同步电机数学模型的建立和仿真
姓名：包邻淋
专业：控制工程
学号：1402094
摘要 (3)
1同步电机数学模型的建立 (4)
1.1模型的导出思路 (4)
1.2变量置换用的表达式 (5)
1.4电机实用模型 (6)
1.5电机实用模型的状态空间表达式 (8)
1.6电机模型参数的确定 (10)
2 同步电机数学模型的仿真 (13)
2.1同步发电机仿真模型 (13)
2.2不同阶次模型的仿真分析 (14)
参考文献 (17)
摘要
一般发电机存在临诸多问题，建立精确地描述同步发电机的数学模型是十分必要的[1]。
电力系统数字仿真因具有不受原型系统规模和结构复杂性限制，能保证被研究系统的安全性，且具有良好的经济性、方便性等优点。
常用的同步发电机数学模型由同步发电机电路方程及转子运动方程两部分组成。
同步发电机电路方程又分为基本方程和导出模型两类[4]。
对于不同的假设条件，同步发电机模型可作不同程度的简化，因此同步发电机的导出模型也有不同的形式。
同一假设条件下，不同的同步发电机数学模型，其主要区别在于电机的转子绕组数，有d，q，f，D，Q5个绕组的电压方程和磁链方程，外加2个转子运动方程，则称之为转子7阶模型[5]。
如果转子绕组数减少，则发电机方程组的阶数也相应减少。
本文通过MATLAB/simulink进行仿真计算，比较采用不同的同步发电机模型时，对系统的稳定性分析的影响。
在此基础上提出在不同情况下进行电力系统仿真计算选取同步发电机数学模型的方法。
1同步电机数学模型的建立
1.1模型的导出思路
由于定转子间的相对运动，基于空间静止不动的三相坐标系所建立的原始方程，磁链方程式中会出现变系数，这对方程组的求解和模型的建立造成了很大的困难。
现在通用的方法是对原始方程做d q变换(又称为派克变换)，将原方程从a b c三相静止不动坐标系变为与转子相对静止的d q坐标系。
基本方程中有d，q，f，D，Q5个绕组的电压方程和磁链方程，外加2个转子运动方程，若设，则原方程为5阶，若转子运动方程为，；所含变量为，。
在化为实用模型时
和保留，用取代，再用5个磁链方程消去3个转子电流，以及2个定子磁链，而
则用实用变量代替。
经过上述思路导出的实用模型，除了以及引入的等效实用变量之外方程中系数都是同步电机技术参数中的电抗和时间
常数，这些参数可以直接由电机空载短路实验所测得，无须再进行换算。
1.2变量置换用的表达式
d轴变量的置换表达式为:
由式(1-1) 得：
q轴变量的置换表达式为:
由式：
可得：
1.4电机实用模型
基于以上推导思路，可得如下方程(式中p为微分算子，下同)。
(1)定子电压方程：
(2)转子f绕组电压方程：
在实用计算中，可以近似取(此式仅在时严格成立)，则式(2-3)可简化为:
(3)转子D绕组电压方程
式右边第一项中的、可通过将式代入消去，化为
的形式。
当计及绕组D,绕
组Q暂态时，在、对应的超瞬态过程中，式中项往往很小，在实用计算中式右边第一项常予以忽略。
则式可简化为:
(4)转子Q绕组电压方程
(5)转子运动方程
有的时候为近似补偿D绕组、Q绕组在动态过程中的阻尼作用以及转子运动中的机械阻尼，常在转子运动方程中补入一等效阻尼项，D为定阻尼常数，则式可改为:
另有
由上述各式构成了同步电机的7阶实用简化模型，其中
为状态变量。
需要注意的是，上述方程表示的模型并不是一个严格的七阶模型。
上述导出模型在不同的假设条件下，可以得到进一步简化。
(1)同步发电机7阶模型。
当只考虑f, D, Q绕组的电磁暂态，忽略q，d轴绕组的瞬变效应，则7阶模型简化为5阶模型。
(2)同步发电机3阶模型。
当忽略f, D, Q绕组暂态，只计及励磁绕
组厂的电磁暂态时，7阶模型简化为3阶模型。
1.5电机实用模型的状态空间表达式
本文中数字仿真采用MATLAB/simulink的基本模块实现，考虑到MATLAB求解状态空间表达式的强大运算能力，可将式(变形成如下形式:
其中前者为状态方程，后者为输出方程，状态量为
输入变量为，输出量为，
下面推导以作为输入量，作为输出量的同步发电机5阶模型的状态空间表达式。
可记为:
其中
由式(2-52)有:
记为则有将式((1-17)代入式((1-13)，可得:
由式(1-17)，有:
则可得到
由式(2-58)，有:
即以作为输入量，作为输出量的同步发电机七阶模型的电路方程。
由上述状态方程分别构成了不同输入输出变量情况下的同步电机七阶实用模型，模型由状态空间表达式的形式进行描述，这样便于在所选软件中的建模与仿真。
有了上述两种不同形式的电机模型七阶方程，可以满足大多数情况下仿真的需1.6电机模型参数的确定
以五阶模型为例，对于所求状态方程表示的同步电机五阶模型电量方程，因为方程中的参数采用的是实用电机标么参数(如
)所以无需再进行参数转化，方程中的系数可以直接从电机的技术参数和测试结果中获得。
由表2-1，有
直轴超瞬态开路时间常数以及交轴超瞬态开路时间常数。
在没有直接给出，可以通过己有参数进行换算，也可以通过以下公式进行计算。
不难证明:
则有：
，。
，
则五阶模型参数设置如表1所示。
表1五阶模型参数
考虑所构建模型在进行仿真时，仿真的时间单位一般为秒，因此，在构建同步电机仿真模型时需要把表1中时间常数
的值化为以秒((s)为单位，根据式状态空间表达式，计算得到各系数矩阵如下:
由式上式，可算得:
C’, D’与状态空间表达式中所定义的C’, D’的略有不同，A', B', C', D’分别为表示的状态空间表达式对应的系数矩阵。
2 同步电机数学模型的仿真
2.1同步发电机仿真模型
基于式状态空间表达式以及计算得到的系数矩阵，以构建同步发电机模型，在此以5阶模型为例如图3-8所示:
其中，与原矩阵D略有差异。
为了仿真的方便，模型选用等效实用变量以及定子电流式作为输入量，定子端电压作为输出量。
将状态空间模块中矩阵A，B，C，D的值改为A’，B’，C’，D’，可得到以，作为输入量，定子电流作为输出量的同步发电机5阶仿真模型。
2.2不同阶次模型的仿真分析
在对不同阶次数学模型进行比选时，除了要考虑模型的计算量和是否易于建模分析，还需要考虑模型的精度。
本节对不同阶次模型进行简单仿真，并对仿真结果进行下面对三、五、七阶模型的仿真结果进行比较分析，以确定不同阶次模型对仿真精度的影响。
仿真模型的设置及仿真过程，下图为三、五、七阶模型的仿真结果。
图一
图二
图三
从图二不难看出，在负载发生突变的瞬间，三阶和五阶模型与七阶模型的结果有比较大的差别，特别是对于交轴电压而言，在负载加上的瞬间，七阶模型的有一个突然的跌落过程，原因是上节分析的那样，由于电机定子端电感的存在，电流不能发生突变，因此在合闸的瞬间，定子端电压瞬时值为0。
而对五阶和三阶模型而言，
因为忽略了定子绕组暂态，(即认为)，所以并不能反映这种短暂而剧烈的变化。
但随着定子绕组中电流和磁场的变化逐渐趋缓，三、五、七阶模型的仿真结果非常接近，并在1秒之后变得十分接近。
图二为五阶与七阶模型直轴电压与交轴电压、的差值，上面两幅图为2~4s时‘间段的电压差值曲线，下面两幅图为2.1~4s时间段的电压差值曲线。
从图中不难看出，突加负载0.2s以后，电压差值己经很小，表明此时两种仿真模型结果己近很接近。
在五阶模型与七阶模型存在的定子电压曲线差异主要为电机负载突变时的
定子电流快速变化引起的“瞬时”差异以及电机状态稳定之后的很小误差，由于电机模型对外部网络的影响主要是定子侧的状态，因此，定子电压的这种差异也可以认为是电机模型的仿真差异，可以用来衡量电机模型的精确性。
对于三阶模型，由于忽略了阻尼绕组的阻尼作用，会对电机频繁扰动下的运行过有较大影响，这种影响相比忽略定子绕组暂态时更大，而且在某些情况下两者可能叠加，造成更大的误差。
同时因为q 轴只有一个阻尼绕组Q，所以三阶模型中的交轴分量有突变的可能性，这会降低电机模型的动态稳定性能，同时要求与模型相连的网络方程中不能出现微分项，增加了外部模型建模的难度。
参考文献
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