2017-2018学年人教B版数学必修四同步过关提升特训：1.3.1 正弦函数的图象与性质1 Word版含解析

1.3.1正弦函数的图象与性质(四)学习目标1.掌握y ＝sin x 与y ＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.2.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，确定其解析式.3.了解y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.知识点一正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义知识点二φ、ω、A 对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响思考1观察下面图(1)、图(2)中函数y ＝sin(x ＋π3)，y ＝sin(x －π3)的图象，比较它们与函数y ＝sin x图象的形状和位置，你有什么发现？思考2观察下面图(3)、图(4)中函数y ＝sin(2x ＋π3)，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象，比较它们与函数y ＝sin(x ＋π3)图象的形状和位置，你又有什么发现？思考3观察下面图(5)、图(6)中函数y ＝2sin(2x ＋π3)，y ＝12sin(2x ＋π3)的图象，比较它们与函数y＝sin(2x ＋π3)的图象的形状和位置，你又有什么发现？梳理(1)φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响函数y ＝sin(x ＋φ)(φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 图象上所有的点向____(当φ＞0时)或向______(当φ＜0时)平行移动______个单位长度而得到的. (2)ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)图象上所有点的横坐标______(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的1ω倍(纵坐标______)而得到的.(3)A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A＞1时)或________(当0＜A＜1时)到原来的______倍(横坐标不变)而得到的，函数y＝A sin x 的值域为________，最大值为______，最小值为______.知识点三由函数y＝sin x的图象变换得到函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的步骤知识点四“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象思考用“五点法”作y＝A sin(ωx＋φ)时，五个关键的横坐标取哪几个值？梳理用“五点法”作y＝A sin(ωx＋φ) 的图象的步骤第一步：列表第二步：在同一坐标系中描出各点.第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象.知识点五函数y＝A sin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质类型一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换例1把函数y ＝f (x )的图象上的各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式.反思与感悟(1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法.(2)已知函数f (x )图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式.要明确伸缩的方向及量，然后确定出A 或ω即可.跟踪训练1把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是()A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈R C.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R类型二用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象例2利用五点法作出函数y ＝3sin(12x －π3)在一个周期内的草图.反思与感悟(1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx ＋φ分别为0，π2，π，3π2，2π，解出x ，从而确定这五点.(2)作给定区间上y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，若x ∈[m ，n ]，则应先求出ωx ＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x ，y 的值，描点、连线并作出函数的图象. 跟踪训练2已知f (x )＝1＋2sin(2x －π4)，画出f (x )在x ∈[－π2，π2]上的图象.类型三由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例3如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象，求A ，ω，φ的值，并确定其函数解析式.反思与感悟若设所求解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A ，ω，φ.(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)由函数图象与x 轴的交点确定T ，由T ＝2π|ω|，确定ω.(3)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的初相φ的值的两种方法①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω已知)或代入图象与x 轴的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝⎛⎭⎫－φω，0作为突破口.“五点”的ωx ＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0. “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2.“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π. “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2.“第五点”为ωx ＋φ＝2π.跟踪训练3函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则()A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 类型四函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的应用例4已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象过点P (π12，0)，图象上与P 点最近的一个最高点的坐标为(π3，5).(1)求函数解析式； (2)指出函数的增区间； (3)求使y ≤0的x 的取值范围.反思与感悟有关函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想.跟踪训练4设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间及最值.1.函数y ＝－2sin(π4－x2)的周期、振幅、初相分别是()A.2π，－2，π4B.4π，－2，π4C.2π，2，－π4D.4π，2，－π42.下列表示函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图正确的是()3.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象()A.关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称B.关于直线x ＝π4对称 C.关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D.关于直线x ＝π3对称 4.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得图象的函数解析式为____________.5.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示.(1)求f (x )的解析式； (2)写出f (x )的递增区间.1.由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ). (2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ).注意两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位.(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意.2.利用“五点”作图法作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，要先令“ωx ＋φ”这一个整体依次取0，π2，π，3π2，2π，再求出x 的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x 的值，后求“ωx ＋φ”的值.3.由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值. (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求得周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(－φω，0)(也叫初始点)作为突破口，以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点.4.在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时取得最小值答案精析问题导学 知识点一 A 2πωω2πωx ＋φφ 知识点二思考1函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，可以看作是把曲线y ＝sin x 图象上所有的点向左平移π3个单位长度而得到的．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，可以看作是把曲线y ＝sin x 图象上所有的点向右平移π3个单位长度而得到的．思考2函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)而得到的．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的．思考3函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到的．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)而得到的． 梳理(1)左 右 |φ|(2)缩短 不变 (3)伸长 缩短 A [－A ，A ]A －A 知识点三 |φ||φω| 知识点四思考用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )的简图，先令t ＝ωx ＋φ，再由t 取0，π2，π，3π2，2π即可得到所取五个关键点的横坐标依次为－φω，－φω＋π2ω，－φω＋πω，－φω＋3π2ω，－φω＋2πω. 知识点五R [－A ，A ]2πωx ＝π2ω＋k π－φω(k ∈Z )奇偶 题型探究例1解y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3――――――――――→纵坐标伸长到原来的32倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3――――――――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3――――――――――→向左平移6π个单位y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝3cos x . 所以f (x )＝3cos x . 跟踪训练1C例2解依次令x 2－π3＝0，π2，π，3π2，2π，列出下表：描点，连线，如图所示．跟踪训练2解(1)∵x ∈[－π2，π2]，∴2x －π4∈[－54π，34π]．列表如下：(2)描点，连线，如图所示．例3解(逐一定参法) 由图象知，振幅A ＝3，又T ＝5π6－(－π6)＝π，∴ω＝2πT ＝2.由点⎝⎛⎭⎫－π6，0可知，－π6×2＋φ＝0，得φ＝π3，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 跟踪训练3A例4解(1)∵图象最高点的坐标为(π3，5)，∴A ＝5.∵T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π， ∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝5sin(2x ＋φ)．代入点(π3，5)，得sin(2π3＋φ)＝1，∴2π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z . 令k ＝0，则φ＝－π6，∴y ＝5sin(2x －π6)．(2)∵函数的增区间满足2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．∴函数的增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．(3)∵5sin(2x －π6)≤0，∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )，∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．故所求x 的取值范围是[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )． 跟踪训练4解(1)由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π4－φ2，令k π2＋π4－φ2＝π8， 得φ＝k π＋π4，k ∈Z .∵－π＜φ＜0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4.由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，故函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8 (k ∈Z )．同理可得函数的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋5π8，k π＋9π8(k ∈Z )． 当2x －3π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π8(k ∈Z )时，函数取得最大值1；当2x －3π4＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，函数取得最小值－1.当堂训练1．D2.A3.A4.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 5．解(1)易知A ＝2，T ＝4×[2－(－2)]＝16， ∴ω＝2πT ＝π8，∴f (x )＝2sin(π8x ＋φ)，将点(－2,0)代入得sin(－π4＋φ)＝0，令－π4＋φ＝0，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin(π8x ＋π4)．(2)由－π2＋2k π≤π8x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得16k －6≤x ≤16k ＋2，k ∈Z ， ∴f (x )的递增区间为[16k －6,16k ＋2]，k ∈Z .。

1.3 三角函数的图象与性质 1.3.1 正弦函数的图象与性质（1）5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.用“五点法”画y=sinx ，x ∈［0，2π］的简图时，正确的五个点应为（ ）A.（0，0），（2π，1），（π，0），（23π，-1），（2π，0）B.（0，0），（2π-，-1），（-π，0），（23π-，1），（-2π，0）C.（0，1），（2π，0），（π，1），（23π，-1），（2π，-1）D.（0，-1），（2π-，0），（π，-1），（23π，0），（2π，0）提示：在［0，2π］上，y=sinx 有三个零点、一个最大值点和一个最小值点.答案：A2.正弦函数y=sinx 的单调增区间是（ ）A.［2kπ，2kπ+π］，k ∈ZB.［2kπ-2π，2kπ+2π］，k ∈Z C.［2kπ+π，2kπ+2π］，k ∈Z D.［2kπ+2π，2kπ+23π］，k ∈Z解析：由正弦函数的图象性质可直接选择B 项.答案：B3.函数y=2sin2x 为（ ）A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数 解析：根据奇函数的定义f （-x ）=-f （x ）知，函数y=2sin2x 是奇函数. 答案：A4.函数y=sinx+4的值域为_______________________.解析：因为sin ｘ的最大值为1，最小值为-1，所以sin ｘ+4的值域为［3，5］. 答案：［3，5］10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.y=sinx 的图象的大致形状是图1-3-1中的（ ）图1-3-1答案：B2.在［0，2π］上，满足sinx≥21的x 取值范围是（ ） A.［0，6π］ B.［6π，65π］C.［6π，32π］ D.［65π，2π］解析：由正弦函数y=sinx 的图象知，当x ∈［6π，65π］时，sinx≥21.答案：B 3.函数y=sin （42π+-x ）的最小正周期是（ ） A.π B.2π C.4π D.2π 解析：y=sin （2x -+4π）=-sin （2x -4π），ω=21，所以周期T=ωπ2=4π. 答案：C 4.比较大小: （1）sin47_________________cos 35； （2）sin （18π-）_________________sin （10π-）.解析：（1）∵cos 35=sin （2π+35），又2π＜47＜2π+35＜23π，y=sinx 在［2π，23π］上是减函数，∴sin 47＞sin （2π+35）=cos 35， 即sin 47＞cos 35.（2）∵-18102πππ-<-<-＜0，sinx 在［2π-，0］上是增函数， ∴sin （18π-）＞sin （10π-）.答案：（1）＞ （2）＞5.若sinx=321+-m m ，且x ∈［6π-，6π］，则m 的取值范围是_________________.解析：因为x ∈［6π-，6π］，所以|sinx|≤21，即｜321+-m m ｜≤21⇒2｜1-m ｜≤｜2m+3｜.所以4（1-m ）2≤（2m+3）2⇒m≥-41.答案：［41-，+∞)6.求函数f （x ）=cos 2x+sinx 在区间［4π-，4π］上的最小值.解：∵f （x ）=cos 2x+sinx=-sin 2x+sinx+1=-（sinx 21-）2+45，∵4π-≤x≤4π，∴22-≤sinx≤22. ∴当sinx=22-时， f （x ）min =-（22-21-）2+45=221-. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.已知a=sin1019π，b=cos （1013π-），c=sin 1013π，d=cos 1029π，则a 、b 、c 、d 的大小关系为（ ）A.a ＞b ＞c ＞dB.a ＜b ＜c ＜dC.a ＞c ＞b ＞dD.a ＜c ＜b ＜d解析：由题意，a=sin （2π-10π）=-sin 10π； b=cos （10132ππ-）=cos 5sin 107ππ-=；c=sin （π+103π）=-sin 103π；d=cos （3π-10π）=-cos 10π=-sin 52π.∵y=sinx 在［0，2π］上单调递增，∴y=-sinx 在［0，2π］上单调递减.又∵0＜10π＜5π＜103π＜52π＜2π，∴a ＞b ＞c ＞d.答案：A2.已知α、β∈（0，2π），且cosα＞sinβ，则α+β与2π的大小关系是（ ） A.α+β＞2π B.α+β＜2πC.α+β≥2πD.α+β≤2π解析：因为α、β∈（0，2π）,则2π-α∈（0，2π），又cosα＞sinβ，所以sin （2π-α）＞sinβ，而sinx 在（0，2π）上是增函数，所以2π-α＞β，故α+β＜2π.答案：B3.(2006高考江西卷,文2)函数y=4sin(2x+3π)+1的最小正周期为（ ）A.2πB.πC.2πD.4π 解析：最小正周期为T=22π=π.答案：B4.已知y=f （x ）是周期为2π的函数，当x ∈［0，2π］时，f （x ）=sin 2x ，则f （x ）=21的解集是（ ）A.｛x ｜x=2kπ+3π，k ∈Z ｝ B.｛x ｜x=2kπ+35π，k ∈Z ｝C.｛x ｜x=2kπ±3π，k ∈Z ｝D.｛x ｜x=2kπ+（-1）k 3π，k ∈Z ｝解析：当x ∈［0，2π］时，由sin 2x =21得2x =6π或65π，即当x ∈［-π，π］时，2x =6π或6π-，所以x=3π或3π-.所以x=2kπ±3π（k ∈Z ）.答案：C5.定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数，若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈（0，2π）时，f （x ）=sinx ，则f(35π)的值为（ ）A.21-B.21C.23-D.23解析：f （35π）=f （π+32π）=f （32π）=f （π-3π）=f （-3π）=f （3π）. ∵当x ∈［0，2π］时，f （x ）=sinx,∴f （3π）=sin 3π=23,f(35π)= 23.答案：D6.观察正弦曲线，得到不等式sinx ＞1在区间［0，π］内的解集为（ ） A.［0,π］ B.{2π} C.∅ D.{0,2π,π} 解析：∵sinx 的值不大于1, ∴sinx ＞1的解集为∅. 答案:C7.下列四个函数中，既是（0，2π）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ ） A.y=｜sin2x ｜ B.y=sin2x C.y=｜sinx ｜ D.y=sinx 解析：y=｜sinx ｜的图象如图，符合题目要求.答案：C8.函数y=sinx-|sinx|的值域为_________________. 解析：y=⎩⎨⎧+<<++≤≤πππππππ222,sin 2,22,0k x k x k x k （k ∈Z ），∴y ∈［-2，0］.答案：［-2，0］9.函数y=2sin （4π-x ）的单调增区间是_________________. 解析：y=2sin （4π-x ）化为y=-2sin （x 4π-）.∵y=sinu （u ∈R ）的单调减区间是［2kπ+2π，2kπ+23π］（k ∈Z ）,∴y=-2sin （x-4π）的单调增区间由下面的不等式确定:2kπ+2π≤x -4π≤2kπ+23π（k ∈Z ）,得2kπ+43π≤x≤2kπ+47π（k ∈Z ）.故函数y=2sin （4π-x ）的单调增区间是［2kπ+43π，2kπ+47π］（k ∈Z ）.答案：［2kπ+43π，2kπ+47π］（k ∈Z ）10.求函数y=2cos 2x+5sinx-4的最大值和最小值. 解：y=2cos 2x+5sinx-4=-2sin 2x+5sinx-2=-2（sinx-45）2+89， ∵sinx ∈［-1，1］,∴当sinx=-1,即x=2kπ-2π（k ∈Z ）时，y 有最小值-9， 当sinx=1即x=2kπ+2π（k ∈Z ）时，y 有最大值1.11.若函数f （n ）=sin 6πn （n ∈Z ），求f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2 008）的值.解：∵sin 6πn =sin(6πn +2π)=sin 612+n π,∴f （n ）=f （n+12）. ∴f(n)=sin6πn 是周期函数,周期为12.又∵f （1）+f （2）+f （3）+…+f （12）=0，且2 008=12×167+4,∴f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2 008）=f （1）+f （2）+f （3）+f （4） =sin 6π+sin 62π+sin 63π+sin 64π=23+3.。

第 2 课时正弦型函数y=A sin(ωx+φ)课时过关 ·能力提高1.已知函数f(x)= sin(ω> 0)的最小正周期为π,则该函数的图象()A .对于点对称B .对于直线x= 对称C.对于点对称 D .对于直线x= 对称分析 :由已知得= π,因此ω=2,即 f(x) =sin.又 f= 0,因此 f(x) 的图象对于点对称.答案 :A2.为了获得函数y= sin的图象,只要把函数y= sin的图象()A .向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度分析 :y= sin y= sin= sin.答案 :B3.函数 y= 2sin的单一递加区间是()A .(k∈ Z)B.(k∈ Z)C.(k∈ Z)D.(k∈ Z )答案 :B4.已知正弦函数在一个周期内的图象如下图,则它的表达式应为()A. y= sinB.y= sinC.y= sinD.y= sin答案 :A5.先将函数y=f (x)图象上全部点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到本来的 2 倍 ,再将整个图象沿 x 轴向左平移个单位长度,获得的曲线与y= sin x 的图象同样 ,则 y=f ( x)的表达式为 ()A. y= sinB.y= sinC.y= sinD.y= sin分析 :依据题意 ,将 y= sin x 的图象沿x 轴向右平移个单位长度后获得y= sin的图象,再将此函数图象上各点的横坐标缩短为本来的,纵坐标不变 ,获得y= sin的图象,即得y=f (x)的分析式 .答案 :D6.对于函数f(x)= sin,有以下命题 :①函数的图象对于直线x=-对称;②函数的图象对于点对称;③函数的图象可看作是把y=sin 2 x 的图象向左平移个单位长度而获得;④函数的图象可看作是把y= sin的图象上全部点的横坐标缩短到本来的(纵坐标不变 )而获得 .此中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案 :C★7.已知函数 f(x) =sin,此中 k≠ 0,当自变量 x 在任何两个整数间(包含整数自己)变化时 ,起码含有 1 个周期 ,则最小的正整数k 是()A.60B.61C.62D.63分析 :∵k≠0,∴函数 f(x)= sin的周期T=.又 T≤1,∴|k| ≥20π>62.8.∴最小的正整数k= 63.答案 :D8.已知函数y=A sin(ωx+ φ)(A> 0,ω>0,0< φ< π)的图象中最高点(距原点近来 )的坐标是 (2, ),由这个最高点到相邻最低点的曲线与x 轴交于点 (6,0), 则此函数的分析式应为.答案 :y=sin★9.设ω> 0,且函数 f(x)= sin ωx 在上单一递加,则ω的取值范围是.分析 :由于 x∈,ω> 0,ωx∈∴∴0<ω≤. ,答案 :10.对于函数f(x)= 4sin(x∈R )有以下命题 :①由 f( x1)=f (x2)=0,可得 x1-x2必是π的整数倍 ;②y=f (x)的表达式可改写为y=4cos;③y=f (x)的图象对于点对称;④y=f (x)的图象对于直线x=-对称.此中真命题的序号是(注 :把你以为正确的命题的序号都填上).分析 :如下图为y=4sin的图象.函数图象与x 轴的交点平均散布,相邻的两个交点的距离为,故命题①不是真命题 ;函数f(x)的图象与x 轴的每一个交点,都是函数图象的一个对称中心,因此③是真命题 ;函数图象的对称轴都一定经过图象的最高点或最低点,因此直线x=-不是对称轴,故④不是真命题;由诱导公式可知4cos= 4sin= 4sin,因此命题②是真命题 .因此应填②③ .答案 :②③11.已知函数f(x)= 2sin.(1)求 f(x)的最大值 M、最小值 N 和最小正周期 T;(2)写出函数 f(x)图象的对称轴和对称中心 .解 :(1)M= 2,N=- 2,T== π.(2)令 2x+ =k π+ (k∈ Z),得 x=(k∈ Z),即对称轴是直线x=(k∈ Z).令 2x+ =k π(k∈ Z),得 x=(k∈ Z),即对称中心是(k∈ Z).★12.已知f(x)=- 2asin+ 2a+b ,x∈,能否存在常数a,b ∈ Q,使得f(x) 的值域为{ y|- 3≤y≤ -1}? 若存在 ,求出 a,b 的值 ;若不存在 ,请说明原因 .解 : 由于≤x≤ ,因此≤2x+,因此 -1≤sin.若存在这样的有理数a,b,则当 a> 0 时 ,因此当 a< 0 时 ,因此综上 ,a,b 存在 ,且 a=- 1,b= 1.。

、
、能够认识以上这些函数与正弦函数
过正弦函数
、明确
的
函数，
，称为
单位时间内往复振动的次数，
动的频率；
在函数中，
的图
的五
图象
的图象
倍得到的
为振幅变换
)
)的简图
X-
X+
其中
｜个单位长度而得到
置不一样，这一变换称为相位变换＝
sin＝
的图象
（当
（当
平移
sin
再作图
换称为周期变换
(ω>1
或伸长
1若将某函数的图象向右平移以后所得到的图象的函数式是
A＋)
y－D)
2＋
A向右平移个单位，横坐标缩小到原来的
B向左平移个单位，横坐标缩小到原来的
C向右平移个单位，横坐标扩大到原来的倍，纵坐标缩小到原来的向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标缩小到原来的
正弦型函数
=
＋的简图
=sin的图象（简图）。

1.3.1 正弦函数的图象与性质(二)一、基础过关1． 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π2． 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( )A ．5B ．10C ．15D ．20 3． 下列函数中，周期为2π的是( )A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝|sin x2|D ．y ＝|sin x | 4． 下列函数中，不是周期函数的是( )A ．y ＝sin x －1B ．y ＝sin 2xC ．y ＝|sin x |D ．y ＝sin |x |5． 已知f (x )＝sin(πx －π)－1，则下列命题正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数6． 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π4的最小正周期是_____． 7． 若f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝sin x ，求f (x )的解析式．8． 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ； (3)f (x )＝e sin x ＋e －sin xe sin x －e －sin x .二、能力提升9． 定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，0时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫－5π3的值为( )A ．－12B.12C ．－32D.3210．已知函数f (x )＝8sin ⎝⎛⎭⎫k 3x －π3－2的最小正周期不大于3，则正整数k 的最小值是________． 11．已知周期函数f (x )是奇函数，6是f (x )的一个周期，且f (－1)＝1，则f (－5)＝________. 12．判断函数f (x )＝ln(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性．三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝|2sin x ＋k |，x ∈R .(1)当k ＝0时，求f (x )的最小正周期；(2)当k ＝1时，作出函数f (x )的简图，借助图象判断f (x )的最小正周期．答案1．D 2.B 3.C 4.D 5.D 6.17．f(x)＝sin|x|，x∈R8．(1)奇函数(2)偶函数(3)奇函数9．D10.711.－112．解∵sin x＋1＋sin2x≥sin x＋1≥0，若两处等号同时取到，则sin x＝0且sin x＝－1矛盾，∴对x∈R都有sin x＋1＋sin2x>0.∵f(－x)＝ln(－sin x＋1＋sin2x)＝ln(1＋sin2x－sin x)＝ln(1＋sin2x＋sin x)－1＝－ln(sin x＋1＋sin2x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．13．解(1)当k＝0时，f(x)＝2|sin x|，函数图象如图所示：观察图象可知，当k＝0时，函数f(x)＝2|sin x|的周期为π.(2)当k＝1时，f(x)＝|2sin x＋1|，函数图象如图所示：观察图象可知，当k＝1时，函数f(x)＝|2sin x＋1|的周期仍为2π.。

【学习目标】1、“五点法”画y=Asin(ωx+φ)的图象；2、会用图象变换法由y=sinx 得y=Asin(ωx+φ)的图象. 【温故知新】回顾正弦函数y=sinx 的图像，定义域、值域、周期。

1、“五点法”作图【设计意图】复习回顾，直接切入研究的课题。

（板书课题：函数的图象）【新知梳理】在正弦型函数)sin(ϕω+=x A y 中， 叫振幅， 叫周期， 叫频率，叫相位， 叫初相。

【课堂探究】 建构数学 自主探究：自主探究：用“五点法”在同一直角坐标系画出x y sin 2=，x y sin 21=与x y sin =的图像，并观察它们图像之间的关系。

【设计意图】观察函数x y sin 2=，x y sin 21=与x y sin =的图像得出参数 的作用 一、A 的作用：研究x A y sin =与x y sin =图像的关系 例1、用“五点法”在同一直角坐标系画出x y sin 2=，x y sin 21=与x y sin =的图像，并观察它们图像之间的关系。

【跟踪训练】1、 函数x y sin 4=怎样由x y sin =变换得到？2、求函数y=8sinx 的最大值、最小值和最小正周期。

【设计意图】通过练习熟练掌握A 在正弦型函数中所起到作用。

二、ω的作用：研究x y ωsin =与x y sin =图像的关系 例2、用“五点法”在同一直角坐标系画出x y 2sin =，x y 21sin =与x y sin =的图像，并观察它们图像之间的关系。

【设计意图】观察函数x y 2sin =，x y 21sin =与x y sin =的图像得出参数ω的作用 【跟踪训练】1、 函数x y 4sin =怎样由x y sin =变换得到？2、求函数4sinxy =的最大值、最小值和最小正周期。

【设计意图】通过练习熟练掌握ω在正弦型函数中所起到作用。

三、ϕ的作用：研究)sin(ϕ+=x y 与x y sin =图像的关系 例3、用“五点法”在同一直角坐标系画出)3sin(π+=x y ，)4sin(π-=x y 与x y sin =的图像，并观察它们图像之间的关系。

1.3.1正弦函数的图象与性质(二)学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sin x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一函数的周期性思考1如果函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，那么3是f(x)的周期吗？思考2所有的函数都具有周期性吗？思考3周期函数都有最小正周期吗？梳理函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个____________，使得定义域内的__________值，都满足__________，那么函数f(x)就叫做周期函数，____________叫做这个函数的周期.(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个____________，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.知识点二正弦函数的周期性思考1证明函数y＝sin x是周期函数.思考2证明函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)是周期函数.梳理由sin(x ＋2k π)＝________(k ∈Z )知，y ＝sin x 是________函数，____________________是它的周期，且它的最小正周期是________.知识点三正弦函数的奇偶性正弦曲线：思考1观察正弦曲线的对称性，你有什么发现？思考2上述对称性反映出正弦函数有什么性质？如何从理论上加以验证？梳理对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是______函数，正弦曲线关于______对称.类型一三角函数的周期性例1求下列函数的最小正周期.(1)y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )；(2)y ＝|sin x |(x ∈R ).反思与感悟对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解.跟踪训练1求下列函数的周期.(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3；(2)y ＝|sin2x |.类型二三角函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1－sin x ＋2sin 2x 1＋sin x.反思与感悟判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称.关键点二：看f (x )与f (－x )的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.跟踪训练2判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (2)f (x )＝1－2sin x ＋2sin x －1.类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝⎛⎭⎫5π3的值.反思与感悟解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内.跟踪训练3若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求f ⎝⎛⎭⎫－5π6的值.类型四函数周期性的综合应用例4已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)的值.反思与感悟当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.跟踪训练4设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2015)＝________.1.函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为()A.π2B.πC .2πD .4π 2.下列函数中，周期为π的偶函数是()A.y ＝sin xB.y ＝sin2xC.y ＝|sin2x |D.y ＝1－cos 2x3.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是() A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数 4.函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为________. 5.若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝________.1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω. 2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性.答案精析问题导学知识点一思考1不一定．必须满足当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋3)＝f (x )，才可以说3是f (x )的周期．思考2不是．只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性．思考3周期函数不一定存在最小正周期．例如，对于常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )，所有非零实数T 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期． 梳理(1)非零常数T 每一个xf (x ＋T )＝f (x )非零常数T (2)最小的正数知识点二思考1∵sin(x ＋2π)＝sin x ，∴y ＝sin x 都是周期函数，且2π就是它们的一个周期．思考2由诱导公式一知，对任意x ∈R ，都有A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin[ω⎝⎛⎭⎫x ＋2πω＋φ]＝A sin(ωx ＋φ)， 即f ⎝⎛⎭⎫x ＋2πω＝f (x )， 所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期． 梳理sin x 周期2k π (k ∈Z 且k ≠0)2π知识点三思考1正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称．思考2正弦函数是R 上的奇函数．根据诱导公式，得sin(－x )＝－sin x ，对一切x ∈R 恒成立． 梳理奇原点题型探究例1解(1)令z ＝2x ＋π3，因为x ∈R ，所以z ∈R .函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π，即变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得．而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )的最小正周期是π. (2)因为y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)，－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z )． 其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.跟踪训练1解(1)T ＝2π|－12|＝4π. (2)T ＝π2. 例2解(1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， ∵f (－x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1. 解得定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }． ∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )，∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z . ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．跟踪训练2(1)奇函数(2)非奇非偶函数例3解∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. ∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝32.跟踪训练3解因为f (x )是以π2为周期的奇函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫－5π6＝f ⎝⎛⎭⎫－5π6＋π2＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π3＝－1. 例4解∵f (1)＝cos π3＝12， f (2)＝cos 2π3＝－12，f (3)＝cosπ＝－1， f (4)＝cos 4π3＝－12，f (5)＝cos 5π3＝12， f (6)＝cos2π＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0. 同理，可得每连续六项的和均为0. ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)＝f (2017)＋f (2018)＋f (2019)＋f (2020)＝cos 2017π3＋cos 2018π3＋cos 2019π3＋cos 2020π3 ＝cos π3＋cos 2π3＋cosπ＋cos 4π3＝12＋(－12)＋(－1)＋(－12) ＝－32. 跟踪训练40当堂训练1．D2.D3.B4.±π5.22。

1.3.1 正弦函数的图象与性质(三)一、基础过关1． 若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定2． 函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A.[]－1，1 B.⎣⎡⎦⎤－54，－1C.⎣⎡⎦⎤－54，1D.⎣⎡⎦⎤－1，543． 函数y ＝|sin x |的一个单调增区间 是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π4． 下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°5． 函数y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋5π6(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z )6． 函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的单调增区间是________．7． 函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________．8． 求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.二、能力提升9． 已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C ．2 D ．310．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________．11．设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．12．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．三、探究与拓展13．欲使函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则ω的最小值是_____．答案1．D 2.C 3.C 4.C 5.A6.⎣⎡⎦⎤π2，π7.[0,2]8． (1)[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )(2)⎣⎡⎭⎫4k π＋5π3，4k π＋8π3，k ∈Z 9．B 10.sin 3<sin 1<sin 211．解 f (x )＝cos 2x ＋sin x＝1－sin 2x ＋sin x＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54. ∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22. ∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 12．解 ∵0≤x ≤π2， ∴－π3≤2x －π3≤23π， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1， f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1，f (x )min ＝2a ＋b ＝－5. 由⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63b ＝19－123. 13．1992π 解析 要使y 在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则y 在[0,1]上至少含49 34个周期， 即⎩⎨⎧ 49 34T ≤1T ＝2πω，解得ω≥1992π.。

1．3.1正弦函数的图象与性质第二课时正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)(1)函数y＝A sin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期、频率分别为多少？(2)将y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象怎样变换，能得到y＝sin x的图象？(3)函数y ＝A sin x ，x ∈R(A ＞0且A ≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？(4)函数y ＝sin ωx ，x ∈R(ω＞0且ω≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？[新知初探]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义[点睛] 当A ＜0或φ＜0时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的初相不是φ＝－π4. 2．φ，ω，A 对函数y ＝sin(x ＋φ)图象的影响 (1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响(2)ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响(3)A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响[点睛] (1)A 越大，函数图象的最大值越大，最大值与A 是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的最大值为A .( ) (2)函数y ＝3sin(2x －5)的初相为5.( )(3)由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象得到y ＝sin x 的图象，必须向左平移．( ) (4)把函数y ＝sin x 的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y ＝sin 3x 的图象．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6的周期、振幅、初相分别是( ) A ．3π，13，π6B ．6π，13，π6C ．3π，3，－π6D ．6π，3，π6答案：B3．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度 答案：A4．将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得________的图象．答案：y ＝sin 4x[典例] 说明y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样变换得到的． [解] [法一 先伸缩后平移]y ＝sin x 的图象――――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y＝－2sin 2x 的图象π−−−−−−−→12向右平移个单位长度y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――→向上平移1个单位长度y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象． [法二 先平移后伸缩]y ＝sin x 的图象――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象π−−−−−−−→6向右平移个单位长度y ＝－2sin x －π6的图象―――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――――→向上平移1个单位长度 y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤[活学活用]1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6向左平移π6个单位，可得到函数图象是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象π−−−−−−→6向左平移个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象．2．把函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位长度，向下平移1个单位长度，然后再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin x 的图象，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋1 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4－1 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π2－1解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象上每个点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin 2x 的图象，将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，再将所得图象向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＋1＝sin2x －π2＋1的图象．故选B.[典例] 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象的一部分，求此函数的解析式．[解] [法一 逐一定参法] 由图象知A ＝3， T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， ∴ω＝2πT＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图象上， ∴0＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ. ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z)．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法二 待定系数法]由图象知A ＝3.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，∴⎩⎨⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法三 图象变换法]由A ＝3，T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．[活学活用]如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0) 的图象的一部分，试求该函数的解析式． 解：由图可得：A ＝3，T ＝ 2|MN |＝π.从而ω＝2πT ＝2， 故y ＝3sin(2x ＋φ)，又∵2×π3＋φ＝2 k π，k ∈Z ，∴φ＝－2π3＋2 k π，k ∈Z.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. [典例] 在函数y ＝2sin ⎝⎭⎫4x ＋2π3的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．[解析] 设4x ＋2π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π4－π6(k ∈Z)∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3图象的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π4－π6，0(k ∈Z)． 取k ＝1得⎝⎛⎭⎫π12，0满足条件． [答案] ⎝⎛⎭⎫π12，0正弦型函数对称轴、对称中心的求法[活学活用]将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，则离y 轴最近的一条对称轴方程为________．解析：由4x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝k π4－π24， 取k ＝0时，x ＝－π24满足题意．答案：x ＝－π24[典例] 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ [解] 列表如下，描点、连线，图象如图所示．(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23， 所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.解三角函数应用问题的基本步骤[活学活用]通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.(1)求出该地区该时段的温度函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π，x ∈[)0，24)的表达式；(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋b ＝14，－A ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝8，b ＝6，易知T 2＝14－2，所以T ＝24，所以ω＝π12，易知8sin ⎝⎛⎭⎫π12×2＋φ＋6＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫π12×2＋φ＝－1， 故π12×2＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ， 又|φ|<π，得φ＝－2π3，所以y ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π12x －2π3＋6(x ∈[0,24))． (2)当x ＝9时，y ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π12×9－2π3＋6＝8sin π12＋6<8sin π6＋6＝10.所以届时学校后勤应该开空调．层级一 学业水平达标1．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6的函数表达式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6 C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 解析：选D 由最小正周期为2π3，排除A 、B ；由初相为π6，排除C.2．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向上平移π3个单位长度D ．向下平移π3个单位长度解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 3．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析：选A T ＝2πω＝2ππ3＝6，∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝12.∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6.4．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向左平移π个单位长度，则平移后的函数图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于直线x ＝π6对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称 解析：选A 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向左平移π个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，其对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π3，k ∈Z ，令k ＝0，得x ＝π3，故选A.5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32<0， 故可排除B 、D ；当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C. 6．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝________.解析：因为φ∈[0,2π)，所以把y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位长度得到y ＝sin (x ＋φ)的图象，而sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6－2π＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，即φ＝11π6. 答案：11π67.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________. 解析：由题意设函数周期为T ， 则T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3. ∴ω＝2πT ＝32.答案：328．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象――――――――――――→图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的5倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π3的图象． 答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π39．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝12sin x 的图象相同，求f (x )的解析式．解：反过来想，y ＝12sin x π−−−−−−−→2向右平移个单位长度y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π2−−−−−−−→1横坐标变为原来的倍2 y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，即f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2. 10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象的一段如图所示，求它的解析式．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期、频率、振幅、初相． 解：(1)由图象可知A ＝2，T 2＝5π6－π6＝2π3，∴T ＝4π3，ω＝2πT ＝32.将N ⎝⎛⎭⎫π6，－2代入y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋φ得， 2sin ⎝⎛⎭⎫32×π6＋φ＝－2，∴π4＋φ＝2k π－π2，φ＝2k π－3π4(k ∈Z)． ∵|φ|＜π，∴φ＝－3π4.∴函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x －3π4. (2)由(1)，知f (x )的最小正周期为4π3＝8，频率为34π，振幅为2，初相为－3π4. 层级二 应试能力达标1.如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间t (秒)满足关系式y ＝A sin(ωt ＋φ)＋2，则( )A ．ω＝152π，A ＝3 B ．ω＝2π15，A ＝3 C ．ω＝2π15，A ＝5 D ．ω＝152π，A ＝5 解析：选B 由题意知A ＝3，ω＝2π×460＝2π15.2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析：选B 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin 4⎝⎛⎭⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B.3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称解析：选A 依题意得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1，f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称，不关于点⎝⎛⎭⎫π4，0和点⎝⎛⎭⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4对称．故选A. 4．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π4B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 解析：选D 将原函数图象向右平移π4个单位长度，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤5⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4的图象．5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 解析：A ＝3＞0，故将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 答案：伸长 36．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案：227．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴、对称中心． 解：令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．令2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6(k ∈Z)．即对称轴为直线x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0(k ∈Z)．8.如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的一个周期内的图象． (1)写出f (x )的解析式；(2)若y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，写出g (x )的解析式；(3)指出g (x )的周期、频率、振幅、初相． 解：(1)由图知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8， ∴ω＝2πT ＝2π8＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入，得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. (2)作出与f (x )的图象关于直线x ＝2对称的图象(图略)，可以看出g (x )的图象相当于将f (x )的图象向右平移2个单位长度得到的，∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4(x －2)＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4. (3)由(2)知，g (x )的周期T ＝2ππ4＝8，频率f ＝1T ＝18，振幅A ＝2，初相φ0＝－π4.。

1.3.1 正弦函数的图象与性质(一)学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦曲线.知识点一 几何法作正弦曲线阅读课本了解在直角坐标系中，用正弦线比较精确地画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]内的图象的具体操作过程.思考 如何由y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象得到y ＝sin x ，x ∈R 的图象？梳理 (1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象叫做正弦曲线. (2)几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的操作流程.①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示.②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确).过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π2，…，2π等角的正弦线.③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份. ④找纵坐标：将正弦线对应平移，即可得到相应点的纵坐标.⑤连线：用平滑的曲线将这些点依次从左到右连接起来，即得到y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象.知识点二五点法作正弦曲线思考1同学们观察，在y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，起关键作用的点有几个？思考2如何用描点法画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象？梳理“五点法”作正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的步骤(1)列表(2)描点画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是_______________________.(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图.类型一“五点法”作图的应用例1利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图.反思与感悟作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sin x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法.跟踪训练1 用“五点法”画出函数y ＝12＋sin x ，x ∈[0,2π]的简图.类型二 利用正弦函数图象求定义域例2 求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域.反思与感悟 一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.跟踪训练2 求函数y ＝log 21sin x－1的定义域.1.用“五点法”作y ＝2sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A.0，π2，π，3π2，2πB.0，π4，π2，3π4，πC.0，π，2π，3π，4πD.0，π6，π3，π2，2π32.下列图象中，y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象是( )3.y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与y ＝32的交点的个数是________.4.函数y ＝2sin x －1的定义域为____________.5.请用“五点法”画出函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象.1.对“五点法”画正弦函数图象的理解(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图. (2)正弦函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x 轴的交点. 2.作函数y ＝a sin x ＋b 的图象的步骤3.用“五点法”画的正弦函数在一个周期[0,2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出.答案精析问题导学 知识点一思考 因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π)，k ∈Z 且k ≠0的图象，与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象的形状完全一致．于是我们只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象．知识点二思考1 五个关键点(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． 思考2 在精确度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出 (0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，这种方法叫做“五点法”．梳理 (2)(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0) 题型探究例1 解 (1)取值列表：描点连线，如图所示．跟踪训练1 解 取值列表如下：描点、连线，如图所示．例2 解 由题意，得x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，16－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，－4≤x ≤4， 作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得x ∈[－4，－π)∪(0，π)．跟踪训练2 解 为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即0<sin x ≤12.由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，可得函数的定义域为{x |2k π<x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z }．当堂训练1．B 2.D 3.2 4.[π6＋2k π，5π6＋2k π]，k ∈Z5．解 令X ＝2x －π6，则x 变化时，y 的值如下表：描点画图：将函数在⎣⎡⎦⎤π12，13π12上的图象向左、向右平移即得y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象．。