．（2）a 、b 、c 除以3所得的余数各不相同，不妨设a 取自{}1 , 4 , 7，b 取自{}2 , 5 , 8，c 取自{}3 , 6 , 9，这种三位数共有()333321162⨯⨯⨯⨯⨯=个．对于固定的a ，易知b 、c 有339⨯=种取法，因而这162个三位数的和为()91239211189910++++⨯⨯=L ．综合（1）、（2），可知，所求的满足条件的三位数总和为9990+89910=99900．19．1．36★★★证明一个正整数，当且仅当它不是2的整数幂时，可以表示成若干个（至少两个）连续正整数的和．解析 当且仅当，有两方面的意思．一方面，当一个正整数不是2的整数幂时，它可以表示成几个连续正整数的和．另一方面，如果一个正整数可以表示成几个连续正整数的和，那么它一定不是2的整数幂．设n 不是2的整数幂．这时n 可以写成2k n h =⋅，h 是大于1的奇数. ①我们可将n 写成h 个连续正整数的和．中间一个是2k ，它的两侧是21k -与21k +，再向外分别写22k -与22k +，…，直至122k h --与122k h -+（h 是奇数，所以12h -是整数），即 ()()132********k k k k k h h n --⎛⎫⎛⎫=-+-++-+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 312222k k h h --⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 另一方面，设n 是()1h h >个连续正整数1k +，2k +，…，k h +的和，则()()()()()11122122k k h hn k k k h k h h +++=++++++==++L ， 其中h 与21k h ++奇偶性不同，即至少有一个是大于1的奇数．所以这时n 不是2的整数幂． 评注 2的整数幂没有大于1的奇约数．所以一个整数，如果有大于1的奇约数就一定不是2的整数幂．19.1.37★★★玛丽发现将某个三位数自乘后，所得乘积的末三位数与原三位数相同．请问：满足上述性质的所有不同的三位数的和是多少？ 解析 设三位数为abc ，则 21000abc k abc =+， 即()33125abc abc k -=⋅， 而() , 11abc abc -=，所以，32|abc ，且35|1abc -；或者32|1abc -，且35|abc ．（1）若32|abc ，且35|1abc -，则1125abc -=，375，625，875，只有376abc =使得32|abc ，故此时376abc =满足题意．（2）若32|1abc -，且35|abc ，则125abc =，375，625，875，只有625abc =使得32|1abc -，故此时625abc =满足题意．所以，所求的和为376+625=1001．19．1．38★★★我们知道，4998约分后是12，但按下面的方法，居然也得14941:29882==.试求出所有分子和分母都是十进制两位正整数，分子的个位数与分母的十位数相同，且具有上述“奇怪”性质的真分数．解析 设真分数ab bc 具有上述性质，则ab bc <，且1ab a cbc =<，于是 1010a b a b c c+=+， 故()910ac b a c =-．若()9|10a c -，则()9|a c -，但是9a c -<，所以0a c -=，矛盾．故9不整除10a c -，所以3|b ．（1）若3b =，则310ac a c =-，于是10333131a a c a a -==+++，所以()()31|3a a +-，而331a a -<+，故只能是3a =，从而3c =，矛盾．（2）若6b =，则()3210ac a c =-，于是2021263232a a c a a -==+++，当6a >时，021232a a <-<+，此时c 不是整数；当6a =时，6c =，矛盾；当6a <时，应有12232a a -+≥，所以2a ≤，而当1a =时，4c =，此时，满足题意的真分数为1664，当2a =时，5c =，此时，满足题意的真分数为2665． （3）若9b =，则10ac a c =-，于是10101011a c a a ==-++，所以，()1|10a +，故a =1，4，9．当1a =时，5c =，此时，满足题意的真分数为1995； 当4a =时，8c =，此时，满足题意的真分数为4998；当9a =时，9c =，矛盾． 综上所述，满足题意的真分数为：1664，2665，1995，4998. 19.1.39★★★在1，2，3，…，1995这1995个数中，找出所有满足下面条件的数a ：()1995a +能整除1995a ⨯．解析 19951995a a+是一个整数．这个式子的分子、分母都有a ，所以应当先进行变形，使得分子不含有a ．()19951995199519951995199519951995199519951995a a a a a+-⨯⨯==-+++. 根据已知，19951995a a +是整数，所以199519951995a⨯+是整数． 因为22221995199535719⨯=⨯⨯⨯，所以它的因数1995a +可以通过检验的方法定出．注意11995a ≤≤，所以199519953990a <+≤．如果1995a +不被19整除，那么它的值只能是以下两种：223573675⨯⨯=，223572205⨯⨯=．如果1995a +被19整除，而不被219整除，那么它的值只能是以下两种：237192793⨯⨯=，257193325⨯⨯=．如果1995a +被219整除，那么它的值只能是以下两种：27192527⨯=，223193249⨯=．于是满足条件的a 有6个，即从以上1995a +的6个值分别减去1995，得出的6个值： 1680，210，798，1330，532，1254．评注 形如ac a b +的式子，可以化成cb c a b-+.使得只有分母含a ，而分子不含a ．这种方法有点像假分数化成带分数．19．1．40★★★在1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？解析 首先，如下61个数：11，11+33，11233+⨯，…，()1160331991+⨯=满足题设条件．另一方面，设12n a a a <<<L 是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n 个数中的任意4个数 , , , i j k m a a a a ，因为()33|i k m a a a ++，()33|j k m a a a ++，所以()33|j i a a -．因此，所取的数中任意两个之差都是33的倍数．设133i i a a d =+， 2 , 3 , , i n =L .由()12333|a a a ++，得()12333|33333a d d ++． 所以133|3a ，111|a ，即111a ≥．1201011613333n n a a d --=<≤， 故60n d ≤，所以，61n ≤．综上所述，n 的最大值为61．19.1.41★★★圆周上放有N 枚棋子，如图所示．B 点的棋子紧邻A 点的棋子．小洪首先拿走B 点的棋子，然后顺时针每隔1枚拿走2枚棋子．这样连续转了10周．9次越过A ，当将要第10次越过A 取走其他棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子．若N 是14的倍数，请帮助小洪精确计算一下圆周上还有多少枚棋子．解析 如果在A 、B 之间再添一枚棋子，并在第一次取棋子时将它取走，那么每一次都是在相邻3枚棋子中取走2枚，所以每取一周，剩下的棋子是上一次剩下的13．B设最后剩下a 枚棋子．根据分析所说 1013N a +=， ① 即1031N a =⨯-．因为N 是14的倍数，所以N 是偶数，a 是奇数．又N 是7的倍数，而10539==（7的倍数）+52=（7的倍数）+4，所以41a -是7的倍数． 因为a 是20与29之间的奇数，将a =21，23，25，27，29代入41a -，逐一检验，只有a =23时，4191713a -==⨯是7的倍数． 所以圆周上还有23枚棋子．评注 在A 、B 之间添上一枚棋子，使得取棋子有明显的规律，从而得到①．这是一种很巧妙的想法．在计算103除以7的余数时，可以将其中7的倍数抛弃，直至出现小于7的4．这是常用的方法．19．1．42★★★★求证：对1i =，2，3，均有无穷多个正整数n ，使得n ，2n +，28n +中恰有i 个可表示为三个正整数的立方和．解析 三个整数的立方和被9除的余数不能为4或5，这是因为整数可写为3k 或31k ±（k是整数），而()33393k k =⨯，()()332319331k k k k ±=±+±．对1i =，令()33312n m =--（m 是正整数），则n 、28n +被9除的余数分别为4、5，故均不能表示为三个整数的立方和，而()()()3332313131n m m m +=-+-+-．对2i =，令()331222n m =-+（m 是正整数）被9除的余数为5，故不能表示为三个整数的立方和，而()3323126n m +=-++， ()333283155n m +=-++．对3i =，令3216n m =（m 是正整数）满足条件：()()()333345m m m m =++， ()3332611n m +=++， ()33328613n m +=++．§19．2奇数与偶数19.2.1★设有101个自然数，记为12101 , , , a a a L ．已知12310123101a a a a s ++++=L 是偶数，求证：13599101a a a a a +++++L 是偶数．解析 ()1359910123451001012244100100a a a a a s a a a a a a +++++=-++++++L L 是偶数． 19．2．2★设121998 , , , x x x L 都是1+或者1-．求证：12319982319980x x x x ++++≠L ． 解析()12319981351997231998351997x x x x x x x x ++++=++++L L ()241998241998x x x ++++L .因为131997 , 3 , , 1997x x x L 这999个数均为奇数，所以它们的和为奇数，于是12199821998x x x +++=L 奇数0≠．19.2.3★★设()12 , , , 4n x x x n >L 为1+或为1-，并且123423451230n x x x x x x x x x x x x +++=L ． 求证：n 是4的倍数．解析 设12342345123 , , , n x x x x x x x x x x x x L 中1+有k 个，于是1-也有k 个，故2n k =为偶数．把12342345123 , , , n x x x x x x x x x x x x L 这n 个数相乘，得()()4121kn x x x =-L，所以()11k-=．故k 是偶数，从而n 是4的倍数．19．2．4★某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分．证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数． 解析 我们证明每一个学生的得分都是偶数．设某个学生答对了a 道题，答错了b 道题，那么还有40a b --道题没有答．于是此人的得分是()5404240a a b b a b +---=-+，这是一个偶数．所以，不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．19.2.5★把前50个正整数分成两组，使第一组内各数之和等于第二组内各数之和，能办到吗？说明你的理由．解析 不能办到．如果能办到，那么所有数加起来应该是第一组内各数之和的2倍，是偶数，但这50个数的总和为5051125025512⨯+++==⨯L是个奇数，矛盾！19．2．6★设1，2，3，…，9的任一排列为129 , , , a a a L ，求证：()()()129129a a a ---L 是一个偶数．解析 因为()()()()()()123912912391290a a a a a a a -+-+-++-=+++-+++=L L L是偶数，所以，()()()1291 , 2 , , 9a a a ---L 这9个数中必定有一个是偶数，从而可知()()()129129a a a ---L 是偶数．解析2 由于1，2，…，9中只有4个偶数，所以1a 、3a 、5a 、7a 、9a 中至少有一个是奇数，于是11a -、33a -、55a -、77a -、99a -中至少有一个是偶数，从而()()()129129a a a ---L 是偶数.19.2.7★有n 个数12 , , , n x x x L ，它们中的每一个数或者为1，或者为1-，如果 1223110n n n x x x x x x x x -++++=L ， 求证：n 是4的倍数．解析 我们先证明2n k =为偶数，再证k 也是偶数．由于12 , , , n x x x L 的绝对值都是1，所以12231 , , , n x x x x x x L 的绝对值也都是1，即它们或者是为1+，或者为1-，设其中有k 个1-，由于总和为0，故1+也有k 个，从而2n k =． 下面我们来考虑()()()12231n x x x x x x ⋅⋅⋅L .一方面，有()()()()122311kn x x x x x x ⋅⋅⋅=-L ，另一方面，有()()()()212231121n n x x x x x x x x x ⋅⋅⋅==L L ．所以()11k-=，故k 是偶数，从而n 是4的倍数.19．2．8★★设a 、b 是正整数，且满足关系式()()1111111111123456789a b +-=．求证：a b -是4的倍数．解析 由已知条件可得11111a +与11111b -均为奇数，所以a 、b 均为偶数，又由已知条件()111112468a b ab -=+，因为ab 是4的倍数，24684617=⨯也是4的倍数，所以()11111a b ⨯-是4的倍数，故a b -是4的倍数．19.2.9★★9999和99!（注：99!123499=⨯⨯⨯⨯⨯L ，读作99的阶乘）能否表示成为99个连续的奇数的和？解析 （1）9999能．因为()()()()999898989898999998999699299992=-+-++-+++++L L ()()989899969998+++．即9999能表示为99个连续奇数的和． （2）99!不能．因为99!12399=⨯⨯⨯⨯L 是一个偶数，而99个连续奇数之和仍为奇数，所以99!不能表示为99个连续奇数之和．评注 如果答案是肯定的，我们常常将满足题意的例子举出来或造出来，这称为构造法． 如果答案是否定的，常常采用反证法，找出其中的矛盾． 19．2．10★★代数式rvz rey suz swx tuy tvx --++-．① 中，r 、s 、t 、u 、v 、w 、x 、y 、z 可以分别取1+或1-． （1）证明：代数式的值都是偶数； （2）求这个代数式所能取到的最大值．解析 （1）①式中共有6项，每项的值都是奇数（1+或1-），所以它们的代数和为偶数．（2）显然，①式的值6≤，但它取不到6这个值，事实上，在rvz 、rwy -、suz -、swx 、tuy 、tvx -这六项中，至少有一项是1-，要证明这一点，将上面这6项相乘，积是 ()21rstuvwxyz -=-．所以六项中，至少有一项是1-，这样，六项和至多是514-=．在u 、x 、y 为1-，其他字母为1时，①式的值是4，所以①的最大值为4． 评注 本例中的代数式实际上是行列式 r s t u v w x y z的展开式，行列式是一个很有用的工具，在今后的学习中还会遇到．19.2.11★★★在n n ⨯（n 为奇数）方格表里的每一个方格中任意填上一个1+或1-，在每一列的下面写上该列所有数的乘积，在每行的右面写上该行所有数的乘积，求证：这个乘积的和不等于0．解析 设每列下面的数为12 , , , n a a a L ,每行右面的数为12 , , , n b b b L ，依题意得1i a =+或1-，1i b =+或\1-， 1 , 2 , , i n =L ，若这2n 个乘积的和为0，即12120n n a a a b b b +++++++=L L ，则这2n 个数中1+的个数与1-的个数一样多，都是n 个，但事实上，因为 1212n n a a a b b b =L L ，()21212121n n n a a a b b b a a a ==L L L ．所以这2n 个数中1-的个数为偶数，即n 为偶数，矛盾．19．2．12★★在黑板上写上1，2，…，2000，2001，只要黑板上还有两个或两个以上的数，就擦去其中任意两个数a 和b ，并写上a b -，问最后黑板上剩下的数是奇数还是偶数？ 解析因为a b -与a b -有相同的奇偶性，而a b -又与a b +有相同的奇偶性，因此a b-与a b +具有相同的奇偶性．所以黑板上剩下的数的奇偶性与20012002122001*********⨯+++==⨯L 的奇偶性相同，是奇数．19.2.13★★把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色，问有没有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由．解析 如果每条线上红圈都是奇数个，那么5条线上的红圈数相加仍是奇数．但另一方面，由于每个圈都在两条直线上，因而相加时每个红圈都被计算了两次，从而相加的总和应该是偶数．两方面的结果是矛盾的．因此，不可能使同一条线上的红圈数都是奇数．19．2．14★★围棋盘上有1919⨯个交叉点，在交叉点上已经放满了黑子与白子，并且黑子与白子相间地放，即黑子（白子）的上、下、左、右都放着白子（黑子）．问能否把这些黑子全部移到原来白子的位置上，而白子也全移到原来的黑子的位置上？ 解析 不能．因为1919361⨯=是奇数，所以，必有奇数个白子，偶数个黑子；或者奇数个黑子，偶数个白子．即黑、白子数必然一奇一偶．奇数不可能等于偶数，所以无法使黑子与白子的位置对调．19.2.15★★参加会议的人，有不少互相握过手．握手的次数是奇数的那部分人，人数是奇数还是偶数？为什么？解析 由于每握一次手，握手的两个人，每一个都握了一次手．因此每握一次手，两个人握手次数的和就是2次．所以，全部与会的人握手的总次数必定是偶数．我们把参加会议的人分成两类，甲类握手次数是偶数，乙类握手次数是奇数，甲类人握手的总次数显然是偶数．注意甲类人握手的总次数加上乙类人握手的总次数等于全部与会的人握手的总次数，所以乙类人握手的总次数也应当是偶数．由于乙类人每人握手的次数都是奇数，而偶数个奇数相加，和才能为偶数，因此，乙类人必为偶数个，即握手次数是奇数的那部分人，人数是偶数．19．2．16★★设标有A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 记号的七盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关．现在A 、C 、E 、G 四盏灯开着，其余三盏灯是关的．小刚从灯A 开始，顺次拉动开关.即从A 到G ，再从A 到G ，这样拉动了1999次开关后，哪几盏灯是开的？ 解析 一盏灯的开关被拉动奇数次后，改变状态，即开的变成关的，关的变成开的．一盏灯的开关被拉动偶数次后，不改变状态，即开的仍为开的，关的仍为关的．因此本题的关键是计算各盏灯被拉次数的奇偶性．由 199972854=⨯+，可知，A 、B 、C 、D 四盏灯的开关各被拉动了286次，而E 、F 、G 三盏灯的开关各被拉动了285次．所以，A 、B 、C 、D 四灯不改变状态，E 、F 、G 三灯改变状态．由于开始时A 、C 、E 、G 四灯是开着的．因此，最后A 、C 、F 三灯是开着的．19.2.17★★桌上放着七只杯子，杯口全朝上，每次翻转四个杯子．问能否经过若干次这样。

第一讲 整数的整除性和带余数除法一. 内容提要 班级______ 姓名______1. 整除的性质⑴ n 个连续正整数的积能被n ！整除.（n 的阶乘：n ！＝1×2×3×…×n ）.例如：a 为整数时，2a(a+1)，6a(a+1)(a+2)，24a(a+1)(a+2)(a+3)，……⑵ 若a b 且a c ，则a (b ±c). ⑶ 若a,b 互质，且a c, b c ，则ab c ；反之则有：a,b 互质，ab c ，则a c, b c. 2. 带余数除法用一个整数a 去除整数b ，且a>0，则必有并且只有两个整数q 与r ，使b=aq+r ，0≤r<a ．这就是带余数除去的一般表达式．当r=0时，记为a│b ，b 被a 整除；当r≠0时，记为ab ，b 不能被a 整除，或者说，b 除以a 有余数．利用余数将自然数分类，在解决实际问题中有广泛应用．我们说，任何一个自然数b 被正整数a 除时，余数只可能是0、1、2、…、a-1．这样就可以把自然数分为a 类．例如，一个自然数被4除，余数只能是0、1、2、3中的一个．因此，所有自然数按被4除时的余数分为4类，即4k ，4k+1，4k+2，4k+3．任何自然数都在这四类之中． 二. 热身练习1. 2006年“五一节”是星期一，同年“国庆节”是星期 ．2. 有一个数能被5整除，但除以4余3，这个正整数最小是 ．3. 一个整数去除300，262，205，所得余数相同，这个整数是 ．4. 一个数除以3余2，除以4余1，那么这个数除以12，余数是 ．5. 正整数2006200634+除以3，所得余数是________．6．已知x ，y ，z 均为整数，若11｜（7x+2y-5z ），求证：11｜（3x-7y+12z ）．7．如果一个四位数abcd 能被9整除，试说明四位数bdca 也能被9整除．8．设一个五位数abcad，其中d－b＝3，试问a，c为何值时，这个五位数被11整除。

26.整数整除的概念和性质知识纵横对于整数a和不为零的整数b,总存在整数m,n使得a=bm+n(0≤n<b),其中m称为商,n 称为余数,特别地,当n=0时,即a=bm,便称a被b整除(也称a是b的倍数或b是a的约数),记为b│a.整除有以下基本性质:1.若a│b,a│c,则a│(b±);2.若a│b,b│c,则a│c;3.若a│bc,且(a,c)=1,则a│b,若质数p│bc,则必有p│b或p│c;4.若b│a,c│a,且(b,c)=1,则bc│a.解整除有关问题常用到数的整除性常见特征:1.被2整除的数:个位数字是偶数;2.被5整除的数:个位数字是0或5;3.被4整除的数:末两位组成的数被4整除;被25整除的数,•末两位组成的数被25整除;4.被8整除的数:末三位组成的数被8整除;被125•整除的数,•末三位组成的数被125整除;5.被3整除的数:数字和被3整除;6.被9整除的数:数字和被9整除;7.被11整除的数:奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除.例题求解【例1】一个自然数与13的和是5的倍数,与13的差是6的倍数,•则满足条件的最小自然数是_________. (重庆市竞赛题)思路点拨略解:37【例2】有三个正整数a、b、c,其中a与b互质且b与c也互质,给出下面四个判断:①(a+c)2不能被b整除;②a2+c2不能被b整除;③(a+b)2不能被c整除;④a2+b2不能被c整除,其中,不正确的判断有( ).A.4个B.3个C.2个D.1个 (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨举例验证.解:选A 提示:当a=3,b=5,c=2时,①③④都是假命题;当a=3,b=2,c=5,②是假命题.xy是72的倍数,求出所有的符合条件的7位数.【例3】已知7位数12876(第15届江苏省竞赛题)思路点拨 7位数12876xy 能被8,9整除,运用整数能被8,9整除的性质求出x,y 的值.解:提示:因为72│12876xy ,所以8│12876xy ,9│12876xy ,由此得1+2+8+7+x+y+6=24+x+y 是9的倍数,而0≤x+y ≤18,则x+y=3或12,又6xy 必是8的倍数, 6y 必是4的倍数,则y=1,3,5,7或9,当y=1时,x=2,8│216;当y=3时,x=0,8不整除36;8│936;当y=5时,x=7,8不整除756;当y=7时,x=5,8│576;当y=9时,•x=•3,•8不整除396,•所以符合条件的7•位数是1287216,1287576.【例4】(1)若a 、b 、c 、d 是互不相等的整数,且整数x 满足等式(x-a)(x-b)(•x-c)(x-d)-9=0,求证:4│(a+b+c+d).(2)已知两个三位数abc 与def 的和abc +def 能被37整除,证明:六位abcdef 也能被37整除.思路点拨 (1)x-a,x-b,x-c,x-d 是互不相等的整数,且它们的乘积等于9,•于是必须把9分解为4个互不相等的因数的积;(2)因已知条件的数是三位数,•故应设法把六位数abcdef 用三位数的形式表示,以沟通已知与求证结论的联系.解:(1)略;(2)提示:abcdef=abc ×1000+def=abc ×999+(abc+def)【例５】(1)一个自然数N 被10除余9,被9除余8,被8除余7,被7除余6,被6除余5,被5除余4,被3除余2,被2除余1,则N 的最小值是_______. (北京市竞赛题)(2)若1059、1417、2312分别被自然数x 除时,所得的余数都是y,则x-y 的值等于( ).A.15B.1C.164D.174 (“五羊杯”竞赛题)(3)设N=1990111 个,试问N 被7除余几?并证明你的结论. (安徽省竞赛题)思路点拨 运用余数公式,余数性质,化不整除问题为整除问题.(1)N+1•能分别被2,3,4,5,6,7,8,9,10整除;(2)建立关于x,y 的方程组,通过解方程组求解,(3)从考察11,111,…,111111被7除的余数入手.解:(1)N+1为2～10的公倍数,要使N 最小,取N+1为它们的最小公倍数23×5×33•×7=2520,故所求N 的最小值为2520-1=2519.(2)设已知三数被自然数x 除时,商数分别为a,b,c,则由此得x为358,859,1253的公约数,x=179,进而求得y=164.(3)111111=7×15873,而1990=6×331+4,故只须考察1111被7除的余数,1111=•7×158+5,故N被7除余5.学力训练一、基础夯实a是3的倍数,那么a是________.1.如果五位数12342.如果从5,6,7,8,9这5个数中,选出4个组成一个四位数,使它能被3,5,7整除,•那么这些数中最大的是_______.ab能被198整除,那么a=________,b=_______.3.已知整数13456(第17届江苏省竞赛题)4.在1,2,3,…,2000这2000个自然数中,有_______个自然数能同时被2和3整除,而且不能被5整除. (2000年“五羊杯”竞赛题)5.能整除任意3个连续整数之和的最大整数是( ).A.1B.2C.3D.6 (第15届江苏省竞赛题)6.除以8和9都是余1的所有三位数的和是( ).A.6492B.6565C.7501 C.7514被15整除,则n的最小值等于( ).7.若20022002200215n个2002A.2B.3C.4D.58.有棋子若干,三个三个地数余1,五个五个地数余3,七个七个地数余5,•则棋子至少有( ).A.208个B.110个C.103个D.100个9.(1)证明:形如abcabc的六位数一定能被7,11,13整除.(2)若4b+2c+d=32,试问abcd能否被8整除?请说明理由.xy是99的倍数,求代数式950x+24y+1的值.10.已知7位自然数6242711.已知a,b是整数,求证:a+b,ab,a-b这三个数之中,至少有一个是3的倍数.二、能力拓展12.五位数abcde是9的倍数,其中abcd是4的倍数,那么abcde的最小值是____.13.一个三位自然数,当它分别被2,3,4,5,7除时,余数都是1,那么具有这个性质的最小三位数是______;最大三位数是_______. (第15届“希望杯”邀请赛试题)14.今天是星期日,从今天算起,第1111天是星期_____.2000个115.用自然数n去除63、91、130,所得到的3个余数的和为26,则n=________.(北京市“迎春杯”竞赛题)16.今有自然数带余除法算式:A÷B=C…8,如果A+B+C=2178,那么A=( ).A.2000B.2001C.2071D.210017.有1997盏亮着的电灯,各有一个拉线开关控制着,现按其顺序编号为1,2,…,1997,然后将编号为2的倍数的灯线拉一下;再将编号为3的倍数的灯线拉一下;最后将编号为5的倍数的灯线拉一下,3次拉完后亮着的灯数为( ).A.1464盏B.533盏C.999盏D.998盏(《学习报》公开赛试题)18.19972000被7除的余数是( ).A.1B.2C.4D.619.n为正整数,302被n(n+1)除所得商数q及余数r都是正值,则r的最大值与最小值的得( ).A.148B.247C.93D.12220.某商场向顾客发放9999张购物券,每张购物券上印有一个四位数的号码,•从0001到9999,如果号码的前两位数字之和等于后两位数字的和,则称这张购物券为“幸运券”,试证明:这个商场所发的购物券中,所有幸运券的号码之和能被101整除.(“祖冲之杯”邀请赛试题)21.将分别写有数码1,2,3,4,5,6,7,8,9的九张正方形卡片排成一列,•发现恰是一个能被11整除的最大的九位数.请你写出这九张卡片的排列顺序,并简述推理过程.22.将糖果300粒、饼干210块和苹果163个平均分给某班同学,余下的糖果、•饼干和苹果的数量之比是1:3:2,问该班有多少名同学?三、综合创新23.已知质数p、q使得表达式21pq+及23qp-都是自然数,试确定p2q的值.24.重排任一个三位数三个数位上的数字,得到一个最大的数和一个最小的数,•它们的差构成另一个三位数(允许百位数字为0),再重复以上的过程,问重复2003•次后所得的数是多少?证明你的结论. (2004年武汉市选拨赛试题)答案1.2或5或82.97653.8,0 提示:原数能被2,9,11整除4.267 提示:自然数n 能同时被2和3整除,相当于n 能被6整除,有333个,•其中能被5整除的便能被30整除,有66个.5.C6.A 提示:n-1能被8和9整除,因此n-1是72的倍数,在3位数中,符合条件的n•是2×72+1,2×73+1,…13×72+1.7.B 8.C 提示:设有棋子n 个,则n+2能被3,5,7整除9.(1)提示: abcabc =1001×(100a+10b+c)=7×11×13×(100a+10b +c); (2) bcd =•96b+8c+(4b+2c+d)=8(12b+c+4).10.提示:因9│62427xy 且11│62427xy ,故9│(6+2+x+y+4+2+7),且11│[(6+•x+4+7)-(2+y+2)],又0≤x+y ≤18且-9≤x-y ≤9,得62x y x y +=⎧⎨-=-⎩或159x y x y +=⎧⎨-=⎩, 解得24x y =⎧⎨=⎩或123x y =⎧⎨=⎩(不合题意舍去) 把x=2,y=4代入得,原式=1997.11.对于a 、b,若至少有一个是3的倍数,则ab 是3的倍数,若a 、b 都不是3的倍数,则有:(1)当a=3m+1,b=3n+1时,a-b=3(m-n);(2)当a=3m+1,b=3m+2时,a+b=3(m+n+1);(3)当a=3m+2,b=3n+1时,a+b=3(m+n+1);(4)当a=3m+2,b=3n+2时,a-b=3(m-n).12.10008 13.421,84114.三提示:因111111=15873×7,2000=333×6+2故1112000个1被7除的余数与11被7除的余数相同.15.提示:设自然数n除63、91、130时,商分别为x、y、z,余数分别为a、b、c,•那么63=nx+a ①,91=ny+b ②,130=nz+c ③,①+②+③得 284=n(x+y+z)+(a+b+c),而a+b+c=26,则n(x+y+z)=258=2×3×43,故n=2,3,6,43,86,129或258.16.A 提示:A=BC+8代入得BC+B+C+8=2178,(B+1)(C+1)=2171=13×167,则1131167BC+=⎧⎨+=⎩或1167113BC+=⎧⎨+=⎩,两者都得A=166×12+8=200017.C 18.C19.A 提示:r为偶数,n(n+1)只能取6,12,20,30,42,56,•72,•90,110,132,156,182,210,240,272.20.提示:显然号码为9999是幸运券,除此之外,其余所幸运券可两两配对,•和为9999,因为9999=99×101,故所有幸运券号码之和也能被101整除.21.1～9组成的最大九位数是987654321,但这个数不是11的倍数.经分析所求数的奇位数字和为25,偶位数字和为20,987652413为所求.22.根据被除数、除数、商、余数关系列出方程组,可求得该班有同学为23人.23.提示:先设p≥q,则有1≤23qp-=2×qp-3p<2,于是只能23qp-=1,即p=2q-3,而这时21pq+=45pq-=4-5q,要21pq+为自然数,只能q=5,从而p=7,再设p<q,这时1≤21pq+=2×pq+1q<3,于是我们有以下两种情况:①21pq+=1,q=2p+1,此时23qp-=41pp-,得p=1,不合题意;②21pq+=2,2p+1=2q,左边为奇数,右边为偶数,矛盾.故p2q=72×5=245.24.(1)三个数位上的数字全相同,所得的数为0,(2)三个数位上的数字不全相同,所得的数为495证明:(1)显然成立,下面证(2).若三个数位上的数字不全相同,不妨设这个三位数为abc,其中a≥b≥c,且a≥c+1,abc-cba=99(a-c)=100(a-c-1)+10×9+(10+c-a) 故所得的三位数中必有一个9,而另两个数字之和为9,共有五种可能:990,981,972,963,954,易验证上述五个数经过不超过10次操作得到495.。