基本不等式最值问题

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运用基本不等式解决最值问题例析2011/12/6

最值问题是高考的热点问题之一,贯穿于高中数学的各个模块,最值问题又是进一步学习高等数学最值问题的基础。利用基本不等式求最值是最常见且应用十分广泛的方法,但许多最值问题不能直接的套用公式求解,必须进行合理的拆添项或配凑因式,创造应用基本不等式的条件才能套用。

基本不等式及常见变形

1. 基本不等式

𝐚𝟐+𝐛𝟐≥2ab (a,b∈R,当且仅当a=b时取等号)

a+b≥2√𝐚𝐛 (a,b∈𝐑+,当且仅当a=b时取等号)

2. 常见变形

⑴ ab≤𝐚𝟐+𝐛𝟐𝟐 ⑵ ab≤(𝐚+𝐛𝟐)𝟐 ⑶(𝐚+𝐛𝟐)𝟐≤𝐚𝟐+𝐛𝟐𝟐 或

a+b≤√𝟐(𝐚𝟐+𝐛𝟐)

3. 最值定理

设x>o y>0,由x+y≥2√𝐱𝐲得：

⑴若积xy=p(定值)，则当x=y时，和x+y有最小值2√𝐩;

⑵若和x+y=s(定值),则当x=y时，积xy有最大值(𝐬𝟐)𝟐；

注：均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能；均值不等式及推论主要用于求函数的最值和证明不等式，解题时往往需要：一是创设一个应用均值不等式的情境，二是使等号成立条件；在利用均值不等式求最值时，一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件。

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二 解题示范

例1 设0

分析：∵ x与4-x均为正数且x+(4-x)=4为定值，∴由

最值定理（2）求之。

解：y=x(4-x)≤(𝐱+𝟒−𝐱𝟐)𝟐=4

当且仅当x=4-x即x=2时取等号

∴当x=2时函数y=x(4-x)最大值为4

变式⑴

设0

解(略)

变式⑵ 设a>0 b>0且a+2b=3,求ab的最大值？

解(略)

解题反思：例1与两变式都是利用ab≤(𝐚+𝐛𝟐)𝟐求积的最大值，但两因式和不定时需配凑一个系数使两因式和为定值；这组题也可转化为二次函数求最值问题。

利用基本不等式求最值问题

几个重要的不等式：（1）),(222Rbaabba；

（2）),(2同号baabba；

（3）),()2(2Rbabaab；

（4）),(1122222Rbabaabbaba

1. 若正实数a,b满足a+b=1，则（ ）。

A.ba11有最大值4 B.ab有最小值41 C.ba有最大值2 D.22ba有最小值22

2. 若正数yx,满足xyyx53，则yx43的最小值是 ；

3. 已知Ryx,，且满足143yx，则xy的最大值为 ；

4. 已知0,0yx，且191yx，则yx的最小值为 ；

5. 已知正数yx,满足02xyyx，那么yx2的最小值 ；

6. 设正实数a,b满足a+b=2，则baa81的最小值为 ；

7. 已知实数yx,满足122xyyx，则yx的最大值为 ；

8. 设a>0,b>1，a,b为正常数，则xbxa1222的最小值为 ；

9. 若正数yx,满足xyyx11，则xy的最小值为 ；

10. 已知0,0ba且a+b=1，则ba121的最小值为 ；

11. 已知23x，则11222xxx的最小值为 ；

12. 已知Ryx,，满足62422xyyx，则224yxz的最小值为 。

13. 若Rba,，0ab，则abba1444的最小值为 。

14.

利用基本不等式求最值

【学习目标】

知识与能力：学习应用基本不等式求最值;

过程与方法：通过对问题详细讲解，学习基本不等式求最值的两类问题。

情感态度与价值观：了解现实生活，会解决简单的不等式问题。

【学习重点】

学习应用基本不等式求最值.

【学习难点】

对实际问题进行详细分析。

【问题探究】

探究一:

问题1： 0x,当x取什么值时，1yxx的值最小？最小值是多少？

问题2: 0x,当x取什么值时，1yxx的值最大？最大值是多少？

问题3: 1x,当x取什么值时，4(1)1yxx的值最小？最小值是？

探究二:

问题4: 当01x时,(1)yxx的最大值为 .

【知识网构】

(0,0)2abababab当且仅当时，等号成立； abababab积为定值时，和取得最小值;和为定值时，积取得最大值；

【达标反馈】

(1)下列函数中最小值为2的是( )

A、 1yxx B、 1,0yxxx

C、 1sinsinyxx D、2sin,(0,]sin2yxxx

(2)(2009,湖南)若0x,则2yxx的最小值为 .

(3)已知3,x求43yxx的最小值.

(4)已知103x,求(13)yxx的最大值.

【课后作业】

思考：已知,xy为正数,21xy,求11xy的最小值;

习题3.4 A组 2,3;

主备人（签字）：

备课组长（签字）：

基本不等式最值问题

在数学中，基本不等式是解决最值问题的常用工具。最值问题可以简单理解为在一定条件下，求一个函数的最大值或最小值。而基本不等式是通过确定函数的上界或下界，从而确定函数的最值。本文将介绍基本不等式的概念、应用以及解决最值问题的步骤。

一、基本不等式的概念

基本不等式是指一些常见的不等式模式，通过这些模式，可以直接得到函数的上界或下界，从而确定函数的最值。常见的基本不等式有以下几种：

1. 平方不等式：对于任意实数a，有a^2≥0，即任意实数的平方都大于等于0。这个不等式模式可以用于求解二次函数的最值问题。

2. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|，即两个数的绝对值之和不大于这两个数的绝对值之和。这个不等式模式可以用于求解绝对值函数的最值问题。

3. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意n个实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有|(a1b1+a2b2+...+anbn)|≤√(a1^2+a2^2+...+an^2)√(b1^2+b2^2+...+bn^2)，即两个向量的内积的绝对值不大于它们的模的乘积。这个不等式模式可以用于求解向量函数的最值问题。

二、解决最值问题的步骤

解决最值问题的一般步骤如下：

1. 确定问题：明确要求求解的最值是函数的最大值还是最小值。

2. 建立模型：根据题目中的条件，建立函数模型。根据问题的特点，可以选择适合的基本不等式。

3. 求解过程：根据建立的模型，利用基本不等式求解函数的上界或下界。具体的求解过程要根据问题的具体条件进行分析和推导。

4. 检验答案：将求解得到的值代入原函数，验证其是否为最大值或最小值。同时，还要检查是否存在其他的极值点。

三、应用举例

下面通过两个具体的例子来说明基本不等式的应用。

例1：求函数y=x^2+2x+3在定义域内的最小值。

解：首先，我们可以求出函数的导数为y'=2x+2，令其等于0，得到x=-1。由于这是一个二次函数，且a>0，所以函数在x=-1处取得最小值。将x=-1代入函数中，得到y=3。所以函数y=x^2+2x+3在定义域内的最小值为3。