清华大学电力系统 同步发电机的数学模型21

同步电机的基本方程式及数学模型派克方程1.1 理想电机假设（1）电机磁铁部分的磁导率为常数，因此可以忽略掉磁滞、磁饱和的影响，也不计涡流及集肤效应作用等的影响；（2）定子的三个绕组的位置在空间互相相差120°电角度，3个绕组在结构上完全相同。

同时，他们均在气隙中产生正弦分布的磁动势；（3）定子及转子的槽及通风沟等不影响电机定子及转子的电感，因此认为电机的定子及转子具有光滑的表面；为了分析计算，还需要设定绕组电流、磁链正方向。

1.2 abc 坐标下的有名值方程同步电机共有6个绕组分别为：定子绕组a,b,c ，转子励磁绕组f ，转子d 轴阻尼绕组D 以及转子q 轴阻尼绕组Q 。

需要求出每个绕组的电压、电流和磁链未知数，因此一共需要18个方程才能求解。

电压方程：00a a a ab b b b cc c c f f f f D D D D QQ Q Q u p r i u p r i u p r iu p r i u p r i u p r i ψψψψψψ=-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩=-⎧⎪=-≡⎨⎪=-≡⎩D 绕组与Q 绕组均为无外接电源闭合绕组，因此电压均为0，从而上式中一共有8个方程。

磁链方程：11a a aa ab ac af aD aQ b b ba bb bc bf bD bQ c c ca cb cc cf cD cQ f f fa fb fc ff fD fQ Da Db Dc Df DD DQ D D Qa Qb Qc Qf QDQQ Q Q i L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L L L L L L L i L L L L L L i L ψψψψψψ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=(33)12(33)21(33)22(33)abc fDQ i L L L i ⨯⨯⨯⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦在电感矩阵中（针对凸极机），定子绕组自感和互感参数是随转子位置而变化的参数，而在转子绕组中，转子的自感和互感参数均为常数，而且D 轴与Q 轴正交，则D 轴绕组与Q 轴绕组互感为0。

上篇 电力系统元件数学模型1 同步电机数学模型1.1 abc 坐标下的有名值方程1.1.1 理想电机同步电机是电力系统的心脏，它是一种集旋转与静止、电磁变化与机械运动于一体，实现电能与机械能变换的元件，其动态性能十分复杂，而且其动态性能又对全电力系统的动态性能有极大影响，因此应对它作深入分析，以便建立用于研究分析电力系统各种物理问题的同步电机数学模型。

为了建立同步电机的数学模型，必须对实际的三相同步电机作必要的假定，以便简化分析计算。

通常假定：（1）电机磁铁部分的磁导率为常数，既忽略掉磁滞、磁饱和的影响，也不计涡流及集肤作用等的影响。

（2）对纵轴及横轴而言，电机转子在结构上是完全对称的。

（3）定子的3个绕组的位置在空间互相相差120º电角度，3个绕组在结构上完全相同。

同时，它们均在气隙中产生正弦形分布的磁动势。

（4）定子及转子的槽及通风沟等不影响电机定子及转子的电感，即认为电机的定子及转子具有光滑的表面。

满足上述假定条件的电机称为理想电机。

这些假定在大多数情况下已能满足实际工程问题研究的需要，下面的同步电机基本方程推导即基于上述理想电机的假定。

当需要考虑某些因素（如磁饱和等）时，则要对基本方程作相应修正。

图1-l 是双极理想电机的示意图，图中标明了各绕组电磁量的正方向。

必须特别强调的是，后面导出的同步电机基本方程是与图1-l 中所定义的电磁量正方向相对应的。

下面对图1-1中所定义的各电磁量正方向作必要的说明。

定子abc 三相绕组的对称轴a ，b ，c 空间互差120º电角度。

设转子逆时针旋转为旋转正方向，则其依次与静止的a ，b ，c 三轴相遇。

定子三相绕组磁链c b a ΨΨΨ,,的正方向分别与a ，b ，c 三轴正方向一致。

定子三相电流c b a i i i ,,的正方向如图1-1所示。

正值相电流产生相应相的负值磁动势和磁链。

这种正方向设定与正常运行时定子电流的去磁作用（电枢反应）相对应，有利于分析计算。

上篇 电力系统元件数学模型1 同步电机数学模型1.1 abc 坐标下的有名值方程1.1.1 理想电机同步电机是电力系统的心脏，它是一种集旋转与静止、电磁变化与机械运动于一体，实现电能与机械能变换的元件，其动态性能十分复杂，而且其动态性能又对全电力系统的动态性能有极大影响，因此应对它作深入分析，以便建立用于研究分析电力系统各种物理问题的同步电机数学模型。

为了建立同步电机的数学模型，必须对实际的三相同步电机作必要的假定，以便简化分析计算。

通常假定：（1）电机磁铁部分的磁导率为常数，既忽略掉磁滞、磁饱和的影响，也不计涡流及集肤作用等的影响。

（2）对纵轴及横轴而言，电机转子在结构上是完全对称的。

（3）定子的3个绕组的位置在空间互相相差120º电角度，3个绕组在结构上完全相同。

同时，它们均在气隙中产生正弦形分布的磁动势。

（4）定子及转子的槽及通风沟等不影响电机定子及转子的电感，即认为电机的定子及转子具有光滑的表面。

满足上述假定条件的电机称为理想电机。

这些假定在大多数情况下已能满足实际工程问题研究的需要，下面的同步电机基本方程推导即基于上述理想电机的假定。

当需要考虑某些因素（如磁饱和等）时，则要对基本方程作相应修正。

图1-l 是双极理想电机的示意图，图中标明了各绕组电磁量的正方向。

必须特别强调的是，后面导出的同步电机基本方程是与图1-l 中所定义的电磁量正方向相对应的。

下面对图1-1中所定义的各电磁量正方向作必要的说明。

定子abc 三相绕组的对称轴a ，b ，c 空间互差120º电角度。

设转子逆时针旋转为旋转正方向，则其依次与静止的a ，b ，c 三轴相遇。

定子三相绕组磁链c b a ΨΨΨ,,的正方向分别与a ，b ，c 三轴正方向一致。

定子三相电流c b a i i i ,,的正方向如图1-1所示。

正值相电流产生相应相的负值磁动势和磁链。

这种正方向设定与正常运行时定子电流的去磁作用（电枢反应）相对应，有利于分析计算。

长江三峡水电枢纽同步汽轮发电机的转子同步水轮发电机的转子气隙定子同步发电机的FLASH.SWF11定子上3个等效绕组a 相绕组b 相绕组c 相绕组转子上3个等效绕组同步发电机简化为：定子3个绕组、转子3个绕组、气隙、定子铁心、转子铁心组成的6绕组电磁系统励磁绕组d 轴等效的阻尼绕组轴等效的阻尼绕组Q15d 轴q 轴120度120度120度定子、转子铁心同轴（忽略定、转θsin )M F =磁动势零点θ的，无饱和，无磁滞和涡流损耗，19磁链与电流、电压的参考正方向1、设转子逆时针旋转为旋转正方向；3、定子三相绕组端电压的极性与相电流正方向按发电机惯例来定义，即正值电流i a 从端电压u a 的正极流出发电机，b 、c 相类似。

定子绕组的正电流产生负的磁链！！2、定子三相绕组磁链ψa ，ψb ，ψc 的正方向与a 、b 、c 三轴正方向一致;+-215、d轴上的励磁绕组f、阻磁链正方向与d轴磁链正方向与q轴的正方向一致；正电流由端电压，因此绕组电阻：a 相绕组b 相绕组c 相绕组＋26励磁绕组d 轴阻尼绕组轴阻尼绕组绕组、28绕组的磁链方程－6个定子绕组的磁链a 相绕组的磁链＝a 相绕组电流产生的自磁链＋b 相绕组电流产生的互磁链＋c 相绕组电流产生的互磁链＋励磁绕组电流产生的互磁链＋D 绕组电流产生的互磁链＋Q 绕组电流产生的互磁链31转子绕组的磁链励磁绕组的磁链＝a 相绕组电流产生的互磁链＋b 相绕组电流产生的互磁链＋c 相绕组电流产生的互磁链＋励磁绕组电流产生的自磁链＋D 绕组电流产生的互磁链＋Q 绕组电流产生的互磁链36a 相绕组磁路磁阻（磁导）的变化与转子d 轴与a 相绕组轴线的夹角θa (=ωt )有关磁路的磁导λaa ,自感L aa 为θa 的周期函数，周期为π。

θaθa ＝±π/2磁路磁导最小，自感最小a θa ＝0，π磁路磁导最大，自感最大a磁导变化的规律直流分量2 θa 周期函数-π-π/2 0 π/2 π即a 绕组的自感为at s aa L L L θ2cos +=期为π。

2．1同步电机模型同步电机是电力系统的主要元件，电磁暂态和机电互动现象十分丰富，模型的建立和求解往往决定着仿真的精度和能够反映实际系统动态过程的程度，因此，很多专家在同步发电机建模方面展开研究并取得多项成果。

同步电机是励磁控制系统的控制对象，又和励磁控制系统密切相关系。

研究励磁系统的动态特性，离不开对同步电机动态特性的分析。

同步电机的过渡过程比较复杂，通过以d,q 坐标系统推导出来的派克(Park)方程作为同步电机的基本方程，求出完整的动态模型；在某些特定的条件下，可由完整的动态模型得到简化模型。

在小干扰情况下，可以将非线性的完整模型在工作点附近线性化，得出线性化模型：同样，在某些特定的条件下，还可以求得简化的线性模型。

同步电机dqO 坐标下的暂态方程称为派克方程，它是一组非线性的微分方 程组。

由于dqO 三轴之间的解耦以及aqO 坐标下的电感参数是常数，因此派克变换及同步电机的派克方程在实用分析中得到广泛的应用。

同步电机具有三个定子绕组、一个转子绕组、两个阻尼绕组。

六个绕组间 都有磁的耦合，加上转子位置不断变化，绕组间的耦合又必然是转子的位置函 数。

要正确反映上述情况就需要七个非线性微分方程。

2．1．1同步电机基本方程由同步电机在d,q 轴的park 微分方程组出发，电压和磁链方程(以标幺值形式)如(2．1)-(2．10)所示：电压方程： 定子绕组：d q d d ri p U --=ωψψ （2.1）q d q q ri p U --=ωψψ （2.2） 励磁绕组： f f f f p r i U ψ-= （2.3） 阻尼绕组： d d d p i r 1110ψ-= （2.4） q q q p i r 1110ψ-= （2.5）磁链方程： 定子绕组：d ad f ad d d d i X i X i X 1++-=ψ （2.6）q aq q q q i X i X 1+-=ψ （2.7） 励磁绕组：d ad f f d ad f i X i X i X 1++-=ψ （2.8）阻尼绕组：d d f ad d ad d i X i X i X 111++-=ψ （2.9）q q q aq q i X i X 111+-=ψ （2.10） 其中，dtd p θθω==。

2.1同步发电机数学模型及运行特性本节主要阐述同步发电机稳态数学模型及运行特性：包括向量图、等值电路与功率方程以及功角特性。

2.1.1 同步发电机稳态数学模型理想电机假设：1）电机铁心部分的导磁系数为常数；2）电机定子三相绕组完全对称，在空间上互差120度，转子在结构上对本身的直轴和交轴完全对称；3）定子电流在空气隙中产生正弦分布的磁势，转子绕组和定子绕组间的互感磁通也在空气隙中按正弦规率分布；4）定子及转子的槽和通风沟不影响定子及转子的电感，即认为电机的定子及转子具有光滑的表面。

同步电动机是一种交流电机，主要做发电机用，也可做电动机用，一般用于功率较大，转速不要求调节的生产机械，例如大型水泵，空压机和矿井通风机等。

近年由于永磁材料和电子技术的发展，微型同步电机得到越来越广泛的应用。

同步电动机的特点之一是稳定运行时的转速n与定子电流的频率f1之间有严格不变的关系，即同步电动机的转速n与旋转磁场的转速n0相同。

“同步”之名由此而来。

同步发电机是电力系统中的电源，它的稳态特性与暂态行为在电力系统中具有支配地位。

虽然在电机学中已经学过同步电机，但那时侧重于基本电磁关系，而现在则从系统运行的角度审视发电机组。

1.同步发电机的相量图设发电机以滞后功率因数运行，三相同步发电机正常运行时，定子某一相空载电势Eq，输出电压或端电压U和输出电流I间的相位关系如图2-1所示。

δ是Eq领先U的角度，称为功角，是功率因数角，即U与I的相位差， Eq与q轴（横轴或交轴）重合，d为纵轴或直轴。

U和I的d、q分量为：图 2-1电势电压相量图电机学课程中已经讨论过，端电压和电流的分量与Eq间的关系为：（2-3）式中，r为定子每相绕组的电阻，x d为定子纵轴同步电抗，x q为定子横轴同步电抗。

其中空载电势Eq与转子励磁绕组中的励磁电流成正比，其比例系数可从空载试验中得到。

为了便于绘制相量图，令d轴作正实轴，q轴作正虚轴，则各相量可表示为所以（2-7）对于隐极式同步发电机（汽轮发电机），因气隙均匀，直轴和交轴同步电抗相等（x d=x q），上式变为（2-8）此即表示隐极式同步发电机的方程，由此即可作出它的等值电路和相量图，如图2-2所示（a）等值电路（b）矢量图图2-2 隐极式同步发电机等值电路和矢量图凸极式同步发电机（水轮发电机），把电枢反应磁势分解为d轴及q轴两个分量，d轴电枢反应磁势的位置固定在转子d轴上，q轴电枢反应磁势的位置固定在转子q轴上，从而解决了合成磁势遇到的不同气隙宽度的困难。