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课时分层作业(十六) 数乘向量(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋12b ＋c －⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋34b －c 等于( )A ．a －14b ＋2c B ．5a －14b ＋2c C ．a ＋54b ＋2cD ．5a ＋54bA [⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋12b ＋c －⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋34b －c ＝(3a －2a )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －34b ＋(c ＋c )＝a －14b ＋2c.故选A.]2．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD →D ．2AO →＝OD →A [由2OA →＋OB →＋OC →＝0，得OB →＋OC →＝－2OA →，又因为OB →＋OC →＝2OD →，所以AO →＝OD →.]3．下列给出四个命题，其中正确的命题个数是( ) ①对于实数m 和向量a 、b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ； ②对于实数m 、n 和向量a ，恒有(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b (m ∈R ，m ≠0)，则a ＝b ； ④若m a ＝n a (a ≠0)，则m ＝n . A ．1 B ．2 C ．3D ．4D [①②两命题考查数和向量运算的运算律，正确；③中m a ＝m b ，则a 、b同向，而模又相等，故正确；④中表示相等向量则其模必定相等，故正确．]4．若向量方程2x －3(x －2a )＝0，则向量x 等于( ) A ．65a B ．－6a C ．6aD ．－65aC [由题意得：2x －3x ＋6a ＝0， 所以有x ＝6a .]5．设P 是△ABC 所在平面内一点，且BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0D.P A →＋PB →＋PC →＝0 B [因为BC →＋BA →＝2BP →，所以点P 为线段AC 的中点，故选项B 正确．] 二、填空题6．已知P 1P →＝23PP 2→，若PP 1→＝λP 1P 2→，则λ等于________． －25 [因为P 1P →＝23PP 2→， 所以－PP 1→＝23(PP 1→＋P 1P 2→)， 即PP 1→＝－25P 1P 2→＝λP 1P 2→， 所以λ＝－25.]7．已知|a |＝6，b 与a 的方向相反，且|b |＝3，a ＝m b ，则实数m ＝__________. －2 [|a ||b |＝63＝2，∴|a |＝2|b |，又a 与b 的方向相反， ∴a ＝－2b ，∴m ＝－2.]8．若AP →＝tAB →(t ∈R )，O 为平面上任意一点，则OP →＝________.(用OA →，OB →表示)(1－t )OA →＋tOB → [AP →＝tAB →，OP →－OA →＝t (OB →－OA →)， OP →＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →.] 三、解答题9．设a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，试用i ，j 表示向量23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b ). [解] 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )＝23(4a －3b )＋29b －16(6a －7b ) ＝83a －2b ＋29b －a ＋76b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋29＋76b ＝53a －1118b ＝53(3i ＋2j )－1118(2i －j ) ＝5i ＋103j －119i ＋1118j ＝349i ＋7118j .10.如图所示，OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.[解] BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →) ＝16(a －b )，所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b ， CN →＝13CD →＝16OD →，所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD → ＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b . MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .[等级过关练]1．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.23 B ．－23 C.25D.13 A [由题意知CD →＝CA →＋AD →， ① CD →＝CB →＋BD →，②且AD →＋2BD →＝0.①＋②×2得3CD →＝CA →＋2CB →， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.]2．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 B [因为MA →＋MB →＋MC →＝0， 所以MA →＋MA →＋AB →＋MA →＋AC →＝0，从而有AB →＋AC →＝－3MA →＝3AM →＝mAM →，故有m ＝3.]3．若OA →＝3e 1，OB →＝3e 2，且P 是线段AB 靠近点A 的一个三等分点，则向量OP →用e 1，e 2可表示为OP →＝________.2e 1＋e 2 [如图， OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB → ＝OA →＋13(OB →－OA →)＝13OB →＋23OA →＝13×3e 2＋23×3e 1＝2e 1＋e 2.]4．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．12 [由题意结合向量的运算可得 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC → ＝12AB →＋23(BA →＋AC →) ＝12AB →－23AB →＋23AC → ＝－16AB →＋23AC →.又由题意可知DE →＝λ1AB →＋λ2AC →， 则λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.]5．如图，M 、N 、P 分别是△ABC 三边BC 、CA 、AB 上的点，且满足AP AB ＝BMBC ＝CN CA ＝14，设AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a 、b 表示MN →；(2)若点G 是△MNP 的重心，用a ，b 表示AG →. [解] (1)根据条件， MN →＝MC →＋CN →＝34BC →＋14CA → ＝34(AC →－AB →)－14AC → ＝－34AB →＋12AC → ＝－34a ＋12b .(2)MP →＝MN →＋NA →＋AP →＝－34a ＋12b －34b ＋14a ＝－12a －14b . 如图，连接AG ，MG ，G 为△MNP 的重心，则MG →＝13(MN →＋MP →) ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫－34a ＋12b －12a －14b ＝－512a ＋112b ， ∴AG →＝AP →＋PM →＋MG → ＝14a ＋12a ＋14b －512a ＋112b ＝13a ＋13b .。
课时分层作业(十六）数乘向量(建议用时:6０分钟)［合格基础练]一、选择题1.化简：错误!未定义书签。
－错误!等于（ )A.ａ－错误!未定义书签。
ｂ＋2cB.5a－错误!未定义书签。
b+2ｃＣ．a＋错误!未定义书签。
b＋2cﻩＤ.5a+错误!bA［错误!未定义书签。
－错误!未定义书签。
=（3a-2a)＋错误!未定义书签。
+（c＋c)=a－14b＋2c.故选A.]2．已知O是△AＢC所在平面内一点,D为BＣ边中点,且2错误!未定义书签。
+错误!＋错误!未定义书签。
＝０,那么( )A．错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
B。
错误!＝2错误!未定义书签。
C。
错误!未定义书签。
=3错误!ﻩ D.２错误!=错误!A[由２错误!未定义书签。
＋错误!未定义书签。
＋错误!未定义书签。
=０,得错误!+错误! =－２错误!未定义书签。
，又因为错误!＋错误!未定义书签。
＝2错误!未定义书签。
,所以错误!未定义书签。
＝错误!．]3.下列给出四个命题，其中正确的命题个数是()①对于实数m和向量a、b，恒有m（a－b)＝ｍa-ｍb;②对于实数ｍ、n和向量ａ,恒有（ｍ-n)a＝ｍａ－ｎa；③若m a＝m b（m∈R,ｍ≠0)，则a＝b;④若ｍa＝n a(ａ≠0）,则m＝ｎ。
Ａ.１ﻩＢ.2C．3ﻩD．４D[①②两命题考查数和向量运算的运算律，正确；③中mａ＝m b,则a、b同向，而模又相等,故正确;④中表示相等向量则其模必定相等，故正确.]4．若向量方程2ｘ－３（ｘ-2ａ)=0，则向量ｘ等于（ )A.错误!未定义书签。
ａﻩB.－6aC．6aﻩ D.-错误!未定义书签。
aﻬC［由题意得:２x-3x＋6a＝0,所以有x=6a。
]5.设Ｐ是△AＢC所在平面内一点,且错误!+错误!=2错误!，则( )Ａ．错误!+错误!未定义书签。
=０Ｂ.错误!+错误!＝０C.错误!未定义书签。
+错误!=0D。
错误!＋错误!未定义书签。
+错误!＝0B [因为错误!未定义书签。
人B版高中数学必修4同步习题目录第1章1.1.1同步练习第1章1.1.2同步练习第1章1.2.1同步练习第1章1.2.2同步练习第1章1.2.3同步练习第1章1.2.4同步练习第1章1.3.1第一课时同步练习第1章1.3.1第二课时同步练习第1章1.3.2第一课时同步练习第1章1.3.2第二课时同步练习第1章1.3.3同步练习第1章章末综合检测第2章2.1.1同步练习第2章2.1.3同步练习第2章2.1.4同步练习第2章2.1.5同步练习第2章2.2.2同步练习第2章2.2.3同步练习第2章2.3.2同步练习第2章2.3.3同步练习第2章2.4.2同步练习第2章章末综合检测第3章3.1.1同步练习第3章3.1.2同步练习第3章3.1.3同步练习第3章3.2.1同步练习第3章3.2.2同步练习第3章3.3同步练习第3章章末综合检测模块综合检测人教B版必修4同步练习1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，再顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝()A．150°B．－150°C．390°D．－390°解析：选B.∠AOC＝120°－270°＝－150°.2．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}解析：选C.∵－457°＝－2×360°＋263°∴与－457°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}．3．在0°～360°之间与－35°终边相同的角是()A．325°B．－125°C．35°D．235°解析：选A.∵－35°＝(－1)×360°＋325°∴0°～360°之间与－35°终边相同的角是325°.4．将－885°化为α＋k·360°(k∈Z,0°≤α<360°)的形式是________．解析：－885°＝(－3)×360°＋195°答案：195°＋(－3)×360°一、选择题1．下列说法中正确的是()A．第一象限角一定不是负角B．－831°是第四象限角C．钝角一定是第二象限角D．终边与始边均相同的角一定相等解析：选C.－330°＝－360°＋30°，所以－330°是第一象限角，所以A错误；－831°＝(－3)×360°＋249°，所以－831°是第三象限角，所以B错误；0°角，360°角终边与始边均相同，但它们不相等，所以D错误．2．(2011年杭州高一检测)下列各角中，与角330°的终边相同的角是()A．510°B．150°C．－150°D．－390°解析：选D.330°＝360°＋(－30°)，－390°＝－360°＋(－30°)．∴330°角与－390°角终边相同．3．若α是第一象限角，则下面各角中是第四象限角的是()A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α解析：选C.α为第一象限角，那么－α为第四象限角，而360°－α与－α的终边相同．4．已知角α是第三象限的角，则角－α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B.因为α是第三象限的角，所以k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，则－k·360°－270°<－α<－k·360°－180°，k∈Z，所以－α所在范围与(－270°，－180°)范围相同．所以－α的终边在第二象限．故选B.5．若α＝45°＋k ·180°(k ∈Z )，则α的终边所在的象限为( ) A ．第一或第三象限 B ．第二或第三象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限解析：选A.当k 为奇数时，α为第三象限角，当k 为偶数时，α为第一象限角． 6．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( ) A.143 π B ．－143 π C.718 π D ．－718 π 解析：选B.显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的13，用弧度制表示就是－4π－13×2π＝－143π.故选B.此题一定要记住分针顺时针旋转形成负角．二、填空题7．已知：①1240°，②－300°，③420°，④－1420°，其中是第一象限角的为________(填序号)．解析：1240°＝160°＋3×360°，所以1240°为第二象限角， －300°＝60°＋(－1)×360°，所以－300°为第一象限角， 420°＝60°＋360°，－1420°＝20°＋(－4)×360°， 所以420°、－1420°也为第一象限角． 答案：②③④8．若将时钟拨慢5分钟，则分针转了________度，时针转了________度．解析：注意时钟指针转动方向应为顺时针，所以拨慢为逆时针形成正角，分针每分钟转过的度数为360°60＝6°，而时针每分钟转过的度数为30°60＝0.5°.答案：30 2.59．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________.解析：因为5α与α始边、终边分别相同， 所以5α＝α＋k ·360°，k ∈Z ， 所以α＝k ·90°. 又因为180°<α<360°，∴α＝270°. 答案：270° 三、解答题 10．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角： (1)－120°；(2)660°；(3)－950°08′. 解：(1)∵－120°＝240°－360°， ∴在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限的角； (2)∵660°＝300°＋360°， ∴在0°～360°范围内，与660°角终边相同的角是300°角，它是第四象限的角； (3)∵－950°08′＝129°52′－3×360°， ∴在0°～360°范围内，与－950°08′终边相同的角是129°52′，它是第二象限的角． 11. 如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OM 上； (2)终边落在直线OM 上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解析：(1)终边落在射线OM 上的角的集合A ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }． (2)终边落在射线OM 上的角的集合为A ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }，终边落在射线OM 反向延长线上的角的集合为B ＝{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }，所以终边落在直线OM 上的角的集合为：A ∪B ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．(3)同理可得终边落在直线ON 上的角的集合为{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }，所以终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为：{α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．12．如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A (1,0)按逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒回到A 点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．解：根据题意可知14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m ·360°，m ∈Z,14β＝n ·360°，n ∈Z .由于两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，又由0°<α<β<180°，知0°<2a <2β<360°，进而知2α，2β都是钝角，即90°<2α<2β<180°，即45°<α<β<90°，∴45°<α＝m7·180°<90°，45°<β＝n 7·180°<90°，∴74<m <72，74<n <72.∵α<β，∴m <n ，又m ，n ∈Z ，∴m ＝2，n ＝3，∴α＝(3607)°，β＝(5407)°人教B 版必修4同步练习1．下列命题中，真命题是( ) A ．1弧度是一度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是一度的弧与一度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小解析：选D.根据1弧度的定义，对照各选项，可知D 为真命题．2．把－8π3化成角度是( )A ．－960°B ．－480°C ．－120°D ．－60°解析：选B.－8π3＝－83×180°＝－480°.3．把－300°化为弧度是( )A ．－4π3B ．－5π3C ．－7π4D ．－7π6解析：选B.－300°＝－300×π180＝－53π.4．圆的半径是6 cm ，则圆心角为π12的扇形面积是________ cm 2.解析：S ＝12|α|r 2＝12×π12×62＝32π.答案：32π一、选择题1．－2912π的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.－2912π＝－4π＋1912π，1912π终边落在第四象限．2．在半径为5 cm 的圆中，圆心角为圆周角的23的角所对的圆弧长为( )A.4π3 cmB.20π3 cmC.10π3 cmD.50π3cm 解析：选B.圆心角θ＝23×2π＝4π3，由弧长公式知l ＝43π×5＝203π cm.3．已知α＝9 rad ，β＝10 rad ，下面关于α和β的说法中正确的是( ) A ．都是第一象限的角 B ．都是第二象限的角C ．分别是第二象限和第三象限的角D ．分别是第三象限和第四象限的角 解析：选C.法一：由1 rad ≈57°18′，故57°<1 rad<58°. 所以513°<9 rad<522°， 即360°＋153°<9 rad<360°＋162°.因此9 rad 是第二象限的角．同理，570°<10 rad<580°，360°＋210°<10 rad<360°＋220°. 因此10 rad 是第三象限的角．法二：π≈3.14，π2≈1.57，π2×5<9<3π，即9∈(2π＋π2，2π＋π)，故α为第二象限的角．同理，3π<10<3π＋π2，β为第三象限的角．4．(2011年沈阳高一检测)若弧度为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是( )A ．tan 1 B.1sin 1C.1sin 21D.1cos 1 解析：选C.如图所示，设∠AOB ＝2，AB ＝2.过点O 作OC ⊥AB 于C ，延长OC 交于D ，则∠AOC ＝12∠AOB ＝1，AC ＝12AB ＝1.在Rt △AOC 中，OA ＝AC sin ∠AOC ＝1sin 1.∴扇形的面积S ＝12|α|·OA 2＝12×2×1sin 21＝1sin 21.5．将－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( )A ．－π4－8π B.74π－8πC.π4－10πD.74π－10π 解析：选D.∵－1485°＝－5×360°＋315°，又2π rad ＝360°，315°＝7π4rad ，故－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是74π－10π.6．(2011年杭州高一检测)若角α与β的终边互相垂直，则α与β的关系是( ) A ．β＝α＋90° B ．β＝α±90° C ．β＝α＋k ·360°＋90°(k ∈Z ) D ．β＝k ·360°＋α±90°(k ∈Z )解析：选D.如图(1)，角α与β终边互相垂直，β＝α＋90°. 如图(2)，角α与β终边互相垂直，α＝β＋90°.由终边相同角的表示方法知：角α与β终边互相垂直则有β＝k ·360°＋α±90°(k ∈Z )． 二、填空题7．已知θ∈{α|α＝k π＋(－1)k ·π4，k ∈Z }，则角θ的终边所在的象限是________．解析：分k 为奇数与偶数讨论．当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，α＝(2n ＋1)π－π4，n ∈Z ，这时α为第二象限角．当k ＝2n ，n ∈Z 时，α＝2n π＋π4，n ∈Z ，这时α为第一象限角．综上：α的终边所在的象限是第一或第二象限． 答案：第一或第二象限 8．扇形的圆心角是72°，半径为5，它的弧长为________，面积为________．解析：∵72°＝25π rad ，∴l ＝25π×5＝2π.S ＝12l ·r ＝12×2π×5＝5π. 答案：2π 5π9．已知扇形的半径为r ，若它的周长等于弧所在圆的半圆周的长，则扇形的圆心角为________弧度，扇形的面积为________．解析：设扇形的圆心角为θ，则2r ＋rθ＝πr ，所以θ＝π－2，S 扇＝12r 2θ＝12r 2(π－2)．答案：π－2 12r 2(π－2)三、解答题10．判断下列各角所在的象限：(1)－4；(2)－2011π5.解：(1)因为－4＝－2π＋(2π－4)，而π2<2π－4<π，所以－4为第二象限角．(2)因为－2011π5＝－201×2π－π5，所以－2011π5为第四象限角．11．扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解：设该扇形AOB 的半径为r ，圆心角为θ，面积为S ，弧长为l .(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝812l ·r ＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1l ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3l ＝2.∴圆心角θ＝l r ＝61＝6或θ＝l r ＝23，∴圆心角的大小为23或6.(2)θ＝8－2r r，∴S ＝12·r 2·8－2r r＝4r －r 2＝－(r －2)2＋4，∴当r ＝2即θ＝8－42＝2时，S max ＝4(cm 2)．此时弦长AB ＝2×2sin 1＝4sin 1(cm)．∴扇形面积最大时，圆心角等于2弧度，弧长AB 为4sin 1 cm.12. 已知长为 3 dm ，宽为1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，使木块底面与桌面成30°角，求点A 走过的路程的长及走过的弧度所在扇形的总面积(如图所示)．解：在扇形ABA 1中，圆心角恰为π2，弧长l 1＝14·2π·AB ＝14·2π·3＋1＝π(dm)，面积S 1＝14·π ·AB 2＝14·π·4＝π(dm 2)． 在扇形A 1CA 2中，圆心角亦为π2，弧长l 2＝14·2π·A 1C ＝14·2π·1＝π2(dm)，面积S 2＝14·π·A 1C 2＝14π·12＝π4(dm 2)．在扇形A 2DA 3中，圆心角为π－π2－π6＝π3，弧长l 3＝16·2π·A 2D ＝16·2π·3＝33π(dm)．面积S 3＝16·π·A 2D 2＝16·π·(3)2＝π2(dm 2)．点A 走过路程的长l ＝l 1＋l 2＋l 3＝π＋π2＋3π3＝(9＋23)π6(dm)，点A 走过的弧所在的扇形的总面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＝π＋π4＋π2＝7π4(dm 2)．人教B 版必修4同步练习1．角α的终边上有一点P (1，－1)，则sin α的值是( ) A.π2 B ．－22C ．±22D ．1解析：选B.利用三角函数定义知：sin α＝y r ＝－112＋(－1)2＝－22. 2．若sin α>0，tan α<0，则α为( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角解析：选B.由sin α>0知α终边在第一、二象限或在y 轴正半轴上， 由tan α<0知α终边在第二、四象限， 综上知α为第二象限角． 3．sin2cos3tan4的值为( ) A ．负数 B ．正数 C ．0 D ．不存在 解析：选A.因为2,3,4弧度分别是第二、二、三象限的角，所以sin2>0，cos3<0，tan4>0，所以sin2cos3tan4<0.4．若点P (2m ，－3m )(m <0)在角α的终边上，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________，sec α＝________，csc α＝________，cot α＝________.解析：∵m <0，∴r ＝(2m )2＋(－3m )2＝－13m ，∴sin α＝y r ＝－3m －13m ＝31313；cos α＝x r ＝2m －13m ＝－21313；tan α＝y x ＝－3m 2m ＝－32；sec α＝r x ＝－132；csc α＝r y ＝133；cot α＝x y ＝－23；答案：31313 －21313 －32 －132 133 －23一、选择题1．设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{sin0，cosπ}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{0,1} D ．{－1,0} 解析：选D.B ＝{sin0，cosπ}＝{0，－1}， ∴A ∩B ＝{0，－1}． 2．若600°角的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( ) A ．4 3 B ．－4 3 C ．±4 3 D. 3 解析：选B.在坐标系中把600°角的终边找到，看其在第几象限，再利用数形结合思想来求a 的值．因为600°＝360°＋240°，所以600°的终边与240°的终边重合，如图所示，设P (－4，a )，作PM ⊥x 轴于M ，则－|OM |＝－4，∠MOP ＝60°，－|MP |＝a ＝－4 3.3．(2011年临沂高三模拟)在△ABC 中，若sin A cos B tan C <0，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．锐角或钝角三角形 解析：选B.∵0<A <π，0<B <π，0<C <π，sin A ·cos B ·tan C <0 ∴cos B ·tan C <0∴cos B 与tan C 异号，∴B 、C 中有一个角为钝角， ∴△ABC 为钝角三角形． 4．已知cos θ·tan θ<0，那么θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角解析：选C.由cos θ·tan θ<0，知⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ<0，tan θ>0，或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0，tan θ<0，且θ不在坐标轴上，因此θ在第三或第四象限．5．若角α的终边在直线y ＝2x 上，则sin α的值为( )A ．±15B ．±55C ．±255D ．±12解析：选C.在α的终边上任取一点P (1,2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝25＝255；或者取P (－1，－2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝－25＝－255.6．(2011年湛江高一检测)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则a 的取值范围是( )A ．(－2,3)B ．[－2,3)C ．(－2,3]D ．[－2,3]解析：选C.由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －9≤0，a ＋2>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，a >－2. 即－2<a ≤3. 二、填空题7．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于________．解析：由题意P (m ，n )是角α终边上一点，sin α＝y r ＝n m 2＋n 2<0，∴n <0.又角α的终边与y ＝3x 重合， 故n ＝3m <0，∴m <0.由|OP |＝10，则m 2＋n 2＝10， 10m 2＝10，m 2＝1，∴m ＝－1.由n ＝3m ，∴n ＝－3. ∴m －n ＝－1－(－3)＝2. 答案：2 8．5sin90°＋2sin0°－3sin270°＋10cos180°＝________. 解析：∵sin90°＝1，sin0°＝0，sin270°＝－1，cos180°＝－1，∴原式＝－2. 答案：－29．函数y ＝tan x1＋sin x的定义域为________．解析：由1＋sin x ≠0得x ≠2k π－π2，k ∈Z ，要使tan x 有意义，需x ≠k π＋π2，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }．答案：{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }三、解答题10．已知角α的终边上一点P (－3，m )，且sin α＝24m ，求cos α，tan α的值．解：由于r ＝x 2＋y 2＝3＋m 2，又sin α＝y r ＝m 3＋m 2，由已知，得m 3＋m 2＝24m ，∴m ＝0或m ＝5，或m ＝－ 5. 当m ＝0时，r ＝3，y ＝0， ∴cos α＝－1，tan α＝0.当m ＝5时，r ＝22，y ＝5，∴cos α＝－64，tan α＝－153.当m ＝－5时，r ＝22，y ＝－5，∴cos α＝－64，tan α＝153.11．判断下列各式的符号： (1)α是第四象限角，sin α·tan α；(2)sin3·cos4·tan(－23π4)．解：(1)∵α是第四象限角， ∴sin α<0，tan α<0，∴sin α·tan α>0.(2)∵π2<3<π，π<4<3π2，∴sin3>0，cos4<0，∵－23π4＝－6π＋π4，∴tan(－23π4)>0，∴sin3·cos4·tan(－234π)<0.12．已知1|sin α|＝－1sin α，且lgcos α有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点是M (35，m )，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α<0，∴α是第三或第四象限角或终边在y 轴的负半轴上的角． 由lgcos α有意义可知cos α>0，∴α是第一或第四象限角或终边在x 轴的正半轴上的角 综上可知，角α是第四象限角．(2)∵|OM |＝1，∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45，由正弦函数的定义可知，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.人教B 版必修4同步练习1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在解析：选D.正弦函数和余弦函数的定义域是R ，所以任何角的正弦线、余弦线总是存在，正切函数的定义域不是R ，所以任何角的正切线不一定存在．2．角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为( ) A.π4或34π B.5π4或74π C.π4或54π D.π4或74π 解析：选C.由条件知sin α＝cos α，又0<α<2π，∴α＝π4或5π4.3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( ) A ．第一象限 B ．第一、二象限 C ．第三象限 D ．第一、三象限解析：选D.由正切线的定义知，当角α是第一、三象限的角时，正切线都在第一象限．4．不等式cos α≤12的解集为________．解析：画出单位圆，然后画出直线x ＝12，从图形中可以看出．答案：{α|2k π＋π3≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z }一、选择题1．下列命题中为真命题的是( )A ．三角形的内角必是第一象限的角或第二象限的角B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线都变成一个点C ．终边在第二象限的角是钝角D ．终边相同的角必然相等解析：选B.当三角形的角为90°时，不是象限角，∴A 不正确；B 正确；终边在第二象限的角的范围是2k π＋π2＜α＜2k π＋π，k ∈Z ，∴C 不正确；终边相同的角不一定相等，它们相差2π的整数倍，∴D 不正确．2．(2011年洋浦高一检测)若－3π4<α<－π2，则sin α、cos α、tan α的大小关系是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．tan α<sin α<cos αC ．cos α<sin α<tan αD ．sin α<cos α<tan α 解析：选D.如图，在单位圆中，作出－3π4<α<－π2内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线． 由图知，|OM →|<|MP →|<|AT →|，考虑方向可得MP →<OM →<AT →.3．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．[π6，5π6]C ．[π6，2π3]D ．[5π6，π]解析：选B.利用单位圆和三角函数线解不等式．如图所示，∠P 2OM 2＝π6，∠P 1OM 2＝5π6，|P 1M 1|＝|P 2M 2|＝12，则图中阴影部分为所求，即x ∈[π6，5π6]．4．在(0,2π)内使cos x >sin x >tan x 成立的x 的取值范围是( )A ．(π4，3π4)B ．(5π4，3π2)C ．(3π2，2π)D ．[3π2，7π4]解析：选C.在同一个单位圆中分别作出正弦线、余弦线、正切线，即可看出．5．(2011年聊城高一检测)如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称 解析：选A.利用单位圆中的余弦线即得．6．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c 解析：选D.如图，在单位圆O 中分别作出角57π、27π、27π的正弦线M 1P 1，余弦线OM 2、正切线AT .由57π＝π－27π知M 1P 1＝M 2P 2，又π4<27π<π2，易知AT >M 2P 2>OM 2， ∴cos 27π<sin 5π7<tan 2π7，故b <a <c . 二、填空题7．若θ∈(3π4，π)，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ<0；②sin θ－cos θ>0；③|sin θ|<|cos θ|；④sin θ＋cos θ>0.解析：若θ∈(3π4，π)则sin θ>0，cos θ<0，sin θ<|cos θ|，所以sin θ＋cos θ<0.答案：④8．若0≤sin θ<32，则θ的取值范围是________． 解析：画出单位圆及y ＝32即可答案：[2k π，2k π＋π3)∪(2k π＋2π3，2k π＋π](k ∈Z )9．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域是____________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0cos x ≥12，利用单位圆中的三角函数线得⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π (k ∈Z )2k π－π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，解得{x |2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )}．答案：{x |2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )}三、解答题 10．比较大小：(1)sin 2π3与sin 4π5；(2)tan 2π3与tan 4π5.解：如图所示，作出2π3对应的正弦线、正切线分别为AB 和EF .作出4π5对应的正弦线、正切线分别为CD 和EG .由图可知：|AB |>|CD |，|EF |>|EG |.又tan 2π3与tan 4π5均取负值，故sin 2π3>sin 4π5，tan 2π3<tan 4π5.11．求证：当α∈(0，π2)时，sin α<α<tan α.证明：如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P ，单位圆交x 轴正半轴于点A ，作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，作AT ⊥x 轴，交α的终边于点T ，由三角函数线定义，得sin α＝ON ＝MP ，tan α＝AT ， 又α＝AP 的长，∴S △AOP ＝12·OA ·MP ＝12sin α，S 扇形AOP ＝12·AP ·OA ＝12·AP ＝12α，S △AOT ＝12·OA ·AT ＝12tan α.又∵S △AOP <S 扇形AOP <S △AOT ，∴sin α<α<tan α.12．若α、β是关于x 的二次方程x 2＋2(cos θ＋1)x ＋cos 2θ＝0的两根，且(α－β)2≤8.求θ的范围．解：∵方程有两实根，∴Δ＝4(cos θ＋1)2－4cos 2θ≥0.∴cos θ≥－12①由根与系数的关系得α＋β＝－2(cos θ＋1)，α·β＝cos 2θ②又(α－β)2＝(α＋β)2－4αβ＝4(cos θ＋1)2－4cos 2θ＝8cos θ＋4≤8.∴cos θ≤12③综上知－12≤cos θ≤12如图所示，∴π3＋2k π≤θ≤2π3＋2k π或4π3＋2k π≤θ≤5π3＋2k π(k ∈Z )． ∴π3＋k π≤θ≤2π3＋k π(k ∈Z )．人教B 版必修4同步练习1．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )A ．－43 B.34C ．±34D ．±43解析：选A.∵α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－(45)2＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝45－35＝－43.2．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos160° B ．－cos160° C ．±cos160° D ．±|cos160°| 解析：选B.1－sin 2160°＝cos 2160°＝－cos160°.3．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )A ．0 B.34C ．1 D.54解析：选B.2sin α－cos αsin α＋2cos α＝2tan α－1tan α＋2＝34.4．若cos α＝－817，则sin α＝________，tan α＝________.解析：∵cos α＝－817<0，∴α是第二或第三象限角．若α是第二象限角，则sin α>0，tan α<0.∴sin α＝1－cos 2α＝1517，tan α＝sin αcos α＝－158.若α是第三象限角，则sin α<0，tan α>0.∴sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝sin αcos α＝158.答案：1517或－1517 －158或158一、选择题1．若α是第四象限的角，tan α＝－512，则sin α等于( )A.15 B ．－15 C.315 D ．－513解析：选D.∵tan α＝sin αcos α＝－512，sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝±513，又α为第四象限角，∴sin α＝－513.2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B.∵α为第三象限角，∴sin α<0，cos α<0，∴cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝－1－2＝－3.3．(2011年济南高一检测)A 为三角形ABC 的一个内角，若sin A ＋cos A ＝1225，则这个三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形解析：选B.∵sin A ＋cos A ＝1225，∴(sin A ＋cos A )2＝(1225)2＝144625，即1＋2sin A cos A ＝144625，∴2sin A cos A ＝－481625<0，∴sin A >0，cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形．4．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43 B.54C ．－34 D.45解析：选D.sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－25＝45.5．(tan x ＋cot x )cos 2x ＝( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos x D ．cot x解析：选D.(tan x ＋cot x )·cos 2x ＝(sin x cos x ＋cos x sin x )·cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x ·cos x ·cos 2x ＝cos x sin x＝cot x .6．使 1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α的范围是( )A ．{x |2k π－π＜α＜2k π，k ∈Z }B ．{x |2k π－π≤α≤2k π，k ∈Z }C ．{x |2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z }D ．只能是第三或第四象限的角解析：选A . 1－cos α1＋cos α＝ (1－cos α)21－cos 2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α，即sin α＜0，故{x |2k π－π＜α＜2k π，k ∈Z }．二、填空题7．计算1－2sin40°·cos40°sin40°－1－sin 240°＝________.解析：原式＝(sin40°－cos40°)2sin40°－cos 240°＝cos40°－sin40°sin40°－cos40°＝－1.答案：－18．已知tan α＝－3，则1－sin αcos α2sin αcos α＋cos 2α＝________.解析：1－sin αcos α2sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α－sin αcos α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α－tan α＋12tan α＋1＝(－3)2－(－3)＋12×(－3)＋1＝－135. 答案：－1359．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的值为________．答案：0三、解答题10．求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ·(1＋1tan θ)＝1sin θ＋1cos θ. 证明：左边＝sin θ(1＋sin θcos θ)＋cos θ·(1＋cos θsin θ)＝sin θ＋sin 2θcos θ＋cos θ＋cos 2θsin θ＝(sin θ＋cos 2θsin θ)＋(sin 2θcos θ＋cos θ)＝sin 2θ＋cos 2θsin θ＋sin 2θ＋cos 2θcos θ＝1sin θ＋1cos θ＝右边， ∴原式成立．11．在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝22，AC ＝2，AB ＝3，求tan A 的值．解：∵sin A ＋cos A ＝22，①∴(sin A ＋cos A )2＝12，即1＋2sin A cos A ＝12，∴2sin A cos A ＝－12.∵0°<A <180°，∴sin A >0，cos A <0. ∴sin A －cos A >0.∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝32，∴sin A －cos A ＝62.②①＋②，得sin A ＝2＋64.①－②，得cos A ＝2－64.∴tan A ＝sin A cos A ＝2＋64×42－6＝－2－ 3.12．是否存在一个实数k ，使方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个根是一个直角三角形两个锐角的正弦值．解：设这两个锐角为A ，B ， ∵A ＋B ＝90°，∴sin B ＝cos A ，所以sin A ，cos A 为8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个根．所以⎩⎨⎧ sin A ＋cos A ＝－3k4sin A cos A ＝2k ＋18①②②代入①2，得9k 2－8k －20＝0，解得k 1＝2，k 2＝－109，当k ＝2时，原方程变为8x 2＋12x ＋5＝0，Δ<0方程无解；将k ＝－109代入②，得sin A cos A ＝－1172<0，所以A 是钝角，与已知直角三角形矛盾．所以不存在满足已知条件的k .人教B 版必修4同步练习1．sin585°的值为( )A ．－22B.22 C ．－32D.32 解析：选A.sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－22. 2．cos(－225°)＋sin(－225°)等于( )A.22 B ．－22 C ．0 D. 2 解析：选C.cos(－225°)＋sin(－225°)＝cos225°－sin225° ＝cos(180°＋45°)－sin(180°＋45°)＝－cos45°＋sin45°＝－22＋22＝03．cos2010°＝( )A ．－12B ．－32C.12D.32 解析：选B.cos2010°＝cos(360°×5＋210°)＝cos210°＝cos(180°＋30°)＝－cos30°＝－32.4．tan 7π4－cos(－7π3)＋sin(－13π6)的值为________．解析：原式＝tan(2π－π4)－cos(－2π－π3)＋sin(－2π－π6)＝tan[2π＋(－π4)]－cos(2π＋π3)－sin(2π＋π6)＝－tan π4－cos π3－sin π6＝－1－12－12＝－2.答案：－2一、选择题1．sin(－236π)的值是( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析：选A.sin(－236π)＝sin(－4π＋π6)＝sin π6＝12.2．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( )A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3解析：选C.∵cos(π2＋φ)＝32，∴sin φ＝－32，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，故tan φ＝tan(－π3)＝－tan π3＝－ 3.3．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值等于( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1 D ．1解析：选A.由tan(5π＋α)＝m 得tan α＝m ，所以原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1，故选A.4．下列三角函数中，与sin π3数值相同的是( )①sin(n π＋43π) ②cos(2n π＋π6) ③sin(2n π＋π3)④cos[(2n ＋1)π－π6] ⑤sin[(2n ＋1)π－π3]，(n ∈Z )A ．①②B ．①②③C ．②③⑤D ．①③⑤解析：选C.①若n 为偶数，则sin(n π＋4π3)＝sin 4π3＝－sin π3；若n 为奇数，则sin(n π＋4π3)＝sin(π＋4π3)＝sin(2π＋π3)＝sin π3.④cos[(2n ＋1)π－π6]＝cos(π－π6)＝－cos π6≠sin π3.5．(2011年南昌高三模拟)设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)(a ，b ，α，β为常数)，且f (2010)＝－1，那么f (2011)等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.f (2010)＝a sin(2010π＋α)＋b cos(2010π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝－1，∴f (2011)＝a sin(2011π＋α)＋b cos(2011π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－(a sin α＋b cos β)＝－(－1)＝1.6．(2011年潍坊高一检测)已知a ＝tan(－7π6)，b ＝cos 234π，c ＝sin(－334π)，则a 、b 、c的大小关系是( )A ．b >a >cB ．a >b >cC ．b >c >aD ．a >c >b解析：选A.a ＝tan(－7π6)＝－tan 7π6＝－tan(π＋π6)＝－tan π6＝－33；b ＝cos 234π＝cos(6π－π4)＝cos π4＝22；c ＝sin(－334π)＝－sin 334π＝－sin(8π＋π4)＝－sin π4＝－22.∵22>－33>－22，∴b >a >c . 二、填空题7．已知cos(π6＋θ)＝33，则cos(11π6－θ)＝________.解析：cos(11π6－θ)＝cos[2π－(π6＋θ)]＝cos(π6＋θ)＝33.答案：338．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________.解析：令S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°，则S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21°＝cos 21°＋cos 22°＋cos 23°＋…＋cos 289°，∴2S ＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 289°＋cos 289°)＝89，∴S ＝892.答案：8929．若α∈(－π2，0)，且sin(2π＋α)＝log 814，则tan(2π－α)＝________.解析：∵sin(2π＋α)＝log 814＝－23，∴sin α＝－23.∵α∈(－π2，0)，∴cos α＝53，∴tan(2π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝－－2353＝255.答案：255三、解答题10．求tan(－35π6)sin(－46π3)－cos 37π6tan 55π6的值．解：原式＝tan(4π＋11π6)sin(14π＋4π3)－cos(6π＋π6)·tan(9π＋π6)＝tan(2π－π6)sin(π＋π3)－cosπ6tan π6＝tan π6sin π3－sin π6＝33×32－12＝0. 11．已知cos(75°＋α)＝13，α为第三象限角，求cos(105°－α)sin(α－105°)的值． 解：由于cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin(105°－α) ＝－sin[180°－(75°＋α)]＝－sin(75°＋α)．由于cos(75°＋α)＝13>0，α为第三象限角，那么75°＋α为第四象限角，则sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α)＝－1－(13)2＝－223，所以cos(105°－α)sin(α－105°)＝(－13)×(223)＝－229.12．已知f (α)＝cos (π2＋α)·cos (2π－α)·sin (－α＋3π2)sin (－π－α)·sin (3π2＋α).(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．解：(1)原式＝－sin α·cos (－α)·[－sin (π2－α)]sin (π＋α)·sin (π2＋α)＝sin α·cos α·cos α－sin α·cos α＝－cos α.(2)∵cos(α－3π2)＝－sin α，∴sin α＝－15，又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－(－15)2＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265.人教B 版必修4同步练习1．函数y ＝2sin(x 2＋π5)的周期、振幅依次是( )A ．4π，－2B ．4π，2C ．π，2D ．π，－2解析：选B.振幅为2，周期为2π12＝4π.2．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π6)的图象，则φ等于( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π6 解析：选D.∵φ∈[0,2π)，∴把 y ＝sin x 的图象向左平移 φ个单位长度得到 y ＝sin(x ＋φ)的图象，而 sin(x ＋11π6)＝sin(x ＋11π6－2π)＝sin(x －π6)．3．已知函数y ＝2011sin ωx (ω>0)的图象与直线y ＋2011＝0的相邻的两个公共点间的距离为2π3，则ω的值为( )A ．3 B.32C.23D.13解析：选A.函数y ＝2011sin ωx 的最小值是－2011，它与直线y ＋2011＝0的相邻两个公共点之间的距离为一个周期，由2πω＝2π3，得ω＝3.4．函数y ＝sin x 的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为________．解析：y ＝sin x →y ＝3sin 13x →y ＝3sin 13(x －3)＝3sin(13x －1)．答案：y ＝3sin(13x －1)一、选择题1．要得到y ＝sin(2x －π3)的图象，只要将y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析：选D.∵y ＝sin(2x －π3)＝sin[2(x －π6)]，∴把y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位就能得到y ＝sin(2x －π3)的图象．2．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图所示，那么ω＝( )A ．1B ．2C.12D.13解析：选B.2T ＝2π，∴T ＝π，又T ＝2πω，∴2πω＝π，∴ω＝2.3．(2011年宁德高一检测)函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π2，π]的简图为( )解析：选A.f (π)＝sin(2π－π3)＝－32，排除B 、D.f (π6)＝sin(2×π6－π3)＝0，排除C ，或用五点法作图验证．4．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π3解析：选D.∵T ＝π＝2πω，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)∵f (0)＝2sin φ＝3，∴sin φ＝32，∵|φ|<π2，∴φ＝π3.5．(2010年高考辽宁卷)设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D ．3 解析：选A.若平移后的图象与原图象重合，则平移量应该是周期的整数倍，即4π3是函数的1个周期或多个周期，ω取最小值时，4π3应为其1个周期，故2π|ω|＝4π3.又ω>0，所以ω＝32. 6．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2011)的值等于( )A. 2B ．0 C.2＋2D.2－2 解析：选C.由图象知A ＝2，T ＝8＝2πω，∴ω＝π4，∴y ＝2sin(π4x ＋φ)，代入(2,2)，∴2＝2sin(π2＋φ)，∴sin(π2＋φ)＝1，∴φ＝0，∴y ＝2sin π4x .∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＋f (8)＝2(sin π4＋sin π2＋sin 3π4＋sinπ＋sin 5π4＋sin 32π＋sin 74π＋sin2π)＝0.而2011÷8＝251……3，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2011)＝f (2009)＋f (2010)＋f (2011)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2(2sin π4＋sin π2)＝2×(2＋1)＝22＋2.二、填空题7．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意的实数x ，都有f (π6＋x )＝f (π6－x )，则f (π6＋2πω)等于________．解析：由依题意知x ＝π6为y ＝f (x )的对称轴．∴f (π6)＝±3，而T ＝2πω，∴f (π6＋2πω)＝±3.答案：3或－38．(2011年沂水高一检测)把函数y ＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移π8个单位长度，再把各点的纵坐标扩大为原来的2倍，所得图象的函数解析式为________．解析：y ＝sin(2x ＋π4)→y ＝sin[2(x －π8)＋π4]→y ＝2sin2x .答案：y ＝2sin2x9．已知函数 y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π≤φ＜π)的图象如下图所示，则φ＝________.解析：由题图可知，T 2＝2π－3π4，∴T ＝52π，∴2πω＝52π，∴ω＝45，∴y ＝sin(45x ＋φ)，又∵sin(45×34π＋φ)＝－1，∴sin(35π＋φ)＝－1，∴35π＋φ＝32π＋2k π，k ∈Z ，∵－π≤φ＜π，∴φ＝910π. 答案：910π三、解答题10．已知函数y ＝12sin(2x ＋π6)＋54，x ∈R .(1)求它的振幅、周期、初相；(2)当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(3)该函数的图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？解：(1)振幅A ＝12，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π6；(2)当sin(2x ＋π6)＝1，即2x ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取最大值12＋54＝74，此时x ＝k π＋π6，k ∈Z .(3)把y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数y ＝sin(x ＋π6)的图象，然后再把y ＝sin(x ＋π6)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)得到y ＝sin(2x ＋π6)的图象，然后再把y ＝sin(2x ＋π6)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)得到y ＝12sin(2x ＋π6)的图象，最后把y ＝12sin(2x ＋π6)的图象向上平移54个单位长度，就得y ＝12sin(2x ＋π6)＋54的图象． 11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象在y 轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0,2)和(x 0＋3π，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的13，然后再将所得到的图象向x 轴正方向平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，写出g (x )的解析式，并作出在长度为一个周期上的图象．解：(1)由已知，易得A ＝2，T 2＝(x 0＋3π)－x 0＝3π，解得T ＝6π，∴ω＝13.把(0,1)代入解析式y ＝2sin(x3＋φ)，得2sin φ＝1.又|φ|<π2，解得φ＝π6.∴y ＝2sin(x 3＋π6)为所求．(2)压缩后的函数解析式为y ＝2sin(x ＋π6)，再平移得g (x )＝2sin[(x －π3)＋π6]＝2sin(x －π6)．列表图象如图。
学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.－25π6的角是()A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角【解析】因为－25π6＝－π6－4π，所以－25π6与－π6的终边相同，为第四象限的角.【答案】 D2.若2 rad的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所对的扇形面积是() A.4 cm2 B.2 cm2C.4π cm2D.2π cm2【解析】r＝l|α|＝42＝2(cm)，S＝12lr＝12×4×2＝4(cm2).【答案】 A3.圆的半径是6 cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是()A.π2cm 2 B.3π2cm2C.π cm2D.3π cm2【解析】15°＝π12，则S＝12|α|r2＝12×π12×62＝3π2(cm2).【答案】 B4.下列说法不正确的是()A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π C.1 rad 的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【解析】 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关. 【答案】 D5.集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角所表示的范围(阴影部分)是( )【解析】 k 为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y ＝x 左上部分(包含边界)，k 为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y ＝x 的右下部分(包含边界).故选C.【答案】 C 二、填空题6.把－570°写成2k π＋α(k ∈Z ，α∈(0,2π)的形式是________. 【解析】 法一：－570°＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫570×π180rad＝－196πrad ， ∴－196π＝－4π＋56π.法二：－570°＝－2×360°＋150°， ∴－570°＝－4π＋56π. 【答案】 －4π＋56π7.一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是________弧度，扇形面积是________.【解析】 由题意知r ＝2，l ＋2r ＝πr ，∴l ＝(π－2)r ， ∴圆心角α＝l r ＝(π－2)rr ＝π－2(rad)， 扇形面积S ＝12lr ＝12×(π－2)·r ·r ＝2(π－2). 【答案】 π－2 2(π－2) 三、解答题 8.已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π)的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π). 【解】 (1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋109π. (2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋109π，k ∈Z ， 又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋109π＝46π9. 9.已知一个扇形的周长是40，(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角； (2)求扇形面积S 的最大值.【解】 (1)设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则由题意得⎩⎨⎧l ＋2r ＝40，12lr ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝20，r ＝10，则α＝l r ＝2(rad).故扇形的圆心角为2 rad. (2)由l ＋2r ＝40得l ＝40－2r ， 故S ＝12lr ＝12(40－2r )·r＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100， 故r ＝10时，扇形面积S 取最大值100.[能力提升]1.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的( )A.12B.2倍C.13D.3倍【解析】 设圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角的弧度数为lr ，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l 12r＝3·lr ，即弧度数变为原来的3倍. 【答案】 D2.已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S . 【解】 (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ， 知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3. (2)由(1)可知α＝π3，r ＝10， ∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3， ∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.。
10.2复数的运算10．2.1复数的加法与减法必备知识基础练 进阶训练第一层 知识点一 复数的加、减运算.已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2等于()．8iB ．6．6＋8iD ．6－8i．(5－i)－(3－i)－5i ＝________.．1＝(a 22＝a －(a 21－z 2为纯虚数，则a ＝________.知识点二 复数加减运算的几何意义.设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于()．第一象限B ．第二象限．第三象限D ．第四象限．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →表示的复数分别为－2＋i ，3＋2i,1＋5i ，则BC →表示的复数为()．2＋8iB ．－6－6i．4－4iD ．－4＋2i．如图所示，在平行四边形OABC 中，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i.求： 1)AO →所表示的复数，BC →所表示的复数；2)对角线CA →所表示的复数；3)→→知识点三复数加、减法及几何意义的综合应用.若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点Z 在()．实轴上B ．虚轴上．第一象限D ．第二象限．如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是()．1B.12．2D.5．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的()．外心B ．内心．重心关键能力综合练 进阶训练第二层、选择题．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于()．1＋iB ．1＋3i．－1－iD ．－1－3i．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为()．1＋iB ．2＋i．3D ．－2－i．复数(3＋m i)－(2＋i)对应的点在第四象限内，则实数m 的取值范围是()．m <23B ．m <1 .23<m <1D ．m >1 ．已知复数z 1＝(a 2－2)－3a i ，z 2＝a ＋(a 2＋2)i ，则z 1＋z 2是纯虚数，那么实数a 的值为() ．1B ．2．－2D ．－2或1．在平行四边形ABCD 中，若A ，C 对应的复数分别为－1＋i 和－4－3i ，则该平行四边形的对角线AC 的长度为().5B ．5．25D ．10．(探究题)如果复数z 满足|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，那么|z ＋i ＋1|的最小值是()．1B.2．2D.5、填空题．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i ，(x ，y ∈R )．设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，则z 1＝________，z 2＝________.．设复数z 满足z ＋|z |＝2＋i ，则z ＝________.．(易错题)A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面上对应的两点，O 为原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 为________．、解答题0．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量OA →＋OB →与BA →学科素养升级练 进阶训练第三层 ．(多选)已知z 1，z 2是复数，以下结论错误的是()．若z 1＋z 2＝0，则z 1＝0，且z 2＝0．若|z 1|＋|z 2|＝0，则z 1＝0，且z 2＝0．若|z 1|＝|z 2|，则向量OZ 1→和OZ 2→重合．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2．复数z 1＝1＋icos θ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为()．3－22B.2－1．3＋22D.2＋1．(学科素养——运算能力)已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA→对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i.1)求点C ，D 对应的复数；2)求平行四边形ABCD 的面积．10．2复数的运算10．2.1复数的加法与减法必备知识基础练．答案：B析：根据复数的加法法则得，z 1＋z 2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝6.．答案：2－5i析：根据复数的减法法则可得，(5－i)－(3－i)－5i ＝2－5i.．答案：－1析：∵z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a 2＋a －6)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1. ．答案：D析：∵z 1－z 2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i ，z 1－z 2在复平面内对应的点位于第四象限．．答案：C析：BC →＝OC →－OB →＝OC →－(AB →＋OA →)＝3＋2i －(1＋5i －2＋i)＝4－4i.BC →表示的复数为4－4i.．解析：(1)因为0－(3＋2i)＝－3－2i ，以AO →所表示的复数为－3－2i.为BC →＝AO →，所以BC →所表示的复数为－3－2i.2)因为CA →＝OA →－OC →，以CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.3)因为对角线OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，以OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，以|OB →|＝12＋62＝37.．答案：B析：∵|z －1|＝|z ＋1|，∴点Z 到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z 在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上，即在虚轴上．．答案：A析：设复数z ，－i ，i ，－1－i 在复平面内对应的点分别为Z ，Z 1，Z 2，Z 3，为|z ＋i|＋|z －i|＝2，Z 1Z 2|＝2，所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.以Z 点在线段Z 1Z 2上移动，|Z 1Z 3|min ＝1，以|z ＋i ＋1|min ＝1.．答案：A析：由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z 的对应点P 到△ABC 的顶点A ，B ，C 的距离相等，∴P 为△ABC 的外心．关键能力综合练．答案：B析：z ＝4＋i －(3－2i)＝1＋3i.．答案：D析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0，b ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴a ＋b i ＝－2－i.．答案：B析：∵(3＋m i)－(2＋i)＝3＋m i －2－i ＝1＋(m －1)i ，m －1<0，∴m <1.．答案：C析：由z 1＋z 2＝a 2－2＋a ＋(a 2－3a ＋2)i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－2＋a ＝0，a 2－3a ＋2≠0，得a ＝－2. ．答案：B析：依题意，AC →对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i ，因此AC 的长度为|－3－4i|＝5.．答案：A析：设复数－2i,2i ，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，为|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，|Z 1Z 2|＝4，所以复数z 的几何意义为线段Z 1Z 2，如图所示，问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值．此作Z 3Z 0⊥Z 1Z 2于Z 0，则Z 3与Z 0的距离即为所求的最小值，|Z 0Z 3|＝1.故选A. ．答案：5－9i －8－7i析：z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y －4y ＋2x )＋(y －4x ＋5x ＋3y )i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i. ⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.z 1＝5－9i ，z 2＝－8－7i.．答案：34＋i 析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2. x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i. ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝1.z ＝34＋i. ．答案：直角三角形析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB 为直角三角形．0．解析：因为复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，所以OA →＝(－3，－1)，OB →＝(5,1)，以OA →＋OB →＝(－3，－1)＋(5,1)＝(2,0)，以向量OA →＋OB →对应的复数是2，BA →＝OA →－OB →＝(－3，－1)－(5,1)＝(－8，－2)，以BA →对应的复数是－8－2i ，，B 两点之间的距离|BA →|＝|－8－2i|＝(－8)2＋(－2)2＝217.学科素养升级练．答案：AC析：A 中z 1＋z 2＝0只能说明z 1＝－z 2；B 中|z 1|＋|z 2|＝0，说明|z 1|＝|z 2|＝0，即z 1＝z 2＝0；C 中|z 1|＝|z 2|，说明|OZ 1→|＝|OZ 2→|，但OZ 1→与OZ 2→方向不一定相同；D 中|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故z 1＝z 2；故错误的为A ，C 选项．．答案：D析：|z 1－z 2|＝|(1－sin θ)＋(cos θ＋1)i|(1－sin θ)2＋(1＋cos θ)23＋2(cos θ－sin θ)3＋22cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4max ＝1， |z 1－z 2|max ＝3＋22＝2＋1.．解析：(1)∵向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，AC →＝BC →－BA →，向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.OC →＝OA →＋AC →，点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.AD →＝BC →，∴向量AD →对应的复数为3－i ，AD →＝(3，－1)．D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝0.点D 对应的复数为5.2)∵BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210. sin B ＝7210. S ▱ABCD ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7， 平行四边形ABCD 的面积为7.。
学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.函数y ＝sin|x |的图象是( )【解析】 ∵函数y ＝sin|x |是偶函数，且x ≥0时，sin|x |＝sin x .故应选B.【答案】 B2.(2016·济南高一检测)函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π B.(π，2π) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.(0，π)【解析】 作出函数y ＝|sin x |的图象，如图，观察图象知C 正确，故选C.【答案】 C3.在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( )A.(0，π)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，5π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π【解析】 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下：因为sin π3＝32，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－32， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－32. 即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的是x ＝4π3或x ＝5π3.可知不等式sin x <－32的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，5π3. 【答案】 C4.(2016·兰州高一检测)设a ＞0，对于函数f (x )＝sin x ＋a sin x (0＜x ＜π)，下列结论正确的是( )A.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C.有最大值且有最小值D.既无最大值又无最小值【解析】 因为0＜x ＜π，所以0＜sin x ≤1，1sin x ≥1，所以函数f (x )＝sin x ＋a sin x ＝1＋a sin x 有最小值而无最大值，故选B.【答案】 B5.函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( )A.0B.π4C.π2D.π【解析】 当φ＝π2时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，而y ＝cos 2x 是偶函数，故选C.【答案】 C二、填空题6.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的周期是23π，则ω＝________. 【解析】 根据题意有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋2πω3＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， ∴2π3ω＝2π，∴ω＝3.【答案】 37.函数y ＝log 2(sin x )的定义域为________.【解析】 据题意知sin x ＞0，得x ∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z ).【答案】 (2k π，2k π＋π)(k ∈Z )8.(2016·杭州高一检测)若x 是三角形的最小角，则y ＝sin x 的值域是________.【解析】 由三角形内角和为π知，若x 为三角形中的最小角，则0＜x ≤π3，由y ＝sin x 图象知y ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32. 【答案】 ⎝⎛⎦⎥⎤0，32 三、解答题9.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值. 【解】 ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝32. 10.已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值.【解】 ∵0≤x ≤π2， ∴－π3≤2x －π3≤23π， ∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，最大值为2a ＋b ＝1，最小值为－3a ＋b ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.当a <0时，最大值为－3a ＋b ＝1，最小值为2a ＋b ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧ －3a ＋b ＝1，2a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.[能力提升]1.函数y ＝sin(－x )，x ∈[0,2π]的简图是( )【解析】 因为y ＝sin(－x )＝－sin x ，x ∈[0,2π]的图象可看作是由y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于x 轴对称得到的.故选B.【答案】 B2.直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________.【解析】 ∵sin α∈[－1,1]，∴－sin α∈[－1,1]，∴已知直线的斜率范围为[－1,1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 3.已知直线y ＝a ，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]，试探求以下问题.(1)当a 为何值时，直线y ＝a 与函数y ＝sin x 的图象只有一个交点？(2)当a 为何值时，直线与函数图象有两个交点？(3)当a 为何值时，直线与函数图象有三个交点？(4)当a 为何值时，直线与函数图象无交点？【解】 作出直线y ＝a ，与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(如图所示)，由图象可知.(1)当a ＝1或－1时，直线与函数图象只有一个交点.(2)当－1＜a＜0或0＜a＜1时，直线与函数图象有两个交点.(3)当a＝0时，直线与函数图象有三个交点.(4)当a＜－1或a＞1时，直线与函数图象无交点.。
新人教B版高中数学必修四全册课时练习角的概念的推广(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．在下列说法中，正确的是( )A．第二象限角是钝角B．第二象限角必大于第一象限角C．－150°是第二象限角D．－252°16′、467°44′、1 187°44′是终边相同的角D[第二象限角中，除包含钝角以外，还包含与钝角相差k·360°，k∈Z的角，如460°是第二象限角但不是钝角，A项错；460°是第二象限角，730°是第一象限角，显然460°小于730°，B项错；C项中－150°应为第三象限角．故A、B、C项都是错误的，D项中三个角相差360°的整数倍，则它们的终边相同，故选D.]2．下列是第三象限角的是( )A．－110°B．－210°C．80°D．－13°A[－110°是第三象限角，－210°是第二象限角，80°是第一象限角，－13°是第四象限角．故选A.]3．与－457°角终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}C[－457°角与－97°角终边相同，又－97°角与263°角终边相同，又263°角与k·360°＋263°角终边相同，∴应选C.]4．若α是第一象限的角，则下列各角中属于第四象限角的是( )A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋αC[因为α是第一象限角，所以－α为第四象限角，所以360°－α为第四象限角．] 5．在平面直角坐标系中，若角α与角β的终边互为反向延长线，则必有( )A．α＝－βB．α＝k·180°＋β(k∈Z)C．α＝180°＋βD．α＝2k·180°＋180°＋β(k∈Z)D[因为角α与角β的终边互为反向延长线，所以角α与角β的终边关于原点对称，所以α＝2k·180°＋180°＋β(k∈Z)．]二、填空题6．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．120°，300°[根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.故填120°，300°.]7．设角α的终边与252°角终边关于y轴对称且有－360°<α<360°，那么α＝________.－72°，288°[在0°～360°间与252°角终边关于y轴对称的角为288°，∴与288°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋288°，k∈Z}，又－360°<α<360°，那么α＝－72°，288°.]8．设集合A＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}，B＝{x|k·360°－210°<x<k·360°，k∈Z}，则A∩B＝________.{x|k·360°＋150°<x<k·360°＋300°，k∈Z}[A∩B＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}∩{x|k·360°－360°＋150°<x<k·360°－360°＋360°，k∈Z}＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}∩{x|(k－1)·360°＋150°<x<(k－1)·360°＋360°，k∈Z}＝{x|k·360°＋150°<x<k·360°＋300°，k∈Z}．]三、解答题9．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．[解] 与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.(1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°，且k∈Z可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.(2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z可得k＝－1，故所求的最小正角为170°.(3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z得k＝－3，故所求的角为－550°.10．若角β的终边落在直线y＝－33x上，写出角β的集合；当－360°＜β＜360°时，求角β.[解] ∵角β的终边落在直线y＝－33x上，∴在0°到360°范围内的角为150°和330°，∴角β的集合为{x|x＝k·180°＋150°，k∈Z}．当－360°＜β＜360°时，角β为－210°，－30°，150°，330°.[等级过关练]1.如图，终边落在直线y＝±x上的角α的集合是( )A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}D[终边落在直线y＝±x在[0°，360°)内角有45°，135°，225°和315°共四个角，相邻两角之间均相差90°，故终边落在直线y＝±x上的角的集合为{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}．]2．如果角α与x＋45°具有相同的终边，角β与x－45°具有相同的终边，则α与β间的关系是( )A．α＋β＝0°B．α－β＝0°C．α＋β＝k·360°，k∈ZD．α－β＝k·360°＋90°，k∈ZD[由已知得：α＝m·360°＋x＋45°，m∈Z，β＝n·360°＋x－45°，n∈Z，则α－β＝(m－n)·360°＋90°，(m－n)∈Z，所以α－β＝k·360°＋90°，k∈Z.故选D.]3．若角α满足α＝－30°＋k·180°，k∈Z，则角α的终边落在第________象限．二、四[当k为偶数时，α终边落在第四象限．当k为奇数时，α终边落在第二象限．综上可知α终边落在第二、四象限．]4．终边在直线y＝3x上的所有角的集合是________，在这个集合中，介于－180°到180°之间的角是________．{α|α＝k·180°＋60°，k∈Z} －120°，60°[终边在直线y＝3x上的所有角的集合是{α|α＝k ·360°＋60°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋240°，k ∈Z }＝{α|α＝k ·180°＋60°，k ∈Z }．上述集合中，介于－180°到180°之间的角有－120°和60°，即当k ＝－1和k ＝0时取得．]5.已知，如图所示．(1)分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．[解] (1)终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z }．终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z }．(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z }.弧度制和弧度制与角度制的换算(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．－25π6的角是( )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角D [因为－25π6＝－π6－4π，所以－25π6与－π6的终边相同，为第四象限的角．]2．若2 rad 的圆心角所对的弧长为4 cm ，则这个圆心角所对的扇形面积是( ) A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4π cm 2D ．2π cm 2A [r ＝l |α|＝42＝2(cm)，S ＝12lr ＝12×4×2＝4(cm 2)．]3．与30°角终边相同的角的集合是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k ·360°＋π6，k ∈ZB ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z }C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z }D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π6，k ∈ZD [∵30°＝30×π180 rad ＝π6 rad ，∴与30°终边相同的所有角可表示为 α＝2k π＋π6，k ∈Z ，故选D.]4．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8C [设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝αr ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.]5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A ．π3B ．2π3C ． 3D ．2C [设圆的半径为r ，则圆内接正三角形边长为3r ，所以圆心角的弧度数为3rr＝ 3.]二、填空题6．把－570°写成2k π＋α(k ∈Z ，α∈(0,2π))的形式是________． －4π＋56π [－570°＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫570×π180rad ＝－196π rad ，∴－196π＝－4π＋56π.]7．已知一扇形的周长为π3＋4，半径r ＝2，则扇形的圆心角为________．π6 [设扇形的圆心角为α，则π3＋4＝2r ＋2α. 又∵r ＝2，∴α＝π6.]8．经过点P (a ，a )(a ≠0)的角α的集合是________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π4，k ∈Z [当a >0，点P (a ，a )在第一象限， 此时α＝2k π＋π4，k ∈Z ；a <0，点P (a ，a )在第三象限，此时α＝2k π＋54π，k ∈Z ，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π4，k ∈Z .] 三、解答题9．已知角α的终边与－253π的终边关于x 轴对称，求角α3在(－π，π)内的值．[解] ∵253π与－253π的终边关于x 轴对称，且253π＝8π＋π3，∴α与π3的终边相同．∴α＝2k π＋π3(k ∈Z )，α3＝2k π3＋π9(k ∈Z )．∵－π<α3<π，∴－π<2k π3＋π9<π.当k ＝－1时，α3＝－5π9∈(－π，π)；当k ＝0时，α3＝π9∈(－π，π)；当k ＝1时，α3＝7π9∈(－π，π)．∴在(－π，π)内α3的值有三个，它们分别是－5π9，π9和7π9.10．已知一个扇形的周长是40，(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角； (2)求扇形面积S 的最大值．[解] (1)设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝40，12lr ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝20，r ＝10，则α＝l r＝2(rad)． 故扇形的圆心角为2 rad. (2)由l ＋2r ＝40得l ＝40－2r ， 故S ＝12lr ＝12(40－2r )·r＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100， 故r ＝10时，扇形面积S 取最大值100.[等级过关练]1．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的( )A.12倍 B ．2倍 C.13倍 D ．3倍D [设圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角的弧度数为l r，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l 12r ＝3·lr，即弧度数变为原来的3倍．]2．若α是第三象限的角，则π－α2是( )A ．第一或第二象限的角B ．第一或第三象限的角C ．第二或第三象限的角D ．第二或第四象限的角B [因为α为第三象限的角，所以有2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z ，k π＋π2<α2<k π＋34π，k ∈Z ，－k π－34π<－α2<－k π－π2，k ∈Z ，故－k π＋π4<π－α2<－k π＋π2，k ∈Z .当k 为偶数时，π－α2在第一象限；当k 为奇数时，π－α2在第三象限，故选B.]3．(1)把67°30′化成弧度＝________. (2)把35π 化成度＝________.(1)38π (2)108° [(1)67°30′＝67.5°＝67.5×π180＝38π. (2)35π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π5×180π° ＝108°.]4．一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是________弧度，扇形面积是________．π－2 2(π－2) [由题意知r ＝2，l ＋2r ＝πr ， ∴l ＝(π－2)r ，∴圆心角α＝l r＝(π－2)rr＝π－2(rad)，扇形面积S ＝12lr ＝12×(π－2)·r ·r ＝2(π－2)．]5．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S . [解] (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ， 知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r ＝10，∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.三角函数的定义(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列三角函数判断错误的是( ) A ．sin 165°>0 B ．cos 280°>0 C ．tan 170°>0D ．tan 310°<0C [∵90°<165°<180°，∴sin 165°>0； 又270°<280°<360°，∴cos 280°>0； 又90°<170°<180°，∴tan 170°<0；又270°<310°<360°，∴tan 310°<0，故选C.]2．已知角α的终边过点P (－3,4)，则sin α＋cos α＝( ) A ．35 B ．－45C ．15D ．－15C [r ＝(－3)2＋42＝5，∴sin α＝45，cos α＝－35，∴sin α＋cos α＝45－35＝15.]3．已知角α终边上异于原点的一点P 且|PO |＝r ，则点P 坐标为( ) A ．P (sin α，cos α) B ．P (cos α，sin α) C ．P (r sin α，r cos α)D ．P (r cos α，r sin α)D [设P (x ，y )，则sin α＝yr ，∴y ＝r sin α，又cos α＝x r，x ＝r cos α，∴P (r cos α，r sin α)，故选D.]4．已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114B ．114C ．－4D ．4C [由题意可知，cos α＝m m 2＋9＝－45，易知m <0，解得m ＝－4，故选C.]5．若θ是第二象限角，则( ) A ．sin θ2>0B ．cos θ2<0C ．tan θ2>0D ．以上均不对C [∵θ是第二象限角，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π，∴k π＋π4<θ2<k π＋π2，∴θ2是第一或第三象限角，∴tan θ2>0.]二、填空题6．设α为第二象限角，则点P (cos α，sin α)在第________象限． 二 [∵α为第二象限角，∴cos α<0，sin α>0.] 7．函数y ＝tan x ＋lg sin x 的定义域为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋π [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，sin x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，2k π<x <2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π<x <2k π＋π2或2k π＋π2<x <2k π＋π，k ∈Z .]8．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________．－2＜a ≤3 [由⎩⎪⎨⎪⎧cos α≤0，sin α＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.] 三、解答题9．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝2＋log 12x ＋tan x ；(2)f (x )＝cos x .[解] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤4，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，解得0＜x ＜π2或π2＜x ≤4，所以原函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，4.(2)若使函数有意义，则需满足cos x ≥0， 即2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z .∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z .10．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，cos α＝24x ，求sin α. [解] ∵α是第二象限角，∴x <0. ∵|OP |＝x 2＋(5)2＝x 2＋5， ∴cos α＝x x 2＋5＝24x ， ∴x 2＝3. 又∵x <0， ∴x ＝－3， ∴sin α＝5|OP |＝58＝104. [等级过关练]1．若sin α>0，tan α<0，则α为( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角B [由sin α>0可知α的终边在第一、二象限或在y 轴正半轴上，由tan α<0可知α的终边在第二、四象限．综上可知α为第二象限角．]2．如果α的终点过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2sin π6，－2cos π6，则sin α的值等于( )A ．12B ．－12C ．－32D ．－33C [∵2sin π6＝1，－2cos π6＝－3，∴r ＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32.] 3．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于________．2 [由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3m ，m 2＋n 2＝10，∴m ＝1，n ＝3或m ＝－1，n ＝－3. 又sin α<0，∴α的终边落在第三象限， ∴n <0，∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.]4．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x 的值域是________．{－1,3} [由题意知x 不是终边在坐标轴上的角，则有：x 为第一象限角时：y ＝sin x sin x ＋cos x cos x ＋tan xtan x＝3； x 为第二象限角时：y ＝sin x sin x ＋cos x －cos x ＋－tan xtan x＝－1； x 为第三象限角时：y ＝－sin x sin x ＋cos x －cos x ＋tan xtan x ＝－1； x 为第四象限角时：y ＝－sin x sin x ＋cos x cos x ＋－tan xtan x＝－1； 综上知此函数值域为{－1,3}．] 5．判断下列各式的符号： (1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－234π； (3)sin (cos θ)cos (sin θ)(θ为第二象限角)． [解] (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角， ∴sin 340°<0，cos 265°<0， ∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角，∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角．∴sin 4<0，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4>0，∴sin 4tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4<0. (3)∵θ为第二象限角，∴0<sin θ<1<π2，－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0，cos(sin θ)>0， ∴sin (cos θ)cos (sin θ)<0.单位圆与三角函数线(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( ) A ．在x 轴上 B ．在y 轴上 C ．在直线y ＝x 上D ．在直线y ＝x 或y ＝－x 上 B [∵sin α＝1或sin α＝－1， ∴角α终边在y 轴上．故选B.]2．如果3π4＜θ＜π，那么下列各式中正确的是( )A ．cos θ＜tan θ＜sin θB ．sin θ＜cos θ＜tan θC ．tan θ＜sin θ＜cos θD ．cos θ＜sin θ＜tan θA [由于3π4＜θ＜π，如图所示，正弦线MP →，余弦线OM →，正切线AT →，由此容易得到OM ＜AT ＜0＜MP ，故选A.]3．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2[答案] C4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上 B ．第四象限的角平分线上 C ．第二、第四象限的角平分线上 D ．第二、第三象限的角平分线上C [角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，所以sin α＝－cos α，即sin α＋cos α＝0，所以角α的终边在直线x ＋y ＝0上，所以选C.]5．依据三角函数线，作出如下四个判断： ①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4；③tan π8＞tan 3π8；④sin 3π5＞sin 4π5.其中判断正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个B [根据下列四个图形，容易判断正确的结论有②④，故选B.]二、填空题6．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为________．AT >MP >OM [作图如下：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM .] 7．函数y ＝1－2sin x 的定义域为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z ) [要使函数有意义，有1－2sin x ≥0，得sin x ≤12，如图，确定正弦值为12的角的终边OP 与OP ′，其对应的一个角分别为136π，56π，所求函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z )．] 8. 若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，利用三角函数线得到α的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π [利用单位圆作出正弦线、余弦线，所以α的范围是0<α<π3或5π3<α<2π.]三、解答题9．画出7π6的正弦线，余弦线和正切线，并求出相应的函数值．[解] 如图，MP →，OM →，AT →分别为正弦线，余弦线和正切线．sin 7π6＝－12，cos 7π6＝－32，tan 7π6＝33. 10．求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22的定义域． [解] 由题意，自变量x 应满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x >22，则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z. [等级过关练]1．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形D [当0＜α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cosα＝23，∴α必为钝角．]2．满足sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≥12的x 的集合是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π12≤x ≤2k π＋7π12，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x ≤2k π＋π6，k ∈ZA [由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥12，得π6＋2k π≤x －π4≤5π6＋2k π，k ∈Z ，解得2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z .] 3．sin 2π5，cos 6π5，tan 2π5从小到大的顺序是________．cos6π5<sin 2π5<tan 2π5 [在单位圆中分别作角2π5与角6π5，可知6π5为第三象限角，所以cos 6π5<0.又0<π4<2π5<π2，所以2π5的正切线大于正弦线，即0<sin 2π5<tan 2π5，所以cos 6π5<sin 2π5<tan 2π5.]4．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ＜0；②sin θ－cos θ＞0； ③|sin θ|＜|cos θ|；④sin θ＋cos θ＞0. ④ [若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则sin θ＞0，cos θ＜0，sin θ＜|cos θ|，所以sin θ＋cos θ＜0.]5．已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：1＜sin α＋cos α＜π2.[证明] 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，过P 作PM ⊥Ox ，PN ⊥Oy ，M ，N 分别为垂足．∴|MP |＝y ＝sin α，|OM |＝x ＝cos α， 在△OMP 中，|OM |＋|MP |＞|OP |， ∴sin α＋cos α＞1.∵S △OAP ＝12|OA |·|MP |＝12y ＝12sin α，S △OBP ＝12|OB |·|NP |＝12x ＝12cos α， S 扇形OAB ＝14π×12＝π4，又∵S △OAP ＋S △OBP ＜S 扇形OAB ，∴12sin α＋12cos α＜π4，即sin α＋cos α＜π2， ∴1＜sin α＋cos α＜π2.同角三角函数的基本关系式(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．若sin α＋sin 2α＝1，那么cos 2α＋cos 4α的值等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3B [由sin α＋sin 2α＝1，得sin α＝cos 2α，所以cos 2α＋cos 4α＝sin α＋sin 2α＝1.]2．已知α是第三象限的角，cos α＝－1213，则sin α＝( )A.513 B ．－513C.512D ．－512B [∵α是第三象限的角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝－513.] 3．若α∈[0,2π)，且有1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin α－cos α，则角α的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，32πB [因为1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin α－cos α，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α≥0，cos α≤0，又α∈[0,2π)，所以α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，故选B.]4．若sin θ·cos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12B [tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝1sin θ cos θ＝112＝2，选B.]5．若tan α＝3，则2sin αcos α＝( ) A ．±35B ．－35C ．35D ．45C [2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝610＝35.] 二、填空题6．已知sin αcos α＝15，则sin α－cos α＝________.±155 [(sin α－cos α)2＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝1－2sin αcos α＝35，则sin α－cos α＝±155.] 7．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________，tan 2α＋1tan 2α＝________. 13 7 [∵tan α＋1tan α＝1cos αsin α＝3， ∴sin αcos α＝13.又tan 2α＋1tan 2 α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＋1tan α2－2＝9－2＝7，∴tan 2α＋1tan 2 α＝7.]8．已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.－55 [由α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π及tan α＝2， 得sin α＝2cos α<0，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝－55.] 三、解答题9．已知tan α＝23，求下列各式的值：(1)cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α； (2)1sin αcos α； (3)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α. [解]cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α＝1－tan α1＋tan α＋1＋tan α1－tan α＝1－231＋23＋1＋231－23＝265. (2)1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α ＝tan 2α＋1tan α＝136.(3)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α ＝sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝tan 2α－2tan α＋4tan 2α＋1 ＝49－43＋449＋1＝2813.10．求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.[证明] 右边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝2(1－sin α＋cos α－sin αcos α)＝2(1－sin α)(1＋cos α)＝左边，∴2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.[等级过关练]1．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A ＝( )A.1213B.513C ．－513D ．－1213D [∵tan A ＝－512，又A 是三角形的内角，∴A 是钝角． ∵sin A cos A ＝－512， ∴－5cos A ＝12sin A . 又sin 2A ＋cos 2A ＝1， ∴cos A ＝－1213.]2．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<θ<π，则tan θ＝( )A.4－2mm －3B ．±m －34－2mC ．－512D ．－34或－512C [由sin 2θ＋cos 2θ＝1，有⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，化简得m 2－8m ＝0，解得m ＝0或m＝8，由于θ在第二象限，所以sin θ>0，m ＝0舍去，故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－1213，得tan θ＝－512.]3．已知sin θ－cos θ＝12，则sin 3θ－cos 3θ＝________.1116 [由已知得，1－2sin θcos θ＝14，∴sin θcos θ＝38. ∴sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋sin θcos θ＋cos 2θ)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1＋38＝1116.]4．若f (sin α)＝cos 2α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝________.89[∵f (sin α)＝cos 2α＝1－sin 2α， ∴f (t )＝1－t 2，－1≤t ≤1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝89.]5．求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.[证明] 法一：右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)·tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)·tan αsin α ＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)·tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)·tan αsin α ＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴等式成立．法二：左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α， ∴左边＝右边，等式成立．诱导公式(一)、(二)(建议用时：40分钟)[合格基础练]一、选择题1．sin 25π6的值为( )A ．12 B ．22 C ．－12D ．－32A [sin 25π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π6＝sin π6＝12，故选A.] 2．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4；③tan 2，其中符号为负的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3B [①sin(－1 000°)＝sin(－360°×3＋80°)＝sin 80°>0； ②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4＝22>0；③∵π2<2<π， ∴tan 2<0.]3．记cos(－80°)＝k ，那么tan 440°＝( ) A ．1－k2k B ．－1－k2k C ．k1－k2D ．－k1－k2A [∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2，tan 440°＝tan(360°＋80°)＝tan 80°＝sin 80°cos 80°＝1－k2k，故选A.]4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－α＝a ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝( )A ．aB ．－aC ．±aD ．不确定B [∵⎝⎛⎭⎪⎫5π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝2π， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝－a ，故选B.] 5.1－2sin (2π＋2)cos (2π－2)＝( ) A ．sin 2－cos 2 B ．sin 2＋cos 2 C ．±(sin 2－cos 2) D ．cos 2－sin 2A [原式＝1－2sin 2cos 2＝(sin 2－cos 2)2＝|sin 2－cos 2|.而sin 2＞cos 2，故应选A.] 二、填空题6．cos 1 110°的值为________．32 [cos 1 110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos 30°＝32.] 7．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为________． －43 [由三角函数定义知，tan 420°＝－a4，又tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝3，∴－a4＝3，∴a ＝－4 3.]8．化简：cos (2π＋α)sin (4π－α)tan (－α－2π)cos 2(－α)＝________. 1 [原式＝cos αsin (－α)tan (－α)cos 2α＝cos αsin (－α)－tan αcos 2α ＝cos α(－sin α)－sin αcos α·cos 2α＝1.]三、解答题9．求下列各式的值：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)； (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＋cos 125π·tan 4π. [解] (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－116π＋cos 125π·tan 4π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos 125π·tan 0 ＝sin π6＋0＝12.10．化简：sin 2(α－2π)cos (2π＋α)cot (－α－2π)tan (2π－α)cos 3(－α－4π). [解] 原式＝sin 2α·cos α·cot (－α)tan (－α)cos 3(－α) ＝sin 2αcos α·cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin αcos α·cos 3α·sin (－α)＝sin 2α·cos 2αsin 2α·cos 2α ＝1.[等级过关练]1．设f (α)＝2sin (2π－α)cos (2π＋α)－cos (－α)1＋sin 2α＋sin (2π＋α)－cos 2(4π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π的值为( )A ．33B ．－33C ． 3D ．－ 3D [f (α)＝2sin (－α)cos α－cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α ＝－cos α(2sin α＋1)sin α(2sin α＋1)＝－1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π＝－1tan π6＝－ 3.] 2．已知α∈(0，π)，若cos(－α)－sin(－α)＝－15，则tan α等于( )A ．34B ．－34C ．－43或－34D ．－43B [∵cos(－α)－sin(－α)＝－15，∴cos α＋sin α＝－15，∴1＋2sin αcos α＝125.∴2sin αcos α＝－2425<0.又α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0， ∴cos α－sin α＝－1－2sin αcos α＝－75.由⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋sin α＝－15，cos α－sin α＝－75，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－45，sin α＝35.∴tan α＝sin αcos α＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－54＝－34.]3．若α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为________．－105 [由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α， 将其代入sin 2α＋cos 2α＝1， 得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α<0， ∴cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105.] 4．已知tan(4π＋α)＝m (m ≠±1)，则sin (α－2π)＋2cos (2π－α)2sin (－α)－cos (2π＋α)的值为________． －m ＋22m ＋1[∵tan(4π＋α)＝tan α＝m ， 又sin (α－2π)＋2cos (2π－α)2sin (－α)－cos (2π＋α)＝sin α＋2cos α－2sin α－cos α＝－sin α＋2cos α2sin α＋cos α＝－tan α＋22tan α＋1＝－m ＋22m ＋1.]5．设函数f (x )＝a sin(πx ＋a )－b cos(πx －b )＋c tan(πx ＋c )，其中a ，b ，c ∈R 且abc ≠0，且有f (2 016)＝－1，求f (2 018)的值．[解] f (2 016)＝a sin(2 016π＋a )－b cos(2 016π－b )＋c tan(2 016π＋c )＝a sin a －b cos b ＋c tan c ，而f (2 018)＝a sin(2 018π＋a )－b cos(2 018π－b )＋c tan(2 018π＋c )＝a sin a －b cosb ＋c tan c ，所以f (2 018)＝f (2 016)＝－1.诱导公式(三)、(四)(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝35，则sin x 的值为( )A.35 B ．－35C.45D ．－45B [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin x ＝35，∴sin x ＝－35.] 2．在△ABC 中，cos(A ＋B )的值等于( ) A ．cos C B ．－cos C C ．sin CD ．－sin CB [cos(A ＋B )＝cos(180°－C )＝－cos C ．]3．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ<0，cos θ>0 B ．sin θ>0，cos θ<0 C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0B [∵sin(θ＋π)＝－sin θ<0，∴sin θ>0. ∵cos(θ－π)＝－cos θ>0，∴cos θ<0.] 4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )A ．－13B.13C.223D ．－223A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π2 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.故选A.] 5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1C ．－1D ．1A [由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m ，所以sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1.]二、填空题6．若sin(π－α)＝log 8 14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝________.23 [由已知得sin(π－α)＝sin α＝log 32 2－2＝－23. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝23.] 7．若a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134π，b ＝tan 113π，则a ，b 的大小关系是________.a >b [a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134π＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋34π＝tan 34π＝－tan π4，b ＝tan 113π＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3π＋23π＝tan 23π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－tan π3， ∵0<π4<π3<π2，∴tan π4<tan π3，∴a >b .]8．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.2 [由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2， 则原式＝sin (α－π)－cos α＋cos α＋2sin αsin α－cos α＝－sin α＋2sin αsin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.]三、解答题9．求sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°的值．[解] 原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2. 10．已知f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，且α是第二象限角，求tan α. [解] (1)f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos (－α－π)＝－tan α·cos α·cos α－cos α＝sin α.(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，得cos α＝－35， 又α是第二象限角，所以sin α＝1－cos 2α＝45，则tan α＝sin αcos α＝－43.[等级过关练]1．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为( )A ．－23mB ．－32mC.23mD.32m B [∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ， 从而sin α＝m2，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α ＝－32m .]2．计算：sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝( ) A ．89 B ．90 C.892D ．45C [原式＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋sin 2(90°－44°)＋…＋sin 2(90°－3°)＋sin 2(90°－2°)＋sin 2(90°－1°)＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋…＋cos 23°＋cos 22°＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋(sin 23°＋cos 23°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＝44＋12＝892.]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝________. 14 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12×12＝14.] 4．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是________．31010 [由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－2tan α＋3sin β＝－5，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，又α为锐角，tan α＝sin αcos α＝sin α1－sin 2α＝3， 解得sin α＝31010.]5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜α＜π，求下列各式的值： (1)sin α－cos α；(2)sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α.[解] 由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23，①将①两边平方，得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79.又π2＜α＜π， ∴sin α＞0，cos α＜0.(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＝169，∴sin α－cos α＝43.(2)sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos 3α－sin 3α＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α) ＝－43×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－718＝－2227.正弦函数的图象与性质(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．函数y ＝sin|x |的图象是( )B [∵函数y ＝sin|x |是偶函数，且x ≥0时，sin|x |＝sin x ．故应选B.] 2．函数y ＝9－sin x 的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z ) C.[]2k π，2k π＋π(k ∈Z ) D.[]2k π－π，2k π(k ∈Z )B [y ＝9－sin x 的单调递增区间与y ＝sin x 的单调递减区间相同．]3．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( ) A ．0B ．1C ．－1D ．2B [把x ＝π2代入y ＝sin x 得y ＝sin π2＝1，∴m ＝1.]4．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168° B ．sin 168°<sin 11°<cos 10° C ．sin 11°<sin 168°<cos 10° D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°C [∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin 80°，而y ＝sin x 在[0°，90°]上递增， ∴sin 11°<sin 168°<cos 10°，故选C.] 5．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3C.⎝⎛⎭⎪⎫4π3，5π3D.⎝⎛⎭⎪⎫5π3，2π C [画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下：。
学业分层测评(二十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知|b|＝3，a 在b 方向上的投影是23，则a·b 为( ) A.13B.43C.3D.2【解析】 由数量积的几何意义知a·b ＝23×3＝2，故选D.【答案】 D2.已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则a 与b 的夹角θ为( )【导学号：72010065】A.π6B.2π3C.π3D.5π6【解析】 ∵|2a ＋b |2＝4＋9＋4a ·b ＝7，∴a ·b ＝－32，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12.又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.【答案】 B3.设e 1和e 2是互相垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2，b ＝－3e 1＋4e 2，则a·b 等于( )A.－2B.－1C.1D.2【解析】 因为|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，所以a·b ＝(3e 1＋2e 2)·(－3e 1＋4e 2)＝－9|e 1|2＋8|e 2|2＋6e 1·e 2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.故选B.【答案】 B4.若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，且(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则a 的模为( )A.2B.4C.6D.12【解析】 ∵(a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－a ·b －6b 2＝|a |2－|a |·|b |cos 60°－6|b |2＝|a |2－2|a |－96＝－72，∴|a |2－2|a |－24＝0，∴|a |＝6.【答案】 C5.已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝|b |＝1，c 与a ＋b 同向，则|a －c |的最小值为( )A.1B.12C.34D.32 【解析】 ∵|a |＝|b |＝1，c 与a ＋b 同向，∴a 与c 的夹角为60°.又|a －c |＝a 2－2a ·c ＋c 2 ＝1－|c |＋|c |2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|c |－122＋34，故|a －c |的最小值取32.【答案】 D二、填空题6.已知a ⊥b ，|a|＝2，|b|＝1，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于________.【解析】 ∵(3a ＋2b )⊥(λa －b )，∴(λa －b )·(3a ＋2b )＝0，∴3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2＝0.又∵|a|＝2，|b|＝1，a ⊥b ，∴12λ＋(2λ－3)×2×1×cos 90°－2＝0，∴12λ－2＝0，∴λ＝16.【答案】 167.已知|a |＝|b |＝|c |＝1，且满足3a ＋m b ＋7c ＝0，其中a 与b 的夹角为60°，则实数m ＝________.【解析】 ∵3a ＋m b ＋7c ＝0，∴3a ＋m b ＝－7c ，∴(3a ＋m b )2＝(－7c )2，化简得9＋m 2＋6m a ·b ＝49.又a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12，∴m 2＋3m －40＝0，解得m ＝5或m ＝－8.【答案】 5或－8三、解答题8.已知|a |＝4，|b |＝2.(1)若a 、b 的夹角为120°，求|3a －4b |；(2)若|a ＋b |＝23，求a 与b 的夹角θ.【解】 (1)a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.又|3a －4b |2＝(3a －4b )2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304，∴|3a －4b |＝419.(2)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝42＋2a ·b ＋22＝(23)2，∴a ·b ＝－4，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－44×2＝－12. 又 θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.9.在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，试判断△ABC 的形状.【解】 如图，a ＋b ＋c ＝0.则a ＋b ＝－c ，即(a ＋b )2＝(－c )2，故a 2＋2a ·b ＋b 2＝c 2.①同理，a 2＋2a ·c ＋c 2＝b 2, ②b 2＋2b ·c ＋c 2＝a 2. ③由①－②，得b 2－c 2＝c 2－b 2，即2b 2＝2c 2，故|b |＝|c |.同理，由①－③，得|a |＝|c |.故|a |＝|b |＝|c |，故△ABC 为等边三角形.[能力提升]1.(2016·玉溪高一检测)已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，23π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 【解析】 因为Δ＝a 2－4|a |·|b |cos θ(θ为向量a 与b 夹角).若方程有实根，则有Δ≥0即a 2－4|a |·|b |cos θ≥0，又|a |＝2|b |，∴4|b |2－8|b |2cos θ≥0，∴cos θ≤12，又0≤θ≤π，∴π3≤θ≤π.【答案】 B2.已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角.【解】 ∵e 1，e 2为单位向量且夹角为60°，∴e 1·e 2＝1×1×cos 60°＝12.∵a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1)＝－2－e 1·e 2＋1＝－2－12＋1＝－32，|a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2 ＝1＋2×12＋1＝3，|b |＝b 2＝(e 2－2e 1)2 ＝1＋4－4×12＝3，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－32×13×3＝－12.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，∴a与b的夹角为120°.。
2017-2018学年人教B版高中数学必修四全册课时跟踪检测目录课时跟踪检测（一）角的概念的推广 (1)课时跟踪检测（二）弧度制和弧度制与角度制的换算 (4)课时跟踪检测（三）三角函数的定义 (8)课时跟踪检测（五）同角三角函数的基本关系式 (13)课时跟踪检测（六）诱导公式（一、二、三） (17)课时跟踪检测（七）诱导公式（四） (22)课时跟踪检测（八）正弦函数的图象与性质 (27)课时跟踪检测（九）正弦型函数y= Asin (ωx+φ） (32)课时跟踪检测（十）余弦函数的图象与性质 (37)课时跟踪检测（十一）正切函数的图象与性质 (42)课时跟踪检测（十二）已知三角函数值求角 (47)课时跟踪检测（十三）向量的概念 (51)课时跟踪检测（十四）向量的加法 (56)课时跟踪检测（十五）向量的减法数乘向量 (60)课时跟踪检测（十六）向量共线的条件与轴上向量坐标运算 (65)课时跟踪检测（十七）平面向量基本定理 (70)课时跟踪检测（十八）向量的正交分解与向量的直角坐标运算 (75)课时跟踪检测（十九）用平面向量坐标表示向量共线条件 (80)课时跟踪检测（二十）向量数量积的物理背景与定义向量数量积的运算律84 课时跟踪检测（二十一）向量数量积的坐标运算与度量公式 (89)课时跟踪检测（二十二）向量在几何中的应用向量在物理上的应用 (94)课时跟踪检测（二十三）两角和与差的余弦 (99)课时跟踪检测（二十四）两角和与差的正弦 (104)课时跟踪检测（二十五）两角和与差的正切 (109)课时跟踪检测（二十六）倍角公式 (115)课时跟踪检测（二十七）半角的正弦、余弦和正切 (121)课时跟踪检测（二十八）三角函数的积化和差与和差化积 (126)阶段质量检测（一）基本初等函数（Ⅱ） (131)阶段质量检测（二）平面向量 (139)课时跟踪检测（一）角的概念的推广层级一学业水平达标1．－215°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选B由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3 000°，－840°解析：选B∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°与750°终边相同．3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是()A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限解析：选A由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，在第三象限，当k＝2n，n∈Z，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限．∴α是第一或第三象限的角．4．终边在第二象限的角的集合可以表示为()A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}解析：选D终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D 是从顺时针方向来看的，故选项D正确．5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°解析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.6．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°； ②钝角一定大于锐角；③射线OA 绕端点O 按逆时针旋转一周所成的角是0°； ④－2 000°是第二象限角．其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确． ②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA 按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确． 答案：①③7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________. 解析：5α＝α＋k ·360°，k ∈Z ，∴α＝k ·90°，k ∈Z. 又∵180°<α<360°，∴α＝270°. 答案：270°8．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________． 解析：∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k ·360°，k ∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.答案：216° －144°9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角： (1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．已知角的集合M ＝{α|α＝30°＋k ·90°，k ∈Z}，回答下列问题： (1)集合M 中大于－360°且小于360°的角是哪几个？ (2)写出集合M 中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k ·90°<360°，则－133<k <113，又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)∵集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同，∴β＝120°＋k·360°，k∈Z.层级二应试能力达标1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为()A．1B．2C．3 D．4解析：选D①－15°是第四象限角；②180°<185°<270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，所以四个结论都是正确的．2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝()A．120°＋k·360°，k∈ZB．120°＋k·180°，k∈ZC．240°＋k·360°，k∈ZD．240°＋k·180°，k∈Z解析：选B角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在()A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上解析：选A∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．4．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是() A．M∩N＝∅B．M NC．N M D．M＝N解析：选C对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k ∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n表示所有的整数，∴N M，故选C.5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.答案：－30°－360°6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．答案：一或三7．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解：终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．课时跟踪检测（二）弧度制和弧度制与角度制的换算层级一学业水平达标1．把50°化为弧度为()A．50 B. 5π18C. 185π D.9 000π解析：选B50°＝50×π180＝5π18.2．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是() A．16πB．32πC．16 D．32解析：选C弧长l＝2r,4r＝16，r＝4，得l＝8，即S ＝12lr ＝16.3．角α的终边落在区间⎝⎛⎭⎫－3π，－5π2内，则角α所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C －3π的终边在x 轴的非正半轴上，－5π2的终边在y 轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A. 143π B ．－143π C. 718π D ．－718π解析：选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π. 5．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z}B ．终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π2＋k π，k ∈ZC ．终边在坐标轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k ·π2，k ∈Z D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π4＋2k π，k ∈Z解析：选D 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π4＋k π，k ∈Z .6．－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________． 解析：－135°＝－135×π180＝－34π，113π＝113×180°＝660°. 答案：－34π 660°7．扇形的半径是6，圆心角是60°，则该扇形的面积为________． 解析：60°＝π3，扇形的面积公式为S 扇形＝12αr 2＝12×π3×(6)2＝π.答案：π8．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________.解析：由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2， ∴M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π9．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4. 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12l ·R .联立⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝4，12l ·R ＝1，解得R ＝1，l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2.10．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角． (1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k (k ∈Z)．解：(1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋5π12＝－10π＋5π12，是第一象限角．(2)－60°＋360°·k ＝－π180×60＋2π·k ＝－π3＋2k π(k ∈Z)，是第四象限角． 层级二 应试能力达标1．下列转化结果错误的是( ) A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15° 解析：选C 对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°.故C 错误． 2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.3．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z)D ．α－β＝2k π＋π2(k ∈Z)解析：选D ∵α＝x ＋π4＋2k 1π(k 1∈Z)，β＝x －π4＋2k 2π(k 2∈Z)，∴α－β＝π2＋2(k 1－k 2)·π(k 1∈Z ，k 2∈Z)．∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z. ∴α－β＝π2＋2k π(k ∈Z)．4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A. π3 B.2π3C. 3D ．2解析：选C 如图，设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，所以圆弧长度为3R 的圆心角的弧度数α＝3RR＝ 3. 5．若角α的终边与85π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4角的终边相同的角是____________．解析：由题意，得α＝8π5＋2k π，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z)．令k ＝0,1,2,3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.答案：2π5，9π10，7π5，19π106．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________． 解析：设原来圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则l ＝αr .设将圆的半径变为原来的3倍后圆心角为α1，则α1＝l 3r ＝αr 3r ＝α3，故α1α＝13.答案：137．已知α＝1 690°，(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)． 解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π.(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2k π＋2518π(k ∈Z)．又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋2518π<4π. 解得－9736<k <4736(k ∈Z)，∴k ＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.8．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求： (1)弧AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积． 解：(1)因为120°＝120180π＝23π，所以l ＝α·r ＝23π×6＝4π，所以弧AB 的长为4π.(2)因为S 扇形AOB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点，于是有S △OAB ＝12AB ·OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3.所以弓形的面积为S 扇形AOB －S △OAB ＝12π－9 3.课时跟踪检测（三） 三角函数的定义层级一 学业水平达标1．若α＝2π3，则α的终边与圆x 2＋y 2＝1的交点P 的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，32 B. ⎝⎛⎭⎫－12，32 C. ⎝⎛⎭⎫－32，12 D.⎝⎛⎭⎫12，－32解析：选B 设P (x ，y )，∵角α＝2π3在第二象限， ∴x ＝－12，y ＝1－⎝⎛⎭⎫－122＝32，∴P ⎝⎛⎭⎫－12，32. 2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α等于( )A．1 B．－1C.22D．－22解析：选C∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r＝12＋(－1)2＝2，∴cos α＝xr＝12＝22.3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上三种情况都可能解析：选B∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)，∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角．4．代数式sin 120°cos 210°的值为()A．－34 B.34C．－32 D.14解析：选A利用三角函数定义易得sin 120°＝32，cos 210°＝－32，∴sin 120°cos 210°＝32×⎝⎛⎭⎫－32＝－34，故选A.5．若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α等于()A．±15B．±55C．±255D．±12解析：选C在α的终边上任取一点(－1,2)，则r＝1＋4＝5，所以sin α＝yr＝25＝255.或者取P(1，－2)，则r＝1＋4＝5，所以sin α＝yr＝－25＝－255.6．计算：tan π6＝________，cscπ6＝________.解析：∵α＝π6，在α的终边上取一点P(3a，a)，∴r＝2a.∴tan π6＝33，cscπ6＝2.答案：33 27．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α＝________.解析：∵tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12.∴r ＝25＋a 2＝13.∴sin α＝－1213，cos α＝513.∴sin α＋cos α＝－713.答案：－7138．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________.解析：当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0.综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0. 答案：09．已知角θ终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m (m ≠0)，试求cos θ与tan θ的值． 解：点P (－3，m )到坐标原点O 的距离r ＝3＋m 2，由三角函数的定义，得sin θ＝yr ＝m 3＋m 2＝24m ，解得m ＝±5.∴r ＝2 2.当m ＝5时，cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153.当m ＝－5时，cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝153.10．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 21＋y 21＝1， 即x 21＋⎝⎛⎭⎫－222＝1，解得x 1＝22或x 2＝－22.∴cos α＝22或cos α＝－22，∴tan α＝－1或tan α＝1.层级二 应试能力达标1．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0， 即－2<a ≤3.2．设a <0，角α的终边与圆x 2＋y 2＝1的交点为P (－3a,4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( ) A. 25 B ．－25C. 15D ．－15解析：选A ∵点P 在圆x 2＋y 2＝1上，则|OP |＝1. 即(－3a )2＋(4a )2＝1，解得a ＝±15.∵a <0，∴a ＝－15.∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－45. ∴sin α＝－45，cos α＝35.∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25.3．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限．4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝( )A ．8B ．－8C ．4D ．－4解析：选B 由题意r ＝|OP |＝m 2＋(－6)2＝m 2＋36，故cos α＝m m 2＋36＝－45，解得m ＝－8.5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.＜0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8.答案：－86．设0≤θ＜2π，若sin θ＜0且cos 2θ＜0，则θ的取值范围是________． 解析：因为0≤θ＜2π且sin θ＜0，所以π＜θ＜2π.又cos 2θ＜0，所以2k π＋π2＜2θ＜2k π＋3π2，k ∈Z ，所以k π＋π4＜θ＜k π＋3π4，k ∈Z.因为π＜θ＜2π，所以k ＝1，即θ的取值范围是5π4＜θ＜7π4. 答案：⎝⎛⎭⎫5π4，7π47．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝2＋log 12x ＋tan x ；(2)f (x )＝cos x .解：(1)由题意得⎩⎨⎧2＋log 12x ≥0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，即⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，x ≠k π＋π2(k ∈Z ). 解得0<x <π2或π2<x ≤4，所以原函数的定义域为⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，4. (2)若使函数有意义，则需满足cos x ≥0， 即2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z.∴函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z.8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限．(2)若角α的终边上一点是M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，所以sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1， 得m ＝±45.又α为第四象限角，故m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.课时跟踪检测（五） 同角三角函数的基本关系式层级一 学业水平达标1．(福建高考)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A. 125 B ．－125C.512D ．－512解析：选D 因为sin α＝－513，且α为第四象限角， 所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B ∵α为第三象限角， ∴原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.3．下列四个结论中可能成立的是( ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α是第二象限角时，tan α＝－sin αcos α解析：选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B 成立，而A 、C 、D 都不成立．A ．－35B ．－15C. 15D. 35解析：选A sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.5．若α是三角形的最大内角，且sin α－cos α＝35，则三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：选B 将sin α－cos α＝35两边平方，得1－2sin αcos α＝925，即2sin αcos α＝1625.又α是三角形的内角，∴sin α>0，cos α>0，∴α为锐角．6．若sin θ＝－22，tan θ>0，则cos θ＝________. 解析：由已知得θ是第三象限角， 所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－222＝－22.答案：－227．化简：1－2sin 40°cos 40°＝________. 解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40° ＝(sin 40°－cos 40°)2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°. 答案：cos 40°－sin 40°8．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝________.解析：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝12－32＝－13.答案：－139．化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°；(2)sin θ－cos θtan θ－1.解：(1)原式＝cos 36°－sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36°＝cos 36°－sin 36°(cos 36°－sin 36°)2＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝1.(2)原式＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝cos θ(sin θ－cos θ)sin θ－cos θ＝cos θ.10．已知sin α＋cos α＝33，求tan α＋1tan α及sin α－cos α的值． 解：将sin α＋cos α＝33两边平方，得sin αcos α＝－13. ∴tan α＋1tan α＝1sin αcos α＝－3， (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋23＝53，∴sin α－cos α＝±153. 层级二 应试能力达标1．已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin α的值是( ) A ．－55B.55C.255 D ．－255解析：选A ∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴sin α<0. 由tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝－55. 2．化简⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( ) A ．sin α B ．cos α C ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：选A ⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α·(1－cos α)＝(1＋cos α)sin α·(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin 2αsin α＝sin α. 3．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )C. 13 D ．－13解析：选A 由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59.∴sin 2θcos 2θ＝29.∵θ是第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝23. 4．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A. 34 B ．±310C. 310D ．－310解析：选C 由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ， 即3cos θ＝sin θ，tan θ＝3， ∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝31＋32＝310. 5．已知sin αcos α＝18，且π<α<5π4，则cos α－sin α＝________.解析：因为π<α<5π4，所以cos α<0，sin α<0.利用三角函数线，知cos α<sin α，所以cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－2×18＝－32.答案：－326．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α(n ∈Z)的值为________． 解析：∵sin α＋cos α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0，当sin α＝0时，cos α＝1，此时有sin n α＋cos n α＝1； 当cos α＝0时，sin α＝1，也有sin n α＋cos n α＝1， ∴sin n α＋cos n α＝1. 答案：17．已知tan 2α1＋2tan α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π. (1)求tan α的值；(2)求sin α＋2cos α5cos α－sin α的值．解：(1)由tan 2α1＋2tan α＝13，得3tan 2α－2tan α－1＝0， 即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0， 解得tan α＝－13或tan α＝1.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以tan α<0，所以tan α＝－13.(2)由(1)，得tan α＝－13，所以sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎫－13＝516.8．求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.证明：左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α ＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边．所以原等式成立．课时跟踪检测（六） 诱导公式（一、二、三）层级一 学业水平达标1．sin 600°的值是( ) A. 12 B ．－12C.32D ．－32解析：选D sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 2．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是( )A. 12 B ．－12C ．－32D.32解析：选B 由题知，sin α＝12，所以sin(4π－α)＝－sin α＝－12.3．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )A ．－255B ．－55C.55D.255解析：选C ∵r ＝1，∴cos θ＝－55， ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝55. 4．已知tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝( ) A. 13 B ．－13C. 233D ．－233解析：选B tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫－π3＋α ＝tan ⎝⎛⎭⎫－π3＋α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－13. 5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α＋3π)＋cos (π＋α)sin (－α)－cos (π＋α)的值等于( )A. m ＋1m －1B.m －1m ＋1C ．－1D ．1解析：选A ∵tan(5π＋α)＝tan [4π＋(π＋α)] ＝tan(π＋α)＝tan α，∴tan α＝m ，∴原式＝sin (π＋α)－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1，故选A. 6．求值：(1)cos 29π6＝______；(2)tan(－855°)＝______. 解析：(1)cos29π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1. 答案：(1)－32(2)1 7．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为________． 解析：sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 所以cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 答案：2558．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________.解析：由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝1213， 所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213. 答案：12139．求下列各三角函数值：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3；(2)cos 23π6；(3)tan 37π6. 解：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋4π3＝sin 4π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3＝－32. (2)cos 23π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32.10．若cos α＝23，α是第四象限角，求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．解：由已知cos α＝23，α是第四象限角得sin α＝－53， 故sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝52. 层级二 应试能力达标1．已知cos(π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )A. 45 B ．－45C ．±45D. 35解析：选B ∵cos(π－α)＝－cos α，∴cos α＝35.∵α是第一象限角，∴sin α>0， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.∴sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－45.2．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，若f (2 015)＝5，则f (2 016)等于( ) A ．4 B ．3 C ．－5D ．5解析：选C ∵f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，∴f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.3．若α，β的终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是( ) A ．sin α＝sin β B ．cos α＝cos β C ．tan α＝tan βD ．sin α＝－sin β解析：选A 法一：∵α，β的终边关于y 轴对称， ∴α＋β＝π＋2k π或α＋β＝－π＋2k π，k ∈Z ， ∴α＝2k π＋π－β或α＝2k π－π－β，k ∈Z ， ∴sin α＝sin β.法二：设角α终边上一点P (x ，y )，则点P 关于y 轴对称的点为P ′(－x ，y )，且点P 与点P ′到原点的距离相等，设为r ，则sin α＝sin β＝yr .4．下列三角函数式：①sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4；②cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6； ⑤sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3. 其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：选C ①中sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4＝sin 3π4≠sin π3；②中，cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6＝cos π6＝sin π3；③中，sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3；④中，cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6≠sin π3；⑤中，sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－π－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝sin π3. 5．化简：cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是________．解析：原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2. 答案：2－26．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ， x <0，f (x －1)－1， x >0，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． 解析：因为f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝sin π6＝12； f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－12－2＝－52. 所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝－2. 答案：－2 7．计算与化简(1)tan (2π－θ)sin (2π－θ)cos (6π－θ)(－cos θ)sin (5π＋θ)；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)sin (π＋θ)＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ.(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°) ＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1.8．已知1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，求：[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)的值．解：由1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，得(4＋22)tan θ＝2＋22， 所以tan θ＝2＋224＋22＝22，故原式＝(cos 2θ＋sin θcos θ＋2sin 2θ)·1cos 2θ＝1＋tan θ＋2tan 2θ ＝1＋22＋2×⎝⎛⎭⎫222 ＝2＋22.课时跟踪检测（七） 诱导公式（四）层级一 学业水平达标1．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ<0，且cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由于sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.2．已知sin θ＝15，则cos(450°＋θ)的值是( )A. 15 B ．－15C ．－265D.265解析：选B cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－15.3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( ) A ．－33B.33C ．－ 3 D. 3解析：选C 由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32.又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3. 4．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝( )A ．2B ．－2C ．0D. 23解析：选B sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.5．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A2解析：选D ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ， ∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 错． ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2， ∴cos A ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＝sin B2，故C 错． ∵B ＋C ＝π－A ，∴sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2，故D 正确． 6．sin 95°＋cos 175°的值为________．解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°) ＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：07．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ－sin 2θ＝________. 解析：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ＝35，从而sin 2θ＝1－cos 2θ＝1625，所以cos 2θ－sin 2θ＝－725. 答案：－7258．化简：sin(－α－7π)·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝________. 解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α ＝－sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·(－sin α) ＝－sin 2α. 答案：－sin 2α9．已知sin(π＋α)＝－13.求：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α. 解：∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α＝－13. (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－223. 10．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13， 求值：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αsin (π＋α).解：原式＝cos αsin α－cos α＋sin αsin α－sin α＝－sin α－sin α＝－2sin α. 又cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13，所以－sin α＝13.所以原式＝－2sin α＝23.层级二 应试能力达标1．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为( ) A ．－23mB ．－32mC. 23m D. 32m 解析：选B ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ， 即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ，从而sin α＝m2，∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m . 2．已知f (x )＝sin x ，下列式子成立的是( ) A ．f (x ＋π)＝sin x B ．f (2π－x )＝sin x C ．f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x D ．f (π－x )＝－f (x )解析：选C f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＝－sin x ； f (2π－x )＝sin(2π－x )＝sin(－x )＝－sin x ； f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ； f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )，故选C.3．已知α为锐角，2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A. 355 B. 377C. 31010D. 13解析：选C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.∴tan α＝3，又tan α＝sin αcos α，∴9＝sin 2αcos 2α＝sin 2α1－sin 2α，∴sin 2α＝910，∵α为锐角，∴sin α＝31010，选C. 4．已知cos(60°＋α)＝13，且－180°<α<－90°，则cos(30°－α)的值为( )A ．－223B. 223 C ．－23D. 23解析：选A 由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°，又cos(60°＋α)＝13>0，所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°，所以120°<30°－α<180°，cos(30°－α)<0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－1－cos 2(60°＋α)＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－223. 5．tan(45°＋θ)·tan(45°－θ)＝________. 解析：原式＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)·sin (45°－θ)cos (45°－θ)＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)·sin[90°－(45°＋θ)]cos[90°－(45°＋θ)]＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)cos (45°＋θ)sin (45°＋θ)＝1.答案：16．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________． 解析：∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44， x ∈N)，∴原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝⎛⎭⎫222＝912. 答案：9127．已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15， 求f (α)的值．解：(1)f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α)＝(－sin α)·cos α·(－cos α)(－cos α)·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α，所以sin α＝－15. 又α是第三象限的角， 所以cos α＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－152＝－265. 所以f (α)＝265.。
2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册课时分层作业：11.2平面的基本事实与推论含解析课时分层作业（十五）平面的基本事实与推论(建议用时：40分钟)一、选择题1．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面;③有三个公共点的两个平面重合;④三条直线两两相交,可以确定3个平面．其中正确的序号是()A．①B．①④C．②③D．③④A[因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以②不正确;有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上,所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3,所以④不正确．］2.下图中正确表示两个相交平面的是()A B C DD[A中没有画出相交平面的交线，且不可见的线没有画成虚线；B中不可见的线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图规则画;D 中交线及实、虚线均正确．故选D．］3．若一直线a在平面α内，则正确的作图是()A［a⊂α用图示表示应为A，B选项画法错误，C选项a∥α，D选项a与α相交．］4．如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面（) A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点D[由基本事实3可知,两个不重合平面有一个公共点，它们有且只有一条过该公共点的公共直线，则有无数个公共点．］5.如图，平面α∩平面β＝l，A,B∈α，C∈β，C∉l,直线AB∩l ＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过(）A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点DD[根据基本事实3判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D．]二、填空题6．设平面α与平面β相交于l,直线a⊂α,直线b⊂β，a∩b＝M,则M________l。
∈［因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l。
