信号处理与数据分析 邱天爽第11章作业答案

信号处理行业数据分析与应用考试（答案见尾页）一、选择题1. 信号处理行业数据分析的常用方法有哪些？A. 波斯谱分析B. 小波变换C. 矩阵分析D. 频谱分析2. 在信号处理中，以下哪个参数常用于评估信号质量？A. 信噪比B. 噪声功率C. 线性度D. 传递函数3. 以下哪个选项是频域分析的代表？A. 能量守恒B. 傅里叶变换C. 矩阵对角化D. 最大似然估计4. 信号处理中，以下哪个技术可用于实现信号的分离和识别？A. 卡尔曼滤波B. 神经网络C. 零均值漂移D. 高斯过程5. 在数字信号处理中，以下哪种算法常用于滤波和信号重建？A. 中值滤波B. 巴特沃斯滤波C. 各向异性扩散D. K-均值聚类6. 信号处理行业中，以下哪个软件或工具常用于分析和处理信号？A. MATLABB. PythonC. SPSSD. Excel7. 以下哪个选项是信号处理中的一种线性变换？A. 平方和B. 微分方程C. 积分D. 快速傅里叶变换（FFT）8. 在信号处理中，以下哪个概念常用于描述信号的周期性？A. 相位B. 指数C. 谐波D. 频率9. 信号处理行业中，以下哪个领域的研究最常涉及算法优化？A. 语音识别B. 图像处理C. 机器学习D. 自动驾驶10. 以下哪个选项是信号处理中的一种非线性变换？A. 对数变换B. 线性回归C. 逻辑回归D. 放射变换11. 信号处理行业数据分析的常用方法有哪些？A. 描述性统计B. 假设检验C. 回归分析D. 时间序列分析E. 机器学习12. 在信号处理行业中，以下哪个参数常用于评估信号质量？A. 信噪比B. 码间干扰C. 谐波失真D. 信号衰减E. 频谱宽度13. 以下哪个选项是信号处理在通信系统中的应用？A. 语音识别B. 图像处理C. 音频编码D. 数据压缩E. 机器学习14. 在数字信号处理中，以下哪个算法用于实现快速傅里叶变换（FFT）？A. 欧拉公式B. 复数指数函数C. 离散余弦函数D. 快速傅里叶级数15. 信号处理行业中，以下哪个技术用于模拟信号的数字化？A. 采样B. 滤波C. 量化D. 编码E. 解码16. 在雷达系统中，以下哪个功能用于检测和定位目标？A. 雷达成像B. 雷达成像处理C. 目标检测D. 目标定位E. 雷达成像重建17. 信号处理在生物医学工程中的应用有哪些？A. 心电图（ECG）B. 脑电图（EEG）C. 成像技术（如MRI和CT）D. 超声波治疗E. 医学图像处理18. 在无线通信系统中，以下哪个技术用于确保信号在传输过程中的稳定性？A. 信道编码B. 信道估计C. 扩频技术D. 调制技术E. 频谱管理19. 信号处理在金融领域的应用有哪些？A. 金融信号分析B. 风险管理C. 投资组合优化D. 交易策略开发E. 信用评分20. 在遥感技术中，以下哪个功能用于从卫星获取地表信息？A. 遥感成像B. 遥感图像解译C. 遥感图像增强D. 遥感图像分类E. 遥感图像三维建模21. 信号处理行业的现状及未来发展趋势是什么？A. 信号处理行业正处于快速发展阶段，未来将更加注重创新和智能化。

数字信处理课后习题答案GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-数字信号处理（姚天任江太辉）第三版课后习题答案第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。

若是，请确定它的最小周期。

（1）x(n)=Acos(685ππ+n ) （2）x(n)=)8(π-n e j （3）x(n)=Asin(343ππ+n ) 解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，得出=ω85π。

因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=)5(16516取k k =。

（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出81=ω。

因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。

（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。

因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=)3(838取k k =2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。

计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。

解 利用线性卷积公式y(n)=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。

(a) y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2)y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3)(c) y(n)=∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u(n) 2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λn u(n)*u(n)解：(1) y(n)=∑∞-∞=-k k n u k u )()(=∑∞=-0)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0即y(n)=(n+1)u(n)(2) y(n)=∑∞-∞=-k kk n u k u )()(λ=∑∞=-0)()(k kk n u k u λ=λλ--+111n ,n ≥0即y(n)=λλ--+111n u(n)2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a n u(n),|a|<1,求系统的输出y(n).解 ω(n)=x(n)*h 1(n)=∑∞-∞=k k u )([δ(n-k)-δ(n-k-4)]=u(n)-u(n-4)y(n)=ω(n)*h 2(n)=∑∞-∞=k kk u a )([u(n-k)-u(n-k-4)]=∑∞-=3n k ka,n ≥32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a n -u(-n),0<a<1 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。

信号与信息处理基础习题及题解目录第1章绪论 (3)第2章连续时间信号的时域分析 (3)第3章连续时间信号的频域分析 (8)第4章连续时间信号的复频域分析 (15)第5章离散时间信号的时域分析 (19)第6章离散傅里叶变换 (22)第7章离散时间信号的复频域分析 (27)第一章1.1 结合具体实例，分析信息、消息和信号的联系与区别。

答：具体实例略。

信息、消息和信号三者既有区别又有联系，具体体现在：⑴ 信息的基本特点在于其不确定性，而通信的主要任务就是消除不确定性。

受信者在接收到信息之前，不知道发送的内容是什么，是未知的、不确定性事件。

受信者接收到信息后，可以减少或者消除不确定性。

⑵ 消息是信息的载体。

可以由消息得到信息，以映射的方式将消息与信息联系起来，如果不能建立映射关系就不能从消息中得到信息。

例如，一个不懂得中文的人看到一篇中文文章，就不能从中获取信息。

⑶ 信号是消息的具体物理体现，将消息转换为信号才能够在信道（传输信号的物理媒质，如空气、双绞线、同轴电缆、光缆等）中传输。

1.2 说明连续时间信号与模拟信号、离散时间信号与数字信号间的联系和区别。

答：按照时间函数取值的连续性与离散性可将信号划分为连续时间信号与离散时间信号，简称连续信号与离散信号。

第二章2.2 试写出题2.2图示各波形的表达式。

题2.2图解：左图：()()()[]()()()[]31312-------=t u t u t t u t u t f()()()()()33112--+---=t u t t u t t u中图：()()()()()321-----+=t u t u t u t u t f 右图：()()()()221---+=t u t u t u t f连续时间信号离散时间信号幅值连续幅值离散模拟信号幅值连续幅值离散数字信号抽样2.3 试画出时间t 在（-4，6）内以下信号的波形图。

⑴ t 2πsin ；⑵()1 2-t πsin ；⑶()t t u 21πsin -；⑷ ()t t u 2πsin ； ⑸()()1 2-t t u πsin ； ⑹()()1 21--t t u πsin 。

数字信号处理习题解答 第二章 数据采集技术基础2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a (j Ω)还原，其中⎪⎩⎪⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ30321)(，，j H a 现有两个输入，x 1(t )=cos2πt ，x 2(t )=cos5πt 。

试问输出信号y 1(t )，y 2(t )有无失真？为什么？分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍，即满足Ωs ≥2Ωh 。

解：已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得 因为x 1(t )=cos2πt ，而频谱中最高角频率πππ32621=<=Ωh ，所以y 1(t )无失真；因为x 2(t )=cos5πt ，而频谱中最高角频率πππ32652=>=Ωh ，所以y 2(t )失真。

2.2 设模拟信号x (t )=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ，求：（1） 该信号的最小采样频率；（2） 若采样频率f s =5000Hz ，其采样后的输出信号； 分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。

○1采样定理 采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率f s 不小于其最高频率f m 的两倍，即f s ≥2f m○2采样公式 )()()(s nT t nT x t x n x s===解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是f 1=1000Hz ，f 2=3000Hz ，f 3=6000Hz∴信号的最高频率f m =6000Hz由采样定理f s ≥2f m ，得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz （2）由于采样频率f s =5kHz ，则采样后的输出信号⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nTt s522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ 说明：由上式可见，采样后的信号中只出现1kHz 和2kHz 的频率成分，即kHzf f f kHzf f f ss 25000200052150001000512211======，，若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号，则恢复后的模拟信号()()t t t f t f t y ππππ4000sin 52000cos 132sin 52cos 13)(21-=-=可见，恢复后的模拟信号y (t ) 不同于原模拟信号x (t )，存在失真，这是由于采样频率不满足采样定理的要求，而产生混叠的结果。

1.（P24,课后习题1.5（a,c,e ））试确定下列系统的（1）记忆性；（2）时不变性；（3）线性；（4）因果性；（5）稳定性。

（a ）(t)(t -2)+(1-t)y x x = （c ）()(t)sin 2(t)y t x =⎡⎤⎣⎦ （e ）()(1)()y n n x n =+解： （a ）记忆，时变，线性，非因果性，稳定性；（c ）无记忆，时变，线性，因果性，稳定性； （e ）无记忆，时变，线性，因果性，不稳定性；备注：本题中关于时变与时不变系统的判定，错误率较高，故特以（a ）为例，时变性质解答如下： 设：()0g (t )t x t =-，且有()T (t 2)+(1t)x t x x ⎡⎤=--⎣⎦，则：()()()()()0000T (t 2)+(1t)t 2+1t =(t 2)+(1t )g t g g x t x t x t x t ⎡⎤=--=--------⎣⎦又：()()()()00000(t )t 2+1t =(t 2)+1t +y t x t x t x t x t -=------- 显然：()0T (t )g t y t ⎡⎤≠-⎣⎦，故为时变系统。

又注：对于()T g t ⎡⎤⎣⎦，信号先经过系统再做时移；0(t )y t -，信号先做时移动再经过系统。

如果还不理解，做题可以这样判断：只要信号(t)x 中t 的系数不为1，则该系统必定为时变系统，如本题中(1-t)x ，t 的系数为-1，不是1，时变系统。

此外，若信号(t)x 的系数含有t ，该系统也为时变系统，如()sin 2(t)t x ⎡⎤⎣⎦，系数为()sin 2t 含有t ，为时变系统。

这是我做题自己积累的经验，大家选择性使用。

2.（P24,课后习题1.7）计算卷积并画出结果曲线-1()(1),()(1)3nx n u n h n u n ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭解：利用定义可知，11()()()()()1()(1)(1)31()(1)31()(1)3k kk k k kk y n x n h n x k h n k u k u n k u n k u n k ∞=-∞∞-=-∞--=-∞∞=-=*=-=----=--=+-∑∑∑∑用p 代替-1k 则，101()()()3p p y n u n p ∞+==+∑对于0n ≥，则有101111()()133213p p y n ∞+====-∑对于0n <，则有1110111113()()()()()13333213np n p n p n p y n ∞∞+-+-+=-=====-∑∑ 因此：3,02()1(),02nn y n n ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩n1/61/23.（P24,课后习题1.8）设1,01(),()(/)0, t x t h t x t tα≤≤⎧==⎨⎩其余，（1）计算并画出卷积()()()y t x t h t =* （2）若d()d y tt仅含有3个不连续点，则?α=解：（a ）画出()x t 和()h t 的图形如下图所示：01α<<利用该图形，得到()()()y t x t h t =* 如图所示：因此，,0,t 1()1,1(1)0,t t y t t t otherwiseααααα≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨+-≤≤+⎪⎪⎩(b) 画出()x t 和()h t 的图形如下图所示：1α≥0 αh(t)1卷积后的图形如下图所示：10 1α 1+α所以,011,1t ()1,(1)0,t t y t t t otherwiseαααα≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨+-≤≤+⎪⎪⎩同理可以得到当1α≤-与10α-≤<时的结果，这里不再详细给出。

习题10.5试说明周期图谱估计方法。

解：周期图（periodogram ）是一种经典的功率谱密度估计方法，其主要优点是能应用快速傅里叶变换算法来进行谱估计。

当序列的长度足够长时，使用改进的周期图法，可以得到较好的功率谱估值，因而应用很广。

周期图的直接计算公式为：j j *j j 2per 11(e )(e )(e )|(e )|P X X X N Nωωωω==。

此外，功率谱密度还可以根据自相关函数估计的傅里叶变换来进行计算，称为经典谱估计的间接法，又称为BT 法，其计算公式为：j (2)j j 2per 1ˆ(e )()e |(e )|m N m P R m X Nωωω+∞−=−∞==∑，其中(2)ˆ()N R m 为自相关函数的有偏估计。

习题10.18设()x n 为一平稳随机信号，且是各态历经的，现用式()()()1||01ˆ||N m N N n r m x n x n m N m −−==+−∑ 解：估计其自相关函数，求此估计的均值和方差。

偏差的定义：ˆˆbia[()][()}()]rm E r m r m =− 式中1010101ˆ[()][()()]1 [()()]1 () ()N m N N n N m N N n N M n E r m E x n x n m N mE x n x n m N mr m N mr m −−=−−=−−==+−=+−=−=∑∑∑ 所以ˆbia[()]0rm =，即本题的自相关函数的估计是无偏估计。

由定义222ˆˆˆˆˆvar[()][()[()]][()][()]rm E r m E r m E r m E r m =−=−，其中 22ˆ[()]()E r m r m = 所以：1||22(1||)ˆˆvar[()][()()()](||)N m k N m N r m rk r k m r k m N m −−=−−−≈++−−∑。

数字信号处理（姚天任江太辉）第三版课后习题答案第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。

若是，请确定它的最小周期。

（1）x(n)=Acos(685ππ+n ) （2）x(n)=)8(π-ne j（3）x(n)=Asin(343ππ+n )解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，得出=ω85π。

因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=)5(16516取k k =。

（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出81=ω。

因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。

（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。

因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=)3(838取k k = 2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。

计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。

解 利用线性卷积公式y(n)=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。

(a) y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2)y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3) (c) y(n)=∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u(n) 2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λnu(n)*u(n)解：(1) y(n)=∑∞-∞=-k k n u k u )()(=∑∞=-0)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)=∑∞-∞=-k k k n u k u )()(λ=∑∞=-0)()(k kk n u k u λ=λλ--+111n ,n ≥0即y(n)=λλ--+111n u(n)2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a nu(n),|a|<1,求系统的输出y(n). 解 ω(n)=x(n)*h 1(n) =∑∞-∞=k k u )([δ(n-k)-δ(n-k-4)]=u(n)-u(n-4)y(n)=ω(n)*h 2(n) =∑∞-∞=k kk u a )([u(n-k)-u(n-k-4)]=∑∞-=3n k ka,n ≥32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=an-u(-n),0<a<1 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。

时间延迟估计的基本原理和方法●储问计第11卷笫3期海/7,键再洋技术TECHN0L0GY时间延迟估计的基本原理和方法邱天爽(大连理工大学)乎V o1.11.No.3Sept,1992摘舅术文综述时间延迟估计的基本原理和基率方法.包括相关法和广义相关法,观谱法和广义双谱法,相位谱法H广义相位谱洼,自适应信号处理法等,并对各种估计方法的性能进行了分析比较.1概述时伺延迟通常是指接收陈列中的不同接收器所接收到的同源信号之间的时间差.这个时间差是由于不同接收器在陈列中所处的空间位置决定的.时间延迟估计就是指采用各种参数估计和信号处理的理论和方法,对上述时阉延迟进行估计和测定,从而进一步确定或估计其它有关参数.时间延迟估计是七十年代中期以后迅速发展起来的一个数字信号处理的重要领域,它是由被动定位技术的发展脱颖而出酊.在雷达,声纳,地球物理,海洋技术和生物医学工程等领域都有重要龅应用【l",并促进了谆些学科的发展.目标定位技术是时间延迟估计(简称TDE)理论和方法的主要应用领域和来源.目标定位问题是雷达,声纳,地震测量等技术的基本问题.目标定位的方法可以分为两太类,即主动方法和被动方法.主动定位方薅是由测定者发出信号并接收被测目标返回的信号,并由此信号进行定位常达就是一种主动定位系统被动定位则不发出探渊信号,———～1■———三一而仅接收由被测目标发出的信号,并由此进//,行目标定位.被动声纳就是一种被动定位系//f,;声撼统与主动定位方法相比,被动定位方法的l,—7,:/主要优点是无需发射能量,且具有隐蔽性,?/?膏肆这对于军事丰钉生物医学上的应用?是有意义走的本文仅讨论有关被动定位问题中的时间—,—————————,——'苎竺和苎量曼.关于主动图多珞传输示章图定位问癍讨论请觅文献(2o). '……'一海洋技术第1i卷在三维空间中,例如在海洋中,目标所发生的声音(作为信号源)可以经过多条路径(信道)而到达接收器,如图1所示.通常.假定信号在信道中的无色散球面渡的方式传播"".为了简化分析和研究,常常将信号源和接收器考虑在同一个平面中,从而将问题化简为二维定位问题.这样.在二维空间中,球面渡退化为柱面渡.若与接收器阵列相比,信源的位置很远,则可以认为信源发出的信号为一柱面波.图2给出了一个最基本的双基元被动定位系统:图中,A,B为两个相距为三的接收器,S为被测目标.即信B.源发出的信号是以平面波的形式在信道中传输的.设A.B接收到的信号分别为.()和.(f).如下式所示:i(f)=s(f)+n()(1a)图双基死被动定位系统.(f)=4..(f—D)+打.(f)(1b)式中.(f)是目标信号.口为衰减常数.为便于计算.不妨设口=1.D是由于目标信号传输距离不同所产生的时间延迟.n(f)和"(})是接收器A.B所接收到的噪声.通常.假定信号和噪声均为高斯分布的平稳随机过程,且互不相关.由三角形AABG的几何关系可知:BG=ABCOSABG=一ABcOS口(2由于ABeL,BG=c?D,其中c为声速.D是(1)式中的时延参数,因此,目标的方位角为:口=aTCCOS(-BG/.4B)=arccos(一c?DIL)(3)由(3)式可知.上为两接收器之间的距离.C为声速.均为可测量的量,因此,目标定位问题的关键是时间延迟D的估计.海水中声速的经验公式如(4)式所示;c=1,150+4.21T--0087T+1.14Cs-85)+O175p(4)式中.C为声速,单位为m/s;T为水温,单位为℃;s为水的盐度.以千分比计;P为水的静压力,单位为大气压.常用的水中声速平均值为1500m/s"".图3三基元被动系统如果要同时测量目标的距离和方法,则需三个相间一定?距离的接收器组成一个线阵,如图3所示:目标的距离和方位角分别为il:月:尘二(兰㈩n,cD_cD,1,0—一一—一,一…f型!1(6)"I—————一I【6)式中.DD,-分别为接收器接收到的目标倩号之间的相对时延,当上{《月时,cD.{《t砜.●第3期时间延迟估计的基本原理和方法H=aveeos(--cD/L2)()式(7)与式(3)相同.因此.只要测量出时延D,就可以确定目标的距离和方法,即实现目标的定位.另一方而.若信号源和接收器之问存在相对运动的话,还可以通过时延估计而得到相对运动的速度.综上所述,被动系统的目标定位问题,归根结底是一个相问一定距离的两接收器信号的时间延迟的估计问题.时延估计的精度越高,定位的误差就越小"".2时间延迟估计的理论基础根据观测数据对一个量或几个量进行定量推断就是估计问题"".时间延迟估计是根据不同位置接收器所接收到的瞬源信号来估计其中所包含的时延信息.基本估计理论,相关理论,谱『占计理论,自适应理论和付里叶变换的原理构成了时间延迟估计的理论基础.2.t基本估计理论对于确定的被动定位系统而言,时间延迟D是一个确定的量.但是由于信道中存在干扰和噪声,因此接收器所收到的信号或称之为观灞数据是随机的.这样,由观渊所得到的估计值必然存在估计误差.同样,信号的随机性决定了必须采用统计的方法来进行时间延迟的估计.常用的基本估计方法有最小二乘估计.线性最小方差估计,最小方差估计,贝叶斯债计.最大后验估计.最大似然估计及最小误差熵估计等.在时间延迟估计中,人们常常报时间延迟D看作确定而未知的量,故常采用最大似然估计方法来处理….这是因为在被动定位的条件下,用最大似然估计方法进行时延估计具有无偏,有效和一致三种性质.从这个意义上来说,最大似然估计是一种最佳估计''".'2.2相关理论f相关理论是在时域中考察信号之间相似程度的理论.平稳随机过程的自相关和互相关函数定义如下:月..(f)=丑[.(f)(f—f)],(8)月,..(f)=L((})(f—f))(9)在时间延迟估计中,利用相关函数进行两接收信号相似性的比较.相似性最大即相关函数取极大值时的时间延迟,则作为真实时延估计值.2.5谱估计理论所谓谱估计,就是根据过程的先验知识,建立近似实际过程的模型,并利用观铡数据和自相关函数来估计假设的模型参数….由于随机过程的功率谱是其自相关函数的付里叶变换,因此从原理上来说...由相关法解决的时延估计.同样可以由谱估计的方珐来解,决,,,自相关函数及其付里吐变换功率谱有两个局阻№第一,白相关函数仪包含过程的振幅信帛,面包审相位情阜.而时延问羁是和J用相位信粤的.讳二,呆用自担关蓐数时.海带技柬第11卷通常假设实际观测到的数据是由正态自噪声激励的最小相位系统产生的但在实际中.这个条件不一定总能满足.这样使用观测数据的自相关函数或其功率谱就得不到信号的全部信息".目前,时间延迟的谱估计法是采用双谱和相位谱来进行的.2.4自适应信号处理理论自适应信号处理的特点是它可以自动地调节滤波器自身的参数.在设计滤波器时,只图4自适应信号处理示意图需很少或根本不需要任何关于信号和噪声的先验知识.自适应滤波器的实现大致与维纳滤波器同样筒单,而性能却同卡尔曼滤波器一样好.自适应滤波器是工作于闭环(反馈)状态的图4】给出了自适应信号处理的原理框图"":当输入信号为平稳随机序列时.自适应算法应调节权系数,使Y(")与d(≈)的均方误差E(e.)]最小.自适应信号处理具有多种形式可以完成不同的功能.在时闻延迟估计中,自适应信号处理以两种形式被应用.第一种形式是利用自适应滤波器消除信号中伴随的噪声然后再进行相关等时延估计.…第二种形式是直接利用自适应算法来估计时间延迟参数"".2.5付里叶变换的原理和方法付里叶变换是信号处理领域的一种十分有用的工具.尤其是快速付里叶变换的出现,使在频率域进行快速信号处理成为现实.下式给出了有限时宽序列的离散付里叶变换(DFT)式:N一1)=三x()exp(-y(2~rkn/N)]0≤≤N-1(1Oa)'Ⅳ1()青()expC~I(2,Ⅳ)]O&lt;n-&lt;&lt;N一1(105)在时阊延迟估计问题中.付里叶变换是一个十分有用的工具.例如进行噪声处理.相关计算港估计和自适应信号处理,都可以利用FFT算法来加快计算速度.?3时间延迟估计的基本方法时间延迟估计的方法大体上可以分为四种.即相关法,双谱法,相位谱法和自适应法.5.1柜关时延估计和广义租关时延估计法相关估计法是最根本时廷估计方法.这种方法是利用(1)式中两个接收信号()和,(})的互相关函数来估计时祠延迟的(1)式中两信号的互相关函数为:.(f)=F((}).(}一f))=曰O:--D)(II)式中.—D)为信号s(})的相关函数.由相关函数的性质曰(9)≥1曰(f)l,可知当————————....●第5期时间延迟估计的基本原理和方法f=D时,只(f)达到最大值计算两接收信号z(f)和x.(f)的互相关函数,并求出求峰值出现的时刻,则其峰值时刻即为所要求的时间延迟D当互相关函数的主极大峰很尖锐时,容易比较准确地求得扳大点的位置.然而在实际应用中,出于噪声的影响,互相关函数的主极大峰常常比较平坦.这样就很难判断出极大点的准确位置.从而使时间延迟的估计产生较大的误差.为了提高时间延迟估计的精度.又提出了广义相关法.在广义相关时延估计中.两个输入信号(f)和(f)先经过预滤波.然后再求互相关函数图5给出了广义互相关时延估计的原理框图.图5广义相关时延估计法原理框图台信号x(f)和(f)先经过预滤波器日(,)和日.(,)进行预滤波,变为y()和y,(}),然后再对y(f)和y(t)求互相关函数,并经峰值检测确定时延估计值D.实际上.互相关函数….(f)和广义互相关函数….(f)常常是由对互功率谱的估计而求得的.互功率谱的估计可由下式得到^G..(,)=F.(,)F(1)/r(12)式中,F(,)和F(,)分别为接收信号(})和.(f)的频谱,T为观测时问,表示复共轭"".这样,求广义互相关函数时对信号的预滤波就相当于对互功率诺G...(,)进行加窗运算.即:G,.,(,)="(,)?.(,)(13)式中G.t:(,)表示广义互功率谱,(,)为加窗函数(,)的作用是尽量加宽信号和信噪比大的频率成分,以改善时延估计的精度.对广义互功率谱进行付里叶反变换,则得到广义相关函数r∞(f)=1(,)-G(,)exp(,2,f)?(14)经过峰值检测,即可得到较基本互相关法更为精确的时延估计表l给出了几种域佳和次最佳加窗函数.表1给出广义相关时延估计的几种加窗函数表1名称基奉互相兆加宙匝数删(,)1海洋技术第11卷名称Roth冲鼗响应SCOT(平滑相干变换)RFL~T(相位变换)EckartI————!ML馥HT加商匝数丽…G,J】',)力_,)哪).IG|JI去丽1其中.1r..(,)l为振幅平方相干函数在时延估计中,上述加窗函数均的未知,只能用它们的估计值来代替5.2双谱时延估计和广义双谱时延估计法将(1)式的两接收信号(f)和(t)离散化,则得到其离散的序列:.(i)=()+(f)f=1,2.一一-Ⅳ(15a).(f)=(i-D)+(i)i一1.2.…Ⅳ(15b)(f)与.()之间的相似性可以用三阶矩或双谱来度量.由于零均值平稳正态序列的三阶矩为零.故可以消除正态噪声的影响,而且有较佳的性能"".{.(f))的双谱为;B.tt(,m)t(m,)xp(一J(.+mt)]=日.(,∞.)(16){()}和{x.(z)}的互双谱为:口t:(--.)=翠厅,t(J,,,)exp[一,(甜+国)]?=日.(J,)?exp[一mD].(17)比较(16)式和(17)式,可见占.t.,.(co.∞:)和日z.t(∞.∞.)只差一个因子?~xp(-抽D).它包含了时间延迟D的信息.即:p(_D)(18)___.p卜'L将(18)式做付里叶反变换,褥∞)=去等1)_e)(19)当u(O出现峰值时,即为所要估计的时间延迟.比较(19)式神(14可见每用与)艄作●第3期时间延迟估计的基本原理和方法用是相似的.为了提高双谱时延估计的精度,对{}进行加窗处理,再进行付里叶反变换,得:u(})=j『—:c.c.]2上lB(∞a)u吼(20)这种将u,(j)峰值出现的时刻作为时延估值的方法称为广义双谱时延估计法.据报道,广义双谱时延估计的方差小于基本双谱时延估计的方差".因此,广义双谱时延估计是提高时延估计精度的有效方法.5.5相位谱时延估计和广义相位谱时延估计法相位谱时延估计法是一种直接利用互功率谱,即利用时延和相位函数之间的关系而直接得到时延估值的方法"".由相位数据估计时延的方法如下::::且(21)——rI～式中,,.t(,t)是平滑后的相位谱函数估计值,B是.自回归线的斜率.,一是频率相位谱法是基于FFT变换的.因此计算简单不过,当信号的功率谱曲线有较大的渡动时,时延估计的精度显着下降.为了克服这一缺点,提出了广义相位谱时延估计法"",即对相位谱函数求斜率时给予一定的加权平均,使最终得到的时延估计更为精确,式(22)为广义相位谱时延估计的计算式:里(22)理论分析和计算机模拟都证明,采用广义相位谱法进行时延估计,具有较强的抗干扰能力,且其估计方差可达到克拉美罗下界.-5.4自适应时延估计法自适应时延估计法是一种基于自适应信号处理技术的时延估计方法.这种方法又可以进一步区分为两种形式,即前置消噪法和直接自适应法.前置消噪法的一个例子是在广义相关器之前加上前置自适应滤渡器,用于消除接收信号(})和(f)中包含的噪声.据报道,当外界干扰噪声比较强烈时,采用前置消噪自适应时延估计,可以极大地减小估计的方差0.直接自适应法则是利用自适应信号处理技术,直接或间接地估计出时延参数.所谓直接估计就是直接自适应地修改时延参数而进行估计.所谓间接估计则是通过自适应地修改系统参数来估计时间延迟的.囹6给出了利用最小均方(LMS)算法进行直接自适应时延估计的原理框图.海洋拄术第11卷图e.LMS自遗应时廷估计器的原理图两接收信号(f)和x.(f)经离散亿后形成(^)和()分别作为自适应噪声抵消系统的参考输入和基本输入,()(=0,I,…m)表示自适应滤波器的加权系数.且按照最小均方准则来.进行调整.这相当于在参考输入端的信号,()上插入了一段延迟.以保证()和x.()的最大的相关性当选代收敛时,权系数峰值所在的权序号就是时延估计值.这种估计方法的方差略高于克拉美罗下界但对于缺乏信号和噪声的先验知识的应用情况是一种有效的方法.4各种时延估计方法的性能比较总的来说,上述四种时延估计方法各有优缺点,很难说哪～种方法是全面优越的.不过各种广义方法要比基本方法的估计椿度要高.4.1关千估计精度广义相关法采用最大似然加窗函数时,其估计方差可达到克拉美罗下界",是一种最优的估计方法.广义相位谱估计法采羽OptimumCol,eFenceFunction作为加窗函数时,其估计方差也可达到克拉美罗下界".,也是一种最优估计.自适应时延估计方法可以产生与广义相关法相同舶最小方差而逼近壳拉美罗下界"".4.2美千计算复杂度一般来说,各种方法的广义算法均比基本舅法复杂一些.对于广义相关法和广义相位谱法来说=者都是时延的最大似然估计.前者的计算需要用FFT将时域信号变换到频率域,在完成广义互谱估计之后,再刚lFFT返回到时域.而后者则仅需用FFT变换到频域,无需存变回到时域,并省去了峰值检测和向插运算,直接就得到了时延忭汁.第3期时间延迟估计的基本原理和方法4.5关于限橱条件相关法和双谱法部要求被测目标没有或仅有缓r恒昀移动,且在有限的观察时间T 内,信号和噪声的统计特性保持不变.自适应方法比较适用于对信号和噪声的先验统计知识缺乏了解的情况,若考虑了先验知识,则估计方差会显着减小.广义相位谱法具有较强的抗干扰能力,适用于信嗓比较低的情况.时间延迟估计是信处理学科的一个十分活跃的领域,十几年来,人们对此领域的关注和研究一直长盛不衰.从1981年至l990午,IEEE国际声学,语声和信号处理学术会议(ICASSP)论文集中关于时延估计的论文平均每年为1嫦,由此可见一斑关于时问延迟估计理论和方l法的研究,对于雷达,声纳等军事领域的研究工件,对于地震学,水声学,空气声学,核反应堆故障诊断.地下传输管线泄精的检测定位等科学和工业领域的研究工作,都有着重要的意义和价值.可以预见,在如此广泛的应用背景推动下,时延估计的理论,方法和技术一定会得到迅速发展本文得到大连理工大学王宏禹教授的指导,谨此致酣参考文献1C.H.Kaapp,G.C.Carter,TheGeneralizedCorrelationMethodforEstimationof rimeDelay,IEEETrans.V oI.ASSP_24,No.4,PP.320—327,1979.2G.C.Ca~tar,TimeDelayEstimationforPassiveSonarSignalProcessing, IEEETrans.V oI.ASSP-29,No.3,PP.463—470,1981.3E.J.Hannah,P.J.Thomsom,TimeDeIayEstimation,JOurnalofTimeSeriesAaalysis,V o1.9,No.1,PP.21-33,I988.4A.H.Quazi,AnOvarviewonthe1.imeDelayEstimation,IEEETrans.V o1. ASSP-29,No.3,Pp.527-533,l081.5J.O.Smith,B,FriedlanderAdaptlveMultlpathDelay.Estimatlon,IEEETrans.V oI.Assp一33,No4,PP.g12~822,1985.6F.A.Reed,P.L.Fe~ntuch,N.】.Betshad.TimeDelayEstimationUsingthe LMSAdapticeFilter—StaticBehavior,IEEETransV oI.ASSP-29.No.3,PP56【-57i,I9g1.,7A.Fertner,A.Sjolund,ComparisonofV ariousTimeDelayEstimationMethod byComputerSimulation,IEEETrans.V o1.ASSP-34,No.5,PP.1329—1330,1986. 8G.C.Carter,P.B.Abraham,EstimationofSourceMotionfromTimeDelayand TimeCompressionMeasurement,J.Aconst.Soc..Am.63(3),Mar,PP.830—832, 1980.9J.Krotik,MEizenman,S.Pasupathy,TimeDelayEstimatloaViaGenerallzed CorrelationwithAdaptiveSpatialPrefiltering.ICASSP,86,PP.35.20.卜4,i986.海洋技术第i1巷IO钱玉美.广义双谱时延估计,CCSP一88.PP.1233—1239.i988.1lJKrollk.M.Eizenman,S.Pasupathy,AdaptiveoftheLMSAdaptiveLine EnhancerinTimeDelayEstimation,IcASSPs85,PP.46.7.I-4,J986.12D.H.Y oun,N.Ahmed,ComparisonofTwoAdaptiveMethodforTimeDelay Estimation,ICASSPt83,PP.883-886,J983.J3J.Krokik.M.Joy.S.Pasapathy.M.Eixenman,AComparativeStudyofthe. LMSAdaptiveFilterV ersusGeneral/zedCorrelationMethodforTimeDelayEstimation,ICASSW84PP.15.11.I-4,1984.14王宏禹,随机数字信号处理,科学出版社,J988..15王宏禹,现代谱估计.东南大学出版社,I990.J6郏兆宁,向大威,7K声信号被动检测与参数估计理论,科学出板社.J983.17C.F.Cowan.P.M.Grant.AdaptlveFiIters(中译本),复旦大学出板社,1990.18钱玉美,从噪声中提取信号灼时延信息.第四届全国镦弱信号检测学术会议论文集.PP.52-57,1986.J9Z.Zheng.H.Z.Qiang,theGeneralizedPhaseSpeetrumMethodfOrTimeDelay EstimaLion.IcASSP~84,PP.46.2.卜4,1984.2OR.A.Aires,TargetPositionEstimationinRadarandSonar.andGeneralized AmbiguityAnalysisforMaximumLikelihoodParameterEstimation,Proc.IEEE,V o1.67.No.6.PP.920—930,1979.2l声纳与水下观测,上海科学技术出板社.22周概容.概率论与数理统计,高等教育出信社.J984.23A.V.奥本诲姆,致字信号处理.科学出板社.1990.24侯朝焕.实用FFT信号处理技术,海洋出板社,1990.25F.A.Reed,P.L.Feintuch,N.J.Bershad.TimeDelayEstimationUsingtheLMSAdaptiveFiIter--DynamicBehavior,IEEETrans,V o1.ASSP一29,No.3,PP.671—576,l981.TheBasicprincipleAndMethodofTimedelayEstimationQiu~ianshuang(Dalia,~Univ.eNq.,Technology)'Aht矗tThepapcrglvesacomprehensivodescriptionofthebasicpr;ncipleandmethodoftime—delayestlmatlon.ine1udingcorr~latlogmethodand generalizedcorretatio/1double—spectrummethodandgeneralizeddoub1一espectrum,phase—spectrtlmmethodandgeneralizedphase-spectrlio1.as we11asadaptiveaigna1PrOCessing,Thecharacteristicsofthedifferent methodsareaIsoai2alysed8ndcol22口ared。

数字信号处理习题解答 第二章 数据采集技术基础2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a （j Ω)还原，其中⎪⎩⎪⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ30321)(，，j H a 现有两个输入，x 1(t )=cos2πt ,x 2(t )=cos5πt 。

试问输出信号y 1（t )，y 2（t )有无失真？为什么？分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍,即满足Ωs ≥2Ωh 。

解:已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得 因为x 1（t ）=cos2πt ，而频谱中最高角频率πππ32621=<=Ωh ,所以y 1（t )无失真；因为x 2（t ）=cos5πt ，而频谱中最高角频率πππ32652=>=Ωh ，所以y 2（t ）失真.2.2 设模拟信号x (t )=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ，求：（1） 该信号的最小采样频率；（2） 若采样频率f s =5000Hz ，其采样后的输出信号； 分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。

错误!采样定理采样后信号不失真的条件为:信号的采样频率f s 不小于其最高频率f m 的两倍，即f s ≥2f m错误!采样公式)()()(s nT t nT x t x n x s===解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是f 1=1000Hz ，f 2=3000Hz ，f 3=6000Hz∴信号的最高频率f m =6000Hz由采样定理f s ≥2f m ，得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz （2）由于采样频率f s =5kHz ，则采样后的输出信号⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nTt s522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ 说明：由上式可见,采样后的信号中只出现1kHz 和2kHz 的频率成分，即kHzf f f kHzf f f ss 25000200052150001000512211======，，若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号,则恢复后的模拟信号()()t t t f t f t y ππππ4000sin 52000cos 132sin 52cos 13)(21-=-=可见，恢复后的模拟信号y （t ） 不同于原模拟信号x （t ），存在失真，这是由于采样频率不满足采样定理的要求,而产生混叠的结果.第三章 傅里叶分析I. 傅里叶变换概述3.1 ［习题3.2］设序列x （n )=δ(n-m ），求其频谱X (e j ω），并讨论其幅频和相频响应分析:求解序列的频谱有两种方法:○，1先求序列的z 变换X （z )，再求频谱ωωj e z j z X e X ==)()(,即X （e j ω）为单位圆上的z 变换；错误!直接求序列的傅里叶变换∑∞-∞=-=n nj j en x e X ωω)()(解：对序列x （n )先进行z 变换,再求频谱，得m z m n ZT n x ZT z X -=-==)]([)]([)(δ则ωωωjm e z j e z X e X j -===)()(若系统的单位采样响应h （n ）=x (n ），则系统的频率响应)}(exp{)(1)()(ωϕωωωωωj e H e e e X e H j jm jm j j ====--•故其幅频和相频响应(如图)分别为幅频响应 1)(=ωj e H 相频响应 ωωϕm -=)(由图可见,该系统的频率响应具有单位幅值以及线性相位的特点。

第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。

若是，请确定它的最小周期。

（1）x(n)=Acos(685ππ+n ) （2）x(n)=)8(π-ne j（3）x(n)=Asin(343ππ+n ) 解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，得出=ω85π。

因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=)5(16516取k k =。

（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出81=ω。

因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。

（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。

因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=)3(838取k k =2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。

计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。

(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1-1222222 33333444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式y(n)=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。

(a) y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2)y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3) (c) y(n)=∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u(n)2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λnu(n)*u(n)解：(1) y(n)=∑∞-∞=-k k n u k u )()(=∑∞=-0)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)=∑∞-∞=-k k k n u k u )()(λ=∑∞=-0)()(k kk n u k u λ=λλ--+111n ,n ≥0 即y(n)=λλ--+111n u(n)2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a nu(n),|a|<1,求系统的输出y(n).解 ω(n)=x(n)*h 1(n) =∑∞-∞=k k u )([δ(n-k)-δ(n-k-4)]=u(n)-u(n-4)y(n)=ω(n)*h 2(n) =∑∞-∞=k kk u a )([u(n-k)-u(n-k-4)]=∑∞-=3n k ka,n ≥32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=an-u(-n),0<a<1 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。