江西省临川第一中学临川一中实验学校2019_2020学年高二数学上学期期中试题理含解析

临川一中2019－2020学年度上学期期中考试高一年级数学试卷卷面满分：150分考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.设全集}{,|0U R A x x ==>，}{|1B x x =≤，则A B ⋂=( ) }{.|01A x x <≤ }{.|01B x x ≤< }{.|1C x x > }{.|0D x x <2.若指数函数错误!未找到引用源。

在R 上递减，则实数a 的取值范围是( )1.(0,)3A B.（1，+∞） C.R D.（-∞，0）3. 已知121()2()1(1)1()2x x f x f x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩，则17()()46f f +=( ) A ．16 B ．－16C ．－56D ．56 4．下列函数中,在其定义域内与函数错误!未找到引用源。

有相同的奇偶性和单调性的是( ) A.1y x =- B. 3x y = C.ln y x = D. 122x xy =- 5. 在映射:f A B →中，}{(,)|,A B x y x y R ==∈，且:(,)(,)f x y x y x y →-+，则与B 中的元素(2,1)--对应的A 中的元素为( ) 31.(,)22A -- 31.(,)22B - 31.(,)22C - 31.(,)22D 6.已知函数()f x 对任意不相等的实数12,x x 都满1212()()0f x f x x x ->-，若 1.5(2)a f =，0.61[()]2b f -=，(ln 2)c f =，则,,a b c 的大小关系( ) A ．b a c << B ．b c a <<C ． c a b <<D ．c b a << 7.已知函数23x y a -=+(0a >且1a ≠）的图像恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图像上，则(3)3log f =( )A ．2-B ．1-C ．1D ．28．根据表中的数据,可以断定方程错误!未找到引用源。

2019-2020学年江西省临川第一中学度高二上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．若直线//l α，且l 的方向向量为(2,,1)m ，平面α的法向量为(1,1,2)-，则m 为（ ） A ．-4 B ．-2C ．2D ．4【答案】D【解析】由题可得l 与平面α的法向量垂直,再利用垂直的数量积公式求解即可. 【详解】由题有l 与平面α的法向量垂直,故(2,,1)(1,1,2)0220m m ⋅-=⇒-+=,所以4m =. 故选：D 【点睛】本题主要考查了线面平行得出线和法向量垂直的关系,同时也考查了空间向量垂直的计算,属于基础题.2．下列说法正确的是（ ）A ．若()p q ⌝∧为真命题，则p ，q 均为假命题；B ．命题“若2340x x --=，则1x =-”的逆否命题为真命题；C ．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若“10a >”则“20192018S S >”的否命题为真命题；D ．“平面向量a r与b r的夹角为钝角”的充要条件是“0a b ⋅<rr ” 【答案】C【解析】根据逻辑连接词的性质判断A;根据逆否命题与原命题同真假判断B;根据逆否命题同真同假判断C;再根据数量积的公式判断D 即可. 【详解】对A, 若()p q ⌝∧为真命题,则p q ∧为假命题,故p ,q 至少有一个假命题,故A 错误. 对B, 因为2340x x --=有1x =-或4x =,故命题“若2340x x --=,则1x =-”为假命题,故其逆否命题也为假命题.故B 错误.对C, 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若“10a >”则“20192018S S >”的逆命题为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若“20192018S S >”则“10a >”.又因为当20192018S S >时201920180S S ->即2018201911000a a q a >⇒>⇒>成立.而原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，同真同假，故C 正确.对D, 当0a b ⋅<rr 时, a r与b r也可能反向,此时夹角为π.故D 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定,包括四种命题之间的关系与充分必要条件的性质判定等.属于基础题.3．命题“[2,3]x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A ．0a ≤ B ．1a ≤C ．2a ≤D ．3a ≤【答案】D【解析】先求解原命题的充要条件,再根据必要不充分条件的范围更大选择对应选项即可. 【详解】命题“[2,3]x ∀∈,220x a -≥”为真命题的充要条件：[2,3]x ∀∈,22x a ≥恒成立.即42a ≥,2a ≤.故其必要不充分条件为3a ≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的性质,一般先求出原命题的充要条件,再根据必要条件与充分条件的范围大小进行判定.属于基础题.4．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于2a 的是（ ）A ．2AB CA ⋅u u u r u u u rB ．2AC FG ⋅u u u r u u u r C ．2AD DC ⋅u u u r u u u rD ．2EF DB ⋅u u u r u u u r【答案】B【解析】根据向量的数量积公式分析向量的夹角与模长逐个判断即可. 【详解】对A, 2222cos 3AB CA AB CA a π⋅=⋅⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r .不满足对B, 222cos022a AC FG AC FG a a ⋅=⋅⋅︒=⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r .满足 对C, 2222cos 3AD DC AD DC a π⋅=⋅⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r .不满足 对D, 222cos 22a EF DB EF DB a a π⋅=⋅⋅=-⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r .不满足故选：B 【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积,需要根据几何关系判断向量的夹角与模长,属于基础题.5．命题p :函数21y x ax =-+在(2,)+∞上是增函数.命题q :直线0x y a +-=在y 轴上的截距小于0. 若p q ∨为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a > B ．0a ≥C ．04a ≤<D ．04a <≤【答案】A【解析】根据二次函数对称轴与区间的位置关系判断a 的取值范围,再求得直线0x y a +-=在y 轴上的截距令其小于0计算a 的取值范围.再根据p q ∨为假命题可知,p q 均为假命题再分析即可.【详解】当函数21y x ax =-+在(2,)+∞上是增函数时,对称轴满足242aa ≤⇒≤. 当直线0x y a +-=在y 轴上的截距小于0时有0a <. 又p q ∨为假命题可知,p q 均为假命题.故440a a a >⎧⇒>⎨≥⎩.故选：A 【点睛】本题主要考查了利用命题间的关系求解参数的范围问题,需要根据题意先求出命题均为真命题时的参数范围,再根据复合命题的真假求取值范围即可.6．设P 为椭圆221259x y +=上一点，1,F 2F 为左右焦点，若1260F PF ︒∠=，则P 点的纵坐标为（ ）A．4B．4±CD．4±【答案】B【解析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式2tan 2S b θ=求解即可.【详解】由题知12609tan2F PF S ︒=⨯=V 设P 点的纵坐标为h 则1221F F h h ⋅⋅=⇒=故选：B 【点睛】本题主要考查了椭圆焦点三角形的面积运用,属于中档题.7．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1AA ､1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(01)AG m m =<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） ABCD【答案】D【解析】易得11//A B 平面1D EF ,故点G 到平面1D EF 的距离为点1A 到平面1D EF 的距离,再分析线面垂直的关系求解即可. 【详解】作11A P ED ⊥于P ,因为,E F 分别为棱1AA ､1BB 的中点,故11//EF A B ,EF ⊥平面11A ADD .故1EF A P ⊥,又11A P ED ⊥,1EF ED E ⋂=.故11A P ED F ⊥平面.又11//EF A B 所以点G 到平面1D EF 的距离为点1A 到平面1D EF 的距离1A P .又11111111111111225A E A D A P ED A E A D A P ED ⨯⋅⋅=⋅⇒===故选：D 【点睛】本题主要考查了点到平面距离的计算,根据题意可直接找到11A P ED F ⊥再根据等面积法计算1A P ,属于中档题.8．我们把由半椭圆22221(0)x y x a b +=≥与半椭圆22221(0)y x x b c+=<合成的曲线称作“果圆”(其中222a b c =+，0a b c >>>).如图，设点0,F 1,F 2F 是相应椭圆的焦点，1,A 2A 和1,B 2B 是“果圆”与,x y 轴的交点，若012F F F △是等腰直角三角形，则ab的值为（ ）A ．7 B 2C 6D ．54【答案】C【解析】根据题意分别利用椭圆中的基本量关系计算0,F 2F 对应的坐标,再根据012F F F △是等腰直角三角形可得02OF OF =计算即可.【详解】根据题意有()0,0F c ,(222b Fc -,又根据012F F F △是等腰直角三角形的性质可得02OF OF =,即()22222222322a b c c b a bb -=⇒=-⇒=.故6a b 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据椭圆的基本量关系列式求解的方法,需要求出对应点的坐标,利用等腰直角三角形的性质列式化简求解.属于基础题.9．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为4，2AC BC ==，90ACB ︒∠=，点D 是11A B 的中点，F 是侧面11AA B B (含边界)上的动点.要使1AB ⊥平面1C DF ，则线段1C F 的长的最大值为（ ）A ．5B ．22C 13D ．5【答案】A【解析】分析可得当1AB ⊥平面1C DF 时1AB DF ⊥,故F 在边界1BB 时1C F 取最大值,再根据平面中的边角比例关系求解即可. 【详解】由题,当1AB ⊥平面1C DF 时1AB DF ⊥,故F 在边界1BB 时1C F 取最大值,此时因为1AB DF ⊥,故111111190FDB AB A B AA AB A ∠+∠=∠+∠=︒.故111FDB B AA ∠=∠.故111tan tan FDB B AA ∠=∠即1111111111FB A B A B DB FB DB AA AA ⋅=⇒== 2222222224++11BB =<满足题意 .此时221111145C F FB C B =+=+=故选：A 【点睛】本题主要考查了根据线面垂直计算边长的关系的方法.需要根据题意找到对应的角度等量关系,利用正切值相等进行列式求解.属于中档题.10．椭圆22143x y +=上有n 个不同的点123,,,,n P P P P ⋅⋅⋅，椭圆右焦点F ，数列{}n P F 是公差大于12019的等差数列，则n 的最大值为（ ） A ．4036B ．4037C ．4038D ．4039【答案】C【解析】根据题意分析最大最小的n P F 的值,再利用等差数列的通项公式求解n 的最大值即可. 【详解】根据题意有,当1P 为椭圆的右顶点,n P 为左顶点时n 取得最大值.此时121PF ==.23n P F ==.又数列{}n P F 是公差12019d >的等差数列, ()2131112019n d d n =+-⇒=>-,所以140384039n n -<⇒<. 故n 的最大值为4038. 故选：C 【点睛】本题主要考查了椭圆上的点到焦点的距离最值以及等差数列的基本量运用,属于中档题. 11．已知正四棱锥S ABCD -，E 是线段AB 上的点且13AE AB =，设SE 与BC 所成的角为1θ，二面角S AB C --的平面角为2θ，SE 与平面ABCD 所成的角为3θ，则（ ） A ．123θθθ<< B ．321θθθ<<C ．132θθθ<<D ．231θθθ<<【答案】B【解析】作出立体图形,分别构造关于123,,θθθ的直角三角形,利用正切值的大小判断即可. 【详解】如图,作SO ⊥平面ABCD 于O ,取AB 中点J ,在DC 上取F 使得13DF DC =,I 为EF 中点.连接各点如图所示.易得//EF BC ,故SE 与BC 所成的角1SEF θ=∠,二面角S AB C --的平面角2SJO θ=∠,SE 与平面ABCD 所成的角3SEO θ=∠. 又OJ AB ⊥,故EO JO >,所以32tan tan SO SO EO JOθθ=<=. 又12EI JO BC ==,SO OI ⊥,故SI SO >,21tan tan SO SI JO EIθθ=<=. 综上有321tan tan tan θθθ<<.又1230,,2πθθθ<<.故321θθθ<< 故选：B 【点睛】本题主要考查了立体几何中的线面角与线线角等之间的关系,需要找到对应的角度,利用正切函数的单调性进行大小的判断.属于中档题.12．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的下顶点，,M N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．6⎫⎪⎪⎝⎭B ．63⎝⎭C ．3⎛ ⎝⎭D ．6⎛ ⎝⎭【答案】D【解析】由题四边形OPMN 为平行四边形可知,M N 两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,再代入椭圆方程可求得,M N 的坐标,再利用35,46ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭,根据斜率等于倾斜角的正切值求斜率的表达式再计算即可. 【详解】∴,M N 两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,即,M N 两点关于x 轴对称,MN OP a ==,可设,,,22a a M x N x ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,代入椭圆方程得：x =,因为35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故0x <得2a N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, α为直线ON 的倾斜角,tan aα==,又35,46ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭,所以tan 1,3α⎛∈-- ⎝⎭,即1133b a -<<-⇒<<.故0,3e ⎛= ⎝⎭∴椭圆C的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的几何关系列出关于基本量的不等式求解离心率的问题,重点是根据题设找到对应的等量关系列式求解.属于中档题.二、填空题13．正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，若1AC 与底面ABCD 所成角为45︒，则11A C 和底面ABCD 的距离是________.【解析】确定1AC 与底面ABCD 所成角,再利用直角三角形中的边角关系求解即可. 【详解】连接1AC ,因为1CC ⊥平面ABCD ,故1AC 与底面ABCD 所成角为145C AC ∠=︒. 所以1C AC V 为等腰直角三角形.所以11A C 和底面ABCD 的距离221112CC AC ==+=.2【点睛】本题主要考查了线面角的辨析与立体几何中的求解,属于基础题.14．给定两个命题，P :对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；Q :方程2213x y a a+=-表示焦点在x 轴上的椭圆.如果P Q ∧⌝为真命题，则实数a 的取值范围是_________.【答案】30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦U【解析】由P Q ∧⌝为真命题可知P 为真命题Q 为假命题.再分别根据恒成立以及椭圆的标准方程性质求解即可. 【详解】由P Q ∧⌝为真命题可知P 为真命题Q 为假命题.又对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立则显然0a ≥ ：①当0a =时10>恒成立满足题意,②当0a >时24004a a a ∆=-<⇒<<. 综上有04a ≤<又方程2213x y a a+=-表示焦点在x 轴上的椭圆有33032a a a >->⇒<<.又Q 为假命题故32a ≤或3a ≥.故实数a 的取值范围是30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦U故答案为：30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦U【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求参数的范围问题.需要根据题意分析命题的真假,再求解对应的参数范围最后再求参数的交集.属于中档题.15．函数()1g x ax =+(0)a >，2()2f x x x =-，对1[1,2]x ∀∈-，0[0,3]x ∃∈使()()10g x f x =成立，则a 的取值范围是_________.【答案】(0,1]【解析】由题意可知()f x 的值域包含()g x 的值域,再分别根据定义域求对应函数的值域,再根据包含关系列不等式求解即可. 【详解】由题,当[]11,2x ∈-时,因为0a >,故[]()11,21g x ax a a =+∈-++.又0[0,3]x ∈则[]2()21,3f x x x =-∈-.又1[1,2]x ∀∈-,0[0,3]x ∃∈使()()10g x f x =成立,所以()f x 的值域包含()g x 的值域. 所以111213a a a -+≥-⎧⇒≤⎨+≤⎩,因为0a >,所以a 的取值范围是(0,1].故答案为：(0,1] 【点睛】本题主要考查了根据函数恒成立与能成立的问题求解参数范围的问题,需要根据题意判定出函数值域满足的关系式,再分别列式求解.属于中档题.16．已知O 为坐标原点,平行四边形ABCD 内接于椭圆Ω：22221(0)x y a b a b+=>>,点E ,F 分别为AB ,AD 的中点,且OE ,OF 的斜率之积为12-,则椭圆Ω的离心率为______．【答案】2【解析】设()11,C x y ,则()22,D x y ,由对称性可得：()11,A x y --，则()22,B x y --,由可得2211221x ya b+=,2222221x ya b+=,相减可得：AB，AD斜率之积为()()()()2121221212.y y y y bx x x x a-+=--+由E,F分别为AB,AD的中点,可得OE，OF的斜率之积等于AB,AD斜率之积．即2212ba=,即可求得椭圆Ω的离心率．【详解】解：设()11,C x y,则()22,D x y,由对称性可得：()11,A x y--，则()22,B x y--，可得2211221x ya b+=,2222221x ya b+=．相减可得：2222121222x x y ya b--+=AB∴,AD斜率之积为()()()()2121221212y y y y bx x x x a-+=--+．EQ,F分别为AB,AD的中点,且OE，OF的斜率之积为12-，则OE,OF的斜率之积等于AB，AD斜率之积．2212ba=∴,则椭圆Ω的离心率为22212bea=-=,故答案为:22．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．三、解答题17．已知集合{}2|320A x x x =-+≤，集合{}2|2B y y x x a ==--，集合{}2|20C x x ax =+-≤，命题:p A B ⋂≠∅，命题:q A C ⊆.（1）若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围； （2）若命题p q ∧为真命题，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3a <-（2）31a -≤≤-【解析】(1)由题意A B =∅I ,再根据区间端点满足的关系式求解即可. 【详解】由题, {}{}2|320|12A x x x x x =-+≤=≤≤,{}{}2|2|1B y y x x a y y a ==--=≥--（1）由命题p 是假命题,可得A B =∅I ,即得12,3a a --><-. （2）p q ∧Q 为真命题,,p q ∴都为真命题,即A B ⋂≠∅,且A C ⊆.∴有121204220a a a --≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≤⎩,解得31a -≤≤-.【点睛】本题主要考查了根据集合间的基本关系求解参数范围的问题,需要根据题意求出对应的区间端点满足的不等式再求解.属于中档题.18．如图，在几何体ABCDE 中，//CD AE ，90EAC ︒∠=，平面EACD ⊥平面ABC ，22CD EA ==，2AB AC ==，23BC =，F 为BD 的中点.（1）证明://EF 平面ABC ； （2）求直线BC 与平面BDE 所成角. 【答案】（1）证明见解析（2）30°. 【解析】(1)取BC 中点G ,连接FG ,AG ,再证明四边形AGFE 是平行四边形即可. (2) 以,,GA GB GF 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,再用空间向量求解直线BC 与平面BDE 所成角即可. 【详解】（1）取BC 中点G ,连接FG ,AG ,又F Q 为BD 的中点,2CD EA =,//CD AE ,12FG CD EA ∴==,且//FG AE , ∴四边形AGFE 是平行四边形, //EF AG ∴,而且EF ⊄平面ABC ,AG ⊂平面ABC , //EF ∴平面ABC ；（2）90EAC ︒∠=Q ,平面EACD ⊥平面ABC ,且交于AC , ∴平EA ⊥面ABC ,由（1）知//FG AE ,FG ∴⊥平面ABC ,又AB AC =Q ,G 为BC 中点, AG BC ∴⊥,如图,以,,GA GB GF 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,则3,0)B ,(0,3,0)C ,(0,3,2)D -,(1,0,1)E ,(0,23,0)BC ∴=-u u u r ,(0,23,2)BD =-u u u r ,(1,3,1)BE =u u u r,设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =r ,则00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r ,即3030z x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩,令1y =,得3)n =r, ∴直线BC与平面BDE 所成角的正弦值为12||||BC n BC n ⋅=r u u ur r .∴直线BC 与平面BDE 所成角为30°. 【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及利用空间直角坐标系求解线面角的问题,需要找到合适的坐标原点建立空间直角坐标系,再求面的法向量与直线的向量,进而求得线面所成角的正弦求解.属于中档题.19．已知:()P f x =的定义域为R ，:q x ∃∈R ，使得不等式20x x a -+<成立，关于x 的不等式(1)(2)0x m x m -+-≤的解集记为B .（1）若p q ∧为真，求实数a 的取值集合A ；（2）在（1）的条件下，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）10,4A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭；（2）1,18m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）先确定p ，q 为真的等价条件，若p q ∧为真则p 真q 真，求交集即可； （2）利用x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，即A ⊊B ，确定条件关系，即可求实数m 的取值范围． 【详解】（1）:p 真 f （x）=R ，则ax 2﹣ax +14≥0对任意实数x 都成立，当a ＝0时显然满足，当a ≠0时，有2()0a a a ⎧⎨--≤⎩＞，解得0＜a ≤1． 综上： []a 0,1∈:q 真 x R ∃∈，使得不等式20x x a -+<成立，∴14a 0=->n 即a 1,4⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭ Q p q ∧为真，即p 真，q 真，∴ 10,4A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭（2）①12m m -<，即1m >-，此时[]1,2B m m =-Q x A ∈是x B ∈的充分不必要条件∴ 10124m m -≤⎧⎪⎨≥⎪⎩1,18⎡⎤⇒⎢⎥⎣⎦；②12m m -=，即1m =-，此时{}2B =- 不符合题意。

2019-2020学年江西省抚州市临川一中、临川一中实验学校高三（上）期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|2x2+x>0}，B={x|2x+1>0}，则A∩B=()A. {x|x>−12} B. {x|x>12} C. {x|x>0} D. R2.若点P(−3,4)是角α的终边上一点，则sin2α=A. −2425B. −725C. 1625D. 853.已知cos(α−π4)=−13，则sin(−3π+2α)=()A. 79B. −79C. 35D. −354.函数f(x)=x44x−4−x的大致图象为()A. B.C. D.5.设x，y满足约束条件{x≥0,y≥0x−y≥−1x+y≤3，则z=2x−y的最大值为()A. 0B. 2C. −2D. 66.已知函数f(x)={(12)x−7,x<0log2(x+1),x≥0，若f(a)<1，则实数a的取值范围是()A. (−∞ , −3)∪[0 , 1)B. (−3,0)⋃(−1,1)C. (−3,1)D. (−∞,−3)⋃(1,+∞)7.已知向量a⃗，b⃗ ，其中a⃗=(−1,√3)，且a⃗⊥(a⃗−3b⃗ )，则b⃗ 在a⃗上的投影为()A. 43B. −43C. 23D. −238.将y=3sin4x的图象向左平移π12个单位长度，再向下平移3个单位长度得到y=f(x)的图象，若f(m)=a，则f(π3−m)=()A. −aB. −a−3C. −a+3D. −a−69. 已知f(x)是偶函数，当x >0时，f(x)单调递减，设a =−21.2，b =(12)−0.8，c =2log 52，则f(a),f(b),f(c)的大小关系为( )A. f(c)<f(b)<f(a)B. f(c)>f(b)>f(a)C. f(c)<f(a)<f(b)D. f(c)>f(a)>f(b) 10. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5=3a 3，且a 4与9a 7的等差中项为2，则S 5=( )A. 1123B. 112C.12127D. 12111. 已知x >0，y >0，2x +3xy =6，则2x +3y 的最小值是( )A. 3B. 4√3−2C. 92D. 11212. 设函数f(x)={|lnx |,x >0e x (x +1),x ≤0，若函数g(x)=f(x)−b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A. (1,+∞)B. (−1e 2,0)C. (1,+∞)∪{0}D. (0,1]二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知函数f (x )={log 2(3−x ),x ≤02x −1,x >0，若f(a −1)=12，则实数a =______．14. 在等差数列{a n }中，a 2=1，a 4=7，则{a n }的前5项和S 5= ______ ． 15. 如下图：在△ABC 中，若AB =AC =3，cos∠BAC =12，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =__________．16. 已知函数f (x )=2sinx +sin2x ，则f (x )的最小值是_____________． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 17. 已知函数f (x )=sinx(sinx −√3cosx)(x ∈R )．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及最大值； (Ⅱ)若x ∈[0,π],求f(x)=1的所有根的和．18.在数列{a n}中，a n>0，其前n项和S n满足S n2−(n2+2n−1)S n−(n2+2n)=0．(Ⅰ)求{a n}的通项公式a n；(Ⅱ)若b n=a n−5，求b2+b4+⋯+b2n．2n19.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足(b−c)2=a2−bc．(1)求角A的大小；(2)若a=3，求△ABC的面积的最大值．20.已知y=f(x)为二次函数，且f(0)=−5，f(−1)=−4，f(2)=−5，求此二次函数的解析式．21.已知函数f(x)=(ax+b)lnx−bx+3在(1,f(1))处的切线方程为y=2．(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．(3)若g(x)=f(x)+kx在(1,3)是单调函数，求k的取值范围．22.已知函数f(x)=(m+1m )lnx+1x−x，(Ⅰ)当m=2时，求f(x)的极大值；(Ⅱ)当m>0时，讨论f(x)在区间(0,1)上的单调性．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x<−12,或x>0},B={x|x>−12}；∴A∩B={x|x>0}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：A解析：【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题.利用任意角的三角函数的定义求得sinα、cosα的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．【解答】解：∵点P(−3,4)是角α的终边上一点，∴sinα=22=45，cosα=22=−35，则sin2α=2sinαcosα=−2425．故选A．3.答案：A解析：【分析】本题主要考查了二倍角公式，和差公式和诱导公式，属于基础题．将cos(α−π4)=−13展开后平方可得sin2α=−79，由诱导公式可得答案．【解答】解：∵cos(α−π4)=−13，∴√22cosα+√22sinα=−13，两边平方得：12(1+2sinαcosα)=19，∴sin2α=−79，又sin(−3π+2α)=−sin2α，所以sin(−3π+2α)=79，故选A．4.答案：A解析：【分析】本题考查函数的图象的判断，考查函数的奇偶性，属于中档题．判断函数的奇偶性排除选项BD，再根据特殊值排除选项C即可．【解答】解：f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又f(−x)=(−x)44−x−4x =−x44x−4−x=−f(x)，则f(x)是奇函数，排除选项BD，当x=2时，f(2)=1616−116>1，对应点在y=1的上方，排除C．故选A．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于中等题．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．变形目标函数可得y=2x−z，平移直线y=2x可知当直线经过点A(3,0)时，直线的截距最小，z取最大值，代值计算可得z=2x−y的最大值为6，故选D ．6.答案：A解析： 【分析】本题主要考查了分段函数的应用，解题的关键是熟练掌握分段函数的计算， 根据已知及分段函数的计算，求出f(a)=1，实数a 的取值范围． 【解答】 解：∵函数f(x)={(12)x −7,x <0log 2(x +1),x ≥0，若f(a)<1 ∴{a <−3,0≤a <1,∴实数a 的取值范围是(−∞ , −3)∪[0 , 1)． 故选A ．7.答案：C解析：解：由已知，a ⃗ =(−1,√3)，且a ⃗ ⊥(a ⃗ −3b ⃗ )，a ⃗ ⋅(a ⃗ −3b ⃗ )=0=a ⃗ 2−3a ⃗ ⋅b ⃗ =4−3a ⃗ ⋅b ⃗ ，a ⃗ ⋅b ⃗ =43，所以b ⃗ 在a ⃗ 上的投影为a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |=432=23； 故选C ．利用b ⃗ 在a ⃗ 上的投影为|b ⃗ |cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |即可得出． 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的投影，属于基础题．8.答案：D解析： 【分析】本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，及诱导公式，属于基础题． 由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律和诱导公式得出结论． 【解答】解：将y =3sin4x 的图象向左平移π12个单位长度， 得到y =3sin(4x +4×π12)=3sin(4x +π3)的图象， 再向下平移3个单位长度得到y =3sin(4x +π3)−3的图象，∴f(x)=3sin(4x +π3)−3，由f(m)=a ，则3sin(4m +π3)−3=a ，即3sin(4m +π3)=a +3，．故选D ．9.答案：B解析： 【分析】本题考查偶函数的性质，函数单调性，指数、对数函数的性质，以及对数的运算性质的应用，属于基础题． 【解答】解：∵函数f(x)为偶函数， ∴f(−21.2)=f(21.2)，∵21.2∈(2,+∞)，0<2log 52<1，(12)−0.8=245∈(1,2)， 且函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，∴f(c)>f(b)>f(a). 故选B .10.答案：D解析： 【分析】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，涉及等差数列的性质，属于中档题．设等比数列{a n }的公比为q ，由已知可得q 和a 1的值，代入等比数列的求和公式可得． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 2a 5=3a 3，∴a 4=a 1q 3=3， ∵a 4与9a 7的等差中项为2， ∴a 4+2a 7=a 4(1+9q 3)=4， 解得q =13，可得a 1=81，故S5=81(1−135)1−13=121．故选D．11.答案：B解析：【分析】本题考查基本不等式的运用，属于简单题．由条件可得0<x<3，3y=6−2xx ，即有2x+3y=2x+6x−2，运用基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：x>0，y>0，2x+3xy=6，可得3y=6−2xx>0，0<x<3，即有2x+3y=2x+6x−2≥2√2x×6x−2=4√3−2，当且仅当x=√3，y=13(2√3−2)时，上式取得等号，则2x+3y的最小值为4√3−2，故选：B．12.答案：D解析：【分析】本题考查导数求函数的零点问题，属于一般题．将函数的零点转化为y=f(x)与y=b两个函数图象的交点．【解答】解：设ℎ(x)=e x(x+1),x≤0，则ℎ′(x)=e x(x+2)，ℎ(x)在(−∞,−2)上递减，在(−2,0]上递增，ℎ(x)min=g(−2)=−1e2，且0<b≤1与y=b的图象有三个交点，此时，函数g(x)=f(x)−b有三个零点，∴实数b的取值范围是(0,1]．故选D ．13.答案：解析： 【分析】本题主要考查分段函数求函数值，属于基础题． 根据分段函数解析式，分类讨论求解即可． 【解答】 解：函数，∵f(a −1)=12，或{a −1>02a−1−1=12，解得． 故答案为．14.答案：20解析：解：由等差数列{a n }的性质可得：a 1+a 5=a 2+a 4， ∴S 5=5(a 1+a 5)2=5×(1+7)2=20．故答案为：20．由等差数列{a n }的性质可得：a 1+a 5=a 2+a 4，再利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.答案：−32解析： 【分析】本题考查向量的数量积，属基础题．由条件可先得出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，进行数量积的运算即可求出该数量积的值． 【解答】 解：根据条件：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2=13×3×3×12−23×9+13×9 =−32． 故答案为：−32．16.答案：−3√32解析： 【分析】本题考查应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值． 【解答】解：f′(x)=2cosx +2cos2x =4cos 2x +2cosx −2=4(cosx +1)(cosx −12)， 所以当cosx <12时函数单调减，当cosx >12时函数单调增， 从而得到函数的减区间为[2kπ−5π3,2kπ−π3](k ∈Z)，函数的增区间为[2kπ−π3,2kπ+π3](k ∈Z)，所以当x =2kπ−π3,k ∈Z 时，函数f (x )取得最小值，此时sinx =−√32,sin2x =−√32，所以f (x )min =2×(−√32)−√32=−3√32， 故答案是−3√32． 17.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)=sinx(sinx −√3cosx)=sin 2x −√3sinxcosx =1−cos2x 2−√32sin2x =12−sin(2x +π6)，x ∈R ，则函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π，当sin(2x+π6)=−1时，f(x)取得最大值为32．(Ⅱ)x∈[0,π],则2x+π6∈[π6,13π6]，令f(x)=1，得sin(2x+π6)=−12，所以2x1+π6+2x2+π6=3π，x1+x2=4π3因此，所有根的和为4π3.解析：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查两角和差公式与二倍角公式的应用，注意正弦函数图象和性质的灵活运用．(Ⅰ)化函数f(x)为正弦型函数，求出f(x)的最小正周期和最大值；(Ⅱ)根据x∈[0,π]时f(x)=1，结合三角函数的对称性求得f(x)=1时所有根的和．18.答案：解：(Ⅰ)由S n2−(n2+2n−1)S n−(n2+2n)=0，得[S n−(n2+2n)](S n+1)=0，由a n>0，可知S n>0，故S n=n2+2n．当n≥2时，a n=S n−S n−1=(n2+2n)−[(n−1)2+2(n−1)]=2n+1；当n=1时，a1=S1=3，符合上式，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1．(Ⅱ)解：依题意，b n=a n−52n =2n−42n=n−22n−1，则b2n=2n−222n−1=(n−1)⋅(14)n−1，设T n=b2+b4+⋯+b2n，故T n=0+14+242+343+⋯+n−14n−1，而4T n=1+24+342+⋯+n−14n−2．两式相减，得3T n=1+14+142+⋯+14n−2−n−14n−1=1−(14)n−11−14−n−14n−1=13(4−3n+14n−1)，故T n =19(4−3n+14n−1)．解析：(Ⅰ)把已知数列递推式变形，求得S n =n 2+2n ，得到数列首项，再由a n =S n −S n−1(n ≥2)求{a n }的通项公式a n ；(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的通项公式代入b n =a n −52n，得到b 2n ，再由错位相减法求得b 2+b 4+⋯+b 2n ．本题考查数列递推式，考查了由数列的前n 项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的通项公式，是中档题．19.答案：解：(1)∵(b −c)2=a 2−bc ，∴b 2+c 2−a 2=bc ， ∴由余弦定理可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc2bc =12，又∵A ∈(0,π)，∴A =π3; (2)∵a =3，A =π3，∴由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+c 2−bc ∴9=b 2+c 2−bc ， 又∵b 2+c 2≥2bc ， ∴9≥bc ，即bc ≤9， ∴三角形ABC 的面积， ∴三角形ABC 的面积的最大值是9√34．解析：本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式以及基本不等式的应用，是基础题． (1)将所给式子展开整理化简，结合余弦定理即可求得∠A ；(2)由a =3，A =π3，利用余弦定理，可得关于b ，c 的等式，结合基本不等式可得bc 的最大值，利用三角形面积公式即可求得面积的最大值．20.答案：解：y =f(x)为二次函数，设f(x)=ax 2+bx +c (a ≠0)，∵f(0)=−5，∴c =−5由f(−1)=−4，f(2)=−5，可得：{−4=a −b −5−5=4a +2b −5，解得：{a =13b =−23，故得二次函数的解析式为f(x)=13x2−23x−5．解析：由题意，设f(x)=ax2+bx+c，由f(0)=−5，f(−1)=−4，f(2)=−5，求解a，b，c的值可得答案．本题主要考查函数解析式的求解，利用待定系数法，属于基础题．21.答案：解：(1)因为f(1)=(a+b)ln1−b+3=2，所以b=1；又f′(x)=bx +alnx+a−b=1x+alnx+a−1，而函数f(x)=(ax+b)lnx−bx+3在(1,f(1))处的切线方程为y=2，所以f′(1)=1+a−1=0，所以a=0；(2)由(1)得f(x)=lnx−x+3，f′(x)=1x−1，当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0；所以f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)在(1,+∞)上单调递减，所以f(x)有极大值f(1)=2，无极小值．故f(x)的极大值为f(1)=2，无极小值；(3)由g(x)=f(x)+kx，则g(x)=lnx+(k−1)x+3(x>0)，g′(x)=1x+k−1，又由g(x)在x∈(1,3)上是单调函数若g(x)为增函数时，有g(x)≥0所以有g,(x)=1x +k−1≥0,即k≥1−1x在x∈(1,3)上恒成立，又1−1x∈(0,23)，所以k≥23若g(x)为减函数时，有g(x)≤0所以有g,(x)=1x +k−1≤0,即k≤1−1x在x∈(1,3)上恒成立，又1−1x∈(0,23)，所以k≤0故综上k∈(−∞,0]∪[23,+∞)．解析：本题考查函数的导数的综合应用，函数的切线方程，函数的极值以及单调区间的求法，考查转化思想以及计算能力．(1)利用切线方程求出b=1，求出导函数，转化求解f′(1)=1+a−1=0，推出a=0．(2)求出f(x)=lnx−x+3的导函数f′(x)=1x−1，通过当0<x<1时，当x>1时，导函数的符号，判断函数的单调性求出极值．(3)由g(x)=f(x)+kx，则g(x)=lnx+(k−1)x+3(x>0)求出导函数，利用g(x)在x∈(1,3)上是单调函数求出函数的最值然后推出k的范围．22.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞)．当m=2时，f(x)=52lnx+1x−x，f′(x)=52x −1x−1=−(2x−1)(x−2)2x．当0<x<12时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当12<x<2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x>2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以当x=2时f(x)取得极大值f(2)=52ln2−32．(Ⅱ)f′(x)=m2+1mx −1x−1=−(mx−1)(x−m)mx=−(x−1m)(x−m)x．①若0<m<1，则0<m<1<1m.当0<x<m时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当m<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；②若m=1，f′(x)=−(x−1)2x2<0，f(x)在(0,1)上单调递减；③若m>1，则0<1m <1<m，当0<x<1m时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当1m<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；综上，当0<m<1时，f(x)在(0,m)上是减函数，在(m,1)上是增函数；当m=1时，f(x)在(0,1)上是减函数；当m>1时，f(x)在(0,1m )上是减函数，在(1m,1)上是增函数．解析：(Ⅰ)m=2时，求出f′(x)，f(x)的单调区间，根据极值定义可求得极值；(Ⅱ)求出f′(x)，然后解含参数的不等式f′(x)>0，f′(x)<0，注意讨论m的范围．本题考查利用导数研究函数单调性、极值以及含参数的不等式的求解，本题渗透了分类讨论思想．。

2019-2020年高二数学上学期期中试卷（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是．2．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为．3．（5分）若点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围为．4．（5分）命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是命题．（在“真”或“假”中选一个填空）5．（5分）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b=．6．（5分）曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是．7．（5分）如果p：x=2，q：x2=4，那么p是q的．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）8．（5分）不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，则实数a的取值范围为．9．（5分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为．10．（5分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是．12．（5分）已知直线kx﹣y+1﹣k=0恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，则的最小值为．13．（5分）设x，y满足约束条件：，则z=x+2y的最小值为．14．（5分）记min{a，b}为a，b两数中的最小值，当正数x，y变化时，t=min{x，}也在变化，则t的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．16．（14分）椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为抛物线y2=x 上一点，且A为线段OB的中点．（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程．17．（15分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解不等式（t为常数）18．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣2x+a（a≠0）．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）＞0无解，求a的取值范围；（3）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．19．（16分）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤2时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．20．（16分）设直线x+y=1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A，B两点．（1）若a=，求b的范围；（2）若OA⊥OB，且椭圆上存在一点P其横坐标为，求点P的纵坐标；（3）若OA⊥OB，且S△OAB=，求椭圆方程．江苏省盐城中学南校区xx高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是∃x∈R，x2+x+1＜0．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是：∃x∈R，x2+x+1＜0；故答案为：∃x∈R，x2+x+1＜0．点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．2．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为y=±x．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得此双曲线的渐近线方程．解答：解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得﹣=1的渐近线方程为﹣=0，化简可得y=±x．故答案为：y=±x．点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的简单性质，解题的关键是正确运用双曲线的标准方程．3．（5分）若点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围为（1，2）．考点：二元一次不等式的几何意义．专题：不等式的解法及应用．分析：根据点与直线的位置关系，即可．解答：解：∵点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，∴（1+1﹣a）（2﹣1﹣a）＜0，即（2﹣a）（1﹣a）＜0，则（a﹣1）（a﹣2）＜0，即1＜a＜2，故答案为：（1，2）点评：本题主要考查二元一次不等式的几何意义，以及一元二次不等式的解法是解决本题的关键．4．（5分）命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是假命题．（在“真”或“假”中选一个填空）考点：四种命题．专题：计算题；简易逻辑．分析：写出命题的逆命题，再判断其真假即可．解答：解：命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是如果ab=0，那么a=0，是假命题．故答案为：假．点评：本题主要考查了逆命题的定义以及真假命题的判定，要求学生对基础知识牢固掌握．5．（5分）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b=．考点：一元二次不等式与一元二次方程．专题：计算题；转化思想．分析：不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，故3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个根，由根与系数的关系求出a，b，既得．解答：解：由题意不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，故3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个根，∴3+4=﹣，3×4=﹣∴a=﹣，b=∴a+b=﹣=故答案为点评：本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．注意总结方程，函数，不等式三者之间的联系．6．（5分）曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是2x﹣y﹣1=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：求出导函数，令x=1求出切线的斜率；利用点斜式写出直线的方程．解答：解：y′=2x当x=1得f′（1）=2所以切线方程为y﹣1=2（x﹣1）即2x﹣y﹣1=0故答案为2x﹣y﹣1=0点评：本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值是切线的斜率．7．（5分）如果p：x=2，q：x2=4，那么p是q的充分不必要条件．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得到答案．解答：解：由p：x=2能推出q：x2=4，是充分条件，由q：x2=4推不出p：x=2，不是必要条件，故答案为：充分不必要条件．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．8．（5分）不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，则实数a的取值范围为．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意和二次函数的性质列出不等式组，求出a的取值范围．解答：解：因为不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，所以，解得a＞，所以实数a的取值范围为，故答案为：．点评：本题考查利用二次函数的性质解决恒成立问题，注意开口方向，属于基础题．9．（5分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为y2=16x或x2=﹣12y．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出直线3x﹣4y﹣12=0与x轴、y轴的交点分别为（4，0）、（0，﹣3），可得抛物线开口向右或开口向下，由此设出抛物线的标准方程并解出焦参数p的值，即可得到所求抛物线的方程．解答：解：∵直线3x﹣4y﹣12=0交x轴于点（4，0），交y轴于点（0，﹣3），∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，﹣3），可得抛物线开口向右或开口向下．①当抛物线的开口向右时，设抛物线方程为y2=2px（p＞0），∵=4，解得p=8，2p=16，∴此时抛物线的方程为y2=16x；②当抛物线的开口向右时，用类似于①的方法可得抛物线的方程为x2=﹣12y．综上所述，所求抛物线的方程为y2=16x或x2=﹣12y．故答案为：y2=16x或x2=﹣12y点评：本题给出抛物线满足的条件，求抛物线的方程．着重考查了双曲线的标准方程与基本概念、抛物线的标准方程及其简单几何性质等知识，属于基础题．10．（5分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．考点：抛物线的简单性质；两点间的距离公式．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），利用抛物线的定义可得|MF|=2+=3，解得p=2，从而得到抛物线的方程．由此算出点M的坐标为（2，），再利用两点间的距离公式即可算出|OM|的值．解答：解：∵抛物线经过点M（2，y），∴抛物线的开口向右．设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），∵点M（2，y）到抛物线焦点F的距离为3，∴根据抛物线的定义，得|MF|=2+=3，解得p=2，由此可得抛物线的方程为y2=4x．将点M坐标代入抛物线方程，得y2=4×2=8，解得y=，M坐标为（2，）．∴|OM|==2．故答案为：点评：本题已知抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离为3，求该点到抛物线顶点的距离．着重考查了抛物线的定义与标准方程、两点间的距离公式等知识，属于中档题．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是+1．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据AF⊥x轴可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．解答：解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴设A点的纵坐标大于0∴|AF|=p，∴A（，p）∵点A在双曲线上∴﹣=1∵p=2c，b2=c2﹣a2∴﹣=1化简得：c4﹣6c2a2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∵e2＞1∴e2=3+2∴e=1+故答案为：1+点评：本题主要考查关于双曲线的离心率的问题，属于中档题，本题利用焦点三角形中的边角关系，得出a、c的关系，从而求出离心率．12．（5分）已知直线kx﹣y+1﹣k=0恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，则的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把直线方程整理成点斜式，求得A点的坐标，代入直线mx+ny﹣1=0中，求得m+n的值，最后根据基本不等式求得的最小值．解答：解：整理直线方程得y=k（x﹣1）+1，∴点A的坐标为（1，1），∵点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，∴m+n﹣1=0，即m+n=1，∴==，∵mn≤=，m=n时取等号，∴≥4，即的最小值为4，故答案为：4．点评：本题主要考查了基本不等式，直线方程问题，解题的关键时求得m+n的值．13．（5分）设x，y满足约束条件：，则z=x+2y的最小值为8．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即A（2，3）此时z=2+2×3=8．故答案为：8点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．14．（5分）记min{a，b}为a，b两数中的最小值，当正数x，y变化时，t=min{x，}也在变化，则t的最大值为．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：先推导=≤，再分当x≥与当x≤≤两种情况探讨最值，解答：解：=≤当x≥时，即x≥时，t=min{x，}=，而≤≤x≤，当x≤≤时，也即0＜x≤时，t=min{x，}=x，而x≤，综上t的最大值为故答案为：．点评：本题主要考查了函数的取最值的问题，理解新定义函数的意义，并能运用分类讨论的数学思想去解题是解决问题的关键二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）分别求出关于p，q的不等式，从而得到答案；（2）通过讨论m的范围，结合集合之间的关系，从而得到答案．解答：解：（1）m=4时，p：﹣3≤x≤1，q：﹣1≤x≤4，若p且q为真，则p为真，q为真，∴x的范围是：{x|﹣1≤x≤1}；（2）∵p：{x|﹣3≤x≤1}，若m≤﹣1，则q：{x|m≤x≤﹣1}，又p是q的必要不充分条件，即q⊂b，∴﹣3≤m≤﹣1，若m＞﹣1，则q：{x|﹣1≤x≤m}，∴﹣1＜m≤1，综上：m的范围是．点评：本题考查了复合命题的真假，考查了集合之间的关系，是一道基础题．16．（14分）椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为抛物线y2=x 上一点，且A为线段OB的中点．（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）据题意得：又a2=b2+c2，解出a，b即可得到椭圆方程；（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程，解出A点坐标，即可得到AB方程．解答：解：（1）据题意得：又a2=b2+c2，解得，所以椭圆方程为．（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程得，消去y0并整理得：，所以或．当时，；当时，y0无解．所以直线AB的方程为．点评：本题考查椭圆的方程和性质及运用，考查抛物线方程的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．17．（15分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解不等式（t为常数）考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由已知解集的端点可知1和b为方程ax2﹣3x+2=0的两个解，把x=1代入方程求出a的值，进而求出b的值；（Ⅱ）把原不等式分子提取﹣1，在不等式两边同时除以﹣1，不等号方向改变，当t=﹣2时，显然原不等式无解；当t不等于﹣2时，根据两数相除异号得负的取符号法则转化为两个不等式组，讨论t与﹣2的大小，根据不等式组取解集的方法可得到原不等式的解集，综上，得到t取不同值时，原不等式对应的解集．解答：解：（Ⅰ）由题意得：x=1和x=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个解，∴把x=1代入方程得：a﹣3+2=0，解得a=1，则方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0，可得方程的另一解为2，即b=2，∴a=1，b=2；（Ⅱ）原不等式可化为：，显然当t=﹣2时，不等式不成立，即解集为空集；当t≠﹣2时，原不等式可化为：或，当t＞﹣2时，解得：﹣2＜x＜t；当x＜﹣2时，解得t＜x＜2，综上，原不等式的解集为：．点评：此题考查了其他不等式的解法，利用了转化及分类讨论的数学思想，其中转化的理论依据为两数相乘（除）同号得正、异号得负的取符号法则，此类题是xx高考中常考的题型．18．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣2x+a（a≠0）．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）＞0无解，求a的取值范围；（3）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由二次不等式的解法，即可得到；（2）对a讨论，①当a=0时，②当a≠0时，则需，解出不等式，求并集即可；（3）不等式为：ax2﹣2x+a＞0，即，因为该不等式对x∈（0，+∞）恒成立，只要求出右边的最大值即可，注意运用基本不等式．解答：解：（1）当a=﹣1时，不等式为﹣x2﹣2x﹣1＜0，即（x+1）2＞0，所以x≠﹣1，所以所求不等式的解集为{x|x≠﹣1}；（2）不等式为：ax2﹣2x+a＞0．①当a=0时，不等式的解为：x＜0，不合题意；②当a≠0时，则需，所以a≤﹣1．综合得a≤﹣1；（3）不等式为：ax2﹣2x+a＞0，即，因为该不等式对x∈（0，+∞）恒成立，所以，因为，所以a的取值范围为a≥1．点评：本题考查二次函数的性质和二次不等式的解法，考查不等式恒成立转化为求函数最值问题，属于中档题．19．（16分）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤2时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离，可得分段函数；（2）分段求出函数的最小值，即可得到分段函数的最小值．解答：解：（1）∵当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离，∴当0＜x≤12时，y==；当12＜x≤25时，y==5x++10∴y=；（2）当0＜x≤12时，y=，∴x=12m/s时，y min=290s；当12＜x≤25时，y=5x++10≥2 +10=250s当且仅当5x=，即x=24m/s时取等号，即x=24m/s时，y min=250s∵290＞250，∴x=24m/s时，y min=250s．答：该车队通过隧道时间y的最小值为250s及此时该车队的速度为24m/s．点评：本题考查分段函数模型的构建，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．20．（16分）设直线x+y=1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A，B两点．（1）若a=，求b的范围；（2）若OA⊥OB，且椭圆上存在一点P其横坐标为，求点P的纵坐标；（3）若OA⊥OB，且S△OAB=，求椭圆方程．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式大于0，解出即可；（2）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件，化简整理，即可得到所求值；（3）设直线x+y=1与坐标轴交于C、D，求出CD，再由面积，求得AB，再由弦长公式，求得a，b的方程，再由（2）的结论，即可得到椭圆方程．解答：解：（1）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得（b2+a2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，x1+x2=，x1x2=，因为直线与椭圆交于两点，故△=4a4﹣4（b2+a2）（a2﹣a2b2）＞0，代入a=，解得，且a＞b，所以b的范围为；（2）将直线x+y=1代入椭圆方程，可得：，由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，解得a2+b2=2a2b2即，代x0=到椭圆方程得，即，所以点P的纵坐标为．（3）设直线x+y=1与坐标轴交于C、D，则，又△AOB，△COD两个三角形等高，故，所以，求得所以，所以椭圆方程为．点评：本题考查椭圆方程及运用，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，考查运算能力，属于中档题．。

临川一中2019－2020学年度上学期期中考试高一年级数学试卷卷面满分：150分考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.设全集}{,|0U R A x x ==>，}{|1B x x =≤，则A B ⋂=( )}{.|01A x x <≤}{.|01B x x ≤<}{.|1C x x >}{.|0D x x <2.若指数函数错误!未找到引用源。

在R 上递减，则实数a 的取值范围是( )1.(0,)3A B.（1，+∞）C.RD.（-∞，0）3. 已知121()2()1(1)1()2x x f x f x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩，则17()()46f f +=( )A ．16 B ．－16C ．－56D ．564．下列函数中,在其定义域内与函数错误!未找到引用源。

有相同的奇偶性和单调性的是( ) A.1y x=-B. 3xy = C.ln y x = D. 122x xy =-5. 在映射:f A B →中，}{(,)|,A B x y x y R ==∈，且:(,)(,)f x y x y x y →-+，则与B 中的元素(2,1)--对应的A 中的元素为( )31.(,)22A -- 31.(,)22B - 31.(,)22C - 31.(,)22D 6.已知函数()f x 对任意不相等的实数12,x x 都满1212()()0f x f x x x ->-，若 1.5(2)a f =，0.61[()]2b f -=，(ln 2)c f =，则,,a b c 的大小关系( )A ．b a c <<B ．b c a <<C ． c a b <<D ．c b a <<7.已知函数23x y a-=+(0a >且1a ≠）的图像恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图像上，则(3)3log f =( )A ．2-B ．1-C ．1D ．28．根据表中的数据,可以断定方程错误!未找到引用源。

江西省临川一中暨临川一中实验学校2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，2. 完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是（）A．①简单随机抽样，②系统抽样B．①分层抽样，②简单随机抽样C．①系统抽样，②分层抽样D．①②都用分层抽样3. 从30个个体中抽取10个个体，并将这30个个体编号00，01，…，29．现给出某随机数表的第11行到第15行（见下表），如果某人选取第12行的第6列和第7列中的数作为第1个数并且由此数向右读，则选取的前4个的号码分9264 4607 2021 3920 7766 3817 3256 16405858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 78142889 6628 6757 8231 1589 0062 0047 38155131 8186 3709 4521 6665 5325 5383 27029055 7196 2172 3207 1114 1384 4359 4488A．76,63,17,00 B．16,00,02,30 C．17,00,02,25 D．17,00,02,074. 已知在正方体中，点为棱的中点，则直线与体对角线所成角的余弦值为（）A．B．C．D．05. 已知直线，平面，，，，，那么“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6. 已如向量，，且与互相垂直，则（）．A．B．C．D．7. 已知双曲线的渐近线为，且过点，则该双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．8. 如图，在四面体中，，分别在棱，上且满足，，点是线段的中点，用向量，，作为空间的一组基底表示向量应为（）A．B．C．D．9. 已知椭圆的方程为，斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且线段的中点为，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10. 如图，四棱锥的侧面底面，为等边三角形，，，，点为的中点，则直线与底面所成的角的正弦值为（）A．B．C．D．11. 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，如图所示，则①以线段为直径的圆与准线相切；②以为直径的圆经过焦点；③，，（其中点为坐标原点）三点共线；④若已知点的横坐标为，且已知点，则直线与该抛物线相切；则以上说法中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412. 已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，是的内心，当时（其中，分别为点与内心的纵坐标），椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题13. 已知抛物线的标准方程为，则该抛物线的准线方程为______．14. 如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是_____．15. 椭圆：的左焦点为，直线与椭圆交于，两点.当的周长最大时，则的值等于______.16. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，则该四棱锥的外接球的表面积为______.三、解答题17. 已知p：方程x2+y2﹣4x+m2＝0表示圆：q：方程1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆．（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p、q有且仅有一个为真，求实数m的取值范围．18. 在中，它的内角的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）求边的长．19. 已知为等差数列，为单调递增的等比数列，，，.（1）求与的通项公式；（2）求数列的前项和20. 已知圆，直线.（1）求直线被圆所截得弦长的最大值；（2）过直线上的点作圆的切线，记切线长的最小值为，当在上变化时，求的取值范围.21. 如图，已知四棱锥的底面为棱形，且面，，，，且，分别为，的中点.（1）求证：面；（2）求二面角的余弦值.22. 已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，当时，的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆交于两点，过两点分别作定直线的垂线，垂足分别为，求为定值.。

临川一中2019—2020学年度上学期第一次月考高二数学（理科）试卷卷面满分：150分 考试时间：120分钟命题人：罗玉娇 审题人：黄维京 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

）1．若直线α//l ，且l 的方向向量为(2,m,1)，平面α的法向量为()1,1,2-，则m 为( ) A.－4 B. －2 C. 2 D. 4 2．下列说法正确的是（ ）A.若¬(p ∧q )为真命题，则p ，q 均为假命题；B.命题“若x 2−3x −4=0,则x =−1”的逆否命题为真命题；C.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若“a 1>0”则“S 2019>S 2018”的否命题为真命题；D.“平面向量a ⃑ 与b ⃑ 的夹角为钝角”的充要条件是“0<⋅b a”3．命题“[]2,3∀∈x ，220-≥x a ”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A ．0≤a B ．1≤a C ．2≤a D ．3≤a4．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )A.2⋅AB CAB.2⋅AC FGC.2⋅AD DCD.2⋅EF DB5．命题p ：函数21y x ax =-+在()∞+，2上是增函数. 命题q ：直线+0-=x y a 在y 轴上的截距小于0. 若∨p q 为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4>aB ．0≥aC ．04≤<aD ．04<≤a6．设P 为椭圆221259x y +=上一点，1F ,2F 为左右焦点，若1260F PF ∠=︒，则P 点的纵坐标为( ) A.433 B.433± C. 439 D. 439±7．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(01)=<<AG m m ，则点G 到平面1D EF 的距离为( )A.BC D8．我们把由半椭圆()222210x y x a b +=≥与半椭圆22221(0)y x x b c+=<合成的曲线称作“果圆”(其中222,a b c =+ 0a b c >>>).如图,设点012,,F F F 是相应椭圆的焦点, 12,A A 和12,B B 是“果圆”与,x y 轴的交点,若012F F F ∆是腰长为1的等腰直角三角形,则ab的值分别为( )A B C D ．54 9．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为4，AC =2=BC ，90ACB ∠=︒，点D 是11A B 的中点，F 是侧面11AA B B （含边界）上的动点.要使1AB ⊥平面1C DF ， 则线段1C F的长的最大值为（ ）A B ． C D ．10．椭圆22143+=x y 上有n 个不同的点123,,,,n P P P P ，椭圆右焦点F ，数列{}n P F 是公差大于12019的等差数列，则n 的最大值为（ ）A ．4036B ．4037C ．4038D ．403911．已知正四棱锥S −ABCD ，E 是线段AB 上的点且AB AE 31=，设SE 与BC 所成的角为θ1，二面角S −AB −C 的平面角为θ2，SE 与平面ABCD 所成的角为θ3，则（ ） A ．321θθθ<< B ．123θθθ<< C ．231θθθ<< D ．132θθθ<<12．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C ：()012222>>=+b a bx a y 的下顶点，M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈65,43ππα，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,36 B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛2336， C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛230， D.⎪⎪⎭⎫⎝⎛360， 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，若AC 1与底面ABCD 所成角为45°，则A 1C 1和底面ABCD 的距离是________.14．给定两个命题，P ：对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立； Q ：方程2213+=-x y a a表示焦点在x 轴上的椭圆。

2019-2020学年江西省抚州市临川一中、临川一中实验学校高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ＝{x|x 2−4x >0}，B ＝{x|x 2−4≤0}，则A ∩B ＝（ ） A.[−2, 0] B.(−∞, 0) C.[−2, 0) D.[−4, 4] 【答案】 C【考点】 交集及其运算 【解析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【解答】A ＝{x|x <0或x >4}，B ＝{x|−2≤x ≤2}， ∴ A ∩B ＝[−2, 0)．2. 已知角α终边上一点M 的坐标为(1,√3)，则sin2α＝（ ） A.−12B.12C.−√32D.√32【答案】 D【考点】二倍角的三角函数 任意角的三角函数 【解析】由已知利用任意角的三角函数的定义求得sinα、cosα的值，再由倍角公式求解． 【解答】由角α终边上一点M 的坐标为(1,√3)， 得r =√1+(√3)2=2， ∴ sinα=√32，cosα=12，故sin2α=2sinαcosα=√32，3. 已知α∈(−π2,0),sin(π−2α)=−12，则sinα−cosα＝（ ） A.√52B.−√52C.√62D.−√62【答案】 D【考点】两角和与差的三角函数 【解析】利用诱导公式以及二倍角公式转化求解即可． 【解答】因为sin(π−2α)=−12，所以sin2α=−12，2sinαcosα=−12， 所以(sinα−cosα)2＝1−2sinαcosα=32， 又α∈(−π2,0)，所以sinα<cosα，sinα−cosα=−√62．4. 函数f(x)=(22x +1−1)sinx 在[−2, 2]上的图象大致是（ ） A.B.C.D.【答案】 A【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】根据条件判断函数的奇偶性，结合x ＝1时，函数值的对应性，利用排除法进行判断即可． 【解答】因为f(−x)=(22−x +1−1)sin(−x)=−(2⋅2x1+2x −1)sinx =(22x +1−1)sinx =f(x)，所以函数f(x)是偶函数，图象关于y 轴对称，排除C ，D ， 又当x ＝1时，f(1)=−13sin1<0，排除B ，5. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0 ，则z ＝x +2y 的最小值是（ ）A.−8B.−6C.−3D.3【答案】 B【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，设z ＝x +2y 得y =−12x +12z ，利用数形结合即可的得到结论． 【解答】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示， 易求得A(1, 1)，B(−2, −2)，C(−5, 1)，z ＝x +2y ，则y =−12x +12z ，当直线y =−12x +12z 过点B(−2, −2)时z 取到最小值， 所以z ＝x +2y 的最小值是−2+2×(−2)＝−6，6. 已知函数f(x)={lnx,x ≥1−x 2+ax −a 2+1,x <1在R 上为增函数，则a 的取值范围是（ ）A.(−∞, 1]B.[1, +∞)C.(−∞, 2]D.[2, +∞) 【答案】 D【考点】 几何不等式 分段函数的应用 【解析】lnx 在x ≥1时属于单调递增函数，所以只需满足x <1时−x 2+ax −a 2+1也是单调递增函数即可，进而求解． 【解答】若函数f(x)在R 上为增函数，则需满足{a2≥1a −a 2≤0，解得a ≥2，7. 已知非零向量a →与b →的夹角为θ，tanθ=√2，(a →−2b →)⊥(a →+b →)，则|b →||a →|=( )A.13B.3C.√3D.√33【答案】 D【考点】平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】可根据tanθ=√2求出cosθ=√33，进而求出a →⋅b →=√33|a →||b →|，从而根据(a →−2b →)⊥(a →+b →)即可得出|a →|2−√33|a →||b →|−2|b →|2=0，可设|b →||a →|=x ，从而得出1−√33x −2x 2=0，然后解出x 即可． 【解答】根据tanθ=√2，0≤θ≤π，得cosθ=√33，由(a →−2b →)⊥(a →+b →)，得(a →−2b →)⋅(a →+b →)=a →2−a →⋅b →−2b →2=|a →|2−√33|a →||b →|−2|b →|2=0，设|b →||a →|=x ，则6x 2+√3x −3=0，即(2x +√3)(3x −√3)=0，因为x >0，所以x =√33，即|b →||a →|=√33．8. 设ω>0，将函数y =sin(ωx +π3)的图象向左平移π6个单位长度后与函数y =cos(ωx+π3)的图象重合，则ω的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用三角函数的图象的平移，求出函数的解析式，利用两个函数重合，得到关系式，转化求解即可．【解答】将函数y=sin(ωx+π3)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数y=sin(ωx+ωπ6+π3)的图象，又y=cos(ωx+π3)=sin(ωx+5π6)，所以ωπ6+π3=5π6+2kπ，k∈Z，ω∈(0, +∞)，ω＝12k+3(k∈Z)，又ω>0，所以ω的最小值为3，9. 已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(log24.1)，b＝g(−20.2)，c ＝g(π)，则a，b，c的大小关系为（）A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a【答案】C【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】∵奇函数f(x)在R上是增函数，∴当x>0时，f(x)>0．又对任意的x1，x2∈(0, +∞)且x1<x2，有0<f(x1)<f(x2)，∴g(x1)<g(x2)，∴g(x)在(0, +∞)上也是增函数，∵g(−x)＝−xf(−x)＝xf(x)，∴g(x)为偶函数．又log24.1∈(2, 3)，20.2∈(1, 2)，∴1<20.2<log24.1<π，而b＝g(−20.2)＝g(20.2)，∴b<a<c，10. 公比不为1的等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1，a3，a2成等差数列，mS2，S3，S4成等比数列，则m＝（）A.7 8B.85C.1D.95【答案】D【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】设{a n }的公比为q(q ≠0且q ≠1)，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q ，再由等比数列的求和公式，以及等比数列的中项性质，解方程可得m ． 【解答】设{a n }的公比为q(q ≠0且q ≠1)，根据a 1，a 3，a 2成等差数列，得2a 3＝a 1+a 2，即2a 1q 2=a 1+a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2−q −1＝0，即(q −1)(2q +1)＝0．因为q ≠1，所以q =−12， 则S 2=a 1(1−q 2)1−q=34⋅a11−q ，S 3=a 1(1−q 3)1−q=98⋅a11−q ，S 4=a 1(1−q 4)1−q=1516⋅a11−q ．因为mS 2，S 3，S 4成等比数列，所以S 32=mS 2⋅S 4，即(98⋅a 11−q )2=m ⋅34⋅a 11−q ⋅1516⋅a 11−q ，得m =95．11. 若x >0，y >−1且满足2x +y ＝1，则2x 2+1x+y 2y+1的最小值是（ ）A.3B.32+√2C.2√2D.12+√2【答案】 B【考点】基本不等式及其应用 【解析】对式子进行变形，再结合基本不等式求出最值． 【解答】2x 2+1x+y 2y+1=2x +1x+y +1y+1−1=1x+1y+1，因为2x +y +1＝2，所以1x +1y+1=12(2x +y +1)(1x +1y+1)=12(3+y+1x+2x y+1)≥12(3+2√2)，当且仅当y+1x=2xy+1，2x +y ＝1时取等号，即x =2−√2,y =2√2−3时取得最小值32+√2．12. 已知函数f(x)={−13x 3+x 2,x ≤mx −m,x >m，若存在实数a ，使得函数g(x)＝f(x)−a 恰好有4个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A.(0, 2) B.(2, +∞) C.(0, 3) D.(3, +∞) 【答案】 B【考点】函数与方程的综合运用 【解析】函数g(x)＝f(x)−a 恰好有4个零点，即函数y ＝f(x)的图象与y ＝m 的图象有4个交点；当x ≤m 时，利用导数求出函数f(x)的单调区间，讨论m 的范围作出函数f(x)的大致图象，根据图象分析交点的个数，从而得出答案； 【解答】g(x)＝f(x)−a 的零点个数等价于直线y ＝a 与函数f(x)图象的交点个数． 令y =−13x 3+x 2,y ′=−x 2+2x ，当x <0时，y ′<0，当0<x <2时，y ′>0； 当x >2时，y ′<0；所以函数y =−13x 3+x 2在(−∞, 0)上单调递减，(0, 2)上单调递增，(2, +∞)上单调递减；画出函数f(x)的大致图象如图所示，由图可知当m >2时，存在直线y ＝a 与函数f(x)图象的交点为4个； 当0<m ≤2时，直线y ＝a 与函数f(x)图象的交点至多为3个； 当m ≤0时，直线y ＝a 与函数f(x)图象的交点至多为2个； 所以m 的取值范围为(2, +∞)．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）已知函数f(x)={2x ,x ≤4f(x −1),x >4 ，则f(5+log 26)的值为________．【答案】 12【考点】分段函数的应用 【解析】根据题意，因为2<log 26<3，由函数的解析式计算可得答案． 【解答】根据题意，函数f(x)={2x ,x ≤4f(x −1),x >4， 因为2<log 26<3，所以f(5+log 26)＝f(4+log 26)＝…＝f(1+log 26)=21+log 26=2×6=12．已知等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，若a 2+a 5＝24，S 3＝S 9，则S n 的最大值为________． 【答案】 72【考点】等差数列的前n 项和 【解析】法一：由S 3＝S 9，得a 4+a 5+...+a 9＝0，则a 6+a 7＝0．又a 2+a 5＝24，设数列{a n }的公差为d ，利用通项公式求和公式即可得出．法二：由S 3＝S 9，得a 4+a 5+...+a 9＝0，则a 6+a 7＝0，又a 2+a 5＝24>0，可得数列{a n }的前6项为正，即可得出当n ＝6时，S n 有最大值．【解答】法一：由S 3＝S 9，得a 4+a 5+...+a 9＝0，则a 6+a 7＝0．又a 2+a 5＝24， 设数列{a n }的公差为d ，可得{a 1+5d +a 1+6d =0a 1+d +a 1+4d =24 ， 解得{a 1=22d =−4， 所以S n =−2n 2+24n ，故当n ＝6时，S n 有最大值，为72．法二：由S 3＝S 9，得a 4+a 5+...+a 9＝0，则a 6+a 7＝0，又a 2+a 5＝24>0， 以数列{a n }的前6项为正， 所以当n ＝6时，S n 有最大值，且S 6＝3(a 1+a 6)＝3(a 2+a 5)＝72．已知△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60∘，BD ＝2DC ，AE ＝2EC ，则AD →⋅BE →=________．【答案】43【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据所给数量关系可得AD →=23BC →−BA →,BE →=23BC →+13BA →，则将AD →⋅BE →进行化简即可．【解答】∵ AD →=23BC →−BA →,BE →=23BC →+13BA →，∴ AD →⋅BE →=(23BC →−BA →)⋅(23BC →+13BA →)=49|BC →|2−13|BA →|2−49BC →⋅BA →=49×9−13×4−49×3×2×cos60=4−43−43=43．函数f(x)=sinx +12sin2x 的最大值为________． 【答案】 3√34【考点】三角函数的最值 【解析】对函数求导，分类讨论确定函数的单调性，求得函数的极大值点即可得解．【解答】由题意可得：f′(x)＝cosx+cos2x＝2cos2x+cosx−1＝(2cosx−1)(cosx+1)，∵cosx+1≥0，∴当cosx>12时，f′(x)>0，当−1<cosx<12时，f′(x)<0，即当2kπ−π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z时，f(x)单调递增，当2kπ+π3<x<2kπ+5π3,k∈Z时，f(x)单调递减，故f(x)在x=2kπ+π3,k∈Z处取得极大值即最大值，且f(x)max=sinπ3+12sin(2×π3)=√32+12×√32=3√34．三、解答题（共6小题，满分0分）已知函数f(x)=2asin(π2−x)cos(x−2π3)，且f(π3)=1．（1）求a的值及f(x)的最小正周期；（2）若f(α)=−13，α∈(0,π2)，求sin2α．【答案】由f(x)=2asin(π2−x)cos(x−2π3)，且f(π3)=1，得2a×12×12=1，解得a＝2．∴f(x)=4cosx(√32sinx−12cosx)=2√3sinxcosx−2cos2x=√3sin2x−cos2x−1=2sin(2x−π6)−1．∴f(x)=2sin(2x−π6)−1的最小正周期为π；由f(α)=−13，得2sin(2α−π6)−1=−13,sin(2α−π6)=13，∵α∈(0,π2)，∴2α−π6∈(−π6,5π6)，又sin(2α−π6)=13<12，∴2α−π6∈(0,π6)．∴cos(2α−π6)=2√23．则sin2α=sin[(2α−π6)+π6]=sin(2α−π6)cosπ6+cos(2α−π6)sinπ6=13×√32+2√23×12=√3+2√26．【考点】二倍角的三角函数三角函数的周期性及其求法【解析】（1）由已知结合f(π3)=1求得a值，再由诱导公式及两角差的余弦变形，利用辅助角公式化积，则周期可求；（2）由f(α)=−13，求得2α−π6的正弦值，进一步求出余弦值，再由sin2α＝sin[(2α−π6)+π6]，展开两角和的正弦求解．【解答】由f(x)=2asin(π2−x)cos(x−2π3)，且f(π3)=1，得2a×12×12=1，解得a＝2．∴f(x)=4cosx(√32sinx−12cosx)=2√3sinxcosx−2cos2x=√3sin2x−cos2x−1=2sin(2x−π6)−1．∴f(x)=2sin(2x−π6)−1的最小正周期为π；由f(α)=−13，得2sin(2α−π6)−1=−13,sin(2α−π6)=13，∵α∈(0,π2)，∴2α−π6∈(−π6,5π6)，又sin(2α−π6)=13<12，∴2α−π6∈(0,π6)．∴cos(2α−π6)=2√23．则sin2α=sin[(2α−π6)+π6]=sin(2α−π6)cosπ6+cos(2α−π6)sinπ6=13×√32+2√23×12=√3+2√26．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+n，数列{b n}满足a n=b12+1+b222+1+⋯+b n2+1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n=a n b n4−n，求数列{c n}的前n项和T n．【答案】因为S n=n2+n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时,a n=S n−S n−1=n2+n−(n−1)2−(n−1)=2n，又a1＝2也满足上式，所以a n=2n(n∈N∗)；又b12+1+b222+1+⋯+b n2n+1=a n=2n，所以b12+1+b222+1+⋯+b n−12n−1+1=2n−2(n≥2,n∈N∗)，两式作差得，b n2n+1=2，所以b n=2n+1+2(n≥2,n∈N∗)，当n＝1时,b13=2,b1=6，又b1＝6满足上式，所以b n=2n+1+2(n∈N∗)；因为c n=a n b n4−n=2n(2+2n+1)4−n＝n⋅2n，所以T n=1×2+2×22+3×23+⋯+n⋅2n，2T n=1×22+2×23+⋯+(n−1)×2n+n⋅2n+1，两式相减，得−T n=2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1，即−T n=2n+1−2−n⋅2n+1，所以T n=(n−1)⋅2n+1+2．【考点】数列递推式数列的求和【解析】（1）由数列的递推式：当n＝1时，a1＝S1，当n≥2时，a n＝S n−S n−1，化简可得数列{a n}的通项公式；将a n=b12+1+b222+1+⋯+b n2n+1中的n换为n−1，相减可得{b n}的通项公式；（2）求得c n=a n b n4−n=2n(2+2n+1)4−n＝n⋅2n，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】因为S n=n2+n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时,a n=S n−S n−1=n2+n−(n−1)2−(n−1)=2n，又a1＝2也满足上式，所以a n=2n(n∈N∗)；又b12+1+b222+1+⋯+b n2n+1=a n=2n，所以b12+1+b222+1+⋯+b n−12n−1+1=2n−2(n≥2,n∈N∗)，两式作差得，b n2n+1=2，所以b n=2n+1+2(n≥2,n∈N∗)，当n＝1时,b13=2,b1=6，又b1＝6满足上式，所以b n=2n+1+2(n∈N∗)；因为c n=a n b n4−n=2n(2+2n+1)4−n＝n⋅2n，所以T n=1×2+2×22+3×23+⋯+n⋅2n，2T n=1×22+2×23+⋯+(n−1)×2n+n⋅2n+1，两式相减，得−T n=2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1，即−T n=2n+1−2−n⋅2n+1，所以T n=(n−1)⋅2n+1+2．如图，在△ABC中，∠BAC，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，∠BAC＝60∘，AD为∠BAC的平分线，AD=√3．（1）若DC＝2BD，求c；（2）求△ABC面积的最小值．【答案】因为DC＝2BD，∠BAD＝∠CAD，所以S△ABDS△ADC =BDDC=12AB⋅AD⋅sin∠BAD12AC⋅AD⋅sin∠CAD=ABAC，所以AC＝2AB．在△ABD，△ACD中，由余弦定理，得cos30=222√3c =√32,cos30=224√3c=√32，解得c=32．设BD＝x，则由（1）可知BDDC =ABAC，所以DC=bcx，在△ABD，△ACD中，由余弦定理可知222√3c =b2+3−(bxc)22√3b=√32，所以x2＝c2+3−3c，b2x2c2=b2+3−3b，消去x，得b2(c2+3−3c)＝c2(b2+3−3b)，化简，得(b−c)(bc−b−c)＝0．当b＝c时，△ABC为等边三角形，此时b=c=2,S△ABC=√3；当bc＝b+c时，由基本不等式可得bc=b+c≥2√bc,bc≥4，当b＝c＝2时取等号，此时S△ABC=12bcsin60=√34bc≥√3．综上可得，△ABC面积的最小值为√3．【考点】正弦定理余弦定理【解析】（1）由已知利用三角形的面积之比可求AC＝2AB，在△ABD，△ACD中分别应用余弦定理即可求解c的值．（2）设BD＝x，则由（1）可知BDDC =ABAC，可求DC=bcx，在△ABD，△ACD中，分别应用余弦定理，化简可求得(b−c)(bc−b−c)＝0，分类讨论可求三角形的面积．【解答】因为DC ＝2BD ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以S △ABDS△ADC=BD DC=12AB⋅AD⋅sin∠BAD 12AC⋅AD⋅sin∠CAD =AB AC，所以AC ＝2AB ．在△ABD ，△ACD 中， 由余弦定理，得cos30=222√3c=√32,cos30=224√3c=√32， 解得c =32．设BD ＝x ，则由（1）可知BDDC =ABAC ，所以DC =bc x ， 在△ABD ，△ACD 中，由余弦定理可知222√3c=b 2+3−(bx c)22√3b=√32， 所以x 2＝c 2+3−3c ，b 2x 2c 2=b 2+3−3b ，消去x ，得b 2(c 2+3−3c)＝c 2(b 2+3−3b)，化简，得(b −c)(bc −b −c)＝0．当b ＝c 时，△ABC 为等边三角形，此时b =c =2,S △ABC =√3； 当bc ＝b +c 时，由基本不等式可得bc =b +c ≥2√bc,bc ≥4， 当b ＝c ＝2时取等号，此时S △ABC =12bcsin60=√34bc ≥√3．综上可得，△ABC 面积的最小值为√3．已知函数f(x)＝a x +b(a >0，且a ≠1)，满足f(1)＝3，且f(n +1)＝4f(n)+3，其中n ∈N ∗．（1）求函数f(x)的解析式；（2）求证：1f(1)+1f(2)+1f(3)+⋯+1f(n)<49． 【答案】解法一：因为f(1)＝3，且f(n +1)＝4f(n)+3， 所以f(2)＝4f(1)+3＝15，即{a +b =3a 2+b =15，所以{a =4b =−1 或{a =−3b =6 （舍去），∴ f(x)＝4x −1．解法二：由f(n +1)＝4f(n)+3(n ∈N ∗)，得f(n +1)+1＝4f(n)+4， 即f(n+1)+1f(n)+1=4，∴ 数列{f(n)+1}是以4为公比，4为首项的等比数列， 则f(n)+1＝4n ，∴ f(n)＝4n −1， ∴ f(x)＝4x −1．证明：由（1）得f(n)＝4n −1(n ∈N ∗)．由于4n−1≥1，即4×4n−1−3×4n−1≥1，∴ 4n −1≥3×4n−1， 即f(n)＝4n −1≥3×4n−1，1f(n)≤13×4n−1，∴ 1f(1)+1f(2)+1f(3)+⋯+1f(n)≤13×(1+14+142+⋯+14n−1) =13×1−(14)n 1−14=13×1−(14)n34 =49×(1−14n )<49．【考点】不等式的证明 【解析】（1）解法一：根据f(1)＝3，且f(n +1)＝4f(n)+3，可得f(2)＝15，再由{a +b =3a 2+b =15求出a ，b 的值即可得到f(x)的解析式； 解法二：由f(n +1)＝4f(n)+3(n ∈N ∗)，得f(n +1)+1＝4f(n)+4，则数列{f(n)+1}是以4为公比，4为首项的等比数列，从而得到f(n)＝4n −1，进一步得到f(x)的解析式；（2）由（1）知f(n)＝4n −1≥3×4n−1，1f(n)≤13×4n−1，从而得到1f(1)+1f(2)+1f(3)+⋯+1f(n)≤13×(1+14+142+⋯+14n−1)，进一步证明1f(1)+1f(2)+1f(3)+⋯+1f(n)<49．【解答】解法一：因为f(1)＝3，且f(n +1)＝4f(n)+3， 所以f(2)＝4f(1)+3＝15，即{a +b =3a 2+b =15，所以{a =4b =−1 或{a =−3b =6 （舍去），∴ f(x)＝4x −1．解法二：由f(n +1)＝4f(n)+3(n ∈N ∗)，得f(n +1)+1＝4f(n)+4， 即f(n+1)+1f(n)+1=4，∴ 数列{f(n)+1}是以4为公比，4为首项的等比数列， 则f(n)+1＝4n ，∴ f(n)＝4n −1， ∴ f(x)＝4x −1．证明：由（1）得f(n)＝4n −1(n ∈N ∗)．由于4n−1≥1，即4×4n−1−3×4n−1≥1，∴ 4n −1≥3×4n−1， 即f(n)＝4n −1≥3×4n−1，1f(n)≤13×4n−1，∴ 1f(1)+1f(2)+1f(3)+⋯+1f(n)≤13×(1+14+142+⋯+14n−1) =13×1−(14)n 1−14=13×1−(14)n34 =49×(1−14n )<49．已知函数f(x)=lnx+ax+x(a∈R)．（1）当a＝0时，求曲线f(x)在x＝1处的切线方程；（2）若函数f(x)在区间(1, +∞)上有极值，求实数a的取值范围．【答案】当a＝0时，f(x)=lnxx +x，f′(x)=1−lnxx2+1，则f(1)＝1，f′(1)＝2，故曲线f(x)在x＝1处的切线方程为：y−1＝2(x−1)，即2x−y−1＝0．f(x)=lnx+ax +x(x>1)，f′(x)=1−lnxx2+1−ax2=x2−lnx−a+1x2，令F(x)＝x2−lnx−a+1，则F′(x)=2x−1x =2x2−1x，当x∈(1, +∞)时，F′(x)>0，所以函数F(x)在(1, +∞)上单调递增，又F(1)＝2−a，故①当a≤2时，F(x)>0，f′(x)>0，f(x)在(1, +∞)上单调递增，无极值；②当a>2时，F(1)<0，F(a)＝a2−lna−a+1，令G(x)＝x2−lnx−x+1，则G′(x)=2x−1x −1=2x2−x−1x，当x>2时，G′(x)>0，函数G(x)在(2, +∞)上单调递增，G(2)＝3−ln2>0，所以在(2, +∞)上，G(x)>0恒成立，所以F(a)＝a2−lna−a+1>0，所以函数F(x)在(1, a)上存在唯一零点x＝x0，所以f(x)在(1, x0)上单调递减，在(x0, +∞)上单调递增，此时函数f(x)存在极小值．综上，若函数f(x)在区间(1, +∞)上有极值，则a>2．故实数a的取值范围为(2, +∞)．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）求出导函数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．（2）求出导函数化简，令F(x)＝x2−lnx−a+1，则F′(x)=2x−1x =2x2−1x，利用函数的单调性，通过①当a≤2时，②当a>2时，F(1)<0，F(a)＝a2−lna−a+1，令G(x)＝x2−lnx−x+1，利用导函数判断函数的单调性，求解函数的极值，转化求解实数a的取值范围．【解答】当a＝0时，f(x)=lnxx +x，f′(x)=1−lnxx2+1，则f(1)＝1，f′(1)＝2，故曲线f(x)在x＝1处的切线方程为：y−1＝2(x−1)，即2x−y−1＝0．f(x)=lnx+ax +x(x>1)，f′(x)=1−lnxx2+1−ax2=x2−lnx−a+1x2，令F(x)＝x2−lnx−a+1，则F′(x)=2x−1x =2x2−1x，当x∈(1, +∞)时，F′(x)>0，所以函数F(x)在(1, +∞)上单调递增，又F(1)＝2−a，故①当a≤2时，F(x)>0，f′(x)>0，f(x)在(1, +∞)上单调递增，无极值；②当a>2时，F(1)<0，F(a)＝a2−lna−a+1，令G(x)＝x2−lnx−x+1，则G′(x)=2x−1x −1=2x2−x−1x，当x>2时，G′(x)>0，函数G(x)在(2, +∞)上单调递增，G(2)＝3−ln2>0，所以在(2, +∞)上，G(x)>0恒成立，所以F(a)＝a2−lna−a+1>0，所以函数F(x)在(1, a)上存在唯一零点x＝x0，所以f(x)在(1, x0)上单调递减，在(x0, +∞)上单调递增，此时函数f(x)存在极小值．综上，若函数f(x)在区间(1, +∞)上有极值，则a>2．故实数a的取值范围为(2, +∞)．已知函数f(x)=12x2+lnx−2mx(m>0)．（1）判断函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有极大值点x＝t，求证：tlnt>mt2−1．【答案】由题意，知f′(x)=x2−2mx+1x(x>0)，对于方程x2−2mx+1＝0，△＝4(m2−1)，①当0<m≤1时，△＝4(m2−1)≤0，f′(x)≥0，f(x)在(0, +∞)上单调递增．②当m>1时，令f′(x)＝0，则x1=m−√m2−1，x2=m+√m2−1，当0<x<m−√m2−1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当m−√m2−1<x<m+√m2−1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x>m+√m2−1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．综上所述，当0<m≤1时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；当m>1时，f(x)在(0,m−√m2−1)，(m+√m2−1,+∞)上单调递增，在(m−√m2−1,m+√m2−1)上单调递减．由（1）可知当m>1时，在x=m−√m2−1处时，函数f(x)取得极大值，所以函数f(x)的极大值点为x=m−√m2−1，则t=m−√m2−1=2∈(0,1)．由f′(t)=t2−2mt+1t =0，得m=t2+12t，要证tlnt>mt2−1，只需证tlnt−mt2+1>0，只需证tlnt−t2+12t⋅t2+1>0，即2tlnt−t3−t+2>0，t∈(0, 1)，令ℎ(x)＝2xlnx−x3−x+2，x>0，则ℎ′(x)＝2lnx−3x2+1，令φ(x)＝2lnx−3x2+1，x>0，则φ′(x)=2x −6x=2−6x2x，当0<x<√33时，φ′(x)>0，ℎ′(x)单调递增；ℎ(x)max =ℎ(√33)=21n√33<0，所以ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减，又ℎ(1)＝0， 故x ∈(0, 1)时，2xlnx −x 3−x +2>0， 又t ∈(0, 1)，则2tlnt −t 3−t +2>0， 即tlnt >mt 2−1． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】 （1）f ′(x)=x 2−2mx+1x(x >0)，对于方程x 2−2mx +1＝0，△＝4(m 2−1)，分类讨论得f(x)的单调性．（2）由（1）可知当m >1时，在x =m −√m 2−1处时，函数f(x)取得极大值，所以函数f(x)的极大值点为x =m −√m 2−1，则t =m −√m 2−1=m+√m 2−1∈(0,1)．由f ′(t)=t 2−2mt+1t=0，得m =t 2+12t，要证tlnt >mt 2−1，只需证tlnt −mt 2+1>0，【解答】由题意，知f ′(x)=x 2−2mx+1x(x >0)，对于方程x 2−2mx +1＝0，△＝4(m 2−1)，①当0<m ≤1时，△＝4(m 2−1)≤0，f ′(x)≥0，f(x)在(0, +∞)上单调递增． ②当m >1时，令f ′(x)＝0，则x 1=m −√m 2−1，x 2=m +√m 2−1， 当0<x <m −√m 2−1时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增；当m −√m 2−1<x <m +√m 2−1时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减， 当x >m +√m 2−1时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增． 综上所述，当0<m ≤1时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；当m >1时，f(x)在(0,m −√m 2−1)，(m +√m 2−1,+∞)上单调递增，在(m −√m 2−1,m +√m 2−1)上单调递减．由（1）可知当m >1时，在x =m −√m 2−1处时，函数f(x)取得极大值，所以函数f(x)的极大值点为x =m −√m 2−1，则t =m −√m 2−1=m+√m 2−1∈(0,1)． 由f ′(t)=t 2−2mt+1t=0，得m =t 2+12t，要证tlnt >mt 2−1，只需证tlnt −mt 2+1>0， 只需证tlnt −t 2+12t⋅t 2+1>0，即2tlnt −t 3−t +2>0，t ∈(0, 1)，令ℎ(x)＝2xlnx −x 3−x +2，x >0， 则ℎ′(x)＝2lnx −3x 2+1，令φ(x)＝2lnx −3x 2+1，x >0， 则φ′(x)=2x−6x =2−6x 2x，当0<x <√33时，φ′(x)>0，ℎ′(x)单调递增；ℎ(x)max =ℎ(√33)=21n√33<0，所以ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减，又ℎ(1)＝0， 故x ∈(0, 1)时，2xlnx −x 3−x +2>0， 又t ∈(0, 1)，则2tlnt −t 3−t +2>0， 即tlnt >mt 2−1．。