基本不等式求最值(解析)

第 1 页 共 4 页 高中数学：利用基本不等式求最值

角度1 利用配凑法求最值

(1)设0＜x＜32，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为92 .

解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋3－2x22＝92，当且仅当“2x＝3－2x，即x＝34”时，等号成立．

∵34∈0，32，

∴函数y＝4x(3－2x)0＜x＜32的最大值为92.

(2)函数y＝x2＋2x－1(x＞1)的最小值为23＋2 .

解析：y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－2＋3x－1

＝x－12＋2x－1＋3x－1

＝(x－1)＋3x－1＋2≥23＋2.

当且仅当x－1＝3x－1，即x＝3＋1时，等号成立．

角度2 利用常数代换法求最值

(2019·烟台一模)已知函数y＝1＋logmx(m＞0且m≠1)的图象恒过点M，若直线xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)经过点M，则a＋b的最小值为( C )

A．2 B．3 第 2 页 共 4 页 C．4 D．5

解析：由函数的解析式可得M(1,1)，

即1a＋1b＝1(a＞0，b＞0)，

则a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4，故选C．

【条件探究】 将本典例条件变为“已知a＞0，b＞0，a＋b＝1”，则1＋1a1＋1b的最小值为9.

解析：1＋1a1＋1b＝1＋a＋ba1＋a＋bb＝2＋ba·2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝12时，取等号．

角度3 利用消元法求最值

已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则u＝2a＋3ba＋b( B )

A．有最大值145 B．有最小值145

高考数学专题--基本不等式求最值的常用方法(解析版)

直线ab经过点M可得1+a*log(m)=b，化简得a*log(m)=b-1

将a*log(m)代入第一个式子得到11/b+log(m)的最小值

令t=log(m)，则有11/b+t的最小值，根据部分“1”代换可得

11/b+t=(1+1/b)*b+(t-1)的最小值，当且仅当b=2时取“=”，此时a=log(2)即为最小值。

已知$x>0$，$y>0$，且$x+y=1$，求$\frac{y^4}{x^2y^2}$的最小值。

解析：$\frac{y^4}{x^2y^2}=y^2+\frac{y^4}{x^2}\geq

2\sqrt{y^2\cdot\frac{y^4}{x^2}}=2y^2$，所以最小值为$2$，当且仅当$x=y=\frac{1}{2}$时取等号。

已知正数$x$，$y$，且$x+y=4$，求$\frac{4}{x+2y+1}$的最小值。

解析：令$m=x+2$，$n=y+1$，则$x+2+y+1=m+n=5$，$\frac{4}{x+2y+1}=\frac{4}{m+n-2}\geq\frac{4}{4}=1$，所以最小值为$1$，当且仅当$x=2$，$y=1$时取等号。

已知$x>y>0$，且$x+y\leq 3$，求$\frac{3x+y}{2x+by+1}$的最小值。

解析：令$m=2x+y$，$n=y+1$，则$x=\frac{m-2n}{3}$，$y=n-1$，$x>y$可得$\frac{m-2n}{3}>n-1$，即$m>5n-3$。所以$\frac{3x+y}{2x+by+1}=\frac{3m-6n+n}{2m+bn+1}=\frac{3}{2}\cdot\frac{m}{m+\frac{bn+1}{2}-n}\geq\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{3}=2.5$，所以最小值为$2.5$，当且仅当$m=5n-3$时取等号，即$x=2$，$y=1$。

利用基本不等式求最值

【学习目标】

知识与能力：学习应用基本不等式求最值;

过程与方法：通过对问题详细讲解，学习基本不等式求最值的两类问题。

情感态度与价值观：了解现实生活，会解决简单的不等式问题。

【学习重点】

学习应用基本不等式求最值.

【学习难点】

对实际问题进行详细分析。

【问题探究】

探究一:

问题1： 0x,当x取什么值时，1yxx的值最小？最小值是多少？

问题2: 0x,当x取什么值时，1yxx的值最大？最大值是多少？

问题3: 1x,当x取什么值时，4(1)1yxx的值最小？最小值是？

探究二:

问题4: 当01x时,(1)yxx的最大值为 .

【知识网构】

(0,0)2abababab当且仅当时，等号成立； abababab积为定值时，和取得最小值;和为定值时，积取得最大值；

【达标反馈】

(1)下列函数中最小值为2的是( )

A、 1yxx B、 1,0yxxx

C、 1sinsinyxx D、2sin,(0,]sin2yxxx

(2)(2009,湖南)若0x,则2yxx的最小值为 .

(3)已知3,x求43yxx的最小值.

(4)已知103x,求(13)yxx的最大值.

【课后作业】

思考：已知,xy为正数,21xy,求11xy的最小值;

习题3.4 A组 2,3;

主备人（签字）：

备课组长（签字）：

1

专题33 基本不等式中常见的方法求最值

一、题型选讲

题型一 、消参法

消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！

例1、【2020年高考江苏】已知22451(,)xyyxyR，则22xy的最小值是 ▲ ．

【答案】45

【解析】∵22451xyy

∴0y且42215yxy

∴422222222114144+2555555yyyxyyyyy，当且仅当221455yy，即2231,102xy时取等号.

∴22xy的最小值为45.

故答案为：45.

例2、.【江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研】已知,abR，且27abb，则32abab的最小值为_______________.

【答案】10

【解析】因为27abb,所以72bab,

所以732(3)2(3)22babababbbbb

[9(2)](21)2(2)42bbbb

9(1)(21)2(2)42bbb

99(2)12(2)42bbb 2 9(2)42bb,

因为,abR,所以9(2)42bb92(2)42bb6410,

当且仅当922bb,解得1b,此时71212a,

所以32abab的最小值为:10.

故答案为10

例3、(2017苏北四市期末）. 若实数x，y满足xy＋3x＝30＜x＜12，则3x＋1y－3的最小值为________．

【答案】. 8

【解析】、解法1 因为实数x，y满足xy＋3x＝30＜x＜12，所以y＝3x－3(y＞3)，

所以3x＋1y－3＝y＋3＋1y－3＝y－3＋1y－3＋6≥2y－3·1y－3＋6＝8，当且仅当y－3＝1y－3，即y＝4时取等号，此时x＝37，所以3x＋1y－3的最小值为8.