2019-2020年人教B版数学必修四讲义：第1章+1.2+1.2.3 同角三角函数的基本关系式及答

1.2.3 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2 α＋cos 2 α＝1.商数关系：sin αcos α＝tan_α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .(2)语言叙述：同一个角α 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切． 思考：“同角”一词的含义是什么？[提示] 一是“角相同”，如sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin 215°＋cos 215°＝1，sin 2π19＋cos 2π19＝1等．1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( ) A ．－1213 B ．－513 C ．513D ．1213A [利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算．因为α为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1213.]2．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35 C ．15D ．35B [∵cos 2α＝1－sin 2α＝1－15＝45，∴sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝15－45＝－35.] 3．若sin α＋3cos α＝0，则cos α＋2sin α2cos α－3sin α的值为________．－511 [因为sin α＋3cos α＝0，所以tan α＝－3，因此 原式＝1＋2tan α2－3tan α＝1＋2×(－3)2－3×(－3)＝－511.]【例1】 (1)若sin α＝－45，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值； (2)若cos α＝817，求tan α的值； (3)若tan α＝－158，求sin α的值．[思路探究] 对(1)中明确α是第三象限角，所以只有一种结果．对(2)，(3)中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论，分类求解，一般有两种结果．[解] (1)∵sin α＝－45，α是第三象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，tan α＝sin αcos α＝－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝43.(2)∵cos α＝817>0， ∴α是第一、四象限角． 当α是第一象限角时， sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫8172＝1517， ∴tan α＝sin αcos α＝158； 当α是第四象限角时，sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫8172＝－1517， ∴tan α＝－158. (3)∵tan α＝－158<0， ∴α是第二、四象限角． 由⎩⎨⎧tan α＝sin αcos α＝－158，sin 2α＋cos 2α＝1，可得sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15172.当α是第二象限角时，sin α＝1517；当α是第四象限角时，sin α＝－1517.利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系；(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.1．已知sin αcos α＝－1225，且0<α<π，求tan α的值． [解] 法一：∵sin αcos α＝－1225，sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1225＝125，∴(sin α＋cos α)2＝125，∴sin α＋cos α＝±15.同理(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925. ∵sin αcos α＝－1225<0,0<α<π， ∴π2<α<π，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝75. 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝±15sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45cos α＝－35或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35cos α＝－45，∴tan α＝－43或tan α＝－34. 法二：∵sin αcos α＝－1225， ∴sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－1225，∴tan αtan 2α＋1＝－1225，∴12tan 2α＋25tan α＋12＝0， ∴(3tan α＋4)(4tan α＋3)＝0， ∴tan α＝－43或tan α＝－34.[解] ∵sin α·tan α<0，∴cos α<0. 原式＝(1－sin α)(1＋sin α)(1＋sin α)2＋(1＋sin α)(1－sin α)(1－sin α)2＝|cos α||1＋sin α|＋|cos α||1－sin α|＝－cos α1＋sin α＋－cos α1－sin α ＝－2cos α1－sin 2α＝－2cos α.解答此类题目常用的方法有：1．化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．2．对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．3．对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．2．化简：(1－tan θ)·cos 2θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan θ·sin 2θ.[解]原式＝cos θ－sin θcos θ·cos2θ＋sin θ＋cos θsin θ·sin2θ＝cos2θ－sin θ·cos θ＋sin2θ＋sin θ·cos θ＝cos2θ＋sin2θ＝1.1．证明三角恒等式常用哪些方法？[提示](1)从右证到左．(2)从左证到右．(3)证明左右归一．(4)变更命题法．如：欲证明MN＝PQ，则可证MQ＝NP，或证QN＝PM等．2．在三角函数的化简和证明问题中，常利用“1”的代换求解，常见的代换形式有哪些？[提示]sin2α＋cos2α＝1，tan π4＝1.【例3】求证：(1)sin α－cos α＋1sin α＋cos α－1＝1＋sin αcos α；(2)2(sin6θ＋cos6θ)－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝0.[思路探究]解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较．关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧．[证明](1)左边＝(sin α－cos α＋1)(sin α＋cos α＋1) (sin α＋cos α－1)(sin α＋cos α＋1)＝(sin α＋1)2－cos2α(sin α＋cos α)2－1＝(sin2α＋2sin α＋1)－(1－sin2α)sin2α＋cos2α＋2sin αcos α－1＝2sin 2α＋2sin α1＋2sin αcos α－1＝2sin α(sin α＋1)2sin αcos α＝1＋sin αcos α＝右边， ∴原等式成立．(2)左边＝2[(sin 2θ)3＋(cos 2θ)3]－3(sin 4θ＋cos 4θ)＋1 ＝2(sin 2θ＋cos 2θ)(sin 4 θ－sin 2θcos 2θ＋cos 4θ) －3(sin 4θ＋cos 4θ)＋1＝(2sin 4θ－2sin 2θcos 2θ＋2cos 4θ)－(3sin 4θ＋3cos 4θ)＋1 ＝－(sin 4θ＋2sin 2θcos 2θ＋cos 4θ)＋1＝－(sin 2θ＋cos 2θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边， ∴原等式成立．1．证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．2．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．3．解决此类问题要有整体代换思想．3．求证：1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1＋tan x1－tan x.[证明] 右边＝1＋sin xcos x 1－sin x cos x ＝cos x ＋sin xcos x －sin x ＝(cos x ＋sin x )2(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )＝1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x＝左边，∴原等式成立．(教师用书独具) 1．同角三角函数基本关系式的变形形式(1)平方关系：1－sin2α＝cos2α，1－cos2α＝sin2α.(2)商数关系：sin α＝tan α·cos α，cos α＝sin αtan α.2．已知sin α±cos α，整体代入求值已知sin α±cos α求值的问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α cosα；(sin α－cos α)2＝1－2sin α cosα；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin α cos α.所以知道sin α＋cos α，sin α－cos α，sin α·cos α这三者中任何一个，另两个式子的值均可求出．3．应用平方关系式由sin α求cos α或由cos α求sin α时，注意α的范围，如果出现无法确定的情况一定要对α所在的象限进行分类讨论，以便确定其符号.1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是()A．tan α＝－sin αcos αB．cos α＝－1－sin2αC．sin α＝－1－cos2αD．tan α＝cos αsin αB[由商数关系可知A，D项均不正确，当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B项正确．]2．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于()A.513B．－513C.512D ．－512B [由条件知sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝－513.] 3．已知sin α＋cos α＝12，则sin αcos α＝________. －38 [∵sin α＋cos α＝12， ∴(sin α＋cos α)2＝14.∴sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝14. ∴1＋2sin αcos α＝14. ∴sin αcos α＝－38.]4．已知tan α＝43，且α是第三象限的角，求sin α，cos α的值． [解] 由tan α＝sin αcos α＝43得 sin α＝43cos α. ① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1. ∴cos 2α＝925.又∵α是第三象限的角， ∴cos α＝－35. ∴sin α＝43cos α＝－45.。