【数学】云南省峨山彝族自治县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试(理)

峨山一中2019-2020学年下学期期中考试高二数学（文科）试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.若(0,2)A =，[1,2)B =，则A B =（ ）.A. (0,1)B. (0,2)C. [1,2)D. [1,2)2.函数lg(282)y x =--的定义域是（ ）. A. [4,)+∞B. (6,)+∞C. [4,6)D. [6,)+∞3.若函数f （x ）=sin （ωx+θ）的图象（部分）如图所示，则ω和θ的取值是( )A. π13ωθ==， B. π13ωθ==-，C. 1π26ωθ==，D. 1π26ωθ==-，4.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A. 14B.13 C.12D. 235.已知数列{}n a 满足：11a =，*123()n n a a n N +=+∈，则10a =（ ）.A. 1123-B. 1023-C. 1223-D. 1323-6.设命题:p n N ∃∈，22n n >，则p ⌝为（ ）. A. n N ∀∈，22n n > B. n N ∃∈，22n n > C. n N ∀∈，22n n ≤D. n N ∃∈，22n n ≤7.已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）.A. ˆ0.4 2.3yx =+ B. ˆ29.5yx =-+ C. ˆ2 2.4yx =- D. ˆ0.4 4.4yx =-+ 8.已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为（ ）. A. 24y x =-B. 24y x =C. 24x y =D. 24x y =-9.已知点F ，A 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足0FB AB ⋅=，则双曲线的离心率为( )A.B.C.D.10.若直线2y x =+与椭圆2213x y m +=有两个公共点，则m 的取值范围是（ ）.A. 1mB. 1m 且3m ≠C. 3m >D. 0m >且3m ≠11.函数2cos y x x =的导数为（ ） A. 22cos sin y x x x x '=- B. 22cos sin y x x x x '=+ C. 2cos 2sin y x x x x '=- D. 2cos sin y x x x x '=-12.设直线12y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值为（ ）. A. ln21-B. ln 22-C. 2ln 21-D. 2ln 22-第Ⅱ卷二、填空题：共4小题，每小题5分.13.已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N=____________．14.如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则AD DB⋅=________.15.若x，y满足约束条件10,{30,30,x yx yx-+≥+-≥-≤则z=x−2y的最小值为__________.16.已知命题p：|x2－x|≠6，q：x∈N，且p且q与¬q都是假命题，则x的值为________.三、解答题：共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n x的首项13x=，通项()2*,,nnx p nq n N p q=+∈为常数，且145,,x x x成等差数列，求：（Ⅰ）p ,q的值；(Ⅱ) 数列{}n x前n项和n S的公式.18.的内角的对边分别为,,a b c，已知2sin()8sin2BA C+=．（1）求cos B；（2）若6a c+=，ABC∆面积为2，求b．19.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点.（1）证明：//MN 平面1C DE ； （2）求点C 到平面1C DE 的距离.20.如图，直线:l y x b =+与抛物线2:4C x y =相切于点A .（1）求实数b 的值；（2）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.21.若函数3()4=-+f x ax bx ,当2x =时,函数()f x 有极值为43-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若()f x k =有3个解,求实数k 的取值范围.22.户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行问卷调查，得到了如下列联表：已知在这50人中随机抽取1人，抽到喜欢户外运动的员工的概率是5.（1）请将上面的列联表补充完整；（2）求该公司男、女员工各多少人；（3）在犯错误的概率不超过0.005的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由.下面的临界值表仅供参考：（参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++）答案与解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.若A =，[1,2)B =，则A B =（ ）.A. (0,1)B. (0,2)C.D. [1,2)【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集定义求解．【详解】∵A =，[1,2)B =，∴[1,2)A B =.故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题．2.函数2)y =的定义域是（ ）. A. [4,)+∞ B. (6,)+∞C. [4,6)D. [6,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出方程组28020x -≥⎧⎪>，解方程组即可.【详解】由题知：28046620x x x x -≥⎧≥⎧⎪⇒⇒>⎨>>⎩. 故函数定义域为：(6,)+∞. 故选：B【点睛】本题主要考查对数函数定义域，同时考查了根式的定义域，属于简单题. 3.若函数f （x ）=sin （ωx+θ）的图象（部分）如图所示，则ω和θ的取值是( )A.π13ωθ==， B.π13ωθ==-，C.1π26ωθ==， D.1π26ωθ==-，【答案】C 【解析】【分析】由函数图象可得：T=2πω=4（2π3+π3），解得12ω=，由于点（–π3，0）在函数图象上，解得π6θ=即可求解【详解】由函数图象可得：T=2πω=4（2π3+π3），解得12ω=，由于点（–π3，0）在函数图象上，且为五点作图法的第一个点，可得1π23θ⎛⎫⨯-+⎪⎝⎭=0+2kπ，k∈Z，解得θ=π6+2kπ，k∈Z．当k=0时，可得π6θ=，故选C．【点睛】本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象的性质，熟记性质准确计算是关键，是基础题4.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE 内部的概率等于A. 14B.13C. 12D.23【答案】C 【解析】【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．【详解】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．故选C ．【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型．5.已知数列{}n a 满足：11a =，*123()n n a a n N +=+∈，则10a =（ ）.A. 1123-B. 1023-C. 1223-D. 1323-【答案】A 【解析】 【分析】根据所给递推公式，构造等比数列{}3n a +，即可由等比数列通项公式求得数列{}n a 的通项公式，进而求得10a .【详解】数列{}n a 满足*123()n n a a n N +=+∈，则1326n n a a ++=+，即()1323n n a a ++=+，则1323n n a a ++=+，而11a =， 所以{}3n a +是首项为134a +=，公比为2的等比数列，则113422n n n a -++=⨯=， 所以123n n a +=-， 因而111023a =-，故选：A.【点睛】本题考查了构造数列法求通项公式的应用，等比数列通项公式的求法，属于中档题. 6.设命题:p n N ∃∈，22n n >，则p ⌝为（ ）. A. n N ∀∈，22n n >B. n N ∃∈，22n n >C. n N ∀∈，22n n ≤D. n N ∃∈，22n n ≤【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定，即可得解. 【详解】命题:p n N ∃∈，22n n >，由存在量词命题的否定可知p ⌝为n N ∀∈，22n n ≤， 故选：C.【点睛】本题考查了含有量词命题的否定，注意各部分变化的形式，属于基础题.7.已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）.A. ˆ0.4 2.3yx =+ B. ˆ29.5yx =-+ C. ˆ2 2.4yx =- D. ˆ0.4 4.4yx =-+ 【答案】B 【解析】 【分析】根据变量x 与y 负相关，可知线性回归方程中一次项系数为负，结合线性回归方程经过样本平均数中心点，即可检验得解.【详解】由题意，变量x 与y 负相关，可知线性回归方程中一次项系数为负，可排除A 、C ； 又因为线性回归方程经过样本平均数中心点，将3x =， 3.5y =分别代入B 、D ， 可知B 正确，D 错误， 故选：B.【点睛】本题考查了线性回归方程的性质及简单应用，属于基础题.8.已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为（ ）. A. 24y x =- B. 24y x = C. 24x y = D. 24x y =-【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线标准方程，可得焦点坐标，结合直线斜率即可知直线方程；联立直线方程与抛物线方程，结合线段AB 的中点纵坐标及韦达定理即可求得p 的值，进而得抛物线的标准方程. 【详解】抛物线22(0)y px p =>，则焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭， 过焦点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭且斜率为1的直线方程为2p y x =-，即2p x y =+，所以222p x y y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，化简可得2220y py p --=，直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的中点纵坐标为2， 则122y y p +=，而1222y y +=， 解得2p =，所以24y x =，故选：B.【点睛】本题考查了直线与抛物线位置关系的简单应用，根据中点弦的坐标求抛物线标准方程，属于基础题.9.已知点F ，A 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足0FB AB ⋅=，则双曲线的离心率为( )A.B.C.12D.12【答案】D 【解析】 【分析】根据题意判断出FB ⊥AB ，利用勾股定理求得a 和c 关系，整理成关于e 的方程求得双曲线的离心率． 【详解】∵FB •AB =0， ∴FB ⊥AB∴|FB |2+|AB |2＝|F A |2，即c 2+b 2+a 2+b 2＝（a +c ）2，整理得c 2﹣a 2﹣ac ＝0，等式除以a 2得e 2﹣e ﹣1＝0求得e =∴e =故选D ．【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题过程中关键是利用了勾股定理找到了a 和c 的关系，属于基础题.10.若直线2y x =+与椭圆2213x y m +=有两个公共点，则m 的取值范围是（ ）.A. 1mB. 1m 且3m ≠C. 3m >D. 0m >且3m ≠【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与椭圆有两个交点，联立方程后可知>0∆，且椭圆方程中满足0m >且3m ≠，即可得m 的取值范围.【详解】椭圆2213x y m +=，则0m >且3m ≠，而直线2y x =+与椭圆2213x y m +=有两个公共点，则22213y x x y m =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简可得()2340m x mx m +++=，所以()()2443m m m ∆=-+()1210m m =->，可得1m 或0m <， 又因为0m >且3m ≠， 可得1m 且3m ≠， 故选：B.【点睛】本题考查了椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系的简单应用，由直线与椭圆位置关系求参数的取值范围，属于基础题.11.函数2cos y x x =的导数为（ ） A. 22cos sin y x x x x '=- B. 22cos sin y x x x x '=+ C. 2cos 2sin y x x x x '=- D. 2cos sin y x x x x '=-【答案】A 【解析】分析：由()22cos y x x xsinx =+-'即可的解.详解：函数2cos y x x =， 求导得：()222cos 2cos sin y x x x sinx x x x x =-'=+-.故选A.点睛：本题主要考查了两函数乘积的求导运算，属于基础题. 12.设直线12y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值为（ ）. A. ln21- B. ln 22-C. 2ln 21-D. 2ln 22-【答案】A 【解析】 【分析】先求得曲线的导函数，由导函数几何意义及直线方程可求得切点坐标，再代入直线方程即可求得b 的值. 【详解】直线12y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线， 则1y x'=， 根据导数的几何意义可知112k y x ='==， 解得2x =，代入曲线ln y x =可得ln2y =， 因而切点坐标为()2,ln2， 将切点坐标代入直线方程可得1ln 222b =⨯+， 解得ln 21b =-， 故选：A.【点睛】本题考查了导数的几何意义及简单应用，属于基础题.第Ⅱ卷二、填空题：共4小题，每小题5分.13.已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =____________． 【答案】6 【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点'F ，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 14.如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则AD DB ⋅=________.【答案】3-【解析】【分析】根据正六边形及三角形性质可分别求得,AD DB及ADB∠的大小，进而由平面向量数量积定义即可求得AD DB⋅.【详解】正六边形ABCDEF中作CH DB⊥，如下图：则30CDB CBD∠=∠=，所以32DH=，则3DB=由正六边形性质可知2AD=，30ADB∠=，而AD与DB的夹角为ADB∠的补角，所以由平面向量数量积定义可知()cos18030AD DB AD DB⋅=⋅-32332⎛⎫=-=-⎪⎪⎝⎭，故答案为：3-.【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的简单应用，注意向量的夹角与三角形关系，属于基础题. 15.若x，y满足约束条件10,{30,30,x yx yx-+≥+-≥-≤则z=x−2y的最小值为__________.【答案】5-【解析】【详解】试题分析：由10{30x yx y-+=+-=得12xy=⎧⎨=⎩，记为点()1,2A；由10{30x yx-+=-=得34xy=⎧⎨=⎩，记为点()3,4Β；由30{30xx y-=+-=得3xy=⎧⎨=⎩，记为点()3,0C.分别将A，B，C的坐标代入2z x y=-，得1223Αz=-⨯=-，3245Βz=-⨯=-，3203Cz=-⨯=，所以2z x y=-的最小值为5-．【考点】简单的线性规划【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：（1）在平面直角坐标系内作出可行域；（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．16.已知命题p：|x2－x|≠6，q：x∈N，且p且q与¬q都是假命题，则x的值为________.【答案】3【解析】【分析】由p且q与q⌝都是假命题，知p假q真,即26x xx N⎧-=⎪⎨∈⎪⎩.【详解】由p且q与q⌝都是假命题，知p假q真，得26x xx N⎧-=⎪⎨∈⎪⎩,解得3x=.【点睛】本题解题的关键在于判断p q，命题的真假.三、解答题：共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n x 的首项13x =，通项()2*,,nn x p nq n N p q =+∈为常数，且145,,x x x 成等差数列，求：（Ⅰ）p ,q 的值；(Ⅱ) 数列{}n x 前n 项和n S 的公式. 【答案】（Ⅰ）p =1,q =1 (Ⅱ)1(1)22.2n n n ++-+【解析】 【分析】本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力. 【详解】（Ⅰ）由23p q += 又4424x p q =+，5525x p q =+且1542x x x +=，得553+2528p q p q +=+解得p =1,q =1(Ⅱ)解：()()()2112221222.2nn n n n S n ++=+++++++=-+18.的内角的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin2B AC +=． （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）1517；（2）2． 【解析】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用降幂公式化简28sin2B ，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；（2）由（1）可知8sin 17B =，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b .试题解析：（1）()2sin 8sin2BA C +=，∴()sin 41cosB B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =；（2）由（1）可知8sin 17B =，∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴172ac =，∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=， ∴2b =．19.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点.（1）证明：//MN 平面1C DE ； （2）求点C 到平面1C DE 的距离. 【答案】（1）见解析（2417【解析】 【分析】（1）连结1B C ，ME ，利用三角形中位线的性质和线面平行的判定定理即可得证；（2）过C 作1C E 的垂线，垂足为H ，利用线面垂直的判定定理和性质定理可证CH ⊥平面1C DE ，即CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离，在1CC E 中利用三角形面积相等求出CH 即可. 【详解】（1）证明：如图所示：连结1B C ，ME ，因为M ，E 分别为1BB ，BC 的中点， 所以1//ME B C ，且112ME B C =，又因为N 为1A D 的中点，所以112ND A D =. 由题设知11//A B DC ，可得11//BC A D ，故//ME ND ，即四边形MNDE 为平行四边形， 所以//MN ED ，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE ，所以//MN 平面1C DE .（2）过C作1C E 的垂线，垂足为H ，由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥， 所以DE ⊥平面1C CE ，故DE CH ⊥，因为1CH C E ⊥，1C EDE E =，所以CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离，由已知可得1CE =，14C C =，所以2222111417C E CE CC =+=+=， 故114171717CE CC CH C E ⋅===，所以点C 到平面1C DE 的距离为41717. 【点睛】本题考查线面平行的判定定理和利用线面垂直的判定定理和性质定理求点到面的距离；考查逻辑推理能力和空间想象能力；熟练掌握线面垂直的判定与性质是求解本题的关键；属于中档题. 20.如图，直线:l y x b =+与抛物线2:4C x y =相切于点A .（1）求实数b 的值；（2）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程. 【答案】（1）1b =-；（2）22(2)(1)4x y -+-=. 【解析】 【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，根据相切可知联立化简后的方程0∆=，即可求得b 的值；（2）将（1）中所得b 的值代入联立后的方程，可求得切点坐标，由与抛物线C 的准线相切可得圆的半径，进而可得圆的标准方程.【详解】（1）直线:l y x b =+与抛物线2:4C x y =相切于点A . 则24y x bx y=+⎧⎨=⎩，得2440x x b --=，（*） 因直线l 与抛物线C 相切，所以2(4)4(4)0b ∆=--⨯-=， 解得1b =-.（2）由（1）可知1b =-，故方程（*）即为2440x x -+=， 解得2x =，代入24x y =，得1y =. 故点(2,1)A ，因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线1y =-的距离， 即|1(1)|2r =--=，所以圆A 的方程为22(2)(1)4x y -+-=.【点睛】本题考查由直线与抛物线相切求参数，抛物线定义的简单应用及圆的标准方程求法，属于基础题. 21.若函数3()4=-+f x ax bx ,当2x =时,函数()f x 有极值为43-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若()f x k =有3个解,求实数k 的取值范围. 【答案】（1）31()443f x x x =-+；（2）42833k -<<. 【解析】 【分析】 （1）求出函数导数，利用函数在某个点取得极值的条件，得到方程组，求得,a b 的值，从而得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性以及极值，通过()f x k =有三个不等的实数解，求得k 的取值范围.【详解】（1）因为()34f x ax bx =-+，所以2'()3f x ax b =-，由2x =时，函数()f x 有极值43-，得()()20423f f ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩，即12048243a b a b -=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以()31443f x x x =-+； （2）由（1）知()31443f x x x =-+，所以2'()4(2)(2)f x x x x =-=+-，所以函数()f x 在(,2)-∞-上是增函数，在(2,2)-上是减函数，在(2,)+∞上是增函数，当2x =-时，()f x 有极大值283； 当2x =时，()f x 有极小值43-，因为关于x 的方程()f x k =有三个不等实根， 所以函数()y f x =的图象与直线y k =有三个交点， 则k 的取值范围是42833k -<<. 【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有函数在极值点处的导数为0，利用条件求函数解析式，利用导数研究函数的单调性与极值，将方程根的个数转化为图象交点的个数来解决，属于中档题目.22.户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行问卷调查，得到了如下列联表：已知在这50人中随机抽取1人，抽到喜欢户外运动的员工的概率是35. （1）请将上面的列联表补充完整； （2）求该公司男、女员工各多少人；（3）在犯错误的概率不超过0.005的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由. 下面的临界值表仅供参考：（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++） 【答案】（1）填表见解析；（2）男员工人数为325人，女员工有325人（3）在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢户外运动与性别有关，详见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得喜欢户外运动的男女员工共30人，其中男员工20人，从而补全列联表.（2）根据公司男员工人数所占的比例即可求解.（3）根据列联表计算出观测值，利用独立性检验的基本思想即可判断.【详解】解：（1）因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是35， 所以喜欢户外运动的男女员工共30人，其中男员工20人，列联表补充如下：（2）该公司男员工人数为2565032550⨯=（人），则女员工有325人. （3）2K 的观测值250(2015105)8.3337.87930202525k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢户外运动与性别有关.【点睛】本题考查了独立性检验的基本思想、补全列联表，考查了考生的数据处理能力、分析能力，属于基础题.。

云南省峨山彝族自治县第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4U =，则集合U 的子集共有（ ）A ．15个B ．16个C ．31个D ．32个 2．复数21i-等于（ ） A ．１+ｉB ．１－ｉC ．－１+ｉD ．－１－ｉ 3．已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则()28cos a a +的值为（ ）A ．12-B ．C ．12D ．24．设0.32=a ，20.3b =，2log 5c =，则,,a b c 的关系是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a << 5．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为A ．16B ．13C ．23D ．456．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为（ ）A ．105B ．16C ．15D ．17．四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的表面积为（ ）A ．(21aB ．(22aC ．(23aD ．(22a + 8．设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：（1）若αβ∥、αγ，则βγ（2）若αβ⊥，m α，则m β⊥（3）若m α⊥、m β，则αβ⊥（4）若m n ，n ⊂α，则m α其中真命题的序号是 （ ）A ．（1）（4）B ．（2）（3）C ．（2）（4）D ．（1）（3） 9．如图,阴影部分的面积是（ ）A ．1e e +B ．11e e +-C ．12e e +-D ．1e e- 10．已知直线y x b =+是曲线()ln y f x x ==的切线，则b 的值等于（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．211．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，可以将函数cos 2y x =的图像（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位 12．在7名运动员中，选4名运动员组成接力队，参加4100⨯米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间棒的安排方法共有（ ）种.A ．120B ．240C ．400D ．420二、填空题13．若二项式7(2)a x x +的展开式中31x的系数是84，则实数a =__________． 14．如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为15．设1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上一个点，1260F PF ∠=︒，12F F 为1PF 与2PF的等比中项，则该椭圆的离心率为______. 16的球中有一个内接正四面体，则这一正面体的体积是______.三、解答题17．已知数列{}n x 的首项13x =，通项()2*,,n n x p nq n N p q =+∈为常数，且145,,x x x 成等差数列，求：（Ⅰ）p ,q 的值；(Ⅱ) 数列{}n x 前n 项和n S 的公式.18．的内角的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=． （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ．19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，PA ⊥面ABCD ，2,PA AB E F ==、分别为CD PB 、的中点，AE =（Ⅰ）求证：面AEF ⊥面PAB ．（Ⅱ）求面PAB 与面PCD 所成的锐二面角的余弦值．20．如图，直线:l y x b =+与抛物线2:4C x y =相切于点A .（1）求实数b 的值；（2）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.21．若函数3()4=-+f x ax bx ,当2x =时,函数()f x 有极值为43-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若()f x k =有3个解,求实数k 的取值范围.22．户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行问卷调查，得到了如下列联表：已知在这50人中随机抽取1人，抽到喜欢户外运动的员工的概率是35. （1）请将上面的列联表补充完整；（2）求该公司男、女员工各多少人；（3）在犯错误的概率不超过0.005的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由.下面的临界值表仅供参考：（参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++）参考答案1．B【分析】由集合中元素个数，即可求出其子集数.【详解】解：集合U 中共有元素4个，因此其子集共有4216=个，故选:B.【点睛】本题考查了集合子集的个数.一般地，若集合中的元素有n 个，则其子集共有2n 个. 2．A【详解】211i i=+-，选A3．A【解析】 试题分析：159553,3a a a a a ππ++===，()()28521cos cos 2cos 32a a a π+===-. 考点：数列，三角函数．4．C【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.【详解】因为00.3112222=<<=，2000.30.31<<=，22log 5log 42>=，所以b a c <<.故选：C【点睛】本题主要考查指对幂比较大小以及指数函数，对数函数的性质，属于基础题.5．C【解析】试题分析：设AC=x ，则BC=12-x （0＜x ＜12）矩形的面积S=x （12-x ）＞20∴x 2-12x+20＜0∴2＜x ＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm 2的概率10221203p -==- 考点：几何概型6．C【详解】试题分析：根据程序框图确定框图所要执行的运算，由输入的依次进行运算求，根据判断框中的条件判断运算是否执行，得到结果．如图所示的循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s ＝1×3×5×…×（2i ﹣1）∴输入n 的值为6时，输出s 的值s ＝1×3×5＝15．故选：C ．考点：程序框图．7．B【分析】由三视图还原四棱锥，分别求出五个面的面积，即可求出四棱锥的表面积.【详解】解：由三视图可知，四棱锥为棱长为a 的正方体的一部分，则PB BD ==,所以2ABCD S a =,212PAD PAB S S a ==；因为,BC PB CD PD ⊥⊥，所以2122PBC PCD S S a ===，则表面积为(2222122222a a a +⋅+⋅=+. 故选:B.【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积.本题的关键是由三视图还原四棱锥.8．D【详解】故选D.9．C【解析】由定积分的定义可得，阴影部分的面积为()()11001|2x x x x e e dx e e e e ---=+=+-⎰. 本题选择C 选项. 点睛：利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．10．A【分析】设切点为()00,x y ，求出函数的导数后可知011x =，从而可求出切点的坐标()1,0，将切点坐标代入切线方程即可求出b 的值.【详解】解：设切点为()00,x y ，因为()1f x x'=，所以011x =，解得，01x =， 则00ln ln10y x ===，所以切点为()1,0在切线上，所以01b =+，解得1b =-， 故选:A.【点睛】本题考查了导数的几何意义.本题的关键是求出切点坐标.在函数图像切点满足：一、切点处的导数值为切线斜率，二是切点既在切线上又在函数图像上.11．D【解析】 为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像,可以将函数cos 2sin(2)2y x x π==+向右平移3π得到sin[2()]sin(2)236y x x πππ=+-=-的图像，故选D. 12．C【分析】第一步，安排中间2个位置，第二步，安排首尾2个位置，按照分步乘法计算原理计算可得；【详解】解：选出的4人中甲、乙两人都不跑中间两棒的不同选法是：第一步，安排中间2个位置有2520A =种，第二步，安排首尾2个位置有2520A =种， 共有2020400⨯=种，故选：C【点睛】本题考查分步乘法计算原理的应用，属于基础题.13．1试题分析：由二项式定理可得：，因为31x的系数是84，所以即，即5255728484C a a ⨯⨯==，所以.考点：二项式定理. 14．1 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，2z x y =-表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可． 【详解】先根据约束条件画出可行域，当直线2x y z -=过点()0,1A -时，z 最大是1，故答案为1． 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 15．12【分析】在12F PF △中，由余弦定理知，222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，从而可得212F F =()212123PF PF PF PF +-，即2224412c a c =-，进而可求离心率.解：因为12F F 为1PF 与2PF 的等比中项，所以2212124F F c PF PF ==， 在12F PF △中，由余弦定理知，222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠()222121212123PF PF PF PF PF PF PF PF =+-=+-，即2224412c a c =-，所以224c a =，则离心率12c e a ==. 故答案为: 12. 【点睛】本题考查了余弦定理，考查了椭圆的定义，考查了椭圆离心率的求解，考查了等比中项.本题的关键是结合余弦定理和等比中项写出含,a c 的式子.16．4【分析】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，求出正方体的棱长即可求出正四面体的体积． 【详解】解：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，设正方体的棱长为：a ，22R ==a =，∴正四面体的体积为33311463a a a -⨯=．【点睛】本题是基础题，考查正四面体的外接球，体积的求法，本题的突破口在正四面体转化为正方体，外接球是同一个球，考查计算能力，空间想象能力． 17．（Ⅰ）p =1,q =1 (Ⅱ)1(1)22.2n n n ++-+【分析】本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力. 【详解】 （Ⅰ）由23p q += 又4424x p q =+，5525x p q =+且1542x x x +=，得553+2528p q p q +=+解得p =1,q =1(Ⅱ)解：()()()2112221222.2n n n n n S n ++=+++++++=-+18．（1）1517；（2）2． 【解析】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用降幂公式化简28sin 2B，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；（2）由（1）可知8sin 17B =，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b . 试题解析：（1）()2sin 8sin 2BA C +=，∴()sin 41cosB B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =；（2）由（1）可知8sin 17B =，∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴172ac =，∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=， ∴2b =．19．．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ 【详解】 【分析】试题解析：（Ⅰ）∵四边形ABCD 是菱形， ∴2AD CD AB ===．在ADE ∆中，AE =1DE =，∴222AD DE AE =+．∴90AED ∠=︒，即AE CD ⊥． 又//AB CD ， ∴AE AB ⊥．∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AE ．又∵PA AB A =，∴AE ⊥平面PAB ， 又∵AE ⊂平面AEF ， 平面AEF ⊥平面PAB ．（Ⅱ）解法一：由（1）知AE ⊥平面PAB ，而AE ⊂平面PAE ， ∴平面PAE ⊥平面PAB∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥． 由（Ⅰ）知AE CD ⊥，又PAAE A =∴CD ⊥平面PAE ，又CD ⊂平面PCD ， ∴平面PCD ⊥平面PAE ．∴平面PAE 是平面PAB 与平面PCD 的公垂面．所以，APE ∠就是平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的平面角．在Rt PAE ∆中，222347PE AE PA =+=+=，即PE =．又2PA =，∴cos7APE ∠==．所以，平面PAB 与平面PCD ．理（Ⅱ）解法二：以A 为原点AB 、AE 分别为x 轴、y 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示．因为2PA AB ==，AE =AE =E 、则2)PE =-，(1,0,0)CE =-，(0,AE =． 由（Ⅰ）知AE ⊥平面PAB ，故平面PAB的一个法向量为()10,n AE ==． 设平面PCD 的一个法向量为2(,,)n x y z =， 则22·0{·0n PE n CE ==，即20z x -=-=，令z =则(2n =．∴121212·cos ,73·n n n n n n ===所以，平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为7． 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，角的的计算．点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，本题解法较多二应用向量则简化了证明过程．20．（1）1b =-；（2）22(2)(1)4x y -+-=.【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，根据相切可知联立化简后的方程0∆=，即可求得b 的值；（2）将（1）中所得b 的值代入联立后的方程，可求得切点坐标，由与抛物线C 的准线相切可得圆的半径，进而可得圆的标准方程. 【详解】（1）直线:l y x b =+与抛物线2:4C x y =相切于点A .则24y x b x y=+⎧⎨=⎩，得2440x x b --=，（*） 因为直线l 与抛物线C 相切， 所以2(4)4(4)0b ∆=--⨯-=， 解得1b =-.（2）由（1）可知1b =-，故方程（*）即为2440x x -+=， 解得2x =，代入24x y =，得1y =. 故点(2,1)A ，因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线1y =-的距离， 即|1(1)|2r =--=，所以圆A 的方程为22(2)(1)4x y -+-=. 【点睛】本题考查由直线与抛物线相切求参数，抛物线定义的简单应用及圆的标准方程求法，属于基础题.21．（1）31()443f x x x =-+；（2）42833k -<<. 【分析】（1）求出函数的导数，利用函数在某个点取得极值的条件，得到方程组，求得,a b 的值，从而得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性以及极值，通过()f x k =有三个不等的实数解，求得k 的取值范围. 【详解】（1）因为()34f x ax bx =-+，所以2'()3f x ax b =-，由2x =时，函数()f x 有极值43-， 得()()20423f f ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩，即12048243a b a b -=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以()31443f x x x =-+； （2）由（1）知()31443f x x x =-+，所以2'()4(2)(2)f x x x x =-=+-，所以函数()f x 在(,2)-∞-上是增函数，在(2,2)-上是减函数，在(2,)+∞上是增函数，当2x =-时，()f x 有极大值283； 当2x =时，()f x 有极小值43-，因为关于x 的方程()f x k =有三个不等实根， 所以函数()y f x =的图象与直线y k =有三个交点， 则k 的取值范围是42833k -<<. 【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有函数在极值点处的导数为0，利用条件求函数解析式，利用导数研究函数的单调性与极值，将方程根的个数转化为图象交点的个数来解决，属于中档题目.22．（1）填表见解析；（2）男员工人数为325人，女员工有325人（3）在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢户外运动与性别有关，详见解析 【分析】（1）根据题意可得喜欢户外运动的男女员工共30人，其中男员工20人，从而补全列联表. （2）根据公司男员工人数所占的比例即可求解.（3）根据列联表计算出观测值，利用独立性检验的基本思想即可判断. 【详解】解：（1）因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是35，所以喜欢户外运动的男女员工共30人，其中男员工20人，列联表补充如下：（2）该公司男员工人数为2565032550⨯=（人），则女员工有325人. （3）2K的观测值250(2015105)8.3337.87930202525k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢户外运动与性别有关. 【点睛】本题考查了独立性检验的基本思想、补全列联表，考查了考生的数据处理能力、分析能力，属于基础题.。

云南省峨山彝族自治县第一中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

总分为150分，考试时间为120分钟。

第I 卷（选择题 60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一项符合题目要求。

)1. 设集合{}1,2,3M =，{}1N =，则下列关系正确的是( ) A ． N M ∈ B ． N M ∉ C ． N M = D ．N M ≠⊂2．等差数列{}n a 中, ,33,562==a a 则35a a += （ ） A ．38 B ．19 C ．28 D ． 14 3．已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ ） A ． 43-B ．34-C ．43 D ．344.不等式2620x x +-≤的解集是（ ）A.21|32x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B.21|32x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或 C.12|23x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ D.12|23x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或 5.sin 47°cos 43°+ sin 137°sin 43°等于( )A.0B.1C.-1D.21 6．已知平面向量(3,1)a =r ，(,3)b x =-r ，且a b ⊥r r ，则x =（ ）A.3-B. 1-C. 1D. 3 7.已知sin α＋cos α＝－15，则sin 2α= ( ) A ．45-B ．2425- C.2425D ．35- 8．函数()2xf x e x =+- 的零点所在的区间是（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1) C.(1,2) D ．(2,3)9.将函数sin()3y x π=-的图象向左平移3π个单位，再将所得的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的函数解析式是（ ）A ．1sin2y x = B ． 1sin()22y x π=- C.1sin()26y x π=- D ．sin(2)6y x π=-10．设434121log 3,,23a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则( )A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c11.边长为578、、的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ． 090 B ． 0120 C ． 0135 D ．0150 12．若函数()cos sin f x x x =-在区间[]0,a 上是减函数，则a 的最大值是A. 4πB. 2πC.34π D. π第II 卷（非选择题 90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．若3a =r ,2b =r ，且a 与b 的夹角为0120，则a b =r r g .14．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222________. 15.已知3a >，则316-+a a 的最小值是_______. 16.已知实数x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y y x z +=2的最大值是 .三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知函数()sin 22 ().f x x x x R =+∈ （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间。

峨山一中2014—2015学年下学期期中考试高二年级数学试题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

总分为150分，考试时间为120分钟。

第I 卷（选择题 60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1.已知复数z的实部为2,虚部为-1,则5iz=（ D ）A 2i -B 2i +C 12i +D 12i -+2.因指数函数xa y =是增函数（大前提）,而x y )31(=是指数函数（小前提），所以x y )31(=是增函数（结论）”，上面推理的错误是 （ A ）A 大前提错导致结论错B 小前提错导致结论错C 推理形式错导致结论错D 大前提和小前提都错导致结论错3.右图给出的是计算1001...81614121+++++的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 （B ）A 50<iB 50>iC 25<iD 25>i4. 在直角坐标系中，直线3100x -=的倾斜角是 （ D ）A6πB3πC65π D 32π5. 观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，，则可归纳出式子为 （C ）A 22211111(2)2321n n n ++++<-≥ B 22211111(2)2321n n n ++++<+≥C 222111211(2)23n n n n -++++<≥ D 22211121(2)2321nn n n ++++<+≥ 6．已知直线n m ,及平面βα,,下列命题中正确的是 （ A ）A 若βα⊥//,n m ，且n m //，则βα//B 若βα//,//n m ，且n m //，则βα//C 若βα⊥//,n m ，且n m ⊥，则β⊥αD 若β⊥α⊥n m ,，且n m ⊥，则β⊥α 7.双曲线2211x y a a +=-的焦距为（ B ）A 1 B2 C D8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ A ）A π+B 2π+C 2πD 63+π 9. 已知实数,x y 满足条件101010x y y x y ì-+?ïï+?íï++?ïî那么2x y -的最大值为( C )A －3B －2C 1D 210.已知抛物线C ：x y82=与点)2,2(-M ，过C 的焦点且斜率为k的直线与C 交于,A B 两点，若向量0=∙MB MA ，则k 的值为 （ D ）A 21B 22C 2D 211、函数59323+--=x x x y 的极值情况是 （ C ）A 在1-=x 处取得极大值，但没有最小值B 在3=x 处取得极小值，但没有最大值C 在1-=x 处取得极大值，在3=x 处取得极小值D 既无极大值也无极小值12、对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有 （ C ）A (0)(2)2(1)f f f +<B (0)(2)2(1)f f f +≤ C(0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +>第II 卷（90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13．已知(21)(3)x i y y i -+=--，其中,x y R Î，那么x =25， y 4 ． 14．曲线323y x x =-在点(1,2)-处的切线方程是 310x y +-= 15．已知函数2()321f x x x =++,若11()2()f x dx f a -=⎰,则a 的值是_1-_或13___________. 16．曲线xy e =在点（2，2e ）处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为 22e 。

理科数学命题人：审题人：一、选择题：本大题共12小题，每一小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,1,0,1,2,{|(1)(2)0}A B x x x =--=-+<,则A B ⋂=() A.{}1,0-B.{}0,1C.{}1,0,1-D.{}0,1,22.命题“2R,||0x x x ∀∈+≥”的否定是() A ．2R,||0x x x ∀∈+< B ．2R,||0x x x ∀∈+≤C ．2000R,0x x x ∃∈+<D ．2000R,0x x x ∃∈+≥3.某大学中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的学生比为5:4:3:1，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生（） A.100人B.80人C.60人D.20人4.已知2132112,,log 32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则()A.c a b <<B.b a c <<C.c b a <<D.b c a << 5.如图，程序框图输出的结果为（）A.1910B.910C.1011D.21116.设集合{|03}M x x =<≤,{|02}N x x =<≤,那么“a M ∈”是“a N ∈”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.对具有线性相关关系的变量,x y ，测得一组数据如下表：20x =时，y 的估计值为() A.210B.210.5C.211D.211.58.函数2ln y x =的图象可能是（）A. B.C. D.9.已知三条不重合的直线,,m n l 和两个不重合的平面,αβ,下列说法正确的是() A.若//,m n n α⊂,则//m αB.若,m αβαβ⊥⋂=,且n m ⊥,则n α⊥ C.若,l n m n ⊥⊥,则//l m D.若,l m αβ⊥⊥,且l m ⊥,则αβ⊥ 10.为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,只要将()sin y x x R =∈的图象上所有的点() A.向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变B.向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 C.向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变D.向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 11.已知函数()23,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩那么18f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为() A ．27 B ．127C ．27-D ．127-12.在区间[]0,1上随机取两个数,则这两个数之和小于32的概率是() A.18B.38C.58D.78二、填空题:(本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13.把二进制数110011化为十进制数等于__________14.若 ,x y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤-+≤-⎧⎨⎩+⎪≥⎪则3z x y =+的最大值为__________.15.已知向量,a b 的夹角为30,2,3a b ︒==,则2a b +=__________ 16.已知方程2210x n +-+=(其中0,0m n >>)有两个相等的实根，则11m n+的最小值为__________.三、解答题：（本大题共6个小题，其中17题10分，其余每题12分，共70分）17.（本小题满分10分）设{}n a 是等差数列，14a =-，且2345,3,1a a a +++成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）已知圆C:228120x y y +-+=和直线:20l mx y m ++=. （1）求圆C 的圆心坐标和半径； （2）当m 为何值时，直线l 和圆c 相切.19.（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,2sin c A =(1)求角C 的大小； (2)若c =且ABC ∆的面积为2,求a b +的值. 20.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，平面ABCD ⊥平面ABEF ，//AF BE ，,2,1AB BE AB BE AF ⊥===.（1）求证：AC ⊥平面BDE ；(2)求三棱锥A DEF -的体积.21.（本小题满分12分）由某种设备的使用年限i x (年)与所支出的维修费i y (万元)的数据资料算得结果,52190ii x==∑,5190i i i x y ==∑,5120i i x ==∑,5125i i y ==∑.(1).求所支出的维修费y 对使用年限x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+;(2).①判断变量 x 与y 之间是正相关还是负相关;②当使用年限为8年时,试估计支出的维修费是多少.(附:在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中,1221ˆni ii nii x y nxyb xnx ==-=-∑∑,ˆˆay bx =-,其中,x y 为样本平均值.) 22.（本小题满分12分）近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“33+”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分，假定A 省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体35%,35%15%,,15%分别赋分70分、60分、50分、40分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，A 省某高中高一（1）班（共40人）举行了此次摸底考试（选考科目全考，单科全班排名）。

云南省峨山彝族自治县第一中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题第I 卷 选择题（共60分)一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．设全集U {1,2,3,4}=，集合{1,2}M =和{2,3}N =，则=)(N M C U （ ） A. {1,3,4} B. {1,2,3} C. {2,4} D. {4} 2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A . 012=-+y xB . 052=-+y xC . 052=-+y xD .072=+-y x 3.函数()ln 26f x x x =+-的零点位于（ ）A ．[1,2]B ．[2,3]C ．[3,4]D ．[4,5]4．如图，一个边长为4的正方形及其内切圆，若随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率是（ ） A.8π B.4π C.2πD.π5．要从已编号1-60的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是 （ ）A . 5,10,15,20,25,30B . 3,13,23,33,43,53C .1,2,3,4,5,6D . 2,4,8,16,32,48 6. 执行右图所示的程序框图,则输出的S 的值是（ ） A ．-1 B ．23C ．32D ．47．已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下：且回归方程是0.95,6,y x a x y =+=则当时的预测值为（ ） A 8.4B 8.3C 8.2D 8.18．已知等比数列{}n a 中，公比1q >，且168a a +=，3412a a =，则116a a =（ ）A ．2B ．3C ．6D ．3或6 9.设123log 2,ln 2,2ab c ===，则 ( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ． c b a << 10．如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形， 其直角边长均为1，则该几何体的表面积为（ ） A ．21+ B ．222+C ．13D ．22+11. 为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,可以将函数cos 2y x =的图象 （ ） A. 向左平移3π个单位 B. 向右平移6π个单位C. 向右平移3π个单位 D. 向左平移6π个单位 12．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，下列命题中， ①若,,βα⊥⊥m m 则βα// ②若,//,,n m n m βα⊂⊂则βα// ③若,,//α⊥m n m 则α⊥n ④若,,βα⊂⊥m m 则βα⊥正确的个数为（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个第II 卷 非选择题（共90分)二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 已知变量y x 、满足的约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，且y x z +=，则z 的最大值是 .14.已知3a >，则316-+a a 的最小值是_______. 15．已知向量,ab 的夹角为︒120，且1,2a b ==，则向量b a -在向量b a +方向上的投影是 ．16．已知半径为21的球中有一个各棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是 .三、解答题（本题有6个小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17题10分，第18-22小题每题12分，共70分。

云南省峨山彝族自治县第一中学2020学年高二数学下学期期中试题理第I 卷（选择题）一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1. 已知，，则 CA. B. 3， C. D.2. 已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ A ） A ．1 B ．i C ．－1 D ．－i3.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线与直线012=+-y x 平行，则双曲线的 离心率为（ D ）A 3B ．5C ．23D ．25 4. 一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如右图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为 AA. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：65. 如图是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是 BA. B. C. D.6. 下列判断正确的是( C )A.2ln(3)x x <-+“”是“”的充分不必要条件B.函数22()99f x x x =++的最小值为2C.当R αβ∈，时，命题“若αβ=,则sin sin αβ=”的逆否命题为真命题D.命题“020*******x x ∀+＞，＞”的否定是“00≤∃x ,201920190x +≤”7. 与直线41y x =-平行的且与曲线32y x x =+-相切的直线方程是（ D ） .40A x y -= .440420B x y x y --=--=或.420C x y --= .40440D x y x y -=--=或8. 已知1tan()42πα+=，且02πα-<<，则2sin 22sin αα+等于（ B ） 25.A - B ．25- C ．25 D ．25 9．如右图所示，AD 是三角形ABC 的中线，O 是AD 的中点，若，其中，，则的值为 AA. B. C. D.1201820182019log 2019,log 2018,2019a b c ===10.设，则a ，b ，c 的大小关系是（ C ） A. B. C. D.11.教育部选派3名中文教师到外国任教中文，有4个国家可供选择，每名教师随机选择一个国家，则恰有2名教师选择同一个国家的概率为（ C ）A ．38B ．49C ．916D ．932 12.已知)(x f 为定义在R 上的偶函数，2)()(x x f x g +=，且当(]0,∞-∈x 时，)(x g 单调递增，则不等式32)2()1(+>+-+x x f x f 的解集为（ B ）A.),23(+∞ B.),23(+∞- C.)3,(--∞ D. )3,(-∞ 第II 卷（非选择题）二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 数列中，若，，则_ 34___．14. 已知函数11221,(10)(),()1,(01)x x f x f x dx x x -+-≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩⎰则的值为___4π _ . 15.抛物线y 2=4x 上的点到（0，2）的距离与到其准线距离之和的最小值是__5____.16.已知球O 的内接圆锥体积为32π，其底面半径为1，则球O 的表面积为 π425 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. (本小题12分) 在平面四边形ABCD 中，已知43π=∠ABC , AD AB ⊥, 1=AB . （1）若5=AC ,求ABC ∆的面积；（2）若552sin =∠CAD ，4=AD ,求CD 的长．解：（1）在ABC ∆中，ABC COS BC AB BC AB AC ∠⋅⋅-+=2222BC BC ⋅++=2152 0422=-+⇒BC BC , 解得 2=BC21222121sin 21=⨯⨯⨯=∠⋅⋅=∴∆ABC BC AB S ABC （2）552sin ,900=∠=∠CAD BAD Θ 552cos =∠∴BAC 55sin =∠BAC )4sin(sin BAC BCA ∠-=∠∴π)sin (cos 22BAC BAC ∠-∠=1010)55552(22=-= 在ABC ∆中，BCA AB ABC AC ∠=∠sin sin , 5sin sin =∠∠⋅=∴BCAABC AB AC CAD AD AC AD AC CD ∠⋅⋅-+=∴cos 22221355452165=⨯⨯⨯-+= 13=∴CD18. (本小题12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//,90AD BC ADC ∠=o ，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点且3PM MC =，2PA PD ==, 11=22BC AD CD ==，．(1)求证：平面PQB ⊥平面以PAD ；(2)求二面角M BQ C --的大小．解：（1）AD BC Q P ，12BC AD =，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD BQ P ． 90ADC ︒∠=∵∴90AQB ︒∠= , 即QB AD ⊥．又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD I 平面ABCD AD =，BQ ⊥∴平面PAD ．BQ ⊂Q 平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ．（2）PA PD =∵，Q 为AD 的中点， PQ AD ⊥∴．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD I 平面ABCD AD =， ∴PQ ⊥平面ABCD ．如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系，则平面BQC 的一个法向量为()0,0,1n =r， ()(()()0,0,0,3,0,2,0,1,2,0Q P B C -，设(),,M x y z ，则(,,3PM x y z =u u u u r ，()1,2,MC x y z =----u u u u r ， 3PM MC =u u u u r u u u u r ∴，()()313233x x y y z z ⎧=--⎪=-⎨⎪=-⎩∴， 343234x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴ ， 在平面MBQ 中，()0,2,0QB =u u u r ，333,42QM ⎛=- ⎝⎭u u u u r ，设平面MBQ 的法向量为(),,m x y z =u r则00m QB m QM ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u r g u r u u u u r g ,即203330424y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ ∴ 平面MQB 的一个法向量为(3m =u r ,(()0,0,1cos ,22m n ==g u r r ∴ ， 由图知二面角为锐角，所以所求二面角大小为30︒.19. (本小题12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2a n =2+S n ．（Ⅰ）求证：数列{a n }是等比数列； （Ⅱ）设2log n n n b a a =g，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（Ⅰ）证明：数列{a n }的前n 项和S n 满足2a n =2+S n ，可得2a 1=2+S 1=2+a 1，解得a 1=2；n ≥2时，2a n -1=2+S n -1，又2a n =2+S n ，相减可得2a n -2a n -1=2+S n -2-S n -1=a n ，即a n =2a n -1，可得数列{a n }是首项、公比均为2的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a n =2n，2log =2n n n n b a a n =⋅⋅ 231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++L g ①2n T = ()23112+22++n-122n n n +⨯⨯+L g g ②① -②得：23122222n n n T n +-=++++-L g整理得： ()1122n n T n +=-+数列{b n }的前n 项和()1122n n T n +=-+20.(本小题12分)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，且经过点()2,0A ． Ⅰ求椭圆的标准方程；Ⅱ设O 为椭圆的中心，点(20)D -，,过点A 的动直线l 交椭圆于另一点B ，直线l 上的点C 满足4OB OC =u u u r u u u r g，求直线BD 与OC 的交点P 的轨迹方程． 解：Ⅰ椭圆的离心率，且，，，椭圆的标准方程为，Ⅱ设直线l 的方程为当t 存在时，由题意，代入，并整理可得，解得，于是， 即，设，，解得，于是，，，，，，直线BD 与OC 的交点P 的轨迹是以OD 为直径的圆除去O ，D 两点， 轨迹方程为，即，21．（本小题10分）已知函数()ln ()=-∈f x x ax a R .（Ⅰ）当2=a 时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()0f x <，求a 的取值范围.解：（Ⅰ）当2a =时，(ln 2f x x x =-）， ()()0+f x ∞的定义域为，112'(2x f x x x-=-=）． '1()0,120,2f x x x >-><令即得， '1()0,120,2f x x x <-<>令即得 又()()0+f x ∞Q 的定义域为，11()+22f x ∴∞的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，） （Ⅱ）由题知()0f x <对于任意的(0,)x ∈+∞恒成立，即ln 0x ax -<对于任意的(0,)x ∈+∞恒成立，等价于ln x a x>在(0,)x ∈+∞恒成立， 令ln ()x g x x =，'21ln ()x g x x -= 令'()=0g x ，解得x e =，()g x ∴∞的递增区间为（0，e),递减区间为(e,+)max 1()()g x g e e==，1a e ∴> 即1,)a e +∞的取值范围为（ 22．（本小题10分）已知函数()|1||2|f x x x =-+-.（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若存在实数x 满足2()7f x a a ≤-++，求实数a 的最大值.解：（1）()()()()2311+2112232x x f x x x x x x -+≤⎧⎪=--=<<⎨⎪-≥⎩当1x ≤时，由233x -+≥，得0x ≤当12x <<时，由13≥，得x ∈∅当2x ≥时，由233x -≥，得3x ≥所以不等式()3f x ≥的解集为{}03x x x ≤≥或（2）由（1）知min ()1f x =∴依题意有271a a -++≥，即260a a --≤解得23a -≤≤，故a 的最大值为3。

云南省峨山彝族自治县第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一、选择题1.已知集合{}1,2,3,4U =，则集合U 的子集共有（ ） A. 15个 B. 16个C. 31个D. 32个【答案】B 【解析】 【分析】由集合中元素个数，即可求出其子集数.【详解】解：集合U 中共有元素4个，因此其子集共有4216=个，故选:B.【点睛】本题考查了集合子集的个数.一般地，若集合中的元素有n 个，则其子集共有2n 个.2.复数21i-等于（ ） A. １+ｉ B. １－ｉ C. －１+ｉ D. －１－ｉ【答案】A 【解析】 【详解】211i i=+-，选A3.已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则()28cos a a +的值为（ ） A. 12-B. C.12【答案】A 【解析】试题分析：159553,3a a a a a ππ++===，()()28521cos cos 2cos32a a a π+===-. 考点：数列，三角函数．4.设0.32=a ，20.3b =，2log 5c =，则,,a b c 的关系是（ ）A. a b c <<B. b c a <<C. b a c <<D.c b a <<【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.【详解】因为00.3112222=<<=，2000.30.31<<=，22log 5log 42>=， 所以b a c <<. 故选：C【点睛】本题主要考查指对幂比较大小以及指数函数，对数函数的性质，属于基础题. 5.在长为12cm 的线段AB 上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为 A.16B.13C.23D.45【答案】C 【解析】试题分析：设AC=x ，则BC=12-x （0＜x ＜12） 矩形的面积S=x （12-x ）＞20 ∴x 2-12x+20＜0 ∴2＜x ＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm 2的概率10221203p -==-考点：几何概型6.执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为（ ）A. 105B. 16C. 15D. 1【答案】C【解析】【详解】试题分析：根据程序框图确定框图所要执行的运算，由输入的依次进行运算求，根据判断框中的条件判断运算是否执行，得到结果．如图所示的循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s＝1×3×5×…×（2i﹣1）∴输入n的值为6时，输出s的值s＝1×3×5＝15．故选：C．考点：程序框图．-的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图所示，则四7.四棱锥P ABCD-的表面积为（）棱锥P ABCDA. ()212a +B. ()222a +C. ()232a +D.()2222a+【答案】B 【解析】 【分析】由三视图还原四棱锥，分别求出五个面的面积，即可求出四棱锥的表面积. 【详解】解：由三视图可知，四棱锥为棱长为a 的正方体的一部分，则2PB BD a ==,所以2ABCD S a =,212PADPABSSa ==；因为,BC PB CD PD ⊥⊥， 所以21222PBCPCDSSa a a ==⋅=， 则表面积为()22221222222a a a a +⋅+⋅=+. 故选:B.【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积.本题的关键是由三视图还原四棱锥. 8.设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题： （1）若αβ∥、αγ，则βγ（2）若αβ⊥，m α，则m β⊥（3）若m α⊥、m β，则αβ⊥（4）若m n ，n ⊂α，则m α其中真命题的序号是 （ ） A. （1）（4） B. （2）（3）C. （2）（4）D. （1）（3）【答案】D 【解析】 【详解】故选D.9.如图,阴影部分的面积是（ ）A. 1e e +B. 11e e+- C. 12e e+- D. 1e e-【答案】C 【解析】由定积分的定义可得，阴影部分的面积为()()11001|2x x x x e e dx e e e e ---=+=+-⎰. 本题选择C 选项.点睛：利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正． 10.已知直线y x b =+是曲线()ln y f x x ==的切线，则b 的值等于（ ） A. 1- B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】设切点为()00,x y ，求出函数的导数后可知011x =，从而可求出切点的坐标()1,0，将切点坐标代入切线方程即可求出b 的值. 【详解】解：设切点为()00,x y ，因为()1f x x'=，所以011x =，解得，01x =， 则00ln ln10y x ===，所以切点为()1,0在切线上，所以01b =+，解得1b =-，故选:A.【点睛】本题考查了导数的几何意义.本题的关键是求出切点坐标.在函数图像切点满足：一、切点处的导数值为切线斜率，二是切点既在切线上又在函数图像上.11.为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，可以将函数cos 2y x =的图像（ ） A. 向左平移3π个单位 B. 向左平移6π个单位 C. 向右平移6π个单位 D. 向右平移3π个单位 【答案】D 【解析】为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像,可以将函数cos 2sin(2)2y x x π==+向右平移3π得到sin[2()]sin(2)236y x x πππ=+-=-的图像，故选D. 12.在7名运动员中，选4名运动员组成接力队，参加4100⨯米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间棒的安排方法共有（ ）种.A. 120B. 240C. 400D. 420【答案】C 【解析】 【分析】第一步，安排中间2个位置，第二步，安排首尾2个位置，按照分步乘法计算原理计算可得； 【详解】解：选出的4人中甲、乙两人都不跑中间两棒的不同选法是：第一步，安排中间2个位置有2520A =种， 第二步，安排首尾2个位置有2520A =种，共有2020400⨯=种， 故选：C【点睛】本题考查分步乘法计算原理的应用，属于基础题. 二、填空题 13.若二项式7(2)a x x +的展开式中31x的系数是84，则实数a =__________． 【答案】1 【解析】【详解】试题分析：由二项式定理可得：，因为31x 的系数是84，所以即，即5255728484C a a ⨯⨯==，所以.考点：二项式定理.14.如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为【答案】1 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，2z x y =-表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可． 【详解】先根据约束条件画出可行域，当直线2x y z -=过点()0,1A -时，z 最大是1，故答案为1．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15.设1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上一个点，1260F PF ∠=︒，12F F 为1PF 与2PF 的等比中项，则该椭圆的离心率为______.【答案】12【解析】 【分析】12F PF △中，由余弦定理知，222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，从而可得212F F =()212123PF PF PF PF +-，即2224412c a c =-，进而可求离心率.【详解】解：因为12F F 为1PF 与2PF 的等比中项，所以2212124F F c PF PF ==， 在12F PF △中，由余弦定理知，222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠()222121212123PF PF PF PF PF PF PF PF =+-=+-，即2224412c a c =-，所以224c a =，则离心率12c e a ==. 故答案为:12. 【点睛】本题考查了余弦定理，考查了椭圆的定义，考查了椭圆离心率的求解，考查了等比中项.本题的关键是结合余弦定理和等比中项写出含,a c 的式子.16.已知半径为32的球中有一个内接正四面体，则这一正面体的体积是______. 【答案】64【解析】 【分析】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，求出正方体的棱长即可求出正四面体的体积．【详解】解：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，设正方体的棱长为：a ；对角线长为：3a ，则由432232a R ==⨯，得6a =， ∴正四面体的体积为333116463a a a -⨯==．故答案为：6． 【点睛】本题是基础题，考查正四面体的外接球，体积的求法，本题的突破口在正四面体转化为正方体，外接球是同一个球，考查计算能力，空间想象能力． 三、解答题 17.已知数列{}n x 的首项13x =，通项()2*,,nn x p nq n N p q =+∈为常数，且145,,x x x 成等差数列，求： （Ⅰ）p ,q 的值；(Ⅱ) 数列{}n x 前n 项和n S 的公式. 【答案】（Ⅰ）p =1,q =1 (Ⅱ)1(1)22.2n n n ++-+【解析】 【分析】本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力. 【详解】（Ⅰ）由23p q += 又4424x p q =+，5525x p q =+且1542x x x +=，得553+2528p q p q +=+解得p =1,q =1 (Ⅱ)解：()()()2112221222.2nn n n n S n ++=+++++++=-+18.的内角的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin2B AC +=． （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）1517；（2）2． 【解析】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用降幂公式化简28sin 2B，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；（2）由（1）可知8sin 17B =，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b . 试题解析：（1）()2sin 8sin 2BA C +=，∴()sin 41cosB B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =；（2）由（1）可知8sin 17B =，∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴172ac =，∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=， ∴2b =．19.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，PA ⊥面ABCD ，2,PA AB E F ==、分别为CD PB 、的中点，3AE =（Ⅰ）求证：面AEF⊥面PAB．（Ⅱ）求面PAB与面PCD所成的锐二面角的余弦值．27【答案】．（Ⅰ）见解析；【解析】【详解】【分析】试题解析：（Ⅰ）∵四边形ABCD是菱形，∴2AD CD AB===．在ADE∆中，3AE=1DE=，∴222AD DE AE=+．∴90AED∠=︒，即AE CD⊥．又//AB CD ，∴AE AB⊥．∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE．又∵PA AB A=，∴AE⊥平面PAB，又∵AE⊂平面AEF，平面AEF⊥平面PAB．（Ⅱ）解法一：由（1）知AE⊥平面PAB，而AE⊂平面PAE，∴平面PAE⊥平面PAB∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥． 由（Ⅰ）知AE CD ⊥，又PAAE A =∴CD ⊥平面PAE ，又CD ⊂平面PCD ， ∴平面PCD ⊥平面PAE ．∴平面PAE 是平面PAB 与平面PCD 的公垂面．所以，APE ∠就是平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的平面角． 在Rt PAE ∆中，222347PE AE PA =+=+=，即7PE =．又2PA =， ∴27cos 77APE ∠==． 所以，平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为27．理（Ⅱ）解法二：以A 为原点AB 、AE 分别为x 轴、y 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示．因为2PA AB ==，3AE =3AE =3,0)E 、则3,2)PE =-，(1,0,0)CE =-，(0,3,0)AE =． 由（Ⅰ）知AE ⊥平面PAB ，故平面PAB 的一个法向量为()10,3,0n AE ==． 设平面PCD 的一个法向量为2(,,)n x y z =，则22·0{·0n PE n CE ==，即320{0z x -=-=，令3z =则()20,2,3n=． ∴121212·2327cos ,37·n n n n n n ===⨯．所以，平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为27． 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，角的的计算．点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，本题解法较多二应用向量则简化了证明过程． 20.如图，直线:l y x b =+与抛物线2:4C x y =相切于点A .（1）求实数b 的值；（2）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程. 【答案】（1）1b =-；（2）22(2)(1)4x y -+-=. 【解析】 【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，根据相切可知联立化简后的方程0∆=，即可求得b 的值；（2）将（1）中所得b 的值代入联立后的方程，可求得切点坐标，由与抛物线C 的准线相切可得圆的半径，进而可得圆的标准方程.【详解】（1）直线:l y x b =+与抛物线2:4C x y =相切于点A .则24y x b x y =+⎧⎨=⎩，得2440x x b --=，（*）因为直线l 与抛物线C 相切， 所以2(4)4(4)0b ∆=--⨯-=，解得1b =-.（2）由（1）可知1b =-，故方程（*）即为2440x x -+=， 解得2x =，代入24x y =，得1y =. 故点(2,1)A ，因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线1y =-的距离， 即|1(1)|2r =--=，所以圆A 的方程为22(2)(1)4x y -+-=.【点睛】本题考查由直线与抛物线相切求参数，抛物线定义的简单应用及圆的标准方程求法，属于基础题.21.若函数3()4=-+f x ax bx ,当2x =时,函数()f x 有极值为43-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若()f x k =有3个解,求实数k 的取值范围. 【答案】（1）31()443f x x x =-+；（2）42833k -<<.【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用函数在某个点取得极值的条件，得到方程组，求得,a b 的值，从而得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性以及极值，通过()f x k =有三个不等的实数解，求得k 的取值范围.【详解】（1）因为()34f x ax bx =-+，所以2'()3f x ax b =-，由2x =时，函数()f x 有极值43-， 得()()20423f f ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩，即12048243a b a b -=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以()31443f x x x =-+；（2）由（1）知()31443f x x x =-+， 所以2'()4(2)(2)f x x x x =-=+-，所以函数()f x 在(,2)-∞-上是增函数，在(2,2)-上是减函数，在(2,)+∞上是增函数，当2x =-时，()f x 有极大值283； 当2x =时，()f x 有极小值43-，因为关于x 的方程()f x k =有三个不等实根， 所以函数()y f x =的图象与直线y k =有三个交点， 则k 的取值范围是42833k -<<. 【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有函数在极值点处的导数为0，利用条件求函数解析式，利用导数研究函数的单调性与极值，将方程根的个数转化为图象交点的个数来解决，属于中档题目.22.户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行问卷调查，得到了如下列联表：已知在这50人中随机抽取1人，抽到喜欢户外运动的员工的概率是35. （1）请将上面的列联表补充完整； （2）求该公司男、女员工各多少人；（3）在犯错误的概率不超过0.005的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由.下面的临界值表仅供参考：（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）填表见解析；（2）男员工人数为325人，女员工有325人（3）在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢户外运动与性别有关，详见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得喜欢户外运动的男女员工共30人，其中男员工20人，从而补全列联表. （2）根据公司男员工人数所占的比例即可求解.（3）根据列联表计算出观测值，利用独立性检验的基本思想即可判断.【详解】解：（1）因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是35， 所以喜欢户外运动的男女员工共30人，其中男员工20人，列联表补充如下：（2）该公司男员工人数为2565032550⨯=（人），则女员工有325人. （3）2K的观测值250(2015105)8.3337.87930202525k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢户外运动与性别有关.【点睛】本题考查了独立性检验的基本思想、补全列联表，考查了考生的数据处理能力、分析能力，属于基础题.。