江西省临川一中新高一入学考试数学模拟试卷

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2020年江西省临川一中新高一入学分班考试数学模拟试卷
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）﹣2020的相反数是（ ）
A ．12020
B ．−12020
C ．2020
D ．﹣2020
2．（3分）如图是某兴趣社制作的模型，则它的俯视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A ．2a 2﹣a 2＝a 2
B ．（3a ）2＝3a 2
C ．﹣2（a ﹣1）＝﹣2a +1
D ．（a +b ）2＝a 2+b 2
4．（3分）对于一列数据，如果去掉一个最大值和一个最小值，那么这列数据分析一定不受
影响的是（ ）
A ．平均数
B ．中位数
C ．众数
D ．方差
5．（3分）如图，在3×4的正方形网格中，能画出与“格点△ABC ”面积相等的“格点正
方形”有（ ）个．
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
6．（3分）对于二次函数y ＝ax 2+（1﹣2a ）x （a ＞0），下列说法错误的是（ ）
A ．该二次函数图象的对称轴可以是y 轴
B ．该二次函数图象的对称轴不可能是x ＝1
C ．当x ＞2时，y 的值随x 的增大而增大
D ．该二次函数图象的对称轴只能在y 轴的右侧。

江西省临川第一中学、临川一中实验学校2024届数学高一下期末考试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()()2sin sin sin sin sin C A B A B =+-，则下列关于ABC ∆的形状的说法正确的是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定2．如图所示的阴影部分是由x 轴及曲线sin y x = 围成，在矩形区域OABC 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）A ．2πB ．12C ．1πD ．3π3．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，ABC ∆是正三角形，若1223AA AB == ）A ．323πB ．8πC ．16πD ．64π4．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形5．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球0的表面上,90BAC ∠=︒,12AA BC ==,则()AO AB AC ⋅+=( )A ．1B ．2C ．D ．46．在ABC 中，60A ∠=︒，2AB =，BC =则ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定7．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为 A ．0.35 B ．0.25C ．0.20D ．0.158．函数1tan 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域是（ ）A ．{|2,}2x x k k Z ππ≠+∈ B ．{|4,}2x x k k Z ππ≠+∈C ．{|,}28k x x k Z ππ≠+∈ D ．{|,}8x x k k Z ππ≠+∈9．已知点()3,1A ，()1,4B -，则与向量AB 的方向相反的单位向量是（ ） A ．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．34,55⎛⎫-⎪⎝⎭D ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭10．某三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为6，则该三棱柱的体积为A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

抚州市临川第一中学2024届高三适应性测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的80%分位数为（）A.93B.93.5C.94D.94.52.已知向量a ，b 满足1a b ⋅= ，π,3a b = ，则2a b a b ++- 的最小值为（）A.+ B.+ C.8D.23.过直线y x =上一点M 作圆C ：()2221x y -+=的两条切线，切点分别为P ，Q ．若直线PQ 过点()1,3，则直线PQ 的方程为（）A.520x y --=B.5140x y -+=C.580x y +-= D.5160x y +-=4.古城赣州最早有五大城门，分别为镇南门、百盛门、涌金门、建春门和西津门，赣州某学校历史兴趣小组决定利用两个周日的时间对五大城门的地理位置及历史意义进行调研．若约定：每个城门只调研一次，且每个周日只调研五大城门中的两大城门或三大城门，则恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的概率为（）A.25B.13C.15D.455.数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1024n n S a +=，则数列{}n a 的前n 项积的最大值为（）A.552 B.452 C.92 D.1026.已知矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，将CBD △沿BD 折起至C BD ' ，当C B '与AD 所成角最大时，三棱锥C ABD '-的体积等于（）A.6B.2 C.15D.2557.已知()()()cos 140sin 110sin 130ααα︒-+︒+=︒-，求tan α=（）A.3B.3-C.D.8.若存在a ∈R ，使得对于任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()22ln e 2e ln e x ax bx x ≤+≤-+恒成立，则实数b 的最小值为（）A.32e e 1e 1++-- B.22e e e 1+-- C.1- D.e-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.{0}∅∈ B.集合{}|2,Z Z 2x x x n n x⎧⎫=∈=∈⎨⎬⎩⎭C.函数()R 1Q0Qx f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð的值域为[0,1]D.()f x x x =在定义域内单调递增10.如图，点,,A B C 是函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象与直线32y =相邻的三个交点，且ππ,0312BC AB f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，则（）A.4ω=B.9π182f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.函数()f x 在ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减D.若将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ的最小值为π2411.已知定义在(0,)+∞的函数()f x 满足：①对(0,)∀∈+∞x 恒有()()xf x f x x '-=；②对任意的正数m ，n 恒有()()()f mn nf m mf n mn =++．则下列结论中正确的有（）A.()11f =-B.过点()()e,e f 的切线方程1y x =-C.对(0,)∀∈+∞x ，不等式()e f x x ≥-恒成立D.若0x 为函数()2y f x x =+的极值点，则()0030f x x +>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复平面上一个动点Z 对应复数z ，若|4i |2z -≤，其中i 是虚数单位，则向量OZ扫过的面积为____________．13.已知实数x ，y 满足23ln 0x x y --=)R m ∈的最小值为________．14.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝1，AC ＝CD ＝DA ＝2，动点M 在边DC 上（不同于D 点），P 为边AB 上任意一点，沿AM 将△ADM 翻折成△AD 'M ，当平面AD 'M 垂直于平面ABC 时，线段PD '长度的最小值为_____．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是23，乙获胜的概率是13，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束．（1）求进行3局比赛决出冠亚军的概率；（2）若甲以2:1领先乙时，记X 表示比赛结束时还需要进行的局数，求X 的分布列及数学期望．16.设函数()ln f x x ax b =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为63y x =-.（1）求,a b ；（2）证明：()35f x x>-.17.如图，AB 是半球O 的直径，4AB =，,M N 依次是底面 AB 上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且60PON ∠=︒．（1）证明：PB PM ⊥；（2）若点P 在底面圆上的射影为ON 中点，求直线PM 与平面PAB 所成的角的正弦值．18.已知双曲线22:14x C y -=，点(4,0)M ，经过点M 的直线交双曲线C 于不同的两点A 、B ，过点A ，B分别作双曲线C 的切线，两切线交于点E ．（二次曲线221Ax By +=在曲线上某点()00,x y 处的切线方程为001Ax x By y +=）（1）求证：点E 恒在一条定直线L 上；（2）若两直线与L 交于点N ，,AN MA BN MB λμ==，求λμ+的值；（3）若点A 、B 都在双曲线C 的右支上，过点A 、B 分别做直线L 的垂线，垂足分别为P 、Q ，记 AMP ，BMQ ，PMQ 的面积分别为123,,S S S ，问：是否存在常数m ，使得2123S S mS =？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．19.若各项为正的无穷数列{}n a 满足：对于*n ∀∈N ，221n n a a d +-=，其中d 为非零常数，则称数列{}n a 为D 数列.记1n n n b a a +=-.（1）判断无穷数列n a n =2n n a =是否是D 数列，并说明理由；（2）若{}n a 是D 数列，证明：数列{}n b 中存在小于1的项；（3）若{}n a 是D 数列，证明：存在正整数n ，使得112024ni ia=>∑.抚州市临川第一中学2024届高三适应性测试数学试题答案1.B 【分析】利用百分位数的定义即可得解.【详解】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为1080%8⨯=，所以这组数据的80%分位数第8个数与第9个数的平均值，即939493.52+=. 2.A 【分析】设,OA a OB b == 且,OA m OB n == ，建立直角坐标系，得到13(,0),(,)22a mb n n == ，求得2mn =，得到2a b a b ++-=+ ，结合基本不等式和函数()f t =上的单调性，即可求解.【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设,OA a OB b == 且,OA m OB n ==，因为π,3a b = ，可得1(,0),(,)22A m B n n ，则1(,0),(,)22a OA mb OB n n ==== ，所以1313(,),(,)2222a b m n n a b m n n +=+-=--，又因为向量,a b 满足1a b ⋅= ，可得1cos ,12a b a b a b mn ⋅=== ，解得2mn =，所以a b +=== ，a b -===则2a b a b ++-=+ ，设22t m n =+，因为2224t m n mn =+≥=，当且仅当m n ==所以2a b a b ++-=，又因为()f t =[4,)+∞上为单调递增函数，所以()()min 4f t f ==2a b a b ++-+故选：A.3.C 【分析】设(),M t t ，先利用两圆方程相减得到直线PQ 的方程，再利用直线PQ 过点()1,3求得t 的值，进而得到直线PQ 的方程.【详解】圆C ：()2221x y -+=的圆心为()2,0C ，设(),M t t ，则以MC 为直径的圆的方程为()()22222120224t t x y t t +⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+-=-+- ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭与圆C 的方程()2221x y -+=两式相减可得直线PQ 的方程为()2230t x ty t -+-+=因为直线PQ 过点()1,3，所以23230t t t -+-+=，解得12t =-．所以直线PQ 的方程为5113022x y --++=，即580x y +-=． 4.A 【分析】根据题意，得到此次调研的基本事件的总数为2355C C +种，再由题设条件，分为两类求得恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的种数，集合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，每个城门只调研一次，且每个周日只调研五大城门中的两大城门或三大城门，共有2355C C 20+=种不同的调研方法，其中恰好在同一个周日调研百盛门和建春门，可得分为：①其中一个周日只调研百盛门和建春门，另一个周日调研其他三门，有12C 2=种方法；②其中一个周日调研百盛门、建春门和其中另一个门，另一个周日调研剩余的两门，有1123C C 6=种方法，共有268+=种不同的调研方法，所以恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的概率为82205P ==.5.B【分析】根据给定的递推公式求出1a ，进而求出数列{}n a 通项，借助单调性求解即得.【详解】依题意，N n *∈，1024n n S a +=，则1512a =，当2n ≥时，111024n n S a --+=，两式相减得12n n a a -=，即112n n a a -=，因此数列{}n a 是以512为首项，12为公比的等比数列，于是1101512()22n n n a --=⨯=，显然数列{}n a 单调递减，当10n ≤时，1n a ≥，当11n ≥，1n a <，所以当9n =或10n =时，数列{}n a 的前n 项积最大，最大值为98720452222222⨯⨯⨯⨯⨯⨯= .6.A 【分析】根据异面直线所成角、锥体体积公式等知识求得正确答案.【详解】因为异面直线所成角的范围是π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故当C B AD '⊥时，C B '与AD 所成角最大，因为四边形ABCD 是矩形，所以AB AD ⊥，而,,AB C B B AB C B ''⋂=⊂平面ABC '，所以AD ⊥平面ABC '，因为AC '⊂平面ABC '，所以AD AC '⊥，在直角三角形ADC '中，1,2,AD C D AC ''===，而2221,2,BC AB BC AC AB '''==+=，所以BC AC ''⊥，所以111113326C ABD D ABC ABC V V S AD '''--===⨯⨯⨯=⋅ .【点睛】异面直线所成角的范围是π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，当两条直线所成角为0时，两直线平行或重合.求解锥体体积的问题，可以考虑利用转换定点的方法，然后利用体积公式13V Sh =来求得三棱锥的体积.7.D 【分析】利用三角函数诱导公式化简已知等式可得()()()cos 20cos 40cos 40ααα︒+=︒-+︒+，再利用两角和差的余弦公式结合同角三角函数关系化简可得cos 202cos40tan sin 20α︒-︒=︒，继而利用三角恒等变换，化简求值，即得答案.【详解】由题意知，()()()cos 140sin 110sin 130ααα︒-+︒+=︒-即()()()cos 40cos 20cos 40ααα-︒++︒+=︒-，故()()()cos 20cos 40cos 40ααα︒+=︒-+︒+，即cos 20cos sin 20sin 2cos40cos ααα︒-︒=︒，故cos 20cos 2cos40cos sin 20sin ααα︒-︒=︒，即sin cos 202cos40cos(3010)2cos(3010)tan cos sin 20sin 20ααα︒-︒︒-︒-︒+︒===︒︒33cos10sin1030)2022sin 20sin 20sin 20-︒+︒︒-︒︒====-︒︒︒【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用三角函数诱导公式以及两角和差的公式化简得出tan α的表达式之后，要利用拆角的方法，继而结合三角恒等变换公式，化简求值即可.8.C 【分析】将题干中的不等式变形为()2e 2e ln e ln x x ax b x x -+≤+≤，由题意可知直线y ax b =+恒位于函数()ln x f x x =图象的上方，函数()()2e 2e ln e x g x x-+=的图象的下方，b 代表直线y ax b =+在y轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过()e,e 1M -且与曲线ln xy x=相切时，b 最小，设切点坐标为000ln ,x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出0x 的值，即可得出b 的最小值.【详解】令()ln x f x x =，其中1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()21ln x f x x -'=，当1e e x <<时，()0f x ¢>，则函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()10f =，令()()2e2e ln ex g x x-+=，则()()2222e e ln e 3ex g x x-+-'=，因为函数()222e eln e3e y x =-+-在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()221e 2e 5e 0e g ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()1e 0e g '=-<，所以，存在01,e ex ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当01ex x <<时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，当0e x x <<时，()0g x '<，此时函数()g x单调递减，如下图所示：由题意得()2e 2e ln e ln x x ax b x x-+≤+≤，直线y ax b =+恒位于()y f x =的图象上方，()y g x =的图象下方，b 代表直线y ax b =+在y 轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过()e,e 1M -且与曲线ln xy x=相切时，b 最小．设切点为000ln ,x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则00200ln e 11ln e x x x x x -+-=-，整理可得()()20000e 12e ln e 0x x x x -+---=，令()()()2e 12e ln e h x x x x x =-+---，则()10h =，()()()()()e e2e 1121ln 2e 112ln h x x x x x x x'=-+-++=-+-+，而当1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()e2e 13x x -+≥，12ln 3x +≤，所以，()()e2e 112ln 0x x x-+-+>，所以当1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0h x '>，则函数()h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()h x 有唯一的零点1，所以01x =，此时直线方程为1y x =-，故min 1b =-.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的最值，解题的关键在于将不等式变形为()2e 2e ln e ln x x ax b x x-+≤+≤，通过作出图象，找出直线y ax b =+与函数ln x y x =相切时，b 最小，然后利用导数法进行求解.9.BD 【分析】根据空集的定义判断A ，根据集合元素的特征判断B ，根据所给函数解析式判断C ，将函数写成分段函数、再分析函数在各段的单调性即可判断D.【详解】对于A ：{0}∅⊆或∅{0}，故A 错误；对于B ：{}{}|2,Z ,6,4,2,0,2,4,6,8,x x n n =∈=--- ，又Z 2x ∈，令Z 2xk =∈，所以2x k =，Z k ∈，即{}{}Z 2,Z ,6,4,2,0,2,4,6,8,2x xx x k k ⎧⎫∈==∈=---⎨⎬⎩⎭，所以{}|2,Z Z 2x x x n n x⎧⎫=∈=∈⎨⎬⎩⎭，故B 正确；对于C ：因为()R 1Q0Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，所以()f x 的值域为{}0,1，故C 错误；对于D ：()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，因为2y x =在[)0,∞+上单调递增，2y x =-在(),0∞-上单调递增，且()f x 为连续函数，所以()f x 在R 上单调递增，故D 正确；10.ACD 【分析】令()32f x =求得,,A B C x x x 根据π3BC AB -=求得4ω=，根据π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得()f x 的解析式，再逐项验证BCD 选项.【详解】令()()3sin 2f x x ωϕ=+=得，π2π3x k ωϕ+=+或2π2π3x k ωϕ+=+，Z k ∈，由图可知：π2π3A x k ωϕ+=+，π2π+2π3C x k ωϕ+=+，2π2π3B x k ωϕ+=+，所以1π2π3C B BC x x ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，1π3B A AB x x ω=-=⋅，所以π12π2π33BC AB ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以4ω=，故A 选项正确，所以()()sin 4f x x ϕ=+，由π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得πsin 03ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π3k ϕ-+=+，Z k ∈，所以4π2π3k =+ϕ，Z k ∈，所以()4π4ππsin 42πsin 4sin 4333f x x k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，9π9ππ1sin 8232f ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误.当ππ,32x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5ππ4,2π333x ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为sin y t =-在5ππ,2π33t ⎛⎫∈+⎪⎝⎭为减函数，故()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位得()πsin 443g x x θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，（0θ<时向右平移，0θ>时向左平移），()g x 为偶函数得ππ4π32k θ+=+，Z k ∈，所以ππ244k θ=+，Z k ∈，则θ的最小值为π24，故D 正确.11.ACD 【分析】由条件①结合导数的运算法则可设()ln f x x C x=+，再由条件②，求得()ln f x x x x =-，选项A ，B 易判断；对C ，构造函数()()e ln 2e g x f x x x x x =-+=-+，利用导数证明()0g x ≥即可；对D ，利用导数判断极值点0x 的范围，即可得证.【详解】 ()0,x ∀∈+∞恒有()()xf x f x x '-=，2()()()1f x xf x f x x x x ''-⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，∴可设()ln f x x C x=+（其中C 为常数），又对任意的正数,m n 恒有()()()f mn nf m mf n mn =++，∴对任意的正数,m n 恒有()()()1f mn f m f n mn m n=++，∴()ln ln ln 1mn C m C n C +=++++，∴1C =-，()ln 1f x x x∴=-，即()ln f x x x x =-，对于A ，由上式可得()11f =-，故A 正确；对于B ，()ln f x x '=，设切点为()()00,x f x ，则切线斜率为0ln k x =，()()0000000e ln ln eef x f x x x x x x --∴==--，化简得00eln x x =，解0e x =，所以点()()e,e f 就是切点，所以切线方程为e y x =-，故B 错误；对于C ，令()()e ln 2e g x f x x x x x =-+=-+，0x >，则()ln 1g x x '=-，令()0g x '>，可得e x >，()0g x '<，可得0e x <<，所以函数()g x 在()0,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增，()()e e ln e 2e e 0g x g ∴≥=-+=，所以()e f x x ≥-，对()0,x ∀∈+∞恒成立，故C 正确；对于D ，设22()()ln p x f x x x x x x =+=-+，()ln 2p x x x ='+，()p x '在()0+∞，上单调递增，且12(10eep =-+<'，(1)20p '=>，所以01,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()p x 在()00,x 上单调递减，()p x 在()0,x +∞上单调递增，∴o x x =为函数()p x 的极小值点且满足00ln 20x x +=，01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()2000000003ln 2222(1)0o f x x x x x x x x x +=+=-+=->，故D 正确.【点睛】思路点睛：本题属于导数的应用问题，难度较大.首先分析条件①，由导数的运算法则得2()()()f x xf x f x x x '-⎛⎫⎪⎝'= ⎭，可设()ln f x x C x =+，再由条件②，代入运算求得()ln f x x x x =-，再根据导数知识可依次判断各个选项得解.12.【分析】根据题意，利用复数的几何意义，得到复数z 表示以(0,4)C 为圆心，以2为半径的圆C 的圆面，过原点O 作圆C 的切线，切点为,A B ，结合三角形和扇形的面积公式，即可求解.【详解】因为|4i |2z -≤，根据复数的几何意义，可得复数z 表示以(0,4)C 为圆心，以2为半径的圆C 的圆面，如图所示，过原点O 作圆C 的切线，切点为,A B ，在直角OBC △中，可得4,2OC BC ==，所以π3OCB ∠=，且OB =，所以2π3ACB ∠=，所以复数向量OZ 扫过的面积为2112π8π22(2π)22233S =⨯⨯+⋅-⨯=+.故答案为：8π3.13.【分析】将题意转化为求曲线上一点到,22m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭距离最小值，通过求导求出点()1,1符合题意，进而求出答案.=，即求曲线23ln y x x =-上一点到,22m m ⎛⎫-⎪⎝⎭距离最小值，又因为,22m m ⎛⎫-⎪⎝⎭在直线y x =-上，所以当曲线与直线y x =-平行时，距离取得最小值，令321y x x'=-=-，解得1x =或32x =-（舍去），当1x =时，点()1,1到直线0x y +==，即所求曲线23ln y x x =-上一点到,22m m ⎛⎫-⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用.关键点在于将所求式子进行化简，进而转化为距离问题，通过导数研究曲线即可.本题考查转化与化归能力、计算能力，属于中档题.14.【分析】作DH ⊥直线AM 于点H ，连接PH ，则翻折后D H AM '⊥，设DAH θ∠=，由2DA =，得2sin DH θ=，2cos AH θ=，设AP x =，则[0x ∈，1]，根据条件得到222224cos cos()4cos 4sin 3PD x x πθθθθ'=--++，然后求出线段PD '长度的最小值．【详解】作DH ⊥直线AM 于点H ，连接PH ，则翻折后D H AM '⊥，平面AD M '⊥平面ABC ，AM 为两平面的交线，D H ∴'⊥平面ABC ，∴PD '设DAH θ∠=，由2DA =，得2sin DH θ=，2cos AH θ=，设AP x =，则[0x ∈，1]．由2AC CD DA ===知ACD 为正三角形，则23πBAD ∠=，∴23BAM πθ∠=-，在PAH 中，2222cos PH AP AH AP AH PAH =+-⋅⋅∠，即22224cos cos()4cos 3PH x x πθθθ=--+，∴222224cos cos()4cos 4sin 3PD x x πθθθθ'=--++，记22cos cos()3t πθθ=-，则222()4PD x t t '=-+-，由212cos cos()sin(2),03623t πππθθθθ=-=--< ，得112t -< ，又[0x ∈，1]，∴若10t -<<，则当0x =时，2'min ()4PD =；若102t ，则当x t =时，22min 115()4444PD t '=--=，∴min 15()2PD '=．故答案为：152．15.【分析】（1）分甲乙全胜两种情况相加得结果；（2）利用分布列步骤求解并求得期望.【小问1详解】甲3局全胜的概率为1222833327P =⨯⨯=,乙3局全胜的概率为2111133327P =⨯⨯=，∴进行3局比赛决出冠亚军的概率为81127273P =+=【小问2详解】X 的可能取值为1，2，()213P X ==，()12111233333P X ==⨯+⨯=，故X 的分布列为：X12P2313故()21412333E X =⨯+⨯=．16.【分析】（1）根据切线方程，求得切点与切线斜率，建立方程，可得答案；（2）由（1）写出函数解析式，化简整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，可得答案.【小问1详解】函数()f x 的定义域为()()10,,f x a x∞'+=+.将1x =代入63y x =-，解得3y =，即()13f =，由切线方程63y x =-，则切线斜率()16f '=.故3,16a b a +=+=，解得5,2==-a b .【小问2详解】证明：由（1）知()ln 52f x x x =+-，从而()35f x x >-等价于23ln 525x x x x >-+-.设函数()ln g x x x =，则()1ln g x x ='+.所以当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0g x '<，当1,ex ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>.故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()g x 在()0,∞+上的最小值为11e eg ⎛⎫=-⎪⎝⎭.设函数()22312525555h x x x x ⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭，从而()h x 在()0,∞+上的最大值为12155eh ⎛⎫=-<- ⎪⎝⎭.故()()>g x h x ，即()35f x x>-.17.【分析】（1）根据题意证明ON ⊥面PMB ，得到ON PB ⊥，再结合线面垂直的判定定理得证；（2）根据题意建立空间直角坐标系，结合线面角的空间向量计算公式进行求解即可.【小问1详解】连接,,,AM OM MN PN ，因为,M N 依次是底面 AB 上的两个三等分点，所以四边形OMNB 是菱形，设MB ON Q ⋂=，则Q 为ON 中点，且ON MB ⊥，又因为,60OP ON PON ==︒∠，故OPN 是等边三角形，连接PQ ，则ON PQ ⊥，又因为,MB PQ ⊂面PMB ，MB PQ Q ⋂=，所以ON ⊥面PMB ，因为PB ⊂面PMB ，所以ON PB ⊥，因为,M N 依次是底面 AB 上的两个三等分点，所以//ON AM ，所以AM PB ⊥，又因为AB 是半球O 的直径，P 是半球面上一点，所以PB PA ⊥，因为,AM PA ⊂面PAM ，AM PA A ⋂=，所以PB ⊥面PAM ，又因为PM ⊂面PAM ，所以PB PM ⊥【小问2详解】因为点P 在底面圆上的射影为ON 中点，所以PQ ⊥面AMB ，因为,QM QN ⊂面AMB ，所以,PQ QM PQ QN ⊥⊥，又因为QM QN ⊥，所以以{},,QM QN QP为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，所以()()),,,2,0P MB A-，所以(),2,,2,0PM PA BA ==-=-，设平面PAB 的法向量(),,n x y z =，则2020n PA y n BA y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1x =，则()1n =- ，设直线PM 与平面PAB 所成角为π02θθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，则10sin cos ,5PM n PM n PM nθ⋅====⋅所以直线PM 与平面PAB所成角的正弦值为518.【分析】（1）设()()()001122,,,,,E x y A x y B x y ，由题意可证得点A ，B 都在直线0014x xy y -=上，直线l 过点(4,0)M ，可得01x =，即可证明点E 恒在定直线:1L x =上．（2）法一：设()31,N y ，由AN MA λ= 可得1311411x y y λλλ+⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将其带入双曲线方程可得22312430y λ--=，同理可得22312430y μ--=，由根与系数的关系可得0λμ+=．法二：由题意知，设l 的方程：(4)y k x =-，联立直线与双曲线的方程，设()31,N y ，由AN MA λ=可得1114x x λ-=-，同理2214x x μ-=-，将韦达定理代入λμ+即可得出答案.（3）设:4l x ty =+，与22:14xC y -=联立，设()()121,,1,P y Q y ，表示出123,,S S S ，将韦达定理代入化简即可得出答案.【小问1详解】证明：设()()()001122,,,,,E x y A x y B x y ，由题意得：切线EA 的方程为：1114x xy y -=，将点E 带入得：101014x x y y -=，同理可得：202014x x y y -=，易知点A ，B 都在直线0014x x y y -=上，所以直线l 的方程为：0014x xy y -=，因为直线l 过点(4,0)M ，所以01x =，所以点E 恒在定直线:1L x =上．【小问2详解】法一：设()31,N y ，因为AN MA λ=，所以()1131114,,x x y y y λλ⎧-=-⎨-=⎩整理得13114,11x y y λλλ+⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩因为点()11,A x y 在双曲线上，所以223141141y λλλ+⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭-= ⎪+⎝⎭，整理得22312430y λ--=，同理可得22312430y μ--=，所以，,λμ是关于x 的方程22312430x y --=的两个实根，所以0λμ+=．法二：由题意知，l 的斜率存在，设l 的方程：(4)y k x =-，联立()22414y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得：()()222214326440k x k x k -+-+=，()()()2222Δ324146440k k k =+-+>所以2212122232644,4141k k x x x x k k ++==--，设()31,N y ，因为AN MA λ=，所以()1114x x λ-=-，所以1114x x λ-=-，同理2214x x μ-=-，所以()()121212*********1144416x x x x x x x x x x x x λμ-++---+=+=---++222222128816032806441286416k k k k k k --+-+==+-+-.【小问3详解】设:4l x ty =+，与22:14xC y -=联立得：()2248120ty ty -++=，121222812,44ty y y y t t +=-=--，因为直线L 的方程为1x =，所以()()121,,1,P y Q y ，所以11111111113222S AP y x y ty y =⋅=-⋅=+⋅，同理222312133,22S ty y S y y =+⋅=-，所以()()2222221212121222231222121224193944414948489444t t y y t y y t y y t t t S S m S t y y t t ⋅⋅-+⋅+++---====⎡⎤⎛⎫---⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故存在14m =，使得212314S S S =．【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19.【分析】（1）代入定义计算即可得；（2）借助题目条件，借助放缩将等式转换为不等式后结合数列的函数性质即可得；（3）由题意将11ni i a =∑表示出来后，使用放缩技巧，通过放缩法结合裂项相消法求和以表示出与11ni ia =∑有关不等式即可证明.【小问1详解】n a =D 数列，2n n a =不是D 数列，理由如下：当n a =2n a n =，211n a n +=+，则22111n n a a n n +-=+-=，故是D 数列；当2n n a =时，222n na =，22212n n a ++=，则22222212232n n n n n a a ++-=-=⨯，故不是D 数列；【小问2详解】若{}n a 是D 数列，则0n a >且221n n a a d +-=，此时数列{}2n a 是以21a 为首项，d 为公差的等差数列，21故()2121n a n d a =+-，当0d <时，则总存在正整数n ，使()2110a n d +-<，与0n a >矛盾，故0d >恒成立，2210n n a a d +-=>，有()()21211n a n d n d a =+->-，1221n a nd nd a +=+>，即n a>+1n a >+1n n a a =>+则1+1n n n n n d b a a a a +=-=<+，n的增大而增大，故总存在正整数n1<，即数列{}n b 中存在小于1的项；【小问3详解】由（2）得()2121n a n d a =+-，故n a =即1n a ==2>=2d=，则112n i ia d =>++∑ )12d a=1a 随n 的增大而增大，且+n →∞时，)12+d a →∞，故对任意的0d >，总存在正整数n 使)122024a d >，即总存在正整数n ，使得112024n i ia =>∑.【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是通过放缩法结合裂项相消法求和以表示出与11n i i a =∑有关不等式.。

江西省抚州市临川第一中学2021-2022高一数学上学期第一次月考试题（含解析）一、选择题. 1.已知全集{1,2,3,4,5,6},U 集合{1,3,4}A =，集合{1,3,5}B ，则()U C A B （ ）A. {5}B. {1,3}C. {1,3,4,5}D. ∅【答案】A 【解析】 【分析】先求集合A 的补集,再与B 求交集即可. 【详解】因为{1,2,3,4,5,6},U{1,3,4}A =,{2,5,6}U C A ∴=,(){5}U C A B ∴⋂=,故选A .【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算,属基础题.2.已知函数222,1(),22,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩则1()(2)f f 的值为（ ） A.7136B. 6C.74D.119【答案】A 【解析】 【分析】 先求(2)f 16=,再求1()6f 即可.【详解】2(2)22226f =+⨯-=,21171()2()6636f ∴=-=,故选A .【点睛】满足分段函数的哪一段的范围,就用哪一段的解析式求值. 3.设集合15{|,},{|,}266k A x x k Z B x x k k Z ==+∈==-∈，则集合A 和集合B 的关系为（ ）A. A B =B. B A ⊆C. A B ⊆D. A B【答案】B 【解析】 【分析】通过对集合A 和集合B 中的元素的公共属性变形,找出相同和不同点即可得到. 【详解】131266k k x +=+=,31{|,}6k A x x k Z +∴==∈,5653(22)1666k k x k --+=-==3(22)1{|,}6k B x x k Z -+∴==∈,B A ⊆.故选B.【点睛】解题关键是对两个集合中元素的公共属性进行变形. 4.已知函数()f x 满足112()()f x xf x x=+，则(3)f =（ ） A. 3 B.299 C.239D.13【答案】B 【解析】 【分析】在已知恒等式中分别3x =和13x =得到两个方程,再联立方程组消元可解得. 【详解】在112()()f x xf x x=+中, 分别令3x =和13x =得: 112(3)3()33f f =+ ①,112()(3)333f f =+ ②,联立①②消去1()3f , 解得:29(3)9f =.故选B .【点睛】通过对已知恒等式中的变量赋值,是解题的关键. 5.已知集合{}12{|},3,42A a N NB a =∈∈=-，集合C 满足B C A ⊆⊆，则所有满足条件的集合C 的个数为（ ）A. 8B. 16C. 15D. 32【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A ,再根据集合C 满足B C A ⊆⊆,可知集合C 中一定含有元素3和4,可能含有5,6,8,14,因此所有满足条件的集合C 的个数为4216=. 【详解】12,2a N N a ∈∈-, 21a ∴-= 或22a -=或23a -=或24a -=或26a -=或212a -=,即3a =或4a =或5a =或6a =或8a =或14a =,{3,4,5,6,8,14}A ∴=,又因为{3,4}B =且集合C 满足B C A ⊆⊆,所以集合C 中一定含有元素3和4,可能含有5,6,8,14, 因此所有满足条件的集合C 的个数为4216=. 故选B .【点睛】本题考查了集合的包含关系.属基础题. 6.已知函数()f x 的定义域为[2,3]-，则函数2()g x = ）A. (,1)(2,)-∞-+∞ B. [6,1)(2,3]--⋃C. [1)-⋃D. [2,1)(2,3]--⋃【答案】C 【解析】 【分析】利用复合函数的定义域和偶次根式和分母有意义的条件列不等式组可解得. 【详解】因为函数()f x 的定义域为[2,3]-, 所以要使2()g x =有意义,只需2223320x x x ⎧-≤-≤⎨-->⎩,解得:1x ≤<-或2x <≤所以函数()g x 的定义域为[1)-⋃. 故选C.【点睛】本题考查了复合函数的定义域的求法.属中档题. 7.已知函数()f x =，则(2)f x -的单调递增区间为（ ）A. 1(,)2+∞ B. 1(,2)2C. 1(1,)2-D. 3(,3)2【答案】D 【解析】 【分析】由()y f x =的解析式求出(2)y f x =-的解析式,再通过解析式求定义域,然后在定义域范围内求出分母中二次函数的单调递减区间即可. 【详解】因为()f x =,所以(2)f x -=由230x x -+>得03x <<,所以(2)y f x =-的定义域为(0,3).又22393()24y x x x =-+=--+在3(0,)2上递增,在3(,3)2上递减, 所以(2)y f x =-的单调递增区间为3(,3)2.故选D .【点睛】本题容易忽视函数的定义域,只能在定义域范围内求函数的单调区间.8.已知函数()f x 与()g x 分别是定义域上的奇函数与偶函数，且21()()21f xg x x x +=--+，则(2)f =（ ） A. 23-B.73C. -3D.113【答案】A 【解析】 【分析】利用两个函数的奇偶性和已知恒等式构造另一个等式,再联立消元,解得()f x 即可解得(2)f . 【详解】因为21()()21f xg x x x +=--+ ①, 用x - 替换恒等式中的x 得:2211()()()2211f xg x x x x x -+-=---=---+-+ 又因为函数()f x 与()g x 分别是定义域上的奇函数与偶函数, 所以()()f x f x -=- ,()()g x g x -= ,所以21()()21f xg x x x -+=---+ ②, 联立①②消去,()g x ,解得11()2222f x x x =-++-+ , 所以11(2)222222f =-+⨯+-⨯+ =23-.故选A .【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性构造等式求函数解析式. 9.已知函数22+3()(21)mm f x n x -+=-，其中m N ∈，若函数()f x 为幂函数且其在(0,)+∞上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则m n +=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的概念和性质列式可解得.【详解】因为函数()f x 为幂函数,所以211n -=,所以1n =, 又因为函数()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数,所以2230m m -++>, 所以13m -<<,因为m N ∈,所以0,1,2m =.当0,2m = 时,函数()f x 为奇函数,不合题意,舍去. 当1m = 时.4()f x x =为偶函数,符合题意. 所以112m n +=+=. 故选A .【点睛】本题考查了幂函数的概念和性质.属基础题.10.已知关于x 的方程22(28)160x m x m --+-=的两个实根为12,x x 满足123,2x x <<则实数m 的取值范围为（ ） A. 4m <B. 142m -<< C.742m << D.1722m -<< 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次方程实根分布列式可解得.【详解】设22()(28)16f x x m x m =--+-,根据二次方程实根分布可列式:3()02f <,即2233()(28)16022m m --⨯+-<, 即241270m m --<,解得:1722m -<<. 故选D.【点睛】本题考查了二次方程实根的分布.属基础题.11.已知函数25(2),1(),2(72)1,1a x x f x x a x x ⎧-+≥⎪=⎨⎪-+-+<⎩对任意12,x x R ∈且12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围为（ ）A. 522a <≤B.13562a ≤≤ C. 2a <D.136a < 【答案】B 【解析】 【分析】先根据对任意12,x x R ∈且12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-得到函数()f x 单调递增,再根据分段函数的两段都递增且1x <时的最大值小于等于1x ≥时的最小值列不等式组解得即可. 【详解】因为对任意12,x x R ∈且12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-,所以()f x 为R 上的单调递增函数,所以2072125172122a a a a ⎧⎪->⎪-⎪-≥⎨-⎪⎪-+-+≤-+⎪⎩,解得:13562a ≤≤. 故选B .【点睛】分段函数的单调性除了要各段都单调外,还要考虑各段的最值关系. 12.设函数2()(),[,](),1xf x x R M a b a b x=-∈=<+集合{|(),},N y y f x x M ==∈则使得MN 成立的实数对(,)a b 有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数多个【答案】B 【解析】 【分析】先得到函数()f x 为R 上为奇函数,在R 上为递减函数,再根据定义域和值域都是[,]()a b a b <,列方程组无解可得. 【详解】2()1||xf x x =-+, 22()()1||1||x xf x f x x x -∴-=-==-+-+,()f x ∴是R 上的奇函数.当0x ≥时,22(1)2()11x x f x x x +-=-=-++221x=-++是单调递减函数, 所以()f x 是R 上的单调递减函数,[,]x a b ∈ ,∴ 值域是[(),()]f a f b ,即(),()a f b b f a == ,21||b a b ∴=-+ ,21||a b a =-+ ,整理得：||||a b b a a b -=-.当0ab >时，得a b = ,这与已知a b < 相矛盾； 当0ab <时，即0a b <<时，22,11b aa b b a=-=-+-，解得1,1a b =-= 即使得M N 成立的实数对(,)a b 只有一个.故选B .【点睛】解题关键是利用奇偶性,单调性求函数值域,再与已知值域相等,从而可列方程组来解.二、填空题.13.已知映射:(,)(2,2)f x y x y x y →+-，则在映射f 的作用下元素(3,2)-的原像为_______. 【答案】18(,)55- 【解析】 【分析】本题是已知像,求原像.而(,)x y 是原像,(2,2)x y x y +-是像, 所以由(2,2)(3,2)x y x y +-=- ,列方程组解得,x y 的值可得原像.【详解】依题意:由2322x y x y +=⎧⎨-=-⎩ ,解得:1585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即在映射f 的作用下元素(3,2)-的原像为18(,)55-. 故答案为:18(,)55-.【点睛】本题考查了映射的概念,属基础题..14.已知函数()f x 是定义域为R ，且函数(1)f x +的图像关于1x =-对称且在(,1)-∞-上是单调递增的，则不等式1(21)()3f x f ->的解集为_________. 【答案】12(,)33【解析】 【分析】根据已知条件和平移变换可得函数()f x 的奇偶性和单调性,再根据奇偶性和单调性解函数不等式可得.【详解】因为(1)f x +的图像关于1x =-对称且在(,1)-∞-上是单调递增的,所以()f x 的图象关于0x =(即y 轴)对称, 且在(,0)-∞上是单调递增的,所以()f x 为R 上的偶函数,在(0,)+∞上是单调递减的.所以(21)(|21|)f x f x -=-,所以原不等式等价于1(|21|)()3f x f ->,所以1|21|3x -<,解得:1233x <<. 故答案为:12(,)33.【点睛】本题考查了平移变换,函数的奇偶性和单调性.属中档题.15.已知函数2()410f x x x =-+（[,]x m n ∈）的值域为[3,3]m n ，则2____.m n += 【答案】9 【解析】 【分析】根据函数()f x 在R 上的最小值为6,可得36m ≥ ,从而可得函数()f x 在[,]m n 上的单调性,再利用单调性求得函数()f x 在[,]m n 上的值域.从而可解得,m n 的值. 【详解】22()410(2)6f x x x x =-+=-+6≥,36m ≥,2m ∴≥ ,又函数()f x 的对称轴为2x =, 所以函数()f x 在[,]m n 上单调递增. 所以()3,()3f m m f n n ==,即24103m m m -+= ,24103n n n -+= , 解得:2m = 或5m = ;2n = 或5n = , 又m n < ,所以2,5m n == , 所以2459m n +=+= ,故答案为:9.【点睛】关键是利用函数()f x 在[,]m n 上的值域是函数()f x 在R 上的值域的子集可得m 的范围,这样避免了对m 进行分类讨论.16.设函数222,(),20x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩不等式(3)3)f x f x -≥的解集为_________. 【答案】3(,]2-∞ 【解析】 【分析】按照①03x ≤≤ ;②3x > ;③0x < 分三种情况讨论,代入解析式可解得.【详解】当03x ≤≤时,不等式(3)3)3f x f x -≥可化为:222(3)3)3x x -≥⨯ , 即69x ≤,解得:302x ≤≤.当3x >时,(3)0f x -<,3)03f x >,原不等式无解;当0x <时,(3)0,3()03f x f x -><,原不等式恒成立; 故原不等式的解集为:3(,]2-∞ .【点睛】解题关键是讨论3x - 和x 的符号. 三、解答题.17.已知集合2{|3100}A x x x =-++≥，集合23{|0}1x B x x -=≥+，则 （1）求AB（2）求()R C B A【答案】（1）3[2,1)[,5]2A B ⋂=--⋃;（2）()[2,5]R C B A ⋃=- 【解析】 【分析】化简集合,A B 后,利用集合的交并补进行运算可得.【详解】(1)2{|3100}A x x x =-++≥{|25}x x =-≤≤;{|1B x x =<-或3}2x ≥,3[2,1)[,5]2A B ⋂=--⋃.(2)3{|1}2R C B x x =-≤<,所以()[2,5]R C B A ⋃=- .【点睛】本题考查了集合的交并补运算,属基础题. 18.已知函数12)32f x x=++，函数()12g x x =-（1）求函数()f x 的解析式，并写出其定义域. （2）求函数()g x 的值域. 【答案】(1) 221()3(2)2(2)f x x x =-++-，其定义域为(2,)+∞；(2) 41(,]8-∞ 【解析】【分析】 (1)换元,2,2t t =>;(2)换元0t t =≥,化为关于t 的二次函数求值域.详解】解：（1）令2,2t t =>，则2(2)x t =-221()3(2)2(2)f t t t ∴=-++- 221()3(2)2(2)f x x x ∴=-++-，其定义域为(2,)+∞（2）令0t t =≥，则22x t =-212(2)y t t ∴=--+225,0t t t =-++≥当14t =时，y 的最大值为418，所以原函数的值域为41(,]8-∞ 【点睛】利用换元法时,一定要注意新元的取值范围.19.已知集合{|13}A x x =-<<，集合22{|(1)620,}B x x a x a a a R =++--≤∈，则（1）若1a =时，求()()R R C A C B ⋃（2）若,A B B ⋂=求实数a 的取值范围。

江西省临川市第一中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．200天B ．210天C ．220天D ．230天7．已知函数()20.5()log 3f x x ax a =-+在(2,)+¥上单调递减，则实数a 的取值范围（ ）A ．(,4]-¥B ．[4,)+¥C ．[4,4]-D ．(4,4]-8．已知函数()f x 是定义在R 上奇函数，当0x >时，()x f x x p =+.若222(3)()0f a b f a ab l éù++-³ëû对任意的0b a >>恒成立，则实数l 的取值范围是（ ）A ．[)6+¥，B ．(]4-¥，C ．(]06，D ．(]6-¥，()y f x =的定义域为R ，有()(2)f x f x =-，又()(2)f x f x -=--，即()(2)f x f x =---，因此有(2)(2)x x f f =----，即(4)()f x f x +=-，于是有(8)(4)()f x f x f x +=-+=，从而得函数()f x 的周期8T =，对于A ，()()()()()2022252866201f f f f f =´+==-=-=-，A 不正确；对于B ，当45x ££时，041x £-£，有0(4)1f x £-£，则()(4)[1,0]f x f x =--Î-，当56x ££时，423x -£-£-，0(2)41x £-+£，有0[(2)4]1f x £-+£，()(2)[(2)4][1,0]f x f x f x =-=--+Î-，当[]4,6x Î时，()f x 的取值范围为[]1,0-，B 正确；对于C ，(3)[(3)4](1)[2(1)](3)f x f x f x f x f x +=-++=--=---=--+，函数(3)y f x =+为奇函数，C 正确；对于D ，在同一坐标平面内作出函数()y f x =、lg(1)y x =+的部分图象，如图：方程()lg(1)f x x =+的实根，即是函数()y f x =与lg(1)y x =+的图象交点的横坐标，观察图象知，函数()y f x =与lg(1)y x =+的图象有5个交点，因此方程()lg(1)f x x =+仅有5个不同实数解，D 正确.。

江西省临川第一中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题一、单选题1．下列各数中最小的数是（ ）A ．2024B ．12024C ．2024-D ．12024- 2．下列各点中，在函数2y x =-的图象上的是（ ）A ．()2,2B ．()0,2C ．()2,0-D ．()2,0 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）A ．20B ．21C ．23D ．265．如图，AB 是O e 的弦，OC AB ⊥交O e 于点C ，点D 是O e 上一点，连接,BD CD .若28D ∠=o ，则OAB ∠的度数为（ ）A ．28oB ．34oC ．56oD ．62o6．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 是BC 上一点，点F 是CD 延长线上一点，连接,AE AF ，AM 平分EAF ∠交CD 于点M .若1BE DF ==，则DM 的长度为（ ）A ．2 BC D ．125二、填空题7．若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则c =.8．不等式240x ->的解集是.9．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球个.10．半径为4，圆心角为90o 的扇形的面积为（结果保留π）.11．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象过点()()()()0,,1,,2,,3,A m B m C n D m --，其中,m n 为常数，则m n的值为.12．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l 的表达式为y x =，点1A 的坐标为)，以O 为圆心，1OA 为半径画弧，交直线l 于点1B ，过点1B 作直线l 的垂线交x 轴于点2A ；以O 为圆心，2OA 为半径画弧，交直线l 于点2B ，过点2B 作直线l 的垂线交x 轴于点3A ；以O 为圆心，3OA 为半径画弧，交直线l 于点3B ，过点3B 作直线l 的垂线交x 轴于点4A ；……按照这样的规律进行下去，点2024A 的横坐标是.三、解答题13．（1）计算：011233-⨯- （2）先化简，再求值：()()()2233m m m m m --++-，其中52m =. 14．如图，已知矩形ABCD .(1)尺规作图：作对角线AC 的垂直平分线，交CD 于点E ，交AB 于点F ；（不写作法，保留作图痕迹）(2)连接AE CF ､.求证：四边形AFCE 是菱形.15．如图，一次函数()0y ax b a =+≠的图象与反比例函数()0k y k x=≠的图象交于点()()1,4,1A B n -､.(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)利用图象，直接写出不等式k ax b x+<的解集； 16．如图，在ABC V 中，//,DE BC EDF C ∠=∠.(1)求证：BDF A ∠=∠；(2)若45,A DF ∠=o 平分BDE ∠，请直接写出ABC V 的形状.17．小明的书桌上有一个L 型台灯，灯柱AB 高40cm ，他发现当灯带BC 与水平线BM 夹角为9o 时（图1），灯带的直射宽DE BD ⊥BC ,CE ⊥BC 为35cm ，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为30o 时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离.（结果保留1位小数）()sin90.16,cos90.99,tan90.16≈≈≈o o o18．如图，已知AB 是O e 的直径，AC 是O e 的弦，点D 在O e 外，延长,DC AB 相交于点E ，过点D 作DF AB ⊥于点F ，交AC 于点,G DG DC =.(1)求证：DE 是O e 的切线；(2)若O e 的半径为6，点F 为线段OA 的中点，8CE =，求DF 的长.19．某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如图1）.并绘制出不完整的条形统计图（如图2）.图1学生体质健康统计表图2学生体质健康条形统计图(1)图1中a=__________，b=__________，c=__________；(2)请补全图2的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；(3)为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会.请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率.20．推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共1500kg进行销售，其中A种水果收购单价10元/kg，B种水果收购单价15元/kg.(1)求A，B两种水果各购进多少千克；(2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价.21．某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C 站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变.某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示.列车运行时刻表请根据表格中的信息，解答下列问题：(1)D 1001次列车从A 站到B 站行驶了__________分钟，从B 站到C 站行驶了__________分钟；(2)记D 1001次列车的行驶速度为1v ，离A 站的路程为1;1002d G 次列车的行驶速度为2v ，离A 站的路程为2d .①12v v =__________；②从上午8：00开始计时，时长记为t 分钟（如：上午9：15，则75t =），已知1240v =千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G 1002次列车的行驶过程中()25150t ≤≤，若1260d d -=，求t 的值.22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()1,0,A B -两点，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴是直线52x =.(1)求拋物线的表达式；(2)点P 是直线BC 下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P 作PD //x 轴交抛物线于点D ，作PE BC ⊥于点E ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标； (3)将抛物线沿射线BC 在PD 取得最大值的条件下，点F 为点P 平移后的对应点，连接AF 交y 轴于点M ，点N 为平移后的抛物线上一点，若45NMF ABC ∠-∠=o ，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标.23．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC 和ADE 中，3,4,90AB AD BC DE ABC ADE ∠∠======o .(1)【初步感知】如图1，连接,BD CE ，在纸片ADE 绕点A 旋转过程中，试探究BD CE的值. (2)【深入探究】如图2，在纸片ADE 绕点A 旋转过程中，当点D 恰好落在ABC V 的中线BM 的延长线上时，延长ED 交AC 于点F ，求CF 的长.(3)【拓展延伸】在纸片ADE 绕点A 旋转过程中，试探究,,C D E 三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三角形CDE 的面积；若不能，请说明理由.。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）A. y = x^2B. y = 2^xC. y = log2xD. y = √x2. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f'(1)的值为（）A. -2B. -1C. 0D. 13. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 25，S9 = 81，则公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则sinA 的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 5/4D. 3/45. 已知复数z = 1 + 2i，则|z|的值为（）A. √5C. 1D. √26. 下列命题中，正确的是（）A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则loga > logbC. 若a > b，则a/b > b/aD. 若a > b，则a - b > 07. 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，若a1 = 1，q = 2，则第5项a5的值为（）A. 32B. 16C. 8D. 48. 下列函数中，在其定义域内具有极小值的是（）A. y = x^3B. y = -x^3C. y = x^2D. y = -x^29. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=5，b=7，c=8，则cosB 的值为（）A. 5/7B. 7/5C. 5/810. 已知复数z = 3 - 4i，则z的共轭复数是（）A. 3 + 4iB. 3 - 4iC. -3 + 4iD. -3 - 4i11. 下列函数中，在其定义域内连续的是（）A. y = |x|B. y = x^2C. y = 1/xD. y = √x12. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 55，S15 = 120，则首项a1的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）13. 函数f(x) = (x - 1)^2 - 3的对称轴方程为________。