【高斯数学思维训练】第17讲 应用题综合二_by李才源

142n；1．1⨯2+2⨯3+3⨯4+L+n⨯(n+1)=n⨯(n+1)⨯(n+2)n⨯(n+1)⨯(n+2)⨯(n+3)4．第十七讲整数型计算综合提高一、多位数计算1．凑整、凑9的思想；2．数字和问题：999L439与一个小于它的数相乘，积的数字和是9×．n个9二、等差数列1．等差数列的“配对”思想；2．求和公式：（1）(首项+末项)⨯项数÷2；（2）中间项⨯项数．3．项数公式：(末项-首项)÷公差+1．4．第n项：首项+(n-1)⨯公差．三、等比数列：等比数列“错位相减”法求和，基本步骤是：（1）设等比数列的和为S；（2）等式两边同时乘以公比（或者公比的倒数）（3）两式对应的项相减，消去同样的项，求出结果；四、基本公式1．平方差公式a2-b2=(a-b)(a+b)．2．平方求和12+22+32+L+n2=n⨯(n+1)⨯(2n+1)63．立方求和．13+23+33+L+n3=(1+2+L+n)2．五、整数裂项；32．1⨯2⨯3+2⨯3⨯4+3⨯4⨯5+L+n⨯(n+1)⨯(n+2)=14 2 214 （ （ （ 经典题型一、整数数列基本计算1． 公式型计算；2． 平方差公式的应用；3． 整数裂项： （1） 基本裂项：例如 1×2、1×2×3 等；（2） 高等裂项：与阶乘或其它数列相关的裂项． 二、计算技巧1． 换元思想；2． 分组思想；3． 裂项思想；4． 数论思想在计算中的应用；例1． （1） 888888882 - 111111112 的计算结果是多少？（2） 888 L43 8 ⨯ 333 L 43 3的计算结果的数字和是多少？ 30个830 个3「分析」（1）还记得平方差公式吗？（2）可以用凑整的思想计算出这个算式的结果， 再算数字和．练习 1、 999999999 ⨯ 999999999 的计算结果的数字和是多少？例2． 某书的页码是连续的自然数 1、2、3、…、9、10、…；小须把这些页码相加时，将其中连续 2 个页码漏掉了，结果得到 2013，那么这本书共有多少页？漏掉的 2 页是多少？「分析」首先可以估算一下这本书的大概页数是多少？确定页码总数的范围后再计算就变得简单一些了．练习 2、把从 1 开始的所有奇数进行分组，其中每一组的第一个数都等于这一段中所有数的个数，例如： 1）， 3，5，7）， 9，11，13，15，17，19，21，23，25），（27，29，L L ，79），（81，83，L L ），那么第 8 组中所有数的和是多少？+ + L + 例3． 对自然数 a 和 n ，规定 a ∇n = a n + a n -1 ，例如 3∇2 = 32 + 3 = 12 ，那么：（1）计算：1∇2 + 2∇2 +L + 30∇2 ；（2）计算： 2∇1 + 2∇2 +L + 2∇10．「分析」首先理解题目定义的新运算规则，然后再计算，注意三角符号前后数字顺序．练习 3、对自然数 a 和 n ，规定 a ∇n = a n + a n -1 ，例如 3∇3 = 33 + 32 = 36 ，那么：算式： 1∇3 + 2∇3 + L + 30∇3 的结果是多少？例4． 计算：1⨯ 2+(1+2) ⨯ 4+(1+2+3) ⨯ 6+(1+2+3+4) ⨯ 8+L +(1+2+L +20) ⨯ 40 ．「分析」试着计算几项，寻找一下规律．13 13 + 23 13 + 23 + 33 13 + 23 + 33 + L + 1003 练习 4、计算： + ． 1 1 + 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + L + 100例5． 计算：1⨯ 2 + 3 ⨯ 4 + 5 ⨯ 6 + L + 99 ⨯100 ．「分析」这是一道整数裂项的题目，分析一下如何进行拆分．例6． 计算：1!⨯ 3 - 2!⨯ 4 + 3!⨯ 5 - 4!⨯ 6 + L + 2009!⨯ 2011 - 2010!⨯ 2012 + 2011!⨯ 2013 - 2012!「分析」关于阶乘的计算一定牢记： n !⨯ (n + 1) = (n + 1)! ，本题是否有类似计算．数学史上的一代王者——欧拉莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707年4月5日～1783年9月18日）是瑞士数学家和物理学家．他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）．欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人．他是把微积分应用于物理学的先驱者之一．欧拉1707年4月15日出生于瑞士，在那里受教育．他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过．欧拉是一位数学神童．他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再返圣彼得堡，柏林科学院的创始人之一．欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计75卷．他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的开创人．欧拉在固体力学方面的著述也很多，诸如弹性压杆失稳后的形状，上端悬挂重链的振动问题，等等．欧拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时的新发明微积分，他推导出了很多结果．在他生命的最后7年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作．1733年，丹尼尔吃够了神圣俄罗斯的苦头回自由的瑞士去了，26岁的欧拉坐上了科学院的第一把数学交椅．他感到自己以后的生活要固定在圣彼得堡，便决定结婚，定居下来，并随遇而安．夫人凯瑟琳娜(Catharina)，是彼得大帝带回俄国的画家格塞尔的女儿．后来政治形势变得更糟了，欧拉曾经绝望得想逃走，但随着孩子一个接一个地很快出生，他又感到被拴得越来越牢了，使到不休止的工作中去寻求慰藉．某些传记作家把欧拉的无比多产追溯到他这第一次旅居俄国的时期；平常的谨慎迫使他去成了勤奋工作的牢不可破的习惯．欧拉是能在任何地方、任何条件下进行工作的几个伟大数学家之一．他很喜欢孩子（他自己曾有13个，但除了5个以外，都很年轻就死了）．他写论文时常常把一个婴儿抱在膝上，而较大的孩子都围着他玩．他写作最难的数学作品时也令人难以置信的轻松．许多关于他才思横溢的传说流传至今．有些无疑是夸张的，但据说欧拉确实常常在两次叫他吃晚饭的半小时左右的时间里赶出一篇数学论文．文章一写完，就放到给印刷者准备的不断增高的稿子堆儿上．当科学院的学报需要材料时，印刷者便从这堆儿顶上拿走一打．这样一来，这些文章的发表日期就常常与写作顺序颠倒．由于欧拉习惯于为了搞透或扩展他已经做过的东西而对一个课题反覆搞多次，这种恶果便显得更严重，以至有时关于某课题的一系列文章发表顺序完全相反．1730年小沙皇死去，安娜．伊凡诺芙娜(Annalvanovna，彼得的侄女)当了女皇．就科学院而言，受到了关心，工作活跃多了．而俄国，在安娜的宠臣欧内斯特的间接统治下，遭受了其历史上一段最血腥的恐怖统治．10年里，欧拉沉默地埋头工作．这中间，他遭受了第一次巨大的不幸．他为了赢得巴黎奖金而投身于一个天文学问题，那是几个有影响的大数学家搞了几个月时间的，欧拉在三天之后把它解决了．可是过分的劳累使他得了一场病，病中右眼失明了．欧拉的离世也很特别：在朋友的派对中他中途退场去工作，最后伏在书桌上安静的去了．欧拉的专著和论文多达800多种．小行星欧拉2002是为了纪念欧拉而命名的．（ 1（ （ 作业1. 333333 ⨯ 333333 的计算结果的数字和是多少？2. 甲、乙二人每天背单词，甲背单词的数量每天增加 5 个，乙背单词的数量每天增加 1倍，已知第一天二人共背了 33 单词，第二天二人共背了 40 个单词，那么从第几天起乙每天背的单词要比甲多，从第几天起乙背过的单词数量要比甲多？3. 计算： 1）212 + 222 + 232 + L + 402 ； 2）22 + 42 + 62 + L + 422 ； 3） 2+ 32 + 52 L + 232 ， 的结果？4. 计算：1⨯ 39 + 2 ⨯ 38 + 3 ⨯ 37 + 4 ⨯ 36 + L + 39 ⨯1 ．5. 已知一个平方数加上 143 后还是一个平方数，请问两个平方数中较小的那个是多少？14 14 14 14 1 44 43 L 43 4 L 14141第十七讲 整数型计算综合提高例题：例7． 答案：7777777622222223；270详解：（1）根据平方差公式可得：888888882 - 111111112= (88888888 + 11111111)⨯ (88888888 - 11111111)= 99999999 ⨯ 77777777= 77777777 ⨯ (100000000 - 1)= 7777777700000000 - 77777777= 7777777622222223（2）凑整可得：8882L438 ⨯ 3332L43 3 = 8882L43 8 ÷ 3 ⨯ 3 ⨯3332L43 3 30个8 30个3 30个8 30个3= 296296L4 296 ⨯ 9992L439 = 2962 296295703 2 70370410个296 30个9 9个296 9个703数字和是 270．例8． 答案：这本书共有 64 或 63 页；漏掉的两页是 33、34 或 1、2详解：1 + 2 + 3 + L + 64 = 2080 ．所以共 64 页，差的两个页码的和是 67，所以是 33 页和 34 页．1 +2 +3 + L + 63 = 2016 ．所以也可以数 63 页，差的两个页码的和是 3，所以是 1 页和2 页．例9． 答案：（1）9920；（2）3069详解：（1）根据题目定义的新运算可得：1∇2 + L + 30∇2 = (12 + 1)+ (22 + 2)+ L + (302 + 30)= (12 + L + 302 )+ (1 + L + 30) = 9920 ；（2） 2∇1 + 2∇2 + L + 2∇10 = (21 + 20 )+ (22 + 21 )+ L + (210 + 29)= (21 + 22 + L + 210 )+ (20 + 21 + L + 29 )= 211 - 2 + 210 - 1 = 3069 ．= ⨯ 2 + ⨯ 4 + ⨯ 6L + ⨯ 40 例10． 答案：46970详解：1⨯ 2+(1+2) ⨯ 4+(1+2+3) ⨯ 6+(1+2+3+4) ⨯ 8+L +(1+2+L +20) ⨯ 401⨯ 2 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 20 ⨯ 21 2 2 2 2= 12 ⨯ 2 + 22 ⨯ 3 + 32 ⨯ 4 + L + 202 ⨯ 21= 12 ⨯ (1 + 1) + 22 ⨯ (2 + 1) + 32 ⨯ (3 + 1) + L + 202 ⨯ (20 + 1)= (13 + 23 + L + 203 )+ (12 + 22 + L + 202)= 46970例11． 答案：169150详解：1⨯ 2 + 3 ⨯ 4 + 5 ⨯ 6 + L + 99 ⨯100 = (22 - 2)+ (42 - 4)+ (62 - 6)+ L + (1002 - 100) = (22 + 42 + L + 1002 )- (2 + 4 + L + 100) = 171700 - 2550= 169150例12． 答案：1详解：1!⨯ 3 - 2!⨯ 4 + 3!⨯ 5 - 4!⨯ 6 + L + 2009!⨯ 2011 - 2010!⨯ 2012 + 2011!⨯ 2013 - 2012!= 1!⨯ (1 + 2) - 2!⨯ (1 + 3) + 3!⨯ (1 + 4) - L - 2010!⨯ (1 + 2011) + 2011!⨯ (1 + 2012 ) - 2012! = 1!+ 2!- (2!+ 3!) + (3!+ 4!) - L - (2010!+ 2011!) + (2011!+ 2012!) - 2012!= 1= (12 + 22 + L + 1002 )÷ 2 + (1 + 2 + L + 100) ÷ 2 = ⨯100 ⨯101⨯ 201 ÷ 2 + 5050 ÷ 2 = 171700 ． 练习：练习 1、答案：81简答：原式 = 111111111÷ 9 ⨯ 9 ⨯111111111=12345679⨯ 999999999= 12345678987654321结果数字和为 81．练习 2、答案：9563751简答：找规律，发现每个括号的第一个数恰好是 3 的次方，即 1，3，9，27，81，L L ，从而第 8 组第 1 个数为 2187，第 9 个组第 1 个数为 6561，即求 2187 + 2189 + L L + 6559 ，等差数列求和得 (2187 + 6559)⨯ 2187 ÷ 2 = 9563751 ．练习 3、答案：225680简答：1∇3 + 2∇3 + L + 30∇3 = 13 + 12 + 23 + 22 + 33 + 32 + L + 303 + 30212 + 22 + 32 + L + 302 + 13 + 23 + 33 + L + 303 = 225680 ．练习 4、答案：171700简答： 需要借助这样一个公式： 13 + 23 + 33 + L L + n 3 = (1 + 2 + 3 + L L + n )2 ，因此， 原式= 1 + (1+ 2) + (1+ 2 + 3) + L + (1+ 2 + 3 + L + 100) = (1⨯ 2 + 2 ⨯ 3 + 3 ⨯ 4 + L + 100⨯101)÷ 21 6作业6.答案：54简答：333333⨯333333=111110888889，数字和是54．7.答案：6；8简答：设第一天两人分别背了a、b个单词，所以甲第n天背a+5(n-1)个单词，乙第n 天背2n-1b个单词，由第一、二天分别背了的单词数可分别列出方程a+b=33和a+5+2b=40，可求得a和b分别为31和2，可知答案为6；8．8.答案：（1）19270；（2）13244；（3）23009.答案：10660简答：原式=1⨯(40-1)+2⨯(40-2)+L+39⨯(40-39)=40⨯(1+2+L+39)-(12+22+L+392) =10660．10.答案：1或5041简答：设已知关系式为a2+143=b2，应用平方差公式有(b+a)(b-a)=143，然后讨论143的约数知两数和与差分别为143与1，或13与11，所以可得答案为1或5041．。

第十七讲 周期问题初步前续知识点：二年级第一讲；XX 模块第X 讲 后续知识点：X 年级第X 讲；XX 模块第X 讲把里面的人物换成相应红字标明的人物．我们一起去探险吧！！！ 去哪里呢？ 我知道有个地儿叫狄安娜神庙！！ 小朋友们，你们能快速找出第100根柱子上的图案吗？谁能找到第100根柱子上的字母．那他就能得到无尽的财宝！！听说神庙里的每根柱子上都刻着字母．快跑去数啊！！！快快！！数……数，我数！原来每一列的柱子上刻的是一样的字母！萱萱卡莉娅墨莫墨莫萱萱卡莉娅 墨莫卡莉娅 萱萱 萱萱墨莫萱萱a b c d e f g 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 16 17…… ……我们生活中有很多周期现象：潮起潮落、黑夜白天的交替、春夏秋冬的循环等等．一天24个小时就是一个周期，因为一天过后，我们会重新计时；一周七天是一个周期，因为一周过后，我们又会从周一开始……观察以下图片，你发现了什么？像这样的一些数、图像和事物，按照周而复始的规律循环出现，这种特殊的规律问题称为周期问题．例题1如图所示：10幅图按规律排成一排，其中前三幅图已经画出，请按照规律先画出第4幅图，再画出第10幅图．【提示】先找到小笑脸的旋转规律,它是按照顺时针还是逆时针旋转的？练习1如图所示：16幅图按规律排成一排，其中前三幅图已经画出，请按照规律先画出第4幅图，再画出第16幅图．第1幅 第2幅 第3幅 第4幅 ……第16幅……第1幅 第2幅 第3幅 第4幅 第10幅在解决周期问题时，关键在于找到周期的长度．只要找到周期的长度，再用总数除以周期长度，得到的商就是完整的周期的个数，余数就是除去完整周期的部分后剩下的个数．注意在有余数的除法中，余数要比除数小．例题2下面图形排列是有规律的，那么你知道第33个图形是什么？前33个图形中有几个“○”？【提示】找一找规律，发现4个图形为一个周期．练习2下面图形排列是有规律的，那么你知道前面24个图形中共有多少个“○”吗？例题3有一列数按这样的方式排列：2、3、4、2、3、4、2、3、4……那么第20个数是几呢？这20个数的和又是多少呢？【提示】几个数是一个周期？一个周期的和是多少？练习3有一列数按这样的方式排列：1、2、3、4、1、2、3、4、1、2、3、4……第18个数是几呢？这18个数的和又是多少呢？例题4…………图图肚子饿了，便对妈妈说：“我要吃红烧肉红烧肉红烧肉……”请问图图说的第29个字是什么？前29个字中有几个“红”？【提示】对于开头比较特殊的周期问题，我们可以先把特殊部分去掉．练习4有一列数按这样的方式排列：3、9、4、3、2、1、4、3、2、1……请问第39个数字是什么？前39个数字的和是多少？例题5如下表所示，表格中每行文字都是循环出现的：第一行是“猫和老鼠”4个汉字不断重复，第二行是“熊出没”3个汉字不断重复．那么第36列从上到下依次是哪两个汉字？【提示】多重周期问题，我们要分别去看它们的周期．例题6求2×2×……×2（2008个2相乘）+ 3×3×……×3（2009个3相乘）的个位数字．【提示】一个2相乘末尾是2，2×2的末尾是4，2×2×2的末尾是8……以此类推找规律．课堂内外生活中的周期生活中有许多的事物不断地周而复始．比如，地球365天左右绕太阳公转一周，同时每24小时自转一次；钟表每天嘀嗒嘀嗒地走个不停，时针每12小时转一周，分针每60分钟转一周，秒针每60秒转一周；人类一个星期接着一个星期地学习、工作；春夏秋冬年年复、春播秋种年年重、候鸟每年南迁北徙……这些都是周期现象．数学中也有这样的现象：任意选四个不同的数字，组成一个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数．用所得结果的四位数重复上述过程，最多七步，必得6174．如：9963－3699=62646642－2466=4176 7641－1467=6174作业1. 如图所示，9幅图按规律排成一排，其中前三幅图已经画出，请按照规律先画出第4幅图，再画出第9幅图．2. 找出下面图形排列的规律，根据规律算出前面30个图形中共有几个○？3. 有一列数按这样的方式排列：2、4、6、8、2、4、6、8、2、4、6、8……那么第15个数是几？前15个数的和是几？4. 有一组有规律的文字：我有大头下雨不愁下雨不愁下雨不愁……那么第19个字是几？前19个字中有几个“雨”？5. 如下表所示：表格中每行的文字都是循环出现的：第一行是“天道酬勤”4个汉字不断重复，第二行是“革命尚未成功”6个汉字不断重复．那么第30列从上到下的两个汉字依次是什么？…………第1幅 第2幅 第3幅 第4幅 第9幅第十七讲 周期问题初步1.例题1答案：如图所示详解：通过前三幅图的规律，可知每幅图都是按照逆时针的旋转．先找规律，发现第5幅图和第1幅图是一样的，那么就是4幅图为一个周期．再看10幅图里有几个周期：10422÷=，所以第10幅图就是第3个周期的第2个，也就是第2幅图．2.例题294个图形为一个周期．先算出33个图形里有几个周期：33481÷=，商8表示33个图形里有8个周期，余1表示第9个周期的第1个图形，．一个周期里有一个，那么8个周期就是188⨯=，第9个周期还有一个图形，也是，所以应该是819+=（个）．3.例题3 答案：3；59详解：数列以“2、3、4”三个数为一个周期，不断的重复出现．先要出20个数里有几个周期：20362÷=，所以第20个数是第7个周期里的第2个数，即“3”．再算出每个周期和是2349++=，20个数里有6个周期，即6个9，加上2与3，所以20个数的和是692359⨯++=． 4.例题4 答案：烧；9详解：本题是一个以“我要吃”为头的周期，如果去掉“我要吃”就是一个普通周期．以“红烧肉”三个字为一个周期，不断重复出现．先算出29个字里有几个周期：(293)382-÷=，所以第29个字是第9个周期的第2个字，即“烧”．一个周期里有一个“红”，29个字里有8个周期，加上“红”与“烧”．所以有1819⨯+=（个）“红”． 5.例题5 答案：鼠，没详解：第一行是以“猫和老鼠”四个数为一个周期，不断的重复出现．先要算出36个数里有几个周期：3649÷=，第4幅 第10幅所以第36个字是“鼠”．第二行是以“熊出没”三个数为一个周期，不断的重复出现．先要算出36个数里有几个周期：36312÷=，所以第36个字是“没”．那么第36列从上到下依次是：鼠、没． 6.例题6 答案：9详解：本题需要要先找规律． 第一步：222⨯⨯⨯（2008个2相乘）1个2个位为2；224⨯=，个位为4；2228⨯⨯=，个位为8；222216⨯⨯⨯=，个位为6；2222232⨯⨯⨯⨯=，个位为2；22222264⨯⨯⨯⨯⨯=，个位为4……我们发现这个算式的个位是有规律的，以“2、4、8、6”四个数为一个周期，重复出现的．先要算出2008个数里有几个周期：20084502÷=，所以第2008个数是“6”． 第二步：333⨯⨯⨯（2009个3相乘）一个3个位为3；339⨯=，个位为9；333⨯⨯的结果个位为7；3333⨯⨯⨯的结果个位为1；33333⨯⨯⨯⨯的结果个位为3；333333⨯⨯⨯⨯⨯的结果个位为9……，我们发现这个算式的个位是有规律的，以“3、9、7、1”四个数为一个周期，重复出现的．先要算出2009个数里有几个周期：200945021÷=，所以第2009个数是第503的周期里的第1个数，即“3”．那么2×2×……×2（2008个2相乘）333+⨯⨯⨯（2009个3相乘）的个位数字是639+=．7.练习1答案：如图所示简答：通过前三幅图的规律，可知每幅图都是按照顺时针的旋转．通过找规律，发现第5幅图和第1幅图是一样的，那么就是4个为一个周期．那么就要先看16图形里有几个周期：1644÷=，那么第16个这个周期的最后一个．8.练习2 答案：18简答：这道题的图形按照“”依次不断的重复出现，以4个图形为一个周期．先算出24个图形里有几个周期．2446÷=，商6表示24个图形里有6个周期．而一个周期里有3个，那么6个周期就是16318⨯=个．第4幅 第16幅9. 练习3 答案：2；43简答：数列以“1、2、3、4”四个数为一个周期，不断的重复出现．先要算出18个数里有几个周期：18442÷=，所以第18个数是第5个周期里的第2个数，即“2”．再算出每个周期和是123410+++=，18个数里有4个周期，即4个10，加上1与2，所以18个数的和是4101243⨯++=．10. 练习4答案：4；106简答：本题是一个以“3、9”为头的周期，如果去掉“3、9”就是一个普通周期．以“4、3、2、1”四个数为一个周期，不断重复出现．先算出39个数里有几个周期：(392)491-÷=，所以第39个数是第10个周期的第1个数，即“4”．再算出每个周期四个数的和是432110+++=，39个数里有9个10，加上4，还要加上开头的3和9，所以前39个数的和是910439106⨯+++=． 11. 作业1答案：如下图所示：简答：通过前三幅图的规律，可知每幅图中的“笑脸”自身是按照逆时针旋转，“爱心”自身是按照顺时针旋转，因此可以画出第4幅图．找规律发现4幅图为一个周期，因为9421÷=，所以第9幅图和第1幅图是相同的． 12. 作业2答案：18简答：经观察，图形排列规律是从第一个开始，5个图形为一个周期，则3056÷=（周），所以前面30个图形中共有6318⨯=（个）“○”． 13. 作业3答案：6；72简答：数列以“2、4、6、8”四个数为一个周期，不断的重复出现．先要算出15个数里有几个周期： 15433÷=，所以第15个数是第4个周期里的第3个数，即“6”．再算出每个周期和是246820+++=，15个数里有3个周期，即3个20，加上2、4和6，所以15个数的和是32024672⨯+++=．14. 作业4答案：不；3简答：本题是一个以“我、有、大、头”为头的周期，如果去掉“我、有、大、头”就是一个普通周期．以“下、雨、不、愁”四个字为一个周期，不断重复出现．先算出19个字里有几个周期：(194)433-÷=，所以第19个字是第4个周期的第3个字，即“不”．再根据每个周期中有1个“雨”，余下的3个字中有1个“雨”。

高斯巧解数学题作者：李青来源：《初中生世界·七年级》2015年第10期德国著名大科学家高斯（1777-1855）出生在一个贫穷的家庭. 他八岁时进入乡村小学读书. 教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教几个小孩子读书，真是大材小用. 他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真，如果有机会还应该处罚他们，使自己在这枯燥的生活里增添一些乐趣.这一天正是数学老师情绪低落的一天. 同学们看到老师那抑郁的脸孔，心里畏缩起来，知道老师又会在今天捉这些学生处罚了.“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和. 谁算不出来就罚他不能回家吃午饭. ”老师讲了这句话后就一言不发地拿起一本小说坐在椅子上看去了.教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10……”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好算. 有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗珠.过了一会儿，小高斯拿起了他的石板走上前去：“老师，答案是不是这样？”老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去，回去再算！错了！”他想不可能这么快就会有答案的.可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师，我想这个答案是对的. ”数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5 050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数也是5 050，这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？高斯解释他发现的一个方法，这个方法就是古希腊人和中国人用来计算级数1+2+3+…+n 的方法. 高斯的发现使老师觉得羞愧，觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的. 他以后也认真教起书来，并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看. 在他的鼓励下，高斯以后便在数学上做了一些重要的研究. 长大后他成为当时最杰出的数学家，数学家称呼他为“数学王子”.亲爱的同学，读完故事你可以解决下面的问题吗？1. 从故事中你学到了什么数学知识？2. 你会计算1+2+3+…+100吗？3. 小组讨论交流.4. 归纳：若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项. 后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差.例如：（1） 1，2，3，4，5， (100)（2） 2，4，6，8，10， (90)（3） 3，6，9，12，15， (99)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为2，末项为90，公差为2的等差数列；（3）是首项为3，末项为99，公差为3的等差数列.由高斯的巧算方法，我们可以得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2.有了这个公式，我们就可以解决下面的问题了，一起试一试吧！例1 1+2+3+…+1 999=？【分析与解】这串加数1，2，3，…，1 999是等差数列，首项是1，末项是1 999，共有1 999个数. 由等差数列求和公式可得原式=（1+1 999）×1 999÷2=1 999 000.【注意】利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列.例2 11+12+13+…+31=？【分析与解】这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11+1=21（项）.原式=（11+31）×21÷2=441.在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数. 根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）÷公差+1，末项=首项+公差×（项数-1）.例3 3+7+11+…+99=？【分析与解】3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，项数=（99-3）÷4+1=25，原式=（3+99）×25÷2=1 275.例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和.解：末项=25+3×（40-1）=142，和=（25+142）×40÷2=3 340.例5 盒子里放有3只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出1只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出2只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出10只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里. 这时盒子里共有多少只乒乓球？【分析与解】一只球变成3只球，实际上多了2只球. 第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球. 因此拿了十次后，多了2×1+2×2+…+2×10=2×（1+2+ (10)=2×55=110（只）.加上原有的3只球，盒子里共有球110+3=113（只）.综合列式为：（3-1）×（1+2+…+10）+3=2×[（1+10）×10÷2]+3=113（只）.学习数学是场奇妙的旅行，让我们怀着愉悦的心情来享受数学，经历它的趣味和生命，感悟符号后面的情感和人生.（作者单位：江苏省连云港市赣榆外国语学校）。

﹣2014 年六年级数学思维训练：计算综合二一、兴趣篇1．计算：×（4.3×3﹣3.6+6.7÷ ）﹣（1.23÷13 ﹣5﹣0.09）2．已知：15.6÷[2×（1.625+▽）﹣1 ]﹣ ÷=3，则▽等于多少？3．计算：÷2 ．4. 计算： ．5. 计算下列繁分数：（1）1+ ； （2）1+ ； （3）1﹣ ．6. 算式 1+++++++++的计算结果，小数点后第 2008 位是数字几？7. 定义运算符号“△”满足：a △b=计算下列各式：（1）100△102（2）（3△4）△5（3）．8. 已知 333：□=37： ，那么方框所代表的数是什么？9. 如图，每一条线段的长度规定为它的端点上两数之和，图中 6 条线段的长度总和是多少？10．我们规定：△n=n×n+l），比如：△l=l×2，△2=2×3，△3=3×4．请问：（1）如果要使等式+++…+ =成立，那么方框内应填入什么数？（2）计算：△1+△2+△3+…+△100．二、解答题（共12 小题，满分0 分）11．计算：（3.85÷ +12.3×1 ）÷3．12．计算：÷2．13．．14．我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3.5○2.9=2.9○3.5=3.5．符号“△”表示选择两数中较小数的运算，例如：3.5△2.9=2.9△3.5=2.9．请计算：．15．计算：（++）×（++）﹣（+++）×（+）16．算式（+++++++++++）×2004 计算结果的小数点后第2004 位数字是多少？17．古埃及人计算圆形面积的方法是：将直径减去直径的，然后再平方．由此看来，古埃及人认为圆周率л等于多少？（结果精确到小数点后两位数字）18．（1）将下面这个繁分数化为最简真分数；．（2）若下面的等式成立，x 应该等于多少？=．19．已知符号“*”表示一种运算，它的含义是：a*b= +，已知2*3=，那么：（1）A 等于多少？（2）计算（1*2）+（3*4）+（5*6）+A+（99*100）20．已知A=+++A+ ，B=+++A 比较A 和B 的大小．21.根据图中5 个图形的变化规律，求第99 个图形中所有圆圈（实心圆圈与空心圆圈）的个数．22.定义：a n= ．（1）求出a1，a2，a100，a200 的大小；（2）计算：++++…+ ．三、解答题（共6 小题，满分0 分）23．1 ×（2 ）﹣× + ．﹣24．真分数化为小数后，如果小数点后连续2004 个数字之和是8684，那么a 可能等于多少？25．定义运算“Ω”满足：①aΩ1=1，②aΩn=[aΩ（n﹣1）]+a 已知mΩ4=30．问：（1）m 等于多少？（2）mΩ 8 等于多少？26．已知：A= ×××…×，B=×××…××，C=．请比较A、B、C 三个数的大小．27.求下列两个算式结果的整数部分：（1）×100；（2）．28.定义运算：a⊕b=a+b﹣请问（1）定义的运算是否满足交换律？（2）请根据定义计算下面两个算式：①2009⊕（2009×2008）；②⊕2008⊕．2014 年六年级数学思维训练：计算综合二参考答案与试题解析一、兴趣篇1．计算：×（4.3×3﹣3.6+6.7÷ ）﹣（1.23÷13 ﹣5﹣0.09）【考点】整数、分数、小数、百分数四则混合运算．【专题】运算顺序及法则．【分析】第一个小括号根据乘法分配律进行计算，第二个小括号先算除法，再根据减法的性质进行计算．【解答】解：×（4.3×3﹣3.6+6.7÷ ）﹣（1.23÷13 ﹣5﹣0.09）=×（4.3×3.6﹣3.6+6.7×3.6）﹣（0.09﹣5﹣0.09）=×（4.3﹣1+6.7）×3.6+5+（0.09﹣0.09）=×（10×3.6）+5+0=×36+5=12+5=17．【点评】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算．注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算．2．已知：15.6÷[2×（1.625+▽）﹣1 ]﹣÷=3，则▽等于多少？【考点】方程的解和解方程．【专题】简易方程．【分析】等式15.6÷[2×（1.625+▽）﹣1]﹣÷=3，把▽看作未知数x，式子转化为：15.6÷[2 ×（1.625+x）﹣1 ]﹣÷=3，求出方程的解即可．【解答】解：15.6÷[2×（1.625+x）﹣1 ]﹣÷=315.6÷[×+x﹣1 ]﹣=315.6÷[+x﹣1 ]=315.6÷[ + x]=3+x=15.6÷3+x=+ x =﹣x =x= ；答：则▽等于．【点评】本题运用等式的基本性质进行解答即可．3．计算：÷2．【考点】繁分数的化简．【专题】计算问题（巧算速算）．【分析】分子分母同时化简，分母中先算乘法，再算加法，化简完繁分数后，再算除法．【解答】解：÷2= ÷= ÷= ÷=×=【点评】此题化简的关键掌握分数四则混合运算的方法和顺序．﹣4. 计算： ．【考点】繁分数的化简．【专题】计算问题（巧算速算）．【分析】分子分母同时化简，最后算减法，注意把小数化为分数．【解答】解：=== =【点评】此题主要在于分数的加减计算，同时在化简第一项时，不要急于把分子求出来，因为可以约分．5. 计算下列繁分数：（1）1+ ； （2）1+ ； （3）1﹣ ．【考点】繁分数的化简．【专题】计算问题（巧算速算）．【分析】这三道题都属于阶梯式的繁分数化简，应从下往上依次计算，最终得出结果．【解答】解：（1）1+=1+=1+﹣﹣﹣﹣=1（2）1+=1+=1+=1+=1+=（3）1﹣=1﹣=1﹣=1﹣=1﹣=【点评】繁分数的计算并不难，关键要掌握好化简的方法以及分数的计算．6.算式1+++++++++的计算结果，小数点后第2008 位是数字几？【考点】算术中的规律．【专题】探索数的规律．【分析】=0.5，=0.25，=0.2，=0.125，=0.1，连同1，都是有限小数，不用考虑；只要求出=0. 、=0.1 和= 4285 和=0. 的和，其中0. +0.1 +0. =0.6 ，只要在的循环节上都加1，找出循环节的规律，然后求第2008 位的数字，即可得解．【解答】解：=0.=0.1=0. 4285=0.所以算式1+++++++++=1+0.5+0.25+0.2+0.125+0.1+0. +0.1 +0. 4285 +0.=2.175+0.333333 +0.1666666 +0.142857 4285 +0.111111=2.928968 5396从第7 位后是2、5、3、9、6、8 共6 个数字一个循环的循环小数，（2008﹣6）÷6=333 (4)余数是4，所以小数点后第2008 位是数字是第334 个周期的第四个数9．答：小数点后第2008 位是数字9．【点评】此题主要考查学生对数字有规律变化的理解和掌握，解答此题的关键是明确分母为3、6、7、9 最简真分数化成小数后，按照2，5，3，9，6，8 循环．此题有一定拔高难度，属于难题．7.定义运算符号“△”满足：a△b=计算下列各式：（1）100△102（2）（3△4）△5（3）．【考点】定义新运算．【专题】计算问题（巧算速算）．【分析】（1）直接将数字代入a△b=计算即可；（2）先算小括号里面的3△4，再算括号外面的；（3）先分别计算分子和分母小括号里面的定义运算，再算括号外面的，进一步即可求解．【解答】解：（1）100△102==；（2）（3△4）△5=△5=△5==；（3）=====．【点评】此题考查定义新运算，搞清运算的顺序与计算方法是解答的前提．8.已知333：□=37：，那么方框所代表的数是什么？【考点】解比例．【专题】比和比例．【分析】根据比例的基本性质，把原式改写成37×□=333×，再根据等式的性质，两边同时除以37 求解．【解答】解：333：□=37：37×□=333×37×□÷37=333×÷37□=答：方框所代表的数是．【点评】本题主要考查解方程和解比例，根据等式的性质和比例的基本性质进行解答即可．9.如图，每一条线段的长度规定为它的端点上两数之和，图中6 条线段的长度总和是多少？【考点】整数、分数、小数、百分数四则混合运算．【专题】运算顺序及法则．【分析】根据题意，每一条线段的长度规定为它的端点上两数之和，6 条线段的长度分别是+0.875、+0.6、+、0.875+、0.875+0.6、+0.6，然后把这6 条线段相加即可．【解答】解：（+0.875）+（+0.6）+（+）+（0.875+）+（0.875+0.6）+（+0.6）=×3+0.875×3+×3+0.6×3=1+2.625+2.25+1.8=3.625+2.25+1.8=5.875+1.8=7.675．﹣ 答：图中 6 条线段的长度总和是 7.675．【点评】本题关键是把每条线段的长求出来，再相加，然后再进一步解答．10．我们规定：△n=n ×n+l ），比如：△l=l ×2，△2=2×3，△3=3×4．请问：（1） 如果要使等式+++…+ =成立，那么方框内应填入什么数？（2）计算：△1+△2+△3+…+△100． 【考点】定义新运算．【专题】计算问题（巧算速算）． 【分析】（1）将式子+++…+ 变形为+++…+ ，再拆项抵消即可求解；（2）将△1+△2+△3+…+△100 变形为 l ×2+2×3+3×4+…+100×101，再根据 1×2+2×3+3×4+…+n （n+1）=n （n+1）（n+2）进行计算即可求解． 【解答】解：（1）+++…+= + ++…+=1﹣+ + =1﹣=．+…+答：方框内应填入 99．（2）△1+△2+△3+…+△100 =l ×2+2×3+3×4+…+100×101 =×100×101×102=343400．【点评】此题考查定义新运算，搞清运算的顺序与计算方法是解答的前提．注意拆项法和抵消法的灵活运用．二、解答题（共 12 小题，满分 0 分） 11．计算：（3.85÷+12.3×1 ）÷3．【考点】整数、分数、小数、百分数四则混合运算． 【专题】运算顺序及法则．【分析】小括号里面根据乘法分配律进行简算，最后算除法． 【解答】解：（3.85÷+12.3×1 ）÷ 3﹣ ﹣=（3.85×3.6+6.15×2×1）÷3=（3.85×3.6+6.15×3.6）÷3=（3.85+6.15）×3.6÷3=10×3.6÷3=36÷3= ．【点评】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算．注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算．12．计算：÷2．【考点】繁分数的化简．【专题】计算问题（巧算速算）．【分析】分子分母同时化简，最后算除法，求得结果．【解答】解：÷2，= ÷2，= ÷2，= ÷2，=××，=．【点评】在化简时，注意按四则混合运算的顺序一步步进行．13．．【考点】繁分数的化简．【分析】此繁分式中的分子与分母，数字有一定特点，抓住此特点，把原式变为÷，运用运算技巧和运算定律简算．【解答】解：，= ÷，=1÷ ，=1÷ ，=．【点评】在做此类问题时，对分数、小数的互化要细心，根据题目的情况，灵活处理．在繁分式的约分中，要注意分子、分母必须是连乘的形式．14．我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3.5○2.9=2.9○3.5=3.5．符号“△”表示选择两数中较小数的运算，例如：3.5△2.9=2.9△3.5=2.9．请计算：．【考点】定义新运算．【专题】计算问题（巧算速算）．【分析】根据符号○表示选择两数中较大数的运算，符号△表示选择两数中较小数的运算，得出新的运算方法，用新的运算方法，计算所给出的式子，即可得出答案．【解答】解：，=（0.65×0.4）÷（0.3+2.25），=0.26÷2.55，=．【点评】解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，解答即可．15．计算：（++）×（++）﹣（+++）×（+）【考点】分数的巧算．【分析】本题分数较大，可设++=a，+=b，运用换元法代入计算求解．【解答】解：设++=a，+=b，则原式=a×（b+）﹣（a+ ）×b=ab+ a﹣ab﹣ b=（a﹣b）=×=1．【点评】考查了分数的巧算，本题的关键是把++和+看成一个整体来计算，即换元法思想．16．算式（+++++++++++）×2004 计算结果的小数点后第2004 位数字是多少？【考点】算术中的规律．【专题】探索数的规律．【分析】2004 能被2，3，4，6，12 整除，所以可以不考虑，，，，2004 除以5，8，10 是有限小数，所以也可以不考虑，，只要分析、、、的第2004 位，2005 位数字，把这四个两位数字加起来，十位数字就是计算结果的小数点后第2004 位数字．【解答】解：2004 能被2，3，4，6，12 整除，所以可以不考虑，，，，2004 除以5，8，10 是有限小数，所以也可以不考虑，，=286.285714285714…，是一个6 位的循环，小数点后第2004 位，2005 位是42=222.66…是一个1 位的循环，小数点后第2004 位，2005 位是66=182，1818…是一个2 位的循环，小数点后第2004 位，2005 位是81=154.153846153846…是一个6 位的循环，小数点后第2004 位，2005 位是6142+66+81+61=250，5 就是计算结果的小数点后第2004 位数字．答：计算结果的小数点后第2004 位数字是5．【点评】关键是找出2004 除以2 至13 的数字的情况，找出2004 和2005 位数字，然后求和．17．古埃及人计算圆形面积的方法是：将直径减去直径的，然后再平方．由此看来，古埃及人认为圆周率л等于多少？（结果精确到小数点后两位数字）【考点】圆的认识与圆周率．【专题】平面图形的认识与计算．【分析】根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率；圆周率是无限不循环小数，用“π”表示，π≈3.14，由此解答即可．【解答】解：根据圆周率的含义可知：π≈3.14．【点评】此题考查了圆的认识和圆周率，明确圆周率的含义，是解答此题的关键．18．（1）将下面这个繁分数化为最简真分数；．（2）若下面的等式成立，x 应该等于多少？=．【考点】繁分数的化简．【专题】计算问题（巧算速算）．【分析】（1）对于阶梯式的繁分数化简，从下而上逐步进行，直至结果为整数、小数或最简分数为止．（2）先化简等是左边的繁分数，然后根据解比例的方法求出未知数即可．【解答】解：（1）======（2）=======96x+56=88x+668x=10x=【点评】对于繁分数的化简，要一步步进行，有时还要注意运算的顺序．19．已知符号“*”表示一种运算，它的含义是：a*b= +，已知2*3=，那么：（1）A 等于多少？（2）计算（1*2）+（3*4）+（5*6）+A+（99*100）【考点】定义新运算．【专题】计算问题（巧算速算）．【分析】（1）根据定义新运算：a*b=+，和已知2*3=，得到关于A 的方程，解方程即可求解；（2）将式子变形为++++++1+ +，再拆项抵消进行计算．【解答】解：（1）因为2*3=﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣﹣ ﹣所以+=+=2（3+A ）+4=3（3+A ）3+A=4 A=1．答：A 等于 1．（2）（1*2）+（3*4）+（5*6）+A+（99*100） =+++++ +1+ +=1﹣+ + + =2﹣ ++ + +1+ +=1．【点评】本题考查了新定义运算．关键是根据定义的对应关系进行转化．注意拆项法和抵消法的灵活运用．20．已知 A=+++A+，B=+++A比较 A和 B 的大小．【考点】比较大小．【专题】运算顺序及法则．【分析】先把 A 拆项，然后减去 B ，看看计算结果与 0 的关系，即可解决问题． 【解答】解：A=+ + +…+ =1﹣ + + +…+因此，A ﹣B=（1﹣ + + +…+）﹣（ + + +…+ ）=[（1+ + +…+）﹣（ + + +…+ ）]﹣（ + ++…+）=（1+ + +…+﹣…﹣）＜0因此 A ＜B ．【点评】此题解答的关键在于把分数进行拆项，两式相减，得出结果．21. 根据图中 5 个图形的变化规律，求第 99 个图形中所有圆圈（实心圆圈与空心圆圈）的个数．﹣ ﹣﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣﹣ ﹣ ﹣ ﹣﹣﹣【考点】数与形结合的规律．【专题】探索数的规律．【分析】首先根据已知的5 个图形，分析出每个图形有几层圆圈，每层圆圈的个数分别是多少；然后总结出第n 层圆圈个数的公式，代入求出第99 个图形中所有圆圈（实心圆圈与空心圆圈）的个数即可．【解答】解：设第1 个图形的所有圆圈的个数是S1，第2 个图形的所有圆圈的个数是S2，…第n 个图形的所有圆圈的个数是S n，S1=1S2=1+（1+2）S3=1+（1+2）+（1+2+3）S4=1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4）S5=1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4）+（1+2+3+4+5）…S n=1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4）+（1+2+3+4+5）+…+（1+2+3+…+n）因为（1+2+3+…+n）=n（n+1）÷2，所以第n 个图形所有圆圈的个数为：S n=（∑n2+∑n）÷2=[n（n+1）（2n+1）÷6+n（n+1）÷2]÷2=n（n+1）（n+2）÷6，则第99 个图形中所有圆圈的个数为：S99=99×（99+1）×（99+2）÷6=166650．答：第99 个图形中所有圆圈（实心圆圈与空心圆圈）的个数是166650．【点评】此题主要考查了数形结合的规律问题的应用，解答此题的关键是分析出每个图形有几层圆圈，每层圆圈的个数分别是多少．22.定义：a n= ．（1）求出a1，a2，a100，a200 的大小；（2）计算：++++…+ ．【考点】定义新运算．【专题】计算问题（巧算速算）．【分析】（1）将1，2，100，200 分别代入a n=计算即可求解；（2）通过观察，把原式变为1×（1+1）+2×（2+1）+3×（3+1）+…+99×（99+1）+100×（100+1），然后把各项展开，得到12+1+22+2+32+3+…+992+99+1002+100，再把平方数余平方数相加，其余数相加，然后运用公式12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）÷6，解决问题．【解答】解：（1）a1= =a2= ==a100= ==a200= == ；（2）++++…+=1×2+2×3+3×4+4×5+…+100×101=（12+1）+（22+2）+（32+3）+…+（1002+100）=（12+22+32+...+1002）+（1+2+3+ (100)=+=338350+5050=343400．【点评】考查了定义新运算，解答（2）的关键是通过仔细观察，把原式变形，运用公式12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）÷6，解决问题．三、解答题（共6 小题，满分0 分）23．1 ×（2 ）﹣× + ．﹣【考点】繁分数的化简．【专题】计算问题（巧算速算）．﹣ ﹣ ﹣ 【分析】此题是一道分数四则运算的繁分数化简题，数据较多，所以计算时要细心观察，避免出错．先算括号内的以及繁分数的分子分母中的计算，然后根据分数四则混合运算的顺序进行．注意在计算过程中能约分要约分．【解答】解：1×（2 ）﹣ × +=× ×+=×=× × + ×× + ×=×× + × =×（+）﹣ =×14﹣ = =【点评】繁分数的计算并不难，关键要掌握好分数运算的基本方法．如：分数的运算法则， 约分的技巧及整除的性质等，这样就能化繁为简，很快地计算出来．24．真分数化为小数后，如果小数点后连续 2004 个数字之和是 8684，那么 a 可能等于多少？ 【考点】算术中的规律．【专题】运算顺序及法则．【分析】把 a=1、2、3、4，…26，的值一一列出，规律是循环节为 3 位的循环小数．2004÷3=668，8684÷668=13，所以循环节 3 位数字和等于 13，即可得解．﹣ ﹣ ﹣【解答】解：=0. 3 ，=0. 7 ，==0. ，=0. 4 ，=0. 8 ，= =0. ，= 5 ，=0. 9 ，==0. ，=0. 7 ，=0. 0 ，==0. ，=0. 8 ，= 1 ，==0. ，=0. 9 ，=0. 2 ，==0. ，=0. 0 ，=0. 4 ，==0. ，=0. 1 ，=0. 5 ，==0. ，=0. 2 ，=0. 6 ，2004÷3=668，8684÷668=13，所以循环节3 位数字和等于13，通过观察以上循环节，a=4、13 和22 时，循环节的和是1+4+8=13，所以a=4，13，22；答：a 可能等于4、13 和22．【点评】此题主要考查学生对数字有规律变化的理解和掌握，解答此题的关键是明确分母为27 最简真分数化成小数后的循环节．此题有一定拔高难度，属于难题．25．定义运算“Ω”满足：①aΩ1=1，②aΩn=[aΩ（n﹣1）]+a 已知mΩ4=30．问：（1）m 等于多少？（2）mΩ8 等于多少？【考点】定义新运算．【专题】计算问题（巧算速算）．【分析】（1）根据定义运算“Ω”得到关于m 的方程，解方程即可求解；（2）将mΩ8 变形为只含有mΩ1 的式子进行计算即可求解．【解答】解：（1）mΩ4=30mΩ3+m=30mΩ2+m+m=30mΩ1+m+m+m=301+m+m+m=303m=29m=9．答：m 等于9；（2）mΩ8=9 Ω8=1+9 ×7=68 ．答：mΩ8 等于68 ．【点评】本题考查了新定义运算．关键是根据定义的对应关系进行转化，以及方程思想的应用．26．已知：A= ×××…×，B=×××…××，C=．请比较A、B、C 三个数的大小．【考点】分数大小的比较．【专题】分数和百分数．【分析】先比较A 和B 中每项的大小，进而得出A 和B 的大小，进一步比较得出A 和B 都小于，问题即可得解．【解答】解：因为A=×××…×，B=×××…××，且，…，所以A＜B；又：A×B=故：A×A＜所以，A＜B＜．【点评】解答此题的关键是：比较A 和B 中每项的大小，再根据分数乘法的规律解决问题．27.求下列两个算式结果的整数部分：（1）×100；（2）．【考点】繁分数的化简．【专题】计算问题（巧算速算）．【分析】（1）把分子和分母中的每一个加数分别拆写，如11×66=（13﹣2）×（68﹣2）=13×68﹣2×13﹣2×68+4…；11×65=（13﹣2）×（67﹣2）…，再把分子分母合并，约分可得问题答案．（2）分子不变，把分母扩大或缩小，计算出结果在什么范围内，即可得解．【解答】解：（1）因为分子：11×66=（13﹣2）×（68﹣2）=13×68﹣2×13﹣2×68+412×67=（13﹣1）×（68﹣1）=13×68﹣13﹣68+113×68=13×6814×69=（13+1）×（68+1）=13×68+13+68+115×70=（13+2）×（68+2）=13×68+2×13+2×68+4∴11×66+12×67+13×68+14×69+15×70=13×68×5+10，又因为分母：11×65=（13﹣2）×（67﹣2），12×66=（13﹣1）×（67﹣1），13×67=13×67，14×68=（13+1）×（67+1），15×69=（13+2）×（67+2），∴11×65+12×66+13×67+14×68+15×69=13×67×5+10，所以×100=×100所以整数部分是101．（2）++…＜×20++…＞×20所以＜++…＜2所以＜原式＜=1.45所以原式的整数部分是1．【点评】（1）本题考查了有理数的混合运算，在运算时注意技巧的运用．如把某些常数根据题目的特点拆写成几个数和或差的积．（2）在分数的运算中，分子不变，分母变大，分数的值反而变小；分子不变，分母变小，则分数的值变大．28.定义运算：a⊕b=a+b﹣请问（1）定义的运算是否满足交换律？（2）请根据定义计算下面两个算式：①2009⊕（2009×2008）；②⊕2008⊕．【考点】定义新运算．【专题】计算问题（巧算速算）．【分析】（1）根据加法交换律和乘法交换律即可求解；（2）①将数字代入定义运算计算即可求解；②根据交换律变形为2009⊕（2009×2008）（2009 个）⊕2008，依此计算即可求解．【解答】解：（1）因为a⊕b=a+b﹣，b⊕a=b+a﹣，a+b﹣=b+a﹣，所以a⊕b=b⊕a，所以定义的运算满足交换律；（2）①2009⊕（2009×2008）=2009+2009×2008﹣=2009+2009×2008﹣2009×2009=0；②⊕2008⊕=2009⊕（2009×2008）（2009 个）⊕2008=0⊕2008=0+2008﹣=2008．【点评】考查了定义新运算，正确理解新定义，合理地运用新定义的性质求解是关键．参与本试卷答题和审题的老师有：zlx；张召伟；齐敬孝；duaizh；WX321；zhuyum；忘忧草；奋斗；rdhx（排名不分先后）菁优网2016 年3 月22 日。

第十七讲小升初总复习模拟测试四【学生注意】本讲练习为提高测试卷，满分100分，考试时间70分钟.一、填空题I （本题共有8小题，每题6分）111111.计算：------- ------ ------- ------- -------- .5 8 8 11 11 14 14 17 17 202.有a、b、c三个自然数，乘积是2010，则a b c的最小值是__________________3.如图，BD、DF、FC的长分别为2、3、4,三角形AFC的面积为24, E为AF中点，则四边形ABDE的面积是 _____________4.某岛住着两种居民：老实人只讲真话，而骗子只说谎话. 当游客遇到三名同行的岛民时，向他们每人问了同样的一句话：“你的两名同伴中有几个是老实人？”第一个人回答：“ 0个•”第二个人回答：“ 1个.”那么第三人将回答：“_________ 个.”（填0、1或2）5.甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书320本.如果从甲调35本给乙，从乙调18本给丙，从丙调19本给丁，从丁调38本给甲，则四个组的图书变成一样多.那么甲、乙、丙、丁四个小组原来分别有书_____ 本、______ 本、_____ 本、______ 本.中扣掉60元，扣完为止•该工人合同到期后并没有拿到报酬，那么他最多出勤了_______ 天.7.在一次动物运动会的 30米短跑项目结束后，大牛发现：胖猪、瘦狗和圆龟三只动物的平均用时为10秒，胖猪、瘦狗、圆龟、逗逗猴和大牛5只动物的平均用时为 8秒•如果大牛和逗逗猴的速度比是2:3，那么大牛每秒跑了 _________ 米.、填空题n （本题共有4小题，每题7 分）10.春节期间，某商店按下面两种方式促销：第一种方式：减价20兀后再打八折；第二种方式：打八折后再减20元.刘老师到商店买了两件原价不同的商品，其中一件按第一种方式促销，另一件按 第二种方式促8.有的自然数，既是 210的倍数，又恰好含有210个约数，那这样的自然数共有 ______ 个.39 ,那么方框内填的数是销，共花了252元.已知两件商品的原价都大于100元，而且其中一件商品的原价是另一件的整数倍（倍数大于1）,那么这两件商品的原价分别是________ 元和_______ 元.11. 如图，五个面积相同的正方形放在一个面积是中空白面积已经标出，那么每个正方形的面积是12. 将1到16这16个数填入4 4的方格表中•如果某个方格里填的数在它所在行和所在列里都不是最大的，则称该方格是“平庸”的•那么“平庸”的方格最多有______ 个，最少有 ______ 个.三、填空题川（本题共有3小题，每题8分）13.现有一个盛有水的圆柱形容器底面半径是 12厘米.如果把一个高为12厘米，底面半径是6厘米的圆锥形铁块（底面朝下）放入水中，则水面高度恰好上升到圆锥高度的一半.如果取出该铁块后， 再放入一个与原铁块底面半径和高都相同的圆柱形铁块，则水面高度将上升为______ 厘米.14. 定义新运算“*”：对任意数m 、n ,止讣十•已知m *n =6,11^桫1 =25 '那么m 和n的差是 _______ •15. 把“高思寒假尖子班正在考试”写成如图中的样子，每次自左往右读时，能取不同路径，但上下最多只允许错开一个字，共有 _______ 种读法•已知去掉图中36个汉字中的某一个之后，全部读法就只剩1288种，那么被去掉的是哪一个汉字？请在图中把这个汉字圈起来.假 尖 子班 正 在 假 /I、 尖 子班 正 在 假' /I 、 一尖 子班 正 ’在假 尖子.班; F正尖 子 班考“试 考寒 高' 思寒 :思十寒 子第十七讲小升初总复习模拟测试四答案： 丄.解答：原式=1111丄 丄丄 丄丄 丄丄 丄.20 3 5 8 8 11 11 1414 17 17 20 20答案： 78.解答：要使a b c 最小，a 、b 、c 三个自然数之间必须尽量接近.2010 2 3 5 67，当三个自然数取5、6、67时，有最小和数 78.16. 17.18. 19.20.21. 22.23. 24. 25.26.27. 答案：21 •解答：三角形ABF 的面积是24 5 1 330，三角形DEF 的面积是30 -- 9，所以四边形ABDE 的面积是30 9 21 •答案：1 •解答：假设第一个人是老实人，则余下两人都是骗子，而此时第二人回答 1个”说的是真话，矛盾,所以第一个人是骗子•假设第二个人是骗子，由“1个”得第三个人也应该是骗子，从而第一个人说的“0个”是真话，矛盾，所以第二个人是老实人，第三个人也是老实人，第三个人将回答“1个”.答案：77; 63; 81; 99 •解答：最后四个组的书都是 320 4 80本.甲拿出了 35本，拿进了 38本之后变为80 本, 说明甲组原来有80 38 35 77本.其余三组按同样方法可求得分别有 63、81、99本.答案：6•解答：出席一天的钱可以被扣4天，说明工人最多出席了 丄的时间，即30 1 6天5 5答案：5 .解答：大牛和逗逗猴共用时 5 8 3 10 10秒•由于大牛和逗逗猴的速度比是 2:3，因而时间比为3: 2，大牛跑完全程花了 10 3 6秒，大牛速度为30 6 5米/秒.5答案：24.解答：是210的倍数，说明至少有四种质因数 2、3、5、7;有210个约数，说明这个数只能是x y 2 z 4 w 6 的形式，其中x 、y 、z 、w 恰好是2、3、5、7的一个排列•故符合要求的自然数个数是 4! 24 .答案：3.2 •解答：利用移项要变号的性质倒推.答案：240; 120.解答：事实上，按第一种方式，相当于“打八折后再减20 80% 16元”.两件商品一起购买,相当于打八折后，再减1620 36元，所以两件商品的原价之和是252 360.8 360元•进一步可以推断出两商品原价分别为240元和120元.答案：39.解答：如图，y 1 , 5 x x y z z 5 z ，得z 4、x 8 .于 是四边形 ABCD 的面积是41，AB: AE 41:164 1: 4，所以BE 3AB ，每个正方形的面积是 35 x 39 .答案：12; 9 •解答：（1）每行最多有3个平庸的方格，所以最多有 12个 平庸的方格，如图1所示；（2）每行、每列最多有一个方格不“平庸”，且 行与列之间最少有一个公共的不平庸的方格，所以最多有4 4 1 7个不平庸，最少有9个平庸的方格.如图2所示.16 123 4 15 5 6 7 8 1491C11 12 1341 1 728.答案：—•解答：水的体积是122 6 n - 62 12 - 864 n 126 n 738 n立方厘米，放入圆柱体后，底面积变为6 3 8122n 62n 108 n平方厘米，所以最后水面高度为738 n41厘米.108n629.答案：5 •解答：依题意，得 1 1 1 m n，m n11 1 125，所以mn 25 150 .于是6 m n mn11 1 6m n252 2m n m n 4mn 25，m和n的差是5.30.答案：2188;第二个“子” •解答：(1)标数法，如图，有2188种；(2)事实上，去掉一个汉字，少掉的读法数恰好是从左读到这个汉字，以及从右读到这个汉字的读法数乘积，如去掉第一行中的“寒" ，则少掉2 323 646种读法.去掉第一行中的“子"，少掉的读法数是21 21 441 .题中去掉一个汉字，要少掉2188 1288 900种读法，这个汉字只能是第二个“子".112492151127323835 218812512307619651213531392569189518141444133152011。

数学思维题创造性地运用算式解决问题在日常生活和学习中，数学思维成为了一个重要的组成部分。

通过运用算式解决问题，我们能够培养创造性思维，提高解决问题的能力。

本文将通过几个实际问题来探讨如何发挥数学思维的创造性，并用算式解决这些问题。

问题一：邮递员的路径规划假设一个快递员需要在一个封闭的小区内递送包裹。

小区内共有9个建筑物，每个建筑物之间的距离不同，快递员要求每个建筑物只经过一次，最后又回到出发点。

快递员应如何规划行进路线？解决这个问题的关键是找到一条经过每个建筑物一次的最短路径。

我们可以使用图论中的哈密顿回路算法来解决。

首先，构建一个包含9个顶点的图，每个顶点代表一个建筑物。

然后，通过计算每对顶点之间的距离，计算出图的所有边的权重。

接下来，通过哈密顿回路算法找到一条经过所有顶点的路径。

最后，计算出这条路径的总长度。

问题二：商品价格的折扣计算一家商店在做促销活动，对某个商品打折出售。

原始价格为100元，现在对这个商品进行打折，打折后价格为80元。

商店还提供了一种优惠券，可以再次打折8元。

在使用优惠券后，顾客需要支付的最终价格是多少？解决这个问题的关键是理解折扣的计算方式。

首先，将原始价格减去第一次打折的金额，计算出第一次打折后的价格为100元-20元=80元。

然后，将第一次打折后的价格再次减去优惠券的金额，计算出最终价格为80元-8元=72元。

问题三：比例问题的计算一块长方形的地板的长为4米，宽为3米。

如果按照比例1:2放大，那么放大后的地板长和宽各是多少？解决这个问题的关键是理解比例的计算方式。

首先，将地板的长和宽分别乘以比例的分子和分母。

计算出放大后的地板长为4米×1=4米，放大后的地板宽为3米×2=6米。

通过以上几个具体的问题，我们可以看到数学思维的创造性在解决实际问题时的重要性。

通过合理运用算式，我们能够轻松解决各种复杂的问题，提高解决问题的效率和准确性。

总结起来，数学思维是我们日常生活和学习中必不可少的一部分。

第17讲 应用题综合二兴趣篇1、有一批砖，每块砖的长和宽都是自然数，且长比宽长12厘米。

如图1，若把这批砖横着铺，则可铺897厘米长；如图2，若竖横相间铺，则可铺657厘米长。

请问：如图3这样铺，可铺多少厘米长？答案：442厘米2、一种商品的定价为整数元，100元最多能买3件，甲、乙两人各带了若干张百元钞票，甲带的钱最多能买7件这种商品，乙带的钱最多能买14件，两人的钱凑在一起就能多买1件。

求这件商品的定价。

答案：27元［分析］因为100元最多能卖3件，而甲、乙都带了整百元钱，那么甲买7件，带了200元；乙买14件，带了400元。

根据题意，甲乙共600元，可以买714122++=件。

那么这件商品的价格不低于[]662227÷=元；高于[]662326÷=元。

因此定价为27元3、小明要写152页字，小强要写150页字。

从暑假第一天起，小明一天写3页，天天写；小明第一天写4页，但是隔一天写一次。

请问：第多少天写完字后，小强没写的页数是小明没写的页数的2倍？答案：第39天4、现有甲、乙、丙三种食盐水各200克，浓度依次为42%、36%、30%，现在要配制浓度是34%的食盐水420克，至少要取甲种食盐水多少克？答案：40克5、要生产某种产品100吨，需用A 种原料200吨，或B 种原料200.5吨，或C 种原料195.5吨，或D 种原料192吨，或E 种原料180吨。

现知用A 种原料及另外一种（指B 、C 、D 、E 中的一种）原料共19吨生产此种产品10吨。

试分析所用另外一种原料是哪种，这两种原料各用了多少吨？答案：另一种原料为E ；A 用了10吨，E 用了9吨［分析］单用A 、B 、C 或D 生产10吨产品，均需多于19吨原料，因此要用19吨原料来生产10吨产品，必须用E （浓度与经济问题）。

接下来用方程的方法求解：设用了x 吨甲原料，19x -吨乙原料，那么()÷⨯+-÷⨯=2001001918010010x x解得，10x=因此，另一种原料为E.A原料用了10吨，E原料用了9吨。

第十七讲复杂竖式山羊上山111m知栢腐的没字釁表辎同的数字’吞回的汉字代農祁爾的故字* 具中畔矍奇亂请把爱1人I昇4(-示出K数字谜问题是中国人在几千年前发明的数学游戏，它集中了中国古人的数学智慧. 我们以前学习过算符问题与数字问题、以及竖式问题.本讲是以前内容和方法的综合应用，重点是多位数乘除法，考察的是同学们对知识的掌握情况和分析复杂问题的能力.竖式问题常见突破口有：1. 首位分析、尾数分析、进位分析：观察算式的首位、末位，分析进位；2. 位数分析：观察算式中数的位数，利用数值大小估算的方法；3. 相同位分析：利用算式中出现最多的字母或者汉字作为突破口.在这些突破口中，数的位数是一个比较隐蔽的突破口，其实它是我们进行估算的基础. 比如一个三位数乘4还等于一个三位数，那么这个乘数的百位数字就不能是3或者3以上的数字，只能是1或2•这就是位数给我们提供的信息.数字谜问题是中国人在几千年前发明的数学游戏，它集中了中国古人的数学智慧．我们以前学习过算符问题与数字问题、以及竖式问题．本讲是以前内容和方法的综合应用，重点是多位数乘除法，考察的是同学们对知识的掌握情况和分析复杂问题的能力．竖式问题常见突破口有：2. 位数分析：观察算式中数的位数，利用数值大小估算的方法；3. 相同位分析：利用算式中出现最多的字母或者汉字作为突破口．在这些突破口中，数的位数是一个比较隐蔽的突破口，其实它是我们进行估算的基础．比如一个三位数乘 4 还等于一个三位数，那么这个乘数的百位数字就不能是 3 或者 3 以上的数字，只能是1或2．这就是位数给我们提供的信息．1. 首位分析、尾数分析、进位分析：观察算式的首位、末位，分析进位；数字谜问题是中国人在几千年前发明的数学游戏，它集中了中国古人的数学智慧．我们以前学习过算符问题与数字问题、以及竖式问题．本讲是以前内容和方法的综合应用，重点是多位数乘除法，考察的是同学们对知识的掌握情况和分析复杂问题的能力．2. 位数分析：观察算式中数的位数，利用数值大小估算的方法；3. 相同位分析：利用算式中出现最多的字母或者汉字作为突破口．在这些突破口中，数的位数是一个比较隐蔽的突破口，其实它是我们进行估算的基础．比如一个三位数乘 4 还等于一个三位数，那么这个乘数的百位数字就不能是 3 或者 3 以上的数字，只能是1或2．这就是位数给我们提供的信息．竖式问题常见突破口有：1. 首位分析、尾数分析、进位分析：观察算式的首位、末位，分析进位；数字谜问题是中国人在几千年前发明的数学游戏，它集中了中国古人的数学智慧．我们以前学习过算符问题与数字问题、以及竖式问题．本讲是以前内容和方法的综合应用，重点是多位数乘除法，考察的是同学们对知识的掌握情况2. 位数分析：观察算式中数的位数，利用数值大小估算的方法；3. 相同位分析：利用算式中出现最多的字母或者汉字作为突破口．在这些突破口中，数的位数是一个比较隐蔽的突破口，其实它是我们进行估算的基础．比如一个三位数乘 4 还等于一个三位数，那么这个乘数的百位数字就不能是 3 或者 3 以上的数字，只能是1或2．这就是位数给我们提供的信息．和分析复杂问题的能力．竖式问题常见突破口有：1. 首位分析、尾数分析、进位分析：观察算式的首位、末位，分析进位；数字谜问题是中国人在几千年前发明的数学游戏，它集中了中国古人的数学智慧．我们以前学习过算符问题与数字问题、以及竖式问题．2. 位数分析：观察算式中数的位数，利用数值大小估算的方法；3. 相同位分析：利用算式中出现最多的字母或者汉字作为突破口．在这些突破口中，数的位数是一个比较隐蔽的突破口，其实它是我们进行估算的基础．比如一个三位数乘 4 还等于一个三位数，那么这个乘数的百位数字就不能是 3 或者 3 以上的数字，只能是1或2．这就是位数给我们提供的信息．本讲是以前内容和方法的综合应用，重点是多位数乘除法，考察的是同学们对知识的掌握情况和分析复杂问题的能力．竖式问题常见突破口有：1. 首位分析、尾数分析、进位分析：观察算式的首位、末位，分析进位；数字谜问题是中国人在几千年前发明的数学游戏，它集中了中国古人的数学智慧．我们以前学2. 位数分析：观察算式中数的位数，利用数值大小估算的方法；3. 相同位分析：利用算式中出现最多的字母或者汉字作为突破口．在这些突破口中，数的位数是一个比较隐蔽的突破口，其实它是我们进行估算的基础．比如一个三位数乘 4 还等于一个三位数，那么这个乘数的百位数字就不能是 3 或者 3 以上的数字，只能是1或2．这就是位数给我们提供的信息．习过算符问题与数字问题、以及竖式问题．本讲是以前内容和方法的综合应用，重点是多位数乘除法，考察的是同学们对知识的掌握情况和分析复杂问题的能力．竖式问题常见突破口有：1. 首位分析、尾数分析、进位分析：观察算式的首位、末位，分析进位；2. 位数分析：观察算式中数的位数，利用数值大小估算的方法；3. 相同位分析：利用算式中出现最多的字母或者汉字作为突破口．在这些突破口中，数的位数是一个比较隐蔽的突破口，其实它是我们进行估算的基础．比如一个三位数乘 4 还等于一个三位数，那么这个乘数的百位数字就不能是 3 或者 3 以上的数字，只能是1或2．这就是位数给我们提供的信息．数字谜问题是中国人在几千年前发明的数学游戏，它集中了中国古人的数学智慧．我们以前学习过算符问题与数字问题、以及竖式问题．本讲是以前内容和方法的综合应用，重点是多位数乘除法，考察的是同学们对知识的掌握情况和分析复杂问题的能力．竖式问题常见突破口有：2. 位数分析：观察算式中数的位数，利用数值大小估算的方法；3. 相同位分析：利用算式中出现最多的字母或者汉字作为突破口．在这些突破口中，数的位数是一个比较隐蔽的突破口，其实它是我们进行估算的基础．比如一个三位数乘 4 还等于一个三位数，那么这个乘数的百位数字就不能是 3 或者 3 以上的数字，只能是1或2．这就是位数给我们提供的信息．1. 首位分析、尾数分析、进位分析：观察算式的首位、末位，分析进位；数字谜问题是中国人在几千年前发明的数学游戏，它集中了中国古人的数学智慧．我们以前学习过算符问题与数字问题、以及竖式问题．本讲是以前内容和方法的综合应用，重点是多位数乘除法，考察的是同学们对知识的掌握情况和分析复杂问题的能力．2. 位数分析：观察算式中数的位数，利用数值大小估算的方法；3. 相同位分析：利用算式中出现最多的字母或者汉字作为突破口．在这些突破口中，数的位数是一个比较隐蔽的突破口，其实它是我们进行估算的基础．比如一个三位数乘 4 还等于一个三位数，那么这个乘数的百位数字就不能是 3 或者 3 以上的数字，只能是1或2．这就是位数给我们提供的信息．竖式问题常见突破口有：1. 首位分析、尾数分析、进位分析：观察算式的首位、末位，分析进位；数字谜问题是中国人在几千年前发明的数学游戏，它集中了中国古人的数学智慧．我们以前学习过算符问题与数字问题、以及竖式问题．本讲是以前内容和方法的综合应用，重点是多位数乘除法，考察的是同学们对知识的掌握情况2. 位数分析：观察算式中数的位数，利用数值大小估算的方法；3. 相同位分析：利用算式中出现最多的字母或者汉字作为突破口．在这些突破口中，数的位数是一个比较隐蔽的突破口，其实它是我们进行估算的基础．比如一个三位数乘 4 还等于一个三位数，那么这个乘数的百位数字就不能是 3 或者 3 以上的数字，只能是1或2．这就是位数给我们提供的信息．和分析复杂问题的能力．竖式问题常见突破口有：1. 首位分析、尾数分析、进位分析：观察算式的首位、末位，分析进位；2. 位数分析：观察算式中数的位数，利用数值大小估算的方法；3. 相同位分析：利用算式中出现最多的字母或者汉字作为突破口．在这些突破口中，数的位数是一个比较隐蔽的突破口，其实它是我们进行估算的基础．比如一个三位数乘 4 还等于一个三位数，那么这个乘数的百位数字就不能是 3 或者 3 以上的数字，只能是1或2．这就是位数给我们提供的信息．数字谜问题是中国人在几千年前发明的数学游戏，它集中了中国古人的数学智慧. 我们以前学习过算符问题与数字问题、以及竖式问题.本讲是以前内容和方法的综合应用，重点是多位数乘除法，考察的是同学们对知识的掌握情况和分析复杂问题的能力.竖式问题常见突破口有：1. 首位分析、尾数分析、进位分析：观察算式的首位、末位，分析进位；2. 位数分析：观察算式中数的位数，利用数值大小估算的方法；3. 相同位分析：利用算式中出现最多的字母或者汉字作为突破口.在这些突破口中，数的位数是一个比较隐蔽的突破口，其实它是我们进行估算的基础. 比如一个三位数乘4还等于一个三位数，那么这个乘数的百位数字就不能是3或者3以上的数字，只能是1或2•这就是位数给我们提供的信息.数字谜问题是中国人在几千年前发明的数学游戏，它集中了中国古人的数学智慧．我们以前学习过算符问题与数字问题、以及竖式问题．本讲是以前内容和方法的综合应用，重点是多位数乘除法，考察的是同学们对知识的掌握情况和分析复杂问题的能力．竖式问题常见突破口有：2. 位数分析：观察算式中数的位数，利用数值大小估算的方法；3. 相同位分析：利用算式中出现最多的字母或者汉字作为突破口．在这些突破口中，数的位数是一个比较隐蔽的突破口，其实它是我们进行估算的基础．比如一个三位数乘 4 还等于一个三位数，那么这个乘数的百位数字就不能是 3 或者 3 以上的数字，只能是1或2．这就是位数给我们提供的信息．1. 首位分析、尾数分析、进位分析：观察算式的首位、末位，分析进位；数字谜问题是中国人在几千年前发明的数学游戏，它集中了中国古人的数学智慧．我们以前学习过算符问题与数字问题、以及竖式问题．本讲是以前内容和方法的综合应用，重点是多位数乘除法，考察的是同学们对知识的掌握情况和分析复杂问题的能力．2. 位数分析：观察算式中数的位数，利用数值大小估算的方法；3. 相同位分析：利用算式中出现最多的字母或者汉字作为突破口．在这些突破口中，数的位数是一个比较隐蔽的突破口，其实它是我们进行估算的基础．比如一个三位数乘 4 还等于一个三位数，那么这个乘数的百位数字就不能是 3 或者 3 以上的数字，只能是1或2．这就是位数给我们提供的信息．竖式问题常见突破口有：1. 首位分析、尾数分析、进位分析：观察算式的首位、末位，分析进位；2. 位数分析：观察算式中数的位数，利用数值大小估算的方法；3. 相同位分析：利用算式中出现最多的字母或者汉字作为突破口．在这些突破口中，数的位数是一个比较隐蔽的突破口，其实它是我们进行估算的基础．比如一个三位数乘 4 还等于一个三位数，那么这个乘数的百位数字就不能是 3 或者 3 以上的数字，只能是1或2．这就是位数给我们提供的信息．。