数的整除特性练习题

小学三年级数的整除性练习题
题目一：整除和倍数
1. 将800打的正确的匹配还原。

A. 800 ÷ 4 = 200
B. 800 ÷ 10 = 80
C. 800 ÷ 5 = 160
D. 800 ÷ 8 = 100
2. 填空：527 是 _ 的倍数，其中空白填入什么数？
3. 填空：将135分别除以3、5和9，所得的余数分别是多少？题目二：约数和倍数
1. 写出 75 的所有因数。

2. 将 15 的所有因数填入下面的表格中：
因数 | 1 | | | | | | | |
3. 给出一个大于100的数，判断它是不是 3 的倍数和 4 的倍数。

题目三：质数和合数
1. 14 是质数还是合数？为什么？
2. 找出 50 以内的所有质数。

题目四：倍数与约数的关系
1. 如果一个数是 6 的倍数，那么它一定是 3 的倍数吗？给出一个例子证明你的回答。

2. 46 是 23 的倍数，那么它一定是 2 的倍数吗？给出一个例子证明你的回答。

题目五：分配问题
1. 同学们排队去买零食，队伍有 12 个人，每个人要买 3 个苹果和 2 个香蕉。

那么总共需要多少个苹果和香蕉？
题目六：找规律
1. 请你继续填写下面的数列：3, 6, 9, 12, __, __, __
2. 请你写出下面数列中的规律，并继续填写：20, 16, 12, __, __, __
题目七：挑战题
小明有 135 个苹果，他想把这个苹果数量平均地分给 3 个朋友。

问每个朋友最多能得到多少个苹果？最少能得到多少个苹果？。

数的整除练习题及答案1. 在自然数里，最小的质数是（），最小的合数是（），最小的奇数是（ )，最小的自然数是（）。

2。

在1,2，9这三个数中，（）既是质数又是偶数，（）既是合数又是奇数,（）既不是质数也不是合数.3。

10能被0。

5（）,10能被5（）。

4。

a÷b=4（a,b都是非0自然数），a是b的（）数，b是a的（）数。

5。

自然数a的最小因数是（）,最大因数是（）,最小倍数是( ）.6. 20以内不是偶数的合数有( ）,不是奇数的质数有（）。

7。

同时是2，3，5的倍数的最小三位数是（ )，最大三位数是( )。

8. 18和30的最大公因数是（），最小公倍数是（ )。

9。

102分解质因数是（ )。

10。

数a和数b是互质数，它们的最小公倍数是最大公因数的（）倍.11。

在1到10之间的十个数中，（）和（）这两个数既是合数又是互质数；( ）和（ )这两个数既是奇数又是互质数；（ )和（ )这两个数既是质数又是互质数；( ）和（ )这两个数一个是质数，一个是合数，它们是互质数.12. 在6，9,15，32，45，60这六个数中,3的倍数的数是( ）；含有因数5的数是（）；既是2的倍数又是3的倍数的数是（）；同时是3和5的倍数的数是（ )。

13. 28的因数有（ )，50以内13的倍数有（）。

14。

一位数中,最大的两个互质合数的最小公倍数是（）.15。

在自然数中，最小的质数与最小的奇数的和是（）,最小的合数与最小的自然数的差是( )。

16。

256 的分数单位是（），它减少（）个这样的分数单位是最小的质数,增加（）个这样的分数单位是最小的合数.17. 493至少增加（）才是3的倍数,至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数.18。

把4。

87的小数点向左移动三位，再向右移动两位后,这个数是（）。

19。

一个最简真分数的分子是质数，分子与分母的积是48,这个最简真分数是( ）.20。

A=2×2×3×7,B=2×2×2×7,A和B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

数的整除特征练习题一．夯实基础：1.一个三位数等于它的各位数字之和的42倍，这个三位数是多少？2.将1996加一个整数，使所得的和能被9与11整除，加的整数要尽可能小，那么所加整数是多少？3.一个五位数恰好等于它各位数字之和的2009倍，则这个五位数是多少？4.一个非零自然数是99的倍数，但各位数字之和不是18的倍数，求这样的数中最小的是几？5.如果一个六位数2000a b能被26整除，所有．．这样的六位数是二．拓展提高：6.多位数A由数字1、3、5、7、9组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且A可以被A中任意一个数字整除.求这样的A的最小值.7.某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?8.一个非零自然数是99的倍数，但各位数字之和不是18的倍数，求这样的数中最小的是几？9.六位数2008能同时被9和11整除.这个六位数是多少？10.用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数?三. 超常挑战11.包含0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字的十位数称为“十全数”，如果某个“十全数”同时满足下列要求：（1）它能分别被1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12整除；（2）它与2004的和能被13整除.那么这样的“十全数”中最小的是多少？12.在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除．那么这三个数字的和是多少？13.把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末53位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？14.11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？四．杯赛演练：15.（迎春杯试题）用4,5,6,7,8,9组成一个没有重复数字的六位数，并且这个六位数能被667整除，求这个六位数除以667的商是多少？答案：1. 42()33()abc a b c abc a b c =++⇒⇒++，所以99912617126abc k k ⎡⎤=⇒≤≤=⎢⎥⎣⎦经试验当6k =时，75642(756)abc ==⨯++2. (911)21199683⨯⨯-=3. 设这个五位数的各位数字之和为a ，则这个五位数为2009a ，则920089a a ⇒ 又100009999954920092009a a ≤≤⇒≤≤，所以9,18,27,36,45a =，将上述5个值依次尝试，只有18a = 时，200936162a =4. 显然这个数不可能是一位数、二位数，如果是三位数，则其各位数字之和均为18，不合题意，所以这个数至少是四位数.假设这个数是四位数，设其为abcd ，9999299abcd ab cd ⇒+≤⨯，当299ab cd +=⨯时显然不合题意，当99ab cd +=时，显然不存在进位，于是9,918b d a c a b c d +=+=⇒+++=，矛盾.所以这个数至少是五位数，假设这个数是五位数，设其为a b c d e ，999999999207abcde a bc de =++≤++=，所以99a bc de ++=或198， 若99a bc de ++=，同上面分析，必须有进位，考虑极端情况，取10989abcde =； 若198a bc de ++=，显然得不到比10989更小的数.5. 26200022000,132000a b a b a b ⇒，经试验得520000,420004,3200086. 至少5位，由于31357925++++=，所以数字和至少增加2，为使其尽量小，位数应尽量小，增加的数也应尽量小，取极端情况251127++=，可满足3A 且9A ，又5A ，所以个位是5，依次考虑：1113795,1113975,1117395,1117935…，经用被7整除试验，得1117935符合要求7. 方法一：利用整除特征因为这个数能被5整除，所以末位只能是0或5，又能被2整除，所以其末位为偶数，所以只能是0．在满足以上条件的情况下，还能被4整除，那么末两位只能是20、40、60或80． 又因为还能同时被9整除，所以这个数的数字和也应该是9的倍数，1993A20，1993B40，1993C60，1993D80的数字和分别为24A +，26B +，28C +，30D +，对应的A 、B 、C 、D 只能是3，1，8，6．即末三位可能是320，140，860，680．而只有320，680是8的倍数，再验证只有1993320，1993680中只有1993320是7的倍数．因为有同时能被2，4，5，7，8，9整除的数，一定能同时被2，3，4，5，6，7，8，9这几个数整除，所以1993320为所求的这个数．显然，其末三位依次为3，2，0．方法二：采用试除法一个数能同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，而将这些数一一分解质因数：，所以这个数一定能被32235789572520⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=整除．用1993000试除，1993000252079÷=，余2200可以看成不足25202200320-=，所以在末三位的方格内填入320即可，或用1993999进行试除，19939992520791679÷=，所以19939996791993320-=能被2520整除，所以1993320为所求的这个数．8. 显然这个数不可能是一位数、二位数，如果是三位数，则其各位数字之和均为18，不合题意，所以这个数至少是四位数.假设这个数是四位数，设其为abcd ，9999299abcd ab cd ⇒+≤⨯，当299ab cd +=⨯时显然不合题意，当99ab cd +=时，显然不存在进位，于是9,918b d a c a b c d +=+=⇒+++=，矛盾.所以这个数至少是五位数，假设这个数是五位数，设其为a b c d e ，999999999207abcde a bc de =++≤++=，所以99a bc de ++=或198， 若99a bc de ++=，同上面分析，必须有进位，考虑极端情况，取10989abcde =； 若198a bc de ++=，显然得不到比10989更小的数.9. 为便于表示，设这个六位数为2008a b ，它能同时被9和11整除，所以能被99整除，28991,7a b a b +=⇒==，所以这个六位数是12008710. 现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了．所以我们得到“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是．要把1，9，8，8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个 数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作A ；另外一组作为百位和个位数，它 们之和加上3记作B ．我们要适当分组，使得能被11整除．现在只有下面4种分组法： 偶位 奇位⑴ 1，8 9，8⑵ 1，9 8，8⑶ 9，8 1，8⑷ 8，8 1，9经过验证，只有第⑴种分组法满足前面的要求：189A =+=，98320B =++=，11B A -=能被11整除．其余三种分组都不满足要求．根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被11除也余8．于是，上面第⑴种分组中，1和8任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数．这样共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819．11.能被10整除，说明个位为0，为了使这个十位数尽可能小，就不妨假设它依次为1234560,123450abc abcd，经试验都不行，再假设它为12340abcd，经试验得这个数最小为123475968012.7、8、9的最小公倍数是504，所得六位数应被504整除÷=，所以所得六位数是524000344523656-=，或5240005041039344-=．因此三个数字的和是17或8．52365650452315213.1到10的乘积里会出现25⨯和10两次末尾添零的情况，估算从200开始，是408149++=个0，还要扩大至220时再增加4个0，所以最小的数应该是220，而最大应该是224．343=，由于在11个连续的两位数中，至多只能有2个数是7的倍数，所以其14.因为37中有一个必须是49的倍数，那就只能是49或98．又因为乘积的末4位都是0，所以这连续的11个自然数至少应该含有4个因数5．连续的11个自然数中至多只能有3个是5的倍数，至多只能有1个是25的倍数，所以其中有一个必须是25的倍数，那么就只能是25、50或75．所以这11个数中应同时有49和50，且除50外还有两个是5的倍数，只能是40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，它们的平均数即为它们的中间项45．15.4+5+6+7+8+9=39，是3的倍数，所以这个六位数一定可以被3整除又这个六位数能被667整除，所以这个六位数是3×667=2001的倍数即一个三位数乘以2002得到这个六位数所以这个六位数的前三位是后三位的2倍，所以这个六位数是956478956478÷667=1434，即商是1434.。

（初中数学）数的整除性精选题练习及答案阅读与思考设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1．数的整除性常见特征：①若整数a的个位数是偶数，则2|a；②若整数a的个位数是0或5，则5|a；③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)；④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)；⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)；⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a．2．整除的基本性质设a，b，c都是整数，有：①若a|b，b|c，则a|c；②若c|a，c|b，则c|(a±b)；③若b|a，c|a，则[b，c]|a；④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a；⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c．例题与求解【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．(“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论：①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数；②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中( )A．只有①正确B．只有②正确C．①，②都正确D．①，②都不正确(江苏省竞赛试题)解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．ab能被198整除，求a，b的值．(江苏省竞赛试题)【例3】已知整数13456ab能被9，11整除，运用整除的相关特性建立a，b的等式，解题思想：198=2×9×11，整数13456求出a，b的值．【例4】已知a ，b ，c 都是整数，当代数式7a ＋2b ＋3c 的值能被13整除时，那么代数式5a ＋7b －22c 的值是否一定能被13整除，为什么？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)解题思想：先把5a ＋7b －22c 构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．【例5】如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86 415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数1a ，2a ，…，n a ，满足对任意一个正整数m ，在1a ，2a ，…，n a 中都至少有一个为m 的“魔术数”．解题思想：不妨设7i i a k t =+(i =1，2，3，…，n ；t =0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为m 的“魔术数”．根据题中条件，利用10k i a m +(k 是m 的位数)被7除所得余数，分析i 的取值．【例6】一只青蛙，位于数轴上的点k a ，跳动一次后到达1k a +，已知k a ，1k a +满足|1k a +－k a |=1，我们把青蛙从1a 开始，经n －1次跳动的位置依次记作n A ：1a ，2a ，3a ，…，n a ．⑴ 写出一个5A ，使其150a a ==，且1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0；⑵ 若1a =13，2000a =2 012，求1000a 的值；⑶ 对于整数n (n ≥2)，如果存在一个n A 能同时满足如下两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．求整数n (n ≥2)被4除的余数，并说理理由．(2013年“创新杯”邀请赛试题)解题思想：⑴150a a ==．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0．只需将“向右”安排在前即可．⑵若1a =13，2000a =2 012，从1a 经过1 999步到2000a ．不妨设向右跳了x 步，向左跳了y 步，则1999132012x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得19990x y =⎧⎨=⎩可见，它一直向右跳，没有向左跳． ⑶设n A 同时满足两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．由于1a =0，故从原点出发，经过(k －1)步到达k a ，假定这(k －1)步中，向右跳了k x 步，向左跳了k y 步，于是k a =k x －k y ，k x ＋k y =k －1，则1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0＋(22x y -)＋(33x y -)＋…(n n x y -)=2(1x ＋2x ＋…＋n x )－[(22x y +)＋(33x y +)＋…＋(n n x y +)]=2(2x ＋3x ＋…＋n x )－()12n n -．由于1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0，所以n (n －1)=4(2x ＋3x ＋…＋n x )．即4|n (n －1)．能力训练A 级1．某班学生不到50人，在一次测验中，有17的学生得优，13的学生得良，12的学生得及格，则有________人不及格．2．从1到10 000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．(上海市竞赛试题)3．一个五位数398ab 能被11与9整除，这个五位数是________．4．在小于1 997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是()A ．532B ．665C ．133D ．7985．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( )A ．1B ．2C ．3D ．6 (江苏省竞赛试题)6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有()A ．12个B ．18个C ．20个D ．30个 (“希望杯”邀请赛试题)7．五位数abcde 是9的倍数，其中abcd 是4的倍数，那么abcde 的最小值为多少？(黄冈市竞赛试题)8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字abcdef ，使得三位数abc ，bcd ，cde ，def 能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．(上海市竞赛试题)9．173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的这3个数字的和是多少？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)B级1．若一个正整数a被2，3，…，9这八个自然数除，所得的余数都为1，则a的最小值为_________，a的一般表达式为____________．(“希望杯”邀请赛试题) 2．已知m，n都是正整数，若1≤m≤n≤30，且mn能被21整除，则满足条件的数对(m，n)共有___________个．(天津市竞赛试题) 3．一个六位数1989x y能被33整除，这样的六位数中最大是__________．4．有以下两个数串1,3,5,7,,1991,1993,1995,1997,19991,4,7,10,,1987,1990,1993,1996,1999⎧⎨⎩同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个．A．333 B．334 C．335 D．3365．一个六位数1991a b能被12整除，这样的六位数共有( )个．A．4 B．6 C．8 D．126．若1 059，1 417，2 312分别被自然数n除时，所得的余数都是m，则n－m的值为( )．A．15 B．1 C．164 D．1747．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数abc，然后，魔术师再要求他记下五个数：acb，bac，bca，cab，cba，并把这五个数加起来求出和N．只要讲出N的大小，魔术师就能说出原数abc是什么．如果N=3 194，请你确定abc．(美国数学邀请赛试题) 8．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数”．(武汉市竞赛试题)9．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6倍，求这个三位数．(“五羊杯”竞赛试题)10．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1 999，求这个四位数，并说明理由．(重庆市竞赛试题)11．从1，2，…，9中任取n 个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，它们的和能被10整除，求n 的最小值．(2013年全国初中数学竞赛试题)数的整除性答案例1 267 提示：333－66＝267．例2 C 提示：关于②的证明：对于a ，b 若至少有一个是3的倍数，则ab 是3的倍数．若a ，b 都不是3的倍数，则有：(1)当a ＝3m ＋1，b ＝3n ＋1时，a －b ＝3(m －n )；(2)当a ＝3m ＋1，b ＝3n ＋2时，a ＋b ＝3(m ＋n ＋1)；(3)当a ＝3m ＋2，b ＝3n ＋1时，a ＋b ＝3(m ＋n ＋1)；(4)当a ＝3m ＋2，b ＝3n ＋2时，a －b ＝3(m －n ).例3 a ＝8．b ＝0提示：由9｜(19＋a ＋b )得a ＋b ＝8或17；由11|(3＋a －b )得a －b ＝8或－3．例4 设x ，y ，z ，t 是整数，并且假设5a ＋7b －22c ＝x (7a ＋2b ＋3c ) ＋13(ya ＋zb ＋tc ).比较上式a ，b ，c的系数，应当有⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+=+2213371325137t x z x y x ，取x ＝－3，可以得到y ＝2，z ＝1，t ＝－1，则有13 (2a ＋b －c )－3(7a ＋2b ＋3c )＝5a ＋7b －22c ．既然3(7a ＋2b ＋3c )和13(2a ＋b －c )都能被13整除，则5a ＋7b －22c 就能被13整除．例5 考虑到“魔术数”均为7的倍数，又a 1，a 2，…，a n 互不相等，不妨设a 1 ＜a 2＜…＜a n ，余数必为1，2，3，4，5，6，0，设a i ＝k i ＋t (i ＝1，2，3，…，n ；t ＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一个为m 的“魔术数”，因为a i ·10k ＋m (k 是m 的位数)，是7的倍数，当i ≤b 时，而a i ·t 除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6中的6个；当i ＝7时，而a i ·10k 除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当i ＝7时，依抽屉原理，a i ·10k 与m 二者余数的和至少有一个是7，此时a i ·10k ＋m 被7整除，即n ＝7．例6 (1)A 5：0，1，2，1，0.(或A 5：0，1，0，1，0) (2)a 1000＝13＋999＝1 012． (3)n 被4除余数为0或1．A 级1．1 2．3 143 3．39 798 4．A 5．C 6．B—————＋0＋0＋0＋e 能被9整除，所以e 只能取8．因此—abcde 最小值为 10 008.8．324 561提示：d ＋f －e 是11的倍数，但6≤d ＋f ≤5＋6＝11，1≤e ≤6，故0≤d ＋f －e ≤10，因此d ＋f －e ＝0，即5＋f ＝e ，又e ≤d ，f ≥1，故f ＝l ，e ＝6，9．19 提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后两个数为8，4．B 级1．2 521 a ＝2 520n ＋1(n ∈N ＋)2．573．719 895提示：这个数能被33整除，故也能被3整除．于是，各位数字之和(x ＋1＋9＋8＋9＋y )也能被3整除，故x ＋y 能被3整除．4．B5．B6．A 提示：两两差能被n 整除，n ＝179，m ＝164．7．由题意得—acb ＋—bac ＋—bca ＋—cab ＋—cba ＝3 194，两边加上—abc ．得222(a ＋b ＋c )＝3194＋—abc∴222(a ＋b ＋c ) ＝222×14＋86＋—abc ．则—abc ＋86是222的倍数．且a ＋b ＋c ＞14．设——abc ＋86＝222n 考虑到——abc 是三位数，依次取n ＝1，2，3，4.分别得出——abc 的可能值为136，358，580，802，又因为a ＋b ＋c ＞14．故——abc ＝358．8．设N 为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a ，b ，c (a ，b ，c 不全相等)．将其数码重新排列后，设其中最大数为——abc ，则最小数为——cba ．故N ＝ ——abc －——cba ＝(100a ＋10b ＋c )－ (100c ＋10b ＋a )＝99(a －c )．可知N 为99的倍数．这样的三位数可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990．而这9个数中，只有954－ 459＝495.故495是唯一的三位“拷贝数”．9．设原六位数为———abcdef ，则6×———abcdef ＝———defabc ，即6×(1000×——abc ＋——def )＝1000×——def ＋——abc ，所以994×——def －5 999×——abc ，即142×——def ＝857×——abc ， ∵(142，857)＝1，∴ 142|—abc ，857|——def ，而——abc ，——def 为三位数，∴—abc ＝142，——def ＝857，故———abcdef ＝142857．10．设这个数为——abcd ，则1 000a ＋100b ＋10c ＋d ＋a ＋b ＋c ＋d ＝1 999，即1 001a ＋101b ＋11c ＋2d ＝1 999，得a ＝1，进而101b ＋11c ＋2d ＝998，101b ≥998－117－881，有b ＝9，则11c ＋2d ＝89，而0≤2d ≤18，71≤11c ≤89，推得c ＝7，d ＝6，故这个四位数是1 976．11．当n ＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．当n ＝5时，设a 1a 2，…，a 5是1，2，…，9中的5个不同的数，若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则125,,,a a a 中不可能同时出现1和9，2和8，3和7，4和6，于是125,,,a a a 中必定有一个为5，若125,,,a a a 中含1，则不含9，于是，不含4(45110)⨯++=，故含6；不含3(36110)⨯++=,故含7；不含2(21710)⨯++=,故含。

北师大版五年级上册数学能被235整除数的特征练习题北师大版五年级上册数学能被235整除数的特征练习题如下能被235整除的数字有一定的特征，学习它可以帮助我们更快找出能被235整除的数字。

先来看一下235数字，它是5和47的乘积，即5×47=235.
要想被235整除，可以想象成一个数字被他们两个因数分别除尽，被235整除的数字必定可以被5和47都整除。

那么，能被235整除的数字的特征就是：
1.这个数字能被5整除；
2.这个数字能被47整除；
3.这个数字是235的倍数。

由此，一个练习题就是求出得数，能被235整除的数字有哪些？
解答该题，可以借助上面给出的特征，即1.能被5整除；2.能被47整除；3.是235的倍数。

我们可以先求出5的倍数，5、10、15、20、25…接下来，对这些5的倍数再筛选能被47整除的数字，47、94、141、188、235…
由此，能被235整除的数字有：47、94、141、188、235.
以上就是能被235整除的数字的特征及解题思路，希望对大家在数学学习中有所帮助。

数学综合算式练习题数的整除性质数学是一门抽象而又实用的学科，其中算式练习题是培养学生数学思维和解决问题能力的重要方法之一。

在解答算式练习题时，学生不仅需要熟练掌握数的性质，更需要理解数的整除性质。

本文将通过一些具体的练习题，探讨数的整除性质在算式中的应用。

一、整除性质的概念在开始解答练习题之前，我们先来回顾一下整除性质的概念。

对于任意两个正整数a和b，如果存在一个整数k使得a=k*b，我们就说b整除a，记作b|a。

其中，a被称为被除数，b被称为除数，k被称为商。

整除性质是数的基本性质之一，它描述了两个数之间的一种特殊关系。

二、整除性质在算式中的应用2.1 乘法的整除性质我们先来看一个例子：如果10整除25，那么下面哪个算式成立？A. 10*(2+3) = 2*(2+5)B. 10*(2+3) = 2*(2+6)C. 10*(2+3) = 2*(2+7)通过观察可知，10整除25，即10是25的因数。

根据乘法的整除性质，如果一个数整除另一个数，那么这两个数的乘积也一定能被这个数整除。

根据这个性质，我们可知A选项成立，即10*(2+3)能整除2*(2+5)。

2.2 除法的整除性质接下来我们看一个关于除法的例子：已知36能被整除的数是1、2、3、4、6、9、12、18、36，只需用4个不同的数字填空：①__ ×②__ ÷③__ = 36 ÷④__。

我们可以根据36的因数和除法的整除性质来进行推理。

由于36能被2整除，那么①的值就是2。

同理，由于36能被9整除，那么③的值就是9。

根据36÷④__的结果是整数，我们可知④的值只能是1。

于是，将2×36÷9=36÷1得到的等式是成立的。

2.3 加法的整除性质最后我们来看一个加法的例子：小明将两个数相加后得到28，其中较小的数能被5整除，较大的数能被7整除。

这两个数分别是多少？根据加法的整除性质，如果一个数能被两个数整除，那么这个数的倍数也能被这两个数整除。

数的整除特征专项训练一、性质1、如果整数A、B都能被C整除，那么他们的和A＋B或差A－B也能被C整除。

例如：8整除64，8整除24，那么8整除64＋24或64－24。

2、如果A能被B整除，B能被C整除，那么A能被C整除。

例如：30能被15整除，15能被5整除，那么30能被5整除。

二、数的整除特征能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8。

能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数。

能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

能被5整除的数的特征：个位数字是0或5。

能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。

能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除。

能被7、11、13整除的数的特征：末三位数与末三位数以前的数所组成的数之差能被7、11、13整除。

一个三位数连续写偶数次，所得的数能被7、11、13整除三、例题与练习例1、判断下面的数是否能整除。

例2、判断下面的数是否能整除。

例3、四位数2□2□能同时被8、9整除，那么这个四位数是多少？练一练在3□2□的方框里填入合适的数字，使这个四位数能被15整除，这样的四位数中最大的是多少？例4、将1、2、3、4这四个数任意排列，可组成若干个四位数，在这些四位数中，能被11整除的数最小是多少？能被4整除的数最小是多少？1、由1、2、3这三个数任意排列，可组成若干个三位数，在这些三位数中，能被11整除的数有哪些？2、从0、3、5、7这四个数中选择三个数，排成一个三位数，使它能同时被2、3、5整除，这样的三位数最大的是哪个？3、在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、4、5整除，这个六位数最小是多少？例5、某个七位数1993口口口能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?1、四位数45□□能同时被4、9整除，这个四位数最小是多少？2、六位数36□2□□能同时被3、4、5整除，这个六位数最大是多少？3、用0、2、3、5、6这五个数字中的四个能组成能被11整除的四位数，这些四位数中最小的一个是多少？4、七位数23□354□能被72整除，两个□中的数的乘积是多少？5、已知五位数3□6□5是75的倍数，这样的五位数最大的一个是多少？6、由1、2、5、6、7、9这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？。

数的整除（能被7、9、11、13整除的数的特征）专题训练知识梳理：1、整数a除以整数b(b≠0)，所得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除(也可以说b能整除a)。

2、如果整数a能被整数b(b≠0)整除，则称a是b的倍数，b是a的约数。

3、整除的数，其数字和一定是9的倍数．4、能被11整除的数的特征是这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除。

5、一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。

例题精讲1、判断47382能否被3或9整除？分析：能被3或9整除的数的特点是这个数各数位上的数字和是3或9的倍数。

47382各个数位的数字相加和是24，24是3的倍数但不是9的倍数。

解：47382能被3整除，不能被9整除2、判断42559，7295871能否被11整除？分析：一个三位以上的整数能否被11整除，只须看这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除。

解：42559奇数位的数字和为4+5+9=18，偶数位的数字和为2+5=7，18-7=11是11的倍数，所以42559能被11整除；7295871奇数位的数字和为7+9+8+1=25，偶数位的数字和为2+5+7=14，25-14=11是11的倍数，所以7295871也能被11整除。

3、32335能否被7整除？分析：一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。

解：335-32=303，303不能被7整除，所以32335不能被7整除。

专题特训1、把516至少连续写几次，所组成的数能被9整除？2、四位数36AB能同时被2、3、4、5、9整除，则A=B=？3、173□是一个四位数，在这个□中先后填入3个数，所得到的3个四位数依次能被9、11、6整除，先后填入的3个数分别是几？4、九位数8765□4321能被21整除，□中应填几？5、用1~7七个数字组成不重复数字且能被11整除的七位数，最大的七位数与最小七位的数差是多少？6、一个五位数a236b能被63整除，这个五位数是多少？7、如果六位数1992口口能被105整除，那么它的最后两位数是多少?8、有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数可能是多少？9、一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商可能是多少？10、42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是多少？1、解：能被9整除的数的特点是各数位的数字和能被9整除，5+1+6=12，至少再连续写三次，得到516516516各数字的和为36，才能被9整除。

小学二年级数的整除练习题1. 完成下列算式，使其结果能被2整除：a) 6 ÷ ___ = 3b) ___ ÷ 5 = 4c) 8 ÷ ___ = 4d) ___ ÷ 3 = 62. 计算下列数对，并判断它们的商是否为整数：a) 14 ÷ 7 = ___b) 9 ÷ 4 = ___c) 10 ÷ 2 = ___d) 12 ÷ 3 = ___3. 确定下列整数是否能被2整除，并用√表示：a) 7b) 10c) 4d) 94. 判断下列整数是否能同时被2和3整除，并用√表示：a) 6b) 9c) 12d) 55. 将下列数两两相除，判断是否能整除，并用√表示：a) 12 ÷ 3b) 16 ÷ 4c) 10 ÷ 5d) 7 ÷ 26. 将下列数两两相除，判断是否能整除，并用√表示：a) 15 ÷ 3b) 8 ÷ 4c) 7 ÷ 2d) 12 ÷ 67. 完成下列算式，使其结果能被3整除：a) 9 ÷ ___ = 3b) ___ ÷ 4 = 3c) 6 ÷ ___ = 2d) ___ ÷ 2 = 38. 将下列数两两相除，判断是否能整除，并用√表示：a) 21 ÷ 3b) 10 ÷ 4c) 18 ÷ 6d) 7 ÷ 29. 完成下列算式，使其结果能被4整除：a) 8 ÷ ___ = 2b) ___ ÷ 6 = 4c) 16 ÷ ___ = 4d) ___ ÷ 5 = 410. 将下列数两两相除，判断是否能整除，并用√表示：a) 20 ÷ 4b) 9 ÷ 3c) 16 ÷ 6d) 7 ÷ 2这是一份关于小学二年级数的整除练习题，帮助学生巩固和练习整除运算的能力。

整除特点练习题1. 整除特点的概念在数学中，两个数中，如果一个数被另一个数整除，我们就说这个数具有整除特点。

例如，如果一个数能够被2整除，那么它具有2的整除特点。

2. 举例说明整除特点a) 数字末尾为0或者偶数时，可以被2整除。

例如，12、240、100都具有2的整除特点。

b) 个位、十位、百位数字之和能被3整除时，可以被3整除。

例如，45、333、900都具有3的整除特点。

c) 个位数字为0或者5时，可以被5整除。

例如，25、450、505都具有5的整除特点。

d) 个位数字为0并且它前面的数字是偶数时，可以被10整除。

例如，10、30、120都具有10的整除特点。

e) 个位数字为0时，可以被任何整数整除。

例如，100、1000、50000都具有任何整数的整除特点。

3. 练习题a) 请列举出满足以下条件的数：i) 能被2和3同时整除；ii) 能被2、3和5同时整除；iii) 能被3、5和10同时整除。

b) 请找出满足以下条件的最小正整数：i) 能被2、3、5和10同时整除；ii) 能被1、2、3、4、5、6、7、8、9、10全部整除。

4. 解答a)i) 满足条件的数为6、12、18、24、30...以此类推。

ii) 满足条件的数为30、60、90、120、150...以此类推。

iii) 满足条件的数为30、60、90、120、150...以此类推。

b)i) 最小正整数为30，它能被2、3、5和10同时整除。

ii) 最小正整数为2520，它能被1、2、3、4、5、6、7、8、9、10全部整除。

5. 总结整除特点是数学中常见的一个概念，通过对数字的特定规律进行观察和分析，我们可以找出满足整除特点的数。

这种特点的应用广泛，不仅可以用于数学题目的解答，还可以用于简化计算和解决实际问题。

通过练习题的训练，我们可以更好地理解和掌握整除特点的应用。

数的整除练习题一．填空题：1、在18，27，30，46，51，65，102这些数中，能被2整除的数是；能被5整除的数是.2、如果数A=2×2×5，B=2×3×3，那么A和B的最小公倍数是；最大公因数是.3、12的因数有.4、30的素因数有.5、能同时被2、5整除的最小三位数是.6、已知A=2×2×5，则它的所有因数有个.7、两个连续奇数的和是24,那么这两个数的最小公倍数是.8、最小的自然数是.9、能被5整除的数,个位数字一定是.10、一个数最小的倍数是.11、既是素数又是偶数的数是.12、能同时被2、3、5整除的最小三位数是.13、把18分解素因数.14、如果a、b互素，那么这两个数的最小公倍数是.15、在75，42，50，88，40中，既是2的倍数又能被5整除的数有.二、选择题：1、下列算式中，被除数能被除数整除的是……………………………………（）A.25÷4 B25÷0.5 C25÷25 D0.4÷0.42、要使四位数324 能被4整除, 中可以有几个数可填………………………（）A.4B.3C.2D.13、下列关于1的叙述，不正确的是……………………………………（）A.1是最小的自然数B.1既不是素数也不是合数C.1是奇数D.1的因数只有1个4、下列各式中整除的算式是……………………………………………（）A.11÷5=2……1B.27÷3=9C.18÷4=4.5D.2.4÷0.6=45、24、50和75分别分解素因数，发现它们公共的素因数是………………（）A.2B.5 C2和5 D2、3和5三、解答题1、面积是90平方厘米,形状不同且长和宽都是整厘米数的长方形有多少种？2、三个连续自然数的乘积是120，求这三个数.3、已知两个素数的积是551，那么这两个素数的和是多少？4、老师将301本笔记本、215支铅笔和86块橡皮分给班里同学，每个同学得到的笔记本、铅笔和橡皮的数量都相同，那么，每个同学各拿到多少？5、有三根绳子，分别长24米，30米，48米，现要把它们截成长度相等的短绳子，每根短绳最长可以是几米？这样的短绳有几根？6、一筐苹果500多个，每次拿3个，每次拿4个，每次拿5个都恰好多1个，这筐苹果共有多少个？7、一个400米的环形跑道，原来每隔5米插有一面彩旗，现在需要改成每隔8米插一面彩旗，不需要拨掉的彩旗有几面？计算练习（一）1)分解素因数18 32 45 51 75 8442 65 78 93 138 1442)求最大公因数15和20 18和20 9和63 21和35 51和34 24和56 121和44 45和27012、18和24 14、28和56 16、40和483)求最小公倍数12和7 15和30 12和18 30和457和9 21和35 17和68 60和1268、12和30 24、36和48 16、40和48。

数的整除（简单练习题及答案）1、将分别写有数字3，7，8的三张卡片排成三位数abc ———，使它是43的倍数，求abc ———。

2、求被7除，余数是3的最小的三位数。

3、求被7除，余数是4的最大的四位数。

4、从1开始，依次写出1234…20032004，这个多位数除以9的余数是多少？5、一个两位数与109的乘积为四位数，它能被23整除且商是一位数，这个两位数最大等于。

6、已知六位数□9786□是99的整数倍，这个六位数除以99的商是。

7、判断15158能否被7、11或13整除。

8、六位数能被18整除，则两位数最大是多少？9、在所有五位数中，各位数字之和等于43，且能够被11整除的数有多少个？其中最大的一个五位数是多少？10、有72名学生共捐款□94.9□元，那么平均每人捐了多少元？11、已知五位数能被8和9整除，则x+y 是多少？12、一个六位数能被99整除，这个六位数最小是多少？13、在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。

14、若四位数能被11整除，那么a 表示哪个数？15、（难度系数：四颗星）如果653整除a b 2347—————————————，则a + b= 。

分析与答案1、（387）方法一、三张卡片可以排成=6种可能，把这六种可能进行枚举，再一一被43除。

方法二、根据积的个位数字是由两个乘数的个位数字决定的性质。

当c=8时，分别用16、26 与43相乘，计算时可以先做估算，以便快速排除。

如26×43＞20×43＞800。

【点评】因为这个三位数的可能性只有6种，所以方法一所花的时间不会太长。

而方法二要求有较高的估算能力。

大家可以试试把方法一和方法二进行融合。

2、（101）方法一：找最小的三位数去除以7。

100÷7=14……2，3>2，3-2=1，∴100+1=101方法二：用字母表示N=7k+3，k为自然数。

∵N≥100，∴k≥（100-3）÷7=13 (6)【点评】方法一能够快速定位，但容易忽略题目的条件而出错；方法二是一般法，但要求学生有代数思想。

小学二年级数的整除性练习题练习一：判断整除关系将下列数按照整除关系填入括号中：12 ÷ 2 ( 2 ) 42 ÷ 5 ( 6 ) 35 ÷ 7 ( 5 )44 ÷ 4 ( 2 ) 24 ÷ 3 ( 4 ) 55 ÷ 5 ( 11 )15 ÷ 3 ( 5 ) 36 ÷ 6 ( 6 ) 27 ÷ 9 ( 3 )40 ÷ 4 ( 10 ) 33 ÷ 6 ( 5 ) 50 ÷ 10 ( 5 )练习二：找规律观察下列数字，填入括号中的数字，并写出规律：6 ÷ 2 = ( 3 ) 8 ÷ 2 = ( 4 ) 10 ÷ 2 = ( 5 )12 ÷ 2 = ( 6 ) 14 ÷ 2 = ( 7 ) 16 ÷ 2 = ( 8 )18 ÷ 2 = ( 9 ) 20 ÷ 2 = ( 10 ) 22 ÷ 2 = ( 11 )规律：_______ 每次数字增加___，商也增加___。

练习三：整除的判断判断下列数字中，哪些数能整除16，用√表示，不满足条件的用×表示。

16 √ 23 × 32 √ 40 √52 × 64 √ 79 × 80 √96 √ 98 × 112 √ 128 √练习四：计算题计算下面每组数字的商和余数：1) 23 ÷ 8商：_____ 余数：_____ 2) 36 ÷ 9商：_____ 余数：_____ 3) 48 ÷ 7商：_____ 余数：_____ 4) 57 ÷ 5商：_____ 余数：_____练习五：填空题找出下面的数中，能整除12的数：9 12 4 14 8 16 6练习六：综合运用小明有40颗糖果，他打算把这些糖果平均分给他的3个朋友。

数的整除1. 在自然数里，最小的质数是（ ），最小的合数是（ ），最小的奇数是（ ），最小的自然数是（ ）。

2. 在1，2，9这三个数中，（ ）既是质数又是偶数，（ ）既是合数又是奇数，（ ）既不是质数也不是合数。

3. 10能被0.5（ ），10能被5（ ）。

4. a ÷b=4（a ，b 都是非0自然数），a 是b 的（ ）数，b 是a 的（ ）数。

5. 自然数a 的最小因数是（ ），最大因数是（ ），最小倍数是（ ）。

6. 20以内不是偶数的合数有（ ），不是奇数的质数有（ ）。

7. 同时是2，3，5的倍数的最小三位数是（ ），最大三位数是（ ）。

8. 18和30的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。

9. 102分解质因数是（ ）。

10. 数a 和数b 是互质数，它们的最小公倍数是最大公因数的（ ）倍。

11. 在1到10之间的十个数中，（ ）和（ ）这两个数既是合数又是互质数；（ ）和（ ）这两个数既是奇数又是互质数；（ ）和（ ）这两个数既是质数又是互质数；（ ）和（ ）这两个数一个是质数，一个是合数，它们是互质数。

12. 在6，9，15，32，45，60这六个数中，3的倍数的数是（ ）；含有因数5的数是（ ）；既是2的倍数又是3的倍数的数是（ ）；同时是3和5的倍数的数是（ ）。

13. 28的因数有（ ），50以内13的倍数有（ ）。

14. 一位数中，最大的两个互质合数的最小公倍数是（ ）。

15. 在自然数中，最小的质数与最小的奇数的和是（ ），最小的合数与最小的自然数的差是（ ）。

16. 256 的分数单位是（ ），它减少（ ）个这样的分数单位是最小的质数，增加（ ）个这样的分数单位是最小的合数。

17. 493至少增加（ ）才是3的倍数，至少减少（ ）才有因数5，至少增加（ ）才是2的倍数。

18. 把4.87的小数点向左移动三位，再向右移动两位后，这个数是（ ）。

19. 一个最简真分数的分子是质数，分子与分母的积是48，这个最简真分数是（ ）。

数旳整除特征
奥数专题
下列数字哪些能被2整除，哪些能被5 整除？
① 125，②756， ③1011， ④2450， ⑤7855 ,⑥8104，⑦9152，⑧70975
能被2整除：②、④、⑥、⑦ 能被5整除：①、④、⑤、⑧
（一）数旳整除特征：
假如具有某个条件旳数，都能被 整数b整除，反过来，能被b整除旳 数，都具有这个条件，那么这个条 件就叫做被b整除旳数旳特征.
（二）数旳整除特征
1.能被2或5整除旳数旳特征是： 这个数旳末 一位能被2或5整除. 2.能被4或25整除旳数旳特征是： 这个数旳末两位能被4或25整除. 3. 能被8或125整除旳数旳特征是： 这个数旳末三位能被8或125整除.
练习1
（1）下列整数 ①53728， ②375， ③1011， ④328925，⑤8421862，⑥8150， ⑦73600，⑧309108.
能被4整除旳是： 能被25整除旳是：
练习1
（1）下列整数 ①53728， ②375， ③1011， ④328925，⑤8421862，⑥8150， ⑦73600，⑧309108.
能被4整除旳是：①、④、⑦、⑧ 能被25整除旳是：②、⑥、⑦、
练习1（2）能被4整除来自最大四位数________.（3）能被8整除旳最小四位数是
除数
• 能被整除旳数旳特征
2或5 4或25 8或125
末位数能被2或5整除 末两位数能被4或25整除 末三位数能被8或125整除
7、11、13 • 一种整数旳末三位与末三位此 前旳数字构成旳数旳差能被7， 11或13整除
，
最大三位数
..
练习1
（2）当m＝ 7 时，能被25整除.
（3）能被4整除旳最大四位数___9996__.