【高斯数学思维训练】第09讲：比较与估算

第9讲 计算综合二兴趣篇1、计算：(...)(..)⨯⨯-+÷-÷--1352433366712313500935183【分析】由题意知，原式=13(4.3 3.6 3.6 6.7 3.6)(1.2350.09)341⨯⨯-+⨯-⨯--1365312517=⨯+=+=2、要使等式2142315.62(1.625133101535⎡⎤÷⨯+--÷=⎢⎥⎣⎦）成立，方格内应该填入多少？【分析】 设x =.那么解方程:2142315.62(1.62513310153581311431815.6381015258131115.6438108131115.64381081353813158814x x x x x x ⎡⎤÷⨯+--÷=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫÷⨯+--⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫÷⨯+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫⨯+-=÷ ⎪⎝⎭⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭+==） 3、计算：711842313125520580-÷⨯+⨯【分析】7151225258482313137254525520580100100-÷=⨯=⨯=⨯+⨯+4、计算：113195022002251 3.520021950+⨯-+【分析】11319502002119502 1.5195036200225200211950200213.5 3.52002711200219501950⨯++⨯-=-=-=⨯++5、计算下列繁分数： （1）++11123； （2）+++1112134； （3）-+-1111111987。

【分析】113101111777233+=+=+=+ 11111343111111143030302221131313344111119861987111111119873973397339731111198619861986119871987+=+=+=+=+=++++-=-=-=-=-=+++-6、算式+++++++++11111111112345678910的计算结果，小数点后第2008位是数字几？ 【分析】111111111111111111112345678910236458107920.6750.1428570.12.6750.253968⎛⎫⎛⎫+++++++++=+++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+++=+&&&&& ()20084mod 6≡,循环节第6位是9，因此小数点后第2008位是97、定义运算符号“∆”满足：a ba b a b+∆=⨯。

第二十六讲比较与估算在前面的章节中，同学们已经对分数的计算有了一定的认识，也学习了很多比较分数大小的方法•今天我们将继续研究一些较复杂的分数比较大小和估算的问题.例题1.现有7个数，其中5个是3.&&、3-、116、3.&&、3凹•如果按照从小到大排列的第三7 37 273个数是空，那么位于最中间的数是多少？37「分析」这是一个比较多个数大小关系的推理题，虽然其中有着两个数未知，但是我们还应该先比较已知数之间的大小关系，再利用其他条件来推理出题目的结果.练习1.有8个数，0.&& -、5、0.5& 24、13是其中的6个.如果按从小到大的顺序排列时,3 9 47 25第4个数是0.5&.那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数？例题2.2 5 3在不等式2 5 3的方框中填入一个自然数，使得不等式成立.3 □4「分析」分子相同，分母大的分数小.但分子不一样怎么比较大小呢?练习2在不等式2□的方框中填入一个自然数，使得不等式成立.那么方框中最大可以填多少?在算式的估算中，有一种方法比较常用，就是用非常接近的数来替换原来的数，这样可以得到一个和真实答案非常接近的近似值，但一定要注意近似值与真实值之间的误差是否符合题意.例题3.算式33.333 33.333计算结果的整数部分是多少？「分析」本题需要计算两个较复杂的数相乘，但是不要求计算出最后结果，只要求出结果的整数部分就可以了•我们可以从以下两个方面考虑：(1)估算结果的大致情况，推出整数部分.(2)计算出准确结果，确定整数部分.那大家想一想应该怎么办？练习3.算式66.666 66.666计算结果的整数部分是多少?算式的缩放是估算问题中经常用到的方法. 缩放的方法有很多.在放缩的时候要注意不可将范围放缩得过大，这样将无法起到放缩本来应该有的作用.例题4.2 2 2 2算式---L —计算结果的整数部分是多少？11 12 13 20「分析」本题显然不能硬算，不然太麻烦•如果能将该算式稍加变形，使它不仅变得好算, 还能确定大小范围，那就可以求出它的整数部分是多少了.练习4.33 3 3算式-— L—计算结果的整数部分是多少?20 21 2229同例题4,需要对算式稍作变形，加以放缩来确定大小范围，进而求出整数部分.例题6.(1) 两个小数的整数部分分别是 4和5,那么这两个小数乘积的整数部分共有多少种可能 的取值？ (2)将两个小数四舍五入到个位后，所得到的数值分别是7和9•将这两个小数的乘积四 舍五入到个位后共有多少种可能的取值？「分析」注意到题目中的两个小数分别有一个连续的取值范围， 那么乘积也一定有一个连续 的取值范围.例题 5.求出99 100 999 10009999999999 的计算结果的整数部分.10000000000「分析」等号与不等号的历史、等号，不等号为了表示等量关系，用“=”表示“相等”，这是大家最熟悉的一个符号了.说来话长，在15、16世纪的数学书中，还用单词代表两个量的相等关系.例如在当时一些公式里，常常写着aequ或aequaliter这种单词，其含义是“相等”的意思.1557年，英国数学家列科尔德，在其论文《智慧的磨刀石》中说：“为了避免枯燥地重复isaequalleto （等于）这个单词，我认真地比较了许多的图形和记号，觉得世界上再也没有比两条平行而又等长的线段，意义更相同了.”于是，列科尔德有创见性地用两条平行且相等的线段“=”表示“相等”，“=”叫做等号.用“=”替换了单词表示相等是数学上的一个进步.由于受当时历史条件的限制，列科尔德发明的等号，并没有马上为大家所采用.历史上也有人用其它符号表示过相等. 例如数学家笛卡儿在1637年出版的《几何学》一书中，曾用表示过“相等”.直到17世纪，德国的数学家莱布尼兹，在各种场合下大力倡导使用“=”，由于他在数学界颇负盛名，等号渐渐被世人所公认.顺便提一下，“工”是表示“不相等”关系的符号，叫做不等号.“工”和“=”的意义相反，在数学里也是经常用到的，例如a+ 1工a+ 5.二、大于号，小于号现实世界中的同类量，如长度与长度，时间与时间之间，有相等关系，也有不等关系.我们知道，相等关系可以用“=”表示，不等关系用什么符号来表示呢？为了寻求一套表示“大于”或“小于”的符号，数学家们绞尽了脑汁. 1629年，法国数学家日腊尔，在他的《代数教程》中，用象征的符号“ff”表示“大于”，用符号“§”表示“小于”.例如，A大于B记作：“ AffB”，A小于B记作“ A§B”. 1631年，英国数学家哈里奥特，首先创用符号“〉”表示“大于”，“V”表示“小于”，这就是现在通用的大于号和小于号.例如5>3,—2V0, a>b, m V n.与哈里奥特同时代的数学家们也创造了一些表示大小关系的符号.例如，1631年，数学家奥乌列德曾采用“ | —”代表“大于”；用“ _ ”代表“小于”.1634年，法国数学家厄里贡在他写的《数学教程》里，引用了很不简便的符号，表示不等关系，例如：a >b用符号“a3|2b”表示；b v a用符号“b2|3a”表示.因为这些不等号书写起来十分繁琐，很快就被淘汰了.只有哈里奥特创用的“〉”和“V” 一直广为使用.作业1.下面的分数中，最大的是哪个？3 2 6-- ?— ? ---11 9 25作业2.下面三个算式的结果中，最大的是哪个？最小的是哪个?11 29 ' 1111，C 13271426作业3.算式1—3— 5— L13 15 17211 一的整数部分是多少?23作业4. 6.6666 9.9999的整数部分是多少?作业5.小高将算式的两个乘数都四舍五入后得到8 9 72，有多少种可能？那么原算式结果的整数部分B例题1.答案：3 37273是7个数中从小到大排列的第 3个，说明另两个没有写出的数比 口6 小,为最小的3737两个数.那么可知 7个数中位于中间的数是 3卫7 .273例题2.答案：7例题3. 答案：1111详解：我们发现33.33333比较接近33.&,而33.& 33-.因此我们可以尝试利用33.&估3成 分 数 计 算：例题4.答案：1例题5.答案：9例题 6. 答案：(1) 10; ( 2) 17详解：(1)设两个小数分别为 a 和b ,由于两个小数四舍五入到个位后所得到的数值分 别是4和5,所以考虑到小数点的情况，可得4 a5 , 5 b6 .因此，我们得到a b 4 5 20 , a b 5 6 30 .所以两个小数乘积的整数可取20到29之间的任何整数值，一共有10种可能的取值. (2)设两个小数分别为a 和b ,由于两个小数四舍五入到个位后所得到的数值分别是7 和9，所以考虑到小数点的情况，可得6.5 a7.5 ,8.5 b9.5 .因此，我们得到a b 6.5 8.5 55.25 , a b 9.5 7.5 71.25 .所以两个小数乘积的整数可取 55到71之间的任何整数值，一共有 17种可能的取值. 练习1.答案：0.5&&简答：已知的六个数从小到大的顺序是24、o.5& 0.&&、22、？、？ •说明另外两个47 25 9 3第二十六讲比较与估算详解：我们把所有的数化为小数后比较:3.&& 3.1515L , 3电273 3.1355L .经比较，有116 疇3梯冷3催注意到详解：通分子,30 3045 □ 6，所以45 □ 6 40，只能填7.4033.33333 33.33333计算结果的整数部分是1 33- 3 1111.1 33 3 100 100 10000 911111—.因此 33.33333 33.333339算 结 果，12 2 详解：丄10—— 511 12Z L 13 2 20 11010 ，结果介于1~2之间,所以整数部分是1 .详解：通过放缩可得:1 109 99于9到10之间，整数部分是10 100 10009.999 L 9999999999 1000000000010 10，所以结果介3.&& 3.1414L3.1428L ,兰 3.1351L ,37不知道的数一定是最小的和第二小的，由此可知第四大的数是0.&&练习2. 答案：17简答：通分子，得1°，方框中最大可填17.35 2 □练习3. 答案：4444简答：66.666 66.666 66.666 2004444.4，所以整数部分是4444.3练习4. 答案：1简答：302 103 1 A L 3 310 1.5.可知整数部分是1 .29292021 2229 20作业1.答案：311简答：把分子都变成6.作业2.答案：A, C简答：A40B40C40.分子都是40,根据和同近积大，可知A 11 2913 2714 26的分母最小, C的分母最大. 作业3.答案：36简答：1 35L11 36 ,2 26 2 2 L26,23 1315 2313即12L 2 12 1 .可知原式的整数部分是36.23 131523 13作业4.答案：66简答：原式旦9.9999 66.666 .整数部分是66.3作业5. 答案：18简答：设两个乘数分别为A和B，那么A在7.5与8.5之间，B在8.5与9.5之间.那么它们的乘积在63.75与80.75之间.整数部分可能是63~80，有18种可能.。

本讲是在分数计算方面技巧的基础上，进一步认识小数、分数，只是从比较大小方面认识它们，这一讲主要介绍一些比较较为复杂的小数、分数大小的方法，主要有通分子、通分母、倒数法、放缩法等。

一、小数的大小比较常用方法 为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数.(如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式)二、分数的大小比较常用方法⑴通分母：分子小的分数小.⑵通分子：分母小的分数大.⑶比倒数：倒数大的分数小.⑷与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小．(适用于真分数)⑸重要结论：①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大．⑹放缩法在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！同学们要根据具体情况展开思维！三、数的估算时常用方法（1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小．使结果介于某两个接近数之间，从而估算结果．（2）变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式．模块一、两个数的大小比较 【例 1】 如果a =20052006，b = 20062007，那么a ，b 中较大的数是 【考点】两个数的大小比较 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试【巩固】 试比较19951998和19461949的大小 【考点】两个数的大小比较 【难度】2星 【题型】填空例题精讲知识点拨教学目标比较与估算【巩固】 比较444443444445和555554555556的大小 【考点】两个数的大小比较 【难度】2星 【题型】填空【例 2】 如果A =111111110222222221，B =444444443888888887,A 与B 中哪个数较大？ 【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空【关键词】迎春杯，决赛 【巩固】 如果222221333331,222223333334A B ==，那么A 和B 中较大的数是 . 【考点】两个数的大小比较 【难度】2星 【题型】填空【关键词】祖冲之杯【巩固】 试比较1111111和111111111的大小 【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空【例 3】 在 a =20032003×2002和 b =20022003×2003中，较大的数是______ ，比较小的数大______ 。

第九讲复杂盈亏问题例题1大家凑了一笔钱去超市采购．已知一包牛板筋3元钱，一袋酱牛肉8元钱．如果给每人买4包牛板筋、2袋酱牛肉，还能剩下8元钱．如果给每人买2包牛板筋、3袋酱牛肉，就会缺4元钱．请问共有多少人？练习1同学们凑了一笔钱去采购文具．已知一支铅笔6角钱，一块橡皮8角钱．如果给每人买4支铅笔、2块橡皮，还能剩下8角钱．如果给每人买2支铅笔、3块橡皮，就会剩下4元8角钱．那么共有几个同学？例题2划船时，每条船坐一样多的同学，正好把全部10条船都坐满；如果每条船都多坐2名同学，那么有2条船没人坐．请问：共有多少人？练习2老师给6名同学分西瓜，每人一样分的多，刚好分完，如果每人多吃3个瓜就有3个人没瓜吃．请问有多少个西瓜？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 虽然很多盈亏问题可以通过条件的简单转化，变为基本盈亏问题来解决，但学习盈亏问题的重点不在于那几种套路，而是要学会如何去“比较”，比较前后两种情形的“差额”．只有通过盈亏问题学会如何去“比较”，才是学到了真本事．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题3甲和乙各带了相同数目的钱去买面包．甲买了9个小面包，剩下55元；乙买了12个大面包，剩下16元．已知大面包比小面包贵2元，那么大面包多少钱一个？练习3卡莉娅带了一些钱去买苹果，如果她买5千克小苹果，还会剩下32元；如果买6千克大苹果，就只能剩10元钱．已知小苹果比大苹果每千克便宜3元，请问：小苹果每千克多少元？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- 在鸡兔同笼问题中，如果对象之间存在倍数关系或等量关系，我们往往会进行分组、配对．这种分组、配对的做法在盈亏问题中也是很管用的．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4幼儿园准备了很多梨和苹果，苹果总数是梨的2倍．每个小朋友分得3个苹果和2个梨后，最后还剩下10个苹果和2个梨．求一共准备了多少个梨？练习4学校准备了很多笔和本子准备奖励优秀学生，本子的数量是笔的3倍．给每位同学分3支笔和8本本子后，还剩下10支笔和55本本子．请问：学校准备了多少支笔？例题5一些小朋友参加绘画兴趣小组，老师给大家发专用的图画纸．如果每个人领取7张纸，那么老师还能剩下11张．如果一半的小朋友领取8张，另一半小朋友领取10张，最后就会差13张纸．请问：共有多少个小朋友？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 不论是有个别人的分配数量不同也好，还是两次分配了不同物品也好，解决的关键都是设法把这些问题变成基本的盈亏问题来解决．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题6小强做一本习题集，原计划30天完成．按计划做了4天后，他打算加快速度，每天比原计划多做两题；这样做了10天后，他打算再次提速，每天又多做两题．最后正好提前6天做完了全部习题．那么这本书中共有多少道习题？课堂内外礼花礼花，或称礼花炮，从前叫它西洋烟火．随着科学技术的发展，烟火、焰火、礼花已形成一门学科．它不再仅仅为节日助兴，而且，广泛用于国防和国民经济之中，如：照明弹、曳光弹、烟幕弹、燃烧弹、教练-模仿弹、目标指示弹等等．生活中，在特定的时间（比如新年），享受胜利的时刻，又或者喜庆的日子，人们会燃放“礼花”，表达人们的祝福与喜悦．礼花源于焰火而焰火源于火药，我国是火药的故乡，火药是我国古代文明之佐证．早在一千三百多年前，著名医学家孙思邈，就在“丹经”中，详细记载了当时的火药的成分和性质．十四世纪才由印度、阿拉伯辗转传至欧洲，至此，西方人始知有火药之物．礼花，或称礼花炮，从前叫它西洋烟火．它是在清朝时由西欧返入．它的发展与化学工业、冶金工业密切相关．随着科学技术的发展，烟火、礼花已形成一门学科．它不再仅仅为节日助兴，而且，广泛用于国防和国民经济之中，如：照明弹、曳光弹、烟幕弹、燃烧弹、教练一模仿弹，目标指示弹等等，不胜枚举．它们除了军事用途之外，各种信号制品使用在铁路运输、空运、海运和内河运输上．各类烟幕剂还用来防止局部地区冰冻，研究大气中和各种装置中的气流，以及用来和害虫作斗争．此外，白色、黑色以及其它有色烟剂还广泛地使用在摄制影片上．作业1.大家凑了一笔钱去买水果，已知香蕉每斤3元，桔子每斤2元．如果给每人买3斤香蕉4斤桔子，那么就会多出20元；如果给每人买5斤香蕉3斤桔子，那么就会缺12元．请问：一共带了多少元钱？2.胡老师分苹果给学生，开始平分给5人，后来平均给7人，开始每人比后来每人多分2个，求有多少个苹果？3.妈妈去买肉，如果买5斤瘦肉，会剩下6元钱；如果买4斤肥肉，会剩下21元2角．已知1斤瘦肉比1斤肥肉贵1元6角，那么瘦肉多少角钱一斤？4.春游时，老师给同学们准备了许多梨和苹果，其中梨的数量是苹果的4倍．他给每个同学分了1个苹果和3个梨，最后还剩下2个苹果和36个梨．那么共有多少个同学？5.同学们要种一批树苗，如果每人种6棵，那么还多40棵树苗没人种，如果一半的同学每人种7棵，另一半同学每人种9棵，最后还是会多4棵树苗没人种，请问：一共有多少名同学？第九讲 复杂盈亏问题1.例题1 答案：6．简答：每人买4包牛板筋、2袋酱牛肉，要花432828⨯+⨯=元，而每人想买2包牛板筋、3袋酱牛肉，每人花233830⨯+⨯=元，所以也就是每人花28元，能剩下8元，每人花30元，会缺少4元，那么一共有：()()8430286+÷-=人，共有3064176⨯-=元．2.例题2 答案：80．简答：画盈亏图比较，第二次相当于把两条船的人分到前8条船，每船有2828÷=⨯人，共10880=⨯人． 3.例题3 答案：7．简答：小面包比大面包每个便宜2角，甲买了9个小面包，如果都换成大面包的话，会多花2918⨯=元，那么就只能剩下551837-=元，所以每个大面包：()()37161297-÷-=元． 4.例题4 答案：14．详解：把2个苹果和1个梨打包成一个水果套餐，然后让小朋友每人拿两个套餐（即4个苹果2个梨）——这样的分配方案与题目中的分配方案比，梨的分配情况是相同的，因此最后一定会剩下2个梨，也就是说会剩下2个水果套餐（4个苹果，2个梨）．但题目条件中剩下的是10个苹果，原因是每个小朋友并没有拿到4个苹果，而是3个苹果，少拿了1个，因此多剩下了1046-=个苹果——这说明一共少拿了6个苹果，共有6个小朋友．因此一共准备了62214⨯+=个梨． 5.例题5 答案：12．详解：一半小朋友领取8张，一半领取10张，也就相当于每个小朋友都领取9张，所以共有：()()11139712+÷-=个小朋友．6.例题6 答案：300．简答：30天总共分成3个阶段：第一阶段历时4天，做题速度与计划相同；第二阶段历时10天，每天都比原计划多做2题，因此多做了20道题；最有阶段历时30410610---=天，每天比原计划多做4题，因此多做了40题．由此可得，在24天时间内，小强一共多做了204060+=道题．这60题其实就是原计划最后6天的任务，所以原计划每天做60610÷=道题，共有1030300⨯=题． 7.练习1 答案：10．简答：每人买4支铅笔、2块橡皮，用462840⨯+⨯=角，每人买2支铅笔、3块橡皮，用263836⨯+⨯=角，所以有()()488403610-÷-=人． 8.练习2 答案：18．简答：若分给六人，则每人分得()33633⨯÷-=个西瓜，则共有3618⨯=个西瓜． 9.练习3 答案：4．简答：如果买5千克大苹果，还能剩325317-⨯=元，所以大苹果每千克：()()1710657-÷-=元，所以小苹果每千克4元． 10. 练习4答案：85．简答：每人分3支笔和9本本子，那么最后应该剩下10支笔和30本本子．实际情况剩下了55本，多剩下553025-=本，原因是每人只拿了8本本子，少拿1本，由此可得一共25人，笔有2531085⨯+=支．11. 作业1答案：156．简答：每人买3斤香蕉4斤桔子，要332417⨯+⨯=元，每人买5斤香蕉3斤桔子，要352321⨯+⨯=元；所以共有()()201221178+÷-=人，共82112156⨯-=元． 12. 作业2答案：35． 简答：13. 作业3答案：88．简答：如果4斤肥肉全部换成瘦肉，就要多花64角钱，就会剩下21264148-=角；所以每斤瘦肉要()()148605488-÷-=角．14. 作业4答案：28．简答：因为梨的数量是苹果的4倍，如果每个同学分1个苹果和4个梨，那么最后应该会剩下2个苹果和8个梨；所以共有()()3684328-÷-=个同学． 15. 作业5答案：18．简答：一半人种7棵，一半人种9棵，相当于每人种了8棵，所以共有()()4048618-÷-=名同学．2？？？？2 ？2 ？2 ？2 ？黑框是相同部分，不同点是圆圈处，2人吃2×5=10个包子，那之后一人吃5个，所以有5×7=35个包子。

第9讲比较与估算内容概述与小数和分数相关的比较问题，涉及多个数之间的比较，以及算式之间的比较，需要进行估算的计算问题，例如求近似值或求整数部分等，估算的关键是进行恰当的放缩。

典型问题兴趣篇1.分别比较下面每组中两个数的大小：（1）0.375与719；（3）0.423与37；（3）1.347与3123。

2.有8个数，0.51、23、59、0.51、2447、1325是其中的6个，如果按从小到大的顺序排列，第4个数是0.51，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数？3.在不等式25334＜＜的方框中填入一个自然数，使得不等式成立。

4.在大于17且小于311的最简真分数中，分子不超过3的共有多少个？5.111129A=+，111327B=+，111426C=+，11931D=+，11733E=+，请将A B C D E、、、、按从小到大的顺序排列起来。

6.下面的4个算式中，哪个算式的结果最大？①11201719⎛⎫+⨯⎪⎝⎭；②11302429⎛⎫+⨯⎪⎝⎭；③11403137⎛⎫+⨯⎪⎝⎭；④11504147⎛⎫+⨯⎪⎝⎭。

7.计算：0.160.1428570.1250.1+++，结果保留三位小数。

8.某次考试中，13名同学的平均分四舍五入到十位后等于85.4，且每名同学的得分都是整数。

请问：这13名同学的总分是多少？计算平均分时四舍五入到百分位等于多少？9.求下述算式计算结果的整数部分：111111385 23571113⎛⎫+++++⨯⎪⎝⎭。

10.算式1010101012311100101102110++++的计算结果的整数部分是多少？拓展篇1.分别比较下面每组中两个数的大小：（1）0.135与319；（2）0.409与1537；（3）0.97与19492008。

2.现有7个数，其中5个是3.14，137，11637，3.15，373273，如果将这7个数按照从小到大排列，第三个数是11637。

六年级数学专题思维训练—比较与估算1.已知A=（1+2+…+2009）×（2+3+…+2010），B=（1+2+…+2009+2010）×（2+3+…+2009），则在A 和B 中，较大的数是 。

2.两架天平，天平甲的左边放上478×9763克的重量，右边放上4666514克的重量，天平乙的左边放上683×3725克的重量，右边放上2544175克的重量，已知有一架天平是平衡的，问：是哪架天平？3.a ，b 是两个自然数，并且a+b=19，74＜b a ＜85，则a= ，b= 。

4.若a=11111，b=1111111，c=111111111，则a ，b ，c 中最大的是 ，最小的是 。

5.六个分数21，31，51，71，111，131的和在哪两个连续自然数之间？6.27个奇数的平均数保留一位小数是15.9，如果保留2位小数是多少？7.8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22的整数部分是多少？8.在横线上分别填入两个相邻的整数，使不等式成立： ＜1110＋1211＋…＋1918＋2019＜ 9.20031200412005120061200711++++的整数部分是 。

10.49132********+⋯+++的整数部分是 。

11.（1－21＋41－61＋81－101＋…＋961－981＋1001）×10的整数部分是 。

参考答案及解析1.已知A=（1+2+…+2009）×（2+3+…+2010），B=（1+2+…+2009+2010）×（2+3+…+2009），则在A 和B 中，较大的数是 。

【答案】A【分析】换元设1+2+…+2009=a ，2+3+…+2009=b 原式A=a×（b+2010），B=（a+2010）×b 展开之后发现A 比较大。

2.两架天平，天平甲的左边放上478×9763克的重量，右边放上4666514克的重量，天平乙的左边放上683×3725克的重量，右边放上2544175克的重量，已知有一架天平是平衡的，问：是哪架天平？ 【答案】乙【分析】考虑除以3所得的余数。