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运用基本不等式解决最值问题例析2011/12/6
最值问题是高考的热点问题之一,贯穿于高中数学的各个模块,最值问题又是进一步学习高等数学最值问题的基础。利用基本不等式求最值是最常见且应用十分广泛的方法,但许多最值问题不能直接的套用公式求解,必须进行合理的拆添项或配凑因式,创造应用基本不等式的条件才能套用。
基本不等式及常见变形
1. 基本不等式
𝐚𝟐+𝐛𝟐≥2ab (a,b∈R,当且仅当a=b时取等号)
a+b≥2√𝐚𝐛 (a,b∈𝐑+,当且仅当a=b时取等号)
2. 常见变形
⑴ ab≤𝐚𝟐+𝐛𝟐𝟐 ⑵ ab≤(𝐚+𝐛𝟐)𝟐 ⑶(𝐚+𝐛𝟐)𝟐≤𝐚𝟐+𝐛𝟐𝟐 或
a+b≤√𝟐(𝐚𝟐+𝐛𝟐)
3. 最值定理
设x>o y>0,由x+y≥2√𝐱𝐲得：
⑴若积xy=p(定值)，则当x=y时，和x+y有最小值2√𝐩;
⑵若和x+y=s(定值),则当x=y时，积xy有最大值(𝐬𝟐)𝟐；
注：均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能；均值不等式及推论主要用于求函数的最值和证明不等式，解题时往往需要：一是创设一个应用均值不等式的情境，二是使等号成立条件；在利用均值不等式求最值时，一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件。
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二 解题示范
例1 设0
分析：∵ x与4-x均为正数且x+(4-x)=4为定值，∴由
最值定理（2）求之。
解：y=x(4-x)≤(𝐱+𝟒−𝐱𝟐)𝟐=4
当且仅当x=4-x即x=2时取等号
∴当x=2时函数y=x(4-x)最大值为4
变式⑴
设0
解(略)
变式⑵ 设a>0 b>0且a+2b=3,求ab的最大值？
解(略)
解题反思：例1与两变式都是利用ab≤(𝐚+𝐛𝟐)𝟐求积的最大值，但两因式和不定时需配凑一个系数使两因式和为定值；这组题也可转化为二次函数求最值问题。
利用基本不等式求最值
【学习目标】
知识与能力：学习应用基本不等式求最值;
过程与方法：通过对问题详细讲解，学习基本不等式求最值的两类问题。
情感态度与价值观：了解现实生活，会解决简单的不等式问题。
【学习重点】
学习应用基本不等式求最值.
【学习难点】
对实际问题进行详细分析。
【问题探究】
探究一:
问题1： 0x,当x取什么值时，1yxx的值最小？最小值是多少？
问题2: 0x,当x取什么值时，1yxx的值最大？最大值是多少？
问题3: 1x,当x取什么值时，4(1)1yxx的值最小？最小值是？
探究二:
问题4: 当01x时,(1)yxx的最大值为 .
【知识网构】
(0,0)2abababab当且仅当时，等号成立； abababab积为定值时，和取得最小值;和为定值时，积取得最大值；
【达标反馈】
(1)下列函数中最小值为2的是( )
A、 1yxx B、 1,0yxxx
C、 1sinsinyxx D、2sin,(0,]sin2yxxx
(2)(2009,湖南)若0x,则2yxx的最小值为 .
(3)已知3,x求43yxx的最小值.
(4)已知103x,求(13)yxx的最大值.
【课后作业】
思考：已知,xy为正数,21xy,求11xy的最小值;
习题3.4 A组 2,3;
主备人（签字）：
备课组长（签字）：
不等式中最值问题全梳理
不等式中最值问题是一个重要且复杂的话题，涉及多个知识点和技巧。以下是对不等式中最值问题的全面梳理：
1. 基本不等式：
平方和与平方差的不等式。例如，对于任意实数a和b，有a^2 + b^2
≥ 2ab和a^2 - b^2 ≥ 0。
算术平均值与几何平均值的不等式。对于正数a和b，有a+b≥2√(ab)。
2. 均值不等式：两个正数的均值不等式是a+b≥2√(ab)，其中a和b都是正数。
3. 最值定理：设x和y是正数，且xy=k（常数），则x=y时，取得最值。同样地，如果x+y=k（常数），则x=y时，取得最值。运用最值定理求最值的三要素是：一正二定三相等。
4. 解题技巧：
确认对称：最值肯定在等号取得，需要看条件和所求。
取等解方程：确认最值需要取等得到的根可以直接写在答案上。
5. 典型例题：
利用均值不等式求最值。例如，已知x>0，y>0，且x+y=1，求xy的最大值。利用均值不等式得到xy≤（x+y）/2^2=1/4，当且仅当x=y=1/2时取等号。 利用基本不等式求最值。例如，已知x<0，求函数y=x+1/x的最小值。利用基本不等式得到y=x+1/x≤-2，当且仅当x=-1时取等号。
以上是对不等式中最值问题的全面梳理，包括基本不等式、均值不等式、最值定理和解题技巧等知识点，以及一些典型例题的解析。掌握这些知识点和技巧有助于解决不等式中最值问题。
基本不等式最值问题
在数学中，基本不等式是解决最值问题的常用工具。最值问题可以简单理解为在一定条件下，求一个函数的最大值或最小值。而基本不等式是通过确定函数的上界或下界，从而确定函数的最值。本文将介绍基本不等式的概念、应用以及解决最值问题的步骤。
一、基本不等式的概念
基本不等式是指一些常见的不等式模式，通过这些模式，可以直接得到函数的上界或下界，从而确定函数的最值。常见的基本不等式有以下几种：
1. 平方不等式：对于任意实数a，有a^2≥0，即任意实数的平方都大于等于0。这个不等式模式可以用于求解二次函数的最值问题。
2. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|，即两个数的绝对值之和不大于这两个数的绝对值之和。这个不等式模式可以用于求解绝对值函数的最值问题。
3. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意n个实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有|(a1b1+a2b2+...+anbn)|≤√(a1^2+a2^2+...+an^2)√(b1^2+b2^2+...+bn^2)，即两个向量的内积的绝对值不大于它们的模的乘积。这个不等式模式可以用于求解向量函数的最值问题。
二、解决最值问题的步骤
解决最值问题的一般步骤如下：
1. 确定问题：明确要求求解的最值是函数的最大值还是最小值。
2. 建立模型：根据题目中的条件，建立函数模型。根据问题的特点，可以选择适合的基本不等式。
3. 求解过程：根据建立的模型，利用基本不等式求解函数的上界或下界。具体的求解过程要根据问题的具体条件进行分析和推导。
4. 检验答案：将求解得到的值代入原函数，验证其是否为最大值或最小值。同时，还要检查是否存在其他的极值点。
三、应用举例
下面通过两个具体的例子来说明基本不等式的应用。
例1：求函数y=x^2+2x+3在定义域内的最小值。
解：首先，我们可以求出函数的导数为y'=2x+2，令其等于0，得到x=-1。由于这是一个二次函数，且a>0，所以函数在x=-1处取得最小值。将x=-1代入函数中，得到y=3。所以函数y=x^2+2x+3在定义域内的最小值为3。
