河南理工大学自动控制原理第5章 第2讲 开环系统频率特性曲线的绘制2012

1 引言时域分析法V以传递函数和单位阶跃响应为基础，构成一整套的解析法为主，响应曲线图形分析法为辅的分析方法。

它具有直观、明确的物理意义，但但对高阶系统，存在运算工作量较大，参数的全局特征不明显的缺点；V原始依据——系统数学模型，得来不易，也同实际系统的真实情况有差异，存在较多的近似、假设和忽略，有时对于未知对象，还可能要用经验法估计。

V对工程中普遍存在的高频噪声干扰的研究无能为力。

V在定性分析上存在明显的不足(粗略的定量)，属于以“点”为工作方式的分析方法。

23根轨迹法D根轨迹法弥补了时域分析法中参数全局变化时特征根变化不明显这一不足，在研究单一指定参数发生变化时对整个系统的影响时很有用。

D增加零极点（增加补偿器）时，是一种很好的辅助设计工具。

D以“线”和“面”为工作方式，为定性分析提供了一种非常好的想象空间和辅助思维界面。

这两种分析方法的不足：①数学模型问题——必须得有数学模型；②高频噪声问题等仍然是无能为力。

4主要内容☻频率特性的基本概念☻典型环节的频率特性☻开环频率特性的绘制(Nyquist图及Bode图)☻奈奎斯特稳定判据☻稳定裕度☻闭环频率特性及其分析☻利用开环频率特性分析系统性能672、频域响应频率响应是时间响应的特例，即控制系统对正弦输入信号的稳态响应。

例1RC 电路如图所示，u r (t)=Asinwt, 求u c (t)=?T RC ()111T ()()RC 1T 11Tc r U s G s U s s s s =====+++22022121T ()1T C C C 1T c s A U s s s s s ωωω+=⋅=+++++2222T 10T 1T A T A lim C ωωωω+=+=−→s s 221T 1T A -C ωω+=222T1A C ωω+=t=[0:.01:30];r=sin(t);lsim([1],[1 1],r,t),hold on; t=[0:.01:30];r=sin(2*t);lsim([1],[1 1],r,t);14频率特性的概念设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。

2V 开环系统幅相曲线的绘制（奈奎斯特曲线）V 开环系统对数坐标频率特性的绘制（波德图）V 最小相位系统V由波德图求传递函数学习思路：1、三频段法：低频段、中频段和高频段；确定起点与终点计算特殊点，如转折点与交接频率点关键区的选点运算，逐点描迹法2、定性分析(趋势分析)主要内容3、中频段的绘制(1)特殊点的绘制：如虚轴交点，实轴交点，转折点系统幅相特性曲线与负实轴的交点坐标是判定系统稳定的关键因素，而与实轴的交点可用于确定中频段的位置，中频段的形状主要由频率特性的分子、分母中各因子的时间常数决定。

(2)逐点描迹法: 复杂区间，特殊区域1415求出ω，代入实部Re[G(j ω)H(j ω)］中，可得幅相曲线与实轴的交点坐标。

（2）曲线与虚轴交点坐标的求取同理令Re[G(j ω)H(j ω)]=0 ，求得ω代入虚部可确定曲线与虚轴的交点坐标（3）列表计算一些中、高频段的频率点坐标（4）逐点描绘幅相特性曲线（1）曲线与实轴交点坐标的求取令虚部为零，即Im[G(j )H(j )]0G(j )H(j )(2k 1)k 0,1,2ωωωωπ=∠=+=±±"根据特殊点的绘制：nyquist([5 1],[2 1]) nyquist([-5 1],[2 1])101 10四、由频率特性曲线求系统传递函数根据最小相位系统的特点，即系统的对数幅频特性和对数相频特性有相同的变化趋势，我们可根据系统地对数幅频特性求系统的开环传递函数。

步骤如下：¾对数幅频特性的低频段的斜率和高度可确定积分环节的个数和比例值K；¾从低频到高频对数幅频特性的斜率变化和转折频率的大小可确定应加的环节。

311ϕ+°90() G slgω1)s+1(1)0.8s+K41小结作业：5-5(2),5-6(3)☻开环系统幅相曲线的绘制（绘制奈氏图）☻开环系统对数坐标频率特性的绘制（绘制波德图）及由图推导传递函数☻最小相位系统敬请提出宝贵意见前向通路反馈通路记住这个结构，并用于思维。

5.3 系统开环频率特性的绘制对自动控制系统进行频域分析时，通常是根据开环系统的频率特性来判断闭环系统的稳定性和 估算闭环系统时域响应的各项性能指标，或者根据开环系统的频率特性绘制闭环系统的频率特性， 然后再分析及估算时域性能指标。

因此，掌握开环系统的频率特性曲线的绘制和特点是十分重要的。

5.3.1 开环幅相曲线的绘制开环系统的幅相频率特性曲线简称为开环幅相曲线。

准确的开环幅相曲线可以根据系统的开环 幅频特性和相频特性的表达式，用解析计算法绘制。

显然，这种方法比较麻烦。

在一般情况下，只 需要绘制概略开环幅相曲线，概略开环幅相曲线的绘制方法比较简单，但是概略曲线应保持准确曲 线的重要特征，并且在要研究的点附近有足够的准确性。

下面首先介绍幅相频率特性曲线的一般规律与特点， 然后举例说明概略绘制开环幅相曲线的方 法。

设系统开环传递函数的一般形式为式中，K 为开环增益；v 为系统中积分环节的个数。

则系统的开环频率特性为mK (j i 1)G(j )H(j ) 七(5-50)(j )v (j T j 1)j 11.开环幅相曲线的起点 在低频段当0时，由式(5-50)可得由式(5-51)可知，当0时，开环幅相曲线的起点取决于开环传递函数中积分环节的个数v 和开环增益K ，参见图5-23 (a )。

0型(v =0)系统，开环幅相曲线起始于实轴上的 (K, j0)点。

1型(v =1)系统，开环幅相曲线起始于相角为90的无穷远处。

当于与虚轴的平行的直线，其横坐标G(s)H(s)K ( i S 1)i 1 n vs v(T j S 1)j 1(n m)(5-49)lim 0G(j )H(j ))vlimeJ( v90)(5-51)0时，曲线渐近图5-23不同类型系统的幅相频率特性即开环幅相曲线以(n m) 90方向终止于坐标原点，如图5-23 (b )所示。

3.开环幅相曲线与实轴的交点 开环幅相曲线与实轴的交点频率X 可由下式求出，即令式(5-50)的虚部为零Im G(j )H(j )(5-54)将求出的交点频率x 代入式(5-50)的实部，即ReG( j x )H (j x )(5-55)由式(5-55)可计算出开环幅相曲线与实轴的交点坐标值。

开环系统频率特性曲线的绘制方法（一) 已知系统开环传递函数G k （s )，绘制Nyquist 曲线(开环幅相曲线) 一、ω：0＋→＋∞1、由已知的G k (s ）求()()k k s j G j G s ωω==，A (ω），φ(ω） ，P (ω），Q (ω）;112112221122121122121121122211221211221222222222(1)[(1)2](1)[(1)2]()()(1)[(1)2](1)[(1)2]m m m m j k j kk k j k j kk k k vn n n n i l i l lli l i l l lj T j j T j k G j j j T j j T j ωωωωωξωξωωωωωωωωωωωξωξωωωω+-+---=+-+---∏∏∏∏∏∏∏∏ （1）式中:分子多项式中最小相位环节的阶次和为111212m m m =+，分子多项式中非最小相位环节的阶次和为212222m m m =+， 分母多项式中最小相位环节的阶次和为111212n n n v =++， 分母多项式中非最小相位环节的阶次和为212222n n n =+,分子多项式阶次之和为12m m m =+，分母多项式阶次之和为12n n n =+。

注:式中仅包含教材p192所列5种非最小相位环节,不包含形如1Ts -、11Ts -、22121nns s ξωω+-、2221nns s ξωω+-等非最小相位环节。

2、求N 氏曲线的起点当ω→0＋时，（1）式可近似为：0lim ()()k vk G j j ωωω+→→（2）于是，N 氏曲线的起点取决于开环放大系数k 和系统的型v 。

① 当0v =时，N 氏曲线起始于实轴上的一点(k ，0)或（－k ，0）； ② 当0v >时，N 氏曲线起始于无穷远点：0k >时，沿着角度()2v πϕω=-⨯起始于无穷远点;0k <时,沿着角度()2v πϕωπ=--⨯起始于无穷远点。