信号处理与数据分析 邱天爽作业答案第六章(Part2)

1．用冲激响应不变法将以下 )(s H a 变换为 )(z H ，抽样周期为T。

为任意正整数 ,)()( )2()()( )1(022n s s As H b a s a s s H na a -=+++=分析：①冲激响应不变法满足)()()(nT h t h n h a nT t a ===，T 为抽样间隔。

这种变换法必须)(s H a 先用部分分式展开。

②第（2）小题要复习拉普拉斯变换公式1!][+=n n S n t L ,n a n t s a S S As H t u n t Ae t h )()()()!1()(010-=⇔-=-，可求出)()()(kT Th t Th k h a kT t a ===，又dz z dX zk kx )()(-⇔，则可递推求解。

解: (1)22111()()2a s a H s s a b s a jb s a jb ⎡⎤+==+⎢⎥+++++-⎣⎦[])( 21)()()(t u e e t h tjb a t jb a a --+-+=由冲激响应不变法可得：[]()()()() ()2a jb nTa jb nT a T h n Th nT ee u n -+--==+ 11011() () 211n aT jbT aT jbT n T H z h n z e e z e e z ∞------=⎡⎤==+⎢⎥--⎣⎦∑2211cos 21cos 1 ------+--⋅=ze bT z e bTz e T aT aT aT(2) 先引用拉氏变换的结论[]1!+=n n sn t L可得： na s s As H )()(0-=)()!1()(10t u n t Ae t h n t s a -=-则)()!1()()()(10k u n kT Ae T Tk Th k h n kT s a -⋅==-dzz dX zk kx azk u a ZZk )()( , 11)( 1-−→←-−→←-且按)11()()!1( )()!1( )()(111111000--∞=---∞=----=-==∑∑ze dz d z n AT e z k n T TA z k h z H T s n n k kT s n n k k可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=•••---,3,2)1(1,1)(111000n z e z e AT n z e AT z H n T s T S n T s ，可以递推求得：2. 已知模拟二阶巴特沃思低通滤波器的归一化系统函数为：2'4142136.111)(ss s H a ++=而3dB 截止频率为50Hz 的模拟滤波器，需将归一化的)('s H a 中的s 变量用502⨯πs来代替424'108696044.928830.444108696044.9)100()(⨯++⨯==s s s H s H a a π 设系统抽样频率为Hz f s 500=，要求从这一低通模拟滤波器设计一个低通数字滤波器，采用阶跃响应不变法。

第6章 角度调制与解调电路调制信号38cos(2π10)V u t Ω=⨯，载波输出电压6o ()5cos(2π10)V u t t =⨯，3f 2π10rad/s V k =⨯，试求调频信号的调频指数f m 、最大频偏m f ∆和有效频谱带宽BW ，写出调频信号表示式[解] 3m 3m 2π108810Hz 2π2πf k U f Ω⨯⨯∆===⨯ 3m 33632π1088rad2π102(1)2(81)1018kHz ()5cos(2π108sin 2π10)(V)f f o k U m BW m F u t t t Ω⨯⨯===Ω⨯=+=+⨯==⨯+⨯调频信号72()3cos[2π105sin(2π10)]V o u t t t =⨯+⨯，3f 10πrad/s V k =，试：(1) 求该调频信号的最大相位偏移f m 、最大频偏m f ∆和有效频谱带宽BW ；(2) 写出调制信号和载波输出电压表示式。

[解] (1) 5f m =5100500Hz=2(+1)2(51)1001200Hzm f f m F BW m F ∆==⨯==+⨯=(2) 因为mf f k U m Ω=Ω，所以352π1001V π10f m fm U k ΩΩ⨯⨯===⨯，故27()cos 2π10(V)()3cos 2π10(V)O u t t u t t Ω=⨯=⨯载波信号m c ()cos()o u t U t ω=，调制信号()u t Ω为周期性方波，如图P6.3所示，试画出调频信号、瞬时角频率偏移()t ω∆和瞬时相位偏移()t ϕ∆的波形。

[解] FM ()u t 、()t ω∆和()t ϕ∆波形如图P6.3(s)所示。

调频信号的最大频偏为75 kHz ，当调制信号频率分别为100 Hz 和15 kHz 时，求调频信号的f m 和BW 。

[解] 当100Hz F =时，37510750100m f f m F ∆⨯===2(1)2(7501)100Hz 150kHz f BW m F =+=+⨯= 当15kHz F =时，33751051510m f f m F ∆⨯===⨯ 32(51)1510Hz 180kHz BW =+⨯⨯=调制信号3()6cos(4π10)V u t t Ω=⨯、载波输出电压8()2cos(2π10)V o u t t =⨯，p 2rad /V k =。

《数字信号处理》第6章课后作业答案6.1（1）已知IIR 数字滤波器的系统函数为 (1) 232164016()81061z H z z z z -+=-+- 试写出滤波器的差分方程，并分别画出直接I 型、直接Ⅱ型、转置直接Ⅱ型、级联型和并联型结构图。

解:经化解原式可得：123123252()5311448z z z H z z z z -------+=-+-直接I 型：直接Ⅱ型:级联型：注意，对于级联型，一定要化成负幂次，再写系数！经对原式进行分解得：11211221 2.5()110.2512z z z H z z z z-------+=⨯--+并联型： 注意：系数b,a 是()H z z的系数！ b=[0,0,16,-40,16]; a=[8,-10,6,-1,0]; [K,z,d]=residue(b,a) KK1=[K(1),K(2)]; zz1=[z(1),z(2)];[b2,a2]=residue(KK1,zz1,0) 经原式分解得:111211.2 4.8 5.6()1610.2510.5z H z z z z -----=-++--+6.1（2）略 6.4Matlab 程序： clear; fp=5000; wp=2*pi*fp; fs=10000; ws=2*pi*fs; ap=3; as=30;[N,wc]=cheb1ord(wp,ws,ap,as,'s'); [B,A]=cheby1(N,ap,wc,'s') freqs(B,A);系统函数：17439213171.220510()18271 1.153910 1.25510 1.72410H s s s s s ⨯=++⨯+⨯+⨯ 图：6.6试设计一个巴特沃斯型模拟带通滤波器，并用Matlab 验证结果，要求带宽为200Hz ，中心频率为1000Hz ，通带内衰减不大于3dB,在频率小于830Hz 或大于1200Hz 处的衰减不小于25dB. 解：（1） 模拟带通滤波器的技术指标要求为：BW Ω=400πrad/s; 0Ω=2210πrad/s; p α=3dB; s α=25dB; 因为：ph pl Ω-Ω=400π；ph pl Ω•Ω=4000000π2； 所以可得：ph Ω=2210πrad/s; pl Ω=1810πrad/s; sh Ω=2400πrad/s; pl Ω=ll1810πrad/s; (2) 归一化频率为： 2210 5.525;400ph ph BWηΩ===Ω 18104.525;400pl pl BW ηΩ===Ω 24006;400sh sh BW ηΩ===Ω 1660 4.15;400sl sl BW ηΩ===Ω 2025;sh sl ηηη==（3）归一化原型模拟低通滤波器()a G p 的技术指标要求为：1;p λ= 222200min sh sl s sh sl ηηηηληη⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦， ；s λ=1.83；（4）设计归一化原型低通滤波器：()a G p0.10.110.12101lg 101 4.762;2lg (101) 1.029;p s ss Ns N αααλλλ-⎛⎫- ⎪-⎝⎭≥-==-=c 所以 N=5;（5）查表得： 23451()1 3.3261 5.236 5.2361 3.2361an G u u u u u u=+++++ （6）()()ca an pu G p G u λ==（7）2()()()ph pl ph pla s p s Ha s G p Ω-Ω=+ΩΩ=Matlab 程序：fp=[905,1105]; fs=[830,1200]; wp=2*pi*fp; ws=2*pi*fs; ap=3; as=25;[N,wc]=buttord(wp,ws,ap,as,'s'); %巴特沃斯型模拟带通滤波器 [B,A]=butter(N,wc,'s'); f=500:1500; w=2*pi*f;H=freqs(B,A,w); subplot(2,1,1);plot(f,20*log10(abs(H))); grid on;axis([500,1500,-80,5]); xlabel('f/Hz'); ylabel('幅度/dB'); subplot(2,1,2); plot(f,angle(H)); grid on;axis([500,1500,-5,5]); xlabel('f/Hz'); ylabel('相位/dB');6.7 解：0.1T s =;112()(2)(3)23a s H s s s s s +-==+++++;122;3;s s ∴=-=-23122131(),,2()11T T T T H z z e z e T TH z e Z e Z ------==-∴=+--所以相应的的极点为Matlab 程序： clear; b=[1,1]; a=[1,5,6]; Fs=10;[B,A]=impinvar(b,a,Fs); [H,w]=freqz(B,A,'whole'); plot(w/pi,20*log10(abs(H)));6．8试用双线性变换法设计一个巴特沃斯型低通数字滤波器，并用matlab ，验证结果，给定技术指标为100,300,3,20,p s p s f Hz f Hz dB dB αα====采样频率为1000Hz 。

习题10.5试说明周期图谱估计方法。

解：周期图（periodogram ）是一种经典的功率谱密度估计方法，其主要优点是能应用快速傅里叶变换算法来进行谱估计。

当序列的长度足够长时，使用改进的周期图法，可以得到较好的功率谱估值，因而应用很广。

周期图的直接计算公式为：j j *j j 2per 11(e )(e )(e )|(e )|P X X X N Nωωωω==。

此外，功率谱密度还可以根据自相关函数估计的傅里叶变换来进行计算，称为经典谱估计的间接法，又称为BT 法，其计算公式为：j (2)j j 2per 1ˆ(e )()e |(e )|m N m P R m X Nωωω+∞−=−∞==∑，其中(2)ˆ()N R m 为自相关函数的有偏估计。

习题10.18设()x n 为一平稳随机信号，且是各态历经的，现用式()()()1||01ˆ||N m N N n r m x n x n m N m −−==+−∑ 解：估计其自相关函数，求此估计的均值和方差。

偏差的定义：ˆˆbia[()][()}()]rm E r m r m =− 式中1010101ˆ[()][()()]1 [()()]1 () ()N m N N n N m N N n N M n E r m E x n x n m N mE x n x n m N mr m N mr m −−=−−=−−==+−=+−=−=∑∑∑ 所以ˆbia[()]0rm =，即本题的自相关函数的估计是无偏估计。

由定义222ˆˆˆˆˆvar[()][()[()]][()][()]rm E r m E r m E r m E r m =−=−，其中 22ˆ[()]()E r m r m = 所以：1||22(1||)ˆˆvar[()][()()()](||)N m k N m N r m rk r k m r k m N m −−=−−−≈++−−∑。

第六章 习题及参考答案一、习题1、已知一个由下列差分方程表示的系统，x(n)、y(n)分别表示该系统的输入、输出信号：)1(21)()2(61)1(65)(-+=-+--n x n x n y n y n y （1）画出该系统的直接型结构； （2）画出该系统的级联型结构； （3）画出该系统的并联型结构。

2、已知某系统的系统函数为：)6.09.01)(5.01()9.21)(1()(211211------++-+-+=z z z z z z z H 请画出该系统的级联型结构。

3、已知FIR 滤波器的单位脉冲响应为)(8.0)(5n R n h n =， （1）求该滤波器的系统函数； （2）画出该滤波器的直接型结构。

4、已知滤波器的系统函数为：3213218.09.09.018.04.16.01)(-------+-+--=zz z z z z z H 请画出该滤波器的直接型结构。

5、已知滤波器的系统函数为：)8.027.11)(5.01()44.11)(1(3)(211211------+--+--=z z z z z z z H 请画出该滤波器的级联型结构和并联型结构。

6、已知某因果系统的信号流图如下图所示：x(n)y(n)-25-3求该系统的系统函数和单位脉冲响应。

7、已知某系统的信号流图如下图所示：x(n)y(n)求该系统的系统函数和极点。

8、已知IIR 滤波器的系统函数为：4.035.04.046.16.14)(2323++++--=z z z z z z z H （1）画出级联型网络结构，要求利用MATLAB 分解H(z); （2）用MATLAB 验证所求的级联型结构是否正确。

9、已知IIR 滤波器的系统函数为：3213214.035.04.016.141.158.12.5)(-------++-++=zz z z z z z H （1）画出该系统的并联型网络结构，要求用MATLAB 分解； （2）用MATLAB 验证（1）中所求的并联型结构是否正确。

第6、8、9章作业参考答案（此参考答案摘录了张露、林力、邬智翔、杨纯等同学的作业答案，特此声明）第六章1、主要的固有噪声源有哪些？产生的原因、表达式和式中各项的意义是什么？ 答：主要的固有噪声源有热噪声、散弹噪声、产生-复合噪声、1/f 噪声和温度噪声等。

下面分类叙述：（1）、热噪声。

当某电阻处于环境温度高于绝对零度的条件下，内部杂乱无章的自由电子的热运动将形成起伏变化的噪声电流，其大小与极性均在随机变化着，且长时间的平均值等于零。

热噪声常用噪声电流的均方值2nT I 表示，如下式：24()nT kT f I R∆= 式中R 为所讨论元件的电阻值，k 为玻尔兹曼常数，T 为电阻所处环境的绝对温度，f ∆为所用测量系统的频带宽度。

（2）、散弹噪声元器件中有直流电流通过时微观的随机起伏（如光电倍增管光阴极的电子发射，光伏器件中穿过PN 结的载流子涨落等）形成散弹噪声并叠加在直流电平上。

散弹噪声的电流均方值为：22nsh I qI f =∆式中q 为电子电荷，I 为流过电流的直流分量。

散弹噪声与电路频率无关，是一种白噪声。

（3）、产生-复合噪声（g-r 噪声）光电到探测器因光（或热）激发产生载流子和载流子复合这两个随机性过程引起电流的随机起伏，形成产生-符合噪声。

该噪声的电流均方值为：22224(/)14e n qI f I f ττπτ∆=+式中I 为流过光电导器件的平均电流，τ为载流子的平均寿命，e τ为载流子在光电导器件内电极间的平均漂移时间，f ∆为测量电路的带宽。

产生符合噪声与频率f 有关，不是白噪声。

但当22241f πτ<<，即在低频条件下时，公式可简化为24(/)n e I qI f ττ=∆此时可认为它是近似的白噪声。

（4）1/f 噪声1/f 噪声又成为闪烁噪声，通常是由于元器件中存在局部缺陷或杂质而引起的。

经验公式为：21/n I k I f f αβ=∆式中1k 为元件固有参数，α为与元器件电流有关的常数，通常取为2；β为与元器件材料性质有关的系数，常取为1。

数字信号处理习题解答 第二章 数据采集技术基础2、1 有一个理想采样系统,其采样角频率Ωs =6π,采样后经理想低通滤波器H a (j Ω)还原,其中⎪⎩⎪⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ30321)(，，j H a 现有两个输入,x 1(t )=cos2πt ,x 2(t )=cos5πt 。

试问输出信号y 1(t ),y 2(t )有无失真？为什么？分析:要想时域采样后能不失真地还原出原信号,则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍,即满足Ωs ≥2Ωh 。

解:已知采样角频率Ωs =6π,则由香农采样定理,可得 因为x 1(t )=cos2πt ,而频谱中最高角频率πππ32621=<=Ωh ,所以y 1(t )无失真;因为x 2(t )=cos5πt ,而频谱中最高角频率πππ32652=>=Ωh ,所以y 2(t )失真。

2、2 设模拟信号x (t )=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ,求:（1） 该信号的最小采样频率;（2） 若采样频率f s =5000Hz,其采样后的输出信号; 分析:利用信号的采样定理及采样公式来求解。

○1采样定理 采样后信号不失真的条件为:信号的采样频率f s 不小于其最高频率f m 的两倍,即f s ≥2f m○2采样公式 )()()(s nT t nT x t x n x s===解:(1)在模拟信号中含有的频率成分就是f 1=1000Hz,f 2=3000Hz,f 3=6000Hz∴信号的最高频率f m =6000Hz由采样定理f s ≥2f m ,得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz (2)由于采样频率f s =5kHz,则采样后的输出信号⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nTt s522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ 说明:由上式可见,采样后的信号中只出现1kHz 与2kHz 的频率成分,即kHzf f f kHzf f f ss 25000200052150001000512211======，，若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号,则恢复后的模拟信号()()t t t f t f t y ππππ4000sin 52000cos 132sin 52cos 13)(21-=-=可见,恢复后的模拟信号y (t ) 不同于原模拟信号x (t ),存在失真,这就是由于采样频率不满足采样定理的要求,而产生混叠的结果。

习题六1． 解：设最小相位信号为)1)(1()(121101----=z z z z a z A ，其中1||1<z ，1||2<z 。

为简化起见，简记)1)(1()(12111----=z z z z z A ，则最大相位信号为：))(()(1*21*12----=z z z z z A ；混合相位信号为：))(1()(1*2113----=z z z z z A ； )1)(()(121*14----=z z z z z A 。

证明： ■2． 证明：)]()()([),(2121m x x m n x n x E m m R x ++=),()]()()([1212m m R m x x m n x n x E x =++=)]()()(['12'1'1'n x m m n x m n x E m n n -+-=+=),()]()()([12112'1''m m m R m m n x m n x n x E x --=-+-= ),()]()()([1121'12''m m m R m n x m m n x n x E x --=--+=)]()()([2''''21''2121'''m n x n x m m n x E m m n n --+=-+=),()]()()([21221''2''''m m m R m m n x m n x n x E x --=-+-= ),()]()()([2212''21''''m m m R m n x m m n x n x E x --=--+=■3． 证明：)()()(),(21*21w w Y w Y w Y w w B y +=)()()()()()(21*21*2211w w H w w X w H w X w H w X ++= )()()()()()(21*2121*21w w H w H w H w w X w X w X ++= ),(),(w w B w w B h x =由傅立叶变换的性质，将上述双谱的等式进行傅立叶反变换，可导出三阶相关的关系式，即有：),(),(),(212121m m R m m R m m R h x y *=■4． 证明：)]()()([),(2121m x y m n y n y E m m R y ++=)]()()([2'1'''a m n x a m n y a n y E an n -+-+-=-=)]()()([2'1''m n x m n x n x E ++= ),(21m m R x =所以，)(n x 和)(n y 具有相同的谱。

6.1Find the linear mean square estimate of )(λ+t y in terms ofy(t) and )()()()(ˆt yc t y b t ay t y ++=+λ Solution: )(ˆ)()(~λλλ+-+=+t y t y t y0)}()](ˆ)({[0)}()](ˆ)({[0)}()](ˆ)({[=+-+=+-+=+-+t yt y t y E t y t y t y E t y t yt y E λλλλλλ由正交原理 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅---+=⋅---+=⋅---+0)}()]()()()({[0)}()]()()()({[0)}()]()()()({[t y t y c t y b t ay t y E t y t y c t yb t ay t y E t y t yc t yb t ay t y E λλλ ⎪⎩⎪⎨⎧=---=---=---=⇒-====-==⇒=-=0)0()0()0()(0)0()0()0()(0)0()0()0()(0)0()()()()()()()()()()(0)0()()()()(y y y y y y y y y yy y y y y y y y y y y y y y y y y y y yy y y y y y y y y y y y y y y c b a c b a c b aφφφλφφφφλφφφφλφφτφτφτφτφτφτφτφτφτφτφφτφτφτφτφ)0()0()0()0()()0()()0()()0()()0()0()0()()0()(2)4(2)4()4(yy y yy y y y y y y y y y y c b a φφφφλφφλφφλφφλφφφφλφφλφ --==--= 6.3 222222)(2)(as a s a s s s v y +-=+--=φφ Solution: )(&)(⋅⋅v y are uncorrelated.))(2)()(2()2)(2)(2)(2(2)()()(2)()(84848484222222222a s a s a s a s aes ae s aes ae s a s a a s s s s s a s s s s jjjjv y z y yz --++--++==+-++--=+=+--==--ππππφφφφφNSjj jjjjz YI z e aes ae s a s a s aes ae s a s a s a s s e ae s ae s a s a s e s s s s H ss)2)(2())(2(])2)(2())(2(2[)2)(2())(2(])()([)(1)(848484842228484ππααφφφ-+--+-+++++=----⋅+--⋅++++==6.9 本章在推导Kalman 滤波器方程时，曾经假定输入w(t)和观测燥声N(t)不相关。