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回扣验收特训（二） 三角函数的图象与性质1．(2017·山东高考)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B ．2π3C ．πD ．2π解析：选C ∵y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴最小正周期T ＝2π2＝π.2．函数ƒ(x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1D ．2π，2解析：选A ƒ(x )＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以振幅为1，周期为T ＝2πω＝2π2＝π，所以选A.3．函数ƒ(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值是( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．0解析：选B 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－π4≤2x －π4≤3π4， 所以当2x －π4＝－π4时，函数ƒ(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小值为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－22. 4．已知函数ƒ(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2(x ∈R)，下列结论错误的是( ) A ．函数ƒ(x )的最小正周期为2π B ．函数ƒ(x )在区间⎣⎡⎤0，π2上是增函数 C ．函数ƒ(x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数ƒ(x )为奇函数解析：选D 因为ƒ(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x ，所以T ＝2π，故A 选项正确； 因为y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数，所以y ＝－cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，故B 选项正确；因为ƒ(0)＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝－1，所以ƒ(x )的图象关于直线x ＝0对称，故C 选项正确； ƒ(x )＝－cos x 是偶函数，故D 选项错误．5．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：选D 易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2. 6．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A. π6 B. π4 C. π3D. π2解析：选A 由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称， 知ƒ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，即3cos ⎝⎛⎭⎫8π3＋φ＝0， ∴8π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，∴φ＝k π＋π2－8π3(k ∈Z)，|φ|的最小值为π6. 7．函数y ＝12tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1的图象的对称中心为________． 解析：令2x ＋π3＝k π2，k ∈Z 得2x ＝－π3＋k π2，k ∈Z ，即x ＝－π6＋k π4，k ∈Z ，结合函数解析式可知该函数图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π6＋k π4，1，k ∈Z. 答案：⎝⎛⎭⎫－π6＋k π4，1，k ∈Z8．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为_____________________．解析：要使函数式有意义，必须有sin x －cos x ≥0.在同一直角坐标系中画出[0,2π]内y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，结合正、余弦函数的周期是2π，可得所求定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z 9．已知函数ƒ(x )＝sin(x －π)，g (x )＝cos(x ＋π)，有以下命题： ①函数y ＝ƒ(x )g (x )的最小正周期为π； ②函数y ＝ƒ(x )g (x )的最大值为2；③将函数y ＝ƒ(x )的图象向右平移π2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象；④将函数y ＝ƒ(x )的图象向左平移π2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象．其中正确命题的序号是________． 解析：因为ƒ(x )＝sin(x －π)＝－sin x ， g (x )＝cos(x ＋π)＝－cos x ，所以y ＝ƒ(x )g (x )＝(－sin x )(－cos x )＝12sin 2x ，所以函数y ＝ƒ(x )g (x )的最小正周期为2π2＝π，最大值为12，故①对，②错；将函数y ＝ƒ(x )的图象向右平移π2个单位后得到y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos x 的图象，故③错； 将函数y ＝ƒ(x )的图象向左平移π2个单位后得到y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－cos x 的图象，故④对．答案：①④10．已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3， 所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3. 11．(2017·浙江高考)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R)． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解：(1)由题意，f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝－2sin 3π2＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 则f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)． 12．已知函数ƒ(x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，其图象过点⎝⎛⎭⎫π6，12. (1)求φ的值；(2)将函数y ＝ƒ(x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值． 解：(1)∵ƒ(x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，12，∴12sin ⎝⎛⎭⎫2×π6sin φ＋cos 2π6cos φ－12cos φ＝12， 即34sin φ＋14cos φ＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π6＝1. ∵0＜φ＜π，∴φ＝π3.(2)ƒ(x )＝12sin 2x sin π3＋cos 2x cos π3－12cos π3＝34sin 2x ＋1＋cos 2x 4－14＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. ∵0≤x ≤π4，∴π6≤4x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6≤1， ∴g (x )max ＝12，g (x )min ＝－14.。
1.3三角函数的图象与性质知识梳理1.正弦函数的图象和性质 (1)图象：如图1-3-1所示.图1-3-1(2)性质定义域：R .值域：［-1，1］. 当x=2kπ+2π(k ∈Z )时，y 取最大值1；当x=2kπ-2π(k ∈Z )时，y 取最小值-1. 周期性：周期函数，周期为2π.奇偶性：奇函数.单调性：单调递增区间是［2kπ-2π,2kπ+2π］；单调递减区间是［2kπ+2π,2kπ+23π］(k ∈Z ).2.周期函数一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，总有f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期.规定：在没有特殊说明的情况下，三角函数的周期均是指它的最小正周期. 3.四种变换画图方法 (1)振幅变换：对于函数y=Asinx(A ＞0,A≠1)的图象，可以看作是把y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长(当A ＞1时)或缩短(当0＜A ＜1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的.(2)周期变换：对于函数y=sinωx (ω＞0,ω≠1)的图象，可以看作是把y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的ω1倍(纵坐标不变)而得到的. (3)相位变换：对于函数y=sin(x+φ),(φ≠0)的图象，可以看作是把y=sinx 的图象上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位得到的.(4)平移变换：对于函数y=sinx+b 的图象，可以看作是把y=sinx 的图象上所有的点向上(当b ＞0时)或向下(当b ＜0时)平行移动|b|个单位得到的. 4.正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+b(A ＞0,ω＞0)的图象和性质 (1)有关概念：在正弦型函数y=Asin(ωx+φ)中，A 叫振幅，T=ωπ2叫周期，f=πω2叫频率，ωx+φ叫相位，φ叫初相.(2)正弦型函数的图象常见画法：五点法和变换法. 五点法步骤：①列表(ωx+φ通常取0,2π,π,23π,2π这五个值)；②描点；③连线.变换法：(常用的变换步骤)①(相位变换)先把y=sinx 的图象上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位，得函数y=sin(x+φ)的图象；②(周期变换)再把函数y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的ω1倍(纵坐标不变)，得函数y=sin(ωx+φ)的图象； ③(振幅变换)再把函数y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A ＞1时)或缩短(当0＜A ＜1时)到原来的A 倍(横坐标不变)，得函数y=Asin(ωx+φ)的图象；④(上下平移变换)再把函数y=Asin(ωx+φ)的图象上所有点向上(当b ＞0时)或向下(当b ＜0时)平行移动|b|个单位，得函数y=Asin(ωx+φ)+b 的图象. (3)性质：定义域：R .值域：［-A,A ］.当x=ωϕππ-+22k (k ∈Z )时，y 取最大值A+b ；当x=ωϕππ-+22k (k ∈Z )时，y 取最小值-A+b.周期性：周期函数，周期为ωπ2.奇偶性：当且仅当φ=kπ(k ∈Z )且b=0时，函数y=Asin(ωx+φ)+b 是奇函数，否则不是奇函数；当且仅当φ=kπ+2π(k ∈Z )时，函数y=sin(ωx+φ)+b 是偶函数. 单调性：单调递增区间是［ωϕππ-+22k ,ωϕππ-+22k ］(k ∈Z )； 单调递减区间是［ωϕππ-+22k ,ωϕππ-+22k ］(k ∈Z ) 5.余弦函数、正切函数的图象和性质y=cosxy=tanx图象定义域R{x|x≠kπ+2π,k ∈Z } 值域 ［-1,1］ 当x=2k π(k ∈Z )时，y 最大值为1R (无最大值，无最小值)当x=2kπ+π(k ∈Z )时，y 最小值为-1周期性 2π π 奇偶性 偶函数奇函数单调性在［(2k-1)π,2kπ］上是增函数；在［2kπ,(2k+1)π］上是减函数(k ∈Z )在(-2π+kπ,2π+kπ)上是增函数(k ∈Z ) 6.用arccsinx,arccosx,arctanx 表示角当sinα=x ，x ∈［-1,1］,α∈［-2π,2π］时，α=arcsinx ； 当cosα=x ，x ∈［-1,1］,α∈［0,π］时，α=arccosx ； 当tanα=x ，x ∈R ,α∈(-2π,2π)时，α=arctanx. 知识导学学好本节有必要复习三角函数的定义和三角函数线，这是讨论三角函数性质、画三角函数图象的基础.在学习中，重视应用化归的数学思想，自觉地运用数形结合解决三角问题. 疑难突破1.如何理解arcsinx 、arccosx 、arctanx ？剖析:疑点是这三个符号到底是表达了什么，arcsinx=(arc)×(sinx) 吗？其突破方法是明确这三个符号是如何规定的.(1)根据正弦函数的图象及性质，为了使符合条件sinx=a(-1≤a≤1)的角x 有且只有一个，选择区间［-2π,2π］作为基本范围，在这个闭区间上符合条件sinx=a(-1≤a≤1)的角x ，叫做实数a 的反正弦，记作x=arcsina.因此arcsina,x ∈［-1,1］表示在［-2π,2π］上正弦值为a 的角，即arcsina ∈［-2π,2π］，且sin(arcsina)=a,a ∈［-1,1］.例如：arcsin 21表示在［-2π,2π］上正弦值为21的一个角，由于在［-2π,2π］上正弦值为21的角仅有6π，则arcsin 21=6π.(2)根据余弦函数的图象及性质，为了使符合条件cosx=a(-1≤a≤1)的角x 有且只有一个，选择区间［0,π］作为基本范围，在这个闭区间上符合条件cosx=a(-1≤a≤1)的角x ，叫做实数a 的反余弦，记作x=arccosa,即arccosa=x,a ∈［-1,1］，表示在［0,π］上余弦值为a 的角，即arccosa ∈［0,π］，且cos(arccosa)=a,a ∈［-1,1］.例如：arccos(-23)表示在［0,π］上余弦值为-23的一个角，由于在［0,π］上余弦值为-23的角仅有65π，则有arccos(-23)=65π. (3)根据正切函数图象及性质，为了使符合条件tanx=a(a ∈R )的角x 有且只有一个，选择区间(-2π,2π)作为基本范围，在这个区间内，符合条件tanx=a(a ∈R )的角x ，叫做实数a 的反正切，记作x=arctana ，即arctana ∈R ，表示在(-2π,2π)上，正切值为a 的唯一角，即arctana ∈(-2π,2π)，且tan(arctana)=a,a ∈R .例如：arctan(-1)表示在(-2π,2π)上正切值为-1的一个角，由于在(-2π,2π)上正切值为-1的角仅有-4π，则有arctan(-1)=-4π.由此可见：arcsinx 、arccosx 、arctanx 都是角；并且这些角都分别在特定范围内；它们的同名三角函数值等于x.arcsinx 不能写成(arc)×(sinx)，arccosx 不能写成(arc)×(cosx)，arctanx 不能写成(arc)×(tanx)，也就是这三个符号是一个整体，如果拆开，就没有什么意义了. 2.由函数y=sinx 的图象经过怎样的变换得到函数y=sin(ωx +φ)(ω＞0)的图象？ 剖析:由y=sinx 的图象变换出y=sin(ωx +φ)的图象一般有两个途径.途径一：先相位变换，再周期变换先将y=sinx 的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移｜φ｜个单位；再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(纵坐标不变)，得y=sin(ωx +φ)的图象. 途径二：先周期变换，再相位变换先将y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(纵坐标不变)；再将得到的图象沿x 轴向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移ωϕ||个单位，便得y=sin(ωx +φ)的图象.疑点是这两种途径在平移变换中，为什么沿x 轴平移的单位长度不同.其突破口是化归到由函数y=f(x)的图象经过怎样的变换得到函数y=f(ωx+φ)的图象.只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换.若按途径一有：先将y=f(x)的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移｜φ｜个单位，得函数y=f(x+φ)的图象；再将函数y=f(x+φ)的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1倍，得y=f(ωx+φ)的图象.若按途径二有：先将y=f(x)的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1倍，得函数y=f(ωx )的图象；再将函数y=f(x+φ)的图象上各点沿x 轴向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移ωϕ||个单位，得y=f(ωx+φ)的图象.若将y=f(x)的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，得函数y=f(ωx )的图象；再将函数y=f(ωx )的图象上各点沿x 轴向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位，得到y=f ［ω(x+φ)］的图象，即函数y=f(ωx+ωφ)的图象，而不是函数y=f(ωx+φ)的图象.例如：由函数y=sinx 的图象经过怎样的变换得到函数y=sin(2x+3π)的图象？ 方法一：(先相位变换，再周期变换)先将y=sinx 的图象向左平移3π个单位得函数y=sin(x+3π)；再将函数y=sin(x+3π)图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的21倍，得y=sin(2x+3π)的图象.方法二：(先周期变换，再相位变换)先将f(x)=sinx 的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的21倍，得函数f(2x)=sin2x 的图象；再将函数f(2x)=sin2x 的图象上各点沿x 轴向左平移6π个单位，得f ［2(x+6π)］=sin2(x+6π)的图象，即函数y=sin(2x+3π)的图象.在方法二中，得到函数f(2x)=sin2x 的图象后，如果把f(2x)=sin2x 图象沿x 轴向左平移3π个单位，得f ［2(x+3π)］=sin2(x+3π)的图象，即函数y=sin(2x+32π)的图象，而不是函数y=sin(2x+3π)的图象.由以上可见，利用变换法作y=Asin(ωx+φ)的图象时，通常先进行相位变换，后进行周期变换，这样可避免出错.由于容易出错，因此是高考题和模拟题的热点之一.。
1.3 三角函数的图象与性质 1.3.1 正弦函数的图象与性质（1）5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.用“五点法”画y=sinx ，x ∈［0，2π］的简图时，正确的五个点应为（ ）A.（0，0），（2π，1），（π，0），（23π，-1），（2π，0）B.（0，0），（2π-，-1），（-π，0），（23π-，1），（-2π，0）C.（0，1），（2π，0），（π，1），（23π，-1），（2π，-1）D.（0，-1），（2π-，0），（π，-1），（23π，0），（2π，0）提示：在［0，2π］上，y=sinx 有三个零点、一个最大值点和一个最小值点.答案：A2.正弦函数y=sinx 的单调增区间是（ ）A.［2kπ，2kπ+π］，k ∈ZB.［2kπ-2π，2kπ+2π］，k ∈ZC.［2kπ+π，2kπ+2π］，k ∈ZD.［2kπ+2π，2kπ+23π］，k ∈Z解析：由正弦函数的图象性质可直接选择B 项.答案：B3.函数y=2sin2x 为（ ）A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数 解析：根据奇函数的定义f （-x ）=-f （x ）知，函数y=2sin2x 是奇函数. 答案：A4.函数y=sinx+4的值域为_______________________.解析：因为sin ｘ的最大值为1，最小值为-1，所以sin ｘ+4的值域为［3，5］. 答案：［3，5］10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.y=sinx 的图象的大致形状是图1-3-1中的（ ）图1-3-1答案：B2.在［0，2π］上，满足sinx≥21的x 取值范围是（ ） A.［0，6π］ B.［6π，65π］C.［6π，32π］ D.［65π，2π］解析：由正弦函数y=sinx 的图象知，当x ∈［6π，65π］时，sinx≥21.答案：B 3.函数y=sin （42π+-x ）的最小正周期是（ ） A.π B.2π C.4π D.2π 解析：y=sin （2x -+4π）=-sin （2x -4π），ω=21，所以周期T=ωπ2=4π. 答案：C 4.比较大小: （1）sin47_________________cos 35；（2）sin （18π-）_________________sin （10π-）. 解析：（1）∵cos 35=sin （2π+35），又2π＜47＜2π+35＜23π，y=sinx 在［2π，23π］上是减函数，∴sin 47＞sin （2π+35）=cos 35，即sin 47＞cos 35.（2）∵-18102πππ-<-<-＜0，sinx 在［2π-，0］上是增函数，∴sin （18π-）＞sin （10π-）. 答案：（1）＞ （2）＞5.若sinx=321+-m m ，且x ∈［6π-，6π］，则m 的取值范围是_________________.解析：因为x ∈［6π-，6π］，所以|sinx|≤21，即｜321+-m m ｜≤21⇒2｜1-m ｜≤｜2m+3｜.所以4（1-m ）2≤（2m+3）2⇒m≥-41.答案：［41-，+∞)6.求函数f （x ）=cos 2x+sinx 在区间［4π-，4π］上的最小值.解：∵f （x ）=cos 2x+sinx=-sin 2x+sinx+1=-（sinx 21-）2+45，∵4π-≤x≤4π，∴22-≤sinx≤22. ∴当sinx=22-时， f （x ）min =-（22-21-）2+45=221-. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.已知a=sin1019π，b=cos （1013π-），c=sin 1013π，d=cos 1029π，则a 、b 、c 、d 的大小关系为（ ）A.a ＞b ＞c ＞dB.a ＜b ＜c ＜dC.a ＞c ＞b ＞dD.a ＜c ＜b ＜d解析：由题意，a=sin （2π-10π）=-sin 10π； b=cos （10132ππ-）=cos5sin 107ππ-=； c=sin （π+103π）=-sin 103π；d=cos （3π-10π）=-cos 10π=-sin 52π.∵y=sinx 在［0，2π］上单调递增，∴y=-sinx 在［0，2π］上单调递减.又∵0＜10π＜5π＜103π＜52π＜2π，∴a ＞b ＞c ＞d.答案：A2.已知α、β∈（0，2π），且cosα＞sinβ，则α+β与2π的大小关系是（ ） A.α+β＞2π B.α+β＜2πC.α+β≥2πD.α+β≤2π解析：因为α、β∈（0，2π）,则2π-α∈（0，2π），又cosα＞sinβ，所以sin （2π-α）＞sinβ，而sinx 在（0，2π）上是增函数，所以2π-α＞β，故α+β＜2π.答案：B3.(2006高考江西卷,文2)函数y=4sin(2x+3π)+1的最小正周期为（ ）A.2πB.πC.2πD.4π 解析：最小正周期为T=22π=π.答案：B4.已知y=f （x ）是周期为2π的函数，当x ∈［0，2π］时，f （x ）=sin 2x ，则f （x ）=21的解集是（ ）A.｛x ｜x=2kπ+3π，k ∈Z ｝ B.｛x ｜x=2kπ+35π，k ∈Z ｝C.｛x ｜x=2kπ±3π，k ∈Z ｝D.｛x ｜x=2kπ+（-1）k 3π，k ∈Z ｝解析：当x ∈［0，2π］时，由sin 2x =21得2x =6π或65π，即当x ∈［-π，π］时，2x =6π或6π-，所以x=3π或3π-.所以x=2kπ±3π（k ∈Z ）.答案：C5.定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数，若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈（0，2π）时，f （x ）=sinx ，则f(35π)的值为（ ）A.21-B.21C.23-D.23解析：f （35π）=f （π+32π）=f （32π）=f （π-3π）=f （-3π）=f （3π）. ∵当x ∈［0，2π］时，f （x ）=sinx, ∴f （3π）=sin 3π=23,f(35π)= 23.答案：D6.观察正弦曲线，得到不等式sinx ＞1在区间［0，π］内的解集为（ ） A.［0,π］ B.{2π} C.∅ D.{0,2π,π} 解析：∵sinx 的值不大于1, ∴sinx ＞1的解集为∅. 答案:C7.下列四个函数中，既是（0，2π）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ ） A.y=｜sin2x ｜ B.y=sin2x C.y=｜sinx ｜ D.y=sinx 解析：y=｜sinx ｜的图象如图，符合题目要求.答案：C8.函数y=sinx-|sinx|的值域为_________________. 解析：y=⎩⎨⎧+<<++≤≤πππππππ222,sin 2,22,0k x k x k x k （k ∈Z ），∴y ∈［-2，0］.答案：［-2，0］9.函数y=2sin （4π-x ）的单调增区间是_________________. 解析：y=2sin （4π-x ）化为y=-2sin （x 4π-）.∵y=sinu （u ∈R ）的单调减区间是［2kπ+2π，2kπ+23π］（k ∈Z ）,∴y=-2sin （x-4π）的单调增区间由下面的不等式确定:2kπ+2π≤x -4π≤2kπ+23π（k ∈Z ）,得2kπ+43π≤x≤2kπ+47π（k ∈Z ）.故函数y=2sin （4π-x ）的单调增区间是［2kπ+43π，2kπ+47π］（k ∈Z ）.答案：［2kπ+43π，2kπ+47π］（k ∈Z ）10.求函数y=2cos 2x+5sinx-4的最大值和最小值. 解：y=2cos 2x+5sinx-4=-2sin 2x+5sinx-2=-2（sinx-45）2+89，∵sinx ∈［-1，1］,∴当sinx=-1,即x=2kπ-2π（k ∈Z ）时，y 有最小值-9， 当sinx=1即x=2kπ+2π（k ∈Z ）时，y 有最大值1.11.若函数f （n ）=sin 6πn （n ∈Z ），求f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2 008）的值.解：∵sin 6πn =sin(6πn +2π)=sin 612+n π,∴f （n ）=f （n+12）. ∴f(n)=sin6πn 是周期函数,周期为12.又∵f （1）+f （2）+f （3）+…+f （12）=0，且2 008=12×167+4,∴f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2 008）=f （1）+f （2）+f （3）+f （4） =sin 6π+sin 62π+sin 63π+sin 64π=23+3.。
专题二 三角函数的图象与性质一、三角函数的性质函数x y sin =x y cos =x y tan =图象定义域 R R⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ值域 最值 []1,1-当22ππ+=k x 时，1max =y当22ππ-=k x 时，1min =y []1,1-当πk x 2=时，1max =y当ππ+=k x 2时，1min =yR无最大值与最小值奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期性 最小正周期：π2 最小正周期：π2 最小正周期：π单 调 性在]22,22[ππππ+-k k 单调递增在]232,22[ππππ++k k 单调递减在]2,2[πππk k -上单调递增 在]2,2[πππ+k k 上单调递减在)2,2(ππππ+-k k 上单调递增对称性对称中心：)0,(πk 对称轴：2ππ+=k x对称中心：)0,2(ππ+k 对称轴：πk x =对称中心：)0,2(πk 无对称轴注：表中 【典例精析】题型一、三角函数定义域与三角不等式 例1. 下列函数的定义域(1)1sin 2+=x y (2))2tan 1lg(x y +=题型二、三角函数的奇偶性 例2. 求下列函数的奇偶性(1)判断函数x x x y sin )2cos(3--=π的奇偶性。
(2)判断函数1tan 1tan lg -+=x x y 的奇偶性。
➢ 变式训练：若函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=6)(2sin )(πθx x f 是偶函数，求θ的一个值。
题型三、三角函数的单调性 例3. 求函数1)23sin(+-=x y π的单调减区间。
变式：求函数1)6cos(2++=πx y 的单调增区间。
例4. 求下列函数的值域(1)3)32cos(2++=πx y (2))63(,3)32sin(2πππ≤≤-++=x x y二、三角函数的图象【知识要点】1. 三角函数x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像特征。
同步单元专练(4)向量的线性运算 1、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若12,3AD DB CD CA CB λ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则λ等于( )A ．23B ．13C ．13- D ．23- 2、在四边形ABCD 中,若,AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r 则（ ） A. ABCD 是矩形 B. ABCD 是菱形 C. ABCD 是正方形D. ABCD 是平行四边形。
3、如图:在平行六面体1111ABCD A B C D -中, M 为11AC 与11B D 的交点,若AB a =u u u r r ,1,AD b AA c ==u u ur r u u u r r ,则下列向量中与BM u u u u r 相等的向量是( )A. 1122a b c -++rr r B. 1122a b c ++r r r C. 1122a b c --+r r r D. 1122a b c -+r r r 4、在四边形ABCD 中, 2,4,53AB a b BC a b CD a b =+=--=--u u u r r r u u u r r r u u u r r r ,其中,a b r r 不共线,则四边形ABCD 为( )A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形5、已知向量,a b ,且2,56AB a b BC a b =+=-+u u u r u u u r ,72CD a b =-u u u r ,则一定共线的三点是( )A. ,,A B DB. ,,A B CC. ,,B C DD. ,,A C D6、如图,已知,,3AB a AC b BD DC ===u u u r u u u r u u u r u u u r r r ,用,a b r r 表示AD u u u r ,则AD =u u u r ( )A. 34a b +r r B. 1344a b +r r C. 1144a b +r r D. 3144a b +r r 7、已知O 是ABC ∆所在平面内一点, D 为BC 边中点,且20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ,那么( )A. AO OD =u u u r u u u rB. 2?AO OD =u u u r u u u rC. 3?AO OD =u u u r u u u rD. 2?AO OD =u u u r u u u r8、已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r .若存在实数m 使得AB AC mAM +=u u u r u u u r u u u u r 成立,则m =( )A.2B.3C.4D.59、在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O,E 是线段OD 中点,AE 的延长线与CD交于点F.若,AC a BD b ==u u u r u u u r ,则AF u u u r 等于( )A.a + bB.a+ bC.a + bD.a +b10、已知,a b r r 满足1a =r ,1a b ⋅=-r r ,则()2a a b ⋅-r r r =( ) A. 4B. 3C. 2D. 011、在ABC ∆中, AD 为BC 边上的中线, E 为AD 的中点,则EB =uur ( ) A. 3144AB AC -u u u r u u u r B. 1344AB AC -u u u r u u u r C. 3144AB AC +uu u r uu u r D. 1344AB AC +uu u r uu u r 12、已知向量(1,)a x =r ,(,4)b x =r ,若||||a b a b ⋅=⋅r r r r ,则x = ( )A.-2B.2C.0 D .-2或213、已知ABC ∆中满足AB AC ⊥,AB AC =,点M 满足(1)AM t AB t AC =⋅+-u u u u r u u u r u u u r ,若3BAM π∠=,则t 的值为( ) 32 2-1C. 3-12D. 312+ 14、已知平面向量(3,4)a =r ,1,2b x ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ,若a b P ,则实数x 为( ) A. 23- B. 23C. 38D. 38- 15、已知G 是ABC ∆的重心,则GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r __________16、在菱形ABCD 中, 60DAB ∠=o ,向量1AB =u u u r ,则BC CD +=u u u r u u u r __________.17、已知6,9AB CD ==u u u r u u u r ,则AB CD -u u u r u u u r 的取值范围是__________18、已知如图,在正六边形ABCDEF 中,与OA OC CD -+u u u r u u u r u u u r 相等的向量有__________①CF uuu r ;②AD u u u r ;③BE u u u r ;④DE FE CD -+u u u r u u u r u u u r ;⑤CE BC +u u u r u u u r ;⑥CA CD -u u u r u u u r ;⑦AB AE +u u u r u u u r19、如图,在梯形ABCD 中, AD BC P ,AC 与BD 交于O 点,则BA BC OA OD DA --++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r __________20、化简()()AB PC BA QC ++-=u u u r u u u r u u u r u u u r __________21、若()()2,8,7,2OA OB ==-u u u r u u u r ,则OA OB +=u u u r u u u r __________;13AB =u u u r __________ 22、ABC ∆三个顶点坐标分别是(1,2),(2,4),(6,3)A B C -,则BC 的中点坐标是__________;ABC ∆的重心坐标是__________23、如图,半径为1的扇形AOB 的圆心角为120o ,点C 在圆弧AB 上,且30COA ∠=︒,若OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ,则λμ+=__________.答案以及解析1答案及解析：答案：A 解析：∵2AD DB =u u u r u u u r ,∴222()3CD CA AD AB DB CB CD -====-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 即得1233CD CA CB =+u u u r u u u r u u u r , 由已知条件13CD CA CB λ=+u u u r u u u r u u u r 可得23λ=,故选A.2答案及解析：答案：D解析：根据向量的加法的平行四边形法则可得,以,AB AC u u u r u u u r 为邻边做平行四边形ABCD ,则可得AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ,所以四边形ABCD 为平行四边形,故选D.3答案及解析：答案：A解析：4答案及解析：答案：C 解析：因为822AD AB BC CD a b BC =++=--=u u u r u u u r u u u r u u u r r r u u u r ,所以AD BC P u u u r u u u r 且AD BC ≠u u u r u u u r ,而,AB CD u u u r u u u r 不平行,所以四边形ABCD 为梯形,答案选C.考点:向量的运算与平行的判断5答案及解析：答案：A解析：∵24BD BC CD a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ,2BA AB a b =-=--u u u r u u u r r r∴2BD BA =-u u u r u u u r ,∴,,A B D 三点共线.6答案及解析：答案：B 解析：,,3AB a AC b BD DC ===u u u r u u u r u u u r u u u r r r ,用,a b r r 表示AD u u u r ,则1344AD a b =+u u u r r r ,选B.7答案及解析：答案：A解析：D 为BC 边中点,∴2OB OC OD ==u u u r u u u r u u u r , ∵20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ,∴0OA OD +=u u u r u u u r r ,即 AO OD =u u u r u u u r .8答案及解析：答案：B解析：由题目条件可知, M 为ABC ∆的重心,连接AM 并延长交BC 于D ,则23AM AD =u u u u r u u u r ①,因为AD 为中线,所以2AB AD AD +=u u u r u u u r u u u r ,即2AD mAM =u u u r u u u u r ②,联立①②可得3m =,故B 正确.9答案及解析：答案：D 解析：∵2121()3333AF AC CF a CD a b a a b =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r .故选D.10答案及解析：答案：B解析：11答案及解析：答案：A解析：12答案及解析：答案：B解析：13答案及解析：答案：C解析：14答案及解析：答案：C解析：15答案及解析：答案：0r解析：如图,连接AG 并延长交BC 于E ,点E 为BC 中点,延长AE 到D ,使GE ED =,则,0GB GC GD GD GA +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ,所以0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r16答案及解析：答案：1 解析：BC CD BD +=u u u r u u u r u u u r ,在菱形ABCD 中, 1AD AB ==u u u r u u u r ,又60DAB ∠=o ,∴ABD ∆为等边三角形,∴1BD =u u u r ,即1BC CD +=u u u r u u u r .17答案及解析：答案：[]3,15解析： ∵AB CD AB CD AB CD -≤-≤+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,且9,6CD AB ==u u u r u u u r ,315.AB CD ∴≤-≤u u u r u u u r当CD uuu r 与AB u u u r 同向时, 3AB CD -=u u u r u u u r ;当CD uuu r 与AB u u u r 反向时, 15AB CD -=u u u r u u u r .AB CD ∴-u u u r u u u r 的取值范围为[]3,1518答案及解析：答案：①④解析：连接,,,,AC CF CE BD AE ,因为四边形ACDF 是平行四边形,所以OA OC CD CA CD CF -+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,DE FE CD CD DE EF CF -+=++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,CE BC BC CE BE +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,CA CD DA -=u u u r u u u r u u u r因为四边形ABDE 是平行四边形,所以AB AE AD +=u u u r u u u r u u u r ,综上知与OA OC CD -+u u u r u u u r u u u r 相等的向量是①④19答案及解析：答案：BA BC OA OD DA --++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()BA BC OA OD DA =---+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r CA DA DA CA =-+=u u u r u u u r u u u r u u u r解析：20答案及解析：答案：PQ uuu r解析：()()()()0AB PC BA QC AB BA PC CQ PQ PQ ++-=+++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21答案及解析：答案：()(),,,---51032解析：22答案及解析： 答案：14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭解析：23答案及解析：解析：。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 课时目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．正弦函数、余弦函数的性质： 函数 y ＝sin xy ＝cos x 图象定义域______ ______ 值域______ ______ 奇偶性______ ______ 周期性最小正周期：______ 最小正周期：______ 单调性在__________________________________ 上单调递增；在__________________________________________________上单调递减 在__________________________________________上单调递增；在______________________________上单调递减 最值 在________________________时，y max ＝1；在________________________________________时，y min ＝－1在______________时，y max ＝1；在__________________________时，y min ＝－1 一、选择题1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( )A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A.[]－1，1B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1 D.⎣⎡⎦⎤－1，54 4．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 5．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°6．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2) C ．y ＝sin(x ＋π2) D ．y ＝cos(x ＋π2) 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的单调增区间是____________． 8．函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________． 9．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________．10．设|x |≤π4，函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是______． 三、解答题11．求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x 2； (2)y ＝log 12(cos 2x )．12．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．能力提升13．已知sin α>sin β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，β∈⎝⎛⎭⎫π，32π，则( ) A ．α＋β>π B ．α＋β<πC ．α－β≥－32πD ．α－β≤－32π 14．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32C ．2D ．31．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y 的范围．1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)答案知识梳理 R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ) [π2＋2k π，3π2＋2k π] (k ∈Z ) [－π＋2k π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，π＋2k π] (k ∈Z ) x ＝π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝－π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝2k π (k ∈Z ) x ＝π＋2k π (k ∈Z ) 作业设计1．C 2.D3．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－54当sin x ＝－12时，y min ＝－54； 当sin x ＝1时，y max ＝1.]4．C [由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎫π，32π为y ＝|sin x |的单调递增区间．]5．C [∵sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°由三角函数线得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.]6．A [因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.]7.⎣⎡⎦⎤π2，π8．[0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3. ∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴y ∈[0,2] 9．b <c <a解析 ∵1<π2<2<3<π， sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.∵b <c <a . 10.1－22解析 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x＝－(sin x －12)2＋54∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22. ∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 11．解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x 2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )． (2)由题意得cos 2x >0且y ＝cos 2x 递减．∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z . ∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z . ∴y ＝log 12(cos 2x )的增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 12．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －x 3≤23π， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1，f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1，f (x )min ＝2a ＋b ＝－5. 由⎩⎨⎧ －3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123. 13．A [∵β∈⎝⎛⎭⎫π，32π， ∴π－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且sin(π－β)＝sin β. ∵y ＝sin x 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0上单调递增，∴sin α>sin β⇔sin α>sin(π－β)⇔α>π－β⇔α＋β>π.]14．B [要使函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则应有T 4≤π3或34T ≤π4，即2π4ω≤π3或6πω≤π，解得ω≥32或ω≥6. ∴ω的最小值为32，故选B.]附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
典题精讲例1 已知函数y=3sin(21x-4π)， (1)用“五点法”画函数的图象；(2)说出此图象是由y=sinx 的图象经过怎样的变换得到的； (3)求此函数的周期、振幅、初相；(4)求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间.思路解析:本题考查三角函数的图象与性质.五点法画函数y=3sin(21x-4π)的图象时，应先找出五个关键点，这五个点应该是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x 轴相交的点，找出它们的方法是利用整体思想，由ωx+φ=0，2π，π，23π，2π来确定对应x 的值.求函数的对称轴、对称中心、单调递增区间也是应用整体策略来解决.21x-4π 02π π23π 2πx 2π 23π 25π 27π 29π y3-3描点：在直角坐标系中描出下列各点(2，0)，(2，3)，(2，0)，(2，-3)，(2，0).连线：将所得五点法用光滑的曲线连接起来，得到所求函数的图象，如图1-3-2所示.图1-3-2这样就得到了函数y=3sin(21x-4π)在一个周期内的图象，再将这部分向左或向右平移4kπ(k ∈Z )得函数y=3sin(21x-4π)的图象. (2)方法一：(相位变换在周期变换的前面) ①把y=sinx 的图象上所有的点向右平移4π个单位，得到y=sin(x-4π)的图象； ②把y=sin(x-4π)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=sin(21x-4π)的图象； ③将y=sin(21x-4π)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y=3sin(21x-4π)的图象. 方法二：(周期变换在平移变换的前面)①把y=sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=sin(2x)的图象； ②把y=sin(2x )的图象上所有的点向右平移2π个单位，得到y=sin 21(x-2π)=sin(2x -4π)的图象；③将y=sin(21x-4π)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y=3sin(21x-4π)的图象.(3)周期T=ωπ2=212π=4π，振幅A=3，初相是-4π.(4)令21x-4π=2π+kπ，解得x=23π+2kπ，k ∈Z ，即函数的对称轴是直线x=23π+2kπ(k ∈Z ).令21x-4π=kπ，解得x=2kπ+2π，k ∈Z ，即对称中心为(2π+2kπ，0)(k ∈Z ).令-2π+2kπ≤21x-4π≤2π+2kπ，k ∈Z ，解得-2π+4kπ≤x≤23π+4kπ，即函数的单调递增区间为［-2π+4kπ，23π+4kπ］(k ∈Z ).绿色通道:(1)对于函数y=Asin(ωx+φ)，应明确A 、ω决定“形变”，φ决定“位变”，A 影响值域，ω影响周期，ω、φ影响单调性.当选用“伸缩在前，平移在后”的变换顺序时，一定注意针对x 的变化，向左或向右平移|ωϕ|个单位； (2)画y=Asin(ωx+φ)的图象常用五点法和变换法；(3)求三角函数周期的一般方法是：先将函数转化为y=Asin(ωx+φ)的形式，再利用公式T=ωπ2进行求周期，有时还利用图象法求周期；(4)对于函数y=Asin(ωx+φ)+b 的单调性、对称性的研究，运用整体策略处理，把ωx+φ看作一个整体，化归为正弦函数y=sinx 来讨论，问题自然就迎刃而解. 变式训练 1 (2006福建高考卷，理9)已知函数f(x)=2sinωx (ω＞0)在区间［-3π,4π］上的最小值是-2，则ω的最小值等于( )A.32 B.23C.2D.3 思路解析:思路一：根据函数f(x)=2sinωx (ω＞0)图象的大致位置可得4T ≤3π,又T=ωπ2，所以有2ω≥3，即ω≥23.思路二：(代入验证法)当ω=32时，f(x)=2sin(32x)，画图象得在区间［-3π,4π］上的最小值是f(-3π)=2sin(-92π)＞-2，故排除A 项；当ω=23时，f(x)=2sin(23x)，画图象得在区间［-3π,4π］上的最小值是f(-3π)=-2，故排除C 、D 两项.答案:B变式训练 2 (2006四川高考卷，理5文6)下列函数中，图象的一部分是图1-3-3的是( )图1-3-3A.y=sin(x+6π)B.y=sin(2x-6π)C.y=cos(4x-3π)D.y=cos(2x-6π)思路解析:从图象看出，41T=12π+6π=4π，∴函数的最小正周期为π.∴ω=T π2=2.∴排除A 、C 两项；∵图象过点(-6π，0)，代入B 项，有f(-6π)=sin(-3π-6π)=-1≠0.∴排除B.答案:D变式训练 3 (2005天津高考卷，文8)要得到函数y=2cosx 的图象，只需将函数y=2sin(2x+4π)的图象上所有的点的( )A.横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变),再向左平行移动8π个单位长度 B.横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4π个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动4π个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动8π个单位长度思路解析:由于y=2cosx=2sin(x+2π)，则将函数y=2sin(2x+4π)的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得函数y=2sin(x+4π)的图象；再将函数y=2sin(x+4π)的图象向左平行移动4π个单位长度得到函数y=2sin(x+2π)，即函数y=2cosx 的图象.答案:C变式训练 4 (2005全国高考卷Ⅰ，理17)设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π＜φ＜0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=8π. (1)求φ；(2)求函数y=f(x)的单调增区间；(3)画出函数y=f(x)在区间［0,π］上的图象.思路分析:主要考查三角函数图象及性质，以及推理和运算能力.正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象与其对称轴交点的纵坐标是函数的最值. 解:(1)∵x=8π是函数y=f(x)图象的对称轴， ∴sin(2×8π+φ)=±1. ∴4π+φ=kπ+2π,k ∈Z . ∴φ=kπ+4π,k ∈Z .∵-π＜φ＜0，∴-π＜kπ+4π＜0. ∴-45＜k ＜-41∴k=-1.∴φ=-43π. (2)由(1)知y=sin(2x-43π). 令2kπ-2π≤2x -43π≤2kπ+2π,k ∈Z ， ∴kπ+8π≤x≤kπ+85π,k ∈Z ，即函数y=sin(2x-43π)的单调递增区间是［kπ+8π,kπ+85π］(k ∈Z ). (3)由y=sin(2x-3π)知故函数y=f(x)在区间［0,π］上的图象如图1-3-4所示.图1-3-4例2 已知sinα=-31，α∈［0，2π］，求角α. 思路分析:考查由已知三角函数值求角.由正弦函数的图象可知在区间［0，2π］内符合条件的角有两个. 解:∵sinα=-31＜0， ∴α是第三或第四象限角. 又∵α∈［0，2π］，∴在区间(π，23π)和(23π，2π)内各有一个符合题意的角. ∵0＜arcsin 31＜2π，∴π＜π+arcsin 31＜23π，23π＜2π-arcsin 31＜2π.∵sin(π+arcsin 31)=-sin(arcsin 31)=-31，sin(2π-arcsin 31)=-sin(arcsin 31)=-31，∴α=π+arcsin 31或2π-arcsin 31.绿色通道:由已知三角函数值求角，所得的解可能不是唯一的.一般地说，在0—2π内有两个角(特殊情况，若是象限界角，可能只对应一个角)，其解法步骤： (1)由已知三角函数值的符号，确定α所在象限；(2)先求出与其函数值的绝对值对应的锐角α1，再根据α所在象限，得出0—2π的角； (3)写出所求角的大小.黑色陷阱:书写所求的角时，不要将弧度与角度混在一起写，如180°-3π,π+40°的写法都是错误的.变式训练 A 为△ABC 的内角，且满足sinA=22，求角A 的值. 思路分析:由角A 的范围和三角函数值来确定. 解:∵A 为△ABC 的内角， ∴0＜A ＜π.由正弦函数的图象知，在(0,π)内有两个角4π和43π的正弦值等于22，∴A=4π或43π.例3 (2006浙江金华一模设)x ∈(0，π)，则sin2x +xsin 2的最小值是__________________. 思路解析:本题考查三角函数的值域和函数的最值.利用换元法转化为求常见函数的最值.设sinx=t ，∵x ∈(0,π),∴0＜t≤1.∴2sin x +x sin 2=2t +t 2.可以证明当0＜t≤1时，函数y=2t +t 2是减函数.∴当t=1时，y 取最小值25，即2sin x +x sin 2的最小值是25.答案:25绿色通道:求三角函数最值的方法是换元法，化归为求常见函数的最值. 变式训练 设a ＞0，对于函数f(x)=xax sin sin +(0＜x ＜π)，下列结论正确的是( )A.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C.有最大值且有最小值D.既无最大值又无最小值思路解析:利用换元法.令t=sinx ，0＜x ＜π,则t ∈(0,1］，那么函数f(x)=xax sin sin +(0＜x ＜π)的值域为函数y=1+t a ,t ∈(0,1］的值域，又a ＞0，可以证明y=1+ta,t ∈(0,1］是减函减，所以函数f(x)有最小值而无最大值.答案:B例4 已知函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x-2)，求证：函数y=f(x)是周期函数. 思路分析:考查周期函数的定义.只需找到一个非零实数T ，满足f(x+T)=f(x). 解:令x-2=t ，则x=t+2，于是由f(x+2)=f(x-2)， 得f(t)=f ［(t+2)+2］=f(t+4). ∴f(t)=f(t+4). ∴f(x+4)=f(x).∴函数y=f(x)是周期函数，4是一个周期. 绿色通道:证明周期函数最常用的是定义法，即只需找到一个非零实数T ，对定义域内任意x 总有f(x+T)=f(x)成立，其难点是如何找到T ，要想能够找到T ，需靠平时经验的积累.而此类问题中常结合换元法共同解决.变式训练 1 已知函数f(x)的定义域为R ，且对任意实数x ，总有f(x)=f(x-1)+f(x+1)，求证：f(x)为周期函数.思路分析:周期函数的定义是证明一个函数为周期函数的重要方法，证明的关键是依据题设条件找到定义中的不为零的常数T. 解:由题意得：对任意实数x ，有f(x+2)=f(x+1)+f(x+3)=［f(x)+f(x+2)］+f(x+3). ∴f(x+3)+f(x)=0. ∴f(x+3)=-f(x).∴f(x+6)=f ［(x+3)+3］=-［f(x+3)］=-［-f(x)］=f(x). ∴f(x+6)=f(x).∴f(x)为周期函数，6是它的一个周期.变式训练 2 (2006山东高考卷，理6)已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为( )A.-1B.0C.1D.2思路解析:∵f(x+2)=-f(x)，∴函数f(x)是周期函数，4是一个周期.∴f(6)=f(4+2)=f(2). 又f(2)=f(0+2)=-f(0)，∴f(6)=-f(0). 又∵f(-0)=-f(0)，∴f(0)=0.∴f(6)=0. 答案:B 问题探究问题 1 三角函数最重要的特征之一就是它的周期性，那么具备什么特征的函数是周期函数？所有周期函数都有最小正周期吗？导思:探究思路是从周期函数的定义和图象的特点上分析的.探究:对定义域中的每一个x 值来说，只有个别的x 值满足f(x+T)=f(x)或只差个别的x 值不满足f(x+T)=f(x)都不能说f(x)是周期函数.例如函数f(x)=x 2-2x ，f(-1+4)=f(-1)=3，但是f(1+4)=15≠f (1)=-1，所以函数f(x)=x 2-2x 不是周期函数.那么具备什么特征的函数是周期函数呢？这要从周期函数的定义来分析：只要存在非零常数T ，对定义域中的每一个x 值总有f(x+T)=f(x)成立，就称函数y=f(x)是周期函数.T 就是函数的一个周期；从周期函数的图象上来分析：如果函数的图象每隔“一段”重复出现，那么这个函数就是周期函数.要注意：从等式f(x+T)=f(x)来看，应强调的是给自变量x 本身加的常数才是周期，如f(2x+T)=f(2x)，T 不是周期，而应写成f(2x+T)=f ［2(x+2T )］=f(2x)，则2T是f(x)的周期. 对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期.但并不是所有的周期函数都存在最小正周期.例如常数函数f(x)=C(C 为常数)，x ∈R ，当x 为定义域内的任何值时，函数值都是C ，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x ，都有f(x+T)=f(x)，因此f(x)是周期函数，由于T 可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以此函数f(x)没有最小正周期. 再如狄利克莱函数：D(x)=⎩⎨⎧.,0,,1为无理数时当为有理数时当x x设r 是任意一个有理数，那么当x 是有理数时，x+r 也是有理数，当x 是无理数时，x+r也是无理数，就是说D(x)与D(x+r)或者同时等于1或者同时等于0，因此总有D(x+r)=D(x)，所以D(x)是周期函数，r 是D(x)的周期，由于r 可以是任一有理数，而正有理数集合中没有最小者，所以D(x)没有最小正周期.对于周期函数还应当注意，“f (x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即它对定义域内的每一个值都成立，T 是非零常数，周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值；周期函数的周期不只一个，若T 是周期，则kT(k ∈N *)一定也是周期；在周期函数y=f(x)中，T 是周期，若x 是定义域内的一个值，则x+kT 也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集，就是说，周期函数的定义域一定无上界也无下界.问题2 在学习正切函数性质时，与正弦、余弦函数对比，要注意些什么问题？导思:探究思路1：分析定义域；探究思路2：分析图象；探究思路3：分析图象的画法；探究思路4：分析定义.探究:正切函数y=tanx ，其定义域不是R ，而是x≠kπ+2π(k ∈Z )，值域不是［-1,1］，而是R .又正切函数与正弦、余弦函数的定义不同，因此一些性质与正弦、余弦函数的性质有了较大的差别.如正弦、余弦函数是有界函数，而正切函数则是无界函数；正弦、余弦函数是连续函数，反映在图象上是连续无间断点，而正切函数在其定义域上不连续，它有无数条渐近线x=kπ+2π(k ∈Z )，图象被这些渐近线分割开来；正余弦函数既有单调增区间又有单调减区间，而正切函数仅有单调递增区间(kπ-2π,kπ+2π)(k ∈Z )，没有单调递减区间.同作为三角函数，它们也存在许多相同点：如均为周期函数，且对y=Atan(ωx+φ)(ω＞0)而言，T=ωπ,y=tanx 是奇函数，它的图象既可以用三角函数线作出，又可以类似于“五点法”用“三点两线法”作简图，这里三个点为(kπ,0),(kπ+4π,1),(kπ-4π，-1),直线x=kπ+2π，直线x=kπ-2π(其中k ∈Z )，作出这三个点和这两条渐近线，便可得到y=tanx 在一个周期上的简图.还需注意的是，对正弦、余弦函数的结论作一般的推广到正切函数，需论证后加以应用.例如y=|sinx|的周期是y=sinx 的周期的一半，而y=|tanx|与y=tanx 的周期却相同，均为π，再如y=sinωx+cosax 的周期可用最小公倍数法求，而y=tanωx+cotax 的周期用最小公倍数计算时不一定是最小正周期.函数y=Asin(ωx+φ)的周期是||2ωπ，而函数y=Atan(ωx+φ)的周期是||2ωπ.问题3 观察正弦函数y=sinx 的图象，你发现有什么对称性？并证明你的结论.导思:探究思路是由特殊到一般，利用归纳推理，先归纳，再猜想出结论，最后利用对称的定义作出证明.也可以用计算机探究.探究:观察正弦函数y=sinx 的图象，发现正弦函数对称轴为直线x=±2π，±23π,±25π,…；对称中心为(0,0),(±π,0),(±2π,0),(±3π,0)，….由此可猜想正弦函数的对称轴为直线x=kπ+2π(k ∈Z )，并且每条对称轴与正弦曲线的交点的纵坐标是函数的最值；对称中心为(kπ,0)(k ∈Z )，并且正弦函数图象与x 轴的交点均是正弦函数图象的对称中心.下面给出证明： 设点P(x,sinx)是正弦函数y=sinx 的图象上任意一点，点P 关于直线x=kπ+2π(k ∈Z )的对称点M(2kπ+π-x,sinx),点P 关于点(kπ,0)的对称点Q(2kπ-x,-sinx). ∵sin(2kπ+π-x)=sinx,sin(2kπ-x)=-sinx ，∴点M 和点Q 均在正弦函数y=sinx 的图象上. ∴正弦函数对称轴为直线x=kπ+2π(k ∈Z )；正弦函数对称中心为(kπ,0)(k ∈Z ). ∵sin(kπ+2π)=±1，∴对称轴与正弦曲线的交点的纵坐标是函数的最值. ∵sin(kπ)=0，∴正弦函数的图象与x 轴的交点均是正弦函数的对称中心. 按同样方法可探索出以下结论：余弦函数y=cosx 图象的对称轴为x=kπ，并且对称轴与余弦曲线的交点的纵坐标是函数的最值.对称中心为(kπ+2π,0)(k ∈Z )，余弦函数的图象与x 轴的交点均是余弦函数的对称中心.正切函数y=tanx 图象的对称中心为(2πk ,0)(k ∈Z ).不存在对称轴. 在具体问题中该如何求对称轴与对称中心？其解决的策略是整体思想.如正弦型函数y=Asin(ωx+φ)，求对称轴方程时，令ωx+φ=kπ+2π，即ωx+φ=kπ+2π，得x=ωϕππ-+2k ，所以对称中心为(ωϕππ-+2k ,0)，其中k ∈Z ，对于y=Acos(ωx+φ)与y=Atan(ωx+φ)同样可得. 例如：(2006湖北黄冈一模)下列函数中，图象关于直线x=3π对称的是( )A.y=sin(2x-3π)B.y=sin(2x-6π)C.y=sin(2x+6π) D.y=sin(2x +6π)思路解析:对称轴与正弦或余弦曲线的交点的纵坐标是它们的最值.当x=3π时，仅有选项B中的函数y=sin(2x-6π)取得最大值，f(3π)=sin(32π-6π)=sin 2π=1，故函数y=sin(2x-6π)关于直线x=3π对称.答案:B又例如：求函数y=3tan(2x+3π)的对称中心的坐标是__________________. 思路解析:利用整体策略.令2x+3π=2πk (k ∈Z )，得x=4πk -6π，所以函数的对称中心坐标为(4πk -6π,0)(k ∈Z ). 答案:(4πk -6π,0)(k ∈Z )。
复习课(二) 三角函数的图象与性质1．题型主要以选择题、填空题为主，有时以解答题一问考查函数的值域或最值． 2．(1)解正弦、余弦函数值问题时，应注意正弦、余弦函数的有界性，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1.(2)解正切函数问题时，应注意正切函数的定义域，即x x k k ππ⎧⎫≠∈⎨⎬⎭⎩Z 2，＋. [典例] (2017·山东高考)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3.已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值． [解] (1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝0， 所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z.故ω＝6k ＋2，k ∈Z. 又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.[类题通法]求三角函数式的值域与最值的两种形式(1)将所给三角函数式转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，然后结合角x 的范围求解．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 或y ＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 的函数，可以先转化成同名函数，然后结合二次函数的性质求解，在转化过程中要注意sin x 或cos x 的有界性．[题组训练]1．函数y ＝3tan x ＋3的定义域为_________________________________． 解析：3tan x ＋3≥0，即tan x ≥－33. ∴k π－π6≤x ＜k π＋π2，k ∈Z ，∴函数 y ＝3tan x ＋3的定义域为⎣⎡⎭⎫k π－π6，k π＋π2，k ∈Z. 答案：⎣⎡⎭⎫k π－π6，k π＋π2，k ∈Z 2．已知|x |≤π4，则函数ƒ(x )＝cos 2 x ＋sin x 的最小值为________．解析：y ＝ƒ(x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1. 令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22，即t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.又∵y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝－22，即x ＝－π4时，y 取最小值， 即最小值ƒ⎝⎛⎭⎫－π4＝－⎝⎛⎭⎫－22－122＋54＝1－22.答案：1－22(1)题型既有选择题、填空题，又有解答题．主要考查函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定A ，ω，φ的值等．考查识图、用图能力以及利用三角公式进行恒等变换的能力．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 ①“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．②图象变换y ＝sin x ――――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ) −−−−−−−−−→1横坐标变为原来的(ω＞0)倍ω纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)――――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A ＞0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． [典例] 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．[解] (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 因此g (x )＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z ，即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ， 其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0. [类题通法](1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点求A ；由函数的周期确定ω；由图象上的关键点确定φ.(2)由图象上的关键点确定φ时，若选取的是图象与x 轴的交点，则要弄清这个点属于“五点法”中的哪一个点．“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx 0＋φ＝2k π(k ∈Z)，其他依次类推即可．[题组训练]1．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3解析：选AT 2＝11π12－5π12＝π2，所以T ＝π，所以2πω＝π，ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋φ)，将图象最高点的坐标⎝⎛⎭⎫5π12，2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)得sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1，又－π2<φ<π2，∴φ＝－π3，故选A.2．由函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象得到函数y ＝5sin 2x 的图象的平移变换为( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向左平移π12个单位长度解析：选C 函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12向右平移π12个单位长度，即得y ＝5sin 2x ，故选C.3．已知函数ƒ(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝ƒ(x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象．解：(1)振幅为2，最小正周期T ＝2π2＝π，初相为－π4.(2)图象如图所示．(1)题型既有选择题、填空题，又有解答题，常与三角恒等变换交汇命题，考查三角函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性、最值等问题．(2)三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．[典例] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性． [解] (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减． [类题通法]1．三角函数的两条性质(1)周期性：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋B 的形式．2．求三角函数的单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数的单调区间可以通过解不等式方法去解答，即把ωx ＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y ＝sin x ，余弦函数y ＝cos x 的单调递增(减)区间对应解出x ，即得所求的单调递增(减)区间．[题组训练]1．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( ) A ．y ＝cos|2x | B ．y ＝|sin x | C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2x 解析：选D y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期T ＝π.2．下列有关y ＝tan x2的有关性质中，正确的是________(填序号)．①在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增； ②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π2，k ∈Z .解析：①令0＜x ＜π2，得0＜x 2＜π4，∴y ＝tan x 2在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增；②tan ⎝⎛⎭⎫－x 2＝－tan x 2，故为奇函数；③T ＝π|ω|＝2π，故③不正确；④令x 2≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π＋2k π，k ∈Z ，∴定义域为{x |x ≠π＋2k π，k ∈Z}，∴④不正确．故应填①②.答案：①②3．已知函数ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x cos ⎝⎛⎭⎫π3－x －sin x cos x ＋14. (1)求函数ƒ(x )的最小正周期和最大值； (2)求函数ƒ(x )在[0，π]上的单调递减区间． 解：(1)因为ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x cos ⎝⎛⎭⎫π3－x －12sin 2x ＋14 ＝12cos x －32sin x 12cos x ＋32sin x －12sin 2x ＋14 ＝14cos 2 x －34sin 2 x －12sin 2x ＋14 ＝1＋cos 2x 8－3－3cos 2x 8－12sin 2x ＋14＝12(cos 2x －sin 2x )＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以函数ƒ(x )的最小正周期为π，最大值为22. (2)由2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π，k ∈Z ，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z ，函数ƒ(x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z. 又因为x ∈[0，π]，则ƒ(x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，3π8，⎣⎡⎦⎤7π8，π.1．(2017·山东高考)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B ．2π3 C ．πD ．2π解析：选C ∵y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴最小正周期T ＝2π2＝π.2．函数ƒ(x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1D ．2π，2解析：选A ƒ(x )＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以振幅为1，周期为T ＝2πω＝2π2＝π，所以选A.3．函数ƒ(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值是( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．0解析：选B 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－π4≤2x －π4≤3π4，所以当2x －π4＝－π4时，函数ƒ(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小值为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－22. 4．已知函数ƒ(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2(x ∈R)，下列结论错误的是( ) A ．函数ƒ(x )的最小正周期为2π B ．函数ƒ(x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 C ．函数ƒ(x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数ƒ(x )为奇函数解析：选D 因为ƒ(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x ，所以T ＝2π，故A 选项正确；因为y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数，所以y ＝－cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，故B 选项正确；因为ƒ(0)＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝－1，所以ƒ(x )的图象关于直线x ＝0对称，故C 选项正确；ƒ(x )＝－cos x 是偶函数，故D 选项错误．5．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：选D 易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2. 6．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选A 由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，知ƒ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，即3cos ⎝⎛⎭⎫8π3＋φ＝0， ∴8π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，∴φ＝k π＋π2－8π3(k ∈Z)，|φ|的最小值为π6. 7．函数y ＝12tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1的图象的对称中心为________． 解析：令2x ＋π3＝k π2，k ∈Z 得2x ＝－π3＋k π2，k ∈Z ，即x ＝－π6＋k π4，k ∈Z ，结合函数解析式可知该函数图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π6＋k π4，1，k ∈Z. 答案：⎝⎛⎭⎫－π6＋k π4，1，k ∈Z 8．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为__________________________________________． 解析：要使函数式有意义，必须有sin x －cos x ≥0.在同一直角坐标系中画出[0,2π]内y＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，结合正、余弦函数的周期是2π，可得所求定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z 9．已知函数ƒ(x )＝sin(x －π)，g (x )＝cos(x ＋π)，有以下命题：①函数y ＝ƒ(x )g (x )的最小正周期为π；②函数y ＝ƒ(x )g (x )的最大值为2；③将函数y ＝ƒ(x )的图象向右平移π2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象； ④将函数y ＝ƒ(x )的图象向左平移π2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象． 其中正确命题的序号是________．解析：因为ƒ(x )＝sin(x －π)＝－sin x ，g (x )＝cos(x ＋π)＝－cos x ，所以y ＝ƒ(x )g (x )＝(－sin x )(－cos x )＝12sin 2x ， 所以函数y ＝ƒ(x )g (x )的最小正周期为2π2＝π，最大值为12，故①对，②错；将函数y ＝ƒ(x )的图象向右平移π2个单位后得到y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos x 的图象，故③错； 将函数y ＝ƒ(x )的图象向左平移π2个单位后得到y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－cos x 的图象，故④对．答案：①④10．已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3， 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3. 11．(2017·浙江高考)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R)．(1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．解：(1)由题意，f (x )＝－cos 2x －3sin 2x＝－2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 故f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝－2sin 3π2＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 则f (x )的最小正周期是π.由正弦函数的性质令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)． 12．已知函数ƒ(x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，其图象过点⎝⎛⎭⎫π6，12. (1)求φ的值；(2)将函数y ＝ƒ(x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值． 解：(1)∵ƒ(x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，12，∴12sin ⎝⎛⎭⎫2×π6sin φ＋cos 2π6cos φ－12cos φ＝12， 即34sin φ＋14cos φ＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π6＝1.∵0＜φ＜π，∴φ＝π3. (2)ƒ(x )＝12sin 2x sin π3＋cos 2x cos π3－12cos π3＝34sin 2x ＋1＋cos 2x 4－14＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. ∵0≤x ≤π4， ∴π6≤4x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6≤1， ∴g (x )max ＝12，g (x )min ＝－14.。
§1.4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．1．正弦曲线、余弦曲线2．“五点法”画图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是_________________________； 画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________． 3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向________平移π2个单位长度即可．一、选择题1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线x ＝π22．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式为( )A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x3．函数y ＝－sin x ，x ∈[－π2，3π2]的简图是( )4．在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4，π2∪⎝⎛⎦⎤5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭⎫5π4，7π4 5．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π 6．方程sin x ＝lg x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 7．函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向右平移π2个单位后所得图象对应的函数解析式是__________．8．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是________________． 9．方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．10．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________． 三、解答题11．利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)； (2)y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)．12．分别作出下列函数的图象． (1)y ＝|sin x |，x ∈R ； (2)y ＝sin|x |，x ∈R .能力提升13．求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域．14．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．§1.4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象答案知识梳理2．(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0) (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫32π，0，(2π，1) 3．左 作业设计1．D 2.B 3.D 4．A [∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫π4，34π.] 5．D [作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象，函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝2围成的平面图形，如图所示的阴影部分．利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC 的面积，又∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 平面图形＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π.]6．C [用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点⎝⎛⎭⎫110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．]7．y ＝－cos x解析 y ＝sin x 2π−−−−−−→向右平移个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 ∵sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，∴y ＝－cos x . 8.⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z 解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图象知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋2π3，k ∈Z . 9．2解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解．10.⎣⎡⎦⎤π4，5π4解析 由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与 y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示：观察图象知x ∈[π4，54π]．11．解 利用“五点法”作图 (1)列表：X 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x1121描点作图，如图所示．(2)列表：X0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x－2－1－1－2描点作图，如图所示．12．解 (1)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π) (k ∈Z )．其图象如图所示，(2)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (x ≥0)－sin x (x <0)，其图象如图所示，13．解 由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >016－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)． 14．解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x x ∈[0，π]，－sin x x ∈(π，2π].图象如图，若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k的取值范围是(1,3)．附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
三角函数的图象与性质知识网络三角函数的图象和性质结构简图画龙点晴 概念三角函数的图象:函数x y sin =的图象叫做正弦曲线, 如图1; 函数x y cos =的图象叫做余弦曲线, 如图2; 函数x y tan =的图象叫做正切曲线, 如图3; 函数x y cot =的图象叫做余切曲线, 如图4;周期函数: 对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
说明：1︒周期函数x∈定义域M，那么必有x+T∈M, 且假设T>0那么定义域无上界；T<0那么定义域无下界；2︒“每一个值〞只要有一个反例，那么f (x)就不为周期函数〔如f (x0+t)≠f (x0)〕; 3︒T往往是多值的〔如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期〕周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期〔有些周期函数没有最小正周期〕.三角函数的性质: 三角函数的性质如下表:[活用实例][例1] 求以下函数的最值：(1)y=sin(3x+4π)-1 ; (2) y=sin2x-4sinx+5 ; (3) y=x x cos 3cos 3+- ; (4))3cos(2π-=x y (6π≤x ≤32π). [题解] (1) 当3x+4π=2k π+2π即 x=1232ππ+k (k ∈Z)时ymax=0; 当3x+4π=2k π-2π即x=432ππ-k (k ∈Z)时ymin=-2. (2) y=(sinx-2)2+1 ∴当x=2k π-2π k ∈Z 时ymax=10; 当x=2k π-2πk ∈Z 时ymin=2.(3)y=-1+x cos 31+当x=2k π+π k ∈Z 时 ymax=2; 当x=2k π k ∈Z 时 ymin= 21.(4)∵x ∈[6π,32π] ∴x-3π∈[-6π,3π],∴当x-3π=0 即x=3π时 ymax=2; 当x-3π=3π即x=32π时 ymin=1.[例2] 求以下函数的定义域：(1)y=x x 2cos 21cos 3--; (2)y=lg(2sinx+1)+1cos 2-x ; (3)y=)cos(sin x .[题解] (1)∵3cosx-1-2cos2x ≥0 ∴21≤cosx ≤1 ∴定义域为：[2k π-3π, 2k π+3π](k ∈Z).(2))(32326726221cos 21sin Z k k x k k x k x x ∈⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-+<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥->ππππππππ )(3262Z k k x k ∈+≤<-⇒ππππ∴定义域为：)](32,62(Z k k k ∈+-ππππ.(3) ∵cos(sinx)≥0 ∴ 2k π-2π≤x ≤2k π+2π(k ∈Z)∵-1≤sinx ≤1 ,∴x ∈R ,1cos ≤y ≤1.[例3] 函数f(x)=2asin2x-23asinxcosx+b 的定义域为[0，2π]，值域为[-5，4]，求常数a,b 的值。
1.3三角函数的图象与性质一、选择题（每小题5分，共20分）1．函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是（）A.0B.4πC.2πD.π 2.,24παπ<<则（）A.αααtan cos sin >>B.αααsin tan cos >>C.αααcos tan sin >>D.αααcos sin tan >>3.函数23cos()56y x π=-的最小正周期是（）A.52π B.25πC.π2 D.π5 4.在函数x ysin =、x y sin =、2sin(2)3y x π=+、2cos(2)3y x π=+中，最小正周期为π的函数的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数xxycos 2cos 2-+=的最大值为________.6．若()2sin (01)f x x ωω=<<在区间[0,]3π上的最大值是2，则ω=________.三、解答题(共70分)7．（15分）求函数3(sin 2)5sin 2x y x +-=+的值域．8.（20分）求函数y =tan 2x +tan x +1（x ∈R 且x ≠2π+k π，k ∈Z ）的值域．9．(20分)求函数y =－2tan （3x +3π）的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性．10.（15分）求函数y =1cos 3cos 22-+-x x +lg （36－x 2）的定义域．1.3三角函数的图象与性质答题纸得分：一、选择题二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.1.3三角函数的图象与性质答案一、选择题 1.C 解析：当2πϕ=时，sin(2)cos 22y x x π=+=，而cos 2y x =是偶函数.2.D 解析：tan 1,cos sin 1,ααα><<αααcos sin tan >>.3.D 解析： 2525T ππ==.4.C 解析：由x y sin =的图象知，它是非周期函数.二、填空题 5.3 解析：2cos 4cos 2412cos 2cos 2cos x x y x x x++-===----.当cos x ＝1时，y 最大＝3.6.34解析：[0,],0,0,3333x x x ππωππω∈≤≤≤≤<max 3()2sin,332344f x ωπωπωππω=====. 三、解答题 7.解：由3(sin 2)553sin 2sin 2x y x x +-==-++． 当sin 1x =时，max 43y =， 当sin 1x =-时，min2y =-．∴函数的值域为423⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．8．解：设t =tan x ，由正切函数的值域可得t ∈R ，则y =t 2+t +1=（t +21）2+43≥43．∴原函数的值域是［43，+∞）． 9.解：由3x +3π≠k π+2π，得x ≠18π3π+k （k ∈Z ）， ∴所求的函数定义域为{x |x ≠18π3π+k （k ∈Z ）}，值域为R ，周期为3π， 它既不是奇函数，也不是偶函数．k π－2π≤3x +3π≤k π+2π（k ∈Z ），∴18π53π-k ≤x ≤18π3π+k （k ∈Z ）． 在区间［18π53π-k ，18π3π+k ］（k ∈Z ）上是单调减函数． 10.解：欲求函数定义域，则由⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-+-，，03601cos 3cos 222x x x 即⎩⎨⎧<<-≤--，，660)1)(cos 1cos 2(x x x也即⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤，，661cos 21x x解得⎪⎩⎪⎨⎧<<-∈+≤≤+-.66)(π23ππ23πx k k x k ，Z 取k =－1、0、1，可分别得到x ∈（－6，－3π5）或x ∈［－3π，3π］或x ∈［3π5，6）， 即所求的定义域为（－6，－3π5）∪［－3π，3π］∪［3π5，6）.。
自主广场我夯基 我达标1.(浙江杭州二模，文2函数)f(x)=cos4x,x ∈R 是( ) A.最小正周期为π的偶函数 B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为2π的偶函数 D.最小正周期为2π的奇函数思路解析:T=ωπ2=42π=2π，f(-x)=cos(-4x)=cos4x=f(x)，即f(x)是偶函数.答案:C2.若函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x 轴向左平移2π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线与y=21sinx 的图象相同，则y=f(x)是( )A.y=21sin(2x+2π)+1 B.y=21sin(2x-2π)+1 C.y=21sin(2x-4π)+1 D.y=21sin(2x+4π)+1思路解析:逆向法解决，将y=21sinx 的图象沿y 轴向上平移1个单位得函数y=21sinx+1的图象；再将函数y=21sinx+1的图象向右平移2π个单位得函数y=21sin(x-2π)+1的图象；再将函数y=21sin(x-2π)+1的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的21得函数y=21sin(2x-2π)+1.这就是函数y=f(x)的解析式.这样由后至前，等于把y=21sinx 进行“逆变换”倒推出所求的函数解析式，逆变换时，相应地将向左改为向右，向上改为向下，伸长变为缩短即可. 答案:B3.已知图1-3-5是函数y=2sin(ωx+φ)(|φ|＜2π)的简图，那么( )图1-3-5A.ω=1110,φ=6π B.ω=1110,φ=-6π C.ω=2,φ=6π D.ω=2,φ=-6π思路解析:曲线与y 轴的交点为(0，1)，说明当x=0时，函数值y=1，则2sinφ=1即sinφ=21.∵-2π＜φ＜2π，∴φ=6π.又曲线与x 轴的一个交点是(1211π,0)，说明当x=1211π时，函数值y=0，即sin(1211πω+6π)=0，∴1211πω+6π=kπ(k ∈Z ).∵这点是曲线与x 轴正方向的第二个交点，其相位是2π，即ω·1211π+6π=2π，解得ω=2，即ω=2,φ=6π.答案:C4.(2006江苏高考卷，4 为了得到函数)y=2sin(3x +6π),x ∈R 的图象，只需把函数y=2sinx,x ∈R 的图象上所有的点( )A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)思路解析:本题主要考查三角函数的图象变换.先将y=2sinx,x ∈R 的图象向左平移6π个单位长度，得到函数y=2sin(x+6π),x ∈R 的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)得到函数y=2sin(3x +6π),x ∈R 的图象.答案:C5.(2006全国高考卷Ⅰ，理5)函数f(x)=tan(x+4π)的单调增区间为( ) A.(kπ-2π,kπ+2π),k ∈Z B.(kπ,(k+1)π),k ∈ZC.(kπ-43π,kπ+4π),k ∈Z D.(kπ-4π,kπ+43π),k ∈Z思路解析:利用整体性策略，令kπ-2π＜x+4π＜kπ+2π，k ∈Z ，解得单调增区间. 答案:C6.函数y=xxcos 2cos 2-+(x ∈R )的最大值是_________________.思路解析:思路一：(换元法)设cosx=t,x ∈R ，则函数y=xxcos 2cos 2-+(x ∈R )的最大值即函数y=t t -+22,-1≤t≤1的最大值.可以证明当-1≤t≤1时，函数y=tt-+22是增函数，所以函数的最大值是3.思路二：由y=x x cos 2cos 2-+(x ∈R )，得cosx=122+-y y .∴|122+-y y |≤1.∴31≤y≤3.答案:37.(2006北京高考卷，文2)函数y=1+cosx 的图象( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线x=2π对称 思路解析:函数y=1+cosx 是偶函数，其图象关于y 轴对称. 答案:B8.函数f(x)=2sin(2x+3π)， (1)求f(x)的最大值M 、最小值N 和最小正周期T.(2)由y=sinx 的图象经过怎样的变换得到y=f(x)的图象? (3)写出函数的对称轴和对称中心？ 思路解析:利用公式直接得结论. 解:(1)M=2，N=-2，T=22π=π. (2)变换步骤是：①把y=sinx 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位，得函数y=sin(x+3π)的图象； ②把函数y=sin(x+3π)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得函数y=sin(2x+3π)的图象；③把函数y=sin(2x+3π)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得函数f(x)=2sin(2x+3π)的图象.(3)令2x+3π=kπ+2π(k ∈Z ),得x=2πk +12π(k ∈Z )，即对称轴是直线x=2πk +12π(k ∈Z ).令2x+3π=kπ(k ∈Z )，得x=2πk -6π(k ∈Z )，即对称中心是(2πk -6π,0)(k ∈Z ).我综合 我发展9.下列等式中正确的有______________________.①arcsin(-21)=-arcsin 21 ②arccos(-22)=arccos 22 ③arctan(-1)=-arctan1 ④arcsin1=2π⑤arccos0=0 ⑥arctan(-3)=32π思路解析:①arcsin(-21)=-6π，-arcsin 21=-6π，∴arcsin(-21)=-arcsin 21. ②arccos(-22)=43π，arccos 22=4π，∴arccos(-22)≠arccos 22. ③arctan(-1)=-4π，-arctan1=-4π， ∴arctan(-1)=-arctan1.④由sin 2π=1，且2π∈［-2π，2π］，∴arcsin1=2π. ⑤由cos 2π=0，且0∈［0，π］，∴arccos0=2π≠0.⑥由tan(-3π)=-3，且-3π∈［-2π，2π］，∴arctan(-3)=-3π≠32π.答案:①③④10.函数y=5sin(4π-2x)的单调递增区间是________________. 思路解析:函数y=-5sin(2x-4π)=5sin(2x+43π)，令2kπ-2π≤2x+43π≤2kπ+2π(k ∈Z )，解得2kπ-45π≤2x≤2kπ-4π，即kπ-85π≤x≤kπ-8π.答案:［kπ-85π,kπ-8π］(k ∈Z ) 11.已知cos(2x+3π)=-21，x ∈［0，2π］，求角x 的集合.思路分析:先由x 的范围确定2x+3π的范围，然后判断角的个数，再求出角.解:∵0≤x≤2π，∴3π≤2x+3π≤313π.∵cos(2x+3π)=-21，∴2x+3π=32π或2x+3π=34π或2x+3π=38π或2x+3π=310π.∴x 的集合为{6π，2π，67π，23π}.12.已知0≤x≤2π，求函数y=cos 2x-2acosx 的最大值M(a)与最小值m(a). 思路分析:利用换元法转化为求二次函数的最值问题. 解:设cosx=t ，∵0≤x≤2π，∴0≤t≤1. ∵y=t 2-2at=(t-a)2-a 2，∴当a ＜0时，m(a)=0,M(a)=1-2a ； 当0≤a ＜21,m(a)=-a 2,M(a)=1-2a ； 当21≤a ＜1,m(a)=-a 2,M(a)=0； 当a≥1时，m(a)=1-2a,M(a)=0.13.(经典回放)如图1-3-6所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A ＞0,ω＞0,0＜φ＜π).图1-3-6(1)求这段时间的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式.思路分析:图象最上方的点的纵坐标是温度的最大值，最下方点的纵坐标是温度的最小值. 解:(1)由图知，这段时间的最大温差是30-10=20(℃).(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象，即ωπ2=2(14-6)， ∴ω=8π.∴A=21(30-10)=10，b=21(30+10)=20. 则y=10sin(8πx+φ)+20.由于函数图象过点(6,10)， ∴当x=6时，y=10. ∴10=10sin(8π×6+φ)+20. ∴sin(43π+φ)=-1.则取φ=43π. 综上所述，所求的函数解析式为y=10sin(8πx+43π)+20，x ∈［6,14］.。
教材习题点拨练习A1．(1)先运用“五点法”作出函数y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象，再把所得图象向左扩展2π个单位，即得y ＝－sin x ，x ∈[－2π，2π]的图象，图略．(2)先运用“五点法”作出函数y ＝sin x －2在[0,2π]上的图象，再把所得图象向左扩展2π个单位，即得y ＝sin x －2，x ∈[－2π，2π]的图象．图略．2．作y ＝sin x ，x ∈[－2π，2π]上的图象关于x 轴的对称图象，即得函数y ＝－sin x ，x ∈[－2π，2π]上的图象．将y ＝sin x ，x ∈[－2π，2π]上的图象向下平移2个单位长度，即得y ＝sin x －2，x ∈[－2π，2π]上的图象．练习B 1．略．2．作函数y ＝sin x ，x ∈[－2π，2π]上的图象关于x 轴的对称图象，得到函数y ＝－sin x ，x ∈[－2π，2π]上的图象，再将函数y ＝－sin x ，x ∈[－2π，2π]上的图象向上平移1个单位长度，即得函数y ＝1－sin x ，x ∈[－2π，2π]上的图象；作y ＝sin x ，x ∈[－2π，2π]上的图象关于y 轴对称的图象，即得函数y ＝sin(－x )，x ∈[－2π，2π]上的图象．练习A1．(1)(2k π，2k π＋π)，k ∈Z ； (2)(2k π＋π，2k π＋2π)，k ∈Z .2．(1)不能成立．因为y ＝sin x (x ∈R )的值域是[－1,1]，而32∉[－1,1]；(2)能成立．sin 2x ＝12，sin x ＝±22，因为y ＝sin x (x ∈R )的值域是[－1,1]，而±22∈[－1,1]．3．(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y 取得最小值－2； (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝6k π－3π2，k ∈Z 时，y 取得最小值－3. 4．(1)当x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，sin x ＝－1，y max ＝174；当x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，sin x ＝1，y min ＝－74.(2)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54＝－⎝⎛⎭⎫sin x －322＋2，因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝32，x ＝2k π＋π3或2k π＋2π3，k ∈Z 时，y max ＝2； 当sin x ＝－1，x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，y min ＝14－ 3.5．(1)2π3；(2)8π；(3)π.练习B1．能成立，但不能说明120°是函数y ＝sin x 的周期，因为对任意x ，f (x )＝f (x ＋T )，T 才是f (x )的一个周期，120°在这不具有任意性．2．略．3．(1)单调递增区间：⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ；单调递减区间：⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ；(2)单调递增区间：[k π－π4，k π＋π4]，k ∈Z ；单调递减区间：[k π＋π4，k π＋3π4]，k ∈Z ；(3)单调递增区间：[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z ；单调递减区间：[4k π＋π，4k π＋3π]，k ∈Z .4．(1)103°15′，164°30′∈[90°，180°]，且103°15′＜164°30′，而y ＝sin x 在[90°，180°]上单调递减，所以sin 103°15′＞sin 164°30′；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－54π7＝sin ⎝⎛⎭⎫－8π＋2π7＝sin 2π7，sin ⎝⎛⎭⎫－63π8＝sin ⎝⎛⎭⎫－8π＋π8＝sin π8. 因为2π7，π8∈⎣⎡⎦⎤0，π2，且2π7＞π8，y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增， 所以sin2π7＞sin π8，即sin ⎝⎛⎭⎫－54π7＞sin ⎝⎛⎭⎫－63π8. 5．因为－1≤sin x ≤1， 所以－2≤4－m ≤2⇒2≤m ≤6. 练习A 1．略．2．(1)可以看作是将y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π4个单位长度而得到的．(2)先将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x的图象，再将y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度，就得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象． (3)先将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin3x 的图象，再将y ＝sin 3x 的图象向右平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象，再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，就得到y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象； (4)先将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，就得到y ＝sin 13x 的图象，再将y ＝sin 13x 的图象向左平移π2个单位长度，就得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6的图象，最后再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)，得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6的图象． 3．由图象可知，周期为π，最大值为3，2πω＝π，ω＝2.而sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，且|φ|＜π2，故φ＝π3.从而所求函数的解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 4．由图象知，周期为0.02，频率为50，电压的最大值为536伏． 设V ＝A sin(ωt ＋φ)，则A ＝536，2πω＝0.02⇒ω＝100π，φ＝0.所以电压V 和时间t 之间的函数解析式为V ＝536sin 100πt ，t ∈[0，＋∞)． 练习B 1．(1)D ；(2)B.2．(1)当x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π－π2，k ∈Z 时， sin x ＝－1，y max ＝32；当x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时， sin x ＝1，y min ＝12；(2)当x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π12，k ∈Z 时， sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，y max ＝3. 当x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π－5π12，k ∈Z 时， sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1，y min ＝－3. 3．(1)将函数y ＝sin 3x 的图象向右平移π9个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3的图象； (2)将函数y ＝sin 3x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的图象，再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的图象向下平移2个单位长度，就得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4－2的图象； (3)把函数y ＝sin 3x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，就得到函数y ＝sin x 的图象，再作y ＝sin x 的图象关于x 轴的对称图象，即得到函数y ＝－sin x 的图象；(4)作函数y ＝sin 3x 的图象关于x 轴的对称图象，即得到函数y ＝－sin 3x 的图象． 4．图略．(1)t ＝0时，小球在平衡位置上方 2 cm 处；(2)小球最高、最低点与平衡位置的距离都是2 cm ；(3)2π s ；(3)12π次．5．设游人所乘吊舱的底部距地面的高度为h 米，巨轮转动的时间为t min ，则h ＝30＋30cos ⎝⎛⎭⎫π－π6t .当t ＝4时，h ＝45.即转动到4 min 时，该游人所乘吊舱的底部距地面的高度是45米．练习A1．(1)⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ； (2)⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z . 2．(1)不能成立，因为y ＝cos x (x ∈R )的值域是[－1,1]，而32∉[－1,1]；(2)能成立，cos 2x ＝0.8，cos x ＝±255∈[－1,1]．3．略．4．y max ＝3，此时x 的集合是{x |x ＝6k π＋3π，k ∈Z }；y min ＝1，此时x 的集合是{x |x ＝6k π，k ∈Z }．5．(1)6π；(2)π. 练习B 1．略．2．单调递减区间是：⎣⎡⎦⎤23k π＋π9，23k π＋4π9(k ∈Z )；单调递增区间是：⎣⎡⎦⎤23k π＋4π9，23k π＋7π9(k ∈Z )． 3．(1)158π，149π∈⎣⎡⎦⎤32π，2π，且cos x 在⎣⎡⎦⎤32π，2π上递增，158π＞149π， 所以cos 15π8＞cos 14π9；(2)cos 515°＝cos(360°＋155°)＝cos 155°，cos 530°＝cos(360°＋170°)＝cos 170°，cos x 在[90°，180°]上递减，且155°，170°∈[90°，180°]，则cos 155°＞cos 170°，所以cos 515 °＞cos 530°.4．(1)把y ＝13cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，就得到函数y ＝cos x 的图象；(2)把y ＝cos 35x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的35(纵坐标不变)，就得到函数y ＝cos x 的图象；(3)把y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象向右平移π4个单位长度，就得到函数y ＝cos x 的图象； (4)把y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象向左平移π6个单位长度，就得到函数y ＝cos 2x 的图象． 5．先把y ＝cos x 的图象向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，可得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，最后将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 练习A1．(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ； (2){x |x ＝k π，k ∈Z }；(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π2＜x ＜k π，k ∈Z . 2．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π3＋π6，k ∈Z . 3．(1)2π；(2)πω.4．(1)138°，143°∈(90°，180°)，且tan x 在(90°，180°)上是增函数，故tan 138°＜tan 143°； (2)同理tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＞tan ⎝⎛⎭⎫－17π5. 5．略． 练习B1．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，且x ≠π3＋k π，k ∈Z . 2．(1)f (－x )＝－tan(－x )＝－(－tan x )＝－f (x )，且f (x )的定义域关于原点对称，可知y ＝－tan x ，x ∈R 且x ≠k π＋π2(k ∈Z )是奇函数；(2)f (－x )＝－|tan(－x )|＝－|－tan x |＝－|tan x |＝f (x )，且f (x )的定义域关于原点对称，可知y ＝－|tan x |，x ∈R 且x ≠k π＋π2(k ∈Z )是偶函数．⎩⎭(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z . 4．(1)－π5，－37π∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，0上单调递增，－π5＞－37π，所以tan ⎝⎛⎭⎫－π5＞tan ⎝⎛⎭⎫－3π7； (2)tan 1 519°＝tan(4×360°＋79°)＝tan 79°，tan 1 493°＝tan(4×360°＋53°)＝tan 53°，79°，53°∈(0,90°)且tan x 在(0°，90°)上单调递增，79°＞53°，所以tan 79°＞tan 53°，则tan 1 519°＞tan 1 493°. 5．T ＝π2.6．由k π－π2＜x ＋π5＜k π＋π2，得单调增区间是⎝⎛⎭⎫k π－7π10，k π＋3π10，k ∈Z . 练习A1．(1)π4或3π4；(2)π6或5π6；(3)7π6或11π6；(4)4π3或5π3.2．略．3．(1)π3；(2)－π6；(3)3π4；(4)π6.4．(1)±π6；(2)±π3；(3)arctan 3.415≈1.29，－π＋arctan 3.415≈－1.86；(4)π4或－34π. 5．(1)π2；(2)0；(3)0；(4)π2；(5)1.31；(6)－1.40.练习B1．(1)－2π3，－π3；(2)±2π3；(3)arctan(－3.415)≈－1.29，π＋arctan(－3.415)≈1.85； (4)－π4或34π.2．(1){arcsin 0.346 9，π－arcsin 0.346 9}； (2){π－arccos 0.857 2，π＋arccos 0.857 2}； (3){arctan 0.8，π＋arccos 0.8}． 3．(1)π4，3π4；(2)5π6；(3)2π3；(4)π6.习题1－3A 1．略．⎩⎭(2){x |x ∈R 且x ≠2k π，k ∈Z }；(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π≤x ＜k π＋π2，k ∈Z . 3．(1)当x ∈{x |x ＝2k π＋π，k ∈Z }时，cos x ＝－1，y max ＝3； 当x ∈{x |x ＝2k π，k ∈Z }时，cos x ＝1，y min ＝－3；(2)当x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时， y max ＝－12；当x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π－π2，k ∈Z 时， y min ＝－32；(3)当x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π6，k ∈Z 时， cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1，y max ＝2； 当x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋2π3，k ∈Z 时，cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－1，y min ＝－2； (4)当x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π－3π4，k ∈Z 时， sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－1，y max ＝5； 当x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋π4，k ∈Z 时， sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1，y min ＝1. 4．(1)8π3；(2)3π2；(3)π；(4)4π.5．(1)⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4，k ∈Z ； (2)⎣⎡⎦⎤2k π3－π4，2k π3＋π12，k ∈Z ； (3)⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z ； (4)⎝⎛⎭⎫k π－5π6，k π＋π6，k ∈Z . 6．(1)奇函数；(2)偶函数；(3)偶函数；(4)非奇非偶函数．7．(1)4，2π3，π5；(2)12，8π，－π7.8．(1)C ；(2)D ；(3)B ；(4)C. 9．(1)5π6；(2)－π4；(3)－π4.10．(1)arcsin 35；(2)arcsin ⎝⎛⎭⎫－14＝－arcsin 14；(3)arccos 13；(4)－arccos 37. 习题1－3B 1．略．2．y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫3x －7π6. 3．先把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移3π8个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2的图象，再把所得函数图象向下平移2个单位长度，即得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2－2的图象． 4．先把y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，然后把所得图象向右平移π6个单位长度，即得函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象．再把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象． 5．(1)⎣⎡⎦⎤－22，1；(2)⎣⎡⎦⎤－1，32. 6．(1)当x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝1，当x ∈{x |x ＝k π，k ∈Z }时，y min ＝12； (2)当x ∈{x |x ＝k π，k ∈Z }时，y max ＝1，当x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π2，k ∈Z 时，y min ＝16； (3)因为－1≤sin x ≤1，所以由二次函数的图象知，当sin x ＝－1，x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，y max ＝2；当sin x ＝1，x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y min ＝－2.7．图略．观察图象可知，它的周期是π，证明如下：对于任意的x ∈R ，f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|－sin x |＝|sin x |＝f (x )， 所以T ＝π. 8．B9．(1)150，50,5，π3；(2)当t ＝0，1600，1150，7600，160时，代入关系式，得电流强度I 依次为532，5,0，－5,0.10．(1)2πlg；(2)24.8 cm. 11．设解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ，由图象知A ＝k ＝32.又T 2＝π2－⎝⎛⎭⎫－π3＝5π6， 所以T ＝5π3.所以ω＝2πT ＝2π5π3＝65.令65·⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝π2，得φ＝910π.所以y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫65x ＋910π＋32. 12．(1)π3；(2)－π6；(3)－π2；(4)π.13．(1)－0.252 7；(2)0.551 1. 14．(1)x ＝π－arcsin 35； (2)x ＝π＋arcsin 14.。
三角函数的图像与性质
一、选择题 1．若sin x =
m
m
+-11,则实数m 的取值范围是( ) A.［0,+∞) B.［－1,1］ C.(－∞,－1］∪［1,+∞) D.［0,1］
2．在下列函数中，同时满足①在(0，
2
π
)上递增；②以2π为周期；③是奇函数的( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan 2
1
x D ．y ＝－tan x
3．函数4sin(2π)y x =+的图象关于（ ）
Ａ．x 轴对称
Ｂ．原点对称 Ｃ．y 轴对称
Ｄ．直线π
2
x =
对称 4．为了得到函数πsin 24y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ）
Ａ．向左平移π4个单位 Ｂ．向右平移π
4
个单位
Ｃ．向左平移
π
8
个单位 Ｄ．向右平移
π
8
个单位 5．πsin 36y x ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的单调递减区间是（ ） Ａ．2π4π2π5π()3
939k k k ⎡⎤
++∈⎢
⎥⎣⎦Z ，
Ｂ．2π2π2π5π()3
933k k k ⎡⎤
++∈⎢
⎥⎣⎦Z ， Ｃ．2π2π2π5π()3333k k k ⎡⎤
++∈⎢
⎥⎣
⎦Z ，
Ｄ．2π2π2π5π()3939k k k ⎡⎤
++∈⎢
⎥⎣
⎦Z ， 6．下图中的曲线对应的函数解析式是（ ）
A ．
|sin |x y = B ．||sin x y = C ．||sin x y -=
D ．
|sin |x y -=
二、填空题
7．函数值sin1,sin2,sin3,sin4的大小顺序是 . 8．函数y =x cos 2
1-的定义域是 .
9．函数sin 1y a x =+的最大值是3，则它的最小值为 ．
10．若一个三角函数()y f x =在π02⎛⎫
⎪⎝⎭
，内是增函数，又是以π为最小正周期的偶函数，则这样的一个三角
函数的解析式为 （填上你认为正确的一个即可，不必写上所有可能的形式）．
三、解答题
11．函数1
πtan 2
6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象可以由函数tan y x =的图象经过怎样的变换得到，请写出变换过程
12．下图是正弦型函数π
sin()(000)2
y A x A ωϕωϕ=+>><<，，的图象．
（1）确定它的解析式； （2）写出它的对称轴方程．
13．已知cos 3(0)y a b x b =->的最大值为
3
2，最小值为12
-． （1）求函数4sin(3)y a bx =-的周期、最值，并求取得最值时的x 值； （2）判断（1）中函数的奇偶性．
能力题
14．如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数 ()sin y A x b ωϕ=++． （１） 求这一天的最大温差；
（２） 写出这段曲线的函数解析式．
15．已知sin sin x y +
练习三 三角函数的图像与性质
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 答案
A
C
B
Ｄ
Ｄ
C
二、填空题
7．sin2>sin1>sin3>sin4 8．［2k π+
2π,2k π+2
2π
］(k ∈Z) 9．-1
10．cos2y x =-
三、解答题
11．解：可先把tan y x =的图象上所有点向右平移
π6个单位，得到πtan 6y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，
再把πtan 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），从而得到1
πtan 2
6y x ⎛⎫=- ⎪
⎝⎭的图象．
12．解：（1）由已知条件可知：3A =，π2π2π105T ⎡⎤
⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
．
2π
2T
ω=
=∴，3sin(2)y x ϕ=+∴． 把点π010⎛⎫
⎪⎝⎭，代入上式π2π10k ϕ⨯+=，ππ3k ϕ=-．
又π02ϕ<<
∵，∴令1k =，得4π
5
ϕ=． ∴所求解析式为43sin 2π5y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭；
（2）由sin y x =的对称轴方程可知4π
2ππ52
x k +=+，
解得π3π
220
k x k =
-∈Z ，． 13．解：（1）cos3y a b x =- ，0b >，
max min 32
12
y a b y a b ⎧
=+=⎪⎪∴⎨⎪=-=-⎪⎩，，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，． ∴函数4sin(3)2sin3y a bx x =-=-．
2π
3
T ∴=
． 当2ππ()36
k x k =+∈Z 时，函数取得最小值2-；
当2ππ
()36
k x k =
-∈Z 时，函数取得最大值2； （2）令()2sin3f x x =-，x ∈R ， 则()2sin(3)2sin3()f x x x f x -=--==-．
∴函数2sin3y x =-为奇函数．
能力题
14．解：（１）由图可知，这段时间的最大温差是20℃．
（２）从图中可以看出，从6~14时的图象是函数()sin y A x b ωϕ=++的半个周期的图象，所以
()1
3010102A =
-=， 1
(3010)202
b =+=，
∵121462ω=- π
， ∴8
ω=π．
将6x =，10y =代入上式，解得34
ϕ=π
． 综上，所求解析式为310sin 208
4y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭π
π，[]6,14x ∈．
15．解：∵1sin sin 3x y +=，1
sin sin 3
x y =-∴．
代入μ中，得2
2212111
sin (1sin )sin sin sin 33212
y y y y y μ⎛⎫=---=--=-- ⎪⎝⎭．
1sin 1x -∵≤≤，214
sin 333
x --∴≤≤．
又1
sin sin 3
y x =
-，且1sin 1y -≤≤， 2
sin 13
y -∴≤≤．
∴当1sin 2y =
时，μ最小为1112
-， 当2sin 3y =-时，μ最大为4
9
．。
