基本不等式练习(最值问题)

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运用基本不等式解决最值问题例析2011/12/6

最值问题是高考的热点问题之一,贯穿于高中数学的各个模块,最值问题又是进一步学习高等数学最值问题的基础。利用基本不等式求最值是最常见且应用十分广泛的方法,但许多最值问题不能直接的套用公式求解,必须进行合理的拆添项或配凑因式,创造应用基本不等式的条件才能套用。

基本不等式及常见变形

1. 基本不等式

𝐚𝟐+𝐛𝟐≥2ab (a,b∈R,当且仅当a=b时取等号)

a+b≥2√𝐚𝐛 (a,b∈𝐑+,当且仅当a=b时取等号)

2. 常见变形

⑴ ab≤𝐚𝟐+𝐛𝟐𝟐 ⑵ ab≤(𝐚+𝐛𝟐)𝟐 ⑶(𝐚+𝐛𝟐)𝟐≤𝐚𝟐+𝐛𝟐𝟐 或

a+b≤√𝟐(𝐚𝟐+𝐛𝟐)

3. 最值定理

设x>o y>0,由x+y≥2√𝐱𝐲得：

⑴若积xy=p(定值)，则当x=y时，和x+y有最小值2√𝐩;

⑵若和x+y=s(定值),则当x=y时，积xy有最大值(𝐬𝟐)𝟐；

注：均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能；均值不等式及推论主要用于求函数的最值和证明不等式，解题时往往需要：一是创设一个应用均值不等式的情境，二是使等号成立条件；在利用均值不等式求最值时，一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件。

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二 解题示范

例1 设0

分析：∵ x与4-x均为正数且x+(4-x)=4为定值，∴由

最值定理（2）求之。

解：y=x(4-x)≤(𝐱+𝟒−𝐱𝟐)𝟐=4

当且仅当x=4-x即x=2时取等号

∴当x=2时函数y=x(4-x)最大值为4

变式⑴

设0

解(略)

变式⑵ 设a>0 b>0且a+2b=3,求ab的最大值？

解(略)

解题反思：例1与两变式都是利用ab≤(𝐚+𝐛𝟐)𝟐求积的最大值，但两因式和不定时需配凑一个系数使两因式和为定值；这组题也可转化为二次函数求最值问题。

２　２０１０年第５期中小学实验与装备　第２０卷（总第１１１期）　

实验教学研究　

用基本不等式巧解物理最值问题　

湖北省应城市蒲阳中学　（４３２４００）　李建华　

用高中学生十分熟练的内容——基本不等式来处理有　

关物理量的最值等问题，简洁、迅速、准确，且比其它任何一　

种方法更具有普遍性，某些问题看起来非常困难。若用基本　

不等式求解却十分轻巧，下面仅举四例。　

例１如下图１，两个质量均为Ｉｎ的质点Ａ、Ｂ，相距ｒ，　

其连线的垂直平分线ＭＮ，Ｏ为两质点连线的中点。现将另　

一质点ｃ（质量为ｎｌ　）从Ｏ点在力Ｆ作用下沿ＯＭ或ＯＮ的　

方向匀速运动到无穷远的过程中，求力Ｆ最大时点的位置？　

Ａ　－－＾　

Ｃ　

ｏ　Ｂ　

图１　解：设该点Ｐ与两质点Ａ、Ｂ距离均为Ｌ（即ＡＰ＝Ｌ）　

Ｐ处的作用力为Ｆ，／＿ＡＰＯ＝０　

Ｆ　

图２　

如图２所示．则有　

Ｆ＝２ＦＡｃ．ｃ０ｓ。＝２　Ｇｌｎ　ｍｃ．ｃ０ｓ。　

：８　．ｃｏｓ０．ｓｉｎ２０　

其中，Ｇ、ｉｎ、ｍ　ｒ均为恒量，　

令Ｙ＝ｓｉｎ２０・ｃｏｓ０，且两边平方，再同除以４，最后再开　

三次方得（　２）１／３＝　２　ｓｉｎ２０　ｓｉｎ２０。，此式适合用基　本不等式　≤（ａ＋ｂ＋ｃ）／３来求解，（・．・ａ＞０　ｂ＞　

ｏ，ｃ　（　２。＝　３　ｒ　ＣＯＳ２＋　

丁ｓｉｎ２０＋丁ｓｉｎｚ０）／３＝÷　

即ｙ＝　＿此时作用力最大。　

最大作用力为Ｆ＝．ｘ－　

这时ｃ。ｓ２０＝丁ｓｉｎ２０，ＯＰ　ｔａｎ０＝　．ｅ＝５５￣　

例２两等量同号点电荷ｑ相距为ｒ，求两点电荷连线的　

垂直平分线上场强最大的点的位置？　

Ｅ　

翻３　解：设该点Ｐ与两点电荷的距离Ｌ（即ＡＰ＝Ｌ）　

Ｐ处的场强为Ｅ，　ＯＡＰ＝０　

如图３所示，则有：　

Ｅ＝２ＥＡＰ・ｓｉｎＯ＝（２Ｋｑｓｉｎ０）／Ｌ　

＝（８Ｋｑｓｉｎ０・Ｃ０８　０）／ｒ￣　

其中，以ｑ、ｒ均为恒量　

令ｙ＝ｓｉｎｏ‘ｃ。ｓ２ｏ，与例ｌ同理可得：（　）　＝　

３　ｉｎ２ｏ．—ｃｏ　ｓ２０．丁ｃｏｓ２０　

此式也适合用基本不等式：　≤（ａ＋ｂ＋ｃ）／３　

基本不等式求最值小练

1．已知0x，函数xxy4的最小值 .

2．已知x＞2，则y＝12xx的最小值是 ．

3．已知函数164(1)1yxxx，当xa时，y取得最小值b，则ab_______.

4．若0x，则42xx的最大值是 。

5．已知0x，则函数21xxyx的最大值是 。

6．已知x＞0，则242xx＋的最大值为________________________．

7．若正数x,y满足x+4y=4,则xy的最大值为 .

8．已知yxyxRyxlglg20则且、的最大值为

9．若x>0，y>0，且191yx，则x+y的最小值是__________

10．已知226xy，则2xy的最大值是

11．实数______loglog42022的最大值是，那么，且，yxyxyx

12．已知0a，0b， 2ba，则bay41的最小值为 ．

13．设a>0,b>0,若lga和lgb的等差中项是0,则+的最小值是 .

14．若正实数,xy满足26xyxy，则xy的最小值是 ___ ___．

15．若正数x，y满足114yx，那么使不等式0xym恒成立的实数m的取值范围是_ ． 1．已知0x，函数xxy4的最小值 .

【答案】4

2．已知x＞2，则y＝12xx的最小值是 ．

【答案】4

3．已知函数164(1)1yxxx，当xa时，y取得最小值b，则ab_______.

【答案】6

4．若0x，则42xx的最大值是 。

高中数学最新基本不等式求最值问题专题

基本不等式求最值问题的七种常用方法导引

基本不等式是高中数学中一个重要知识点，在全国各地的高考考纲中都属于C级要求，即熟练掌握要求.高考经常考查运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.试题既能考查同学们的“四基”即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，还能考查同学们的逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养.

知识梳理：

已知x≥0，y≥0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小).

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24(简记：和定积最大).

方法一、（2020学年）常规配凑法

在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法等.

例1.（1）已知242ba（a,b∈R）,则a+2b的最大值为____0____

（2）. 已知实数x,y满足11622yx，则22yx的最大值为__94______

（3）.设x>0,y>0,x+2y=5,则(𝑥+1)(2𝑦+1)√𝑥𝑦的最小值为

.

答案 4√3 高中数学最新基本不等式求最值问题专题

（4）已知实数若x、y满足0xy，则42xyxyxyxy的最小值是______．

【答案】5

【解析】0xy，所以0xyxy，423xyxyxy，

3235342xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyyxxyxy当且仅当xyxy时，即当0y时，等号成立.

因此，42xyxyxyxy的最小值为5.故答案为：5.

方法二、消元法